View
8
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Skalarne funkcije vise varijabli i parcijalne derivacije
Franka Miriam Bruckler
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Jednadzba stanja idealnog plina
p =nRT
V⇔ f (x , y , z) =
xy
zuz
x =n
mol, y =
T
K, z =
V
L, f ==
p
Pa.
Pritom je kodomena od f skup R, a domena je
{(x , y , z) ∈ R3 : x , y , z > 0} (prirodna domena bila bi{(x , y , z) ∈ R3 : z 6= 0}).
Definicija (Skalarne funkcije vise varijabli)
Skalarna (realna) funkcija od n varijabli je funkcija koja uredenimn-torkama brojeva pridruzuje realne brojeve, tj. funkcija cijadomena je podskup od Rn, a kodomena je (podskup od) R.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Jednadzba stanja idealnog plina
p =nRT
V⇔ f (x , y , z) =
xy
zuz
x =n
mol, y =
T
K, z =
V
L, f ==
p
Pa.
Pritom je kodomena od f skup R, a domena je{(x , y , z) ∈ R3 : x , y , z > 0} (prirodna domena bila bi
{(x , y , z) ∈ R3 : z 6= 0}).
Definicija (Skalarne funkcije vise varijabli)
Skalarna (realna) funkcija od n varijabli je funkcija koja uredenimn-torkama brojeva pridruzuje realne brojeve, tj. funkcija cijadomena je podskup od Rn, a kodomena je (podskup od) R.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Jednadzba stanja idealnog plina
p =nRT
V⇔ f (x , y , z) =
xy
zuz
x =n
mol, y =
T
K, z =
V
L, f ==
p
Pa.
Pritom je kodomena od f skup R, a domena je{(x , y , z) ∈ R3 : x , y , z > 0} (prirodna domena bila bi{(x , y , z) ∈ R3 : z 6= 0}).
Definicija (Skalarne funkcije vise varijabli)
Skalarna (realna) funkcija od n varijabli je funkcija koja uredenimn-torkama brojeva pridruzuje realne brojeve, tj. funkcija cijadomena je podskup od Rn, a kodomena je (podskup od) R.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Primjer
Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) =
−3, a f (1, 2) =−15.
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkcijucetiriju varijabli x1, x2, x3, x4 kojoj je prirodna domena citav R4 iizracunajte koju vrijednost ta funkcija postize u (0, 0, 0, 0).
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkciji dvijuvarijabli x , y kojoj je domena R2 bez ishodista (0, 0).
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Primjer
Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) = −3, a f (1, 2) =
−15.
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkcijucetiriju varijabli x1, x2, x3, x4 kojoj je prirodna domena citav R4 iizracunajte koju vrijednost ta funkcija postize u (0, 0, 0, 0).
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkciji dvijuvarijabli x , y kojoj je domena R2 bez ishodista (0, 0).
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Primjer
Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) = −3, a f (1, 2) =−15.
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkcijucetiriju varijabli x1, x2, x3, x4 kojoj je prirodna domena citav R4 iizracunajte koju vrijednost ta funkcija postize u (0, 0, 0, 0).
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkciji dvijuvarijabli x , y kojoj je domena R2 bez ishodista (0, 0).
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Primjer
Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) = −3, a f (1, 2) =−15.
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkcijucetiriju varijabli x1, x2, x3, x4 kojoj je prirodna domena citav R4 iizracunajte koju vrijednost ta funkcija postize u (0, 0, 0, 0).
Zadatak
Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkciji dvijuvarijabli x , y kojoj je domena R2 bez ishodista (0, 0).
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Skalarne funkcije dviju varijabli
Kako u Kks-u glasi jednadzba kruznice polumjera 5 sa sredistem (−2, 3)?
Vidimo da se ona sastoji od tocaka (x , y) za koje izrazf (x , y) = (x + 2)2 + (y − 3)2 poprima vrijednost 25. Koje su tockeravnine za koje taj izraz poprima vrijednost 1? 0? −1?
