Spis tre·sci - Instytut Matematyki Politechniki...

Spis tresci

Wst¾ep 3

1 Twierdzenie Pitagorasa w geometrii euklide-sowej 61.1 Euklides i jego �Elementy� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Ogólne wiadomosci o �Elementach" . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Ksi¾ega I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3 Ksi¾ega III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.4 Ksi¾ega IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.5 Ksi¾ega V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.6 Ksi¾ega VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Pewne w÷asnosci trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Pomocnicze dowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Dowód wzoru Herona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2 Dowód na pole powierzchni dowolnego trójk ¾ata . . . . . . . . 21

1.3.3 Dowód na promien ko÷a wpisanego w trójk ¾at prostok ¾atny . . 22

1.4 Historyczne dowody twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.1 Przypuszczalny dowód Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.2 Dowód geometryczny Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3 Dowód Jamesa Gar�elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.4 Dowód Nassir ed Dina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.5 Dowód Renana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.6 Dowód Leonarda da Vinci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4.7 Dowody Ho¤mana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.8 Dowód Bhâskary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4.9 Dowody Marry�ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.10 Dowód Möllmanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.4.11 Dowód J. Barry Sutton�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.4.12 Dowód Michelle Watkins�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.4.13 Dowód Wernera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.4.14 Dowód Piton - Bressanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.4.15 Dowód Weininjied�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.4.16 Dowód Sina Shiehyan�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.4.17 Dowód Dr. Scotta Brodie�go . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.4.18 Dowody Douglasa Rogersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.4.19 Dowód Jamie deLemos�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.4.20 Dowód (autor nieznany) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.5 Fa÷szywe dowody twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.5.1 Dowód Yanney�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.5.2 Dowód Loomis�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2 Twierdzenia Pitagorasa w geometrii sferycznej 88

2.1 Geometria sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.2 Podstawowe poj¾ecia z zakresu geometrii sferycznej . . . . . . . . . . 90

2.3 Dowody twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.3.1 Dowód pierwszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.3.2 Dowód drugi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.3.3 Dowód trzeci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Dodatek - swiadectwa o Pitagorasie 101

Bibliogra�a 111

Wst¾ep

Swiat staro·zytny imponuje, zaciekawia, fascynuje poziomem rozwoju poszczegól-

nych ga÷¾ezi wiedzy i naukowych osi ¾agni¾ec, b¾ed ¾acych swoist ¾a kopalni ¾a wiedzy dla

wspó÷czesnego cz÷owieka.

Jedn ¾a z nauk, które powsta÷y w staro·zytnosci jest geometria - cz¾esc matematyki,

b¾ed ¾aca pocz ¾atkowo zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów mate-

rialnych, zajmuj ¾aca si¾e takimi poj¾eciami jak: punkt, �gura, powierzchnia, odleg÷osc,

po÷o·zenie czy przestrzen wielowymiarowa.

Z biegiem czasu zdobycze w tej dziedzinie wiedzy próbowano uporz ¾adkowac.

Zaj ¾a÷si¾e tym Euklides tworz ¾ac wiekopomne dzie÷o �Elementy", b¾ed ¾ace kompilacj ¾a

poznanych do III w p.n.e. faktów z dziedziny geometrii. Niektóre Ksi¾egi tego

dzie÷a pos÷u·zy÷y w bardzo du·zym stopniu jako podstawa w rozwa·zaniach na temat

twierdzenia Pitagorasa.

Ró·zne dowody tego twierdzenia sta÷y si¾e przedmiotem i celem rozwa·zan i prze-

myslen niniejszej pracy magisterskiej.

O samym Pitagorasie i jego twierdzeniu mówi pierwszy rozdzia÷pracy, b¾ed ¾acy

wprowadzeniem w teoretyczne rozwa·zania na temat trójk ¾ata prostok ¾atnego, którego

odkrywc ¾a rzekomo wcale nie by÷Pitagoras. W rozdziale tym zaprezentowany zosta÷

dowód samego Pitagorasa, który zaczerpni¾eto z pozycji [10].

Wspomniane wy·zej dzie÷o Euklidesa - �Elementy" sta÷o si¾e tresci ¾a podrozdzia÷u

1.1. Zawarte zosta÷y w nim opisy, pewniki i podania poswi¾econe planimetrii (Ksi¾egi

I, II, IV i VI) oraz ogólnej teorii proporcji (Ksi¾ega V). Uwzgl¾ednione w pracy Ksi¾egi

pos÷u·zy÷y jako teoria na której oparte zosta÷y podrozdzia÷trzeci, czwarty i pi ¾aty

rozdzia÷u pierwszego.

Tresci ¾a podrozdzia÷u 1.2 sta÷y si¾e pewne w÷asnosci trygonometryczne. Zamie-

szczono je w celu uzupe÷nienia pewnych wiadomosci, które nie znalaz÷y si¾e w �Ele-

mentach Euklidesa". De�nicje i twierdzenia zawarte w tym podrozdziale pomog÷y

rozwik÷ac problemy wyst¾epuj ¾ace w niniejszej pracy. Owe pewniki, opisy i podania

pochodz ¾a z pozycji [5].

W celu udowodnienia twierdzenia Pitagorasa si¾egni¾eto równie·z do geometrii sfe-

rycznej, w której w odmienny sposób uj¾eto pewne poj¾ecia, niezb¾edne do przeprowa-

dzenia dowodów owego twierdzenia, brzmi ¾acego inaczej ni·z w geometrii euklide-

sowej. Geometria sferyczna, o której mowa sta÷a si¾e tresci ¾a rozdzia÷u drugiego.

Stosowana jest ona w celu rozwini¾ecia umiej¾etnosci �przestrzennego myslenia".

Podrozdzia÷1.3 zawiera pomocnicze dowody, które pos÷u·zy÷y w dalszych rozwa-

·zaniach g÷ównego tematu pracy, zawartych w nast¾epnym podrozdziale. Wsród

dowodów pomocniczych znalaz÷y si¾e: dowód wzoru Herona, dowód na promien ko÷a

wpisanego w trójk ¾at, zaczerpni¾ete z pozycji [7] i [11] oraz dowód na pole powierzchni

dowolnego trójk ¾ata, który jest wk÷adem w÷asnym. Podrozdzia÷ten zawiera tak·ze

niektóre dane o twórcach tych·ze dowodów.

Zasadnicz ¾a cz¾esc pracy stanowi podrozdzia÷1.4, dotycz ¾acy historycznych dowo-

dów twierdzenia Pitagorasa. Przed przedstawieniem poszczególnych dowodów po-

dano krótkie dane o autorach i czasie ich przeprowadzenia. Wszystkie dowody

oparto na geometrii Euklidesa i na w÷asnosciach trygonometrycznych. Autorzy

dowodów u·zywaj ¾a cz¾esto takich sformu÷owan jak: �÷atwo zauwa·zyc, ·ze" lub �fakt

ten jest oczywisty". Poniewa·z dojscie do tych oczywistych faktów zajmowa÷o niekie-

dy par¾e godzin lub dni, zawarte w podrozdziale dowody zosta÷y poszerzone i w pe÷ni

wyjasnione, czasem nawet za pomoc ¾a dok÷adnego rysunku.

Zdecydowan ¾a wi¾ekszosc dowodów, na przyk÷ad: przypuszczalny dowód Pitago-

rasa, dowód geometryczny Euklidesa, dowody Nassir ed Dina, Renana, Leonarda

da Vinci, Ho¤mana, Bhâskary, Marry�ego, Möllmanna, Wernera, Piton - Bressanta

opracowano w oparciu o pozycj¾e [10]. Natomiast dowody J. Barry Sutton�a, Michelle

Watkins�a, Weninjied�a, Douglasa Rogersa, dr Scotta Brodie�go, Shiehyan�a oraz

dwa dowody nieznanych autorów opracowane zosta÷y na podstawie [1]. Dowód

Jamie deLamos�a zosta÷zaczerpni¾ety z pozycji [2], zas dowód Jamesa Gar�elda z

pozycji [8].

W podrozdziale 1.5 pracy przytoczone zosta÷y fa÷szywe dowody twierdzenia

Pitagorasa. Wszystkie zosta÷y wyjasnione, szczególnie b÷¾edny tok ich rozumowa-

nia. Wk÷adem w÷asnym jest nie tylko oparcie tych dowodów o geometri¾e euklidesow ¾a

ale równie·z spostrze·zenie, i·z dowód w paragra�e 1.5.3 jest równie·z fa÷szywym dowo-

dem. Pocz ¾atkowo zosta÷on uznany przez autora za prawid÷owy, jednak po d÷u·zszym

zastanowieniu i przeanalizowaniu okazuje si¾e inaczej. Wzór Herona udowadniany

jest za pomoc ¾a jedynki trygonometrycznej, któr ¾a to z kolei udowadnia si¾e za po-

moc ¾a twierdzenia Pitagorasa - jednym s÷owem zatacza si¾e niepotrzebnie b÷¾edne ko÷o.

Dowody w podrozdziale tym opracowano na podstawie [1].

Najtrudniejsz ¾a cz¾esci ¾a pracy sta÷si¾e, b¾ed ¾acy tresci ¾a rozdzia÷u drugiego, dowód

twierdzenia Pitagorasa w geometrii sferycznej. Zosta÷on przeprowadzony na trzy

ró·zne sposoby.

Prac¾e konczy dodatek zawieraj ¾acy swiadectwa o ·zyciu i dzia÷alnosci, wielkiego

greckiego uczonego i �lozofa, Pitagorasa.

Cel pracy, czyli doprowadzenie precyzji dowodu twierdzenia Pitagorasa a·z do

aksjomatyki i prostych konsekwencji zawartych w �Elementach Euklidesa" zosta÷,

wed÷ug mnie osi ¾agni¾ety. Sta÷si¾e tak·ze jednoczesnie w÷asnym wk÷adem w tematyczne

rozwa·zania dotycz ¾ace twierdzenia Pitagorasa. Do tej pory nigdy nie spotka÷am si¾e

z opracowaniem historycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa a·z do aksjomatyki

Euklidesa.

Mam nadziej¾e, ·ze niniejsza praca przyczyni si¾e do lepszego poznania historii nie

tyle samej postaci Pitagorasa, ale licznych dowodów jego twierdzenia wykonanych

przez niego samego i innych wielkich uczonych.

Na koniec chcia÷am serdecznie podzi¾ekowac opiekunowi mojej pracy, profesorowi

Janowi Kubarskiemu, za poswi¾econy czas, pomoc w zdobyciu literatury i pomoc w

pisaniu pracy, oraz wszystkim pracownikom Politechniki ×ódzkiej za przekazan ¾a

wiedz¾e.

1 Twierdzenie Pitagorasa w geometrii euklide-

Jednym z najbardziej znanych twierdzen dotycz ¾acych trójk ¾ata prostok ¾atnego jest

twierdzenie Pitagorasa. Oto jego tresc:

Twierdzenie Pitagorasa 1 [10; str: 9]W dowolnym trójk ¾acie prostok ¾atnym suma

pól kwadratów zbudowanych na przyprostok ¾atnych trójk ¾ata prostok ¾atnego równa jest

polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostok ¾atnej tego trójk ¾ata.

a2 + b2 = c2

Rysunek 1.

Nie posiadamy dok÷adnych informacji o ·zyciu i twórczosci Pitagorasa, mimo to

zachowa÷y si¾e trzy jego biogra�e napisane przez Jamblichosa1, Diogenesa Laertiosa2

oraz Por�riusza3, gdy·z poddawano w w ¾atpliwosc, czy grecki uczony ·zy÷kiedykol-

wiek. Relacje tych autorów s ¾a w du·zym stopniu oparte na legendach. Choc w

1Jamblich - ur. ok. 250 r. w Chalkis, zm. w 326 r., za÷o·zyciel platonskiej szko÷y syryjskiej,autor �Zbioru nauk pitagorejskich�

2Diogenes Laertios - ·zy÷w I po÷. III wieku, autor dzie÷a �·Zywoty i pogl ¾ady s÷ynnych �lozofów�3Por�riusz - ur. w 232 r. zm. w 305 r., staro·zytny �lozof neoplatonski, autor dzie÷a �·Zywoty

Pitagorasa�

nazwie twierdzenia pojawia si¾e nazwisko matematyka, to nie mo·zna byc pewnym,

czy s÷usznie przypisuje si¾e jemu autorstwo.

Matematyka obszaru staro·zytnej Mezopotamii jest zazwyczaj nazywana ba-

bilonsk ¾a, ze wzgl¾edu na to, ·ze najliczniejsze zród÷a (oko÷o 400 glinianych tabliczek)

pochodz ¾a z wykopalisk babilonskich. Wi¾ekszosc wykopanych tabliczek jest da-

towana na okres 1800-1600 p.n.e. i dotyczy mi¾edzy innymi takich zagadnien jak

u÷amki, równania kwadratowe i szescienne. Dodatkowo tabliczki zawiera÷y cwiczenia,

a na niektórych tabliczkach znajdowa÷y si¾e rysunki, które w praktyce dostarczy÷y

dowodu twierdzenia Pitagorasa. Swiadczy to o tym, ·ze twierdzenie Pitagorasa od-

kryto du·zo wczesniej. [12, str. 102]

Na s÷ynnej glinianej tabliczce nazwanej Plimpton 322, pochodz ¾acej równie·z z ok.

1800 p.n.e., czyli ponad tysi ¾ac lat przed Pitagorasem, zapisane zosta÷y obliczenia

d÷ugosci boków trójk ¾atów, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa a2+b2 = c2. Tabliczka

ta jest zapisana z prawa na lewo. W pierwszej kolumnie s ¾a podane kolejne numery

porz ¾adkowe, kolumna druga zawiera s÷owo �liczba�, zas kolumna trzecia zaczyna si¾e

od s÷owa �d÷ugosc�, po czym wymienione s ¾a kolejne wartosci a. Kolumna czwarta

zaczyna si¾e od s÷owa �przek ¾atna�, po czym zapisane s ¾a kolejne wartosci c. Os-

tatnia kolumna zawiera wartosci b obliczone zgodnie ze wzorem b =pa2 + b2 , z

dok÷adnosci ¾a co najmniej do czwartego miejsca po przecinku. [2]

Rysunek 2. Plimpton 322

Równie·z w Staro·zytnym Egipcie znany by÷Egipcjanom trójk ¾at prostok ¾atny o bokach

3; 4; 5: Dowodem tego jest chocby to, ·ze takie w÷asnie proporcje znajduj ¾a arche-

olodzy w wymiarach g÷azów ciosanych piramidy Chefrena4 datowanej na XXV wiek

p.n.e. Innym przyk÷adem mo·ze byc tak zwana komnata królewska znajduj ¾aca si¾e

4Chefren - w latach 2572-2546 p.n.e. w÷adca staro·zytnego Egiptu z IV dynastii, z okresu StaregoPanstwa.

w s÷ynnej piramidzie Cheopsa5, której wymiary zwi ¾azane s ¾a w szczególny sposób z

liczbami 3; 4; 5; mianowicie przek ¾atna ca÷ego wieloscianu zawiera pi¾ec tych samych

jednostek, których kraw¾edz najd÷u·zsza zawiera cztery, a przek ¾atna najmniejszej

sciany zawiera trzy. Trójk ¾at o bokach 3; 4; 5 by÷dla Egipcjan �gur ¾a magiczn ¾a. [10,

str. 10]

Powy·zsze przyk÷ady dowodz ¾a, ·ze Pitagoras nie by÷pierwszym odkrywc ¾a owej

w÷asciwosci trójk ¾ata prostok ¾atnego, ale najprawdopodobniej jako pierwszy je udo-

wodni÷. Poni·zej zaprezentuj¾e dowód, którego autorem jest prawdopodobnie sam

Pitagoras. [2]

Dowód wykonany przez Pitagorasa [10, str. 18] Niech dany b¾edzie trójk ¾atprostok ¾atny o przyprostok ¾atnych a i b oraz przeciwprostok ¾atnej c:

Rysunek 3.

Budujemy kwadrat, którego bok jest równy sumie przyprostok ¾atnych a i b danego

trójk ¾ata prostok ¾atnego. Kwadrat ten dzielimy na dwa kwadraty, jeden o boku a, a

drugi o boku b, oraz na dwa równe prostok ¾aty o bokach a i b: Mamy rysunek:

5Cheops - w latach 2604-2581 p.n.e. w÷adca staro·zytnego Egiptu IV dynastii z okresu StaregoPanstwa.

Rysunek 4.

Podzielimy teraz te prostok ¾aty na cztery równe trójk ¾aty prostok ¾atne I, II, III, IV.

Rysunek 5.

Uk÷adaj ¾ac te trójk ¾aty w taki sposób, jaki wskazuje poni·zszy rysunek, otrzymamy

po srodku kwadrat o polu c2:

Rysunek 5.

Porównuj ¾ac pola kwadratów z rysunku 4 i 6 mamy:

a2 + b2 + 2 � a � b = c2 + 4 � 12� a � b

a2 + b2 + 2 � a � b = c2 + 2 � a � b

a2 + b2 = c2

co nale·za÷o udowodnic.

1.1 Euklides i jego �Elementy�

1.1.1 Ogólne wiadomosci o �Elementach"

Jak wspomnia÷am we wst¾epie celem mojej pracy jest przedstawienie ró·znych dowo-

dów twierdzenia Pitagorasa. Aby by÷o to mo·zliwe, podam szereg niezb¾ednych

de�nicji i twierdzen, które zawarte s ¾a w kolejnych ksi¾egach �Elementów Euklidesa�,

a stanowi ¾a podstaw¾e dzia÷u matematyki, któr ¾a jest geometria. Zanim napisz¾e

niezb¾edn ¾a teori¾e, chc¾e wpierw przybli·zyc postac samego Euklidesa i jego dzie÷a.

Rysunek 7.

Jak podaj ¾a zród÷a encyklopedyczne, niestety o greckim uczonym zachowa÷o si¾e

bardzo ma÷o zapisków biogra�cznych i to tylko w postaci szcz ¾atkowej, dlatego

wiedza o nim opiera si¾e przede wszystkim na przypuszczeniach. Euklides najpraw-

dopodobniej ·zy÷w latach 325 - 265 p.n.e. za panowania Ptolemeusza Sotera I.

Euklides kszta÷ci÷si¾e w Akademii Platonskiej, gdzie posiad÷g÷¾ebok ¾a wiedz¾e matem-

atyczn ¾a i �lozo�czn ¾a. Zosta÷zaproszony przez w÷adc¾e Egiptu, Ptolemeusza I, do

Aleksandrii, gdzie mia÷nauczac w nowopowsta÷ym uniwersytecie aleksandryjskim.

Najprawdopodobniej Euklides pe÷ni÷funkcj¾e pierwszego dyrektora Biblioteki Alek-

sandryjskiej. W Aleksandrii grecki uczony pozosta÷do konca ·zycia.

Najznamienitszym dzie÷em Euklidesa s ¾a �Elementy Euklidesa�napisane oko÷o

300 roku p.n.e., w których sk÷ad wchodzi XIII Ksi ¾ag poswi¾econych planimetrii, ogól-

nej teorii proporcji, arytmetyce, niewymiernosciom algebraicznym oraz stereometrii.

[12, str. 238]

Rysunek 8. Staro·zytny papirus z Elementami Euklidesa

Zdaniem Stefana Kulczyckiego wypar÷y one z u·zycia wszystkie dawniejsze ksi ¾a·zki i

utrzyma÷y si¾e jako sztandarowy podr¾ecznik geometrii przez ca÷¾a staro·zytnosc. �E-

lementy" by÷y wielokrotnie komentowane, poprawiane i wydawane. Wa·znego ujed-

nolicenia i uproszczenia dzie÷a dokona÷w IV wieku Teon6 z Aleksandrii. Na jego

pracy opiera÷y si¾e wszystkie, oprócz jednego, pózniejsze t÷umaczenia i edycje. Ten

jeden jedyny, znajduj ¾acy si¾e w bibliotece watykanskiej, datuj ¾acy si¾e z X stulecia,

nie zawiera dodatków Teona, pochodzi zatem z tekstów starszych. [12, str. 238]

Rysunek 9. R¾ekopis watykanski

Pierwsze drukowane wydanie �Elementów�pojawi÷o si¾e w roku 1482 w Wenecji i

zawiera÷o przek÷ad ÷acinski Campanusa7. Natomiast pierwsze drukowane ÷acinskie

t÷umaczenie dokonane przez Zambertiego, ukaza÷o si¾e w 1505 roku. W 1703 roku

ukaza÷o si¾e w Oxfordzie pierwsze kompletne wydanie �Elementów". W 1807 roku

w Krzemiencu ukaza÷o si¾e pierwsze polskie t÷umaczenie osmiu ksi ¾ag �Elementów�

pt. �Euklidesa pocz ¾atków geometrii Ksi ¾ag osmioro�którego dokona÷Józef Czech8

6Teon - ur. ok. 335 r., zm. ok. 405 r. , matematyk i astronom pracuj ¾acy w Aleksandrii, ostatnidyrektor Biblioteki Aleksandryjskiej

7Johannes Campanus - ur. w 1220, zm. w 1296 roku, w÷oski astronom i matematyk, który wroku 1260 prze÷o·zy÷�Elementy Euklidesa�na j¾ezyk ÷acinski.

8Józef Czech - ur. 8 czerwca 1806 w Krzemiencu, zm. 10 lutego 1876, ksi¾egarz, drukarz. Od1826 r. prowadzi÷drukarni¾e w Krakowie, w której wydawa÷dzie÷a naukowe, literackie i kalendarze.

[12, str. 252].

�Elementy Euklidesa�by÷y ksi ¾a·zk ¾a wydawan ¾a najcz¾esciej chyba poza �Bibli ¾a�.

Bibliografowie naliczyli ponad 1000 ich edycji. Matematyk Stefan Kulczycki uwa·za,

·ze �Elementy�wywar÷y najwi¾ekszy wp÷yw w historii matematyki, a byc mo·ze w

ogóle w dziejach intelektu ludzkiego, albowiem przez d÷ugie wieki stanowi÷y one

wzorzec naukowego wyk÷adu podziwiany i nasladowany. [12, str. 252]

Tak jak napisa÷am na pocz ¾atku tego rozdzia÷u, podam teraz szereg de�nicji

i twierdzen z wybranych Ksi ¾ag �Elementów Euklidesa�, przet÷umaczonych przez

Józefa Czecha, które potrzebne mi b¾ed ¾a do przeprowadzenia dowodów, zawartych

w podrozdziale trzecim, czwartym i pi ¾atym.

1.1.2 Ksi¾ega I

Ksi¾ega poswi¾econa planimetrii. [5, str. 1 - 52]

Opis 15 Ko÷o jest �gur ¾a p÷ask ¾a zawarta lini ¾a zwan ¾a okr¾egiem, do której wszystkielinie proste poprowadzone z jednego punktu wewn ¾atrz �gury po÷o·zonego, s ¾a mi ¾edzy

sob ¾a równe.

Opis 16 I ten punkt nazywa si ¾e centrum lub srodkiem ko÷a.

Opis 17 Srednic ¾a ko÷a jest ka·zda linia narysowana przez srodek ko÷a, przed÷u·zonaw dwóch kierunkach do jego obwodu, przepo÷awiaj ¾aca go.

Opis 18 Pó÷okr¾egiem jest �gura zawarta mi ¾edzy srednic ¾a i cz ¾esci ¾a okr¾egu odci ¾et ¾a

t ¾a srednic ¾a. Srodek pó÷okr¾egu jest te·z srodkiem okr¾egu.

Opis 21 Trójk ¾at to �gura prostokreslna ograniczona trzema prostymi.Opis 25 Trójk ¾at równoramienny to trójk ¾at, który ma tylko dwa boki równe.Opis 27 Trójk ¾at prostok ¾atny to trójk ¾at, który ma k ¾at prosty.Opis 30 Kwadrat jest to czworobok maj ¾acy równe boki i równe k ¾aty.Opis 31 Prostok ¾at jest to czworobok maj ¾acy k ¾aty proste, ale boki nierówne.Opis 33 Równoleg÷obok jest to czworobok maj ¾acy boki przeciwleg÷e równe, ale niemaj ¾acy k ¾atów prostych.

Pewnik 2 Je·zeli do równych wielkosci dodane b¾ed ¾a wielkosci równe, ca÷e wielkoscib¾ed ¾a sobie równe.

Pewnik 3 Jesli od równych wielkosci odj ¾ete b¾ed ¾a równe wielkosci, to pozosta÷e

wielkosci b¾ed ¾a sobie równe.

