Referentin: Mandy Peter Stetige Kleinste-Quadrate- Approximation
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- Folie 1
- Referentin: Mandy Peter Stetige Kleinste-Quadrate-
Approximation
- Folie 2
- Ausblick 1. Wiederholung 2. Stetige
Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? 2.2.
Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit
verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel 3.
Literatur
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- 1. Wiederholung Diskrete Kleinste-Quadrate-Approximation
Funktion f(x) nur an diskreten Stellen bekannt Approximation des
funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe Nherungsfunktion Gesucht: Das
Minimum der Funktion
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- Zugehriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:
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- 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es?
Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt Ziel: Funktion
f(x) durch Nherungsfunktion P(x) zu ersetzen
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- 2.2. Polynomapproximation Gesucht ist das jenige Polynom, dass
im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate mglichst gut den
funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervallapproximiert.
Gesucht: Minimum der Funktion
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- Notwendige Bedingungen fr Minimum: Man erhlt: Daraus ergibt
sich: Gausche Normalengleichungen
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- Dieses Gleichungssystem lsst sich in der blichen Form linearer
Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektoren und die
Matrixwie folgt definiert ist:
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- Satz: Es sei gegeben und es gelte. Dann besitzen die
Normalengleichungen eine eindeutige Lsung.
- Folie 10
- Beispiel Man approximiere die Funktion auf dem Intervall durch
ein Polynom zweiten Grades. Damit ist gesucht, fr das gilt:
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- Das Gleichungssystem, was es zu lsen gilt, lautet:
- Folie 12
- 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen Sei ein
System von n+1 stetigen Funktionen gegeben, die auf dem Intervall,,
linear unabhngig sind. Satz: Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann
sind auf jedem beliebigen Intervall,, linear unabhngig.
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- Definition: Eine integrierbare Funktion heit Gewichtsfunktion
auf dem Intervall, falls gilt: fr und auf jedem Teilintervall von.
Zweck: Teilabschnitte vom Intervall knnen hervorgehoben werden, auf
denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.
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- Verallgemeinertes Polynom: Gesucht: Minimum der Funktion
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- Notwendige Bedingungen fr ein Minimum: Normalengleichungen
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- Definition: Ein System stetiger Funktionen heit orthogonal auf
dem Intervall bezglich der Gewichtsfunktion, falls: Gilt des
weiteren, dann nennt man das Funktionensystem orthonomiert.
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- Definition: Die Zahl heit die Norm der Funktion auf dem
Intervall.
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- Satz:
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- 2.4. Harmonische Analyse Sei orthonormiertes Funktionensystem
auf dem Intervall mit den Funktionen
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- Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode auf dem
Intervall. Dann lautet das verallgemeinerte Polynom: Die Summanden
heien Harmonische.
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- Gesucht: Minimale Abweichung des Polynomsvon der Fkt. im Sinne
der Methode der Kleinsten Quadrate. Koeffizienten sind nach der
Formel zu bestimmen: Man erhlt: Die Koeffizienten und heien
trigonometrische Fourierkoeffizienten
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- Fall 1: f(x) ist gerade Funktion Dann:
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- Fall 2: f(x) ist ungerade Funktion Dann:
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- Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den
Grenzbergang, so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe:
mit,, Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrisches
Fourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser
Funktion
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- Sgezahnschwingung
- Folie 26
- Lsung der Harmonischen Analyse Ungerade Funktion -> reicht
aus b zu berechnen
- Folie 27
- Lsung der Harmonischen Analyse
- Folie 28
- Beispiel Man bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom,
das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmglich
approximiert. Gerade Funktion -> b fllt weg: Zu berechnen
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- Lsung der Harmonischen Analyse
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- 3. Literatur HERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. Mnchen:
Oldenbourg Wissenschaftsverlag. PETERS, Thomas:
[http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf; 21.05.2014]
[http://me-lrt.de/img/TM3-V02-05-Menschliche-Stimme-
Klangkurve.png; 21.05.2014]