Za razlicite vrijednosti nezavisnih varijabli x i y skalarna funkcija f kao
vrijednosti (iznos zavisne varijable) poprima razlicite realne brojeve. Ako
fiksiramo”ciljanu” vrijednost a, sve tocke koje zadovoljavaju f (x , y) = a
cine krivulju koju nazivamo nivo-linijom funkcije f . Varirajuci a, dobijemo
razlicite nivo-linije koje u odredenom smislu vizualiziraju ponasanje od f .
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Skalarne funkcije dviju varijabli
Kako u Kks-u glasi jednadzba kruznice polumjera 5 sa sredistem (−2, 3)?Vidimo da se ona sastoji od tocaka (x , y) za koje izrazf (x , y) = (x + 2)2 + (y − 3)2 poprima vrijednost 25. Koje su tockeravnine za koje taj izraz poprima vrijednost 1? 0? −1?
Za razlicite vrijednosti nezavisnih varijabli x i y skalarna funkcija f kao
vrijednosti (iznos zavisne varijable) poprima razlicite realne brojeve. Ako
fiksiramo”ciljanu” vrijednost a, sve tocke koje zadovoljavaju f (x , y) = a
cine krivulju koju nazivamo nivo-linijom funkcije f . Varirajuci a, dobijemo
razlicite nivo-linije koje u odredenom smislu vizualiziraju ponasanje od f .
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Skalarne funkcije dviju varijabli
Kako u Kks-u glasi jednadzba kruznice polumjera 5 sa sredistem (−2, 3)?Vidimo da se ona sastoji od tocaka (x , y) za koje izrazf (x , y) = (x + 2)2 + (y − 3)2 poprima vrijednost 25. Koje su tockeravnine za koje taj izraz poprima vrijednost 1? 0? −1?
Za razlicite vrijednosti nezavisnih varijabli x i y skalarna funkcija f kao
vrijednosti (iznos zavisne varijable) poprima razlicite realne brojeve. Ako
fiksiramo”ciljanu” vrijednost a, sve tocke koje zadovoljavaju f (x , y) = a
cine krivulju koju nazivamo nivo-linijom funkcije f . Varirajuci a, dobijemo
razlicite nivo-linije koje u odredenom smislu vizualiziraju ponasanje od f .
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Podsjetnik
Jednadzbomf (x , y) = a
je implicitno zadana funkcija jedne varijable y : Za svaku tocku(x0, y0) na toj krivulji (nivo-liniji od f ) ce se, osim ako je u njojtangenta na krivulju paralelna s y -osi, dio te krivulje oko te tockemoci shvatiti kao graf funkcije g jedne varijable x (cija je domenaneki interval oko x0).
Zadatak
Kako izgleda nulta nivo-linija funkcije zadane sf (x , y) = x4 − x2 + y 2?
Je li ta krivulja graf neke funkcije jednevarijable? Oko kojih se tocaka moze njen dio shvatiti kao graffunkcije jedne varijable?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Podsjetnik
Jednadzbomf (x , y) = a
je implicitno zadana funkcija jedne varijable y : Za svaku tocku(x0, y0) na toj krivulji (nivo-liniji od f ) ce se, osim ako je u njojtangenta na krivulju paralelna s y -osi, dio te krivulje oko te tockemoci shvatiti kao graf funkcije g jedne varijable x (cija je domenaneki interval oko x0).
Zadatak
Kako izgleda nulta nivo-linija funkcije zadane sf (x , y) = x4 − x2 + y 2? Je li ta krivulja graf neke funkcije jednevarijable?
Oko kojih se tocaka moze njen dio shvatiti kao graffunkcije jedne varijable?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Podsjetnik
Jednadzbomf (x , y) = a
je implicitno zadana funkcija jedne varijable y : Za svaku tocku(x0, y0) na toj krivulji (nivo-liniji od f ) ce se, osim ako je u njojtangenta na krivulju paralelna s y -osi, dio te krivulje oko te tockemoci shvatiti kao graf funkcije g jedne varijable x (cija je domenaneki interval oko x0).
