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7/22/2019 Skript Fluid
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Skript zur VorlesungFluidmechanik
Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch
Version 1.7
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Inhalt
1 Einleitung ........................................................................................................................ 1 1.1 Allgemeines .............................................................................................................. 11.2 Historische Entwicklung ............................................................................................ 21.3 CFD als Entwurfswerkzeug ...................................................................................... 21.4 Strömungssimulation in Windkanälen....................................................................... 51.5 Gliederung der Fluidmechanik .................................................................................. 61.6 Begriffsdefinitionen ................................................................................................... 6
1.6.1 Fluid .................................................................................................................. 61.6.2 Stationäre und instationäre Strömung, quaistationäre Strömung ..................... 71.6.3 Stromlinie und Bahnkurve ................................................................................. 71.6.4 Stromfaden und Stromröhre ............................................................................. 81.6.5 Ideale und Reale Fluide .................................................................................... 8
1.7 Klassifizierung von Strömungen ............................................................................... 91.7.1 Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung ...................................... 9
1.7.2 Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität ........................ 101.7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl .................................. 111.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche ........................ 17
1.8 Einteilung der Fluide nach Fließverhalten .............................................................. 17
2 Hydrostatik .................................................................................................................... 18 2.1 Grundlagen ............................................................................................................. 18
2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase ............................. 182.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten ............................................... 192.1.3 Druckeinheiten ................................................................................................ 202.1.4 Hydrostatischer Druck .................................................................................... 202.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon .................................................... 21
2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) ........................................... 222.1.7 Saugwirkung ................................................................................................... 242.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) ................................................. 262.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung .................................................... 282.1.10 Viskosität ........................................................................................................ 34
2.2 Druckmessung ........................................................................................................ 372.2.1 Druckbegriffe .................................................................................................. 372.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer .......................... 382.2.3 Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel ..................... 392.2.4 Differenzdruckmessung .................................................................................. 392.2.5 Berücksichtigung des Temperatureinflusses .................................................. 402.2.6 Berücksichtigung der Luftfeuchte ................................................................... 40
2.2.7 Drucksonden ................................................................................................... 412.2.8 Schrägrohrmanometer .................................................................................... 41
2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen ..................................................................... 432.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche ............................................... 432.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Fläche ............................................................... 432.3.3 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen ........................................... 452.3.3.1 Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen ................................................... 452.3.3.2 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen ......................................... 472.3.4 Stabilität .......................................................................................................... 482.3.4.1 Stabilität schwebender Körper ........................................................................ 482.3.4.2 Stabilität schwimmender Körper ..................................................................... 49
2.4 Fluide unter Beschleunigung .................................................................................. 512.4.1 Niveauflächen ................................................................................................. 512.4.2 Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter ............................................ 512.4.3 Rotierende Flüssigkeiten ................................................................................ 51
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3 Aerostat ik ...................................................................................................................... 56 3.1 Atmosphäre der Erde ............................................................................................. 56
3.1.1 Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine ................................................ 563.1.2 Aufbau der Erdatmosphäre ............................................................................. 57
3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe ............................................................ 593.2.1 Luftdruck ......................................................................................................... 593.2.2 Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement ............................................. 59
3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA) .............................................................. 623.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre ............................................. 623.3.2 Definitionen der Höhe ..................................................................................... 65
4 Strömung von Fluiden ................................................................................................. 69 4.1 Grundbegriffe .......................................................................................................... 69
4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes ............................................ 694.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen ........................................................ 694.1.3 Bahnlinie und Stromlinie ................................................................................. 70
4.1.4 Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche ............................................................ 714.2 Kontinuitätsgleichung ............................................................................................. 724.3 Energieerhaltungssatz ............................................................................................ 73
4.3.1 Satz von Bernoulli ........................................................................................... 734.3.2 Euler-Gleichung .............................................................................................. 794.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ................. 814.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern - verlustfrei ............................................ 834.3.5 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustfrei ................. 834.3.6 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen .................................... 854.3.7 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser ................................................... 854.3.8 Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre ............................. 864.3.9 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter .......................................... 87
4.4 Strömung mit Energietransport ............................................................................... 904.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten ...................... 904.4.2 Turbine ............................................................................................................ 934.4.3 Pumpe und Gebläse ....................................................................................... 94
4.5 Modellgesetze ........................................................................................................ 954.5.1 Simulationsproblematik ................................................................................... 954.5.2 Kennzahlen ..................................................................................................... 954.5.3 Reynoldszahl .................................................................................................. 97
4.6 Grenzschichttheorie ................................................................................................ 984.6.1 Grenzschicht ................................................................................................... 984.6.2 Verdrängungsdicke * der Grenzschicht......................................................... 994.6.3 Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte .............................. 100
4.6.4 Transition ...................................................................................................... 1024.7 Widerstand von Körpern ....................................................................................... 105
4.7.1 Formen des Widerstands .............................................................................. 1054.7.2 Reibungswiderstand ..................................................................................... 1064.7.3 Druckwiderstand ........................................................................................... 1094.7.4 Induzierter Widerstand .................................................................................. 1174.7.5 Interferenzwiderstand ................................................................................... 1214.7.6 Gesamtwiderstand ........................................................................................ 121
4.8 Kugelumströmung ................................................................................................ 1234.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) ................ 1234.8.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel .................................................. 123
4.9 Zylinderumströmung ............................................................................................. 1284.9.1 Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung) ..................................... 1284.9.2 Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders ......................................... 128
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4.10 Rohrströmung ....................................................................................................... 1304.10.1 Laminare Rohrströmung ............................................................................... 1304.10.2 Turbulente Rohrströmung ............................................................................. 1304.10.3 Rohrreibungswiderstand ............................................................................... 1314.10.4 Rohrreibungszahl ....................................................................................... 132
4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren .................................... 1354.11.1 Widerstand infolge von Ablösung ................................................................. 1354.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor) ............................................................... 1364.11.3 Querschnittsverengung (Düse) ..................................................................... 1394.11.4 Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167) ....... 1414.11.5 Krümmer - Richtungsänderung ..................................................................... 1424.11.6 Eintrittsverluste ............................................................................................. 1434.11.7 Verlustziffern von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung) ....... 144
5 Impulssatz ................................................................................................................... 148 5.1 Newton’sche Axiome ............................................................................................ 148
5.2 Stromröhre und Stromfaden ................................................................................. 1495.3 Impuls ................................................................................................................... 1495.4 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum ....................... 1505.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum ..................................................................... 1515.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen .................................... 1525.7 Impulsssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen ............................................... 1535.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes.................................................................. 154
6 Drallsatz....................................................................................................................... 158 6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung ............................................................. 1586.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen ....................................... 164
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Abbi ldungsverzeichnis
Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik – Fluidmechanik ..................................................... 1Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie ...................................................... 2Abb. 1-3: Eulerrechnung zur c p –Verteilung an einer F20 (M = 0.95, = 8°), [ 1] ............................ 3
Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (c p-Verteilung), [ 1] ..................................................................... 4Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal ............................................... 5Abb. 1-6: Eurofighter-Modell (Maßstab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA ............................. 6Abb. 1-7: Gliederung der Fluidmechanik ............................................................................................ 6Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t 0 , t 1 und t 2 ............................. 7Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13] .......................................................................................... 7Abb. 1-10: Stromfaden und Stromröhre ............................................................................................... 8Abb. 1-11: Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung .................... 9Abb. 1-12: Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Außenströmung .................................... 10Abb. 1-13: Strömungsablösung bei Kugel und Zylinder ..................................................................... 10Abb. 1-14: Verdichtungsstöße und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8] ............................... 12Abb. 1-15: Widerstandsanstieg bei Überschreiten der kritischen Machzahl, [ 2] ............................... 12Abb. 1-16: Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14] ........................................... 13
Abb. 1-17: Mach’scher Kegel in einer Überschallströmung, [ 5], [ 8] ................................................. 13Abb. 1-18: Verdichtungsstoß an einer Rampe bei M = 36 ................................................................ 14Abb. 1-19: Modell des Raumtransporters Sänger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Köln ................... 14Abb. 1-20: Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9] ................... 14Abb. 1-21: Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3] ................................... 15Abb. 1-22: Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases: .......................... 15Abb. 1-23: Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl ................................................. 17Abb. 1-24: Unterscheidung von Fluiden nach Fließverhalten ............................................................ 17Abb. 2-1: Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes ................................................................. 18Abb. 2-2: Kräftebilanz an einer Flüssigkeitssäule ............................................................................ 20Abb. 2-3: Pascal’sches Paradoxon ................................................................................................... 21Abb. 2-4: Kommunizierende Gefäße ................................................................................................ 22Abb. 2-5: Hydraulische Presse ......................................................................................................... 23Abb. 2-6: Saugpumpe ....................................................................................................................... 24Abb. 2-7: Dampfdruckkurve H Da = f(T) von Wasser ......................................................................... 25Abb. 2-8: Archimedes (285 – 212 BC) .............................................................................................. 26Abb. 2-9: Statischer Auftrieb ............................................................................................................. 27Abb. 2-10: Grenzflächenkräfte ............................................................................................................ 29Abb. 2-11: Benetzungsformen als Funktion des Randwinkels ........................................................... 29Abb. 2-12: Krümmungsdruck .............................................................................................................. 30Abb. 2-13: Kapillarwirkung .................................................................................................................. 31
Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighöhen z ............................................................................................. 32Abb. 2-15: Stalagmometer .................................................................................................................. 32Abb. 2-16: Kapillarmethode ................................................................................................................ 33Abb. 2-17: Ringmethode ..................................................................................................................... 34
Abb. 2-18: Plattenzugversuch ............................................................................................................ 35Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide ......................................................................... 35Abb. 2-20: Druckdefinitionen .............................................................................................................. 37Abb. 2-21: U-Rohr Manometer ........................................................................................................... 38Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel ............................................................................ 39Abb. 2-23: Differenzdruckmessung .................................................................................................... 39Abb. 2-24: Drucksonden ..................................................................................................................... 41Abb. 2-25: Schrägrohrmanometer ...................................................................................................... 41Abb. 2-26: Druckkräfte auf Begrenzungsflächen, [ 10] ....................................................................... 43Abb. 2-27: Druckkräfte auf abwickelbare Flächen, [ 10] ..................................................................... 45Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Körper, [ 10] ........................................................ 47Abb. 2-29: Druckkräfte auf beliebig gekrümmte Flächen, [ 10] .......................................................... 47Abb. 2-30: Stabilität eines schwebenden Körpers .............................................................................. 48
Abb. 2-31: Schwimmender Körper - Ausgangslage ........................................................................... 49Abb. 2-32: Schwimmender Körper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage .................................. 49Abb. 2-33: Stabilität unterschiedlicher Schiffstypen in Abhängigkeit von Beladung, [ 10] ................. 50Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behälter ................................................................................... 51
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Abb. 2-35: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit ................................................................................. 51Abb. 2-36: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit ................................................................................. 53Abb. 2-37: Rotierender Behälter mit Deckel ....................................................................................... 54Abb. 3-1: Aufbau der Erdatmosphäre, [ 11] ...................................................................................... 57Abb. 3-2: Kräftebilanz am Fluidelement ........................................................................................... 59
Abb. 3-3: Temperaturverteilung der Standardatmosphäre ............................................................... 62Abb. 3-4: Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität ...................................................... 64Abb. 3-5: Geometrische Höhe, Höhenlinien ..................................................................................... 65Abb. 3-6: Barometrischer Höhenmesser .......................................................................................... 66Abb. 3-7: Höhenmessereinstellungen .............................................................................................. 67Abb. 3-8: Flugflächen ........................................................................................................................ 67Abb. 4-1: Zustandsgrößen in einer Strömung .................................................................................. 69Abb. 4-2: Instationäre Strömung ....................................................................................................... 69Abb. 4-3: Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015, = 0° [ 14] .................................................. 70Abb. 4-4: Stromlinien eines Strömungsfeldes .................................................................................. 70Abb. 4-5: Stromlinie und Bahnlinie, [ 13] .......................................................................................... 71Abb. 4-6: Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche, [ 13] ............................................................... 71Abb. 4-7: Stromröhre - Kontinuitätsgleichung .................................................................................. 72
Abb. 4-8: Strömungsprozeß mit Austausch von Wärme und Arbeit ................................................. 73Abb. 4-9: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System .................................... 77Abb. 4-10: Kräftebilanz an einem Fluidelement in Strömungsrichtung .............................................. 79Abb. 4-11: Venturi Rohr ...................................................................................................................... 81Abb. 4-12: Ausfluß aus einem Behälter .............................................................................................. 83Abb. 4-13: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck ................................................................... 83Abb. 4-14: Ausfluß aus scharfkantiger Öffnung ................................................................................. 85Abb. 4-15: Ausfluß in ein ruhendes Fluid ........................................................................................... 85Abb. 4-16: Ausströmen von Gasen in die Atmosphäre ...................................................................... 86Abb. 4-17: a) scharfkantige Öffnung b) BORDA-Mündung .............................................................. 87Abb. 4-18: Strömung durch ein Venturi-Rohr ..................................................................................... 88Abb. 4-19: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung ................ 92Abb. 4-20: Wasserkraftwerk, Turbinenbetrieb .................................................................................... 93
Abb. 4-21: Wasserkraftwerk, Pumpbetrieb ......................................................................................... 94Abb. 4-22: Massestrom durch eine Stromröhre ................................................................................. 99Abb. 4-23: Verdrängungsdicke der Grenzschicht ............................................................................... 99Abb. 4-24: Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte ................................................ 100Abb. 4-25: Voll ausgebildete turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte, [ 14] ....................... 101Abb. 4-26: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil ........................................................ 101Abb. 4-27: Zackenband am Höhenruder eines Segelflugzeugs (ASH25) zur Transitionsfixierung . 103Abb. 4-28: Transsitionsfixierung durch dots an einem Hochgeschwindigkeitswindkanalmodell ...... 103Abb. 4-29: Erzwingung von Transition an Rumpfspitze und Vorderkanten eines Modells .............. 104Abb. 4-30: Erzwingung von Transition durch ’dots’ am Seitenleitwerk eines Modells ..................... 104Abb. 4-31: Resultierende Kräfte an einem angeströmte Profil ......................................................... 105Abb. 4-32: Resultierende Auftriebskraft in einer ebenen Potentialströmung ................................... 105Abb. 4-33: Scher- oder Schubspannung bzw. Tangentialspannung ............................................ 106
Abb. 4-34: Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette-Strömung) ......................................... 106Abb. 4-35: Rautiefe k ........................................................................................................................ 108Abb. 4-36: Reibungswiderstand der ebenen Platte .......................................................................... 109Abb. 4-37: Potentialströmung um eine ebene Platte ........................................................................ 109Abb. 4-38: Potentialströmung um eine ebene Platte ........................................................................ 110Abb. 4-39: Grenzschichtablösung mit Rückströmgebiet .................................................................. 111Abb. 4-40: Stromlinienverlauf bei reibungsfreier Strömung und reibungsbehafteter Strömung ....... 112Abb. 4-41: Kriechende Strömung, laminar, c = 1 mm/s, turbulente Strömung, Re = 2000 [ 14] ... 112Abb. 4-42: Karman'sche Wirbelstraße .............................................................................................. 113Abb. 4-43: Bestimmung des Druckwiderstands eines Körpers aus dem Impulsverlust ................... 113Abb. 4-44: Nachlaufrechen ............................................................................................................... 114Abb. 4-45: Ebene Platte, laminare Ablösung, = 2.5°, Re = 104, [ 14] ........................................... 114Abb. 4-46: Ebene Platte, turbulente Ablösung, = 2.5°,Re = 5104, [ 14] ....................................... 114Abb. 4-47: Zylinder, laminare (oben) und turbulente (unten) Ablösung, [ 14] .................................. 114Abb. 4-48: Kugel- oder Zylinderumströmung mit prinzipiellem Stromlinien- und Druckverlauf ........ 115Abb. 4-49: Verzögerung der Ablösung durch Spaltklappen bei Hochauftriebssystemen ................ 116
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Abb. 4-50: Entstehung der freien Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite ................................ 118Abb. 4-51: Einfluß der Streckung auf den induzierten Widerstand C Wi ........................................ 119Abb. 4-52: Freie Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite .......................................................... 119Abb. 4-53: Wirbelschleppe eine Boeing 747 .................................................................................... 120Abb. 4-54: Widerstandsreduzierung im Formationsflug ................................................................... 120
Abb. 4-55: Strömung am Einzelrohr und am fluchtenden Rohrbündel ............................................. 121Abb. 4-56: Reduzierung des aerodynamischen Widerstands bei LKW-Kolonnen, [ 7] .................... 121Abb. 4-57: Reibungsfreie Kugelumströmung ................................................................................... 123Abb. 4-58: Reibungsbehaftete Kugelumströmung ........................................................................... 124Abb. 4-59: Widerstandstandsbeiwert einer laminar umströmten Kugel ........................................... 124Abb. 4-60: Widerstandsbeiwert der Kugel bei unter- und überkritischer Anströmung ..................... 125Abb. 4-61: Einfluß einer erzwungenen Transition auf den Widerstand ............................................ 126Abb. 4-62: Einfluß der Rauhigkeit auf den Widerstand .................................................................... 127Abb. 4-63: Widerstandsbeiwerte von Kugel und Zylinder ................................................................ 128Abb. 4-64: Laminares Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung ................................................. 130Abb. 4-65: turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung ................................................ 130Abb. 4-66: Druckverlust infolge Rohrreibung.................................................................................... 131Abb. 4-67: Moody-Diagramm: Rohrreibungszahl als Funktion der Rauhigkeit und Reynoldszahl .. 134
Abb. 4-68: Offenes Gerinne .............................................................................................................. 135Abb. 4-69: Stufendiffusor .................................................................................................................. 136Abb. 4-70: Konischer Diffusor ........................................................................................................... 138Abb. 4-71: Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels ............................................ 139Abb. 4-72: Stufendüse ...................................................................................................................... 139Abb. 4-73: Stromlinienverlauf in einer Blende .................................................................................. 140Abb. 4-74: Konstruktive Ausführungen unterschiedlicher Drosselgeräte ......................................... 141Abb. 4-75: Rohreinlaufströmung: Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b) ............................ 143Abb. 5-1: Sir Isaac Newton: 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica' ................................. 148Abb. 5-2: Stromröhre und Stromfaden ........................................................................................... 149Abb. 5-3: Stromröhre AM .ohne Außendruck pa ............................................................................... 151Abb. 5-4: Stromröhre AM .mit Außendruck pa .................................................................................. 151Abb. 5-5: Rohrkrümmer .................................................................................................................. 154
Abb. 6-1: Starrer Körper ................................................................................................................. 158Abb. 6-2: Starrer Körper in Rotation ............................................................................................... 159Abb. 6-3: Pirouetteneffekt ............................................................................................................... 161Abb. 6-4: Aufschwung am Reck ..................................................................................................... 161Abb. 6-5: Versuch: Drehimpulserhaltung (Physikalisches Institut Universität Dortmund) .............. 162Abb. 6-6: Versuch: Drehimpuls als Vektor (Physikalisches Institut Universität Dortmund) ............ 162Abb. 6-7: Tornados über Festland und Meer ................................................................................. 163Abb. 6-8: Schaufelkanal.................................................................................................................. 164Abb. 6-9: Laufrad eines Verdichters ............................................................................................... 165
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Tabellenverzeichnis
Tab. 2-1: Druckeinheiten ................................................................................................................. 20Tab. 2-2: Dampfdruckkurve H Da = f(T) von Wasser ........................................................................ 26Tab. 2-3: Randwinkel für unterschiedliche Materialpaarungen ....................................................... 31
Tab. 2-4: Kapillarspannungen ......................................................................................................... 32Tab. 2-5: Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur ..................................................... 40Tab. 3-1: Chemische Zusammensetzung der Erdatmosphäre ....................................................... 56Tab. 3-2: Sättigungsdruck von Luft ................................................................................................. 58Tab. 3-3: Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche ........................................... 63Tab. 3-4: Höhenbereiche mit konstanter Temperatur ..................................................................... 63Tab. 3-5: Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA ....................................................... 63Tab. 3-6: Werte der Standard-Atmosphäre (ISA) für h = 0 (MSL) .................................................. 64Tab. 4-1: Energie und Leistungsgrößen .......................................................................................... 74Tab. 4-2: Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung ............................................... 78Tab. 4-3: DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre ............................................................... 87Tab. 4-4: Dimensionen der Basisgrößen ........................................................................................ 95Tab. 4-5: Dimensionen der abgeleiteten Größen ............................................................................ 96Tab. 4-6: Kennzahlen auf der Basis von Massenkräften ................................................................ 97Tab. 4-7: Korrekturfaktoren für laminare Anlaufstrecke ................................................................ 107Tab. 4-8: Zulässige Rauhigkeiten für hydraulisch glatte Oberflächen .......................................... 108Tab. 4-9: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper ........................................................... 116Tab. 4-10: Formwiderstand ebener Platten ..................................................................................... 116Tab. 4-11: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper ........................................................... 117Tab. 4-12: Korrekturfaktoren für dreidimensional umströmte Zylinder ........................................... 129Tab. 4-13: Durchflußkoeffizient C und Expansionszahl ............................................................... 142
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viii
___________________________________________________________________
Nomenklatur
Lateinische Bezeichnungen A [m²] Flächea [m/s²] Beschleunigunga [m/s] Schallgeschwindigkeitc [m/s] Geschwindigkeitc p [-] Druckbeiwertc p [J/kgK] spez. Wärme bei konst. Druckcv [J/kgK] spez. Wärme bei konst. Volumen
D [1/s] Schergefälle F [N] Kraft, Schub Fr [-] Froude-Zahl Ec [-] Eckert-Zahl Eu [-] Euler-Zahl Fo [-] Fourier-Zahl
g [m/s²] Gravitationskonstante H [m] Höhe, Förderhöheh [m] Höhe
H [J] Enthalpieh [J/kg] spez. Enthalpie
I [m4] Flächenträgheitsmoment I [Ns] Impuls
I [N] Impulsstrom Kn [-] Knudsen-Zahlk [m] Rauhigkeit
L [Nms] Drall
L
[Nm] Drallstroml [m] Länge M [-] Machzahl M [-] Metazentrum M [Nm] Momentm [kg] Massem [kg/s] Massestromn [-] Lastvielfachesn [-] Polytropenexponent
P [W] Leistung Pe [-] Péclet-Zahl Pr [-] Prandtl-Zahl
p [Pa] DruckQ [J] Wärmeq [J/kg] spez. Wärme
Q [J/m²] Wärmestrom
q [W/m²] spez. Wärmestrom
R [J/kgK] spez. Gaskonstante (Luft: R Luft = 287 J/kgK ) Re [-] Reynoldzahlr [m] RadiusS [-] StrouhalzahlS [J/K] Entropie
s [J/K kg] spez. Entropie
T [K] TemperaturT [s] UmlaufzeitTu [-] Turbulenzgrad
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t [s] ZeitT [s] UmlaufzeitU [J] innere EnergieU [m] Umfangu [J/kg] spez. innere Energieu, v, w [m/s] Geschwindigkeiten in x, y, z-RichtungV [m³] VolumenV [m/s] Geschwindigkeitv [m³/kg] spezifisches VolumenW [N] WiderstandW [J] Arbeitw [J/kg] spez. ArbeitWe [-] Weber-ZahlY [m²/s²] spez. Förderarbeit
x, y, z [m] Ortskoordinaten
Griechische Bezeichnungen [rad, Grad] Anstellwinkel K [-] Kontraktionszahll [rad, Grad] Schiebewinkel [m³/kgs²] Gravitationskonstante, Erde = 6.6710-11 [m] Grenzschichtdicke [-] Expansionszahl [-] Wirkungsgrad [%] Relative Luftfeuchte [-] Verustziffer
[-] Isentropenexponent [-] Kraftmaßstabsfaktor [m] mittlere freie Weglänge [W/mK] Wärmeleitfähigkeit [-] Längenmaßstabsfaktor [-] Rohrreibungszahl [-] Ausflußkoeffizient [Pas] dynamische Viskosität [m²/s] kinematischen Viskosität [-] Zeitmaßstabsfaktor [-] Kreiszahl
[-] Druckverhältnis [kg/m³] Dichte [W/m²K4] Stefan-Boltzmann-Konstante, = 5.669710-8 [N/m] Kapillarspannung [Pa] Schubspannung [rad] Winkelgeschwindigkeit [-] Verlustbeiwert
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x
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Indizes Größe auf die ungestörte Strömung bezogen0 Größe auf Meeresniveau bezogen0 Totalgröße
Diss dissipiertd Dampf
F Fluid f feucht K Körper M ModellO Original
p Druck R ReibungS Flächenschwerpunkt
s isentrope Zustandsänderungt Totalgröße
trockenV VerlustW Wand
Symbole Nabla-Operator Laplace-Operator proportional
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Fluidmechanik Einleitung 1 ___________________________________________________________________
1 Einleitung
1.1 Allgemeines
Fluidmechanik ist die Wissenschaft von den Gesetzen der Bewegung und des
Kräftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flüssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase(Thermodynamik, Gasdynamik, Aerodynamik). Sie ist ein Teilgebiet der TechnischenMechanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieserWissenschaft lautet Mechanik flüssiger Körper oder Fluidmechanik, wobei unter demBegriff "flüssiger Körper" dünnflüssige, tropfbare Flüssigkeiten und Gase zu verstehen sind.Da im Deutschen ein Oberbegriff für tropfbare Flüssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafürnach DIN 5492 den Begriff "Fluid" bzw. “Fluide“ vorgeschlagen. Im Englischen wird dieBezeichnung "fluid" als Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase, also ein nichtfestesKontinuum, verwendet. Der Begriff "Strömungsmechanik ", wird aus historischen Gründensehr häufig parallel verwendet, umfaßt jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft vonden Gesetzmäßigkeiten ruhender Flüssigkeiten und Gase, d.h. der Hydrostatik bzw. Aerostat ik .
Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die oft schon gute Einblicke in reale Vorgänge gibt,ist die Strömungslehre wesentlich komplexer. Das Momentanbild einer Planetenbewegungläßt sich z.B. durch die Koordinaten des Schwerpunktes S , dessen Geschwindigkeit w undBeschleunigung a darstellen oder durch das 3. Gesetz von Kepler:
Gl. 1-1: 2318
22
3
1036.3.4
smconst m
T
r S
Das Momentanbild der Umströmung eines Körpers hingegen erfordert die Kenntnis derGeschwindigkeiten und Drücke nicht eines einzigen Massepunktes, sondern theoretischunendlich vieler Punkte im Raum, aus denen das Druck- und Geschwindigkeitsfeld bestimmt
wird.
Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik – Fluidmechanik
Das Versuchswesen nimmt in der Fluidmechanik eine weit wichtigere Rolle ein als in derFestkörpermechanik. In der Fluidmechanik stehen meist nicht so sehr die bewegten Teilchenals vielmehr die ruhenden oder gleichförmig bewegten umströmten Körper im Mittelpunkt desInteresses, z.B. Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, alsocomputergestützte Verfahren (CFD computational fluid dynamics) zunehmend anBedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durch Computer-Simulationenergänzt.
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Fluidmechanik Einleitung 2 ___________________________________________________________________
1.2 Historische Entwicklung
Bis zum 17. Jahrhundert war die Strömungsmechanik durch eine ausschließlichexperimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Im 17.- 18. Jahrhundert setzte die Entwicklung
der theoretischen Strömungsmechanik ein und erst seit ca. 1960, mit der Verfügbarkeit derersten leistungsfähigen elektronischen Rechner begann die Entwicklung der numerischenStrömungsmechanik. Die drei Elemente Experiment, Theorie und CFD sind jedoch nicht alsisolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitigergänzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren unterschiedliche Stärken undSchwächen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwischen theoretischen undexperimentellen Verfahren eingestuft werden.
Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie
Das Hauptaugenmerk für viele Anwendungen liegt in der Regel in der Ermittlung derDruckverteilung an der Oberfläche des umströmten Körpers und den daraus resultierendenKräften und Momenten auf den Körper. Diese sind erforderlich zur Bestimmung derAuslegungslasten für die Struktur und der Bestimmung der aerodynamischen Parameter,z.B. Auftrieb und Widerstand.
Die Bedeutung der Fluidmechanik zeigt sich z.B. in der Vorausberechnung der Antriebsleistung für Fahrzeuge mit erheblichem Strömungs-
widerstand (z.B. Auto, Schiff, Flugzeug) Auslegung von Pumpen- und Kompressorleistungen für in Rohrleitungen transportierte
Fluide im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik Bereitstellung der Grundlagen für den Entwurf von Gleitlagern, Strömungsmaschinen
(Kreiselpumpen, Ventilatoren, Kompressoren, Dampf-, Gas- und Wasserturbinen)
Dazu ist es jedoch häufig erforderlich das gesamte, den Körper beeinflussende Strömungs-feld zu kennen. Hier bieten sich neben einer reinen theoretischen Analyse oder einfachenHandbuchmethoden, unterschiedliche Vorgehensweisen an. Entweder die Durchführung vonModellversuchen im Wind- oder Wasserkanal oder eine numerische Analyse mit Hilfe vonCFD-Methoden. Die Durchführung von Flug- oder Fahrversuchen ist naturgemäß erst inspäteren Phasen des Entwicklungsprozesses möglich.
1.3 CFD als Entwurfswerkzeug
Seit ca. 1970 wird CFD erfolgreich zur Berechnung zweidimensionaler Strömungen, z.B. beiProfilen eingesetzt. Als effizientes Entwurfswerkzeug zur Berechnung dreidimensionalerStrömungen entwickelte sich CFD seit ca. 1990. In Abb. 1-3 ist die Druckverteilung an derOberfläche eines Flugzeugs in Form von Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks, dargestellt.
Experiment Theorie
CFD
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Fluidmechanik Einleitung 3 ___________________________________________________________________
Abb. 1-3: Eulerrechnung zur c p –Verteilung an einer F20 ( M = 0.95, = 8°), [ 1]
Üblicherweise wird hierbei nicht der statische Druck an der Wand pW , sondern diedimensionslose Form des Druckbeiwerts c p verwendet.
Gl. 1-2:2
2
c
p pc W
p
Durch CFD-Verfahren lassen sich nicht nur die Strömungsverhältnisse an der Oberflächedes Körpers bestimmen, sondern es erfolgt eine Berechnung des gesamten Strömungs-
feldes in der Umgebung des Körpers. Somit lassen sich auch Wirbelstrukturen im Nahfelddes umströmten Körpers darstellen. Für die Flügelschnitte a-f sind in Abb. 1-4 Vergleichezwischen den Ergebnissen aus numerischer Berechnung und experimentellen Ergebnissenaus dem Windekanal aufgetragen.
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Fluidmechanik Einleitung 4 ___________________________________________________________________
Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (c p-Verteilung), [ 1]
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Fluidmechanik Einleitung 5 ___________________________________________________________________
1.4 Strömungssimulation in Windkanälen
Bei der Entwicklung von Fluggeräten ist man bereits in einer sehr frühen Phase desEntwurfsprozesses auf eine möglichst genaue mathematische Beschreibung des
aerodynamischen und flugmechanischen Verhaltens des Flugzeugs angewiesen. Dies isterforderlich sowohl zur Überprüfung der projektierten Flugleistungen als auch zur Auslegungdes Flugreglers. Trotz der zunehmenden Bedeutung von numerischen Entwurfswerkzeugen(CFD), stellt der experimentelle Ansatz, d.h. die Erstellung eines aerodynamischen Modellsauf der Basis von Windkanaldaten, noch das grundlegende Entwurfswerkzeug dar. In derRegel ist es jedoch nicht möglich ein Flugzeug über seinen gesamten Geschwindig-keitsbereich in Originalgröße unter echten Flugbedingungen zu testen. Lediglich im Nieder-geschwindigkeitsbereich existieren einige Versuchsanlagen, die über eine entsprechendgroße Meßstrecke verfügen um Flugzeuge im Originalmaßstab untersuchen zu können, z.B.NASA AMES 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal mit einer maximalen Strömungs-geschwindigkeit von 100 kts bzw. 51 m/s oder NASA AMES 40 x 80 ft mit einer maximalenStrömungsgeschwindigkeit von 300 kts bzw. 153 m/s.
Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal
Aufgrund des mit der Geschwindigkeit quadratisch zunehmenden Energiebedarfs zurAufrechterhaltung einer kontinuierlichen Umströmung des zu untersuchenden Körpers,werden Windkanaluntersuchungen daher häufig an geometrisch ähnlichen, jedochmaßstäblich verkleinerten Modellen durchgeführt. Dabei spielt es prinzipiell keine Rolle ob
das Modell sich durch die ruhende Luft bewegt oder ob ein Fluid sich um ein ruhendesModell bewegt.
