View
231
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Institut für MechanikLehrstuhl Schwingungslehre und Technische Dynamik
Skript
Schwingungslehrezur Vorlesung
I
März 2003
Erarbeitet von Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperlingunter Mitwirkung von Dr.-Ing. Barbara Schmidt
und Dr.-Ing. Henner Duckstein
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc I Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Inhaltsverzeichnis Seite
1 Der lineare Schwinger mit einem Freiheitsgrad ............................................................................................... 1
1.1 Kinematik der Schwingungen ....................................................................................................................................... 1
1.1.1 Harmonische Schwingung ............................................................................................................................................... 1
1.2.1 Überlagerung zweier frequenzgleicher harmonischer Schwingungen ............................................. 2
1.1.3 Darstellung der harmonischen Schwingung in der Phasenebene......................................................... 3
1.1.4 Periodische Schwingungen.............................................................................................................................................. 6
1.1.5 Fastperiodische Schwingungen .................................................................................................................................... 7
1.1.6 Fastharmonische Schwingung....................................................................................................................................... 9
1.1.7 Zufallsschwingungen (Stochastik) .......................................................................................................................... 11
1.2 Mechanisches Modell, näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse ............................. 12
1.2.1 Allgemeines zur Modellierung .................................................................................................................................. 12
1.2.2 Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse bei der Abschätzung der niedrigsten Eigenfrequenz mittels des 1-Freiheitsgrad-Modells .............................................. 12
1.3 Freie ungedämpfte Schwingungen.......................................................................................................................... 16
1.4 Freie gedämpfte Schwingungen................................................................................................................................ 20
1.5 Erzwungene Schwingungen......................................................................................................................................... 25
1.5.1 Arten der Erregung............................................................................................................................................................. 25
1.5.2 Erzwungene Schwingungen bei Krafterregung ............................................................................................. 26
1.5.2.1 Bewegungsgleichung........................................................................................................................................................ 26
1.5.2.2 Stationäre Lösung unter Vernachlässigung der Dämpfung................................................................... 26
1.5.2.3 Resonanzerregter ungedämpfter Schwinger..................................................................................................... 28
1.5.2.4 Stationäre Lösung unter Berücksichtigung der Dämpfung.................................................................... 29
1.5.2.5 Federkrafterregung ............................................................................................................................................................. 36
1.5.3 Erzwungene Schwingungen bei Unwuchterregung .................................................................................... 37
1.5.4 Erzwungene Schwingungen bei Stützenerregung ........................................................................................ 40
1.5.5 Erzwungene Schwingungen bei Dämpferkrafterregung.......................................................................... 42
1.5.6 Zusammenstellung zur harmonischen Zwangserregung des linearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad........................................................................................ 45
1.5.7 Zur Schwingungsisolierung von Maschinen und Geräten...................................................................... 47
1.6 Ortskurven bei harmonischer Erregung ............................................................................................................. 50
1.6.1 Ortskurve (Ortskurve des reduzierten Ausschlags)..................................................................................... 50
1.6.2 Inverse Ortskurve (Ortskurve der reduzierten Erregung) ....................................................................... 51
1.6.3 Ortskurve in Polarkoordinaten ................................................................................................................................... 53
1.7 Energie- und Leistungsberechnungen................................................................................................................... 56
1.7.1 Freie ungedämpfte Schwingungen.......................................................................................................................... 56
1.7.2 Freie gedämpfte Schwingungen................................................................................................................................ 58
1.7.3 Stationäre erzwungene Schwingungen bei Krafterregung..................................................................... 60
1.8 Erzwungene Schwingungen bei nichtperiodischer Erregung .............................................................. 67
1.8.1 Lösung mittels der Stoßfunktion .............................................................................................................................. 67
1.8.2 Lösung mittels der Sprungfunktion ........................................................................................................................ 72
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc II Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Seite
2 Schwingungen in linearen Systemen mit mehreren Freiheitsgraden.............................................. 76
2.1 Definitheit von Formen und Matrizen .................................................................................................................. 76
2.2 Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen.......................................................................... 77
2.2.1 Lagrangesche Bewegungsgleichungen 2.Art................................................................................................... 77
2.2.2 Kraftgrößenmethode.......................................................................................................................................................... 80
2.2.3 Deformationsmethode ...................................................................................................................................................... 83
2.3 Freie ungedämpfte Schwingungen.......................................................................................................................... 90
2.3.1 Das allgemeine Eigenwertproblem......................................................................................................................... 90
2.3.2 Modalmatrix, Spektralmatrix, Hauptachsentransformation .................................................................. 94
2.3.3 Energiebeziehungen und Rayleigh-Quotient ................................................................................................... 96
2.3.4 Das spezielle Eigenwertproblem .............................................................................................................................. 99
2.3.4.1 Überführung eines allgemeinen Eigenwertproblems in ein spezielles.......................................... 99
2.3.4.2 SPEP mit symmetrischer Matrix ........................................................................................................................... 101
2.3.4.3 SPEP mit unsymmetrischer Matrix ..................................................................................................................... 102
2.3.5 Ausgewählte Methoden zur numerischen Lösung von Eigenwertproblemen....................... 102
2.3.5.1 Direktes Lösungsverfahren........................................................................................................................................ 102
2.3.5.2 Vektoriteration nach von Mises ............................................................................................................................. 103
2.3.5.3 Weitere Verfahren............................................................................................................................................................ 105
2.3.6 Abschätzung von Eigenfrequenzen ..................................................................................................................... 106
2.3.6.1 Abschätzung mittels Matrixnormen.................................................................................................................... 106
2.3.6.2 Abschätzung der 1.Eigenfrequenz nach Dunkerley, Neuber und Southwell ......................... 108
2.4 Freie gedämpfte Schwingungen............................................................................................................................. 114
2.4.1 Zum Eigenwertproblem bei beliebiger Dämpfungsmatrix ................................................................. 114
2.4.2 Proportionale Dämpfung (Rayleighdämpfung)........................................................................................... 117
2.5 Erzwungene Schwingungen bei periodischer Erregung ....................................................................... 121
2.5.1 Direkte Lösungsmethode ............................................................................................................................................ 121
2.5.1.1 Ungedämpfte Systeme .................................................................................................................................................. 121
2.5.1.2 Gedämpfte Systeme ........................................................................................................................................................ 126
2.5.2 Modale Methode der Entwicklung nach Eigenschwingungsformen ........................................... 133
Literatur ................................................................................................................................................................................... 138
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 1 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1 Der lineare Schwinger mit einem Freiheitsgrad
1.1 Kinematik der Schwingungen
1.1.1 Harmonische Schwingung
Reelle Darstellung
Eine harmonische Schwingung läßt sich allgemein wie folgt darstellen:
( ) .sincossin 21 CCAq(t) +=+= ϕ
Dabei haben die Parameter folgende Bedeutung:
A : Amplitude,
: Kreisfrequenz
T2= : Periodendauer (Schwingungsdauer)
Tf
2
1 == : Frequenz
ϕ+ : Phase (Phasenwinkel)
ϕ : Nullphase (Nullphasenwinkel).
Wegen
( ) AAA sincos cossin sin ϕϕϕ +=+
bestehen zwischen den Paaren der Integrationskonstanten ϕA, und 21 C,C die Beziehungen
ϕsin1 AC = , ϕcos2 AC =
bzw.
22
21 CCA += ,
2
1arctanC
C=ϕ .
Da ϕ nach der letzten Beziehung nicht eindeutig ist, d.h., da mit einem Nullphasenwinkel ϕ auch ϕ + π dieser Gleichung genügt, macht man das Ergebnis für ϕ eindeutig mittels des Vorzeichens einer der beiden Ausdrücke
A
C1arcsin=ϕ , A
C2arccos=ϕ .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 2 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Komplexe Darstellung (Zeigerbild)
Zur komplexen Darstellung der harmonischen Schwingung betrachtet man den mit der Winkelgeschwindigkeit umlaufenden „Zeiger“ (t)q in der komplexen Zahlenebene:
( ) titiiti eAeAeAetq === + ωϕϕ)( .
Zeigerbild für harmonische Schwingung
Damit wird die komlexe Amplitude
ϕiAeA =
eingeführt. Dann gilt:
,)(Im)( tqtq =
.ReIm
,)0(
21 AC,AC
tqAA,Aq
==
====
1.1.2 Überlagerung zweier frequenzgleicher harmonischer Schwingungen
Für die resultierende Schwingung
( ) 21sin)()()()( 21 ,k,Atq,tqtqtq kkk =+=+= ϕ
sollen Amplitude und Phase bestimmt werden. Aus
( )21
2121
2121 ,)()()(ϕϕϕ
ωω
iii
titi
eAeAAAAeA
eAAtqtqeAtq
+=+==
+=+==
A
Im
ReC2
C1
q
A
t+
t
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 3 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
bzw.
2211
2211
sinsinsin
,coscoscos
ϕϕϕϕϕϕ
AAA
AAA
+=+=
folgt:
( ) ( )22211
22211 ϕϕϕϕ sinAsinAcosAcosAA +++= ,
( ),cos2 122122
21 ϕϕ −++= AAAAA
.coscos
sinsinarctan
2211
2211
ϕϕϕϕϕ
AA
AA
++=
ϕ kann wieder eindeutig gemacht werden mittels des Vorzeichens von
A
AA 2211 sinsinarcsin
ϕϕϕ += .
Ergebnis der Überlagerung: Eine harmonische Schwingung mit gleicher Frequenz
Zeigerbild für Überlagerung zweier frequenzgleicher harmonischer Schwingungen
Aus dem Zeigerbild können die algebraischen Ergebnisse für A (Kosinussatz) und ϕ unmittelbar entnommen werden.
1.1.3 Darstellung der harmonischen Schwingung in der Phasenebene
Unter der Darstellung in der Phasenebene versteht man den Graphen der Funktion )(qqq = mit t als Parameter, d.h., )()( tqq,tqq == werden als Parameterdarstellung der Funktion )(qq aufgefaßt:
Im
Re
A
A2
A2 2sin
A2 2cos
A1
A1 1sin
A1 1cos
2
1
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 4 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
q
q
A
-A
-A
A
Phasenkurve allgemein
Harmonische Schwingung:
Aus
( )( )ϕ
ϕ+=
+=tq
Atq
cos)(
,sin)(
folgt die Ellipsengleichung
122
=
+
q
A
q .
Phasenkurve
Phasenkurve einer harmonischen Schwingung
q
q
t0
t1
t2
t t t0 1 2< <
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 5 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Durch entsprechende Normierung der Geschwindigkeit wird die Phasenkurve zu einem Kreis:
Normierte Phasenkurve einer harmonischen Schwingung
Bei der Darstellung in der Phasenebene geht zwar der zeitliche Verlauf verloren; sie läßt jedoch wichtige Rückschlüsse auf den Charakter der Schwingung zu.
Allgemeine Eigenschaften von Phasenkurven
Durchlauf in der oberen Halbebene von links nach rechts, in der unteren von rechts nach links,
Schnitt der q-Achse im Extremwert für q mit vertikaler Tangente,
keine anderen Punkte mit vertikaler Tangente,
Ausnahme: singulärer Punkt (Gleichgewichtslage), auf q-Achse, vertikale Tangente nicht notwendig (Beginn, Ende oder Knick der Phasenkurve).
Phasenporträt:
Als Phasenporträt bezeichnet man die Schar von Phasenkurven infolge Variierung der Amplitude (z.B. über die Anfangsbedingungen).
Für harmonische Schwingungen erhält man so eine Schar konzentrischer Ellipsen bzw. Kreise.
Als Grenzfall der Phasenkurve ist eine Gleichgewichtslage ein singulärer Punkt.
Als verschiedene Typen von singulären Punkten unterscheidet man Wirbel-, Strudel-, Knoten- und Sattelpunkte.
Im vorliegenden Fall ist der singuläre Punkt )00( == q,q ein Wirbelpunkt.
-A
-A
A
A
q
q
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 6 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Phasenporträt für harmonische Schwingungen
1.1.4 Periodische Schwingungen
Es wird jetzt die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis betrachtet:
( ) ,21sin)()()()( 21 ,k,tAtq,tqtqtq kkkk =+=+= ϕ
d.teilerfrem2
1
1
2 p,q,q
p
T
T ==
Dann ist q(t) periodisch mit der Periodendauer
21 qTpTT ==
bzw. mit der Grundkreisfrequenz
qp21 == .
Eine Verallgemeinerung ist die Überlagerung beliebig vieler harmonischer Funktionen mit rationalen Frequenzverhältnissen.
Das Ergebnis ist eine periodische Funktion.
Umkehrung:
Jede (stückweise stetige und monotone) periodische Funktion q(t) läßt sich in eine Fourierreihe nach harmonischen Funktionen entwickeln:
q
q
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 7 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
( )
( ) ( )[ ]∑
∑∞
=
∞
=
++=
++=
1210
10
sincos
sin)(
kkk
kkk
tkCtkCA
tkAAtq
ωω
ϕ
mit
k
k
k
kkkkk A
C
C
C,CCA 1
2
122
21 arcsinarctan ==+= ϕ .
Aus den Orthogonalitätsbedingungen
∫ ∫
≠=
==kjfür
kjfürdxkxjxdxkxjx
2
0
2
0,0
,sinsincoscos
∫ =dxkxjx2
0
0sincos
erhält man die Fourierkoeffizienten
dttktqT
Cdt,tktqT
Cdt,tqT
AT
k
T T
k ∫∫ ∫ ===0
2
0 0
10 )sin()(2
)cos()(2
)(1 ωω
mit
T2= .
1.1.5 Fastperiodische Schwingungen
Fastperiodische Schwingungen können beliebig genau durch periodische angenähert werden, wie z.B. die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit irrationalem Frequenzverhältnis:
,tqtqtq )()()( 21 += 21)(sin)( ,k,tAtq kkkk =+= ϕ .
Das Frequenzverhältnis kann durch die rationale Zahl q
p mit hinreichend großen p, q beliebig
genau angenähert werden:
q
p
T
T ≈=2
1
1
2 .
Nach der Zeit T = pT1 = qT2 erfolgt eine fast genaue Wiederholung des Schwingungszustandes.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 8 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Beispiel: Schwebung
Eine Schwebung entsteht z.B. durch Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit geringer Frequenzdifferenz:
t,AtAq 2211 sinsin += 2121 +<<− .
Aus
( ) ( )ttAA
ttAA
tq 2121
2121 sinsin
2sinsin
2)( +
++−
−=
folgt mittels der Identität
2sin
2cos2sinsin
+−=+
die Darstellung
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
sin2
cos2
cos2
sin)( 212121
212121
ttAA
ttAAtq
+−++
+−−= .
Mit
der mittleren Frequenz 2
21m
+= ,
der Differenzfrequenz 2
21d
−=
und den veränderlichen Koeffizienten
( ) ( ) tAACt,AAtC d*
d* cossin)( 212211
+=−=
erhält man die Darstellung
ttCttCtq m*
m* sin)(cos)()( 21 +=
bzw.
[ ])(sin)()( tttAtq *m
* ϕ+=
mit
,tAAAAtCtCtA d*** 2cos2)()()( 21
22
21
22
21 ++=+=
)(
)(arcsintanarctan)( 1
21
21
tA
tCt
AA
AAt
*
*
d* =
+−
=ϕ .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 9 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Wegen md << sind )()( 21 tC,tC ** bzw. )()( t,tA ** ϕ im Vergleich zur Schwingung mit m
langsam veränderlich.
3
3−
q t( )
A t( )
A t( )−
100 t
Schwebung
Die Funktion )(tA* bestimmt die Einhüllende des Kurvenverlaufs.
Aus der Formel für *A folgt:
21*
21 AAAAA +≤≤− .
1.1.6 Fastharmonische Schwingung
Von einer fastharmonischen Schwingung spricht man, wenn die Parameter einer harmonischen Schwingung durch langsam veränderliche Parameter A=A(t), ω = ω(t) und/oder ϕ = ϕ(t) ersetzt werden.
[ ]))(sin)()( (ttttAtq ϕ+= .
Dabei wird der folgende Ausdruck als augenblickliche Kreisfrequenz bezeichnet:
[ ]))( (tttdt
da ϕ+= .
Demzufolge ist eine phasenveränderliche Schwingung auch frequenzveränderlich.
Beispiele für amplitudenveränderliche Schwingung:
Abklingende Schwingung: 0)( >= − ,AetA
q(t)
t
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 10 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
tq t( )
d
d
ω 1
q t( )
q t( )
A t( )
A t( )−
t
Abklingende Schwingung: a) Zeitlicher Verlauf b) Phasenkurve
In diesem Fall ist der singuläre Punkt )q,(q 00 == ein (stabiler) Strudelpunkt.
Angefachte Schwingung: 0)( >= h,AetA ht
In diesem Fall ist der singuläre Punkt )q,(q 00 == ein (instabiler) Strudelpunkt.
Amplituden- oder frequenzmodulierte Schwingungen:
Von modulierten Schwingungen spricht man, wenn A(t) oder ω(t) nichtmonoton veränderlich sind (Funktechnik).
Überkritisch gedämpfte „Schwingung“:
Es sei
00)( 212121 <<+= ,,eCeCtq tt .
Daraus folgt
( ) 0max)( 21221121 >−=+= cc,,,eCeCtq tt ,
( ) ( )
( ) ( ) ceCeC
eCeC
e
e
eCeC
eCeC
q(t)
(t)qtctc
tctc
tct
ct
tt
tt
tt−=
++=
++= ++
++
∞→∞→∞→ 21
21
21
21
21
2211
21
2211 limlimlim
.
q(t)
t q
q ω
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 11 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Phasenkurven für überkritische Dämpfung
In diesem Fall ist der singuläre Punkt )q,(q 00 == ein (stabiler) Knotenpunkt.
Wegen der unendlich langen Zeit bis zum Erreichen des Knotenpunktes schneiden die Phasen-kurven die Abszisse hier nicht vertikal!
1.1.7 Zufallsschwingungen (Stochastik)
Zufallsschwingungen sind nur noch statistisch beschreibbar.
Hier sei lediglich das Beispiel einer Realisierung skizziert:
Realisierung eines stochastischen Prozesses
q t ( )
t
q
q
q cq = -
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 12 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.2 Mechanisches Modell, näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse
1.2.1 Allgemeines zur Modellierung
Voraussetzung:
Mechanisches System mit einem Freiheitsgrad mit einem Trägheitsglied (starrer Körper), einem linear-elastischen Federglied und einem geschwindigkeitsproportionalen (viskosen) Dämpfungsglied
Problem der Modellierung:
Diese Glieder sind Idealisierungen, die niemals exakt zutreffen.
Streng genommen ist jedes System ein Kontinuum, d.h. ein System mit „verteilten Parametern“, so daß es eine unbegrenzte Anzahl von Eigenfrequenzen hat; i.d.R. interessiert jedoch nur eine bestimmte Anzahl der niedrigsten Eigenfrequenzen
Ein starrer Körper ist eine gute Näherung, falls die Frequenzen der Schwingungen klein sind im Vergleich zur kleinsten Eigenfrequenz des Körpers.
Eine masselose elastische Feder ist eine gute Näherung, falls ihre Eigenmasse klein ist im Vergleich zu der des starren Körpers.
1.2.2 Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse bei der Abschätzung der niedrigsten Eigenfrequenz mittels des 1-Freiheitsgrad-Modells:
Die näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse wird in folgenden Schritten vorgenommen:
Ersetzen der Schwingungsform für die niedrigste Eigenfrequenz durch die Form der statischen Auslenkung infolge einer Einzelkraft (eines Einzelmomentes ) entsprechend der Wirkung des Trägheitsgliedes.
Bestimmung einer Ersatzmasse durch entsprechende Berücksichtigung einer mitschwingenden Federmasse.
Zug-Druck-Stab
Massebehafteter Zug-Druck-Stab mit Einzelmasse
Aus der statischen Verformung
)()()()( tql
zz,tw,tq
l
zz,tw ==
zl
dz
dmSt
w z,t ( )
q t w l,t ( )= ( )
m
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 13 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
erhält man mit der Stabmasse Stm und der Elementmasse StSt ml
dzdm =
die kinetische Energie:
∫+=)(m
St
St
dmwqmT 22
2
1
2
1 ∫ =+=
1
0
222
2
1
2
1
l
z,qdmqm St ,
2
2
1qmT Ers =
mit der Ersatzmasse
∫+=1
0
2dmmm StErs
.3
1StErs mmm +=
Torsionsstab
Massebehafteter Torsions-Stab mit Einzeldrehmasse Analog dem Zug-Druck-Stab erhält man hier
das Ersatzmassenträgheitsmoment:
StErs JJJ3
1+=
mit dem Massenträgheitsmoment des Stabes mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt
pppSt
St IlIA
I
A
mJ === .
Biegebalken
Massebehafteter Biegebalken mit Punktmasse
l
Jc I Ad p , ,
z
ya
l
q t( )v z,t( )
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 14 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Aus der statischen Verformung
,tqav
zvz,tv
St
St )()(
)()( = vSt(z) – statische Biegelinie unter Einzelkraft bei z = a
erhält man mit dem Massendifferential BB ml
dzdm =
die kinetische Energie
21
02
2222
)
)
2
1
2
1
2
1
2
1qd
(v
(vmqmdmvqmT
)(mBB
B
∫ ∫+=+= ,
l)(zv(v,l
a,
l
zSt ==== ) .
Aus
2
2
1qmT Ers =
erhält man schließlich die Ersatzmasse
d(v
(vmmm BErs ∫
+=1
0
2
)
).
Speziell für a = l/2 gilt:
2
10
3
413
)
) 2 ≤≤
−= ,
(v
(v,
∫ =
−
2
1
0
2
35
17
3
4132 d .
Damit folgt die Ersatzmasse:
BErs mmm35
17+= .
Fehlerabschätzung für Grenzfall m = 0: Der exakte Wert beträgt
EI
lex
2
= .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 15 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Für den Schätzwert mittels der Ersatzmasse ergibt sich
m,l
EIc,
m
cErsB
Ers
B
35
17483
==≈ ,
EI
l,
EI
l 22
19419
1
17
4835 =⋅≈ .
Damit beträgt der relative Fehler + 0,00723.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 16 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.3 Freie ungedämpfte Schwingungen
Sind bei einem ungedämpften mechanischen System mit einem Freiheitsgrad die eingeprägten Kräfte (bzw. Momente) linear vom Ausschlag abhängig (man spricht in diesem Falle von linearen Rückstellkräften bzw. –momenten), dann läßt sich die Bewegungsgleichung immer in der Form
02 =+ qq
darstellen mit q als der verallgemeinerten Bewegungskoordinate. Das gilt, wie im folgenden ausgeführt wird, auch, wenn zusätzlich noch konstante Kräfte (bzw. Momente) vorhanden sind.
Die Bewegungsgleichung ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung und hat die allgemeine Lösung
( ) ( ) ( )CCtq sincos 21 +=
bzw.
( ) ( )ϕ+= Atq sin
mit den beiden Integrationskonstanten C1 und C2 bzw. A und ϕ, was durch Einsetzen leicht zu beweisen ist (siehe auch Abschnitt 1.1.1).
Die Konstanten C1 und C2 bzw. A und ϕ sind mit Hilfe von zwei Anfangsbedingungen zu bestimmen.
ω ist die Kreisfrequenz der freien ungedämpften Schwingungen.
Sie ist eine nur von den Systemparametern des Schwingers abhängige Konstante und wird deshalb
Eigenkreisfrequenz
des ungedämpften Schwingers genannt.
Die Eigenkreisfrequenz ω des Schwingers kann unmittelbar aus der Bewegungsdifferential-gleichung entnommen werden.
Aus ω erhält man
die Eigenfrequenz des Schwingers
f2
=
und die Periodendauer (auch: Schwingungsdauer) der Eigenschwingungen
T2= .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 17 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
m
c cy=mg+cq
mg
qyst y
my=mq.. ..
Beispiel : Reibungsfreier horizontaler Feder-Masse-Schwinger
Mit der Masse m und der Federsteifigkeit c erhält man für die Bewegungskoordinate x, deren Null-Lage durch den völlig entspannten Zustand der Feder bestimmt sei, die Bewegungsgleichung
0=+ cqqm
bzw.
02 =+ qq
mit der Eigenkreisfrequenz
m
c= .
Reibungsfreier horizontaler Feder-Masse-Schwinger
Damit findet man mittels der obigen Formeln auch f und T .
Der Einfluß von Gewichtskräften
Wird der einfache Feder-Masse-Schwinger vertikal im Gravitationsfeld der Erde angeordnet, so kann die Rechnung entweder mit einer für die entspannte Feder verschwindenden Koordinate y oder mit einer für die statische Gleichgewichtslage verschwindenden Koordinate q ausgeführt werden. Mit der statischen Auslenkung
c
mgyst =
gilt zwischen beiden der Zusammenhang
qc
mgqyy st +=+= , cqmgcy += , qy = .
