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Teorema de Stokes, Gauss y EDP
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Universidad Tecnica Federico Santa Mara
Resumen Certamen 3 + Ejercicios - MAT024
Teorema de Stokes, Gauss y Ecuaciones Diferenciales Parciales
Fernando Iturbe Pemjean
Indice
1. Teorema de Stokes 21.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Teorema de Gauss 32.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Ecuaciones Diferenciales Parciales 43.1. Problema de Sturm-Lioville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Ecuacion de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3. Ecuacion de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3.1. Unidimensional(Barra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Ejercicios 144.1. Teorema de Stokes y Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Ecuaciones diferenciales Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
1. Teorema de Stokes
Es la circulacion por la curva generada por S, (Mismo razonamiento que el Teorema de Green)~F d~r =
~F nds
1.1. Ejemplos
1. Sea el campo F (x, y, z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y2 = 9y z = 1. Calcular
F ~nd con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes.
Asuma que la curva con orientacion anti horaria cumple la hipotesis del Teorema de Stokes.DesarrolloSea F = ~G y para que ~n sea normal exterior tendra que ser ~n = (0, 0, 1), entonces:
F ~nd =
(3, 5, 2) (0, 0, 1) = 2
dydx
Lo cual es equivalente al area del borde de la superficie S, como es una circunferencia, vienedado por piR2, en este caso R = 3, entonces:
F ~nd = 18pi
2. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad:
~F ~dr = 2a(a+ b)
donde es la curva interseccion entre el cilindro x2 + y2 = a2 y el plano xa
+ zb
= 1 y~F = (y z, z x, x y)DesarrolloDespejamos z en la ecuacion del plano:
z = b bax
Parametrizamos:~r(r, ) = (rcos(), rsen(), b b
arcos())
Con lo cual nos queda el vector normal:
~n = (b
ar, 0, r)
Ahora ~F = (2,2,2), entonces: 2pi0
a0
~F ( bar, 0, r)dadr = 2pia(a+ b)
2
2. Teorema de Gauss
Usar si piden calcular:
La integral de superficie
El flujo en direccion de la normal exterior
Recordar que la superficie debe ser Cerrada, si no lo es, se debe encerrar. S
~F ~ds =
V (S)
~FdV
Importante
Para todo ~F se cumple que:
( ~F ) = 0
Lo cual nos sirve en algunos casos para mezclar estos dos teoremas y resolver de manera mas simplelos ejercicios.
2.1. Ejemplos
1. Sea C la curva de inteseccion del paraboloide hiperbolico z = y2x2 y el cilindro x2+y2 = 1que vista desde arriba esta orientada en sentido antihoraria.Sea ~F (x, y, z) = (ax33xz2, x2y+ by3, cz3) y S una supercicie cuya frontera es C. Encuentrelos valores de a, b, c para los cuales
S~F~nd es independiente de la seleccion de S.
DesarrolloPara que
F ~nd sea independiente de S, se debe cumplir que la divergencia es igual a
cero, es decir ~F , por lo tanto: ~F = 3ax2 3z2 + x2 + 3cz2 = 0
3ax2 + 3cz2 = x2 + 3z2Por lo tanto: a = 1
3, b = 0 y c = 1
2. Evalue la integral de superficie
S~F ~nd del campo vectorial ~F dado y la superficie
orientada S indicada.~F = xzi 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con orientacionhacia fuera.DesarrolloPor Teorema de Gauss sabemos que:
~F ~nd =
~FdVEntonces como es una esfera, utilizamos coordenadas cilndricas y queda:
~F ~nd = 20
2pi0
pi0
(Rcos() 2)R2sen()dddR = 64pi3
3
3. Ecuaciones Diferenciales Parciales
Auxx +Buxy + Cuyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0
= b2 4acSi > 0: Ecuacion Hiperbolica (Ecuacion de onda)
Si = 0: Ecuacion Parabolica (Ecuacion de calor)
Si < 0: Ecuacion Elptica (Ecuacion de Laplace)
3.1. Problema de Sturm-Lioville
y + y = 0
Si = 0 entonces y = 0, la solucion viene dada por:
y = C1 + C2x
Si < 0, entonces la solucion viene dada por:
y = C1senh(x) + C2cosh(
x)
Si > 0, la solucion viene dada por:
y = C1cos(x) + C2sen(
x)
4
3.2. Ecuacion de Onda
Son de la forma:a2uxx = utt
Cuando x [a, b], t > 0 se resuelve mediante separacion de variables.