Der erforderliche Energieaufwand zur Simulation einer transsonischen Strömung (0.8 < M <1.2) wird an dem in Abb. 1-6 dargestellten Windkanalmodell eines Kampfflugzeugs imMaßstab 1:15 deutlich. Die während des Versuchs kontinuierlich durchströmte Meßstreckedes Windkanals beträgt 2.4m x 2.4m. Zur Gewährleistung dieser Versuchsbedingungen ist jedoch ein Leistungsbedarf von 70 MW abzudecken. Allein aus Kostengründen sindVersuchsanlagen, die die Simulation von Strömungsfeldern um Luftfahrzeuge inOriginalgröße ermöglichen würden, in diesem Geschwindigkeitsbereich kaum zu realisieren.
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Fluidmechanik Einleitung 6 ___________________________________________________________________
Abb. 1-6: Eurofighter-Modell (Maßstab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA
1.5 Gliederung der Fluidmechanik
Abb. 1-7: Gliederung der Fluidmechanik
(Rheologie: Wissenschaft der nicht-NEWTONschen Fluide z.B. Zahnpasta, flüssiger Beton)
1.6 Begriffsdefinitionen
1.6.1 Fluid
Im Gegensatz zum Festkörper verformt sich ein Fluid unter dem Einfluß einer Schub-spannung ständig weiter.
Rheologie Fluidmechanik
H dromechanik Mechanik der Gase
Hydro-statik
Hydro-dynamik
Hydrau-lik
Aerostatik Aero-dynamik
Gas-dynamik
inkom ressibel kom ressibel
transsonisch Überschall
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Fluidmechanik Einleitung 7 ___________________________________________________________________
Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t 0 , t 1 und t 2
Weitere Annahme: Kontinuumshypothese, d.h. Masse ist stetig über das Volumen
verteilt
1.6.2 Stationäre und instationäre Strömung, quaistationäre Strömung
Zustandsgrößen im Strömungsfeld (Geschwindigkeit, Druck, Dichte, Temperatur) bleibenüber den betrachteten Zeitraum konstant (stationär ) oder können sich zeitlich ändern(instationär ). In Abhängigkeit von dem Beobachtungssystem können instationäre Systemein stationäre Systeme überführt werden, die Verwendung eines mit dem Körper mitbewegtesBeobachtungssystem nimmt die Strömung als stationär war, z.B. flugzeugfestesKoordinatensystem. Sehr langsam ablaufende Veränderungen werden als quasistationärbezeichnet.
1.6.3 Stromlin ie und Bahnkurve
Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13]
Die Bahnkurve beschreibt die Flugbahn, d.h. die Ortskurve auf der sich ein einziges
Fluidteilchen bewegt. Optisch läßt sich die Bahnkurve z.B. durch die (farbliche) Markierung
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Fluidmechanik Einleitung 8 ___________________________________________________________________
des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung über einen längeren Zeitraum t -2 < t <t 2 vermessen.
Die Stromlinie stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strömungsfeldes dar. Optisch
läßt sich die Stromlinie durch die (farbliche) Markierung mehrerer Teilchen und dieBeobachtung über einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, z.B. durch die photographischeAufnahme des Strömungsfeldes mit einem einzigen Photo, jedoch einer Belichtungszeit, dieso gewählt wird, daß alle Teilchen einen sehr kurzen, aber dennoch sichtbaren Weg zurück-legen. Dieser zurückgelegte Weg erscheint aufgrund der endlichen Belichtungszeit als Strichauf der Aufnahme, der wiederum dem Geschwindigkeitsvektor der markierten Teilchenentspricht.Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strömungsfeld, die zu einem bestimmtenZeitpunkt t 0 mit der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. dieGeschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehörenden Fluidteilchen bilden dieTangenten der Stromlinie.
1.6.4 Stromfaden und Stromröhre
Abb. 1-10: Stromfaden und Stromröhre
Stromfaden: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch die Fläche A1 verlaufenStromröhre: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve K verlaufen
1.6.5 Ideale und Reale Fluide
Ein Ideales Fluid wird durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet:- Inkompressibilität , d.h. die Dichte ist an jeder Stelle gleich- Reibungsfreiheit, d.h. es erfolgt keine Umwandlung mechanischer Energie durch Reibung
in Wärme (vgl. auch Potentialströmung)
Bei realen Fluiden treten infolge der Reibung Schubspannungen in Strömungsrichtungauf, es erfolgt eine Umwandlung mechanischer Energie in Wärme, d.h. es wird Reibungs-
arbeit verrichtet. Dies führt zur Ausbildung einer sog. Grenzschicht in Wandnähe festerKörper und Ablösungen der Grenzschicht im Nachlaufbereich.
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1.7 Klassifizierung von Strömungen
Strömungen lassen sich nach unterschiedlichen Kriterien klassifizieren- Unterscheidung entsprechend der Körpergeometrie, d.h. in zwei- oder dreidimensionale
Strömungen
- Unterscheidung nach der Stärke des Kompressibilitätseinflusses d.h. entsprechend derAnström-Machzahl- Reibungseffekte (Viskosität).
1.7.1 Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung
Ein wesentliches Merkmal von realen Strömungen besteht darin, daß infolge der freienBewegung der Moleküle Masse, Impuls und Energie von einem Ort zu einem anderen Ort imFluid transportiert werden können. Diese Molekularbewegung ist die physikalische Ursachefür die sog. Transportvorgänge, d.h. Massestrom, Reibung und Wärmeübertragung. Reale,mit Reibungseffekten behaftete Strömungen werden als reibungsbehaftet oder viskosbezeichnet. Strömungen, bei denen der Einfluß der Transportphänomene als gering
betrachtet werden kann, werden als reibungsfrei bezeichnet.
Die Unterschiede zwischen reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung lassen sich amBeispiel unterschiedlicher Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht darstellen
Reibungsfreie StrömungDie Geschwindigkeit entspricht auch direkt an der Wand noch der Geschwindigkeit der freienAnströmung V
Reibungsbehaftete StrömungDie Geschwindigkeit nimmt an der Wand den Wert Null an (Haftungsbedingung).
Abb. 1-11: Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung
Für praktische Anwendungen läßt sich für viele Bereiche das Strömungsfeld in einenreibungsbehafteten Anteil in der Nähe der Körperoberfläche (Grenzschicht) und in einenreibungsfreien Anteil außerhalb der Grenzschicht aufteilen. Für schlanke Körper oder Profile,die bei kleinen Anstellwinkeln angeströmt werden, lassen sich durch diese VereinfachungStromlinien und Druckverteilungen relativ gut berechnen.
c c
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Abb. 1-12: Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Außenströmung
Ablösung bei reibungsbehafteter Strömung
Wird der Anstellwinkel des in Abb. 1-12 skizzierten Profils erhöht, so kann bei Überschreiteneines Grenzwinkels die Strömung der Kontur nicht mehr weiter folgen und die Grenzschichtlöst an der Oberseite des Profils ab und es bildet sich hinter der Ablösestelle ein Ablöse-oder Totwassergebiet. Solch ein abgelöstes Strömungsgebiet läßt sich nicht mehr alsreibungsfreie Strömung vereinfachen. Eine ähnliche Situation liegt z.B. hinter einem querangeströmten Zylinder vor.
Abb. 1-13: Strömungsablösung bei Kugel und Zylinder
1.7.2 Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität
Strömungen für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten,werden als inkompressibel bezeichnet, Strömungen mit einer veränderlichen Dichte, z.B.Gase, werden als kompressibel bezeichnet. Die Annahme einer konstanten Dichte fürFlüssigkeiten stellt lediglich eine (gute) Näherung dar, dies führt jedoch zu einer starken
Vereinfachung in der Berechnung der Strömungsparameter. Obwohl Luft in der Realität einkompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleinerenGeschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0.3 die Annahme = const. getroffen werden. InBodennähe ( H = 0) entspricht dies einer Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 [m/s] bzw. 360[km/h], also dem Geschwindigkeitsbereich von Segelflugzeugen oder kleineren einmotorigenSportflugzeugen.
Unter der Annahme der Inkompressibilität können die Strömungsbedingungen entlang einerStromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden.
Gl. 1-3: .
2
1 2 const c p
reibungsbehafteteGrenzschicht
reibungsfreie Außenströmung
Strömungsablösung
Strömungsablösung
Totwassergebiet
Strömungsablösung
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Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbarenErgebnisse mehr.
Definition der Kompressibilität
Wird der Druck p
an einem Volumenelementv um den Betrag
dperhöht, so wird dasVolumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilität wird beschrieben
durch
Gl. 1-4:dp
dv
v
1
Die Kompressibilität stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser T = 510-10 [m²/N]und für Luft T = 510-5 [m²/N] bei p = 1 [bar]. Mit dem spezifischen Volumen v
Gl. 1-5:
1
m
V v
ergibt sich für die Kompressibilität
Gl. 1-6:dp
d
1
d.h. eine Änderung des Drucks dp bewirkt in Abhängigkeit von der Größe derKompressibilität eine Änderung der Dichte d
Gl. 1-7: dpd
Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist esüblich eine relative Dichteänderung von 05.0 d anzusetzen.
1.7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl
Stromlinien kennzeichnen die Tangenten an die lokalen Geschwindigkeitsvektoren imStrömungsfeld. Jedem Punkt in dem Strömungsfeld können die Größen Druck p, Temperatur T , Dichte und Geschwindigkeit V zugeordnet werden. Zusätzlich kann jedem Punkt nochdie lokale Schallgeschwindigkeit c zugeordnet werden. Somit ergibt sich analog zur Definitionder Machzahl M der freien Anströmung
Gl. 1-8:
a
c M
die Definition der lokalen Machzahl M im Strömungsfeld
Gl. 1-9:a
c M
UnterschallströmungDie reine Unterschallströmung ist dadurch gekennzeichnet, daß im gesamten Strömungsfeldfür die lokale Machzahl M 1 gilt. Ein wichtiges Kriterium der reinen Unterschallströmungbesteht darin, daß sich Druckänderungen auch entgegen der Strömungsrichtung ausbreitenkönnen.
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Transsonische StrömungBei einem transsonischen Strömungsfeld können Unterschall- ( M < 1) und lokaleÜberschallströmung ( M 1) im betrachteten Strömungsgebiet gleichzeitig auftreten, z.B.infolge von Übergeschwindigkeiten am Tragflügel bei einer freien Anströmmachzahl von
M 1. Die Grenze für das erste Auftreten von Überschallgebieten ist abhängig von denverwendeten Profilen und liegt bei heute üblichen Transsonikprofilen bei ca. M = 0.8, kann jedoch bei entsprechend dicken Profilen bereits bei M = 0.65 liegen.
Während die Beschleunigung vom Unterschall zum Überschall in einem stetigen Prozeßverläuft, erfolgt die Verzögerung vom Überschall zurück zum Unterschall in einem unstetigenProzeß, gekennzeichnet durch einen Verdichtungsstoß.Kennzeichen eines transsonischen Strömungsgebiets ist somit das gleichzeitige Vorliegenvon Unterschall- als auch Überschallgebieten, z.B. hinter einem abgelösten Stoß an derProfilnase. Generell wird der Machzahlbereich 0.8 M 1.2 als Transsonikbereichbezeichnet.
Abb. 1-14: Verdichtungsstöße und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8]
Bedeutung der kr itischen Machzahl als kennzeichnende Größe der Kompressibi litätInfolge des lokalen Auftretens von Überschallgebieten bilden sich lokale Verdichtungsstöße,die stromabwärts zu stoß-induzierten Ablösungen, verbunden mit einer starken Zunahmedes Druck- bzw. Formwiderstands führen.
Abb. 1-15: Widerstandsanstieg bei Überschreiten der kritischen Machzahl, [ 2]
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Abb. 1-16: Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14]
ÜberschallströmungDas Kennzeichen der reinen Überschallströmung besteht darin, daß im gesamtenStrömungsfeld für die lokale Machzahl M 1 gilt. Ein weiteres wichtiges Kriterium der reinenÜberschallströmung besteht darin, daß sich Druckänderungen nicht mehr entgegen derStrömungsrichtung, sondern nur noch stromabwärts auswirken können.
Abb. 1-17: Mach’scher Kegel in einer Überschallströmung, [ 5], [ 8]
HyperschallströmungAuch für den Übergang von der Überschall- zur Hyperschallströmung existiert keine scharfdefinierte Grenze. Eingebürgert hat sich eine Machzahl der freien Anströmung von M 4.5 -5. Charakteristische Eigenschaften einer Hyperschallströmung sind die eng an derKörperoberfläche anliegen Stöße und die infolge der starken Temperaturerhöhung hinterdem Verdichtungsstoß auftretenden chemischen Prozesse, d.h. Dissoziation mit spätererRekombination sowie die Bildung von Plasma. In diesem Geschwindigkeitsbereich läßt sichdie Annahme, Luft als ideales Gas zu betrachten, nicht länger aufrecht erhalten.
M
1sin
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Abb. 1-18: Verdichtungsstoß an einer Rampe bei M = 36
Abb. 1-19: Modell des Raumtransporters Sänger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Köln
Bedingt durch das hohe Temperaturniveau treten in Hyperschallströmungen zwei Gruppenvon chemisch-physikalischen Phänomen auf. Zum einen werden mit zunehmenderTemperatur die inneren Freiheitsgrade der Moleküle angeregt, Dissoziations- undIonisationseffekte treten auf und zum anderen kommt es zu chemischen Wechselwirkungenzwischen der Grenzschicht und der Oberfläche des Flugkörpers. Die Katalyzität derOberfläche bildet bei wiederverwendbaren Systemen, z.B. Space Shuttle, eine schwer zuquantifizierende Größe, da sich die Katalyzität des Thermalschutzsystems mit zunehmenderAnzahl der Flüge erhöht.
Abb. 1-20: Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9]
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Fluidmechanik Einleitung 15 ___________________________________________________________________
Die Abweichung des Verhaltens von Luft vom dem Verhalten eines idealen Gases, das sichim chemischen Gleichgewicht befindet ist in Abb. 1-21 dargestellt. Berechnet wurden dieStaupunkttemperaturen bei unterschiedlichen Wiedereintrittsgeschwindigkeiten in einer Höhevon H = 52 km.
Abb. 1-21: Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3]
Abb. 1-22: Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases:
ideales Gas:
T Rv p
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Strömung verdünnter GaseAlle bisherigen Betrachtungen gingen von der Strömung als Kontinuum aus. Insbesondere ingroßer Höhe, d.h. ab ca. 70 km, läßt sich diese Annahme nicht länger aufrechterhalten. DieStrömung stellt sich als freie Molekülströmung dar, die dadurch gekennzeichnet ist, daßaufgrund der geringen Dichte fast keine Kollisionen mehr zwischen den einzelnen Molekülenstattfinden.
Kontinuumströmung Bei einer Kontinuumsströmung sind noch genügend Molekülkollisionen möglich um allechemischen Reaktionen nach einem Verdichtungsstoß wieder in ein Gleichgewicht zubringen. Sinkt die Anzahl der Kollisionen unter eine kritische Grenze, so befindet sich dieStrömung in einem chemischen Nicht-Gleichgewicht. Zur Unterscheidung derunterschiedlichen Strömungsbereiche bei der Betrachtung verdünnter Gase, läßt sich dieKnudsen-Zahl Kn einführen, die das Verhältnis der mittleren freien Weglänge der Molekülezu einer charakteristischen Länge l ref des umströmten Körpers beschreibt. Die mittlere freieWeglänge ergibt sich zu
Gl. 1-10:T k
m
2
und die Knudsenzahl Kn
Gl. 1-11:ref l
Kn
In Abhängigkeit von der Knudsen-Zahl lassen sich bei verdünnten Gasen drei unter-schiedliche Strömungsbereiche unterscheiden:
- Kn 10-2
:Es liegt eine Kontinuumsströmung vor.
- 10-2 Kn 5:Die Strömung beginnt vom Kontinuumsverhalten abzuweichen, d.h. Stoßwellenweisen eine endliche Dicke auf und in der Grenzschicht kommt es zuGleitströmungen, d.h. ähnlich wie im theoretisch reibungsfreien Fall, wird an derWand die Geschwindigkeit in der Grenzschicht nicht zu Null. Stoßwelle undGrenzschicht fallen zusammen und bilden einen viskosen 'shock layer'.
- Kn 5:Es liegt eine freie Molekülströmung, es kommt kaum noch zu Molekülkollisionen,
Stoßwellen und Grenzschichten sind nicht mehr eindeutig definiert.
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Fluidmechanik Einleitung 17 ___________________________________________________________________
1.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche
Abb. 1-23: Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl
1.8 Einteilung der Fluide nach Fließverhalten
´
Unterschall
Transsonikbereich
Transsonikbereich
Überschall
Hyperschall
.const dz
dc .const
dz
dc
dzdc
c
c Das Ziehen einer Platte mit konstanter Geschwindigkeit c
über ein Fluid in einem konstanten Abstand z zur Wanderfordert eine Zugkraft F , die ein Maß für dieVerschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander dar-
stellt. Der Proportionalitätsfaktor wird als dynamsicheViskosität bezeichnet.
Scherspannung
Gl. 1-12: dz
dc
Scherkraft
Gl. 1-13:dz
dc A F
Abb. 1-24: Unterscheidung von Fluiden nachFließverhalten
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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 18 ___________________________________________________________________
2 Hydrostatik
2.1 Grundlagen
2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase
Zustandsgrößen beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.B. durchDruck p, Temperatur T und Dichte bzw. spez. Volumen 1v . Thermodynamische
Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.B. H2O) können in Abhängigkeit von zwei Zustandsgrößenbeschrieben werden, z.B. durch T pvv , , v pT T , und T v p p , .
Im thermodynamischen Gleichgewicht können nicht beliebig viele Phasen gleichzeitigvorliegen. Für Fluide (Flüssigkeiten und Gase) sind zwei Zustandgrößen zur Bestimmungdes Gleichgewichtszustands entsprechend der Gibbs'sche Phasenregel ausreichend
Gl. 2-1: P K f 2
f Anzahl der Freiheitsgrade
K Anzahl der Systemkomponenten P Anzahl der Phasen
Zustandsgrößen sind über Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt, z.B. über dieZustandsgleichung des idealen Gases (ideale Gasgleichung)
Gl. 2-2: T Rv p
bzw. über die kalorischen Zustandsgleichungen
Gl. 2-3:.const p
pdT
dhc
Gl. 2-4:.const v
vdT duc
Abb. 2-1: Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes
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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 19 ___________________________________________________________________
2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten
Generell ist die Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur, d.h. es gilt T p, ,
dies gilt für alle Stoffe, d.h. Gase als auch Flüssigkeiten und Festkörper.
Definition der KompressibilitätBetrachtet man ein kleines Volumenelement v, so wirkt an allen Seiten der Druck p. Wird derDruck p um den Betrag dp erhöht, so wird das Volumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilität wird beschrieben durch
Gl. 2-5:dp
dv
v
1
In Abhängigkeit von der bei der Kompression über die Systemgrenze übertragenWärmemenge ändert sich jedoch die Gastemperatur. Unter der Annahme einer Kompressionbei konstanter Temperatur, läßt sich die isotherme Kompressibilität definieren als
Gl. 2-6:T
T pv
v
1
Nimmt man jedoch einen Kompressionsprozeß an, bei dem keine Wärme über dieSystemgrenze übertragen wird (adiabate Zustandsänderung) und bei dem Reibungseffektevernachlässigt werden (isentrope Zustandsänderung), so läßt sich die isentropeKompressibilität definieren als
Gl. 2-7: s
s p
v
v
1
Die Kompressibilität stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser T = 510-10 [m²/N]
und für Luft T = 510-5 [m²/N] bei p = 1 [bar]. Mit der Definition des spezifischen Volumens v
Gl. 2-8:
1v
ergibt sich für die Kompressibilität
Gl. 2-9:dp
d
1
d.h. eine Änderung des Drucks dp bewirkt in Abhängigkeit von der Größe derKompressibilität eine Änderung der Dichte d
Gl. 2-10: dpd
Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist esüblich eine relative Dichteänderung von 05.0 d anzusetzen.
Strömungen, für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten,werden als inkompressibel bezeichnet und bilden den Schwerpunkt der VorlesungFluidmechanik bzw. technische Strömungsmechanik. Strömungen mit einerveränderlichen Dichte, z.B. Gase, werden als kompressibel bezeichnet und werden hiernicht eingehend behandelt. Eine ausführliche Diskussion dichteveränderlicher Fluide findetsich jedoch in der Vorlesung Aerodynamik, unter dem Kapitel Gasdynamik. Wie später nochgezeigt wird, führt die Annahme einer konstanten Dichte zu einer starken Vereinfachung inder Berechnung der Strömungsparameter.
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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 20 ___________________________________________________________________
Vereinfachung für GaseObwohl Luft in der Realität ein kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswertenFehler bei kleineren Geschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0.3 die Annahme = const. getroffen werden. In Bodennähe ( H = 0, p = 1013 hPa) entspricht dies einer Strömungs-
geschwindigkeit bzw. Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 [m/s] bzw. 360 [km/h], also demGeschwindigkeitsbereich von schnellen Landfahrzeugen, Segelflugzeugen oder kleinereneinmotorigen Sportflugzeugen. Unter der Annahme einer konstanten Dichte können dieStrömungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichungermittelt werden:
Gl. 2-11: .2
1 2 const c p
Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbarenErgebnisse mehr
2.1.3 DruckeinheitenGenerell sind für Drücke die Einheit Pa zu verwenden, insbesondere in der Meteorologie ist jedoch die Einheit hPa = 100 Pa üblich, da dies der älteren Bezeichnung mbar entspricht.
Einheit Multiplikationsfaktor SI - EinheitPa = N/m² 1 PahPa = mbar 10 PaMPa 10 Pabar 105 Paatm 1.01325105 Pamm Wassersäule = mm WS 9.80665 Pamm Quecksilber = mm Hg = Torr(760 mmHg = 1 atm)
133.32 Pa
psi = lb/in² (1 in = 25.4 mm) 6894.757 Papsf = lb/ft² (1 ft = 12 in = 0.3048 m) 47.88 = 6894.757/144 Pa
Tab. 2-1: Druckeinheiten
2.1.4 Hydrostatischer Druck
Druck ist eine ungerichtete Größe, d.h. Druckfeld stellt ein Skalarfeld dar, im Gegensatz zueinem Vektorfeld, z.B. Geschwindigkeitsfeld. Die resultierende Druckkraft wirkt immersenkrecht auf die Oberfläche.
Abb. 2-2: Kräftebilanz an einer Flüssigkeitssäule
F G
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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 21 ___________________________________________________________________
Für das Kräftegleichgewicht an einer Flüssigkeitssäule in z-Richtung gilt:
Gl. 2-12: 0,, u DGo D F F F
Gl. 2-13: 00 A p g Ah A p
Gl. 2-14: 00 p g h p
Für den statischen Druck p in der Tiefe h folgt für = const.:
Gl. 2-15: g h p p 0
Dies ist das sog. hydrostatische bzw. fluidstatische Grundgesetz
_________________________________________________________________________
Üb. 2-1: Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser
gefüllten Behälters
geg.: T = 12 [°C] (Wassertemperaturh = 10 [m] (Füllhöhe)
p0 = 1 [bar] (Luftdruck) H2O(T =12°C) = 999.45 [kg/m³]
_________________________________________________________________________
2.1.5 Hydros tatisches (Pascal'sches) Paradoxon
Gemäß dem fluidstatischen Grundgesetz g h p p 0 bestimmt sich der Druck über dieHöhe h der darüber befindlichen Flüssigkeitssäule
Kraft auf den Boden eines Gefäßes wird ausschließlich von der Höhe der darüberbefindlichen Flüssigkeitssäule und nicht von der Form des Gefäßes bestimmt
Gleiche Grundfläche A bedeutet gleiche Kraft F , d.h. A p F
Abb. 2-3: Pascal’sches Paradoxon
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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 22 ___________________________________________________________________
2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren)
Für ein System aus verbundenen Gefäßen oder Röhren folgt aus der Gleichgewichts-bedingung der Kräfte in z-Richtung:
Ist das System mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt, so befinden sich dieOberflächen auf gleicher Höhe Ist das System mit zwei sich nicht mischenden Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte
gefüllt, so ergeben sich unterschiedliche Spiegelhöhen z1 und z2
Abb. 2-4: Kommunizierende Gefäße
Die Druckbilanz auf der linken Seite (1-1) ergibt
Gl. 2-16: g h g h p p b 20111
Für die rechte Seite (2-2) folgt
Gl. 2-17: g h g h p p b 20222
wegen 21 p p folgt daraus
Gl. 2-18: g h g h p g h g h p bb 20222011
Gl. 2-19:2
1
1
2
h
h
Für ein System, das mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt ist, d.h. 21 folgt daraus
Gl. 2-20:21
hh
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Aus dem Prinzip der kommunizierenden Gefäße läßt sich das Arbeitsprinzip einerhydraulischen Presse ableiten
Abb. 2-5: Hydraulische Presse
Die Kräftebilanz am Kolben (1) ergibt
Gl. 2-21: 11011 F A p A p 1
101
A
F p p
Die Kräftebilanz am Kolben (2) ergibt
Gl. 2-22: 22022 F A p A p 2
202 A
F p p
mit dem hydrostatisches Grundgesetz h g z z g p p 2112 folgt
Gl. 2-23: h g A
F p
A
F p
1
1
02
2
0
Gl. 2-24: h g A
F
A
F
1
1
2
2
Aufgrund der hohen Drücke in Hydrauliksystemen kann der hydrostatische Druckanteilh g in der Regel vernachlässigt werden.
_________________________________________________________________________
Üb. 2-2: Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben
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1. Welche Kraft F 1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit demKolben (2) anzuheben?
2. Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolben (2)3. Wie groß ist der Fehler bei Anwendung der Näherungslösung?
_________________________________________________________________________
2.1.7 Saugwirkung
Das Arbeitsprinzip einer Saugpumpe leitet sich aus dem fluidstatischen Grundgesetz g h p p 0 und dem Prinzip kommunizierender Röhren ab
Abb. 2-6: Saugpumpe
Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1-1)
Gl. 2-25: g h H p p S absS ,1
Druckbilanz für die offene Seite (2-2)
Gl. 2-26: g h p p b 2
wegen21
p p folgt
Gl. 2-27: bS absS p g H p ,
Daraus ergibt sich für die Ansaughöhe
Gl. 2-28: g
p
g
p p H uS absS b
S
,,
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Maximale AnsaughöheDie maximale Absaughöhe wird begrenzt durch den Dampfdruck der angesaugtenFlüssigkeit. Bei Unterschreiten des temperaturabhängigen Dampfdrucks geht dieangesaugte Flüssigkeit von der flüssigen in die gasförmige Phase über. Der erzielbare
Saugdruck p
S,abs, der die maximale Ansaughöhe definiert, wird also begrenzt von demDampfdruck p Da der Flüssigkeit und dem herrschenden Luftdruck pb .
Abb. 2-7: Dampfdruckkurve H Da = f(T) von Wasser
Die Bedingung zur Erzielung der maximalen Ansaughöhe lautet:
Saugdruck > Dampfdruck, d.h. DaabsS p p , Die maximale, theoretische Ansaughöhe ergibt sich bei DaabsS p p ,
Gl. 2-29: Dab Dab Dab
thS H H g
p
g
p
g
p p H
,
Die tatsächliche Saughöhe H S liegt jedoch immer etwas unter der theoretisch maximalenHöhe H S,th d.h. thS S H H ,
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Üb. 2-3: Berechnung der Ansaughöhe einer Pumpe
Temperatur T [°C]
Dichte [kg/m³]
Dampfdruck p Da [bar]
Dampfdruckhöhe H Da [mWS]
0 999.8 0.006 0.065 1000.0 0.009 0.09
10 999.6 0.012 0.1220 998.2 0.024 0.2430 995.6 0.042 0.4340 992.2 0.074 0.7550 988.0 0.123 1.2560 983.2 0.198 2.0270 977.7 0.311 3.1780 971.3 0.473 4.8290 965.3 0.700 7.14
100 958.3 1.013 10.33
Tab. 2-2: Dampfdruckkurve H Da = f(T) von Wasser
Temperatur T = 20°C Luftdruck pb 1 bar = 105 Pa
_________________________________________________________________________
2.1.8 Statischer Auft rieb (Prinzip des Archimedes)
Erstes dokumentiertes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren:Überprüfung des Goldanteils in der Krone des König Hieron II von Syrakus
Abb. 2-8: Archimedes (285 – 212 BC)
Die scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Körpers wird alsstatischer Auftrieb bezeichnet. Die Ursache besteht in der Druckdifferenz an Ober- undUnterseite des eingetauchten Körpers.
?
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Abb. 2-9: Statischer Auftrieb
Die Kräftebilanz in horizontaler Richtung ergibt Null, da die Drücke in gleicher Tiefe identischsind. Die Kräftebilanz in vertikaler Richtung auf die Projektionsfläche dA eines zylindrischen
Elements ergibtGl. 2-30: dA g z pdF F 101 (Oberseite)
Gl. 2-31: dA g z pdF F 202 (Unterseite)
Die Auftriebskraftkraft dF A lautet
Gl. 2-32: dA g z zdF dF dF F A 1212
Die Gewichtskraft des Körpers dF K lautet
Gl. 2-33: dA g z zdF K K 12
Der archimedische Auftrieb ergibt sich aus der Integration der Kräfte dF A über das gesamteKörpervolumen V F
Gl. 2-34: F F
V
F F A V g dV g F F
Resultierende Gesamtkraft = Gewicht des verdrängten Fluids - Gewicht des Körpers
Gl. 2-35: K F
dV
K
dV
F K A dmdm g dA z z g dA z z g dF dF dF
K F
1212
Die Integration der Kräfte dF über das gesamte Körpervolumen V ergibt
Gl. 2-36: 0!
K F K K F F
V
K K
V
F F mm g V V g dV dV g F K F
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Üb. 2-4: Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das arktische Eis abtaut?
geg.: 3920 mkg Eis
31025 mkg Meerwasser
_________________________________________________________________________
2.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung
2.1.9.1 Teilchenkräfte
Teilchenkräfte bilden den Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen undAtomen. Festkörper bilden eine Gitterstruktur mit sehr großen Molekularkräften. Fluideweisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf, wodurch die Molekularkräftedeutlich geringer sind als bei Festkörpern. Dies führt zu einer leichteren Verschiebbarkeit derTeilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkörpern. Teilchenkräfte bestimmen dieForm der freien Oberfläche eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohäsionskäften ,
d.h. Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und Adhäsionskräften,d.h. Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen.
2.1.9.2 Begriffsdefinitionen
Adhäsion: Wirkung zwischen fester/fester und fester/flüssiger Phase Adsorption: Wirkung zwischen fester/gasförmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von
Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche fester Körper
Absorption: Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder FeststoffenMit dem Begriff der Absorption eng verbunden ist das Henry-Gesetz1 , welches besagt:Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkenderTemperatur zu.Dieser Zusammenhang läßt sich häufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden imSommer an Gewässern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur derSauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelöst wird.
1 engl. Physiker u. Chemiker (1774 - 1836)
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2.1.9.3 Grenzflächenspannung
Randwinkel <90°: Adhäsion > Kohäsion(Wasser/Glas)
Randwinkel >90°: Kohäsion > Adhäsion(Quecksilber/Glas)
Abb. 2-10: Grenzflächenkräfte
Teilchenkräfte treten an den Trennflächen verschiedener Stoffe oder Phasen in Erscheinungund bilden sog. Grenzflächenkräfte. Moleküle in der Grenzschicht erfahren durchKohäsionskräfte eine resultierende Kraft F nach innen und die Grenzfläche wirkt wie einedünne Membran (Bsp. Wasserläufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflächenspannung)Benetzungsformen- Gas/Gas: Keine Grenzflächen infolge Durchmischung, keine Grenzflächenkräfte- Gas/Flüssigkeit: Kohäsionskräfte der Flüssigkeit sind dominierend, Kapillarspannung
- Gas/Festkörper: Festkörper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzfläche- Flüssigkeit/Festkörper:
(1) Kohäsion > Adhäsion (Randwinkel >90°) nichtbenetzendes Fluid(hydrophob), zusammengezogene, kugelförmige Oberfläche
(2) Kohäsion < Adhäsion (Randwinkel <90°) benetzendes Fluid (hydrophil ) - Flüssigkeit/Flüssigkeit: Verhalten ähnlich dem von Gasen, keine Grenzflächen
Abb. 2-11: Benetzungsformen als Funktion des Randwinkels
Oberflächenaktive SubstanzenDie Oberflächenspannung kann durch unterschiedliche Faktoren beeinflußt werden, wieetwa Verunreinigungen oder waschaktive Substanzen, die zu einer starken Reduzierung derOberflächenspannung führen. Ebenso bilden Alkohole und Fettsäuren durch hydrophile(COOH-Gruppe) und hydrophobe (CH3-Gruppe) Anteile eine monomolekulare Schichtzwischen Wasser- und Luftmolekülen welche die Oberflächenspannung reduziert.