Pewnik 6 Wielkosci, które s ¾a podwojonymi tej·ze samej wielkosci, s ¾a mi ¾edzy sob ¾arówne.

Pewnik 7Wielkosci, które s ¾a po÷owami tej·ze samej wielkosci, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.Pewnik 8 Wielkosci, które przystaj ¾a do siebie wzajemnie, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.Pewnik 11 Wszystkie k ¾aty proste s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.

Pewnik 12 Jesli linia prosta przecina dwie inne linie proste tak, ·ze suma dwóchk ¾atów wewn ¾etrznych po jednej jej stronie jest mniejsza ni·z suma dwóch k ¾atów pros-

tych, to te dwie linie proste przetn ¾a si ¾e po tej stronie po której suma k ¾atów jest

mniejsza od sumy dwóch k ¾atów prostych.

Podanie 2 Skonstruuj odcinek równy danemu odcinkowi, którego koniec jest zada-nym punktem.

Podanie 4 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾a dwa boki odpowiednio równe dwóm innym i

je·zeli k ¾aty zawarte mi ¾edzy bokami równymi s ¾a równe, wtedy ich podstawy równie·z

s ¾a sobie równe i pozosta÷e k ¾aty równe s ¾a odpowiednim k ¾atom.

Podanie 5 W trójk ¾atach równoramiennych k ¾aty przy podstawie s ¾a sobie równe oraz

k ¾aty powsta÷e przez przed÷u·zenie boków równych s ¾a sobie równe.

Podanie 6 Je·zeli w trójk ¾acie dwa k ¾aty s ¾a sobie równe, to boki le·z ¾ace naprzeciwrównych k ¾atów s ¾a sobie równe.

Podanie 8 Je·zeli dwa boki jednego trójk ¾ata s ¾a równe dwóm bokom drugiego trójk ¾atai podstawa jednego trójk ¾ata jest równa podstawie drugiego trójk ¾ata, to k ¾aty zawarte

mi ¾edzy równymi bokami s ¾a sobie równe.

Podanie 9 Dany k ¾at prostokreslny podziel na dwie równe cz ¾esci.Podanie 10 Dan ¾a lini ¾e prost ¾a oznaczon ¾a podzielic na dwie równe cz ¾esci.Podanie 11 Z punktu danego na danej linii prostej wyprowadzic lini ¾e prostopad÷¾ado danej linii prostej.

Podanie 12 Z punktu danego le·z ¾acego poza lini ¾a prost ¾a nieograniczon ¾a, wyprowadzicprost ¾a lini ¾e prostopad÷¾a do niej.

Podanie 14 Je·zeli przy linii prostej i przy punkcie na niej le·z ¾acym dwie linie prostenie po jednej stronie po÷o·zone czyni ¾a k ¾aty przyleg÷e równe dwóm k ¾atom prostym, to

te linie proste b¾ed ¾a w tym samym kierunku.

Podanie 15 Je·zeli dwie linie proste przecinaj ¾a si ¾e, to utworzone przez nie k ¾atyprzeciwleg÷e s ¾a sobie równe.

Podanie 26 Je·zeli dwa k ¾aty jednego trójk ¾ata s ¾a równe dwóm k ¾atom drugiego trójk ¾ata,i bok jeden przyleg÷y obydwu k ¾atom, albo jednemu w pierwszym trójk ¾acie równa si ¾e

bokowi jednemu przyleg÷emu obydwu k ¾atom, albo jednemu w drugim trójk ¾acie, b¾ed ¾a

i dwa boki pozosta÷e równe dwóm bokom pozosta÷ym i k ¾at trzeci w jednym trójk ¾acie

b¾edzie równy k ¾atowi trzeciemu w drugim trójk ¾acie.

Podanie 29 Je·zeli linia prosta pada na dwie linie proste równoleg÷e; czyni k ¾aty naprzemian mi ¾edzy sob ¾a równe i k ¾at zewn ¾etrzny równy k ¾atowi wewn ¾etrznemu przeci-

wleg÷emu, po jednej stronie po÷o·zonemu i k ¾aty wewn ¾etrzne po jednej stronie po÷o·zone

równe dwóm k ¾atom prostym.

Podanie 31 Poprowadzic przez dany punkt lini ¾e prost ¾a równoleg÷¾a wzgl ¾edem danej

linii prostej.

Podanie 32 W jakimkolwiek trójk ¾acie, jesli jeden z boków jest znany wtedy k ¾at

zewn ¾etrzny jest równy sumie dwóch k ¾atów wewn ¾etrznych i przeciwnych i suma trzech

wewn ¾etrznych k ¾atów trójk ¾ata jest równa dwóm k ¾atom prostym.

Podanie 34 W równoleg÷obokach boki i k ¾aty przeciwne s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe, a

przek ¾atna dzieli je na dwie równe cz ¾esci.

Podanie 35 Równoleg÷oboki o tej samej podstawie, które s ¾a ograniczone tymi samy-mi liniami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.

Podanie 36 Równoleg÷oboki o równych podstawach, które s ¾a ograniczone tymi samy-mi liniami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.

Podanie 37 Trójk ¾aty o tej samej podstawie, które s ¾a ograniczone tymi samymi li-niami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.

Podanie 38 Trójk ¾aty o równych podstawach, które s ¾a ograniczone tymi samymiliniami równoleg÷ymi, s ¾a mi ¾edzy sob ¾a równe.

Podanie 40 Równe trójk ¾aty, które maj ¾a takie same podstawy i maj ¾a te same bokirównie·z s ¾a porównywalne.

Podanie 41 Jesli równoleg÷obok i trójk ¾at maj ¾a t ¾a sam ¾a podstaw ¾e i s ¾a tymi samymiliniami zakonczone, to trójk ¾at jest po÷ow ¾a równoleg÷oboku.

Podanie 46 Na danej linii prostej wykreslic kwadrat.

1.1.3 Ksi¾ega III

Opis 2Mówi si ¾e, ·ze linia prosta dotyka ko÷a, gdy b¾ed ¾ac styczn ¾a z ko÷em, przed÷u·zonaz obydwu stron, nie przecina z ·zadnej strony okr¾egu ko÷a.

Opis 6 Odcinkiem ko÷a jest �gura, czyli cz ¾esc ko÷a ograniczona lini ¾a prost ¾a i

okr¾egiem ko÷a.

Opis 8 Je·zeli na okr¾egu ko÷a wzi ¾ety b¾edzie punkt i od niego poprowadzone b¾ed ¾a linieproste do konców linii prostej za podstaw ¾e odcinkowi s÷u·z ¾acej, to k ¾at mi ¾edzy tymi

liniami prostymi zawarty jest k ¾atem w odcinku.

Opis 9 Kiedy zas linie proste k ¾at zawieraj ¾ace zajmuj ¾a cz ¾esc okr¾egu, mówi si ¾e ·ze tenk ¾at wspiera si ¾e na okr¾egu ko÷a.

Podanie 18 Je·zeli linia prosta dotyka si ¾e okr¾egu ko÷a, a ze srodka ko÷a wyprowa-dzona b¾edzie linia prosta do punktu dotykania si ¾e, ta b¾edzie prostopad÷¾a do stycznej.

Podanie 20 W kole, k ¾at maj ¾acy wierzcho÷ek we srodku jest podwojeniem k ¾ata ma-

j ¾acego swój wierzcho÷ek na okr¾egu ko÷a, gdy·z t ¾e sam ¾a podstaw ¾e okr¾egu maj ¾a za pod-

staw ¾e, czyli to samo, gdy ramionami swymi tej samej cz ¾esci okr¾egu obejmuj ¾a.

Podanie 22 K ¾aty przeciwne czworok ¾ata w ko÷o wpisanego s ¾a równe dwóm k ¾atom

prostym.

Podanie 27 W ko÷ach równych k ¾aty we srodkach, lub przy okr¾egach, na równych

÷ukach wspieraj ¾ace si ¾e, s ¾a miedzy sob ¾a równe.

Podanie 28 W ko÷ach równych, ci ¾eciwy równe obejmuj ¾a ÷uki równe, tak, ·ze ÷uk

wi ¾ekszy wi ¾ekszemu, mniejszy mniejszemu jest równy.

Podanie 31 W kole k ¾at w pó÷kolu jest prosty.

Podanie 36 Je·zeli z punktu, za ko÷em obranego poprowadzimy dwie linie proste, z

których jedna przecina÷aby ko÷o, a druga by÷a styczn ¾a to iloczyn odcinków mierzonych

od punktu obranego poza ko÷em do bli·zszego punktu przeci ¾ecia z ko÷em i od punktu

obranego poza ko÷em do punktu dalszego przeci ¾ecia z ko÷em jest równy kwadratowi

d÷ugosci stycznej poprowadzonej z punktu obranego poza ko÷em do punktu stycznosci.

1.1.4 Ksi¾ega IV

Opis 5 Ko÷o wpisuje si ¾e w dan ¾a �gur¾e, kiedy ka·zdy bok �gury, w któr ¾a si ¾e ko÷owpisuje, dotyka si ¾e okr¾egu ko÷a.

Opis 6 Ko÷o opisuje si ¾e na danej �gurze, gdy okr ¾ag dotyka si ¾e ka·zdego k ¾ata �gury,oko÷o której opisuje si ¾e ko÷o.

Podanie 4 W dany trójk ¾at wpisac ko÷o.

Podanie 5 Dany trójk ¾at opisac ko÷em.

1.1.5 Ksi¾ega V

Ksi¾ega poswi¾econa ogólnej teorii proporcji. [5, str. 136 - 178]

Opis 6 Wielkosci, które s ¾a w tym samym stosunku, nazywamy proporcjonalnymi.

Podanie 4 Je·zeli pierwsza wielkosc jest tak ¾a wielokrotnosci ¾a drugiej, jak ¾a trzeciajest czwartej, b ¾ed ¾a te·z i równie wielokrotne pierwszej i trzeciej, do równie wielokrot-

nych drugiej i czwartej w ka·zdej odmianie wielokrotnego powtórzenia porównane, w

równym stosunku mi ¾edzy sob ¾a.

1.1.6 Ksi¾ega VI

Ksi¾ega poswi¾econa planimetrii. 95, str. 179 - 229]

Opis 1 Figury podobne prostoliniowe to takie, których k ¾aty s ¾a odpowiednio równe,a boki przy tych k ¾atach proporcjonalne.

Opis 4 Wysokosci ¾a jakiejkolwiek �gury jest prostopad÷a narysowana od wierzcho÷kado podstawy.

Podanie 2 Jesli linia prosta jest narysowana równolegle do jednego z boków trójk ¾ata,wówczas przecina ona boki trójk ¾ata proporcjonalnie; a jesli boki trójk ¾ata przeci ¾ete s ¾a

proporcjonalnie, wówczas linia ÷¾acz ¾aca punkty odcinka jest równoleg÷a do pozosta÷ego

boku trójk ¾ata.

Podanie 3 Jesli k ¾at trójk ¾ata jest podzielony na pó÷lini ¾a prost ¾a przecinaj ¾ac ¾a pod-staw ¾e, wówczas odcinki podstawy maj ¾a t ¾e sam ¾a proporcj ¾e jak pozosta÷e boki trójk ¾ata;

a jesli odcinki podstawy maj ¾a tak ¾a sam ¾a proporcj ¾e jak pozosta÷e boki trójk ¾ata, wów-

czas linia prosta ÷¾acz ¾aca wierzcho÷ek z punktem odcinka dzieli k ¾at trójk ¾ata na pó÷.

Podanie 4 W trójk ¾atach równok ¾atnych boki przy k ¾atach równych s ¾a proporcjonalne

gdzie odpowiadaj ¾ace sobie boki le·z ¾a naprzeciw k ¾atów równych.

Podanie 5 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾a boki proporcjonalne wtedy s ¾a trójk ¾atami równo-k ¾atnymi z k ¾atami równymi le·z ¾acymi naprzeciw w÷asciwych boków.

Podanie 6 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾a jeden k ¾at równy drugiemu k ¾atowi i boki przyk ¾atach równych proporcjonalne, wówczas trójk ¾aty te s ¾a równok ¾atne i maj ¾a te k ¾aty

równe naprzeciw odpowiadaj ¾acych boków.

Podanie 7 Je·zeli dwa trójk ¾aty maj ¾a jeden k ¾at równy drugiemu k ¾atowi, boki przyinnych k ¾atach proporcjonalne, a pozosta÷e k ¾aty albo mniejsze lub nie mniejsze ni·z

k ¾at prosty, wtedy trójk ¾aty s ¾a równok ¾atne i maj ¾a k ¾aty równe przy bokach, które s ¾a

proporcjonalne.

Podanie 8 Jesli w trójk ¾acie prostok ¾atnym narysowana jest prostopad÷a od k ¾ata

prostego do podstawy, wówczas trójk ¾aty przyleg÷e do prostopad÷ej s ¾a podobne zarówno

do ca÷osci jak i do siebie nawzajem.

Podanie 18 Na danej linii prostej wykreslic �gur¾e podobn ¾a i podobnie po÷o·zon ¾awzgl ¾edem danej �gury.

Podanie 21 Figury, które s ¾a podobne do tej samej �gury prostoliniowej s ¾a tak·zepodobne do siebie nawzajem.

Podanie 31 W trójk ¾atach prostok ¾atnych �gura utworzona na boku le·z ¾acym naprze-

ciw k ¾ata prostego równa si ¾e sumie podobnych i podobnie po÷o·zonych �gur na bokach

zawieraj ¾acych k ¾at prosty.

Podanie 32 Jesli dwa trójk ¾aty maj ¾ace dwa boki proporcjonalne do dwóch bokóws ¾a umieszczone razem w jednym k ¾acie tak, ·ze ich odpowiadaj ¾ace sobie boki s ¾a tak·ze

równoleg÷e, wówczas pozosta÷e boki trójk ¾atów s ¾a w linii prostej.

Podanie 33 K ¾aty w równych okr¾egach maj ¾a tak ¾a sam ¾a proporcj ¾e jak obwody kó÷naktórych s ¾a po÷o·zone bez wzgl ¾edu na to czy le·z ¾a w srodku czy na obwodzie.

1.2 Pewne w÷asnosci trygonometryczne

W rozdziale tym podam teori¾e, która nie znalaz÷a si¾e w �Elementach", a b¾edzie mi

potrzebna w przeprowadzeniu niektórych dowodów twierdzenia Pitagorasa. Poni·zsze

de�nicje i twierdzenia zaczerpn¾e÷am z [9, str. 23 - 57].

De�nicja 1.2.1 Sinusem k ¾ata nazywamy stosunek d÷ugosci przyprostok ¾atnej le·z ¾acejnaprzeciw k ¾ata do d÷ugosci przeciwprostok ¾atnej.

Twierdzenie 1.2.2 Dla dowolnego k ¾ata suma kwadratów cosinusa i sinusa jest

równa jednosci.

sin2 �+ cos2 � = 1

Twierdzenie 1.2.3 Dla dowolnego k ¾ata zachodzi

sin (90� � �) = sin (90� + �)

Twierdzenie 1.2.4 Dla dowolnego k ¾ata zachodzi

cos (90� � �) = sin�

Twierdzenie 1.2.5 (Carnota) W dowolnym trójk ¾acie na p÷aszczyznie kwadrat do-

wolnego boku jest równy sumie kwadratów pozosta÷ych boków pomniejszonej o po-

dwojony iloczyn tych boków i cosinusa k ¾ata zawartego mi ¾edzy nimi.

a2 = b2 + c2 � 2 � b � c � cos�

b2 = a2 + c2 � 2 � a � c � cos �

c2 = a2 + b2 � 2 � a � b � cos

1.3 Pomocnicze dowody

W rozdziale tym zaprezentuj¾e dowody, które oka·z ¾a si¾e niezb¾edne w dalszym toku

rozumowania mojej pracy.

1.3.1 Dowód wzoru Herona

Heron urodzi÷si¾e oko÷o 10 roku, a zmar÷oko÷o 70 roku. Pochodzi÷z Aleksandrii.

Mimo wielkiej aktywnosci naukowej i pisarskiej, o jego ·zyciu wiadomo jest bardzo

niewiele. By÷on staro·zytnym greckimmatematykiem, �zykiem, mechanikiem, wyna-

lazc ¾a i konstruktorem. Jego najwi¾eksze odkrycia i wynalazki to: Bania Herona

uwa·zana za pierwowzór parowej turbiny, maszyny do czerpania wody, maszyny

obl¾e·znicze, wzór na pole trójk ¾ata zwany wzorem Herona, wzory na powierzchni¾e

i obj¾etosc innych �gur geometrycznych oraz metody przybli·zonego obliczania pier-

wiastków. Z jego dzie÷zachowa÷y si¾e Pneumatyka, Automaty, Mechanika, Metryka

i Zwierciad÷a, z czego trzy ostatnie znane s ¾a z t÷umaczen arabskich.

Dowód. [7, str. 13] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym

w wierzcho÷ku C: Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a oraz jACj = b:

Niech � oznacza miar¾e k ¾ata mi¾edzy bokami b i c oraz niech h b¾edzie wysokosci ¾a

opuszczon ¾a na bok c: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 10.

Udowodnimy wzór na pole powierzchni trójk ¾ata:

S =pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)

gdzie p oznacza po÷ow¾e obwodu trójk ¾ata tj.

p =a+ b+ c

Zauwa·zmy, ·ze pole trójk ¾ata ABC wyra·za si¾e równie·z wzorem:

2� c � h (2)

Ponadto na podstawie De�nicji 1.2.1 mamy:

sin� =h

Z (3) mamy, ·ze:

h = b � sin� (4)

Zatem z (2) i (4) mamy:

2� c � b � sin� (5)

Wyst¾epuj ¾acy we wzorze (5) sin� wyrazimy przez d÷ugosc boków, korzystaj ¾ac z

Twierdzenia 1.2.3

a2 = b2 + c2 � 2 � b � c � cos� (6)

oraz z Twierdzenia 1.2.2

sin2 �+ cos2 � = 1 (7)

Z (6) i (7) mamy:

sin2 � = 1� cos2 � = 1��b2 + c2 � a2

2 � b � c

�2(8)

�1 +

b2 + c2 � a2

2 � b � c

��1� b2 + c2 � a2

2 � b � c

�2 � b � c+ b2 + c2 � a2

2 � b � c

��2 � b � c� b2 � c2 + a2

2 � b � c

(b+ c)2 � a2

2 � b � c � a2 � (b� c)2

2 � b � c=

(b+ c+ a) � (b+ c� a)

2 � b � c � (a+ b� c) � (a� b+ c)

2 � b � c

Z (8) mamy:

sin2 � =(b+ c+ a) � (b+ c� a)

2 � b � c � (a+ b� c) � (a� b+ c)

2 � b � c (9)

Z (1) otrzymujemy:

a+ b+ c = 2 � p

a+ b� c = 2 � p� 2 � c = 2 � (p� c)

a� b+ c = 2 � p� 2 � b = 2 � (p� b)

�a+ b+ c = 2 � p� 2 � a = 2 � (p� a)

Wracaj ¾ac do (9) mamy:

sin2 � =2 � p � (p� a)

2 � b � c � 2 � (p� c) � 2 � (p� b)

2 � b � c (10)

b2 � c2 � p � (p� a) � (p� b) � (p� c)

Z (10) otrzymujemy:

sin� =2

b � c �pp � (p� a) � (p� b) � (p� c) (11)

2� c � b � 2

b � c �pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)

Ostatecznie otrzymujemy:

S =pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)

1.3.2 Dowód na pole powierzchni dowolnego trójk ¾ata

Dowód. Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-

cho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o srodku w

punkcie O i promieniu r: Dwusieczne k ¾atów wewn¾etrznych trójk ¾ata ABC podzieli÷y

ten trójk ¾at na trzy mniejsze trójk ¾aty: �AOC; �COB oraz �AOB: Na mocy Opisu

4 z Ksi¾egi VI rysujemy w trójk ¾acie AOC wysokosc OF; w trójk ¾acie COB wysokosc

OD; zas w trójk ¾acie AOB wysokosc OE: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 11.

Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jBCj = c oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze

wysokosci w tych trzech trójk ¾atach s ¾a równe promieniowi ko÷a wpisanego w trójk ¾at

prostok ¾atny ABC; czyli:

jOF j = jODj = jOEj = r (12)

Ponadto widac, ·ze:

PABC = PAOC + PCOB + PAOB (13)

oraz korzystaj ¾ac z (12) mamy:

PAOC =1

2� b � jOF j = 1

2� b � r (14)

PCOB =1

2� c � jODj = 1

2� c � r (15)

PAOB =1

2� a � jOEj = 1

2� a � r (16)

Z (13), (14), (15) i (16) mamy:

PABC =1

2� b � r + 1

2� c � r + 1

2� a � r (17)

Ostatecznie z (17) otrzymujemy:

PABC =1

2� r � (b+ c+ a)

1.3.3 Dowód na promien ko÷a wpisanego w trójk ¾at prostok ¾atny

Dowód. [11] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-cho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o srodku w

punkcie O i promieniu r: Dwusieczne k ¾atów wewn¾etrznych trójk ¾ata ABC podzieli÷y

ten trójk ¾at na trzy mniejsze trójk ¾aty: �AOC; �COB oraz �AOB: Na mocy Opisu

4 z Ksi¾egi VI rysujemy w trójk ¾acie AOC wysokosc OF; w trójk ¾acie COB wysokosc

OD; zas w trójk ¾acie AOB wysokosc OE: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 12.

Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jBCj = c oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze

wysokosci w tych trzech trójk ¾atach s ¾a równe promieniowi ko÷a wpisanego w trójk ¾at

prostok ¾atny ABC; czyli:

jOF j = jODj = jOEj = r (18)

Na podstawie Opisu 4 z Ksi¾egi VI k ¾aty OEB i OEA s ¾a proste. Zatem dwie linie

proste BE i AE tworz ¾a z obydwu stron linii prostej OE k ¾aty przyleg÷e równe dwóm

k ¾atom prostym. Na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi I dwie linie proste BE i EA

maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac analogicznie, linie proste CF i FAmaj ¾a ten sam

kierunek. Zauwa·zmy, ·ze proste CFA i OE s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z proste

te s ¾a prostopad÷e do przyprostok ¾atnej AB trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC: Ponadto

proste BEA i OF s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z proste te s ¾a prostopad÷e do

przyprostok ¾atnej AC. Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki FA i OE oraz OF

i EA s ¾a sobie równe. Zatem z (18) mamy równosc odcinków:

jOF j = jODj = jOEj = jEAj = jFAj = r (19)

Zauwa·zmy, ·ze:

^OEB = ^ODB = ^CFO = ^CDO = 90� (20)

Z (19) i (20) oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty DEB i

ODB oraz CFO i CDO s ¾a przystaj ¾ace. Zatem

jEBj = jDBj (21)

jCF j = jCDj (22)

Zauwa·zmy, ·ze:

jEBj = jABj � jEAj = a� r (23)

jCDj = jBCj � jDBj = c� jDBj (24)

Z (21), (23) i (24) mamy:

jCDj = c� a+ r (25)

Ponadto

jCF j = jACj � jFAj = b� r (26)

Z (22) i (26) mamy:

jCDj = b� r (27)

Przyrównuj ¾ac do siebie (25) oraz (27) otrzymujemy:

c� a+ r = b� r (28)

Z (28) mamy:

2 � r = b+ a� c

r =b+ a� c

1.4 Historyczne dowody twierdzenia Pitagorasa

Liczba ró·znych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przyt÷aczaj ¾aca, wed÷ug nie-

których zróde÷przekracza 350. Euklides w �Elementach�podaje ich osiem, kolej-

ne pojawia÷y si¾e na przestrzeni wieków i pojawiaj ¾a a·z po dzis dzien. Niektóre z

dowodów s ¾a czysto algebraiczne (jak dowód z podobienstwa trójk ¾atów), inne maj ¾a

form¾e uk÷adanek geometrycznych, jeszcze inne oparte s ¾a o równosci pól pewnych

�gur. Zaprezentuj¾e w tym rozdziale kilkadziesi ¾at wybranych dowodów.

1.4.1 Przypuszczalny dowód Pitagorasa

Poni·zej zaprezentuj¾e dowód algebraiczny, który wed÷ug Szczepana Jelenskiego móg÷

byc przypuszczalnym dowodem Pitagorasa.

Dowód. [10, str. 21] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku C: Z wierzcho÷ka C poprowadzmy prost ¾a CD, która jest prostopad÷a

do podstawy AB: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 13.

Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty podobne: �ABC;

�ADC oraz�CDB:Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a; oraz jACj = b:

Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne�CDB i�ABC mo·zemy na podstawie Podania

4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:

Rozpatruj ¾ac trójk ¾aty podobne �ADC i �ABC mo·zemy na podstawie Podania 4 z

Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:jADjb

Z proporcji (29) i (30) otrzymujemy równosci:

a2 = jBDj � c (31)

b2 = jADj � c (32)

Po dodaniu stronami (31) i (32) mamy:

a2 + b2 = jBDj � c+ jADj � c = c � (jBDj+ jADj) = c � c = c2 (33)

Ostatecznie z (33) mamy:

a2 + b2 = c2

Jak uwa·za Szczepan Jelenski, jesliby istotnie Pitagoras w ten sposób udowa-

dnia÷swe s÷ynne twierdzenie, znaczy÷oby to, ·ze znany ju·z mu by÷szereg twierdzen

przypisywanych obecnie Euklidesowi, co nie jest nieprawdopodobne.

1.4.2 Dowód geometryczny Euklidesa

Euklides w �Elementach" przedstawia osiem sposobów udowodnienia twierdzenia

Pitagorasa. Przedstawi¾e jeden z jego najbardziej znanych dowodów.

Dowód. [10, str. 13] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷kuA:Udowodnimy, ·ze pole kwadratu wykreslonego na bokuBC jest równe

sumie pól kwadratów wykreslonych na bokach BA i AC: Na podstawie Podania 46

z Ksi¾egi I narysujemy na przeciwprostok ¾atnej BC kwadrat BDEC; na przypros-

tok ¾atnej BA kwadrat BAGF oraz na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACKH: Na

podstawie Podania 31 z Ksi¾egi I przez punkt A poprowadzimy lini¾e prost ¾a AL

równoleg÷¾a do boków BD i EC kwadratu BDEC: Nast¾epnie po÷¾aczymy punkty F

z C, A z D; A z E oraz B z K odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 14.

Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at BAG jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at BAC

jest równie·z prosty. Zatem dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii

prostej BA k ¾aty przyleg÷e równe dwóm k ¾atom prostym. Na podstawie Podania 14

z Ksi¾egi I dwie linie proste AC i AG maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac ana-

logicznie, linie proste AB i AH maj ¾a ten sam kierunek. Na podstawie Pewnika

2 z Ksi¾egi I k ¾at DBA równy jest k ¾atowi FBC, ka·zdy bowiem z nich sk÷ada si¾e z

k ¾ata prostego i k ¾ata wspólnego ABC: Wiedz ¾ac, ·ze odcinki jABj i jDBj s ¾a równeodpowiednio odcinkom jFBj i jBCj oraz k ¾at DBA jest równy k ¾atowi FBC; wi¾ec

na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I podstawa AD jest równa podstawie FC oraz

trójk ¾at ABD jest równy trójk ¾atowi FBC. Na podstawie Podania 41 z Ksi¾egi I

trójk ¾at ABD jest po÷ow ¾a równoleg÷oboku BDLJ , poniewa·z oparte s ¾a na tej samej

podstawie BD i s ¾a mi¾edzy tymi samymi liniami równoleg÷ymi BD i AL zakonczone.

Analogicznie trójk ¾at FBC jest po÷ow ¾a kwadratu BAGF , poniewa·z maj ¾a t ¾a sam ¾a

podstaw¾e FB i s ¾a ograniczone tymi samymi liniami równoleg÷ymi FB i GC. Na

podstawie Pewnika 6 z Ksi¾egi I pole kwadratu BAGF jest równe polu prostok ¾ata

BDLJ . Powtarzaj ¾ac analogicznie dowód, udowodnilibysmy, ·ze pole równoleg÷oboku

JLEC równe jest polu kwadratu ACKH: Na podstawie powy·zszych rozwa·zan pole

kwadratu BDEC jest równe sumie pól kwadratów FBAG i ACKH: Ostatecznie

pole kwadratu BCDE wykreslonego na przeciwprostok ¾atnej BC równe jest sumie

pól kwadratów wykreslonych na przyprostok ¾atnych AB i AC; co konczy dowód.

Poni·zsza ilustracja pochodz ¾aca z �Elementów Euklidesa" obrazuje dowód twie-

rdzenia Pitagorasa.

Rysunek 15.

1.4.3 Dowód Jamesa Gar�elda

Poni·zej zaprezentowany dowód wymysli÷w 1876 James Gar�eld (ur. 19 listopada

1831, zm. 19 wrzesnia 1881), który od marca do wrzesnia 1881 roku by÷dwudzie-

stym prezydentem Stanów Zjednoczonych.

Dowód. [8, str. 22] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷ku B: Na przed÷u·zeniu przyprostok ¾atnej BC trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC

na podstawie Podania 2 z Ksi¾egi I odk÷adamy od punktu C odcinek CD równy co

do d÷ugosci odcinkowi AB: Na podstawie Podania 11 z Ksi¾egi I konstruujemy prost ¾a

prostopad÷¾a do prostej BD; przechodz ¾ac ¾a przez punkt D: Na podstawie Podania 2

z Ksi¾egi I na skonstruowanej prostej odk÷adamy od punktu D odcinek DE równy

co do d÷ugosci odcinkowi BC: Punkty A i E oraz punkty E i C ÷¾aczymy odcinkami.

Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 16.

Udowodnimy, ·ze trójk ¾at ACE jest trójk ¾atem prostok ¾atnym, a w dodatku równo-

ramiennym. Wprowadzmy oznaczenia: jABj = b; jBCj = a oraz jACj = c:

Wiedz ¾ac, ·ze:

jABj = jCDj = b

jBCj = jDEj = a

^ABC = ^CDE = 90� (34)

stwierdzamy na mocy Podania 4 z Ksi¾egi I, ·ze trójk ¾aty ABC i CDE s ¾a przystaj ¾ace,

a wi¾ec:

jACj = jCEj = c (35)

^ECD = ^CAB

^CED = ^ACB (36)

Obliczymy teraz k ¾at ACE: Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I zauwa·zmy, ·ze:

180� = ^CAB + ^ACB + ^ABC

180� = ^ECD + ^CED + ^CDE

Poniewa·z zachodzi (34), wi¾ec:

90� = ^CAB + ^ACB

90� = ^ECD + ^CED

Zauwa·zmy, ·ze:

ÂCE = 180� � (ÊCD + ÂCB)

Poniewa·z zachodzi (36), to:

90� = ^ECD + ^ACB

^ACE = 180� � 90� = 90� (37)

Ostatecznie k ¾at ACE jest k ¾atem prostym. Na podstawie (35) i (37) oraz Opisu 25

i Opisu 27 z Ksi¾egi I trójk ¾at ACE jest prostok ¾atny i równoramienny. Obliczymy

teraz pola trójk ¾atów ABC; ACE oraz CDE: Mamy:

PABC =1

2� a � b

PCDE =1

2� a � b

PACE =1

2� c � c

Trzy wspomniane trójk ¾aty tworz ¾a trapez ABDE: Zauwa·zmy, ·ze pole tego trapezu

wynosi:

PABDE =1

2� (a+ b) � (a+ b) (38)

PABDE = PABC + PCDE + PACE = a � b+ c2

Z (38) i (39) mamy równosc:

2� (a+ b) � (a+ b) = a � b+ c2

(a+ b) � (a+ b) = 2 � a � b+ c2

a2 + 2 � a � b+ b2 = 2 � a � b+ c2

Ostatecznie mamy:

a2 + b2 = c2

1.4.4 Dowód Nassir ed Dina

Nassir ed Din (prawdziwe nazwisko Mohammed Ben Hussein) ·zy÷w latach 1201

- 1274. By÷wielkim, perskim astronomem XIII wieku, a zarazem ulubiencem

Wielkiego Chana Holagou, który najecha÷Persj¾e i zniszczy÷dynasti¾e Abbasid w

1258 roku n.e. Wódz utworzy÷prowincj¾e w Maragha, w której zgromadzi÷ludzi

nauki i zbudowa÷obserwatorium, którym zarz ¾adza÷Nassir do roku 1271. Oprócz

astronomii, Nassir zajmowa÷si¾e tak·ze �lozo�¾a i matematyk ¾a. Przet÷umaczy÷�E-

lementy Euklidesa�na j¾ezyk arabski, a tak·ze udowodni÷twierdzenie Pitagorasa w

poni·zszy sposób.

Dowód. [10, str. 14] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przeciwpros-

tok ¾atnej BC kwadrat BCDE; na przyprostok ¾atnej AB kwadrat ABFG oraz na

przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH: Przez punkty I i H kreslimy prost ¾a, która

jest równoleg÷a do boku AC; zas przez punkty F i G prowadzimy prost ¾a, która jest

równoleg÷a do boku AB: Proste te przecinaj ¾a si¾e w punkcie L; tworz ¾ac w mysl Opisu

31 z Ksi¾egi I prostok ¾at AHLG: Przez punkty D i C prowadzimy prost ¾a, która jest

równoleg÷a do boku BE: Prosta ta przecina prost ¾a IH w punkcie N: Przez punkty

E i B prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku CD: Prosta ta przecina

prost ¾a FG w punkcie O: W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu L poprowadzimy

prost ¾a prostopad÷¾a do przeciwprostok ¾atnej BC: Prosta ta przecina odcinek BC w

punkcie M; zas odcinek DE w punkcie K: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 17.

Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = a oraz jABj = b: Na podstawie Opisu

30 z Ksi¾egi I k ¾at GAB jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest równie·z prosty. Zatem

dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii prostej AB k ¾aty przyleg÷e,

równe dwóm k ¾atom prostym. Zatem na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi I dwie linie

proste CA i AG maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac analogicznie, linie proste FG i

GL maj ¾a ten sam kierunek. Na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty

GAL i ABC s ¾a trójk ¾atami przystaj ¾acymi. Wynika z tego, ·ze ^AGL = 90� jako k ¾atprzyleg÷y do k ¾ata prostego AGF: Zauwa·zmy, ·ze prosta LAMK oraz prosta OBE

s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z obie te proste s ¾a prostopad÷e do odcinka BC:

Analogicznie prostaHAB jest równoleg÷a do prostej LGOF; co wynika z konstrukcji

rysunku. Proste LAMK; OBE; LGOF i HAB tworz ¾a wi¾ec równoleg÷obok LABO:

Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki LA i OB oraz AB i LO s ¾a sobie równe.

Ostatecznie mamy równosci boków:

jABj = jBF j = jFGj = jGAj = b (40)

jBCj = jCDj = jDEj = jEBj = jMKj = jLAj = jOBj = c (41)

jACj = jCIj = jIHj = jHAj = jLGj = a (42)

Zauwa·zmy, ·ze:

PDKMC = jCDj � jCM j (43)

PCALN = jLAj � jCM j (44)

Z (41), (43) i (44) wynika, ·ze:

PDKMC = PCALN

Ponadto

PCALN = jACj � jLGj (45)

PACIH = jACj � jHAj (46)

Z (42), (45) i (46) wynika, ·ze:

PDKMC = PCALN = PACIH = a2 (47)

Zauwa·zmy, ·ze:

PKEBM = jMBj � jMKj (48)

PABOL = jMBj � jOBj (49)

Z (41), (48) i (49) wynika, ·ze:

PKEBM = PABOL (50)

Ponadto

PABOL = jFBj � jABj (51)

PABFG = jFBj � jABj (52)

Z (40), (50), (51) i (52) wynika, ·ze:

PKEBM = PABOL = PABFG = b2 (53)

Zauwa·zmy, ·ze:

PDEBC = PDKMC + PKEBM (54)

Poniewa·z

PDEBC = c � c = c2 (55)

wi¾ec z (47), (53), (54) i (55) ostatecznie otrzymujemy:

c2 = a2 + b2

Powy·zszy dowód zosta÷opublikowany dopiero w roku 1594.

1.4.5 Dowód Renana

Ernest Renan urodzi÷si¾e w 1823 roku w Bretanii, a zmar÷w 1892 w Pary·zu. By÷

francuskim pisarzem, historykiem, �lologiem i �lozofem. Dodatkowo zajmowa÷si¾e

badaniem judaizmu i chrzescijanstwa. Jego najbardziej znanym dzie÷em sta÷o si¾e

Vie de Jésus (" ·Zycie Jezusa") - 1863, w którym przedstawi÷Jezusa jako cz÷owieka,

pomijaj ¾ac aspekt religijny. Publikacja wywo÷a÷a skandal. Papie·z Pius IX nazwa÷

autora europejskim bluznierc ¾a. W 1889 roku Renan udowodni÷i opublikowa÷dowód

twierdzenia Pitagorasa w poni·zej zaprezentowany sposób.

Dowód. [10, str. 16] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przyprostok ¾atnej

AB kwadrat ABFG oraz na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH: Przez punkty

I i H prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku AC: Przez punkty F i G

prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku AB: Proste te przecinaj ¾a si¾e w

punkcie R tworz ¾ac w mysl Opisu 31 z Ksi¾egi I prostok ¾at AHRG: Punkty R i C; R

i B; C i F oraz B i I ÷¾aczymy odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 18.

Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = a; jABj = c oraz jACj = b: Na podstawie Opisu

30 z Ksi¾egi I k ¾at IHA jest prosty. Wynika z tego, ·ze ^AHR = 90� jako k ¾at przyleg÷y

do k ¾ata prostego IHA. Wi¾ec

^AHR = ^CAB (56)

Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at GAB jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest

równie·z prosty. Zatem dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii prostej

AB k ¾aty przyleg÷e, równe dwóm k ¾atom prostym. Zatem na podstawie Podania 14 z

Ksi¾egi I dwie linie proste CA i AG maj ¾a ten sam kierunek. Analogicznie dwie linie

proste BA i AH maj ¾a ten sam kierunek. Zauwa·zmy, ·ze prosta RHI oraz prosta

GAC s ¾a do siebie równoleg÷e, poniewa·z obie te proste s ¾a prostopad÷e do prostej

HAB: Analogicznie prosta HAB jest równoleg÷a do prostej RGF; co wynika z

konstrukcji rysunku. Proste RHI; HAB; GAC i FGR tworz ¾a wi¾ec równoleg÷obok

RHAG: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I mamy równosc odcinków:

jRHj = jGAj (57)

jRGj = jHAj (58)

Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I

jAHj = jACj = jICj = a (59)

jGAj = jABj = b (60)

jRHj = jABj (61)

Z (56), (59) i (61) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty ABC i

AHR s ¾a przystaj ¾ace, zatem

jRAj = jBCj (62)

^ACB = ^HAR (63)

Zauwa·zmy, ·ze:

ÎCB = ÎCA+ ÂCB = 90� + ÂCB (64)

^CAR = ^CAH + ^HAR = 90� + ^HAR (65)

Z (63), (64) i (65) mamy wi¾ec:

^ICB = ^CAR (66)

Z (59), (62) i (66) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty ICB i CAR

s ¾a przystaj ¾ace. Przeprowadzaj ¾ac analogicznie powy·zsze rozumowanie udowodnili-

bysmy, ·ze trójk ¾at FBC jest przystaj ¾acy do trójk ¾ata BAR: Zauwa·zmy, ·ze:

PCAR =1

2� jACj � jRGj (67)

Z (58), (59) i (67) wynika, ·ze:

PCAR =1

2� a2 (68)

Ponadto

PBAR =1

2� jABj � jRHj (69)

Z (57), (60) i (69) mamy:

PBAR =1

2� b2 (70)

Tak wi¾ec z (68) i (70) wynika, ·ze:

PCAR + PBAR =1

2��a2 + b2

�(71)

PCAR =1

2� jRAj � jCM j (72)

PBAR =1

2� jRAj �MBj (73)

wi¾ec z (72) i (73) mamy:

PCAR + PBAR =1

2� jRAj � (jCM j+ jMBj) = 1

2� jRAj � jCBj (74)

Z (62) i (74) otrzymujemy:

PCAR + PBAR =1

2� c � c = 1

2� c2 (75)

Z (71) i (75) mamy równosc:

2��a2 + b2

2� c2

a2 + b2 = c2

1.4.6 Dowód Leonarda da Vinci

Leonardo da Vinci urodzi÷si¾e w 1452 roku we W÷oszech, a zmar÷w 1519 we

Francji. By÷w÷oskim, renesansowym malarzem, architektem, �lozofem, muzykiem,

poet ¾a, odkrywc ¾a, matematykiem, mechanikiem, anatomem i geologiem. Udowo-

dni÷, wed÷ug mnie w sposób bardzo ciekawy i skomplikowany, twierdzenie Pitagorasa

w poni·zszy sposób.

Dowód. [10, str. 15] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷kuB:Udowodnimy, ·ze pole kwadratu wykreslonego na bokuAC jest równe

sumie pól kwadratów wykreslonych na bokach BA i BC: Na podstawie Podania 46 z

Ksi¾egi I narysujemy na przyprostok ¾atnej AB kwadrat ABED, na przyprostok ¾atnej

BC kwadrat BCGF oraz na przeciwprostok ¾atnej AC kwadrat ACJI: Na podstawie

Opisu 21 z Ksi¾egi I na odcinku IJ kreslimy trójk ¾at IJH; który jest przystaj ¾acy do

trójk ¾ata ABC: Punkty E i F , D i G, A i J; C i I oraz B i H ÷¾aczymy odcinkami.

Odcinki te przecinaj ¾a si¾e w punkcie O; który dodatkowo jest srodkiem symetrii

kwadratu ACJI: W ten sposób powstaje czworok ¾at ABCO: W mysl Opisu 6 z

Ksi¾egi IV na czworok ¾acie ABCO opisujemy okr ¾ag. W zwi ¾azku z tym punkty A; B;

C; O nale·z ¾a do okr¾egu. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 19.

Udowodnimy wpierw, ·ze trójk ¾aty EBF i ABC s ¾a przystaj ¾ace. Na podstawie Opisu

30 z Ksi¾egi I mamy równosci boków:

jABj = jEBj (76)

jBCj = jBF j (77)

oraz w mysl Podania 15 z Ksi¾egi I

^ABC = ^EBF = 90� (78)

jako k ¾aty wierzcho÷kowe, wi¾ec z (76), (77) i (78) oraz Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty

ABC i EBF s ¾a przystaj ¾ace. Poniewa·z trójk ¾at ABC jest przystaj ¾acy do trójk ¾ata

EBF i do trójk ¾ata IJH; zatem trójk ¾at EBF jest przystaj ¾acy do trójk ¾ata IJH: Z

tego wynika, ·ze:

jEF j = jACj = jIJ j

Sledz ¾ac dowód od pocz ¾atku otrzymujemy nast¾epuj ¾ace równosci boków:

jAIj = jIJ j = jJCj = jACj = jEF j (79)

jABj = jBEj = jEDj = jDAj = jHJ j (80)

jBCj = jCGj = jGF j = jFBj = jHIj (81)

i równosci k ¾atów:

^ACB = ^BFE = ^JIH (82)

^BAC = ^IJH = ^FEB (83)

Zauwa·zmy, ·ze:

^ADG = ^CDG = ^DGF = ^EDG = 45� (84)

poniewa·z przek ¾atne kwadratów dziel ¾a ich k ¾aty proste na po÷owy. Zauwa·zmy, ·ze

odcinek jAOj = jOCj poniewa·z s ¾a one po÷owami przek ¾atnych kwadratu ACJI;

dodatkowo s ¾a te·z ci¾eciwami okr¾egu. Na podstawie Podania 28 z Ksi¾egi III ci¾eciwy

AO i OC opieraj ¾a si¾e na równych ÷ukach. Na podstawie Podania 27 z Ksi¾egi III

k ¾aty ABO oraz OBC s ¾a sobie równe, jako oparte na równych ÷ukach, dodatkowo

k ¾aty ABO i OBC tworz ¾a k ¾at ABC; który z za÷o·zenia jest prosty. Z powy·zszego:

^ABO = ^OBC = 45� (85)

Analogicznie konstruuj ¾ac okr ¾ag opisany na trójk ¾acie prostok ¾atnym IJH otrzyma-

libysmy, ·ze:

^IHO = ^OHJ = 45� (86)

Zauwa·zmy, ·ze:

^AIH = ^AIJ + ^JIH = 90� + ^JIH (87)

^JCB = ^JCA+ ^ACB = 90� + ^ACB (88)

ÂCG = ^BCG+ ÂCB = 90� + ÂCB (89)

^GFE = ^GFB + ^BFE = 90� + ^BFE (90)

Z (87), (88), (89), (90) i (82) mamy równosc k ¾atów:

^AIH = ^JCB = ^ACG = ^GFE (91)

Z kolei

^BAI = ^CAI + ^BAC = 90� + ^BAC (92)

^HJC = ^CJI + ^HJI = 90� + ^HJI (93)

^DAC = ^DAB + ^BAC = 90� + ^BAC (94)

^FED = ^BED + ^FEB = 90� + ^FEB (95)

Z (92), (93), (94), (95) i (83) mamy równosc k ¾atów:

^BAI = ^HJC = ^DAC = ^FED (96)

Z (79), (80), (81) oraz (91), (96) i (84), (85), (86) wynika, ·ze czworok ¾aty ABHI;

JHBC; ADGC i EDFG s ¾a przystaj ¾ace. Zauwa·zmy, ·ze:

PABHI + PJHBC = PADGC + PEDGF (97)

na mocy przystawania tych czworok ¾atów. Dodatkowo

PABHI + PJHBC = PABED + PBCGH + PABC + PEBF (98)

PADGC + PEDGF = PABC + PIJH + PACJI (99)

Z (97), (98) i (99) mamy równosc:

PABED + PBCGH + PABC + PEBF = PABC + PIJH + PACJI (100)

Poniewa·z

PABC = PEBF = PIJH (101)

na mocy przystawania tych trójk ¾atów, wi¾ec z (100) i (101) mamy równosc:

PABED + PBCGH = PACJI

1.4.7 Dowody Ho¤mana

Jak pisze w swej ksi ¾a·zce Szczepan Jelenski, Ho¤man by÷autorem dwóch dowodów

twierdzenia Pitagorasa. A oto pierwszy z nich.

Dowód. [10, str. 14] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przypros-

tok ¾atnej AB kwadrat ABFG, na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH oraz na

przeciwprostok ¾atnej BC kwadrat BCDE: Przez punkty C i D kreslimy prost ¾a,

która jest równoleg÷a do boku EB; zas przez punkty F i G kreslimy prost ¾a, która

jest równoleg÷a do boku AB: Prosta CD przecina bok AH w punkcie P; oraz prost ¾a

FEG w punkcieN: Przez punkty I, H iD prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a

do boku AC: Prosta ta przecina prost ¾a FEGN w punkcie L: W mysl Podania 12

z Ksi¾egi I przez punkt A poprowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do prze-

ciwprostok ¾atnej trójk ¾ata ABC: Prosta ta przecina bok BC w punkcie M i proste

IHDL i FEGN w punkcie L: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 20.

Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = a oraz jABj = b: Na podstawie Opisu

30 z Ksi¾egi I k ¾at HAC jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest równie·z prosty. Zatem

dwie linie proste AB i AH tworz ¾a z obydwu stron linii AC k ¾aty przyleg÷e, równe

dwóm k ¾atom prostym. St ¾ad na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi I dwie linie proste

HA i AB maj ¾a ten sam kierunek. Rozumuj ¾ac analogicznie linie proste CA i AG

maj ¾a ten sam kierunek. Zauwa·zmy, ·ze proste NDPC; LAM oraz EB s ¾a do siebie

równoleg÷e, poniewa·z proste te s ¾a prostopad÷e do odcinka BC: Analogicznie prosta

HPAB jest równoleg÷a do prostej NLGEF oraz prosta IHDL jest równoleg÷a do

prostej CAG; co wynika z konstrukcji. Proste NDPC; LAM; HPAB i NLGEF

tworz ¾a równoleg÷obok NPAL: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki NP i

LA oraz PA i NL s ¾a sobie równe. Proste NDPC; LAM; IHDL i CAG tworz ¾a

równoleg÷obok DCAL: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki DC i LA oraz DL

i CA s ¾a sobie równe. Proste LAM; EB; HPAB i NLGEF tworz ¾a równoleg÷obok

ABEL: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki LA i EB oraz AB i LE s ¾a sobie

równe. Proste NDPC; EB; HPAB i NLGEF tworz ¾a równoleg÷obok PBEN: Na

podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki NP i EB oraz PB i NE s ¾a sobie równe.

