View
6
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Stabilità dell’equilibrio elastico:
formulazione generale
•Travi soggette a carico di punta
•Instabilità flesso-torsionale
•Effetto delle tensioni normali secondarie
•Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov•Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov
•Instabilità per avvitamento (solo torsionale)
•Instabilità di lastre piane
•Altri casi di interesse tecnico
Classificazione dei fenomeni instabilità
-Compressione (carico di punta)
-Flessione (svergolamento, Instabilità
Improvvisa
Per regime di sollecitazione
-Flessione (svergolamento,
instabilità laterale)
-Pressoflessione Instab.
progressiva
Classificazione dei fenomeni instabilità
In base alla geometria del fenomeno
-Locale ((H,B)<λλλλ<L)
-Distorsionale
-Globale
-globale-locale accoppiato-globale-locale accoppiato
Stabilità dell’equilibrio elastico: caso della trave
inflessa sotto carico di punta Le equazioni di equilibrio sono scritte nella configurazione
deformata con riferimento alla configurazione iniziale B0
z
Sviluppando in serie di Taylor al II ordine l’Energia di
deformazione si ottiene
caso della trave inflessa sotto carico di punta
dzzvPdzzvEJv ∫∫ ′′′′−−−−′′′′′′′′====ll
22 )(21
)(21
)(Ω
e, ponendo N0=-P, si ottiene
dzzvPdzzvEJv ∫∫ ′′′′−−−−′′′′′′′′====00
)(2
)(2
)(Ω
dzzvNdzzvEJv ∫∫ ′′′′++++′′′′′′′′====ll
0
2
00
2 )(21
)(21
)(Ω
caso della trave inflessa sotto carico di punta
Quindi nel caso delle travi inflesse per discutere la stabilità
dell’equilibrio ci si riferisce alla seguente espressione della
energia di deformazione totale
dzzvzNdzzvEJ
Lvv eII
∫∫ ′′′′++++′′′′′′′′
====−−−−====ll
202 )()(21
)(21
)()( ΦΩ
dzzvzNdzzvEJ ∫∫ ′′′′++++′′′′′′′′00
)()(2
)(2
dzzvzNL
dzzvEJv
II
e ∫
∫
′′′′−−−−====
′′′′′′′′====
l
l
0
20
0
2
)()(21
)(21
)(Φ
lavoro II ordine compiuto dalle
tensioni nella configurazione iniziale
per le deformazioni che descrivono il
passaggio dalla configurazione iniziale
alla variata
potenziale elastico scritto nella
configurazione iniziale
caso della trave inflessa sotto carico di punta
Quindi nel caso delle travi inflesse per discutere la stabilità
dell’equilibrio ci si riferisce alla seguente espressione della EPT
nel caso in cui i carichi distribuiti lungo z in direzione z siano 0
dzzvzNdzzvEJv ∫∫ ′′′′++++′′′′′′′′====ll
0
20
0
2 )()(21
)(21
)(Π
La stazionarietà dell’EPT porta a scrivere l’equazione di equilibrioLa stazionarietà dell’EPT porta a scrivere l’equazione di equilibrio
+ opportune condizioni al contorno
NB: Quella sopra è la EPT oltre che l’energia di deformazione totale
poiché, data la trascurabilità della deformazione assiale, si è posto
il lavoro del carico di punta P u(l)=0
0))()(())(( 0 ====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′ zvzNzvEJ
caso della trave compressa soggetta a N0=-P costante
0)()(0)())(( 2 ====′′′′′′′′++++⇒====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′ zvzvzvPzvEJ iv α
EJP====2α
02
2
l
EJPE π====
ℓo lunghezza libera di ℓo lunghezza libera di
inflessione
Se la deformabilità assiale viene considerata, ci si riferisce alla
seguente espressione della EPT
)()()()(1
)()(21
)(21
)(
2
0
20
0
2
l
l
ll
uQdzzuzqzuEA
dzzvzNdzzvEJv
−−−−−−−−′′′′++++
++++′′′′++++′′′′′′′′====
∫
∫∫Π
Caso della trave caricata di punta deformabile
sia a flessione che assialmente
)()()()(21
0
2l
luQdzzuzqzuEA zz −−−−−−−−′′′′++++ ∫
Dove qz rappresenta un carico assiale e Qzℓ il valore del carico
assiale in ℓ
qz
z,u
Qzℓ
Trave caricata assialmente su suolo elastico
deformabile a flessione
k
q
0)()()()(
0))()()())((21
)( 2
0
2
====−−−−++++′′′′′′′′++++⇒
====−−−−++++′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′==== ∫
zqzkvzvPzEJv
dzzqvzkvzvPzvEJv
iv
L
Π
k: costante di Winkler
Instabilità globale
Fenomeni di instabilità globale
comprendono casi in cui la sezione trasla
o ruota senza deformarsi
avvitamento
Instabilità locale
Fenomeni di instabilità locale per
elementi uniformemente compressi
Instabilità distorsionale
Fenomeni di instabilità distorsionale:
cambio di forma della sezione trasversale
Instabilità globale
Fenomeno di instabilità globale: caso della torsione
non uniforme instabilità flesso-torsionale
Instabilità flesso-torsionaleEsempi di prove a flessione su travi vincolate
torsionalmente
vvv
Examples of Buckling.
