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8/12/2019 Processamento Digital de Sinais Aula02 Simas Ufba
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EduardoSimas
Introducao
Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
Transformadas
DiscretasTransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Disciplina: Processamento Digital de Sinais
Aula 02 - Operacoes e Transformacoes em
Sinais no Tempo Discreto
Prof. Eduardo Simas(eduardo.simas@ufba.br)
Programa de Pos-Graduacao em Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia
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Introducao
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TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
Transformadas
DiscretasTransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Conteudo
1 Introducao
2 Operacoes em Sinais no Tempo Discreto
3 Transformadas ContnuasTransformada zTransformada de Fourier de Tempo Discreto
4 Transformadas DiscretasTransformada Discreta de FourierOutras Transformadas DiscretasExemplos usando o Matlab
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Introducao
Operacoes emSinais noTempo
Discreto
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
Transformadas
DiscretasTransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Introducao
O Processamento Digital de Sinais esta fundamentado emferramentas matematicas que permitem a realizacao de
operacoes e transformacoes em sinais no tempo discreto.
Neste modulo iremos estudar:
- Operacoes mais comuns em sinais no tempo discreto;
- Transformadas mais utilizadas para sinais no tempodiscreto.
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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto
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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto
Um sistema no tempo discreto opera sobre uma sequencia deentrada segundo regras pre-estabelecidas para gerar umasequencia de sada.
Em muitos casos, o funcionamento dos sistemas no tempodiscreto pode ser descrito a partir de operacoes basicas como:
- produto;
- adicao;
- multiplicacao por um escalar;
- deslocamento no tempo;
- reversao no tempo;
- alteracao da taxa de amostragem;
- correlacao.
Essas operacoes serao apresentadas a seguir.
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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto
Produto (ou modulacao): y[n] =x1[n] x2[n]
Quando o produto e utilizado para obter uma sequencia decomprimento limitado a partir de outra de comprimento infinito(atraves do produto por uma sequencia finita, chamada janela)essa operacao e chamada janelamento:
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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto
Adicao: y[n] =x1[n] +x2[n]
Multiplicacao por um escalar: y[n] =Ax[n]
Deslocamento no tempo: y[n] =x[n N]
sendo N inteiro. Quando N>0 atraso e se N
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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto
Reversao no Tempo: y[n] =x[n]
Alteracao da Taxa de Amostragem: E possvel gerar umnovo sinal y[n] a partir da modificacao da taxa de amostragemde x[n]. Definindo fx e fycomo sendo respectivamente as
frequencias de amostragem de x e y, temos:
Fy
Fx=R
se R>1 o processo e chamado interpolacao e se R
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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto
Correlacao: A correlacao indica o nvel se semelhanca entredois sinais (considerando a estatstica de segunda ordem).
Define-se a sequencia de correlacao (ou correlacao cruzada):
rx,y[l] =
n=
x[n]y[n l] com l= 0, 1, 2, . . .
sendo l o atraso entre as duas sequencias para o qual esta sendocalculada a correlacao. A sequencia de correlacao indica asemelhanca entre x[n] e versoes deslocadas de y[n].
Quando a sequencia de correlacao e calculada para um mesmo
sinal e chamada de sequencia de auto-correlacao:
rx,x[l] =
n=
x[n]x[n l] com l= 0, 1, 2, . . .
rx,x
[l] indica a semelhanca entre um sinal x[n] e versoesdeslocadas dele mesmo.
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Funcao de Autocorrelacao
A funcao de auto-correlacao mostra a velocidade de variacao deum processo aleatorio com o tempo e tem as propriedades aseguir:
- RXX() =RXX() (funcao par);
- O valor maximo ocorre em = 0 (defasagem zero) e valeRXX(0) =E{X2(t)}.
- O processo de calculo de RXX() e semelhante ao de umaconvolucao.
Funcao de auto correlacao de um sinal de SONAR pasivo:
80 60 40 20 0 20 40 60
0
0.1
0.2
RXX
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Funcao de Autocorrelacao - Aplicacao
Deteccao de ecos (medicao de distancias):
A posicao do pico da funcao de correlacao indica o tempo depropagacao T:
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Transformadas
DiscretasTransformadaDiscreta deFourier
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Funcao de Autocorrelacao - Aplicacao
y[n] =x[n ] +N[n],
sendo N[n] rudo gaussiano.
O pico da funcao decorrelacao pode ser utilizado
para estimar .
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Coeficiente de Correlacao
Coeficiente de Correlacao:
E um valor esperado calculado numa janela temporal finita dossinais e definido por:
x,y = E{(X X)(Y Y)}XY
= XYXY
sendo: E{x[n]}= X 1
N
N
i=1x[i] a media e
E{(x[n] X)2}= 2X
1
N
Ni=1
(x[i] X)2 a variancia.
O fator XY e a covariancia de X e Y e quando os sinais saoestatisticamente independentesx,y = 0.
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Transformadas
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Variacao do Coeficiente de Correlacao - Exemplos
4 2 0 2 420
10
0
10
20
X
Y
4 2 0 2 410
5
0
5
10
X
Y
4 2 0 2 4
30
20
10
0
10
X
Y
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
X
Y
XY
=0,99 XY
=0,98
XY
=0,74
XY=0,01
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Transformadas Contnuas
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Transformada Z
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Transformada z
A transformada zde uma sequencia x[n] e definida por:
X(z) =Z {
x[n]}
=
n=
x[n]zn
onde z e uma variavel complexa.
E importante observar que X(z) existe apenas para regioes do
plano complexo em que o somatorio converge.
