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Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
Teoremas do valor inicial e do valor finalSistema de 1ª ordem sem zerosSistema de 2ª ordem sem zeros
Sistema sub-amortecidoSistema criticamente amortecidoSistema sobre-amortecido
Influência de um zero na resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido
Sistemas de ordem superior
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
resposta em frequência
Teoremas do Valor Inicial e do Valor FinalResposta no Tempo de SLITs Causais
Entradas típicas
Sinusoide:
ts
tuttut
sttuttu
stutu
tt
sin
1
2
1TL
2
1
1TL
1TL
1TL
312
12
211
11
Parábola unitária:
Rampa unitária:
Escalão unitário:
Impulso de Dirac:
tx ty sH
Dados , e as condições iniciais, calcular .
tx sH ty
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
c.i.=0
Resposta no Tempo de SLITs Causais
tx ty sH
0,0:iniciaiscondições
;;23s
112
yy
tutxs
sH
Dados:
Sistema inicialmente em repouso 00,0,0,0 1 nyyyy
sYtysXsHsY 1TL
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
c.i.=0
tx ty sH
0,0:iniciaiscondições
;;23s
112
yy
tutxs
sH
Dados:
Condições iniciais não nulas 00,0,0,0 1 nyyyy
sYtysY
sXsHsY
10c.i.
0c.i.
TL
ldiferencia equação
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
tx ty sH
00,10:iniciaiscondições
;;23s
112
yy
tutxs
sH
Dados:
ldiferencia equação0c.i. sXsHsY
sXs
sY23s
12
sXsYssYsYs 232
txtydt
tdy
dt
tyd 23
2
2
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta devido às condições iniciais não nulas
resposta ao sinal de entrada com condições iniciais nulas
23
003
23
122
ss
yyssX
sssY
sY 0c.i.ldiferencia equação
txtydt
tdy
dt
tyd 23
2
2
Resposta no Tempo de SLITs Causais
tx ty sH
00,10:iniciaiscondições
;;23s
112
yy
tutxs
sH
Dados:
sXsYyssYysysYs 203002
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
regime estacionário
regime transitório 2
2/1
1
12/1
23
132
2
ssssss
sssY
23
003
23
122
ss
yyssX
sssY
sYtysY -1TL
Resposta no Tempo de SLITs Causais
tx ty sH
00,10:iniciaiscondições
;;23s
112
yy
tutxs
sH
Dados:
23
31
23
122
ss
s
sss
tueetuty tt1
21 2
1
2
1
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
s
sX1
s
sHsY1
sH
Qual o valor final da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Final
ssYtyst 0limlim
s
ssHtyst
1limlim
0 sH
s 0lim
N
M
sss
sTsTsTKsH
111
111
21
210
Forma das constantes de tempo
0K
A resposta estacionária do SLIT à entrada escalão unitário é um escalão de amplitude igual ao ganho estático .0K
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
s
sX1
s
sHsY1
sH
s
ssHtyst
1limlim
0
sH
s lim
MN
MNK
;0
;
Quando o número de polos é igual ao número de zeros, a resposta ao escalão é descontínua na origem.
Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Inicial
ssYtyst
limlim0
Forma factorizada
N
M
pspsps
zszszsKsH
21
21
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
s
sX1
s
sHsY1
sH
0limlim
0yssYsty
st
Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da derivada da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Inicial
tystyst
TLlimlim0
0
1lim y
sssHs
s
0lim ysHs
s
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
b
sHys
1lim
0
1lim0
sHys
a
bysHsy
s
10lim0
Exemplo
s
sX
asb
assH
1
1
ty
t 1ba
1
b1
0
1b
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta no Tempo de SLITs Causais
Exemplo
s
sX
s
ssH
1
1 2
0lim0
sHys
0lim0
sHys
10lim0
ysHsys
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
TsssTs
TsY
/1
111
/1
/1
Sistemas de 1ª Ordem sem Zeros
s
sX1
s
sHsY1
sH Ts
T
sTsH
/1
/1
1
1
sRe
sIm
T/1
ganho estático unitário
ty
t
1
0 T T2 T3
63.2
%
86.5
%
95.0
%
declive
T/1
tuetuty Tt1
/1
Regime estacionário
Regime transitório
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de 1ª Ordem sem Zeros
sRe
sIm
T/1
ty
t
1
0
T/1 aumenta
tempo de estabelecimento, , é o intervalo de tempo necessário para que a resposta do SLIT atinja e se mantenha numa vizinhança previamente especificada do valor final da resposta.