Zadatak
Kako izgleda nulta nivo-linija funkcije zadane sf (x , y) = x4 − x2 + y 2? Je li ta krivulja graf neke funkcije jednevarijable? Oko kojih se tocaka moze njen dio shvatiti kao graffunkcije jedne varijable?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Grafovi skalarnih funkcija
Kako se definira graf funkcije?
Graf funkcije f : D → K je skupsvih parova (X , f (X )) gdje je X ∈ D. Skalarnim funkcijama s nvarijabli je D ⊆ Rn, a K ⊆ R. U kojem se skupu nalaze elementigrafa skalarne funkcije dviju varijabli? Triju? Njih n? Vidimo: Grafskalarne funkcije n varijabli nalazi se u Rn+1. Stoga se grafovirealnih funkcija mogu vizualno interpretirati u koordinatnomsustavu samo u slucaju jedne ili dviju varijabli.Graf skalarne funkcije dviju varijabli se dakle moze prikazati ukoordinatnom sustavu u prostoru i sastoji se od tocaka skoordinatama (x , y , f (x , y)), gdje je (x , y) ∈ D.Stoga se domena skalarne funkcije dviju varijabli moze vizualiziratikao podskup (x , y)-koordinatne ravnine, a za pojedinu tocku izdomene njoj pridruzena vrijednost f (x , y) je aplikata tocke grafaiznad (ili ispod) (x , y , 0).
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Grafovi skalarnih funkcija
Kako se definira graf funkcije? Graf funkcije f : D → K je skupsvih parova (X , f (X )) gdje je X ∈ D. Skalarnim funkcijama s nvarijabli je D ⊆ Rn, a K ⊆ R. U kojem se skupu nalaze elementigrafa skalarne funkcije dviju varijabli? Triju? Njih n?
Vidimo: Grafskalarne funkcije n varijabli nalazi se u Rn+1. Stoga se grafovirealnih funkcija mogu vizualno interpretirati u koordinatnomsustavu samo u slucaju jedne ili dviju varijabli.Graf skalarne funkcije dviju varijabli se dakle moze prikazati ukoordinatnom sustavu u prostoru i sastoji se od tocaka skoordinatama (x , y , f (x , y)), gdje je (x , y) ∈ D.Stoga se domena skalarne funkcije dviju varijabli moze vizualiziratikao podskup (x , y)-koordinatne ravnine, a za pojedinu tocku izdomene njoj pridruzena vrijednost f (x , y) je aplikata tocke grafaiznad (ili ispod) (x , y , 0).
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Grafovi skalarnih funkcija
Kako se definira graf funkcije? Graf funkcije f : D → K je skupsvih parova (X , f (X )) gdje je X ∈ D. Skalarnim funkcijama s nvarijabli je D ⊆ Rn, a K ⊆ R. U kojem se skupu nalaze elementigrafa skalarne funkcije dviju varijabli? Triju? Njih n? Vidimo: Grafskalarne funkcije n varijabli nalazi se u Rn+1. Stoga se grafovirealnih funkcija mogu vizualno interpretirati u koordinatnomsustavu samo u slucaju jedne ili dviju varijabli.Graf skalarne funkcije dviju varijabli se dakle moze prikazati ukoordinatnom sustavu u prostoru i sastoji se od tocaka skoordinatama (x , y , f (x , y)), gdje je (x , y) ∈ D.Stoga se domena skalarne funkcije dviju varijabli moze vizualiziratikao podskup (x , y)-koordinatne ravnine, a za pojedinu tocku izdomene njoj pridruzena vrijednost f (x , y) je aplikata tocke grafaiznad (ili ispod) (x , y , 0).
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Kako vizualizirati ovisnost tlaka idealnog plina o njegovoj mnozini,temperaturi i volumenu?