A definicao acima e chamada de transformada z bilateral.
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Transformada z
Pode-se definir tambem as transformadas zpara sequenciasunilaterais e de comprimento finito:
- Unilateral direita: X(z) =Z {x[n]}=
n=n0
x[n]zn
- Unilateral esquerda: X(z) =Z {x[n]}=n0
n=x[n]zn
- Comprimento finito: X(z) =Z {x[n]}=n1
n=n0
x[n]zn
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Transformada z
Exemplo: Calcule a transformada z de x[n] =Ku[n]
Por definicao temos: X(z) =K
n=0
zn
.
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Transformada z
Exemplo: Calcule a transformada z de x[n] =Ku[n]
Por definicao temos: X(z) =K
n=0
zn
.
Entao, X(z) e uma serie de potencias que converge quando|z1|< 1 para:
X(z) = K1 z1
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Transformada z
Exemplo: Calcule a transformada z de x[n] =Ku[n]
Por definicao temos: X(z) =K
n=0
zn
.
Entao, X(z) e uma serie de potencias que converge quando|z1|< 1 para:
X(z) = K1 z1
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Transformada Z
A transformada z e muito utilizada para a modelagem desistemas no tempo discreto, pois a operacao de convolucao, queno domnio do tempo e utilizada para obter a sada (a partir daentrada e da funcao de resposta ao impulso) e substituda por
uma multiplicacao.A transformada z e a contrapartida discreta da transformada deLaplace.
Uma representacao comum para o par x[n] e X(z) e:
x[n]ZX(z)
A transformada z transforma a sequencia discreta x[n] nafuncao X(z) da variavel contnua e complexa z.
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Regiao de Convergencia da Transformada Z
Considerando a teoria das series, observa-se que a transformadade zde uma sequencia e uma serie de Laurentda variavelcomplexa z.
Definicao da serie de Laurent: f(z) =
n=
an(z c)n
Neste caso, podemos aplicar resultados da teoria de series echegar ao resultado a seguir:
A transformada zconverge se r1
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Regiao de Convergencia da Transformada Z
A regiao no plano complexo na qual a transformada z converge(r1
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Regiao de Convergencia da Transformada Z
Pode-se observar que, por definicao, a transformada z e umaserie geometrica da variavel complexa z:
X(z) =Z {x[n]}=
n=
x[n]zn.
Para uma serie geometrica pode-se provar que:N1k=0
ark =a1 rn
1 r , e quando N :
k=0
ark =a 1
1 r , para |r|< 1.
E l ROC d T f d Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Encontre as transformadas zdas sequencias abaixo,especificando suas ROC:
1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]
3 - x[n] =u(n+ 1)Resolucao:
E l ROC d T f d Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Encontre as transformadas zdas sequencias abaixo,especificando suas ROC:
1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]
3 - x[n] =u(n+ 1)Resolucao:
E l ROC d T f d Z
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Transformadas
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Encontre as transformadas zdas sequencias abaixo,especificando suas ROC:
1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]
3 - x[n] =u(n+ 1)Resolucao:
1 - x[n] =k2nu[n] X(z) =
n=0k2nzn =k
n=0(2z1)n
E l ROC d T f d Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Encontre as transformadas zdas sequencias abaixo,especificando suas ROC:
1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]
3 - x[n] =u(n+ 1)Resolucao:
1 - x[n] =k2nu[n] X(z) =
n=0k2nzn =k
n=0(2z1)n
chega-se entao a: X(z) = k
1 2z1 , para
|2z1|< 1 |z|> 2.
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Encontre as transformadas zdas sequencias abaixo,especificando suas ROC:
1 - x[n] =k2nu[n]2 - x[n] =k2n1u[n 1]
3 -x
[n
] =u
(n
+ 1)Resolucao:
1 - x[n] =k2nu[n] X(z) =
n=0k2nzn =k
n=0(2z1)n
chega-se entao a: X(z) = k
1 2z1 , para
|2z1|< 1 |z|> 2.
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
2 - x[n] =k2n1u[n 1] (versao atrasada de uma amostra dosinal do Ex. 1)
- X(z) =
n=1
k2n1zn = k
2
n=1
(2z1)n
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
2 - x[n] =k2n1u[n 1] (versao atrasada de uma amostra dosinal do Ex. 1)
- X(z) =
n=1
k2n1zn = k
2
n=1
(2z1)n
fazendo i=n 1:
X(z) = k
2
i=0(2z1)i+1 =
k2z1
2
i=0(2z1)i
Exemplos: ROC da Transformada Z
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TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
2 - x[n] =k2n1u[n 1] (versao atrasada de uma amostra dosinal do Ex. 1)
- X(z) =
n=1
k2n1zn = k
2
n=1
(2z1)n
fazendo i=n 1:
X(z) = k
2
i=0(2z1)i+1 =
k2z1
2
i=0(2z1)i
X(z) = kz1
1 2z1 , para |z|> 2.
Comparando com o resultado anterior percebe-se que o atraso
de uma unidade corresponde a multiplicacao por z1
.
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Transformada z
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TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
2 - x[n] =k2n1u[n 1] (versao atrasada de uma amostra dosinal do Ex. 1)
- X(z) =
n=1
k2n1zn = k
2
n=1
(2z1)n
fazendo i=n 1:
X(z) = k
2
i=0(2z1)i+1 =
k2z1
2
i=0(2z1)i
X(z) = kz1
1 2z1 , para |z|> 2.
Comparando com o resultado anterior percebe-se que o atraso
de uma unidade corresponde a multiplicacao por z1
.