Vertikaler Feder-Masse-Schwinger im Gravitationsfeld
So erhält man die beiden Bewegungsgleichungen
mgcyym =+ ,
0=+ cqqm .
Die erste, inhomogene Gleichung hat die Partikulärlösung
c
mgyp = ,
c
m
µ = 0
q
mg
mq..
FN
cq
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 18 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
so daß durch die allgemeinen Lösungen beider Gleichungen der oben angegebene Zusammen-hang zwischen den Koordinaten bestätigt wird.
Man erkennt: Ist die Bewegungskoordinate auf die statische Gleichgewichtslage bezogen, so gleichen sich Gewichtskraft und statischer Federkraftanteil stets aus und so können deshalb beide unberücksichtigt bleiben.
I.a. gilt das jedoch nur, wenn die Gleichgewichtsbedingungen zwischen Gewichtskraft und statischem Federkraftanteil am ausgelenkten und am nichtausgelenkten System überein-stimmen. Bei ebenen Drehbewegungen eines starren Körpers ist diese Voraussetzung z.B. erfüllt, wenn alle Schwerpunkte und alle Federangriffspunkte im statischen Gleichge-wichtszustand in Höhe des Lagers liegen:
m1 m2
c
Schwinger mit ständigem Gleichgewicht zwischen Gewichtskräften und statischem Federkraftanteil
Anderenfalls müssen Gewichtskräfte und statische Federkräfte berücksichtigt werden, weil sie für den ausgelenkten Zustand zusätzliche Momente hervorrufen:
m
mg mg
c FstFst
a aa 2hϕ
hsin hϕ ϕ~~
Schwinger, bei dem Gewichtskraft und statischer Federkraftanteil im ausgelenkten Zustand ein Moment bilden
Für die skizzierte homogene Rechteckscheibe ist
mgFst =
der statische Federkraftanteil.
Die Bewegungsgleichung lautet hier
( ) 02 =++ ϕϕ mghcaJ A , ( )22
3
4ha
mJ A +=
mit der Eigenkreisfrequenz
( )( )22
2
4
3
ham
mghca
++= .
A
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 19 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Die Eigenfrequenz dieses vertikalen Schwingers ist also größer als diejenige des gleichen Schwingers bei horizontaler Anordnung.
Es sei noch gezeigt, wie die Eigenfrequenz des vertikalen Feder-Masse-Schwingers aus der gemessenen statischen Auslenkung ermittelt werden kann:
sty
gg
mg
c
m
c ===2 ,
sty
gf
2
1
2== .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 20 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.4 Freie gedämpfte Schwingungen
Jede freie Schwingung klingt mit der Zeit infolge Umsetzung von mechanischer Energie in Wärmeenergie ab. Die einfachste mathematische Behandlung gestattet die geschwindigkeits-proportionale (viskose) Dämpfung, die praktisch in guter Näherung in einem Flüssigkeits-dämpfer realisiert ist. Die Dämpfungskraft wird durch den Widerstand eines in einem Zylinder, der mit einer Newtonschen Flüssigkeit gefüllt ist, bewegten Körpers (Kolben) hervorgerufen.
Für jedes geschwindigkeitsproportional gedämpfte mechanische System mit linearer Rückstellkraft und mit einem Freiheitsgrad läßt sich die Bewegungsgleichung in der Form
02 20 =++ qqq bzw. 02 2
00 =++ qqDq
darstellen.
In diesen Gleichungen bedeutet
0 die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingungen,
auch: Kennkreisfrequenz,
die Abklingkonstante und
0
D = den Dämpfungsgrad (auch: Lehrsches Dämpfungsmaß).
Aus der zweiten Gleichung ist unmittelbar zu erkennen, daß der Dämpfungsgrad D ein dimensionloser Dämpfungskennwert ist, was ihn für vergleichende Betrachtungen besonders geeignet macht. Die Abklingkonstante δ hat dementsprechend die gleiche Dimension wie ω0, d.h., sie wird in s-1 gemessen.
Beispiel
Es wird wieder der horizontale Feder-Masse-Schwinger von Abschnitt 1.3 betrachtet, jedoch erweitert um einen Flüssigkeitsdämpfer mit der Dämpfungskonstanten b, welche die physika-lische Dimension Kraft/Geschwindigkeit hat.
Horizontaler reibungsfreier Feder-Masse-Schwinger mit Flüssigkeitsdämper
Beispiel für die physikalische Einheit:
[ ]s
kg
m
Nsb == .
c
m
µ = 0
qb mg
mq..
FN
bq.
cq
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 21 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Die Dämpfungswerte sind im konkreten Fall nicht ohne weiteres bekannt. Häufig werden Erfahrungswerte oder aus dem gemessenen Schwingungsverhalten ermittelte Werte benutzt.
Für den betrachteten Schwinger ergibt sich die Bewegungsgleichung
0=++ cqqbqm .
Daraus folgt:
m
c=0 , m
b
2= ,
cm
bD
2= .
Lösung der Bewegungsgleichung
Mit dem Lösungsansatz
( ) WCetq =
erhält man die charakteristische Gleichung
02 20
2 =++ ,
als deren Lösung sich die charakteristischen Exponenten
20
221, −±−= bzw. ( )12
021 −±−= DD,
ergeben.
Die Art der Lösung q(t) ist offensichtlich davon abhängig, ob der Dämpfungsgrad D größer als, gleich oder kleiner als 1 ist. Im folgenden soll nur der für die Schwingungslehre interessanteste Fall der sog. unterkritischen Dämpfung, d.h. der Fall D < 1 behandelt werden.
Unterkritische Dämpfung ( 01,D << ):
Die charakteristischen Exponenten 21, sind komplexwertig:
iDi, ±−=±−= 021 .
Dabei bedeutet:
1−=i die imaginäre Einheit,
20
220 1 D−=−= die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingungen.
Mit diesen komplexen charakteristischen Exponenten erhält man entsprechend dem Lösungs-ansatz für die Bewegungsgleichung die Lösung
( ) ( )tititt eCeCeeCeCtq ωω −− +=+= 212121 .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 22 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Mit Hilfe der Eulerschen Formel
iei sincos +=
folgt
( ) ( ) ( )[ ]iCiCetq W sincossincos 21 −++= − .
Mit den neuen, reellen Integrationskonstanten
211 CCC += , ( )212 CCiC −=
findet man schließlich die allgemeine Lösung in der Gestalt
( ) ( )CCetq W sincos 21 += −
bzw.
( ) ( )ϕ+= − Aetq W sin .
Im Vergleich zur Lösung für den ungedämpften Schwinger ist die harmonische Funktion jetzt mit der Funktion ( )−exp multipliziert, so daß die Schwingungen innerhalb der Enveloppe
(Einhüllenden) ( )−± exp verlaufen.
Obwohl die Schwingung nicht mehr periodisch ist, spricht man also wegen des harmonischen multiplikativen Anteils der Lösung noch von einer Eigenkreisfrequenz.
Die Eigenkreisfrequenz ω ist nach Beziehung (19) kleiner als die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingungen, d.h., die Periodendauer als Zeitdauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichsinnigen Nulldurchgängen ist größer.
Für kleine Dämpfung ( 0<< bzw. 1<<D ) ist ω nur wenig kleiner als 0 , so daß zur
Bestimmung der Eigenkreisfrequenz die Dämpfung näherungsweise unberücksichtigt bleiben kann. Dann ist die Amplitude Ae W− nur langsam veränderlich, und man spricht von einer fastharmonischen Schwingung.
Bestimmung der Integrationskonstanten
Am Beispiel der zweiten Gestalt für die Lösung, d. h. der Darstellung mittels Amplitude und Nullphase, soll die Bestimmung der Integrationskonstanten aus den beiden Anfangsbedingungen
( ) 00 qtq == , ( ) 00 vtq ==
demonstriert werden.
Unter Berücksichtigung der zeitlichen Ableitung der Lösung,
( ) ( ) ( )[ ]ϕϕ +−+= − Aetq W sincos ,
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 23 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
erhält man die folgenden beiden Bestimmungsgleichungen für A und ϕ :
0sin qA =ϕ , ( ) 0sincos vA =− ϕϕ .
Nach Einsetzen der ersten in die zweite folgt
( )00
1cos vA +=ϕ .
Aus dieser und der ersten Gleichung findet man dann leicht
( )2002
20
1vqA ++= ,
00
0arctanv
+
=ϕ .
Das logarithmische Dekrement
Unter dem logarithmischen Dekrement der Schwingungen versteht man den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender maximaler oder minimaler Werte der schwingenden Größe bei abklingenden freien Schwingungen:
( )( )Ttq
tq
+=
0
0ln mit T2
= .
Es ist zu erkennen, daß 0t bei viskoser Dämpfung auch ein beliebiger Zeitpunkt sein kann.
Allerdings lassen sich Extremwerte besser messen. Außerdem gilt auch
( )( )NTtq
tq
N +=
0
0ln1
;
denn nach Einsetzen der Lösung wird dieser Ausdruck von N unabhängig:
( )( )[ ] ( )
NNTt
N
expln1
exp
expln
1
0
0 =+−
−= ,
= .
Ersetzt man und T durch den Dämpfungsgrad D, so folgt
212
D
D
−= ,
( ) 222D
+= .
Das logarithmische Dekrement kann leicht mit Hilfe eines sog. Ausschwingversuches gemessen werden.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 24 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Beispiel
Für den oben behandelten horizontalen Feder-Dämpfer-Masse-Schwinger sei gegeben:
s,T 61= , kgm 10= , ( )
( ) 420
=+ Ttx
tx o .
Zu bestimmen seien die Federsteifigkeit c und die Dämpfungskonstante b.
Man erhält:
693104ln2
1,== ,
( )10970
2 22,D =
+= ,
192732 −== s,T
,
1
20 95131
−=−
= s,D
,
m
N,mc 11562
0 == ,
s
kg,mcDb 66482 == oder
s
kg,
s
kg
,T
m b
Tmb 6648
6124ln1022
,2 =⋅
⋅⋅==⇒== δδ .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 25 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.5 Erzwungene Schwingungen
1.5.1 Arten der Erregung
Um die erzwungenen Schwingungen, die hier allein behandelt werden sollen, richtig einordnen zu können, sollte man auch die anderen Grundarten der Erregung von Schwingungen kennen.
Die bisher betrachteten freien Schwingungen sind dadurch charakterisiert, daß keine Energiezufuhr von außen erfolgt und die Bewegungsgleichung die Zeit t nicht explizit enthält.
Auch bei den sog. selbsterregten Schwingungen enthält die Differentialgleichung die Zeit t nicht explizit. Die Schwingungen werden in diesem Falle durch Energiezufuhr von einer nichtschwingenden Energiequelle erregt, welche durch die Bewegung des Systems selbst geregelt wird. Man könnte sich das durch Betrachtung einer „negativen Dämpfung“, die dann eine Anfachung darstellt, klarmachen. Bei einem linearen Glied dieser Art würden die Amplituden mit wachsender Zeit unendlich groß werden. Deshalb sind die Differentialgleichungen selbsterregter Schwingungen, die stationäre periodische Lösungen zulassen, immer nichtlinear. Ein wichtiges technisches Beispiel sind die Schwingungen in Gleitlagern. Auch die mit Hilfe von Streich- oder Blasinstrumenten erzeugten Töne sind das Resultat selbsterregter Schwingungen.
Enthält die Bewegungsgleichung die Zeit t explizit, so spricht man von Fremderregung. Hier unterscheidet man zwischen Parameter- und Störungserregung. Bei der Parametererregung werden die Schwingungen durch eine vom Zustand des Systems unabhängige zeitliche Änderung eines oder mehrerer seiner Parameter, wie z.B. der Steifigkeit, erregt. Mathematisch ist die Parametererregung mit Differentialgleichungen mit veränderlichen Parametern verbunden; typischerweise liegen dynamische Stabilitätsprobleme vor.
Die Störungserregung, welche erzwungene Schwingungen hervorruft, entspricht einem zeitabhängigen, von den Schwingungskoordinaten unabhängigen Störglied. Im einfachsten Falle hat man es dann mit einer linearen Bewegungsgleichung mit konstanten Koeffizienten und einem zeitabhängigen Störglied auf der rechten Seite zu tun.
Im folgenden sollen solche linearen erzwungenen Schwingungen untersucht werden.
Man kann die Schwingungen auch nach dem zeitlichen Verlauf der Erregung unterscheiden. Besonders einfach ist die sog. harmonische Erregung, eine Erregung in Form von cos- oder sin-Funktionen, zu behandeln. Die folgenden Ausführungen sind auf solche harmonischen Erregungen beschränkt. Bei linearen Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip, d.h., bei gleichzeitigem Vorhandensein mehrerer Erregungen können diese einzeln behandelt und die Lösungen aufaddiert werden. Da nun jede periodische Funktion in eine Fourierreihe, also in eine Reihe von Harmonischen, entwickelt werden kann, ist mit der Kenntnis der Lösung für harmonische Erregung auch der Aufbau der Lösungen für beliebige periodische Erregung bekannt.
Hier kann man nochmals verschiedene Arten der Erregung unterscheiden je nach der Art der Abhängigkeit des Störgliedes von der Frequenz. Ist die Erregung frequenzunabhängig, so soll sie Krafterregung heißen. Bei Wegkoordinaten erfolgt dann eine Erregung durch eine Kraft mit konstanter Amplitude, bei Winkelkoordinaten durch ein entsprechendes Moment. Erfolgt die Erregung durch einen Unwuchtrotor mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, so ist die
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 26 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Kraftamplitude dem Quadrat der Erregerfrequenz proportional. Auch bei sogenannter Stützenerregung kann eine Abhängigkeit der Erregung von der Erregerfrequenz auftreten.
1.5.2 Erzwungene Schwingungen bei Krafterregung
1.5.2.1 Bewegungsgleichung
Der gedämpfte Schwinger von Abschnitt 1.4 werde durch eine harmonisch veränderliche Kraft mit der konstanten Amplitude F erregt:
( ) tFtF Ωsinˆ= .
Damit erhält man für das skizzierte System die Bewegungsgleichung
( ) tFtFcqqbqm Ω==++ sinˆ
bzw.
tqqqDq Ω=++ sinˆ2 020
200 ωωω
Der gedämpfte horizontale Feder- Masse-Schwinger unter harmonischer Krafterregung
mit (siehe Abschnitt 1.4)
m
c =20 ,
cm
bD
2=
und der statischen Auslenkung infolge einer konstanten Kraft der Größe F
c
Fq
ˆˆ0 = .
1.5.2.2 Stationäre Lösung unter Vernachlässigung der Dämpfung
Bei Vernachlässigung der Dämpfung vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu
qqq sinˆ020
20 =+ .
Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe der allgemeinen Lösung qh der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung qp der inhomogenen Gleichung:
ph qqq += .
Die Lösung der homogenen Gleichung wird auch bei sehr kleiner Dämpfung nach hinreichend langer Zeit auf vernachlässigbar kleine Ausschläge abgeklungen sein, so daß dann in sehr guter
q
mF(t)
F(t)
mg
cq
FN
µ=0
b
c
mqbq
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 27 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Näherung gilt:
qqq p sinˆ== , qq sinˆ2−= .
Diese verbleibende stationäre Schwingung wird auch als reine Zwangsschwingung bezeichnet. Die Vernachlässigung der Dämpfung bezieht sich also ausschließlich auf die Bestimmung dieser reinen Zwangsschwingung. Nach Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewegungsgleichung folgt
( ) qq sinˆsinˆ 020
20
2 =+−
bzw.
0220
20 ˆˆ qq
−= .
Nach Einführen des sog. Abstimmungsverhältnisses (auch einfach Abstimmung genannt)
0
=
kann man die Amplitude q in den dimensionslosen Frequenzgang H0 überführen:
.q
qH
20
0 1
1ˆ
ˆ
−==
Ist die Erregerfrequenz im Vergleich zur Eigenfre-quenz des Schwingers sehr groß, d.h., gilt 1>> , so hat die Feder näherungs-weise keine Wirkung, und es gilt
200
1HH −=≈ ∞ .
Dimensionsloser Frequenzgang und Vergrößerungsfunktion für den ungedämpften Schwinger
Schließlich wird noch der Betrag von 0H , auch als Vergrößerungsfunktion bezeichnet,
dargestellt:
.1
1200 HV
−==
2
-2
-4
00,5 1 2,5
1H V, V0
H0
H V0 0,
H0 00
η
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 28 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Der Frequenzgang 0H bzw. seine graphische Darstellung lassen folgende Fallunterscheidung in
Abhängigkeit von der Größe der Abstimmung zu:
( )01 == : Resonanz
Formal ergibt sich ±∞=0H (Polstelle), d.h., es existiert keine stationäre Lösung
der Form qq sinˆ= .
( )01 << : Unterkritische Erregung, der Schwinger ist hoch abgestimmt; 0H ist positiv,
d.h., Erregung und Schwingung verlaufen gleichphasig.
( )01 >> : Überkritische Erregung, der Schwinger ist tief abgestimmt; 0H ist negativ, d.h.,
Erregung und Schwingung verlaufen gegenphasig.
1.5.2.3 Resonanzerregter ungedämpfter Schwinger
Mit 0= folgt aus der Bewegungsgleichung die inhomogene Differentialgleichung
tqqq 0020
20 sinˆ=+
mit der Lösung
( ) pph qtAqqq ++=+= ϕ0sin .
Da jede harmonische Funktion mit der Kreisfrequenz 0 eine Lösung der homogenen Gleichung
ist, muß die partikuläre Lösung eine andere Gestalt haben. Mittels der Methode der Variation der Konstanten oder durch Probieren findet man
ttqqp 000 cosˆ2
1−= mit ( )tttqqp 00000 sincosˆ2
1 −−= ,
+= tttqqp 000
200 cos
2
1sinˆ .
Einsetzen in die Bewegungsgleichung bestätigt die Richtigkeit:
tqqq pp 0020
20 sinˆ=+ .
Die Gesamtlösung
( ) ( ) ttqtAtq 0000 cosˆ2
1sin −+= ϕ
nimmt nach Anpassung an die Anfangsbedingungen
( ) 00 ==tq , ( ) 00 ==tq
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 29 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
die graphisch dargestellte Gestalt
( ) ( )tttxtq 0000 cossinˆ2
1 −=
an. Theoretisch wird die Schwingung im Rahmen der als Enveloppen (Einhüllenden) eingezeichneten Geraden mit wachsender Zeit immer weiter anwachsen. Praktisch wird nach einer gewissen Zeitdauer das Modell seine Gültigkeit verlieren, sei es durch Zerstörung des mechanischen Systems, sei es durch die vorhandene kleine Dämpfung, sei es durch zunächst vernachlässigte Nichtlinearitäten oder aus anderen Gründen.
94.247
94.247751
q x( )
e x( )
e x( )
30 π.0 x0 15.71 31.42 47.12 62.83 78.54 94.25
100
50
0
50
100
Schwingungsverlauf bei Resonanzerregung des ungedämpften Schwingers
1.5.2.4 Stationäre Lösung unter Berücksichtigung der Dämpfung
Wir gehen nun von der vollständigen Bewegungsgleichung aus, d.h., es gilt
( )tqqqDq 020
2002 =++
mit
qq sinˆ00 = .
Wieder gilt
ph qqq += , ( )ϕ+= − Aeq W
h sin .
Für die nach hinreichend langer Zeit allein verbleibende reine Zwangsschwingung muß wegen des Dämpfungsgliedes im Vergleich zu Abschnitt 1.5.2.3 der allgemeinere Ansatz
Enveloppe
0 10π 20π 30π
ω0t
100
50
0
-50
-100
2ˆ
)(
0xtq
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 30 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
( )qqqqq p +=+== sinˆcosˆsinˆ 21
verwendet werden.
Zur Bestimmung der konkreten Gestalt der Lösung wird der letzte, von Amplitude q und Nullphase abhängige Ausdruck gewählt. Die Ermittlung der noch unbestimmten Konstanten q und läßt sich etwas effektiver und eleganter durch Übergang zur Rechnung im Komplexen
gestalten. Dazu interpretieren wir die Erregerfunktion ( )tq0 als Imaginärteil einer komplexen
Funktion (t)q0 , lösen die Differentialgleichung im Komplexen und finden schließlich die
eigentliche Lösung ( )tq als Imaginärteil der komplexen Lösung ( )tq :
000 Imsinˆ qqq == , i(qeqq ti sincosˆˆ 000 +== Ω ,
( ) qqq Imsinˆ =+= , ( ) titiiWi eqeeqeqq ΩΩ ~ˆˆ === + ,
ieqq ˆ~ = .
(Oft wird auch eine cos-Erregung angenommen und bei der komplexen Rechnung der Realteil verfolgt.)
Aus der komplexen Differentialgleichung
020
2002 qqqDq =++
erhält man nach Einsetzen:
( ) 020
200
2 ˆ2~ qDiq =++− .
Führt man wieder einen jetzt komplexen dimensionslosen Frequenzgang
01 ˆ
~
q
qH =
ein, so folgt
( ) 121 21 =+− DiH
bzw. nach Multiplikation mit Di21 2 −−
( ) ( ).
21
21222
2
1D
DiH
+−−−=
Vergrößerungsfunktion
Aus der Darstellung des Frequenzganges
( )iVeVHiHH i sincosImRe 11111 +==+=
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 31 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
mit Re und Im als Real- und Imaginärteil erhält man als seinen Betrag
( ) ( )21
211 ImRe HHV +=
jetzt die Vergrößerungsfunktion
( ).
41
12222
1
DV
+−=
0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
D = 0
D = 0.05
V1(η)
D = 0.1
D = 0.2
D = 0.7071
η
Vergrößerungsfunktion 1V
Es ist von Interesse, spezielle − Werte in Resonanznähe zu vergleichen:
1. 1= , 0=
Für kleine Dämpfung kann man diesen Wert wie beim ungedämpften Schwinger als Resonanzstelle betrachten, und man erhält für die Vergrößerungsfunktion
( )D
V2
111 == .
2. res= , 0res=
Streng genommen definiert man als Resonanzstelle den -Wert für das Maximum der Vergrößerungsfunktion:
η
V1(η)
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 32 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Aus dem Differentialquotienten
( )( )[ ]2
32222
221
41
814
2
1
D
DV
+−
+−−−=∂∂
erhält man die notwendige Bedingung zur Bestimmung von res
01 =∂∂
= res
V
bzw.
021 22 =−− Dres
mit der positiven Lösung
221 Dres −= .
Diese Lösung ist offensichtlich nur unter der Bedingung2
2≤D reell. Dann läßt sich auch
zeigen, daß die zweite Ableitung negativ ist, und man erhält
( )2max11
12
1
DDVV res
−=== .
3. 21 Dd −== , 200 1 Dd −===
Man erkennt, daß die Resonanzfrequenz nicht mit der Eigenfrequenz des gedämpften Schwingers übereinstimmt. Für eine mit dieser übereinstimmende Erregerfrequenz erhält man
( )2
1
43
12
1
DD
V d
−== .
Unter der Voraussetzung 2
20 << D gilt offenbar
1<< dres und ( ) ( ) ( )1111 =>=>= VVV dres .
Nacheilwinkel
Aus dem Lösungsansatz folgt für den mit der Darstellung des Frequenzganges mittels Real- und Imaginärteil eingeführten Nullphasenwinkel unmittelbar
21
2arctan
D
−−= .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 33 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Wegen des negativen Vorzeichens ist es üblich, statt dessen den sog. Nacheilwinkel
−=1
zu verwenden, für den gilt
.1
2arctan
21
D
−=
Da die arctan-Funktion im Intervall ( ), 20 nicht eindeutig ist, betrachten wir noch den aus der
obigen Darstellung von 1H und 1V folgenden Ausdruck
( ) ( )0
21
2sin
2221 >
+−=
D
D,
woraus man
≤≤ 10
erhält.
Der Name Nacheilwinkel wird plausibel, wenn man die Erregung ( )tq0 und die Schwingung
( )tq in der komplexen Ebene als Projektionen der rotierenden Zeiger ( )tq0 und ( )tq auf die
imaginäre Achse interpretiert (siehe Skizze).
Aus der Gleichung für 1 folgt
( ) 001 == gleichphasige Schwingung,
( )2
11 == näherungsweise Resonanz,
( )=∞→ 1lim gegenphasige Schwingung.
Zeigerbild zur Veranschaulichung des Nacheilwinkels
Im
Re
q(t)
q (t)0
q = q e0 0
i tΩ
q = qei( t-Ω ψ)ψ1
Ω ψt- 1Ωt
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 34 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
0 0.5 1 1.5 20
45
90
135
180
90
D = 0
D = 0.2
ψ1(η)
D = 0.1D = 0.7071
D = 0.05
η
Nacheilwinkel ψ1 [Grad]
Darstellung der Lösung
Mit der Vergrößerungsfunktion und dem Nacheilwinkel wird die reine Zwangsschwingung wie folgt dargestellt
( ) ( )1011 sinˆsinˆ qVqq −=−= .
