View
228
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Opis przepływu cieczyIdealizacja cieczy rzeczywistej
• nieściśliwa
• nie posiada lepkości
Gazy – gdy przepływają powoli można
nie brać pod uwagę ich ściśliwości i
traktować je jak nieściśliwe ciecze.
Euler: znajomość prędkości przepływu w każdym punkcie cieczy
o współrzędnych x, y, z
),,,(1
tzyxfx
=υ ),,,(2 tzyxfy =υ ),,,(3
tzyxfz
=υ
Lagrange: znajomość losów określonej cząstki cieczy
dt
dxx
=υ
dt
dyy
=υ
dt
dzz
=υ
równanie toru
dttzyxfdtdxx
),,,(1
== υ
dttzyxfdtdy y ),,,(2== υ
dttzyxfdtdzz
),,,(3
== υ
Linia prądu: krzywa w każdym punkcie styczna do
prędkości cieczy przepływającej przez ten punkt.
Przepływ stacjonarny – układ linii prądu nie zależy do czasu, a wiec
charakteryzuje równocześnie tory przebiegane przez poszczególne cząstki...
Wiązka przylegających do siebie linii prądu tworzy „rurkę prądu”
1υ
2υ
2S
1S
W przepływie stacjonarnym masa cieczy zawarta w pewnej objętości jest
stała, tzn. przez każdy przekrój poprzeczny rurki prądu w jednostce czasu
przepływa taka sama masa cieczy:
constSm == υρgdzie S – powierzchnia przekroju
poprzecznego rurki (w dowolnym miejscu),
υ- średnia szybkość przepływu cieczy dla
tego przekroju,
ρ - gęstość cieczy
Dla nieściśliwej cieczy idealnej:
constS =υSzybkość stacjonarnego przepływu jest większa,
tam gdzie rurki skupiają się zaś mniejsza, gdy się
rozszerzają…
Jeśli podzielić cały przepływ cieczy na rurki o jednakowej
(np. jednostkowej) wartości Sυ.
Szybkość przepływu (objętość na jednostkę czasu) proporcjonalna
do liczby rurek, przecinających jednostkę powierzchni przekroju
prostopadłego do przepływu.
x∆
y∆
z∆
x
z
y
Elementarny prostopadłościan o krawędziach zyx ∆∆∆ , ,
W kierunku osi x przez tylną ściankę prostopadłościanu
przepływa w czasie ∆t objętość:
tzyxVx
∆∆∆= υ)(
Przez ściankę przednią prostopadłościanu
wypływa w czasie ∆t objętość:
tzyxx
xxV x
x∆∆∆∆
∂
∂+=∆+ )()(
υυ
Wypadkowy wypływ wzdłuż x:
tzyxx
V x
x∆∆∆∆
∂
∂=∆
υ
Analogicznie wzdłuż kierunków y i z dostaniemy:
tzyxy
Vy
y∆∆∆∆
∂
∂=∆
υtzyx
zV z
z∆∆∆∆
∂
∂=∆
υ
Dla cieczy nieściśliwej objętość cieczy wpływającej do prostopadłościanu,
musi być równa objętości cieczy wypływającej z niego, zatem:
0=∆+∆+∆zyx
VVV
0=∇=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂υ
υυυ r
zyx
zyx
0)()()()( =∇=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂υρρυρυρυr
zyxzyx
Analogicznie dla cieczy ściśliwej byłoby:
Hydrodynamicznerównanie ciągłości
Przyspieszenie elementu cieczyRównanie Newtona dla elementu o jednostkowej objętości można
zapisać w postaci:
farr
=⋅ρa – przyspieszenie elementu cieczy
f - siła na jednostkę objętości
ρ - gęstośćJakie siły mogą działać na element cieczy?