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
3 - x[n] =u(n+ 1) (versao revertida no tempo do degrauunitario deslocado)
- X(z) =
1
n=
zn
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Introducao
Operacoes emSinais noTempo
DiscretoTransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
3 - x[n] =u(n+ 1) (versao revertida no tempo do degrauunitario deslocado)
- X(z) =
1
n=
zn
fazendo i=n 1: X(z) =0
i=
z(i1) =z0
i=
zi
X(z) = z1 z
para |z|< 1.
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Operacoes emSinais noTempoDiscreto
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
3 - x[n] =u(n+ 1) (versao revertida no tempo do degrauunitario deslocado)
- X(z) =
1
n=
zn
fazendo i=n 1: X(z) =0
i=
z(i1) =z0
i=
zi
X(z) = z1 z
para |z|< 1.
Comparando com o par: u[n 1]Z
z1
1 z1, percebe-se que
x[
n]ZX(z1)
Exemplos: ROC da Transformada Z
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Exemplos: ROC da Transformada Z
Resolucao:
3 - x[n] =u(n+ 1) (versao revertida no tempo do degrauunitario deslocado)
- X(z) =
1
n=
zn
fazendo i=n 1: X(z) =0
i=
z(i1) =z0
i=
zi
X(z) = z1 z
para |z|< 1.
Comparando com o par: u[n 1]Z
z1
1 z1, percebe-se que
x[n]ZX(z1)
Funcao de Transferencia
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u cao de a s e e c a
A transformada H(z) da funcao de resposta ao impulso h[n] de
um sistema LIT e denominada Funcao de Transferencia.
Com o conhecimento de H(z) e possvel obter a sada de umSLIT a partir de uma simples multiplicacao no domnio z:
Y(z) =H(z)X(z)
sendo X(z) e Y(z) as transformadas zda entrada (x[n]) e dasada (y[n]) do SLIT.
Em geral uma funcao de transferencia e expressa, de modogenerico, como:
H(z) = Y(z)
X(z) =
Ml=0
blz1
1 +
N
i=1
aiz1
Funcao de Transferencia
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E importante notar que para casos especiais (Ex.: filtros naorecursivos) a funcao de transferencia e simplificada para::
H(z) =Ml=0
blz1
Outra forma bastante utilizada para representar a funcao detransferencia e em funcao de seus polos (pi) e zeros (zl):
H(z) = N(z)D(z)
=H0
M
l=1
(1 z1zl)
Ni=1
(1 z1pi)
=H0zNM
M
l=1
(z zl)
Ni=1
(z pi)
zl e pi sao as razes de N(z) e D(z), respectivamente.
Propriedades da Transformada z
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Transformada z
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p
A seguir serao listadas as principais propriedades da
transformada z.
=> Linearidade:x[n] =a1x1[n] +a2x2[n] X(z) =a1X1(z) +a2X2(z)
a regiao de convergencia de X(z) e a interseccao das regioes de
convergencia de X1(z) e X2(z).
=> Reversao no Tempo:x[n]X(z1)
se X(z) converge para r1
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p
=> Multiplicacao por uma exponencial:nx[n]X(z)
sendo r1 Diferenciacao complexa:
nx[n] zdX(z)
dz
a regiao de convergencia se mantem a mesma.
=> Teorema do Valor Inicial:se x[n] = 0 para n
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A Transformada z Inversa
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A transformada z inversa e definida por:
x[n] = 1
2j
X(z)zn1dz
e mapeia uma funcao no domnio da variavel contnua ecomplexa zpara o domnio da variavel discreta n.
O modo mais simples de obter a transformada z inversa e apartir da combinacao das propriedades da transformada compares transformados conhecidos.
Se nao for possvel encontrar uma equivalencia a partir deste
procedimento, entao e necessario utilizar um metodo analticocomo:
- metodo dos resduos;- expansao em fracoes parciais;- divisao polinomial;
- expansao em series.
Metodo da expansao em fracoes parciais
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Considerando que uma funcao X(z) =N(z)/D(z) tem k polos
distintos pk (k= 1, 2, . . . , K) cada um com multiplicidade mk,entao X(z) pode ser expandido em fracoes parciais atraves de:
X(z) =MN
l=0glz
l +K
k=1mk
i=1cki
(1 pkz1)i
Se M
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Transformada z
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TransformadasDiscretas
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Exemplosusando o Matlab
Obter a representacao no domnio do tempo discreto para
H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)
= (1 + 2z1)
(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)
Resolucao:
Expandindo em fracoes parciais temos: H(z) =
c1(1 + 2z1)
+ c2(1 + 0, 6z1)
c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].
Expansao em fracoes parciais - Exemplo 1
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Obter a representacao no domnio do tempo discreto para
H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)
= (1 + 2z1)
(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)
Resolucao:
Expandindo em fracoes parciais temos: H(z) =
c1(1 + 2z1)
+ c2(1 + 0, 6z1)
c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].
Para obtermos os coeficientes c1 e c2 fazemos:
c1 = (1 0, 2z1)H(z)z=0,2 =
1 + 2z1
1 + 0, 6z1 z=0,2 = 2, 75
Expansao em fracoes parciais - Exemplo 1
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Obter a representacao no domnio do tempo discreto para
H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)
= (1 + 2z1)
(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)
Resolucao:
Expandindo em fracoes parciais temos: H(z) =
c1(1 + 2z1)
+ c2(1 + 0, 6z1)
c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].