Ostatecznie mamy równosci boków:

jNLj = jPAj

jDLj = jACj = jAHj = jIHj = jICj = a (102)

jBCj = jDEj = jNP j = jLAj = jEBj = jDCj = c (103)

jGF j = jBF j = jGAj = jABj = jLEj = b (104)

jPBj = jNEj

Zauwa·zmy, ·ze:

PPALN = jALj � jCM j (105)

PCALD = jALj � jCM j (106)

PCALD = jCAj � jAHj (107)

PCAHI = jCAj � jAHj (108)

Z (102), (105),(106), (107) i (108) mamy:

PPALN = PCALD = PCAHI = a � a = a2 (109)

Ponadto

PABEL = jABj � jGAj (110)

PABFG = jABj � jGAj (111)

Z (104), (110) i (111) mamy:

PABEL = PABFG = b � b = b2 (112)

Zauwa·zmy, ·ze:

PPBEN = jEBj � jDEj (113)

PCBED = jEBj � jDEj (114)

Z (103), (113) i (114) mamy:

PPBEN = PCBED = c � c = c2 (115)

PPBEN = PPALN + PABEL (116)

Ostatecznie z (109), (112), (115) i (116) mamy:

c2 = a2 + b2

Oryginalniejszy jest drugi dowód tego·z autora. Korzysta on tu nie tylko z

geometrii opracowanej przez samego Euklidesa, ale równie·z z pewnych zale·znosci

trygonometrycznych. A oto on.

Dowód. [10, str. 15] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku C: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu B prowadzimy

prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku CB: Od punktu B odk÷adamy odcinek BE

równy co do d÷ugosci odcinkowi CB: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu

A prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AC: Od punktu A odk÷adamy

odcinek AF równy co do d÷ugosci odcinkowi AC: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi

I z punktu B prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AB: Od punktu

B odk÷adamy odcinek BJ równy co do d÷ugosci odcinkowi AB: Punkty F i C;

C i E; A i J oraz C i J ÷¾aczymy odcinkami. Przez punkty A i E prowadzimy

prost ¾a. Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu F prowadzimy prost ¾a, która

jest prostopad÷a do prostej AE: Prosta ta przecina prost ¾a AE w punkcie G. Tak

powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 21.

Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = a; jACj = b oraz jABj = c: Zauwa·zmy, ·ze:

^ACB = ^FAC = ^CBE = ^ABJ = 90� (117)

jAF j = jACj = a (118)

jBCj = jBEj = b (119)

jABj = jBJ j = c (120)

Zatem z (118) i (119) na podstawie Opisu 25 z Ksi¾egi I trójk ¾aty FAC i CBE s ¾a

trójk ¾atami równoramiennymi. Z (117) oraz na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I

mamy, ·ze:

^AFC + ^ACF = 180� � ^FAC = 180� � 90� = 90� (121)

^BCE + ^BEC = 180� � ^CBE = 180� � 90� = 90� (122)

Zatem z (121) i (122) na podstawie Podania 5 z Ksi¾egi I mamy:

^AFC = ^ACF = ^BCE = ^BEC = 45� (123)

Zauwa·zmy, ·ze z (117) i (123) wynika nast¾epuj ¾aca równosc:

^ACF + ^ACB + ^BCE = 45� + 90� + 45� (124)

Z (124) mamy, ·ze punkty F; C i E s ¾a wspó÷liniowe. Z (117) oraz na podstawie

Pewnika 2 z Ksi¾egi I mamy:

^EBA = ^CBJ (125)

ka·zdy bowiem z nich sk÷ada si¾e z k ¾ata prostego i k ¾ata wspólnego ABC: Korzystaj ¾ac

z (119), (120) i (125) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABE i CBJ s ¾a

przystaj ¾ace. Zatem

jAEj = jCJ j (126)

^AEB = ^JCB = � (127)

^CJB = ^EAB = �

Poniewa·z trójk ¾aty ABE i CBJ s ¾a przystaj ¾ace zatem

PABE = PCBJ (128)

Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:

ÂEB + ÊAB = �+ � = 180� � ÊBA (129)

Ale jak ju·z wczesniej wspomnielismy korzystaj ¾ac z (117) mamy:

^EBA = 90� + ^ABC (130)

Zatem z (129) i (130) otrzymujemy:

�+ � = 180� � 90� � ^ABC = 90� � ^ABC (131)

Ponadto z (117) i na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:

^BAC = 180� � ÂCB � ÂBC = 180� � 90� � ÂBC = 90� � ÂBC

Zatem z (131) wynika, ·ze:

^BAC = �+ � (132)

^BAC = ^CAE + ^EAB = ^CAE + � (133)

^CAE = � (134)

Z (117), (127) oraz (134) otrzymujemy:

^FAE = ^FAC + ^CAE = 90� + � (135)

^ACJ = ^ACB + ^JCB = 90� � � (136)

Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I

^FAG = 180� � ^FAE = 180� � 90� � � = 90� � �

Zauwa·zmy, ·ze:

^ACJ = ^ACH = 90� � �

Z (135) i (136) na podstawie Twierdzenia 1.2.5 wynika, ·ze:

sin^FAE = sin^ACH = sin^FAG (137)

Na podstawie De�nicji 1.2.1 mamy:

sin^FAG = jGF jjAF j (138)

sin^ACH =jAHjjACj (139)

Z ( 118), (137), (138) oraz (139) otrzymujemy:

jGF ja

=jAHja

Zatem z (140) mamy:

jGF j = jAHj (141)

Zauwa·zmy, ·ze:

PFAE =1

2� jAEj � jGF j (142)

PACJ =1

2� jCJ j � jAHj (143)

Zatem z (126), (141), (142) oraz (143) mamy:

PFAE = PACJ (144)

Poniewa·z

PABEF = PABE + PFAE

PACBJ = PACJ + PCBJ

Zatem z (128) oraz (144) mamy:

PABEF = PACBJ

Na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I odejmuj ¾ac od równych sobie czworok ¾atów wspólny

im trójk ¾at ABC oraz korzystaj ¾ac z (118), (119) i (120) otrzymujemy:

PABEF � PABC = PFAC + PCBE =1

2� a � a+ 1

2� b � b = a2

2(145)

PACBJ � PABC = PABJ =1

2� c � c = c2

2(146)

Z (145) oraz (146) mamy:a2

a2 + b2 = c2

1.4.8 Dowód Bhâskary

Acarja Bhâskara urodzi÷si¾e oko÷o 1114 roku, a zmar÷w 1185. By÷hinduskim mate-

matykiem i astronomem. Jego najbardziej znanym dzie÷em sta÷a si¾e rozprawa pt.

�Siddhanta Piromani", której pierwsza cz¾esc - zbiór zadan zatytu÷owany �Lilawati",

przez lata uznawano za wzorcowy wyk÷ad arytmetyki i sztuki dokonywania pomia-

rów. W drugiej cz¾esci, mniej popularnej, autor zaj ¾a÷si¾e problemami algebry, zas w

trzeciej i czwartej - astronomii. Poni·zej przedstawi¾e dowód twierdzenia Pitagorasa

wykonany przez Bhâskar¾e.

Dowód. [10, str. 19] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny o przyprostok ¾atnycha i b oraz przeciwprostok ¾atnej c: K ¾at prosty w tym trójk ¾acie znajduje si¾e mi¾edzy

bokami a i b: Mamy wi¾ec nast¾epuj ¾acy rysunek.

Rysunek 22.

Obracaj ¾ac ten trójk ¾at o 90; 180 oraz 270 stopni, otrzymujemy trzy kolejne trójk ¾aty,

które na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I s ¾a przystaj ¾ace do trójk ¾ata z Rysunku 22.

Rysunek 23.

Po÷¾aczmy trójk ¾aty z Rysunku 22 i 23 w kwadrat o boku c tak jak pokazano na

poni·zszym rysunku i oznaczmy jego wierzcho÷ki przez A; B; C i D:

Rysunek 24.

Zauwa·zmy, ·ze w wyniku konstrukcji na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I w kwadracie

ABCD powsta÷mniejszy kwadrat, którego bok jest równy a � b: Obliczaj ¾ac pole

kwadratu ABCD o boku c mamy nast¾epuj ¾ace równosci:

PABCD = c � c = c2 (147)

PABCD = 4 �1

2� a � b+ (a� b)2 (148)

c2 = 4 � 12� a � b+ (a� b)2

c2 = 2 � a � b+ a2 � 2 � a � b+ b2

Ostatecznie

c2 = a2 + b2

1.4.9 Dowody Marry�ego

Oto pierwszy dowód Marry�ego.

Dowód. [10, str. 22] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny o przyprostok ¾atnycha i b oraz przeciwprostok ¾atnej c: K ¾at prosty w tym trójk ¾acie znajduje si¾e mi¾edzy

bokami a i b: Mamy wi¾ec nast¾epuj ¾acy rysunek.

Rysunek 25.

Obracaj ¾ac ten trójk ¾at o 90; 180 oraz 270 stopni, otrzymujemy trzy kolejne trójk ¾aty,

które na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I s ¾a przystaj ¾ace do trójk ¾ata z Rysunku 25.

Rysunek 26.

Po÷¾aczmy trójk ¾aty z Rysunku 25 i 26 w taki sposób, jak zaprezentowane jest to na

poni·zszym rysunku.

Rysunek 27.

Zauwa·zmy, ·ze w wyniku konstrukcji na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I powsta÷

kwadrat ABCD; a w nim wpisany mniejszy kwadrat, którego bok jest równy c:

Oznaczmy wierzcho÷ki tego kwadratu przez E, F; G i H: Obliczaj ¾ac pole kwadratu

EFGH o boku c mamy nast¾epuj ¾ace równosci:

PEFGH = c � c = c2 (149)

PEFGH = (a� b)2 + 4 � 12� a � b (150)

PEFGH = (a+ b)2 � 4 � 12� a � b (151)

Z (150) i (149) mamy:

c2 = (a� b)2 + 4 � 12� a � b (152)

Z (151) i (149) mamy:

c2 = (a+ b)2 � 4 � 12� a � b (153)

Dodaj ¾ac stronami równania (152) i (153) otrzymujemy:

2 � c2 = (a� b)2 + 4 � 12� a � b+ (a+ b)2 � 4 � 1

2� a � b

2 � c2 = a2 � 2 � a � b+ b2 + a2 + 2 � a � b+ b2

2 � c2 = 2 � a2 + 2 � b2

Ostatecznie mamy:

c2 = a2 + b2

Poni·zej zaprezentuj¾e drugi dowód, który przeprowadzi÷Marry w 1887 roku.

Dowód. [10, str. 20] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na mocy Podania 46 z Ksi¾egi I na przyprostok ¾atnej AB budujemy

kwadrat ABFG; zas na przeciwprostok ¾atnej CB budujemy kwadrat BCDE: Bok

AG kwadratu ABFG przecina si¾e z bokiem DE kwadratu BCDE w punkcie N .

Punkt E znajduje si¾e na odcinku GF: Przez punkty FG prowadzimy prost ¾a. W

mysl Podania 31 z Ksi¾egi I przez punkt D prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a

do odcinka GF: Prosta ta przecina odcinek AG w punkcie P: W mysl tego samego

Podania, przez punkt D prowadzimy prost ¾a równoleg÷¾a do odcinka AG: Prosta ta

przecina si¾e z prost ¾a FG w punkcie L: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 28.

Wprowadzmy oznaczenia: jCBj = c; jABj = b oraz jACj = a: Na podstawie Opisu

30 z Ksi¾egi I mamy:

^ABF = ^CBE = 90� (154)

Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at BAG jest prosty. Z za÷o·zenia k ¾at CAB jest

równie·z prosty. Zatem dwie linie proste AC i AG tworz ¾a z obydwu stron linii prostej

AB k ¾aty przyleg÷e równe dwóm k ¾atom prostym. Na podstawie Podania 14 z Ksi¾egi

I dwie linie proste CA i AG maj ¾a ten sam kierunek. Zauwa·zmy, ·ze na podstawie

Opisu 30 z Ksi¾egi I mamy:

jCBj = jDEj (155)

Na podstawie tego samego Opisu odcinek CB jest równoleg÷y do odcinka DE oraz

odcinek AB jest równoleg÷y do odcinka LE: Na podstawie Podania 29 z Ksi¾egi I

^ABC = ^LED (156)

Poniewa·z prosta DL jest równoleg÷a do prostej CAPNG; zatem na podstawie Po-

dania 29 z Ksi¾egi I

^ACB = ^LDE (157)

Z (155), (156) i (157) na podstawie Podania 26 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i LDE

s ¾a przystaj ¾ace. Przeprowadzaj ¾ac analogicznie tok rozumowania udowodnilibysmy,

·ze trójk ¾aty DPC i EFB s ¾a przystaj ¾ace. Zauwa·zmy, ·ze na podstawie Opisu 30 z

Ksi¾egi I

jCBj = jEBj (158)

jABj = jBF j (159)

^EFB = 90� (160)

Poniewa·z z za÷o·zenia k ¾at CAB jest prosty, zatem z (160) na podstawie Pewnika 11

z Ksi¾egi I

^EFB = ^CAB

Korzystaj ¾ac z (154) mamy:

^CBA = ^CBF � ^ABF = ^CBF � 90� (161)

^EBF = ^CBF � ^CBE = ^CBF � 90� (162)

Z (161) i (162) na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I mamy:

^CBA = ^EBF (163)

Z (158), (159) i (163) na podstawie Podania 26 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i EFB

s ¾a przystaj ¾ace. Ostatecznie trójk ¾atami przystaj ¾acymi s ¾a: �ABC; �EFB; �LED

i �DPC: Udowodnimy teraz, ·ze �gura DPGL jest kwadratem o boku a: Z przys-

tawania trójk ¾atów ABC; LED i DPC wynika, ·ze:

jDLj = jDP j = a (164)

^CAB = ^DLG = 90� (165)

Zauwa·zmy, ·ze:

^LGP = 90� (166)

jako k ¾at przyleg÷y k ¾atowi AGF; który na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I jest prosty.

Poniewa·z prosta DL jest równoleg÷a do prostej PG oraz prosta DP jest równoleg÷a

do prostej LG; wi¾ec proste te tworz ¾a równoleg÷obok. Na podstawie Podania 34 z

Ksi¾egi I mamy:

jDLj = jPGj (167)

jDP j = jLGj (168)

^LDP = ^LGP (169)

^DLG = ^DPG (170)

Z (164), (167) i (168) wynika, ·ze:

jDLj = jPGj = jDP j = jLGj = a (171)

Z (165), (166), (169) i (170) mamy:

^LDP = ^LGP = ^DPG = ^DLG = 90� (172)

Z (171) i (172) oraz z Opisu 30 z Ksi¾egi I czworok ¾at DPGL jest kwadratem.

Zauwa·zmy, ·ze:

PBCDLF = PABC + PDPC + PDPGL + PABFG (173)

PBCDLF = PLED + PEFB + PCBED (174)

Przyrównuj ¾ac stronami równosci (173) i (174) mamy:

PABC + PDPC + PDPGL + PABFG = PLED + PEFB + PCBED

Zauwa·zmy, ·ze:

PABC = PDPC = PLED = PEFB

Odejmuj ¾ac stronami odpowiednie pola trójk ¾atów przystaj ¾acych otrzymujemy:

PDPGL + PABFG = PCBED

Ostatecznie mamy:

a2 + b2 = c2

1.4.10 Dowód Möllmanna

Dowód. [10, str. 21] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostymw wierzcho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o

srodku w punkcie O i promieniu r: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 29.

Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = a oraz jABj = b: Zauwa·zmy, ·ze:

PABC =1

2� a � b (175)

oraz pole trójk ¾ata ABC jest równe po÷owie iloczynu obwodu tego trójk ¾ata przez

promien r ko÷a wpisanego w ten trójk ¾at (patrz podrozdzia÷1.3.2 na stronie 21),

czyli:

PABC =1

2� (a+ b+ c) � r (176)

Zauwa·zmy równie·z, ·ze promien ko÷a wpisanego w trójk ¾at prostok ¾atny (patrz pod-

rozdzia÷1.3.3 na stronie 22) ABC jest równy:

2� (a+ b� c) (177)

PABC =1

2� (a+ b+ c) � 1

2� (a+ b� c) (178)

2� a � b = 1

2� (a+ b+ c) � 1

2� (a+ b� c)

2 � a � b = a2 + a � b� a � c+ a � b+ b2 � b � c+ a � c+ b � c� c2

Sumuj ¾ac wyrazy podobne mamy:

2 � a � b = a2 + 2 � a � b+ b2 � c2

c2 = a2 + b2

1.4.11 Dowód J. Barry Sutton�a

Dowód. [1] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atny ABC o k ¾acie prostym w wierz-

cho÷ku C. Przez punkty B i A prowadzimy prost ¾a. W mysl Opisu 15 z Ksi¾egi I

narysujemy okr ¾ag o srodku w punkcie A i promieniu równemu co do d÷ugosci bokowi

AC: Okr ¾ag ten przecina prost ¾a BA w punktach D i E; tworz ¾ac odcinki AD i AE:

Punkty D i C oraz C i E ÷¾aczymy odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 30.

Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = a; jACj = b oraz jBAj = c: Zauwa·zmy, ·ze:

jACj = jAEj = jADj = b (179)

jBEj = jBAj+ jAEj = c+ b (180)

jBDj = jBAj � jADj = c� b (181)

Na podstawie Podania 31 z Ksi¾egi III k ¾at DCE jest k ¾atem prostym, zatem w mysl

Opisu 27 z Ksi¾egi I trójk ¾at DCE jest trójk ¾atem prostok ¾atnym. Zauwa·zmy, ·ze:

^BCA = ^DCE = 90�

i k ¾aty te z÷o·zone s ¾a ze wspólnego k ¾ata DCA: Na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I

otrzymujemy, ·ze:

^BCD = ^ACE (182)

Z (179) i na podstawie Opisu 25 z Ksi¾egi I trójk ¾at ACE jest trójk ¾atem równora-

miennym, zatem na podstawie Podania 5 z Ksi¾egi I mamy:

^CEA = ^ACE (183)

Z (182) i (183) mamy:

^BCD = ^BEC (184)

Zauwa·zmy ponadto, ·ze:

^CBD = ^CBE (185)

Zatem z (184) i (185) wynika, ·ze:

^BDC = ^BCE (186)

Z (184), (185) i (186) oraz na podstawie Opisu 1 z Ksi¾egi VI trójk ¾aty DBC i EBC

s ¾a podobne. Z (180), (181) oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI mo·zemy zapisac

proporcj¾e:a

c+ b=c� b

St ¾ad

a2 = c2 � b2

a2 + b2 = c2

1.4.12 Dowód Michelle Watkins�a

cho÷kuA:Wmysl Podania 12 z Ksi¾egi I rysujemy odcinekEF , który jest prostopad÷y

do odcinka AB i równy co do d÷ugosci temu odcinkowi, w taki sposób by punkt E

le·za÷na przeciwprostok ¾atnej BC, zas punkt F nale·za÷do odcinka AB: Przez punkty

A i B prowadzimy prost ¾a. Na tej prostej odk÷adamy od punktu F odcinek równy

co do d÷ugosci odcinkowi AC: Tak powstaje odcinek FD: Ostatecznie ÷¾aczymy ze

sob ¾a punkty D i E oraz punkty D i C odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 31.

Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jACj = b oraz jBCj = c: Zauwa·zmy ·ze:

^CAB = ^EFB = ^EFA = 90� (187)

^ABC = ^FBE (188)

Z (187) proste FE i AC s ¾a równoleg÷e, wi¾ec na podstawie Podania 29 z Ksi¾egi I

^FEB = ^ACB (189)

jako k ¾aty odpowiadaj ¾ace. Ponadto zachodz ¾a równosci nast¾epuj ¾acych boków:

jABj = jEF j = a

jACj = jDF j = b (190)

Z konstrukcji oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i DEF s ¾a

przystaj ¾ace. Zatem

jBCj = jDEj = c (191)

Ponadto z (190) wynika, ·ze:

jDBj = jDF j+ jFBj = b+ jFBj (192)

Korzystaj ¾ac z (190) i (191) zauwa·zmy, ·ze:

PDCB =1

2� jBCj � jDEj = 1

2� c � c = 1

2� c2 (193)

PDCB =1

2� jDBj � jACj = 1

2� jDBj � b (194)

Z (187), (188) i (189) oraz na podstawie Opisu 1 z Ksi¾egi VI trójk ¾aty EFB i ABC

s ¾a podobne. Zatem na mocy Podania 4 z Ksi¾egi I mo·zemy zapisac proporcj¾e:

b(195)

Zatem z (195) mamy, ·ze:

jFBj = a2

b(196)

A wi¾ec z (192) i (196) otrzymujemy:

jDBj = b+a2

b(197)

Z (193), (194) i (197) mamy:

2� c2 = 1

2� (b+ a2

b) � b

c2 = b2 + a2

1.4.13 Dowód Wernera

Dowód. [10, str. 16] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷ku A: Na podstawie Podania 46 z Ksi¾egi I narysujemy na przyprostok ¾atnej

AB kwadrat ABDE; zas na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH:Wmysl Podania

31 z Ksi¾egi I przez punkt I prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku BC:

Prosta ta przecina bok AB w punkcie Z: Na podstawie tego samego Podania przez

punkt D prowadzimy prost ¾a, która jest równoleg÷a do boku BC: Prosta ta przecina

bok AE w punkcie F: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi I z punktu A prowadzimy

prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku BC: Prosta ta przecina ten bok w punkcieM:

Wmysl tego samego Podania z punktu C prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a

do prostej IZ: Prosta ta przecina prost ¾a IZ w punkcie X: Na podstawie Podania

12 z Ksi¾egi I z punktu B prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do prostej FD:

Prosta ta przecina prost ¾a FD w punkcie Y: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 32.

Wprowadzmy oznaczenia: jBCj = c; jACj = b oraz jABj = a: Zauwa·zmy, ·ze:

c = jCBj = jCM j+ jMBj (198)

ÎXC = ÂMC = ÂMB = ^BYD = 90� (199)

Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I k ¾at ICA jest k ¾atem prostym oraz mamy równosci

boków:

jICj = jACj = jAHj = jIHj = b (200)

jABj = jBDj = jDEj = jEAj = a

Zauwa·zmy, ·ze pole kwadratu ACIH wynosi:

PACIH = jIHj � jCIj (201)

oraz pole równoleg÷oboku ICBZ wynosi:

PICBZ = jICj � jACj (202)

Zatem z (200), (201) i (202) mamy:

PACIH = PICBZ = b2 (203)

ale pole równoleg÷oboku ICBZ jest tak·ze równe:

PICBZ = jCBj � jCXj (204)

Z (203) i (204) mamy:

jCBj � jCXj = b2 (205)

Zauwa·zmy, ·ze:

^ICX = ^ICA� ^XCA = 90� � ^XCA (206)

^ACM = ^XCM � ^XCA = 90� � ^XCA (207)

Z (206), (207) oraz na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:

^ICX = ^ACM (208)

Z (199) i (208) na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:

^CIX = ^CAM (209)

Z (199), (200), (208) i (209) na podstawie Podania 26 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ICX i

ACM s ¾a przystaj ¾ace. Mamy zatem równosc boków:

jCXj = jCM j (210)

Z (205) i (210) wynika, ·ze:

b2 = jCBj � jCM j (211)

Analogicznie wykazujemy, ·ze:

a2 = jCBj � jMBj (212)

Dodaj ¾ac równosci (211) i (212) stronami oraz wykorzystuj ¾ac (198) otrzymujemy:

a2 + b2 = jCBj � jCM j+ jCBj � jMBj = jCBj � (jCM j+ jMBj)= jCBj � jCBj = c2

Ostatecznie mamy:

a2 + b2 = c2

1.4.14 Dowód Piton - Bressanta

Dowód. [10, str. 17] Niech dany b¾edzie trójk ¾at prostok ¾atnyABC o k ¾acie prostym wwierzcho÷kuA:Udowodnimy, ·ze pole kwadratu wykreslonego na bokuBC jest równe

sumie pól kwadratów wykreslonych na bokach BA i AC: Na podstawie Podania 46 z

Ksi¾egi I narysujemy na przeciwprostok ¾atnej BC kwadrat BCDE; na przyprostok ¾at-

nej BA kwadrat BAGE oraz na przyprostok ¾atnej AC kwadrat ACIH: Nast¾epnie

÷¾aczymy ze sob ¾a punkty I z A; H z C; A z E, B z G, C z E oraz B z D: Tak

powsta÷e odcinki nazywamy przek ¾atnymi kwadratów BCDE; BAGE oraz ACIH:

Przek ¾atne te przecinaj ¾a si¾e pod k ¾atami prostymi odpowiednio w punktach X; Z i

Y; dziel ¾ac si¾e na po÷owy. Punkty te nazywamy srodkami symetrii tych kwadratów.