• pochodzące od ciśnienia, a właściwie zmiany ciśnienia na przestrzeni
elementu cieczy
xx
pp ∆
∂
∂+p
x∆
Biorąc pod uwagę trzy kierunki
gęstość siły wyniesie:
zyxx
pF
x∆∆∆
∂
∂−=∆
zyxpxxpFx
∆∆−∆+=∆ )]()([
x
pf
V
F
zyx
Fx
xx
∂
∂−==
∆
∆=
∆∆∆
∆
Wypadkowa siła wzdłuż x:
Siła wzdłuż x na jednostkę
objętości (gęstość siły):
pz
p
y
p
x
pf ∇−=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−=
rr,,
• zewnętrzne siły zachowawcze działające na odległość
(siła grawitacji, siła Coulomba) - można je opisać za pomocą
potencjału ϕ(x,y,z) na jednostkę masy:
ϕρϕϕϕ
ρ ∇−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂−=
rr,
),,(,
),,(,
),,(
z
zyx
y
zyx
x
zyxf
zp
• zewnętrzne siły niezachowawcze
• „wewnętrzne” siły niezachowawcze np. siła lepkości
(prowadzi do występowania naprężeń ścinających w
przepływającej cieczy)
lepfr
Sumując przyczynki od różnych czynników dostajemy:
lepfpa +∇−−∇= ϕρρ
Zajmijmy się teraz przybliżeniem nielepkiej cieczy („sucha woda”…)
ϕρρ ∇−−∇= pa
Spróbujmy znaleźć przyspieszenie a elementu cieczy. Z pozoru jest to łatwe…
A Bt∆υ
r
),,,( tzyxυr υυ
rr∆+
tor cząstki
t∂
∂υr
- szybkość z jaką prędkość zmienia się
w pewnym ustalonym punkcie przestrzeni (x,y,z)
),,,( tzyxυr
Jak zmienia się prędkość wybranej cząstki cieczy?
Jeśli element cieczy, w czasie ∆t przesunie się od punktu A do punktu B,
czyli przesunie się o υυυυx∆∆∆∆t w kierunku x, υυυυy∆∆∆∆t w kierunku y i υυυυz∆∆∆∆t w kierunku z.
Prędkość cząstki chwili t w punkcie (x,y,z) ),,,( tzyxυr
Prędkość cząstki w chwili t+∆∆∆∆t ),,,( tttztytxzyx
∆+∆+∆+∆+ υυυυr
Z dokładnością do
wyrazów
pierwszego rzędu: tt
tz
ty
tx
tzyx
tttztytx
zyx
zyx
∆∂
∂+∆
∂
∂+∆
∂
∂+∆
∂
∂+=
=∆+∆+∆+∆+
υυ
υυ
υυ
υυ
υυυυrrrr
r
r
),,,(
),,,(
Stąd zmiana prędkości cząstki przy przejściu z punktu A do B:
tzyxtzyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∆
∆ υυυ
υυ
υυ
υrrrrr
Można to zapisać w postaci:
tt ∂
∂+∇=
∆
∆ υυυ
υr
rrr
)(
Zatem równanie ruchu cząstki cieczy (przy pominięciu lepkości) ma postać:
ϕρ
υυυ
∇−∇
−=∇+∂
∂ p
t
rrr
)(
Jeśli skorzystamy z
tożsamości wektorowej:2
2
1)()( υυυυυ ∇+××∇=∇
rrrr υrr
×∇=Ωrotacja
wektora υr
ϕρ
υυυυ
∇−∇
−=∇+××∇+∂
∂ p
t
2
2
1)(
rrr
++−∇=××∇+
∂
∂ϕ
ρυυυ
υ p
t
2
2
1)(
rrr
Dla przepływu stacjonarnego (ustalonego) – w każdym punkcie cieczy prędkość się nie zmienia (w każdym punkcie ciecz zostaje zastępowana nową cieczą, linie prądu
są ustalone w czasie). Czyli: 0=
∂
∂
t
υr
++−∇=××∇ ϕ
ρυυυ
p2
2
1)(
rrZatem równanie ruchu
przyjmie postać:
Pomnóżmy je skalarnie
(z lewej strony) przez wektor υr
Ponieważ wektor υυrr
××∇ )( jest prostopadły do wektora υr
to lewa strona równania (**) przyjmuje wartość zero co oznacza, że dla
przepływu stacjonarnego
02
1 2 =
++∇⋅ ϕ
ρυυ
pr
Czyli dla małego przesunięcia w kierunku ruchu cieczywielkość w nawiasie nie ulega zmianie…
(**)
++−∇=×Ω+
∂
∂ϕ
ρυυ
υ p
t
2
2
1rrr
lub
Ale w przepływie stacjonarnym (ustalonym), wszystkie przesunięcia zachodzą
wzdłuż linii prądu! Zatem wzdłuż linii prądu zachodzi związek:
constp
=++ ϕρ
υ 2
2
1Twierdzenie Bernoulliego
Jeśli ruch jest bezwirowy,
to już wcześniej
moglibyśmy napisać:
0)( =××∇=Ω υυrrr
02
1 2 =
++∇ ϕ
ρυ
p
constp
=++ ϕρ
υ 2
2
1zachodzi w całej cieczy!
