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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C
PRO-1027
Dérivation numérique
Introduction Dérivation numérique
– Différences finies
– Polynômes d’interpolation et d’approximation Travail pratique 5
Introduction
Dans plusieurs problèmes nous avons besoin de calculer la dérivée d’une fonction
Deux approches existent pour résoudre ce problème Une première, qui estime les valeurs de la dérivée
lorsqu’une fonction est connue mais dont sa dérivée ne peut pas être déduite analytiquement
L’estimation de la dérivée peut se faire par une approche aux différences finies de la forme:
x
xfxxf
dx
xdf
)()()(
Introduction
Une seconde approche est de calculée la dérivée des polynômes d’interpolation ou d’approximation dont nous pouvont déduire la forme analytique
Dérivation numérique (différences finies)
Les méthodes aux différences finies découlent de la série de Taylor:
!3
)()(
!2
)()()()()(
3
3
32
2
2 x
dx
xdfx
dx
xdfx
dx
xdfxfxxf
Si nous éliminons les termes d’ordre supérieur ou égal à 2 nous obtenons
xdx
xdfxfxxf
)()()(
En isolant le terme dérivé nous obtenons
x
xfxxf
dx
xdf
)()()( • Différence avant d’ordre 1
Dérivation numérique (différences finies)
L’approximation d’ordre 2 de la dérivée première de f(x) est obtenue en incluant un second terme à la série de Taylor:
!2
)()()()(2
2 x
dx
xdf
x
xfxxf
dx
xdf
Nous devons estimer d’abord la dérivée seconde en utilisant une méthode aux différences finies de la forme:
x
xfxxf
dx
xdf
)(')(')(
2
2
Dérivation numérique (différences finies)
Si nous substituons le résultat de l’estimation de la dérivée première par différence finie d’ordre 1 nous obtenons
Nous pouvons alors déduire une approximation d’ordre 2 de la dérivée première
22
2
)(
)()(2)2()(
x
xfxxfxxf
dx
xdf
• Approximation de premier ordre de la dérivée seconde
x
xfxxfxxf
dx
xdf
x
dx
xdf
x
xfxxf
dx
xdf
2
)(3)(4)2()(!2
)()()()(2
2
Dérivation numérique (différences finies)
La dérivée seconde d’ordre 2 est alors déduite par
En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première
22
2
)(
)(2)(5)2(4)3()(
x
xfxxfxxfxxf
dx
xdf
x
xxfxxfxf
dx
xdfx
xxfxf
dx
xdf
2
)2()(4)(3)(
)()()(
Dérivation numérique (différences finies)
En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde
22
2
22
2
)(
)3()2(4)(5)(2)(
)(
)2()(2)()(
x
xxfxxfxxfxf
dx
xdf
x
xxfxxfxf
dx
xdf
Dérivation numérique (différences finies)
En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première
x
xxfxxfxxfxxf
dx
xdfx
xxfxxf
dx
xdf
12
)2()(8)(8)2()(2
)()()(
Dérivation numérique (différences finies)
En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde
22
2
22
2
)(12
)2()(16)(30)(16)2()(
)(
)()(2)()(
x
xxfxxfxfxxfxxf
dx
xdf
x
xxfxfxxf
dx
xdf
Dérivation numérique (différences finies)
Illustration des méthodes aux différences (dérivée première)
Dérivation numérique (différences finies)
Illustration des méthodes aux différences (dérivée seconde)
Dérivation numérique (Polynômes)
Les splines cubiques prennent la forme
)(6
)(6
)(6
)(6
)( 111313
1 xxhz
h
yxx
hz
h
yxx
h
zxx
h
zxS i
ii
i
ii
ii
i
ii
i
ii
i
ii
Leurs dérivées premières donnent:
66)(
2)(
2)(' 11212
1ii
i
iii
i
ii
i
ii
i
ii
hz
h
yhz
h
yxx
h
zxx
h
zxS
Leurs dérivées secondes donnent:
)()()('' 11 i
i
ii
i
ii xx
h
zxx
h
zxS
Dérivation numérique (Polynômes)
Polynômes d’approximation (degré 1)
ay
baxy
' Polynômes d’approximation (degré 2)
ay
baxy
cbxaxy
2''
2'
2
Dérivation numérique (Polynômes)
Polynômes d’approximation (degré 3)
ay
baxy
cbxaxy
dcxbxaxy
6'''
26''
23' 2
23
Dérivation numérique (Polynômes)
Polynômes d’approximation (degré 4)
ay
baxy
cbxaxy
dcxbxaxy
edxcxbxaxy
24''''
624'''
2612''
234'2
23
234
Travail pratique 5
Dérivation de polynômes d’approximation (Cas APPLE VS MICROSOFT)
Travail pratique 5
Résultats attendus (approximation optimale)
Travail pratique 5
Résultats attendus (dérivée première)
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