Für Einschwingvorgänge (und ebenso für Übergangsschwingungen nach Störungen oder Parameteränderungen) ist die Gesamtlösung
( ) ( )1sinˆsin qAeq W −++= − ϕ
heranzuziehen. Einige damit berechnete typische Einschwingvorgänge sind im folgenden graphisch dargestellt. Das Abklingen der Lösung der homogenen Gleichung ist daran anschaulich gut zu erkennen.
η
ψ1(η)
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 35 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
00242030ˆ
,4061
,993991
,012021
,100101
1
120
0
1
10
1
,mm,,q
,mm,,A
s,D
,D,s,
s,s:
=====−=
===
==<<
−
−
−−
ϕ
117330ˆ
,4061
,92891
,12021
,101001
1
120
0
1
10
1
,mm,,q
,mm,,A
s,D
,D,s,
s,s:
=====−=
===
==>>
−
−
−−
ϕ
Typische Einschwingvorgänge des gedämpften Schwingers
0 1 2 3 42
1
0
1
2
tx(
t)
0 1 2 3 42
1
0
1
2
t
x(t)
0 1 2 3 42
1
0
1
2
t
x(t)
1100
,ω
η Ω
1100
ω
η Ω
A=1,6mm
A=3,2mm
q(t)
q(
t)
261ˆ
) ,2,3(
,261
,92891
,12021
,10101
1
120
0
1
10
1
mm,,q
tgestrichelmmA
mm,,A
s,D
,D,s,
s,s:
===
===−=
===
===
−
−
−−
ϕ q(t)
t
t
t
gestrichelt)
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 36 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.5.2.5 Federkrafterregung
Ergänzt man das bisher betrachtete System anstelle der direkten Krafterregung durch eine weitere Feder mit der Steifigkeit sc , deren anderes Ende eine
vorgeschriebene harmonische Bewegung ( )ts ausführt, so erhält man die Bewegungsgleichung
Federkrafterregung
( )[ ] 01 =−+++ tsqcqcqbqm s
bzw.
( ) sctsccqqbqm ss sinˆ==++
mit
sccc += 1 .
Mit der Beziehung
sc
cq s ˆˆ0 =
läßt sich die Bewegungsgleichung in die Gestalt
qqqDq sinˆ2 020
200 =++
überführen, die mit der Gleichung für die Krafterregung identisch ist, und es lassen sich alle weiteren Ausführungen für die Krafterregung auf den vorliegenden Fall übertragen.
Es sei noch darauf aufmerksam gemacht, daß die Ergebnisse prinzipiell gültig bleiben, wenn die Feder mit der Steifigkeit 1c entfernt wird. Dabei kann die Feder mit der Steifigkeit sc auch die
Bedeutung einer Stützfeder, z. B. zur Abstützung auf einem schwingenden Fundament, haben. Entscheidend ist, daß über den Dämpfer keine Schwingungen eingeleitet werden. Anderenfalls ergeben sich andere Ergebnisse für die Vergrößerungsfunktion und den Nacheilwinkel (siehe Abschnitte 1.5.4 und 1.5.5).
q
m
µ=0
b
c1
cs
s(t)=s tsinΩ
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 37 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.5.3 Erzwungene Schwingungen bei Unwuchterregung
Es werde ein vertikal angeordneter Einmassen-schwinger mit den Parametern m , b und c durch einen Vibrator in Gestalt eines Unwuchtrotors erregt.
Der Unwuchtrotor sei auf die einfachste Weise modelliert als Massenpunkt der Masse 1m , der mittels eines masselosen Stabes der Länge ε (Exzentrizität) um die Achse durch O mit der konstanten Winkelge-schwindigkeit Ω rotiert. Der Antrieb des Vibrators wird also als so leistungsstark vorausgesetzt, daß die Rückwirkung der Schwingungen auf die Rotation vernachlässigt werden kann (d.h., das System wird als rheonom vorausgesetzt).
Zunächst soll mittels der Lagrangeschen Bewegungs-gleichungen 2. Art die Bewegungsgleichung Unwuchterregter Schwinger
( )eyQ
y
U
y
T
y
T
dt
d =∂∂+
∂∂−
∂∂
für die Koordinate y hergeleitet werden, die ihren Ursprung bei völlig entspannter Feder hat.
Bezeichnet ν1 den Betrag der Geschwindigkeit des Massenpunktes m1, so folgt für die kinetische Energie des gesamten Systems
211
20 2
1
2
1vmymT += .
Mit
yyyy
xx
cossin
sincos
11
11
+=+=−==
folgt
22221 cos2 yyv ++=
sowie
2211
2
2
1cos
2
1mymymT ++=
mit der Gesamtmasse
10 mmm += .
y
y1
x1
q
Ωt
ε
m0
m1
O
µ=0
yst
bc
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 38 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Für die potentielle Energie des gesamten Systems folgt
gmmgycygymgymcyU sin2
1
2
11
2110
2 ++=++= .
Mit der zur Koordinate y gehörigen nichtkonservativen verallgemeinerten Kraft
( ) ybQ ey −=
und mit
mymy
Tcos1+=
∂∂
erhält man nach der oben angegebenen Vorschrift nach Lagrange
ybmgcymym −=++− sin21
bzw. nach der Koordinatentransformation
c
mgqyqy st −=−= , qy = , qy =
mit q als der von der statischen Ruhelage aus gemessenen Koordinate und yst als der statischen Durchsenkung infolge des Gesamtgewichtes die endgültige Bewegungsgleichung
mcqqbqm sin21=++ .
Bemerkenswert ist hierbei, daß im ersten Glied die Gesamtmasse auftritt und daß sich wie im Abschnitt 1.3 (siehe die Ausführungen zum Einfluß von Gewichtskräften) bei dem Koordinaten-ursprung in der statischen Ruhelage Gesamtgewichtskräfte (einschließlich jener der Unwucht-masse) und statischer Federkraftanteil wieder jederzeit ausgleichen.
Nach Division durch m erhält man
qqqDq sinˆ2 022
00 =++
mit den üblichen Größen ω0 und D und der Abkürzung
.ˆ 10 m
mq =
Eine zur Krafterregung analoge Entwicklung liefert die Gleichung
( ) 022
002 ˆ2~ qDiq =++−
und für den dimensionslosen komplexen Frequenzgang
02 ˆ
~
q
qH =
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 39 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
die Gleichung
( ) 222 21 DiH =+−
sowie nach Multiplikation mit Di21 2 −− das Ergebnis
( ) .41
21 2
2222
22
12D
DiHH
+−−−==
Daraus ergibt sich die Vergrößerungsfunktion
( ) 2222
22
12
41 DVV
+−==
und der Nacheilwinkel
.1
2arctan
212
D
−==
Der Nacheilwinkel ψ2 stimmt also mit dem Nacheilwinkel ψ1 für Krafterregung überein.
6
0
V 2 η 0,( )
V 2 η 0.1,( )
V 2 η 0.25,( )
V 2 η 0.5,( )
V 2 η 0.707,( )
V 2 η 2,( )
30 η0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
4
6
Vergrößerungsfunktion 2V
Der Faktor η2 in der Funktion V2 bringt die Abhängigkeit der Größe der erregenden Zentrifugalkraft von der Erregerfrequenz zum Ausdruck. Im Unterschied zu V1 gilt daher unabhängig von der Größe des Dämpfungsgrades V2(η = 0) = 0. Die asymptotische Eigenschaft der Kurven 1lim 2 =
∞→V entspricht bei vernachlässigbaren Kräften in Feder und Dämpfer der
Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes.
V2
D = 0
D = 0,1
D = 0,25
D = 0,5
D = 22
1
D = 2
η
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 40 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Die Lösung der Bewegungsgleichung ist schließlich darstellbar in der Form
( ) ( )2sinˆ qtq −= , 02 ˆˆ qVq = .
1.5.4 Erzwungene Schwingungen bei Stützenerregung
Die Stütze soll nun eine vorgeschriebene Bewegung ausführen und die Schwingungen über Feder und Dämpfer auf die Masse m übertragen. Sie kann z.B. als schwingendes Fundament interpretiert werden. Das Modell kann aber auch als eine einfache Idealisierung eines durch Fahrbahnunebenheiten erregten Fahrzeuges dienen.
Aus der Bewegungsgleichung
( ) ( ) 0=−+−+ sqcsqbqm
für die von der statischen Ruhelage aus gemessene Koordinate q Stützenerregter Schwinger folgt nach Einsetzen der als harmonisch veränderlich angenommenen Stützenerregung
( ) sts sinˆ=
die Gleichung
( )bcscqqbqm cossinˆ +=++
bzw.
( ).cos2sinˆ2 20
200 DsqqDq +=++
Wegen
,Imsin tie = ( )tiie ΩImcos =
liefert eine zur Krafterregung analoge Entwicklung die Beziehung
( ) ( )DisDiq 21ˆ2~ 20
200
2 +=++−
und für den dimensionslosen komplexen Frequenzgang
s
qH
ˆ
~3 =
die Gleichung
( ) DiDiH 2121 23 +=+−
sowie nach Multiplikation mit Di21 2 −− das Ergebnis
m
Oµ=0
q
bc
s(t) s t= sinΩ
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 41 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
( ) ( ) .41
24121
2222
3222
13D
DiDDiHH
+−−+−=+=
Daraus ergibt sich die Vergrößerungsfunktion
( ) 2222
2222
13
41
4141
D
DDVV
+−
+=+=
und der Nacheilwinkel
( ), D
D ≤≤−−
= 322
3
3 0411
2arctan .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1.5
3
1
D = 0 D = 0,1 D = 0,25 D = 0,5 D = 0,707 D = 2
Vergrößerungsfunktion V3
Nacheilwinkel ψ3
D = 0.1
D = 0.25
D = 0.5
D = 0.707
D = 2
V3
η π π/2 0
ψ3
η
D = 0
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 42 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Alle Kurven der Kurvenschar V3 für verschiedene Dämpfungsgrade schneiden sich, wie die
Gleichung für V3 zeigt und die graphische Darstellung bestätigt, im Punkte ( )12 3 == V, . Der
Nacheilwinkel ψ3 geht im Unterschied zu ψ1 = ψ2 mit wachsendem η nicht asymptotisch gegen π, sondern, wie die Gleichung für ψ3 zeigt und die graphische Darstellung andeutet, gegen π/2.
Stützenerregung bezüglich Relativkoordinate
Interessant ist ein Vergleich der Ergebnisse mit denen, die man für eine Darstellung mittels der Relativkoordinate
sqr −=
erhält. Nach Einsetzen in die oben angegebene ursprüngliche Bewegungsgleichung erhält man
smsmcrrbrm sinˆ 2=−=++
Jetzt ist die Erregung wie bei Unwuchterregung proportional zu Ω 2! Dementsprechend ergibt sich analog Abschnitt 1.5.3
2ˆ
~H
s
r = .
Die Vergrößerungsfunktion für die Bewegung relativ zum Fundament ist V2.
1.5.5 Erzwungene Schwingungen bei Dämpferkrafterregung
Ersetzt man bei dem im Abschnitt 1.5.2.5 betrachteten System die zusätzliche Feder durch einen zusätzlichen Dämpfer mit der Dämpfungs-konstanten bs, dessen anderes Ende wieder eine vorgeschriebene Bewegung s(t) ausführt, so erhält man die Bewegungsgleichung
[ ] .(t)sqbcqqbqm s 01 =−+++ Dämpferkrafterregung
Daraus folgt nach Einsetzen der wieder als harmonisch veränderlich angenommenen Wegerregung
( ) sts sinˆ=
die Gleichung
tsb(t)sbcqqbqm ss cosˆ==++
mit
.1 sbbb +=
q
m
µ=0
b
c1
bs
s(t)=s tsinΩ
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 43 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Nach Einführung der Abkürzung
sb
bq s ˆˆ0 =
und Division durch m folgt daraus
.cos2ˆcos2ˆ2 02000
200 tDqtDqqqDq ==++
Beachtet man beim Übergang zur komplexen Darstellung wieder die Beziehungen
( )tiiti iet,eqq,eqq Imcosˆ~~ === ,
so erhält man
( ) DiqDiq 2ˆ2~0
20
200
2 =++−
und nach Division durch 20
( ) .2ˆ21~0
2 DiqDiq =+−
Damit folgt schließlich der komplexe Frequenzgang
Di
Di
q
qH D 21
2ˆ
~2
0 +−== ,
( ) ( )( ) ( )
,21
1222
222
22
1D
DiDHDiH D
+−−+==
die entsprechende Vergrößerungsfunktion
( ) 22221
41
22
D
DVDHV DD
+−===
und die Beziehung für den entsprechenden Nacheilwinkel
.22
cot2
1tan 1
2
,D DD ≤≤−−=−−=
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 44 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
11
0
V D η 0,( )
V D η 0.1,( )
V D η 0.25,( )
V D η 0.5,( )
V D η 0.707,( )
V D η 2,( )
30 η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
0
1
1.57
1.57−
ψ D η 0,( )
ψ D η 0.1,( )
ψ D η 0.25,( )
ψ D η 0.5,( )
ψ D η 0.707,( )
ψ D η 2,( )
30 η
Die Indizierung der Vergrößerungsfunktionen ist in der Literatur nicht einheitlich. So wird z. B. die Vergrößerungsfunktion für Dämpferkrafterregung in [5] als V2 bezeichnet. Um die im Fach Technische Mechanik eingebürgerten Bezeichnungen beizubehalten, wurde hier der Index D eingeführt. Es sei bemerkt, daß der Nacheilwinkel in [5] nicht gegen die Wegerregung s(t), sondern gegen ihre Ableitung ( )ts definiert ist, so daß er mit ψ1 identisch wird.
Es sei auch darauf aufmerksam gemacht, daß die Ergebnisse prinzipiell gültig bleiben, wenn der Dämpfer mit der Konstanten d1 entfernt wird. Entscheidend ist, daß über die Feder keine Schwingungen eingeleitet werden. Anderenfalls erhält man für die Vergrößerungsfunktion und den Nacheilwinkel wieder die Ergebnisse nach Abschnitt 1.5.4.
Die Vergrößerungsfunktion VD kann man aus V3 entnehmen, indem man unter der Wurzel im Zähler den die Federkrafterregung repräsentierenden Term 1 entfernt, wodurch sich allerdings
VD
η
ψD
η
π 2
π 2
Vergrößerungsfunktion VD
Nacheilwinkel ψD
D = 2
D = 0,707
D = 0,5
D = 0,25
D = 0,1
D = 0,1
D = 0,25
D = 0,5
D = 0,707
D = 2
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 45 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
die Verläufe völlig verändern. Ebenso geht V1 aus V3 durch Entfernen des anderen Terms 4D2η 2 hervor (siehe Abschnitt 1.5.2.5).
1.5.6 Zusammenstellung zur harmonischen Zwangserregung des linearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad
Bezeichnungen
m Masse c Federsteifigkeit b Dämpfungskonstante
m
c=0 Kennkreisfrequenz
20
220 1 D−=−= Eigenkreisfrequenz
m
b
2= Abklingkonstante
cm
b
c
b
m
bD
2220
00
==== Dämpfungsgrad
Ω Erregerkreisfrequenz
0
= Abstimmung(sverhältnis)
Kraft- oder Federkrafterregung:
Bewegungsgleichung tqqqDq sinˆ2 020
200 =++
Krafterregung: Bezugsgröße c
Fq
ˆˆ0 =
Federkrafterregung: Bezugsgröße scc
cq
s
s ˆˆ1
0 +=
Komplexer Frequenzgang ( ) ( )1
1222
2
121
21 ieVD
DiH −=
+−−−=
Vergrößerungsfunktion ( ) 2222
1
41
1
DV
+−=
Nacheilwinkel ,D ≤≤
−= 121 0
1
2arctan
Reine Zwangsschwingung ( )101 sinˆ tqVq(t) −=
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 46 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Unwuchterregung oder Stützenerregung (bezüglich Relativkoordinate) Bewegungsgleichung tqqqDq sinˆ2 0
2200 =++
Unwuchterregung: Bezugsgröße m
mq 1
0ˆ =
Stützenerregung: Bezugsgröße sq ˆˆ0 =
Komplexer Frequenzgang ( ) ( )2
22
222
22
1221
21 ieVD
DiHH −=
+−−−==
Vergrößerungsfunktion ( ) 222
22
1241 D
VV+−
==
Nacheilwinkel ,D ≤≤
−== 2212 0
1
2arctan
Reine Zwangsschwingung ( )202 sinˆ tqVq(t) −=
Stützenerregung (bezüglich Absolutkoordinate) Bewegungsgleichung ( )tDtqqqDq cos2sinˆ2 0
20
200 +=++
Bezugsgröße sq ˆˆ0 =
Komplexer Frequenzgang ( ) ( ) ( )3
3222
3222
1321
24121 ieV
D
DiDiDHH −=
+−−+−=+=
Vergrößerungsfunktion ( )( ) 2222
2222
13
41
4141
D
DDVV
+−
+=+=
Nacheilwinkel ( ) ,D
D ≤≤−−
= 322
3
3 0411
2arctan
Reine Zwangsschwingung ( )303 sinˆ tqVq(t) −=
Dämpferkrafterregung
Bewegungsgleichung tDqqqDq cos2ˆ2 0
20
200 =++
Bezugsgröße sbb
bq
s
s ˆˆ1
0 +=
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 47 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Komplexer Frequenzgang ( ) ( )
( ) ( )3
222
22
121
1222 i
DD eVD
DiDDiHH −=
+−−+==
Vergrößerungsfunktion ( ) 2222
1
41
22
D
DDVVD
+−==
Nacheilwinkel ,D DD 2
2
1arctan
2
≤≤−−=
Reine Zwangsschwingung ( )DD tqVq(t) −= sinˆ0
1.5.7 Zur Schwingungsisolierung von Maschinen und Geräten
Die folgende treffende Erläuterung der wesentlichen Begriffe ist aus [8] entnommen:
„Es wird zwischen aktiver und passiver Schwingungsisolierung unterschieden. Statt Isolierung spricht man auch von Isolation, Entstörung oder Abschirmung.
Bei der aktiven Schwingungsisolierung geht es darum, die von einer Maschine oder sonstigen Quelle ausgehenden Kräfte so zu mildern, daß sie sich nicht mehr störend auf das Umfeld der Maschine auswirken. Von Haus aus wird man eine möglichst schwingungsarme Maschine anstreben (z.B. durch gute Auswuchtung oder durch guten Massenausgleich der bewegten Teile); diesbezüglich gibt es Grenzen des Machbaren.
Bei der passiven Schwingungsisolierung versucht man, die von außen, d.h. über das Fundament oder die Unterkonstruktion eindringenden Schwingungen (Erschütterungen, Stöße) so abzuschirmen, daß sie sich nicht mehr störend auswirken, z.B. auf die Funktion eines Meßgerätes, einer Werkzeugmaschine oder auf die Befindlichkeit und Gesundheit der hier tätigen Menschen....
Man erreicht die Isolierung durch zusätzliche Massen, Federn und/oder Dämpfer, die in gezielter Weise auf die Störfrequenzen abgestimmt werden. Man spricht von Isolierelementen. Für jede Aufgabenstellung gibt es i.a. eine optimale Lösung.“
Zur aktiven Schwingungsentstörung bei Krafterregung
Für die Krafterregung (Abschnitt 1.5.2.5) berechnet sich die über Feder und Dämpfer nach außen übertragene Fundamentkraft zu
+=+= qDqcqbcqFf
0
12
ω.
Damit folgt
( )qDicF, eFF fti
ff~21
~~ +== .
m
Oµ=0
q
bc
F(t)
Fundament
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 48 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Mit
110ˆˆ~ HFHqcqc ==
erhält man
( ) 121ˆ~HDiFFf += .
Damit folgt die Fundamentkraft dem Frequenzgang
( ) 31 21ˆ
~HDiH
F
FH f
f =+== .
Es gilt also
( )33 sinˆ FVFf += ,
d.h., die Fundamentkraft folgt interessanterweise derselben Vergrößerungsfunktion V3 wie die Schwingung infolge Stützenkrafterregung (siehe Abschnitt 1.5.4).
Eine besonders gute Schwingungsisolierung wird demzufolge bei sehr kleinen Werten von V3 erzielt.
Ist der Schwinger hoch abgestimmt (η < 1), so gilt V3 > 1; d.h., je mehr sich η von unten dem Wert 1 nähert, umso wichtiger ist eine möglichst große Dämpfung.
Ist der Schwinger tief abgestimmt ( 2> ), so erreicht man dagegen mit einer möglichst kleinen Dämpfung die beste Isolierung. Dann hat man jedoch große Probleme bei der Resonanzdurchfahrt. Man muß deshalb den für die spezielle Aufgabe möglichst optimalen Kompromiß zu finden suchen.
Zur aktiven Schwingungsentstörung bei Unwuchterregung
Wie im Falle der Krafterregung gilt für die Fundamentkraft
+=+= qDqcqbcqFf
0
12 .
( )qDicF, eFF fti
ff~21
~~ +== .
Mit der Erregerkraftamplitude für Unwuchterregung (siehe Abschnitt 1.5.3)
21
ˆ mF =
folgt:
2222012
120
ˆ1ˆ~ HFHmH
m
cmHqcqc ==== ,
( ) 3122ˆ21ˆ21ˆ~
HFHDiFHDi
FFf =+=+= .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 49 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Der Frequenzgang der auf die Fliehkraft bezogenen Fundamentkraft ergibt sich also zu
3ˆ
~H
F
FH f
f ==
wie bei Krafterregung.
Für 2> ist also wieder eine kleine Dämpfung günstig. Hierbei muß aber beachtet werden, daß die Erregerkraftamplitude mit η 2 wächst. Bei Bezug auf eine konstante Vergleichskraft müßte V3 also noch mit η 2 multipliziert werden, so daß die Vergrößerungsfunktion mit η stark anwächst! Das bekräftigt die Aussage über die Bedeutung kleiner Dämpfung im überkritischen Frequenzbereich.
Zur passiven Schwingungsentstörung
Bei Relativdämpfung liegt genau der Fall des Abschnitts 1.5.4 vor, d.h., wieder ist die Vergrößerungsfunktion V3 maßgebend. Die Interpretation kann unmittelbar vom Fall der aktiven Schwingungsentstörung bei Krafterregung übernommen werden.
Eine Absolutdämpfung (bei vernachlässigbarer Relativdämpfung) entspricht dagegen der Federkrafterregung nach Abschnitt 1.5.2.5. Daher ist die Vergrößerungsfunktion V1 maßgebend. Daraus folgt, daß in jedem Falle eine große Absolutdämpfung günstig ist.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 50 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.6 Ortskurven bei harmonischer Erregung (Beschränkung auf Krafterregung)
1.6.1 Ortskurve (Ortskurve des reduzierten Ausschlags)
Unter der Ortskurve versteht man die Darstellung des Imaginärteils über dem Realteil des Frequenzganges. Die Beziehungen
( ) ( ),
21
1Re
222
2
1D
H+−
−=
( ) ( )222121
2Im
D
DH
+−−=
können also als Parameterdarstellung der Ortskurve mit dem Parameter η aufgefaßt werden. Daraus kann man die folgende explizite Darstellung der Ortskurve gewinnen:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )0
4
ImReImReImRe
2
21
12
12
1
221
21 =−+−+
D
HHHHHH .
Die Ortskurven sind kreisähnliche Kurven, die mit abnehmender Dämpfung größer werden.
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 610
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Re(H)
Im(H
)
0
η = 2 η = 0
η = 1.15
D = 0.7071 ψη = 0.9
η = 1.1
IH(η)ID = 0.2
η = 1.05D = 0.1
η = 0.95
D = 0.05
η = 1
Ortskurve des reduzierten Ausschlages Ortskurve (des reduzierten Ausschlags)
Im(H1)
Re(H1)
1
|H1(η)|
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 51 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Wichtige Eigenschaften der Ortskurven:
.messung)(Dämpfungs2
11Im
,01Re
,0Im,00Im
,0Re,10Re
1
1
11
11
D)(H
)(H
)(H)(H
)(H)(H
−==
===∞→===∞→==
Der Phasenwinkel ψ1 und die Bogenlänge sind in der Umgebung von η = 1 am stärksten veränderlich. Der Betrag des Zeigers ist
11 VH = .
1.6.2 Inverse Ortskurve (Ortskurve der reduzierten Erregung)
Unter der inversen Ortskurve versteht man die Ortskurve von 1
1
H. Aus
DiH
211 2
1
+−= , 2
1
11
ReH
−=
, D
H2
1Im
1
=
erhält man als explizite Darstellung der inversen Ortskurve die Parabel
2
2
1
1 4
1Im
11
ReD
H
H
−=
und
=
1
11
1Re
1Im
tan
H
H.
