View
320
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
RISET OPERASIONAL 1Linier Programming (LP):
Dualitas dan AnalisisSensitifitas
2 SKS | S1 | Manajemen
PENGANTAR▪ Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier
ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhentimenganalisis model yang telah dibuat.
▪ Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atassolusi optimal akan dapat menghasilkan informasi lain yang berguna
▪ Analisis yang dilakukan terhadap solusi optimal untukmendapatkan informasi tambahan yang berguna tersebutdikenal dengan analisis post-optimal
▪ Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu:
1. Analisis Dualitas
2. Analisis Sensitivitas
ANALISIS DUALITAS❑ Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan
bentuk dual dari model.
❑ Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model
❑ Dualitas lebih banyak bermanfaat untuk melakukanpengujian/pengecekan apakah nilai-nilai yang telahdihasilkan dengan metode simplex telah benar sehinggahasilnya dapat digunakan untuk penunjang pengambilankeputusan manajemen
ANALISIS DUALITAS
❑ Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu:
1. Model primal : bentuk asli dari suatu model program linier
2. Model dual : bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal
❑ Kegunaan bagi pengambil keputusan:
✓ Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang.
✓ Model dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.
❑ Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut
HUBUNGAN KHUSUS PRIMAL VS DUAL
❑ Variabel dual Y1 , Y2 , Y3 berhubungan dengan batasanmodel primal. Dimana untuk setiap batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akanmempunyai 3 variabel keputusan.
❑ Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual.
❑ Koefisien batasan model primal merupakan koefisienvariabel keputusan dual.
❑ Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitaspada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual.
❑ Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memilikibatasan-batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan-batasan >.
HUBUNGAN KHUSUS PRIMAL VS DUAL
CONTOH 1 :
Model Primal:
F. tujuan :
Maks Z = 160 X1 + 200 X2
F. batasan :
2 X1 + 4 X2 < 40
18 X1 + 18 X2 < 216
24 X1 + 12 X2 < 240
X1 , X2 > 0
Model Dual:
F. tujuan :
Min Y = 40 Y1 + 216 Y2 + 240 Y3
Fungsi batasan :
2 Y1 + 18 Y2 + 24 Y3 > 160
4 Y1 + 18 Y2 + 12 Y3 > 200
Y1 , Y2 , Y3 > 0
CONTOH 2 :
Model Primal:
F. tujuan : Min Z = 6 X1 + 3 X2
F. batasan :
2 X1 + 4 X2 > 16
4 X1 + 3 X2 > 24
X1 , X2 > 0
Model Dual:
F. tujuan : Maks Y = 16 Y1 + 24 Y2
F. batasan :
2 Y1 + 4 Y2 < 6
4 Y1 + 3 Y2 < 3
Y1 , Y2 > 0
PERHATIAN:❖ Untuk mentransformasikan model primal kedalam bentuk dual
bahwa model primal harus dalam bentuk standar.
❖ Bila model primal belum dalam bentuk standar harus dirubah dulu
menjadi bentuk standar.
✓ Untuk masalah maksimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi
batasan mempunyai tanda <.
✓ Untuk masalah minimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi
batasan mempunyai tanda >.
