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“MODELADO MATEMÁTICO-COMPUTACIONAL Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE PROCESOS TECTÓNICOS Y SEDIMENTARIOS
EN DOS DIMENSIONES”
Autora: Br. Ana Lucía Molina Quintero
Asesor Industrial: Dr. Asdrúbal Bernal
Tutor Académico: Dr. Herbert Hoeger
Cotutor Académico: Dr. Pablo Guillén
Proyecto de Grado presentado ante la Ilustre Universidad de Los Andes como
requisito final para optar al título de Ingeniero de Sistemas
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS
Septiembre, 2005
ii
AGRADECIMIENTOS
A PDVSA-Intevep, por facilitarme los recursos y herramientas necesarias para
desarrrollar este proyecto de grado.
A la Escuela de Ingeniería de Sistemas de la Universidad de Los Andes, mi casa de
formación académica profesional, por todo el conocimiento impartido.
A Asdrúbal Bernal, tutor industrial en PDVSA-Intevep, quien propuso y guió el
desarrollo del proyecto.
Al Profesor Herbert Hoeger, tutor académico, y a Pablo Guillén, cotutor académico,
por su apoyo y ayuda cuando así lo requerí.
A Carmen De Andrade, supervisora industrial, por todas las atenciones prestadas,
gracias a su excelente actitud de servicio.
A mis familiares, amigos y compañeros por brindarme su apoyo y colaboración.
iii
RESUMEN
La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo derivada por
Waltham (1992) consiste en una ecuación diferencial parcial capaz de modelar
matemáticamente la evolución en el tiempo de estructuras geológicas en dos
dimensiones, sometidas a procesos tectónicos y sedimentarios simultáneamente.
Este trabajo se enfoca específicamente en resolver la ecuación general de
modelado tectónico-sedimentario directo mediante diferentes métodos numéricos de
diferencias finitas, tanto explícitos como implícitos, al ser aplicada a una estructura
geológica comúnmente encontrada en la naturaleza denominada pliegue asociado a
falla no plana, cuyo estudio es de interés para la industria petrolera. La ecuación es
discretizada para el caso en que actúan únicamente procesos tectónicos, por los
métodos explícitos de diferencias finitas: Lax, Contraviento, Leapfrog, Lax-Wendroff
y MacCormack y por los métodos implícitos: BTCS y Crank-Nicolson. Y para el caso
en el que actúan procesos tectónicos y sedimentarios acoplados, por los métodos
explícitos de diferencias finitas: Lax, Contraviento de primer y tercer orden, Dufort-
Frankel y MacCormack y por los métodos implícitos: BTCS y Crank-Nicolson.
Todos los algoritmos de los métodos fueron deducidos y luego programados en
lenguaje C++ con el propósito de compararlos y seleccionar el o los métodos más
exactos y eficientes, mediante un análisis de sensibilidad numérica, para finalmente
concluir que el mejor método de diferencias finitas para resolver el modelo tectónico,
al ser comparado con la solución exacta (que fue obtenida geométricamente), es el
método explícito Lax-Wendroff, el cual aporta la mejor relación exactitud/eficiencia
cuando se requieren errores muy bajos (menores al 1%). No obstante, el método
implícito Crank-Nicolson es el más adecuado cuando primordialmente se quiere
iv
minimizar el tiempo de ejecución, acarreando un aumento en los errores relativos
porcentuales verdaderos (con magnitudes mayores al 2%). Este trabajo aporta la
programación de los métodos de diferencias finitas para resolver el modelo tectónico-
sedimentario (ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo), mas no
los compara, debido a la complejidad en el cálculo de la solución exacta, la cual debe
ser calculada analíticamente.
Palabras claves: -Modelado matemático en dos dimensiones. -Procesos tectónicos y sedimentarios
acoplados. -Pliegue asociado a falla no plana. -Diferencias finitas. -Análisis de sensibilidad numérica.
v
TABLA DE CONTENIDO
AGRADECIMIENTOS ................................................................................................. ii
RESUMEN....................................................................................................................... iii
ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................x
ÍNDICE DE TABLAS..................................................................................................xii
ÍNDICE DE CUADROS............................................................................................xiii
INTRODUCCIÓN........................................................................................................14
1. Antecedentes............................................................................................................16
2. Definición del Problema .......................................................................................18
3. Objetivos ..................................................................................................................19
3.1. Objetivo General ..............................................................................................19
3.2. Objetivos Específicos.......................................................................................19
4. Metodología .............................................................................................................20
Capítulo 1: EL MODELO TECTÓNICO-SEDIMENTARIO............................21
1.1. La Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario Directo ........21
1.2. Términos de la Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario
Directo ..........................................................................................................................24
1.2.1. Tasa de Sedimentación de Materia p ..........................................................25
1.2.2. Flujo Sedimentario F.....................................................................................25
1.2.3. La Velocidad Vertical yv ..............................................................................26
1.2.4. La Velocidad Horizontal xv ..........................................................................26
1.2.5. Condición de Contacto para los Términos de la Velocidad ...................27
1.3. Aplicaciones de la Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario
Directo ..........................................................................................................................29
Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Y MÉTODOS
DE DIFERENCIAS FINITAS PARA SU SOLUCIÓN .......................................30
vi
2.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) .....................................................30
2.2. La Serie de Taylor ................................................................................................33
2.3. Diferencias Finitas ...............................................................................................35
2.3.1. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Hacia
Adelante .....................................................................................................................37
2.3.2. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Hacia
Atrás ...........................................................................................................................38
2.3.3. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Central ..39
2.3.4. Aproximación de la Segunda Derivada con Diferencia Finita Central .40
2.4. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver Ecuaciones Diferenciales
Parciales.........................................................................................................................41
2.4.1. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo Tectónico....43
2.4.1.1. Métodos Explícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico................................................................................................................45
Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico ...............................45
Método 2: Método Contraviento aplicado al Modelo Tectónico ..............47
Método 3: Método Leapfrog aplicado al Modelo Tectónico......................49
Método 4: Método Lax-Wendroff aplicado al Modelo Tectónico ............50
Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack aplicado al Modelo
Tectónico ............................................................................................................50
2.4.1.2. Métodos Implícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico................................................................................................................52
Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico ...........................52
Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico .........55
2.4.2. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver la Ecuación General de
Modelado Tectónico-Sedimentario Directo ........................................................57
vii
2.4.2.1. Métodos Explícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico-Sedimentario.......................................................................................58
Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario.......58
Método 2: Método Contraviento de Primer Orden aplicado al Modelo
Tectónico-Sedimentario....................................................................................59
Método 3: Método Contraviento de Tercer Orden aplicado al Modelo
Tectónico-Sedimentario....................................................................................60
Método 4: Método Dufort-Frankel aplicado al Modelo Tectónico-
Sedimentario .......................................................................................................63
Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack aplicado al Modelo
Tectónico-Sedimentario....................................................................................64
2.4.2.2. Métodos Implícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico-Sedimentario.......................................................................................65
Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario ..65
Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico-
Sedimentario .......................................................................................................66
2.4.3. Convergencia de los Métodos de Diferencias Finitas ..............................67
2.4.3.1. Condiciones de Estabilidad para los métodos de diferencias finitas
aplicados al Modelo Tectónico ...........................................................................68
2.4.3.2. Condiciones de Estabilidad para los métodos de Diferencias Finitas
aplicados al Modelo Tectónico-Sedimentario ..................................................69
Capítulo 3: PROGRAMACIÓNDE LOS MÉTODOS DE DIFERENCIAS
FINITAS..........................................................................................................................71
3.1. Enfoque de Programación..................................................................................71
3.2. Definición de una Clase de Objeto ...................................................................73
3.2.1. Atributos de la clase línea .............................................................................73
3.2.2. Métodos de la clase línea ..............................................................................74
viii
3.3. Codificación de la clase línea..............................................................................78
Capítulo 4: RESOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO ..........................89
4.1. Determinación de la Solución Exacta del Modelo Tectónico.......................89
4.1.1. Definición y Modelado Geométrico de un Pliegue Asociado a Falla No
Plana ...........................................................................................................................89
4.1.1.1. Cálculo geométrico de la línea de falla .................................................93
4.1.1.2. Cálculo geométrico de las líneas axiales...............................................94
4.1.1.3. Cálculo geométrico de la línea de pliegue para un tiempo Tf ...........97
4.1.2. Gráficos de Soluciones Exactas del Modelo Tectónico (Calculadas
Geométricamente)....................................................................................................99
4.2. Determinación de la Solución Aproximada del Modelo Tectónico...........100
4.3. Determinación de la Solución Aproximada del Modelo Tectónico-
Sedimentario...............................................................................................................102
Capítulo 5: COMPARACIÓN DE RESULTADOS Y ANÁLISIS DE
SENSIBILIDAD..........................................................................................................105
5.1. Error Numérico y Tiempo de Ejecución .......................................................105
5.1.1. Definición de Error Numérico..................................................................105
5.1.2. Errores de Discretización...........................................................................106
5.1.3. Errores de Iteración ....................................................................................107
5.1.4. Definición de Tiempo de Ejecución.........................................................107
5.2. Especificación de los Límites Aceptables para el Error Relativo Porcentual
Verdadero ...................................................................................................................107
5.3. Cálculo y Comparación de los Errores Relativos Porcentuales Verdaderos
y Tiempo de Ejecución.............................................................................................108
5.4. Análisis de Sensibilidad .....................................................................................118
5.5. Comparación de Soluciones Aproximadas por Diferencias Finitas con
Imágenes Sísmicas .....................................................................................................128
ix
5.5.1. Modelado de la Geometría del Campo Petrolífero Rosario (Cuenca
Occidental de Venezuela)......................................................................................128
5.5.2. Modelado de la Geometría del Corrimiento de Pirital (Cuenca Oriental
de Venezuela) ..........................................................................................................131
CONCLUSIÓN............................................................................................................133
RECOMENDACIONES ...........................................................................................134
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................135
APÉNDICES................................................................................................................138
x
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Ilustración esquemática de la diferencia entre la descripción lagrangiana y la
euleriana..............................................................................................................................23
Figura 1.2 Especificación de la dirección y sentido en que actúan los procesos representados
por cada término de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo .................24
Figura 1.3 Advección de una superficie geológica ................................................................27
Figura 1.4 Representación de los vectores de velocidad para las tres regiones que definen un
pliegue asociado a falla no plana ..........................................................................................27
Figura 2.1 Definición de la derivada y sus aproximaciones ................................................36
Figura 2.2 Representación matricial del sistema de ecuaciones resultante para el método
implícito BTCS ...................................................................................................................54
Figura 4.1 Geometría inicial de estratos planos para el modelo de un pliegue asociado a falla
no plana ..............................................................................................................................90
Figura 4.2 Geometría final para el modelo de un pliegue asociado a falla no plana ............91
Figura 4.3 Línea de falla y función que la define...............................................................93
Figura 4.4 Líneas axiales y función que las define ............................................................96
Figura 4.5 Línea de pliegue para un tiempo Tf .................................................................98
Figura 4.6 Solución exacta del modelo tectónico aplicado a un pliegue asociado a falla no
plana, variando el ángulo de falla θ....................................................................................100
Figura 4.7 Gráficos de soluciones obtenidas por los métodos de diferencias finitas programados
para resolver el modelo tectónico.........................................................................................102
Figura 4.8 Gráficos de soluciones obtenidas por los métodos de diferencias finitas programados
para resolver el modelo tectónico-sedimentario ......................................................................104
Figura 5.1 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos y especificación del tiempo de
ejecución de cada método de diferencias finitas programado con θ =10° ........................110
xi
Figura 5.2 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos y especificación del tiempo de
ejecución de cada método de diferencias finitas programado, con θ =15° .......................112
Figura 5.3 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos y especificación del tiempo de
ejecución de cada método de diferencias finitas programado, con θ =29°..............................115
Figura 5.4 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos y especificación del tiempo de
ejecución, utilizando un número de puntos mayor (n_puntos=4500 pts).......................121
Figura 5.5 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos y especificación del tiempo de
ejecución, utilizando un número de puntos menor (n_puntos=150pts) ..........................123
Figura 5.6 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos del método implícito
BTCS al variar Co ...........................................................................................................125
Figura 5.7 Gráficos de errores relativos porcentuales verdaderos del método implícito Crank-
Nicolson al variar Co ........................................................................................................126
Figura 5.8 Ubicación de la Cuenca Occidental de Maracaibo. Tope de la Estructura
Rosario. Línea sísmica Cat-85-1.......................................................................................129
Figura 5.9 Superposición de gráficos obtenidos a través del método Lax-Wendroff sobre una
sección sísmica...................................................................................................................130
Figura 5.10 Ubicación de la Subcuenca de Maturín. Superposición de gráficos obtenidos a
través del método Crank-Nicolson sobre una sección sísmica ...............................................132
xii
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1 Clasificación de las EDPs de primer orden ........................................................31
Tabla 2.2 Clasificación de las EDPs de segundo orden ......................................................32
Tabla 2.3 Condiciones de estabilidad de los métodos de diferencia finitas para resolver la
ecuación de transporte...........................................................................................................70
Tabla 4.1 Valores de R, x
f1
∂
∂ y xf∂
∂ 2 para los ángulos θ =10°, 15° y 29°.....................95
Tabla 5.1 Tiempos de ejecución y máximos errores relativos porcentuales al aumentar Co en
los métodos implícitos: BTCS y Crank-Nicolson................................................................127
xiii
ÍNDICE DE CUADROS
Cuadro 3.1 Código de especificación de la clase línea, en lenguaje C++ ............................81
Cuadro 3.2 Código implantación del método explícito Lax en lenguaje C++...................82
Cuadro 3.3 Código de implantación del método implícito BTCS en lenguaje C++..........85
Cuadro 3.4 Código de implantación de la función amiga Vx en lenguaje C++ ..............86
Cuadro 3.5 Código de implantación de la función tridag en lenguaje C++ .......................88
Cuadro 4.1 Conjunto de valores de los parámetros necesarios para calcular la solución del
modelo tectónico....................................................................................................................99
14
INTRODUCCIÓN
Un modelo permite representar nuestra percepción de la realidad. Un modelo
matemático-computacional es descrito como el conjunto de ecuaciones
diferenciales parciales y condiciones de frontera que describe procesos
geológicos, y que puede ser tratado computacionalmente para experimentación y
análisis de sensibilidad numérica.