Para obtermos os coeficientes c1 e c2 fazemos:
c1 = (1 0, 2z1)H(z)z=0,2 =
1 + 2z1
1 + 0, 6z1 z=0,2 = 2, 75c2 = (1 0, 6z
1)H(z)z=0,6
= 1 + 2z1
1 0, 2z1
z=0,6
=1, 75
Expansao em fracoes parciais - Exemplo 1
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Obter a representacao no domnio do tempo discreto para
H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)
= (1 + 2z1)
(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)
Resolucao:
Expandindo em fracoes parciais temos: H(z) =
c1(1 + 2z1)
+ c2(1 + 0, 6z1)
c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].
Para obtermos os coeficientes c1 e c2 fazemos:
c1 = (1 0, 2z1)H(z)
z=0,2=
1 + 2z1
1 + 0, 6z1 z=0,2= 2, 75
c2 = (1 0, 6z1)H(z)
z=0,6
= 1 + 2z1
1 0, 2z1
z=0,6
=1, 75
Entao a sequencia no domnio do tempo correspondente e:
h[n] = 2, 75(0, 2)nu[n] 1, 75(0, 6)nu[n]
Expansao em fracoes parciais - Exemplo 1
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Obter a representacao no domnio do tempo discreto para
H(z) = z(z+ 2)(z 0, 2)(z+ 0, 6)
= (1 + 2z1)
(1 0, 2z1)(1 + 0, 6z1)
Resolucao:
Expandindo em fracoes parciais temos: H(z) =
c1(1 + 2z1)
+ c2(1 + 0, 6z1)
c1(0, 2)nu[n] +c2(0, 6)nu[n].
Para obtermos os coeficientes c1 e c2 fazemos:
c1 = (1 0, 2z1)H(z)
z=0,2=
1 + 2z1
1 + 0, 6z1 z=0,2= 2, 75
c2 = (1 0, 6z1)H(z)
z=0,6
= 1 + 2z1
1 0, 2z1
z=0,6
=1, 75
Entao a sequencia no domnio do tempo correspondente e:
h[n] = 2, 75(0, 2)nu[n] 1, 75(0, 6)nu[n]
Expansao em fracoes parciais - polos multiplos
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Quando a funcao G(z) tem um polo z= de multiplicidade Leos demais N L polos z=plsao simples, a expansao emfracoes parciais pode ser feita a partir de:
G(z) =MNl=0
glzl +
NLl=1
cl
1 plz1L
i=1
ci(1 z1)i
os resduos cisao calculados usando:
ci= 1
(L i)!()LidLi
d(z1)Li
(1 z1)LG(z)
z=
Expansao em fracoes parciais usando o Matlab
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Exemplo:
Encontrarx[n] para: X(z) = 1818 + 3z1 4z2 z3
---------------------------
> num=18;
> den=[18 3 -4 -1];
> [r,p,k]=residuez(num,den);r = 0.3600 0.2400 0.4000
p = 0.5000 -0.3333 -0.3333
k = [ ]
---------------------------
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Exemplo:
Encontrarx[n] para: X(z) = 1818 + 3z1 4z2 z3
---------------------------
> num=18;
> den=[18 3 -4 -1];
> [r,p,k]=residuez(num,den);r = 0.3600 0.2400 0.4000
p = 0.5000 -0.3333 -0.3333
k = [ ]
---------------------------
Entao:
X(z) = 0, 36
1 0, 5z1+
0, 24
1 + 0, 3333z1+
0, 40
(1 + 0, 3333z1)2
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Exemplo:
Encontrarx[n] para: X(z) = 1818 + 3z1 4z2 z3
---------------------------
> num=18;
> den=[18 3 -4 -1];
> [r,p,k]=residuez(num,den);r = 0.3600 0.2400 0.4000
p = 0.5000 -0.3333 -0.3333
k = [ ]
---------------------------
Entao:
X(z) = 0, 36
1 0, 5z1+
0, 24
1 + 0, 3333z1+
0, 40
(1 + 0, 3333z1)2
x[n] = 0, 36(0, 5)nu[n] + 0, 24(0, 3333)nu[n]+0, 4(n+ 1)(0, 3333)nu[n+ 1]
Expansao em fracoes parciais usando o Matlab
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Exemplo:
Encontrarx[n] para: X(z) = 1818 + 3z1 4z2 z3
---------------------------
> num=18;
> den=[18 3 -4 -1];
> [r,p,k]=residuez(num,den);r = 0.3600 0.2400 0.4000
p = 0.5000 -0.3333 -0.3333
k = [ ]
---------------------------
Entao:
X(z) = 0, 36
1 0, 5z1+
0, 24
1 + 0, 3333z1+
0, 40
(1 + 0, 3333z1)2
x[n] = 0, 36(0, 5)nu[n] + 0, 24(0, 3333)nu[n]+0, 4(n+ 1)(0, 3333)nu[n+ 1]
Estabilidade e Causalidade no Domnio z
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Caractersticas como estabilidade e causalidade de sistemaspodem ser associados a padroes especficos dos polos e zeros eda ROC da funcao de transferencia do sistema:
- Se um sistema e causal a ROC esta fora do maior polo;
- Se o sistema e estavel a ROC deve incluir o crculo unitario;
- Se o sistema e causal e estavel as duas condicoes acimaprecisam ser satisfeitas o que implica em ter todos os polosdentro do crculo unitario.
Estabilidade e Causalidade no Domnio z
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Exemplos:
Localizacao dos polos para sistemas (a) causal e estavel e (b) causal
e instavel.
