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Réalisé par
R. MARRAKHA. KHAYAR
Khayar-marrakh
Université Hassan-IIFaculté des sciences Aïn chock
Casablanca
Professeurs assistants - département de physique
sphériques
Les coordonnées cartésiennes
employées habituellement pour
représenter un point dans l'espace à
trois dimensions ne sont pas toujours
les plus appropriées. On retiendra deux
autres types de coordonnées pour
repérer un point ou décrire un champ
( scalaire ou vectoriel ) : les
coordonnées cylindriques et les
coordonnées sphériques.
Les coordonnées cartésiennes
employées habituellement pour
représenter un point dans l'espace à
trois dimensions ne sont pas toujours
les plus appropriées. On retiendra deux
autres types de coordonnées pour
repérer un point ou décrire un champ
( scalaire ou vectoriel ) : les
coordonnées cylindriques et les
coordonnées sphériques.
Khayar-marrakh
Pré requis :
Objectifs :
Au terme de ce travail le participant doit être capable de :
Système de coordonnées cartésiennes et cylindriques
Grandeurs scalaires et vectorielles
Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte…
Repérer un point de l’espace en utilisant le système des coordonnées sphériques
Passer des coordonnées cylindriques et sphériques aux coordonnées cartésiennes
Utiliser ces systèmes de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant
une symétrie sphérique
Coordonnées sphériques
Khayar-marrakh
y
x
z
Oy
x
z
O
Peut on repérer le point M dans le demi
plan constante par de nouvelles coordonnées ?
On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cylindriques.
CoordonnéesDomaine de
variation
Oui, le point M est parfaitement repéré dans le plan méridien, si on connait la distance OM = r
Khayar-marrakh
y
x
z
O
z( , , )
z
Voici un point M dans l’espace.
r = OM ] 0 , + [
= ( Ox+, Om) [ 0 , 2 [
Ox+ le demi-axe positif
(origine des phases)
m
r = ( Oz+, OM) [ 0 , ]
Oz+ le demi-axe positif
(origine des phases)
r
Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , et .
Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques.
et l’angle .
Comment le repérer ?
Origine : le point O
Question :Réponse :
M
Considérons le triangle rectangle Om′m.
Khayar-marrakh
exprimons x et y en fonction de et
z
y
x
h ( r , )
P
P
y
x
z
M
m
Dans ce triangle on a :
cos z r
sin r
r sz co
r sin
Soient r, et les coordonnées du point M.
exprimons et z en fonction de ret
Considérons le triangle rectangle OO′M.
r
Dans le demi-plan P
z
O
O
z OO′
M
r
r cos
r sin
Dans ce triangle on a :
Dans le plan P ( Oxy )
m′
x
y
y
m
m′ x
O
cos x
sin y
osx c
iny s
cos
sin
r sin cos
r sin sin
Expressions de r, et en fonction de x , y et z.
Objectif : On cherche à exprimer x , y et z en fonction
de r , et
f ( r , )
g ( r , )
y
x tg
2 2
2
x y
z tg
2 2 2x y z r
Surfaces de Coordonnées
Deuxième surface de coordonnée
0 ( ret varient respectivement de 0 à + et de 0 à 2 )
Troisième surface de coordonnée
0 ( r et varient respectivement de 0 à + et de 0 à )
Première surface de coordonnée
r =r0 (et varient respectivement de 0 à et de 0 à 2 )
Définition :
Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante.
Khayar-marrakh
Le point M décrit un cercle de centre O' et de rayon ro sin .
Pour = 2 , = , - et - :
Pour θ quelconque :
On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayon rosin i ( i = 2 , 3…)
1
Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et ?
Khayar-marrakh
L’ensemble des cercles forme une sphère de centre O et de rayon ro. [ 0 , 2[
Lorsque on fait varier θ de façon continue … Question : rr0
m
Réponse :
O
z
y
x
Si on fixe r( rr
Soit M un point de coordonnées r, et .