Nast¾epnie ÷¾aczymy ze sob ¾a odcinkami punkty A i X oraz B i X. Na odcinku AX

od punktu X odk÷adamy odcinek XU równy co do d÷ugosci odcinkowi Y C: Punkty

B i U ÷¾aczymy odcinkiem. Nast¾epnie od punktu X odk÷adamy odcinek XV równy

co do d÷ugosci odcinkowi BU: Punkty C i V ÷¾aczymy odcinkiem. Tak powstaje

poni·zszy rysunek.

Rysunek 33.

Wprowadzmy oznaczenia: jXBj = c; jAY j = b oraz jAZj = a: Zauwa·zmy, ·ze:

jXV j = jBU j (213)

jAZj = jZBj (214)

Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I mamy równosc k ¾atów:

^CAB = ^CXB = ^ICA = ^CAH (215)

= ^GAB = ^ABE = ^DCB = ^CBE = 90�

Korzystaj ¾ac z (215) i wiedz ¾ac, ·ze przek ¾atne kwadratów BCDE; BAGE oraz ACIH

dziel ¾a ich k ¾aty wewn¾etrzne na po÷owy mamy:

^Y AC = ^BAZ = 45� (216)

^Y AC + ^CAB + ^BAZ = 45� + 90� + 45� = 180� (217)

Zatem na podstawie równosci (217) punkty Y; A i Z s ¾a wspó÷liniowe. Z (215) mamy:

^CAB + ^CXB = 90� + 90� = 180� (218)

Z (218) na podstawie Podania 22 z Ksi¾egi III na czworok ¾acie CABX mo·zna opisac

ko÷o. Zauwa·zmy, ·ze:

jXCj = jXBj = c (219)

poniewa·z s ¾a one po÷owami przek ¾atnych kwadratu BCDE; dodatkowo s ¾a te·z ci¾eci-

wami okr¾egu. Na podstawie Podania 28 z Ksi¾egi III ci¾eciwy XC i XB opieraj ¾a si¾e

na równych ÷ukach. Na podstawie Podania 27 z Ksi¾egi III k ¾aty CAX oraz XAB s ¾a

sobie równe, jako oparte na równych ÷ukach, dodatkowo k ¾aty CAX i XAB tworz ¾a

k ¾at CAB; który z za÷o·zenia jest prosty. Z powy·zszego mamy:

^CAX = ^XAB = 45� (220)

Z (216) oraz (220) mamy:

^Y AC + ^CAX = 45� + 45� = 90� (221)

Tak wi¾ec z (221) wynika, ·ze prostaAX jest prostopad÷a do prostej Y AZ i równoleg÷a

do boku Y C: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki AY i CV s ¾a sobie równe.

Zatem mamy równosc boków:

jAY j = jCV j = jXU j (222)

Z (213), (219) i (222) na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi I trójk ¾aty BUX i CV X s ¾a

przystaj ¾ace. Ponadto z (221) wynika, ·ze prosta Y AZ jest prostopad÷a do prostej

AX: Z (222) wynika, ·ze proste Y A i CV s ¾a równoleg÷e. Mamy zatem równosc

boków:

jAY j = jCY j = jCV j = jXU j = jAV j = b (223)

Z (216) oraz (220) mamy:

^XAB + ^BAZ = 45� + 45� = 90� (224)

Tak wi¾ec z (224) wynika, ·ze prostaAX jest prostopad÷a do prostej Y AZ i równoleg÷a

do boku ZB: Na podstawie Opisu 33 z Ksi¾egi I odcinki AZ i BU s ¾a sobie równe.

Korzystaj ¾ac z (213) mamy zatem równosc boków:

jAZj = jBU j (225)

Z (213), (214) i (225) mamy:

jXV j = jAZj = jBU j = jZBj = a (226)

jAXj = jAV j+ jV Xj = jCV j+ jBU j = jAY j+ jAZj = jY Zj (227)

Zauwa·zmy, ·ze:

PCABX = PACX + PAXB =1

2� jAXj � jCV j+ 1

2� jAXj � jBU j (228)

2� jAXj � (jCV j+ jBU j)

Z (227) i (228) mamy:

PCABX =1

2� jAXj � jY Zj

Ponadto zauwa·zmy, ·ze:

PCY ZB =1

2� (jCY j+ jZBj) � jY Zj (229)

Z (223) i (226) mamy:

PCABX =1

2� (jCV j+ jBU j) � jY Zj (230)

Z (229) i (230) wynika, ·ze:

PCY ZB = PCABX

Na podstawie Pewnika 3 z Ksi¾egi I odejmuj ¾ac od równych sobie czworok ¾atów wspólny

im trójk ¾at ABC oraz korzystaj ¾ac z (219), (223) i (226) otrzymujemy:

PCY ZB � PABC = PCAY + PABZ =1

2� jAY j � jCY j+ 1

2� jAZj � jZBj (231)

2� b2 + 1

2� a2

PCABX � PABC = PCXB =1

2� jXBj � jXCj = 1

2� c2 (232)

Z (231) oraz (232) mamy:b2

a2 + b2 = c2

1.4.15 Dowód Weininjied�a

Ten algebraiczny dowód przeprowadzi÷Weininjied z Yingkou, Chinczyk, który by÷

nauczycielem matematyki i historii.

cho÷ku C: Na przed÷u·zeniu przyprostok ¾atnej CB trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC na

podstawie Podania 2 z Ksi¾egi I odk÷adamy od punktu C odcinek CD równy co

do d÷ugosci odcinkowi AC: Na przyprostok ¾atnej AC w mysl tego samego Podania

od punktu C odk÷adamy odcinek CE równy co do d÷ugosci odcinkowi CB: Przez

punkty D i E prowadzimy prost ¾a, która przecina przeciwprostok ¾atn ¾a AB trójk ¾ata

prostok ¾atnego ABC w punkcie F: Ponadto punktyD i A oraz punkty B i E ÷¾aczymy

odcinkami. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 34.

Wprowadzmy oznaczenia: jCBj = a; jABj = c oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze:

jCEj = jCBj = a (233)

jACj = jDCj = b (234)

^ACB = ^DCE = 90� (235)

^CAB = ^EAF (236)

Zatem z (233), (234) i (235) na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty ABC i

CED s ¾a przystaj ¾ace, a wi¾ec ich podstawy s ¾a sobie równe tj.

jDEj = jABj = c (237)

oraz odpowiednie k ¾aty s ¾a sobie równe:

^EDC = ^CAB (238)

Z (236) i ( 238) wynika, ·ze:

^EDC = ^CAB = ^EAF (239)

Ponadto na podstawie Podania 15 z Ksi¾egi I

^DEC = ^AEF (240)

jako k ¾aty wierzcho÷kowe. Korzystaj ¾ac z (237) zauwa·zmy, ·ze:

jDF j = jDEj+ jEF j = c+ jEF j (241)

Z (235) na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:

^EDC + ^DEC + ^DCE = ^EDC + ^DEC + 90� = 180� (242)

Z (242) otrzymujemy:

^EDC + ^DEC = 180� � 90� = 90� (243)

Z (239), (240) i (243) mamy:

^EAF + ^AEF = 90� (244)

Z (244) na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I mamy:

ÊAF + ÂEF + ÂFE = 90� + ÂFE = 180� (245)

Z (245) wynika, ·ze:

^AFE = 180� � 90� = 90�

Zatem prosta DF jest wysokosci ¾a trójk ¾ata ADB o podstawie AB: Zauwa·zmy, ·ze:

PABD = PABE + PACD + PBCE (246)

Z (233), (234), (237) i (241) mamy:

PABD =1

2� jDF j � jABj = 1

2� (c+ jEF j) � c = 1

2� c2 + 1

2� c � jEF j (247)

PABE =1

2� jEF j � jABj = 1

2� jEF j � c (248)

PACD =1

2� jACj � jDCj = 1

2� b � b = 1

2� b2 (249)

PBCE =1

2� jCEj � jCBj = 1

2� a � a = 1

2� a2 (250)

Z (246), (247), (248), (249) i (250) otrzymujemy:

2� c2 + 1

2� c � jEF j = 1

2� jEF j � c+ 1

2� b2 + 1

2� a2

St ¾ad

c2 + c � jEF j = jEF j � c+ b2 + a2

c2 = b2 + a2

1.4.16 Dowód Sina Shiehyan�a

Poni·zszy dowód, który jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa w mysl Podania 31

z Ksi¾egi VI, zosta÷wykonany przez czternastoletniego Iranczyka, Sina Shiehyan�a

pochodz ¾acego z Sabzevar.

cho÷ku C: Udowodnimy, ·ze suma pól trójk ¾atów zbudowanych na przyprostok ¾atnych

trójk ¾ata ABC jest równa polu trójk ¾ata zbudowanego na przeciwprostok ¾atnej tego

trójk ¾ata. Wmysl Podania 5 z Ksi¾egi IV na trójk ¾acie tym opisujemy okr ¾ag. Punkt O;

który jest srodkiem okr¾egu, znajduje si¾e na przeciwprostok ¾atnej AB trójk ¾ata ABC,

dziel ¾ac t ¾a przeciwprostok ¾atn ¾a na dwa równe odcinki AO i OB: Punkt O ÷¾aczymy

odcinkiem z punktem C: Na boku AB konstruujemy trójk ¾at ABC 0; który jest przy-

staj ¾acy do trójk ¾ata ABC: W mysl Opisu 2 z Ksi¾egi III przez punkt C prowadzimy

prost ¾a d, która jest styczna do okr¾egu. Z punktów A i B; które s ¾a koncowymi

punktami przeciwprostok ¾atnej trójk ¾ata w mysl Podania 12 z Ksi¾egi I prowadzimy

proste AP i BK; które s ¾a prostopad÷e do prostej d: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 35.

Zauwa·zmy, ·ze w mysl Podania 18 z Ksi¾egi III odcinek OC jest prostopad÷y do

stycznej d: Wiemy ju·z, ·ze:

jAOj = jOBj (251)

oraz, ·ze odcinki AP i BK s ¾a prostopad÷e do stycznej d; a wi¾ec s ¾a równoleg÷e

wzgl¾edem siebie. Poniewa·z odcinek OC jest prostopad÷y do stycznej d, jest zatem

równoleg÷y do odcinków AP i BK: Na podstawie Podania 2 z Ksi¾egi VI mamy:

jPCj = jCKj

Ponadto

jPKj = jPCj+ jCKj (252)

Korzystaj ¾ac z (252) zauwa·zmy, ·ze:

PACP + PBCK =1

2� jPCj � jAP j+ 1

2� jCKj � jBKj (253)

2��jAP j � jPKj

2+ jBKj � jPKj

2� 12� jPKj � (jAP j+ jBKj)

Mamy dalej:

PABKP =1

2� jPKj � (jAP j+ jBKj) (254)

PACP + PBCK =1

2� PABKP (255)

Z (255) wynika, ·ze:

PABC =1

2� PABKP (256)

PACP + PBCK = PABC (257)

Poniewa·z

PABC = PABC0 (258)

wi¾ec z (257) i (258) otrzymujemy:

PACP + PBCK = PABC0

co konczy dowód.

1.4.17 Dowód Dr. Scotta Brodie�go

Poni·zszy dowód przeprowadzi÷Dr Scott Brodie z Nowego Jorku, który jest wyk÷a-

dowc ¾a na Mount Sinai School of Medicine.

cho÷ku C: W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I przez punkt C prowadzimy prost ¾a prosto-

pad÷¾a do przeciwprostok ¾atnej BA; która przecina t¾e przeciwprostok ¾atn ¾a w punkcie

P: Odcinek CP jest wysokosci ¾a trójk ¾ata ABC o podstawie AB: Na podstawie Poda-

nia 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty podobne: �ABC; �ACP oraz �BPC:

Wmysl Podania 5 z Ksi¾egi IV na trójk ¾atach BPC oraz APC opisujemy okr¾egi. Tak

Rysunek 36.

Poniewa·z trójk ¾at BPC jest prostok ¾atny wi¾ec punkt P le·zy na okr¾egu o srednicy

BC; ponadto zauwa·zmy, ·ze trójk ¾at CPA jest prostok ¾atny i punkt P le·zy na okr¾egu

o srednicy AC: St ¾ad wynika, ·ze oba okr¾egi przecinaj ¾a si¾e w punkcie P; który le·zy

na boku AB: Wprowadzmy oznaczenia: jBP j = x; jPAj = y; jACj = b; jBCj = a

oraz jBAj = c: St ¾ad wynika, ·ze:

x+ y = c (259)

Poniewa·z trójk ¾at ABC jest prostok ¾atny, odcinek BC jest prostopad÷y do odcinka

AC; wi¾ec w mysl Podania 18 z Ksi¾egi III odcinek BC jest styczny do okr¾egu o

srednicy CA: Na podstawie Podania 36 z Ksi¾egi III (zwanym te·z twierdzeniem o

pot¾edze punktu wzgl¾edem okr¾egu) mamy:

a2 = x � c (260)

Podobnie w mysl Podania 18 z Ksi¾egi III odcinek AC jest styczny do okr¾egu o

srednicy BC: Na podstawie Podania 36 z Ksi¾egi III mamy wi¾ec:

b2 = y � c (261)

Dodaj ¾ac (260) i (261) stronami, otrzymujemy:

a2 + b2 = x � c+ y � c = c � (x+ y) (262)

Z (259) i (262) mamy ostatecznie:

a2 + b2 = c2

co nale·za÷o dowiesc.

1.4.18 Dowody Douglasa Rogersa

Dowód. [1] Niech dany b¾edzie kwadrat ACDE o boku b:Wkwadrat ten wpisujemy

trójk ¾at ACB o k ¾acie prostym w wierzcho÷ku C:Wprowadzmy oznaczenia: jACj = b;

jCBj = a oraz jABj = c: Mamy poni·zszy rysunek.

Rysunek 37.

Jak wiadomo, pole tego kwadratu jest równe b2: Na podstawie Podania 12 z Ksi¾egi

I przez punkt E prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AB: Na prostej

tej od punktu E odk÷adamy odcinek EF równy co do d÷ugosci odcinkowi CB:

Punkty A i F ÷¾aczymy odcinkiem. Zauwa·zmy, ·ze:

jBDj = jCDj � jCBj = b� a

Tak powstaje kolejny rysunek.

Rysunek 38.

Na podstawie Opisu 30 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:

^CAE = 90�

Z konstrukcji na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I wynika, ·ze trójk ¾aty ACB i AFE

s ¾a przystaj ¾ace, zatem

PACB = PAFE (263)

^CAB = ^FAE (264)

Zauwa·zmy, ·ze:

^CAF = ^CAE + ^FAE = 90� + ^FAE (265)

^CAF = ^CAB + ^BAF (266)

Z (264), (265) i (266) i Pewnika 2 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:

^CAE = ^CAB = 90� (267)

Zauwa·zmy, ·ze:

PACDE = PACB + PABDE (268)

PABDF = PAFE + PABDE (269)

Z (263), (268) i (269) wynika, ·ze:

PACDE = PABDF (270)

Zauwa·zmy, ·ze:

jDF j = jDEj+ jEF j = b+ a

Usuwaj ¾ac z Rysunku 38 trójk ¾at ACB; oraz ÷¾acz ¾ac odcinkiem punkty B i F mamy

nast¾epuj ¾acy rysunek.

Rysunek 39.

Zauwa·zmy, ·ze:

PABDF = PABF + PBDF

Korzystaj ¾ac z (267) i (270) mamy, ·ze:

2� c2 + 1

2� (b� a) � (b+ a)

2� c2 + 1

2� b2 � 1

2� a2

2� b2 + 1

2� a2 = 1

2� c2

a2 + b2 = c2

cho÷ku B; gdzie przyprostok ¾atna AB jest d÷u·zsza od przyprostok ¾atnej BC: Budu-

jemy kwadrat KLMN o boku równym bokowi trójk ¾ata AB. W kwadrat ten wpisu-

jemy trójk ¾at ABC w taki sposób, aby wierzcho÷ek A trójk ¾ata ABC znajdowa÷si¾e

na boku KN , zas przyprostok ¾atna BC trójk ¾ata ABC znajdowa÷a si¾e na boku LM

kwadratu KLMN przy czym B 6= L i C 6= M: Konstruujemy trójk ¾at DEF przys-

taj ¾acy do trójk ¾ata ABC, gdzie jABj = jEDj ; jEF j = jBCj ; jACj = jDF j orazk ¾at DEF jest prosty. Trójk ¾at DEF wpisujemy w kwadrat w taki sposób, by wierz-

cho÷ek D znajdowa÷si¾e na boku MN; zas przyprostok ¾atna EF znajdowa÷a si¾e na

boku KL kwadratu KLMN; przy czym E 6= K i F 6= L:×¾aczymy punkty A z F; A

z D; F z C oraz D z C odcinkami. Wprowadzmy oznaczenia: jABj = b; jACj = c;

jBCj = a; jNDj = x; jKAj = y: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 40.

Zauwa·zmy, ·ze mamy nast¾epuj ¾ace równosci:

jABj = jEDj = jKLj = jLM j = jMN j = jNKj = b (271)

jEF j = jBCj = a (272)

jACj = jDF j = c

jKAj = jLBj = y (273)

jNDj = jKEj = x (274)

Z (271) i (273) wynika, ·ze:

jAN j = jKN j � jKAj = b� y

Z (271) i (274) mamy:

jDM j = jMN j � jNDj = b� x

Z (272) i (273) mamy:

jLCj = jBCj+ jLBj = a+ y (275)

Z (271) i (275) wynika, ·ze:

jCM j = jLM j � jLCj = b� a� y

Z (272) i (274) mamy:

jKF j = jEF j+ jKEj = a+ x (276)

jFLj = jKLj � jKF j = b� a� x

Ponadto z Opisu 30 z Ksi¾egi I wynika, ·ze:

^AKF = ^DNA = ^CMD = ^FLC = 90�

Pole kwadratu KLMN jest równe b2: Kwadrat zbudowany jest z czterech trójk ¾atów

prostok ¾atnych oraz jednego czworok ¾ata AFCD: Mamy wi¾ec:

b2 = PKLMN = PAKF + PFLC + PCMD + PDNA + PAFCD (277)

=y � (a+ x)

2+(b� a� x) � (a+ y)

+(b� a� y) � (b� x)

2+x � (b� y)

2� (y � a+ y � x+ b � a+ b � y � a2 � a � y

�a � x� x � y + b2 � b � x� a � b+ a � x�y � b+ y � x+ x � b� x � y + c2)

=b2 + c2 � a2

Z (277) mamy:

b2 =b2 + c2 � a2

Upraszczaj ¾ac, ostatecznie otrzymujemy:

a2 + b2 = c2

1.4.19 Dowód Jamie deLemos�a

Poni·zszy dowód, który jest podobny do dowodu Prezydenta Jamesa Gar�elda, zosta÷

wykonany przez studenta Jamie deLemos�a w 1995 roku.

cho÷ku B: Na przed÷u·zeniu przyprostok ¾atnej BC trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC na

podstawie Podania 2 z Ksi¾egi I odk÷adamy od punktu C odcinek CD równy co do

d÷ugosci odcinkowi AB: Na podstawie Podania 11 z Ksi¾egi I konstruujemy prost ¾a

prostopad÷¾a do prostej BD; przechodz ¾ac ¾a przez punkt D: Na podstawie Podania 2

z Ksi¾egi I na skonstruowanej prostej odk÷adamy od punktu D odcinek DE równy

co do d÷ugosci odcinkowi BC: Punkty A i E oraz punkty E i C ÷¾aczymy odcinkami.

Powsta÷y czworok ¾at odbijamy wzgl¾edem boku BD: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 41.

Udowodnimy, ·ze trójk ¾at ACE (analogicznie A0CE 0) jest trójk ¾atem prostok ¾atnym, a

w dodatku równoramiennym. Wprowadzmy oznaczenia: jABj = b; jBCj = a oraz

jACj = c: Wiedz ¾ac, ·ze:

jABj = jCDj = b

jBCj = jDEj = a

^ABC = ^CDE = 90� (278)

stwierdzamy na mocy Podania 4 z Ksi¾egi I, ·ze trójk ¾aty ABC i CDE s ¾a przystaj ¾ace,

a wi¾ec:

jACj = jCEj = c (279)

^ECD = ^CAB

^CED = ^ACB (280)

Obliczymy teraz k ¾at ACE: Na podstawie Podania 32 z Ksi¾egi I zauwa·zmy, ·ze:

180� = ^CAB + ^ACB + ^ABC

180� = ^ECD + ^CED + ^CDE

Poniewa·z zachodzi (278), wi¾ec:

90� = ^CAB + ^ACB

90� = ^ECD + ^CED

Zauwa·zmy, ·ze:

ÂCE = 180� � (ÊCD + ÂCB)

Poniewa·z zachodzi (280), to:

90� = ^ECD + ^ACB

^ACE = 180� � 90� = 90� (281)

Ostatecznie k ¾at ACE jest k ¾atem prostym. Na podstawie (279) i (281) oraz Opisu

25 i Opisu 27 z Ksi¾egi I trójk ¾at ACE (analogicznie A0CE 0) jest prostok ¾atny i równo-

ramienny. Mamy wi¾ec równosci boków:

jABj = jBA0j = jCDj = b (282)

jBCj = jDEj = jDE 0j = a (283)

jACj = jCA0j = jCEj = jCE 0j = c (284)

Obliczymy teraz pole trapezu AA0E 0E: Z jednej strony mamy:

PAA0E0E =1

2� (jABj+ jBA0j+ jDEj+ jDE 0j) � (jBCj+ jCDj)

Wykorzystuj ¾ac (282) i (283) mamy wi¾ec:

PAA0E0E =1

2� (2 � a+ 2 � b) � (a+ b) (285)

Z drugiej strony:

PAA0E0E = PABC + PCBA0 + PACE + PA0CE0 + PCDE + PCDE0

Wykorzystuj ¾ac (282), (283) i (284) mamy wi¾ec:

PAA0E0E =1

2� a � b+ 1

2� c2 + 1

2� b � a+ 1

2� b � a

PAA0E0E = 2 � a � b+ c2 (286)

Przyrównuj ¾ac stronami (285) i (286) otrzymujemy:

2� (2 � a+ 2 � b) � (a+ b) = 2 � a � b+ c2

(a+ b)2 = 2 � a � b+ c2

a2 + 2 � a � b+ b2 = 2 � a � b+ c2

Ostatecznie mamy:

a2 + b2 = c2

1.4.20 Dowód (autor nieznany)

Dowód, który przedstawi¾e poni·zej jest uogólnieniem przypuszczalnego dowodu Pita-

gorasa.

cho÷ku A: Przez punkty C i A prowadzimy prost ¾a. W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I

przez punkt B poprowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do przeciwprostok ¾atnej

BC trójk ¾ata ABC: Proste te przecinaj ¾a si¾e w punkcie D, tworz ¾ac trójk ¾at DBC: Tak

Rysunek 42.

Wprowadzmy oznaczenia: jABj = a; jBCj = c; oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze trójk ¾at

DBC jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie prostym w wierzcho÷ku B, podstawieDC

i wysokosci AB: Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty

podobne: �ABC; �ADB oraz �DBC: Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ADB

i ABC mo·zemy na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:

b(287)

orazjBDja

b(288)

Z (287) mamy:

jADj = a2

b(289)

oraz z (288) mamy:

jBDj = a � cb

Zauwa·zmy, ·ze:

PDBC = PABC + PADB (291)

Z (291) mamy:

2� jBDj � jBCj = 1

2� jABj � jACj+ 1

2� jADj � jABj (292)

Zatem z (289), (290) i (292) otrzymujemy:

2� a � cb� c = 1

2� a � b+ 1

2� a

b� a

a � c2b

= a � b+ a3

Mno·z ¾ac stronami przez bamamy ostatecznie:

c2 = b2 + a2

cho÷ku C: Przez punkty B i C prowadzimy prost ¾a. W mysl Podania 12 z Ksi¾egi I

przez punkt A prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do przeciwprostok ¾atnej

AB trójk ¾ata ABC: Proste te przecinaj ¾a si¾e w punkcie E. W mysl Podania 12 z

Ksi¾egi I przez punkt B prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku AB. Od

punktu B odk÷adamy na tej prostej odcinek BF równy co do d÷ugosci odcinkowi

AE: Punkty A i F ÷¾aczymy odcinkiem. Wmysl Podania 12 z Ksi¾egi I przez punkt B

prowadzimy prost ¾a, która jest prostopad÷a do boku BC. Od punktu B odk÷adamy

na tej prostej odcinek BD równy co do d÷ugosci odcinkowi AC: Punkty C i D

÷¾aczymy odcinkiem. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 43.

Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a; oraz jACj = b: Zauwa·zmy, ·ze trójk ¾at

EAB jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie prostym w wierzcho÷ku A, podstawie EB

i wysokosci AC: Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty

podobne: �ABC; �ACE oraz �EAB: Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ACE

i ABC mo·zemy na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:

a(293)

Z konstrukcji oraz na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi I trójk ¾aty AEB i ABF s ¾a

przystaj ¾ace. Poniewa·z trójk ¾aty ABC i AEB s ¾a podobne, zatem trójk ¾aty ABC

i ABF s ¾a równie·z podobne. Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ABF i ABC

mo·zemy na podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:

jBF jc

a(294)

Z (293) mamy:

jECj = b2

a(295)

oraz z (294) mamy:

jBF j = b � ca

Zauwa·zmy, ·ze:

PABF = PABC + PACE (297)

Z (297) mamy:

2� jABj � jBF j = 1

2� jACj � jBCj+ 1

2� jECj � jACj (298)

Zatem z (295), (296) i (298) otrzymujemy:

2� c � b � c

2� b � a+ 1

2� b

a� b

b � c2a

= b � a+ b3

Mno·z ¾ac stronami przez abmamy ostatecznie:

c2 = a2 + b2

1.5 Fa÷szywe dowody twierdzenia Pitagorasa

Wielu inteligentnych ludzi tworzy÷o coraz to nowsze dowody s÷ynnego twierdzenia

Pitagorasa. Ale nawet inteligentni ludzie nie ustrzegaj ¾a si¾e b÷¾edów. Pisz ¾ac t¾e

prac¾e, podczas przegl ¾adania wielu publikacji, natkn¾e÷am si¾e na kilka dowodów, które

wed÷ug mnie s ¾a b÷¾ednie przeprowadzone. Czasami b÷¾edy te s ¾a subtelne i obejmuj ¾a

cykliczne rozumowanie, innym razem zle interpretuj ¾a fakty, czasami natomiast b÷¾edy

s ¾a tak ra·z ¾ace, ·ze a·z zmuszaj ¾a do zastanowienia si¾e, dlaczego zosta÷y pope÷nione przez

autorów, a nie zauwa·zone przez edytorów.

1.5.1 Dowód Yanney�a

Poni·zszy dowód nale·zy do kolekcji B. F. Yanney�a i J. A. Calderhead, który zosta÷

opublikowany w czasopismie �Am Math Montly" w numerze 6/7 w 1896 roku na

stronach 169 - 171.

cho÷ku C: Z wierzcho÷ka C poprowadzmy prost ¾a CD, która jest prostopad÷a do

podstawy AB: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 44.

Na podstawie Podania 8 z Ksi¾egi VI otrzymujemy trzy trójk ¾aty podobne: �ABC;

�ADC oraz �CDB: Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty podobne ADC i CDB mo·zemy na

podstawie Podania 4 z Ksi¾egi VI napisac proporcj¾e:

jCDjjADj =

jBDjjCDj

jCDj2 = jADj � jBDj (299)

Przypuscmy, ·ze twierdzenie Pitagorasa zachodzi. Wówczas

jABj2 = jACj2 + jBCj2 (300)

jBCj2 = jCDj2 + jBDj2 (301)

jACj2 = jADj2 + jCDj2 (302)

Wstawiaj ¾ac (301) i (302) do równosci (300) otrzymujemy:

jABj2 = jADj2 + jCDj2 + jCDj2 + jBDj2 = jADj2 + 2 � jCDj2 + jBDj2 (303)

Wstawiaj ¾ac równosc (299) do (303), otrzymujemy:

jABj2 = jADj2 + 2 � jADj � jBDj+ jBDj2

jABj2 = (jADj+ jBDj)2

Ostatecznie mamy:

jABj = jADj+ jBDj

co jest prawdziwe. Zatem przypuszczenie, ·ze zachodzi twierdzenie Pitagorasa, by÷o

prawdziwe.

Wyjasnienie:Id ¾ac tym samym tokiem rozumowania za÷ó·zmy, ·ze:

1 = 2 (304)

Wówczas przez symetri¾e oczywiste jest, ·ze:

2 = 1 (305)

Na podstawie Pewnika 2 z Ksi¾egi I mo·zemy dodac równosci z (304) i (305) stronami,

otrzymuj ¾ac:

3 = 3 (306)

Wyra·zenie (306) jest oczywiscie prawdziwe, ale nie oznacza to, ·ze za÷o·zenie (304)

jest prawdziwe, bo jak wszyscy wiemy

1 6= 2

co t÷umaczy rodzaj b÷¾edu, jaki pope÷ni÷Yanney w swym dowodzie.

1.5.2 Dowód Loomis�a

Poni·zszy dowód autorstwa Marry E. S. Loomis�a opublikowany zosta÷w czasopismie

�Am Math Montly" w numerze 11 w roku 1901 na stronie 233.

cho÷ku A: Na mocy Opisu 5 z Ksi¾egi IV w trójk ¾at ten wpisujemy ko÷o o srodku w

punkcie O i promieniu r: Punkt wspólny ko÷a i boku AB oznaczmy przez E, punkt

wspólny ko÷a z przyprostok ¾atn ¾a AC oznaczmy przez D; zas punkt wspólny ko÷a z

przeciwprostok ¾atn ¾a oznaczmy przez F: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 45.

Wprowadzmy oznaczenia: jACj = b; jABj = a; jBCj = c: Zauwa·zmy, ·ze:

jCDj = jCF j

jBEj = jBF j

jAEj = jADj = r

Wzór na d÷ugosc promienia r okr¾egu wpisanego w trójk ¾at ABC (patrz podrozdzia÷

1.3.3 na stronie 22) wynosi:

r =a+ b� c

czyli:

c+ 2 � r = a+ b (307)

Podnosz ¾ac obie strony równosci (307) do kwadratu, otrzymamy:

c2 + 4 � r � c+ 4 � r2 = a2 + 2 � a � b+ b2 (308)

Rozpatrzmy trzy przypadki.

Gdyby w równosci (308) zachodzi÷o:

4 � r � c+ 4 � r2 = 2 � a � b

wówczas otrzymalibysmy:

c2 = a2 + b2

4 � r � c+ 4 � r2 > 2 � a � b

wówczas

c2 + 4rc+ 4r2 > b2 + 2ba+ a2

c+ 2r > b+ a

co jest sprzeczne z (307).

4 � r � c+ 4 � r2 < 2 � a � b

wówczas

c2 + 4rc+ 4r2 < b2 + 2ba+ a2

c+ 2r < b+ a

co jest sprzeczne z (307).

Z powy·zszych rozwa·zan wynika, ·ze:

4 � r � c+ 4 � r2 = 2 � a � b

i ostatecznie:

c2 = a2 + b2

Wyjasnienie:Dowód jest niepoprawny i napisany w stylu, który w dzisiejszych czasach nie by÷by

zaakceptowany. G÷ównym problemem tego dowodu jest cyklicznosc argumentu: w

dowodzie u·zywa si¾e to·zsamosci pitagorejskiej, któr ¾a to chce si¾e wykazac. Spróbu-

jemy poprawic ten dowód.

Pocz ¾atek dowodu przeprowadzamy identycznie. Zachodzi (307). Podnosz ¾ac stron-

ami (307) do kwadratu, otrzymujemy (308). Zajmiemy si¾e wyra·zeniem (307). Mamy

c+ 2 � r = b+ a

Dodaj ¾ac stronami c, otrzymamy:

2 � c+ 2 � r = b+ a+ c (309)

Mno·z ¾ac stronami równosc (309) przez 2 � r otrzymamy:

4 � c � r + 4 � r2 = 2 � r � (b+ a+ c) (310)

Obliczaj ¾ac pole trójk ¾ata ABC dwoma sposobami (patrz podrozdzia÷1.3.2 na stronie

21) otrzymujemy:r � (a+ b+ c)

2=a � b2

Mno·z ¾ac stronami równosc (311) przez 4 otrzymujemy:

2 � r � (a+ b+ c) = 2 � a � b (312)

Podstawiaj ¾ac (310) do (312) otrzymujemy:

4 � c � r + 4 � r2 = 2 � a � b (313)

Wykorzystuj ¾ac równosc (313) w równosci (308) otrzymamy ostatecznie:

c2 = a2 + b2

cho÷ku A: Mamy wi¾ec nast¾epuj ¾acy rysunek.

Rysunek 46.

Wprowadzmy oznaczenia: jABj = c; jBCj = a oraz jACj = b: Oznaczmy przez S

pole trójk ¾ata prostok ¾atnego ABC: Zauwa·zmy, ·ze:

2� a � b

4� a2 � b2 (314)

Pole trójk ¾ata ABC mo·zemy równie·z obliczyc ze wzoru Herona (patrz podrozdzia÷

1.3.1 na stronie 19):

S =pp � (p� a) � (p� b) � (p� c)

p =a+ b+ c

2(315)

S2 = p � (p� a) � (p� b) � (p� c) (316)

Zauwa·zmy, ·ze:

p� a =a+ b+ c

2� a =

�a+ b+ c

2(317)

p� b =a+ b+ c

2� b =

a� b+ c

2(318)

p� c =a+ b+ c

2� c =

a+ b� c

2(319)

Z (316), (315), (317), (318) i ( 319) mamy zatem:

S2 =a+ b+ c

2� �a+ b+ c

2� a� b+ c

2� a+ b� c

16 � S2 = (a+ b+ c) � (�a+ b+ c) � (a� b+ c) � (a+ b� c)

16 � S2 = 2 � a2 � b2 + 2 � a2 � c2 + 2 � b2 � c2 � (a4 + b4 + c4) (320)

Z (314) otrzymujemy:

16 � S2 = 4 � a2 � b2 (321)

Zatem z (320) i ( 321) mamy:

4 � a2 � b2 = 2 � a2 � b2 + 2 � a2 � c2 + 2 � b2 � c2 � (a4 + b4 + c4)

(a4 + b4 + c4) + 2 � a2 � b2 � 2 � b2 � c2 � 2 � a2 � c2 = 0

(a4 + 2 � a2 � b2 + c4)� 2 � b2 � c2 � 2 � a2 � c2 + c4 = 0

(a2 + b2)2 � 2 � c2 � (a2 + b2) + c4 = 0�(a2 + b2)� c2

�2= 0

(a2 + b2)� c2 = 0

a2 + b2 = c2

Wyjasnienie:Dowód ten jest kolejnym przyk÷adem b÷¾ednie wykonanego. Korzystamy w nim ze

wzoru Herona, którego dowód przeprowadza si¾e wykorzystuj ¾ac wzór na jedynk¾e

trygonometryczn ¾a, który z kolei dowodzi si¾e, wykorzystuj ¾ac twierdzenie Pitagorasa.

Wpadamy wi¾ec w b÷¾edne ko÷o.

2 Twierdzenia Pitagorasa w geometrii sferycznej

Twierdzenie Pitagorasa 2 [15; str: 17] Niech dany b¾edzie trójk ¾at sferyczny owierzcho÷kach A; B; C i k ¾acie prostym w wierzcho÷ku A: Niech a = d(B;C); b =

d(A;C) i c = d(A;B): Wówczas zachodzi wzór:

cos a = cos b � cos c

Rysunek 47.

2.1 Geometria sferyczna

Geometria euklidesowa to klasyczna odmiana geometrii, w której spe÷niony jest tzw.

postulat równoleg÷osci (Pewnik 12 z Ksi¾egi I). By÷a ona pierwsz ¾a teori ¾a aksjomaty-

czn ¾a w dziejach ludzkosci. [6, str. 117]

Pierwotnie geometria euklidesowa by÷a badana tylko na p÷aszczyznie i w prze-

strzeni trójwymiarowej. Przez d÷ugi czas geometri¾e wi ¾azano z istniej ¾acym �zycznym

swiatem, który mia÷a opisywac, nie dopuszczano tym samym mo·zliwosci badania

innych odmian geometrii. [7, str. 13]

Na przestrzeni wieków to aksjomatyczne uj¾ecie geometrii elementarnej przez

Euklidesa by÷o przedmiotem badan wielu wybitnych matematyków. Szczególnie

zainteresowanie budzi÷o zagadnienie, czy dla zbudowania geometrii elementarnej

potrzebny jest postulat równoleg÷osci o nast¾epuj ¾acej tresci: [3, str. 11]

Pewnik 12 [5, str. 5] Jesli linia prosta przecina dwie inne linie proste tak, ·ze sumadwóch k ¾atów wewn ¾etrznych po jednej jej stronie jest mniejsza ni·z suma dwóch k ¾atów

prostych, to te dwie linie proste przetn ¾a si ¾e po tej stronie po której suma k ¾atów jest

mniejsza od sumy dwóch k ¾atów prostych.

Wed÷ug Karola Borsuka9 i Wandy Szmielew10 prób udowodnienia, ·ze postulat ten

jest logiczn ¾a konsekwencj ¾a pozosta÷ych za÷o·zen by÷o bardzo wiele, co spowodowa÷o

powstanie obszernej literatury, z której wynika, ·ze postulat ten mo·ze byc udowod-

niony, o ile do innych za÷o·zen Euklidesa dorzuci si¾e np. za÷o·zenie, ·ze istnieje choc

jeden prostok ¾at lub ·ze istnieje choc jeden trójk ¾at o sumie k ¾atów równej dwóm k ¾atom

prostym. [3, str. 11]

Geometria eliptyczna zwana tak·ze geometri ¾a sferyczn ¾a lub geometri ¾a powierzchni

kuli jest jedn ¾a z geometrii nieeuklidesowych, gdy·z nie zachodzi w niej postulat

równoleg÷osci. Na sferze obowi ¾azuje tzw. eliptyczny aksjomat o równoleg÷ych,

którego sformu÷owanie nie jest twierdzeniem prawdziwym w geometrii euklidesowej.

Oto jego tresc: [6, str. 117]

Twierdzenie [6, str. 117] Przez punkt niele·z ¾acy na danej �prostej" nie przechodzi

·zadna �prosta" z ni ¾a roz÷¾aczna.

Ponadto w geometrii sferycznej nie zachodzi jeden z aksjomatów uporz ¾adkowania

tresci:

Twierdzenie [6, str. 92] Sposród trzech danych punktów na prostej dok÷adnie jedenle·zy mi ¾edzy dwoma pozosta÷ymi.

Aksjomat ten, wraz z pozosta÷ymi dwudziestoma innymi, poda÷David Hilbert11 w

roku 1899 w jego pracy �Grundlagen der Geometrie" (Podstawy geometrii).

9Karol Borsuk - ur. 8 maja 1905 w Warszawie, zm. 24 stycznia 1982 tam·ze. By÷polskimmatematykiem oraz jednym z czo÷owych przedstawicieli warszawskiej szko÷y matematycznej.10Wanda Szmielew - wspó÷autorka ksi ¾a·zki pt. �Podstawy geometrii".11David Hilbert - ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w

Getyndze. By÷matematykiem niemieckim; zajmowa÷si¾e algebraiczn ¾a teori ¾a liczb, teori ¾a równanca÷kowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznejoraz problemami �zyki matematycznej.

2.2 Podstawowe poj¾ecia z zakresu geometrii sferycznej

Poni·zsze de�nicje i twierdzenia zaczerpn¾e÷am z [6, str. 118 - 122 i 4, str. 16].

De�nicja 2.2.1 Sfer ¾a dwuwymiarow ¾a S2 nazywamy zbiór

�x = (x1; x2; x3) 2 R3 j (x j x) = 1

gdzie (�j�) oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej.

De�nicja 2.2.2 Okr¾egiem wielkim sfery nazywamy cz ¾esc wspóln ¾a tej sfery i p÷a-

szczyzny przechodz ¾acej przez jej srodek.

W geometrii sferycznej przez prost ¾a rozumiemy okr¾egi wielkie, a przez p÷aszczy-

zn¾e - sfer¾e. Seria nast¾epnych de�nicji od 2.2.3 do 2.2.7 dotyczy zwyk÷ych p÷aszczyzn

i przestrzeni euklidesowej, które b¾ed ¾a wykorzystane potem do okreslenia pewnych

poj¾ec geometrii sferycznej.

De�nicja 2.2.3 K ¾atem p÷askim nazywamy ka·zd ¾a z dwóch cz ¾esci p÷aszczyzny za-

wart ¾a mi ¾edzy dwiema pó÷prostymi o wspólnym pocz ¾atku (zwanym wierzcho÷kiem

k ¾ata) wraz z tymi pó÷prostymi (zwanymi ramionami k ¾ata).

De�nicja 2.2.4 K ¾atem wielosciennym nazywamy k ¾at utworzony przez kilka k ¾atów

p÷askich o wspólnym wierzcho÷ku, maj ¾acych parami po jednym ramieniu wspólnym.

De�nicja 2.2.5 K ¾atem trójsciennym nazywamy cz ¾esc przestrzeni ograniczonej trze-ma k ¾atami p÷askimi o wspólnym wierzcho÷ku i takimi, ·ze s ¾asiednie k ¾aty maj ¾a wspólne

rami ¾e.

De�nicja 2.2.6 K ¾atem dwusciennym nazywamy ka·zd ¾a z dwóch cz ¾esci przestrzeni

na jakie dziel ¾a j ¾a dwie pó÷p÷aszczyzny (zwane scianami k ¾ata dwusciennego) o wspól-

nej kraw ¾edzi (zwanej kraw ¾edzi ¾a k ¾ata dwusciennego).

De�nicja 2.2.7 K ¾atem liniowym w k ¾acie dwusciennym nazywamy k ¾at mi ¾edzy dwie-ma prostopad÷ymi do kraw ¾edzi k ¾ata dwusciennego, poprowadzonymi z jednego punktu

tej kraw ¾edzi na obu scianach k ¾ata dwusciennego.

Teraz przedstawione b¾ed ¾a poj¾ecia z geometrii sferycznej, do których wykorzy-

stamy wy·zej zde�niowane poj¾ecia geometrii p÷askiej.

De�nicja 2.2.8 Dwuk ¾atem sferycznym nazywamy cz ¾esc sfery wyci ¾et ¾a z niej przez

k ¾at dwuscienny, którego kraw ¾edz przechodzi przez srodek sfery. Dwa pó÷okr¾egi wielkie

sfery zawarte w scianach k ¾ata dwusciennego nazywamy bokami dwuk ¾ata sferycznego,

a wspólne konce tych pó÷okr¾egów nazywamy jego wierzcho÷kami.

De�nicja 2.2.9 Trójk ¾atem sferycznym nazywamy cz ¾esc sfery wyci ¾et ¾a z niej przez

k ¾at trójscienny, którego wierzcho÷kiem jest srodek sfery. Punkty wspólne sfery i

kraw ¾edzi k ¾ata trójsciennego nazywamy wierzcho÷kami, a cz ¾esci wspólne sfery i scian

k ¾ata trójsciennego nazywamy bokami rozwa·zanego trójk ¾ata sferycznego.

Rysunek 48.

Bokami otrzymanych trójk ¾atów sferycznych s ¾a odcinki �prostych" w geometrii

sferycznej, czyli odcinki okr¾egów kó÷wielkich.

Jesli d(A;B) jest d÷ugosci ¾a ÷uku wyci¾etego z dwuk ¾ata sferycznego przez p÷aszczy-

zn¾e prostopad÷¾a do kraw¾edzi wyznaczaj ¾acego go k ¾ata dwusciennego i przechodz ¾ac ¾a

przez srodek sfery o promieniu 1, to miara � dwuk ¾ata sferycznego wyra·za si¾e

wzorem:

� = d(A;B)

Rysunek 49.

Fakt ten wyjasnia wzór (322)

Twierdzenie 2.2.10 Niech d : S2�S2 ! R b¾edzie tak ¾a funkcj ¾a, która ka·zdej parzepunktów (A;B) 2 S2�S2 przyporz ¾adkowuje liczb¾e rzeczywist ¾a d(A;B) 2 [0:�] tak ¾a,·ze:

cos d(A;B) = (A j B) (322)

Wówczas d jest metryk ¾a.

Dowód. Oczywiscie d(A;B) = d(B;A) � 0 oraz d(A;B) = 0 w przypadku, gdy

A = B: Wezmy dowolny punkt C nale·z ¾acy do okr¾egu ko÷a wielkiego. Analizuj ¾ac

poni·zszy rysunek

Rysunek 50.

dowodzi si¾e, ·ze ÷uk AB jest najkrótszym ÷ukiem okr¾egu ko÷a wielkiego ÷¾acz ¾acego

dane dwa punkty A i B; ÷uk AC jest najkrótszym ÷ukiem okr¾egu ko÷a wielkiego

÷¾acz ¾acego dane dwa punkty A i C oraz ÷uk CB jest najkrótszym ÷ukiem okr¾egu ko÷a

wielkiego ÷¾acz ¾acego dane dwa punkty C i B: Mo·zna udowodnic, ·ze:

d(A;B) � d(A;C) + d(C;B)

Ze wzgl¾edu na obszernosc teorii jak ¾a trzeba by÷oby wprowadzic do wykazania tej

nierównosci, dowód ten pomijam. Ostatecznie wi¾ec d jest metryk ¾a.

Niech dany b¾edzie okr ¾ag ko÷a wielkiego sfery S2: Wezmy prost ¾a prostopad÷¾a do

promienia okr¾egu ko÷a wielkiego. Wektor równoleg÷y do tej prostej jest styczny do

okr¾egu ko÷a wielkiego.

De�nicja 2.2.11 Miar ¾a k ¾ata (wewn ¾etrznego) trójk ¾ata sferycznego nazywamy miar¾ek ¾ata mi ¾edzy wektorami stycznymi do okr¾egów wielkich zawieraj ¾acych jego boki, w

punkcie wspólnym tych boków.

Twierdzenie 2.2.12 Miara k ¾ata trójk ¾ata sferycznego jest równa mierze k ¾ata dwu-sciennego wyznaczonego przez te pó÷p÷aszczyzny zawieraj ¾ace jego boki, których wspól-

na kraw ¾edz przechodzi przez wierzcho÷ek rozwa·zanego k ¾ata i przez srodek sfery.

Dowód. Równosc k ¾ata trójk ¾ata sferycznego z k ¾atem dwusciennym wynika z de�ni-cji 2.2.11, gdy·z wektory styczne do boków trójk ¾ata sferycznego le·z ¾a w p÷aszczyznach

okr¾egów wielkich zawieraj ¾acych te boki i s ¾a prostopad÷e do kraw¾edzi przeci¾ecia tych

p÷aszczyzn.

2.3 Dowody twierdzenia Pitagorasa

2.3.1 Dowód pierwszy

Dowód. [15, str. 43] Niech ABC b¾edzie prostok ¾atnym trójk ¾atem sferycznym o

bokach a; b; c, w którym A jest k ¾atem prostym. Niech OABC b¾edzie trójscianem,

którego k ¾aty p÷askie i k ¾aty liniowe s ¾a miarami elementów danego prostok ¾atnego

trójk ¾ata sferycznego. Na kraw¾edzi OB trójscianu OABC wezmy dowolny punkt P i

poprowadzmy przez ten punkt p÷aszczyzn¾e PTS prostopad÷¾a do kraw¾edzi OB: Tak

Rysunek 51.

Otrzymany czworoscian (tetraedr) SOPT , w którym kraw¾edz ST b¾edzie prostopa-

d÷a do p÷aszczyzny AOB; jako linia przeci¾ecia dwu p÷aszczyzn, z których ka·zda jest

prostopad÷a do p÷aszczyzny AOB (p÷aszczyzna OST jest prostopad÷a do p÷aszczy-

zny AOB; poniewa·z k ¾at A jest prosty). Trójk ¾aty p÷askie STP i STO maj ¾a k ¾aty

proste przy wspólnym wierzcho÷ku T: Ze stosunku boków w trójk ¾atach prostok ¾at-

nych otrzymujemy:jOT jjOSj = cos b

ijOP jjOT j = cos c

orazjOP jjOSj = cos a

Podstawiaj ¾ac wartosci otrzymanych stosunków do to·zsamosci otrzymujemy:

jOP jjOSj =

jOT jjOSj �

jOP jjOT j

Ostatecznie mamy:

2.3.2 Dowód drugi

Dowód. [15] Niech ABC b¾edzie trójk ¾atem sferycznym o bokach a; b; c. Za÷ó·zmy,

·ze ka·zdy z boków b i c jest mniejszy od 90�: Z wierzcho÷ka A prowadzimy wektory

styczne do boków AB i AC trójk ¾ata sferycznego. Pierwsza styczna b¾edzie le·za÷a w

p÷aszczyznie AOB; zas druga styczna b¾edzie le·za÷a w p÷aszczyznie AOC: Z za÷o·zenia

wynika, ·ze styczne przetn ¾a przed÷u·zenia promieni OB i OC w punktach M i N:

Punkty M i N ÷¾aczymy odcinkiem. Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 52.

