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7/23/2019 solucionario sexta
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Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 1 de 100
Problema 1 (Ref: Pg. 223 - Ej. 5)
Una mquina de refrescos se ajusta para que la cantidad de bebida que sirve promedie 240 mililitros
con una desviacin estndar de 15mililitros. La mquina se verifica peridicamente tomando una
muestra de 40 bebidas y se calcula el contenido promedio. Si la media de las 40 bebidas es un valor
dentro del intervaloxx
2 , se piensa que la mquina opera satisfactoriamente, de otra forma, se
ajusta. En la seccin 8.4, el funcionario de la compaa encuentra que la media de 40 bebidas esx
=236 mililitros y concluye que la mquina no necesita un ajuste Esta fue una decisin razonable?
Datos:
Variable aleatoria X: cantidad de bebida que sirve una mquina (en mililitros).Tamao de la muestra n = 40 bebidas.Desviacin estndar poblacional x= 15 mililitros.Media poblacional x= 240 mililitros.Media muestral x =
x = 240 mililitros.
Desviacin estndar muestraln
x
x 2.3717 mililitros.
Incgnita:
xxxx 22 x
Solucin:
Reemplazando con nuestros datos
240 ml.(2)(2.372 ml.) x 240 ml. + (2)(2.372 ml.)
240 ml.4.744 ml. x
240 ml. + 4.744 ml.235.257 ml. x 244.743 ml.
Respuesta:
Esta fue una decisin razonable puesto que 236 ml., que es la media encontrada se encuentra dentro delintervalo definido.
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 2 de 100
Problema 2 (Ref: Pg. 223 - Ej. 9)
La vida media de una mquina para hacer pasta es de siete aos, con una desviacin estndar de un
ao. Suponga que las vidas de estas mquinas siguen aproximadamente una distribucin normal,
encuentre:
a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nueve de estas mquinas caiga
entre 6.4 y 7.2 aos;
b) El valor de x a la derecha del cual caera el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de
tamao nueve.
Datos:
Variable aleatoria X: vida til de una mquina de hacer pasta (en aos).Media poblacional x = 7 aos.Desviacin estndar poblacional x = 1 ao.Tamao de la muestra n = 9 mquinas.
a)Incgnita:P(6.4 x 7.2)
Solucin:
1.8zP0.6zP0.6z1.8P
31
77.2
n
X
31
76.4P
x
x
Aplicando Tabla A.3. = 0.72570.0359 = 0.6898 = 68.98%.
Respuesta:
La probabilidad de que la vida media de una muestra de 9 de esas mquinas caiga entre 6.4 aos y 7.2 aos esdel 68.98%.
b)Incgnita:Un valor de x que deje a su derecha un rea del 15% y por lo tanto un rea del 85% a su izquierda.
Solucin:
Con 7_ x
aos y 85.015.01
346667.773
1*04.1
3
1
704.1
__
85.085.0
x
xZZZ
Aos
x = 7.35 aos
Respuesta:El valor de x que deja a su derecha un rea del 15% es 7.35 aos.
)(3
1
9
1
(aos)7,N~X
xx
xxxx
aos
n
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Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 3 de 100
Problema 3 (Ref: Pg. 223/224 - Ej. 10)
El tiempo que el cajero de un banco con servicio en el automvil atiende a un cliente es una variable
aleatoria con media = 3.2 minutos y una desviacin estndar = 1.6 minutos. Si se observa una
muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea:
a) a lo ms 2.7 minutos;
b) ms de 3.5 minutos;
c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos.
Datos:
Variable aleatoria X: tiempo que un cajero atiende a un cliente (en minutos).Media poblacional x= 3.2 minutos.Desviacin estndar poblacional x= 1.6 minutos.Tamao de la muestra n = 64 clientes.
a) Incgnita:P( x 2.7)
Solucin:
2.5zP8
1.6
3.22.7
n
XP
x
x
= Aplicando Tabla A.3. = 0.0062 = 0.62%
Respuesta:
La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea a lo ms 2.7 minutos es de 0.62%.
b) Incgnita:P( x > 3.5)
Solucin:
0.93321.5zP11.5zP
64
1.6
3.23.5
n
XP
x
x
= Aplicando Tabla A.3. = 0.0668 = 6.68%.
Respuesta:
La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea ms 3.5 minutos es de 6.68%.
c) Incgnita:P(3.2 x 3.4)
Solucin:
0zP1zP1z0P
641.6
3.23.4
n
X
641.6
3.23.2P
x
x
Aplicando Tabla A.3 = 0.84130.5000 = 0.3413 = 34.13%.Respuesta:La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero este entre 3.2 y 3.4 minutos es de34.13%.
)(8
6.1
64
1.6
(aos)3.2,N~X
xx
xxxx
aosn
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 4 de 100
Problema 4 (Ref: Pg. 224 - Ej. 12)
Se toma una muestra aleatoria de tamao 25 de una poblacin normal que tiene una media de 80 y una
desviacin estndar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tamao 36 se toma de una poblacin
normal diferente que tiene una media de 75 y una desviacin estndar de 3. Encuentre la probabilidad
de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculada de las 36
mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9. Suponga que las medias se miden al dcimo ms
cercano.
Datos:
Tamao de la primer muestra n1= 25.
Media de la primer poblacin 1= 80.
Desviacin estndar de la primer poblacin 1= 5.
Tamao de la segunda muestra n2= 36.
Media de la segunda poblacin 2= 75.
Desviacin estndar de la segunda poblacin 2= 3.
Incgnita:
5.9XX3.4P21
Solucin:
Utilizando el Teorema 8.3; el que dice:
con nuestros datos:
21 x-x
8075 = 5 y 118.1
36
9
25
25
21 x-x
Si se extraen al azar muestras independientes de tamao1
n y2
n de dos poblaciones, discreta o continuas,
con medias1
y2
y varianzas2
1 y2
2 , respectivamente, entonces la distribucin muestral de las
diferencias de las medias,21
XX ,est distribuida aproximadamente de forma normal con media y varianza
dadas por
21x-x
11
y2
2
2
1
2
12
x-x
n
n
21
.
De aqu
2
2
21
2
1
2121
nn
XX
Z
es aproximadamente una variable normal estndar.
125
5
80,N~X
1
x
x
xxxx1
1
1
1111
n
2
1
36
3
75,N~X
2
x
x
xxxx2
2
2
2222
n
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 5 de 100
0.8050z1.4311P
1.118034
55.9
2
n
2
2
1
n
2
1
2
1
2X
1X
1.118034
53.4P5.9
2X
1X3.4P
1.4311zP0.8050)P(z Aplicando Tabla A.3. = 0.78960.0762 = 0.7134 = 71.34%.
Respuesta:
La probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculadade las 36 mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9 es de 71.34%.
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Problema 5 (Ref: Pg. 236 - Ej. 1)
Para una distribucin ji cuadrada encuentre.
a) 20.025
cuando = 15;
b) 20.01
cuando = 7;
c) 20.05
cuando = 24.
a)Segn Tabla A.5 20.025
cuando = 15 => 27.488
Respuesta:
El valor 2con 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 27.488.
Grfica:
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b)Segn Tabla A.5 20.01
cuando = 7 => 18.475
Respuesta:
El valor 2
con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a su derecha es 18.475.
Grfica:
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 8 de 100
c)Segn Tabla A.5 20.05
cuando = 24 => 36.415
Respuesta:
El valor 2con 24 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 36.415.
Grfica:
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 9 de 100
Problema 6 (Ref: Pg. 236 - Ej. 3)
Para una distribucin ji cuadrada encuentre 2
tal que:
a) P(2> 2
) = 0.99 cuando = 4;
b) P(2> 2
) = 0.025 cuando = 19;
c) P(37.652 < 2
< 2
) = 0.045 cuando = 25.
a)P(2> 2
) = 0.99 cuando = 4
Segn Tabla A.5 => 2
= 0.297
Respuesta:
El valor de 2que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99 es decir 99 %, con 4 grados de libertad es0.297.
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 10 de 100
b)P(2> 2
) = 0.025 cuando = 19
Segn Tabla A.5 => 2
= 32.852
Respuesta:
El valor de 2que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.025 es decir 2.5 %, con 19 grados de libertades 32.852.
Grfica:
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 11 de 100
c)P(37.652 < 2< 2
) = 0.045 cuando = 25
=> 2
= 37.652 =>= 0.05
=>= 0.05 - 0.045 = 0.005 => 2
=
2
0.005 cuando = 25
Segn Tabla A. 5 => 2
0.005 = 46.928
Respuesta:
El valor de 2debe ser igual a 46.928 para que la probabilidad entre 37.652 y dicho valor calculado sea igual a0.045, es decir 4.5%, con 25 grados de libertad.