Ejercicio Desarrollado:Resolver:
uxx =1
a2utt
donde
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = x(L x)ut(x, 0) = 0
Resolvemos mediante separacion de variables, sea:
u(x, t) = X TEntonces la ecuacion queda:
X T =XT
a2
Separando:X
X=
T
a2T
Igualamos lo anterior a un multiplicador X
X=
T
a2T=
Con lo cual nos quedan dos ecuaciones:
X + X = 0
yT + a2T = 0
Notamos que la podemos resolver mediante el Problema de Sturm-Lioville:Con = 0:En este caso la solucion tiene forma:
X(x) = C1 + C2x
Mediante las condiciones iniciales podemos ver que:
X(0) = X(L) = 0
Entonces:X(0) = C1 = 0
5
X(L) = C2L = 0
L no puede ser igual a cero, por lo tanto la unica opcion es que C2 = 0, con lo cual nos da lasolucion trivial X(x) = 0 que no nos sirve.Con < 0:En este caso la solucion tiene forma:
X(x) = C1senh(x) + C2cosh(
x)Mediante las condiciones iniciales:
X(0) = C2 = 0
X(L) = C1senh(x) = 0
Recordemos que senh(x) = 0 x = 0, por lo tanto no sera cero puesto que < 0,
entonces C1 = 0, con lo cual tambien da la solucion trivial que no nos sirve.Con > 0:En este caso la solucion tiene forma:
X(x) = Acos(x) +Bsen(
x)
Mediante las condiciones iniciales:X(0) = A = 0
X(L) = Bsen(L) = 0
Para que no nos de la solucion trivial sen(L) = 0, con lo cual para que sea cero se debe cumplir
que: L = npi
con n N, despejando , obtenemos los autovalores:
=n2pi2
L2
Entonces la auto funcion es:Xn = Bnsen(
npix
L)
Ahora bien para la segunda ecuacion la solucion viene dada por:
T = Kncos(at) +Dnsen(
at)
Como ya obtuvimos anteriormente, entonces:
T = Kncos(npiat
L) +Dnsen(
npiat
L)
Por lo tanto:
u(x, t) =1
Bnsen(npix
L)[Kncos(
npiat
L) +Dnsen(
npiat
L)]
Ahora utilizando la condicion inicial ut(x, 0) = 0, primero derivamos respecto a t u(x, t) y nos da:
ut(x, t) =1
Bnsen(npix
L)[Knsen(npiat
L)npia
L+Dncos(
npiat
L)npia
L] = 0
6
Y ahora:
ut(x, 0) =1
Bnsen(npix
L)[0 +Dn
npia
L] = 0
Notamos que Bnsen(npixL
) 6= 0, entonces Dn = 0. Entonces por ahora tenemos:
u(x, t) =1
Bnsen(npix
L)[Kncos(
npiat
L)]
Ahora con u(x, 0) = x(L x):
u(x, 0) =1
Bnsen(npix
L)[Kn] = x(L x)
Obtenemos el coeficiente Bn mediante:
Obtencion Coeficiente
Bn =2
L
L0
x(L x)sen(npixL
)dx =4L2
n3pi3(1 (1)n)
Notamos que si n es par Bn = 0 y si es impar Bn =8L2
n3pi3.