Obzirom da bi nam za prikaz grafa tefunkcije trebao cetverodimenzionalni prostor, ocito je nemoguceskicirati tu ovisnost direktno. Jedan od cestih nacina kako ipakvizualizirati graf funkcije vise varijabli je naizmjenicno je shvatitikao funkciju samo po jedne od svojih varijabli i nacrtatiodgovarajuce nizove grafova u ravnini. Konkretno, p = nRT/Vmozemo opisati pomocu tri funkcije jedne varijable:
pT ,V (n) = RTV · n, koja za svaku odabranu vrijednost T i V
ovisi samo o n. Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
pn,V (T ) = nRV · T , koja za svaku odabranu vrijednost n i V
ovisi samo o T . Njeni grafovi za razlicite vrijednosti n i Vizgledaju poput grafova od pT ,V .
pn,T (V ) = nRT · 1V , koja za svaku odabranu vrijednost n i T
ovisi samo o V . Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Kako vizualizirati ovisnost tlaka idealnog plina o njegovoj mnozini,temperaturi i volumenu? Obzirom da bi nam za prikaz grafa tefunkcije trebao cetverodimenzionalni prostor, ocito je nemoguceskicirati tu ovisnost direktno. Jedan od cestih nacina kako ipakvizualizirati graf funkcije vise varijabli je naizmjenicno je shvatitikao funkciju samo po jedne od svojih varijabli i nacrtatiodgovarajuce nizove grafova u ravnini. Konkretno, p = nRT/Vmozemo opisati pomocu tri funkcije jedne varijable:
pT ,V (n) = RTV · n, koja za svaku odabranu vrijednost T i V
ovisi samo o n. Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
pn,V (T ) = nRV · T , koja za svaku odabranu vrijednost n i V
ovisi samo o T . Njeni grafovi za razlicite vrijednosti n i Vizgledaju poput grafova od pT ,V .
pn,T (V ) = nRT · 1V , koja za svaku odabranu vrijednost n i T
ovisi samo o V . Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Kako vizualizirati ovisnost tlaka idealnog plina o njegovoj mnozini,temperaturi i volumenu? Obzirom da bi nam za prikaz grafa tefunkcije trebao cetverodimenzionalni prostor, ocito je nemoguceskicirati tu ovisnost direktno. Jedan od cestih nacina kako ipakvizualizirati graf funkcije vise varijabli je naizmjenicno je shvatitikao funkciju samo po jedne od svojih varijabli i nacrtatiodgovarajuce nizove grafova u ravnini. Konkretno, p = nRT/Vmozemo opisati pomocu tri funkcije jedne varijable:
pT ,V (n) = RTV · n, koja za svaku odabranu vrijednost T i V
ovisi samo o n. Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
pn,V (T ) = nRV · T , koja za svaku odabranu vrijednost n i V
ovisi samo o T . Njeni grafovi za razlicite vrijednosti n i Vizgledaju poput grafova od pT ,V .
pn,T (V ) = nRT · 1V , koja za svaku odabranu vrijednost n i T
ovisi samo o V . Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Kako vizualizirati ovisnost tlaka idealnog plina o njegovoj mnozini,temperaturi i volumenu? Obzirom da bi nam za prikaz grafa tefunkcije trebao cetverodimenzionalni prostor, ocito je nemoguceskicirati tu ovisnost direktno. Jedan od cestih nacina kako ipakvizualizirati graf funkcije vise varijabli je naizmjenicno je shvatitikao funkciju samo po jedne od svojih varijabli i nacrtatiodgovarajuce nizove grafova u ravnini. Konkretno, p = nRT/Vmozemo opisati pomocu tri funkcije jedne varijable:
pT ,V (n) = RTV · n, koja za svaku odabranu vrijednost T i V
ovisi samo o n. Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
pn,V (T ) = nRV · T , koja za svaku odabranu vrijednost n i V
ovisi samo o T . Njeni grafovi za razlicite vrijednosti n i Vizgledaju poput grafova od pT ,V .
pn,T (V ) = nRT · 1V , koja za svaku odabranu vrijednost n i T
ovisi samo o V . Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Druga mogucnost je koristiti izvedenu varijablu Vm = V /n i takoovisnost svesti na srodnu (ali ipak ne istu) funkciju dviju varijabli:p = R T
Vm. Prikazite ju prvo kao nizove grafova u ravnini!