Grfica:
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 12 de 100
Problema 7 (Ref: Pg. 236Ej. 5)
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal
con varianza 2 = 6, tenga una varianza s2
a) mayor que 9.1;
b) entre 3.462 y 10.745.
Suponga que las varianzas muestrales son mediciones continuas.
Datos:
Tamao de la muestra n = 25 observaciones.Varianza de la muestra 2= 6.
a)Incgnita:P (s2> 9.1)
Solucin:
con nuestros datos:
36.4
6
218.4
6
9.124
6
9.11252
Segn Tabla A.5 4.362 cuando = 24 =>0.05
Respuesta:
La probabilidad de que la varianza de esa muestra sea mayor que 9.1 es del 5%.
b) Incgnita:P (3.462 s2 10.745)
Solucin:
con nuestros datos:
13.8486
83.088
6
3.46224
6
3.4621252
Segn Tabla A.5 848.132 cuando = 24=>0.95
42.98
6
257.88
6
10.74524
6
10.7451252
Segn Tabla A.5 98.422 cuando = 24 =>0.01
P (3.462 s2 10.745) = 0.950.01 = 0.94
Respuesta:La probabilidad de que la varianza de esa muestra se encuentre entre 3.462 y 10.745 es del 94%.
2
2
2
s1n
con (n1) grados de libertad
2
22
s1n
con (n1) grados de libertad
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 13 de 100
Problema 8 (Ref: Pg. 236Ej. 6)
Las clasificaciones de un examen de colocacin que se aplic a estudiantes de primer ao de
licenciatura durante los ltimos cinco aos estn aproximadamente distribuidas de forma normal con
una media = 74 y una varianza 2= 8. Considerara an que 2=8 es un valor vlido de la varianza
si una muestra aleatoria de 20 estudiantes que realizan este examen de colocacin este ao obtienen un
valor de s2= 20?
Datos:P: estudiantes de primer ao de licenciatura.X: calificacin de un examen de colocacin.
Media poblacional x= 74.Varianza poblacional 2x = 8.
Tamao de la muestra n = 20 estudiantes.Varianza muestral s2= 20.
Incgnita:
Considerar si es vlida 2x
= 8
Solucin:
con nuestros datos
47.5
8
380
8
2019
8
201202
8.9072
0..975 32.8522
0.025
Respuesta:
Es un valor de una distribucin ji cuadrada con 19 grados de libertad.Como 95% de los valores 2con 19 grados de libertad caen entre 8.907 y 32.852, el valor calculado con 2 = 8no es razonable y por lo tanto se tiene razn suficiente para sospechar que la varianza es diferente a ocho.Es muy probable que el valor supuesto de 2sea un error.
8,74N~X xx
2
2
2
s1n
con (n1) grados de libertad
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 14 de 100
Problema 9 (Ref: Pg. 236Ej. 8)
a) Encuentre t0.025 cuando =14;
b) Encuentret0.10 cuando = 10;
c) Encuentre t0.995 cuando =7.
a)Segn Tabla A.4 t0.025 cuando =14 => 2.145
Respuesta:El valor t con 14 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 2.145.
Grfica:
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15/100
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 15 de 100
b)Segn Tabla A.4t0.10 cuando = 10 => -1.372
Respuesta:El valor t con 10 grados de libertad, que deja un rea de 0.10 a su izquierda es -1.372.
Grfica:
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16/100
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 16 de 100
c)Segn Tabla A.4 t0.995 cuando =7 => -3.499
Respuesta:
El valor t con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.995 a su derecha y por lo tanto un rea de 0.005 a suizquierda es -3.499.
Grfica:
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17/100
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 17 de 100
Problema 10 (Ref: Pg. 236Ej. 9)
a) Encuentre P(T < 2.365)cuando =7;
b) Encuentre P(T > 1.318)cuando = 24;
c) Encuentre P(-1.356 < T -2.567) cuando =17.
a) P(T < 2.365)cuando =71 P(T 2.365)cuando =7Segn Tabla A.4 =>
= 10.025 = 0.975
Respuesta:La probabilidad de que un valor t sea menor que 2.365 con 7 grados de libertad es del 97.5%.
Grfica:
7/23/2019 solucionario sexta
18/100
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 18 de 100
b) P(T > 1.318)cuando = 24Segn Tabla A.4 =>0.10
Respuesta:
La probabilidad de que un valor t sea mayor que 1.318 con 24 grados de libertad es del 10%.
Grfica:
7/23/2019 solucionario sexta
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 19 de 100
c) P(-1.356 < T < 2.179) cuando=12P(T -1.356)P(T 2.179) cuando =12Segn Tabla A.4 =>= (10.10)0.025 == 0.900.025 = 0.875
Respuesta:La probabilidad de que un valor t se encuentre entre -1.356 y 2.179 con 12 grados de libertad es del 87.5%.
Grfica:
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 20 de 100
d) P(T > -2.567) cuando =171P( T > 2.567) cuando =17Segn Tabla A.4 =>
= 10.01 = 0.99
Respuesta:
La probabilidad de que un valor t sea mayor que -2.567 con 17 grados de libertad es del 99%.
Grfica:
7/23/2019 solucionario sexta
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Problema 11 (Ref: Pg. 236Ej. 12)
Una empresa manufacturera afirma que las bateras que utiliza en sus juegos electrnicos duran un
promedio de 30 horas. Para mantener este promedio se prueban 16 bateras cada mes. Si el valor t que
se calcula cae entret0.025 y t0.025, la empresa queda satisfecha con su afirmacin.Qu conclusiones
extraera la empresa de una muestra que tiene una media de x = 27.5 horas y una desviacin estndar
de s = 5 horas? Suponga que la distribucin de las duraciones de las bateras es aproximadamente
normal.
Datos:
P: bateras de juegos electrnicos.X: rendimiento en horas de una bajara de juegos electrnicos.Media poblacional x= 30 horas.Tamao de la muestra n = 16 bateras.Media muestral x = 27.5 horas.Desviacin estndar muestral s = 5 horas.
Solucin:
De la tabla A.4 encontramos que t0.025 = 2.131 para 15 grados de libertad. Por tanto, la empresa quedasatisfecha con esta afirmacin si una muestra de 16 bateras rinde un valor t entre2.131 y 2.131. si = 30,entonces
Con nuestros datos:
2165
3027.5T
,
Respuesta:La empresa estara satisfecha con su afirmacin ya que el valor hallado de t pertenece al intervalo establecidocomo parmetro para poder afirmar que sus bateras promedian las 30 horas de duracin.
n
s
XT
con (n1) grados de libertad
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 22 de 100
Problema 12 (Ref: Pg. 236Ej. 13)
Una poblacin normal con varianza desconocida tiene una media de 20. Se tiene posibilidad de
obtener una muestra aleatoria de tamao 9 de esta poblacin con una media de 24 y una desviacin
estndar de 4.1? Si no, qu conclusin sacara?
Datos:
Media poblacional x= 20.Tamao de la muestra n = 9.Media muestral x = 24.Desviacin estndar muestral s = 4.1.
Solucin:
con nuestros datos:
P ( X - = X - 20 > 4) =
= 1P (X - 20 4) =
= 1P (-4 X - 20 4) =
= 1P
34.1
420X
34.1
4=
= 1P (-2.92 t8 2.92) =
= P (t8 2.92) P (t8 2.92) = 0.00959 + 0.00959 =0.01918 = 1.918%.
Respuesta:Si se tiene la posibilidad de obtener una muestra de tamao 9 con esas condiciones, con una probabilidad del
1.918%
n
s
XT
con (n1) grados de libertad
7/23/2019 solucionario sexta
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 23 de 100
Problema 13 (Ref: Pg. 236Ej. 14)
Un fabricante de cierta marca de barras de cereal bajo de grasa afirma que su contenido promedio de
grasa saturada es 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras de cereal de esta marca el
contenido de grasa saturada fue 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2. Estara de acuerdo con la
afirmacin?
Datos:
P: barras de cereal bajo de grasa.X: contenido de grasa en gramos de una barra de cereal.Media poblacional x= 0.5 gramos.Tamao de la muestra n = 8.
Media muestraln
X
x
n
1i
i gramos0.475
8
3.8
8
0.20.40.50.40.30.70.70.6
Desviacin estndar muestral
1n
XX
s
n
1i
2i
gramos0.18320.037
7
0.26
7
20.27520.07520.02520.07520.17520.22520.22520.125
7
20.475)(0.2
20.475)(0.4
20.475)(0.5
20.475)(0.4
20.475)(0.3
20.475)(0.7
20.475)(0.720.4750.6
s
Incgnita:
x= 0.5
Solucin:
con nuestros datos
0.3860
80.1832
5.00.475T
ns
X
ns
XP 0
con nuestros datos
P(-0.3860 t7 0.3860) = 0.3754 + 0.3754 =0.7508 = 75.08%.