Por lo tanto solamente tomamos los n impares, es decir de la forma 2k 1, con lo cual la solucionnos queda de la forma:
Resultado
u(x, t) =k=1
8L2
(2k 1)3pi3 sen((2k 1)pix
L)cos(
(2k 1)piatL
)
7
3.3. Ecuacion de Calor
3.3.1. Unidimensional(Barra)
a2uxx = ut
Ejercicio Desarrollado:Resolver:
uxx = a2ut
con las condiciones:
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = 5sen(5pix
L)
Resolvemos mediante separacion de variables, sea:
u(x, y) = X T
Entonces la ecuacion queda:X T = a2XT
Separando:X
X=a2T
T
Igualamos lo anterior a un multiplicador X
X=a2T
T=
Con lo cual nos quedan dos ecuaciones:
X + X = 0
y
T +
a2T = 0
La primera notamos que se resuelve mediante el Problema de Sturm Lioville, de la misma maneraque en los ejercicios anteriores notamos que con = 0 < 0 no sirve.Con > 0:En este caso la solucion tiene forma:
X(x) = Acos(x) +Bsen(
x)
Mediante las condiciones iniciales:X(0) = A = 0
X(L) = Bsen(L) = 0
8
Para que no nos de la solucion trivial sen(L) = 0, con lo cual para que sea cero se debe cumplir
que: L = npi
con n N, despejando , obtenemos los autovalores:
=n2pi2
L2
Entonces la auto funcion es:Xn = Bnsen(
npix
L)
Ahora bien para la segunda ecuacion diferencial con solucion de la forma:
T = Keta2
Entonces, como ya obtuvimos el valor de :
Tn = Knen2pi2tL2a2
Por lo tanto:
u(x, t) =0
Bnsen(npix
L)e
n2pi2tL2a2
Ahora utilizando las condiciones iniciales:
u(x, 0) =0
Bnsen(npix
L) = 5sen(
5pix
L)
Con lo cual notamos que con n = 5 se tiene que Bn = 5 y para el resto Bn = 0, por lo tanto:
Resultado
u(x, t) = 5sen(5pix
L)e
n2pi2tL2a2
9
3.4. Ecuacion de Laplace
uxx + uyy = 0
Sector Circularr2urr + rur + u = 0
Ejercicio DesarrolladoResolver:
urr +1
rur +
1
r2u = 0
Si la temperatura en el borde interior es 0 y en el borde exterior es f() = 20+5sen(2)+ cos(4).Determine la temperatura del anillo si 1 r 4, 0 2pi.Notamos que la solucion debe ser de la forma u = R y del texto obtenemos que:
u(1, ) = 0
u(4, ) = 20 + 5sen(2) + cos(4)
u(r, 0) = u(r, 2pi)
Entonces si multiplicamos por r2la ecuacion queda como:
r2urr + rur + u = 0
Con lo anteriorr2R + rR +R = 0
Multiplicamos todo por 1R
r2RR
+rRR
+R
R= 0
Simplificando:r2R
R+rR
R=
Ahora utilizamos un multiplicador
r2R
R+rR
R=
=
Con lo cual nos quedan dos ecuaciones:
+ = 0
La cual se resuelve mediante el problema de Sturm Lioville, notamos que con las condicionesiniciales tenemos que (0) = (2pi), entonces:Con = 0:
= A +B
Utilizando las condiciones iniciales(0) = B
10
y(2pi) = A2pi +B
Entonces:B = A2pi +B
Por lo tanto A = 0 Con < 0 No sirve puesto que da la solucion trivial.Con > 0:La solucion viene dada por:
= Acos() +Bsen(
)
Utilizando las condiciones iniciales:
(0) = A
(2pi) = A+Bsen(2pi)
Entonces:Bsen(
2pi) = 0
Para que se cumpla: 2pi = npi;n N
Entonces:
=n2
4
Por lo tanto:
n = Ancos(n
2) +Bnsen(
n
2)
Y la segunda ecuacion que nos queda es:
r2R + rR R = 0La cual es una Ecuacion Diferencial Couchy-Euler, donde R = rp, entonces R = prp1 y R =p(p 1)rp2, reemplazando en la ecuacion:
rp(p(p 1) + p ) = 0Entonces:
p = , > 0
Por lo tanto la solucion viene dada por:
R = Cr +Dr
Como ya tenemos , reemplazando:
Rn = Cnrn2 +Dnr