Tropfengröße und DosierungInsbesondere bei medizinischen Anwendungen wird häufig eine mittlere Tröpfchengröße zurDosierung von Medikamenten verwendet. Die Tropfengröße selbst wird durch Dichte und
H O Hg
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Oberflächenspannung der Fluide bestimmt. Zur Bestimmung der Tropfengröße könnenunterschiedliche Verfahren, wie z.B. Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode verwendetwerden.
2.1.9.4 Kapillarität
Grenzflächenspannung bzw. Kapillarspannung Die intermolekularen Anziehungskräfte heben sich,mit Ausnahme einer dünnen Schicht (<10-9 m) an derfreien Oberfläche, im Inneren des Fluids auf. Darausresultiert ein Spannungszustand an der Oberflächeund die freie Oberfläche versucht einen Minimalwertanzunehmen um den Spannungszustand zu
minimieren.
Der Krümmungsdruck p K wird definiert durch
Gl. 2-37:
21
11
K K
K r r dA
dF p
Gl. 2-38:
21
11
K K
K r r
p
Abb. 2-12: Krümmungsdruck
Einfluß der Oberflächenform auf den Krümmungsdruck p K Ebene Oberfläche: 21 K K r r
Gl. 2-39: 0 K p
Kugelkalottenförmige Oberfläche: K K K r r r 21
Gl. 2-40: K
K r
p
2
Zylinderförmige Oberfläche: 21 , K K zyl K r r r r
Gl. 2-41: K
K r
p
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Kapillarwirkung
Abb. 2-13: Kapillarwirkung
Kapillaraszension (z.B. Wasser im Glasrohr)Die Steighöhe eines Fluids in einem Rohr ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischenAdhäsionskräften und dem Gewicht der angehobenen Flüssigkeit.
Kapillardepression (z.B. Quecksilber im Glasrohr)Der abgesenkte Spiegel ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischen Adhäsionskräften unddem Gewicht der abgesenkten Flüssigkeit
Tab. 2-3: Randwinkel für unterschiedliche Materialpaarungen
Der Zusammenhang zwischen Randwinkel und Krümmungsradius ergibt sich aus
Gl. 2-42:W
K
Rr
cos
Anhebung bzw. Absenkung z K
ergibt sich aus dem Krümmungsdruck p K
Gl. 2-43: g z p F K K
Anhebung bzw. Absenkung z K
Gl. 2-44: g Dr g
z F
W
K F
K
cos42 D = Rohrdurchmesser
Gewichtskraft = Kapillarkraft
Gl. 2-45:
D g z D
F 4
2
mittlere Anhebung bzw. Absenkung
Stoffpaarung Randwinkel W [grd]Wasser oder Äthylalkohol/Glas 0Alkohol/Plexiglas < 10Wasser/Plexiglas 80
Quecksilber/Glas 140Wasser/Lotusblatt 160
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Gl. 2-46: g D
z F
4
Fluide (T = 20°C) [N/m] Luft - Quecksilber
WasserEthanolEthyletherÖl
0.4700.0730.0250.0160.028
Wasser - QuecksilberÖlEthanol
0.3800.0200.002
Tab. 2-4: Kapillarspannungen
Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighöhen
2.1.9.5 Bestimmung der Oberflächenspannung
Tropfenmethode (Stalagmometer)
Fließt eine Flüssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter TemperaturTropfen gleicher Größe. Die Oberflächenspannung ist der Dichte der Flüssigkeit direktund der Anzahl z der Tropfen umgekehrt proportional.
Ein Stalagmometer besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen. DieKalibrierung des Geräts erfolgt anhand einer Flüssigkeit mit bekannter Oberflächenspannung(z. B. Wasser).
Abb. 2-15: Stalagmometer
_________________________________________________________________________
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Üb. 2-5: Bestimmung der Oberflächenspannung von 2-Methylpropanol
Aus einem Stalagmometer flossen bei T = 20°C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus. DieDichte der Flüssigkeit betrug ρ = 0.9477 g/cm
3. Wie groß ist ihre Oberflächenspannung ,wenn mit dem gleichen Gerät n(H2O) = 137 Tropfen Wasser von 20°C gezählt wurden?
_________________________________________________________________________
Kapillarmethode
Für eine Glaskapillare mit dem Radius r , in dereine Flüssigkeit aufsteigt gilt:Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule = Tragkraftdurch die Oberflächenspannung
Abb. 2-16: Kapillarmethode
Gl. 2-47: r g hr 22
Gl. 2-48: 1
2
m N g hr
_________________________________________________________________________
Üb. 2-6: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 18°C
Berechnung des Radius r der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersäulegeg.: T = 18 [°C] (Temperatur)
m Hg = 1.297 [g] (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare)l Hg = 5.40 [cm] (Fadenlänge des Quecksilbers in der Kapillare) Hg = 13.595 [g/cm3] = 13.95103 [kg/m³] (Dichte)
h H2O = 19.85 [mm] (Mittelwert für die Höhe der Wassersäule)
_________________________________________________________________________
Ring- oder BügelmethodeEin Aluminiumring mit einer scharfen Schneide wird über drei Fäden an einem Kraftmesserbefestigt. Beim Herausziehen aus dem Fluid hebt die Schneide eine dünne ringförmigeFlüssigkeitsschicht aus der Wasseroberfläche.
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Meßwerte F 1 = Gewichtskraft des Ringes in Luft F 2 = Gewichtskraft vor dem Abreißen
r = Radius des RingesOberflächenspannung σ
Gl. 2-49: 22
12
r
F F
Abb. 2-17: Ringmethode
Der Faktor 2 in Gl. 2-49 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung an denBerührungslinien oben am Ringrand/Flüssigkeit und unten an Flüssigkeit/Flüssigkeit.
_________________________________________________________________________
Üb. 2-7: Bestimmung der Oberflächenspannung von H2O mittels Ringmethode
T = 25 [°C]
m = 4.910 [g] (Masse des Ringes) F 2 = 7.51210
-2 [N] (Zugkraft vor dem Abreißen)
d = 60 [mm] (Durchmesser des Ringes)
_________________________________________________________________________
2.1.10 Viskosität
Defin ition nach DIN 1342Eigenschaft fließfähigen Systems bei der Verformung eine mechanische Spannungaufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt, bzw. Schub- oderTangentialspannung ist die Ursache für die im Fluid hervorgerufene Verformungs-geschwindigkeit. Viskosität ist eine Stoffgröße und stellt ein Maß für die Verschiebbarkeit derFluidteilchen gegeneinander dar.
Newton'sches FluidreibungsgesetzHerleitung über Plattenzugversuch: Zwischen ruhender und bewegter Wandfläche bildet sichein Geschwindigkeitsgefälle, das bei kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann.
Gl. 2-50:dz
dc A F x
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Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung)
Abb. 2-18: Plattenzugversuch
Die Scherkraft F bezogen auf die Plattenfläche A ergibt Tangentialspannung
Gl. 2-51: dzdc A F x
Der Gradient dzdc D x wird auch als Schergefälle bezeichnet.
Reibungsverhalten verschiedener Fluide
Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide
Newton'sche FluideBezeichnung für alle Fluide, die sich entsprechend dem Newton'schen Fluidreibungsgesetzverhalten, d.h. einen konstanten Proportionalitätsfaktor (= dyanamische Viskosität) auf-weisen.
Fluide mit dilatantem (= dehnbarem) VerhaltenDie Scherspannung, d.h. Viskosität steigt progressiv mit wachsendem Schergeschwindig-keitsgefälle, z.B. bei Klebstoffen oder nassem Sand. Bei geringen Schergeschwindigkeiten
wirkt das Wasser im Sand als Gleitmittel, bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit reißt derWasserschmierfilm ab und Sand reibt gegen Sand, wodurch die Scherspannung ansteigt.
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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 36 ___________________________________________________________________
Pseudoplastisches (strukturviskoses) VerhaltenDie Scherspannung steigt degressiv mit wachsender Schergeschwindigkeit, z.B. inSchmelzen, Dispersionen mit länglichen Partikeln, die zuerst ineinander verhakt sind undsich mit zunehmender Scherbewegung ausrichten, wodurch der Widerstand nachläßt.
Plastisches Verhalten (Bingham-Fluide)Bis zum Erreichen eines Schwellwertes entspricht das Verhalten dem eines Festkörpers, beiÜberschreiten der charakteristischen Scherspannung beginnt der Stoff, ähnlich einemNewton'schen Fluid zu fließen, z.B. Honig, Wachs, Teer, Fette
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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 37 ___________________________________________________________________
2.2 Druckmessung
2.2.1 Druckbegriffe
Abb. 2-20: Druckdefinitionen
Die Zustandsgröße Druck ist immer auf ein Referenzniveau bzw. auf einen Referenzdruckbezogen. In Abhängigkeit von dem verwendeten Bezugsniveau lassen sich unterschiedlicheDrücke definieren.
Absolutdruck p abs gegenüber Vakuum
Gl. 2-52:
0
Vakuumabs p p p
Relativdruck p rel , d.h. Druck gegenüber dem Luftdruck p0 , Überdruck oder Unterdruck
Gl. 2-53: g h p p p f f absrel G 0,
Überdruck (h f > 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach oben gedrücktUnterdruck (h f < 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach unten gedrückt
Differenzdruck p, Differenz zwischen zwei Drücken p1 und p2
Gl. 2-54: 21 p p p
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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 38 ___________________________________________________________________
2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mit tels U-Rohr Manometer
Bestimmung des Kesseldrucks pG in der Höhe derAnschlußstelle
Kräftegleichgewicht im Rohr:
Gl. 2-55: g h p g h p f f g GG 0
Gl. 2-56: g h g h p p g G f f G 0
bei f G gilt
Gl. 2-57: g h p p f f G 0
Abb. 2-21: U-Rohr Manometer
Die Meßergebnisses werden nur geringfügig durch die Kapillarität im Rohr beeinflußt, sofernder Rohrdurchmesser des Manometers entsprechend groß gewählt wird.
_________________________________________________________________________
Üb. 2-8: Einfluß der Kapillarität in einem Quecksilber U-Rohr Manometer
D = 6 [mm] (Rohrinnendurchmesser) W = 140 [grd] (Randwinkel Hg/Glas)T = 20 [°C] (Temperatur) Hg/H20 = 0.380 [N/m] (Grenzflächenspannung) Hg/Luft = 0.470 [N/m] (Grenzflächenspannung)
_________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 39 ___________________________________________________________________
2.2.3 Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel
Die Änderung des hydrostatischen Drucks istin der Regel bei Gasen über die Behälterhöhevernachlässigbar. Der Druck im Kessel kannnäherungsweise über die Höhe als konstantangenommen werden. Dies gilt jedoch nichtfür Flüssigkeiten.
Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel
Druck im Kessel auf der Höhe h x
Gl. 2-58: g x p p f L x
Druckgleichgewicht im Manometer bei h2 Gl. 2-59: g h p g y p Hg f x 0
Gl. 2-60: g y g h p p f Hg x 0
2.2.4 Differenzdruckmessung
Die Druckdifferenz 21 p p p ergibt sich aus der
Druckgleichgewicht bei A-A
Gl. 2-61: h g h g ph g p Hg f f 2211
Gl. 2-62: h g hh g p p Hg f 1221
Gl. 2-63: h g p f Hg
Abb. 2-23: Differenzdruckmessung
f
Hg
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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 40 ___________________________________________________________________
Bei geringen Geschwindigkeiten ( M < 0.3) kann bei Gasen die Dichte gegenüber derFlüssigkeit im Manometer vernachlässigt werden, d.h. Gl. 2-63 vereinfacht sich zu:
Gl. 2-64: h g p Hg
Hierbei wird implizit die Annahme getroffen, daß im Rohr eine quasi-eindimensionaleStrömung vorliegt, d.h. die Strömungsparameter ändern sich hauptsächlich in und nicht querzur Strömungsrichtung. Es git somit: 21 , p p pWand
2.2.5 Berücksichtigung des Temperatureinflusses
Die temperaturbedingte Volumenänderung der Flüssigkeit im Manometer, z.B. Quecksilberist bei Druckmessungen zu berücksichtigen.
T [°C] 0 10 20 30
[kg/m³] 13595 13570 13546 13521
Tab. 2-5: Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur
Länge der Quecksilbersäule bei T = 0°C
Gl. 2-65: T L L T 4
0 1081.11
LT [mm Hg]Länge bei Raumtemperatur T [°C]
Näherungsbeziehung zur Temperaturkorrektur der Quecksilbersäule
Gl. 2-66:8
0
T L L T
2.2.6 Berücksichtigung der Luftfeuchte
Ab einer relativen Luftfeuchte von > 50% ist der Einfluß der Feuchte auf die spezifischeGaskonstante R, die in die Berechnung der Luftdichte eingeht zu berücksichtigen, d.h. derWert der spezifischen Gaskonstante von trockener Luft Rt ist entsprechend Gl. 2-68 zukorrigieren, wobei R f die um die relative Luftfeuchte korrigierte spezifische Gaskonstantevon Luft darstellt.
Gl. 2-67:T R
p
f
Gl. 2-68:
p
p
R
R
p
p
R R
d
d
t d
t f
3773.01
05.287
11
mit K kg J Rt 05.287 spez. Gaskonstante von trockener Luft
K kg J Rd 461 spez. Gaskonstante von Wasserdampf
relative Luftfeuchte
d p Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft
p Luftdruck
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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 41 ___________________________________________________________________
Der Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft pd kann für die vorliegende Temperatur T entweder einer Dampftafel entnommen oder über die Magnus2-Formel berechnet werden.
Gl. 2-69: Pae p T
T
d
2.241
5043.17
213.611 , T [°C] Lufttemperatur
2.2.7 Drucksonden
Abb. 2-24: Drucksonden
Wanddruckmessung Statische Drucksonde Pitot-Sonde, Prandtl-Rohr
statisch K Wand p p p p p statisch p p statisch
g h p p F Wand g h p p F statisch dynt total Pitot p p p p p
Bei inkompressiblen Strömungen läßt sich aus dem dynamischen Druck pdyn, d.h. derDifferenz aus Totaldruck pt und statischem Druck p
Gl. 2-70: 2
2cq p p p t dyn
die Strömungsgeschwindigkeit c bestimmen
Gl. 2-71: h g p pc F t
2
2
2.2.8 Schrägrohrmanometer
Weiterentwicklung des U-Rohr Manometers,Neigung des Meßschenkels führt zu einerAufweitung der Skala, entsprechend sin ,maßgebend ist lediglich die Differenz h in denSpiegelhöhen.
Gl. 2-72: g l g h p p M M sin21
Abb. 2-25: Schrägrohrmanometer
2 H. G, Magnus (1802-1870), dt. Physiker und Chemiker
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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 42 ___________________________________________________________________
Üb. 2-9: Geschwindigkeitsmessung mittels Schrägrohrmanometer und Prandtl-Rohr
geg.: l = 100 [mm] (Länge der aufgestiegenen Meßflüssigkeit) M = 800 [kg/m³] (Dichte der Meßflüssigkeit, Alkohol)
= 30 [grd] (Neigungswinkel des Manometers)
Tageswerte im Labor p = ..720 [mm Hg] (Luftdruck)T = 24 [°C] (Lufttemperatur) = ....70 [%] (relative Feuchte)
Berechnen Sie für diese Bedingungen die Strömungsgeschwindigkeit in der Meßstrecke desWindkanals, wenn die Druckdifferenz am Manometer aus p1 (Gesamtdruck) und p2 (statischer Druck) bestimmt wird. _________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 43 ___________________________________________________________________
2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsf lächen
Abb. 2-26: Druckkräfte auf Begrenzungsflächen, [ 10]
Betrachtet wird im Folgenden ein Behälter, der bis zur Höhe H mit einem Fluid der Dichte gefüllt ist und an dessen Oberflächen und Außenseiten der Umgebungsdruck po herrscht.
2.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche
Die Druckkraft auf die Bodenplatte ergibt sich aus der Bilanz aus hydrostatischem Druck undUmgebungsdruck.
Gl. 2-73: A H g F F F ai B
2.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Fläche
Hydrostatische Kraft dF auf ein Flächenelement dA in der Tiefe h, mit cos yh
Gl. 2-74: dA y g dA p y g pdA ph phdF h
coscos 000
Gl. 2-75: A
dA y g F cos
Schwerpunktsabstand yS der Fläche A bezogen auf die x-Achse
Gl. 2-76: A
S dA y A
y1
Resultierende Druckkraft auf die geneigte Fläche A
Gl. 2-77: A y g F S cos
Mit der Tiefe hS des Flächenschwerpunkts S
Gl. 2-78: S S yh cos
Gl. 2-79: A ph p Ah g A y g F S S S 0cos
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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 44 ___________________________________________________________________
Die resultierende Kraft auf die Fläche A ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck der imFlächenschwerpunkt S herrscht
Gl. 2-80: S S h g ph p 0
Druckpunkt D Mit Ausnahme einer horizontalen, ebenen Fläche verteilt sich der Druck nicht konstant überdie Fläche A. Dies hat zur Folge, daß der Kraftangriffspunkt oder Druckpunkt, nicht imFlächenschwerpunkt liegt. Die Druckpunktkoordinate y D ergibt sich aus dem Momenten-gleichgewicht bezüglich der x-Achse.
Gl. 2-81:
x I
A A dF A
D dA y g dA y g ydF y y F 2coscos
I x: Flächenträgheitsmoment der Fläche A in Bezug auf die x-Achse
Der Abstand y D des Druckpunktes D von der Flüssigkeitsoberfläche ergibt sich aus Gl. 2-77eingestetzt in Gl. 2-81.
Gl. 2-82: x DS I g y A y g coscos
Mit dem Steinerschern Satz A y I I S Sx x 2
, wobei I Sx dasFlächenträgheitsmoment der
Fläche A in Bezug auf eine Achse durch den Flächenschwerpunkt S , parallel zur x-Achsebeschreibt, ergibt sich für die Koordinate y D des Druckpunktes D
Gl. 2-83: S
S
Sx
S
S Sx D y
A y
I
A y
A y I y
2
Abstand e zwischen Flächenschwerpunkt S und Druckpunkt D der Fläche A (in y-Richtung)
Gl. 2-84: 0
A y
I y ye
S
SxS D
Druckpunkt liegt immer tiefer als der Schwerpunkt
Momentengleichgewicht bezüglich y-Achse liefert Druckpunktkoordinate x D
Gl. 2-85:
A y
I xdA y x g dA y g xdF x x F
S
xy D
I
A A dF A
D
xy
coscos
I xy: Zentrifugalmoment der Fläche A in Bezug auf x,y-System
Hat die belastete Fläche A eine Symmetrieachse parallel zur y-Richtung, so liegt derDruckpunkt D auf dieser Symmetrieachse im Abstand e unter dem Schwerpunkt S
Sonderfall: Senkrechte ebene Fläche h y ,0
Kraft auf die senkrechte Wand
Gl. 2-86: Ah g F S
Abstand Druckpunkt zu Flächenschwerpunkt
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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 45 ___________________________________________________________________
Gl. 2-87: Ah
I hhe
S
SxS D
Al lgemein gil t:
Druckkräfte auf geneigte oder senkrechte Flächen sind unabhängig vom absolutenFlüssigkeitsvolumen, lediglich die Füllhöhe ist maßgebend (vgl. hydrostatisches Paradoxon).
_________________________________________________________________________
Üb. 2-10: Kraft auf eine Absperrklappe
geg.: hS1 = 5 [m]
D = 1 [m]
= 30 [grd]
= 103
[kg/m³] H = 7 [m]
B = 10 [m]
ges.1. Kraft F 1 auf die Absperrklappe?2. Lage des Kraftangriffspunktes von F 1?3. Drehmoment der Klappe bezüglich x-x?4. Klappenlagerung bei x-x oder y-y?5. Kraft F 2 auf die linke Wand?6. Lage des Kraftangriffspunktes von F 2?
_________________________________________________________________________
2.3.3 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsf lächen
2.3.3.1 Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen
Abb. 2-27: Druckkräfte auf abwickelbare Flächen, [ 10]
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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 46 ___________________________________________________________________
Hydrostatische Kraft dF am Element dA
Gl. 2-88: dAh g dF
Gl. 2-89: x x dAh g dAh g dF sin
Gl. 2-90: hh dAh g dAh g dF cos
Die Druckbelastung ergibt sich aus der Projektion des belasteten Flächenelements senkrechtzur betrachteten Kraftrichtung.
Horizontale Kraftkomponente F x für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Fläche
Gl. 2-91:
xSx xSx
A
x x A ph p Ah g dAh g F x
0
hSx: Abstand des Flächenschwerpunktes S x der Projektionsfläche A x zur Oberfläche
Die Projektionfläche A x ergibt sich aus der Projektion von 1-2 zu 1'-2', horizontale Druckkräftevon 2-3 heben sich gegen 3-4 auf und liefern keinen Beitrag. Das Momentengleichgewichtan A x ergibt den Angriffspunkt D x der Kraft F x :
Gl. 2-92: xSx
SySx Dx x
Ah
I hhe
I Sy: Axiales Flächenträgheitsmoment der Fläche A x bezüglich einer zur y-Achse parallelenAchse durch den Schwerpunkt S x der Projektionsfläche A x
Vertikale Kraftkomponente F h für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Flächeentspricht der Gewichtskraft des über der Kurve 1-2-3-4 befindlichen (realen oder fiktiven)Fluidvolumens, unabhängig davon ob sich in dem Volumen Verdrängungskörper (Kurve 5-6-7-8) befinden oder nicht, ergibt sich die vertikale Kraftkomponente F h zu
Gl. 2-93:
V g dAh g F h A
hh
Da die Gewichtskraft des Fluidvolumens V im Masseschwerpunkt S F angreift, verläuft dievertikale Kraftkomponente F h durch den Schwerpunkt S F des oberhalb der bedrückten Flächeliegenden Volumens.
Die Gesamtkraft F ergibt sich aus horizontaler und vertikaler Komponente F x, und F h
Gl. 2-94:h
x F h x F F F F F arctan,22
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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 47 ___________________________________________________________________
Aufdruckkraft F h'
Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Körper, [ 10]
Das Flächenelement dA' wird in der Tiefe h durch die Druckkraft dF' belastet. Die vertikaleKomponente dF h' ergibt sich aus der Höhe der Flüssigkeitssäule über der belasteten FlächedAh'
Gl. 2-95: V d g Ad h g F d dF
hdA
h
coscos
Die Aufdruckkraft F h' senkrecht nach oben ergibt sich aus der Gewichtskraft des fiktivenVolumens V' über der belasteten Fläche 9-10. Die Wirkungslinie verläuft durch den
Masseschwerpunkt S F ' .
Gl. 2-96: V g F h
2.3.3.2 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen
Abb. 2-29: Druckkräfte auf beliebig gekrümmte Flächen, [ 10]
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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 48 ___________________________________________________________________
Die Druckbelastung einer beliebig gekrümmten Fläche läßt sich durch Projektion dergekrümmten Flächen in die h-y-Ebene bzw. h-x-Ebene auf ein ebenes Problem zurückführenund die Projektionsflächen werden analog zu einer senkrechten Wand behandelt.
Horizontale Kraftkomponenten F
x, F
y Die Kraft auf die senkrechte Wand ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck im Flächen-schwerpunkt multipliziert mit der Projektionsfläche A x bzw. A y.
Gl. 2-97: xSx x Ah g F und ySy y Ah g F
Gl. 2-98:
x
A
x
Sx A
dAh
h x
und
y
A
y
Sy A
dAh
h y
Gl. 2-99: xSx
Sy x
Ah
I e
und
ySy
Sx y Ah
I e
Gl. 2-100 xSx
yh Dx
Ah
I y
und
ySy
xh Dy Ah
I y
Vertikale Kraftkomponente F h Kraft ergibt sich aus dem realen oder fiktiven Fluidvolumen V zwischen der Fläche und derFluidoberfläche. Wirkungslinie der Gewichtskraft F h verläuft durch den Masseschwerpunkt S F des Volumens V
Gl. 2-101: V g F h
2.3.4 Stabilität
2.3.4.1 Stabili tät schwebender Körper
F G > F A: Abtauchen F G = F A: Schwimmen F G < F A: Auftauchen
S K Masseschwerpunkt des KörpersS F Masseschwerpunkt des verdrängten Fluids
Abb. 2-30: Stabilität eines schwebenden Körpers
Die Linie, die durch den Masseschwerpunkt des Körpers S K und durch den Masseschwer-punkt des verdrängten Fluids S F führt, wird als Schwimmachse bezeichnet. Ein stabiles
Gleichgewicht erfordert, daß S K unterhalb von S F liegt.
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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 49 ___________________________________________________________________
2.3.4.2 Stabili tät schwimmender Körper
Ausgangslage
F G Gewichtskraft des Körpers, greift imKörperschwerpunkt S K an F A Gewichtskraft des verdrängten Fluids,
greift im Schwerpunkt S F desverdrängten Fluids an
Abb. 2-31: Schwimmender Körper - Ausgangslage
Auslenkung aus der Gleichgewichts lage
Abb. 2-32: Schwimmender Körper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage
Wird der schwimmende Körper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt derKörperschwerpunkt S K auf seiner Position. Das Volumen des verdrängten Fluids V F bleibtgleich, ändert aber seine Form, wodurch sich der Schwerpunkt des verdrängten Volumensvon S F auf S F ' verschiebt. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Kräfte F A und F G liegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb. 2-32 skizziertenBeispiel bildet sich ein aufrichtendes Moment.
Der Schnittpunkt von Schwimmachse und Auftriebskraft F A wird als Metazentrum M bezeichnet. Die sog. metazentrische Höhe h M beschreibt den Abstand des Metazentrums
von dem Körperschwerpunkt S K
Gl. 2-102: eV
I h
F
M 0
Wobei I 0 das Trägheitsmoment der Schwimmfläche darstellt.
StabilitätsbedingungEin eigenstabiles Verhalten, d.h. ein selbständiges Zurückkehren in die Ausgangslage nacheiner Auslenkung infolge einer Störung, z.B. Welle, wird durch die metazentrische Höhe h M definiert.stabil: 0,0 ahm , indifferent: 0mh , instabil: 0,0 ahm
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Stabilitätsverhalten verschiedener Schiffstypen
Abb. 2-33: Stabilität unterschiedlicher Schiffstypen in Abhängigkeit von Beladung, [ 10]
Aufrichtender Hebelarm a über Krängungswinkel
1 Seenotrettungskreuzer, 23m2 Seenotrettungsboot, 8.3m3 Patrouillenboot, 38m4 Motoryacht
4a 100% Vorräte4b 25% Vorräte
5 Containerschiff, 1100 Container zu 14t6 Gorch Fock
6a unter Segel, 100% Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck6b Rumpf ohne Aufbauten
_________________________________________________________________________
Üb. 2-11: Stabilität eines Schiffsrumpfes
Der eingetauchte Bereich entspricht einerzylindrischen Halbellipse mit derGesamtlänge L
Gesucht ist die maximale Lage des
Körperschwerpunkts über derWasseroberfläche bis Instabilität eintritt
_________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 51 ___________________________________________________________________
2.4 Fluide unter Beschleunigung
2.4.1 Niveauflächen
Die Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als Niveaufläche(Isobarenfläche) bezeichnet. Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegendenMassekräften (Gravitation, Trägheit). Freie Oberflächen von Flüssigkeiten werden durch denUmgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen, d.h. an jeder freien Ober-fläche eines Fluids herrscht immer ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an derOberfläche des Fluids und dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitationauf das Fluid, so stellt sich als Niveaufläche eine horizontale Ebene, bzw. Kugelfläche(Ozean) ein. Zusätzliche Trägheitskräfte bewirken eine Verschiebung der Niveaufläche.
2.4.2 Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter
Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behälter
Der Spiegel der freien Oberfläche steht immer senkrecht zum resultierenden Beschleu-nigungsvektor. Der Neigungswinkel des Flüssigkeitsspiegels gegenüber der Horizontalenergibt sich aus dem Verhältnis der Trägheitskräfte zur Gewichtskraft.
Gl. 2-103: g
a
g dm
adm
aft Gewichtskr
raft Trägheitsk
tan
2.4.3 Rotierende Flüssigkeiten
Abb. 2-35: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit
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Rotiert ein Gefäß mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine Hochachse, so sinkt derSpiegel zur Mitte hin ab. Die resultierende Kraft am Element dm ergibt sich ausZentrifugalbeschleunigung dF T und Erdbeschleunigung dF G
Gl. 2-104:2 r dmdF T
Gl. 2-105: g dmdF G
Der Winkel der Tangente an die Oberfläche berechnet sich aus dem Verhältnis derBeschleunigungskräfte
Gl. 2-106: r g g dm
r dm
dF
dF
dr
dz
G
T
22
tan
Die Parabelform der Oberfläche ergibt sich aus der Abhängigkeit der Zentrifugalbeschleunig-ung vom Rotationsradius r .
Bestimmung der Form der freien Oberfläche z = z(r) Aus
Gl. 2-107: r g dr
dz
2
tan
folgt
Gl. 2-108: dr r g
dz 2
Die Integration von zmin bis zmax
Gl. 2-109:
r
zr r
z
z
dr r g
dzminmin
2
ergibt für eine Rotation um die Symmetrieachse mit 0min zr
Gl. 2-110: 22
min2
r g
zr z
Die maximale Steighöhe zmax am Rand, d.h. bei R zr max ergibt sich aus Gl. 2-110
Gl. 2-111:22
minmax2
R g
z z
Das Volumen eines Rotationsparaboloids entspricht dem halben Volumen des einhüllendenZylinders, d.h.
Gl. 2-112: Zylinder Paraboloid Rot V V 2
1.
und damit läßt sich Gl. 2-111 auch schreiben als
Gl. 2-113: 22
min0minmax
2
2 R
g
z z z z
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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 53 ___________________________________________________________________
Mit
Gl. 2-114: 2
2
0min4
R g
z z
ergibt sich aus Gl. 2-110 die Form der freien Oberfläche bei einer Rotation um dieSymmetrieachse
Gl. 2-115 :
2
1
2
2
22
0 R
r R
g zr z
Druck auf den Behälterboden
Abb. 2-36: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit
Der Druck auf den Behälterboden ergibt sich zu
Gl. 2-116:
r z
R
r R
g z g pr z g pr p
2
1
2
2
22
000
Die parabolische Druckzunahme nach außen ist insbesondere für radial durchströmteStrömungsmaschinen von Bedeutung, z.B. bei Radialverdichtern.
Druck im Inneren des BehältersDie Druckzunahme in der Ebene A-A zwischen 1 und 2 beträgt (Abb. 2-36)
Gl. 2-117: 1212 z z g p p
mit
Gl. 2-118: min
2
1
2
1
2
zr
g
z
, min
2
2
2
2
2
zr
g
z
folgt
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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 54 ___________________________________________________________________
Gl. 2-119: 2
1
2
2
2
122
r r p p
Mit der Umfangsgeschwindigkeit r u folgt
Gl. 2-120: 2
1
2
2122
uu p p
Rotierende Flüssigkeit mit Deckel3
Abb. 2-37: Rotierender Behälter mit Deckel
Das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung wird in jedem Punkt der Ebene A-A durch diedarüber liegende Flüssigkeitssäule hergestellt, d.h. der Deckel ersetzt in der Kräftebilanz dasFluidvolumen V A . Die Kraft F D auf Deckel entspricht somit dem Gewicht des Volumens V A .
Gl. 2-121: A D V g g m F
Das Volumen V R eines Rotationskörpers, der durch die Rotation einer Kurve r(z) um die z-Achse entsteht, wird beschrieben durch
Gl. 2-122: dz zr V
z
z R
2
1
2
mit z1 und
Gl. 2-123: 2
1
2
22
0max2
R g
z Rr z z z
folgt aus Gl. 2-115
Gl. 2-124: 2
02
2
2
12 R z z
g zr
3 Es ist zu beachten, daß der Deckel mit einer Belüftung versehen sein muß, d.h. der Luftdruckunterhalb und oberhalb des Deckels muß gleich sein
z1
z2
p0
p0
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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 55 ___________________________________________________________________
und somit für das Rotationsvolumen V R um die z-Achse
Gl. 2-125:
2
1
2
1
2
1
02
22
2
2
02
2 2
2
1
2
12 z
z
z
z
z
z
R z z g
R z g
dz R z z g
dz zr V
Gl. 2-126:
102
22
12202
22
22
2
2
12
2
1 z z
g R z
g z z
g R z
g V R
Die Berechnung des fiktiven Volumens V A ergibt sich somit zu
Gl. 2-127: R R Zylinder A V z z RV V V 12
2
_________________________________________________________________________
Üb. 2-12: Zentrifuge
D = 32 [cm] (Innendurchmesser) z0 = 8 [cm] (Füllhöhe)
Bei welcher Drehzahl n erreicht der Flüssigkeits-spiegel den Behälterboden?