This cantileverbeam has nolateral support. Itwas excessivelyloaded and
experienced lateralexperienced lateraltorsional buckling.Part of the failuremechanismincluded localbuckling of thecompression flange
The following photo shows local bucklingof the compression flange
Examples of Buckling
Lateral buckling of a cantilever
Examples of Buckling.
This set of models demonstrates the behaviour
of lateral buckling of a narrow rectangular
beam with different sizes of section
Examples of Buckling.
Lateral buckling of a cantilever
Examples of Buckling.
La trave da ponte collassa in fase dicostruzione a causa della mancanza dellasoletta di cls di copertura che le conferiscerigidità torsionale in fase di esercizio
Examples of Buckling.
Lateral buckling of a cantilever
Examples of Buckling.
Lateral buckling of a cantilever
Additional supports provided to prevent lateral
torsional buckling through reducing the beam length
Examples of Buckling.Prevention of lateral buckling of beams
Examples of Buckling.Prevention of lateral buckling of beams
Lateral buckling of a cantilever
Examples of Buckling.Prevention of lateral buckling of beams
Lateral buckling of a cantilever
Examples of Buckling.Prevention of lateral buckling of beams
Initial post-buckling deflection pattern ofcylindrical shell
Examples of Buckling.
Lateral buckling of a cantilever
Additional supports provided to prevent lateral
torsional buckling through reducing the beam length
Prevention of lateral Buckling.
Instabilità flesso-torsionale di travi di sezione
aperta in parete sottile
1) Ricaviamo la Energia Potenziale Totale per il caso
generale
2) Le equazioni di stazionarietà sono equazioni differenziali
che rappresentano le equazioni del problema della
stabilità della travestabilità della trave
3) A seconda della geometria della sezione trasversale
(simmetria, posizione del centro di taglio) si avranno o
meno dei problemi semplificati e sarà eventualmente
possibile disaccoppiare le equazioni differenziali
ottenute dalla stazionarietà
Instabilità flesso-torsionale di travi di sezione
aperta in parete sottile
Precedentemente abbiamo visto come l’instabilità di un’asta
compressa si verifichi per pura inflessione in un piano
x, Uy,V
z, W
Tuttavia, se la sezione ha modeste rigidezza torsionale, il
mood nei cui confronti la trave perde più rapidamente di
rigidezza può configurare una deformazione flesso-
torsionale
Di fatto, solo travi di sezione aperta e parete sottile
rientrano in quest’ultimo caso
Instabilità flesso-torsionale di travi di sezione
aperta in parete sottile
Per determinare la EPT della trave soggetta a fenomeni
di instabilità flesso-torsionale occorre:
x, Uy,V
z, W
1) considerare la trave nella configurazione variata
2) utilizzare il tensore di deformazione di
Green-Lagrange
ottenuto a partire dal gradiente di deformazione F
IFFE T −−−−====21
Cinematica della trave
Instabilità flesso-torsionale: cinematica