U ovomslucaju, prvi niz grafova poznat je i pod nazivom izoterme (nizgrafova funkcija oblika pT (Vm) = RT/Vm za razlicite fiksiranevrijednosti T ), a drugi pod nazivom izohore (niz grafova funkcijaoblika pVm(T ) = RT/Vm za razlicite fiksirane vrijednosti Vm).
Kako bi izgledale nivo-linije funkcije p = R TVm
u(T ,Vm)-koordinatnom sustavu?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Druga mogucnost je koristiti izvedenu varijablu Vm = V /n i takoovisnost svesti na srodnu (ali ipak ne istu) funkciju dviju varijabli:p = R T
Vm. Prikazite ju prvo kao nizove grafova u ravnini! U ovom
slucaju, prvi niz grafova poznat je i pod nazivom izoterme (nizgrafova funkcija oblika pT (Vm) = RT/Vm za razlicite fiksiranevrijednosti T ), a drugi pod nazivom izohore (niz grafova funkcijaoblika pVm(T ) = RT/Vm za razlicite fiksirane vrijednosti Vm).
Kako bi izgledale nivo-linije funkcije p = R TVm
u(T ,Vm)-koordinatnom sustavu?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Druga mogucnost je koristiti izvedenu varijablu Vm = V /n i takoovisnost svesti na srodnu (ali ipak ne istu) funkciju dviju varijabli:p = R T
Vm. Prikazite ju prvo kao nizove grafova u ravnini! U ovom
slucaju, prvi niz grafova poznat je i pod nazivom izoterme (nizgrafova funkcija oblika pT (Vm) = RT/Vm za razlicite fiksiranevrijednosti T ), a drugi pod nazivom izohore (niz grafova funkcijaoblika pVm(T ) = RT/Vm za razlicite fiksirane vrijednosti Vm).
Kako bi izgledale nivo-linije funkcije p = R TVm
u(T ,Vm)-koordinatnom sustavu?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Oznacimo: x = T/K, y = Vm/(mol/L), z = p/Pa. Time smonasu ovisnost sveli na apstraktni oblik z(x , y) = 8,3145x/y .Kako ce u prostornom koordinatnom sustavu izgledati skup tocaka(100, y , z(100, y))? A (200, y , z(200, y))? A (x , 1, z(x , 1))?
Vidimodakle da niz grafova funkcija pT odgovara nizu presjeka grafafunkcije z s ravninama okomitim na x-os. Slicno, niz grafovafunkcija pVm odgovara nizu presjeka grafa funkcije z s ravninamaokomitim na y -os.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Oznacimo: x = T/K, y = Vm/(mol/L), z = p/Pa. Time smonasu ovisnost sveli na apstraktni oblik z(x , y) = 8,3145x/y .Kako ce u prostornom koordinatnom sustavu izgledati skup tocaka(100, y , z(100, y))? A (200, y , z(200, y))? A (x , 1, z(x , 1))?Vidimodakle da niz grafova funkcija pT odgovara nizu presjeka grafafunkcije z s ravninama okomitim na x-os. Slicno, niz grafovafunkcija pVm odgovara nizu presjeka grafa funkcije z s ravninamaokomitim na y -os.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Zadatak
Zadana je funkcija f : R2 → R,
(a) f (x , y) = x2 + y 2.
(b) f (x , y) = x2.
(c) f (x , y) = 1− x2 + y 2.
(d) f (x , y) = x2 − y 2.
Kako izgledaju grafovi funkcija fx (fiksirane vrijednosti x) odnosnofy (fiksirane vrijednosti y), a kako nivo-linije funkcije f (fiksiranevrijednosti z)? Zakljucite kako u prostornom koordinatnom sustavuizgleda graf funkcije f !
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Promotrimo izotermu idealnog plina zadanu s
pT (Vm) =RT
Vm.
Odredite njenu prvu derivaciju!
p′T (Vm) = −RT
V 2m
.