Równanie Bernoulliego można też wyprowadzić inaczej korzystając z zasady
zachowania energii…
Twierdzenie Bernoulliego – przejaw zasady zachowania energii
1υ
2S
1S
∆m
∆mt∆1
υ
t∆2
υ
2υ
Rurka prądu
tStSm ∆=∆=∆222111
υρυρ
Tyle ile cieczy ile wpłynęło
na jednym końcu
rurki musi wypłynąć
na drugim:
222111υρυρ SS =
Rozważmy przepływ
w rurce prądu…
Masa cieczy przepływająca przez przekrój S1 w czasie ∆t…1p
2p
Praca wykonana przez ciśnienie
w cieczy (siła razy przesunięcie):tSptSpW ∆−∆=∆
222111υυ
Zmiana energii masy ∆m przy przejściu z od powierzchni S1
do powierzchni S2
)(12222111
EEmtSptSp −∆=∆−∆ υυ
gdzie, E1, E2 – energia przypadająca na
jednostkę masy, odpowiednio
na powierzchni S1 oraz S2.
Całkowitą energię na jednostkę masy cieczy można przestawić w postaci sumy
energii kinetycznej, potencjalnej ϕ i pewnej energii wewnętrznej cieczy U:
UE ++= ϕυ 2
2
1
(*)
Korzystając z tego związku wyrażenie (*) można zapasać w postaci
11
2
122
2
2222111
2
1
2
1UU
m
tSptSp++−++=
∆
∆−∆ϕυϕυ
υυ
ale tStSm ∆=∆=∆222111
υρυρ więc:
22
2
2
2
211
2
1
1
1
2
1
2
1U
pU
p+++=+++ ϕυ
ρϕυ
ρ
constp
=++ ϕυρ
2
2
1
Dla cieczy nieściśliwej i bez lepkości wyraz z energią wewnętrzną jest
taki sam po obu stronach równania i wzdłuż rurki mamy:
Prawo Bernoulliego
Wypływ cieczy z naczynia
p0
p0
linia prądu
h
υwyp
Na górze: 0 , ,00
=== ϕυ pp
Przy otworze: ghppwyp −== ϕυ , , 0
Zatem:ghpp
wypρρυ −+= 2
002
1
Stąd:gh
wyp2=υ
Tak jak przy spadku swobodnym!
Ile wody wypływa ze zbiornika w jednostce czasu?
Zdziwiłby się ten kto by myślał, że wystarczy pomnożyć prędkość wypływu przez
czas i rzeczywistą powierzchnię otworu. Strumień cieczy zawęża się i w efekcie
wypływ cieczy zmniejsza się - dla otworu o przekroju kołowym do ok. 60%...
Dlaczego?
constp =++ ρϕρυ 2
2
1
Rozważmy sytuację, w której do środka naczynia wstawimy rurkę
o pewnym (małym) przekroju S0…
h
p0
p0
υwyp
Co z zasadą zachowania pędu?
Dotychczas korzystaliśmy z zasady
zachowania energii.
Wypływająca ciecz unosi pewien pęd, a zatem
musi na nią działać pewna siła…
Skąd się bierze?
Siła pochodzi od ścianek naczynia…
Niech przekrój strumienia wyniesie: 0SSeff α=
W czasie ∆∆∆∆t z otworu
wypnie masa ∆m: tSm wyp∆=∆ ρυα 0
tStSpwypwypwyp
∆=∆=∆ 2
00)(~ ρυαυρυαUnoszony przez ciecz
pęd wyniesie:
2
0
~
wypS
t
pF ρυα=
∆
∆=
Zatem na element ścianki
naczynia naprzeciwko rurki
działa siła:
0S 0S
Siła reakcji działająca na strumień jest równa sile parcia jaki wywiera ciecz
na powierzchnię ścianki S0 naprzeciwko otworu (zakładamy, że przy
ściankach ciecz się praktycznie nie rusza):
ghSF ρ0
=
2
00 wypSghS ρυαρ =
Ale wiemy, że ghwyp 2=υ
ghSghS 200ραρ =
2
1=α
Zatem z takiego otworu wypłynie o połowę mniej cieczy, niż by się można spodziewać!