Outros Comandos Uteis no MATLAB
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Operacoes com sistemas lineares discretos (convolucao e
geracao de graficos):---------------------------
a=[1 1 1 1 1];
b = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] ;
c=conv(a,b);
stem(c)
---------------------------
0 5 100
5
10
15
20
25
30
35
Outros Comandos Uteis no MATLAB
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Encontrar razes do polinomio G(z) = 8z4
+ 8z3
+ 2z2
z 1:---------------------------
>> roots([8 8 2 -1 -1])
ans =
0.4486
-0.7420-0.3533 + 0.5007i
-0.3533 - 0.5007i
---------------------------
Tracar diagrama de polos e zeros no plano z:
Exemplo 1: H(z) = (z 1)/(8z4 + 8z3 + 2z2 z 1)
---------------------------
>> zplane([0 0 0 1 -1],[8 8 2 -1 -1])
---------------------------
Outros Comandos Uteis no MATLAB
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Sada do Exemplo 1 - x representam os polos e o os zeros:
1 0.5 0 0.5 1
1
0.5
0
0.5
1
Real Part
ImaginaryPart
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Encontrar um polinomio a partir de suas razes:
Razes: 0.4, 0.7, 0.3 + 0.5i e 0.3 0.5i
---------------------------
>> poly([0.4, -0.7, -0.3 + 0.5i, -0.3 - 0.5i])ans =
1.0000 0.9000 0.2400 -0.0660 -0.0952
---------------------------
entao o polinomio e:z4 + 0.9000z3 + 0.2400z2 0.0660z 0.0952
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TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
A transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT - DiscreteTime Fourier Transform) pode ser obtida a partir da definicaoda transformada z fazendo z=ej (ou seja, restringindo odomnio z apenas ao crculo unitario).
Assim, a DTFT converte uma sequencia no tempo discreto para
o domnio da frequencia contnua :
X(j) =X(ej) =
n=
x[n]ejn
E a transformacao inversa e realizada por:
x[n] = 1
2j
X(j)ejnd
Transformada de Fourier de Tempo Discreto
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Introducao
Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Percebe-se das definicoes anteriores que um sinal x[n] no tempodiscreto pode ser representado por um somatorio infinito desenoides de frequencia ponderadas por fatores proporcionais aX(j).
Lembrando que (Formula de Euler): ejx = cos(x) +jsin(x).
A transformada de Fourier X(j) e periodica com perodo 2:
X(ej) =X(ej+2k), k Z
Assim, a transformada de Fourier de um sinal no tempo discretoso precisa ser especificada num intervalo de 2, como porexemplo: [, ) ou [0, 2).
DTFT - Exemplo
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Introducao
Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Encontrar a transforma de Fourier para o sinal:
x[n] =
1, 0 n50, caso contrario
Solucao:
H(ej) =5
k=0
ejk = 1 e6j
1 ej
DTFT - Exemplo
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Introducao
Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Encontrar a transforma de Fourier para o sinal:
x[n] =
1, 0 n50, caso contrario
Solucao:
H(ej) =5
k=0
ejk = 1 e6j
1 ej =
e3j(e3j e3j)
ej/2(ej/2 ej/2)
DTFT - Exemplo
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Operacoes emSinais noTempoDiscreto
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Encontrar a transforma de Fourier para o sinal:
x[n] =
1, 0 n50, caso contrario
Solucao:
H(ej) =5
k=0
ejk = 1 e6j
1 ej =
e3j(e3j e3j)
ej/2(ej/2 ej/2)
=ej5/2 sin(3)
sin(/2)
DTFT - Exemplo
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Transformada z
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TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Encontrar a transforma de Fourier para o sinal:
x[n] =
1, 0 n50, caso contrario
Solucao:
H(ej) =5
k=0
ejk = 1 e6j
1 ej =
e3j(e3j e3j)
ej/2(ej/2 ej/2)
=ej5/2 sin(3)
sin(/2)
DTFT - Exemplo
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
As respostas em frequencia de modulo e fase sao dadas por:
Lembrando que, para o numero complexo z=a+jbpodemos
definir a representacao polar z=rej
, sendo:r=
a2 +b2 o modulo e = arctan(b/a) a fase.
Usando a formula de Euler podemos chegar tambem a:
a= rcos() e b=rsin() .
Consideracoes sobre a DTFT
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Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Para que a transformada de Fourier de uma sequencia exista,sua transformada zdeve convergir para |z|= 1
A transformada zconverge na circunferencia unitaria quando:
n= |x[n]|< .
O degrau unitario (x[n] =u[n]) e um exemplo de sinal discretoque nao possui DTFT, pois a expressao acima nao e valida.
A condicao acima, porem, nao e necessaria e suficiente paragarantir a existencia da DTFT, ocorrem casos especiais nosquais a DTFT existe, mas a condicao nao e satisfeita.
Outro aspecto interessante e que a transformada z mapeiasempre para um domnio contnuo, entao, sequencias em quetransformada de Fourier e uma funcao descontnua de naopossuem transformada z.
Propriedades da DTFT
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Introducao
Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
A seguir serao listadas as principais propriedades da DTFT, quesao analogas as da transformada z.
=> Linearidade:x[n] =a1x1[n] +a2x2[n] X(e
j) =a1X1(ej) +a2X2(e
j)
=> Reversao no Tempo:x[n]X(ej)
=> Deslocamento no Tempo:x[n+l]ejlX(ej)
onde l e inteiro.
=> Multiplicacao por uma Exponencial Complexa:ej0nx[n]X(ej(0))
Propriedades da DTFT
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TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
=> Diferenciacao Complexa:
nx[n]jdX(ej)
=> Teorema da Convolucao:x1[n] x2[n]X1(e
j)X2(ej)
x1
[n]x2
[n]X1
(ej) X2
(ej)
A convolucao no domnio do tempo e igual ao produto nodomnio da frequencia e vice-versa.
