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Colegio Técnico Nacional “Arq. Raúl María Benítez Perdomo”
Matemática Primer Curso
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Radicación
Sea “a” un número real cualquiera, y “n” un número natural mayor que 1, se
llama raíz n – esima de “a” a todo número real “x”, que satisface la ecuación xn = a.
Si la ecuación no tiene solución “a” no tiene raíz n – esima.
√
siempre que se verifique
Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice
Si n = 3, es la raíz cúbica
Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente
Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente
natural y base negativa tenemos que
3a y 3a81a4 4
2b32b5 5
29x no tiene raíz en (Conjunto de números
reales)
En general se cumple:
a) Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces una positiva y otra negativa. Los
números reales negativos no tienen raíz n – esima cuando n es par.
b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n – esima del mismo signo que a.
Ejemplos Resultados
√
√
√
√
No existe en el conjunto
de números reales
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Propiedades
1) Para hallar la raíz enésima de una potencia, se divide el exponente entre el índice,
siempre que la raíz sea exacta.
√
⁄
2) Raíz enésima de un producto, es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de
los factores, siempre que las operaciones sean posibles
√
√ √
3) El producto de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice, cuyo
radicando es el producto los radicandos de los radicales dados.
√ √
√
4) Raíz enésima de un cociente, es igual al cociente de las raíces enésimas de cada uno de
sus términos, siempre que las operaciones sean posibles.
√
√
√
5) El cociente de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice cuyo radicando
es el cociente de los radicandos de los radicales dados.
√
√
√
6) El valor de un radical no altera si se multiplican o dividen exactamente por un mismo
número y el exponente.
√
√
√
√
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7) La raíz enésima “m” de la raíz enésima “n” de un número es igual a la raíz de índice
“mn” de dicho número.
nmm n a a
Hallar las raíces aplicando la propiedad 1:
3 36
48
3 6
4
nm125 )4
nx36 )3
b27 )2
x )1
3 93
4 84
224
4 84
nm64 )8
ba16 )7
zyx64 )6
ba )5
Radicales semejantes
Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando
√
√
√
Reducción de radicales semejantes: se realiza la suma de dos o más radicales semejantes es
otro radical semejante cono ellos, cuyo coeficiente y signo resulta de la suma de los
coeficientes de los radicales dados, con sus respectivos signos
Reducir los radicales semejantes
1) a2a3a4a4
2) cc5ab3ab4
3) 3333 bx4ax3bx4ax2
4) 355733
5) a2a22
3a
2
1a2
3
1
6) a3a38a35
7) 575358510
8) 767871075
9) 36
x3
3
x3
2
x
10) ab3ab5ab2ab 2222
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Simplificación de Radicales
Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión. Reducir un radical es
cambiar su forma sin cambiar su valor.
Un radical queda reducido a su más simple expresión sí:
a) El radicando no contiene factores con exponentes igual o mayor que el índice.
b) El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor común aparte
del 1 (uno)
c) No aparece ninguna fracción dentro del radical,
d) No aparece ningún radical en el denominador de una fracción.
Simplificación
Cuando la cantidad subradical o radicando tiene factores con exponentes mayores o iguales
al índice. En este caso se extraen del radical los factores posibles
Ejemplos
√
se procede a escribir las potencias de tal forma que el cociente entre el exponente
y el índice sea exacto
√
= se aplica la regla del producto para extraer los factores del radicando (aquelos
que sean iguales o mayores que el índice)
√
es la simple expresión
2) 65 yx8 2 Se procede a descomponer en sus factores y se aplica la regla
del producto, al descomponer se disponen los factores de tal
forma que el cociente entre exponente e índice sean enteros
yxx22 2 642
Se aplica la regla del producto para extraer factores del
radicando, aquellos que son mayores o iguales al índice
x2yx 22 321
multiplicando los factores x2yx 4 33
√𝑎
𝑎√𝑎
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Simplificar
1) 3 46ba81
2) 3x20
3) 3 3x16
2
x
4) 4 486 cba64
5) 53nm125
5
4
6) 6 1868 zyx
7) 5 76ba32
2
1
Cuando existe un factor común entre el índice de la raíz y todos los exponentes de los factores
de la cantidad radical. En este caso se dividen el índice y los exponentes por el factor común
(se aplica la propiedad número 6)
Ejemplo
1) 6 8x625
se realizan los mismos pasos que en el ejercicio anterior
6
2x6x45 6
2x45 x como existe entre el índice y los exponentes de los factores
del radicando un factor común dos, se divide entre el factor
común.