[ 0 , ]
Pour = :
Dans une rotation = 2…
Première surface de coordonnée r = ro
r0 sin θ1
r0 sin θ1
O'M
r0 sin θ2
r0 sin θ2
2
r0
Conclusion :
C’es la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées
sphériques
La première surface de coordonnée décrite par le point M est une sphère
de centre O et de rayon ro.
Le point M décrit un cercle d’axe Oz et de rayon r1 sin . Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et r ?
Lorsque on fait varier r de façon continue …
Soit M un point de coordonnées r, et .
Réponse :
Khayar-marrakhz
L’ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons r sin θo forme un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet .
On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons ri sin o ( i = 2 , 3…).
Si on fixe ( Pour r quelconque :
M
M
M
[ 0 , 2[
Question :
r
m
Oy
x
Pour r = r : Dans une rotation = 2…
Pour rr , r = r3 et r = r4 … r1
M
r2
r3
r4
z
] 0 , [
Deuxième surface de coordonnée = o
Conclusion :
La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet o.
Pour rr , r = r3 et r = r4 …
Dans une rotation = …
Khayar-marrakh
r2
2
r4
2
rr1
m
M
r1
2
r2
z
M
r3
M
r4
M
r3
2
O
Réponse :Si on fixe (
Pour r quelconque :
[ 0 , ]
Question :
] 0 , [
Pour r = r :
x
y
Conclusion :
La troisième surface de coordonnée décrite par le
point M est un demi-plan ( le méridien ) ayant l’axe Oz
pour frontière et faisant un angle 0 avec l’axe Ox+ .
Troisième surface de coordonnée = 0
Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r1 .
L’ensemble des demi-cercles forme un demi- disque de rayon infini demi-plan. On obtient des demi-cercles de centre O
et de rayons ri ( i = 2 , 3 , 4 …).
Soit M un point de coordonnées r, et .
Lorsque on fait varier r de façon continue …
Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et r ?
Khayar-marrakh
Axes de Coordonnées
Axe des
r = ro et =o
Axe des
r = ro et = o
Axe des r
= o et = o
Définition :
Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de
coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant
les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième.
Khayar-marrakh
x
y
z
o
Leur intersection donne
l’axe (orienté) des r
= = oet
Axe des r
On trace les deux surfaces de coordonnées:
r
Conclusion :
L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cône, de sommet O, et
du demi-plan o; forme une demi-droite d’origine O. Cette demi-droite est
appelée axe des r.
Khayar-marrakh
O
z
y
x
Leur intersection donne
l’axe (orienté) des
Axe des
On trace les deux surfaces de coordonnées:
r = ro = oet
x
O
z
Conclusion :
L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro,
et du demi-plano; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est
porté par l’axe Oz. Ce demi-cercle est appelé axe des .
Khayar-marrakh
y
x
z
o
Axe des
r = ro = oet
Leur intersection donne
l’axe (orienté) des
Conclusion :
L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro,
et du cône, de demi-angle au sommet o; forme une circonférence d’axe Oz. Ce
cercle est appelé axe des .
On trace les deux surfaces de coordonnées:
, et changent de direction et de sens, suivant la
position du
point M dans l’espace.
re
e
e
est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes
cylindrique et sphérique.
e
Khayar-marrakh
e
O′
Vecteurs unitaires
e
e
Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées.A partir de M on trace les vecteurs unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes.
eAxes des vecteurs unitaires
Pour un autre point M′
e
rr
er
M
e r
M ′
Conclusion :
sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes
des r, deset des dirigés dans le sens croissant des variables r,et .
re , e , e
z
O y
x
ayant le même sens que O r.
tangent à l’axe des et dans le sens de la
rotation tangent à l’axe des et
dans le sens de la rotation
re
r
e
Khayar-marrakh
zr sin coe e es
zcos e s ei e n
ee
Etape 1 : passage du système sphérique au système cylindrique.
Etape 2 : passage au système cartésien.