=> Teorema de Parseval:
n=
|x[n]|2 = 12
|X(ej)|2d
A energia do sinal no domnio do tempo e igual a energia dosinal no domnio da frequencia dividida por 2.
DTFT para Sinais Periodicos
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Considerando que um sinal periodico x[n] =x[n+kN] deperodo N e composto por versoes deslocadas do sinal xf[n],que corresponde a um perodo de x[n], tal que:
xf[n] = 0 para n
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TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Apos algum algebrismo chega-se a:
X(ej) =2
N
k=
X(k)
2
Nk
,
sendo X(k) =
N1n=0 x[n]e
j(2/N)k
.
Percebe-se que, para sinais periodicos, a DTFT se transformanuma soma discreta de senoides com frequencias multiplas de2/N(chamada por alguns autores de Serie de Fourier).
A transformada inversa e descrita por:
x[n] = 1
2
X(ej)ejnd=. . .= 1
N
N1k=0
X(k)ej(2/N)kn
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
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TransformadaDiscreta deFourier
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Transformadas Discretas
Transformadas Discretas
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Transformada z
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TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
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As transformadas estudadas ate aqui convertem um sinal notempo discreto para um domnio contnuo, e por isso nao saoadequadas para processamento em sistemas digitais.
Nesta secao serao apresentadas algumas transformadas querealizam mapeamentos para domnios discretos, por exemplo:
- A Transformada Discreta de Fourier (DFT - Discrete FourierTransform);
- Transformada Discreta de Cossenos (DCT - Discrete CosineTransform);
- Transformada Wavelet Discreta (DWT - Discrete WaveletTransform);
- Transformada de Karhunen-Loeve (KLT - Karhunen-LoeveTransform).
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Transformada z
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TransformadaDiscreta deFourier
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Transformada Discreta de Fourier
Transformada Discreta de Fourier
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Conforme visto anteriormente, a DTFT de um sinal x[n]
discreto no tempo e periodico produz uma representacao X(ej
)que e discreta no domnio da frequencia.
Neste caso, para a obtencao da DTFT consideramos apenas umperodo de x[n], denominado xf[n].
E possvel extrapolar essa abordagem para sinais xf[n] decomprimento finito L, porem nao periodicos, escolhendo umsinalx[n] de comprimento NL tal que:.
x[n] = xf[n], 0 n L 10, L nN 1
Ou seja, x[n] tem toda a informacao de xf[n] e N L amostrasadicionais com valor zero.
Quando N=L temos x[n] =xf[n]
Transformada Discreta de Fourier
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Introducao
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TransformadasContnuas
Transformada z
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TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
A transformada discreta de Fourier (DFT - Discrete FourierTransform) converte uma sequencia x[n] no tempo discreto parao domnio da frequencia discreta k:
X(ej2
N k
) =X[k] =
N1n=0
x[n]Wkn
N , 0 kN 1
A transformada inversa pode ser obtida a partir de:
x[n] = 1
N
N1
k=0
X[k]WknN
, 0 n N 1
sendo WN=ej2/N.
Transformada Discreta de Fourier
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Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Observa-se da definicao da DFT que:
- Ela fornece uma representacao discreta na frequencia para umsinal de comprimento finito L.
- Essa representacao so e util se o numero Nde amostras e maior
que L.
- A quantidade de amostras da transformada de Fourier e igual aN (numero de amostras do sinal no domnio do tempo).
Nas figuras do proximo slide observa-se o efeito do
completamento com zeros (zero-padding). Em (a) temos aDTFT, em (b) a DFT para N= 8 e em (c) a DFT para N= 32.
Percebe-se que quanto maior N, melhor a resolucao darepresentacao no domnio da frequencia.
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PDS A l 02
Representacao da DFT na Forma Matricial
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
As equacoes que definem a DFT e a IDFT podem ser
modificadas para a forma matricial, fazendo inicialmente:
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Representacao da DFT na Forma Matricial
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Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
TransformadaDiscreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
E finalmente chega-se a:
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Representacao da DFT na Forma Matricial
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Transformada
Discreta deFourier
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Exemplosusando o Matlab
E interessante notar que a matriz WN tem propriedadesespeciais como:
- e simetrica (WTN =WN);
- W1N =
1
NW
N.
Considerando o custo computacional do calculo da DFT,pode-se verificar que, para uma DFT de comprimento N saonecessarias:
- N2 multiplicacoes complexas;
- N(N 1) adicoes.
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Propriedades da DFT
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TransformadasDiscretas
Transformada
Discreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
A seguir serao listadas as principais propriedades da DTFT, quesao analogas as da transformada z.
=> Linearidade:x[n] =a1x1[n] +a2x2[n] X(k) =a1X1(k) +a2X2(k)
=> Reversao no Tempo:x[n]X(k)
=> Deslocamento Circular no Tempo:x[n+l]WlkN X(k)
onde l e inteiro. Diferente da DTFT, a DFT somente e definidano intervalo 0 n N 1, entao o deslocamento definido pelapropriedade e do tipo circular, conforme indicado na figura aseguir:
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Propriedades da DFT
Onde temos (a) x [n] e (b) x [n 3]
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TransformadasDiscretas
Transformada
Discreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
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Onde temos (a) x[n] e (b) x[n 3].
=> Deslocamento na Frequencia:WlnNx[n]X(k+l)
=> Convolucao Circular no Tempo:
se x[n] e h[n] sao periodicas com perodo N, entao:N1l=0
x[l]h[n l]X(k)H(k)
onde X(k) e H(k) sao as DFTs dos sinais de comprimento Ncorrespondentes a um perodo de x[n e h[n], respectivamente.