Respuesta:Hay razones suficiente (75,08%) para considerar que la afirmacin es cierta.
n
s
XT
con (n1) grados de libertad
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Problema 14 (Ref: Pg. 236Ej. 15)
Para una distribucin F encuentre:
a) 0.05con 1 = 7 y 2= 15;
b) 0.05con 1 = 15 y 2= 7;
c) 0.01con 1 = 24 y 2= 19;
d) 0.95con 1 = 19 y 2= 24;
e) 0.99con 1 = 28 y 2= 12.
a)Segn Tabla A.6 0.05con 1 = 7 y 2= 15 => 2.71
Respuesta:
El valor f con 7 y 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 2.71.
Grfica:
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 25 de 100
b)Segn Tabla A.6 0.05con 1 = 15 y 2= 7 => 3.51
Respuesta:El valor f con 15 y 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 3.51.
Grfica:
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 26 de 100
c)Segn Tabla A.6 0.01con 1 = 24 y 2= 19 => 2.92
Respuesta:
El valor f con 24 y 19 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a su derecha es 2.92.
Grfica:
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27/100
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 27 de 100
d)0.95con 1 = 19 y 2= 24
con nuestros datos
2.11
1
24,19
119,24
0.05
0.95
ff = 0.4739
Respuesta:El valor f con 19 y 24 grados de libertad, que deja un rea de 0.95 a su derecha es 0.4739.
Grfica:
12
211
,
1,
ff
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 28 de 100
e)0.99con 1 = 28 y 2= 12
con nuestros datos
2.90
1
12,28
128,12
0.01
0.99
ff = 0.3448
Respuesta:El valor f con 28 y 12 grados de libertad, que deja un rea de 0.99 a su derecha es 0.3448.
Grfica:
12
211
,
1,
ff
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 29 de 100
Problema 15 (Ref: Pg. 237Ej. 5)
Una muestra aleatoria de cinco presidentes de bancos indican salarios anuales de $163000, $148000,
$152000, $135000 y $141000. Encuentre la varianza de este conjunto.
Datos:
Variable aleatoria X: salarios anuales de presidentes de bancos (en pesos)Tamao de la muestra n = 5 presidentes.
Media muestral
n
X
x
n
1i
i 147800
5
739000
5
141000135000152000148000163000
$
Incgnita:
Varianza muestral s2
Solucin:
con nuestros datos
$114700000
4
458800000
4
680012800420020015200
4
147800141000147800135000147800152000147800148000147800163000s
22222
22222
2
Respuesta:
La varianza de este conjunto es 114700000 $.
1n
XX
s
n
1i
2
i
2
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Problema 16 (Ref: Pg. 237Ej. 9)
Si S21 y S22 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao n1= 25 y n2=
31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 21= 10 y 22= 15, respectivamente, encuentre
1.26SSP 22
2
1 .
Datos:
Tamao de la primer muestra n1= 25.Tamao de la segunda muestra n2= 31.
Varianza de la primera muestra 1021 .
Varianza de la segunda muestra 1522 .
Incgnita:
1.26SSP 22
2
1
Solucin:
Utilizando el Teorema 8.8; el que dice:
con nuestros datos
%.505.01.89F
10
26.1*15
s
s
26.1s
sP
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
PP
F0.05(24, 30) = 1.89
Respuesta:La probabilidad de que F con 24 y 30 grados de libertad sea mayor que 1.26 es de 0.05, es decir, 5%.
Si2
1s y
2
2s son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao
1n y
2n tomadas de
poblaciones normales con varianzas2
1 y
2
2 , respectivamente, entonces
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
s
s
s
sF
Tiene una distribucin F con 1= n11 y 2= n21 grados de libertad.
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Problema 17 (Ref: Pg. 251Ej. 4)
Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin aproximadamente distribuida de forma
normal con una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duracin
promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96 % para la media de la poblacin de
todos los focos que produce esta empresa.
Datos:
P: focos fabricados por la empresa.X: duracin de esa muestra de focos.Desviacin estndar poblacional x = 40 horas.Tamao de la muestra n = 30 focos.Media muestral x = 780 horas.Intervalo de confianza IC = 96%.
Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 96% de confianza.
Solucin:
100% =100(1-)% = 96% => = 0.04 => 21
z => z0.98 = 2.054
con nuestros datos
30
402.054780
30
402.054780 x
hs.795hs.765x
Respuesta:Podemos afirmar con un nivel de confianza del 96% que la media poblacional se encuentra entre 765 y 795horas.
40,780N~Xxx
n
zX
n
zX
2121
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Problema 18 (Ref: Pg. 252Ej. 8)
De que tamao se necesita una muestra en el ejercicio 4 si deseamos tener 96% de confianza que
nuestra media muestral est dentro de 10 horas de la media real?
Datos:
Desviacin estndar poblacional x = 40 horas.Media muestral x = 780 horas.Intervalo de confianza IC = 96%.Intervalo de error e = 10 horas.
con nuestros datos
n
68n67.510
2.054.40n
2
Respuesta:
Por lo tanto, podemos tener una confianza 96% de que una muestra aleatoria de tamao 68 proporcionara unaestimacin x que difiere de por una cantidad menor que 0.04.
2
21
e
zn
n
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Problema 19 (Ref: Pg. 252Ej. 6)
Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios muestra una media de 174.5
centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros.
a) Construya un intervalo de confianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes de la
universidad;
b) Qu podemos afirmar con 98% de confianza sobre el tamao posible de nuestro error si estimamos
que la estatura media de todos los estudiantes de la universidad de 174.5 centmetros?.
Datos:
P: estudiantes universitarios.Variable aleatoria X: medidas de esos estudiantes universitarios (en centmetros)Tamao de la muestra n = 50 estudiantes.
Media muestral x = 174.5 centmetros.Desviacin estndar muestral s = 6.9 centmetros.
Intervalo de confianza IC = 98%.100% =100(1-)% = 98% => = 0.02 =>
2 = 0.01
t49, 0.01 = 2.4048
a)Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 98% de confianza.
Solucin:
con nuestros datos
50
9.64048.25.174
50
9.64048.25.174
cm.85.176cm.172.15
Respuesta:Podemos afirmar con 98% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 172.15 y 176.85centmetros.
b)Incgnita:Posible error de estimacin.
Solucin:
35.215.1725.174-X cm.
Respuesta:
Podemos afirmar con 98% de confianza que el error de estimacin es igual a 2.35 cm.
n
stX
n
stX 22
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Problema 20(Ref: Pg. 252Ej. 13)
Una mquina produce piezas metlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de las piezas y los
dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centmetros. Encuentre un intervalo de
confianza de 99% para el dimetro medio de las piezas de esta mquina, suponga una distribucin
aproximadamente normal.
Datos:
P: piezas metlicas de forma cilndricas.X: dimetro de las piezas cilndricas(en centmetros).Tamao de la muestra n = 9 piezas.Intervalo de confianza IC = 99%.
Media muestraln
X
x
n
1i
i 1.0055
9
1.031.010.990.980.991.041.030.971.01
cm.
Desviacin estndar muestral
1n
XX
s
n
1i
2i
cm0.024510.00060278
8
0.00482225
8
20.024520.004520.015520.025520.015520.034520.024520.035520.0045
s8
21.0055)(1.03
21.0055)(1.01
21.0055)(0.99
21.0055)(0.98
21.0055)(0.99
21.0055)(1.04
21.0055)(1.03
21.0055)(0.97
21.00551.01
100% =100(1-)% = 99% => = 0.01 =>2
= 0.005
t8, 0.005 = 3.355
Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional,x, con 99% de confianza.
Solucin:
con nuestros datos
9
0.02453.3551.0055
9
0.02453.3551.0055
cm.0329.1cm.0.9781
Respuesta:Podemos afirmar con 99% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 0.9781 y 1.0329centmetros.
n
stX
n
stX 22
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Problema 21 (Ref: Pg. 252/253Ej. 17)
Una muestra aleatoria de 25 botellas de aspirinas contiene, en promedio, 325.05 mg. de aspirina con
una desviacin estndar de 0.5. Encuentre los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% del
contenido de aspirina para esta marca. Suponga que el contenido de aspirina se distribuye
normalmente.
Datos:
P: botellas de aspirinas.X: cantidad de aspirina que contienen las botellas de aspirina (en miligramos).Tamao de la muestra n = 25 botellas de aspirina.
Media muestral x = 325.05 mg. de aspirina.
Desviacin estndar muestral s = 0.5 mg. de aspirina.1 = 95% => = 0.05 y 1 = 90% => 0.9Segn Tabla A.7 => k = 2.208
Incgnita:
Limites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina.
Solucin:
x ks
con nuestros datos
325.05 2.208.0.5 = [323.946 ; 326.154]mg.
Respuesta:Los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina para esta marca son 323.946 mg y 326.154mg,
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Problema 22 (Ref: Pg. 262Ej. 1)
Una muestra aleatoria de tamao n1= 25 que se toma de una poblacin normal con una desviacin
estndar 1= 5 tiene una media 1x = 80. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2= 36, que se
toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2= 3, tiene una media 2x = 75.
Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 1- 2.
Datos:
Tamao de la primer muestra n1= 25.Desviacin estndar de la primer poblacin 1= 5.Media de la primer muestra
1x = 80.
Tamao de la segunda muestra n2= 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2= 3.Media de la segunda muestra
2x = 75.
Intervalo de confianza IC = 95% para21
100(1-)% = 95% => = 0.05 => 21
z => z0.025 = 1.96 Aplicando Tabla A.3
Incgnita:
Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12, con 95% de confianza.
Solucin:
con nuestro datos
5758021 xx
y 118.11.254
5
36
9
25
25
21 xx
con nuestros datos
51.96 1.118 < 12 < 5 + 1.96 1.11852.19 < 12 < 5 + 2.19
2.80 < 12 < 7.19
Respuesta:Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre2.80 y 7.19.
375,N~XP22 xx22
580,N~XP11 xx11
21xx
21
y2
2
2
1
2
1
xx
n
n
21
2
2
2
1
2
1
22121
2
2
2
1
2
1
221
n
n
.zxx
n
n
.zxx
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Problema 23 (Ref: Pg. 263Ej. 9)
Una compaa de taxis trata de decidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para su flotilla
de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva cabo un experimento, utilizando 12 de
cada marca. Los neumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son:
Marca A:1
x = 36300 kilmetros.
s1= 5000 kilmetros.
Marca B:2
x = 38100 kilmetros.
s2= 6100 kilmetros.
Calcule un intervalo de confianza de 95% para 12,suponga que las poblaciones se distribuyen de
forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales.
Datos:P1: neumticos de la marca A.P2: neumticos de la marca B.X1: duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A.
X2: duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B.Tamao de la primer muestra n1= 12 neumticos.Tamao de la segunda muestra n2= 12 neumticos.
Media de la primer muestra1
x = 36300 Km.
Media de la segunda muestra2
x = 38100 Km.
Desviacin estndar de la primer muestra1s = 5000 Km.
Desviacin estndar de la segunda muestra2
s = 6100 Km.
Intervalo de confianza IC = 95%.
100(1-) % = 95% => = 0.05 => 2
t Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con = 21.18 grados de libertad.
Incgnita:Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12, con 95% de confianza.
Solucin:
donde2
t es el valor t con
21.18
11
2
3100833.311
2
2083333.3
23100833.32083333.3
112
2
1237210000112
2
1225000000
212372100001225000000
12
n
2
2n22s
11n
2
1n21s
2
2n
2
2s
1n
2
1s
con nuestros datos
12
37210000
12
25000000080.23810036300
12
37210000
12
25000000078.23810036300 21
87.2276080.2180087.2276080.2180021
4.29334.6533 21
Respuesta:
Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre6533.4 y 2933.4.
2
2
2
1
2
1
22121
2
2
2
1
2
1
221
n
s
n
stxx
n
s
n
stxx
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Problema 24 (Ref: Pg. 263 Ej. 7)
Los siguientes datos, registrados en das, representan el tiempo de recuperacin para pacientes que se
tratan al azar con uno de dos medicamentos para curar infecciones graves en la vejiga:
Medicamento 1 Medicamento 2
n1 = 14 n2 = 16
1x = 17
2x = 19
2
1s = 1.5
2
2s = 1.8
Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia 21en el tiempo promedio de
recuperacin para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales.
Datos:
1P :pacientes que se tratan con el medicamento 1.
1X : tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 1.
Tamao de la primer muestra n1= 14 das.
Primer media muestral 1x = 17 das.
Primer varianza muestral 21s = 1.5 das.
2P : pacientes que se tratan con el medicamento 2.
2X : tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 2.
Tamao de la segunda muestra n2= 16 das.
Segunda media muestral2
x = 19 das.
Segunda varianza muestral 22
s = 1.8 das.
Intervalo de confianza IC = 99% para12
.
100(1-)% = 99% => = 0.01 => 2
t Aplicando Tabla A.4 t0.005 = 2.763 con (n1+ n22) = 28 grados de
libertad.
Incgnita:
Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12 , con 99% de confianza.
Solucin:
con nuestros datos
2171912 xx
y 3659.00,133916
1
14
1
12 xx
12xx
12
y12
xx
n
1
n
1
12
2nn
s*1ns*1ns
21
2
22
2
112
p
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con nuestros datos
2886.1s1.6607
21614
1.8*1161.5*114s p2
p
luego,
con nuestros datos
2(2.763)*(1.2886)*(0.3659) 21
z => z0.98 2.054
a)Incgnita:Intervalo de confianza de 96% para la fraccin de la poblacin que favorece el convenio.
Solucin:
035.00,0012255
200
0.2451
200
0.43*0.57
n
q*p
con nuestros datos
0.57(2.054)*(0.035) < p < 0.57 + (2.054)*(0.035)0.570.07189 < p < 0.57 + 0.07189
0.49811 < p < 0.64189
Respuesta:Podemos afirmar con 96% de confianza que la fraccin que favorece el convenio se encuentra entre 0.49811
y 0.64189, es decir, 49.81% y 64.19% respectivamente.
b)Incgnita:Posible error de estimacin.
Solucin:
%2.772.049811.057.0p-p
Respuesta:Podemos afirmar con 96% de confianza que le error de estimacin no superar el 7.2 %.
n
q*p*zp
pn
q*p*zp
2
2
7/23/2019 solucionario sexta
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Problema 26 (Ref: Pg. 270 - Ej. 9)
Que tan grande se requiere que sea la muestra si deseamos tener una confianza de 96% de que
nuestra proporcin de la muestra estar dentro del 0.02 de la fraccin real de la poblacin votante?.
Datos:Sabemos que:
0.57p
Y que 0.43q
Incgnita:
0.9602.0p-ppquetal?n
Solucin:
ConIntervalo de error e = 0.02.
con nuestros datos
25750.0004
1.030
0.02
0.430.572.054n
2
2
votantes
Respuesta:
Si basamos nuestra estimacin de p sobre una muestra aleatoria de tamao 2575, podemos tener unaconfianza de 96% de que nuestra proporcin muestral no diferir de la proporcin real por ms de 0.02.
2
22
e
qpzn
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Problema 27 (Ref: Pg. 271Ej. 15)
Cierto genetista se interesa en la proporcin de hombres y mujeres en la poblacin que tienen cierto
trastorno sanguneo menor. En una muestra aleatoria de 1000 hombres se encuentra que 250 lo
padecen, mientras que 275 de 1000 mujeres examinadas parecen tener el trastorno. Calcule un
intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres que
padecen el trastorno sanguneo.
Datos:
P1: hombresP2: mujeresp1: proporcin de hombres que tienen cierto trastorno sanguneo menor.p2: proporcin de mujeres que tienen cierto trastorno sanguneo menor.Tamao de la primer muestra n1= 1000 hombres.Tamao de la segunda muestra n2= 1000 mujeres.Nmero de xitos de la primer muestra x1= 250.Nmero de xitos de la segunda muestra x2= 275.
Proporcin de xitos de la primer muestra 0.25
1000
250
n
xp1
Proporcin de xito de la segunda muestra 0.2751000
275
n
xp2
Proporcin de fracasos de la primer muestra 0.750.251p1q 11
Proporcin de fracasos de la segunda muestra 0.7250.2751p1q 22
Diferencia entre proporciones de xitos 0.0250.2750.25pp 21
Intervalo de confianza IC = 95%
100 = 100(1 - )% = 95% => =0.05 => 21
z => z0.025 1.96
Incgnita:Intervalo de confianza de 96% para la diferencia de las fracciones de poblacin que favorece el convenio.
Solucin:
con nuestros datos
01967.01000
725.0*275.0
1000
75.0*25.0
con nuestros datos
0.025(1.96)*(0.01967) < p2p1< 0.025 + (1.96)*(0.01967)0.0250.0385532 < p2p1< 0.025 + 0.0385532
0.01355 < p2p1< 0.06355
Respuesta:
Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres quepadecen el trastorno sanguneo se encuentra entre0.01355 y 0.06355.
2
22
1
11
n
q*p
n
q*p
2
22
1
11
2
1212
2
22
1
11
2
12
n
q*p
n
q*p*zpppp
n
q*p
n
q*p*zpp
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Problema 28 (Ref: Pg. 271Ej. 20)
De acuerdo con USA Today (17 de marzo de 1997), las mujeres constituan 33.7% del personal editorial
en las estaciones locales de televisin en 1990 y el 36.2% en 1994. Suponga que se contrataron 20 nuevos
empleados para el personal editorial.
a) Estime el nmero que habran sido mujeres en cada ao respectivamente.
b) Calcule un intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres
contratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.
Datos:Tamao de la muestra n = 20 empleados.