Die Öffnung der Parabel wächst mit der Dämpfung. Der Betrag des Zeigers ist
11
11
VH= .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 52 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
3
0
Im y η D,( )( )
360 Re y η D,( )( ) 35+
Aufbau der inversen Ortskurve (Ortskurve der reduzierten Erregung)
3 2 1 0 10
1
2
3
4
Re(1/H)
Im(1
/H)
Inverse Ortskurve des reduzierten Ausschlage s Inverse Ortskurven (Ortskurven der reduzierten Erregung) für einige Dämpfungsgrade
Bestimmung des Maximums der Vergrößerungsfunktion V1max und der zugehörigen Abstimmung max: Mit
=
=
11
1Im,
1Re
Hv
Hu:
gilt für den Fußpunkt des Lotes vom Koordinatenursprung auf die Parabel:
v
u
du
dv −= .
0 36
3
v
u
2Dη
-η²
ηmax
ψ1
1 V1
Im(H1)
Re(H1)
D=0,7071
D=0,2
D=0,1
D=0,05
1/V1(η=1,5)
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 53 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Damit und aus
Dv,u,D
vu 21
41 2
2
2
=−=−=
folgt:
,4
212 du
dv
D
v
du
du −=
=
max
2max
max
22
2
1
2
22
maxmaxDv
u
D
D
v
D
du
dv −−=−=−=−= , ,12 2max
2D −=
2max 21 D−= .
1.6.3 Ortskurve in Polarkoordinaten
Die Ortskurve in Polarkoordinaten ist besonders gut geeignet für die experimentelle Bestimmung der Parameter eines Schwingers. Aus
( )
( ) ( )( ) 2
12
222
2
11111
2121
21
sincos1
VDiD
Di
iVeVH i
−−=+−−−=
−== −
folgt
F
qbq
cm
bVD
cF
mc ˆ
ˆˆ
222sin ˆ11 ===
bzw.
1sin1
ˆˆ
bF
q = .
Das ist eine Kreisgleichung in den Polarkoordinaten 1ˆˆ
ˆ undF
qr = mit dem Durchmesser
b
1 .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 54 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Ortskurve in Polarkoordinaten (kreisförmige Ortskurve)
Bei der experimentellen Bestimmung der Parameter des Schwingers ist das Ziel die Bestimmung
von m, b, c aus den Meßgrößen 1ˆ,q bei gegebenem F . Im allgemeinen genügen 3 Messungen zur Konstruktion des Kreises. Die Bestimmung der Parameter erfolgt in folgenden Schritten: 1. Dämpfungskonstante b:
2max
1
ˆ
ˆ
ˆˆ
1
q
F
F
qb
=
=
= ,
2. Masse m
21 1
2tan
D
−= ,
,14
31
4
,cot1cot
,01cot2
21
21
122
1
12
DD,DD
DD
D
++=
=++−=
=
++−=
=−+
D244
311 =
=−
= ,
m
bD ==
=−
= 011 2
44
3.
.
443
11
=−
=
= bm
P
ψ1
ψ1
1b
Fq
ˆˆ
Ω
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 55 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
3. Federsteifigkeit c:
m
c
=
==
= 2
12
1
1 ,
.21
2
== mc
Bemerkungen: 1. Die experimentelle Bestimmung ist besonders wichtig, wenn ein komplizierteres
Schwingungssystem auf das Modell des Einfreiheitsgradschwingers abgebildet werden soll. 2. Falls eine Phasenwinkelmessung nicht möglich ist, können alternativ die folgenden Werte
bestimmt werden:
max1 ˆ
ˆ
2
=
F
qbei ,
max11 ˆ
ˆ
2
2
4
3
4
=
=
F
qbeiund .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 56 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
q
m
b
c µ=0
F(t)=F sin tΩ
1.7 Energie- und Leistungsberechnungen
Die folgenden Energie- und Leistungsberechnungen gewähren ergänzende Einblicke in das Verhalten des linearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad.
Die Betrachtungen sollen auf die exemplarische Behandlung der Kraft-erregung beschränkt werden.
Schwinger mit Krafterregung
1.7.1 Freie ungedämpfte Schwingungen
Nach Abschnitt 1.3 gilt:
( )m
ctAtq
cqqm
=+=
=+
200 ,sin)(
,0
ωϕω
Energien in Abhängigkeit vom Ausschlag q
Wegen
( )22
0
0 ,cos
qAq
tAq
−=
+=
ω
ϕωω
gilt für die kinetische Energie:
( )
( ).2
1
,2
1
22
2220
qAcT
qAmT
−=
−= ω
Die Potentielle Energie ist:
.2
1 2cqU =
Damit erhält man die gesamte mechanische Energie
.konst2
1 2 ==+= cAUTW
Das entspricht dem Energieerhaltungssatz, der gilt, weil das System als konservativ voraus-gesetzt wurde.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 57 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
WW
U
Tq
0 A
Energien in Abhängigkeit vom Ausschlag q
Energien in Abhängigkeit von der Zeit
In Abhängigkeit von der Zeit t lassen sich die Energien wie folgt darstellen:
( )
( ).sin2
1
,cos2
1
022
022
ϕω
ϕω
+=
+=
tcAU
tcAT
Die folgende Umformung verdeutlicht die Kreisfrequenz dieser Verläufe:
( )( )[ ]
( )( )[ ].2cos14
1
,2cos14
1
02
02
ϕω
ϕω
+−=
++=
tcAU
tcAT
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1,57 3,14 4,71 6,28
Energien in Abhängigkeit von der Zeit t
Leistung
Die Berücksichtigung der Massenbeschleunigungskraft
qmFM −=
0 π/2 π 3/2 π ϕω +t0
W W
U
T
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 58 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
neben der Federkraft
cqFF −=
ermöglicht in allen Fällen eine Leistungsbilanz mit verschwindender Summe aller Leistungen P. Hier gilt:
.
,
dt
dUqcqqFP
dt
dTqqmqFP
FF
MM
−=−==
−=−==
Wegen
0=+ cqqm
folgt
.,0 UTWdt
dWPP FM +==−=+
Diese Beziehung bringt das Wechselspiel der “inneren Leistungen“ zum Ausdruck.
1.7.2 Freie gedämpfte Schwingungen
Nach Abschnitt 1.4 gilt:
( ) .1,sin)(
,02
022
0 DtAetq
cqqbqm
t −=−=+=
=++− ωδωωϕωδ
Energien in Abhängigkeit von der Zeit
Mittels Differentiation erhält man
( ) ( )[ ]( ).eA(t)q
,eA(t)qW
W
++=+++−=
−
−
ϕϕϕ
cos
cossin
0
Aus Additionstheorem und Koeffizientenvergleich folgt:
D,D 002
00 sin1cos −=−=−−== .
Dabei gilt für den Dämpfungswinkel Θ (Phasendifferenz zwischen q und q ):
.D
D,DD,
2
2
1tan1cossin
−=−==
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 59 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Damit erhält man die Kinetische Energie:
( )
( )( )[ ],ecA
ecAT
W
W
+++=
++=
−
−
ϕ
ϕ
2cos14
1
cos2
1
22
222
die Potentielle Energie:
( )
( )( )[ ]ϕω
ϕω
δ
δ
+−=
+=
−
−
tecA
tecAU
t
t
2cos14
1
sin2
1
22
222
und die gesamte mechanische Energie:
( )( )[ ]ecAUTW W ′+++=+= − ϕ2cos12
1 22
mit
.D
D,D,DD
222 1
tan2cos12sin−−=′−=′−=′
Die von der Dämpfungskraft während der Periodendauer ωπ2=T geleistete Arbeit beträgt
( ) ( )( )( ) .01
,2
0
00
<−==
=−+==− T
DT
DT
ettWW
ttWTttWWδ
Damit ergibt sich das Logarithmische Dekrement der Energie
.
,eT)W(t
)W(t
e
7e
22
1lnln
20
0
==
=+
= −
Leistung
Mit der Leistung der Dämpfungskraft FD = -b q ,
2qbqFP DD −== ,
ergibt sich die Leistungsbilanz
UTWqbdt
dWPPP DFM +==−−=++ ,02
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 60 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
mit dem Energiegradienten
2qbdt
dW−= .
Es gilt auch:
( )∫+
−=Tt
tDT dttq
T
bW
0
0
2 .
1.7.3 Stationäre erzwungene Schwingungen bei Krafterregung
Nach Abschnitt 1.5 gilt:
( ) ( )1sinˆ ψΩ −= tqtq , ( )1cosˆ ψΩΩ −= tqq
mit
( ) 22221001
41
1;
ˆˆ;ˆˆ
ηη DV
c
FqqVq
+−=== ,
πψηηψηψηψ ≤≤
−=−== 1211
2111 0;
1
2tan;)1(cos;2sin
DVVD .
Energien
Mit der kinetischen Energie
2220
21
2222 cosˆ2
1
2
1cmm),t(qmqmT ==−== ,
[ ]))t((qcT 122 2cos1ˆ
4
1 −+=
und der potentiellen Energie
[ ]))t((qcU
)t(qccqU
12
1222
2cos1ˆ4
1
,sinˆ2
1
2
1
−−=
−==
erhält man die gesamte mechanische Energie
[ ].2cos11ˆ4
11
222 ))(()(qcUTW −−−+=+=
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 61 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Sie ist periodisch mit der Kreisfrequenz Ω2 , die Amplitude wächst mit 21 η− , und es gilt
( ) konstW ==1η .
Leistung
„Innere Leistungen“:
Innere Leistungen sind die Leistungen der Massenbeschleunigungs- und der Federkraft
( ) ( )( )122 2sin1ˆ
2
1tqc
dt
dWPP FM −−−=−=+
und die Leistung der Dämpfungskraft
[ ]))t((qbqbPD 1222 2cos1ˆ
2
1 −+−=−= .
Mit
121
1 sinˆˆ1
cosˆˆˆ Fqb,FVFqc =−
==
(siehe auch Abschnitt 1.6.3, Ortskurve in Polarkoordinaten) folgt:
,2sincosˆˆ2
111 ))t((qFPP FM −−=+
[ ].2cos1sinˆˆ2
111 ))t((qFPD −+−=
„Äußere“ Leistung der Erregerkraft:
Eine äußere Leistung ist die Leistung der Erregerkraft
)t(qtFqFPE 1cosˆsinˆ −== .
Mit der Zwischenrechnung
( )( )
( ) 11
11
12
11
2sinsin2
1
sin2cos1cos2sin2
1
sinsincoscossincossin
t
tt
tttt
−+=
−+=
+=−
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 62 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
PM+PF
-2
folgt
( )[ ].2sinsinˆˆ2
111 tqFPE −+=
Wegen
( ) ( )( ) 1111111 sin))(2cos(cos))(2sin(2sin2sin ψψψψψψψ −+−=+−=− t
folgt unmittelbar die Bestätigung der Leistungsbilanz:
.0=+++ DFME PPPP
0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.422
1
0
1
2
PE t( )
PMF t( )
PD t( )
t
Leistungen von Erregerkraft ( EP ), Massenbeschleunigungs- und Federkraft ( FM PP + ) und
Dämpfungskraft ( DP ) bezogen auf 2/ˆˆˆ ΩqFPS = für 1.0,95.0 == Dη
Hinweis:
Es ist interessant, daß auch folgende Beziehung gilt:
[ ]ttqFPPP DFM 2cos1sin2sincosˆˆ2
111 −+−=++ .
Dabei sind die beiden Bestandteile im Vergleich zu FM PP + und DP nur phasenverschoben.
Der erste Bestandteil entspricht der in [Karl Klotter: Technische Schwingungslehre, Bd. 1,
PE
PD
P
Pˆ
0 π 2π 3π Ω t
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 63 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Springer-Verlag Berlin/Göttingen/Heidelberg 1951] definierten Blindleistung als der in der komplexen Ebene vorgenommenen Projektion der Kraft auf die Geschwindigkeit. Vermutlich hat Klotter damals die Phasenverschiebung zwischen Zeit und Geschwindigkeit vergessen zu beachten. In späteren Ausgaben ist diese Betrachtung nicht mehr enthalten.
Weitere Interpretation von EP :
Für die Leistung der Erregerkraft ist auch folgende Darstellung nützlich:
)t(PPP SWE 12sinˆ −+= .
Der konstante Anteil wird als Wirkleistung bezeichnet:
∫ ====T
01EmEW
2T,qF
2
1PdtP
T
1P sinˆˆ , Index m : Mittelwert.
Die Amplitude des mittelwertfreien, harmonischen Anteils heißt Scheinleistung:
qF2
1PS ˆˆˆ = .
Nach [5] sei noch die Blindleistung eingeführt:
)(PP SBl 12sinˆ −= .
Diese Definition entspricht nicht dem entsprechenden Begriff in der Elektrotechnik. Die Begriffsdefinition in der Mechanik ist in der Literatur nicht einheitlich, siehe die Zusammenstellung am Ende dieses Abschnitts.
Dann gilt auch:
PE = PW + PBl .
Weiter gilt:
.PPP, P, PPP WEmDmFmMmSW ==−=+= 0sinˆ1
Während die Wirkleistung allein durch den Dämpfer bedingt ist, wird der harmonische Anteil durch alle 3 „inneren“ Leistungsanteile ( PM, PF,PD) bestimmt.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 64 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
PE=PW+PBl
SP
SP
1.89
1.2−
P W t( )
P Bl t( )
P W t( ) P Bl t( )+
9.4247780 t
Leistung der Erregerkraft als Summe von Wirk- und Blindleistung bezogen auf die
Scheinleistung SP für 1.0,95.0 == Dη
Schwingungstechnische Schlußfolgerungen
Es folgt eine Diskussion des Einflusses von Ω und b bzw. von η und D bei im übrigen konstanten Parametern:
Mittels Einsetzens von 11001 2sinˆˆ VD,qVq η=== folgt
.VDqFP
,qFP
W
S
21
200
100
2ˆˆ2
1
ˆˆ2
1ˆ
=
=
Diesen Leistungsanteilen entsprechen die Vergrößerungsfunktionen
( )
2222
22
12
0
22221
0
41
22
41
ˆ
D)(
DVD
P
PV
,D
P
PV
WW
SS
+−===
+−===
mit 000 qF2
1P ˆˆ= .
PW
PBl
Ω t
SP
Pˆ
2
1
0
-1
0 π 2π 3π
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 65 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Wichtige Eigenschaften der Vergrößerungsfunktionen:
. ( ) ,V)(V WS 000 ====
,0limlim ==∞→∞→
WS VV
. ( ) D
2222S
W V4D1
2D
V
V =+−
=
(siehe Abschnitt 1.5).
Resonanzbetrieb 1=η :
Im Resonanzfall folgt
1=== maxS
W
1S
W
V
V
V
V.
Das wird dadurch bestätigt, daß
SSW PP P, ,: ˆsinˆ1sin2
1 111 =====
gilt, und entspricht der maximalen Wirkleistung bezüglich der Scheinleistung
4D
11)(V1)(V SW ==== .
Kleine Dämpfung erfordert also eine große Leistung (siehe Abschnitt 1.5).
. Sonderfall D = 0:
In diesem Fall gilt:
.)1,0(DV ,0)0(DV ,0)0(DV SSW ∞→==≠=== η
Der Resonanzbetrieb des ungedämpften Schwingers erfordert also eine unbegrenzt wachsende Scheinleistung bei unbegrenzt wachsendem Ausschlag.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 66 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Zusammenstellung zu verschiedenen Definitionen der Begriffe Blind- und Scheinleistung bei harmonischer Erregung des linearen Einfreiheitsgradschwingers
Es sei: qF2
1PS ˆˆˆ = .
Dann wird in der Literatur einheitlich die Wirkleistung definiert zu
1sinˆ ψSW PP = .
Hinsichtlich der Begriffe Schein- (PS) und Blindleistung (PBl) findet man z.B. die Definitionen:
Klotter (1951): - 1cos2sinˆ ψtPP SBl =
Klotter [2]: - -
Magnus/Popp [5]: - )2sin(ˆ1ψ−= tPP SBl
Wittenburg [4]: SS PP ˆ= -
Hagedorn/Otterbein [3]: SS PP ˆ= 22 ˆSWBl PPP −=
Fischer/Stephan [1]: SS PP ˆ= SWBl PPP ˆ−=
Gewählte Definition: SS PP ˆ= )2sin(ˆ1ψ−= tPP SBl
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 67 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.8 Erzwungene Schwingungen bei nichtperiodischer Erregung
Vorbemerkungen:
Periodische Erregung:
Eine allgemeine periodische Erregung soll mittels Fourierreihe und Superpositionsprinzip auf eine harmonische Erregung zurückgeführt werden (siehe auch Abschnitt 1.5.1). Dabei ist die Filterwirkung des Schwingers zu beachten, nämlich der größte Einfluß der Harmonischen, deren Frequenz sich in Resonanznähe befindet.
Nichtperiodische Erregung:
Das allgemeine mathematische Verfahren der Variation der Konstanten (siehe Mathematik) soll hier nicht behandelt werden.
Es werden jedoch weitere grundlegende Verfahren von prinzipieller Bedeutung erläutert.
1.8.1 Lösung mittels der Stoßfunktion
Gegeben sei die Bewegungsgleichung
)(tFcqqbqm =++
mit
)()( tItF = .
Wichtige Eigenschaften der Diracschen Deltafunktion (Stoßfunktion) ( )..δ :
Die Diracsche Deltafunktion ist definiert durch
=∞
=sonst.
xfürx
0
0)( , ( ) ( )xx −= .
Für ihre Intensität gilt:
∫∞
∞−
= 1)( dxx .
Sie besitzt die wichtige Filtereigenschaft:
)()()( xfdyyxyf =−∫∞
∞−
(Voraussetzung: ( )yf stetig für xy = ).
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 68 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
-0 +0t
Im δ(t)
Für eine Maßstabsänderung bei x mit konst.a = , 0>a gilt:
)(1
)( xa
ax = .
Diese Beziehung ist besonders auch für Dimensionsbetrachtungen geeignet.
Die Diracsche Deltafunktion ist keine gewöhnliche Funktion, sie gehört mathematisch zu den sog. Distributionen.
Die Intensität des beliebigen unendlich kurzzeitigen Stoßes F(t) beträgt:
[ ] ZeitKraftIkonst.,I ×== .
Nach Division der Bewegungsgleichung durch m erhält man mit den Abkürzungen nach Abschnitt 1. 4
)(2 20 t
m
Iqqq =++ .
Es gelten die Anfangsbedingungen
,q,q 0)0(0)0( =−=−
d.h., der Schwinger soll vor dem Stoß in Ruhe sein.
Das Problem soll in eine andere, aber gleichwertige Aufgabe überführt werden. Auf m bezogene Erregerfunktion
Für t ≥ + 0 gilt die Differentialgleichung
.qqq 02 20 =++
Der Stoß wird jetzt über geänderte Anfangsbedingungen erfaßt.
Aus der Stetigkeit folgt:
1. 0)0( =+q .
Die Integration der ursprünglichen Differentialgleichung,
∫∫+
−
+
−
+
−
+
−==++
0
0
0
0
20
0
0
0
02
m
I
m
Iqdtq
liefert
2. m
Iq ==+ 0)0( .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 69 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Damit erhält man die Lösung (siehe Abschnitt 1.4)
( ) 220sin)( ,eAtq −=+= − ϕ ,
( ) ( )[ ]ϕϕ +++−= − eAtq cossin)( .
Aus den Anfangsbedingungen folgt:
[ ] .m
IvA
,A
==+−
=
0cossin
0sin
ϕϕ
ϕ
Gewählt sei der Wert 0=ϕ . (Der andere mögliche Wert πϕ = führt infolge Änderung des Vorzeichens von A zur gleichen Lösung.)
Damit folgt
m
IvA == 0 ,
em
Ie
vq(t) WW sinsin0 −− == .
Systemantwort für Einheitsstoß:
Die Systemantwort auf einen Einheitsstoß heißt Stoßübergangsfunktion oder Gewichtsfunktion:
[ ]ZeitxKraft
Längeq,
I
tqtq StSt == )()( ,
.sin1
)( em
tq W
St−=
Dimensionslose Stoßübergangsfunktion in Abhängigkeit von der dimensionslosen Zeit
0 3.14 6.28 9.42 12.571
0.5
0
0.5
10.858
0.626−
q st t( )
4 π⋅0 t
qSt mω
ω0 t
D = 0,1
0 π 2π 3π 4π
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 70 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
F(t)
ttk tk+1∆t
Die Antwort auf einen Einheitsstoß zur Zeit t = ist damit
.)(sin1
)( )( tem
tq tSt −=− −−
Bestimmung der Lösung für eine beliebige Erregung F(t) durch Superposition der Lösungen für eine Folge von Einzelstößen:
Annäherung der Erregungsfunktion durch endlich viele Stöße
Die Rechtecke gehen beim Grenzübergang in D i r a c –Stöße über.
Dementsprechend lautet der Lösungssatz
( ) ( )∑=
+<≤−≈n
kkkkkStkk tttqItq
11)(
mit der Intensität des k-ten Stoßes
tFtI kkk )()( = .
Damit folgt:
( ) ( )∑=
−≈n
kkStk tqFtq
1
)( .
Der Grenzübergang im Sinne der Definition des Riemannschen Integrals liefert schließlich:
.)()()(0
dtqFtq St
t
−= ∫ (1)
Diese Gleichung ist auch mittels der Variation der Konstanten herleitbar.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 71 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Voraussetzung für die Gültigkeit der Lösung ist, daß sich der Schwinger zur Zeit t = 0 in Ruhe befindet.
Zur Befriedigung allgemeiner Anfangsbedingungen ist die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung hinzuzufügen.
Umformung der Beziehung (1):
Mittels der Variablensubstitution
( ) ( ) 00 ====−=−= tst,sds,dts
folgt aus Beziehung (1):
∫ −−=0
tSt(s)dsqs)F(tq(t) .
Nach der Umbenennung s → τ erhält man das mit Beziehung (1) gleichwertige Ergebnis
.)()()(t
0∫ −= dtFqtq St (2)
Wegen 00)( <≡ tfürtF und ( ) ∞=−∞=s gilt auch:
( ) ( ) .)()()(0
dtFqdtqFtq StSt
t
−=−= ∫∫∞
∞− (3)
Schließlich gilt das Kausalitätsprinzip:
0für0)(für0)( <=<=− q,ttq StSt .
Daher ist auch die folgende Darstellung möglich:
( ) .)()()()( dtFqdtqFtq StSt ∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=−= τ (4)
Es ist nützlich, sich die Gleichwertigkeit von (1) und (2) mit (3) sowie mit (4) zu vergegen-wärtigen.
Die Integrale in (4) heißen Faltungsintegrale und werden symbolisch wie folgt dargestellt:
)()()()()( tFtqtqtFtq StSt ∗=∗= .
(Manchmal wird dieser Begriff auch für die Darstellungen (1) – (3) verwendet).
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 72 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
1.8.2 Lösung mittels der Sprungfunktion
Gegeben sei wieder die Bewegungsgleichung
)(tFcqqbqm =++ .
Es sei jetzt (Sprungfunktion):
>≤
=.tfürF
,tfürtF
0
00)(
0
Für t > 0 gilt dann:
0Fcqqbqm =++ ,
bzw.
m
Fqqq 02
02 =++
mit den Anfangsbedingungen
.tq,tq 0)0(0)0( ====
Aus der allgemeinen Lösung (siehe auch Abschnitt 1.4)
( )c
FeAtq W 0sin)( ++= − ϕ
folgt:
( ) ( )[ ]ϕϕ +++−= − eAtq cossin)( .
Die Anfangsbedingungen liefern
0)cossin(0sin 0 =+−=+ ϕϕϕ A,c
FA ,
D
D
D
D 2
0
20 11
tan−=−==ϕ .
21sin D−=ϕ ,
+ ϕϕ
2tan1
tan, D=ϕcos ,
+ ϕ2tan1
1,
2
0
1 Dc
FA
−−= , ( ) .sin
11)(
20
+
−−=
−ϕ
D
e
c
Ftq
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 73 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Für den im Abschnitt 1.7.2 eingeführten Dämpfungswinkel Θ gilt:
ϕϕ sincoscossin == , ,
( ) ( ) −=+=+=+ coscoscossinsinsincoscossinsin ϕϕϕ .