Wie hoch steigt die Flüssigkeit in diesem Fall an derWand des Behälters?
_________________________________________________________________________
Üb. 2-13: Zentrifuge mit belüftetem Kolben
In eine mit der Drehzahl n = 1 [s-1] rotierendeZentrifuge wird ein reibungsfrei dichtender Kolben K gesetzt. Der Kolben besitzt in der Mitte eineBelüftungsbohrung, d.h. an der Oberseite und an dernicht benetzten Unterseite des Kolbens herrscht dergleiche Luftdruck p .
Berechnen Sie die Masse m K des Kolbens, wenndieser auf einer Höhe z1 = 1,0 [m] von der rotierendenFlüssigkeit getragen wird.
Behälterradius: R = 1,0 [m]Füllstand bei = 0: z0 = 0,2 [m]Dichte der Flüssigkeit: FL = 10³ [kg/m³]
Umgebungsluftdruck: p = 105
[Pa]
r
R
z
K
p
p
z
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Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 56 ___________________________________________________________________
3 Aerostatik
3.1 Atmosphäre der Erde
3.1.1 Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine
Die Atmosphäre der Erde ist in ein ständigen Veränderungen unterworfenes dynamischesSystem, eine Art Wärmemaschine [ 11], der auf der sonnenzugewandten Seite durchAbsorption von Sonnenstrahlung Wärme zugeführt und auf der sonnenabgewandten SeiteWärme durch Abstrahlung entzogen wird. Infolge der Erdrotation ändern sich dieStrahlungsverhältnisse auf der Erdoberfläche permanent. Eine weitere Komplikation derVerhältnisse, im Vergleich zu einer einfachen Wärmekraftmaschine im thermodynamischenSinn, ergibt sich aus der asymmetrischen Verteilung von Meer und Landmassen auf derErdoberfläche, da diese auch unterschiedliche Absorptions- und Emissionseigenschaftenaufweisen.
Zusammensetzung der Luft
Die Atmosphäre selbst besteht aus einer Mischung unterschiedlicher Gase, derenZusammensetzung jedoch über die Höhe relativ konstant bleibt. Hauptbestandteil bildet mitca. 78% Stickstoff, gefolgt von ca. 21% Sauerstoff, weitere Komponenten bildenWasserdampf, Kohlendioxid, Ozon und in sehr geringen Mengen Edelgase wie z.B. Argonund Neon, vgl. Tab. 3-1. Die chemische Zusammensetzung von Luft ist bis in sehr großeHöhen nahezu konstant, während Druck und Temperatur eine Höhenabhängigkeitaufweisen.
Tab. 3-1: Chemische Zusammensetzung der Erdatmosphäre
Gas Volumenprozent Temperatur [°C] Wasserdampf [g/m³]Stickstoff N 2 78.09 -20 1.0
Sauerstoff O2 20.95 -10 2.3
Argon Ar 0.93 0 4.9
Kohlendioxid CO2 0.03 (schwankt) 10 9.3Neon Ne 0.0018 20 17.2
Helium He 0.0005 30 30
Krypton Kr 0.0001
Wasserstoff H 2 0.00005
Xenon Xe 0.000008
Ozon O3 0.00001 (schwankt)
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Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 57 ___________________________________________________________________
3.1.2 Aufbau der Erdatmosphäre
Abb. 3-1: Aufbau der Erdatmosphäre, [ 11]
Eine feste Grenze existiert in der Höhe nicht; stattdessen erfolgt ein kontinuierlicherÜbergang in den interplanetarischen Raum. Die untersten und im Sinne der Flugzeug-aerodynamik interessantesten Schichten, bilden die Troposphäre und Stratosphäre. DerÜbergang zwischen diesen beiden Schichten erfolgt vergleichsweise diskontinuierlich unddie Trennungsschicht (Tropopause) liegt in unseren Breiten bei ca. 10 km Höhe und in denTropen bei ca. 17 – 18 km. Veränderungen in der Atmosphäre, also das Wettergeschehen,spielen sich vorwiegend in der untersten Schicht, der Troposphäre ab. In der Troposphäreselbst spielt der Bereich in Bodennähe, die so genannte Reibungsschicht bis in 500 – 1000 m über dem Boden eine besondere Rolle, da hier die Atmosphäre von den Verhältnissen ander Erdoberfläche beeinflußt wird. Die Höhe der Tropopause ist nicht nur eine Funktion desgeographischen Breitengrades, sondern unterliegt auch jahreszeitlichen Schwankungen.
Der für das Wettergeschehen relevante Anteil der Atmosphäre bildet im Vergleich zumErddurchmesser nur eine hauchdünne Schale, d.h. alle Hauptströmungen der Luft erfolgenhorizontal. Vertikalbewegungen können demgegenüber nur eine vergleichsweise geringeGeschwindigkeit aufweisen, haben jedoch eine besondere Relevanz bei Vorgängen, wieWolkenbildung und Niederschlag in seinen unterschiedlichen Formen.Die größten Höhenunterschiede der Tropopause treten entlang der Bänder maximalerWindgeschwindigkeiten ( jet streams) auf. Oberhalb der Tropopause befindet sich bis zueiner Höhe von ca. 50 km die Stratosphäre. Nahm bis zum Erreichen der Tropopause dieLufttemperatur noch mit ca. 6.5 K/1000m ab, so stellt sich in der Stratosphäre anfangs eineisotherme Schicht ein um anschließend ab einer Höhe von ca. 20 km wieder anzusteigen.Der Temperaturanstieg innerhalb der oberen Stratosphäre ist auf die starke Absorption desUV-Anteils im Sonnenlicht durch Ozon zurückzuführen. Der Ozongehalt erreicht in derStratosphäre in einer Höhe zwischen 20 - 25 km sein Maximum.
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Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 58 ___________________________________________________________________
Die Obergrenze der Stratosphäre wird durch die Stratopause gebildet. Das nun folgendeHöhenband von 50 - 80 km, die Mesosphäre ist durch einen negativen Temperaturgradientenmit zunehmender Höhe gekennzeichnet und der Luftdruck hat sich auf 1 - 0.01 HPa reduziert.Nach der Mesosphäre folgt die Ionosphäre oder Thermosphäre bis in ca. 800 km Höhe, die
infolge von ionisierten Schichten (E-Schichten oder Heaviside-Schichten) Radiowellenreflektieren und dadurch Überreichweiten erzeuge können. Oberhalb von 800 km erreichtman die Exosphäre, die den Übergang von der Atmosphäre zum interplanetaren Raumbildet. Von besonderem Interesse in dieser Schicht ist der so genannte Van-Allen-Strahlengürtel , der den Hauptteil der kosmischen Strahlung (Gamma-Strahlung) abschirmt.Bemannte Raumfahrtmissionen außerhalb dieses Schutzgürtels, also auch bereits kurzeMissionen zu Mond oder Mars, beinhalten dadurch ein immenses Risiko der gesundheit-lichen Schädigung infolge hoher Strahlungsbelastung.
Einfluß der LuftfeuchtigkeitDer Wasserdampfanteil in der Atmosphäre ist abhängig von Lufttemperatur und der relativenFeuchte. Insbesondere die spez. Gaskonstante R unterliegt einem Feuchteeinfluß
Gl. 3-1:
p
p R
RS
Luft trockene Luft feuchte
377.01
Tab. 3-2: Sättigungsdruck von Luft
T [°] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
pS [Pa] 611 872 1227 1704 2337 3166 4241 5622 7375 9582 12340 15740 19920
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Fluidmechanik Aerostatik – Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe 59 ___________________________________________________________________
3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe
3.2.1 Luftdruck
Bei inkompressiblen Fluiden ( = const.) wie z.B. Wasser, kann von einer linearen Druck-änderung in Abhängigkeit von der Höhe bzw. Tiefe ausgegangen werden. Bei kompressiblenFluiden ( ≠ const.) z.B. Luft, trifft diese lineare Abhängigkeit nicht mehr zu. Hier änderdertsich der Druck exponentiell mit derHöhe.
Der Luftdruck p [Pa = N/m²] entspricht einer Kraft F , die eine Fläche von A = 1 [m²] durch diedarüber befindliche Luftsäule der Höhe h erfährt
Gl. 3-2: h g A
g h A
A
g V
A
g m
A
F p
wobei z der vom Boden nach oben gerichtet in Koordinatenrichtung entspricht
Gl. 3-3 z g h g p
3.2.2 Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement
Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung an einem Volumen-element der Dicke dz lautet
Gl. 3-4: 02,1, G p p F F F
Gl. 3-5: 0 g dmdAdp pdA p mit der Masse dzdAdm folgt
Gl. 3-6: 0 g dzdAdAdp pdA p
Gl. 3-7: 0 g dzdAdAdp
Gl. 3-8: dz g dp
Abb. 3-2: Kräftebilanz am Fluidelement
Dieser Gleichung wird als hydrostatische Grundgleichung bezeichnet und gilt für kompressibleals auch für inkompressible Fluide.
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Fluidmechanik Aerostatik – Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe 60 ___________________________________________________________________
Polytrope (allgemeine) ZustandsänderungUnter der Annahme einer polytropen Zustandsänderung
Gl. 3-9: .const v p n , mit
1v und n = Polytropenexponent
lautet die Abhängigkeit des Drucks von der Dichte
Gl. 3-10:
n
p
p
00
bzw. für die Dicht gilt
Gl. 3-11:n
p
p1
0
0
11
wobei der Exponent die Art der Zustandsänderung beschreibt:n = 1: Isotherme Zustandsänderungn = : Adiabate Zustandsänderung ( Luft = 1.4)
Gl. 3-12:0
00
T R
p
0
0
0
1
p
T R
Einsetzen der Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. 3-12) in Gl. 3-11 ergibt
Gl. 3-13:n
p p
T R
p
p
p
T Rnn
n
11
0
0
1
0
0
01
Aus der hydrostatischen Grundgleichung (Gl. 3-8) folgt
Gl. 3-14:dp
g dz
1
Daraus folgt die lineare Differentialgleichung
Gl. 3-15: n
p p
T R
dp
g dznn 11
0
0
bzw.
Gl. 3-16: dp p p g
T Rdz nnn
1
11
0
0
Gl. 3-17:
p
pn
p
pn
k
nn
z
z p
dpk
p
dp
p g
T Rdz
000
111
0
0
In Abhängigkeit davon ob es sich um eine isotherme (n = 1) oder nicht-isotherme (n 1)Temperaturschichtung in der Atmosphäre handelt, muß das Integral in Gl. 3-17unterschiedlich ausgewertet werden.
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Fluidmechanik Aerostatik – Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe 61 ___________________________________________________________________
Nicht-isotherme Temperaturschichtung ( n 1)
Gl. 3-18:
p
p
n
n p
p n
pn
nk
p
dpk
00
1
1 1
Gl. 3-19:
n
nn
n p
p n
p pn
nk
p
dpk
1
0
1
1 10
Ersetzen der Konstanten k
Gl. 3-20:
n
nn
n
nn p p
n
n
p g
T R z z
1
0
1
1
0
00
1
Gl. 3-21:
11
1
0
00
n
n
p p
nn
g T R z z
Gl. 3-22: 1
0
00
11
n
n
z zT R
g
n
n
p
p
Gl. 3-23:0
0
0
11
T
z z
R
g
n
n
T
T
Gl. 3-24: R
g
n
n
dz
dT
1
Gl. 3-25:1
1
0
0
0
1
n
T
z z
dz
dT
Isotherme Temperaturschichtung ( n = 1)
Gl. 3-26: 01 ln
00 p
p
k p
dp
k p
dp
k
p
p
p
p n
Gl. 3-27: 0
0
0
z zT R
g
e p
p
Gl. 3-28: 0
0
0
z zT R
g
e
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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 62 ___________________________________________________________________
3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA)
Die Normatmosphäre (DIN 5450 bzw. seit 1975 DIN ISO 2535) basiert auf jahreszeitlich undgeographisch gemittelten Meßwerten für Druck, Dichte und Temperatur und dient alsNormierungssystem zur Auslegung und Vergleich von Flugleistungen. Berücksichtig werdenunterschiedlichen Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche.
3.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre
288,15
0
216,65
11
216,65
20
228,65
32
270,65
47
270,65
52
252,65
61
180,65
79
180,65
88
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
170 190 210 230 250 270 290 310T [K]
H
[ k m ]
Abb. 3-3: Temperaturverteilung der Standardatmosphäre
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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 63 ___________________________________________________________________
Höhenbereiche mit linear veränderlicher Temperatur
Höhe [km] Temperaturgradient [K/km]-5 < H < 11 -6.5
20 < H < 32 +1.0
32 < H < 47 +2.8
52 < H < 61 -2.0
61 < H < 79 -4.0
Tab. 3-3: Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche
Gl. 3-29: A Ah hhaT T
Gl. 3-30: Ra
g
A
h Ah T
T p p
0
Gl. 3-31:
10
Ra
g
A
h Ah T
T
Höhenbereiche mit isothermer Schichtung
Höhe [km]11 < H < 20
47 < H < 52
79 < H < 88
Tab. 3-4: Höhenbereiche mit konstanter Temperatur
Gl. 3-32: .const T T Ah
Gl. 3-33: A
h
hhT R
g
Ah e p p
0
Gl. 3-34: A
h
hhT R
g
Ah e
0
Die höhenabhängige Berechnung von Druck, Dichte und Temperatur erfolgt mit den in Tab.3-5 angegebenen Temperaturgradienten a und Anfangswerten () A nach ISA.
h [m] h A [m] T A [K] a [K/m] p A [Pa] [kg/m³]
-5103 - 11103 0 288.15 -6.510-3 101325 1.2250
11103 - 20103 11103 216.65 0.0 22632 0.3639
20103 - 3210
3 2010
3 216.65 +1.010
-3 5475 0.0880
32103 - 47103 32103 228.65 +2.810-3 868 0.0132
47103 - 5210
3 4710
3 270.65 0.0 111 0.0014
52103 - 6110
3 5210
3 270.65 -2.010
-3 59 0.0008
61103
- 79103
61103
252.65 -4.010-3
18 0.00027910
3 - 8810
3 7910
3 180.65 0.0 1 1.910
-5
Tab. 3-5: Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA
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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 64 ___________________________________________________________________
Höheh [m]
TemperaturT [K]
Temperaturgradienta [K/m]
Druck p [Pa]
Dichte [kg/m³]
Schallgeschwindigkeitc [m/s]
0 288.15 -6.510-3 101325 1.2250 340
Tab. 3-6: Werte der Standard-Atmosphäre (ISA) für h = 0 (MSL)
Ausgehend von der Temperaturverteilung in der Atmosphäre lassen sich folgende Parameterberechnen:
SchallgeschwindigkeitDie höhen- bzw. temperaturabhängige Schallgeschwindigkeit a kann für ideale Gase alsreine Temperaturfunktion beschrieben werden
Gl. 3-35: T Ra
mit der spezifischen Gaskonstante R ( R Luft = 287.05 [J/kgK]
Gl. 3-36: v p cc R
und dem Isentropenexponent ( Luft = 1.4)
Gl. 3-37:v
p
c
c
Machzahl
Gl. 3-38:
a
c M
Wärmeleitfähigkeit
Gl. 3-39:
K m
W
T
T
T
12
5.13
104.245
10648151.2
ViskositätDie dynamische Viskosität [Pas] von Luft läßt sich näherungsweise nach derSutherlandformel als Funktion der Temperatur berechnen.
Abb. 3-4: Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität
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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 65 ___________________________________________________________________
dynamische Viskosität
Gl. 3-40: s PaT
T
4.11010458.1
5.16
kinematische Viskosität
Gl. 3-41:
s
m2
Reynoldszahl
Gl. 3-42:
ref ref l cl c
Re
3.3.2 Definit ionen der Höhe
Die umgangssprachliche Bezeichnung Höhe, also der Abstand eines Punktes zum Boden,erfordert im Sinne der Fluidmechanik eine genauere Beschreibung. Unterschieden werdensechs Definitionen- geometrische Höhe- absolute Höhe- geopotentielle Höhe- Druckhöhe- Temperaturhöhe
- DichtehöheGeometrische Höhe hG Abstand eines Punktes über dem Meeresspiegel, z.B. Höhenangaben in Landkarten
Abb. 3-5: Geometrische Höhe, Höhenlinien
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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 66 ___________________________________________________________________
Absolute Höhe h a Abstand eines Punktes zum Erdmittelpunkt, r = Erdradius (Mittlerer Äquatorradius r E = 6378[km])
Gl. 3-43: r hh Ga
Geopotentielle Höhe h Die quadratische Änderung der Gravitation mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt
Gl. 3-44:
2
0
2
0
Ga hr
r g
h
r g g
wird bei der geopotentiellen Höhe h berücksichtigt
Gl. 3-45: G
G
hhr
r h
DruckhöheEinfache Höhenmesser in Flugzeugen arbeiten in der Regel als barometrischeHöhenmesser, d.h. es wird der statische Luftdruck außerhalb des Flugzeugs gemessen unddaraus eine Höhe ermittelt. Die Druckhöhe beschreibt somit die Zuordnung eines Luftdrucks
p(h) zu einer Höhe h.
Abb. 3-6: Barometrischer Höhenmesser
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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 67 ___________________________________________________________________
Abb. 3-7: Höhenmessereinstellungen
Die Druckhöhe entspricht in der Regel nicht der geometrischen Höhe, wird jedoch zurStaffelung des Flugverkehrs nach so genannten Flugflächen FL (flight levels) verwendet.
Gl. 3-46: ft FL H 100
z.B. FL120 entspricht einer geometrischen Höhe von 12000ft = 3658 [m], sofern der realeLuftdruck auf Meeresniveau bezogen p0 = 1013.25 [hPa] beträgt. Alle Höhenangaben werdenbei diesem Verfahren auf den Standarddruck auf Meeresniveau (QNH) von p0 = 1013.25 [hPa]
bezogen. Da in der Regel der Luftdruck nicht dem Standarddruck entspricht, gibt dieseHöhenmessereinstellung eine von der geometrischen Höhe abweichende Flughöhe an. DieFlugzeuge bewegen sich dadurch auf Flächen konstanten Drucks, nicht auf einer konstantengeometrischen Höhe. Dies hat jedoch den Vorteil, daß eine gleichbleibende relativeHöhenstaffelung des Flugverkehrs gewährleistet wird.
Abb. 3-8: Flugflächen
Vom Hoch ins Tief - das geht schief
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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 68 ___________________________________________________________________
TemperaturhöheZusätzlich zum statischen Druck wird die statische Temperatur außerhalb des Flugzeugsgemessen. Bis zu einer Höhe von 11 km läßt sich dieser gemessenen Temperatur über dieStandardatmosphäre ebenfalls eindeutig eine Höhe zuordnen. Das wäre die so genannte
Temperaturhöhe
DichtehöheDie Dichtehöhe ergibt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases aus dengemessenen Werten für Druck und Temperatur. Die Dichthöhe wird insbesondere zurBerechnung der Flugleistungen, insbesondere der Startstrecke verwendet.
Näherungsformel zur Berechnung der Dichtehöhe
Gl. 3-47: ][1203025.1013 , ft T T QNH hh ISAhh Dichte
mith [ft] = Platzhöhe (1 ft = 0.3048 m)QNH [hPa] = Luftdruck bezogen auf MSLT h = aktuelle Temperatur am PlatzT h,ISA = Temperatur am Platz bei ISA-Bedingungen
_________________________________________________________________________
Üb. 3-1: Gasballon mit Heliumfüllung
geg.:
D Ballon = 6 [m] R He = 2078 [J/kgK]m Hülle = 20 [kg]m Korb = 10 [kg]
Die Hülle des Ballons ist vollständig flexibel
1. Berechnen Sie die Nutzlast, die der Ballon beieinem Start auf der Höhe h = 0 unter ISA-Bedingungenheben kann
2. Welchen Durchmesser hat der Ballon in einerHöhe h = 12 km unter ISA-Bedingungen
_________________________________________________________________________
Üb. 3-2: Auslegung einer Druckkabine
Die Druckkabine eines Flugzeugs soll für einen konstanten Kabineninnendruck ausgelegtwerden, der einer Höhe von h = 2400 m entspricht. Die maximale Flughöhe beträgt FL400.
Welcher Differenzdruck p lastet auf der Kabine
a) Bei ISA-Bedingungen?b) Bei einem Luftdruck auf MSL von p0 = 1000 hPa und einer Temperatur auf MSLvon T 0 = 35°C?
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 69 ___________________________________________________________________
c, p, T,
A
A
4 Strömung von Fluiden
4.1 Grundbegriffe
4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes
Ein Strömungsfeld läßt sich allgemein beschreiben durch das Geschwindigkeitsfeld t z y xcc ,,,
, welches ein Vektorfeld darstellt und durch die skalaren Größen Druck
t z y x p p ,,, , Dichte t z y x ,,, und Temperatur t z y xT T ,,, . Zur Lösung des
Gleichungssystems existieren 6 Gleichungen:- Drei Bewegungsgleichungen (drei Komponenten)- Kontinuitätsgleichung- Energiesatz- Thermische ZustandsgleichungBei idealen Flüssigkeiten existiert keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen. Fürideale Gase müssen aus dem Wertetripel T p ,, lediglich immer nur zwei bekannt sein.
4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen
Strömungen lassen sich in Abhängigkeit von dem zeitlichen Verhalten der ZustandsgrößenV , p, T und in stationäre und instationäre Strömung unterteilen.
stationär
Gl. 4-1: 0dt
d
dt
dT
dt
dp
dt
dc
quasistationär
Gl. 4-2: 0dt
d
dt
dT
dt
dp
dt
dc
Instationär
Gl. 4-3: 0,0,0,0 dt
d
dt
dT
dt
dp
dt
dc
Abb. 4-1: Zustandsgrößen in einer Strömung
Eine kontinuierliche Rohrströmung bei der keine zeitliche
Änderung des Massestroms oder der Temperatur vorliegtentspricht einer stationären Strömung. Eine instationäreStrömung würde z.B. bei dem Ausfluß einer Flüssigkeit auseinem Behälter entsprechen. Der Massestrom m und dieAusflußgeschwindigkeit V ändern sich in Abhängigkeit von demFüllstand h entsprechend der Torricelli'schen Ausflußgleichung.Die dabei erreichte Ausflußgeschwindigkeit c entspricht derGeschwindigkeit, die in Fluidelement bei einem freien Fall ausder gleichen Höhe h erreichen würde.
Gl. 4-4: h g c 2
Abb. 4-2: Instationäre Strömung
c
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 70 ___________________________________________________________________
4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie
Eine Bahnlinie beschreibt die Kurve, die ein Fluidelement zu unterschiedlichen Zeitpunkten( nt t t t ,....,, 10 ) durchläuft. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebe-
teilchen in die Strömung und mittels einer photographischen Aufnahme bei der innerhalb der
Belichtungszeit die Teilchen das betrachtete Strömungsfeld vollständig durchqueren. DieBahnlinie entspricht also der Ortskurve (Flugbahn) eines Teilchens.
Abb. 4-3: Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015, = 0° [ 14]
Eine Stromlinie stellt die Tangentenkurve an die Geschwindigkeitsvektoren eines Strömungs-feldes dar. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen in dieStrömung und mittels einer photographischen Aufnahme bei einer Belichtungszeit, die sogewählt wird, daß dabei die Teilchen in dem betrachteten Strömungsfeld nur eine kurzeStrecke zurücklegen (Momentaufnahme). Das Strömungsfeld läßt sich durch eineKurvenschar veranschaulichen, die in jedem Punkt den zughörigen Geschwindigkeitsvektor
tangieren.
Abb. 4-4: Stromlinien eines Strömungsfeldes
Der Abstand zwischen zwei Stromlinien kann beliebig dicht, ähnlich der Staffelung vonHöhenlinien in einer Wanderkarte, zueinander definiert werden. Über die Stromlinien hinwegkann kein Masseaustausch stattfinden, d.h. zwischen zwei Stromlinien liegt immer einkonstanter Massestrom vor. Aufgrund der Bedingung eines konstanten Massestromszwischen den Stromlinien führt (bei Unterschallströmungen) eine Stromlinienverdichtung,also eine Querschnittsverengung, zu einer Strömungsbeschleunigung und eine Stromlinien-erweiterung bewirkt eine Strömungsverzögerung. Stromlinien können keine Unstetigkeits-stelle (Knick) oder Überschneidungen aufweisen. Dies gilt für alle Arten von Iso-Linien, also
z.B. Isobaren oder Isochoren. Überschneidungen von Iso-Linien in einem Strömungsfeldwürde bedeuten, daß man einem Fluidteilchen zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort z.B.mehrere unterschiedliche Geschwindigkeiten oder Drücke zuordnen könnte.
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 71 ___________________________________________________________________
Bei stationären Strömungen fallen Bahnkurven und Stromlinien zusammen.
Abb. 4-5: Stromlinie und Bahnlinie, [ 13]
4.1.4 Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche
Die Zusammenfassung aller Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve A im Raumtreten, wird als Stromröhre bezeichnet. Bei der Annahme einer eindimensionalen Strömunginnerhalb der Stromröhre, d.h. die Strömungsgrößen ändern sich nur in Strömungsrichtungund verhalten sich quer zu Strömungsrichtung konstant, können die Strömungsgrößen aufeiner einzigen Stromlinie konzentriert angenommen werden. Diese repräsentative Stromlinieentspricht einer Stromröhre mit infinitesimalem Querschnitt dA und wird als Stromfadenbezeichnet. Die umhüllende Mantelfläche der Stromröhre wird als Stromfläche bezeichnet,wobei der Massestrom nur durch Ein- bzw. Ausrittsfläche A1 und A2 stattfindet.
Abb. 4-6: Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche, [ 13]
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung 72 ___________________________________________________________________
4.2 Kontinuitätsgleichung
Wird eine Stromröhre von einem Fluid mit einermittleren Geschwindigkeit c im Querschnitt A durchströmt, so bildet das Volumenelement dV ,welches um die Strecke ds bewegt wird, den
VolumenstromV . Bei kleinen Querschnitts-änderungen in Strömungsrichtung kann dieQuerschnittsänderung dA im Vergleich zurVerschiebung ds in Strömungsrichtungvernachlässigt werden, d.h. 0dA s .
Abb. 4-7: Stromröhre - Kontinuitätsgleichung
Volumenstrom
Gl. 4-5: ds AdA sds A s Ad dV
Gl. 4-6: c Adt
ds A
dt
dV V
MassestromDer Massestrom dt dmm ergibt sich aus
Gl. 4-7:
dt
dV
dt
d V
dt
V d
dt
dm
Gl. 4-8: V V m
Für stationäre Strömungen, d.h. 0 vereinfacht sich Gl. 4-8 zu
Gl. 4-9: AcV m
MasseerhaltungssatzDa bei stationären Strömungen die Masse im betrachteten Kontrollvolumens konstant bleibtund innerhalb der Stromröhre der Massestrom nur durch die Ein- bzw. Ausrittsfläche A1 und
A2 möglich ist, muß in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten
Gl. 4-10: .22211121 const Ac Acmm
Differenzieren von Gl. 4-10 ergibt die differentielle Form der Kontinuitätsgleichung
Gl. 4-11: .const Acm
Gl. 4-12: 0 Acd md
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung 73 ___________________________________________________________________
Gl. 4-13: Ac
dc AdAcd Ac
1
0
Gl. 4-14: 0 c
dc
A
dAd
_________________________________________________________________________
Üb. 4-1: Rohrverzweigung eines Abwasserrohrs
geg.: D1 = D2 = 100 [mm]
1V = 42.4 [m³/h]
32 :V V = 2:1
c3 = c1
ges.: D3 Durchmesser Abzweigungsrohrc2 Geschwindigkeit im Querschnitt 2
_________________________________________________________________________
4.3 Energieerhaltungssatz
4.3.1 Satz von Bernoull i
Der Energieerhaltungssatz läßt sich aus der thermodynamischen Betrachtung eines offenen,durchströmten Systems am Beispiel eines Strömungsprozesses mit Austausch von Wärmeund Arbeit herleiten. Betrachtet werden hierbei lediglich die Energie- und Massenströme, diedie Systemgrenze überschreiten, sowie die Änderungen der Energie im Inneren desSystems. Eine Kenntnis der technischen Abläufe innerhalb der Systemgrenzen ist nichterforderlich.
Abb. 4-8: Strömungsprozeß mit Austausch von Wärme und Arbeit
Luft
Zapfluft EnteisungKerosinZapfluft Kabinendruck
Abgas
Systemgrenze
zum abab qm ,
zu B qm , 1 Lm
el w
ab L qm ;2
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 74 ___________________________________________________________________
Die Energiebilanz über die Systemgrenze ergibt den ersten Hauptsatz der Thermodynamikfür offene stationär durchströmte Systeme
Gl. 4-15:
12
2
1
2
21212122
1 z z g cchhm P Q
bzw. bezogen auf die Masse des strömenden Mediums, d.h. den Massestrom m
Gl. 4-16:
gienSystemener nergienTransporte
t z z g cchhwq 12
2
1
2
21212,122
1
Wärme Q12 und Arbeit W 12 stellen dabei die sog. Transportenergien dar, d.h. Energien, dieüber die Systemgrenze transportiert werden. Enthalpie H , sowie die kinetische undpotentielle Energien E kin und E pot stellen Systemenergien dar, d.h. Energien, die sichinnerhalb der Systemgrenze ändern. Bei reibungsbehafteten, also allen in der Realität
ablaufenden Prozessen ist noch die Dissipationsenergie E Diss als zusätzliche Transportgrößezu berücksichtigen.
In der Regel werden die Energieterme auf die Systemmasse m und Energieströme undLeistungen auf den Massestrom m bezogen und als spezifische Größen bezeichnet.
TransportgrößenWärme J Q12
spez. Wärme
kg
J
m
Qq 12
12
Wärmestrom
W
s
J Q12
spez. Wärme
kg
J
m
12
12
Arbeit J W 12
spez. Arbeit
kg
J
m
W w 12
12
Leistung
W s
J P
spez. Arbeit
kg
J
m
P w
1212
Dissipationsenergie J E Diss
spez. diss. Energie
kg
J
m
E e diss
diss
Systemgrößenkinetische Energie
J cc
m
E kin
2
1
2
212, 2
spez. kin. Energie
kg
J
m
E
e kin
kin
12,
12,
potentielle Energie J z z g m E pot 1212, spez. pot. Energie
kg
J
m
E e pot
pot 12,
12,
Enthalpie J V pU H spez. Enthalpie
kg
J
m
H h
innere Energie J T cmU v
spez. innere Energie
kg
J
m
U u
Druckenergie J V p
spez. Druckenergie
kg
J
m
V p
v p
Tab. 4-1: Energie und Leistungsgrößen
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 75 ___________________________________________________________________
Enthalpie: Summe aus innerer Energie U und Druckenergie p V
Gl. 4-17: V pU H
bzw. spez. Enthalpie h
Gl. 4-18: v pum
H h
Kalorische Zustandsgleichungen zur Beschreibung der inneren Energie und Enthalpie
Gl. 4-19: dvv
udT
T
udu
T
c
v
v
spez. isochore Wärmekapazität cv
Gl. 4-20: vT cT
uc v
vv ,
Gl. 4-21: dp p
hdT
T
hdh
T
c
p
p
spez. isobare Wärmekapazität c p
Gl. 4-22: pT c
T
hc p
p
p ,
Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger PhasenFür inkompressible Fluide, d.h. = const. bzw. v = const. gilt
Gl. 4-23: cdT
duT cT c v p
Änderung der spez. inneren Energie u
Gl. 4-24: 1212 T T cT uT u
Änderung der spez. Enthalpie h
Gl. 4-25: 112121122 ,, v p pT T c pT h pT h
Innere Energie und Enthalpie idealer Gase
Gl. 4-26: T cdT
duc vv
Gl. 4-27: dT T cdu v
Gl. 4-28: 1
2
12
T
T
v dT T cuu
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 76 ___________________________________________________________________
Gl. 4-29: T cdT
dhc p p
Gl. 4-30: dT T cdh p
Gl. 4-31: 1
2
12
T
T
p dT T chh
Da die Temperaturabhängigkeit bei den spezifischen Wärmen c p und cv gleich ist, entfällt dieTemperaturabhängigkeit bei der Berechnung der spezifischen Gaskonstante R aus derDifferenz der beiden spezifischen Wärmen, d.h. bei idealen Gasen ist R keine Funktion derTemperatur.