Proporcin de xitos en 1990 las mujeres constituan 33,7 % de 20 empleados 337.020
74.61
P
Proporcin de xitos en 1994 las mujeres constituan 36,2 % de 20 empleados 362.020
24.72
P
Proporcin de fracasos de la muestra en 1990 0.6630.3371p1q 11
Proporcin de fracasos de la muestra en 1994 0.6380.3621p1q 22
Intervalo de confianza IC = 95%100 = 100(1 - )% = 95% => =0.05 =>
21 z => z0.025 1.96 .
a) Incgnita:Estimar el nmero que habran sido mujeres en cada ao.
Solucin:
En 1990 el 33.7% de 20
74.6337.0*20*1
Pn 7 mujeres
En 1994 el 36.2% de 20
24.7362.0*20*2
Pn 7 mujeres
Respuesta:
Estimamos que en 1990 habra sido de 74.6 7 mujeres, y en 1994 la estimacin habra sido de 24.7 7
mujeres.
b) Incgnita:Intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres contratadas
como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.Solucin:
20
)638.0(*)362.0(
20
)663.0(*)337.0(*)96.1(0.362-0.337
20
)638.0(*)362.0(
20
)663.0(*)337.0(*)96.1(0.362-0.337 12 pp
20
)638.0(*)362.0(
20
)663.0(*)337.0(*)96.1(025.0
20
)638.0(*)362.0(
20
)663.0(*)337.0(*)96.1(025.0 12 pp
295430.0025.0295430.0025.012
pp
27043.032043.0 12 pp
Respuesta:
Podemos afirmar con 95% de confianza que no hay ninguna evidencia para asegurar que la proporcin demujeres contratadas como personal en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.
2
22
1
112/1212
2
22
1
112/12
***
***
n
qp
n
qpZPPpp
n
qp
n
qpZPP
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44/100
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Problema 29 (Ref: Pg. 275Ej. 1)
Un fabricante de bateras para automvil afirma que sus bateras duraran, en promedio, tres aos con
una varianza de un ao. Si cinco de estas bateras tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 aos,
construya un intervalo de confianza de 95% para 2y decida si la afirmacin del fabricante de que 2=
1 es vlida. Suponga que la poblacin de duraciones de las bateras se distribuye de forma
aproximadamente normal.
Datos:
P:bateras de automvil.X: tiempo de duracin en aos de una batera.Media poblacional x= 3 aos.Desviacin estndar poblacional x= 1 ao.Intervalo de varianza IC = 95%.Tamao de la muestra n = 5 bateras.
Incgnita:
2= 1 2ao
Solucin:
Se desea estimar el valor de la varianza utilizando2
S como estimador.
2
2
2ao0.815
20
225241.3
45
1548.26*5s
902774.0S aos
Para el intervalo de confianza del 95% = 0.0511.113
2
0.025
2
2
0.484 20.975
2
21
con (n-1) grados de libertad Segn Tabla A.5
con nuestros datos
0.484
0.81515
11.113
0.81515 2
0.484
0.8154
11.113
0.8154 2
0.484
3.26
11.113
3.26 2
735537.6292639.0 2 ( 2
ao )
Respuesta:
Podemos afirmar con 95% de confianza que, ya que este intervalo 735537.6292639.0 2
contiene a 1,
que la afirmacin del fabricante, de que2= 1, es vlida.
13,N~Xxx
1nn
xxn
s
2n
1i
i
n
1i
2
i
2
2
21
22
2
2
2
s1n
s1n
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 45 de 100
Problema 30 (Ref: Pg. 275Ej. 8 ligado al Ej. 9Pg. 263)
Ref. Pg. 263Ej. 9
Una compaa de taxis trata de decidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para su flotilla
de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva cabo un experimento, utilizando 12 de
cada marca. Los neumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son:
Marca A:1
x = 36300 kilmetros.
s1= 5000 kilmetros.
Marca B:2
x = 38100 kilmetros.
s2= 6100 kilmetros.
a) Calcule un intervalo de confianza de 95% para 12, suponga que las poblaciones se distribuyen de
forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales.
Ref. Pg. 275Ej. 8
b) Construya un intervalo de confianza de 90% para 22
2
1 . Estamos justificados al suponer que 21
=
2
2 cuando construyamos nuestro intervalo de confianza para 12?
Datos:P1: neumticos de la marca A.P2: neumticos de la marca B.X1: duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A.X2: duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B.Tamao de la primer muestra n1= 12 neumticos.Tamao de la segunda muestra n2= 12 neumticos.
Media de la primer muestra1
x = 36300 Km.
Media de la segunda muestra2
x = 38100 Km.
Desviacin estndar de la primer muestra 1s
= 5000 Km.Desviacin estndar de la segunda muestra
2s = 6100 Km.
Intervalo de confianza IC = 95%.
100(1-)% = 95% => = 0.05 => 2
t Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con = 21.18 grados de
libertad.
a) Incgnita:
Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 12, con 95% de confianza.
Solucin:
donde2
t es el valor t con
2
2
2
1
2
1
22121
2
2
2
1
2
1
221
n
s
n
stxx
n
s
n
stxx
12
n
2
2n
2
2s
11
n
2
1n
2
1s
2
2n
2
2s
1n
2
1s
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 46 de 100
con nuestros datos
21.18
11
23100833.3
11
22083333.3
23100833.32083333.3
112
21237210000
112
21225000000
212372100001225000000
con nuestros datos
12
37210000
12
25000000080.23810036300
12
37210000
12
25000000078.23810036300
21
87.2276*080.2180087.2276*080.21800 21 4.29334.6533
21
Respuesta:Podemos afirmar con un 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre
6533.4 y 2933.4.
b)Incgnita:Intervalo de confianza de 90% para 21/ 22.
Solucin:
Intervalo de confianza IC = 90%.
100(1-)% = 90% => = 0.10 =>2
f Aplicando Tabla A.6
f0.05 = 2.80 con (n11, n2- 1), es decir, con (11, 11) grados de libertad.
con nuestros datos
80.237210000
25000000
80.2
1
37210000
25000000
2
2
2
1
894652.1238249.02
2
2
1
Respuesta:
Podemos afirmar con 90% de confianza que 22
2
1 se encuentra entre 0.238249 y 1.894652, ya que el
intervalo contiene a 1 es razonable asumir que21 = 22.
21,
22
2
21
22
21
21,2
22
21
fs
s
f
1
s
s
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Problema 31 (Ref: Pg. 304Ej. 1)
Suponga que un alerglogo desea probar la hiptesis de que al menos 30% del pblico es alrgico a
algunos productos de queso. Explique como el alerglogo puede cometer:
a) Un error tipo I.
b) Un error tipo II.
Solucin:
0H ) Al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.
1H ) Menos del 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.
p proporcin de pblico que es alrgico a algunos productos de queso.
En smbolos:
30.0)0 pH 30.0)1 pH
El rechazo de la hiptesis nula cuando es verdadera se llama error de tipo I.
a)Cuando concluye que al menos de 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, dehecho, el 30% o ms son alrgicos.
El no rechazo de la hiptesis nula cuando es falsa se llama error tipo II.
b)Cuando concluye que al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, dehecho, menos del 30% son alrgicos.
7/23/2019 solucionario sexta
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Problema 32 (Ref: Pg. 304Ej. 4)
Se estima que la proporcin de adultos que viven en una pequea ciudad que son graduados
universitarios es p = 0.6. Para probar esta hiptesis se selecciona una muestra aleatoria de 15 adultos.
Si el nmero de graduados en nuestra muestra es cualquier nmero de 6 a 12, aceptaremos la hiptesis
nula de que p = 0.6 en caso contrario, concluiremos que p 0.6
a) Evale con la suposicin de que p = 0.6. Utilice la distribucin binomial.
b) Evale para las alternativas p = 0.5 y p = 0.7.
c) Es este un buen procedimiento de prueba?.
Datos:
P : adultos graduados universitarios.p : proporcin de adultos graduados universitarios.X : un adulto graduado universitario de esa poblacin.Tamao de la muestra n = 15 adultos.Regin de aceptacin 6 x 12 graduados universitarios.
Hiptesis nula H0 : p = 0.6.Hiptesis alternativa H1 : p 0.6.
a)Incgnita:Probabilidad de error tipo I,
Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.6 graduados universitarios.
= P(error tipo I) = P(6
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Problema 33 (Ref: Pg. 304Ej. 5)
Repita el ejercicio 4 cuando se seleccionan 200 adultos y la regin de aceptacin se define como 110 x
130 donde x es el nmero de graduados universitarios en nuestra muestra. Utilice la aproximacin
normal.
Datos:
Tamao de la muestra n = 200 adultos.Regin de aceptacin 110 x 130 graduados universitarios.
Hiptesis nula H0: p = 0.6.Hiptesis alternativa H1: p 0.6.
a)Incgnita:Probabilidad de error tipo I,
Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.6 graduados universitarios.