El modelado de procesos tectónicos y sedimentarios en dos dimensiones es
abordado mediante el uso de la “ecuación general de modelado tectónico-
sedimentario directo“, propuesta por Waltham en 1992 y es aplicado a una
estructura geológica conocida como “pliegue asociado a falla no plana”, cuyo
estudio es de importancia en la industria petrolera por encontrarse comúnmente
en la naturaleza y específicamente en zonas de explotación petrolera, como lo
son las cuencas sedimentarias.
La solución de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario
directo es tratada mediante métodos numéricos de diferencias finitas, y permite
obtener información sobre la evolución de la estructura geológica en el tiempo,
pudiendo comparar las soluciones arrojadas por los diferentes métodos de
diferencias finitas para seleccionar el o los mejores métodos en cuanto a exactitud
y eficiencia. El contenido de este trabajo está dividido en cinco capítulos. El
primer capítulo define la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario
directo, explicando cada uno de los términos que la conforman y menciona
algunas de sus aplicaciones en el modelado de estructuras geológicas.
Introducción
15
El segundo capítulo hace una revisión teórica sobre las ecuaciones
diferenciales parciales y los métodos de diferencias finitas empleados para
resolverlas, aplicados directamente a la ecuación general, inicialmente a la parte
tectónica únicamente (modelo tectónico) y posteriormente a la ecuación general
completa (modelo tectónico-sedimentario).
El tercer capítulo muestra la codificación de algunos de los métodos de
diferencias finitas desarrollados en este trabajo, mediante el uso del lenguaje de
programación C++, para aclarar de qué se tratan los modelos matemáticos-
computacionales, a resolver iterativamente.
El cuarto capítulo se refiere a la resolución de la ecuación general de
modelado tectónico-sedimentario directo. El cálculo de la solución analítica
exacta no está contemplado en los objetivos de este estudio. Sin embargo, la
solución exacta del modelo tectónico, pudiendo obtenerse geométricamente, es
determinada en el Capítulo 4, además de las soluciones aproximadas a través de
los métodos de diferencias finitas programados tanto para el modelo tectónico
como para el modelo tectónico-sedimentario.
El quinto capítulo consiste en la comparación de exactitud y eficiencia de
los métodos de diferencias finitas que resuelven el modelo tectónico y la
realización de un análisis de sensibilidad que permite seleccionar los mejores
métodos. En el Capítulo 5 se muestra también la solución aproximada
superpuesta sobre imágenes de secciones sísmicas extraídas de campos
petrolíferos venezolanos (suministradas por PDVSA-Intevep), tanto para el
modelo tectónico como para el modelo completo (tectónico-sedimentario).
Introducción
16
1. Antecedentes
El primer modelo geométrico en dos dimensiones de un pliegue asociado a falla no
plana1 fue formulado por Suppe (1983), quien demostró su aplicabilidad en la
estructura geológica conocida como Pine Mountain, ubicada al sur de los Montes
Apalaches2, y en el cinturón de pliegues y fallas del oeste de Taiwan. Desde su
introducción, este modelo geométrico ha recibido mucha atención: Medwedeff
(1989), Mitra (1990), Mount et al. (1990), Mosar & Suppe (1991), Deramond et
al. (1993), Jordan et al. (1993) y ha sido usado extensamente para predecir la
geometría de corrimientos a profundidad basándose en geometrías de pliegues
observadas. También se ha usado en el modelado directo para predecir
geometrías de bloque colgante sobre corrimientos: Mitra(1990), Mosar & Suppe
(1991), Zoetemeijer & Sassi (1991), Zoetemeijer et al. (1992).
La evolución de la secuencia estratigráfica depositada durante el
desplazamiento a lo largo del plano de falla y el crecimiento del pliegue asociado,
también han sido temas de interés y fueron estudiados por Mount (1990) y Suppe
(1991), entre otros. Cabe destacar que aunque estos estudios han producido
resultados interesantes e informativos, los modelos de sedimentación usados han
sido un poco simplistas, al haber asumido que la sedimentación es independiente
de la deformación. No obstante, es de esperarse que estilos estratigráficos y tasas
sedimentarias sean afectados por el pliegue en crecimiento, dando nacimiento a
geometrías de estratos más complejas que aquellas predichas por estos modelos.
1 Ver definición en la Sección 4.1.1.
2 Cordillera ubicada en el este de los Estados Unidos que se extiende desde Québec hasta el Golfo de México
Introducción
17
Este estudio utiliza la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo
propuesta por Waltham (1992) para modelar la evolución en el tiempo de un
pliegue asociado a falla no plana en dos dimensiones espaciales, debido a que en
dicha ecuación los procesos tectónicos y sedimentarios son combinados dentro
de una sola formulación matemática se asegura que ambos procesos sean
modelados como simultáneos y no como secuenciales (Waltham, 1992; Waltham
& Hardy, 1994), reproduciendo más apropiadamente lo que ocurre en la
naturaleza.
A pesar de que han sido descritas anteriormente otras aproximaciones
matemáticas similares para modelar procesos tectónicos y sedimentarios como las
de: Hanks et al. (1984), Syvitski et al. (1988), Leeder (1991), Kaufman et al.
(1991), Willgoose et al. (1991), éstas han sido aplicadas a problemas geológicos
específicos y no son capaces de modelar un amplio rango de procesos geológicos,
mientras que la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo, ha
sido útil en una amplia variedad de ambientes: plataformas de carbonato
(Bosence et al., 1994), deltas (Hardy & Waltham, 1992; Hardy et al.,1994),
bloques de falla estilo dominó (Waltham et al., 1993; Hardy, 1993), pliegues
asociados a fallas no planas, pliegues asociados a propagación de fallas (Hardy &
Poblet, 1994) y pliegues de despegue basal (Hardy & Poblet, 1994).
La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo, en los
estudios más recientes ha sido resuelta por Hardy en su tesis doctoral titulada
Mathematical Modelling of Sedimentation in Active Tectonic Settings (1994) mediante la
utilización del método explícito de diferencias finitas contraviento (“upwind
method”) y por Bernal & Hardy (2002) en un estudio de la evolución en el
tiempo de un pliegue asociado a falla no plana en tres dimensiones (que además
Introducción
18
describe algunas posibles geometrías de crecimiento de estratos asociados con
tales estructuras) mediante el método explícito hopscotch, propuesto por
Gourlay (1970).
2. Definición del Problema
Los estudios previos que han simulado la evolución en el tiempo de un pliegue
asociado a falla no plana, si bien coinciden en la importancia de utilizar modelado
matemático-computacional por ser ventajoso en el análisis de diferentes
escenarios (o diferentes conjuntos de datos iniciales) de manera rápida, no han
hecho énfasis en cuál debería ser el método numérico más apropiado en cuanto a
exactitud y eficiencia. El presente estudio realiza una comparación entre varios
métodos numéricos de diferencias finitas (tanto explícitos como implícitos) para
la solución de ecuaciones diferenciales parciales, con el fin de determinar cuál o
cuáles son los métodos que describen de manera más eficiente y exacta la
evolución en el tiempo de un pliegue asociado a falla no plana, modelado en dos
dimensiones a través de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario
directo.
Los resultados obtenidos a lo largo de esta investigación serán de utilidad
para el proyecto titulado “Modelado Cinemático-Geoquímico en Tres
Dimensiones en Cuencas Petrolíferas Venezolanas”, que está siendo desarrollado
actualmente por PDVSA-Intevep3.
3 Instituto Tecnológico Venezolano del Petróleo, descrito como el brazo tecnológico de Petróleos de Venezuela, ubicado en Los Teques, Estado Miranda.
Introducción
19
3. Objetivos
3.1. Objetivo General
Determinar el o los métodos numéricos de diferencias finitas: explícitos y/o
implícitos que provean la solución con mayor exactitud (minimización de errores
de discretización e iteración) y eficiencia de la ecuación general de modelado
tectónico-sedimentario directo en dos dimensiones, la cual modela la evolución
en el tiempo de un pliegue asociado a falla no plana.
3.2. Objetivos Específicos
• Crear una clase en lenguaje C++ que describa las características de las
diferentes superficies que conforman la estructura de un pliegue asociado a
falla no plana en dos dimensiones.
• Codificar los métodos explícitos e implícitos de diferencias finitas en
lenguaje C++, de manera que puedan ser usados para resolver la ecuación
general de modelado tectónico-sedimentario directo, considerando
inicialmente la acción de procesos tectónicos únicamente (primera parte de
la ecuación) y posteriormente la acción de procesos tanto tectónicos como
sedimentarios (ecuación completa).
• Realizar un análisis de sensibilidad numérica que permita comparar los
resultados obtenidos por los métodos codificados, y luego seleccionar el o
los métodos de diferencias finitas que aporten la mejor relación
Introducción
20
exactitud/eficiencia, es decir, que minimicen errores de discretización e
iteración, empleando un tiempo de ejecución aceptable.