Gl. 4-32: RT cT c v p
Innere Energie und Enthalpie bei konstanten Werten für c p und cv
Gl. 4-33: 1212 T T cuu v
Gl. 4-34: 1212 T T chh p
Erster Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes System
Gl. 4-35: gienSystemener
pot kin
nergienTransporte
Disst heeewq 1212,12,12,12
Gl. 4-36:
ie Druckenerg spezu
v
ee
Disst p pvT T c z z g ccewq
pot kin
.
121212
2
1
2
212,12
1212,
12,
2
1
Gl. 4-37:
Enthalpie spezee
Disst hh z z g ccewq
pot kin
.
1212
2
1
2
212,12
12,
12,
2
1
Bernoulli-GleichungJe nach Anwendungsfall kann die Bernoulli-Gleichung durch Berücksichtigung einzelnerTerme aus dem ersten Hauptsatz hergeleitet werden. Mögliche Vereinfachungen können inder Vernachlässigung folgender Terme bestehen
- kein Wärmefluß über die Systemgrenze, (adiabates System): q12 = 0- keine technische Arbeit über die Systemgrenze: wt,12 = 0- keine Reibung an der Systemgrenze, (reibungsfreies System): ediss = 0- konstante Temperatur im System, (isothermes System): T 1 = T 2 - kein Höhenunterschied zwischen Zustand (1) und (2): z1 = z2
Zusätzliche weitere Vereinfachungen gelten für ein stationär durchströmtes System, d.h..const m und ein inkompressibles Fluid, d.h. .const
und führen den ersten Hauptsatz in
den Satz von Bernoulli über.
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 77 ___________________________________________________________________
Gl. 4-38: 1212
2
1
2
22
10 p pv z z g cc
Allgemein gilt: Die Energie längs eines Stromfadens ist konstant
Unterschiedlichen Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung
Energieform
Gl. 4-39:
.2
2
const E V p z g mc
m gieGesamtener
ges
ie Druckenerg Energiee potentiell Energiekinetische
Division von Gl. 4-39 durch V ergibt die Druckform
Gl. 4-40: .2
2 const V
E p z g c ges
Division von Gl. 4-40 durch g ergibt die Höhenform
Gl. 4-41: .2
2
const g
p z
g
c
Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen, durchströmten System(reibungsfrei), ohne Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oder Wärme
Abb. 4-9: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System
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Zusammenfassung - Darstellungsformen der Bernoulli -Gleichung
dynamischerAnteil
potentiellerAnteil
statischerAnteil
Gesamtenergie,-druck bzw. -höhe
spezifischeEnergiegleichung
2
2c
h g
p
.const e ges
2
2
s
m
kg
m N
Druckgleichung
2
2c
h g
p .const p ges
Pam
N 2
Höhengleichung
g
c2
2
h g p
.const h ges
m
Tab. 4-2: Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung
_________________________________________________________________________
Üb. 4-2: Stationär durchströmte Gasturbine
Ein- und Austrittsebene der Turbine liegen aufgleiche Höhe
Isentrope Expansion von 14049 [m³/h] Heißgasvon bar p 9.181 auf bar p 02.12
Turbineneintrittsquerschnitt 2
1 01942.0 m A
Turbinenaustrittsquerschnitt 2
2 4306.0 m A
Turbineneintrittstemperatur C T 9801
spez. Gaskonstante K kg J R 1.287
Isentropenexponent 34.1
spez. Wärmekapazitäten c p, cv = const.
ges.: spez. technische Arbeit wt,12 Wellenleistung P
T 1 , p1 ,1 , A1
1 (2)
1m 2m
P, wt,12
T 2 , p2 , z2 , A2
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 79 ___________________________________________________________________
Üb. 4-3: Stationär durchströmte Wasserturbine/Pumpe eines Speicherkraftwerks
geg.:
- Wasserdurchfluß smV 3
12 60
- adiabate Strömung (q12 = 0)- keine Temperaturänderung des Wassers
ges.:1. Strömungsgeschwindigkeiten in der Rohrleitung
2. Wellenleistung der Turbine bzw. Pumpe3. Befindet sich das Kraftwerk im Turbinenbetrieb oder im Pumpbetrieb?
_________________________________________________________________________
4.3.2 Euler-Gleichung
Eine weitere Möglichkeit zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung ergibt sich aus einerKräftebilanz an einem Volumenelement des Stromfadens unter folgenden Annahmen:
- keine Berücksichtigung der thermischenEnergie
- keine Berücksichtigung der innerenEnergie
- keine Reibung
Abb. 4-10: Kräftebilanz an einem Fluidelement in Strömungsrichtung
Druck Rohrdurchmesser Höhe über MSL p1 = 9 bar d 1 = 4.4 m h1 = 2200 m
p2 = 48 bar d 2 = 3.5 m h2 = 1830 m
c
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 80 ___________________________________________________________________
Kräftebilanz in Stromrichtung
Gl. 4-42:dt
dcdmadmdF dF dF pm
Am Fluidelement angreifende Gewichtskraft in Strömungsrichtung
Gl. 4-43:ds
dz g dmdF dF g m cos
mit
Gl. 4-44:ds
dz cos
Druckkraft dF p
Gl. 4-45: S S S p dAdpdAdp pdA pdF
Masse des Elements dm
Gl. 4-46: dsdAdm S
Flächenelement
Gl. 4-47:ds
dmdAS
Gl. 4-48:dm
ds
ds
dmdp
ds
dz g dm
dt
dcdmdF
Gl. 4-49: 1 dpdz g
dt dcds
mit
Gl. 4-50: cdt
ds
Gl. 4-51: dpdz g dcc
1
Gl. 4-52:
.1
2
1 2 const p z g c
Druckform der Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-53: .2
2 const p z g c
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4.3.3 Verlust freie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli -Gleichung
Venturi-RohrMessung des Volumenstroms V in Leitungenmit Hilfe von Druckmeßstellen an derZuströmseite (1) und im engsten Querschnitt (2).Die Querschnittsverengung bewirkt eineErhöhung der Geschwindigkeit, d.h. 12 cc
Annahmen- Reibungsfreie Strömung, d.h. e Diss = 0 - Eindimensionale Strömung, d.h. keineÄnderung der Strömungsgrößen über den
Querschnitt- Horizontale Anordnung , z(1) = z(2), d.h. e pot = 0- Inkompressible Strömung, d.h. es gilt
.21 const
Abb. 4-11: Venturi Rohr
Ausgehend von der Druckform der Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-54: .2
2 const p z g c
folgt aufgrund der horizontalen Versuchsanordnung, d.h. z(1) = z(2), daß die potentielleEnergie verschwindet, d.h. e pot = 0 und die Bernoulligleichung vereinfacht sich zu
Gl. 4-55: .2
2 const pc
bzw.
Gl. 4-56: 2
2
21
2
122
pc pc
Volumenstrom V
Gl. 4-57: .const c AV
bzw.
Gl. 4-58: 2211 c Ac AV
Statischen Druckdifferenz aus der Manometermessung
Gl. 4-59 h g p p Fl 12
Geschwindigkeit im Querschnitt (1)
Gl. 4-60 2211 c Ac A
c c2
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 82 ___________________________________________________________________
bzw.
Gl. 4-61:1
221 A
Acc
eingesetzt in die vereinfachte Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-62:
2
222
2
21
2
1
22
2
pc p
A
Ac
Gl. 4-63:
212
2
2
2
1
22
2
p pc
A
Ac
Gl. 4-64:
21 12
2
1
22
2
p p
A
Ac
Gl. 4-65:
2
1
2
212
1
2
A
A
p pc
ergibt sich der Volumenstrom V unter der Annahme einer verlustfreien Strömung
Gl. 4-66:
22
1
2
2122
1
2 A
A A
p p AcV
_________________________________________________________________________
Üb. 4-4: Venturi-Rohr, verlustfreie Strömung
geg.: d 1 = 150 [mm]
d 2 = 100 [mm] Luft = 1.225 [kg/m³]
p1 - p2 = 250 [mmWS]
ges.: Volumenstrom V
_________________________________________________________________________
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4.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern - verlustf rei
Aus der Energieform der Bernoulli-Gleichung für den Stromfaden von (1) nach (2)
Gl. 4-67:
22
2
211
2
1
22 ph g c ph g c
ergibt sich mit den Bezugsgrößen p0 Atmosphärendruckh2 = 0 Bezugshöhe
und den Annahmen 21 A A , 21 cc und
021 p p p für die Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-68:2
2
21
ch g
und die Ausflußgeschwindigkeit c2 Gl. 4-69: 12 2 h g c
Abb. 4-12: Ausfluß aus einem Behälter
4.3.5 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustf rei
Aus der Energieform der Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-70:
22
221
1
21
22 ph g c ph g c
folgt mit 011 p p p ü (Überdruck gegen Atmosphäre)
und den Annahmen 21 A A , 21 cc und 02 p p
Gl. 4-71:2
2
211
c ph g Ü
und die Ausflußgeschwindigkeit c2
Gl. 4-72: Ü
ph g c 112 22
Abb. 4-13: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck
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Üb. 4-5: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck - verlustfrei
geg.: P 1Ü = 1 [bar]
h1 = 2 [m]
d 2 = 2 [cm]
H2O = 1000 [kg/m³]
ges.: c2, V
_________________________________________________________________________
Üb. 4-6: Ausfluß aus einem Benzinschlauch unter Überdruck - verlustfrei
geg.: P 1Ü = = 4 [bar]
h2 = 0.2 [m]
d 1 = 10 [mm]
d 2 = 2 [mm] Benzin = 780 [kg/m³]
ges.:c2 Ausströmgeschwindigkeit
_________________________________________________________________________
c 2
c 2
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4.3.6 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen
Alle bisherigen Betrachtungen gingen immer von einem Ausfluß durch gerundete Düsen aus,d.h. der Strahlquerschnitt A str entspricht dem Düsen- oder Lochquerschnitt A L. Bei dem
Ausfluß durch eine scharfkantige Bohrung wäre die Strömung infolge der Umlenkunggezwungen die Kante (Radius r = 0) mit einer theoretisch unendlich großen Geschwindigkeit(c2 = ) zu umströmen. Da die Strahlgeschwindigkeit c2 in der Ausströmöffnung nicht ganzerreicht wird, muß sich der Strahlquerschnitt verringern um die Forderung nach einemkonstanten Massestrom noch zu erfüllen. Das Flächenverhältnis von Lochbohrung zuStrahlquerschnitt wird als Kontraktionszahl bezeichnet.
Kontraktionszahl
Gl. 4-73: 1 L
Str
A
A
Näherungswert für lange Spalte (ebene Strömung) undrunde Ausströmöffnungen:
Gl. 4-74: 611.02
Abb. 4-14: Ausfluß aus scharfkantiger Öffnung
Für gut ausgerundete Ausströmöffnungen gilt für die Kontraktionszahl 1
4.3.7 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser
Beim Ausströmen von Fluiden in ein ruhendes Fluid stellt sich die gleiche Strahlkontraktionwie beim Ausströmen in die freie Atmosphäre ein. Der scharf umrissene Strahl vermischtsich jedoch nach kurzer Entfernung mit dem ruhenden Fluid und die kinetische Energie wirddurch Reibung in Wärme umgewandelt. Aufgrund des reibungsbehafteten Durchmischung-vorgangs nach dem Ausströmen ist die Bernoulli-Gleichung nur zwischen den Punkten (1)und (2) erfüllt, nicht jedoch von (2) nach (3).
Energieform der Bernoulli-Gleichung (1) - (2)
Gl. 4-75:
22
2
211
0
2
1
22
ph g
c ph g
c
hydrostatischer Druck im Austrittsquerschnitt
Gl. 4-76: 232 hh g p
Austrittsgeschwindigkeit
Gl. 4-77: 312 2 hh g c
Abb. 4-15: Ausfluß in ein ruhendes Fluid
Die Berechnung des Volumenstroms V erfolgt mittels der Kontraktionszahl
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4.3.8 Ausst römen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre
Beim Ausströmen von Gasen in die freie Atmosphäre stellt sich wie bei Flüssigkeiten eineStrahlkontraktion ein. Kurz nach dem Ausströmen erfolgt eine turbulente Durchmischung mitder Umgebung. Am Strahlrand wird dem Strahl der Umgebungsdruck p0 aufgeprägt.
Abb. 4-16: Ausströmen von Gasen in die Atmosphäre
Da der Strahlrand eine Niveaufläche darstellt, d.h. der Druck am Rand des Fluids entsprichtimmer dem Umgebungsdruck, kann in Abhängigkeit von dem Umgebungsdruck dieStrömung entweder über- oder unterexpandieren. Die maximale Aufweitung des Strahls stelltsich beim Ausströmen bei verschwindendem Umgebungsdruck ein, d.h. beim Ausströmengegen Vakuum.
_________________________________________________________________________
Üb. 4-7: Auslegung eines Belüftungssystems
Belüftungsrohr mit scharfkantigen Ausblaslöchern
geg.:
s
mV
3
7.0 Luftstrom
mmd 10 Bohrungsdurchmesser
Pa pÜ 1100 Überdruck im Rohr
32.1
m
kg Luft Luftdichte
6.0 Kontraktionszahl
s
mc zu 10 Zuströmgeschwindigkeit
ges.:- Durchmesser des Rohres
- Anzahl der Bohrungen im Belüftungsrohr
_________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 87 ___________________________________________________________________
4.3.9 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter
Der theoretisch verlustfreie Ausströmvorgang läßt sich durch die Torricelli’sche Ausfluß-
gleichung h g c th 2,2 beschreiben. Unter realen Bedingungen ist dieser Vorgang jedoch
reibungsbedingt Verlusten unterworfen, d.h. die Ausströmgeschwindigkeit c2 im Austrittsquer-schnitt wird immer kleiner sein, als die theoretische Geschwindigkeit c2,th . Die reale Austritts-geschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit, die sich aus der dem um eine (fiktive)Verlusthöhe hV verminderte Höhe des Pegelstands h ergibt.
Gl. 4-78: V hh g c 22
Die Abminderung der Geschwindigkeit läßt sich durch eine Verlustziffer beschreiben
Gl. 4-79: h g c 22
Der sich einstellende Volumenstrom V ergibt sich mit der Kontraktionszahl zu
Gl. 4-80: 12
*
2 A A
A A
L
Str
Gl. 4-81: thc Ac AV ,22
Kontraktionszahl und Verlustziffer lassen sich zu dem Ausf lußkoeff izient zusammen-fassen
Gl. 4-82:
Der Volumenstrom kann nun berechnet werden mittels
Gl. 4-83: h g Ac AV th 2,2
Technische Ausführungen zur Gewährleistung von verlustminimiertem Ausfließen unterdefinierten Bedingungen stellen scharfkantige Öffnungen oder sog. BORDA-Mündungen dar.
Abb. 4-17: a) scharfkantige Öffnung b) BORDA-Mündung
Tab. 4-3: DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre
Öffnung Verlustziffer Kontraktionszahl Ausflußkoeffizient
scharfkantig 0.97 0.61 - 0.64 0.59 - 0.62gerundet 0.97 - 0.99 1 0.97 - 0.99
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 88 ___________________________________________________________________
Verlustbehaftete Strömung durch ein Venturi -Rohr
Abb. 4-18: Strömung durch ein Venturi-Rohr
Nach Erweiterung der Höhenform der Bernoulli-Gleichung um die Verlusthöhe hV,12 und mitden folgenden Annahmen:
- Niveau im Behälter bleibt konstant 01 c
- Keine Verrichtung von Arbeit 0 H (Förderhöhe, Pumpe)
lautet die verlustbehaftete Bernoulli-Gleichung (Höhengleichung) von (1) (2)
Gl. 4-84:
12,22
2
2
0
1
0
2
1
22 V
B B h g
ph z
g
c H
g
p z
g
c
und Kürzen des Terms g
p B
auf beiden Seiten folgt aus Gl. 4-84
Gl. 4-85: 12,22
2
21
2 V hh z
g
c z
Mit
Gl. 4-86: g
ch z zh V
2
2
212,212
und der Kontinuitätsgleichung (2) (3)
Gl. 4-87 3322 Ac Ac 2
332 A
Acc
lautet die verlustbehaftete Bernoulli-Gleichung (Höhengleichung) von (1) (3)
Gl. 4-88: 13,
2
31
2 V h
g
c z
13,1
2
3 2 V h z g c
Einsetzen von c3
2
in Kontinuitätsgleichung ergibt
z1
z2
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 89 ___________________________________________________________________
Gl. 4-89: 2
2
313,1
2
2 2
A
Ah z g c V
einsetzen von c22 in Gl. 4-86
Gl. 4-90: g
ch z zh V
2
2
212,212
ergibt
Gl. 4-91:
g
A
Ah z g
h z zhV
V
2
2
2
2
313,1
12,212
Gl. 4-92:
2
2
3
13,112,212
A
A
h zh z zh V V
Ob sich im Querschnitt(2) ein Unterdruck (h2 < 0) oder ein Überdruck (h2 > 0) gegenüber demUmgebungsdruck p B einstellt, ist ausschließlich eine Funktion des Querschnittsverhältnisses
23 A A .
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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 90 ___________________________________________________________________
4.4 Strömung mit Energietransport
4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten
Sind in dem System Baugruppen enthalten, die Energieformen ändern, z.B. durch Zu- oderAbfuhr von Arbeit (Pumpe, Turbine) oder Wärme (Brennkammer) so sind dieentsprechenden Terme im 1. Hauptsatz zu berücksichtigen
- - wt12 spez. Arbeit- - q12 spez. Wärme
Bei einer realen, reibungsbehafteten Strömung muß die dissipierte Energie durch einVerlustglied berücksichtigt werden
- e Diss spez. dissipierte Energie- eV spez. Verluste- hV spez. Verlusthöhe- pV Druckverlust
Die Energieform der Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-93:
.2
2
const E V p z g mc
m
gieGesamtener
ges
ie Druckenerg Energiee potentiell Energiekinetische
Gl. 4-94: .2
2
const e p
z g c
ges
Gl. 4-95:
22
2
21
1
2
1
2
1
2
1 p z g c
p z g c
ist um die technische Arbeit wt12 und Verlustterme eV zu erweitern
Gl. 4-96: V t e p
z g c p
z g cw
22
2
21
1
2
1122
1
2
1
Gl. 4-97: V t ev p p z z g ccw 1212
2
1
2
2122
1
Verluste können durch eine Verlustziffer erfaßt werden
Gl. 4-98:
2
2
1
2
2 cce
V
und lassen sich unterteilen in Verluste durch Reibung eVR und Verluste infolge von EinbauteneVE
Gl. 4-99: VE VRV eee
Verlusthöhe
Gl. 4-100:
g
cchV
2
2
1
2
2
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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 91 ___________________________________________________________________
Druckverlust infolge Reibung
Gl. 4-101:
2
2
1
2
2 cc pV
Spez. Förderarbeit (Pumpen) Y bzw. w t Die einem Fluid pro kg Flüssigkeit zugeführte mechanische Arbeit wird bei Pumpen als spez.Förderarbeit Y bezeichnet.
Y [Nm/kg = m²/s²]
Totaldruckänderung infolge ArbeitZusammen mit der Dichte des Fluids berechnet sich die Totaldruckänderung t p im Fluid
aus der Förderarbeit Y
Gl. 4-102: Y pt [Pa]
Förderhöhe H
Gl. 4-103: g
Y H [m]
Hydraulische Leistung P h
P h [W]
Gl. 4-104: H g V Y V Y m P h
Pumpenwirkungsgrad P
und Turbinenwirkungsgrad T
Der Pumpenwirkungsgrad ergibt sich aus der an der Welle zugeführte mechanische Leistung P W und der hydraulischen Leistung P h, P < 1
Gl. 4-105:W
h P
P
P
Bei der Berechnung des Turbinenwirkungsgrads T steht die hydraulische Leistung im
Nenner, T < 1
Gl. 4-106:h
W T
P
P
Die Zusammensetzung der einzelnen Energieanteile bei Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oderWärme unter Berücksichtigung der Reibungsverluste ist in Abb. 4-19 dargestellt.
7/22/2019 Skript Fluid
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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 92 ___________________________________________________________________
Abb. 4-19: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung
Zusammenfassung - Strömungen unter Berücks ichtigung von Arbeit und Verlusten
Spezische Energiegleichung
Gl. 4-107:
V p p z g
cY
p z g
c 2
2
2
211
2
1
22
Höhengleichung
Gl. 4-108: V h g
p z
g
c H
g
p z
g
c
2
2
2
211
2
1
22
Druckgleichung (Gase, Ventilatoren: 0 h g )
Gl. 4-109: V t p p z g c p p z g c 22
2
211
2
1
2
1
2
1
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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 93 ___________________________________________________________________
4.4.2 Turbine
Energie wird über die Systemgrenze abgeführt,
d.h 012, t W
Mit den Annahmen für eine Turbine- konstanter Umgebungsdruck: p1 = p2 - keine Strömungsgeschwindigkeit an Ober- und
Unterwasserspiegel: c1 = c2 = 0 - konstante Temperatur: T 1 = T 2 - keine Wärmezu- oder abfuhr: Q12 = 0
vereinfacht sich der Energieerhaltungssatz fürein offenes System mit Zu- bzw. Abfuhr vonArbeit
Abb. 4-20: Wasserkraftwerk, Turbinenbetrieb
Der erste Hauptsatz für stationär durchströmte Systeme
Gl. 4-110:
ie Druckenerg u
v
ee
Disst p pvmT T cm z z g mccm E W Q
pot kin
121212
2
1
2
212,12
1212,
12,
2
1
vereinfacht sich mit den oben getroffenen Annahmen zu
Gl. 4-111: 112, H g m E W Disst
bzw.
Gl. 4-112: 12,112,112, V V t h H g mh g m H g mW
Die Nutzfallhöhe H Nutz ergibt sich aus der um die Verlusthöhe hV,12 verminderteHöhendifferenz H 1
Gl. 4-113: 12,1 V Nutz h H H
Aus der Nutzfallhöhe ergibt sich die technische Arbeit W t,12, die die Turbine bereit stellenkann
Gl. 4-114: Nutzt H g mW 12,
Theoretische Leistung P th der Turbine
Gl. 4-115: Nutz Nutz Nutzt
th H g V H g mt
H g m
t
W P
12,
(1)
(2)
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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 94 ___________________________________________________________________
Die Wellenleistung PWelle der Turbine hängt von dem Gesamtwirkungsgrad Turbine ab,
Gl. 4-116: NutzTurbine NutzTurbinethTurbineWelle H g V H g m P P
der sich wiederum in einen hydraulischen und einen mechanischen Wirkungsgrad aufteilenläßt.
Gl. 4-117: Nutzmechhydr Welle H g V P ..
4.4.3 Pumpe und Gebläse
Bei Pumpen oder Gebläsen wird demSystem Energie über die Systemgrenzezugeführt, d.h. die übertragenetechnische Arbeit ist positiv, 0t W
Entsprechend den Annahmen, die für dieTurbine getroffen wurden, vereinfachtsich der Energieerhaltungssatz zu:
Gl. 4-118:
212, H g m E W Disst
Abb. 4-21: Wasserkraftwerk, Pumpbetrieb
Allerdings ist in diesem Fall zu beachten, daß sich die erforderliche Arbeit zur Überwindungder Höhendifferenz H 2 um die Reibungsverluste E Diss erhöht.
Förderhöhe H Nutz
Gl. 4-119: 12,2 V Nutz h H H
Gl. 4-120: Nutzt H g mW 12,
Theoretische hydraulische Pumpenleistung P th
Gl. 4-121: Nutz Nutzt
th H g V H g mt
W P
12,
Wellenleistung der Pumpe P Welle
Gl. 4-122:.. mechhydr
Nutz
Pumpe
Nutz
Pumpe
thWelle
H g V H g V P P
(2)
(1)
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Fluidmechanik Modellgesetze 95 ___________________________________________________________________
4.5 Modellgesetze
4.5.1 Simulationsproblematik
Im Rahmen technischer Entwicklungen ist es häufig erforderlich, Aussagen bezüglich desVerhaltens des Endprodukts bereits in einem frühen Entwicklungsstadium zu erhalten.Insbesondere bei Flugzeugentwicklungen sind zur Validierung der im Vorentwurfprognostizierten Flugleistungen und zur Auslegung des Flugreglers bereits in derVorentwurfsphase Informationen bezüglich des Flugverhaltens erforderlich. In der RegelJahre bevor der erste Prototyp abheben wird. Neben theoretischen Verfahren,Handbuchmethoden und CFD-Simulation stellt die Strömungssimulation im Windkanal diewichtigste Methode zur Datengewinnung dar.
Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit steigt entsprechend
Gl. 4-1232
2
1cm E kin
der erforderliche Energieaufwand zur Aufrechterhaltung einer kontinuierlichen Strömung an.Dies bedingt, daß mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bzw. Machzahl, dieQuerschnitte der Meßstrecken immer kleiner werden und im höheren Machzahlbereich keinekontinuierliche Strömung mehr aufrecht erhalten werden kann und auch die Meßzeitenimmer kürzer werden, d.h. bis zu einer Größenordnung von ca. 1 Millisekunde. Daherwerden in der Regel im Experiment maßstäblich verkleinerte Modelle der Originalausführungverwendet.
Versuche mit Modellen in Originalgröße lassen sich in der Regel nur im Niedergeschwindig-keitsbereich ( M < 0.4) durchführen. Geeignete Versuchsanlagen die Versuche in einer
solchen Größenordnung ermöglichen, existieren z.B. bei NASA Ames oder bei TSAGI beiMoskau.
4.5.2 Kennzahlen
Zur Übertragung der im Experiment gewonnenen Ergebnisse auf die Großausführungmüssen beide Strömungsfelder mechanisch ähnlich sein, dies erfordert eine Ähnlichkeithinsichtlich
- Geometrie- Zeit und- Kraft
Mit den Indizes 'O' für Original und 'M' für Modell gilt für diese drei Basisgrößen:
Geometrie M L L 0
= Längenmaßstab
2 = Flächenmaßstab
3 = Volumenmaßstab M L
L0
Zeit M t t 0
= Zeitmaßstab
M t
t 0
Kraft M F F 0
= Kräftemaßstab
M F
F 0
Tab. 4-4: Dimensionen der Basisgrößen
Daraus ergeben sich die Maßstäbe für die abgeleiteten Größen wie Geschwindigkeit v,Beschleunigung a, und die Massenkräfte.
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Fluidmechanik Modellgesetze 96 ___________________________________________________________________
Geschwindigkeit
M
M
O
O
M
O
t
L
t
L
c
c
Beschleunigung
2
M
O
M
O
M
M
O
O
M
O
t
t c
c
t
ct
c
a
a
Masse
M
O
M M
OO
M
O
v
v
m
m 3
Massenkraft
M M
OO
M
O
am
am
F
F
Tab. 4-5: Dimensionen der abgeleiteten Größen
Die Bedingung für dynamische Ähnlichkeit (Bertrand'sche Bedingungsgleichung) lautet
Gl. 4-124:2
Liegen im wesentlichen nur Massekräfte vor, so sind die Maßstäbe , und frei wählbar.Die zusätzliche Berücksichtigung der Schwerkraft stellt eine zweite Bedingung dar underfordert
Gl. 4-125:
1
1
M
O
M M
OO
M M
OOm
m
g m
g m
am
am
zusätzlich gilt
Gl. 4-126:21
1
M
O
M
O
g
g
a
a 2
Aufgrund der Proportionalität zwischen Masse, Gewicht und Volumen gilt
Gl. 4-127: 36 63
Dies bedeutet, daß nur ein einziger Maßstab frei gewählt werden kann, während alleanderen festgelegt sind. Soll zusätzlich noch eine dritte Bedingung, z.B. Ähnlichkeit derReibungskräfte erfüllt werden, so sind die Schubspannungen zwischen Körperoberflächeund Fluid zu berücksichtigen
Gl. 4-1282
1
M
M
O
O
M
O
A
F A
F
2
Diese Forderung kann aber wegen 63 nicht erfüllt werden
Allgemein gilt:Modellgesetze lassen sich gleichzeitig nur für zwei Arten von Kräften erfüllen
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Fluidmechanik Modellgesetze 97 ___________________________________________________________________
In der Fluidmechanik ergeben sich daraus fünf Modellgesetze, die neben den Massenkräftennoch folgende Kräfte berücksichtigen:
Reibungskräfte Reynolds-Zahl Re
Lc LcRe
Gewichtskräfte Froude-Zahl Fr
g L
c Fr
2
Druckkräfte Euler-Zahl Eu 2c
p Eu
Periodendauer Strouhal-Zahl Srv
d f
t c
LSr
Kompressibilität Mach-Zahl MSchall
Strömung
c
c M
Tab. 4-6: Kennzahlen auf der Basis von Massenkräften
[m²/s] = kinematische Viskosität [Pas] = dynamische Viskosität
4.5.3 Reynoldszahl
Zur Abbildung reibungsbehafteter (viskoser) Effekte in einer Strömung, z.B. Reibungs-widerstand, Grenzschichten, Ablöseerscheinungen usw. ist es erforderlich die Reynoldszahl
korrekt zu duplizieren. Dies erfordert die Abbildung des Verhältnisses der Reibungskräftezwischen Fluid und Körperoberfläche zu den Trägheitskräften des strömenden Fluids.
Gl. 4-129:t af Reibungskr
raft Trägheitsk Lc Lc
Re
Trägheitskraft
Gl. 4-130: aV am F Tr
Für die Anteile der Trägheitskraft, d.h. Volumen V und Beschleunigung a gilt
Gl. 4-131: 3 LV
Gl. 4-132:2t
La
eingesetzt in die Trägheitskraft F Tr Gl. 4-130 folgt
Gl. 4-133:2
22
2
3
t
L L
t
L L F Tr
Mit der Abhängigkeit der Geschwindigkeit c
Gl. 4-134:t
Lc
folgt für die Trägheitskraft F Tr
Gl. 4-135: 22 c L F Tr
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Fluidmechanik Modellgesetze 98 ___________________________________________________________________
bzw.
Gl. 4-136: 22 c Lk F Tr
Reibungskraft
Gl. 4-137:dy
dc A A F R
Die Anteile der Reibungskraft verhalten sich entsprechend proportional
Gl. 4-138:2 L A
Gl. 4-139: Ldy
eingesetzt in Gl. 4-137 folgt für die Reibungskraft F R
Gl. 4-140: c L L
c L F R
2
bzw.
Gl. 4-141: c LC F R
Reynolds-Zahl
Gl. 4-142:
c L
C
k c L
C
k
c LC
c Lk
F
F
R
Tr
22
Re
Gl. 4-143: .Re const c Lc L M
M M
O
OO
4.6 Grenzschichttheorie
Einer der Kernpunkte der auf Prandtl4 zurückgehenden Grenzschichttheorie beinhaltet dieAufteilung des Strömungsgebietes in einen wandnahen Bereich, der sogenanntenGrenzschicht, die aufgrund der reibungsbehafteten (viskosen) Fluidbewegung einen starkenGeschwindigkeitsgradienten aufweist und einen äußeren Bereich, der Außenströmung, inder eine nahezu reibungsfreie Strömung vorliegt.
4.6.1 Grenzschicht
Als Grenzschicht wird das Übergangsgebiet zwischen Körperoberfläche (c = 0) und freierAnströmung (c = c ) bezeichnet, wobei die Dicke der Grenzschicht definiert wird als derAbstand von der Körperoberfläche, an der die Strömung den Wert cc 99.0 erreicht hat.
Im Gegensatz zur Geschwindigkeit c bleibt der Druck p in der Grenzschicht senkrecht zurOberfläche nahezu konstant, d.h. der statische Druck der freien Außenströmung p wird derGrenzschicht aufgeprägt.
4 Ludwig Prandtl, dt. Physiker, Göttingen (1875 - 1953)
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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 99 ___________________________________________________________________
4.6.2 Verdrängungsdicke * der Grenzschicht
Da über Stromlinien kein Masse- und Energietransport
erfolgen kann, bewirkt das Prinzip der Masseerhaltung,daß eine Strömungsverzögerung eine Stromlinien-erweiterung erzeugt und ebenso eineStrömungsbeschleunigung zu einer Stromlinien-verengung führt. Infolge der Geschwindigkeits-verringerung innerhalb der Grenzschicht müssen dieStromlinien in der Grenzschicht weiter auseinanderliegen als in der Außenströmung. Die darausresultierende Verdrängungsdicke der Grenzschicht läßtsich über den Masseerhaltungssatz berechnen. DerMassestrom durch die Stromröhre ist nur durch die Ein-bzw. Ausrittsfläche A1 und A2 möglich.
Abb. 4-22: Massestrom durch eine Stromröhre
Somit muß in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten
Gl. 4-144: .22211121 const Ac Acmm
Die Verdrängungswirkung bzw. Versperrungseffekt der Grenzschicht kann als Aufdickungder Wand um die Verdrängungsdicke * der Grenzschicht interpretiert werden.