Model Primal
Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X1
+ 6 X2
Fungsi batasan :
X1
+ 4 X2
< 40
3 X1
+ 2 X2
= 60
2 X1
+ X2
> 25
X1
, X2
> 0
CONTOH 3 :
CONTOH 3 :
Jadi pada contoh 3, fungsi batasan sbb.:
X1 + 4 X2 < 40 → X1 + 4 X2 < 40
3 X1 + 2 X2 = 60 → 3 X1 + 2 X2 < 60
3 X1 + 2 X2 > 60 → (-1) (3 X1 + 2 X2 > 60)
- 3 X1 - 2 X2 < - 60
2 X1 + X2 > 25 → (-1) (2 X1 + X2 > 25)
- 2 X1 - X2 < - 25
→ Model primal:
F. tujuan :
Maks Z = 10 X1 + 6 X2
F. batasan :
X1 + 4 X2 < 40
3 X1 + 2 X2 < 60
- 3 X1 - 2 X2 < - 60
- 2 X1 - X2 < - 25
X1 , X2 > 0
Model Dual:
F. tujuan :
Min Y = 40 Y1 + 60 Y2 - 60 Y3 - 25 Y4
F. batasan :
Y1 + 3 Y2 - 3 Y3 - 2 Y4 > 10
4Y1 + 2 Y2 - 2 Y3 - Y4 > 6
Y1 , Y2, Y3 , Y4 > 0
CONTOH 3 :Dari model primal yang sudah dalam bentuk standar, makamodel dual dapat diformulasikan sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Min Z = 40 Y1 + 60 Y2 - 60 Y3 - 25 Y4
Fungsi batasan :Y1 + 3 Y2 - 3 Y3 - 2 Y4 > 104 Y1 + 2 Y2 - 2 Y3 - Y4 > 6
Y1 , Y2 , Y3 , Y4 > 0 → Y2 - Y3 = Y*
Model Dual:F. tujuan :
Min Y = 40 Y1 + 60 Y*- 25 Y4F. batasan :
Y1 + 3 Y*- 2 Y4 > 104Y1 + 2 Y*- Y4 > 6
Y1, Y4 > 0
Model Primal:F. Tujuan:
Maks Z = 10 X1 + 6 X2
F. batasan :
X1 + 4 X2 < 40
3 X1 + 2 X2 = 602 X1 + X2 > 25
X1 , X2 > 0
▪ Baris cj – zj dibawah kolom S1 adalah -20, artinya bahwa nilai dari satu unit
sumber daya 1 adalah sebesar 20.
▪ Nilai baris cj – zj dibawah kolom S2 adalah -20/3, bahwa nilai dari satu unit
sumber daya 2 adalah sebesar 20/3.
▪ Laba yang diperoleh sebesar 2240 .
▪ Untuk sumber daya 3 (S3) pada baris cj – zj bernilai nol, artinya bahwa sumber
daya 3 memiliki nilai marjinal nol, sehingga tidak diperlukan penambahan 1
unit sumber daya 3.
▪ Σ produk 1 yaitu X1 = 4
▪ Σ produk 2 yaitu X2 = 8
▪ Sisa sumber daya 3 =
S3 = 48 m2
INTERPRETASI MODEL PRIMALMisal dipunyai solusi optimal dari model primal sbb. :
Dari tabel optimal simplex di atas telah disimpulkan bahwa :
▪ Jumlah produksi untuk sepatu karet (X1) sebaiknya dilakukan
dalam jumlah 5/6 (lihat kolom NK, baris X1). Sementara itu sepatu
kulit sebaiknya diproduksi sebanyak 5 (lihat kolom NK, baris X2)
▪ Dengan hasil pada poin 1 di atas, maka keuntungan yang akan
diterima oleh perusahaan adalah sebesar 27,5 atau 2.750.000
(lihat kolom NK, baris Z)
INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:
▪ Perhatikan nilai-nilai dibawah variabel dasar X3, X4, dan X5 pada
baris Z tersebut di atas. Nilainya adalah 0, 5/6, dan 1/2.
▪ Nilai-nilai ini secara umum dapat diartikan sebagai besarnya
tambahan keuntungan perusahaan apabila masing-masing
kapasitas batasan bertambah sebesar 1 unit kapasitas (misalnya
mesin A dari 8 jam menjadi 9 jam, mesin B dari 15 jam menjadi 16
jam)
INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:
▪ Nilai 0 (nol) di bawah variabel dasar X3 menunjukkan bahwa apabila
mesin A kapasitasnya ditambah dari 8 jam menjadi 9 jam, maka
keuntungan bertambah sebesar 0 atau tetap sebesar 27,5.