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Propriedades da DFT
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=> Teorema de Parseval:N1n=0
|x[n]|2 = 1
N
N1n=0
|X(k)|2
A energia do sinal no domnio do tempo e igual a energia do
sinal no domnio da frequencia dividida por N.
=> Relacao entre a DFT e a Transformada z:A DFT pode ser definida como uma versao amostrada nafrequencia da DTFT de um sinal no tempo discreto.
Como a DTFT pode ser obtida da transformada z fazendoz=ej, entao a DFT pode ser obtida da amostragem datransformada z em = 2
Nk
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Estimacao Computacional da DFT
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Conforme mostrado anteriormente o calculo da DFT pela
definicao requer N2 multiplicacoes complexas (ou seja, crescecom o quadrado do comprimento do sinal).
Isso limita sua aplicacao pratica a sinais de pequenocomprimento.
Visando contornar essa limitacao, foram desenvolvidosalgoritmos rapidos para a estimacao da DFT, conhecidosgenericamente como FFT (Fast Fourier Transform).
Existem tambem tecnicas alternativas para determinacao da
DFT como:
- WFT (Winograd Fourier Transform);
- NTT (Number Theoretic Transform).
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Outras Transformadas Discretas
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Considerando a definicao matricial da DFT, pode-se generalizar
para uma transformada discreta qualquer considerando:
X= ANx
x= ATN X
sendo AN uma matriz N Ntal que:
A1N =ATN
A definicao acima pode ser aplicada para uma grande variedade
de transformadas discretas.
Percebe-se que a transformacao e simplesmente uma mudancade base (ou rotacao) em CN, associada a uma multiplicacao porum fator escalar .
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Outras Transformadas Discretas
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E possvel mostrar tambem que, os vetores que compoem amatriz ANformam uma base em C
N, ou seja, sao ortogonais1.
A relacao de Parseval pode ser estendida para umatransformada discreta generica utilizando:
X2 = 1
x2
sendo: v2 =v, v= vTv a norma do vetor v.
Quando = 1, a transformada e dita unitaria, e isso significa
que a energia no domnio transformado e igual a do domniooriginal.
1Dois vetores v1 e v2 sao ortogonais quandov1, v2= 0, o que implical f d t l s /2
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A transformada discreta de cossenos (DCT - Discrete CosineTransform)de comprimento Nde um sinal x[n] pode ser definidaa partir de:
C(k) =(k)
N1
n=0
x[n]cos (n+ 1/2)kN
, para 0 kN 1sendo:
(k) =
1N
, para k= 0
2N, para 1 kN 1E interessante observar que a DCT e uma transformada real,pois mapeia um sinal real em coeficientes reais.
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Transformada Discreta de Cossenos
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A DCT inversa pode ser descrita como:
x[n] =
N1k=0
(k)C(k)cos
(n+ 1/2)k
N
, para 0 nN 1
Definindo:
{CN}kn =(k)cos
(n+ 1/2)k
N
entao, a forma matricial da DCT pode ser representada por:
c= CNx
x= CTNX
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Transformada Discreta de Cossenos
A DCT apresenta diversas propriedades, entre elas a relacao de
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p p p , Parseval:
N1k=0
C2(k) =N1n=0
x2[n]
Conforme ilustrado na figura a seguir, quando a DCT e aplicadaa sinais como audio e vdeo (a), a energia do sinal transformado(b) fica concentrada nos primeiros coeficientes:
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DCT - Aplicacoes
Um sistema de compressao de imagem/vdeo generico pode ser
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Transformada z
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TransformadasDiscretas
Transformada
Discreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
Um sistema de compressao de imagem/vdeo generico pode ser
representado por:
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DCT - Aplicacoes
Efeito da aplicacao da DCT eliminando os coeficientes de menor
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Transformada
Discreta deFourier
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energia. Imagem original (esquerda) imagem no domnio da
DCT (direita).
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Reconstrucao apos Compactacao via DCT
(a) 100%, (b) 75%, (c) 50% e (d) 25% de retencao dos coeficientes DCT
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Introducao
Operacoes emSinais noTempoDiscreto
TransformadasContnuas
Transformada z
Transformada deFourier deTempo Discreto
TransformadasDiscretas
Transformada
Discreta deFourier
OutrasTransformadasDiscretas
Exemplosusando o Matlab
apos a DCT.
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Reconstrucao apos Compactacao via DCT
(a) 100%, (b) 75%, (c) 50% e (d) 25% de retencao dos coeficientes DCT
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Implementacao Computacional da DCT
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Exemplosusando o Matlab
A DCT e amplamente utilizada em sistemas modernos de compressaode vdeo.
Para sua determinacao em ambiente computacional pode-se:
- utilizar a relacao da DCT com a DFT (a partir da formula de Euler)e em seguida um algoritmo eficiente para a DFT (Ex. FFT).
- Utilizar implementacoes rapidas e otimizadas para o calculo da DCT.