Gl. 4-145:
dy
c
yc
0
* 1
Für eine vollständig laminare Grenzschicht gilt
Gl. 4-146:
3
173.1*
c
x (laminar)
und für die vollständig turbulente Grenzschicht beträgt die Verdrängungsdicke *
Gl. 4-147:
8
1Re01738.0
861.0*
c x (turbulent)
Abb. 4-23: Verdrängungsdicke der Grenzschicht
c c
c
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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 100 ___________________________________________________________________
4.6.3 Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte
Die grundlegenden Eigenschaften einer Grenzschicht lassen sich an der Entwicklung derStrömung an einer ebenen Platte herleiten.
Abb. 4-24: Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte
Laminare GrenzschichtDer Staupunkt S befindet sich an der Vorderkante der Platte an deren Auftreffen die Stau-punktstromlinie in eine laminare Anlaufstromlinie über und unter der Platte verzweigt. Mit
zunehmendem Abstand x zum Staupunkt erfolgt eine Zunahme der laminaren Grenzschicht-dicke entsprechend
Gl. 4-148:
c
x x
x
lam
5
Re5 d.h. xlam
Mit wachsender Lauflänge destabilisiert sich die Strömung und schlägt am Umschlagpunkt(Transitionspunkt) von einer gleichmäßigen laminaren zu einer turbulenten Strömung um.Dieser Umschlag erfolgt bei einer sog. kritischen Reynoldszahl Rkrit = 3 - 510
5, kann ingünstigen Fällen aber auch erst bei Rkrit = 310
6 erfolgen.
Laminare UnterschichtIn direkter Wandnähe bildet sich jedoch auch bei turbulenter Grenzschicht aufgrund dergeringen Geschwindigkeiten infolge der Haftungsbedingung an der Wand eine laminare(viskose) Unterschicht mit einer Stärke von 0.02 - 0.05 turb aus. Die Strömungsverhältnisse imInneren der viskosen Unterschicht werden von Reibungskräften dominiert und die Dicke derlaminaren Unterschicht U beträgt
Gl. 4-149:7.0
'Re77 x
lam
U
Re x' = Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge der turbulenten Grenzschicht
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Turbulente Grenzschicht Bei voll ausgebildeter Turbulenz werden permanent Fluidteilchen in Drehbewegung versetzt,während andere gleichzeitig wieder abgebremst werden. Die Zufuhr von Energie infolge desImpulsaustauschs mit der Außenströmung bewirkt, daß die turbulente Grenzschicht einhöheres kinetisches Energieniveau aufweist als eine laminare Grenzschicht. Aufgrund derpermanenten Durchmischung wird der Parallelbewegung der Strömung noch einezusätzliche unregelmäßige Quergeschwindigkeit zur Hauptströmungsrichtung überlagert.
Abb. 4-25: Voll ausgebildete turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte, [ 14]
Aufgrund der permanenten Durchmischung stellt sich bei einer turbulenten Grenzschichteine völlig andere Geschwindigkeitsverteilung ein als bei einer laminaren Grenzschicht. Der
Mittelwert der Geschwindigkeit verteilt sich gleichmäßiger über den Querschnitt und hatsomit einen stärkeren Geschwindigkeitsanstieg dzdc x als im laminaren Fall. Aufgrund des
steileren Geschwindigkeitsgradienten stellt sich wegen dzdc x eine höhere Schub-
spannung und somit ein erhöhter Reibungswiderstand ein. Infolge der besserenDurchmischung ergibt sich ein erhöhter Wärmeübergang als im Vergleich zur laminarenStrömung. Das höhere kinetische Energieniveau der turbulenten Grenzschicht bewirkt aucheine Verzögerung der Ablösung. Die Dicke der turbulenten Grenzschicht turb einschließlichlaminarer Unterschicht beträgt
Gl. 4-150:2.0
5Re37.0
Re
137.0
x
x
turb x x
Re x' = Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge x' der turbulenten Grenzschicht
Abb. 4-26: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil
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Üb. 4-8: Längs angeströmte ebene Platte
geg.: ][50 hkmc , ][101.15 26 sm Luft , 5
103krit R
ges.: Lage des UmschlagpunktsDicke der Grenzschicht am Umschlagpunkt
_________________________________________________________________________
4.6.4 Transition
Als Transition wird der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Strömungbezeichnet. Dieser Vorgang, der sich infolge hoher Reynoldszahlen von alleine einstellenkann (natürliche Transition) oder aber an Stolperstellen erzwungen werden kann
(erzwungene Transition) stellt ein Stabilitätsproblem der Strömung dar, welches die Lösungder Grenzschicht-Differentialgleichung erfordert. Eine analytische Lösung gestaltet sichschwierig. Aber auch für numerische Verfahren stellt die Modellierung von Turbulenz undAblösung ein Problem dar. Lediglich die experimentelle Simulation bei korrekter Reynolds-zahl, z.B. unter kryogenen Versuchsbedingungen, liefert eine korrekte Abbildung derGrenzschicht, der Turbulenz und des Ablöseverhaltens.
Einflußfaktoren der Transition sind- Geometrie des umströmten Körpers: Schlankheitsgrad, Zuspitzung- Turbulenzniveau in der Zuströmung- Reynoldszahl
Generell wird eine laminare Grenzschicht als unterkritisch und eine vollständig turbulenteGrenzschicht als überkritisch bezeichnet. Bei scharfkantigen Körpern wirkt die Schneide alsStolperstelle, an der Querströmungen erzeugt werden, die zur Turbulenz führen.
Erzwungene Transition bei WindkanalversuchenAufgrund des Modellmaßstabs werden Versuche häufig mit einer niedrigeren Reynoldszahldurchgeführt als die, die sich bei der Originalausführung ergibt. Diese Re-Zahl ist in derRegel so gering, daß hierbei keine natürliche Transition erfolgt. Die geometrische Verteilungvon laminarer Strömung und turbulenter Strömung auf der Körperoberfläche bestimmt jedochmaßgeblich den Reibungswiderstand und das Ablöseverhalten. Um diese geometrische
Verteilung im Versuch abzubilden, wird an einer empirisch ermittelten Stelle, z.B. 5% derProfiltiefe, der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschicht durch Stolperstellen,sogenannten Transitionslinien erzwungen.
Möglichkeiten zur TransitionsfixierungIm Niedergeschwindigkeitsbereich finden in der Windkanalversuchstechnik als auch imSegelflugbereich Zackenbänder, die quer zur Anströmung aufgeklebt werden, Verwendung.Im Hochgeschwindigkeitsbereich wurde früher Karborund, ein Metallpulver, welches auf denTransitionslinien aufgeklebt wurde verwendet. Nachteilig waren hier insbesondere dieschlechte Reproduzierbarkeit sowie die Verunreinigung der Strömung im Windkanal durchabgelöste Karborundteilchen, was bei Windkanälen mit einem geschlossenen Kreislauf zum’Sandstrahlen’ des Modells führte. Einen wesentlich höheren Grad an Reproduzierbarkeit
weisen aufgeklebte Zylinder (dots) auf.
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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 103 ___________________________________________________________________
Abb. 4-27: Zackenband am Höhenruder eines Segelflugzeugs (ASH25) zur Transitionsfixierung
Abb. 4-28: Transsitionsfixierung durch dots an einem Hochgeschwindigkeitswindkanalmodell
XR XTDisc
height h
Disc
diameter d
Disc
spacing xLocat ion[mm] [mm] [mm] [mm] [mm]
Wing 23.0 4.2Canard 4.6 1.5
Fin 10.0 3.0Nose 38.0 n/aIntake 12.7 n/a
Tip pod 12.7 n/a
0.102 1.090 2.54
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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 104 ___________________________________________________________________
Abb. 4-29: Erzwingung von Transition durch ’dots’ an Rumpfspitze und Vorderkanten eines Modells
Abb. 4-30: Erzwingung von Transition durch ’dots’ am Seitenleitwerk eines Modells
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 105 ___________________________________________________________________
4.7 Widerstand von Körpern
4.7.1 Formen des Widerstands
In realen, reibungsbehafteten Strömungen erfährt jeder Körper infolge der Druckverteilungan seiner Oberfläche eine resultierende Kraft R, die vektoriell in zwei Komponenten aufgeteiltwerden kann,
- eine Komponente tangential zur Strömungsrichtung V (= Widerstand W ) und- eine Komponente senkrecht zur Strömungsrichtung V (= Auftrieb A)
Die resultierende Kraft R infolge derAnströmung eines Tragflügelprofils läßt sichz.B. aufteilen in einen Auftrieb A und einenWiderstand W , bzw. eine Normalkraft N undeine Tangentialkraft T
Abb. 4-31: Resultierende Kräfte an einem angeströmte Profil
In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung (Potentialströmung)erzeugt das gleiche Profil zwar ebenfalls einen Auftrieb A, jedoch keinen Widerstand W (Abb.
4-32), d.h. die Integration der Druckverteilung um das Profil ergibt eine resultierende Kraft A (= Auftrieb), die senkrecht auf der Anströmrichtung V steht, jedoch keine Kraft tangential zur
Strömungsrichtung, die dem Widerstand W in Abb. 4-31 entsprechen würde(d’Alembert’sches Pardoxon).
Abb. 4-32: Resultierende Auftriebskraft in einer ebenen Potentialströmung
Reibung, wie sie in jeder realen Strömung auftritt, ist somit die physikalische Ursache für dasEntstehen von Widerstand.
Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers läßt sich in einzelne Anteile zerlegen- Reibungswiderstand (bespülte Oberfläche)- Druck- oder Formwiderstand (Ablösung)
- Induzierter Widerstand (Druckausgleich, auch bei reibungsfreier Strömung)- Interferenzwiderstand (Gegenseitige Beeinflussung von Baugruppen)- Wellenwiderstand (Totaldruckverluste infolge von Stößen)- Restwiderstand (Antennen, Anbauten, Bauungenauigkeiten, ...)
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 106 ___________________________________________________________________
4.7.2 Reibungswiderstand
Infolge der Rauhigkeit an der Körperoberfläche werden die Fluidteilchen an der Oberflächeauf die Geschwindigkeit Null abgebremst (Haftungsbedingung). Ausgehend von derGeschwindigkeit Null an der Körperoberfläche wächst mit zunehmendem Abstand von der
Wand die Geschwindigkeit bis zum Wert der freien Anströmung c an. Es bildet sich dadurchein Geschwindigkeitsgradient in der Strömung senkrecht zur Oberfläche, der sich durch dasAuftreten einer Schubspannung manifestiert. Die Stärke der Schubspannung läßt sich übereinen Plattenzugversuch ermitteln.
Gl. 4-151:dz
dc
A
F x
Der Proportionalitätsfaktor entspricht der dynamischen Viskosität [Pas]. Der Geschwindig-keitsgradient dzdc x wird als Schergefälle D bezeichnet.
Gl. 4-152:
dz
dc D x
Abb. 4-33: Scher- oder Schubspannung bzw. Tangentialspannung
Für parallele Schichtströmungen läßt sich für dünne Schichten die nicht-lineareGeschwindigkeitsverteilung in der Scherschicht linearisieren.
Abb. 4-34: Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette5-Strömung)
5 Maurice Frédéric Alfred Couette, frz. Forscher (1858 - 1943)
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 107 ___________________________________________________________________
ReibungswiderstandsbeiwertDer Reibungswiderstand eines umströmten Körpers berechnet sich aus der Größe seinerbespülten Oberfläche O und dem Reibungsbeiwert c R, der sich aus der hydraulischen
Beschaffenheit der Oberfläche ergibt sowie dem Staudruck 22 c .
Gl. 4-153: 2
2cOcW R R
Für eine ebene Platte an der eine laminare Grenzschicht anliegt gilt für den dimensionslosenReibungsbeiwert c R
Gl. 4-154:Re
328.1 Rc
wobei die Reynoldszahl mit der Länge der Platte berechnet wird.
Der Reibungsbeiwert bei vollständig turbulenter Grenzschicht der ebenen Platte, d.h. von der
Plattenvorderkante liegt eine turbulente Grenzschicht an, beträgt
Gl. 4-155:5 Re
074.0 Rc
Für größere Reynoldszahlen, d.h. ab Re > 107, muß die Beziehung nach Prandtl-Schlichting
verwendet werden
Gl. 4-156: 58.2
Relog
455.0 Rc
In vielen Fällen liegt erst nach einer laminaren Anlaufstrecke eine turbulente Grenzschicht
vor. Die Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke erfolgt mit Hilfe der Korrekturfaktorennach Prandtl mit
Gl. 4-157:ReRe
074.05
Ac R
oder
Gl. 4-158: ReRelog
455.058.2
Ac R
Rekrit 3105 5105 10 3106
A 1050 1700 3300 8700Tab. 4-7: Korrekturfaktoren für laminare Anlaufstrecke
Bei Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke wird die Reynoldszahl auf die gesamtePlattenlänge bezogen. Die Korrektur erfordert die Berechnung des Umschlagpunktes(Transitionspunkt) von laminarer zu turbulenter Grenzschicht.
Einfluß der Rauhigkeit auf den ReibungswiderstandBei einer laminaren Grenzschicht hat die Oberflächenrauhigkeit kaum einen Einfluß auf denReibungswiderstand, da Vertiefungen aufgefüllt werden und das Fluid darüber hinwegströmt.
Die Rauhigkeit hat jedoch einen starken Einfluß auf die Transition, d.h. der Umschlag vonlaminarer zu turbulenter Grenzschicht erfolgt bei einer rauhen Wand deutlich früher als beieiner glatten Wand.
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 108 ___________________________________________________________________
Hydraulisch glatte Oberfläche
Als hydraulisch glatt wird eine Oberfläche definiert,deren maximale Rautiefe k ist kleiner als die
laminare Unterschicht und die Unebenheiten in derUnterschicht verschwinden. Die relative Rauhigkeitk/l entspricht der Rauhigkeit k bezogen aufPlattenlänge l
Abb. 4-35: Rautiefe k
Im Experiment können unterschiedliche Rauhigkeiten durch Sand unterschiedlicher Körnungsimuliert werden, der sog. Sandrauhigkeit k S .
Gl. 4-159:
5.2
log62.189.1
S
R
k
l c für
62 1010 S k
l
Strömungsbelastete Bauteile, wie z.B. Turbinenschaufeln sollten aus Gründen der Wider-standsminimierung die Forderung nach einer hydraulisch glatten Oberfläche erfüllen. Diezulässige relative Sandrauhigkeit hängt von der Reynoldszahl ab, z.B.
Re = 106 k S /l = 10
-4 Re = 10
8 k S /l = 10-6
d.h. mit zunehmender Re-Zahl steigen die Anforderungen an die Oberflächengüte. DieBedingung für hydraulisch glatte Oberfläche können als Funktion der Re-Zahl definiertwerden.
Gl. 4-160: 100Re
zulässig l
k
oder
Gl. 4-161:
ck zulässig
100
Objekt Geschwindigkeit [km/h] [m/s] kin. Viskosität [m²/s] k S,zulässig [mm]Schiff 50
20145.5
1.010-6
1.010-60.0070.020
Flugzeug( H = 0)
600200150
1675642
15.110-6
15.110-6
15.110-6
0.0100.0250.035
Flugzeug( H = 10 km)
600 167 35.310-6 0.020
Gebläse 1550
15.110-6
15.110-60.1000.030
Wasserturbine 410
1.010-6
1.010-6 0.0250.010
Gasturbine 300-700 40-6010-6 0.005 - 0.020Dampfturbine 100
2001.510-6
1610-6 0.00150.008
Tab. 4-8: Zulässige Rauhigkeiten für hydraulisch glatte Oberflächen
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 109 ___________________________________________________________________
Abb. 4-36: Reibungswiderstand der ebenen Platte
4.7.3 Druckwiderstand
Ideale reibungsfreie StrömungIn einer Potentialströmung, d.h. einer reibungsfreien idealen Strömung folgen die Stromliniender Kontur und zusätzlich zu dem vorderen Staupunkt bildet sich stromabwärts auf derRückseite der Platte ein zweiter Staupunkt. Die Gesamtenergie entlang jeder Stromlinie istkonstant und somit ist auch die Bernoulli-Gleichung entlang jeder Stromlinie erfüllt. DieseUmströmung verursacht eine symmetrische Druckverteilung auf der Zuströmseite wie auf derAbströmseite und es kann keine Druckdifferenz zwischen Vorder- und Rückseite entstehen.Da auf beiden Seiten der Platte der gleiche Druck herrscht bildet sich auch keinDruckwiderstand.
Abb. 4-37: Potentialströmung um eine ebene Platte
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 110 ___________________________________________________________________
Potentialströmungen können in der Natur nicht vorkommen, bilden jedoch aufgrund dereinfachen mathematischen Zugänglichkeit eine Möglichkeit Strömungsfelder näherungs-weise schnell zu erfassen. Dabei ist jedoch zu beachten, daß diese Näherungslösungen nurangewendet werden können auf Strömungen, die lediglich kleinen Richtungsänderungenunterworfen sind. Sobald größere Krümmungen überwunden werden müssen und dieStrömung zur Ablösung von der Kontur neigt, verlieren Potentialverfahren ihre Gültigkeit.
Reale reibungsbehaftete StrömungBei der realen, reibungsbehafteten Strömung um eine ebene Platte verliert die Strömunginfolge Reibung auf der Zuströmseite an kinetischer Energie und kann den Druckanstieg ander Plattenrückseite nicht mehr überwinden und bewegt sich in Richtung des geringstenDruckanstiegs. Diese Strömungsablösung erzeugt ein Nachlaufgebiet (Totwasser) auf derRückseite der Platte. Der Gesamtdruck im Nachlaufgebiet entspricht ungefähr dem derAußenströmung, jedoch ist die Geschwindigkeit höher wodurch sich ein geringerer statischerDruck als in der Außenströmung einstellt. Dieses Unterdruckgebiet an der Rückseite bildeteine Kraft entgegen der Fortbewegungsrichtung der Platte, den sog. Druck- oder Formwider-
stand W D.
Abb. 4-38: Potentialströmung um eine ebene Platte
Die Entstehung des Druck- oder Formwiderstand W D kann auch durch eine Energiebilanz amGesamtsystem begründet werden. Infolge der Bewegung der Platte durch ein Strömungs-feld, welches sich zum Zeitpunkt t = t 1 in Ruhe befindet, wird das Fluid zum Zeitpunkt t = t 2 aus der Ruhe in eine rotatorische Bewegung beschleunigt. Zur Beschleunigung einer Massemuß immer Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit bzw. Energie muß zusätzlich zur Vortriebs-leistung des durch das Strömungsfeld bewegten Körpers, in diesem Fall die ebene Platte,verrichtet werden und schlägt sich somit negativ als Widerstand in der Bilanz nieder.
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 111 ___________________________________________________________________
Prinzip der StrömungsablösungAblösung tritt immer dann auf, wenn die Strömung einen Druckanstieg in Strömungsrichtungnicht mehr überwinden kann, z.B. bewirken große Richtungsänderungen eine Aufweitung derStromlinien und somit eine Reduzierung der Geschwindigkeit c, wodurch sich der statische
Druck p entsprechend der Bernoulli-Gleichung (Druckform)
Gl. 4-162: .2
2 const pc pt
erhöht.
Das Prinzip der Strömungsablösung läßt sich an dem in Abb. 4-39 skizzierten Strömungs-verlauf über eine stark gekrümmt Oberfläche erläutern.
Abb. 4-39: Grenzschichtablösung mit Rückströmgebiet
Bereich B Die Strömungsbeschleunigung infolge des reduzierten Strömungsquerschnitts, erkennbar ander Verengung der Stromlinien, wirkt der reibungsbedingten Verzögerung der Strömunginnerhalb der Grenzschicht entgegen und bewirkt, daß die beschleunigte Strömung nichtablöst. Bei maximaler Strömungsgeschwindigkeit wird im Punkt G das Druckminimumerreicht.
Bereich V Die Verzögerung der Außenströmung, erkennbar an der Aufweitung der Stromlinien, führt zueinem Druckanstieg. Da das Fluid aber bereits in der Grenzschicht verzögert wird muß zurBewältigung des Massestroms die Grenzschichtdicke weiter zunehmen. Die Geschwindig-keitsverringerung bewirkt aber auch eine Verringerung der kinetischen Energie, wodurch dieStrömung anfälliger gegenüber Störungen wird. Der zunehmende Druck bewirkt, daß Fluid-teilchen an der Wand zum Stillstand kommen und nicht in das Gebiet mit höherem Druckvordringen. Im Punkt A weicht die Strömung in Richtung des geringsten Drucks aus und löst
sich von der Wand ab.
Nach der Ablösung strömen im Wandbereich Fluidteilchen dem Druckgradienten folgendentgegen der Hauptströmungsrichtung und bilden ein Rückströmgebiet, welches die Außen-
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 112 ___________________________________________________________________
strömung von Körperoberfläche abdrängt. Die Unstetigkeitsfläche zwischen Grenzschichtund Außenströmung löst sich aufgrund der Labilität in Einzelwirbel auf. Diese Wirbel-erzeugung bedeutet eine Beschleunigung ruhender Masse in eine Drehbewegung wozuArbeit verrichtet werden muß , die sich als Druck- oder Formwiderstand in der Bilanz nieder-schlägt.
Aufgrund des höheren kinetischen Energieniveaus der turbulente Grenzschicht im Vergleichzur laminaren Grenzschicht, neigt eine turbulente Grenzschicht weniger zur Ablösung als dielaminare Grenzschicht. Zu beachten ist, daß entsprechend der Bernoulli-Gleichung eineErhöhung der Strömungsgeschwindigkeit immer mit einer Abnahme des statischen Druckseinhergeht und umgekehrt eine statische Druckerhöhung immer an eine Strömungs-verzögerung gekoppelt ist, Abb. 4-39.
Abb. 4-40: Stromlinienverlauf bei reibungsfreier Strömung und reibungsbehafteter Strömung
Abb. 4-41: Kriechende Strömung, laminar, c = 1 mm/s, turbulente Strömung, Re = 2000 [ 14]
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 113 ___________________________________________________________________
Karman'sche Wirbelst raße6 In Abhängigkeit von Strömungsgeschwindigkeit und Körpergeometrie können bei querangeströmten Körpern alternierend links- und rechtsdrehende Wirbel an der Rückseiteablösen. Sofern der Wirbelabstand h von der Strömungsachse zum Wirbelabstand L in
Strömungsrichtung das Verhältnis 28.0 Lh bildet, sind solche Wirbelstraßen sehr stabil.Bei quer angeströmten Antennen oder Drähten kann dies zur Bildung eines Pfeiftons führen.Abhilfe schaffen hier Drähte, die spiralförmig um die Antenne gewunden werden, bzw.Metallwendeln, die zur Vermeidung von Resonanzfrequenzen um Kamine angebrachtwerden können.
Abb. 4-42: Karman'sche Wirbelstraße
NachlaufdelleDie Beschleunigung eines ruhenden Fluids in eine Rotationsbewegung, z.B. zur Erzeugungeiner Wirbelstraße, erfordert die Verrichtung von Arbeit. Dieser Energieaufwand macht sichin einem Geschwindigkeits- bzw. Impulsverlust stromabwärts bemerkbar und wird alsNachlaufdelle bezeichnet. Aus der Vermessung des Geschwindigkeitsfelds (Impulsverlust)stromabwärts eines Körpers mit einem Nachlaufrechen kann auf den Druckwiderstand desKörpers geschlossen werden.
Abb. 4-43: Bestimmung des Druckwiderstands eines Körpers aus dem Impulsverlust
6 Todor Kármán, ungarischer Physiker, 1881 - 1963
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 114 ___________________________________________________________________
Druckwiderstand
Gl. 4-163: dS qqW S
D
Abb. 4-44: Nachlaufrechen
Laminare und turbulente Ablösung
Abb. 4-45: Ebene Platte, laminare Ablösung, = 2.5°, Re = 104, [ 14]
Abb. 4-46: Ebene Platte, turbulente Ablösung, = 2.5°,Re = 5104, [ 14]
Abb. 4-47: Zylinder, laminare (oben) und turbulente (unten) Ablösung, [ 14]
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 115 ___________________________________________________________________
Bestimmende Größe für den Druckwiderstand ist die Größe und Form des abgelöstenTotwassergebiets, d.h. konstruktive Maßnahmen zur Verringerung des Druckwiderstandszielen immer auf eine Verkleinerung des Totwassergebiets. Dies ist entweder durch dieZufuhr von kinetischer Energie in die Grenzschicht oder durch das Erzwingen einerTransition von laminarer zu turbulenter Grenzschicht möglich. Eine turbulente Grenzschichtverursacht zwar einen höheren Reibungswiderstand, hat aber aufgrund der größerenkinetischen Energie eine geringere Neigung zur Ablösung als im laminaren Fall. Zusätzlichmit der Verkleinerung des Totwassergebiets und somit einer Verringerung desDruckwiderstands behalten Ruder und Klappen ihre Wirksamkeit, die andernfalls beiabgelöster Strömung verloren geht.
Widerstandsreduzierung durchVerkleinerung des Ablösegebiets
Laminare Grenzschicht(unterkritisch),Ablösewinkel α ≈ 70 bis 80°
Turbulente Grenzschicht nachStolperdraht (überkritisch),Ablösewinkel α ≈ 110 bis 120°
Abb. 4-48: Kugel- oder Zylinderumströmung mit prinzipiellem Stromlinien- und Druckverlauf
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 116 ___________________________________________________________________
Abb. 4-49: Verzögerung der Ablösung durch Spaltklappen bei Hochauftriebssystemen
Druck- bzw. Formwiderstand einfacher Körper
Tab. 4-9: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper
Tab. 4-10: Formwiderstand ebener Platten
Rechteckige Platte
b/h 1 2 4 10 18
cW 1.10 1.15 1.19 1.29 1.4 2.01
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 117 ___________________________________________________________________
Tab. 4-11: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper
4.7.4 Induzierter Widerstand
In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung um einen Körper (z.B.Profil) ergibt die Integration der Druckkräfte eine resultierende Kraft A (= Auftrieb), diesenkrecht auf der Anströmrichtung V steht, jedoch keine Kraft tangential zur Strömungs-richtung, d.h. einen Widerstand W (d'Alembert'sches Paradoxon).
Betrachtet man jedoch einen Körper, der dreidimensional umströmt wird, z.B. einenTragflügel, so stellt sich aufgrund der Druckunterschiede von Ober- zu Unterseite am Randdes Flügels eine Ausgleichströmung quer zur Anströmrichtung ein und es bilden sich anbeiden Flügelenden je ein Randwirbel. Die Erzeugung dieser Wirbel erfordert die Verrichtungvon Arbeit, da eine Luftmasse aus der Ruhe in eine Drehbewegung beschleunigt wurde, die jedoch zu dem Vortrieb des Flugzeugs keinerlei Beitrag leistet. Die verrichtete Arbeit schlägtsich somit negativ in der Bilanz als induzierter Widerstand nieder.
Ein dreidimensionaler Körper erfährt somit auch in einer theoretisch reibungsfreien Strömungeinen Widerstand.
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Abb. 4-50: Entstehung der freien Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite
Bestimmungsgrößen des induzierten Widerstands am Beispiel des Tragflügels
Der Beiwert des induzierten Widerstands C Wi berechnet sich entsprechend
Gl. 4-164:
2
AWi
C eC
mite = Formfaktor, bei idealer, sog. 'elliptischer' Auftriebsverteilung gilt e = 1 = Streckung, Verhältnis von Spannweite b zur Flügelfläche S
Gl. 4-165:S
b2
Der Auftriebsbeiwert ergibt sich aus dem Staudruck2
2 c und der Flügelfläche S zu
:Gl. 4-166S c
AC A
2
2
Eine Minimierung des induzierten Widerstands läßt sich somit durch eine Minimierung desAuftriebs oder eine Maximierung der Flügelstreckung erreichen.
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Abb. 4-51: Einfluß der Streckung auf den induzierten Widerstand C Wi
Bei Verkehrsflugzeugen liegt der Auftriebsbeiwert im Reiseflug bei ca. C A,Reiseflug 1.0 und beiStart oder Landung aufgrund der deutlich niedrigeren Start- bzw. Landegeschwindigkeit imVergleich zur Reisefluggeschwindigkeit in einer Größenordnung ca. C A,Start/Landung 5 – 6. Dader Auftriebsbeiwert quadratisch in den induzierten Widerstand und somit die Stärke der
erzeugten Wirbelschleppen eingeht, stellen insbesondere Start und Landung dieFlugabschnitte dar, in denen Wirbelschleppen mit maximaler Stärke erzeugt werden. Dies istbei der zeitlichen und räumlichen Staffelung des an- und abfliegenden Verkehrs anFlughäfen zu beachten.
Abb. 4-52: Freie Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite
Segelflugzeuge 15 - 30Sportflugzeuge 6 – 10Verkehrsflugzeuge 6 - 20Kampflugzeuge 2 - 5
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 120 ___________________________________________________________________
Abb. 4-53: Wirbelschleppe eine Boeing 747
Die durch den Wirbel induzierte Beschleunigung des Strömungsfeldes läßt sich aber auchzur Reichweitenerhöhung bei engen Formationsflügen ausnutzen. Der Tragflügel der Folge-maschine erfährt durch den induzierten Wirbel der Führungsmaschine eine zusätzlicheAnströmgeschwindigkeit, die seinen effektiven Anstellwinkel erhöht und somit seinenGesamtwiderstand verringert. Dieses Verfahren ist allerdings in der Vogelwelt schon langebekannt und läßt sich insbesondere bei der V-Formation von Zugvögeln gut beobachten.
Abb. 4-54: Widerstandsreduzierung im Formationsflug
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 121 ___________________________________________________________________
4.7.5 Interferenzwiderstand
Die Kombination von Baugruppen führt in der Regel immer zu einer Veränderung derStrömungsverhältnisse des Gesamtsystems, d.h. der Gesamtwiderstand ist häufig größer alsdie Summe der Einzelwiderstände. Eine Verringerung ist jedoch ebenfalls möglich und
basiert auf der Verkleinerung des Ablösegebiets durch geeignete Vorkörper, z.B. beimWindschattenfahren im Radsport, bei Autorennen oder bei Kolonnenfahrten von LKWs.
Abb. 4-55: Strömung am Einzelrohr und am fluchtenden Rohrbündel
Die Reduzierung des aerodynamischen Widerstands cW,aero ist in Abhängigkeit von demFahrzeugabstand a in Abb. 4-56 dargestellt.
Abb. 4-56: Reduzierung des aerodynamischen Widerstands bei LKW-Kolonnen, [ 7]
4.7.6 Gesamtwiderstand
Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers setzt sich zusammen aus der Summe derEinzelwiderstände:
Gl. 4-167: t ind D R ges W W W W W W Resint
Unter dem Restwiderstand W rest werden alle Zusatzwiderstände zusammengefaßt, die durch
Anbauteile oder innere Durchströmung entstehen wie z.B. Radverkleidung, Streben, Spiegel,Kühlluft, Innenbelüftung, Zierleisten etc. Bei Triebwerken tritt zusätzlich noch ein Einlauf-widerstand (spillage drag ) auf.
Links: Großes Ablösegebiet verursacht hohenWiderstand
Rechts: Widerstandskörper mit Platte:geringerer Gesamtwiderstand
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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 122 ___________________________________________________________________
Bei bekanntem Widerstandsbeiwert C w und der Referenzfläche S ergibt sich der Gesamt-widerstand zu
Gl. 4-168: S cC S qC W W W 2
2
Mit steigender Geschwindigkeit erfolgt eine quadratische Widerstandszunahme
C w - WertBei dem C w – Wert handelt es sich um einen dimensionslosen Beiwert, der von derGeometrie des umströmten Körpers abhängt und alle Widerstandsanteile berücksichtigt, d.h.er beschreibt die 'aerodynamische Güte' des Entwurfs.
Gl. 4-169:
S c
W
S q
W C W
2
2
Zur Bestimmung des Beiwerts kann die Bezugsfläche S prinzipiell frei gewählt werden, sofernbei der Umrechnung in Absolutwerte wieder die identische Fläche, bzw. bei Modell-versuchen, die dem Maßstab entsprechend skalierte Fläche verwendet wird. Üblich ist dieVerwendung der projizierten Stirnfläche (Automobilbau) oder die projizierte Flügelfläche(Flugzeugbau). Die alleinige Angabe des C w - Wert (KFZ-Werbung) erlaubt noch keinenRückschluß auf den Anteil des aerodynamischen Widerstands am Gesamtwiderstand unddamit den Treibstoffverbrauch; hier ist zusätzlich noch die dazugehörige Bezugsfläche Serforderlich.