4. Metodología
• Revisión bibliográfica y consulta especializada sobre:
• Modelado de un pliegue asociado a falla no plana.
• Discretización por diferencias finitas.
• Métodos numéricos de diferencias finitas (explícitos e implícitos) para
la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
• Cálculo de la solución exacta del modelo tectónico, lo cual es posible si se
conoce la geometría final de la estructura geológica.
• Programación de una clase en lenguaje C++ (mediante el enfoque de
orientación a objetos) que incluye entre sus operaciones los métodos de
diferencias finitas.
• Realización de ejecuciones del programa, gráficos de resultados y de errores,
para comparar las soluciones exactas con las aproximadas.
21
Capítulo 1
EL MODELO TECTÓNICO-SEDIMENTARIO
En este capítulo se presenta el modelo matemático que describe el
comportamiento de superficies geológicas sometidas a procesos tectónicos y
sedimentarios. Modelo que será resuelto a lo largo de esta investigación por los
diferentes métodos que utilizan aproximaciones de diferencias finitas.
1.1. La Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario
Directo
La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo fue propuesta por
Waltham (1992) para modelar la evolución de superficies geológicas en dos
dimensiones espaciales. Más específicamente, esta ecuación modela cambios en
la altura de una superficie geológica como resultado de procesos tectónicos y
sedimentarios.
El modelo es basado en la premisa que la altura de una superficie geológica
puede ser modificada de cuatro maneras:
1. Adición y remoción de material de la superficie.
2. Remoción de material de una parte a otra de la superficie.
3. Deformación de la superficie verticalmente y en sentido positivo (de abajo
hacia arriba).
4. Movimiento de la superficie horizontalmente (advección) y en sentido
positivo (de izquierda a derecha).
El Modelo Tectónico-Sedimentario
22
Los primeros dos mecanismos son sedimentarios y los dos últimos son
tectónicos (Hardy & Poblet, 1994).
La ecuación propuesta por Waltham (1992) consiste en una ecuación
diferencial parcial (EDP)4 con una variable dependiente altura (h) y dos variables
independientes distancia horizontal (x) y tiempo (t), como lo vemos a continuación:
tectónicos p.iossedimentar p.
443442143421
∂∂
−+
∂∂
−=∂∂
xh
xvyvxFp
th
(1.1)
donde:
h es la altura de una superficie geológica (m)
t es tiempo (ka) 5
p es la tasa de sedimentación (si p>0) o erosión (si p<0) de materia (m/ka)
F es el flujo sedimentario (m2/ka)
X es la coordenada horizontal (m)
Vy es la velocidad vertical (m/ka)
Vx es la velocidad horizontal (m/ka)
Esta ecuación combina los procesos tectónicos y sedimentarios en un
sistema de coordenadas euleriano, que es un sistema de coordenadas fijo en el
espacio. La superficie geológica en cuestión se mueve a través de este marco de
referencia fijo. La fortaleza del alcance euleriano es que permite combinar los
procesos tectónicos y sedimentarios en una sola formulación matemática 4 En el siguiente capítulo se profundizará sobre este tópico.
El Modelo Tectónico-Sedimentario
23
asegurando que éstos sean modelados como procesos simultáneos y no como
secuenciales (Waltham, 1992; Waltham & Hardy, 1994).
Un método alternativo para describir la deformación es mediante la
utilización de un sistema de coordenadas lagrangiano, que es un sistema de
coordenadas móvil, el cual sufre toda la distorsión y moción de la superficie6. El
principal inconveniente en la descripción lagrangiana es que no permite el
modelado de procesos simultáneos, solo el de procesos que ocurren
secuencialmente (uno después del otro).
La diferencia fundamental entre estos dos esquemas es que en el sistema
lagrangiano, la deformación es descrita en términos de las velocidades de puntos
individuales, mientras que en el sistema euleriano las velocidades son
especificadas por regiones ( Figura 1.1 )
Figura 1.1 Ilustración esquemática de la diferencia entre la descripción lagrangiana y la
euleriana. En el sistema lagrangiano la deformación es descrita en términos de las velocidades
de cada punto (p. ej. Va(t) y Vb(t)), mientras que en el sistema euleriano, las velocidades son
especificadas por regiones (p. ej. V(x,y,t)).
5 1 ka= 1000 años 6 Un ejemplo geológico utilizando un sistema de coordenadas lagrangiano se puede ver en Contreras y Suter, 1990
El Modelo Tectónico-Sedimentario
24
1.2. Términos de la Ecuación General de Modelado Tectónico-
Sedimentario Directo
Figura 1.2 Especificación de la dirección y sentido en que actúan los procesos representados
por cada término de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo.
El Modelo Tectónico-Sedimentario
25
1.2.1. Tasa de Sedimentación de Materia p
El término p representa la adición o pérdida de material del sistema (Figura 1.2) y
puede ser una función de tiempo y distancia. En este estudio se va a considerar
constante. Si p es positiva se incrementa la altura de la superficie geológica como
resultado de la adición de material y si es negativa ocurre un decremento de altura
como resultado de la remoción de material. Cuando la ecuación general de
modelado tectónico-sedimentario directo es usada de manera simple para
describir la tasa de cambio de la altura de la superficie únicamente en términos de
p, se denomina ecuación de reacción y adquiere la siguiente forma:
pth=
∂∂
(1.2)
1.2.2. Flujo Sedimentario F
F es el flujo sedimentario en una localidad específica. Este término representa el
movimiento de material de una parte de la superficie a otra como resultado de la
erosión, transporte y deposición (Figura 1.2). Si F aumenta está ocurriendo
erosión y si F disminuye está ocurriendo deposición.
El flujo sedimentario F se asume proporcional a la pendiente local y con
dirección descendente, lo que matemáticamente se expresa así:
xh
∂∂
α−=F (1.3)
donde α es el coeficiente de difusión y su valor y característica (lineal o no
lineal) son difíciles de establecer. En las diferentes publicaciones el coeficiente
El Modelo Tectónico-Sedimentario
26
de difusión puede variar desde a/m 24109 −× (Colman & Watson, 1983) hasta
a/m106.5 25× (Kenyon & Turcotte, 1985) para diferentes situaciones
geológicas. La derivada de la Ecuación (1.3) constituye el segundo término del
lado derecho de la Ecuación (1.1), y está definida como:
2
2
xh
x ∂∂
α−=∂∂F
(1.4)
Si la difusión es el único proceso a ser considerado, la ecuación general de
modelado tectónico-sedimentario directo se convierte en la ecuación de difusión:
2
2
xh
th
∂∂
∂∂
α= (1.5)
1.2.3. La Velocidad Vertical yv
La deformación producida por el desplazamiento de material a lo largo de una
falla no plana implica que los puntos en el bloque levantado se mueven con una
velocidad horizontal y vertical que dependen de la forma que tenga la falla
(Figura 1.2), (Suppe, 1983; Hardy, 1994).
1.2.4. La Velocidad Horizontal xv
El término xv en una determinada región representa la traslación o advección
de la superficie geológica (Figura 1.2). La inclusión del término de la derivada
espacial x/h ∂∂ observado en la Ecuación (1.1) se debe a que en un sistema de
coordenadas euleriano la tasa de cambio de la altura en un punto es afectada por
la geometría espacial de la superficie geológica que está siendo transportada,
como se puede apreciar en la Figura 1.3.
El Modelo Tectónico-Sedimentario
27
Figura 1.3 Advección de una superficie geológica. En un sistema de coordenadas euleriano,
los movimientos verticales pueden ocurrir únicamente como resultado de la traslación
horizontal. De esta manera, la altura de una superficie S en un punto i cambia de H1 a H2
como resultado de movimiento horizontal entre los tiempos T1 y T2.
1.2.5. Condición de Contacto para los Términos de la Velocidad
Cuando existe una serie de regiones dentro de un modelo, cada una de las cuales
es modelada por diferentes ecuaciones de velocidad, se aplica una restricción de
contacto.
Figura 1.4 Representación de los vectores de velocidad para las tres regiones que definen un
pliegue asociado a falla no plana
El Modelo Tectónico-Sedimentario
28
La condición de contacto consiste en que entre dos zonas adyacentes y en
contacto que poseen diferentes funciones de velocidad, no deben aparecer
brechas o superposiciones para ningún tiempo t. Matemáticamente, esto
significa que todos los puntos a lo largo de la línea de frontera representada por
la función f y con pendiente x
f
∂
∂ deben obedecer a la siguiente condición:
xfvv
xfvv 2x2y1x1y ∂
∂−=
∂∂
− (1.6)
donde 1xv y 1yv son las velocidades en una zona y 2xv y 2yv son las
velocidades en la otra zona (Figura 1.4).
El Modelo Tectónico-Sedimentario
29
1.3. Aplicaciones de la Ecuación General de Modelado
Tectónico-Sedimentario Directo
La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo ha sido útil en
una amplia variedad de ambientes: plataformas de carbonato (Bosence et al.,
1994), deltas (Hardy & Waltham, 1992; Hardy ,1994), bloques de falla estilo
dominó (Waltham, 1993; Hardy et al., 1993), pliegues asociados a fallas no
planas, pliegues asociados a propagación de fallas y pliegues de despegue basal
(Hardy & Poblet, 1994).
La ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo, en los
estudios más recientes ha sido utilizada por Hardy en su tesis doctoral titulada
“Mathematical Modelling of Sedimentation in Active Tectonic Settings” (1994) y ha sido
definida en tres dimensiones por Bernal & Hardy (2002) en un estudio de la
evolución en el tiempo de un pliegue asociado a falla no plana, titulado “Syn-
tectonic sedimentation associated with three dimensional fault bend fold structures: a numerical
approach”.
Capítulo 2
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Y MÉTODOS DE
DIFERENCIAS FINITAS PARA SU SOLUCIÓN
Este capítulo presenta una revisión teórica sobre las ecuaciones diferenciales
parciales, por pertenecer la ecuación general de modelado tectónico-
sedimentario directo (1.1) a esta categoría. Luego se explican detalladamente los
métodos de diferencias finitas que se utilizan para su solución, tratando al
comienzo sólo la parte de la ecuación que abarca los procesos tectónicos y
posteriormente la ecuación completa, que incluye procesos tectónicos y
sedimentarios.
2.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs)
Dada una función h que depende tanto de x como de t, la derivada parcial de h
con respecto a x en un punto arbitrario (x, t) está definida como:
x)t,x(h)t,xx(hlím
xh
0x ∆−∆+
=∂∂
→∆
(2.1)
De manera similar, la derivada parcial con respecto a t está definida como:
t)t,x(h)tt,x(hlím
th
0t ∆−∆+
=∂∂
→∆
(2.2)
Una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida con dos
o más variables independientes, se denomina ecuación diferencial parcial (EDP).
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
31
El orden de una EDP es el de la derivada más alta que aparece en la
ecuación. Se dice que una EDP es lineal, si es lineal en la función desconocida y
en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de las variables
independientes (Chapra et al., 1999) .
Para dos variables independientes, las EDPs de primer orden se pueden
expresar en la siguiente forma general:
DChxhB
thA +=
∂∂
+∂∂
(2.3)
donde A, B, C y D son funciones de x y t.
Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la
primera derivada (A, B y C), la Ecuación (2.3) puede clasificarse en una de las
tres categorías siguientes:
B2-4AC Categoría
<0 Elíptica
=0 Parabólica
>0 Hiperbólica
Tabla 2.1 Clasificación de las EDPs de primer orden
Para dos variables independientes, las EDPs de segundo orden se pueden
expresar en la siguiente forma general:
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
32
0DthC
txhB
xhA 2
22
2
2
=+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
(2.4)
donde A, B y C son funciones de x y t, y D es una función de x, t, h, ∂h/∂x
∂h/∂t.
Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la
segunda derivada (A, B y C), la Ecuación (2.4) puede clasificarse en una de las
tres categorías siguientes:
B2-4AC Categoría Ejemplo
<0 Elíptica 0
th
xh
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
=0 Parabólica 2
2
xhk
th
∂∂
=∂∂
>0 Hiperbólica 2
2
22
2
th
c1
xh
∂∂
=∂∂
Tabla 2.2 Clasificación de las EDPs de segundo orden
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
33
2.2. La Serie de Taylor
La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un
punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. La
expansión completa de la serie de Taylor para una función h se expresa de la
siguiente manera:
Rn)xx(!n
)x(h...)xx(!3
)x(h
)xx(!2
)x(''h)xx)(x('h)x(h)x(h
ni1i
i)n(
3i1i
i)3(
2i1i
ii1iii1i
+−++−
+−+−+=
++
+++
(2.5)
donde )x(h 1i+ indica el valor de h en el nuevo punto y )x(h i indica el valor de h
en el punto anterior.
Nótese que se incluye un término residual para considerar todos los
términos desde n+1 hasta el infinito:
1ni1i
)1n(
)xx()!1n(
)(hRn ++
+
−+
ε=
(2.6)
donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo
orden y ε es un valor cualquiera de x que se encuentra entre ix y 1ix + . Existe
un valor ε que da una estimación exacta del error7.
7 En la sección 4.1.1 de CHAPRA. Métodos Numéricos para Ingenieros se profundiza sobre este aspecto. (Ver la referencia bibliográfica al final de este trabajo).
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
34
Es conveniente definir un paso ii xxx −=∆ +1 , para expresar la serie de
Taylor de la siguiente manera:
Rnx!n
)x(h...
...x!3
)x(hx!2
)x(''hx)x('h)x(h)x(h
ni)n(
3i)3(
2iii1i
+∆+
+∆+∆+∆+=+
(2.7)
donde el término residual es ahora:
1n)1n(
x)!1n(
)(hRn ++
∆+
ε=
(2.8)
La Ecuación (2.8) se expresa usualmente así:
)x(ORn 1n+∆= (2.9)
donde la nomenclatura )x(O 1n+∆ significa que el error de truncamiento es de
orden 1+∆ nx . En otras palabras, el error es proporcional al paso x∆ elevado a la
(n+1)-ésima potencia.
Esta aproximación es útil para evaluar errores en los métodos numéricos
que se basan en las expansiones en series de Taylor, como es el caso de los
métodos de diferencias finitas. Por ejemplo, si el error es )x(O ∆ y el paso x∆ se
reduce a la mitad, entonces el error se reducirá a la mitad. Por otro lado, si el
error es )x(O 2∆ y el paso x∆ se reduce a la mitad, entonces el error se reducirá
a una cuarta parte del valor original.
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
35
2.3. Diferencias Finitas
Al truncar la serie (2.7) después del término de la primera derivada, se obtiene
1ii1i Rx)x('h)x(h)x(h +∆+=+ (2.10)
y al despejar )(' ixh de (2.10) se obtiene la ecuación:
xR
x)x(h)x(h)x('h 1i1i
i ∆−
∆−
= + (2.11)
Al primer término del lado derecho de la ecuación se le conoce con un nombre
especial en el análisis numérico: diferencia finita, y al segundo término del lado
derecho se le conoce como error de truncamiento.
Si sustituimos la expresión (2.8) en el término del error de truncamiento de
la Ecuación (2.11) obtenemos:
x!2
)(''hx
x!2
)(''h
xR
2
1 ∆ε
=∆
∆ε
=∆
(2.12)
ó
)x(Ox
R1 ∆=∆
(2.13)
Lo que quiere decir que la estimación de la derivada (primera parte de la
Ecuación (2.11)) tiene un error de truncamiento de orden x∆ .
Diferencia Finita
de primer orden Error de
truncamiento
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
36
Las aproximaciones de derivadas por diferencias finitas pueden abordarse
de diferentes maneras (Figura 2.1), teniendo importantes implicaciones para la
exactitud de la solución de la ecuación. En las siguientes secciones se amplía este
punto.
Figura 2.1 Definición de la derivada y sus aproximaciones. La primera derivada en el punto
i es la pendiente de la recta tangente (línea negra gruesa) a la curva h(x) en ese punto. En la
aproximación de diferencias hacia adelante (línea verde), la derivada en xi es aproximada por
la pendiente de la línea que pasa a través del punto xi y otro punto xi + ∆x. Para el caso de
la aproximación de diferencia hacia atrás (línea anaranjada), el segundo punto es xi – ∆x. En
la aproximación de diferencia central (línea azul), la derivada es aproximada como la pendiente
de la línea pasando a través de dos puntos, ubicados en lados opuestos del punto i.
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
37
2.3.1. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Hacia
Adelante
La Ecuación (2.11) se representa generalmente de la siguiente manera:
)x(Ox
)x(h)x(h)x('h i1i
i ∆+∆−
= + (2.14)
Esta expresión es una diferencia finita hacia adelante con un error de
truncamiento de orden x∆ . Si incluimos la variable independiente t (tiempo), la
Ecuación (2.14) puede expresarse como:
)x(Ox
)t,x(h)t,x(h)t,x('h i1i
i ∆+∆−
= + (2.15)
Se denomina “hacia adelante” porque usa los datos i e i+1 para estimar la
derivada.
Representando (2.15) en notación indicial obtenemos la discretización
hacia adelante de la derivada espacial con un error de truncamiento de primer
orden:
)x(Ox
hhxh t
it
1it
i∆+
∆−
=
∂∂ +
(2.16)
Por analogía a la Ecuación (2.16) se obtiene la discretización hacia adelante
de la derivada temporal con un error de truncamiento de primer orden:
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
38
)t(Ot
hhth t
i1t
it
i∆+
∆−
=
∂∂ +
(2.17)
donde los superíndices indican el tiempo y los subíndices indican la posición
espacial.
2.3.2. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Hacia
Atrás
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás como se muestra a
continuación, para calcular un valor anterior sobre el valor actual:
...x!3
)x(hx!2
)x(''hx)x('h)x(h)x(h 3i)3(
2iii1i +∆−∆+∆−=−
(2.18)
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los
términos se obtiene:
)x(Ox
)x(h)x(h)x('h 1iii ∆+
∆−
= − (2.19)
Esta expresión es una diferencia finita hacia atrás con un error de truncamiento de
orden x∆ .
Si incluimos la variable independiente t (tiempo), la Ecuación (2.19) puede
expresarse como:
)x(Ox
)t,x(h)t,x(h)t,x('h 1iii ∆+
∆−
= − (2.20)
Representando (2.20) en notación indicial obtenemos la discretización
hacia atrás de la derivada espacial con un error de truncamiento de primer
orden:
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
39
)x(Oxhh
xh t
1iti
t
i∆+
∆−
=
∂∂ −
(2.21)
Por analogía a la Ecuación (2.21) se obtiene la discretización hacia atrás de
la derivada temporal con un error de truncamiento de primer orden:
)t(Othh
th 1t
iti
t
i∆+
∆−
=
∂∂ −
(2.22)
2.3.3. Aproximación de la Primera Derivada con Diferencia Finita Central
Una tercera forma de aproximar la primera derivada es truncando en la tercera
derivada las series de Taylor expandidas hacia adelante (2.7) y hacia atrás (2.18):
3i)3(
2iii1i x
!3)x(hx
!2)x(''hx)x('h)x(h)x(h ∆+∆+∆+=+
(2.23)
3i)3(
2iii1i x
!3)x(hx
!2)x(''hx)x('h)x(h)x(h ∆−∆+∆−=−
(2.24)
y luego, restando la Ecuación (2.24) de la Ecuación (2.23), como se muestra a
continuación:
Lo que conduce a:
[ ]
∆−−∆+∆−∆+
∆−−∆+−=− −+
3i)3(
3i)3(
2i2i
iiii1i1i
x!3
)x(hx!3
)x(hx!2
)x(''hx!2
)x(''h
x)x('hx)x('h)x(h)x(h)x(h)x(h
(2.25)
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
40
3xxhxx'hxhxh!3
)(2)(2)()( i
)3(
i1i1i ∆∆ +=− −+ (2.26)
Si de (2.26) despejamos )(' ixh , obtenemos:
)x(Ox2
)x(h)x(h)x('h 21i1i
i ∆+∆−
= −+ (2.27)
Esta expresión es una diferencia finita central con un error de truncamiento de
orden 2x∆ . Si incluimos la variable independiente t (tiempo), la Ecuación (2.27)
puede expresarse como:
)x(Ox2
)x(h)x(h)x('h 21i1i
it,t,
∆+∆−
= −+ (2.28)
Representando (2.28) en notación indicial obtenemos la discretización
central de la derivada espacial con un error de truncamiento de segundo orden:
)x(Ox2hh
xh 2
t1i
t1i
t
i∆+
∆−
=
∂∂ −+
(2.29)
Por analogía a la Ecuación (2.29) se obtiene la discretización central de la
derivada temporal con un error de truncamiento de segundo orden:
)t(Ot2hh
th 2
1ti
1ti
t
i∆+
∆−
=
∂∂ −+
(2.30)
2.3.4. Aproximación de la Segunda Derivada con Diferencia Finita Central
Además de las primeras derivadas, la expansión en Serie de Taylor, puede ser
usada para desarrollar estimaciones numéricas de las derivadas de orden
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
41
superior. Sumando las expansiones de series de Taylor hacia adelante y hacia
atrás, es decir, las ecuaciones (2.23) y (2.24).
4i)4(
2ii1i1i x
!4)x(h2x
!2)x(''h2)x(h2)x(h)x(h ∆+∆+=+ −+
(2.31)
Despejando la segunda derivada de (2.31) obtenemos la segunda diferencia finita
central, que tiene un error de truncamiento de segundo orden:
)x(Ox
)x(h)x(h2)x(h)x(''h 22
1ii1ii ∆+
∆+−
= −+
(2.32)
Representando (2.32) en notación indicial obtenemos :
( ))x(O
xhh2h
xh 2
2
t1i
ti
t1i
t
i2
2
∆+∆
+−=
∂∂ −+
(2.33)
Por analogía a la Ecuación (2.33), obtenemos la diferencia finita central
temporal de segundo orden:
( ))t(O
thh2h
th 2
2
1ti
ti
1ti
t
i2
2
∆+∆
+−=
∂∂ −+
(2.34)
2.4. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Los métodos para resolver EDPs pueden ser clasificados como métodos numéricos
directos y métodos característicos. En los métodos directos las ecuaciones de
diferencias finitas son formuladas a partir de la EDP original y las soluciones
son obtenidas para distancias y tiempos incrementales. En los métodos
característicos, las EDPs son primero transformadas a una forma característica y
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
42
las ecuaciones características son posteriormente resueltas analíticamente
(Hardy, 1994 ). En este trabajo se emplean los métodos directos para la solución
de la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo (Ecuación
(1.1) ), específicamente los métodos de diferencias finitas, que se describen a
continuación.
El principio usado para resolver la ecuación general de modelado
tectónico-sedimentario directo por la técnica de diferencias finitas consiste en
aproximar dicha ecuación por una ecuación de diferencia. Si se reemplazan las
derivadas en una EDP por las expresiones de diferencias finitas, ésta se
convierte en una ecuación de diferencias cuya solución es una aproximación a la
solución de la ecuación diferencial. Los cálculos son ejecutados sobre una
cuadrícula numérica ubicada sobre el plano x-t, cuyos puntos son definidos
tomando incrementos de distancia x∆ e incrementos de tiempo t∆ (Hardy,
1994 ). En esta tesis los puntos espaciales son denotados por el índice i y los
puntos temporales por el índice t.