Media 1206.0*200* pn .
Desviacin estndar 9282.64.0*6.0*200** qpn
Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre
110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5
52.1928.6
1205.109
z y 52.1
928.6
1205.130
z
= P(error tipo I) = P(110 > x > 130 | p = 0.6) = P( x < 110 | p = 0.6) + P( x > 130 | p = 0.6) == P(z < -1.52) + P(z < 1.52) = (2)*(0.0643) = 0.1286 = 12.86%.
Respuesta:
La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 12.86%.
b)Incgnita:Probabilidad de error tipo II,
Solucin:
Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.5 graduados universitarios.
Media 1005.0*200* pn .
Desviacin estndar 0712.75.0*5.0*200** qpn
Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5
yZ
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34.107.7
1005.109
z y 31.4
07.7
1005.130
z
= P(error tipo II) =P(110
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Problema 34 (Ref: Pg. 305Ej. 12)
Se pregunta a una muestra aleatoria de 400 votantes en cierta ciudad si estn a favor de un impuesto
adicional de 4% sobre la venta de gasolina para proporcionar ingresos que se necesitan con urgencia
para la reparacin de calles. Si ms de 220 pero menos de 260 favorecen el impuesto sobre ventas,
concluiremos que 60% de los votantes lo apoyan.
a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes estn a favor del
aumento de impuestos.
b) Cul es la probabilidad de cometer un error de tipo II al utilizar este procedimiento de prueba si en
realidad slo 48% de los votantes est a favor del impuesto adicional a la gasolina?
Datos:
P : votantes de una cierta ciudad.p : proporcin de votantes a favor del impuesto.X : un votante de esa ciudad.Tamao de la muestra n = 400 votantes.Regin de aceptacin 220 < x < 260 221 x 259 votantes que favorecen el impuesto.
Hiptesis nula H0: p = 0.6.Hiptesis alternativa H1: p 0.6.
a)Incgnita:Probabilidad de error tipo I,
Solucin:
Proporcin de votantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor del impuesto.
Media = n*p = (400)*(0.6) = 240.
Desviacin estndar = 4.0*6.0*400** qpn 9.79
Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre221 x 259 221 - 0.5 y 259 + 0.5 220.5 y 259.5
99.179.9
2405.220
z
y99.1
79.9
2405.259
z
= P(error tipo I) = P(221 > x > 259 | p = 0.6) = P( x < 221 | p = 0.6) + P( x > 259 | p = 0.6) ==P(z < -1.99) + P(z < 1.99) = (2)*(0.0233) = 0.0466 = 4.66%.
Respuesta:
La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 4.66%.
yZ
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b)Incgnita:Probabilidad de error tipo II,
Solucin:
Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.48 graduados universitarios.
Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.
Desviacin estndar = 52.0*48.0*400** qpn 9.99
Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 220.5 y 259.5
85.299.9
1925.220
z y 75.6
99.9
1925.259
z
= P(error tipo II) =P(221 < x < 259 |p = 0.48) = P(2.85< z < 6.75) = P(z 6.75) P(z 2.85) ==10.9978 = 0.0022 = 0.22%.
Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 0.22%.
yZ
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Problema 35 (Ref: Pg. 305Ej. 13)
Suponga que, en el ejercicio 12, concluimos que 60% de los votantes est a favor del impuesto a la venta
de gasolina si ms de 214 pero menos de 266 votantes de nuestra muestra lo favorece. Muestre que esta
nueva regin de aceptacin tiene como resultado un valor ms pequeo para a costa de aumentar .
Datos:
Tamao de la muestra n = 400 votantes.Regin de aceptacin 214 < x < 266 215 x 265 votantes que favorecen el impuesto.
Hiptesis nula H0: p = 0.6.Hiptesis alternativa H1: p 0.6.
a)Incgnita:Probabilidad de error tipo I,
Solucin:Proporcin de votantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor del impuesto.
Media = n*p = (400)*(0.6) = 240.Desviacin estndar = 79.94.0*6.0*400** qpn Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre
215 x 265 215 - 0.5 y 265 + 0.5 214.5 y 265.5
60.279.9
2405.214
z y 60.2
79.9
2405.265
z
= P(error tipo I) = P(214 > x > 266, cuando p = 0.6) = (2)*P(z < -2.60) = (2)*(0.0047) = 0.0094 = 0.94%.
Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 0.94%.
b)Incgnita:Probabilidad de error tipo II,
Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.48 graduados universitarios.Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.Desviacin estndar = 99.952.0*48.0*400** qpn
Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 214.5 y 265.5215 x 265 215 - 0.5 y 265 + 0.5 214.5 y 265.5
25.299.9
1925.214
z y 35.7
99.9
1925.265
z
= P(error tipo II) =P(214 < x < 266, cuando p = 0.48) =P(2.25 z 7.35) = P(z 7.35) P(z 2.25) == 10.9878 = 0.0122 = 1.22%.
Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 1.22%.
yZ
yZ
7/23/2019 solucionario sexta
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Problema 36 (Ref: Pg. 305Ej. 15)
Una mquina de refrescos en un restaurante de carnes asadas se ajusta de modo que la cantidad de
bebida que sirva est distribuida de forma aproximadamente normal con una media de 200 mililitros y
una desviacin estndar de 15 mililitros. La mquina se verifica peridicamente con una muestra de
nueve bebidas y con el clculo del contenido promedio. Si x cae en el intervalo 191 < x < 209, se
considera que la mquina opera de manera satisfactoria: de otro modo, concluimos que 200
mililitros.
a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando = 200 mililitros.
b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II cuando = 215 mililitros.
Datos:
P : bebida que sirve cierta maquina de refresco.X : medida en mililitros de esa maquina de refresco.Tamao de la muestra n = 9 bebidas.Desviacin estndar poblacional = 15 mililitros.
Desviacin estndar muestral3
15
9
15
n
x
x = 5mililitros.
Regin de aceptacin 191 < x < 209.
Hiptesis nula H0: = 200 mililitros.Hiptesis alternativa H1: 200 mililitros.
a)Incgnita:Probabilidad de error tipo I,
Solucin:Media = 200 mililitros.Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209
5
200191z
= -1.80 y5
200209z
= 1.80
= P(error tipo I) = P(191 > x > 209) = (2)*P(z < -1.80) = (2)*(0.0359) = 0.0718 = 7.18%.
Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo I con es del 7.18%.
b)Incgnita:Probabilidad de error tipo II,
Solucin:Media = 215 mililitros.Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209
5
215191z
= -4.80 y5
215209z
= -1.20
= P(error tipo II) =P(191 < x < 209) =P(-4.80 z -1.20) = P(z -1.20)P(z -4.80) == 0.11510 = 0.1151 = 11.51%.
Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II es del 11.51%.
15,200N~X xx
15,200N~X xx
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 55 de 100
Problema 37 (Ref: Pg. 325Ej. 1)
Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye de forma
aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviacin estndar de 40 horas. Prueba
la hiptesis de que = 800 horas contra la alternativa de que 800 horas si una muestra aleatoria de
30 focos tiene una duracin promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04.
Datos:P : focos fabricados en cierta empresa elctrica.X : duracin en horas de un foco fabricado en esa empresa elctrica.Tamao de la muestra n = 30 focos.Desviacin estndar poblacional = 40 horas.Media muestral x = 788 horas.
Desviacin estndar muestral 30.730
40
x
x
n
mililitros.
Nivel de significancia = 0.04
Hiptesis nula H0: = 800 horas.Hiptesis alternativa H1: 800 horas.
Incgnita:Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula.
Solucin:
Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, donde
30.7
800788 z =-1.64
Si2
2
zzz , no se rechaza H0.
204.0
204.0
zzz
02.002.0 zzz Aplicando Tabla A.3.
2.055 < z < 2.055
Respuesta:
No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de z hallado se encuentra dentro de la regin de no rechazo.
40,788N~X xx
n
Xz
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 56 de 100
Problema 38 (Ref: Pg. 326Ej. 5)
Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de 20000 kilmetros por ao. Para probar esta
afirmacin, se pide a una muestra de 100 propietarios de automviles que lleven un registro de los
kilmetros que viajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la muestra aleatoria muestra un
promedio de 23500 kilmetros y una desviacin estndar de 3900 kilmetros?. Utilice un valor P en su
conclusin.
Datos:
Tamao de la muestra n = 100 automviles.Media muestral x = 23500 kilmetros.Desviacin estndar muestral x= 3900 kilmetros.
Hiptesis nula H0: 20000 kilmetros.Hiptesis alternativa H1: > 20000 kilmetros.
Incgnita:Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula.
Solucin:
Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, donde
100/3900
2000023500 z = 8.97.