2
6
22
x24
5 x 3 x25 x3
x25 x
Simplificar
1) 6 2a36
2) 4 22 yx
3) 6 3y125
4) 8 42 yx16
5) 4 1026 cba25
6) 12 96 yx64
7) 8 8412 cba625
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Cuando dentro del radical existe una fracción
1) 32x
y
no es la forma más simple dado que aparece dentro de la raíz una fracción,
por lo que se procede a amplificar la fracción por una expresión conveniente
de tal forma a que el denominador pueda extraerse de la raíz
3
x2x
xy3
2x
y3
3x
y x
se extrae de la raíz como en los casos anteriores
Simplificar los siguientes radicales
1) x
a
2) 8
a 3
3) 32x
1
4) 3 y9
x 3
5) 42 y61
ax
6) 52 y
x32 3
7) 3
a
x8 a
Simplificar
1) √
2) √
3) 3 73ba27
4) √
5) √
6) √
7) 4b3a
8) 4 6b532a
9) 3 8y654x 2
10) 5 9z1032y
2
3
11) 2ba 50
12) 6 6z927y
4
a
13) 4 8z10y448a 2a
14) 3 9c781a
2
1
15) 4 9z10y 625
5
3
16) 3 9z627y a
17) 6 6z10y 16 2x
18) 5 5z1025y
5
2
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√ 𝑎 + √ 𝑎 √ 𝑎 √ 𝑎 √ 𝑎
Suma y resta con radicales
Lo primero que habrá que hacer es simplificar todos los radicales que sean posibles.
Finalmente se reducen los radicales semejantes (si los hay)
Simplificar: √ + √ √
Primeramente se simplifican los términos
√ + √ √
√ + √ √ se extraen algunos de los factores de las raíces
√ + √ √ se reducen los radicales semejantes
( + )√ √
Ejercicios
1) √ √ + √ + √
2) √ + √
3) √
+ √
4) √ √
5) √ √ √
6) √ √ + √ √
7)
√ √ √
8) √ – √ + √ √
9) √ √ + √
10) √ √
11) √ + √ √ √
Ejercicios de repaso. Simplifica los siguientes radicales
1) 3 24 ba27 2
2) 4 64 ba4
3) 3 35 yx24 a
4) a
2 2
5) 6 69 yx27 2
6) 767871075
7) b7ax20b15ax19
8) 32583506
No olvidemos, que cada
signo de suma y resta me
separa un término de otro
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√ 𝑥
√ 𝑥 𝑦
𝑥 √𝑥 𝑦
=
9) z144yx9z25yx49 22
10) c36ba25c144ba225 22
Multiplicación de radicales
Si los radicales tienen el mismo índice se multiplican los coeficientes
entre sí y las cantidades subradicales simplificando el resultado si es
posible;
√
√ se multiplican los coeficientes y las cantidades subradicales.
√ y luego se simplifica
Observación, si no se desea descomponer 16, el producto resultante de 2 y 8. Se puede
descomponer cada uno de los factores y luego multiplicar
√
√
Halla el producto
1)
2) ab5a122 3b
3) 3 423 2 ba10 a ba4 2
4) 4 334 2 nm n2 nm m2
5) yx49 5
1 50xy
7
3 3 2
6) 3 443 22 ba6
a
1 ba4 a
Si los radicales son compuestos se puede resolver aplicando la propiedad distributiva o como
el producto entre polinomios
Ejemplo 1
Multiplicar 2223275
75 32 2
22
1410 64 222
Simplificando 222
El producto queda: 464 1410
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Ejemplo 2
Multiplicar 3223322
22 33
2 32
222 63
62 236
4 + 6 18
Reduciendo términos semejantes nos queda 622
Resuelve
1) 333325 =
2) ab2cb2a =
3) 233522 =
4) 353352
5) 323323
6) ba2b5a3
7) bba2b2ba
8) Halla el área de:
a) Un cuadrado cuyo lado mide cm62
b) Un rectángulo sabiendo que la base mide cm723 y la altura es de cm7
c) Un trapecio rectángulo sabiendo que las bases miden cm23 y
cm132 respectivamente y su altura es de cm3
d) Un triangulo cuya base mide cm63 y la altura cm34
9) 3 4xy2 3 y2x4
10) b5ab122a3
11) 5 445 2 ya8 ya4
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√ 𝑥 𝑦
√ 𝑥 𝑦
𝑦 √𝑥𝑦
División de radicales
Si los radicales tienen el mismo índice se dividen los coeficientes entre sí y los radicandos
simplificando el resultado si es posible.
Dividir √
√
se dividen los coeficientes y los radicandos:
√
√
se simplifican los radicales
√
√
Resolver
1) x2 4x 25
2) 3 xy3 y2x y
3) bca712 cb28a 15 236
4) y x63 z y12x6 234
5) 44 59 xy 5yx 01
Potencia de un radical
Se eleva el coeficiente y el radicando a dicha potencia y luego se simplifica si es posible.
Ejemplo 1: 43 )x3a2(
Elevando a la cuarta el coeficiente y cada factor radicando 3 4x43 4a42
Se puede simplificar el radical, descomponiendo en factores 3
x3x333 4a16
3 x3 x4a48
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Recuerda una expresión algebraica es racional cuando la parte literal no está
afectada del símbolo de radicación, y es irracional cuando existe parte literal que
está afectada por el signo radical.