Damit ist auch folgende Darstellung möglich:
( ) .cos1
1)(2
0
−
−−=
−
D
e
c
Ftq
Systemantwort für Einheitssprung:
Die Systemantwort auf einen Einheitssprung ist die Sprungübergangsfunktion, in der Regelungstechnik einfach Übergangsfunktion genannt,
[ ]Kraft
Längeq,
F
tqq SpSp ==
0
)(,
( ) .D
e
ctq
Sp
−
−−=
−cos
11
1)(
2
0 3.14 6.28 9.42 12.570.5
0
0.5
1
1.5
21.729
1.681− 105−×
q Sp t( )
4 π⋅0 t
Dimensionslose Sprungübergangsfunktion in Abhängigkeit von der dimensionslosen Zeit
Damit folgt die Antwort auf einen Einheitssprung zur Zeit t =
( )( ) .tD
e
ctq
t
Sp
−−
−−=−
−−cos
11
1)(
2
)(
cqSp D = 0,1
0 π 2π 3π 4π
ω0 t
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 74 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
F(t)
t
F(0)
tk tk+1∆t
Bestimmung der Lösung für eine beliebige Erregung F(t) durch Superposition der Lösungen für eine Folge von Einzelsprüngen:
Annäherung der Erregungsfunktion durch endlich viele Sprünge
Zur Bestimmung der Lösung für eine beliebige Erregung dient der Lösungsansatz
( ) ( )∑=
−+≈n
kkSpkkSp tq tqFtq
1
)()0()(
mit dem k-ten Einzelsprung
1)(
)( +=
≤≤= k’kk
ttkk ttt
dt
tdFt
’k
.
Dabei wird die Existenz des Differential-Quotienten vorausgesetzt.
Damit folgt:
τtqd
dFtqFtq kSp
n
kSp
’k
)()(
)()0()(1
−+≈==
∑ .
Nach dem Grenzübergang im Sinne des Riemannschen Integrals erhält man:
.)()(
)()0()(0
dtqd
dFtqFtq Sp
t
Sp −+= ∫ (5)
Voraussetzung für die Gültigkeit der Lösung ist, daß sich der Schwinger zur Zeit t = 0 in Ruhe befindet.
Zur Befriedigung allgemeiner Anfangsbedingungen ist wieder die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung hinzuzufügen.
Im Sonderfall F(0)=0 heißt Beziehung (5) Duhamelsches Integral:
.dtqd
dFtq
t
Sp∫ −=0
)()(
)( (6)
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 75 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Zusammenhang zwischen den Formeln (1) und (6):
Partielle Integration der Gleichung (6) liefert
dd
tdqFtqFtq
tSpt
Sp ∫−
−−=0
0
)()()()()(
bzw. wegen F(0) = 0
dd
tdqFtq
tSp∫
−−=
0
)()()( .
Der Vergleich mit Beziehung (1) liefert den Zusammenhang
.d
tdqtq Sp
St
)()(
−−=−
Diese Beziehung kann wie folgt bestätigt werden:
( )[ ] ( )[ ] ttD
e
cd
tdq tSp −−+−−
−=
−− −−sincos
1
1)(
2
)(
)(cossin)(sincos)(sinsin)(coscos1
12
)(
ttttD
e
c
t
−−−+−+−−
=−−
Wegen
2200 1cossin1 DD,,DD, −==−==
folgt:
0cossin0sincos , =+=− ,
mcDc
11
1
1 20
2
0 ==−
und damit
)()(sin1)( )( tqte
md
tdqSt
tSp −=−=−
− −− .
Wegen der Verwandtschaft und der engen Zusammenhänge zwischen den Beziehungen (1) und (6) wird auch die Beziehung (1) öfter als Duhamelsches Integral bezeichnet.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 76 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2 Schwingungen in linearen Systemen mit mehreren Freiheitsgraden
2.1 Definitheit von Formen und Matrizen
Betrachtet wird eine reelle quadratische Form in den nxx ,...,1 mit symmetrischen Koeffizienten
jiij aa = , ,...,ni,j 1= :
∑=
==n
i,jjiij
T xxa12
1
2
1xAx ,
[ ] T
nnn
nT
n
aa
a....aa
,...xx AAx =
==
1
11211
1
Diese quadratische Form heißt:
(eigentlich) positiv definit, wenn 0> für jedes x ≠ 0,
positiv semidefinit, wenn 0≥Φ für jedes x und wenn Werte x ≠ 0 mit Φ = 0 existieren.
Entsprechend sind negativ definit und negativ semidefinit definiert. Eine quadratische Form, die keine der genannten Eigenschaften besitzt, heißt indefinit.
Mit Φ heißt auch ihre Matrix A positiv definit, positiv semidefinit etc.
Für eigentlich definite Formen gilt:
A ist regulär, ( ) 0det ≠A .
Für semidefinite Formen gilt:
A ist singulär, ( ) 0det =A .
Schreibweise:
A > 0 bedeutet: A ist (eigentlich) positiv definit;
A ≥ 0 bedeutet: A ist positiv semidefinit.
Eine notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit von Matrizen ist, daß sämtliche Hauptabschnittsdeterminanten positiv sind (auch: Satz von Sylvester):
0,0,0
33
131211
2221
121111 >
⋅⋅⋅⋅⋅>>
a
aaa
aa
aaa , ...
Ist keine der Hauptabschnittsdeterminanten negativ, so ist die Matrix mindestens positiv semi-definit. Dabei dürfen mit A auch beliebig viele Hauptabschnittsdeterminanten verschwinden.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 77 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.2 Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen
2.2.1 Lagrangesche Bewegungsgleichungen 2.Art
Einschränkende Voraussetzung: Das System sei holonom und skleronom.
Vorläufige Annahmen: Das System sei konservativ und habe eine stabile statische Gleich-gewichtslage. Diese sei Ursprung (Null-Lage) der verallgemeinerten Bewegungskoordinaten
[ ]T
fqq ...1=q .
Die Anzahl der Freiheitsgrade sei f .
Dann kann die Vorschrift zur Aufstellung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen 2. Art wie folgt formuliert werden:
fkQq
T
q
T
dt
d ek
kk
,...,1,)( ==∂∂−
∂∂
mit den verallgemeinerten eingeprägten Kräften
vkonservatiˆ, )()()( =∂∂−== k
k
kk
ek q
UQQ .
Mit der Lagrangeschen Funktion
UTL −= ,
erhält man für die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen die alternative Gestalt
fkq
L
q
L
dt
d
kk,...,1,0 ==
∂∂−
∂∂
.
Für die betrachteten Systeme läßt sich die kinetische Energie als quadratische Form in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten
( ) ( ) ( ) ji
f
jiij
T qqmT ∑=
==1,2
121
, qqqMqqq
mit einer zeitunabhängigen symmetrischen, positiv definiten Massenmatrix
( ) ( ) 0qMqM >= T
darstellen.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 78 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Die Linearisierung der Bewegungsgleichungen in der Umgebung der Gleichgewichtslage entspricht der Beschränkung auf die ersten Glieder der Maclaurinschen Reihe der Elemente der Massenmatrix
( ) ( ) ( )...q
q
mmm k
k
ijf
1kijij +
∂∂
+===
∑0q
q0q ,
d. h. auf die von q unabhängigen Glieder:
( ) ( )0q ijij mm ≈ .
Damit folgt:
.konstM = , qMq T
21
T = .
Unter den genannten Voraussetzungen und Annahmen gilt für die potentielle Energie U
0qU
i=
∂∂
=0q
, ( ) MinimumU == 0q = 0
als Bedingung für die Stabilität der statischen Ruhelage nach Lagrange/Dirichlet. Daraus folgt: Die Glieder nullter und erster Ordnung in q verschwinden.
Der Linearisierung der Bewegungsgleichungen in der Umgebung der Gleichgewichtslage entspricht die Beschränkung auf die Glieder 2. Ordnung (d. h. die Vernachlässigung der Glieder ab 3. Ordnung):
∑=
==f
ji,jiij
T qqkU12
121
qKq
mit der Steifigkeitsmatrix
0KK >= T .
Die Symmetrie der Steifigkeitsmatrix folgt aus dem Satz von Maxwell-Betti.
Da die Null-Lage der Koordinaten als die stabile statische Gleichgewichtslage vorausgesetzt wurde, wird für einen beliebigen Verschiebungszustand potentielle Energie gespeichert, was die positive Definitheit bestätigt.
Verallgemeinerung:
Die am Beginn des Abschnitts formulierten vorläufigen Annahmen sollen im folgenden nicht mehr als gegeben vorausgesetzt werden. Der Ursprung (die Null-Lage) der verallgemeinerten Koordinaten wird also nicht mehr als stabile statische Gleichgewichtslage vorausgesetzt, und es werden auch nichtkonservative Kräfte zugelassen. Es wird jedoch noch die Verwendung von Absolutkoordinaten vorausgesetzt.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 79 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Diese Verallgemeinerung läßt folgende Eigenschaften des Systems zu:
1. 0K =det
Die Steifigkeitsmatrix ist singulär, was z.B. für ungefesselte Schwingerketten, allgemeiner für Systeme mit möglichen Starrkörperverschiebungen, zutrifft. Damit gilt nur noch
0K ≥ .
Die statische Gleichgewichtslage bei Vorhandensein konservativer Lagerkräfte, die bei einer kleinen Verschiebung eine Abnahme der potentiellen Energie bewirken, ist instabil. Dann ist die Steifigkeitsmatrix indefinit. Das trifft z. B. für das sogenannte „Überkopfpendel“ zu.
2. Dämpfungs- und Erregerkräfte:
Es sei außerdem die folgende allgemeinere Zusammensetzung der verallgemeinerten Kräfte zugelassen:
( ) ( ) )()()()()( tQQQQ Ek
Dk
kk
ek ++= qq
Erregerkräfte dissipative Kräfte konservative Kräfte
Lineare viskose Dämpfungskräfte lassen sich mittels der Dissipationsfunktion
( ) ,2
1qDqq TF =
in der Form
( )k
(D)k q
FQ
∂∂−=q
darstellen. Dabei ist D die konstante symmetrische Dämpfungsmatrix:
.TDD =
Damit erhält man die folgende allgemeinere Lagrangesche Vorschrift zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen:
( )tQq
F
q
L
q
L
dt
d (E)k
kkk=
∂∂+
∂∂−
∂∂
.
Allgemeiner Hinweis zur Ausführung der Differentiationen nach kk qbzw.q in der Matrizendarstellung:
Für die quadratische Form
xAxT
2
1=Φ
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 80 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
seien A eine symmetrische quadratische Matrix sowie ZiA die i-te Zeile und damit ( )TZ
iA die
i-te Spalte von A . Dann gilt
( ) xAAxxA Zk
TZk
TZk
kx=+=
∂∂
21
21
.
Dementsprechend erhält man nach der Lagrangeschen Vorschrift:
[ ] T(E)f
(E)(E)(E) ....QQ(t)(t), 1==++ QQKqqDqM .
Hinweis:
Bei Verwendung von Relativkoordinaten können auch gyroskopische Glieder qG mit der schiefsymmetrischen Matrix
GG −=T
auftreten:
( ) )()( tEQKqqGDqM =+++ .
2.2.2 Kraftgrößenmethode
Diese Methode ist besonders geeignet für ungedämpfte Tragwerke mit konzentrierten Massen und relativ einfacher Struktur, vor allem, wenn die elastischen Elemente nicht konzentriert sind.
Beispiel: Systeme aus masselosen Balken und starren Körpern und/oder Massenpunkten
Die Methode ist ingenieurmäßig anschaulich und hat enge Beziehung zum Verfahren von Castigliano.
Demonstration des Verfahrens anhand eines Beispiels (nach [1])
Masseloser Balken mit zwei Massenpunkten
Es sei ein masseloser Balken mit 2 Massenpunkten betrachtet, der ebene Biegeschwingungen mit 2 Freiheitsgraden ausführt.
Entsprechend dem d’Alembertsches Prinzip gilt:
q2
a a a
q1
m1
m2
F1
F2
EI, masselos
m = m m =m1 22 ,
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 81 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
[ ]Tf1...qq=+−= qQqMQ ,*
mit den Verschiebungs- und/oder Winkelkoordinaten q , den zugehörigen verallgemeinerten Kräften (Kräften und/oder Momenten) Q und der Massenmatrix M .
Für das behandelte Beispiel gilt:
+
−=
+
−=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1*2
*1
F
F
q
q
1
2m
F
F
q
q
m
m
Q
Q
0
0
0
0
Dem d’Alembertschen Prinzip entsprechende statische Betrachtung:
Mit der (statischen) Nachgiebigkeitsmatrix, der Matrix der Verschiebungseinflußzahlen (Verschiebungen und/oder Verdrehungen),
THH =
erhält man die Verschiebungen
*QHq = .
Nach Einsetzen von *Q ergeben sich die Bewegungsgleichungen
.QHqqMH =+ (1)
Die neue „Massenmatrix“ HM ist i. a. unsymmetrisch, die zugehörige „Steifigkeitsmatrix“ ist die Einheitsmatrix.
Die Gestalt der Bewegungsgleichungen ist gut geeignet zur Bestimmung der kleinsten Eigenfrequenzen mittels der Methode der reziproken Vektoriteration (siehe Abschnitt 2.3.5.2).
Für das behandelte Beispiel ergeben sich die Nachgiebigkeitsmatrix
=
=
87
78
18EI
ahh
hh 3
2221
1211H
und unter der einschränkenden Annahme 0,0 21 == FF die Bewegungsgleichungen
=
+
0
0
814
716
18 2
1
2
13
q
q
q
q
EI
ma
.
Mittels Multiplikation von links mit K = H-1 können die Bewegungsgleichungen umgeformt werden in die Gestalt, die der analytischen Methode nach Lagrange entspricht:
.QKqqM =+ (2)
Für das Beispiel folgt so:
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 82 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
=
−
−+
0
0
87
78
5
610
02
2
13
2
1
q
q
a
EI
q
qm
.
Diese Möglichkeit der Umformung ist mit dem Nachteil verbunden, daß die Nachgiebig-keitsmatrix invertiert werden muß.
Weitere Möglichkeiten zur Transformation der Bewegungsgleichungen in eine Gestalt mit symmetrischen Matrizen, jedoch ohne die Notwendigkeit der Inversion der Nachgiebig-keitsmatrix:
a) Cholesky-Zerlegung der Massenmatrix
Mittels der Cholesky-Zerlegung der Massenmatrix
RRM T= ,
wo R eine obere Dreiecksmatrix ist, und der Koordinatentransformation
uRq 1−=
ergeben sich nach Multiplikation von (2) von links mit ( ) 1−TR die Bewegungsgleichungen
QuKu ′=′+ (3)
mit
( ) ( ) QRQKRRK111
,−−− =′=′ TT .
Diese Transformation hat hinsichtlich einiger Lösungsverfahren den Vorteil, daß die neue „Massenmatrix“ die Einheitsmatrix ist.
Für das ausgewählte Beispiel ergibt sich:
=
−
−+
=
0
0
856
10
02
2
1
227
227
32
1
u
u4
ma
EIu
u;m
R .
b) Inversion der Massenmatrix
Mit der Koordinatentransformation
vMq 1−= folgt aus (1): .1 QHvMvH =+ − (4)
Für das Beispiel erhält man auf diesem Wege:
=
+
0
0
20
01
287
78
18 2
1
2
13
v
v
m
1
v
v
EI
a.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 83 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.2.3 Deformationsmethode
Die Deformationsmethode dient der Erfassung des Einflusses verteilter Massen. Ihre Anwendung soll hier exemplarisch beschränkt werden auf Systeme aus massebehafteten Balken und evtl. starren Körpern und/oder Massenpunkten.
Die Methode ist besonders geeignet für hochgradig statisch unbestimmte Tragwerke und für komplizierte Strukturen.
Sie basiert auf einer Diskretisierung mittels Zerlegung in schwingungsfähige Elemente.
Mehrparametrige Verformungsansätze i.d.R. in Verschiebungen und Verdrehungen an den sog. Knoten (ausgezeichneten Punkten) der Elemente liefern Elementmassenmatrizen eM und
Elementsteifigkeitsmatrizen eK .
Die Deformationsmethode ist die Grundlage der Finite-Elemente-Methode (FEM). Die Güte der Ergebnisse ist wesentlich von der Feinheit der Diskretisierung abhängig.
Ziel ist die Aufstellung der Bewegungsgleichungen
QKqqM =+
in den sogenannten „globalen“ Koordinaten q.
Bei Beschränkung auf Balkenmodelle bei ebener Bewegung soll die Deformationsmethode hier lediglich nach [1] in einer für einfache Aufgaben und Rechnung von Hand geeigneten Form dargestellt werden.
Elementmatrizen
In der Ebene verformtes Balkenelement
In der Ebene verformtes Balkenelement
Es wird ein Balkemelement mit folgenden Parametern betrachtet:
l - Länge,
A - Flächeninhalt des Querschnitts,
I - Flächenträgheitsmoment des Querschnitts,
E - Elastizitätsmodul,
ρ - Dichte.
lu2
v2
v1u1
χ1
χ2
Knoten 2Knoten 1
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 84 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Dem Element sind die Elementkoordinaten oder „lokalen Koordinaten“
[ ]T
222111e vuvu=q
zugeordnet.
Bei der Systemberechnung sollen alle Größen eines Elementes mit der Nummer i mit dem Index ( )i gekennzeichnet werden.
Die Verschiebungen und Verdrehungen für x, lx <<0 , sind durch die Elementkoordinaten nicht eindeutig bestimmt. Es werden deshalb Ansatzfunktionen verwendet. Durch diese wird die Güte der Ergebnisse ebenfalls wesentlich beeinflußt. Die Ansatzfunktionen seien hier auf die Verschiebungen beschränkt. Es sei ein linearer Ansatz für ( )xu und ein Ansatz 3. Grades für
( )xv verwendet, so daß hier für den statischen Fall exakte Ansatzfunktionen erhalten werden.
Es sei
( ) eTu xxu qg=)(
mit
[ ]0000 22211211 xaaxaa(x)Tu ++=g .
Die Randbedingungen
[ ][ ]001000
000001
==
==
l)(x
0)(xTu
Tu
g
g
liefern 4 Gleichungen für aij, i,j = 1,2.
Nach ihrer Auswertung folgt:
( ) [ ]00001lx
lxT
u x −=g .
Außerdem sei
eTv (x)v(x) qg=
mit
++++++
++++++
=
344
2434241
334
2333231
324
2232221
314
2131211
0
0
xbxbxbb
xbxbxbb
xbxbxbb
xbxbxbb
(x)vg .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 85 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Die Randbedingungen
[ ][ ][ ][ ]100000)(
,010000)(
,000100)(
,000010)(
==′
==
==′
==
lx
lx
0x
0x
Tv
Tv
Tv
Tv
g
g
g
g
liefern in diesem Falle 16 Gleichungen für bij, i,j = 1,2,3,4.
Nach ihrer Auswertung folgt:
+−−+−+−=
2
32
2
22
3
3
3022310)(l
x
l
x
l
x2
l
x
l
x
l
xx
l
x
l
xx
3
3
2
3
2
2Tvg .
Die Steifigkeitsmatrix kann z.B. mittels der Beziehung für die potentielle Energie
eeTeU qKq
21=
definiert werden.
Aus dem Koeffizientenvergleich mit dem Ausdruck
[ ]
[ ] eTv
Tu
l
vuTe
lll
dxEI
EA
dxv
u
EI
EAvudxvEIdxuEAU
qg
gggq
′′′
′′′=
′′′
′′′=′′+′=
∫
∫∫∫
0
00
2
0
2
0
0
21
0
0
21
21
21
folgt die Elementsteifigkeitsmatrix
[ ] ( )( ) dx
0
0(x)(x)
Tv
Tu
l
0
vue
′′′
′′′= ∫ x
x
EI
EA
g
gggK
mit
[ ]0010011
)( −=′l
xTug ,
[ ]xlxll
(x)g lx
lxT
v 62126064126012
+−−+−+−=′′ .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 86 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Es folgt:
3l
EIe =K
−
−−−
−
−
−
22
22
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
llll
ll
I
Al
I
Al
llll
ll
I
Al
I
Al
22
22
.
Zur Definition der Massenmatrix sei gesetzt
==
)(
)()(,)(
)(
)(
x
xxx
xv
xuTv
Tu
eeeg
gGqG .
Die Massenmatrix kann z.B. mittels der Beziehung für die kinetische Energie
eeTeT qMq
2
1=
definiert werden.
Aus dem Koeffizientenvergleich mit dem Ausdruck
[ ] [ ]
e
l
eTe
Te
l
0
l
0
22
dxxx
dxxv
xuxvxudxxvxuT
qGGq
∫
∫∫
=
=+=
0
)()(21
)(
)()()(
2
1)()(
2
1
folgt die Elementmassenmatrix
∫=l
eTee dxxx
0
)()( GGM ,
−−−−
−−
=
22
22
42203130
22156013540
001400070
31304220
13540221560
007000140
420
llll
ll
llll
ll
eM .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 87 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Starrer Körper bei ebener Bewegung
Starrer Körper bei ebener Bewegung
Es wird ein starrer Körper mit folgenden Parametern betrachtet:
M – Masse,
J – Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse senkrecht zur Zeichenebene durch den Massenmittelpunkt S.
Für die Elementkoordinaten
[ ]T
vue =q
ergibt sich die Elementmassenmatrix
=
J00
0m0
00m
eM .
Berechnungsablauf
- Berechnung der Elementmatrizen,
- Zusammenbau aller Elemente zum Gesamtsystem,
- Einarbeitung der Randbedingungen,
- Lösung des Gleichungssystems, Berechnen der Knotenverschiebungen )(teq ,
- Berechnung der Knotenkräfte (t)eQ aus (t)eq .
Sv
u
m,Jχ
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 88 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Beispiel (nach [1]):
Das System bestehe aus zwei biegesteif verbundenen Balken mit einem Massenpunkt am Ende. Es soll nur die Biegearbeit berücksichtigt werden.
System aus zwei biegesteif verbundenen Balken mit einem Massenpunkt
Die Numerierung bedeutet: 1 = 1. Balkenelement; 2 = 2. Balkenelement; 3 = Massenpunkt.
Die Lösung gestaltet sich besonders einfach, weil nur Verschiebungen in 2 zueinander senk-rechten Richtungen auftreten.
Das System hat entsprechend den globalen Koordinaten
[ ]T
4321 qqqq=q
vier Freiheitsgrade.
Unter Beachtung der Randbedingungen findet man die Beziehungen zwischen lokalen und globalen Koordinaten
[ ][ ][ ] .
,0
,0000
4313
214312
211
T
T
T
qqq
qqqqq
)(e
)(e
)(e
−=
−−=
=
q
q
q
Bildung der Gesamtmassenmatrix M :
Entsprechend der Beziehung
ji
f
i,jij qqmT ∑
=
=12
1
b
F=Fsin tΩ
3
q3
q4
q1 q2
a
1
ρA, EI
ρA,EI
2
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 89 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
müssen alle entsprechenden Elemente eijm für feste Werte ji, aus den Ausdrücken
(k)e
(k)e
(k)e
TqMq
2
1
aufsummiert werden, z.B.
0105
1
,00210
11
,000
3333
23344
2246
216
15612
312
224
21213
+=+=
++−=−−=
++=−−−=
mmm
mmmm
mmmm
)(e
)(e
)(e
)(e
)(e
)(e
)(e
)(e
usw. Der Wert 0 in der letzten Zeile bedeutet das für einen Massenpunkt verschwindende Massenträgheitsmoment.
Damit folgt:
M
( )( )
+−−+
−++
=
3105
1
221011
3513
3140
124201333
1051
221011
32
3513 00
mhsymmetrisc
ba
mba
,
( )
+
−
=
b
bb
bbba
aa
hsymmetriscEI
4
612
2611
612
23
2
23
4
00
K ,
und es resultiert schließlich das System der Bewegungsgleichungen
[ ]T
tF(t) 000sinˆ−==+ QKqqM .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 90 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.3 Freie ungedämpfte Schwingungen
2.3.1 Das allgemeine Eigenwertproblem
Ausgangspunkt seien die Bewegungsgleichungen
[ ]T
f...qq1, ==+ q0KqqM .
Das Einsetzen des Lösungsansatzes
tiW ee qqq ˆˆ(t) == , .konstˆ =q
liefert das Allgemeine Eigenwertproblem (AEP)
( ) ( ) 0qKM0qKM =+−=+ ˆ.bzwˆ 22 .
Nichttriviale Lösungen für q existieren nur bei Erfüllung der charakteristischen Gleichung des AEP
( ) 02 =+ KMdet .
Diese algebraische Gleichung f-ten Grades in λ² mit sämtlich reellen Koeffizienten hat genau f reelle oder konjugiert komplexe Wurzeln λ², vorausgesetzt, daß eine mehrfache Wurzel bei Vielfachheit m m-fach gezählt wird.
Jeder Lösungswert λ heiße Eigenwert des AEP.