P= P(Z > 8.97) 1-1 = 0
Respuesta:
Rechazamos la hiptesis nula y concluimos que 20000 Kilmetros.
n
Xz
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 57 de 100
Problema 39 (Ref: Pg. 326Ej. 7 ligado al Ej. 1Pg. 339)
a) Ref. Pg. 326Ej. 7
Pruebe la hiptesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante particular es de 10
litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9,
10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribucin del
contenido es normal.
b) Ref. Pg. 339Ej.1
Se sabe que el volumen de los envases de un lubricante particular se distribuye normalmente con una
varianza de 0.03 litros. Pruebe la hiptesis de que 2= 0.03 contra la alternativa de que 2 0.03 para la
muestra aleatoria de 10 envases del ejercicio 7 de la pgina 326. Use un nivel de significanca de 0.01.
a) Ref. Pg. 326Ej. 7
Datos:P : envases de un lubricante.
X : contenido en litros de un envase de ese lubricante.Tamao de la muestra n = 10 envases.
Media muestraln
X
x
n
1i
i 10.06
10
9.810.310.49.99.80.1110.310.19.710.2
litros.
Desviacin estndar muestral
1n
XX
s
n
1i
2
i
litros0.24580.0604
9
0.544
9
20.2620.2420.3420.1620.2620.0420.2420.0420.3620.14
s9
210.06)(9.8
210.06)(10.3
210.06)(10.4
210.06)(9.9
210.06)(9.8
210.06)(10.1
210.06)(10.3
210.06)(10.1
210.06)(9.7
210.0610.2
Nivel de significancia = 0.01
Hiptesis nula H0: = 10 litros.Hiptesis alternativa H1: 10 litros.
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
7722.00777.0
1006.10t
.
Si1n,
21n,
2
ttt
, no se rechaza H0.
9,2
01.09,2
01.0 ttt
9,005.09,005.0 ttt Aplicando Tabla A.4.
- 3.250 < t < 3.250
Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin de No Rechazo.
n
s
Xt
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 58 de 100
b) Ref. Pg. 339Ej.1
Datos:
Tamao de la muestra n = 10 envases.
Media muestraln
X
x
n
1i
i 10.06
10
9.810.310.49.99.80.1110.310.19.710.2
litros.
Desviacin estndar muestral
1n
XX
s
n
1i
2
i
litros.0.24580.0604
9
0.544
9
20.2620.2420.3420.1620.2620.0420.2420.0420.3620.14
s9
210.06)(9.8
210.06)(10.3
210.06)(10.4
210.06)(9.9
210.06)(9.8
210.06)(10.1
210.06)(10.3
210.06)(10.1
210.06)(9.7
210.0610.2
Nivel de significancia = 0.01
Hiptesis nula H0: 2= 0.03 litros.Hiptesis alternativa H1: 2 0.03 litros.
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
13.18
0.03
5436.0
0.03
0.0604*9
0.03
0.2458*110x
2
2
Si 2
= 18.13 cuando v = 101 = 9 grados de libertad
Segn Tabla A.5 => 0.025 < P(2>18.13) < 0.05
Respuesta:
No rechazamos la hiptesis nula ya que la muestra de 10 envases no es suficiente para mostrar que 2 no esigual a 0.03.
2
2
2
s*1x
n
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Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 59 de 100
Problema 40 (Ref: Pg. 326Ej. 12)
Una muestra aleatoria de tamao n1= 25, que se toma de una poblacin normal con una desviacin
estndar 1= 5.2, tiene una media 1x = 81. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2= 36, que se
toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2= 3.4, tiene una media 2x = 76.
Pruebe la hiptesis de que 1= 2contra la alternativa 1 2. Cite un valorP en su conclusin.
Datos:
Tamao de la primer muestra n1= 25.Desviacin estndar de la primer poblacin 1= 5.2.Media de la primer muestra
1x = 81.
Tamao de la segunda muestra n2= 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2= 3.4.Media de la segunda muestra
2x = 76.
Hiptesis nula H0: 1= 2.Hiptesis alternativa H1: 1 2.
Incgnita:
Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
222.4
184.1
5
36
56.11
25
04.27
07681
z
p = P(z > 4.222) 1-1 = 0
Respuesta:
Rechazamos la hiptesis nula ya que la probabilidad de que ocurra es aproximadamente del 0%.
Problema 41 (Ref: Pg. 327Ej. 18 ligado al Ej. 9Pg. 340)
2.5,81N~X11 xx1
4.376,N~X22 xx2
2
2
2
1
2
1
2121
n
n
XX
z
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60/100
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 60 de 100
a)Ref. Pg. 327Ej.18
Una compaa armadora de automviles trata de decidir si compra llantas de la marca A o de la B para
sus modelos nuevos. Se lleva a cabo un experimento, para ayudar a llegar a una decisin, en el que se
usan 12 llantas de cada marca. Las llantas se utilizan hasta que se acaban. Los resultados son:
Marca A:1
x = 37900 kilmetros.
s1= 5100 kilmetros.
Marca B:2
x = 39800 kilmetros.
s2= 5900 kilmetros.
Prueba la hiptesis de que no hay diferencias en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia
de 0.05. Suponga que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con varianzas
iguales.
b) Ref. Pg. 340Ej.9
Con referencia al ejercicio 18 de la pgina 327, pruebe la hiptesis de que 1= 2contra la alternativa
de que
1< 2, donde
1y 2son las desviaciones estndar de las distancias que se obtienen por lasllantas marca A y marca B, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
a)Ref. Pg. 327Ej.18
Datos:Tamao de la primer muestra n1= 12 llantas.Tamao de la segunda muestra n2= 12 llantas.Desviacin estndar de la primer muestra s1= 5100 Km.Desviacin estndar de la segunda muestra s2= 5900 Km.
Media de la primer muestra1
x = 37900 Km.
Media de la segunda muestra 2x
= 39800 Km.
Hiptesis nula H0: 1= 2.Hiptesis alternativa H1: 1 2.
Nivel de significancia = 0.05
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
Con nuestros datos:
.52.5514
22
669020000
22
382910000286110000
21212
11*3481000011*26010000Kmsp
2
1*1*
21
2
2
21
2
1
nn
nsnss
p
21
2121
n
1
n
1
XX
ps
t
7/23/2019 solucionario sexta
61/100
Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 61 de 100
Con nuestros datos:
84.092.2249
1900
0.4085514.52
1900
12
1
12
15514.52
03980037900
t
Si2nn,
22nn,
2 2121ttt
, no se rechaza H0.
21212,2
05.021212,2
05.0 ttt
22,025.022,025.0 ttt Aplicando Tabla A.4.
074.2074.2 t
Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica.
b) Ref. Pg. 340Ej.9
Datos:
Tamao de la primer muestra n1= 12 llantas.Tamao de la segunda muestra n2= 12 llantas.Desviacin estndar de la primer muestra s1= 5100 Km.
Desviacin estndar de la segunda muestra s2= 5900 Km.Media de la primer muestra
1x = 37900 Km.
Media de la segunda muestra2
x = 39800 Km.
Hiptesis nula H0: 21 Hiptesis alternativa H1: 21
Nivel de significancia = 0.05
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
Sabemos que:
con nuestros datos:
111121
v y 111122 v grados de libertad
82.211,1105.0 f Segn Tabla A.6
21
v,v
con 111
nv y 122 nv grados de libertad
12
211
,
1,
ff
con 1
11 nv y 122 nv grados de libertad
7/23/2019 solucionario sexta
62/100
Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 62 de 100
Con nuestros datos:
35.02.82
1
11,11
111,11
0.05
0.95
ff
Grficamente:
La hiptesis nula se rechaza cuando 82.2f 35.0f , donde2
2
2
1
s
sf , con 111 v y 111 v
grados de libertad.
con nuestros datos:
.260100005100 221 kmS
.348100005900 222
kmS
y por ello 7472.034810000
23010000f
Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula, para 12= 22, ya que el valor de f hallado es f < 0.35, 0.7472 < 0.35.
Problema 42 (Ref: Pg. 328Ej. 21 ligado al Ej. 10Pg. 340)
7/23/2019 solucionario sexta
63/100
Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 63 de 100
a)Ref. Pg. 328Ej. 21
Los siguientes datos representan los tiempos de duracin de pelculas producidas por dos compaas
cinematogrficas:
Compaa Tiempo (minutos)
1 102 86 98 109 92
2
81 165 97 134 92 87 114
Pruebe la hiptesis de que el tiempo de duracin promedio de las pelculas producidas por la compaa
2 excede el tiempo promedio de duracin de la que produce la compaa 1 en 10 minutos, contra la
alternativa unilateral de que la diferencia es de ms de 10 minutos. Utilice un nivel de significancia de
0.1 y suponga que las distribuciones de los tiempos son aproximadamente normales con varianzas
iguales.
b) Ref. Pg. 340Ej. 10
Con referencia al ejercicio 21 de la pgina 328, pruebe la hiptesis de que 21= 22contra la alternativa
de que 21 22, donde 21y 22son las varianzas para los tiempos de duracin de pelculas producidas
por la compaa 1 y la compaa 2, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.10.
a)Ref. Pg. 328Ej. 21
Datos:X1: tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 1.X2: tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 2.Tamao de la primer muestra n1= 5 pelculas.Tamao de la segunda muestra n2= 7 pelculas.