st
yyty s 05.0
st (5%):
05.011 / Ttse 05.0/ Ttse Tts 3%5
T
y1
0
Tts 4%2
Tts 6.4%1
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
sRe
sIm
n21 nj
21 nj
n
nj
nj
n
arcsin
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
sX sY sH 22
2
2 nn
n
sssH
ganho estático unitário
n - frequência natural
- coeficiente de amortecimento
Polos:
102 222 nnnn sss
10 Sistema sub-amortecido
Polos complexos conjugados
21 nn js
0
0
1 Sistema criticamente amortecidoPolo real duplo ns
1
1 Sistema sobre-amortecido
Polos reais distintos
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
s
sX1
s
sHsY1
sH 22
2
2 nn
n
sssH
sss
sYnn
n 1
2 22
2
sRe
sIm
n
21 nj
21 nj
n
nj
nj
n
Sistema subamortecido 10
22
12
1arctan1
sin1
11
na
at tutety n
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
parte imaginária dos polosganho estático unitário
parte real dos polos
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
sRe
sIm
naj
aj
n
nj
nj
n
10
2
2
1arctan
1
na
t
ty
0
1
tutety atn
12sin
1
11
aT
ptrt
%5
st
S
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
t
ty
0
1
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros 10
tutety atn
12sin
1
11
2
2 1arctan;1
na
Máximos e mínimos:
,2,1,0;
10
2
n
nnt
dt
tdy
na
Período das oscilações:a
aT 2
Tempo de pico:2a
ap
Tt
Tempo de crescimento (0% a 100%):
a
rr tty
1
rt
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
t
ty
0
1
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros 10
tutety atn
12sin
1
11
2
2 1arctan;1
na
05.0sin1
12
te atn
nst
3%5
Tempo de estabelecimento a 5%:
%5
st
05.0
y
yty
n
st 4
%2
n
st 6.4
%1
Sobre-elevação:
S
21100100%
e
y
ytyS p
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros 10
constanten
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros 10
constante
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros 10
constanten
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
s
sX1
s
sHsY1
sH
tuetty tn
n111
sssss
sYn
n
nn
n 11
2 2
2
22
2
Sistema criticamente amortecido 1
sRe
sIm
n
22
2
2 nn
n
sssH
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
s
sX1
s
sHsY1
sH 22
2
2 nn
n
sssH
Sistema sobre-amortecido 1
sRe
sIm
n
1p2p
Polos:
1
1
22
21
nn
nn
p
p
spsps
ppsY
1
21
21
tuepp
pe
pp
pty tptp
112
1
12
2 211
ty
t
1
0
2p aumenta
1p fixo
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Influência de um Zero no Sistema de 2ª Ordem Criticamente Amortecido
2
2
n
n
sa
assH
n
a
sIm
sRe
an 0
n
a
sIm
sRe
na 0
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Influência de um Zero no Sistema de 2ª Ordem Criticamente Amortecido
22
n
n
sa
assH
n
a
sIm
sRe
0)0(2
a
y n
Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um polo ou um zero no semi-plano complexo direito.
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
ganho estáticoresíduo associado ao polo ips
Sistemas de Ordem Superior
n
m
pspsps
zszszsKsH
21
21
s
sHsY1
polos distintos
nppp 21
n
i i
i
ps
a
s
K
1
0
n
i
tpi tueatuKty i
1110
Se , a contribuição do polo para o regime transitório é muito pequena.
0:, iki azpki
Polos não dominantes
Se , a contribuição do polo para o regime transitório decai muito rapidamente
ikppi ki :
Resposta no TempoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
ty
t
6
6.04.02.00
3original
aproximado
?
10aprox s
KsH
polos/zeros muito próximos
polo muito mais distante do eixo
sRe
sIm
10j
10j
100 10 1
Sistemas de Ordem Superior Exemplo
1001.210010
100250002
2
ssss
sssH
mesmo ganho estático
sHsHss
aprox00
limlim
10
50aprox
s
sH50K
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