_________________________________________________________________________
Üb. 4-9: Windlast auf einen Kamin
Ein Kamin mit einer Höhe H = 100 m hat am Boden einen Durchmesser d 1 = 6 m und an derSpitze einen Durchmesser d 2 = 0.5 m. Der Durchmesser ändert sich linear mit der Höhe. DieWindgeschwindigkeit beträgt c = 1.6 m/s. Bei einer Dichte von = 1.234 kg/m³ beträgt diekinematische Zähigkeit der Luft = 1510
-6 m²/s.
Der Widerstandsbeiwert des Kamins kann im unterkritischen Bereich ( Red < 3.5105) mit
cw,unter = 1.2 und im überkritischen Bereich mit cw,über = 0.4 abgeschätzt werden.
Wie hoch ist unter diesen Bedingungen die resultierende Kraft auf den Kamin?
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Fluidmechanik Kugelumströmung 123 ___________________________________________________________________
4.8 Kugelumströmung
4.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung)
Bei geringen Geschwindigkeiten und somit sehr kleinen Re-Zahlen stellt sich auch bei realenStrömungen eine Stromlinienverteilung ein, die näherungsweise der der idealen Potential-strömung entspricht. solche Strömungen werden als kriechende Strömungen bezeichnet undkönnen z.B. bei dem Fließverhalten von flüssigem Beton, Zahnpasta oder Lavaströmenbeobachtet werden.
Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung berechnen sich Geschwindigkeit,Druck und Druckbeiwert als Funktion des Umfangswinkels
Geschwindigkeit auf der Oberfläche cS
Gl. 4-170: sin23 ccS
Druckverteilung pS
Gl. 4-171:
2
21
2 c
cc p p S
S
Abb. 4-57: Reibungsfreie Kugelumströmung
Druckbeiwert c p
Gl. 4-172:
2
2
2
sin4
911
2
c
c
c
p pc S S
p
4.8.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel
In einer realen, reibungsbehafteten Strömung stellt sich in Abhängigkeit von der Struktur derGrenzschicht ein unterschiedlich großes Ablösegebiet auf der strömungsabgewandten Seite
der Kugel ein (vgl. Kap. 4.7.3 Druckwiderstand).
laminare GrenzschichtAblösung bei ≈ 70° - 80°
turbulente Grenzschicht
Ablösung bei ≈ 110° - 120°
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Fluidmechanik Kugelumströmung 124 ___________________________________________________________________
Abb. 4-58: Reibungsbehaftete Kugelumströmung
Die Strömungsverhältnisse an einer Kugel werden maßgeblich vom Zustand der Grenz-schicht dominiert. In Abhängigkeit davon ob es ich um eine unterkritische (laminare) odereine überkritische (turbulente) Grenzschicht handelt, verschiebt sich die Position der
Ablösestelle auf der Kugeloberfläche (vgl. Abb. 4-58). Die Lage der Ablösestelle wiederumdefiniert die Größe des sich daraus ergebenden Totwassergebiets stromabwärts der Kugel,welches wiederum die strömungsphysikalische Ursache für den Druck- bzw. Formwiderstanddarstellt.
Bei kleinen Reynoldszahlen ( 5107.1Re ), d.h. fast vollständig laminarer Umströmung, läßt
sich der Widerstandsbeiwert cW der Kugel über unterschiedliche Näherungsformelnabschätzen, wobei die Reynoldszahl mit dem Kugeldurchmesser D berechnet wird.
Gl. 4-173:Re
24W c
Gl. 4-174: 4.0Re
4
Re
24W c
Gl. 4-175: 23.0Re
5.6
Re
5.21W c
Abb. 4-59: Widerstandstandsbeiwert einer laminar umströmten Kugel
Der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht erfolgt nicht bei einerbestimmten Re-Zahl, sondern in einem Übergangsbereich (kritischer Bereich), sofern dieTransition nicht über eine Transitionsfixierung erzwungen wird.
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Fluidmechanik Kugelumströmung 125 ___________________________________________________________________
Abb. 4-60: Widerstandsbeiwert der Kugel bei unter- und überkritischer Anströmung
Bei realen Strömungen wird ein Körper nur selten einer vollständig laminaren Strömungbegegnen. Lediglich bei sehr kleinen Reynoldszahlen, Flügen in großen Höhen in derStratosphäre oder in einem Laminarwindkanal (Eiffelkanal) wäre dies z.B. möglich. DerVerlauf des Widerstandsbeiwerts einer Kugel bei vollständig laminarer Anströmungentspricht der rechten Kurve in Abb. 4-60. Die linke Kurve beschreibt den Verlauf desWiderstandsbeiwertes für den Fall, daß die Strömung bereits vor dem Auftreffen auf dieKugel vollständig turbulent ist. Der signifikant geringere Kugelwiderstand bei vollständigturbulenter Anströmung im Vergleich zur laminaren Anströmung ergibt sich aufgrund derlänger anliegenden turbulenten Grenzschicht und dem dadurch kleineren Ablösegebiet aufder stromabgewandten Seite der Kugel (vgl. Abb. 4-58). Der höhere Reibungswiderstand der
turbulenten im Vergleich zur laminaren Grenzschicht wirkt sich deutlich geringer auf denGesamtwiderstand aus, als der höhere Druckwiderstand infolge eines größeren Ablöse-gebiets.
Bei 5107.1Re bleibt die Strömung trotz 'Stolperdraht' laminar und läßt sich nicht in den
turbulenten Zustand zwingen. In dem Übergangsbereich von 55 1005.485.3Re107.1
wird die kritische Reynoldszahl bei der eine natürliche, also Re-Zahlabhängige Transitionstattfindet, per Definition festgelegt auf die Reynoldszahl, bei der der Widerstandsbeiwertden Wert 3.0W c erreicht, d.h.
Gl. 4-176: 3.0ReRe W krit c .
Ab einer Reynoldszahl von 5105Re erfolgt mit zunehmender Reynoldzahl wieder ein
Anstieg des Widerstands. Die Größe des Ablösegebiets verändert sich nicht mehr, d.h. derDruckwiderstand bleibt konstant, der Reibungswiderstand erhöht sich jedoch als Funktionder Reynoldszahl und wird zur dominierenden Größe.
Einfluß einer erzwungenen Transit ion durch StolperdrahtDie deutliche Reduzierung des Widerstands einer Kugel durch eine erzwungene Transitionist in Abb. 4-61 skizziert.
laminare Anströmung
turbulente
Anströmung
d c Re
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Fluidmechanik Kugelumströmung 126 ___________________________________________________________________
Abb. 4-61: Einfluß einer erzwungenen Transition auf den Widerstand
Turbulenzfaktor TF Natürliche, d.h. nicht erzwungene Transition ist eine Funktion der Turbulenz der Zuströmung,die sich durch den Turbulenzfaktor TF beschreiben läßt. Dabei wird die kritische Re-Zahl
einer theoretisch laminaren Zuströmung mit 51005.4Re krit ins Verhältnis gesetzt mit der
Reynoldszahl, bei welcher der Widerstandsbeiwert der Kugel den Wert 3.0W c erreicht.
Gl. 4-177:
3.0Re
1005.4
Re
Re 5
W krit krit
krit
c Zuströmung
laminar TF
Würde der Körper eine vollständig laminare Zuströmung erfahren, so ergibt dies einen
Turbulenzfaktor von 1TF . Bei einer vollständig turbulenten Zuströmung ergibt sich einTurbulenzfaktor von 4.2TF .
Der Druckbeiwert an der Rückseite der Kugel (= Basisdruck) bei kritischer Re-Zahl ergibtsich zu
Gl. 4-178: 22.0
2
3.02
c
p pcc pW
Insbesondere bei Windkanalmessungen ist der Turbulenzfaktor zur Bestimmung der realen
Reynoldszahl erforderlich. Die mittels der Beziehung
Gl. 4-179:
ref
Messung
l c
Re
für die Versuchsbedingungen berechnete Reynoldszahl geht von einer vollständig laminarenAnströmung aus und ist noch um den Turbulenzfaktor TF zu korrigieren, um das in derStrömung vorliegende Turbulentniveau zu berücksichtigen.
Gl. 4-180: Messung eff TF ReRe
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Fluidmechanik Kugelumströmung 127 ___________________________________________________________________
Turbulenzgrad Tu Der Turbulenzgrad einer Strömung wird durch die Überlagerung der Strömungsge-schwindigkeit c der freien Anströmung mit Störgeschwindigkeiten wvu ,, in Richtung der
drei Koordinatenachsen z y,, beschrieben.
Gl. 4-181: 222
3
11wvu
cTu
Diese Störgeschwindigkeiten lassen sich zu einer mittleren Störgeschwindigkeit, odermittleren Quergeschwindigkeit c zusammenfassen
Gl. 4-182: 222
3
1wvuc
und für den Turbulenzgrad gilt
Gl. 4-183:
c
cTu
Einfluß der Rauhigkeit auf den WiderstandIm unterkritischen Bereich hat eine größere Rauhigkeit die Wirkung eines Stolperdrahts zurTransitionserzwingung und wirkt sich so insgesamt widerstandsverringernd aus, wohingegenim überkritischen Bereich eine größere Rauhigkeit eine Vergrößerung des Widerstandsbewirkt.Mit zunehmender Rauhigkeit treten drei unterschiedliche Effekte auf
- Die Widerstandsreduzierung infolge der Transition wird immer geringer
- Die plötzliche Widerstandsreduzierung nach der Transition erfolgt bei immerkleineren Reynoldszahlen- Der Widerstand bei turbulenter Grenzschicht steigt immer weiter an
Abb. 4-62: Einfluß der Rauhigkeit auf den Widerstand
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Fluidmechanik Zylinderumströmung 128 ___________________________________________________________________
4.9 Zylinderumströmung
4.9.1 Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung)
Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung und eines unendlichen langenZylinders, d.h. es liegt eine zweidimensionale Strömung vor, ergibt sich für dieGeschwindigkeit und die Druckverteilung an der Oberfläche des Zylinders als Funktion desUmfangwinkels
Geschwindigkeit an der Oberfläche
Gl. 4-184: sin2 ccS
Druckverteilung an der Oberfläche
Gl. 4-185: 2sin41 pc
4.9.2 Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders
Die Strömungsverhältnisse an einem quer angeströmten Zylinder gleichen denen an einerKugel. Die Umfangswinkel an denen sich die Strömung ablöst betragen für eine laminareGrenzschicht (unterkritisch) ca. ≈ 80° und bei einer turbulenten Grenzschicht (überkritisch),ca. ≈ 140°. Im Nachlauf des Zylinders können sich Wirbelsysteme mit alternierenderDrehrichtung bilden (Karman'sche Wirbelstraße, Abb. 4-42).
Allgemein gilt für quer angeströmte Körper mit großem Dickenverhältnis und deutlichenUnterschieden im Widerstand bei unterkritischer und überkritischer Strömung, daß sich diekritische Reynolds-Zahl mit zunehmender Rauhigkeit zu kleineren Werten verschiebt.
Abb. 4-63: Widerstandsbeiwerte von Kugel und Zylinder
Der in Abb. 4-63 skizzierte Verlauf des Zylinderwiderstands als Funktion der Reynoldszahlbezieht sich auf einen theoretisch unendlich langen Zylinder, d.h. es liegt eine zwei-dimensionale Strömung vor. Für quer angeströmte Zylinder oder Prismen lassen sich die die
cW -Werte der zweidimensionaler Anströmung durch einen Korrekturfaktor K entsprechendTab. 4-12 auf eine dreidimensionale Umströmung anpassen.
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Fluidmechanik Zylinderumströmung 129 ___________________________________________________________________
Gl. 4-186:
D
hc K
D
hc W W
Tab. 4-12: Korrekturfaktoren für dreidimensional umströmte Zylinder
_________________________________________________________________________
4-10: Aerodynamischer Widerstand eines Kamins
geg.:c = 40 [m/s] Windgeschwindigkeit
D = 0.25 [m] Kamindurchmesser H = 8 [m] KaminhöheT = 20 [°C] Lufttemperatur
p = 1020 [hPa] Luftdruck
ges.:Resultierende Kraft F auf den Kamin _________________________________________________________________________
Höhe/Durchmesser h/D Korrekturfaktor
0 < h/D 4 K 0.6
4 < h/D 8 K 0.7
8 < h/D 40 K 0.8
40 < h/D K 1.0
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Fluidmechanik Rohrströmung 130 ___________________________________________________________________
4.10 Rohrströmung
4.10.1 Laminare Rohrströmung
Bei Re-Zahlen Re < 2320 bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. Re06.0 d l einevollständig laminare Strömung, die aufgrund der inneren Reibung ein parabolischesGeschwindigkeitsprofil aufweist. Unter den Annahmen einer stationären, inkompressiblenund horizontalen Strömung ergibt sich folgende Geschwindigkeitsverteilung
Gl. 4-187:
2
max 1 R
r cr c
und eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit
Gl. 4-188: max21 ccm
Abb. 4-64: Laminares Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung
4.10.2 Turbulente Rohrströmung
Bei Re-Zahlen Re > 2320 bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. d l 10 eine
vollständig turbulente Strömung. Der Hauptströmungsrichtung werden Schwankungs-bewegungen in Längs- und Querrichtung überlagert wodurch die Reibungsverluste erhöhtwerden.
Geschwindigkeitsverteilung
Gl. 4-189: nk
R
r cr c
1max
k, n = f (Re-Zahl, Rauhigkeit)
21 k 6
1
11
1 n
Für ein glattes Rohr, Re = 45000 gilt k = 2, n = 1/7
Mittlere Strömungsgeschwindigkeit bei k = 2, n = 1/7
Gl. 4-190: max875.0 ccm
Abb. 4-65: turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung
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Fluidmechanik Rohrströmung 131 ___________________________________________________________________
4.10.3 Rohrreibungswiderstand
Turbulente Rohrströmung liegt vor unter der Bedingung
Gl. 4-191: 2320Re
d cd c, d = Rohrinnendurchmesser
Der Reibungswiderstand an der Rohrwand beträgt
Gl. 4-192: Flächebenetzte
Druck dyn
f Ld ccOW
.
2
2
Aufgrund der Kontinuitätsbedingung .const Acm muß bei konstantem
Rohrquerschnitt A auch die mittlere Strömungsgeschwindigkeit cm konstant bleiben, d.h.Verluste können sich nur in Form von Druckverlusten bemerkbar machen. DieAufrechterhaltung der Strömung erfordert ein Druckgefälle p oder ein natürliches Gefälle mitder Neigung hV,12 /L, wobei hV12 der Druckverlusthöhe und L der Rohrlänge entspricht.
Abb. 4-66: Druckverlust infolge Rohrreibung
Kräftebilanz in Strömungsrichtung
Gl. 4-193: 21 F W F
Gl. 4-194: 2211 A pW A p
mit der Kreisfläche
Gl. 4-195:4
2
21
d A A A
Gl. 4-196: Ld ccW p p A f 2
212
lautet der Druckverlust p
Gl. 4-197:2
24 c
d
Lc p f
Mit der Rohrreibungszahl
Gl. 4-198: f c4
c
A
V c
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Fluidmechanik Rohrströmung 132 ___________________________________________________________________
ergibt sich für den Druckverlust p
Gl. 4-199:2
2c
d
L p
Der Druckverlust p läßt sich auch in eine Verlusthöhe h umrechnen. Zusammen mit demhydrostatischen Druck
Gl. 4-200: h g p
ergibt sich die Druckverlusthöhe hV
Gl. 4-201: g
c
d
Lhh V
2
2
Mit dem Verlustbeiwert
Gl. 4-202:d
L
lautet die Verlusthöhe hV
Gl. 4-203: g
chV
2
2
oder der Druckverlust p
Gl. 4-204: 2
2c p
Dies gilt für laminare als auch für turbulente Strömung.
4.10.4 Rohrreibungszahl
Bei Rohrströmungen ergeben sich aufgrund der unterschiedlichen Oberflächenbeschaffen-heit der Innenwand, d.h.
- hydraulisch glatt- Übergang zwischen glatt und rauh- vollständig rauh
unterschiedliche Werte für die Rohrreibunsgzahl
Hydraulisch g latte RohreDie Bedingung für hydraulisch glatt ist erfüllt, wenn die Dicke der laminaren Unterschicht U in der Grenzschicht größer ist als die absolute Rauhigkeit k
Gl. 4-205:4
U k absolute Rauhigkeit
Gl. 4-206:
Re
8
d
k relative Rauhigkeit
Gl. 4-207:
Re
8.32 d U Dicke der laminaren Unterschicht U
Bis zum Erreichen der kritischen Re-Zahl Rekrit = 2320 gilt für die Rohrreibungszahl
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Fluidmechanik Rohrströmung 133 ___________________________________________________________________
Gl. 4-208:Re
64 (Hagen-Poiseuille)
Bei Re-Zahlen größer als Rekrit
gilt die empirische Beziehung nach Nikuradse
Gl. 4-209: 8.0Relog21
oder
Gl. 4-210:
51.2Relog2
1
Vereinfachungen nach Blasius für 2300 < Re < 105
Gl. 4-211:4 Re3164.0
oder nach Nikuradse für 2300 < Re < 106
Gl. 4-212: 237.0Re
221.00032.0
Bei hydraulisch glatten Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der Re-Zahl.
Vollständig rauhe RohreDie Bedingung für eine vollständig rauhe Oberfläche lautet
Gl. 4-213:
Re
200
d
k
Rohrreibungszahl nach Nikuradse
Gl. 4-214: 14.1log21
k
d
oder
Gl. 4-215:
k
d 71.3log2
1
Vereinfachung nach Moody
Gl. 4-216: 315.00055.0d
k
Bei vollständig rauhen Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der
Rauhigkeit.
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Fluidmechanik Rohrströmung 134 ___________________________________________________________________
Übergangsgebiet zwischen glatt und rauhDie Bedingung für das Übergangsgebiet zwischen glatter und rauher Oberfläche lautet
Gl. 4-217: 200Re8 d
k
Rohrreibungszahl nach Colebrook
Gl. 4-218:
Re
51.2
71.3log2
1
d
k
Vereinfachung
Gl. 4-219:
3
6
Re
102000010055.0
d
k
Im Übergangsgebiet ist die Rohrreibungszahl eine Funktion der Re-Zahl und der Rauhigkeit
Abb. 4-67: Moody-Diagramm: Rohrreibungszahl als Funktion der Rauhigkeit und Reynoldszahl
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 135 ___________________________________________________________________
Hydraulischer Durchmesser d hydr Zur Berechnung der Rohrreibungszahl bei Rohren mit nicht kreisförmigem Querschnitt wirdein hydraulischer Ersatzdurchmesser d hydr aus der Rohrquerschnittsfläche A und dembenetzten Umfang U berechet.
Gl. 4-220:U Ad hydr 4
Bei Strömungen in offenen Gerinnen tritt aufgrund des konstanten Umgebungsdrucks keinDruckverlust pV , sondern nur eine Verlusthöhe hV auf, die mit dem hydraulischenDurchmesser des Gerinnes berechnet wird.
Gl. 4-221: g
c
d
L
g
ch
hydr
V
22
2
.
2
Abb. 4-68: Offenes Gerinne
4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren
4.11.1 Widerstand infolge von Ablösung
Neben dem Reibungswiderstand tritt bei Rohrströmungen noch ein zusätzlicher Widerstanddurch Ablösungen und Verwirbelungen auf infolge von
- Einbauten, Armaturen, Ventilen, Blenden und Drosselklappen- Richtungsänderungen, Krümmern- Querschnittsveränderungen, stetig und unstetig- Rohrein- und -auslauf
Die Berücksichtigung dieser Verluste erfolgt durch den Verlustbeiwert
Gl. 4-222:2
12
2 m
V
c
p
Druckverlust 12V p mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr cm
Gl. 4-223:2
122
mV c p
Verlusthöhe 12V h mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr cm
Gl. 4-224: g
ch m
V 2
2
12
Die theoretische Erfassung der Verluste infolge von Rohreinbauten nur in Ausnahmefällenmöglich. Zur Bestimmung des Verlustbeiwertes bieten sich unterschiedliche Verfahren an
- Empirische Bestimmung der Verlustbeiwerte- Nachrechnung des Druckverlustes infolge von Einbauten aus der Summe der
einzelnen Teilverluste in den einzelnen Abschnitten. Dazu ist jedoch eineGeschwindigkeitsmessung in den einzelnen Abschnitten erforderlich
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 136 ___________________________________________________________________
Mit dem Verlustbeiwert
Gl. 4-225:d
L
ergibt sich für den Druckverlust in einem System, bestehend aus i-Rohrstücken und k -Einbauten
Gl. 4-226:
k k mk
iim
i
iim cc
d
Lc p
2
,
2
,
2
22
d.h. der Druckverlust setzt sich aus dem Anteil infolge der Rohrreibung und dem Anteilinfolge zusätzlicher Einbauten zusammen.
4.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor)
Während eine Düse zur Strömungsbeschleunigung eingesetzt wird, hat ein Diffusor dieumgekehrte Aufgabe. Ein Diffusor wird in Rohrleitungssystemen verwendet um dieStrömungsgeschwindigkeit zu reduzieren, d.h. die kinetische Energie zu verringern undgleichzeitig den Druck zu erhöhen (Druckrückgewinn). Anwendungen finden sich z.B. ingeschlossenen Windkanälen um nach einer Überschallmeßstrecke die Strömung zuverzögern.
StufendiffusorDie unstetige Querschnittserweiterungbewirkt einen strahlartigen Strömungs-eintritt in das größere Volumen. Die
Länge der Mischstrecke kann mitGl. 4-227: 210 D L M
abgeschätzt werden. Der Massestromberechnet sich mit der mittlerenGeschwindigkeit im Querschnitt 1 oder 2 zu
Gl. 4-228: 22,11, Ac Acm mm
Abb. 4-69: Stufendiffusor
Die am Diffusor angreifenden Kräfte ergeben sich aus den Druckkräften zuGl. 4-229: 111, A p F p und 222, A p F p
Gl. 4-230: 121, A A p F xW
Die Druckänderung im Stufendiffusor berechnet sich aus der mittleren Geschwindigkeit cm,2 im Querschnitt 2 und den Formfaktoren und
Gl. 4-231: 2,1,1
2
2,221 mmm ccc p p
Formfaktor der energiestromgemittelten Geschwindigkeit Formfaktor der impulsstromgemittelten Geschwindigkeit
(vgl.: Rohreinlaufströmung, Impulssatz)
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 137 ___________________________________________________________________
Auflösung des Energiesatzes nach dem Verlustglied 12V p ergibt
Gl. 4-232:
2
1,
2
2,
21
2
1,21122 m
mmV
c
cc p p p
Einsetzen der Druckänderung 21 p p liefert
Gl. 4-233:
2
1,
2
2,
21
2
1,2,1,1
2
2,2122 m
mmmmmV
c
ccccc p
Gl. 4-234:
2
1,
2
2,
21
1,
2,
12
1,
2
2,
2
2
1,12 222
m
m
m
m
m
mmV
c
c
c
c
c
cc p
mit
Gl. 4-235:2
1
1,
2,
A
A
c
c
m
m
folgt für die Verlustzahl
Verlustzahl des Stufendiffusors
Gl. 4-236: 2
2
2
122
2
111
2
1,
12 22
2
A
A
A
A
c
p
m
V
bei vollständig turbulenter Strömung gilt 1, ii und somit für die Verlustzahl
Gl. 4-237:
2
2
1
2
1,
12 1
2
A
A
c
p
m
V
Wirkungsgrad des Stufendiffusors St Der Wirkungsgrad des Diffusors berechnet sich aus dem Verhältnis des realenDruckanstiegs bezogen auf den Druckanstieg, der sich bei einer isentropen Zustands-änderung, d.h. einer verlustfreien Druckerhöhung mit 012 V p ergeben würde, (isentrop:
Index s).
Gl. 4-238:
1
22
2,2
2
1,1
2
2,22,1,1
12
12
1
22
A
Acc
ccc
p p
p p
mm
mmm
s
St
Druckerhöhung im StufendiffusorBei bekanntem Wirkungsgrad läßt sich die Druckerhöhung im Diffusor aus demQuerschnittsverhältnis 21 A A und der mittleren Geschwindigkeit cm,1 im Querschnitt 1
berechnen.
Gl. 4-239:
2
2
12
1,
2
2
121
2
1,12 122 A
Ac
A
Ac p p mSt mSt
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 138 ___________________________________________________________________
Konischer Diffusor
Im Gegensatz zum Stufendiffusor weist derkonische Diffusor eine stetige Querschnitts-erweiterung auf. Auch hier besteht die
Aufgabe in einem Druckrückgewinnung auskinetischer Energie
Der optimale Öffnungswinkel ist eineFunktion des Rohrquerschnitts und beträgtfür Kreisquerschnitt 4opt und für Recht-
eckquerschnitte 5opt . Die Formfaktoren
i, i werden zu Eins gesetzt.
Abb. 4-70: Konischer Diffusor
Verlustzahl Diff Die Verlustzahl des Diffusors bezogen auf die Zuströmgeschwindigkeit c1 beträgt
Gl. 4-240:2
1
12
2c
pV Diff
Diffusorwirkungsgrad Diff Analog zum Stufendiffusor berechnet sich der Wirkungsgrad aus dem Verhältnis des realen
Druckanstiegs im Diffusor bezogen auf den isentropen, d.h. d.h. verlustfreien Druckänderungmit 012 V p , (isentrop: Index s)
Gl. 4-241:
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
12
2
2
2
1
12
12
1
1
2
2
c
c
c
c
cc
pcc
p p
p p Diff V
s
Diff
mit der Kontinuitätsgleichung und der Definition für die Verlustzahl Diff folgt
Gl. 4-242: 2
2
11
1
A
A
Diff
Diff
oder
Gl. 4-243:
2
2
111 A
A Diff Diff
Druckerhöhung im konischen Diffusor
Gl. 4-244:
2
2
12
112 12 A
Ac p p Diff
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 139 ___________________________________________________________________
Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels
Diff Konischer Diffusor St Stufendiffusor Öffnungswinkel
Abb. 4-71: Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels
4.11.3 Querschnit tsverengung (Düse)
Bei Strömungen mit Unterschallgeschwindigkeit bewirkt eine Querschnittsverengung immereine Erhöhung der Geschwindigkeit und eine Absenkung des statischen Drucks (vgl.
Druckform der Bernoulli-Gleichung: .2 2 const c p )
StufendüseDie unstetige Querschnittsverengung (1 2*) einerStufendüse bewirkt eine Strahlkontraktion auf A2*,gefolgt von einer Strahlaufweitung auf A2 (2* 2)
Die Kontraktionszahl K
Gl. 4-245:
2
*
2
A
A K
Abb. 4-72: Stufendüse
läßt sich bestimmen durch die Regressionsformel
Gl. 4-246:
3
1
2
2
1
2
1
2 511.0261.0133.0614.0
A
A
A
A
A
A K
Die Verlustzahl infolge Kontraktion und Aufweitung ergibt sich aus der Kontraktionszahl zu
Gl. 4-247:
K
K
15.1
Totwassergebiet
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 140 ___________________________________________________________________
Blende Blenden werden eingesetzt zur Messung von Volumenströmen und zur Druckminderung.
Abb. 4-73: Stromlinienverlauf in einer Blende
Unter der Annahme einer reibungsfreien Durchströmung lautet die Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-248: 2
,2
*
2
2
11 *22
sc pc p
Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich de Volumenstrom
Gl. 4-249:*
2,211 * Ac AcV s
mit 2
*
2 A A K folgt aus dem Volumenstrom
Gl. 4-250:1
2,21 *
A Acc K s
eingesetzt in Bernoulli-Gleichung ergibt sich für die verlustfreie Geschwindigkeit c2,s* imQuerschnitt 2*
Gl. 4-251:
*
21
2
1
22
,2
2
1
1*
p p
A
Ac
K
s
Die Reibungsverluste können durch die Verlustziffer berücksichtigt werden, d.h. durch dasVerhältnis von realer zu reibungsfreier Fließgeschwindigkeit.
Gl. 4-252:*
,2
*
2
sc
c
Der Volumenstrom im Querschnitt (2) lautet
Gl. 4-253:*
2,2
*
2222 ** Ac Ac AcV s K scc *,22
Gl. 4-254:
*
212
2
1
22
22
2
1
p p A
A A
AcV
ahl Durchflußz
K
K
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 141 ___________________________________________________________________
bzw. mit dem Wirkdruck pW und der Durchflußzahl
Gl. 4-255:
W p AV
22
Der Druckverlust pV,13 zwischen Querschnitt 1 und 3 berechnet sich über die Verlustziffer
Gl. 4-256:2
31313,2
c p p pV
Für Flächenverhältnisse 95.005.0 12 A A läßt sich die Verlustziffer approximieren durch
Gl. 4-257:
5
1
2
4
1
2
3
1
2
2
1
2
1
2 833.140634.353829.349798.1698557.4794941.8exp A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
4.11.4 Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167)
Zur Durchflußmessung existieren Drosselsysteme. Meßgrößen sind unabhängig von derkonstruktiven Ausführung die statischen Drücke vor und an bzw. hinter dem engstenQuerschnitt. Zusätzlich ist die Kenntnis der Querschnitte bzw. Durchmesser erforderlich.
Blende Düse Venturidüse
Abb. 4-74: Konstruktive Ausführungen unterschiedlicher Drosselgeräte
Zur Berechnung des Volumenstroms ist die Durchflußzahl , die Expansionszahl und der
sog. Wirkdruck W p erforderlich.
Gl. 4-258:
W p
d V
4
2
1
Massestrom
Gl. 4-259: 11 V m
Wirkdruck W p
Gl. 4-260 21 p p pW
Der Einfluß der Kompressibilität, z.B. bei Gasen wird durch die Expansionszahl berücksichtigt, für inkompressible Fluide gilt 1 .
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 142 ___________________________________________________________________
Die Durchflußzahl wurde empirisch aus Kalibrierversuchen mit Drosselgeräten bestimmt
Gl. 4-261:
41
Re,
DC
Der Durchflußkoeffizient DC Re, ist wiederum eine Funktion des Verhältnisses Dd ,
d.h. des Durchmessers d am engsten Querschnitt der Drosselstelle bezogen auf denRohrdurchmesser.Die Reynoldszahl wird auf den Rohrdurchmesser D bezogen, Dc D 1Re .