Media de la primer muestra1
n
1i
i
1n
X
x
97.45
921099886102
minutos.
Media de la segunda muestra2
n
1i
i
2n
X
x
110.
7
11487921349716581
minutos.
Desviacin estndar de la primer muestra
1n
XX
s
1
n
1i
2
i
1
s8.87minuto78.8
4
315.2
4
25.4-211.620.62.41124.6
4
2)4.97(92
297.4)(109
297.4)(98
297.4)(86297.4102
1s
86.19,4.97N~X11 xx1
95.79,110N~X22 xx2
7/23/2019 solucionario sexta
64/100
Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 64 de 100
Desviacin estndar de la segunda muestra
1n
XX
s
2
n
1i
2
i
2
utosmin22.30913.3
6
5480
6
242)23218-224213-255229-
6
2110)(114
2110)(87
2110)(92
2110)(134
2110)(97
2110)(165211081
2s
Hiptesis nula H0: 2 - 1 10 minutos.Hiptesis alternativa H1: 2 - 1 > 10 minutos.
Nivel de significancia = 0.1
Incgnita:
Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
con nuestros datos:
22.0
09.12
6.2
19.146
6.2
15.7346.130
106.12
5
78.67
7
913.24
104.97110
t
Si,
2
,2
ttt , no se rechaza H0.
Con
738.7
65.2898
44.21374
75.283690.61
44.21374
6
81.17019
4
75.247
22.146
6
246.130
4
274.15
246.13074.15
17
2725.913
15
2568.78
2725.913568.78
12
2
2
2
2
11
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
n
ns
n
ns
nsns
entonces:7,
21.07,
21.0 ttt
7,05.07,05.0 ttt Aplicando Tabla A.4.
998.2998.2 t
Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica.b) Ref. Pg. 340Ej. 10
1
2
1
2
2
2
1212
n
s
n
s
XX
t
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65/100
Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 65 de 100
Datos:
Tamao de la primer muestra n1= 5 pelculas.Tamao de la segunda muestra n2= 7 pelculas.
Media de la primer muestra1
n
1i
i
1
n
X
x
97.4
5
921099886102
minutos.
Media de la segunda muestra2
n
1i
i
2n
X
x
110.
7
11487921349716581
minutos
Desviacin estndar de la primer muestra
1n
XX
s
1
n
1i
2
i
1
s8.87minuto78.8
4
315.2
4
25.4-211.620.62.41124.6
4
2)4.97(92
297.4)(109
297.4)(98
297.4)(86297.4102
1s
Desviacin estndar de la segunda muestra
1n
XX
s
2
n
1i
2
i
2
utosmin22.30913.36
5480
6
242)23218-224213-255229-
6
2110)(114
2110)(87
2110)(92
2110)(134
2110)(97
2110)(165211081
2s
Hiptesis nula H0: 12= 22.Hiptesis alternativa H1: 12 22.
Nivel de significancia = 0.1
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:Sabemos que:
Con nuestros datos:
4151
v y 6172
v grados de libertad entonces:
53.46,4 05.0 Segn Tabla A.6
21
v,v
con 111
nv y 122 nv grados de libertad
12
211
,
1,
ff
con 1
11 nv y 122 nv grados de libertad
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Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008
Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 66 de 100
Con nuestros datos:
16.06.161
6,4
14,6
0.05
0.95 ff
Grficamente:
La hiptesis nula se rechaza cuando 53.4f 16.0f , donde2
2
2
1
s
sf , con 41 v y 61 v
grados de libertad.
con nuestros datos:
.min7.788.87 221
utosS y
.min25.91330.22 222
utosS
y por ello 09.0913.25
78.7f
Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula, para 12= 22, ya que el valor de f hallado es f < 0.16, 0.09 < 0.16.
Problema 43 (Ref: Pg. 335Ej. 6)
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67/100
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En cierta universidad se estima que a lo ms 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. Esta
parece ser una estimacin valida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se
encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela?. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
Datos:
P : estudiantes de cierta universidad.X : un estudiante de esa universidad.Tamao de la muestra n = 90 estudiantes.Cantidad de estudiantes que van en bicicleta x = 28 estudiantes.Proporcin de estudiantes que en bicicleta p = 0.25
Proporcin de estudiantes que no andan en bicicleta 75.0q
Media = n*p = (90)*(0.25) = 22.5 estudiantes.Desviacin estndar = 10.475.0*25.0*90** qpn estudiantes.
Hiptesis nula H0: p 0.25.
Hiptesis alternativa H1: p > 0.25.
Nivel de significancia = 0.05
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
Rechazamos H0 si Z < -1.64 siendo
Con nuestros datos:
34.1338877.1107919.4
5.2228
Z
%1.9091.0909.0134.1134.1 ZZPP
Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que no hay suficiente evidencia para concluir que P> 0.25.
Problema 44 (Ref: Pg. 335Ej. 9)
10.4,5.22N~X xx
xZ
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En un estudio para estimar la proporcin de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que estn a
favor de la construccin de una planta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes
urbanos estn a favor de la construccin mientras que solo 59 de 125 residentes suburbanos la
favorecen. Hay una diferencia significativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanos
que favorecen la construccin de la planta nuclear?. Use un valor P.
Datos:P1: residentes urbanos de cierta ciudad.P2: residentes suburbanos de cierta ciudad.p1: proporcin de residentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear.p2: proporcin de residentes suburbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear.Tamao de la primer muestra n1= 100 residentes urbanos.Tamao de la segunda muestra n2= 125 residentes suburbanos.Cantidad de urbanos a favor x1= 63 residentes urbanos.Cantidad de suburbanos a favor x2= 59 residentes suburbanos.
Proporcin de urbanos a favor 63.0100
63
n
xp
1
11
Proporcin de suburbanos a favor 472.0125
59
n
xp
2
22
Combinacin de las proporciones 542.0225
122
125100
5963
nn
xxp
21
21
Hiptesis nula H0: p1= p2.Hiptesis alternativa H1: p1 p2.
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:
Utilizamos la aproximacin normal
36.2066.0
158.0
0044.0
158.0
018.0458.0542.0
158.0
125
1
100
1458.0542.0
472.063.0
z
P(z > 2.36 ) = 2* P(z > 2.36) = 2*(10.9909) = 0.0182 = 1.82%
Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula ya que hay una probabilidad de que ocurra del 1.82%. La proporcin de losresidentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear es mayor que la proporcin delos residentes suburbanos a favor de la construccin de dicha planta.
Problema 45 (Ref: Pg. 335/336Ej. 10)
21
21
11
nnqp
ppz
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Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro Pgina 69 de 100
En un estudio sobre la fertilidad de mujeres casadas por Martn O`Connell y Carolyn C. Rogers para
la Oficina de Censos en 1979, se seleccionaron al azar dos grupos de esposas con edades de 25 a 29 sin
hijos y a cada mujer se le pregunt si planeaba tener un hijo. Se seleccion un grupo entre las mujeres
con menos de dos aos de casadas y otro entre las que tenan cinco aos de casadas. Suponga que 240
de 300 con menos de dos aos de casadas planean tener algn da un hijo comparadas con 288 de las
400 con cinco aos de casadas. Podemos concluir que la proporcin de mujeres con menos de dos
aos de casadas que planean tener hijos es significativamente ms alta que la proporcin con cinco aos
de casadas?. Use un valor P.
Datos:P1: mujeres con menos de dos aos de casada.P2: mujeres con cinco aos de casadas.p1: proporcin de mujeres con menos de dos aos de casadas.p2: proporcin de mujeres con cinco aos de casadas.Tamao de la primer muestra n1= 300 mujeres con menos de dos aos de casadas.Tamao de la segunda muestra n2= 400 mujeres con cinco aos de casadas.Cantidad con menos de dos aos de casadas x1= 240 mujeres.
Cantidad con cinco aos de casadas x2= 288 mujeres.Proporcin con menos de dos aos 80.0
300
240
n
xp
1
11
Proporcin con cinco aos 72.0400
288
n
xp
2
22
Combinacin de las proporciones 754.0700
528
400300
288240
21
21
nn
xxp
Hiptesis nula H0: p1 p2.Hiptesis alternativa H1: p1 p2.
Incgnita:Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.
Solucin:Utilizamos la aproximacin normal
44.2032893616.0
08.0
00108199.0
08.0
0055.0246.0754.0
08.0
400
1
300
1246.0754.0
72.080.0
z
P(z > 2.44 ) = 1P(z 2.44) = 10.9927 = 0.0073 = 0.73%.
R
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