Ejemplo 2: 2
b2a
Se aplica la regla del cuadrado de un binomio
2
b2a 2b2b2a22
a
Elevando y simplificando b4 ab4a
Resolver
1) ( √
)
2) ( √ )
3) (√ √ )
4) ( √ + √ )
5) ( √ )
6) (√ √ )
Racionalización de denominadores
Racionalizar significa hacer racional una expresión que es irracional
Racionalización del denominador de expresiones algebraicas
Dada una expresión algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama
racionalización del denominador de dicha expresión al proceso por el cual se determina otra
expresión algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la
expresión algebraica dada
Para racionalizar se amplifica la fracción por una expresión llamada factor
racionalizante.
Recuerda: el cuadrado de la suma
de un binomio es igual al cuadrado
del primer término más el doble
producto del primero por el segundo
más el cuadrado del segundo
término
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𝑥
√ 𝑦
𝑥 √ 𝑦
𝑦
Ejemplo 1
√
Se descompone el radicando y se amplifica la fracción por una expresión conveniente, de tal
manera que el denominador quede una expresión racional.
√
√
√
√
√
√
√
√
Entonces
Racionalizar los denominadores
1) x4
23
2) x
3
4 3
3) a b
a3
Ejemplo 2.
1x
1x 2
1x
1x 1x1 x
21x
1x 1x1 x
1x
1x
1x
12x
1x
12x
Simplificando (x + 1), se obtiene
1x 1x
1x
1x 1x1 x
Factor
racionalizante Product
o
Hallamos la
raíz del
denominador
Simplificando
el 2
Factor
racionalizante
Se descompone el
polinomio
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Racionalizar los denominadores
1)
ba
ba 22
2)
xx
xax2x 22
Ejemplo 3:
b a
b2 a
En este caso el factor racionalizante es b a ; se considera que el índice es 2, y
atendiendo que 22 yxyxyx ; es decir se completa el factor que falta para que
su producto sea una diferencia de cuadrados.
b a
b a
b a
b2 a
1a a
1a2 a
Se multiplican los numeradores y los denominadores en tre sí, ba
2bab3a
Racionalizar
1)
y2 x
y x3
2)
3 5
32 53
3)
2 72
23 7
Simplificar
1)
√
2)
√
3)
√
4)
√
5) √
√ √
6) √ √
√ √
7) √ √
√ √
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Práctico Nº 4
Simplificar
1) yx25 2 24
2) 4 94ba81
3) 3 84 yx24
4) 6 86 yx9
5) 3
x
a
6)
4
8
1
7) y3 x9y3 x5y3 x2
8) x27x45 x20 x3
9) z144 yx9 z25 yx49 22
10) ba20 b12 ab25 a3
2 2
11) cab5 b bca75 a 222
12) b3aba2
13) 2352252
14) ya6 z y2a1 a 234
15) cba5 3 cb5a2 6 235
16) Halla el perímetro y el área de un rectángulo sabiendo que la base mide cm35
y la altura mide cm33
17) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas dimensiones son
cm23 y cm38 ;cm610
18) 4
3 2 cb 2
19) 2
b-a 2
20) 2
322
21) 2
5322
22) a5
2
23) 4x
23
24)
b-a
b2a2
25)
2y x
y4x 22
26) 3 2
2
27)
2 52
235
28)
y x5
y2x
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Ecuaciones con radicales
A las ecuaciones donde la incógnita aparece bajo un signo radical, se las conoce como
ecuaciones irracionales.
Ejemplos 6x72x2 ; 9x6x10
Resolver la ecuación 6x72x2
Para resolver primeramente es necesario racionalizar la expresión irracional, es decir, hacer
que sea racional.
Para ello se despeja la expresión irracional, dejándola en cualquiera de los miembros
x672x2 Luego se eleva ambos miembros a un exponente igual al índice del
radical.
22
2 x672x Se resuelve las operaciones (con este proceso queda
racionalizada la ecuación)
22 xx123672x Se resuelve la ecuación resultante
7236x12xx 22 Despejando la incógnita
36x12 Reduciendo términos semejantes
12
36x
Simplificando
3x Solución de la ecuación, la cual es necesario verificar
Para la verificación se reemplaza el valor obtenido en la ecuación dada, y se verifica si ambos
miembros son iguales
6x72x2 Reemplazamos el valor de x
637232 Resolvemos
639
66 Verifica la igualdad.
Entonces se puede decir que 3x es la solución de la ecuación
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Resolver la siguiente ecuación
9x6x10
Resuelve las siguientes ecuaciones
1) 34 x
2) 6 6y5
3) 105x4x
4) 2y38y9 2
5) xx 3392
6) xxx 8822
7) 35z371z4
8) 9x6x10
9) 10 5x4x
10) 3x2693x2
Al fin terminé la
unidad de radicales
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