n2
Para < 0 no nos sirve y ahora para = 0 nos queda la ecuacion:
r2R = rR
11
R
R= 1
r
Integrando:ln(R) = ln(r)
Aplicando exponencial:R = r1
Integrando nuevamente:
R0 = Fln(r) + E
Entonces u(r, ) viene dado por:
u(r, ) = oRo +1
nRn
Reemplazando:
u(r, ) = Fln(r) + E +1
Ancos(n
2) +Bnsen(
n
2) Cnr n2 +Dnrn2
Utilizamos la condicion de borde u(1, ):
u(1, ) = Fln(1) + E +1
Ancos(n
2) +Bnsen(
n
2)[Cn +Dn] = 0
Por lo tanto para que se cumpla la igualdad E = 0 Y Cn = Dn, con lo cual nos queda:
u(r, ) = Fln(r) +1
Ancos(n
2) +Bnsen(
n
2) [Cnr n2 Cnrn2 ]
Juntando las constantes, sea Kn = CnAn Hn = CnBn:
u(r, ) = Fln(r) +1
Kncos(n
2) +Hnsen(
n
2) [r n2 rn2 ]
Ahora utilizando u(4, ) = 20 + 5sen(2) + cos(4):
u(4, ) = Fln(4) +1
Kncos(n
2) +Hnsen(
n
2) [4n2 4n2 ] = 20 + 5sen(2) + cos(4)
De esto obtenemos que Fln(4) = 20, por lo tanto F = 20ln(4)
, ademas notamos que cuando n = 4K4 = 0 y:
H4(42 42) = 5 = H4 = 5
42 42
12
De la misma forma cuando n = 8 H8 = 0 y queda:
K8(44 44) = 1 = K8 = 1
44 44Para todo n distinto de 4 y 8 se cumple que Hn = 0 Kn = 0. Con lo cual:
Resultado
u(r, ) =20ln(r)
ln(4)+
5
42 42 sen(2)(r2 r2) + 1
44 44 cos(4)(r4 r4)
13
4. Ejercicios
4.1. Teorema de Stokes y Gauss
1. Sea el campo F (x, y, z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y2 = 9y z = 1. Calcular
F ~nd con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes.
Asuma que la curva con orientacion anti horaria cumple la hipotesis del teorema de Stokes.Respuesta: 18pi
2. Sea C la curva de interseccion del paraboloide hiperbolico z = y2x2 y el cilindro x2 + y2 =1 que vista desde arriba esta orientada en sentido antihoraria. Sea ~F (x, y, z) = (ax3 3xz2, x2y+ by3, cz3). Sea S una superficie cuya frontera es C. Encuentre los valores de a, b, c
para los cuales
S~F ~nd es independiente de la seleccion de S.
Respuesta: a = 13, b = 0yc = 1
3. Evalue la integral de superficie
S~F ~nd del campo vectorial ~F dado y la superficie
orientada S indicada.~F = xzi 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con orientacionhacia fuera.Respuesta: 64pi
3
4. Calcular el flujo del campo de vectores ~F , donde ~F (x, y, z) = (h(x),2cos(xy) + 2x +yz2, cos(xy) + y2z), si h es una funcion diferenciable en y a traves de la superficie S, quese obtiene uniendo el origen O por segmentos rectilneos con los puntos de la curva C, queresulta de la interseccion del paraboloide z = 4x2 + 9y2, con el plano z = 2y + 3 y conorientacion inducida por el vector (0,2, 1). Bosqueje la grafica de S.Respuesta: 28pi
27
5. Determinar una expresion para el flujo del campo F (x, y, z) = (1, z, 1 + 2y) a traves de laparte de la superficie S : x2 + y2 + (z 3)2 = 4, z 3, interior a D : x2 + y2 2x, z 0Respuesta:
~F ~nd = pi 2pi0
22cos()+33
cos() + zsen()dzd
6. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad:
~F ~dr = 2a(a+ b)
donde es la curva interseccion entre el cilindro x2 + y2 = a2 y el plano xa
+ zb
= 1 y~F = (y z, z x, x y)Respuesta:
~F ~dr = 2pia(a+ b)
7. Hallar el flujo de ~F (x, yz) = 2x2i + 3y2j + z2k a traves de toda la superficie del cuerpox2 + y2 z 2R2 x2 y2 en direccion de la normal exterior.