Achtung: Öfter wird auch λ² (oder auch ω²) als Eigenwert bezeichnet, dann wird gern auch anstelle von λ² nur λ geschrieben! Hier soll, wenn λ² gemeint ist, von „Wurzel der charakteristischen Gleichung“ die Rede sein.
Im vorliegenden Abschnitt gelte durchgehend die Voraussetzung
TT KK0MM =>= , .
Dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung reell.
Gilt außerdem 0K > , so sind alle Wurzeln negativ.
Beweis:
( ) 0ˆˆ 2 =+ qKMq λT
Das Auflösen dieser Beziehung nach 2λ− liefert den sogenannten Rayleigh-Quotienten
[ ]qMqqKq
qˆˆˆˆ
ˆ22T
T
R ===− ωλ .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 91 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Dieser Ausdruck ist positiv, weil Zähler und Nenner quadratische Formen sind mit positiv definiten Matrizen K und M.
Gilt nur K ≥ 0, so existieren neben negativen Wurzeln auch Wurzeln und damit Eigenwertpaare vom Wert 0.
K sei im folgenden als mindestens positiv semidefinit (K ≥ 0) vorausgesetzt. Dann gilt für die f Wurzeln der charakteristischen Gleichung:
0... 21 ≤≤≤≤ − λλλ 2
1f2f .
Für die Eigenkreisfrequenz ,kω fk ,...,1= , gilt dann:
02 ≥−= 2kk λω .
Die Eigenwerte sind Paare rein imaginärer Werte (einschließlich eventueller Werte 0)
f1,...,k,i,i kkfkk =−== + .
Zu dem k-ten Eigenwertpaar (also zur k-ten Eigenkreisfrequenz) gehört die k-te Eigenschwingungsform, der k-te Eigenvektor
[ ]T
fkk q...q ˆˆˆ 1k =q ,
für die bzw. den gilt:
( ) 0qKM =+− k2k ˆ .
Alle kq , k = 1,..., f , sind reell.
Der Fall einfacher Wurzeln (alle Eigenkreisfrequenzen sind unterschiedlich)
Zu jedem 22kk ωλ −= gibt es genau einen, bis auf einen beliebigen Faktor eindeutigen,
Eigenvektor kq .
Orthogonalität hinsichtlich der Massen- und der Steifigkeitsmatrix:
Aus
( ) 0ˆˆ 2 =+− iiTk qKMq ω
folgt wegen TT KK,MM == nach Transponieren und Vorzeichenumkehr
( ) 0ˆˆ 2 =+−− kiTi qKMq ω . (1)
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 92 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Die Addition von
( ) 0ˆˆ 2 =+− kkTi qKMq ω (2)
liefert
( ) 0ˆˆ22 =− kTiki qMqω .
Wegen der Ungleichheit der Eigenfrequenzen folgt die
verallgemeinerte Orthogonalitätsbedingung 0ˆˆ =kTi qMq .
Nach Multiplikation von (1) mit 2kω und von (2) mit 2
iω folgt ebenso die
verallgemeinerte Orthogonaltitätsbedingung 0ˆˆ =kTi qKq .
Die Eigenvektoren erfüllen jedoch nicht die gewöhnliche Orthogonalitätsbedingung hinsichtlich der Einheitsmatrix!
Der Fall mehrfacher Wurzeln
Die Wurzel 2k habe die Vielfachheit m .
Dazu existieren m linear unabhängige Eigenvektoren. Die Menge dieser Eigenvektoren ist jedoch nicht eindeutig, weil Linearkombinationen von Eigenvektoren wieder Eigenvektoren sind. Die Eigenvektoren erfüllen i.a. nicht die verallgemeinerten Orthogonalitätsbedingungen. Sie lassen sich jedoch durch geeignete Linearkombinationen orthogonalisieren (Orthogona-lisierungsverfahren von Gram-Schmidt).
Im folgenden soll immer vorausgesetzt werden, daß die Eigenvektoren orthogonalisiert sind.
Dann bilden die f verallgemeinert orthogonalen Eigenvektoren eine vollständige Vektorbasis im f-dimensionalen Vektorraum, und es gilt der Entwicklungssatz:
Jeder beliebige Vektor des f-dimensionalen Vektorraumes läßt sich als Linearkombination der irgendwie normierten Eigenvektoren darstellen.
Lösung im Zeitbereich und Befriedigung der Anfangsbedingungen
Es sei jetzt die positive Definitheit der Steifigkeitsmatrix vorausgesetzt: 0K > .
Die Überlagerung aller Teillösungen mit je 2 Integrationskonstanten liefert
[ ] k
f
1k
tik
tik
kk eDeCt) qq ˆ( ∑=
−+= .
kq sei beliebig normiert (siehe Abschnitt 2.3.2), ( )tq sei reell.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 93 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Es werden deshalb die i. a. komplexen Integrationskonstanten kk D,C ersetzt durch die reellen
( )kkkkkk DCiD,DCC −=+= .
Unter Beachtung der Eulerformel folgt dann
[ ] k
f
1kkkkk tDtCt) qq ˆsincos( ∑
=+= (3)
bzw.
( )∑=
+=f
1kkkkk tA(t) qq ˆsin ϕ (4)
mit
k
k
k
kk
2k
2kk A
C
D
C,DCA arcsinarctan ==+= ϕ .
Diese Lösung wird als grenzstabil (d.h. nicht asymptotisch stabil) bezeichnet.
Bemerkung:
Gilt nur 0K ≥ , so existieren auch Nullwurzeln. Für die einer einfachen Nullwurzel 2lω = 0
entsprechende Teillösung lq gilt dann
( ) .ˆ
,2
llll
lll
tDC(t) qq
0qq
+==−=
Die Lösung ist instabil!
Unter der nun wieder vorausgesetzten Bedingung 0K > mögen folgende Anfangsbedingungen gelten:
( ) ( ) 00 0,0 qqqq ==== tt
(bei 0q gehöre der Punkt zum Formelzeichen!).
Die Auswertung soll nur für die Lösungsform (3) ausgeführt werden. Einsetzen in (3) liefert:
∑∑==
==f
1iiii
f
1iii DC 00 ˆ,ˆ qqqq ω .
Diese Beziehungen können als Darstellung der Vektoren 00 ,qq im Sinne des Entwicklungs-
satzes interpretiert werden.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 94 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Linksmultiplikation mit MqTkˆ und Berücksichtigung der Orthogonalität ergeben
0ˆˆˆ MqqqMq Tkk
TkkC = , 0ˆˆˆ qMqqMq T
kkTkkk D =ω
und für die Konstanten
.ˆˆ
ˆ1D,
ˆˆ
ˆC
kTk
0Tk
kk
Tk
0Tk
k qMqqMq
qMqMqq
k
==
Schlußfolgerung
Das ungedämpfte System führt genau dann harmonische Schwingungen mit einer Eigenkreis-frequenz lω aus, wenn die Anfangsvektoren 0q und 0q zum Eigenvektor lq proportional sind:
llll qqqq ˆ,ˆ 00 βα == ;
denn dann folgt wegen der Orthogonalität 0,0 == kk DC für lk ≠ .
2.3.2 Modalmatrix, Spektralmatrix, Hauptachsentransformation
Es gelte im folgenden die Voraussetzung 0KK0MM >=>= TT , .
Die zeitlich veränderlichen Koeffizienten von kq in der Lösung (3) oder (4) (siehe Abschnitt
2.3.1) werden eingeführt als
Hauptkoordinaten = Normalkoordinaten = modale Koordinaten
( )kkkkkkkk tAtDtCz ϕ+=+= sinsincos .
Damit erhält man als Darstellung der Gesamtlösung:
∑=
==f
1kkkz zQqq ˆ (5)
mit dem Vektor der Hauptkoordinaten [ ]T
f...zz1=z und der Modalmatrix [ ]fqqQ ˆ...ˆ1= .
Die Modalmatrix ist wegen der Unabhängigkeit der Eigenvektoren stets regulär!
Die Transformation (5) von q nach z heißt Hauptachsentransformation.
Aus der Gleichung für zk folgt unmittelbar: Die Hauptkoordinaten zk genügen den entkoppelten Differentialgleichungen
f1,...,k,0(t)z(t)z k2kk ==+ ,
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 95 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
bzw.
0z =+ (6)
mit der Sprektralmatrix
( )
==
2
22
21
f
2k
0
0
diag ω .
Herleitung der entkoppelten aus den ursprünglichen Bewegungsgleichungen
Mittels Einsetzen von (5) in 0KqqM =+ und Linksmultiplikation mit TQ erhält man:
0zKQQzMQQ =+ TT ,
0zKzM =+ 00 (7)
mit der modalen Massenmatrix
MQQM T=0
und der modalen Steifigkeitsmatrix
KQQK T=0 ,
die beide wegen der Orthogonalität der Eigenvektoren Diagonalgestalt haben.
Ihre Diagonalelemente fkcm kk ,...,1,, 00 = heißen modale Massen und modale Steifigkeiten.
Aus dem Eigenwertproblem
kkk qMqK ˆˆ 2= , fk ,...,1=
bzw.
MQKQ =
folgt durch Linksmultiplikation mit QT:
MQQKQQ TT =
bzw.
MK 00 = .
Deshalb überführt die Linksmultiplikation mit 10−M die entkoppelten Gleichungen (7) in (6).
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 96 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Normierung der Eigenvektoren und der Modalmatrix
Es gibt verschiedene Möglichkeiten der Normierung der kq , wie z. B.
• Betragsgrößtes Element = 1,
• Betrag des Vektors 1...21 =++ 2
fkk qq .
Für das AEP ist eine zweckmäßige und häufig gewählte Normierung die Normierung auf die Massenmatrix
EMQQ =00T .
Aus Q = Q0 folgt dann:
.
,
0
0
K
EM
==
2.3.3 Energiebeziehungen und Rayleigh-Quotient
Die Bewegungsgleichungen
0KqqM =+
liefern nach Linksmultiplikation mit Tq den Energie-Erhaltungssatz
( ) ( ) 0=+=+ UTdt
dT KqqMq
mit den Energien
KqqqMq TT UT2
1,
2
1 == .
Einsetzen der Hauptachsentransformation q = Q z liefert:
,2
1
2
1
,2
1
2
1
0
0
zKzzKQQz
zMzzMQQz
TTT
TTT
U
T
==
==
( )∑=
+=+f
1k
2k0k
2k0k zczm
2
1UT
und erklärt die Aufteilung der Gesamt-Energie auf die einzelnen Moden.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 97 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Wie anfangs des Abschnittes 2.3.1 wird wieder der Rayleigh-Quotient eingeführt:
[ ] .ˆˆ
ˆˆˆR
,ˆˆ ˆ
kTk
kTk2
k2k
k2kk
Tk
qMqqKq
q
qMqKq
==
=⋅
ω
ω
Der mit einem Eigenvektor gebildete Rayleigh-Quotient ist gleich dem Quadrat der zugehörigen Eigenkreisfrequenz.
Es ist auch folgende Deutung möglich:
[ ][ ]k
*max
kmaxk T
U
qqˆˆ2 =ω .
Dabei bedeuten bezüglich einer Periode maxU die maximale potentielle Energie und *maxT die
maximale, mit den Verschiebungen gebildete kinetische Energie.
Für einen beliebigen Vektor q~ gilt die Schrankenbeziehung (Einschließungssatz)
[ ] 221 ~~
~~~
fT
T
R ω≤=≤qMqqKq
q .
Beweis:
Nach dem Entwicklungssatz gilt
∑=
=f
kkka
1
ˆ~ qq .
Die Eigenvektoren seien mit der Massenmatrix normiert:
1ˆˆ,ˆˆ == kTk
2kk
Tk qMqqKq ω .
Dann folgt wegen der Orthogonalität
[ ]∑
∑
∑
∑
=
=
=
= ==f
1kk
f
kkk
f
kk
Tkk
f
1kk
Tkk
a
a
a
a
R2
1
22
1
2
2
ˆˆ
ˆˆ~
qMq
qKq
q .
Mit
( ) ( )22221
221
2kffkk −−=−+=
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 98 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
folgt
[ ]( ) ( )
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=−
−=−
+= f
kk
f
kkfk
ff
kk
f
kkk
a
a
a
aR
1
2
1
222
2
1
2
1
21
22
21
~ ωq
mit positiven Brüchen wegen 222
21 ... fωωω ≤≤≤ , was zu beweisen war.
Insbesondere ist es oft möglich, mit einer geeigneten Schätzung 1ˆ~ qq ≈ eine gute obere Schranke für 1ω zu erhalten.
Der Sachverhalt
[ ]q~21 RMin=
heißt auch Rayleighsches Prinzip.
Wählt man q~ so, daß es zu 1q orthogonal ist,
,0ˆ~1 =qMq
so folgt analog unmittelbar
[ ]q~22 RMin=ω
usw.
Außerdem gilt der Rayleighsche Satz (Beweis siehe z. B. [3], Bd. 1, S. 246):
Werden die Koordinaten q einer zusätzlichen (holonomen) Zwangsbedingung
∑=
=f
1kkk 0qb
so unterworfen, daß die triviale Gleichgewichtslage 0q = nicht verändert wird, und bezeichnet man die f-1 Eigenkreisfrequenzen des geänderten Systems mit
11 −f,..., ,
so gilt
22
21
21 ωωω ≤≤ .
Einfache Beispiele sind Zwangsbedingungen der Form
0≡kq oder lk qq ≡ .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 99 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.3.4 Das spezielle Eigenwertproblem
2.3.4.1 Überführung eines allgemeinen Eigenwertproblems (AEP) in ein spezielles (SPEP)
Das spezielle Eigenwertproblem (SPEP) ist dadurch bestimmt, daß die mit dem Eigen-wert(quadrat) multiplizierte Matrix eine Einheitsmatrix ist.
Überführung in ein SPEP mit unsymmetrischer Matrix
Beispiel 1:
( ) 0qMK =− ˆ2ω
Mittels Multiplikation von links mit 1−M erhält man das SPEP
( ) 0qEK =−′ ˆ2ωu (SPU)
mit der unsymmetrischen Matrix
KMK 1’ −=u .
Beispiel 2:
Nach der Kraftgrößenmethode (siehe Abschnitt 2.2.2, Gleichung (1)) erhält man die homogene Gleichung
,0qqMH =+
aus der sich mittels des Lösungsansatzes
tie ωqq ˆ=
das AEP
( ) 0qEHM =+− ˆ2ω
ergibt. Der Übergang zum inversen Eigenwertproblem durch Einführen des inversen Eigenwertes
2
1ω
µ =
liefert das SPEP
( ) 0qEH =−′ ˆµu
mit der unsymmetrischen Matrix
HMH =′u .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 100 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Überführung in ein SPEP mit symmetrischer Matrix
Nach Abschnitt 2.2.2 wird Gebrauch gemacht von der Cholesky-Zerlegung der Massenmatrix
RRM T=
und der Koordinaten-Transformation
uqRuqR ˆˆ, == .
Beispiel 1
Das AEP
( ) ( ) ( ) 0uRKRqRRKqMK =−=−=− − ˆˆˆ 2122 TT ωωω
liefert nach Linksmultiplikation mit ( ) 1−TR das SPEP
( ) 0uEK =−′ ˆ2ωs (SPS)
mit der symmetrischen Matrix
( ) 11 −−=′ RKRK Ts
Bemerkung: Es gilt TT )()( 11 −− = RR , K und ’sK sind kongruent, die Symmetrie bleibt
erhalten.
Beispiel 2:
Aus dem nach der Kraftgrößenmethode erhaltenen SPEP mit unsymmetrischer Matrix (siehe oben)
( ) ( ) 0uRHRqRRRRHqEMH =−=−=− −− ˆˆˆ)( 11 µµµ TT
erhält man durch Linksmultiplikation mit der Matrix R das SPEP
( ) 0uEH =−′ ˆµs
mit der symmetrischen Matrix
Ts RHRH =′ .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 101 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.3.4.2 SPEP mit symmetrischer Matrix
Die Aussagen von Abschnitt 2.3.1. können sinngemäß übernommen werden.
Insbesondere gilt für das SPEP mit symmetrischer Matrix z.B. in der Form (SPS) ([1], S. 222):
Sämtliche f Werte 2ω sind reell.
Für 0K >′s sind sämtliche f Werte 2ω positiv.
Für 0K ≥′s existieren für 2ω auch Starrkörperbewegungen beschreibende Nullwurzeln.
Hat sK′ den Defekt (Rangabfall) d, so tritt eine d-fache Wurzel 02 =ω auf.
Es existieren genau f linear unabhängige Eigenvektoren f,...,k,k 1ˆ =u .
Für unterschiedliche Wurzeln 22ki ≠ erfüllen die Eigenvektoren die gewöhnliche
Orthogonalitätsbedingung 0ˆˆ =kTi uu .
Für mehrfache Wurzeln 2kω sind die zugehörigen Eigenvektoren orthogonalisierbar.
Normiert man die Eigenvektoren gemäß
,1ˆˆ =kTk uu
so gilt für die entsprechende Modalmatrix [ ]fuuQ ˆ...ˆ 1=′ :
1. −′=′=′′ QQEQQ TT bzw .
Dann folgt auch
==′′′−
2fω
ω0
0211 QKQ (Ähnlichkeits-Transformation).
Der Rayleigh-Quotient lautet jetzt
[ ]k
Tk
kTk
kRuu
uKuu
ˆˆ
ˆˆˆ
′=
bzw. bei der oben angenommenen Normierung
[ ] kTkkR uKuu ˆˆˆ ′= .
Wie beim AEP gilt der Einschließungsansatz.
Schätzt man 21ω mit einem geschätzten ,ˆ~
1uu ≈ so ist der Fehler für 21ω um eine Größen-
ordnung kleiner als für .ˆ 1u
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 102 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.3.4.3 SPEP mit unsymmetrischer Matrix
Der Aufgabe
( ) 0qEK =−′ ˆ2ωu (SPU)
wird die Eigenwertaufgabe der transponierten Matrix
( ) 0pEK =−′ ˆ2ωTu
zugeordnet. Wegen
( ) TT 0EKp =−′ 2uˆ ω
heißen die Eigenvektoren p von TuK′ auch Linkseigenvektoren von uK′ , und wegen
( ) ( )EKEK 22 detdet ωω −′=−′ Tuu
stimmen die Wurzeln 2kω für beide Eigenwertaufgaben überein.
Rechts- und Linkseigenvektoren stimmen nur für symmetrische Matrix K′ überein.
Biorthogonalität der Eigenvektoren:
Aus der Addition der Gleichungen
( )( ) 0ˆˆ
0,ˆˆ2 =−′
=−′−
ikuTk
i2iu
Tk
qEKp
qEKp
ωω
folgt unmittelbar
( ) 0ˆˆ22 =− iTkki qpωω .
Für 22i kωω ≠ sind die zugehörigen Links- und Rechtseigenvektoren zueinander orthogonal:
0ˆˆ =iTk qp .
2.3.5 Ausgewählte Methoden zur numerischen Lösung von Eigenwertproblemen
2.3.5.1 Direktes Lösungsverfahren
Das direkte Lösungsverfahren dient der Berechnung der Eigenfrequenzen aus den Nullstellen der charakteristischen Gleichung
( ) 0det 2 =+− KMω
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 103 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
sowie der Eigenvektoren aus dem homogenen Gleichungssystem
( ) 0qKM =+− k2k ˆω , fk ,...1= .
Bequem in der Anwendung ist es nur für 4≤f .
Für eine größere Anzahl von Freiheitsgraden hat es folgende Nachteile:
• Das Aufstellen und Lösen der charakteristischen Gleichung ist sehr aufwendig.
• Es ist empfindlich gegen numerische Ungenauigkeiten.
2.3.5.2 Vektoriteration nach von Mises
Die Vektoriteration nach von Mises dient der Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors für das AEP mit symmetrischen, positiv definiten Matrizen:
( ) 0KK0MM0qKM >=>==+− TT2 ,,ˆω .
Nach Übergang zum SPEP
qqK ˆˆ 2ω=′u , KMK 1−=′u
lautet nach Wahl eines beliebigen Startvektors 0f,q als Ausgangspunkt der allgemeine i-te
Iterationsschritt:
1.bzw −− =′= if,if,1if,uif, KqMqqKq .
Mit der Darstellung
∑=
=f
1kkkf, C qq ˆ0
nach dem Entwicklungssatz folgt
.ˆ
,ˆˆ1
∑
∑ ∑
=
= =
=
=′=
f
1kk
2ikkif,
f
1k
f
1kk
2kkkukf,
C
CC
qqKq
ω
ω
Es sei
2f
21f ωωωω <≤≤≤ −...2
221
mit dem größten (dominanten) Eigenwert 2fω .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 104 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Dann gilt für eine hinreichend hohe Iterationsstufe n:
∑ ∑=
−
=
+
==
f
1kffk
21f
1k f
kk
2nfk
2nkknf, ˆˆˆ qqqq CCC
n
ω
mit
,ˆˆ
,1
21
1
2
ffk
nf
k f
kk
n
f
k
CC
:1f1,...,k
qq <<
−=<<
∑−
=
ωω
d. h.
1nf,fff2n
fn,f C −≈≈ qqq 2ωˆ
bzw.
( ) nf,f,jn-f,,jnf,
jn,f,2f 0qf;1,...,j
q
qqq ≈≠=≈
−
ˆ,, 11
.
Wegen der mit der Anzahl der Iterationen schnell anwachsenden Zahlenwerte ist vor jeder Iteration eine Normierung zweckmäßig.
1, −nfq sei im folgenden als normiert vorausgesetzt. nf,q darf dann nicht auch normiert werden!
Da die Quotienten im Ergebnis für 2fω für unterschiedliche Werte j nicht exakt
übereinstimmen werden, kann man ihren Mittelwert als 2fω nehmen.
Eine bessere Näherung liefert der Rayleighsche Quotient
[ ]f
Tf
fTf2
ffRqMq
qKqq
ˆˆ
ˆˆˆ == ω mit nf,f qq ≈ˆ .
Wegen
1nf,nf, −= KqMq
folgt
[ ] 2f
1nf,T
nf,
nf,T
nf,nf,f R ωω ≤=≈
−Kqq
Kqqq2 .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 105 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes aus dem inversen Eigenwertproblem
Typischerweise interessiert bei Schwingungsaufgaben der betragskleinste Eigenwert.
Deshalb bietet sich als Modifikation des Verfahrens die folgende inverse oder reziproke Vektoriteration an:
( ) 0KKMM0qKM >===+− TT ,,ˆ2ω ,
( )2
1,ˆ
ωµµ ==− 0qKM
Die Multiplikation von links mit 1−K liefert
( ) MKM0qEM 1uu ,ˆ −=′=−′
Analog dem Vorgehen bei der direkten Vektoriteration gelangt man jetzt mit einem Startvektor
0,1q zur Iterationsvorschrift:
111 −′= ,iu,i qMq bzw. 111 −= ,i,i MqKq .
So erhält man nach n Iterationen das Ergebnis:
n,n,n 111,111 ˆ, qqqq ≈≈ −µ ,
[ ]21111
11
11
1112
11
11R
,n-T,n
,nT,n
,nT,n
,nT,n
,n ≤==′≈=Mqq
Mqq
Kqq
Mqqq .
Theoretische Voraussetzung für das Funktionieren der direkten Vektoriteration ist, daß qf,0 nicht orthogonal zu fq , für das Funktionieren der reziproken Vektoriteration, daß q1,0 nicht
orthogonal zu 1q ist. Wegen numerischer Abweichungen bei der Iteration ist Konvergenz jedoch auch in diesen Fällen möglich.
2.3.5.3 Weitere Verfahren
Weitere Modifizierungen der Vektoriteration ermöglichen die Bestimmung weiterer Eigenwerte entweder nacheinander oder gleichzeitig. Das sogenannte „Absieben“ des bereits bekannten Anteils ermöglicht z. B. die Ermittlung des zweitgrößten oder –kleinsten Eigenwertes oder die Simultaniteration mehrerer Eigenwerte.
Schließlich sei noch auf die folgenden, generell nur rechentechnisch realisierbaren Verfahren hingewiesen:
• Verfahren von Jacobi zur Ermittlung aller Eigenwerte mittels einer großen Anzahl von Orthogonaltransformationen;
• Subspace-Iteration nach McCormick/Noe unter Nutzung der Verfahren von von Mises und Jacobi.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 106 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.3.6 Abschätzung von Eigenfrequenzen
2.3.6.1 Abschätzung mittels Matrixnormen
Die 4 Fälle des SPEP mit unsymmetrischer oder symmetrischer Matrix von Abschnitt 2.3.4
( ) ( )( ) ( ) 0uEH0uEK
0qEH0qEK
=−′=−′=−′=−′
ˆ,ˆ
,ˆ,ˆ
s2
s
2u
µωµω u
sollen alle gleichzeitig durch die Schreibweise
( ) 0xEA =−λ
erfaßt werden. (λ hat hier eine andere Bedeutung als im Abschnitt 2.3.1!)