))()(()(),( ysyzzuzsU c
ϑϑ
−−−−−−−−====−−−−−−−−====
x, Uy,V
z, W
Dove
u,v,w : spostamenti del centro di taglio Cθθθθ: rotazione attorno a Cψ: funzione di ingobbamentox,y assi centrali di inerzia (baricentrici e principali)
)()()(')()(')()(),(
))()(()(),(
zszusxzvsyzwzsW
xsxzzvzsV c
ϑψϑ
′′′′++++−−−−−−−−====−−−−−−−−====
Calcoliamo le componenti del tensore di
deformazione di Green-Lagrange E
Instabilità flesso-torsionale
Nel problema di de Saint
Venant le deformazioni
0============ xyyyxx EEE
∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂ WVUW 1222
x, Uy,V
z, W
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
zW
yW
zV
yV
zU
yU
zV
yW
E
zW
xW
zV
xV
zU
xU
zU
xW
E
zW
zV
zU
zW
E
yz
xz
zz
2
2
21
222
Ulteriori ipotesi sul tensore delle deformazioni
L.Corradi III p 232
Instabilità flesso-torsionale
0≅≅≅≅∂∂∂∂∂∂∂∂========
∂∂∂∂∂∂∂∂====
yV
xU
yx εεIndeformabilità
della sezione trasversale
Trascurabilità deformazioni
da taglio da effetti del I
ordine
∂∂∂∂∂∂∂∂ yx
0,2
≅≅≅≅∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂<<<<<<<<
∂∂∂∂∂∂∂∂
zW
yW
zW
xW
zW
zW
(((( )))) (((( )))) 0,0 11 ≅≅≅≅∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====≅≅≅≅
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
yW
zV
xW
zU
yzxz γγ
della sezione trasversale
Rigidezza assiale
Pertanto in base alle ipotesi fatte
Instabilità flesso-torsionale
x, Uy,V
z, W
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂========
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂========
++++====
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
zU
yU
E
zV
xV
E
zV
zU
zW
E
yzyz
xzxz
zzzz
)2(
)2(
)2()1(
22
2
2
21
γ
γ
εε
Pertanto in base alle ipotesi fatte le componenti di
deformazioni diventano (LC III p 233)
Instabilità flesso-torsionale
)1(z uxvy ′′′′′′′′++++′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′−−−−==== ϑψε
[[[[ ]]]]
)(
)(
))(())((21
)2(
)2(
22)2(
Cyz
Cxz
CCz
yyu
xxv
xxvyyu
−−−−′′′′++++′′′′−−−−====−−−−′′′′++++′′′′====
−−−−′′′′−−−−′′′′++++−−−−′′′′−−−−′′′′====
ϑϑϑγϑϑϑγ
ϑϑε
L’energia di deformazione nel caso generale di
spostamenti non trascurabili diventa
Instabilità flesso-torsionale
(((( )))) dAdzEA
z
L
21 2)1(
0
εΩ ++++==== ∫∫
Dove σσσσij0 è il tensore di stress di Piola-Kirchhoff valutato
nella configurazione iniziale B0
dzdAyzyzxzxzzA
z
L
A
)(
2
)2(0)2(0)2(0
0
0
γτγτεσ ++++++++∫∫
In particolare, si ha che
Instabilità flesso-torsionale
(((( ))))
dzEuEIvEI
dAdzE
y
L
x
Az
L
)(21
21
222
0
2)1(
0
ϑΓ
ε
′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′====
====
∫
∫∫
Dove
Sono i momenti principali di inerzia e la rigidità di
ingobbamento
dAdAxIdAyIAA
yA
x ∫∫∫ ============ 222 ,, ψΓ
Tuttavia il modello cinematico finora utilizzato non tiene conto
della torsione primaria, associata alle deformazioni tangenziali che
insorgono nella soluzione del Saint Venant.
Tali tensioni si annullano sulla linea media ma variano lungo lo
spessore.