El proceso de discretización, es decir, de conversión de una ecuación
diferencial en una ecuación de diferencias, puede abordarse de varias maneras,
tanto para las derivadas temporales como para las derivadas espaciales,
dependiendo del tipo de aproximación de diferencias finitas utilizado: hacia
adelante, hacia atrás o central. El tipo de aproximación de diferencia finita
utilizada también define si el método numérico es explícito o implícito.
El método es explícito si las aproximaciones de diferencias finitas
empleadas permiten que el valor de la función 1tih+ para cualquier valor de i
pueda ser obtenido a partir de los valores de la función en tiempos anteriores t,
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
43
t-1, t-2, etc. Y el método es implícito si el valor de la función 1tih+ debe ser
obtenido a partir de valores de la función para diferentes puntos espaciales i que
pertenezcan a los tiempos t y t+1 , lo que implica que un sistema de ecuaciones
algebraicas debe ser resuelto para cada paso de tiempo. Para el caso de
problemas unidimensionales esto no es un gran inconveniente, debido a que los
sistemas lineales en cuestión son tridiagonales como se verá más adelante.
La ecuación (1.1) define un problema de valor inicial (problema de Cauchy), lo
que quiere decir que si los valores de la función h son conocidos para un tiempo
inicial t0 , para todo x, entonces la ecuación (1.1) describe cómo h(x,t) evoluciona
a través del tiempo. Además de los valores iniciales, necesitamos las condiciones
de frontera que se van a aplicar para resolver la EDP.
Existen diferentes maneras para definir las condiciones de frontera. Para
resolver este modelo se utilizan la Condiciones frontera de Dirichlet (Hardy, 1994),
que son aquellas que especifican el valor de la función h en ambos extremos, es
decir, en los puntos ht0 y ht
N, para cualquier valor de t.
2.4.1. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo Tectónico
El modelado de los procesos tectónicos de manera aislada viene dado por la
siguiente ecuación:
876advección
xy xvv
th h
∂∂
−=∂∂
( 2.35)
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
44
Los métodos de diferencias finitas explícitos e implícitos usados para
resolver la ecuación de advección x
vth h
x ∂∂
−=∂∂ , son extendidos y aplicados al
modelo tectónico completo (Ecuación ( 2.35)) en este estudio. Para resolver el
modelo tectónico se definen las condiciones de frontera de Dirichlet de la
siguiente manera:
ht0 = ht-1
0
htN-1 = ht-1
N-1
donde N es el número de puntos en que es discretizado el espacio. Al comenzar
la numeración de los segmentos espaciales en 0, el último punto adquiere el
subíndice N-18.
8 Es necesario hacer esta transformación para trabajar con el lenguaje de programación C++, como se muestra en el Capítulo 3
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
45
2.4.1.1. Métodos Explícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico
Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico
Un método de diferencias finitas conocido como “Forward Time Centered
Space” (FTCS), consiste en discretizar la EDP mediante la sustitución de la
derivada temporal por la diferencia finita hacia adelante (Ecuación (2.17)) y la
derivada espacial por la diferencia finita central (Ecuación (2.16) ).
( ) )x(Ox2hhv)v()t(O
thh 2
t1i
t1it
iti
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−=∆+∆− −+
+
(2.36)
pero al ser empleado en la ecuación de advección es incondicionalmente
inestable (Vemuri, 1981). Peter Lax (1954) propuso una modificación del
método para introducir una acción difusiva estabilizante, la cual consiste en
sustituir el término tih en la aproximación temporal (Ecuación (2.17)) con el
valor promedio entre t1ih + y t
1ih −
2hhh
t1i
t1it
i−+ +
= (2.37)
para obtener:
FT CS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
46
( ) )x(Ox2hhv)v()t(O
t2
hhh2
t1i
t1it
iti
t1i
t1i1t
i
xy ∆+
∆−
−=∆+∆
+−
−+
−++
(2.38)
El valor denotado por Co y conocido como número de Courant, es definido
de la siguiente manera:
xt)v(Co
tix
∆∆
= (2.39)
Despejando 1tih + de (2.38) y empleando el término Co (Ecuación (2.39) )
obtenemos la expresión que permite calcular el valor de h en el tiempo posterior
(t+1) de manera explícita, como se muestra a continuación:
t1i
t1i
ti
1ti h)Co1(
21h)Co1(
21t)v(h y +−
+ −+++∆= (2.40)
Para entender mejor el procedimiento de solución de EDPs mediante los
métodos explícitos, a continuación se desarrolla la expresión (2.40) para cada
valor de i, desde i=0 hasta i= N-1.
i=0
Según las condiciones de frontera de Dirichlet: t0
1t0 hh =+ , donde t
0h es especificado en las condiciones iniciales del
problema, al definir 00h .
i=1
t2
t0
t1
1t1 h)Co1(
21h)Co1(
21t)v(h y −+++∆=+
FT modificado CS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
47
i= 2
t3
t1
t2
1t2 h)Co1(
21h)Co1(
21t)v(h y −+++∆=+
.
.
. i=N-1
Según las condiciones de frontera de Dirichlet: t
1N1t1N hh −
+− = , donde t
1Nh − es especificado en las condiciones iniciales del
problema, al definir 01Nh − .
En estas expresiones las velocidades Vx y Vy son especificadas por
regiones como se mostrará en los capítulos posteriores, x∆ es una constante
especificada al comienzo, el paso de tiempo t∆ es despejado de la Ecuación
(2.39) para que el método cumpla con la condición de estabilidad de Courant
(Sección 2.4.3.1.), Co es calculado para cada valor de i, mientras que todos los
valores de h para un tiempo t (anterior) son conocidos.
Método 2: Método Contraviento aplicado al Modelo Tectónico
El método de diferencias contraviento está definido de dos maneras, denotadas
por las siglas FTBS o FTFS. La aproximación de la forma FTBS es estable si
( )tixv >0, mientras que la aproximación FTFS es estable si ( )tixv <0. Utilizar una
aproximación FTBS (“Forward Time Backward Space”) consiste en sustituir la
derivada temporal a través de la diferencia finita hacia adelante (Ecuación (2.17))
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
48
y la derivada espacial a través de la diferencia finita hacia atrás (Ecuación (2.21))
en la Ecuación ( 2.35):
( ) )x(Oxhhv)v()t(O
thh t
1itit
iti
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−=∆+∆− −
+
(2.41)
y luego despejar 1tih + empleando a su vez la expresión del número de Courant
Co para obtener: ti
t1i
ti
1ti h)Co1(Coht)v(h y −++∆= −
+ (2.42)
La aproximación FTFS (“Forward Time Forward Space”) consiste en
sustituir tanto la derivada temporal como la espacial a través de diferencias
finitas hacia adelante (Ecuaciones (2.16) y (2.17)) en ( 2.35) ):
( ) )x(Ox
hhv)v()t(Ot
hh ti
t1it
iti
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−=∆+∆− +
+
(2.43)
Para finalmente obtener la siguiente ecuación:
t1i
ti
ti
1ti Cohh)Co1(t)v(h y ++ −++∆= (2.44)
FT BS
FT FS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
49
Método 3: Método Leapfrog aplicado al Modelo Tectónico
El método Leapfrog utiliza un esquema de segundo orden en tiempo y espacio,
mediante la utilización de una aproximación de la forma CTCS (“Centered Time
Centered Space”). Se obtiene sustituyendo (2.29) y (2.30) en ( 2.35)
( ) )x(Ox2hhv)v()t(O
t2hh 2
t1i
t1it
iti
21t
i1t
ixy ∆+
∆−
−=∆+∆− −+
−+
(2.45)
Y la ecuación resultante es:
( )t1i
t1i
1ti
ti
1ti hhCoht)v(2h y +−
−+ −++∆= (2.46)
CT CS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
50
Método 4: Método Lax-Wendroff aplicado al Modelo Tectónico
El método Lax-Wendroff consiste en un esquema de dos pasos:
Paso 1: esquema Lax con medio paso ∆X/2 y ∆t/2
)hh(2
Co)hh(21
2t)v(h t
it
1iti
t1i
ti
2/1t2/1i y −−++
∆= ++
++
(2.47)
análogamente se obtiene:
)hh(2
Co)hh(21
2t)v(h t
1iti
t1i
ti
ti
2/1t2/1i y −−
+− −−++
∆=
(2.48)
Paso 2: esquema Leapfrog con medio paso ∆X/2 y ∆t/2
( )2/1t2/1i
2/1t2/1i
ti
ti
1ti hhCoh
2t)v(2h y
++
+−
+ −++∆
= (2.49)
Sustituyendo (2.47) y (2.48) en (2.49)obtenemos:
t1i
2t1i
2ti
2ti
1ti h)CoCo(
21h)CoCo(
21h)Co1(t)v(h y −+
+ ++−+−+∆= (2.50)
La expresión (2.50) es una aproximación de segundo orden en tiempo y en
espacio (Vemuri, 1981).
Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack aplicado al Modelo
Tectónico
La primera aproximación obtenida de una fórmula explícita es conocida como
predictor y la aproximación sucesiva mejorada por sustitución directa en la
ecuación que intentamos resolver es conocida como corrector (Fox & Mayers,
1987). Según Anderson (1984), el esquema de MacCormack presenta exactitud
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
51
de segundo orden tanto en tiempo como en espacio. El predictor proporciona la
aproximación de 1tih + , denotada por *
ih , usando el esquema explícito de
diferencias finitas hacia adelante tanto para la primera derivada temporal como
para la primera derivada espacial :
( ) )x(Ox
hhv)v()t(Othh t
it
1iti
ti
ti
*i
xy ∆+
∆−
−=∆+∆− +
(2.51)
Al despejar *ih de (2.51) y emplear el valor Co obtenemos la siguiente
expresión para calcular el predictor en cada paso de tiempo: t
1iti
ti
*i Cohh)Co1(t)v(h y +−++∆= (2.52)
El corrector utiliza un esquema explícito de diferencias finitas hacia delante
(FT) de segundo orden9 para la derivada temporal, y un híbrido de diferencias
finitas hacia adelante (FS) y hacia atrás (BS) para la derivada espacial, como se
muestra a continuación:
( ))x(O
xhh
xhh
2v
)v()t(Ot
hh 2ti
t1i
*1i
*i
tit
i2
ti
1ti x
y ∆+
∆−
+∆−
−=∆+∆− +−
+
(2.53)
Para obtener la expresión del corrector despejamos t1ih + de (2.52):
( )*i
ti
ti
t1i hh)Co1(t)v(
Co1h y −++∆=+
(2.54)
9 La deducción de la aproximación de segundo orden en tiempo se explica más adelante, en el método Crank-Nicolson
FT FS
FT de 2do Orden FS y BS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
52
Finalmente sustituimos (2.54) en (2.53) y al despejar 1tih + obtenemos el
corrector:
( ))Cohh)Co1(ht)v(21h *
1i*i
ti
ti
1ti y −+ +−++∆=
(2.55)
El procedimiento consiste en calcular en cada paso de tiempo el predictor
para todos los valores de i y luego sustituir los valores de *ih en el corrector,
que es el que aporta el resultado final para esa iteración.