Mit dem Druckverhältnis
Gl. 4-262:1
2
p
p
und dem Faktor
Gl. 4-263:
8.0
Re
19000
D
A
können Durchflußkoeffizient C und Expansionszahl näherungsweise aus Tab. 4-13bestimmt werden. Der Faktor v p cc stellt den Isentropenfaktor des Gases dar, z.B. gilt
für Luft: 4.1 Luft
Drosselgerät Durchflußkoeffizient C Expansionszahl Blende mitEckdruckent-
nahme mm D 12.71
3.0
65.3
7.06
82
Re
100063.00188.0
Re
10000521.0
216.00261.05961.0
D
D
A
1
84 193.0256.0351.0
1
Düse
15.1
615.42
1.4
Re
100033.000175.0
2262.099.0
D
1
1
1
1
1
1
2
4
4
2
Venturidüse 5.4196.09858.0 wie Düse
Tab. 4-13: Durchflußkoeffizient C und Expansionszahl
4.11.5 Krümmer - Richtungsänderung
Verluste durch den Einbau von Krümmern lassen sich aufteilen in Reibungsverluste undVerluste infolge Ablösung, Tabellen berücksichtigen in der Regel nur den Verlust infolge derAblösung. Reibungsverluste werden durch Ergänzung der Rohrlänge um die gestreckteKrümmerlänge erfaßt
Gl. 4-264:
180
r l Krümmer
r = Radius, = Winkel des Rohrbogens
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 143 ___________________________________________________________________
Einbauelemente können zur Verlustberechnung durch gerade Rohrstücke ersetzt werden
Gl. 4-265: 2
Re2
cd
L p p p Einbauibung ges
mit der zusätzlichen Rohrlänge
Gl. 4-266: d L
folgt für den Druckverlust
Gl. 4-267: 2
2c
d
L L p ges
4.11.6 Eintrittsverluste
Abb. 4-75: Rohreinlaufströmung: Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b)
Die Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils in der Einlaufstrecke s L erfordert das Verrichtenvon Dissipationsarbeit bzw. Dissipationsenergie j sL, beschrieben durch die Verlustzahl sL
Gl. 4-268:2
2 m
sL sL
c
j
turbulent
laminar sL
018.0
333.0
Der Druckverlust für ein gerades Rohrstück der Länge L ergibt sich zu
Gl. 4-269:2
1212,2
m sLV c D
L j p
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 144 ___________________________________________________________________
4.11.7 Verlustziffern von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung)
Querschnittserweiterung - unstetig (Stufendiffusor)
1 2
2
11
A
A
12111
2
2
2
122
2
111 22
A
A
A
A
Querschnittserweiterung - stetig (konischer Diffusor)
2
2
111 A
A Diff Diff
Querschnittsverengung - unstetig (Stufendüse)
3
1
2
2
1
2
1
2 511.0261.0133.0614.0
A
A
A
A
A
A K
K
K
15.1
Querschnittsverengung - unstetig (Blende)
Für 95.005.01
2 A
A gilt
5
1
2
4
1
2
3
1
2
2
1
2
1
2
833.140634.353
829.349798.169
8557.4794941.8
exp
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 145 ___________________________________________________________________
Querschnittsverengung - stetig (Konturdüse)
075.00
Querschnittsverengung - stetig (konische Düse)
2
21
m
mittlere Rohrreibungszahl
5.1
1
2
0.1
1
2
5.0
1
2
5.0
1
2
1
1tan8
A
A
A
A
A
A
A Am
Richtungsänderung - Rohrbogen, glatt, 5102Re
3...2
opt
K
D
r
Rohrbögen mit Leitblechen15.0
Rohrbögen mit profilierten Leitblechen05.0
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 146 ___________________________________________________________________
Richtungsänderung - Segment-Krümmer
Richtungsänderung – Rohrknie
Verzweigungen - Stromvereinigung
321 A A A
321 V V V
Verzweigungen – Stromtrennung
321 A A A
321 V V V
r K /D 2 x 45° 3 x 30° 4 x 22.5°
1 0.44 0.42 0.402 0.31 0.27 0.24
3 0.35 0.19 0.185
3.25 0.18
4 0.40 0.22 0.19
5 0.45 0.26 0.21
6 0.55 0.29 0.23
3
1
V
V
= 45°
23 13 = 90° 23 13
0.0 0.04 -0.92 0.04 -1.200.2 0.17 -0.38 0.17 -0.400.4 0.19 0 0.30 0.080.6 0.09 0.22 0.41 0.470.8 -0.17 0.37 0.51 0.721.0 -0.54 0.37 0.60 0.91
3
1
V
V
= 45°
32 31 = 90° 32 31
0.0 0.04 0.90 0.04 0.950.2 -0.06 0.68 -0.08 0.880.4 -0.04 0.50 -0.05 0.89
0.6 0.07 0.38 0.07 0.950.8 0.20 0.35 0.21 1.101.0 0.33 0.48 0.35 1.28
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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 147 ___________________________________________________________________
Stromtrennung
_________________________________________________________________________Üb. 4-11: Rohrströmung
Ein Behälter wird über eine Pumpe mit einem
Volumenstrom V versorgt. Das Wasserverläßt den Behälter über ein gekrümmtesAbflußrohr mit einer Gesamtlänge l und einermittleren Rauhigkeit k in die freie Umgebung.Der Wasserspiegel im Behälter bleibtkonstant.
geg.:
smV 33106.3 , D = 0.0276 [m], l = 2 [m],
a = 1 [m], H = 6 [m], p0 = 1 [bar], k = 10-6
[m],
E = 0.05, A = 0.05, K = 0.14, = 110-6
[m²/s],
= 1000 [kg/m³]
ges.:Das Lüftungsventil ist geöffnet1. Austrittsgeschwindigkeit c2 2. Kann die Rohrwand als hydraulisch glatt oder vollständig rauh betrachtet werden?3. Wie hoch ist der Wasserspiegel h im Inneren des Behälters?
Bei Überschreiten der Pegelhöhe h schließt das Lüftungsventil und bleibt geschlossen. Der
neue Volumenstrom beträgt V V 2 und die neue Pegelhöhe h’ bleibt wieder konstant.
4. Neue Austrittsgeschwindigkeit c2’ 5. Kann die Rohrwand immer noch als hydraulisch glatt betrachtet werden?6. Luftdruck im Behälter als Funktion des Pegelstandes bei isothermer Kompression7. Wie hoch ist der Wasserspiegel h’ im Inneren des Behälters?
_________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Impulssatz 148 ___________________________________________________________________
5 Impulssatz
5.1 Newton’sche Axiome
Sir Isaac Newton
04.01.1643 - 31.03.1727(gregorianischer Kalender 7)
bzw.
25.12.1642 - 20.03.1727(julianischer Kalender 8)
Abb. 5-1: Sir Isaac Newton: 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica'
Newton formulierte seine drei Axiome 1687 in der 'Philosophiae Naturalis PrincipiaMatheamtica' (Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie). Das erste Axiom gilt nur inInertialsystemen und wurde bereits 1638 von Galileo Galilei aufgestellt. Das zweite Axiom
beschreibt das Grundgesetz der Dynamik und das dritte Axiom das Prinzip dermechanischen Wechselwirkung.
Erstes newton'sches Axiom: Das Trägheitsprinzip (lex prima)Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange dieSumme aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist
Zweites newton'sches Axiom: Das Akt ionspr inzip (lex secunda)Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraftproportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene
Kraft wirkt
Drittes newton'sches Axiom: Das Reaktionsprinzip (lex tertia)Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraftaus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper
A (reactio)
7 eingeführt 1583 durch Papst Gregor XIII8 wurde aufgrund der Abspaltung der anglikanischen Kirche 1534 unter Heinrich VIII zu dieser Zeitnoch in England verwendet
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Fluidmechanik Impulssatz 149 ___________________________________________________________________
5.2 Stromröhre und Stromfaden
Den Axiomen Newtons liegt das Prinzip des Stromfadens zugrunde, d.h. Stromlinien werdenzu einer Stromröhre (vgl. Kapitel 1.6.4) zusammengefaßt. Masse- und Energietransport kann
lediglich entlang der Stromlinie erfolgen, senkrecht zur Stromlinie sind keine Transportvor-gänge möglich. Masse- und Energietransport ist somit nur über die Ein- und Austrittsflächen A1 und A2 zulässig. Werden die Querschnittsflächen A1 und A2 infinitesimal klein, so bleibendie Zustandsgrößen der Strömung c, p, , T konstant. Alle durch die infinitesimalenQuerschnittsflächen dA1 und dA2 verlaufenden Stromlinien werden zu einem repräsentativenStromfaden zusammengefaßt (eindimensionale Stromfadentheorie).
Abb. 5-2: Stromröhre und Stromfaden
5.3 Impuls
Die bei Strömungsvorgängen auftretenden Kräfte lassen sich durch den Impulssatz, der aufdem Newton'schen Grundgesetz der Dynamik beruht berechnen.
Gl. 5-1: dt
cmd
dt
cd mam F
Der Impuls I
eines Körpers beschreibt das Produkt aus seiner Masse m und seinerGeschwindigkeit c
Gl. 5-2: cm I
Da es sich bei der Geschwindigkeit c
um einen Vektor handelt, stellt auch der Impuls einevektorielle Größe dar, der eine Richtung und eine Geschwindigkeit aufweist. Die Änderung
des Impulses (bei konstanter Masse) kann nur durch eine Geschwindigkeitsänderungerfolgen und entspricht einer Kraftwirkung
Gl. 5-3:
dt
I d
dt
cmd F
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Fluidmechanik Impulssatz 150 ___________________________________________________________________
5.4 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum
Eintrittsebene (1) Austrittsebene (2)
111 cdm I d
222 cdm I d
Die Impulsänderung dI des Gesamtsystems in einem durchströmten ortsfesten Kontrollrauminfolge Zu- und Abstrom der Massenelemente dm1 und dm2 kann beschrieben werden durchdie Differenz zwischen dem Impuls in der Eintrittsebene (1) zum Zeitpunkt t = t 1 und demImpuls in der Austrittsebene (2) zum Zeitpunkt t = t 1 = t 1 + dt .
Gl. 5-4:
12
102012
t I t I
I d I I d I t I t I I d
0 I
= Gesamtimpuls aller Massenelemente im Kontrollraum
Im Inneren des Kontrollraums befinden sich an den Stellen I und II zur Zeit t 1 und t 2 unterschiedliche Massenelemente dm, die sich jedoch bei Vorliegen einer stationärenStrömung mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Dadurch bleibt der Gesamtimpuls 0 I
unverändert.
Kontinuitätsgleichung
Gl. 5-5: dmdmdm 21 bzw. .const Acmdt
dm
Zeitliche Impulsänderung im System
Gl. 5-6: 121212
ccmccdt
dm
dt
I d I d
dt
I d
Impulsstrom
Gl. 5-7: N cm I dt
I d
Impulssatz für stationäre Fadenströmung
Gl. 5-8: 1212 ccm I I F
Die Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Kräfte ist gleich demaustretendem Impulsstrom abzüglich des eintretenden Impulsstroms.
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Fluidmechanik Impulssatz 151 ___________________________________________________________________
5.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum
Bei der Berechnung der Kräfte auf ein Fluid in einem Kontrollraum ist zu unerschieden obder Kontrollraum, d.h. die Stromröhre A M mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird (z.B.freigeschnittenes Rohrstück) oder nicht (z.B. Ausströmen aus einem Rohr ins Freie).
Freie oder körpergebundene Stromröhre A M .ohne Außendruck p a
Abb. 5-3: Stromröhre A M .ohne Außendruck pa
21 , p p F F
Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2
G F
Gewichtskraft des Fluids im Kontrollraum
W F
Von der Stromröhre auf das Fluid ausgeübte Kraft infolge Druck- oder Reibung
S F
Stützkraft, von einem festen Körper innerhalb der Stromröhre auf das Fluid
K F
Körperkräfte = Reaktionskräfte des Fluids, von innen auf die Stromröhre Ki F
oder Einbauten KS F
, W Ki F F
, S KS F F
, KS Ki K F F F
Körpergebundene Stromröhre A M ,die mit dem Außendruck p a beaufschlagt wird
Abb. 5-4: Stromröhre A M .mit Außendruck pa
21, p p F F
Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2
a F
Druckkraft infolge des Außendrucks pa auf die Stromröhre, ungleich Null, da sie
nur auf die Mantelfläche und nicht die gesamte Oberfläche wirkt
H F
Haltekraft der körpergebundenen Stromröhre, K H F F
K F
Körperkraft des Fluids von innen auf die Stromröhre unter Berücksichtigung des
Außendrucks
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Fluidmechanik Impulssatz 152 ___________________________________________________________________
Der Impulssatz unter Berücksichtigung aller Teilkräfte lautet allgemein
Gl. 5-9: 1212 ccm I I F
Für eine freie oder körpergebundene Stromröhre A M , die nicht mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird
Gl. 5-10: GS W p p F F F F F ccm I I F
211212
bzw. für eine freie oder körpergebundene Stromröhre A M , die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird
Gl. 5-11: GS W p p F F F F F ccm I I F
211212
5.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen
(1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche: Zu bestimmen ist die Reaktionskraft
KS F
auf einen umströmten Körper innerhalb der Stromröhre oder der Körper
ist Teil der Stromröhre
(2) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche.Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenenTeils der Stromröhre und auf evtl. Einbauten
(3) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche,die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird: Zu bestimmen ist die
Reaktionskraft K F
auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter
Berücksichtigung der Außendruckkraft a F
(1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft KS F
auf einen umströmten Körper innerhalb der Strom-
röhre oder der Körper ist Teil der Stromröhre
Gl. 5-12: GW p pS KS K F F F F ccm F F F
2112
Herrscht auf der Stromröhre und in den Ein- und Austrittsflächen A1 und A2 konstanter Druck,z.B. Umgebungsdruck (Freistrahl), so gilt
Gl. 5-13: 021 W p p F F F
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Fluidmechanik Impulssatz 153 ___________________________________________________________________
(2) Stromröhre ist teilweise oder volls tändig eine körpergebundene Kontrollfläche
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen Teils derStromröhre und auf evtl. Einbauten
Gl. 5-14: G p pS W KS Ki K F F F ccm F F F F F 2112
(3) Stromröhre ist teilweise oder volls tändig eine körpergebundene Kontrollfl äche,die mit einem Außendruck p a beaufschlagt wird
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft K F
auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter
Berücksichtigung der Außendruckkraft a F
Gl. 5-15: G p paS W a KS Ki K
F F F ccm F F F F F F F
2112
Gl. 5-16: iai pi A p p F
Differenzdruckkraft zum Außendruck pa
Gl. 5-17: K H F F
Haltekraft
5.7 Impulsssatz für mehrere Ein- und Austr itts flächen
Sind in einem Kontrollraum mehrere Ein- und/oder Austrittsflächen vorhanden, so ergibt sichdie Gesamtkraft aus der Summe der Änderungen der Austrittsimpulse abzüglich der Summe
der Eintrittsimpulse zuzüglich der Druckkräfte und der Gewichtskraft des Fluids.
Gl. 5-18:
mn
k G pk
m
jritt E j
n
i Austritt i K F F cmcm F
11int
1
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Fluidmechanik Impulssatz 154 ___________________________________________________________________
5.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes
Das Prinzip zur Berechnung von Kräften an durchströmten Bauteilen soll anhand des in Abb.5-5 skizzierten Rohrkrümmers verdeutlicht werden. Es handelt sich hierbei um eine körper-
gebundene Stromröhre unter Berücksichtigung eines Außendrucks pa .
Abb. 5-5: Rohrkrümmer
Ablauf zur Berechnung der Körperkraft F K bzw. der Haltekraft F H = - F K 1. Skizze des Bauteils2. Kontrollraum, strichpunktierte Linie3. Ein- und Austrittsfläche kennzeichnen (1), (2)
4. Koordinatensystem festlegen5. Winkeldefinition mathematisch positiv definieren (linksdrehend = positiv)
6. Geschwindigkeiten ic
, Druckkräfte pi F
, Impulsströme i I und Gewichtskraft G F
einzeichnen7. Berechnung von ic
, i p , i und im in Ein- und Austrittsflächen (1), (2) mittels
Kontinuitäts-, Energie- und thermischer Zustandsgleichung8. Berechnung der Beträge für
- Impulsströme ii cm I
- Druckkräfte iai pi A p p F bzw. ii pi A p F
- Gewichtskraft g V F Fluid ums KontrollraG
9. Berechnung der Komponenten der Körperkraft K F
( H F
bzw. Haltekraft)
Gl. 5-19:
GG p p p K K Kx F F F ccm F F coscoscoscoscoscos 22111122
Gl. 5-20:
GG p p p K K Ky F F F ccm F F sinsinsinsinsinsin 22111122
Körperkraft H K F F
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Fluidmechanik Impulssatz 155 ___________________________________________________________________
Gl. 5-21:22
Ky Kx K F F F
Gl. 5-22:
Kx
Ky K
F
F arctan
_________________________________________________________________________
Üb. 5-1: Rohrkrümmer mit Leitblechen
geg.: mm D 3001
mm D 2002
mm z z 40012
3024.0 mV (Krümmervolumen)
grad 901
grad 452
s
mV
3
35.0 (Wasser, C t O H 122
)
345.999
2 m
kg O H
bar p 3.11 (Druck in Eintrittsebene)
bar pa 0.1 (Außendruck)ges.:
1. K F
Körperkraft auf den Krümmer mit Einbauten unter Berücksichtigung des
Außendrucks pa ?
2. H F
Haltekraft an den Flanschen?
3.
K F
Körperkraft des Fluids auf Einbauten und innere Krümmerwand ohne
Außendruck?
Der Krümmer wird reibungsfrei durchströmt, d.h. F W = 0 _________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Impulssatz 156 ___________________________________________________________________
Üb. 5-2: Ebene angeströmte Platte
geg.:Platte wird unter dem Neigungswinkel
angeströmt.Potentielle Energien, Reibungskräfte undMassenkräfte können vernachlässigt werden 0G F
ges.:1. Strahlkraft auf die Platte bei 90
(formelmäßig)2. Strahlkraft auf die Platte, wenn diesemit u < c1 in Strahlrichtung bewegt wird
_________________________________________________________________________Üb. 5-3: Dampfturbinenschaufel
geg.: mm DG 9501
mm D N 5301
mm DG 10202
mm D N 4952
smca 1501
(Axialgeschwindigkeitskomponente) smca 1652 3
1 127.0 mkg
bar p 1836.01
bar p 14.02
ges.: Axialschub ax F auf Rotor und Schaufel
im Bereich der Endschaufel
_________________________________________________________________________
Üb. 5-4: Windkraftturbine
ges.:1. Maximale ideale Turbinenleistung P Turb, max 2. Schubkraft auf den Rotor F Kx
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Fluidmechanik Impulssatz 157 ___________________________________________________________________
Üb. 5-5: Turboluftstrahltr iebwerk
geg.:
s
kg m L 77 Luftmassestrom
skg m B 13.4 Brennstoffmassestrom
s
mc 9852 Strahlaustrittsgeschwindigkeit
km H 15 Flughöhe
0.2 M Flugmachzahl
ges.:1. Schubgleichung für ein Einkreis-TL-Triebwerk2. Schub in der Flughöhe km H 15 , angepaßte Düse d.h. p2 = pa
_________________________________________________________________________Üb. 5-6: Raketentr iebwerk
ges.:Schubgleichung für ein Raketen-Triebwerk
_________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Drallsatz 158 ___________________________________________________________________
6 Drallsatz
6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung
Der lineare Impuls I
eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse m und seine
Geschwindigkeit c
Gl. 6-1: cm I
Für diese punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor r
der Drall oder Drehimpuls
L
zu
Gl. 6-2: I r cr m L
Da der Drehimpuls u.a. eine Funktion des Ortvektors r
ist, besteht immer eine Abhängigkeitdes Dralls von seinem Bezugspunkt.
Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses I
bei der sich eine Kraft F
ergibt
Gl. 6-3:dt
I d F
ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls L
ein Moment
Gl. 6-4:dt
Ld M
d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung desDralls.
Starrer Körper
Ein starrer Körper kann als ein Systemeinzelner Massepunkte mi betrachtet werden,deren räumlicher Abstand sij zueinander zeitlichkonstant bleibt
Gl. 6-5: .const sr r ij ji
bzw.
Gl. 6-6: 0dt
dsij
Abb. 6-1: Starrer Körper
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Fluidmechanik Drallsatz 159 ___________________________________________________________________
Starrer Körper in Rotation
Die Beschreibung des Bewegungszustandes eines starren Körpers im ruhendenIntertialsystem erfolgt durch den Gesamtdrehimpuls
Gesamtdrehimpuls des starren Körpers
Gl. 6-7:
N
iii I r L
1
mit cm I
folgt
Gl. 6-8:
N
iiii cr m L
1
Rotiert der Körper mit
um eine feste Achse, z.B.
die z-Achse (Abb. 6-2), so gilt für die Geschwindigkeitic
des Massepunktes mi
Gl. 6-9: ii r c
Abb. 6-2: Starrer Körper in Rotation
Gesamtdrehimpuls des starren Körpers
Gl. 6-10:
N
iiii
N
iiii r r mcr m L
11
Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung
Gl. 6-11:
0
0
0
0
0
i
i
i
i
i
i x
y
z
y
x
r
Gl. 6-12:
220 ii
ii
ii
i
i
i
i
i
ii
y x
z y
z x
x
y
z
y
x
r r
Mit dem senkrechten Abstand ,ir
des Masseelements mi zur Drehachse gilt für den
Drehimpuls für den gesamten Körper
Gl. 6-13:
N
iii r m L
1
,
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Fluidmechanik Drallsatz 160 ___________________________________________________________________
Massenträgheitsmoment des starren Körpers
Der Ausdruck in Gl. 6-13
Gl. 6-14:
N
iii r m J 1,
bezeichnet das Massenträgheitsmoment des starren Körpers um seine Drehachse
Der Drehimpuls lautet unter Verwendung des Masseträgheitsmoment J
Gl. 6-15:
J r m L
J oment Trägheitsm
N
iii
1
,
Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment
Gl. 6-16:
V m
dV r dmr J 22
Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls
Aus der Ableitung des Drehimpulses
Gl. 6-17: I r L
nach der Zeit
Gl. 6-18: I r I r dt
Ld
folgt wegen
Gl. 6-19: I r r mcm I
daß Impuls- und Geschwindigkeitsvektor parallel gerichtet sind, d.h.
Gl. 6-20: 0
I r
und es gilt
Gl. 6-21:
I r I r I r dt
Ld
0
Wegen des 2. Newton'schen Axioms gilt
Gl. 6-22: I F
und somit ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmoment
Gl. 6-23: M F r I r dt
Ld
bzw. ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses
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Fluidmechanik Drallsatz 161 ___________________________________________________________________
Gl. 6-24: F I dt
I d
(Impulsstrom = Kraft)
und
Gl. 6-25: M Ldt Ld
(Drallstrom = Moment)
Aus der Beziehung M dt
Ld
folgt, daß der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant bleibt,
solange keine äußeren Momente auf das System wirken, d.h.
Gl. 6-26 00 dt
Ld M
bzw. .const L
Drehimpulserhaltung bedeutet, daß gilt
Gl. 6-27: .const J L
Eine Veränderung des Trägheitsmoments J bewirkt somit eine Änderung der Dreh-geschwindigkeit . Dieser Effekt läßt sich in den unterschiedlichsten Anwendungenbeobachten, z.B. beim Eiskunstlauf (Pirouette). Das Anziehen der Arme an die Körperhoch-achse (= Rotationsachse) bewirkt eine Verkleinerung des Masseträgheitsmoments um dieDrehachse. Die Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls führt zu einerErhöhung der Drehrate.
Gl. 6-28: .2211 const J J
Gl. 6-29: 1212 J J
Abb. 6-3: Pirouetteneffekt
Ähnlich verhält sich ein Reckturner, der beim Schwungaufnehmen (Position 1) seinenKörperschwerpunkt durch das Strecken der Beine möglichst weit von der Drehachse(=Reckstange) entfernt und beim Aufschwung durch Anheben der Beine den Schwerpunkt-abstand zur Drehachse reduziert. Da das Masseträgheitsmoment direkt vom Abstand desKörperschwerpunkts zur Drehachse abhängt, hat der Turner in Position (2) ein geringeres
Masseträgheitsmoment in Bezug auf die Reckstange und somit aufgrund derDrehimpulserhaltung eine erhöhte Drehrate, die ihn in einer beschleunigten Bewegung umdie Reckstange führt.
.2211 const J J
1212 J J
Abb. 6-4: Aufschwung am Reck
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Fluidmechanik Drallsatz 162 ___________________________________________________________________
Der Versuch zur Drehimpulserhaltung (Pirouetteneffekt) läßt sich auch leicht mit Hilfe einesdrehbaren Bürostuhls und zwei Gewichten nachvollziehen.
Abb. 6-5: Versuch: Drehimpulserhaltung (Physikalisches Institut Universität Dortmund)
Verkleinerung des Trägheitsmoments durch Heranziehen der Gewichte an die Rotations-achse bewirkt eine Erhöhung der Drehrate der Versuchsperson.
Daß es sich beim Drehimpuls um eine vektorielle Größe handelt läßt sich mit dem in Abb.6-6 dargestellten Versuch mit einem rotierenden Rad nachweisen.
Abb. 6-6: Versuch: Drehimpuls als Vektor (Physikalisches Institut Universität Dortmund)
In Abb. 6-6a wird mittels des Schwungrads ein Drehimpuls erzeugt, die Versuchspersonbleibt in Ruhe. Bei senkrechter Lagerung des Rades, Abb. 6-6b beginnt die Versuchspersonsich um die Hochachse zu drehen, der Gesamtdrehimpuls L z bleibt nach wie vor gleich Null.
Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - TornadoVoraussetzung für die Entstehung eines Tornados, z.B. im Mittelwesten der USA, ist dasZusammentreffen trocken-kalter Luftmassen aus Kanada mit feucht-warmen Luftmassen ausdem Golf von Mexiko. Die kalte Luft schiebt sich trotz ihrer größeren Dichte über die warmeLuftmasse und es bildet sich eine instabile Schichtung mit großem vertikalemTemperaturunterschied. Kalte Luft hat eine wesentlich geringere Fähigkeit Feuchtigkeitaufzunehmen als warme Luft und es kommt zur Kondensation des in der Luft enthaltenenWasserdampfes, was zur Bildung von Wolken mit starkem Niederschlag führt. Durch dieKondensation wird zusätzliche Wärme (Verdampfungsenthalpie) freigesetzt, wodurch es zurAusbildung einer nach oben gerichteten Luftbewegung kommt.
Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft einenLinkswirbel (Nordhalbkugel) mit einem Durchmesser von lediglich 10-20 Metern. Die großeRotationsgeschwindigkeit im Wirbelkern ergibt sich aufgrund der Drehimpulserhaltung.
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Fluidmechanik Drallsatz 163 ___________________________________________________________________
Infolge der hohen Drehgeschwindigkeiten erzeugen die dadurch auftretenden Zentrifugal-kräfte hohe Unterdrücke im Zentrum des Wirbels ( p 50-100 hPa). Die oben liegende Kaltluftwird jetzt infolge des Unterdrucks im Wirbelkern und ihrer größeren Dichte als die untenliegende Warmluft, ähnlich einem Abflußrohr, nach unten gesaugt. Um diesen Wirbel
kondensiert die feucht-warmen Luft und es kommt zur Ausbildung des charakteristischendunklen Rüssels des Tornados. Die destruktive Wirkung eines Tornados ergibt sich insbe-sondere infolge des starken Druckgefälles von 50–100 hPa und den hohen Windgeschwindig-keiten von bis zu 400 km/h.
Abb. 6-7: Tornados über Festland und Meer
_________________________________________________________________________
Üb. 6-1: Versuch zur Drehimpulserhaltung - Tornado in der Wasserflasche
Wasser in der oberen Flasche wird durch eine Anfangsbeschleunigungin eine Rotation mit einer Umfangsgeschwindigkeit r r f c 2
versetzt.
geg.:Flasche:
R 40 [mm] = Anfangsradiusr 4 [mm] = Wirbelinnendruchmesser
f 1 1 [s-1
] = Anfangsdrehfrequenz
ges.:Rotationsfrequenz f 2 im Inneren des Tornados im Flaschenhals
_________________________________________________________________________
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Fluidmechanik Drallsatz 164 ___________________________________________________________________
6.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen
Die Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom in einen Kontrollraum entsprichtder Summer aller im Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente
Gl. 6-30: M cr cr m L L 112212
Gl. 6-31: cr mdt
Ld L M
Der Drallstrom entspricht der Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt.
Anwendung des Dral lsatzes auf einen mit m durchströmten Schaufelkanal
Summe aller Momente um O
Gl. 6-32: GS W A A M M M M M M 21
Moment infolge von
2,1 A M
Druckkräften im Ein- und Austritt
W M
Wandkräften
S M
Stützkräfte an Einbauten
G M
Gewichtskräften
Abb. 6-8: Schaufelkanal
mit
nc Projektion der Geschwindigkeit in die dargestellte Ebene
uc Umfangskomponente der Geschwindigkeit senkrecht auf dem Radius r
Gesucht werden die Drehmomente um eine Bezugsachse durch den Bezugspunkt O.Beiträge werden hierzu lediglich von Geschwindigkeitskomponenten geliefert, die in einerEbene normal zur Bezugsachse und senkrecht auf dem Radius stehen, d.h. dieUmfangskomponente uc der Geschwindigkeit c.
Unter Vernachlässigung der Gewichtskraft und der Momente im Ein- und Austritt lautet dasresultierende Moment zur Bezugsachse, welches auf das Fluid ausgeübt wird
Gl. 6-33:
M cr cr m M M M M M M M M uuS W GS W A A
1122
00
2
0
1
Das Reaktionsmoment des Fluids K M auf die körpergebundene Fläche der Stromröhre
beträgt
Gl. 6-34: 1122 uu K cr cr m M M
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Fluidmechanik Drallsatz 165 ___________________________________________________________________
Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung werden die Momente infolgeReibung an der Wand zu Null, d.h. 0W M . Befinden sich keine Einbauten, z.B.
Umlenkschaufeln im Strömungskanal, so verschwinden auch die Momente infolge derStützkräfte, d.h. 0S M und Gl. 6-33 vereinfacht sich wegen 0 M zu
Gl. 6-35: 01122 uu cr cr m 1122 uu cr cr bzw.2
112 r
r cc uu
Dies entspricht der Gleichung des Potentialwirbels für Ringräume ohne Schaufeln oder fürBehälter und Kanäle.
Anwendung des Dral lsatzes auf das Laufrad einer Strömungsmaschine (Verdichter)
2,1
A Ein- und Austrittsebene
2,1 aaT Tangentialebenen zu 2,1 A
2,1c Absolutgeschwindigkeiten
2,1 uuc Umfangsgeschwindigkeiten
Gl. 6-36: 2,12,12,1 cos cc uu
2,1w Relativgeschwindigkeiten
2,1 mmc Gemittelte Geschwindigkeiten
2,1W Neigungswinkel der Tangentialebenen
Für Axialmaschinen gilt:02,1W
Für Radialmaschine gilt:902,1W
und
11 ccn ,22 ccn
Abb. 6-9: Laufrad eines Verdichters
Moment auf das Fluid im Kontrollraum
Gl. 6-37: 1122 umum cr cr m M
Übertragene Leistung P12 vom Laufrad auf das FluidMit dem mittleren Radius r m bzw. dem mittleren Durchmesser der Stromfläche
Gl. 6-38:2
mm
Dr bzw.
2
22
N Gm
D D D
und der Umfangsgeschwindigkeit u und der Drehzahl n Gl. 6-39: n Dr u bzw. n Dr u mmm
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Fluidmechanik Drallsatz 166 ___________________________________________________________________
ergibt sich für die auf das mit rotierende Laufrad übertragene Leistung P 12
Gl. 6-40: 112212 umum cr cr m M P
Gl. 6-41: 112212 umum cucum P
Spezifische technische Arbeit w t12 Die Leistung P 12 bezogen auf den Massestrom m ergibt die spez. technische Arbeit wt12
Gl. 6-42: 11221212
umumt cucuwm
P
Momente, die von feststehenden Leiträdern auf das Fluid ausgeübt werden
Das Leitrad steht fest, d.h. es gilt = 0 und an den Leiträdern wird keine Leistung mit demFluid ausgetauscht, d.h. 01212 t w P . Das Leitrad nimmt das Reaktionsmoment M M K
auf, welches sich durch Ersetzen der Umfangsgeschwindigkeiten 2,1 uuc in Gl. 6-37 durch die
Absolutgeschwindigkeiten 2,1c am Ein- und Austritt des Leitrades berechnen läßt.
Gl. 6-43: 1122 cr cr m M mm (Moment auf das Verdichtergehäuse)
_________________________________________________________________________
Üb. 6-2: Laufrad einer Kreiselpumpe
geg.: smc 15.101
smc 05.262
801 Winkel zu 1uc
6.222 Winkel zu 2uc 1min2950 n
mm D N 701
mm DG 901 mm D N 1742
mm DG 1802
mml 5.42 Schaufelaustrittslänge
ges.:(1) Massestrom m durch die Pumpe(2) Drehmoment M und innere Leistungsübertragung P 12 vom Rotor auf das Fluid
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Fluidmechanik Drallsatz 167 ___________________________________________________________________
(3) Spezifische technische Arbeit wt12 und geleistete spezifische Strömungsarbeit yt amFluid bei einem Gesamtwirkungsgrad von t = 0.7
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Fluidmechanik Literatur 168 ___________________________________________________________________
Literatur
[ 1] Anderson, J. D.: 'Computational Fluid Dynamics' , McGraw-Hill Book Company,1995
[ 2] Anderson, J. D.: 'Fundamentals of Aerodynamics' , McGraw-Hill Book Company,1985
[ 3] Anderson, J. D.: 'Hypersonic and High Temperatue Gas Dynamics' , McGraw-Hill BookCompany,1989
[ 4] Böswirth, L.: ’Technische Strömungslehre’ , 7. Aufl., Vieweg, Wiesbaden 2007
[ 5] Dubs, F.: 'Hochgeschwindigkeits-Aerodynamik' , Birkhäuser Verlag Basel, Stuttgart 1966
[ 6] Herwig, H.: ’Strömungsmechanik’ , Springer Berlin, Heidelberg 2002
[ 7] Hucho, W.H.: ’Aerodynamik des Automobils’ , 5. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2005
[ 8] Hünecke, K.: 'Modern Combat Aircraft Design' , Naval Institute Press, Annapolis, Maryland 1987
[ 9] Koppenwallner, G. 'Fundamentals of Hypersonics: Aerodynamics and Heat Transfer' , VKI ShortCourse Hypersonic Short Course Aerothermodynamics, Von Kármán Institute for Fluid Dynamics,
Rhode Saint Genese, Belgium, LS 1984-01, 1984[ 10] Kümmel, W.: ’Technische Strömungsmechanik’ , 3. Aufl., Teubner Wiebaden 2007
[ 11] Liljequist G. H.: ‘ Allgemeine Meteorologie’ , Vieweg Verlag Braunschweig, 1974
[ 12] Sigloch, H.: ’Technische Fluidmechanik’ , VDI Verlag Düsseldorf 1996
[ 13] Truckenbrodt, E.: 'Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik' , Springer-Verlag, 1983
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