Respuesta: piR4
14
8. Hallar la integral de superficie
S~F ~nd donde ~F (x, y, z) = (x, y, z), S es la caja sin tapa
formada por los planos x = 1, x = 3, y = 2, y = 3, z = 1,1 z 2 (la tapa noconsiderada es la que esta sobre el plano z = 2) , y la normal considerada es la que apuntahacia el exterior de la caja.Respuesta: 40
9. Hallar el trabajo del campo vectorial:
~F = (y
(x 1)2 + y2 ,1 x
(x 1)2 + y2 , z x+ y)
Sobre la curva C interseccion de la superficie S1 y S2 definidas como:
S1 : |x|+ |y| = aS2 : z + x = 4a; a > 1
10. Sea S una superficie cerrada orientable la cual se puede considerar compuesta como S =S1 S2 S3 donde las superficies S1 Y S2 esta descritas de la forma
S1 : x+ z = 9
S2 : z + x2 = 4x
con (x, y) D = (x, y) R2/x2 + y2 4(x+ y) y en la que S3 permite cerrar S.a) Verificar que existen constantes a y b de modo que
S3
~F + aC1
~F ~dr + b
C2
~F ~dr = 0
donde C1 y C2 son fronteras de S1 Y S2 orientadas positivamente.Respuesta Para que se cumpla la igualdad bajo cualquier F a = 1 y b = 1.
b) Determine el flujo del rotacional de F a traves de S3 respecto a n exterior ~F = (4y, 2x, z)Respuesta
S3
~F = 2pi0
20
2rdrd 2pi0
20
2rdrd = 0
11. Considere a F = (x + yz, xy, xy + z + 1) un campo vecorial definido sobre todo R3. Sea Sla superficie dada por:
S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 1, x zSea G(x, y, z) = F . Determine el flujo de los campos F y G sobre la superficie S.RespuestaPara F
S
F dS = piPara G
S
G dS = pi2
15
12. Determine el flujo del campo vectorial
~F (x, y, z) = (ey, zx4x2 + y2 + z2
,xy
4x2 + y2 + z2)
a traves de la superficie S descrita por x2
a2+ y
2
b2+ z
2
c2= 1 con a, b, c > 0; la cual esta orientada
respecto a la normal unitaria exterior.Respuesta
S
~F ~nsd = 0
13. Determinar el flujo del rotacional del campo vectorial ~F (x, y, z) = (x26x+y, 2x+y2.zx)a traves de la superficie S definida como:
S = {(x, y, z) R3/x2 + y2 = 6x, (x 3)2 + y2 9 z 6 x}
Respuesta S
F~nd = 0
16
4.2. Ecuaciones diferenciales Parciales
1. Resolver
uxx = a2ut
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = 5sen(5pix
L)
0 x L
Respuesta:
u(x, t) = 5sen(5pix
L)e25pi2a2L2
t
2. Resolver
uxx = a2ut
u(0, t) = ux(L, t) = 0
u(x, 0) = x
0 x L
Respuesta:
u(x, t) =1
(1)n+18L((2n 1)2pi2)
sen(2n 1)pix2L
e(2n1)2pi2t
4L2a2
3. Resolveruxx = ut + 4 + cos(pix)
Con
ux(0, t) = 0
ux(1, t) = 4
u(x, 0) = 2x2 + 3 + cos(2pix)
Respuesta:
u(x, t) = 2x2 + 3 +cos(pix)epi
2t
pi2+ cos(2pix)e4pi
2t
4. Sea