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Transformada Discreta de Wavelet
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Transformada Wavelet
A transformada wavelet(que em portugues seria chamada depequena onda ou ondaleta) diferente das transformadas de
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Transformada
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pequena onda ou ondaleta ), diferente das transformadas de
Fourier e Cossenos (que sao baseadas em funcoes de duracaoinfinita), realiza a aproximacao de sinais atraves do somatorio deversoes delocadas, comprimidas e expandidas de funcoes de curtaduracao (t), conhecidas como wavelet mae:
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Transformada Wavelet
A transformada waveletcontnua de um sinal x(t) pode ser definidacomo:
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como:
Wx(s, u) =
x(t) 1s
tu
s
Considerando-se a funcao waveletchapeu mexicano:
(t) = (1 t2)et2/2, pode-se observar o efeito da aplicacao dofator de escala sna figura a seguir:
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Uma das principais caratersticas da transformada wavelet e apossibilidade de explorar simultaneamente os domnios dotempo (atraves do deslocamento u) e da frequencia (atraves dofator de escala s).
A transformada wavelettem um historico relativamente recente.Sua popularizacao ocorreu a partir da decada de 1980.
Entre as aplicacoes mais difundudas pode-se destacar:codificacao de sinais, processamento de imagens e
processamento de audio.
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Transformada Discreta de Wavelet
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A versao digital da transformada wavelet(conhecida comoDWT - Discrete Wavelet Transform) pode ser implementada
atraves de um banco de filtros hierarquicos.
A DWT sera abordada em detalhes posteriormente (apos oestudo dos filtros digitais).
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Transformada de Karhunen-Loeve
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A transformada de Karhunen Loeve (KL) e uma das tecnicas
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A transformada de Karhunen-Loeve (KL) e uma das tecnicasmais utilizadas para a reducao de dimensao (compactacao) desinais multidimensionais (adquiridos por conjuntos de sensores).
Um sinal multidimensional x[n] pode ser representadomatricialmente pelo agrupamento dos diversos sinais xi[n]
(i= 1, . . . , N) que representam o processo fsico em questao:
x[n] =
x1[n]x2[n]
...
xN[n]
A transformada KL tambem e conhecida como Analise deComponentes Principais (PCA - Principal Component Analysis).
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Transformada de Karhunen-Loeve
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A transformada KL (ou a PCA) utiliza informacoes estatsticasdos sinais xi[n] (i= 1, . . . , N) para transforma-los num conjuntode sinais yi[n] (i= 1, . . . , N) que sao mutuamentenao-correlacionados.
Ou seja, a correlacao entre quaisquer par yi[n], yj[n] e nula,exceto quando i=j.
A transformacao e realizada a partir da projecao numa novabase de vetores em RN composta pelas colunas aide umamatriz A, de modo que:
y[n] =ATx[n]
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Considerando-se um sinal multidimensionalx[n] = [x1[n],..., xN[n]]
T com Ncomponentes, assume-se queele tenha media zero:
E{x}= 0,
onde E{.} e o operador esperanca.
Se x tem media nao nula, faz-se: x x E{x}.
A projecao yi[n] de x[n] na direcao de aipode ser expressa por:
yi=aTi x=
Nk=1
akixk
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Na transformacao por PCA, os componentes yi[n] (i= 1,..., N)devem ser ortogonais e ordenados (de modo decrescente) pelavariancia das projecoes.
Para tornar a variancia independente da norma de ai, faz-se:
ai ai
ai
Fazendo-se com que ||ai||= 1, torna-se a variancia funcaoapenas da direcao das projecoes.
Como E{x}= 0, entao E{yi}= 0, logo a variancia da projecaoyi e calculada por: E{y
2i}.
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Seguindo a definicao da PCA, y1 tem maxima variancia; logo,a1 pode ser encontrado pela maximizacao de:
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a1 pode ser encontrado pela maximizacao de:
JPCA1 (a1) =E {y2i}= E {(a
T1x)
2}= aT1E {xxT}a1 =a
T1Cxa1,
onde Cx=xxT e a matriz de covariancia de x.
A solucao para o problema pode ser encontrada na algebralinear, a partir da decomposicao em autovalores (1, 2,...,N)e autovetores (e1, e2,..., eN) da matriz Cx.
A ordem dos autovetores e tal que os autovalores associados
satisfazem 1 > 2 > ... > N.
Desta forma, tem-se:
ai=ei, 1 iN
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Percebe-se que a PCA de x e a decomposicao por autovaloresda matriz Cx (de dimensao N N) sao equivalentes.
Limitacoes computacionais na extracao dos componentes
principais utilizando anteriores aparecem quando a dimensao Ndo vetor x aumenta, pois o processo de obtencao dosautovetores se torna proibitivamente lento.
Nesse caso, uma solucao e utilizar metodos iterativos deextracao dos componentes principais, utilizando, por exemplo,
redes neurais artificiais.
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Aplicacoes da Transformada KL
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A figura abaixo mostra um exemplo da aplicacao da PCA paraum sinal bidimensional (N=2):
Observa-se que, visualmente, as projecoes parecem ser naocorrelacionadas e a primeira concentra a maior parte davariancia (96% da energia) do sinal original.
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Aplicacoes da Transformada KL
Uma das principais aplicacoes da Transformada KL e a
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compactacao da informacao.
Conforme ilustrado na curva de carga do exemplo abaixo, asprimeiras componentes acumulam quase toda a energia do sinal:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Componentes
EnergiaAcumulada(%)
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Aplicacoes da Transformada KL
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Deste modo, pode-se compactar a informacao descartando oscomponentes de menor energia:
x x
y
Nx1
Kx1
Nx1
PCA PCA-1
A transformada KL possibilita a compactacao de modo otimo,no sentido da minimizacao do erro medio quadratico nareconstrucao do sinal apos a compressao da informacao.
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Transformada KL - Compressao de imagens
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PCA DCT
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Vimos que a Transformada KL (ou PCA) e a transformacaootima para compactacao da informacao no sentido daminimizacao do erro quadratico medio do
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