Kako R, T i V 2m ne mogu biti negativni (ni nula), vidimo da u
izotermnim uvjetima tlak idealnog plina pada s porastom molarnogvolumena. Derivacija p′
T zove se parcijalnom derivacijom funkcijep po Vm. Umjesto p′
T pise se:
∂p
∂Vmili
(∂p
∂Vm
)T
.
Sto bi onda predstavljalo (i koliko iznosi) ∂p∂T ? Kakva je ta
derivacija po predznaku? Sto nam to i o kojem grafu govori?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Promotrimo izotermu idealnog plina zadanu s
pT (Vm) =RT
Vm.
Odredite njenu prvu derivaciju!
p′T (Vm) = −RT
V 2m
.
Kako R, T i V 2m ne mogu biti negativni (ni nula), vidimo da u
izotermnim uvjetima tlak idealnog plina pada s porastom molarnogvolumena. Derivacija p′
T zove se parcijalnom derivacijom funkcijep po Vm. Umjesto p′
T pise se:
∂p
∂Vmili
(∂p
∂Vm
)T
.
Sto bi onda predstavljalo (i koliko iznosi) ∂p∂T ?
Kakva je taderivacija po predznaku? Sto nam to i o kojem grafu govori?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Promotrimo izotermu idealnog plina zadanu s
pT (Vm) =RT
Vm.
Odredite njenu prvu derivaciju!
p′T (Vm) = −RT
V 2m
.
Kako R, T i V 2m ne mogu biti negativni (ni nula), vidimo da u
izotermnim uvjetima tlak idealnog plina pada s porastom molarnogvolumena. Derivacija p′
T zove se parcijalnom derivacijom funkcijep po Vm. Umjesto p′
T pise se:
∂p
∂Vmili
(∂p
∂Vm
)T
.
Sto bi onda predstavljalo (i koliko iznosi) ∂p∂T ? Kakva je ta
derivacija po predznaku? Sto nam to i o kojem grafu govori?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Parcijalna derivacija prvog reda funkcije f po nekoj njenoj varijabli♥ je isto sto i obicna prva derivacija izraza kojim je f opisana akou njemu sve osim ♥ smatramo konstantom.
Definicija (Parcijalne derivacije prvog reda)
Neka je f : D → R, D ⊆ Rn skalarna funkcija s n varijabli x1, x2,. . . , xn. Parcijalna derivacija (prvog reda) od f po varijabli xi utocki X ∈ D je, ako postoji, limes
∂f
∂xi(X ) = lim
∆x→0
f (X + ei∆x)− f (X )
∆x.
Napomena
∂∂♥ je linearan operator na prostoru funkcija kojima je ♥ jedna odvarijabli i za koje derivacija po ♥ postoji.
Zadatak
Za skalarne funkcije dviju varijabli raspisite gornju definiciju parcijalnihderivacija prvog reda.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Parcijalna derivacija prvog reda funkcije f po nekoj njenoj varijabli♥ je isto sto i obicna prva derivacija izraza kojim je f opisana akou njemu sve osim ♥ smatramo konstantom.
Definicija (Parcijalne derivacije prvog reda)
Neka je f : D → R, D ⊆ Rn skalarna funkcija s n varijabli x1, x2,. . . , xn. Parcijalna derivacija (prvog reda) od f po varijabli xi utocki X ∈ D je, ako postoji, limes
∂f
∂xi(X ) = lim
∆x→0
f (X + ei∆x)− f (X )
∆x.
Napomena
∂∂♥ je linearan operator na prostoru funkcija kojima je ♥ jedna odvarijabli i za koje derivacija po ♥ postoji.
Zadatak
Za skalarne funkcije dviju varijabli raspisite gornju definiciju parcijalnihderivacija prvog reda.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
U daljnjem pretpostavljamo da sve skalarne funkcije vise varijabliposjeduju sve parcijalne derivacije prvog reda.
Pomocu parcijalnihderivacija definiraju se mnoge termodinamicke velicine.