urr +1
rur +
1
r2u = 0
Si la temperatura en el borde interior es 0 y en el borde exterior es f() = 20 + 5sen(2) +cos(4). Determinar la temperatura del anillo si 1 r 4, 0 2pi.Respuesta:
u(r, ) =20
ln(4)ln(r) +
5
42 42 sen(2)(r2 r2) + 1
44 44 cos(4)(r4 r4)
17
5. Resolver
uxx =1
a2utt
Con
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = x(L x)ut(x,0) = 0
0 x L
Respuesta:
u(x, t) =1
8L2(2k 1)3pi3 sen(
(2k 1)pixL
)cos((2k 1)piat
L)
6. Resolveruxx + uyy = 0
Con
u(0, y) = u(L, y) = 0
u(x, 0) = 2x(x L)u(x,M) = 0
0 x L
Respuesta:
u(x, y) =1
4L3sen( (2k1)pix2
)senh( (yM)(2k1)pi2
)
senh(M(2k1)piL
)(2k 1)3pi3
7. Resolver la ecuacion de calor unidimensional
ut = uxx
con
u(x, 0) = ex2
x t > 0
Respuesta
u(x, t) =1
1 + 4te
x2
1+4t
8. Resuelva usando el cambio u(x, t) = eAx+Btv(x, t)
ut = uxx 2ux
18
Sujeto a
u(x, 0) = 3ex(x 1)u(0, t) = u(1, t) = 0
0 < x < 1
t > 0
Respuesta
u(x, t) = ext1
6npi
sen(npix)en2pi2t
9. Resolverut + sen(t)u = 8tuxx
con
u(x, 0) = sen2(4x)
x Rt > 0
Respuesta
u(x, t) =ecos(t)1
2[1 e256t2cos(8x)]
10. Resolver el problema de Sturm Lioville
y = y
y(0) + y(1) = 0
y(0) = 0
Respuesta
yn = kncos(2n 1pi
2)
11. Resolver la ecuacionut = uxx u
con
u(x, 0) = 1
ux(0, t) = u(pi, t) = 0
0 x pit 0
Respuesta
u(x, t) =4
pi
n=0
(1)n2n+ 1
cos(2n+ 1
2x)e(1+(
12+n)2)t
19
12. Resolverutt = 25uxx + cos(x)
con
u(0, t) = u(pi, t) = 125
u(x, 0) =cos(x)25
+sen(2x)
ut(x, 0) = sen(x)
0 < x < pi
t > 0
Respuesta
u(x, t) =cos(x)
25+ sen(2x)cos(10t) +
1
5sen(x)sen(5t)
13. Considere la siguiente EDP
utt t4uxx = 2tut
a) Encontrar la solucion general
b) Encontrar la solucion particular que cumpla con
u(0, t) =t6
9ux(0, t) = 1
RespuestaSolucion General:
u(x, t) = p(x t3
3) + q(x+
t3
3)
Solucion Particular:
u(x, t) = x2 +t6
9
14. Determinar la temperatura en estado estacionario de un sector circular de radio 1 y angulopi4, si la temperatura en el borde horizontal es de 10oC y en el otro borde la razon de cambio
respecto al angulo en cada punto es igual a menos la temperatura en esos puntos. Ademasen el disco es igual a 10oC.Respuesta
u(r, ) =1
[20pi
(pi + 4)B2nsen(Bn)Bncos(Bn)]r 4Bnpi sen(4Bn
pi) +
40
pi + 4+ 10
15. Resolver el siguiente problemau
t
2u
x2= sen(x)
20
con
0 < x < pi
t > 0
u(0, t) = 2
u(pi, t) = 6
u(x, 0) =4
pix+ 2 + sen(x) + sen(5x)
Respuesta
u(x, t) = sen(5x)e25t + sen(x) +4
pix+ 2
16. Resolver el Problemautt + ut + u = 9uxx
Con
0 < x < 6
t > 0
u(0, t) = u(6, t) = 0
u(x, 0) = 24pisen(
pix
6) +
12
pisen(