Occorre pertanto aggiungere il termine energetico
Instabilità flesso-torsionale
L1
Dove (essendo a lo sviluppo totale della linea media) la rigidità
torsionale primaria per i profili sottili aperti si scrive
dzGJL
∫ ′′′′====0
2
21 ϑ∆Ω
∫====a
dssbJ0
3 )(31
Tenendo conto della deformabilità flessionale e della
rigidezza torsionale la energia di deformazione totale
della trave di sezione aperta in parete sottile diventa
Energia di deformazione di trave con sezione
aperta sottile
dzdA
dzGJEuEIvEIvu
L
y
L
x
)(
)(21
),,(
)2(0)2(0)2(0
2222
0
γτγτεσ
ϑϑΓϑΩ
++++++++++++
++++′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′====
∫∫
∫
Tale energia rappresenta l’approssimazione al II ordine
dell’energia di deformazione flesso-torsionale
Oss: ΠΠΠΠ=ΩΩΩΩ-Le (occorre sottrarre il lavoro dei carichi
esterni se presente)
dzdAyzyzxzxzzA
z )( )2(0)2(0)2(0
0
γτγτεσ ++++++++++++ ∫∫
Con riferimento alla Energia di Deformazione
Discuteremo la stabilità con riferimento a 2 sotto casi
semplificati
Istabilità flesso-torsionale trave con sezione
aperta
dzdA
dzGJEuEIvEIvu
yzyzxzxzzA
z
L
y
L
x
)(
)(21
),,(
)2(0)2(0)2(0
0
2222
0
γτγτεσ
ϑϑΓϑΩ
++++++++++++
++++′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′====
∫∫
∫
semplificati
a) Aste compresse soggette a solo sforzo normale
baricentrico, dove le tensioni tg =0 e con
deformazione assiale trascurabile
b) travi inflesse in un piano di simmetria in presenza di
Momento e Taglio ma con ascissa x del centro di
taglio=0
Si consideri un’asta compressa soggetta solo a P
baricentrico
Inoltre si trascurano le deformazioni assiali
La configurazione fondamentale è quella indeformata
in cui u=v=θθθθ=0
In essa gli sforzi valgono
Instabilità flesso-torsionale di aste compresse
In essa gli sforzi valgono
Quindi il termine che ci interessa è
0000 ========−−−−==== zyzxz AP ττσ
dzAP
dz zA
zzA
)2()2(0 εεσ −−−−==== ∫∫
Sapevamo che le deformazioni valgono
E quindi
Instabilità flesso-torsionale di aste compresse
[[[[ ]]]]22)2( ))(())((21
CCz xxvyyu −−−−′′′′−−−−′′′′++++−−−−′′′′−−−−′′′′==== ϑϑε
[[[[ ]]]]1 P
Dove il momento polare di inerzia rispetto a C è
[[[[ ]]]]
(((( )))) ]'22[21
))(())((21
222
22)2(0
ϑϑϑ
ϑϑεσ
′′′′++++′′′′−−−−′′′′′′′′++++′′′′++++′′′′−−−−
====−−−−′′′′−−−−′′′′++++−−−−′′′′−−−−′′′′−−−−==== ∫∫
CCC
ACCzz
A
IvxuyvuAAP
dAxxvyyuAP
dz
dAyxIA
C ∫ ++++==== )( 22
Instabilità flesso-torsionale di aste compresse
(((( )))) dzAI
vxuyvuP
dzGJEuEIvEIvu
LC
CC
y
L
x
]'22[21
)(21
),,(
0
222
2222
0
∫
∫
′′′′++++′′′′−−−−′′′′′′′′++++′′′′++++′′′′−−−−
′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′====
ϑϑϑ
ϑϑΓϑΠ
L’energia Potenziale Totale si scrive
A2 0
Le equazioni di stazionarietà sono 3: rispetto ad u, v e θθθθ
+ + + + Condizioni al contorno
0
0
0
====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′++++′′′′′′′′
−−−−++++′′′′′′′′′′′′′′′′
====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′
vPxuPyGJAI
PE
PxvPvEI
PyuPuEI
CCC
Cx
Cy
ϑϑΓ
ϑϑ
Instabilità flesso-torsionale di aste compresse
1° CASO
Sezioni con 2 assi di simmetria: il centro di taglio
coincide col baricentro,
Le equazioni di stazionarietà sono disaccoppiateLe equazioni di stazionarietà sono disaccoppiate
I problemi della stabilità flessionale e torsionale si
risolvono indipendentemente
il carico critico Euleriano sarà il minimo di quelli
calcolati PE=min Px,Py,Pθθθθ
Instabilità flesso-torsionale di aste compresse
2° CASO
Sezioni con 1 solo asse di simmetria: il centro di taglio
non coincide col baricentro: stabilità flessionale e
stabilità torsionale sono problemi accoppiati, il carico
critico di punta risulta inferiore a quello che si avrebbe
considerando solo il comportamento flessionaleconsiderando solo il comportamento flessionale
il problema è retto da 3 equazioni differenziali
accoppiate, non risolubili indipendentemente l’uno
dall’altra
Sezioni doppiamente simmetriche
Sezioni con 2 assi di simmetria: il centro di taglio