▪ Nilai 5/6 di bawah variabel dasar X4 menunjukkan bahwa apabila mesin B)
kapasitasnya bertambah dari 15 jam menjadi 16 jam, maka keuntungan
akan bertambah sebesar 5/6 sehingga dari 27.5 menjadi 27,5 + 5/6 = 28,34
▪ Nilai 1/2 di bawah variabel dasar X5 menunjukkan bahwa apabila mesin C
kapasitasnya bertambah dari 30 jam menjadi 31 jam, maka keuntungan
akan bertambah sebesar 1/2 sehingga dari 27,5 menjadi 27,5 + 0,5 = 28.
INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:
▪ Nilai 0, 5/6, dan 1/2 tersebut apabila dimasukkan ke dalam fungsi
tujuan Dual-nya:
▪ Fungsi tujuan Dual :
Minimalkan Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3
= 8(0) + 15(5/6) + 30(1/2) = 27,5
▪ Nilai ini sama dengan yang dihasilkan dari fungsi tujuan
primal/simplex sebelumnya
INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:
ANALISIS SENSITIVITAS
❑ Pada masalah program linier, diasumsikan bahwa parameter-parameter dari model diketahui dengan tepat dan pasti.
❑ Dalam kenyataannya hal ini jarang sekali terjadi, sehinggapara manajer perlu untuk mengetahui dampak yang terjadipada solusi model apabila parameter-parameter model berubah.
❑ Analisis Sensitivitas dilakukan untuk menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal terhadap perubahan-perubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model maupun koefisien pada fungsi tujuan
❑ Analisis sensitivitas selain digunakan untuk pengujian/pengecekan, analisis ini lebih bermanfaat untuk menghindari pengulanganperhitungan dari awal, apabila terjadi perubahan-perubahanpada masalah LP simplex.
ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN
Jika formulasi model program linier :
Fungsi tujuan :Maks Z = 160 X1 + 200 X2
Fungsi batasan :2 X1 + 4 X2 < 40 jam tenaga kerja
18 X1 + 18 X2 < 216 pon kayu
24 X1 + 12 X2 < 240 m2 tempat penyimpanan
X1 , X2 > 0
Dimana:
X1 = jumlah meja yang diproduksi,
X2 = jumlah kursi yang diproduksi
Bila koefisien fungsi tujuan diberi notasi cj, maka untuk masalah ini diketahui bahwa
c1 = laba yang diperoleh dari meja = $160
c2 = laba yang diperoleh dari kursi = $ 200
Seandainya, nilai c1 dari 160 dirubah, maka dapat dituliskan bahwa c1 = 160 + ∆.
Analisis sensitivitas berusaha menentukan seberapa jauh (range) perubahan pada cj dapat dilakukan tanpa harus mengubah solusi optimal
Fungsi tujuan :Maks Z = 160 X1 + 200 X2
ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN
ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN
Solusi LP dapat menggunakan Software LINDO:
Fungsi tujuan :Maks Z = 160 X1 + 200 X2
Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 < 40
18 X1 + 18 X2 < 216
24 X1 + 12 X2 < 240
X1 , X2 > 0
Dimana
X1 = jumlah meja yang diproduksi,
X2 = jumlah kursi yang diproduksi
MAX 160X1 + 200X2
ST
2X1 + 4X2 <= 40
18X1 + 18X2 <= 216
24X1 + 12X2 <= 240
X1 >= 0
X2 >= 0
END
ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 2240.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 4.000000 0.000000
X2 8.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 20.000000
3) 0.000000 6.666667
4) 48.000000 0.000000
5) 4.000000 0.000000
6) 8.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 160.000000 40.000000 60.000000
X2 200.000000 120.000000 40.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 40.000000 8.000000 8.000000
3 216.000000 24.000000 36.000000
4 240.000000 INFINITY 48.000000
5 0.000000 4.000000 INFINITY
6 0.000000 8.000000 INFINITY
Range untuk fungsitujuan untuk masalah iniadalah :
100 < c1 < 200160 < c2 < 320
Solusi optimal tercapaipada X1=4 dan X2=8 sehinggaZ = 160 X1 + 200 X2
= 2240
Dual Price menunjukkan
kontribusi keuntungan bila
kapasitas suatu input
dinaikkan 1 satuan.