pix
3)
ut(x, 0) = x
Respuesta
u(x, t) = et2 [
24
picos(
3 + pi2t
2)sen(
pix
6) +
12
picos(
3 + 4pi2t
2)sen(
pix
3)]
+n=3
et2
24(1)n+1npi
3 + n2pi2sen(
3 + n2pi2t
2)sen(
npix
6)
17. Determine una solucion acotada para el problema:Hallar u = u(r, ) tal que:
r2urr + rur + u + 2 = u+ 2
u(r, 0) = 0
u(r, pi) = 2pi
ur(1, ) = 4cos(2pi)
1 < r
18. Determine la solucion u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial
uxx + u = ut + (4 + 2x2)et
u(pi, t) = u(pi, t)ux(pi, t) = ux(pi, t) 4piet
ut(x, 0) = 3cos(2x) + 8sen(3x) 1 x2pi < x < pi
t > 0
Sugerencia: Considerar u(x, t) = v(x, t) + (x)g(t) con (x) = ax2 + bx + c para a, b, cconstantes y g(t) una funcion adecuada que debe ser determinada.Respuesta
u(x, t) = (x2 + 1)et e8tsen(3x) e3tcos(2x)19. Determinar la solucion general u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial
utt + 2xut + uxt = 2xex2
sujeto a las condiciones u(x, 0) = x2ex2
y ut(x, 0) = 2x2(1 ex2)
Respuesta
u(x, t) = (x t)x2ex2 (x t)ex2+(xt)2 + x t2
20. Resolver la ecuacionut uxx = x
Con las condiciones
ux(0, t) = u(pi, t) = 0
u(x, 0) = xpi3 x3
60 < x < pi
t > 0
Respuesta
u(x, t) =pi3 x3
6+
4
pi
n=1
[1
2n 1pi(1)n 2
(2n 1)2 e( 2n1
2)2tcos(
2n 12
x)]
21. Resuelva la siguiente ecuacion diferencial paracial
utt uxx = 0Con las condiciones
u(0, t) = u(pi, t) = 0
u(x, 0) = 5sen(3x)
ut(x, 0) = 4sen(9x)
0 < x < pi
t > 0
22
22. Determinar la solucion u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial
ut + 9u = (1 + 2t)uxx + x
u(pi, t) = u(pi, t) 2pi9
ux(pi, t) = ux(pi, t)ut(x, 0) = 4sen(3x) + 8cos(6x)
pi < x < pit > 0
Considere u(x, t) = v(x, t) + (x) con (x) un polinomio de grado menor o igual a 1.Respuesta
u(x, t) =x
9 2
9e9(t+t
2)9tsen(3x) 845e36(t+t
2)9t
23. Sea f() una funcion continua en todo R y a > 0, encuentre una solucion acotada para elproblema:
r2urr + rur + u = 2 + u
u(r, 0) = 0
u(r, 1) = 2e
ur(a, ) = f()
a < r < +0 < < 1
Respuesta
u(r, ) = 2e 20
2a
1+(
(2n1)pi2
)2+11 + ( (2n1)pi
2)2
(
10
f()sen(2n 1pi
2)d)
r1+(
(2n1)pi2
)2+1sen((2n 1)pi
2)
24. Determine la solucion general u = u(x, t) de la ecuacion diferencial parcial
uxx + 4ux + 4ut = utt + 4(x t)e2(xt)
Respuesta
u(x, t) =1
2(x+ t)(x t)2e2(xt) + F (x+ t)e2(xt) +G(x+ t)
23
25. Resolver
utt = 25uxx + cos(x)
u(0, t) =1
25
u(pi, t) = 125
u(x, 0) =cos(x)
25+ sen(2x)
ut(x, 0) = sen(x)
0 < x < pi
t > 0
Respuesta
u(x, t) =sen(x)sen(5t)
2+ cos(10t)sen(2x) +
cos(x)
25
24
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