coincide col baricentro xc=yc=0
Le equazioni di stazionarietà sono disaccoppiate
0
0
====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′
vPvEI
uPuEI y
+ condizioni al contorno
0
0
====′′′′′′′′
−−−−++++′′′′′′′′′′′′′′′′
====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′
ϑϑΓ GJAI
PE
vPvEI
C
x
Sezioni doppiamente simmetriche
y
xy
x
y
x
EIP
EIP
02
2
02
2 ,ll
ππ ========
)1(2
2
GJLE
GJIA
PΓπχϑϑ ++++====
Carico critico
instabilità
flessionale
Carico critico
instabilità torsionale-
avvitamentoGJLIC
Si osservi che è stato indicato Px il valore
relativo all’inflessione nel piano (z,x) cui la trave
oppone il momento di inerzia Iy
avvitamento
Sezioni doppiamente simmetriche
Il carico critico Euleriano PE=min Px,Py,Pθθθθ
)1(2
2
GJLE
GJIA
PC
Γπχϑϑ ++++====
Carico critico
instabilità
flessionaleCarico critico
instabilità torsionale-
avvitamento
y
xy
x
y
x
EIP
EIP
02
2
02
2 ,ll
ππ ========
avvitamento
ϑχ
Sezioni doppiamente simmetriche
Sezioni doppiamente simmetriche
Sezioni doppiamente simmetriche
Sezioni doppiamente simmetriche
Sezioni doppiamente simmetriche
Sezione con 1 solo asse di simmetria
Il carico critico Euleriano è minore di quello
corrispondente ai carichi critici relativi a modi di
instabilità valutati come se fossero disaccoppiati
PE <=P*=min Px,Py,Pθθθθ
dove dove
)1(2
2
GJLE
GJIA
PC
Γχπϑ ++++====
2
2
2
2 ,L
EIP
L
EIP x
y
y
x χπχπ ========
Sezione con 1 solo asse di simmetria
Esempio
Sezione con 1 solo asse di simmetria
Per aste molto lunghe PE=Px
Instabilità flesso-torsionale in travi soggette a
solo momento flettente
Consideriamo per semplicità solo il caso delle
sezioni doppiamente simmetriche (LC III p249)
Esaminiamo il caso di una trave appoggiata su
appoggi flesso-torsionali soggetta a momentoappoggi flesso-torsionali soggetta a momento
costante Mx=W
Instabilità flesso-torsionale in travi soggette a
solo momento flettente
Si dimostra che le equazioni di equilibrio consiste
nelle seguenti equazioni differenziali a coefficienti
costanti con relative condizioni al contorno
0====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′ ϑWuEI y 0)()0(
0)()0(
================
l
l
ϑϑuu
0====′′′′′′′′++++′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′ ϑϑϑΓ WGJE0)()0(
0)()0(
====′′′′′′′′====′′′′′′′′====′′′′′′′′====′′′′′′′′
l
l
ϑϑuu
costanti con relative condizioni al contorno
Le condizioni al contorno consentono di assumere la
soluzione nella forma
Instabilità flesso-torsionale in travi soggette a
solo momento flettente
zz
zUzu
πΘϑπsin)(,sin)( ========
che sostituite nelle equazioni di equilibrio conducono al
seguente sistema algebrico
ll
zz
zUzu
πΘϑπsin)(,sin)( ========
====
++++−−−−
−−−−
0
0
2
2
2
2
ΘΓπ
π UE
GJW
WEI y
l
l
Il sistema ammette soluzioni non banali quando
Instabilità flesso-torsionale in travi soggette a
solo momento flettente
2
21,ll GJ
EGJEIW yE
Γπµπµ ++++====±±±±====
WE rappresenta il momento critico della trave
OSS:
1) il carico critico aumenta con la rigidità flessionale in
direzione trasversale EIy e con la rigidità torsionale GJ
2)La rigidità torsionale secondaria compare sotto forma
di rapporto EΓΓΓΓ/GJℓ2
Possiamo osservare che
-Considerare solo la resistenza a flessione porterebbe a
dimensionare la trave scegliendo un profilo con elevato
Instabilità flesso-torsionale in travi soggette a
solo momento flettente
dimensionare la trave scegliendo un profilo con elevato
Ix ovvero una trave alta
-Le travi alte non necessariamente si oppongono con
efficacia allo svergolamento, che, anzi nelle travi alte, è
sentito particolarmente
Importanza del punto di applicazione dei carichi
Instabilità flesso-torsionale in travi soggette a
solo momento flettente
stabilizzante
Si dimostra che il carico critico aumenta al diminuire
della distanza del punto di applicazione del carico dal
Centro di Taglio, inoltre aumenta se il carico è applicato
al di sotto del Centro di Taglio
instabilizzante
Recommended