Fungsi batasan :2 X1 + 4 X2 < 4018 X1 + 18 X2 < 21624 X1 + 12 X2 < 240
ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN PADA NILAI KUANTITAS BATASAN Dari contoh yang sama, diperoleh:
Nilai kuantitas batasan pada masalah tersebut, dituliskan dengan notasi :q1 = 40, q2 = 216, dan q3 = 240.
Pertanyaan:Seberapa jauh range perubahan qi agar solusi tetap dalam daerah yang feasible
Fungsi batasan :
2 X1 + 4 X2 < 40
18 X1 + 18 X2 < 216
24 X1 + 12 X2 < 240
ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN PADA NILAI KUANTITAS BATASAN
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 2240.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 4.000000 0.000000
X2 8.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 20.000000
3) 0.000000 6.666667
4) 48.000000 0.000000
5) 4.000000 0.000000
6) 8.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 160.000000 40.000000 60.000000
X2 200.000000 120.000000 40.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 40.000000 8.000000 8.000000
3 216.000000 24.000000 36.000000
4 240.000000 INFINITY 48.000000
5 0.000000 4.000000 INFINITY
6 0.000000 8.000000 INFINITY
Range untuk fungsiKuantitas batasan untukmasalah ini adalah :
32 < q1 < 48
180 < q2 < 240
Untuk q3, tidak perlu
dihitung karena sumber
daya ke-3 masih tersisa
48 (slack)
Fungsi batasan :2 X1 + 4 X2 < 4018 X1 + 18 X2 < 21624 X1 + 12 X2 < 240
LP dengan LINDO
LINDO
• Lindo (Linear Ineraktive Discrete Optimizer)
• Adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaiandari masalah pemrograman linear.
• Dengan menggunakan software ini memungkinkan perhitunganmasalah pemrograman linear dengan n variabel.
• Menurut Linus Scharge (1991), Perhitungan yang digunakan pada Lindo pada dasarnya menggunakan metode simpleks.
Contoh Soal 1
MAX 8X1 + 6X2
ST
4X1 + 2X2 <= 60
2X1 + 4X2 <= 48
X1 >= 0
X2 >= 0
END
Variabel
DasarX1 X2 S1 S2 NK Indeks
Z 0 0 5/3 2/3 132 -
X1 1 0 1/3 - 1/6 12 -
X2 0 1 - 1/6 1/3 6 -
Contoh Soal 2
MAX 15X1 + 10X2
SUBJECT TO
X1 + X2 <= 600
2X1 + X2 <= 1000
X1 >= 0
X2 >= 0
END
Contoh Soal 3
MAX 3X1 + 2X2
ST
X1 + X2 <= 15
2X1 + X2 <= 28
X1 + 2X2 <= 20
X1 >= 0
X2 >= 0
END
Contoh Soal 4
MAX 60X1 + 30X2 + 20X3
ST
8X1 + 6X2 + X3 <= 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 <= 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 <= 8
X1 >= 0
X2 >= 0
X3 >= 0
END
Contoh Soal 5
MAX 8x1 + 9x2 + 4x3
ST
x1 + x2 + 2x3 <= 2
2x1 + 3x2 + 4x3 <= 3
7x1 + 6x2 + 2x3 <= 8
X1 >= 0
X2 >= 0
X3 >= 0
END
1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan
▪ Z = 60x1+30x2+20x3
Fungsi Pembatas :
8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48
4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20
2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8
x1, x2, x3 ≥ 0
2. Fungsi Tujuan : Maksimum
▪ Z = 8x1 + 9x2 + 4x3
Fungsi Pembatas :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1, x2, x3 ≥ 0
Latihan
3. Fungsi Tujuan : Maksimumkan
▪ Z = 8x1 + 7x2 + 3x3
Fungsi Pembatas :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 4
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 7
3x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1, x2, x3 ≥ 0
A. Tentukan model dual dari
soal tesebut!
B. Gunakan Software LINDO
dan tentukan solusi model,
interpretasikan lebih lanjut
berdasarkan output model LP!
Recommended