Standard PowerPoint Template · 06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 45 . Ayrıca, matematik...

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 2

MATEMATİK NEDİR?

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 3

Hayatımızda matematiğin yerini, matematiğin ne işe yaradığını,

nerelerde kullanabileceğimizi düşünmeden önce matematiğin tanımını

seçip; tanımlayabildiğimiz matematiğe uygun bir düşünce sistemi

oluşturmamız gerekir. Matematiğin tanımını seçmek denilince akıllarda

bir ikilem oluşması olasıdır. Matematiğin tek bir tanımı yoktur ne yazık

ki. Aslında size tavsiyem kendi tanımınızı oluşturmanızdır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 4

Matematik nedir?

sorusuna bugüne kadar sayı, şekil, ölçü ve bunlara bağlı kavramlara

dayalı olarak pek çok cevaplar verilmiştir

(Göker 1993).

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 5

Matematiğin özellikleri, doğası ve öğeleri dikkate alındığında ise, bu

soruyu tek bir tanımla cevaplamanın güç olduğu gerçeği ortaya

çıkmaktadır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 6

Çünkü, cevaplar insanların matematiğe başvurmadaki amaçlarına, belli

bir amaç için kullandıkları matematik konularına, matematikteki

tecrübelerine, matematiğe karşı tutumlarına ve matematiğe olan ilgi

derecelerine göre değişim göstermektedir (Baykul 1995).

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 7

En yalın anlatımla matematik bir örüntüler ve düzen bilimi olarak

tanımlanmaktadır. (Goldenberg, Couco ve Mark, 1998)

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 8

Matematik, çevresini bağımsız olarak düzenleyen, organize eden ve

denetleyen işlemlerin özellikleri ile ilgilidir. (Peel)

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 9

Matematik; şekil, sayı ve çokluklar ile matematiksel konu ve

kavramların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri, farklı

yaklaşım ve yorumlarla bir mantık sistemi içinde inceleyen bilim

dalıdır. (Çakmak 1988).

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 10

Matematiğin özelliklerini şu şekilde sıralamak mümkündür;

Matematik bir disiplindir,

Matematik varlıkların kendisiyle değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenir,

Matematik birçok bilim dalının kullandığı bir araçtır,

Matematik matematikçilerin oynadığı bir oyundur,

Matematik mantıksal bir sistemdir,

Matematik insan beyninin ortaya çıkardığı bir soyutlamadır...

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 11

Bu kadar çeşitli tanımlar içerisinde matematiğin nasıl görüldüğü

konusundaki düşünceleri şöyle gruplayabiliriz;

1) Matematik, günlük hayattaki problemleri çözmede başvurulan

sayma, hesaplama, ölçme ve çizmedir

2) Matematik, bazı sembolleri kullanan bir dildir

3) Matematik, insanda mantıklı düşünmeyi geliştiren mantıklı bir

sistemdir

4) Matematik, dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi

geliştirmede başvurduğumuz bir yardımcıdır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 12

Günümüzde matematik;

“Ardışık soyutlama ve genellemeler süreci olarak geliştirilen fikirler

(yapılar) ve bağıntılardan (ilişkilerden) oluşturulan bir sistem”

olarak görülmektedir.

(Australian Council for Educational Research)

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 13

Bu tanımda üç nokta dikkat çekicidir.

Bunlar;

Matematiğin bir sistem oluşu

Matematiğin yapılardan ve bağıntılardan oluşturulduğu

Yapılan oluşturulma sürecinin ardışık ve genellemeler

olduğudur.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 14

MATEMATİĞİN YAPISINDAKİ

ÖGELER

Matematiğin yapısındaki öğeleri aşağıdaki diyagramda

görüldüğü gibi temsil edebiliriz;

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 15

Matematik

Tanımsız kavramlar

Tanımlar Aksiyomlar Teoremler

TANIMSIZ KAVRAMLAR

?

TANIMSIZ KAVRAMLAR

Matematikte varlığı kabul edilen ve tanımı yapılamayan kavramlara

tanımsız kavram adı verilir.

Tanımsız kavramlar tanımlanamamakla birlikte, insanın zihninde açık

bir fikir oluştururlar.

Örneğin nokta tanımsız bir kavram olmakla birlikte, zihnimizde ne olduğu

hakkında açık bir fikir oluşmaktadır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 17

Noktayı, “ Bir kalemin sivri ucunun kağıt üzerinde bıraktığı

iz” olarak açıklarız. Bu ifade noktanın tanımı değil, onun

neye benzediği hakkında bir açıklamadır.

Benzer şekilde düzlemde ve doğruda tanımsız kavramlara

örnek olarak verilebilir.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 18

TANIM

?

TANIM

Buna göre; önceden tanımlanmış kavramlar ve tanımsız kavramlar

yardımıyla açıklanan kavramları belirten ifadelere tanım denir.

Bir ifadenin tanım olabilmesi için; Tanımsız elemanlara ve daha

önce tanımlanmış kavramlara dayanmalıdır.

Anlamlı ve açıkladığı kavramla anlam yönünden tutarlı olmalı.

Açıkladığı kavramla ilgili olası bütün durumları içermeli.

Efradına cami ağyarına mani bir tanım olmalıdır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 20

AKSİYOM

?

AKSİYOM

Matematikte doğruluğunu ispata gerek kalmadan apaçık kabul ettiğimiz

önermelere aksiyom denir.