Bior ¾ac pod uwag¾e trójk ¾aty p÷askie AMN oraz OMN na podstawie Twierdzenia

(1.2.5) mamy:

jMN j2 = jAN j2 + jAM j2 � 2 � jAN j � jAM j � cosA (323)

jMN j2 = jON j2 + jOM j2 � 2 � jON j � jOM j � cos a (324)

Z równosci (323) i (324) mamy:

jAN j2+jAM j2�2�jAN j�jAM j�cosA = jON j2+jOM j2�2�jON j�jOM j�cos a (325)

Przekszta÷caj ¾ac równosc (325) dostajemy:

2�jON j�jOM j�cos a = jON j2+jOM j2�jAN j2�jAM j2+2�jAN j�jAM j�cosA (326)

Stosuj ¾ac twierdzenie Pitagorasa z geometrii euklidesowej do trójk ¾atów prostok ¾at-

nych OAN i OAM widzimy, ·ze:

jON j2 � jAN j2 = jOAj2 (327)

jOM j2 � jAM j2 = jOAj2 (328)

Podstawiaj ¾ac do (326) równosci (327) i (328) otrzymujemy:

2 � jON j � jOM j � cos a = 2 � jOAj2 + 2 � jAN j � jAM j � cosA

St ¾ad

jON j � jOM j � cos a = jOAj2 + jAN j � jAM j � cosA (329)

Dziel ¾ac obie strony równosci (329) przez iloczyn jON j � jOM j mamy:

cos a =jOAjjON j �

jOAjjOM j +

jAN jjON j �

jAM jjOM j � cosA (330)

Zauwa·zmy ponadto, ·ze:jOAjjON j = cos b (331)

ijOAjjOM j = cos c (332)

Podstawiaj ¾ac do (330) równosci (331) i (332) otrzymujemy ostatecznie:

cos a = cos b � cos c+ sin b � sin c � cosA (333)

Otrzymany wzór nazywamy wzorem Albataniego12.

Za÷ó·zmy teraz, ·ze nasz trójk ¾at sferyczny jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie prostym

w wierzcho÷ku A; czyli A = 90�: Zatem

cosA = 0 (334)

12Albatani z Syrii albo Albategniusz - matematyk ·zyj ¾acy w IX i X wieku.

Podstawiaj ¾ac (334) do wzoru (333) otrzymujemy ostatecznie:

2.3.3 Dowód trzeci

Dowód. Niech dana b¾edzie sfera S2 o srodku w punkcie 0 i promieniu 1. Na

sferze tej obieramy dowolne dwa punkty A i B: Punkty A i 0 ÷¾aczymy odcinkiem.

Przez punkt 0 prowadzimy do odcinka A0 prostopad÷¾a p÷aszczyzn¾e, której cz¾esc

wspólna ze sfer ¾a tworzy okr ¾ag ko÷a wielkiego. Przez punkty A; B i 0 prowadzimy

p÷aszczyzn¾e. Cz¾esc wspólna tej p÷aszczyzny i sfery S2 tworzy ÷uk, który przechodzi

przez punkty A oraz B: Niech punkt u oznacza punkt przeci¾ecia tej p÷aszczyzny

z okr¾egiem ko÷a wielkiego prostopad÷ego do odcinka A0: Wspomniany wy·zej ÷uk

opiszemy parametrycznie.

Rysunek 53.

Zauwa·zmy wpierw, ·ze A i u s ¾a do siebie prostopad÷e, zatem ich iloczyn skalarny jest

równy zero. Wezmy ÷uk c o równaniu parametrycznym [4, str.16]:

c(t) = A � cos t+ u � sin t (335)

×uk ten le·zy na sferze. Istotnie korzystaj ¾ac z (335) oraz z De�nicji 2.2.1 otrzymu-

jjc(t)jj =pc(t) � c(t) =

p(A � cos t+ u � sin t) � (A � cos t+ u � sin t)

=qA2 � cos2(t) + A � u � cos t � sin t+ A � u � sin t � cos t+ u2 � sin2 t

=pcos2 t+ sin2 t = 1

Postac równania (335), wskazuje na to, ·ze c(t) jest kombinacj ¾a liniow ¾a punktów

A i u; a zatem nale·zy do przestrzeni wektorowej generowanej przez A i u; czyli

p÷aszczyzny przechodz ¾acej przez trzy punkty A; u; 0: W wyniku przeci¾ecia tej

p÷aszczyzny ze sfer ¾a otrzymujemy okr ¾ag ko÷a wielkiego. Zatem c(t) jest ÷ukiem

ko÷a wielkiego. Jest to ÷uk wspomniany na pocz ¾atku dowodu. Udowodnimy teraz,

·ze odwzorowanie c(t) jest przekszta÷ceniem izometrycznym. Wezmy wi¾ec dowolne

dwa punkty t i t0 nale·z ¾ace do ÷uku c: Z (322) mamy:

cos d(c(t); c(t0)) = (A � cos t+ u � sin tjA � cos t0 + u � sin t0)= A2 � cos t � cos t0 + A � u � cos t � sin t0

+A � u � sin t � cos t0 + u2 � sin t � sin t0

= cos t � cos t0 + sin t � sin t0 = cos jt� t0j

Wi¾ec

cos d(c(t); c(t0)) = cos jt� t0j

Z ró·znowartosciowosci funkcji cos na przedziale [0; �] mo·zemy stwierdzic, ·ze:

d(c(t); c(t0)) = jt� t0j (336)

Zatem c(t) jest odwzorowaniem izometrycznym. Zauwa·zmy, ·ze dla t = 0 równanie

(335) ma postac:

c(0) = A

Znajdziemy teraz takie t; dla którego otrzymamy:

c(t) = B

Wykorzystuj ¾ac (336) otrzymamy:

d(c(0); c(t)) = j0� tj = t = d(A;B) (337)

Z (337) oraz na podstawie De�nicji 2.2.11 wnioskujemy, ·ze:

t = (338)

B = c( ) = A � cos + u � sin (339)

Przejdziemy teraz do g÷ównej cz¾esci dowodu. Niech dana b¾edzie sfera S2 oraz trójk ¾at

sferyczny ABC o k ¾acie � w wierzcho÷ku A: Niech a = d(B;C); b = d(A;C) i

c = d(A;B): Wierzcho÷ek trójk ¾ata sferycznego A ÷¾aczymy ze srodkiem sfery 0 od-

cinkiem. Przez punkt 0 prowadzimy do odcinka A0 prostopad÷¾a p÷aszczyzn¾e, której

cz¾esc wspólna ze sfer ¾a tworzy okr ¾ag ko÷a wielkiego. Powsta÷y okr ¾ag ko÷a wielkiego

przecina okr¾egi kó÷wielkich zawieraj ¾acych boki AC i AB trójk ¾ata sferycznego, w

punktach odpowiednio u i v: Tak powstaje poni·zszy rysunek.

Rysunek 54.

Na podstawie Twierdzenia 2.2.12 zachodzi równosc k ¾atów:

� = ^BAC = ^u0v

Z (322) mamy:

cos d(u; v) = cos a = (u j v) (340)

cos d(B;C) = cos a = (B j C) (341)

Wykorzystuj ¾ac (335), (337), (338) i (339)otrzymujemy:

B = A � cos c+ u � sin c (342)

C = A � cos b+ v � sin b (343)

Podstawiaj ¾ac (342), (343) i (340) do (341) otrzymamy:

cos a = (A � cos c+ u � sin c j A � cos b+ v � sin b)= A2 � cos c � cos b+ A � v � cos c � cos b+ A � u � sin c � cos b+ u � v � sin c � sin b= cos c � cos b+ cos� � sin c � sin b

cos a = cos c � cos b+ cos� � sin c � sin b (344)

Za÷ó·zmy teraz, ·ze nasz trójk ¾at sferyczny jest trójk ¾atem prostok ¾atnym o k ¾acie � =

90�; wi¾ec cos� = 0: Zatem z (344) otrzymujemy ostatecznie:

cos a = cos c � cos b

co konczy dowód.

Uwaga 2.3.1 Powy·zszy dowód mo·zna przeprowadzic analogicznie dla sfery n -

wymiarowej.

Dodatek - swiadectwa o Pitagorasie

Poni·zszy tekst p.t. �Pitagoras z Samos�jest autorstwa Janiny Gajdy - Krynickiej

i pochodzi ze strony http://ptta.pl/pef/pdf/p/pitagoras.pdf.

Rysunek 55.

Pitagoras (�� o��&; Pythagoras) z Samos to jeden z najs÷awniejszych mysli-

cieli staro·zytnosci, przez wczesn ¾a tradycj¾e greck ¾a uwa·zany za m¾edrca, reforma-

tora religijnego, za÷o·zyciela powsta÷ej w VI wieku przed Chrystusem w Krotonie

wspólnoty kultowo - religijnej, politycznej i �lozo�cznej, zwanej Starym Zwi ¾azkiem

Pitagorejskim, a przez tradycj¾e poarystotelesow ¾a za �lozofa � inicjatora i za÷o·zy-

ciela �lozo�cznego nurtu pitagoreizmu, odkrywc¾e w dziedzinie matematyki, muzyki,

medycyny. Urodzi÷si¾e na wyspie Samos oko÷o 572, a zmar÷oko÷o 490 roku przed

Chrystusem (daty odtwarza si¾e na podstawie chronologii �X�o��a� [Chroniká]

Apollodorosa).

Ze wzgl¾edu na brak pism, których autorstwo by÷oby niepodwa·zalnie poswiad-

czone, jak te·z z racji specy�cznego charakteru materia÷ów zród÷owych, na podstawie

których podejmuje si¾e próby odtworzenia biogra�i, pogl ¾adów i dokonan naukowych

Pitagorasa, w literaturze przedmiotu mówi si¾e o tzw. kwestii pitagorejskiej. Znane

ze zróde÷bio- i doksogra�cznych informacje dzieli si¾e na tzw. prawd¾e i legend¾e

pitagorejsk ¾a. W zakres kwestii pitagorejskiej wchodz ¾a m.in. próby ustalen, czy

mo·zna Pitagorasa uznac za �lozofa, twórc¾e nurtu �lozo�cznego przyjmuj ¾acego now ¾a

koncepcj¾e zasad - ��a��[archái], zwanych pitagoreizmem, za twórc¾e matematyki

greckiej i nowej kosmologii. Które swiadectwa o jego ·zyciu i naukach mo·zna uznac

za wiarygodne? Czy postac Pitagorasa i jego nauki nale·zy odró·znic od pitagoreizmu

jako nurtu sensu stricto �lozo�cznego?

Fragmenty i swiadectwa doksogra�czne wydano w: Diels - Kranz; �I Pitagorici�,

wyd. A. Maddalena (Bari 1954); �Pitagorici. Testimonianze e frammenti�, wyd.

M. Timpanaro Cardini (Fi 1958); Por�riusz, Jamblich, Anonim, �·Zywoty Pitago-

rasa�, t÷um. J. Gajda - Krynicka (Wroc÷aw 1993).

Charakterystyka zróde÷do badan nad Pitagorasem. Przekazane przeztradycj¾e staro·zytn ¾a, zachowane obszerne zród÷a umo·zliwiaj ¾ace rekonstrukcj¾e ·zycia,

pogl ¾adów i nauk Pitagorasa mo·zemy wed÷ug kryterium chronologicznego i meryto-

rycznego podzielic na cztery grupy:

1. swiadectwa wczesne, chronologicznie bliskie Pitagorasowi, pochodz ¾ace ze wsze-

lkiego rodzaju tekstów literatury przedplatonskiej,

2. swiadectwa (biogra�czne i doksogra�czne) odnalezione u Platona, Arystote-

lesa oraz perypatetyków (Teofrast z Eresos, Eudemos z Rodos, Arystoksenos

z Tarentu, Dikajarchos z Messany, Satyros, Hermippos ze Smyrny, Kalli-

macheios, Heraklides z Pontu),

3. swiadectwa, dla których zród÷em by÷y tzw. �Wyk÷ady pitagorejskie�(�� o��a ��o�� [Pythagoriká hypomnémata]), zawieraj ¾ace syntetyczny za-

pis doktryny �chronologicznie pierwszy ich przekaz znajdujemy u Aleksandra

Polyhistora (I wiek po Chrystusie),

4. swiadectwa z pismiennictwa neopitagorejskiego (Nikomachos z Gerazy, Apolo-

niusz z Tiany, Moderatos z Gades), neoplatonskiego (Jamblich, Por�riusz,

Simplicjusz), jak te·z przekazane przez póznych bio- i doksografów (Sekstus

Empiryk, Diogenes Laertios, Stobajos).

W zród÷ach, z których czerpiemy informacje o ·zyciu i naukach Pitagorasa, wys-

t¾epuj ¾a zasadnicze rozbie·znosci, a jednoczesnie okreslona prawid÷owosc: ilosc mate-

ria÷ów zród÷owych rosnie w miar¾e up÷ywu czasu, jaki dzieli je od przedmiotu ich

zainteresowan.

Zród÷a przedplatonskie . Najwczesniejsze, nieliczne swiadectwa o Pitagorasie

przekazali: Ksenofanes z Kolofonu (Diels - Kranz 21 B 7), Heraklit z Efezu (tam·ze,

22 B 40, B 81, B 129), Empedokles z Akragantu w poemacie �lozo�cznym �Oczy-

szczenia�(K��o�{ [Katharmói]) (tam·ze, 31 B 117 n., B 129), Ion z Chios (tam·ze,

36 B 4, B 24), Herodot (�Dzieje�, II 49, 81, 123, IV 94, 96), Isokrates (�Pochwa÷a

Busirysa�, 28, Diels - Kranz, 14 A 4). Zród÷a te maj ¾a charakter krytyczny czy

wr¾ecz szyderczy wobec Pitagorasa, zw÷aszcza w kwestii jego wiary w w¾edrówk¾e

dusz, a tak·ze otaczaj ¾acej go aury swi¾etosci (Ksenofanes, Heraklit), jednoczesnie

ukazuj ¾a Pitagorasa jako m¾edrca obdarzonego ogromn ¾a wiedz ¾a, proroka nowej re-

ligii g÷osz ¾acej w¾edrówk¾e dusz, pami¾etaj ¾acego swoje poprzednie wcielenia, jak te·z

jako twórc¾e i za÷o·zyciela wspólnoty o charakterze religijnym, g÷osz ¾acej nauki ety-

czno - moralne, zwi ¾azanego z or�zmem (Empedokles, Ion, Herodot). W zród÷ach

tych nie ma wzmianek o �lozo�cznych koncepcjach Pitagorasa ani o jego badani-

ach w dziedzinie matematyki, kosmologii, akustyki. Na podstawie tych swiadectw,

chronologicznie bliskich czasom, w których mia÷·zyc i dzia÷ac Pitagoras, mo·zna

wnioskowac, i·z od VI do V wieku przed Chrystusem by÷znany na terenach greckich

o�{�o��"�� [oikoumene], jednak jego dokonan nie wi ¾azano z �lozo�¾a pitagorejsk ¾a

sensu stricto.

Swiadectwa Platona i Arystotelesa. Zwi ¾azany z �lozo�¾a pitagorejsk ¾a Platon,

utrzymuj ¾acy kontakty ze wspólnotami pitagorejskimi, zw÷aszcza ze wspólnot ¾a w

Tarencie, w swej póznej nauce o zasadach, odwo÷uj ¾acy si¾e explicite do nauk pitagorej-

skich (Fileb, Timajos, przekazy o tzw. naukach niepisanych (�a ��'� ��o ��

[ágrapha dógmata]), o samym Pitagorasie wspomina tylko raz � jako o twórcy

okreslonego modelu ·zycia (�� o�"�o& ��o�o& �o� ��{i� [Pythagóreios tropos toú

bíou]).

Wiele uwagi �lozo�i pitagorejskiej poswi¾eca÷Arystoteles (zarówno w pismach

zachowanych, jak i w nie zachowanych do naszych czasów, lecz nie wi ¾aza÷owej

�lozo�i z Pitagorasem, pisz ¾ac zawsze o �lozo�i pitagorejczyków (o�{ ��o��"�o�

�� o�"�o� [hoi kaloúmenoi Pythagóreioi]). Wzmianka w �Zach ¾ecie do �lozo�i�

pozwala przypuszczac, i·z dla Arystotelesa Pitagoras by÷pierwszym twórc ¾a i pro-

pagatorem �lozo�cznego modelu ·zycia to·zsamego z ·zyciem kontemplacyjnym (��{o&

�"!��o& [bíos theoretikós]).

Na podstawie zachowanych fragmentów pism zaginionych �Fragmenta varia�

(Aristotelis qui ferebantur librorum fragmenta, wyd. V. Rose, L 1886, St 1967,

frg. 191, 195), przytaczanych przez pózniejszych biografów, wiemy, ·ze Arystoteles

w pismie �O Pitagorejczykach�(�"��{ �!� �� o�"�{!� [Perí ton Pythagoréion])

pierwszy spisa÷przekazy legend o Pitagorasie, przekazuj ¾acych opowiesci o jego nad-

przyrodzonym pochodzeniu i cudownych dokonaniach, jak poskramianie dzikich

zwierz ¾at, umiej¾etnosc bilokacji, przepowiadanie przysz÷osci, nie traktuj ¾ac jednak

tych opowiesci powa·znie, co wp÷yn¾e÷o na konsekwentne racjonalizowanie legendy

pitagorejskiej w pózniejszych pismach perypatetyków. W przekazach Arystotelesa

wyst¾epuje wyrazna cenzura mi¾edzy �lozo�¾a a legend ¾a pitagorejsk ¾a.

Swiadectwa perypatetyckie. Przekazy o Pitagorasie dane przez uczniów Ary-

stotelesa mo·zna podzielic na dwie grupy:

1. przekazy doksogra�czne (Teofrast, �Pogl ¾ady �lozofów natury�(��!� ��o�� [Physikón dóksai]) �dzie÷o to, niezachowane do naszych czasów, zosta÷o

zrekonstruowane przez H. Dielsa w �De placitis reliquiae�(Stobaei excerpta)

(Doxographi Graeci, wyd. H. Diels), w których perypatetycy przypisywali

Pitagorasowi stworzenie podstaw �lozo�i pitagorejskiej, opartej na koncepcji

zasady niematerialnej, o charakterze strukturalno - formalnym, uto·zsamiaj ¾ac

j ¾a z liczb ¾a),

2. przekazy biogra�czne (Arystoksenos z Tarentu, �·Zywot Pitagorasa�(�� o��o� ��{o& [Pythagórou bíos]), �O Pitagorasie i jego przyjacio÷ach�(�"��{�� o�o� ��{ �!� �!��{�!� ��o� [Perí Pythagórou kai ton gnorimon autoú]),

�O ·zyciu pitagorejskim�(�"��{ �o� �� o��o� ��{o� [Perí toú Pythagorikoú

bíou]).

Zgodnie z przekazem Arystoksenosa, oddzielaj ¾acym aspekty legendy pitagorej-

skiej od �lozo�i, odmitologizowuj ¾acym postac Pitagorasa przez próby racjonalizacji

legendy, by÷on twórc ¾a �lozo�i pitagorejskiej g÷ównie w jej aspekcie etyczno - moral-

nym, wychowawczym i politycznym (por. frg. w: �Die Schule des Aristoteles�,

wyd. F. Wehrli; �Aristoxenos�, Bas 1945; Dikajarchos z Messany, �·Zywot Pitago-

rasa�(�� o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]; Satyros z Kallatydy, �·Zywot Pitagorasa�

(�� o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]; Hermippos ze Smyrny, �·Zywot Pitagorasa�

(�� o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]). Sotion z Aleksandrii w ksi ¾a·zce �Sukcesje

�lozofów�(��o��o'!� ��o��{ [Philosophon diadochái]) uwa·zaj ¾ac Pitagorasa za

twórc¾e tzw. italskiej szko÷y �lozo�cznej, jako pierwszy w dziejach bio- i dokso-

gra�i pitagorejskiej przypisa÷Pitagorasowi autorstwo szesciu pism: �Swi ¾ety poe-

mat�(I"��o& ��o o& [Hierós logos]), �O wszechswiecie�(�"��{ ��o��o� [Perí kósmou]),

�O duszy� (�"��{ ��& [Perí psychés]), �O pobo·znosci� (�"��{ "��"�"�{�& [Perí

eusebéias]); �H�o��&� [Helothalés], �K��o�!�� [Kroton] (fragmenty w: �Frag-

menta historicorum Graecorum�, wyd. K. Müller, str. 167�171). W powy·zszych

swiadectwach perypatetyckich z kr¾egu nurtu biogra�cznego postrzegamy w÷asciwe

szkole Arystotelesa d ¾a·zenie do odmitologizowania legendy pitagorejskiej, jak te·z

przypisywanie Pitagorasowi stworzenia podstaw �lozo�i pitagorejskiej, zw÷aszcza w

jej aspekcie etyczno - moralnym i politycznym.

Heraklides z Pontu, uwa·zany przez tradycj¾e za perypatetyka (�Die Schule des

Aristoteles�, �Herakleides Pontikos�), przekaza÷odmienny od innych perypate-

tyków obraz Pitagorasa i pitagoreizmu, koncentruj ¾ac si¾e na aspektach legendarnych:

w pismach: �O pozornej smierci albo o przyczynach chorób� (�"��{ ��& �a��o� �

��{��{�� "��{ ��o�!� [Perí tes ápnou e aitíai perí noson]) oraz �O pitagorejczykach�

(�"��{ �!� �� o�"�{!� [Perí ton Pythagoréion]). Przyznawa÷Pitagorasowi pocho-

dzenie boskie, nadludzkie moce i uzdolnienia, jak te·z stworzenie koncepcji �lozo�i

jako drogi wiod ¾acej do kontemplacji Boga (fragmenty w: �Herakleides Pontikos�,

Bas 1953, str. 13�54).

Swiadectwa Aleksandra Polyhistora. Wpismach: �Sukcesje �lozofów�(��o��o�'!� ��o��{ [Philosophon diadochái]) oraz �O symbolach pitagorejskich� (�"��{

�!� �� o��!� ��o !� [Perí ton Pythagorikón symbolon]), Aleksander Poly-

histor powo÷ywa÷si¾e na �Wyk÷ady pitagorejskie�(�� o��a ��o��), przed-

stawiaj ¾ace w syntetycznej formie najwa·zniejsze ustalenia �lozo�i pitagorejskiej,

które mia÷y przedstawiac pogl ¾ady samego Pitagorasa (fragmenty w �Fragmenta his-

toricorum Graecorum�). Zgodnie z przekazem cytowanym przez Diogenesa Laer-

tiosa, Pitagoras mia÷byc twórc ¾a �lozo�cznej koncepcji, przyjmuj ¾acej bytowanie

dwóch zasad - �a��i w postaci nieograniczonej monady (�o��a& [monás]) i ograni-

czonej diady (��a& [dyás]), mia÷te·z byc nauczycielem innych �lozofów pitagorej-

skich.

Swiadectwa neopitagorejskie. Przekazy te maj ¾a specy�czny charakter ze wzgl¾edu

na za÷o·zenia nowego, powsta÷ego pod koniec I wieku przed Chrystusemw srodowisku

aleksandryjskim nurtu �lozo�cznego �neopitagoreizmu, którego twórcy uwa·zali si¾e

za nast¾epców i kontynuatorów nauk Pitagorasa, uwa·zanego za mistrza i proroka,

nazywali si¾e sami �pitagorejczykami�, odwo÷ywali si¾e do starych nauk pitagorej-

skich, traktowanych jak dogmaty, szukaj ¾ac w nich uzasadnienia w÷asnych koncepcji

Boga, duszy i wiedzy objawionej. W swych pismach wi¾ekszosc neopitagorejczyków

w÷asne koncepcje przypisywa÷a Pitagorasowi i tzw. �starym pitagorejczykom�.