Ma to znaczenie, jeśli chce się wiedzieć ile wody może wypłynąć z beczkowozu
przez otwór o znanej średnicy…
Ciśnienie statyczne i dynamiczne
υυυυ1 υυυυ2
constp
=++ ϕυρ
2
2
1
2
22
2
112
1
2
1ρυρυ +=+ pp
Na tym samym poziomie mamy ten sam
potencjał …
)(2
1 2
1
2
221 υυρ −=− pp
2211SS υυ =Ale z równania
ciągłości:
−=− 1
2 2
2
2
12
121S
Spp υ
ρ
Trochę doświadczeń ilustrujących prawo Bernoulliego
• kuleczka ping-pongowa w strumieniu powietrza
• strumień powietrza pomiędzy kartkami powietrza
• wciąganie kulki przez lejek…
• efekt Magnusa…i lepkość
Jakościowe wyjaśnienie:Dzięki lepkości
obracający się walec „napędza”
cząsteczki powietrza po lewej stronie
i hamuje po prawej…
Po lewej stronie walca gaz ma
większą prędkość, niż po prawej,
to oznacza (zgodnie z prawem
Bernoulliego), że ciśnienie statyczne
po prawej stronie będzie większe niż
po lewej…
Wykorzystują to piłkarze, strzelając
bramki np. z rzutu rożnego…
12 υυ > 1υ
12 pp <21 pp >
F
walec
staczający się
po równi
D D
F Siła oporu proporcjonalna
do prędkości ruchu
Jeśli odstęp x od ścianek naczynia
jest większy od grubości D warstwy
granicznej, to można przyjąć, że
szybkość ruchu cieczy maleje liniowo
ze wzrostem odległości…
x
Sk η=
η- współczynnik lepkości
υrr
kF −=
1,7 ·10-5 N s/m2Powietrze (20 0C)
9,7 ·10-1 N s/m2Olej rycynowy (20 0C)
107 N s/m2Smoła (20 0C)
8,5 ·10-1 N s/m2Gliceryna (20 0C)
1,0 ·10-3 N s/m2Woda (20 0C)
Lepkość – tarcie wewnętrzne
xS
F0
υη=
Naprężenie
ścinania
η - współczynnik lepkości
υ
0υ
xpłyn
F
Jeśli rozważymy dwie bardzo bliskie warstwy w cieczy to wtedy siłę ścinającą
(siłę lepkości) możemy przedstawić w postaci
dx
dSF
υη=
dx
dυ- spadek szybkości
cieczy w kierunku
prostopadłym do
przepływuυ
υυ ∆+
dx
S
S
S - powierzchnia płytki
Rozważmy dwie (bliskie siebie) płaskie płytki
z cieczą lepką pomiędzy nimi…
Przepływ cieczy lepkiej przez (wąską) rurkę
p
l
r R
pp ∆+
Rozważmy rurkę (strugę) cieczy o promieniu r . Niech różnica ciśnień na końcach
elementu takiej rurki (o długości l) wynosi ∆p
Siła podtrzymująca przepływ stacjonarny w takiej rurce wynosi:
2rpF π∆=
Wartość siły oporu lepkiego, działająca rurkę (ścianki rurki) wynosi:
dr
dlrrF
l
υπη 2)( −=
Dla przepływu
stacjonarnegoFF
l=
dr
dlrrp
υπηπ 22 −=∆
rdrl
pd
ηυ
2
∆−=
To równanie określa
zależność szybkości
cieczy od odległości
od środka rurki r
∫∫∆
−==0
0
''2
')(R
drrl
pdr
ηυυ
υNa powierzchni rurki
r=R, υ(R)=0W środku rurki:
υ(0)= υ
( )22
4)( rR
l
pr −
∆=
ηυ
maxυ
2
max2
Rl
p
ηυ
∆=
Rozkład prędkości
ma kształt paraboli!
Objętość cieczy przepływającą przez rurkę w jednostce czasu można obliczyć
sumując przyczynki od pierścieni o grubości dr otaczających naszą strugę…
Wewnątrz pierścienia prędkość wynosi υ(r)
r
drrdrr
dt
dVdI πυ 2)(==
( )
−
∆=−
∆= ∫ ∫∫
R RR
drrrdrRl
prdrrR
l
pI
0 0
32
0
22
22
4 η
ππ
η
−
∆=
422
44RR
l
pI
η
π
l
RpI
η
π
8
4∆=
Wzór Poiseuille’a: pozwala określić wartość
współczynnika lepkości η z pomiaru ilości cieczywypływającej z rurki (kapilary)…
Naczynia krwionośne
- sieć kapilarna, przepływ
napędzany przez serce…
)(rυ
Recommended