Unter einer Norm eines Spaltenvektors x oder einer quadratischen Matrix A versteht man ein gewisses Größenmaß x oder A in Form einer reellen positiven Zahl.
Sinnvolle Forderungen für die Definition einer Norm (siehe z. B. R. Zurmühl, Matrizen und ihre technischen Anwendungen, Springer-Verlag Berlin ... 1964 und folgende) enthält die folgende Übersicht:
Vektornorm x
a) 0>x
und = 0 nur für x = 0
b) xx cc =
für beliebigen skalaren Faktor c
c) yxyx +≤+
Dreiecksungleichung
Matrixnorm A
a) A > 0
und = 0 nur für A = 0
b) AA cc =
für beliebigen skalaren Faktor c
c) BABA +≤+
d) BAAB ⋅≤
(multiplikative Norm!)
Die Eigenschaft d) schließt aus, daß mit A auch Ac mit einer beliebigen positiven
Konstanten c eine Norm ist!
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 107 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Entsprechende gebräuchliche Normen
( )ix=x und ( )ika=A seien reell.
Vektornormen:
1. ixmax=x
2. ∑= ixx
3. xxxx T== Euklidische Norm
Matrixnormen:
1. ( ) ikafM max== AA Gesamtnorm
2. ( ) ∑==k
iki
aZ maxAA Zeilennorm
3. ( ) ∑==i
ikk
aS maxAA Spaltennorm
4. ( ) ( ) ∑===ki
kiT aSpN
,
2,AAAA Euklidische Norm
Wählt man eine zu einer Vektornorm passende (verträgliche) Matrixnorm, so daß
xAAx ≤
gilt, so folgt aus
xAxAx ≤= λ
wegen 0≠x die Schranke
A≤λ
bei beliebiger multiplikativer Matrixnorm A .
Aus A=maxλ gewinnt man je nach Art des SPEP
• eine Schätzung für maxmax λω =
• oder eine Schätzung für maxmax λµ = , aus der man die wichtigere Schätzung
max
1min λω =
gewinnt.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 108 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Verbesserung der Abschätzung des größten Eigenwertes der −× ff Matrix A mittels der Euklidischen Norm durch Spektralverschiebung
(Beweis siehe R. Zurmühl, Matrizen und ihre technischen Anwendungen, siehe oben).
Erzeugt man die neue Matrix
EAA s−=′ mit )(ASpf
1s = ∑
==
f
iif 1
1 λ
so gilt mit ihrer Euklidischen Norm
( )AAA ′′=′ TSp)(N
für ihren Eigenwert λ′ die Beziehung
( )A′−≤′ Nf
f 1λ .
Für den Eigenwert λ von A erhält man auf diesem Wege die verbesserte Abschätzung
s+′≤ λλ .
2.3.6.2 Abschätzung der 1.Eigenfrequenz nach Dunkerley, Neuber und Southwell
Abschätzung der 1. Eigenfrequenz nach Dunkerley:
Das Verfahren von Dunkerley basiert auf der Extremaleigenschaft des Rayleigh-Quotienten
qKq
qMq~~
~~121
T
T
≥ω
.
Nach Zerlegung der Massenmatrix in beliebige s Anteile ( )rM ,
∑=
=s
r
r
1
)(MM ,
folgt:
∑=
≤=s
r(r)T(r)
(r)(r)T(r)
T
T
Max1 11
11~2
1~~~~1
Kqq
qMqqKqqMq
qω
mit )(1rq als 1. Eigenvektor des Systems mit ( )rM und K.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 109 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Daraus folgt unmittelbar die Dunkerleysche Formel:
∑=
≤s
rr
1)(
121
2
11
ωω
mit )(1
rω als 1. Eigenkreisfrequenz des Systems mit M(r) und K .
Das Erstarrungsverfahren nach Neuber
Für Schwingungssysteme in Gestalt linear-elastischer Fachwerke einschließlich des z. B. in [2], 2. Band, ausführlich behandelten Sonderfalles der elastischen Ketten hat H. Neuber eine Reihe von Sätzen über Frequenzschranken hergeleitet (siehe z. B. H. Neuber, Technische Mechanik, Dritter Teil Kinetik, Springer-Verlag Berlin ... 1974).
Hier soll eine dieser Schranken ohne Beweis mitgeteilt werden. Dazu bilde man aus dem ursprünglichen System alle möglichen s Ersatzsysteme, r = 1,..., s, mit einem Schwingungs-freiheitsgrad, indem alle Federn bis auf eine unendlich steif, also starr gemacht werden. Dabei muß natürlich vorausgesetzt werden, daß die Ersatzsysteme noch schwingfähig sind, das ursprüngliche System muß also bei sämtlich starren Federn ein Mechanismus oder ein statisch bestimmtes System sein; eine unverzweigte Schwingerkette darf z. B. nur ungefesselt oder einseitig gefesselt sein. Die entsprechenden einfachen Steifigkeitsmatrizen seien wieder mit K(r) bezeichnet. Dann gilt
∑=
≤=s
rrrTr
rTr
T
T
Max1
)(1
)()(1
)(1
)(1
~21
~~~~1
qKq
MqqqKqqMq
qω
mit ( )r1q als dem Eigenvektor des Schwingungsfreiheitsgrades des r-ten Ersatzsystems, d. h., von
möglichen Freiheitsgraden, die Starrkörperbewegungen entsprechen, ist abzusehen. Dann erhält man die Abschätzung
∑=
≤s
rr
1)(
121
2
11
ωω.
Abschätzung der 1. Eigenfrequenz nach Southwell
Dieses Verfahren ist komplementär zu dem von Dunkerley. Ausgangspunkt ist hier die folgende Extremaleigenschaft des Rayleighquotienten:
qMqqKq~~~~
21 T
T
≤ω .
Nach Zerlegung der Steifigkeitsmatrix in beliebige s Anteile ( )rK ,
∑=
=s
1r
r)(KK ,
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 110 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
folgt:
∑=
≥=s
rrrTr
rTr
T
T
Min1
)(1
)()(1
)(1
)(1
~21 ~~
~~
qMq
KqqqMqqKq
qω .
Daraus folgt unmittelbar die Southwellsche Formel
∑=
≥s
r
r
1
)(1
21
2
ωω
mit ( )21
rω und ( )r1q als 1. Eigenkreisfrequenz und 1. Eigenvektor des Systems mit M und ( )rK .
Demonstrations-Beispiele
Alle Formeln liefern untere Schranken für die erste Eigenkreisfrequenz. Die Formeln nach Dunkerley und Southwell gelten allgemein, sogar auch bei kontinuierlichen Schwingern. Da die Anwendung auf Schwingerketten besonders einfach und anschaulich ist, seien die folgenden Beispiele auf diesen Fall beschränkt. Hierbei ist zu empfehlen, besonders einfache Teilsysteme mit maximal zwei Freiheitsgraden anzustreben.
Die ausgewählten Beispiele haben lediglich demonstrativen Charakter und sind der Übersicht-lichkeit halber sehr einfach. Dadurch werden die Fehler der Abschätzungen relativ groß. Die Nützlichkeit dieser Abschätzungen kommt natürlich erst bei komplizierteren Systemen zum Tragen.
Beispiel nach Dunkerley und Southwell
Beidseitig gefesselte Schwingerkette
Aus der Eigenwertgleichung
02
22
2
=+−=−−−− 2242 3c4cmm
mcc
cmc
ωω
erhält man
m
c=21ω ,
m
c32
2 =ω .
Die uns interessierende 1. Eigenkreisfrequenz hat also den genauen Wert
m
c=1ω .
c m c m c
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 111 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
c = cers
c = cers
mc
cm
1
2
Dunkerley:
Teilsysteme nach Dunkerley
Mit den Eigenkreisfrequenzquadraten ( )m
c
2321
1 =ω und ( )m
c
2322
1 =ω für die beiden Teilsysteme
liefert die Dunkerleysche Formel die Näherung
m
c
m
c
c
m
3c
2m
3c
2m866,0,
4
3,
3
411
212
1
≥≥=+≤ ωωω
.
Southwell:
Teilsysteme nach Southwell
Für das erste Teilsystem erhält man aus der Eigenwertgleichung
( ) ( ) 024 =+− 2112 c3cmm
das erste Eigenkreisfrequenzquadrat
( )m
c382,0
25321
1 =−=ω .
Für die niedrigste „Eigenkreisfrequenz“ des zweiten Teilsystems gilt
( ) 022
1 =ω .
Damit liefert die Southwellsche Formel
m
c
m
c618,0,382,0 1
21 ≥≥ ωω .
Das Southwellsche Verfahren ist für dieses Beispiel offensichtlich ungeeignet, die Schätzung kaum brauchbar.
c m c m
m m c
1
2
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 112 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Beispiel nach Dunkerley und Neuber
Einseitig gefesselte Schwingerkette
Da die Schwingerkette nur einseitig gefesselt ist, ist auch das Erstarrungsverfahren nach Neuber anwendbar.
Aus der Eigenwertgleichung
02
2
2
=+−=−−−− 2242 c3cmmmcc
cmc
ωω
erhält man
m
c
2
5322,1
±=ω , m
c382,02
1 =ω , m
c618,22
2 =ω .
Die uns interessierende 1. Eigenkreisfrequenz hat also den Wert
m
c618,01 =ω .
Dunkerley:
Teilsysteme nach Dunkerley
Neuber:
Teilsysteme nach Neuber
Für beide Verfahren ergeben sich gleichermaßen die Eigenkreisfrequenzquadrate der Teilsyste-
me ( )m
c=211ω und ( )
2m
c=221ω und damit die Abschätzung
,1
21 c
3m
c
2m
c
m =+≤ω
3m
c≥21ω ,
m
c577,01 ≥ω .
Der Fehler der Abschätzung für 1ω beträgt nach beiden Verfahren -6,6 %.
c m c m
cm
c cm
cm
c 2m
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 113 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Beispiel nach Southwell
Verzweigte Schwingerkette
Um ein „auseinanerfallendes“ Teilsystem wie bei dem obigen „Beispiel nach Dunkerley und Southwell“ zu vermeiden, wird eine verzweigte Schwingerkette gewählt.
Aus der Eigenwertgleichung
042
2
2
=+−=−−−−
2242 ccm2
9m
mc2
5c
cmc
ωω
erhält man
,219,121 m
c=ω m
c281,32
2 =ω .
Die uns interessierende 1. Eigenkreisfrequenz hat also den Wert
m
c,10411 = .
Teilsysteme nach Southwell
Mit den Eigenkreisfrequenzquadraten für die beiden Teilsysteme
( )2m
c=211ω und ( )
m
c
m
c382,0
25322
1 =−=ω
liefert die Southwellsche Formel:
m
c
m
c882,0
253
212
1 =
−+≥ω , m
c939,01 ≥ω .
Der Fehler der Abschätzung für 1ω beträgt -14,9 %.
c cc
mm
c2
c
c
c
cm
m
m
m
c2
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 114 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.4 Freie gedämpfte Schwingungen
2.4.1 Zum Eigenwertproblem bei beliebiger Dämpfungsmatrix
Wir gehen aus von den Bewegungsgleichungen
0KqqDqM =++ , [ ]Tfqq ...1=q .
Mittels des Lösungsansatzes
( ) teˆt λqq = , konstq =ˆ .
erhalten wir das allgemeine Eigenwertproblem
( ) 0qKDM =++ ˆ2 λλ (1)
mit der charakteristischen Gleichung
( ) 02 =++ KDM λλdet .
Das ist eine algebraische Gleichung 2f-ten Grades in λ mit sämtlich reellen Koeffizienten. Daher hat sie genau 2f reelle oder konjugiert komplexe Wurzeln λ, vorausgesetzt, daß eine mehrfache Wurzel mit der Vielfachheit m m-fach gezählt wird.
Das gilt allgemein für beliebige reelle Matrizen, also z. B. auch für den Fall
( ) 0KqqGDqM =+++ mit TDD = , TGG −= .
Wie bereits im Abschnitt 2.2.1 erwähnt, enthält qG keine Dämpfungsglieder, sondern gyrosko-pische Glieder. Außerdem kann die symmetrische Matrix D im allgemeinen auch eine An-fachung verursachen.
Da hier entsprechend der Überschrift aber Schwingungssysteme mit Dämpfung betrachtet wer-den sollen, setzen wir hier und im weiteren folgendes voraus:
0MM >= T , 0DD ≥= T , 0G = , 0KK ≥= T . (2)
Damit gilt folgende Leistungsbilanz:
( ) ( ) 02 =++=++ FUTdt
dT KqqDqMq ,
mit der Dissipationsfunktion
qDq TF21= .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 115 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Daraus folgt
( ) 02 ≤−=+ FUTdt
d,
d.h., die Gesamtenergie nimmt entsprechend einer Schwingungsdämpfung monoton ab.
Die komplexen und die reellen Eigenwerte sollen nun wie folgt dargestellt werden:
kkk iωδλ +−= , kksk iωδλ −−=+ , fs,...,k ≤= 1 ,
kk δλ −= , f,...,sk 212 += .
Wegen der Voraussetzung (2) folgt aus dem Eigenwertproblem (1) nach Multiplikation von links mit dem konjugiert transponierten Vektor *q :
02 =++ qKqqDqqMq ˆˆˆˆˆˆ *** λλ ,
( ) ( )( )qMq2
qKqqMqqDqqDqˆˆ
ˆˆˆˆ4ˆˆˆˆ*
**2**
2,1
−−=
λ
mit
0>qMq ˆˆ * , 0≥qDq ˆˆ * , 0≥qKq ˆˆ * .
Das bedeutet, daß die Realteile von 1λ und 2λ nicht positiv sind:
0≥kδ , s,...,k 1= , 0≥kδ , f,...,sk 212 += .
Durchdringende Dämpfung
Gilt
0>kδ , s,...,k 1= , 0>kδ , f,...,sk 212 += ,
so wird die Dämpfung als durchdringend bezeichnet. Ist die Dämpfung durchdringend, so ist das System asymptotisch stabil, d. h. Störungen klingen mit wachsender Zeit ab und gehen asymp-totisch gegen Null.
Nach dem Charakter der Bewegung kann man folgende Fälle unterscheiden:
Schwach gedämpftes System:
fs = , d. h. 0≠kω , f,...,k 1= .
Das System führt oszillierende Bewegungen aus.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 116 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Stark gedämpftes System:
0<−= kk δλ , f,...,k 21= .
Das System führt Kriechbewegungen aus.
Mischform.
Verschwindender Realteil
Die zu einem Eigenwert kλ mit 0=kδ , ( )sk ,...,1∈ , gehörende Lösung ist grenzstabil, d. h., sie
bleibt mit wachsender Zeit stets beschränkt, falls die Wurzel einfach bzw. ihre Vielfachheit gleich dem Rangabfall der charakteristischen Matrix ist. Anderenfalls ist sie instabil.
Eigenvektoren
Zu jedem Eigenwert kλ läßt sich aus dem Gleichungssystem
( ) 0qKDM =++ kkk ˆ2 λλ
ein Eigenvektor kq bestimmen, sofern alle Eigenvektoren linear unabhängig sind. Das ist der
Fall, wenn alle Eigenwerte einfach sind oder wenn ihre Vielfachheit jeweils gleich dem Rangabfall der charakteristischen Matrix ist.
Dann können wir den f2 Eigenwerten kλ f2 Eigenvektoren zuordnen, die wie im ungedämpf-
ten Fall nur bis auf einen gemeinsamen Faktor aller Elemente eindeutig sind.
Es gilt:
Die zu den konjugiert komplexen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind ebenfalls konjugiert komplex.
Die zu den reellen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind ebenfalls reell.
Die Eigenvektoren sind aber nicht mehr orthogonal hinsichtlich der Massen- und der Steifigkeitsmatrix und demzufolge auch nicht hinsichtlich der Dämpfungsmatrix.
Gilt aber für ein k 0=kδ , ist die Dämpfung also nicht durchdringend, so folgt aus
kk iωλ = , ksk iωλ −=+ :
( ) 0qKDM =++− kkk i ˆ2 ωω ,
( ) 0qKDM =+−− kkk i ˆ2 ωω ,
woraus folgt
( ) 0qKM =+− kk ˆ2ω , 0qD =kˆ ;
d.h., kq ist Eigenvektor des ungedämpften Systems und genügt den bekannten Orthogonalitäts-
bedingungen.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 117 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Allgemeine Lösung eines schwachgedämpften Systems
Entsprechend
kkk iωδλ +−= , kkfk iωδλ −−=+ , f,...,k 1= ,
setzen wir
kkk ˆiˆˆ vuq += , kkfk ˆiˆˆ vuq −=+ .
Mit komplexen Integrationskonstanten kk D,C lautet der k-te Lösungsanteil dann
( ) ( ) ( )kkt
kkkt
kk ˆiˆeDˆiˆeCt fkk vuvuq −++= +λλ .
Führen wir wie beim Schwinger mit einem Freiheitsgrad die reellen Integrationskonstanten
kkk DCC += , ( )kkk DCiD −=
ein, so nimmt der k-te Lösungsanteil folgende Form an:
( ) ( ) ( )[ ]tCDtDCet kkkkkkkkkkt
kk ωωδ sinˆˆcosˆˆ vuvuq −++= − .
Für die Gesamtlösung gilt dann
( ) ( )ttf
kk∑
=
=1
qq .
Da ku und kv nicht proportional zueinander sind, haben alle Koordinaten einer Eigenschwin-
gung im Unterschied zu den ungedämpften Schwingungen i. a. eine andere Phasenlage, so daß sie auch die Nullage zu verschiedenen Zeitpunkten passieren.
2.4.2 Proportionale Dämpfung (Rayleighdämpfung)
Beim ungedämpften Schwingungssystem stellen die Eigenvektoren kq entsprechend der
Hauptachsentransformation die einzige Basis dar, mit der M und K diagonalisiert werden können.
Die Frage der vollständigen Entkopplung des gedämpften Systems, d. h. der simultanen Diagonalisierung aller 3 Matrizen KDM ,, , ist daher gleichbedeutend mit der Frage der Diagonalisierung der Dämpfungsmatrix D mit der gleichen Basis.
Die Antwort (auf den Beweis sei hier verzichtet) lautet:
Notwendig und hinreichend für die Möglichkeit der vollständigen Entkopplung des gedämpften Systems ist die Gültigkeit der sogenannten Vertauschbarkeitsbedingung
DKMKDM 11 −− = .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 118 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Für sämtlich symmetrische Matrizen KDM ,, läßt sich diese Bedingung auch wie folgt schreiben:
( )TKDMKDM 11 −− = .
Diese Bedingung wird z. B. erfüllt durch eine Dämpfungsmatrix der Gestalt
( )∑=
−−=f
k
k
k1
11KMMD α .
(Die Darstellbarkeit von D in dieser Form ist jedoch nicht notwendig.)
Am häufigsten verwendet man nach der sog. Bequemlichkeitshypothese nur die ersten beiden Glieder dieser Summe. Damit erhält man die sog. proportionale Dämpfung oder Rayleigh-Dämpfung
KMD 21 αα += oder KMDωβωα += .
In der letzten Formel ist ω eine beliebige Bezugsfrequenz, so daß α und β dimensionslos sind.
Diskussion
Der globale Dämpfungsansatz der Proportional-Dämpfung spielt besonders in der Strukturdynamik eine große Rolle. Zur Festlegung der Koeffizienten α und β sind folgende Erfahrungen von Bedeutung:
Steifigkeitsproportionale Dämpfung
a) Bei dem Ansatz
0=α , .konst=β
werden die höheren Eigenformen stärker gedämpft. Dadurch werden jedoch die Dämpfungseigenschaften vieler Werkstoffe nicht richtig beschrieben.
b) Für Stahl und andere Metalle sowie für Stahlbeton wird die Werkstoffdämpfung nach Versuchen bei harmonischer Zwangserregung mit der Kreisfrequenz zutreffend beschrieben durch einen Ansatz der Form
0=α , 0= ,
wodurch sich für alle Eigenformen der gleiche Dämpfungsgrad ergibt. Diese Aussage ist näherungsweise auf Eigenschwingungen mit entsprechendem kω anstelle über-
tragbar.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 119 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Masseproportionale Dämpfung
Der Ansatz
.konst=α , 0=β
ist zutreffend für äußere Dämpfung, z. B. bei Schwingungen eines elastischen Modells in einem zähen Medium.
Anders ist die Situation, wenn man im Maschinenbau bewußt Bauelemente mit Dämpfungs-eigenschaften einsetzt, wie z. B. Gummi-Federn, -Kupplungen und –Reifen. Hier wird man in der Regel die Dämpfungsmatrix nicht diagonalisieren können. Häufig kommt man dann jedoch auch bei Vernachlässigung der Koppelglieder zu brauchbaren Ergebnissen (siehe auch [6], S. 229 ff, [7], S. 387 – 389).
Hauptachsentransformation für Proportionaldämpfung (Rayleighdämpfung)
Aus den Bewegungsgleichungen
0KqqDqM =++
erhält man nach Multiplikation von links mit der Matrix TQ sowie mit
Qzq =
die entkoppelten Gleichungen
0KQzQzDQQzMQQ =++ TTT
mit der modalen Dämpfungsmatrix
DQQD T=0
in Gestalt einer Diagonalmatrix.
Wird die Modalmatrix wieder wie beim ungedämpften System auf die Massenmatrix normiert, so erhält man als modale Dämpfungen, also als die Hauptdiagonalelemente von 0D , die
doppelten modalen Abklingkonstanten kδ2 .
Daher haben die entkoppelten Gleichungen die Gestalt
02 20 =++ kkkkk zzz ωδ , f,...,k 1=
mit
+==
2
00 2
1ω
ωβαωωδ kkkk D .
Dabei bedeuten 0kω die k-te Kennkreisfrequenz und kD den k-ten modalen Dämpfungsgrad.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 120 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Lösung im Zeitbereich und Befriedigung der Anfangsbedingungen
Mit der k-ten Eigenkreisfrequenze der gedämpften Schwingungen
220 kkk δωω −=
lassen sich die Teillösungen wie folgt zur Gesamtlösung superponieren:
Fall a) 0≠α , 00 =kω , f,...,sk 1+= :
( ) ( ) k
f
sk
t
kkkkkkk
s
k
t ˆeDCˆtsinDtcosCet k qqq ∑∑+=
−
=
−
+++=
1
2
1
ωαδ ωω ,
Fall b) 0=α , 00 =kω , f,...,sk 1+= :
( ) ( ) ( ) k
f
skkkkkkkk
s
k
t ˆtDCˆtsinDtcosCet k qqq ∑∑+==
− +++=11
ωωδ .
Mittels Linksmultiplikation mit Mqkˆ erhält man aus den vorgegebenen Anfangsbedingungen
( ) 00 qq ==t , ( ) 00 qq ==t
unter Beachtung der Orthogonalität die folgenden Ergebnisse für die Integrationskonstanten:
für sk ≤ :
kT
k
Tk
k ˆˆ
ˆC
qMq
Mqq 0= , [ ]
kT
k
okT
k
kk ˆˆ
ˆD
qMq
qqMq δω
+= 01
,
für sk > , 0≠α , 00 =kω (Fall a)):
kT
k
Tk
k ˆˆ
ˆ
CqMq
qqMq
+
=00
2
ωα,
kT
k
Tk
k ˆˆ
ˆD
qMq
qMq 02
ωα−= ,
für sk > , 0=α , 00 =kω 0=kδ (Fall b)):
kT
k
Tk
k ˆˆ
ˆC
qMq
Mqq 0= , k
Tk
Tk
k ˆˆ
ˆD
qMq
qMq 0= .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 121 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.5 Erzwungene Schwingungen bei periodischer Erregung
2.5.1 Direkte Lösungsmethode
2.5.1.1 Ungedämpfte Systeme
Es gelten die Bewegungsgleichungen
)(tQKqqM =+
mit [ ] [ ]TT
)()()t(,q 1f1 t...QtQ...q f== Qq .
Der Fall einer allgemeinen periodischen Erregung kann mittels Entwicklung der Erregung in eine Fourierreihe und Superposition der Lösungen für die einzelnen Harmonischen auf den Fall einer harmonischen Erregung zurückgeführt werden.
Deshalb wird die weitere Betrachtung auf den Fall einer harmonischen Erregung mit der Erregerkreisfrequenz Ω. Beschränkt.
Die einzelnen Erregungen können noch zueinander phasenverschoben sein. Auf Grund der Umformung
( )
++=+=+=
2QQQQQtQ icisicisiii sinˆsinˆcosˆsinˆsinˆ)(
kann die Gesamtlösung auch in diesem Falle aus Lösungen von Gleichungssystemen der Gestalt
tsinFKqqM =+
mittels Phasenverschiebung um π/2 und Superposition zusammengesetzt werden.