Primjer
Unutrasnja energija U plina opcenito ovisi o temperaturi T ,volumenu V , tlaku p i sastavu (mnozinama sastojaka:n1, n2, . . . , nm). Drugim rijecima, U se moze shvatiti kao skalarnafunkcija m + 3 varijable. U izohornim okolnostima (V =const.)radi se o funkciji m + 2 varijablea, a njena parcijalna derivacija povarijabli T zove se izohornim toplinskim kapacitetom:
CV =∂U
∂T=
(∂U
∂T
)V ,p,n1,n2,...,nm
.
Koje su varijable funkcije CV , tj. o cemu ovisi izohorni toplinskikapacitet plina?
aZapravo, njih m + 1 jer jednadzba stanja izrazava p u ovisnosti o ostalimvarijablama.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
U daljnjem pretpostavljamo da sve skalarne funkcije vise varijabliposjeduju sve parcijalne derivacije prvog reda. Pomocu parcijalnihderivacija definiraju se mnoge termodinamicke velicine.
Primjer
Unutrasnja energija U plina opcenito ovisi o temperaturi T ,volumenu V , tlaku p i sastavu (mnozinama sastojaka:n1, n2, . . . , nm). Drugim rijecima, U se moze shvatiti kao skalarnafunkcija m + 3 varijable. U izohornim okolnostima (V =const.)radi se o funkciji m + 2 varijablea, a njena parcijalna derivacija povarijabli T zove se izohornim toplinskim kapacitetom:
CV =∂U
∂T=
(∂U
∂T
)V ,p,n1,n2,...,nm
.
Koje su varijable funkcije CV , tj. o cemu ovisi izohorni toplinskikapacitet plina?
aZapravo, njih m + 1 jer jednadzba stanja izrazava p u ovisnosti o ostalimvarijablama.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Primjer
Ako je Y neko ekstenzivno svojstvo sustava, pripadni reakcijskigradijent je
∆rY =∂Y
∂ξ,
gdje je doseg ξ definiran sa
dξ
dnJ=
1
νJ,
a J bilo koji sastojak sustava. Osobito cesto se koristi reakcijskigradijent Gibbsove energije G , zvan reakcijska Gibbsova energija:
∆rG =∂G
∂ξ.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Kao i u prethodnom primjeru vrijedi: svaka parcijalna derivacijaneke skalarne funkcije i dalje ovisi o istim varijablama o kojima ipolazna funkcija. Iznos parcijalne derivacije ∂f
∂♥(♥0, . . .) predstavljaaproksimaciju promjene vrijednosti funkcije f ako se varijabla ♥malo promijeni u odnosu na vrijednost ♥0, a ostale varijable nepromijene vrijednost.
Primjer
Uzmimo funkciju definiranu formulom f (x , y , z) = x+yz2
ex . Njeneparcijalne derivacije prvog reda su:
∂f
∂x(x , y , z) =
1− x − yz2
ex,∂f
∂y(x , y , z) =
z2
ex,∂f
∂z(x , y , z) =
2yz
ex.
Kako je ∂f∂x (0, 0, 0) = 1, zakljucujemo da se povecanjem x od 0 do
∆x, ako pritom y i z ostaju 0, funkcija f poveca za priblizno1 ·∆x u odnosu na svoju vrijednost f (0, 0, 0) = 0. Primijetimo:f (1, 0, 0) = 1
e 6= 1.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Oprez: Samo za funkcije jedne varijable vrijedi
dz
dx=
dz
dy· dy
dx.
Primjerice, moze se pokazati korisna formula poznata pod nazivomEulerovo ciklicko pravilo:
∂x
∂y· ∂y
∂z· ∂z
∂x= −1.
Zadatak
U izotermnim odnosno izoentropisjkim okolnostima definirana jeizotermna odnosno adijabatsk kompresibilnost (stlacivost)
κT = − 1
V
(∂V
∂p
)T ,n
, κS = − 1
V
(∂V
∂p
)S,n
.
Dokazite da vrijediCp
CV=κTκS.