2.4.1.2. Métodos Implícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico
Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico
Para obtener estabilidad incondicional, se utiliza un esquema de diferencias
finitas BTCS (“Backward Time Centered Space”), que es una aproximación de
primer orden en tiempo y segundo orden en espacio, y consiste en plantear la
diferencia finita central espacial (Ecuación (2.29)) y la diferencia finita temporal
hacia atrás (Ecuación (2.22)) de manera implícita:
)x(Ox2hh
xh 2
1t1i
1t1i
t
i∆+
∆−
=
∂∂ +
−++
(2.56)
)t(Ot
hhth t
i1t
it
i∆+
∆−
=
∂∂ +
(2.57)
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
53
Y luego sustituyendo ambas expresiones en la ecuación de modelado
(2.35), como sigue:
( ) )x(Ox2hhv)v()t(O
thh 2
1t1i
1t1it
iti
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−=∆+∆− +
−++
+
(2.58)
De donde se obtiene la expresión final: ti
ti
1t1i
1ti
1t1i h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +
+++
− (2.59)
Al igual que en el primer método explícito, vamos a plantear en este
método la expresión (2.59) para cada valor de i desde i=0 hasta i= N-1:
i=0 t0
1t0 hh =+
i=1 t1
t1
1t2
1t1
1t0 h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +++ . Como 1t
0h + es conocido, el primer
término del lado izquierdo pasa al lado derecho, resultando la siguiente
expresión para i=1 1t
0t1
t1
1t2
1t1 Cohh2t)v(2Cohh2 y
+++ ++∆=+
i=2 t2
t2
1t3
1t2
1t1 h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +++
i=3 t3
t3
1t4
1t3
1t2 h2t)v(2Cohh2Coh y +∆=++− +++
.
.
. i=N-3
BT implícito CS implícito
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
54
t3N
t3N
1t2N
1t3N
1t4N h2t)v(2Cohh2Coh y −−
+−
+−
+− +∆=++−
i=N-2 t
2Nt
2N1t1N
1t2N
1t3N h2t)v(2Cohh2Coh y −−
+−
+−
+− +∆=++− . Como 1t
1Nh +− es conocido,
el tercer término del lado izquierdo pasa al lado derecho, resultando la siguiente
expresión para i=N-2 1t1N
t2N
t2N
1t2N
1t3N Cohh2t)v(2h2Coh y
+−−−
+−
+− −+∆=+−
i= N-1 t
1N1t1N hh −
+− =
Las ecuaciones desarrolladas desde i=1 hasta i=N-2 conforman un sistema
lineal de N-2 incógnitas y N-2 ecuaciones, que se representa matricialmente
como sigue:
−++
++++
=
−−
−−
−
−−−
−−+−
+−
+
+
+
−
−−
−
t1N
t2N
t2N
t3N
t3N
t3
t3
t2
t2
t0
t1
t1
1t2N
1t3N
1t3
1t2
1t1
2)(N
3)(N3)(N
4)(N
(4)
(3)(3)
(2)(2)
(1)
Coh2h∆t)2(v2h∆t)2(v
2h∆t)2(v2h∆t)2(v
Coh2h∆t)2(v
hh
hhh
2co00000co2co0
0co002co0
0co2co00co2co
00000co2
y
y
y
y
y
M
M
M
M
MMM
OOMM
MOM
MM
MMM
Figura 2.2 Representación matricial del sistema de ecuaciones resultante para el método
implícito BTCS
El sistema de ecuaciones lineales de la Figura 2.2 es tridiagonal, lo que
significa que tiene elementos diferentes de cero únicamente en la diagonal
principal, superdiagonal y subdiagonal.
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
55
El método implícito requiere que dicho sistema sea resuelto para cada
iteración (t, t+1, t+2, …Tfinal), por lo que es importante contar con un
algoritmo de resolución eficiente. En nuestro caso se utiliza un algoritmo de
descomposición LU (Press, 1988 ), que no usa pivotaje, característica que carece
de importancia en nuestro caso debido a que la matriz tridiagonal goza de
dominancia diagonal,10 lo cual asegura no solo que existe una única solución para el
sistema a resolver, sino que la solución del sistema no requiere de pivotaje
(Sewell, 1988).
Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico
Es un esquema de diferencias finitas de segundo orden tanto en tiempo como
en espacio. Para obtener una aproximación de segundo orden en tiempo, se
expanden las series de Taylor hacia adelante y hacia atrás con un intervalo o
paso de tiempo de 2t∆ y truncamos en la segunda derivada ambas expresiones.
La expansión de la serie de Taylor hacia adelante en un intervalo ∆t/2 es:
...2t
!2
)2tt,x(''h
2t
!1
)2tt,x('h
)2tt,x(h)tt,x(h
2ii
ii +
∆
∆+
+
∆
∆+
+∆
+=∆+
(2.60)
La expansión de la serie de Taylor hacia atrás en un intervalo ∆t/2 es:
10 La dominancia diagonal consiste en que el valor absoluto del coeficiente de la diagonal principal en cada una de las ecuaciones debe ser mayor que la suma del valor absoluto de los otros coeficientes en la ecuación (Chapra et al., 1999).
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
56
...2t
!2
)2tt,x(''h
2t
!1
)2tt,x('h
)2tt,x(h)t,x(h
2ii
ii +
∆−
∆+
+
∆−
∆+
+∆
+=
(2.61)
Mediante la diferencia de las ecuaciones (2.60) y (2.61) obtenemos la
aproximación central de la derivada del tiempo con paso 2t∆ y con un error de
truncamiento de segundo orden, lo que en sistema de índices se representa así:
( ) )t(Ot
hh'h 2ti
1ti2
tt
i ∆+∆−
=+∆
+
(2.62)
La derivada espacial se aproxima con el valor promedio de las dos
diferencias finitas centrales en t y t+1. Como se muestra a continuación:
( ) )x(Ox2hh
x2hh
21v)v()t(O
thh 2
t1i
t1i
1t1i
1t1it
iti
2ti
1ti
xy ∆+
∆−
+∆−
−=∆+∆− −+
+−
++
+
(2.63)
Que al reordenarla adquiere la siguiente forma: t
1iti
t1i
ti
1t1i
1ti
1t1i Cohh4Coht)v(4Cohh4Coh y +−
++
++− −++∆=++− (2.64)
Al igual que en el método BTCS, en este método hay que resolver sistemas
de ecuaciones tridiagonales para cada t.
CT con paso 2
t∆ CS en t+1 y en t
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
57
2.4.2. Métodos de Diferencias Finitas para Resolver la Ecuación General
de Modelado Tectónico-Sedimentario Directo
Como ya se explicó en el Capítulo 1, la ecuación general de modelado tectónico-
sedimentario directo modela procesos tectónicos y sedimentarios. Vamos a
replantear la ecuación general de modelado tectónico-sedimentario directo,
sustituyendo la derivada del flujo (segundo término del lado derecho) por la
Ecuación (1.4), y señalando los tres tipos de términos que ésta contiene: reacción,
difusión y advección, en la siguiente ecuación:
}
tectónicos p.iossedimentar p.
4434421
48476
444 3444 21
876
∂∂
−+
∂
∂α+=
∂∂
adveccióndifusiónreacción
xh
xvyv2x
h2p
th
(2.65)
En la resolución de la Ecuación (2.65) se utilizan las aproximaciones de
diferencias finitas tanto para las primeras como para las segundas derivadas, (ver
desarrollo de diferencias finitas en la Sección 2.3.). Para resolver el modelo
tectónico-sedimentario se definen las condiciones de frontera de Dirichlet de la
siguiente manera:
ht0 = ht
1
htN-1 = ht
N-2
donde N es el número de puntos en que es discretizado el espacio. Al comenzar
la numeración de los segmentos espaciales en 0, el último punto adquiere el
subíndice N-1.
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
58
2.4.2.1. Métodos Explícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico-Sedimentario
Método 1: Método Lax aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario
El método Lax para la ecuación de transporte (difusión-advección) y por lo
tanto para la Ecuación (2.65) consiste en la aplicación del esquema FTCS, es
decir, diferencias finitas hacia adelante para la derivada temporal y de diferencias
finitas centrales, tanto para la primera como para la segunda derivada espacial:
( ) )x(Ox2hhv)v(
xhh2hp)t(O
thh 2
t1i
t1it
iti2
t1i
ti
t1i
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−+
∆
+−α+=∆+
∆− −+−+
+
(2.66)
Ahora se define un nuevo valor, denominado número de difusión (D):
2xtD
∆∆α
= (2.67)
Al sustituir Co y D en la Ecuación (2.66) y reordenarla, se obtiene la
expresión final del método Lax para la Ecuación (2.65):
t1i
ti
t1i
ti
1ti h
2CoDh)D21(h
2CoDt)v(tph y +−
+
−+−+
++∆+∆=
(2.68)
FT CS CS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
59
Método 2: Método Contraviento de Primer Orden aplicado al Modelo
Tectónico-Sedimentario
La extensión del método de diferencias contraviento a la ecuación que modela
procesos tectónico y sedimentarios (2.65), para el caso en el que ( )tixv >0
consiste en sustituir la derivada temporal por la diferencia finita hacia adelante
(FT), la primera derivada espacial por la diferencia finita hacia atrás (BS) y la
segunda derivada espacial por la diferencia finita central (2.33):
( ) )x(Oxhhv)v(
xhh2hp)t(O
thh 2
t1i
tit
iti2
t1i
ti
t1i
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−+
∆
+−α+=∆+
∆− −−+
+
(2.69)
Reordenando (2.69) obtenemos: t
1iti
t1i
ti
1ti Dhh)D2Co1(h)DCo(t)v(tph y +−+ +−−+++∆+∆= (2.70)
Para el caso en que ( )tixv <0 , se sustituyen las primeras derivadas, tanto
temporal como espacial, por las diferencias finitas hacia adelante (FT y FS) y la
segunda derivada espacial por la diferencia finita central (2.33) en la ecuación
(2.65):
( ) )x(Ox
hhv)v(x
hh2hp)t(Ot
hh 2ti
t1it
iti2
t1i
ti
t1i
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−+
∆
+−α+=∆+
∆− +−+
+
(2.71)
Para finalmente obtener:
FT CS BS
FT CS FS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
60
t1i
ti
t1i
ti
1ti h)CoD(h)D2Co1(Dht)v(tph y +−+ −+−+++∆+∆= (2.72)
Método 3: Método Contraviento de Tercer Orden aplicado al Modelo
Tectónico-Sedimentario
Para mejorar la exactitud y reducir la difusividad numérica del método
contraviento de primer orden, la primera derivada espacial es aproximada
usando diferencias finitas hacia atrás de tercer orden, envolviendo cuatro puntos
(Ferziger & Peric, 1999), cuya deducción consta de los siguientes pasos:
1) Utilizar expansiones de la serie de Taylor para t2ih − , t
1ih − y t1ih + expandiendo
en torno a tih y truncando el término de la cuarta derivada para obtener un error
de truncamiento de tercer orden. A continuación se representan las series de
Taylor respectivas utilizando notación indicial:
( ) ( ) ( ) ( )4i)4(
3i)3(
2ii
ti
t x2!4
)x(hx2!3
)x(hx2!2
)x(''hx2)x('hhh2i
∆+∆−∆+∆−=−
(2.73)
( ) ( ) ( )4i)4(
3i)3(
2ii
ti
t x!4
)x(hx!3
)x(hx!2
)x(''hx)x('hhh1i
∆+∆−∆+∆−=−
(2.74)
( ) ( ) ( )4i)4(
3i)3(
2ii
ti
t x!4
)x(hx!3
)x(hx!2
)x(''hx)x('hhh1i
∆+∆+∆+∆+=+
(2.75)
2) A continuación las ecuaciones (2.73), (2.74) y (2.75) deben ser multiplicadas
por las constantes a, b y c respectivamente y luego sumadas, para obtener:
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
61
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) )x(h!4
xcba2
)x(h!3
xcba2)x(''h!2
xcba2
)x('hxcba2h)cba(chbhah
i)4(
44
i)3(
33
i
22
iti
tt1i
t2i 1i
∆+++
∆+−−+
∆+++
∆+−−+++=+++−−
(2.76)
3) Para hallar una aproximación de la primera derivada debemos imponer las
siguientes condiciones:
( ) 1cba2 =+−− (2.77)
( ) 0!2
1cba22 =++ (2.78)
( ) 0!3
1cba23 =+−− (2.79)
4) Luego se resuelve el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas conformado
por (2.77), (2.78) y (2.79), para obtener los valores de las incógnitas, resultando:
1/3c y 1b 1/6,a =−==
5) Ahora sustituimos los valores de las constantes a, b y c en la Ecuación (2.76)
para obtener la siguiente expresión:
( ) ( ) )x(hx121)x('hxh
21h
31hh
61
i)4(4
iti
t1i
t1i
t2i
∆
+∆+−=+− +−−
(2.80)
6) Finalmente despejamos )x('h i de (2.80), y después de multiplicar el
numerador y denominador del lado derecho por el número 6, obtenemos la
diferencia finita de tercer orden buscada:
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
62
( )3i1i1i2ii xO
x6h3h2h6h)x('h ∆+
∆++−
= +−− (2.81)
Al igual que en el método contraviento de primer orden, en este método se
sustituye la derivada temporal por diferencias finitas hacia adelante (FT) y la
segunda derivada espacial por la diferencia finita central (CS) para el caso en que
( )tixv >0, pero la primera derivada espacial se sustituye por la diferencia finita de
tercer orden representada por la Ecuación (2.81), como se muestra a
continuación:
( ) )x(Ox6
h2h3h6hv)v(
xhh2h
p)t(Ot
hh 3t
1iti
t1i
t2it
iti2
t1i
ti
t1i
ti
1ti
xy ∆+
∆
++−−+
∆+−
α+=∆+∆− +−−−+
+
(2.82)
Despejando 1tih + y empleando las expresiones de D y Co se obtiene la
expresión final del método:
t1i
ti
t1i
t2i
ti
1ti h
3CoDh
2CoD21h)CoD(h
6Cot)v(tph y +−−
+
−+
−−+++−∆+∆=
(2.83)
Y de la misma manera se procede para el caso en que ( )tixv <0, tomando
en cuenta que en vez de utilizar la diferencia finita hacia atrás de tercer orden
para sustituir la primera derivada espacial, se utiliza la diferencia finita hacia
adelante (FS).