Zur Bestimmung der stationären Ω -frequenten Lösung dient der Lösungsansatz:
tt sin)( uq = .
Einsetzen liefert
( ) FuKM ˆ2 =+− bzw. FHu ˆ=
mit der reellen Frequenzgangmatrix
( ) ( ) .1
2−
+−= KMH
Sie wird in Verallgemeinerung der statischen Nachgiebigkeitsmatrix, Abschnitt 2.2.2, auch als dynamische Nachgiebigkeitsmatrix bezeichnet und ist die Inverse der dynamischen Steifigkeitsmatrix
( ) KMS +−= 2 .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 122 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Setzt man
( ) ( )KM +−= 2det∆
und folgt ( )k∆ aus ∆ durch Ersetzen der k-ten Spalte durch F , so gilt bekanntlich nach der
Cramerschen Regel für die einzelnen Elemente von u
( ) ( )( )u k
k ∆∆= . (1)
Für das folgende ist wesentlich, daß die charakteristische Gleichung nach Abschnitt 2.3.1 wie folgt geschrieben werden kann:
( ) ,0=ω∆
d. h., für Ω = ωj , j ∈ (1, ..., f ), verschwindet in (1) der Nenner.
Es sind folgende Fälle zu unterscheiden:
a) ( ) 0=Ω∆ , ( ) 0≠∆k ,
Übereinstimmung der Erregerkreisfrequenz mit einer der Eigenkreisfrequenzen: jωΩ = ,
Polstelle im Frequenzgang uk (Ω).
Dieser Fall heißt Resonanz (siehe auch Abschnitt 1.5).
Die Resonanzerscheinungen sind typischerweise nicht auf eine Koordinate beschränkt.
b) ∆ (Ω) = 0, jωΩ = ,
( ) 0=Ω∆k für alle k, so daß ( )( ) ∞<
→k
j ∆∆
ωΩlim .
Das ist der Fall, wenn der Kraftvektor F orthogonal zum Eigenvektor jq ist:
0ˆˆ =jT qF (denn dann gilt: ( ) 0ˆˆˆ ==+− FquKMq T
j2j
Tj ).
Dieser Fall heißt Scheinresonanz.
Trotz Erregung mit einer Eigenfrequenz bleiben die Ausschläge endlich; die Freqenzgänge weisen keine Polstellen auf.
c) ( ) 0≠∆ ,
( ) 0=k∆ für ein bestimmtes k.
Es liegt eine Schwingungstilgung für die k-te verallgemeinerte Koordinate vor. Es wird keine der k-ten Koordinate entsprechende stationäre Schwingungsbewegung erregt.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 123 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Beispiel:
Einseitig gefesselte ungedämpfte Schwingerkette mit harmonischer Zwangserregung
Für die harmonische Zwangserregung gelte
tFtF,tFtF sinˆ)(sinˆ)( 2211 == .
Damit folgen die inhomogenen Bewegungsgleichungen
tsinFKqqM =+
mit
=
−
−=
==
=
2
1
2
1
F
Fcmm
q
qˆ
ˆˆ,
22
25,
10
01, FKEMq
Aus der Eigenwertgleichung
( ) 06722
25 2242
2
2
=+−=+−−
−+−= ccmm
cmc
ccm∆
ergeben sich die Eigenkreisfrequenzquadrate
m
c,
m
c 622
21 == ,
und man erhält damit die auf die Massenmatrix normierten Eigenvektoren
−
=
=
1
2
5
1ˆ,
2
1
5
1ˆ 21
mmqq .
Symbolische Darstellung der Eigenschwingungsformen
3cm
2cm
q1 q2
F (t)1 F (t)2
q1,1
q1,2
q2,1
q2,2
mq 5ˆ
mq 5ˆ
1
1
2
2
1. Eigenschwingungsform
2. Eigenschwingungsform
Knoten
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 124 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Bestimmung der Frequenzgänge
Mittels des Ansatzes
sinuq = , ( ) FuKM ˆ2 =+−
erhält man die Frequenzgänge, d.h. die stationären Amplituden in Abhängigkeit von Ω:
( )( )u k
k = , ( )cmc
ccm
22
252
2
+−−−+−
= .
Mit der Bezugskreisfrequenz m
c= und dem Abstimmungsverhältnis ω
η = folgt:
( ) ( )( )6122
25 222
2
22 −−=
+−−−+−
= cc .
sowie
( )[ ]212
22
12
2
11
ˆ2ˆ22ˆ
2ˆ
2ˆ2ˆ
FFcF
Fc
cmF
cF +−−=+−
−=+−
−= ,
( )[ ],FFcF
Fc
Fc
Fcm2
21
2
12
2
12
2ˆ5ˆ2
ˆ2
ˆ5ˆ2
ˆ5 −−=−
+−=−
+−=
d.h.
( )( )( )61
ˆ2ˆ2122
212
1−−+−−=
ηηη FF
cu ,
( )( )( )61
ˆ5ˆ2122
22
12
−−−−=
ηηη FF
cu .
Zur numerischen Auswertung werden die dimensionslosen Größen sf und su eingeführt:
sF fF 0ˆ = , sc
Fuu 0= .
Damit folgt ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) .61
52 ,
61
22)(
22
22
1222
212
1−−
−−=−−+−−=
ηηηη
ηηηη ss
sss
s
ffu
ffu
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 125 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Die folgenden Bilder zeigen die Frequenzgänge ( )1ηsu und ( )2ηsu für verschiedene Spaltenvek-
toren der dimensionslosen Amplituden der Erregerkräfte sf . Nullstellen weisen jeweils auf
Tilgungseffekte hin.
0 1 2 33
1.5
0
1.5
33
3−
0u s η( )1
u s η( )2
30
2 6
η
Amplitudenverlauf bei Krafterregung an der Masse 1
0 1 2 33
1.5
0
1.5
33
3−
0u s η( )1
u s η( )2
30
1 6
η
Amplitudenverlauf bei Krafterregung orthogonal zum ersten Eigenvektor
0 1 2 33
1.5
0
1.5
33
3−
0u s η( )1
u s η( )2
30
2 7
η
Amplitudenverlauf bei Krafterregung durch 121 == ss ff
0 1 2 33
1.5
0
1.5
33
3−
0u s η( )1
u s η( )2
30
5 6
η
Amplitudenverlauf bei Krafterregung an der Masse 2
0 1 2 33
1.5
0
1.5
33
3−
0u s η( )1
u s η( )2
30
1 6
η
Amplitudenverlauf bei Krafterregung orthogonal zum zweiten Eigenvektor
0 1 2 33
1.5
0
1.5
33
3−
0u s η( )1
u s η( )2
30
3 6
η
Amplitudenverlauf bei Krafterregung durch 121 =−= ss ff
−
=5,0
1sf
=
0
1sf
=
1
0sf
=
1
5,0sf
=
1
1sf
−
=1
1sf
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 126 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.5.1.2 Gedämpfte Systeme
Mit der gleichen Begründung wie im Abschnitt 2.5.1.1 wird die Betrachtung auf den folgenden Fall beschränkt:
tsinFKqqDqM =++ .
Gesucht seien stationäre Schwingungen im Sinne der −Ω frequenten Partikulärlösung. Dementsprechend wird folgender Lösungsansatz verwendet:
( ) t cossin vuq += .
Mittels Einsetzen und Koeffizientenvergleich für sin Ωt und cos Ωt folgt:
=
−−−
0
Fv
u
MKD
DMK2
2 ˆ.
Das System ist eindeutig auflösbar nach u und v, wenn MK 2Ω− und/oder D regulär sind.
Dann ist eine der folgenden Darstellungen möglich (durch entsprechendes Auflösen der 2. Matri-zen-Gleichung):
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] .ˆ
ˆ
2212
1222
FvDMKDMK
,FuDMKDMK
−=−−−
=−+−−
−
Diskussion:
• MK 2− ist singulär, wenn Ω mit einer Eigenkreisfrequenz ( )fkk ,...,1,0 ∈ω des
ungedämpften Systems übereinstimmt.
• D ist singulär, wenn die Dämpfung nicht vollständig ist.
Komplexe Rechnung
Häufig ist wie beim Schwinger mit einem Freiheitsgrad die Rechnung im Komplexen bequemer.
Dazu wird die Erregung tΩsinF zu der komplexen Erregung
( ) tietit FFF ˆsincosˆ =+=
ergänzt.
Die eigentliche Schwingung ist dann wieder der Imaginärteil der komplexen Lösung:
,ˆ~,~)( tikk
ti keuuet == uq
( ) ( )kkkkk tutuq ψβ −=+= sinˆsinˆ .
Hier ist kψ der Nacheilwinkel der verallgemeinerten Koordinate qk.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 127 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Aus der komplexen Differentialgleichung
tiˆ eFFqKqDqM ==++
erhält man dann nach Einsetzen des Lösungsansatzes die Gleichung
( ) FuKDM ˆ~2 =++− i
mit der jetzt komplexen dynamischen Steifigkeitsmatrix
KDMS ++−= i2)( .
Der Vektor der komplexen Amplituden ergibt sich zu
FHu ˆ)(~ ⋅=
mit der komplexen Frequenzgangmatrix (dynamischen Nachgiebigkeitsmatrix)
( ) 121 )()(−− ++−== KDMSH i .
In Vorbereitung der Lösung für ein Beispiel sollen nun mit Hilfe von Bezugsgrößen dimensionslose Matrizen eingeführt werden.
Mit
pFCKBDAM 0ˆ,,, Fcbm ====
folgt:
tFcbm sin0pCqqBqA =++
bzw. in komplexer Form und nach Division durch c:
tiec
FDpqCqBqA 0
020
21 =++ ωω
mit 0
D2m
b
m
c ==== ηωδδω ,,,
0
20 .
Nach Einsetzen des Lösungsansatzes
tikk
ti keuueu ˆ~~ ==q
folgt analog der dimensionsbehafteten Rechnung
( ) puCBAc
Fi2D 0=++− ~2 ηη .
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 128 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Mit
( )CBA ++−=+= i2DdetiSR 2η∆
und der aus ∆ mittels Ersetzens der k-ten Spalte durch die rechte Seite folgenden Determinante
kkk isr +=
erhält man
iSR
isru kkk
k ++==~ ,
SsRr
SrRs,
SR
sru
kk
kkk
kkk +
−=++= tanˆ
22
22
.
Beispiel:
Einseitig gefesselte Schwingerkette mit harmonischer Zwangserregung und Relativdämpfung
Mit den Erregerkräften
tpFtFtF
tpFtFtF
sinsinˆ)(
,sinsinˆ)(
2022
1011
==
==
erhält man nach Aufstellung der Bewegungsgleichungen:
−
−=
−
−=
==
22
25,
11
11,
10
01CBEA ,
0
22
0
11
2
1ˆˆ
F
Fp,
F
Fp,
p
p==
=p .
Zunächst wird untersucht, ob die Dämpfungsmatrix diagonalisierbar ist.
Da A, B und C symmetrisch sind, lautet die Vertauschbarkeitsbedingung (siehe Abschnitt 2.4.2) hier:
( )TCBACBA 11 −− =
3c
m
2c
m
q1 q2
F (t)1 F (t)2
b
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 129 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
bzw. wegen A = E :
( )TBCBC = .
Wegen
( )TBCBC ≠
−
−=
47
47
können die Gleichungen nicht modal entkoppelt werden.
Zur numerischen Auswertung des Beispiels werden entsprechend
2,1,,ˆˆ =−== kqc
Fu kkk
0k β
die dimensionslosen Amplituden kq und die Nacheilwinkel kψ eingeführt.
Die folgenden Bilder zeigen die dimensionslosen Amplituden kq und die Nacheilwinkel kψ für
verschiedene Spaltenvektoren der dimensionslosen Amplituden der Erregerkräfte p .
Bei der Interpretation der Bilder ist folgendes zu beachten:
• Bei einem großen Wert für D (siehe den Fall 3=D ) erfolgt jeweils eine Annäherung an den Schwinger mit einem Freiheitsgrad, der bei starrer Verbindung der beiden Massen-punkte aus dem System entsteht.
• Im dritten Fall ( 0201ˆ,2ˆ FFFF −== ) liegt an der ersten Resonanzstelle Scheinresonanz vor.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 130 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
66
0
0.333
q 0 η( )1
q 01 η( )1
q 04 η( )1
q 3 η( )1
30
1 2.4495
η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
3.5
0.5−
π−
π
arg q 0 η( )1( )arg q 01 η( )1( )−
arg q 04 η( )1( )−
arg q 3 η( )1( )−
3.0
1 2.4495
η
Amplituden- und Phasenfrequenzgang für 1q für verschiedene Dämpfungsgrade
bei 0ˆ,ˆ201 == FFF
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
66
0
0.333
q 0 η( )2
q 01 η( )2
q 04 η( )2
q 3 η( )2
30
1 2.4495
η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
4
66.5
0.5−
π−
π
φ 20 η( )
φ 201 η( )
φ 204 η( )
φ 23 η( )
3.0
1 2.4495
η
Amplituden- und Phasenfrequenzgang für 2q für verschiedene Dämpfungsgrade
bei 0ˆ,ˆ201 == FFF
D = 0
D = 0,1
D = 0,4
D = 3
1q 2q
η η
ψ1 ψ2
η
η
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 131 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
7
88
0
0.333
q 0 η( )1
q 01 η( )1
q 04 η( )1
q 3 η( )1
30
1 2.4495
η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
3.5
0.5−
π−
π
arg q 0 η( )1( )arg q 01 η( )1( )−
arg q 04 η( )1( )−
arg q 3 η( )1( )−
3.0
1 2.4495
η
Amplituden- und Phasenfrequenzgang für 1q für verschiedene Dämpfungsgrade
bei 021ˆˆ FFF ==
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
7
88
0
0.333
q 0 η( )2
q 01 η( )2
q 04 η( )2
q 3 η( )2
30
1 2.4495
η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
4
66.5
0.5−
π−
π
φ 20 η( )
φ 201 η( )
φ 204 η( )
φ 23 η( )
3.0
1 2.4495
η
Amplituden- und Phasenfrequenzgang für 2q für verschiedene Dämpfungsgrade
bei 021ˆˆ FFF ==
D = 0
D = 0,1
D = 0,4
D = 3
1q 2q
η η
η
η
ψ1 ψ2
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 132 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
66
0
0.333
q 0 η( )1
q 01 η( )1
q 04 η( )1
q 3 η( )1
30
1 2.4495
η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
3.5
0.5−
π−
π
arg q 0 η( )1( )arg q 01 η( )1( )−
arg q 04 η( )1( )−
arg q 3 η( )1( )−
3.0
1 2.4495
η
Amplituden- und Phasenfrequenzgang für 1q für verschiedene Dämpfungsgrade
bei 0201ˆ,2ˆ FFFF −==
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
66
0
0.333
q 0 η( )2
q 01 η( )2
q 04 η( )2
q 3 η( )2
30
1 2.4495
η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 34
2
0
2
4
66.5
3.142−
π−
πφ 20 η( )
φ 201 η( )
φ 204 η( )
φ 23 η( )
3.0
1 2.4495
η
Amplituden- und Phasenfrequenzgang für 2q für verschiedene Dämpfungsgrade
bei 0201ˆ,2ˆ FFFF −==
D = 0
D = 0,1
D = 0,4
D = 3
1q 2q
η η
η
η
ψ1 ψ2
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 133 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
2.5.2 Modale Methode der Entwicklung nach Eigenschwingungsformen
Ausgangspunkt ist wie im vorigen Abschnitt das Gleichungssystem
sinFKqqDqM =++ .
Wie im Abschnitt 2.4.2 wird eine Hauptachsentransformation und eine Multiplikation von links mit der Transponierten der auf die Massenmatrix normierten Modalmatrix vorgenommen:
Qzq = ,
TTTT sinFQKQzQzDqQzMQQ =++ .
Dabei gilt:
EMQQ =T , ( )20k
T diagKQQ == .
Hinsichtlich der Dämpfung wird wieder proportionale Dämpfung oder Vernachlässigung der Nichthauptdiagonalglieder vorausgesetzt.
Dann gilt allgemein:
( )kT δ2diagDQQ = .
Bei Proportionaldämpfung gilt darüber hinaus speziell:
( ) EdiagDQQωβωαδ +== k
T 2 .
Neben der modalen Abklingkonstanten kδ wird noch der modale Dämpfungsgrad
0k
kkD
ωδ=
eingeführt. Damit erhält man die entkoppelten Bewegungsgleichungen
Zzzz kkkkkk sinˆ2 20 =++
mit den modalen Erregerkraftamplituden der einzelnen Hauptkoordinaten
Fq ˆˆZ Tkk = .
Die einzelnen Gleichungen können nun wie beim harmonisch erregten Schwinger mit einem Freiheitsgrad gelöst werden.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 134 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Bei Beschränkung auf die eingeschwungene Ω -freqente Lösung ergibt sich:
( ) ( )kkk ztz −= sinˆ , f,...,k 1= ,
kkk Vzz 0= , 20
20
0
k
Tk
k
kk
ˆˆZz
ωωFq== ,
( ) 2222 41
1
kkk
k
DV
ηη +−= , 21
2tan
k
kkk
D
−= .
Im Hinblick auf eine Rückrechnung in die Originalkoordinaten q im Matrizenkalkül empfiehlt sich die Zerlegung in den sin - und den cos -Anteil.
Mit den vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad übernommenen Beziehungen
( ) kkk ttt sincoscossinsin −=− ,
( ) kkk V21cos −= , kkkk VD2sin =
folgt
( ) ( )( ) 2222
2
20 41
cos2sin1ˆˆ
kkk
kkk
k
Tk
kD
tDttz
ηηηη
ω +−
−−= Fq
bzw.
( ) tgtgtz Tkk
Tkkk cosˆˆsinˆˆ 21 FqFq −=
mit
( )[ ] ( ) 222220
220
222220
2
1
441
1
D
g
kk
k
kkkk
kk
+−
−=+−
−= ,
( )[ ] ( ) 222220
222220
2
4
2
41
2
D
Dg
kk
k
kkkk
kkk
+−=
+−= .
Mit Hilfe der Hauptachsenrücktransformation
Qzqq == ∑=
f
kkk
ˆz1
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 135 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
erhält man schließlich
( ) ∑=
−=f
k
Tkkk
Tkkk tgtgt
121 cosˆˆˆsinˆˆˆ FqqFqqq
oder
( ) t cs cosˆsinˆ qqq −=
mit
FQQGq ˆˆ Ts 1= , FQQGq ˆˆ T
c 2=
( )kg11 diagG = , ( )kg22 diagG = .
Die modale Methode ist – entsprechend vereinfacht – auch im ungedämpften Falle anwendbar, bringt dort aber keine Vorteile.
Näherung
Bei schwachgedämpften Systemen überwiegt in der Nähe einer Eigenkreisfrequenz jω bei
hinreichendem Abstand von den benachbarten Eigenkreisfrequenzen 1−jω und 1+jω der Einfluß
der j -ten Hauptkoordinate jz . Daher kann man für diesen speziellen Frequenzbereich mit der
folgenden wesentlich einfacheren Näherung rechnen:
( ) ( ) ( ) ( )j
j
jTjjjj
Tjjjj t
Vtgtgtzt ψΩ
ωΩΩ −=−== sinˆˆˆcossinˆˆˆˆ
20
21 FqqFqqqq .
Beispiel:
(siehe auch Abschnitte 2.5.1.1, 2.5.1.2)
Einseitig gefesselte Schwingerkette mit harmonischer Zwangserregung und Absolutdämpfung
Mit den Erregerkräften
tFtF,tFtF sinˆ)(sinˆ)( 2211 ==
3c
m
2c
m
q (t)1 q (t)2
F (t)1 F (t)2
b b
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 136 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
erhält man die Bewegungsgleichungen
tsinFKqqDqM =++
mit
=
−
−=
=
=
2
1
F
Fcbm
ˆ
ˆˆ,
22
25,
10
01,
10
01FKDM .
Wegen MDm
b= liegt Rayleigh-Dämpfung vor. Vom Eigenwertproblem des ungedämpften
Systems sind bekannt:
−
=
===
1
2
5
1ˆ
2
1
5
1ˆ6 21
220
210
m,
m,
m
c,
m
cqq .
Mit der Modalmatrix
−
=12
21
m5
1Q
ergeben sich die Matrix der modalen Massen
===
10
010 EMQQM T ,
die Matrix der modalen Steifigkeiten
=
==
60
01
0
0220
210
0 m
cT
ωω
KQQK
und die Matrix der modalen Dämpfungen
=
==
10
01
20
02
2
10 m
bT
δδ
DQQD .
Daraus folgt
2m
b
m
c
m
c ==== 21220
210 ,6, δδωω ,
6cm2
bD,
cm2
bD 21 == .
Hier zeigt sich der für massenproportionale Dämpfung typische Sachverhalt kleinerer Dämpfungsgrade für höhere Moden.
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 137 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Mit den Modalen Erregerkraftamplituden
[ ] ( ) ( )21221
2
11
ˆˆ25
1ˆ und ˆ2ˆ5
1ˆ
ˆ21
5
1ˆ FFm
Z FFmF
F
mZ −=+=
= ,
ergibt sich das System der entkoppelten Differentialgleichungen:
21sinˆ)()(2)( 20 ,kt,Ztztztz kkkkkk ==++ .
Hierbei ist die folgende physikalische Dimension von kz zu bedenken: [ ] MasseLängezk ⋅= .
Es folgt die Lösung
( )kkk tztz −= sinˆ)(
mit
( ) ( ).FFm
c
Zz, FF
m
c
Zz, Vzz kkok 212
20
220212
10
110
ˆˆ256
1ˆˆˆ2ˆ
5
1ˆˆˆˆ −==+===
Für Vk und ψk gelten die in der allgemeinen Theorie dieses Abschnittes angegebenen Formeln.
Mit
22
2222
2
222
2
m
b
m
c
m
b
g,
m
b
m
c
m
c
g
+
−
=
+
−
−= 2111 ,
22
222
22
22
222
2
12
mb
m6c
mb
g,
mb
m6c
m6c
g
+
−
=+
−
−=
ergeben sich danach die Gesamtlösungen
( )( )
( )( ).cossinˆ2ˆ25
1)(
,cossinˆ2ˆ5
1)(
2212212
2111211
tgtgFFm
tz
tgtgFFm
tz
−−=
−+=
Schließlich erhält man damit die Lösung in den ursprünglichen Koordinaten
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ].tztzm
(t)q
,tztzm
(t)q
212
211
225
1
25
1
+=
+=
Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik
Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 138 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling
Literatur:
[1] Fischer, U.; Stephan, W.: Mechanische Schwingungen, Fachbuchverlag Leipzig-Köln 1993
[2] Klotter, K.: Technische Schwingungslehre, Erster Band: Einfache Schwinger, Teil A: Lineare Schwingungen, Springer-Verlag Berlin ... 1988
Zweiter Band: Schwinger mit mehreren Freiheitsgraden (Mehrläufige Schwinger), Springer-Verlag Berlin ... 1962
[3] Hagedorn, P., Otterbein, S.: Technische Schwingungslehre, Lineare Schwingungen diskreter mechanischer Systeme, Springer-Verlag Berlin ... 1987
Hagedorn, P.: Technische Schwingungslehre, Band 2, Lineare Schwingungen kontinuierlicher mechanischer Systeme, Springer-Verlag Berlin ... 1989
[4] Wittenburg, J.: Schwingungslehre, Lineare Schwingungen, Theorie und Anwendungen, Springer-Verlag Berlin ... 1996
[5] Magnus, K.; Popp, K.: Schwíngungen, Teubner Studienbücher Mechanik, B. G. Teubner Stuttgart 1997
[6] Gasch, R.; Knothe, K.: Strukturdynamik,
Band 1: Diskrete Systeme, Springer-Verlag Berlin ... 1987
Band 2: Kontinua und ihre Diskretisierung, Springer-Verlag Berlin ... 1989
[7] Holzweißig, F., Dresig, H.: Lehrbuch der Maschinendynamik, Fachbuchverlag Leipzig-Köln 1995
[8] Petersen, C.: Dynamik der Baukonstruktionen, Vieweg 1996
[9] Waller, H.; Schmidt, R.: Schwingungslehre für Ingenieure, Theorie, Simulation, Anwendungen, B.I. Wissenschaftsverlag Mannheim ... 1989
[10] Irretier, H.: Grundlagen der Schwingungstechnik 1 und 2, Vieweg 2000 und 2001
[11] Stephan, W.; Postl, R.: Schwingungen elastischer Kontinua, B. G. Teubner Stuttgart 1995
Recommended