Expressions de , et dans le système cartésien
z
M
ez
e
er
e
y
e
e
z
ez
P
y
O'e
M
er ee
z
x
O
x
O
z
r
er
er
rDans le demi-plan P
e
Procédure :
dans le système sphérique e
on a la configuration suivante :
et
dans le système cylindriquee
sont identiques
e
ez
e
er
e
e
e
Remplaçant, maintenant, et par leurs expressions dans le système cartésien.
e e
x yee cos s n ei
x yesin cos e e
x zr y sin cos sin sin e e e os ec
Objectif :On cherche à exprimer , et dans le
système cartésien
er e e
Etape 2
Etape 1
Les des deux étapes donnent: résultat établi au diapositive 16(coordonnées
cylindriques)
x yee sin c eos
x y z cos cos cos sie e en e sin
O
z
y
xMM' = M2M' + M1M2 + MM1
Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire
dans ce système de coordonnées ? dl = MM'
r
r
d
r
MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M'
M2 M' =
Deuxième déplacement suivant l’axe des
Le déplacement élémentaire est le résultat
de trois déplacements :
de M à M'
Khayar-marrakh
MM1 =
M1 M2 =
M2 M' =
e
e
re
r sin d
r d
dr
Troisième déplacement suivant l’axe des r
d
M
Déplacement élémentaire
Soient M et M' deux points de l’espace.
Premier déplacement suivant l’axe des
de M vers M1MM1 =
r d drr sind
Question :Réponse :
de M1 vers M2
de M2 vers M'
N.B. : M’ est infiniment voisin de M.
e
e
re
M1 M2 =
M'
M1
M2
r sind
ou encore
M
r
M'
rdr
d
+ d
M M1
r
d
r
M1 M2
r
d
r
d
M2 M'
r
d
r + dr
d
O'
rd dr e r d e rsin d e ..............
Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des
y
x
z
O
suivi d’un autre suivant l’axe des ,
Surfaces élémentaires
r= constante
Un déplacement élémentaire MM’, sur la sphère r = constante définit un élément de surface .
On se trouve sur la
sphère derayon r.
dS = e
Λe
r d
dS
r2 sinddre
=
r sind
A retenir :
dS = r2 sindd
N.B. : M’ est infiniment voisin de M.
dS
on obtient un élément de surface dS
dr
dr sin
dS
M M’
Khayar-marrakh
Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des suivi d’un autre suivant l’axe des r,
= constante
Un déplacement élémentaire MM', sur la surface = constante, définit un élément de surface .
On se trouve sur la
surface latérale
du cône.
dS = e
Λ re
e
r sin drd=
M'M
r sind
dr
A retenir :
dS = r sindrd
N.B. : M’ est infiniment voisin de M.
dS
dS
dS
on obtient un élément de surface dS
z
O
x
y
Khayar-marrakh
Un déplacement élémentaire M M', sur la surface = constante, définit un élément de surface .
r drd
e
=
Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des suivi d’un autre suivant l’axe des r,
= constante
On se trouve sur
le demi-plan .
dS = re
Λ e
r d
dS dr
A retenir :
dS = r drd
MM'
dS
z
O
x
y
N.B. : M' est infiniment voisin de M.
dS
dSon obtient un élément de surface
et effectuons des déplacements élémentaires
le long de ces axes.
On obtient le volume élémentaire d
Khayar-marrakh
r d
r
d
= r2 sindrdd
Volume élémentaire
Soient M et M' deux points de l’espace.
N.B. : M' est infiniment voisin de M.
Un déplacement élémentaire MM' définit
un élément de volume d
re
e
Λe
d = ( )
Traçons d’abord les axes de coordonnées
Surface de la base
A retenir :
d = r2 sindrdd
M'M
dr
r sind
z
y
x
O
dr
Nous désirons exprimer nos
remerciements à tous les collègues qui,
par leur aide et leur encouragement,
nous ont permis d’achever ce travail.
Nous désirons exprimer nos
remerciements à tous les collègues qui,
par leur aide et leur encouragement,
nous ont permis d’achever ce travail. Septembre 2009
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