FT CS BS de Tercer Orden
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
63
Método 4: Método Dufort-Frankel aplicado al Modelo Tectónico-
Sedimentario
Este método es la extensión del método Leapfrog o CTCS explicado en la
Sección 2.4.1.1., ahora aplicado a la ecuación general de modelado tectónico-
sedimentario directo y utilizando la diferencia finita central de segundo orden
para la segunda derivada espacial. Se sustituye el término tih por el promedio
entre los tiempos t-1 y t+1, como lo indica la Ecuación (2.84), para eliminar la
inestabilidad condicional que implica un esquema CTCS aplicado a la ecuación
de transporte (Ferziger & Peric, 1999).
2hhh
1t1tit
i
+− +=
(2.84)
La discretización por este método de la Ecuación (2.65) es como sigue:
( )
( ) )x(Ox2hhv
)v(x
hhh212h
p)t(Ot2hh
2t
1it
1iti
ti2
t1i
1ti
1ti
t1i
21t
i1t
i
x
y
∆+
∆−
−
+∆
+
+−
α+=∆+∆−
−+
−−+
+−+
(2.85)
Y finalmente en:
( )t
1i1t
it
1i
ti1t
i h)D21()D2Co(h
)D21()D21(h
)D21()D2Co(
)D21(t)v(2
D21tp2h y
+−
−+
+−
−+−
+++
++
∆+
+∆
=
(2.86)
CT CS modificado
CS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
64
Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack aplicado al Modelo
Tectónico-Sedimentario
Este método es la extensión del método predictor-corrector MacCormack ya
explicado para el modelo tectónico. El predictor emplea el esquema explícito de
diferencias finitas hacia adelante para las primeras derivadas: temporal (FT) y
espacial (FS) y diferencia finita central para la segunda derivada espacial (CS):
( ) )x(Ox
hhv)v(x
hh2hp)t(Othh 2
ti
t1it
iti2
t1i
ti
t1i
tii
xy
*∆+
∆−
−+
∆
+−α+=∆+
∆− +−+
(2.87)
Al rearreglar la Ecuación (2.87), despejando *ih y empleando los valores
de D y Co obtenemos la siguiente expresión para calcular el predictor en cada
paso de tiempo:
)hh2h(DCohh)Co1(t)v(tph t1i
ti
t1i
t1i
ti
tii y
*−++ +−+−++∆+∆= (2.88)
El corrector utiliza un esquema explícito de diferencias finitas hacia
adelante (FT) de segundo orden para la derivada temporal, central para la
segunda derivada espacial (CS) y un híbrido de BS y FS para la primera derivada
espacial, que resulta ser de segundo orden, como se muestra a continuación:
FT CS FS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
65
( ))x(O
xhh
xhh
2v
)v(x
hh2hp)t(O
thh 2
ti
t1i1ii
tit
i2
t1i
ti
t1i2
ti
1ti
**x
y ∆+
∆−
+∆−
−+
∆
+−α+=∆+
∆− +−−+
+
(2.89)
Para obtener la expresión del corrector despejamos t1ih + del cuarto
término de la derecha de la Ecuación (2.88):
( ))hh2h(Dhh)Co1(t)v(tpCo1h t
1iti
t1ii
ti
ti
t1i
*y −++ +−+−++∆+∆=
(2.90)
Finalmente sustituimos (2.90) en (2.89) y al despejar 1tih + obtenemos el
corrector:
( ))hh2h(D)hh(Cohht)v(tp21h t
1iti
t1i1iii
ti
ti
1ti
***y −+−
+ +−+−−++∆+∆= (2.91)
2.4.2.2. Métodos Implícitos de Diferencias Finitas para Resolver el Modelo
Tectónico-Sedimentario
Método 1: Método BTCS aplicado al Modelo Tectónico-Sedimentario
Este método es la extensión del método implícito BTCS para el modelo
tectónico explicado en la Sección 2.4.1.2., utilizando la diferencia finita central
(Ecuación (2.33)) de forma implícita para discretizar la segunda derivada
espacial:
( ))x(O
xhh2h
xh 2
2
1t1i
1ti
1t1i
t
i2
2
∆+∆
+−=
∂∂ +
−++
+ (2.92)
FT CS BS y FS
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
66
La discretización es como sigue:
( ) )x(Ox2hhv)v(
xhh2hp)t(O
thh 2
1t1i
1t1it
iti2
1t1i
1ti
1t1i
ti
1ti
xy ∆+
∆−
−+
∆
+−α+=∆+
∆− +
−++
+−
+++
+
(2.93)
Despejando 1tih + y empleando las expresiones de D y Co se obtiene la
expresión final del método, la cual genera un sistema algebraico (tridiagonal) de
ecuaciones que debe resolverse para cada iteración temporal:
( ) ti
ti
1t1i
1ti
1t1i h2t)v(2tp2hD2Coh)D21(2h)D2Co( y +∆+∆=−++++− +
+++
−
(2.94)
Método 2: Método Crank-Nicolson aplicado al Modelo Tectónico-
Sedimentario
Este método es la extensión del método implícito Crank-Nicolson para el
modelo tectónico, explicado en la Sección 2.4.1.2., utilizando promedios de
diferencias finitas centrales en t y t+1 para la segunda derivada espacial:
BT implícito CS implícito CS implícito
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
67
( ) ( )
( ))x(O
x2hh
x2hh
2v
)v(
xhh2h
xhh2h
2p)t(O
thh
2t
1it
1i1t1i
1t1i
tit
i
2
t1i
ti
t1i
2
1t1i
1ti
1t1i2
ti
1ti
xy ∆+
∆−
+∆−
−+
∆
+−+
∆+−α
+=∆+∆−
−++−
++
−++−
+++
+
(2.95)
Al reordenar la ecuación (2.95) obtenemos la ecuación final del método,
que nuevamente genera un sistema algebraico tridiagonal de ecuaciones a
resolver para cada iteración temporal:
( )
( ) t1i
ti
t1i
ti
1t1i
1ti
1t1i
hD2Coh)D1(4h)D2Co(
t)v(4tp4hD2Coh)D1(4h)D2Co( y
+−
++
++−
−−−+++
∆+∆=−++++−
(2.96)
2.4.3. Convergencia de los Métodos de Diferencias Finitas
Convergencia significa que conforme x∆ y t∆ tienden a cero, los resultados de la
técnica por diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera (Chapra et
al., 1999). Según Sewell (1988) convergencia = consistencia +estabilidad. Un método
de diferencias finitas es consistente con la ecuación diferencial si el error de
truncamiento tiende a cero a medida que el paso x∆ tiende a cero. No
obstante, la consistencia no garantiza automáticamente convergencia (Sewell,
1988). El error de truncamiento es la cantidad por la cual la solución de la ecuación
diferencial no alcanza a satisfacer la ecuación aproximada (Sewell, 1988). Todas
CT con paso ∆t/2 CS en t+1 y en t
CS en t+1 y en t
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
68
las expresiones de diferencias finitas mostradas en este capítulo están
acompañadas del término del error de truncamiento )x(O 1n+∆ ú )t(O 1n+∆ . Un
método de diferencias finitas es estable si los errores en cualquier etapa del
cálculo no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo avanza
(Chapra et al., 1999).
2.4.3.1. Condiciones de Estabilidad para los métodos de diferencias finitas
aplicados al Modelo Tectónico
Todo método explícito de diferencias finitas aplicado a una EDP con términos
advectivos es estable si está sujeto a la condición de Courant-Friedrichs-Lewy,
mejor conocida como condición de Courant, la cual establece que el número de
Courant (Ecuación (2.39)) debe ser menor o igual que 1 para que el método sea
estable (Vemuri, 1981), es decir:
1x
t)v( tix
≤∆
∆
(2.97)
En la práctica, se determina el valor máximo de ti)v( x al comienzo del
algoritmo del método, el x∆ es fijado inicialmente y el t∆ es calculado a partir
de la condición de Courant, convirtiendo la inecuación en una ecuación que se
iguala a un valor de Co menor a 1 (en este caso Co= 0.5), para asegurar que el
método explícito está cumpliendo con la condición de Courant. Por otra parte,
los métodos implícitos de diferencias finitas son incondicionalmente estables.
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
69
2.4.3.2. Condiciones de Estabilidad para los métodos de Diferencias
Finitas aplicados al Modelo Tectónico-Sedimentario
A continuación se resumen las condiciones de estabilidad para cada uno de los
métodos de diferencias finitas utilizados en este estudio para resolver la
Ecuación General de Modelado Tectónico-Sedimentario Directo.
Método de Diferencias
Finitas
Condición de
Estabilidad
Expresión para
calcular t∆
Lax 1D2Co2 ≤≤ α∆
≤∆2x5.0t
Contraviento de primer
y tercer orden 1D2CoCo2 ≤+≤
2
tix
x2
x
)v(max1t
∆α
+∆
≤∆
Dufort-Frankel 1Co ≤ . No hay
restricción para D tix )v(max
xCot ∆≤∆
Sin embargo en la
práctica es necesario un
t∆ pequeño para
obtener una solución
que sea suficientemente
exacta y consistente. El
método es consistente
solo si t∆ << x∆
Exp
lícit
os
Predictor-Corrector
MacCormack 9.0Co < y
5.0D ≤ α∆
≤∆2x5.0t
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Métodos de Diferencias Finitas
70
BTCS Incondicional-
mente estable
No es necesaria Im
plíc
itos
Crank-Nicolson Incondicional-
mente estable
No es necesaria
Tabla 2.3 Condiciones de estabilidad de los métodos de diferencia finitas para resolver la ecuación de transporte
Capítulo 3
PROGRAMACIÓN
DE LOS MÉTODOS DE DIFERENCIAS FINITAS
En este capítulo se muestran fragmentos de la codificación de los métodos
numéricos explicados en el Capítulo 2, en lenguaje C++, mediante los cuales se
resuelve tanto el modelo tectónico como el modelo tectónico-sedimentario.