Od konca I wieku przed Chrystusem powstawa÷o wiele pism neopitagorejskich,

przedstawiaj ¾acych ·zywoty Pitagorasa i kompendia �lozo�i pitagorejskiej: nie za-

chowane do naszych czasów pismo Apoloniusza z Tiany pt. �·Zywot Pitagorasa�

(�� o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]), stanowi ¾ace dla neopitagorejczyków i neopla-

toników kanoniczny wzorzec biogra�i Pitagorasa, zachowane we fragmentach pismo

Moderatosa z Gades �Szko÷y pitagorejskie� (�� o��{ ��o ��{ [Pythagorik-

ái scholái]), w którym autor utrzymywa÷, i·z Pitagoras i �starzy pitagorejczycy�

pos÷ugiwali si¾e liczbami pojmowanymi jako znaki dla wyra·zenia prawd �lozo�cznych

(podobnie jak gramatycy zapisuj ¾a dzwi¾eki za pomoc ¾a liter, a geometrzy pos÷uguj ¾a

si¾e �gurami dla objasnienia poj¾ec abstrakcyjnych). Nauka o liczbach jest zatem

symboliczn ¾a pitagorejsk ¾a meta�zyk ¾a, wybrali bowiem liczby jako znaki dla wyra·ze-

nia poj¾ec takich jak jedno, równosc, przyczyna, harmonia, byt, regu÷a (liczba 1);

nierównosc, podzia÷, zmiana (liczba 2); doskona÷osc, prawid÷owa struktura (liczba

Wed÷ug Moderatosa, pózniejsi �lozofowie �Platon, Arystoteles, Speuzyp z Aten,

Ksenokrates z Chalcedonu �najwa·zniejsze dokonania �lozo�czne Pitagorasa i pita-

gorejczyków uznali za swoje (fragmenty w �Fragmenta philosophorum Graecorum�,

II, wyd. F.W. A. Mullach; Nikomachosa z Gerazy �Wst ¾ep do arytmetyki�(A�� "�{�� ! � [Arithmetiké eisagogé]) i �Teologia arytmetyczna� (A��a

�"o�o o��"�� [Arithmetiká theologoúmena])). Autor uwa·za÷Pitagorasa za twórc¾e

nauk matematycznych oraz zmatematyzowanej teologii. Wed÷ug Nikomachosa, po

upadku Starego Zwi ¾azku Pitagorejskiego w wyniku spisku Kylona zagin¾e÷a �lo-

zo�a pitagorejska, przechowywana odt ¾ad w przekazach ustnych przez ocala÷ych

pitagorejczyków. Dopiero w jego czasach tajemne nauki zosta÷y spisane; tym nale·zy

t÷umaczyc fakt, i·z jego teksty ujawniaj ¾a nauki pitagorejskie nieznane wczesniej

(�Nicomachi Geraseni Pythagorei Introductionis arithmeticae libri II�, wyd. R.

Hoche, 1866). Swiadectwa neopitagorejskie dopisuj ¾a nowe rozdzia÷y do legendy

pitagorejskiej, ich autorzy swiadomie wyrzekaj ¾a si¾e swoich najistotniejszych kon-

cepcji, przypisuj ¾ac ich autorstwo Pitagorasowi i �starym pitagorejczykom�, mimo

·ze neopitagorejczycy z �lozo�i pitagorejskiej nie przej¾eli niczego poza spekulacjami

matematycznymi i kontemplacyjnym modelem ·zycia, zawdzi¾eczaj ¾ac wi¾ecej �lozo�i

Platona i Arystotelesa.

Swiadectwa neoplatonskie. Pisma neoplatoników: Por�riusza, ucznia i biografa

Plotyna i jego ucznia Jamblicha stanowi ¾a bogate zród÷o dla odtworzenia legendy

pitagorejskiej oraz tych wczesniejszych przekazów, które nie zachowa÷y si¾e do naszych

czasów, zw÷. pism perypatetyckich. Neoplatonicy wykorzystali w swoich pismach

poswi¾econych Pitagorasowi i pitagorejczykom wszystkie dost¾epne im zród÷a, skrupu-

latnie je cytuj ¾ac, lecz opierali si¾e g÷ównie na zród÷ach neopitagorejskich, co z konie-

cznosci determinuje przewag¾e aspektów legendarnych w obrazie Pitagorasa i jego

nauk w pismach Por�riusza: �·Zywot Pitagorasa� (�� o�o� ��{o& [Pythagórou

bíos] oraz Jamblicha �Zbiór dogmatów pitagorejskich�(�� ! � �!� �� o�"�{�!� �o ��a�!� [Synagogé ton Pythagoréion dogmaton]), którego pierwsz ¾a cz¾esc stano-

wi �·Zywot Pitagorasa�(�� o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]. Dzi¾eki ich przekazom

mo·zemy odtworzyc tresc wielu zaginionych pism perypatetyckich.

Swiadectwa Diogenesa Laertiosa i Sekstusa Empiryka. Dzie÷o Diogenesa Laer-

tiosa (pierwsza po÷owa III wieku po Chrystusie.) �·Zywoty i pogl ¾ady s÷ynnych �lo-

zofów�(�"��{ ��{!�; �o ��a�!� ��{ �a�o'�" ��a�!� �!� "� '��o�o'�{� "��o��a��!� ��{� �"�� [Perí bíon, dogmaton kai apophthegmaton ton en philosophía

eudokimesanton biblía deka]) ma charakter biogra�czno - doksogra�czny, nale·zy

do stworzonego przez tradycj¾e perypatetyck ¾a (Sotion z Aleksandrii) gatunku liter-

atury historyczno - �lozo�cznej, porz ¾adkuj ¾acej �lozofów wg szkó÷. Pitagorasowi i

pitagorej-czykom poswi¾econa jest ksi¾ega VIII, wraz z ksi¾eg ¾a IX obejmuj ¾ac ¾a �lozo�¾e

italsk ¾a. Autorowi tej pracy nie da si¾e przypisac okreslonej orientacji �lozo�cznej ani

przynale·znosci do ·zadnej szko÷y, jego przekaz jest oparty na ogromnej liczbie (ponad

200 tekstów) materia÷ów zród÷owych (w ksi¾edze VIII i IX wymienia 28 autorów

wzmianek czy pism o Pitagorasie i pitagorejczykach, niejednokrotnie sprzecznych

ze sob ¾a, nie próbuj ¾ac rozstrzygac, które zród÷a s ¾a bardziej wiarygodne). Diogenes

Laertios nale·zy do tych doksografów, którzy przyjmowali istnienie przypisywanych

Pitagorasowi pism. Sekstus Empiryk (II wiek po Chrystusie) poswi¾eci÷Pitagora-

sowi i pitagorejczykom ksi¾eg¾e X traktatu �Przeciwko matematykom� (��o& �o�&

��& [Pros toús mathematikoús]), lecz rzadko wymienia imi¾e Pitagorasa w

obszernym omówieniu nauk pitagorejskich.

Z tradycji perypatetyckiej wywodzi si¾e streszczone przez Focjusza pismo �·Zy-

wot Pitagorasa�(�� o�o� ��{o& [Pythagórou bíos]. Wiele informacji o Pitago-

rasie, zwi ¾azanych zarówno z legend ¾a, jak i z �lozo�¾a pitagorejsk ¾a, odnajdujemy u

póznego (pierwsza po÷owa V wieku po Chrystusie) kompilatora �Joannesa Stoba-

josa, który w dziele �Wypisy, wypowiedzi i nauki w czterech ksi ¾egach�(E��o !�

�a�o'�" ��a�!�; ��o��!� ��{� � "�� [Eklogón, apophthegmaton, hypothek-

ón biblía téttara]), zawieraj ¾acym ogromny wybór tekstów z ponad 500 autorów

greckich, uporz ¾adkowanych wed÷ug problemów �lozo�cznych (�zyka, teoria pozna-

nia, etyka, polityka), przytacza wiele tekstów pitagorejskich, zarówno fragmentów

pism autentycznych, jak i apokryfów.·Zycie i dzie÷o. Italski Zwi ¾azek Pitagorejski. Do grona nauczycieli Pitago-

rasa, pózna tradycja (Diogenes Laertios, Por�riusz, Jamblich) zalicza Ferekydesa z

Syros (teologa or�ckiego, pierwszego greckiego prozaika), Anaksymandra, a nawet

Talesa. Ta sama tradycja opowiada o licznych podró·zach Pitagorasa (Egipt, Per-

sja, Syria, Babilon, Judea) i jego kontaktach z Zoroastrem, kap÷anami egipskimi,

magami perskimi, indyjskimi gymnoso�stami, m¾edrcami arabskimi i ·zydowskimi,

u których pobiera÷nauki (we wczesniejszej tradycji tylko u Herodota znajdujemy

potwierdzenie egipskiej podro·zy Pitagorasa). Za potwierdzony nale·zy uznac fakt, i·z

Pitagoras oko÷o 532, nie akceptuj ¾ac rz ¾adów tyrana Polikratesa, opusci÷Samos, gdzie

wczesniej naucza÷. Ze swiadectw bio- i doksogra�cznych wynika, i·z przedmiotem

nauczania Pitagorasa na Samos by÷a problematyka etyczno - moralna i polityczna.

Po opuszczeniu wyspy osiedli÷si¾e w po÷udniowoitalskim Krotonie, gdzie jego dzia-

÷alnosc przybra÷a form¾e zinstytucjonalizowan ¾a �za÷o·zy÷tam wspólnot¾e, która mia-

÷a charakter stowarzyszenia religijno - kultowego ('�{��o& [thíasos]) o rodowodzie

or�ckim, zwi ¾azku politycznego ("��{� [hetairía]) oraz naukowo - badawczego

(��o�� [scholé]) � wspólnot¾e t¾e okreslono mianem �Starego Zwi ¾azku Pitagorej-

skiego�.

Pózna tradycja (Diogenes Laertios, Por�riusz, Jamblich) mówi o regu÷ach i

wewn¾etrznych prawach wspólnoty, do której adepci byli przyjmowani po wielu

próbach sprawdzaj ¾acych ich predyspozycje etyczno - moralne i intelektualne, jak

te·z po kilkuletnim okresie milczenia ("�"��{� [echemythía]). Ta sama tradycja

(przeka-zy neopitagorejskie) mówi o nakazie zachowywania w tajemnicy nauk i do-

gmatów. Starzy pitagorejczycy ·zyli we wspólnocie dóbr materialnych, nie spo·zywali

mi¾esa i nie nosili szat z we÷ny ani ze skór zwierz¾ecych.

Na podstawie swiadectw o ·zyciu we wspólnocie pitagorejskiej nale·zy przyj ¾ac,

i·z musia÷a byc ona stowarzyszeniem kultowo - religijnym, a scislej �bractwem or-

�ckim, a dzia÷alnosc dydaktyczna i reformatorska Pitagorasa pozostawa÷a w scis÷ym

zwi ¾azku z or�zmem �nurtem religijnym rozpowszechnionym na terenach greckich

o�{�o��"�� od konca VII wieku przed Chrystusem, kiedy to daje si¾e postrzegac

(poswiadczany przez swiadectwa literackie, m.in. Hezjod, Teognis z Megary, Mim-

nermos z Kolofonu) kryzys moralnosci, zarówno w ·zyciu indywidualnym, jak i

spo÷eczno - politycznym i wynikaj ¾ace z niego postulaty poprawy obyczajów, przestrze-

gania ÷adu w ·zyciu jednostek i ��o�"�& [póleis]. Or�zm stawia÷wyznawcom okreslone

wymagania: koniecznosc przestrzegania nakazów czystosci, unikania grzechu (�a��{� [hamartía]), wewn¾etrznego doskonalenia si¾e, moralnego porz ¾adku, obiecuj ¾ac w

zamian posmiertn ¾a szcz¾esliwosc.

Stary Zwi ¾azek Pitagorejski w jego religijnej funkcji mia÷na celu ukazanie nowej

drogi ·zycia (��{o� �o��o& [bíou hodós]), wiod ¾acej �dzi¾eki przestrzeganiu nakazów i

zakazów religijnych, naukom moralnym �do ·zycia czystego, poznania Boga, moral-

nego porz ¾adku, który nale·za÷o wprowadzic w polityk¾e po÷udniowoitalskich ��o�"�&

[póleis].

Badania naukowe starych pitagorejczyków koncentrowa÷y si¾e wokó÷natury rzeczy-

wistosci ��zyki, matematyki, która im w÷asnie, jak poswiadczaj ¾a Arystoteles, Arys-

toksenos, Eudemos (fragmenty w �Die Schule des Aristoteles�; �Eudemos von Rho-

dos�), zawdzi¾ecza pierwsze opracowania sensu stricto naukowe, muzyki i medy-

cyny. W badaniach naukowych cz÷onkowie wspólnoty dzielili si¾e na matematyków

(��o�{mathematikói, od ��a�"�� manthánein �uczyc si¾e), czyli badaczy,

oraz akusmatyków (�a�o��o�{ akousmatikói, od �a�o�"�� akoúein � s÷uchac),

czyli tych, którzy przechowywali w pami¾eci jedynie dogmaty etyczno - moralne

Pitagorasa, nie wnikaj ¾ac w ich istot¾e i nie szukaj ¾ac uzasadnien.

W Starym Zwi ¾azku Pitagorejskim zajmowano si¾e polityk ¾a w aspekcie teorety-

cznym (badania nad modelami najlepszego ustroju) oraz praktycznym: wychowywa-

nie przysz÷ych w÷adców, prawodawców, polityków (�Diodori Bibliotheca historica�,

wyd. F. Vogel, K. Th. Fischer). Arystoksenos, Dikajarchos, Por�riusz, Jamblich

poswiadczaj ¾a czynne zaanga·zowanie cz÷onków Starego Zwi ¾azku Pitagorejskiego w

dzia÷alnosc polityczn ¾a i ich uwik÷ania w walki partii politycznych. Tradycja przypi-

suje wszystkim pierwszym greckim prawodawcom i reformatorom politycznym, jak

Zaleukos czy Charondas, pobieranie nauk w Starym Zwi ¾azku Pitagorejskim. Polity-

czny aspekt dzia÷alnosci Pitagorasa i �starych pitagorejczyków�, zmierzaj ¾acych do

naprawy ustrojów politycznych miast greckich przyczyni÷si¾e do powstania antyp-

itagorejskiej opozycji w Krotonie, w efekcie czego dosz÷o do upadku Starego Zwi ¾azku

Pitagorejskiego, do wymordowania jego cz÷onków i do smierci samego Pitagorasa.

Wobec sprzecznych swiadectw trudno ustalic daty tych wydarzen �za najbardziej

wiarygodne mo·zna uznac, i·z Pitagoras po atakach na pitagorejczyków opusci÷Kro-

ton i zmar÷w Metaponcie (tradycja perypatetycka g÷osi, ·ze si¾e zag÷odzi÷).

Nauka Pitagorasa. Na podstawie analizy porównawczej swiadectw, zw÷aszczaswiadectw wczesnych, jak te·z Platona i Arystotelesa, a tak·ze wobec poswiadczonego

przez wi¾ekszosc przekazów faktu, i·z Pitagoras nie pozostawi÷dzie÷pisanych, przyj ¾ac

nale·zy, ·ze jego nauki koncentrowa÷y si¾e wokó÷:

1. koncepcji swiata pojmowanego jako ��o��o& [kosmos], czyli struktura w naj-

wy·zszym stopniu uporz ¾adkowana wed÷ug praw obiektywizuj ¾acych si¾e w mate-

matyce, zw÷aszcza w nauce o proporcjach (�Doxographi Graeci�, str. 127�

128), w którym panuje tzw. harmonia sfer (Arystoteles, �O niebie�). Nauka

o harmonii sfer bra÷a pocz ¾atek z obserwacji zwi ¾azków ruchu z dzwi¾ekami,

g÷osz ¾ac, ·ze wszystkie poruszaj ¾ace si¾e cia÷a wydaj ¾a dzwi¾eki, a ich wysokosc za-

le·zy od szybkosci poruszania si¾e; cia÷a niebieskie �S÷once, Ksi¾e·zyc i gwiazdy

porusza÷y si¾e z pr¾edkosci ¾a proporcjonaln ¾a do ich odleg÷osci od srodka swiata,

tworz ¾ac harmonijn ¾a muzyk¾e sfer, nies÷yszaln ¾a dla ludzi. Zgodnie z pózn ¾a

tradycj ¾a mia÷j ¾a s÷yszec jedynie Pitagoras. Strukturalny ÷ad swiata symboli-

zowac mia÷a �odkryta�przez Pitagorasa swi¾eta liczba 10, zwana arcyczwórk ¾a

(�"��& [tetraktýs]), wyra·zaj ¾aca w symbolicznym skrócie relacje mi¾edzy

punktem (1), lini ¾a (2), �gur ¾a (3) i bry÷¾a (4),

2. koncepcji niesmiertelnej duszy (poswiadczaj ¾a to wczesne zród÷a: Ksenofanes,

Empedokles, Heraklides z Pontu), uwik÷anej w ko÷o ·zywotów (metempsychoza,

greckie �"�"� ��!��& [metempsýchosis], palingeneza, greckie �� "�"��{�

[palingenesía]). Koncepcja ta ma or�cki rodowód, zgodnie z którym dusza

po smierci przechodzi w inne cia÷a, nie tylko cz÷owiecze, pokutuj ¾ac w nich

za pope÷nione winy. Ludzie nie pami¾etaj ¾a swoich wczesniejszych wcielen

(wyj ¾atkiem, zgodnie z wczesnymi przekazami, m.in. Empedoklesa, by÷Pitago-

ras, który mia÷pami¾etac wszystkie swoje wczesniejsze wcielenia, jak na przy-

k÷ad to, i·z by÷bohaterem trojanskim Euforbonem (�Eudemos von Rhodos�),

Dikajarchos, Por�riusz, Jamblich),

3. koncepcji �lozo�cznego modelu ·zycia (��{o& �"!��o& [bíos theoretikós]),

zgodnie z którym do prawdziwego szcz¾escia prowadzi jedynie poznanie (Arys-

toteles, Zach¾eta do �lozo�i),

4. pierwszych w dziejach �lozo�i koncepcji etyki normatywnej, której normy

wynikaj ¾a ze struktury kosmosu, a sprowadzaj ¾a si¾e do obiektywizowanych w

postaci zwi¾ez÷ych maksym ( �!�� [gnómai]) nakazów zachowania miary.

Przypisywane Pitagorasowi przez pózn ¾a tradycj¾e neopitagorejsk ¾a i platonsk ¾a od-

krycia w dziedzinie kosmologii, matematyki i muzyki by÷y dokonaniami pózniejszych

�lozofów pitagorejskich, zw÷aszcza Filolaosa z Krotonu i Archytasa z Tarentu.

Bibliogra�a

[1] A. Bogomolny, Pythagorean Theorem,

http://www.cut the-knot.org/pythagoras/index.shtml

[2] M. E. Barnes, The Pythagorean Proposition, 2004.

[3] K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, BM, Warszawa 1975.

[4] M. R. Bridson, A. Hae�iger, Metric Spaces of Non - Positive Curvature,

Springer 1842.

[5] J. Czech, Euklidesa Pocz ¾atków Geometryi, Wilno 1817.

[6] R. Doman, Wyk÷ady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM,

Poznan 2001.

[7] J. C. Eaves, Pythagoras, his theorem and some gadgets.

[8] A. Garza, President Gar�eld and his Pythagorean Theorem Proof.

[9] M. Grabowski, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowo - Techniczne,

Warszawa 1997.

[10] S. Jelenski, Sladami Pitagorasa, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,

Warszawa 1995.

[11] S. G. Krantz, The Proof is in the Pudding, A Look at the Changing Nature of

Mathematical Proof, 2007.

[12] S. Kulczycki, Z dziejów matematyki greckiej, Warszawa 1973.

[13] Por�riusz, ·Zywoty Pitagorasa, t÷um. J. Gajda-Krynicka, Wroc÷aw 1993.

[14] E. F. Robertson, Pythagoras of Samos, 1999

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pythagoras.html

[15] N. Stiepanow, Trygonometria sferyczna, prze÷o·zy÷A. Gru·zewski, Panstwowe

Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1960.

Spis tre·sci - Instytut Matematyki Politechniki...

Documents

THE WORKS OF CHARLES EHRESMANN ON CONNECTIONS: FROM CARTAN …im0.p.lodz.pl/~kubarski/BCP76/MARLE.pdf · Cartan’s ideas were fully formalized by Charles Ehresmann in the framework

The signature of Lipschitz manifolds from more general point of …im0.p.lodz.pl/~kubarski/forum/73Bedlewo.pdf · 2009-03-06 · The signature of Lipschitz manifolds from more general

VECTOR BUNDLES AND THEIR APPLICATIONSim0.p.lodz.pl/~kubarski/AnalizaIV/Wyklady/Luke G...viii Vector bundles and their applications Theorems were not always formulated in maximal generality

8th Conference GEOMETRY AND TOPOLOGY OF MANIFOLDSim0.p.lodz.pl/~kubarski/zdjecia/08_Przemysl-Lviv2007/conf2007ver2.pdf · 8th Conference GEOMETRY AND TOPOLOGY OF MANIFOLDS Lie Algebroids,

NAJLEPSZE CENY W WARSZAWIE - ikreatywnie.plikreatywnie.pl/wp-content/uploads/2016/11/wycieczki_jednodniowe.pdf · PIERNIK I KOPERNIK To propozycja dla wszystkich, których fascynuje

Pojęcia- wybiórczo na egzamin · 1.Podsumowanie 2.Bibliografia ... WSTĘP Nad wyborem tematu mojej pracy zaliczeniowej praktycznie nie musiałam się zastanawiać. Od dawna fascynuje

Śmierć - PSYCHOMOTYWACJA · 2018. 3. 22. · „Śmierć to temat, który niemal wszystkich fascynuje, ale znacznie bardziej przeraża. Boimy się i dlatego niezbyt często zajmujemy

Polonii brazylijskiej obraz własny › arquivos › zapiski.pdf · Brazylia jako kraj fascynuje jednak nie tylko swoją wielkością, pędem rozwoju gospodarczego w ostatniej dekadzie,

Nr 19- glos afryki-19misjonarzeafryki.org/glos_afryki/glos_afryki19.pdf · jednej tylko sprawy ... nie-zawodnej opiece Maryi, Matki Kościoła. ... Afryka fascynuje, przyciąga, budzi

Travaux mathématiques - Urząd Miasta Łodziim0.p.lodz.pl/~kubarski/forum/Travaux-Mathematiques/171411-UNICL... · Travaux mathématiques Presentation ... Academy of Sciences of

Geometria rózniczkowa• - Urząd Miasta Łodziim0.p.lodz.pl/~kubarski/GeometriaRozniczkowa/Wyklady/... · 2012-06-03 · Geometria rózniczkowa• Jan Kubarski Instytut Matematyki

BANACHCENTERPUBLICATIONS,VOLUME76 …im0.p.lodz.pl/~kubarski/BCP76/ZHUKOVA.pdf · N.I.ZHUKOVA Therefore w e de ne the ∗Q-holonom y group ∗HQ(L,a) of an arbitrary leaf L (M,F)

IN EHRESMANN’S FOOTSTEPS: FROM GROUP GEOMETRIES …im0.p.lodz.pl › ~kubarski › BCP76 › PRADINES.pdfIN EHRESMANN’S FOOTSTEPS: FROM GROUP GEOMETRIES TO GROUPOID GEOMETRIES

Starozytny rzym

SINGULAR POISSON–KAHLER GEOMETRY¨ OF CERTAIN ADJOINT …im0.p.lodz.pl/~kubarski/BCP76/HUEBSCHMANN.pdf · K = SU(2) in terms of the reduced phase space of a spherical pendulum constrained

PDF compression, OCR, web optimization using a …im0.p.lodz.pl/~kubarski/AnalizaIV/Wyklady/spivak/Spivak - A... · PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation

An Introduction to Manifolds (Second edition)kubarski/AnalizaIV/Wyklady/L-Tu-1441973990.pdf · An Introduction to Manifolds ... It has been more than two decades since Raoul Bott

im0.p.lodz.plim0.p.lodz.pl/~kubarski/BCP76/IGLESIAS-ZEMMOUR.pdf · GEOMETRYANDTOPOLOGYOFMANIFOLDS BANACHCENTERPUBLICATIONS,VOLUME76 INSTITUTEOFMATHEMATICS POLISHACADEMYOFSCIENCES

Małe planety. Nowe odkrycie astrologii - studioastro.pl · planetoid czy asteroid fascynuje astrologów od blisko 40 lat. Dlaczego ... Pluton został zbyt pośpiesznie włączony

Lectures on the Geometry of Manifoldsim0.p.lodz.pl/~kubarski/AnalizaIV/Wyklady/LecturesLiviu.pdf · 2009-08-03 · As a bonus, by the end of these lectures the reader will feel comfortable