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Za izvod su nam potrebne sljedece formule, koje se dadu izvesti izdefinicija izohornog i izobarnog toplinskog kapaciteta:
CV = T
(∂S
∂T
)V ,n
, Cp = T
(∂S
∂T
)p,n
.
Stoga je
Cp
CV=
(∂S∂T
)p,n(
∂S∂T
)V ,n
.
Koristenjem Eulerovog ciklickog pravila u brojniku i u nazivnikudobije se da je prethodni kvocijent dalje jednak
−(∂S∂p
)T ,n
(∂p∂T
)S,n
−(∂S∂V
)T ,n
(∂V∂T
)S ,n
=
(∂V∂S
)T ,n
(∂S∂p
)T ,n(
∂V∂T
)S,n
(∂T∂p
)S ,n
=
(∂V∂p
)T ,n(
∂V∂p
)S,n
=κTκS.
U zadnjem redu smo za dobivanje prve jednakosti koristili formulu∂y∂x = 1
∂x∂y
, za dobivanje druge lancano pravilo, a za dobivanje
zadnje smo razlomak prosirili faktorom − 1V .
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Parcijalne derivacije drugog reda
Kako je svaka parcijalna derivacija prvog reda funkcija istihvarijabli kao i polazna, moguce je i nju ponovno derivirati posvakoj od njih. Tako dobivamo parcijalne derivacije drugog reda.Koliko parcijalnih derivacija drugog reda ima skalarna funkcijadviju varijabli? Triju? Njih n?
Kao i obicno deriviranje, parcijalno deriviranje je linearan operator.Stoga parcijalno deriviranje funkcije f prvo po ♥ pa ona po ♠oznacavamo s
∂
∂♠∂
∂♥f =
∂2f
∂♠∂♥.
Ako je ♥ = ♠ (dvaput deriviramo po istoj varijabli), pisemo ∂2f∂♥2 .
Zadatak
Odredimo parcijalne derivacije drugog reda za funkcije zadane sf (x , y) = sin(xy) · ex+y i g(x , y) = 4x2 + 9y 2. Sto primjecujete?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
Parcijalne derivacije drugog reda
Kako je svaka parcijalna derivacija prvog reda funkcija istihvarijabli kao i polazna, moguce je i nju ponovno derivirati posvakoj od njih. Tako dobivamo parcijalne derivacije drugog reda.Koliko parcijalnih derivacija drugog reda ima skalarna funkcijadviju varijabli? Triju? Njih n?Kao i obicno deriviranje, parcijalno deriviranje je linearan operator.Stoga parcijalno deriviranje funkcije f prvo po ♥ pa ona po ♠oznacavamo s
∂
∂♠∂
∂♥f =
∂2f
∂♠∂♥.
Ako je ♥ = ♠ (dvaput deriviramo po istoj varijabli), pisemo ∂2f∂♥2 .
Zadatak
Odredimo parcijalne derivacije drugog reda za funkcije zadane sf (x , y) = sin(xy) · ex+y i g(x , y) = 4x2 + 9y 2. Sto primjecujete?
Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije
U vecini”normalnih” slucajeva kod odredivanja parcijalnih
derivacija drugog reda nije potrebno paziti na redoslijed jer vrijedi
∂2f
∂xj∂xi=
∂2f
∂xi∂xj.
Teorem (Schwarz)
Ako u tocki X postoje i neprekidnea su parcijalne derivacije ∂2f∂xj∂xi
i
∂2f∂xi∂xj
, onda su one jednake (u tocki X ).
aPojam neprekidnosti nismo definirali za funkcije vise varijabli. Kao i uslucaju jedne varijable vrijedi: funkcija je neprekidna ako male promjene njenihvarijabli mogu izazvati samo male promjene vrijednosti funkcije. I ovdje vrijedi:funkcije koje su opisane formulom koja je oblika elementarne funkcije suneprekidne na svojoj domeni, neovisno o broju varijabli koje su uvrstene.
Posljedicno u vecini slucajeva za funkciju od n varijabli nijepotrebno racunati n2 vec samo n(n+1)
2 parcijalnu derivaciju drugogreda.
Recommended