3.1. Enfoque de Programación
El enfoque utilizado para programar los métodos explícitos e implícitos vistos
en el Capítulo 2 de este trabajo, aplicados tanto al modelo tectónico como al
tectónico-sedimentario, es el de orientación a objetos.
“…Superficialmente, el término orientación a objeto significa que
organizaremos el software como una colección de objetos discretos que
incorporan tanto estructuras de datos como procedimientos. Esto contrasta con
la programación convencional, en la cual las estructuras de datos y el
comportamiento están solo aproximadamente conectados…” (Hernández,
1990).
“…El proceso de clasificación es el enfoque central de la orientación a
objeto y concierne a la agrupación de objetos con propiedades (estructuras de
datos o atributos) y comportamiento (operaciones) similares dentro de una
clase…”(Hernández, 1990).
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
72
Los atributos o componentes de datos de una clase se llaman miembros de
datos y las operaciones o componentes de función de una clase se llaman funciones
miembros (Deitel y Deitel, 1994). Las operaciones (también denominadas
métodos) de una clase pueden ser de cuatro tipos (Hernández, 1990):
Operación Constructor: Esta operación produce una nueva instancia (objeto),
perteneciente a la clase.
Operación Destructor: Esta operación permite al usuario descartar instancias de
objetos que ya no son necesarias.
Operación de Accesos: Esta operación permite al usuario acceder a los
elementos de la clase, únicamente para visualizarlos.
Operación de Transformación: Esta operación produce nuevos elementos al
permitirle al usuario acceder a los elementos de la clase, y transformarlos.
Existe otro tipo de operaciones que no pertenecen a la clase, que se
denominan funciones amigas, las cuales se definen por fuera del alcance de dicha
clase, pero aún así tiene el derecho de acceso a los miembros privados de la
clase (Deitel y Deitel, 1994). Para culminar esta revisión teórica sobre conceptos
básicos utilizados en la programación orientada a objetos vamos a definir dos
tipos de miembros de clase, según el modo de accesibilidad: los miembros
privados (private) que son aquellos miembros de clase accesibles unicamente a las
funciones miembros de la clase, y los miembros públicos (public) son aquellos
miembros de clase accesibles a cualquier programa que tenga acceso a un objeto
de la clase (Deitel & Deitel, 1994).
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
73
3.2. Definición de una Clase de Objeto
Para abordar la programación de los métodos de la manera más clara posible,
procedemos a diseñar una clase de objeto que hemos denominado "línea". La
clase línea define a una sucesión finita de puntos que representa los diferentes
tipos de líneas (línea de falla, línea axial, línea de pliegue) que describen el
modelo geométrico de la estructura geológica en estudio, denominada pliegue
asociado a falla no plana, como ya se mencionó. A continuación se describen los
atributos y métodos (u operaciones) de los que consta la clase línea. 3.2.1. Atributos de la clase línea
Los atributos definidos para la clase línea son:
n_puntos: es un entero que indica el número de puntos totales (incluyendo el
punto 0) que representará cada línea al ser discretizada. Este valor debe ser igual
para los tres tipos de línea que pueden ser construidos por esta clase: línea de
falla, línea axial y línea de pliegue.
dx: número real que indica la distancia en x (dada en metros (m)) o el paso que
existe entre los puntos de la línea.
**puntosLinea: es una matriz real dinámica de dos filas que contiene las
coordenadas x de los n_puntos de una línea (de cualquier tipo) en la fila 0 y las
coordenadas y (o altura) en la fila 1.
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
74
**puntosLineaAuxiliar: es una copia de **puntosLinea, requerida para algunos
metodos de la clase.
corteFallaX1: número real que indica la coordenada x donde ocurre el primer
cambio de pendiente en la línea de la falla en sentido izquierda-derecha, dada en
metros (m).
corteFallaX2: número real que indica la coordenada x donde ocurre el segundo
cambio de pendiente en la línea de la falla en sentido izquierda-derecha, dada en
metros (m).
anguloFalla: número real que representa el ángulo de inclinación θ (en grados)
de la línea de falla en la región 2 de la estructura, respecto al eje x, viene dado en
grados.
tasaDeslizamiento: tasa de deslizamiento S, viene dada en m/ka .
reduccionDeslizamiento: es la proporción R en que se reduce la tasa de
deslizamiento. Se denota por la letra R (adimensional).
3.2.2. Métodos de la clase línea
Los métodos definidos para la clase línea son:
//CONSTRUCTORES DE CLASE:
Constructor de la línea de falla:
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
75
Método que crea un objeto línea con las características de una línea de falla,
generando las coordenadas x, y de cada uno de los puntos que conforman la
línea de falla e introduciéndolos en una matriz.
Constructor de la línea axial:
Método que crea un objeto línea con las características de una línea axial,
generando las coordenadas x,y de cada uno de los puntos que conforman la
línea axial e introduciéndolos en una matriz.
Constructor de una línea de pliegue:
Método que crea un objeto línea con las características de una línea de
pliegue en condiciones iniciales, es decir, una línea horizontal con una altura
h determinada, generando las coordenadas x,y de cada uno de los puntos que
conforman la línea de pliegue e introduciéndolos en una matriz
//MÉTODOS DE TRANSFORMACIÓN:
a)Métodos aplicados al modelo tectónico:
Son los métodos que calculan los cambios de una línea en el tiempo, producidos
por procesos tectónicos únicamente.
//Métodos explícitos de diferencias finitas aplicados al modelo
tectónico:
Método 1: Método Lax o FTCS (Forward Time Central Space) modificado
Método 2: Método de diferencias Contraviento FTBS (Forward Time Backward Space)
Método 3: Método Leapfrog o CTCS (Central Time Central Space)
Método 4: Método Lax-Wendroff
Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
76
//Métodos implícitos de diferencias finitas aplicados al modelo
tectónico:
Método 1: Método BTCS (Backward Time Central Space)
Método 2: Método Crank-Nicolson
b) Métodos aplicados al modelo tectónico-sedimentario:
Son los métodos que calculan los cambios de una línea en el tiempo, producidos
por procesos tectónicos y sedimentarios.
//Métodos explícitos de diferencias finitas aplicados al modelo
tectónico-sedimentario:
Método 1: Método Lax o FTCS (Forward Time Central Space) modificado
Método 2: Método de diferencias Contraviento de Primer Orden
Método 3: Método de diferencias Contraviento de Tercer Orden
Método 4: Método Dufort-Frankel
Método 5: Método Predictor-Corrector MacCormack
//Métodos implícitos de diferencias finitas aplicados al modelo
tectónico-sedimentario:
Método 6: Método BTCS (Backward Time Central Space)
Método 7: Método Crank-Nicolson
//Método modificador de altura
Método asignador de altura:
Método que asigna al objeto línea las coordenadas y (altura) de todos los
puntos de otro objeto línea especificado en el argumento de la función
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
77
//MÉTODOS DE ACCESO:
Método consultor de altura:
Método que retorna la altura de un punto de la línea, especificado por el
índice i
Método comparador de alturas:
Método que compara la altura o coordenada y de todos los puntos que
conforman la línea de pliegue con la altura de una segunda línea de pliegue,
asignando a la primera las alturas que sean mayores de los puntos de la
segunda
Método impresor de línea:
Método que imprime por pantalla las coordenadas x,y de una línea de
cualquier tipo (de falla, axial, de pliegue)
Método impresor de línea en formato gOcad:
Método que imprime las coordenadas x,y de una línea de cualquier tipo (de
falla, axial, de pliegue) en un archivo de extensión .vs que luego puede ser
leído por un paquete computacional gráfico denominado gOcad11
//DESTRUCTOR DE CLASE:
Destructor de línea:
Método que libera la memoria ocupada por cualquier objeto de la clase línea
previamente creado por el constructor de clase
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
78
//FUNCIONES AMIGAS:
Función amiga Vx:
Función que calcula la componente x de la velocidad de un punto en una
posición dada; Vx depende de la región en la que se encuentre el punto
ubicado en ese momento del proceso evolutivo.
Función amiga Vy:
Función que calcula la componente y de la velocidad de un punto en una
posición dada; Vy al igual que Vx, depende de la región en la que se
encuentre el punto ubicado en ese momento del proceso evolutivo.
3.3. Codificación de la clase línea
En el Cuadro 3.1 se muestra el código fuente de especificación de la clase línea,
contenido en el archivo linea.h , desarrollado en lenguaje C++.
11 El programa gOcad de Earth Decision Sciences es una aplicación que se utiliza en la exploración y modelado del subsuelo, y permite la realización de gráficos en 2 y 3 dimensiones a partir de columnas de valores de coordenadas leídos directamente de un archivo de extensión .vs
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
79
#include <iostream> using namespace std; class linea { //Atributos de la clase línea: private: int n_puntos; double dx,**puntosLinea,**puntosLinea_Auxiliar,corteFallaX1, corteFallaX2; float anguloFalla, tasaDeslizamiento, reduccionDeslizamiento; //Métodos de la clase línea: public: //CONSTRUCTORES DE CLASE: linea(int, double, double, double, float, float); linea(int, double, float, double, double, float); linea(int, double, double); //MÉTODOS DE TRANSFORMACIÓN: //Métodos explícitos de diferencias finitas para el modelado TECTÓNICO: void metodoLax_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); void metodoContravientoFTBS_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); void metodoLeapfrog_Tectonico(double, linea*, linea *, linea *); void metodoLaxWendroff_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); void metodoMacCormack_Tectonico(double, linea *, linea *, linea *); //Métodos implícitos de diferencias finitas para el modelado TECTONICO: void metodoBTCS_Tectonico(double, linea*, linea *, linea *); void metodoCrankNicolson_Tectonico(double, linea*, linea *, linea *);
Programación de los Métodos de Diferencias Finitas
80
//Métodos explícitos de diferencias finitas para el modelado TECTONICO-SEDIMENTARIO: void metodoLax_TectonicoSedimentario(double, linea *, linea *, linea *, float, float); void metodoContravientoFTBSprimerOrden_TectonicoSedimentario (double, linea *, linea *, linea *, float, float); void metodoContravientoFTBStercerOrden_TectonicoSedimentario (double, linea *, linea *, linea *, float, float); void metodoDufortFrankel_TectonicoSedimentario(double, linea*, linea *, linea *, float, float); void metodoMacCormack_TectonicoSedimentario(double, linea*, linea *, linea *, float, float); //Métodos implícitos de diferencias finitas para el modelado TECTONICO-SEDIMENTARIO: void metodoBTCS_TectonicoSedimentario(double, linea*, linea *, linea *, float, float); void metodoCrankNicolson_TectonicoSedimentario(double, linea *, linea *, linea *, float, float); void asignaAltura(linea *); //METODOS DE ACCESO: double obtieneAlturaPunto(int); void comparaAltura(linea *); void imprimeLinea(); void imprimeLineaGOCAD(char *); //DESTRUCTOR DE CLASE: ~linea(); //FUNCIONES AMIGAS: friend double Vx(int, linea *, linea *, linea *); friend double Vy(int, linea *, linea *, linea *);
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