Öklid geometrisinin aksiyomları şunlardır:

1- Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler.

2- Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilenler de eşit

olur.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 22

3- Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik

bozulmaz.

4- Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.

5- Bütün, parçadan büyüktür

Öklid geometrisinin postülatları ise şunlardır.

1- İki yol arasını birleştiren en kısa yol, doğrudur

2- Doğru doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir.

3- Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik

yeri çemberdir.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 24

4- Bütün dik açılar birbirine eşittir.

5- İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte

meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük

olduğu tarafta bu iki doğru kesişir.

6- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

7- Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek

paralel çizilebilir.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 25

TEOREM

?

TEOREM

Doğru veya yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı verilir.

Doğruluğu ispatlandıktan sonra kabul edilen önermelere ise teorem denir.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 27

Çoğu zaman neye inanacağınızı şaşırırsınız

Bazen 3 ile 3 ün bazen 4 ile 2’nin toplamı 6 eder.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 28

Bazen hocaların bir dedikleri bir dediklerini tutmaz.

Dün dündür bugün bugündür Öğretmenim dün x in ikiye eşit olduğunu

söylemiştiniz.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 29

Matematiksel bilgi kavramsal ve işlemsel

bilgi olmak üzere ikiye ayrılır

Kavram Nedir?

Kavram bir görüş veya düşüncenin, özellikle nesnelerin bir sınıfının

genelleştirilmiş halidir.

Kavram, psikolojide tanımlandığı şekliyle birbirinden bağımsız çeşitli

elemanların bir bütün oluşturacak şekilde birleştirilmesinden doğan

net bir fikirdir (Guralnik, 1986). Morris (1996) kavramı, bir düşüncenin zihindeki görüntüsü olarak

tanımlamıştır.

Altun‟a (2001) göre kavram; sözcük olarak “belirli ortak özellikleri

taşıyan nesne ve olayların adıdır”.

Açı, üçgen, yüzey, benzerlik, limit, türev vs. birer matematik

kavramlarıdır.

Kavram

Kavram Bilgisi Nedir?

Kavramsal Bilgi Kavramlar bilgi yapılarının ve anlam yapılandırmalarının temel

elemanlarıdır. Kavramsal bilgi ise iyi yapılandırılmış ve

sağlam ilişkilendirilmiş bilgi ağıdır. Kavramsal bilgi,

depolanmış ve izole bir bilgi parçası değil, geniş ve iyi

yapılanmış bir ağın parçasıdır. Buna göre kavramsal bilgi

düzeyi; öğrencinin konuyu ya da kavramı bilme, hakkında fikir

yürütebilme düzeyidir (Rittle-Johnson ve Koedinger, 2002;

Star, 2002). Dolayısıyla kavram bilgisi matematiksel

kavramların kendilerini ve bunlar arasındaki ilişkileri kapsar.

Diğer bir deyişle matematiksel kavramların kendileri birer

ilişkidirler, bu ilişkiler başka kavramlarla ilişkilidir.

Örneğin; doğru tanımsız elemandır, fakat noktalardan

oluşmuştur. O halde doğru kavramı nokta kavramıyla

ilişkilidir. Daha iyi bir deyişle doğru kavramı, bir noktalar

ilişkisidir. Sayılar arasındaki büyüklük, küçüklük

kavramları da sayılar arasında birer ilişkidir. Bu örnekler

matematikteki bütün kavramlara genellenebilir (Hiebert,

1992).

Kavramın tanımı ve özellikleri ile ilgili düşünme biçimini

değişik şekillerde ortaya koyabilme, bunu yaparken

terim, sembol ve işaretleri yerinde kullanma, tanım ve

uygulamalarda matematiksel ilkeleri kullanabilme,

kavramları örnekleme-karşı örnek verebilme, kavram ve

ilkelerin ortak ve ayrık yanlarını belirleyerek karşılaştırma

yapabilme, kavramların değişik biçimlerinin ve kullanım

alanlarının matematiksel model ve yapılar ile

bağlantılarını kurabilme, sonucu tahmin etme ve

açıklayabilme gibi kazanımları içermektedir

(NCTM, 2000).

İşlem Bilgisi Nedir?

İşlem Bilgisi İşlem bilgisi, onu meydana getiren iki ayrı kısımla birlikte

açıklanmaktadır. İşlem bilgisinin birinci kısmını

matematiğin sembolleri ve dili oluşturur. İşlem bilgisinin

ikinci kısmı ise kuralları, matematiksel problemi çözmek

için kullanılan bağıntıları, somut nesneler üzerindeki

işlemleri, görsel diyagramları, zihinsel hayalleri veya

matematiksel sistemimizin standart olmayan diğer

nesnelerini içerir (Hiebert ve Lefevre, 1986).

Öğrenciler işlemsel bilgilerini; uygun işlemi seçip doğru

biçimde uygulama; sembolik yöntemler ve somut

modeller kullanarak işlemin doğruluğunu ispatlama;

problem durumun gerektirdiği ölçüde işlemi değiştirme

veya genişletme davranışlarıyla sergilerler. İşlemsel bilgi

genellikle öğrencinin problem durumu uygun bir

algoritmik süreçle ilişkilendirmesi, bu süreci doğru

şekilde uygulaması ve sonuçları bu problem durum

açısından açıklayabilmesi ile yansır (Porter ve Masingila,

2000; Camacho, 2002).

Dolayısıyla özet olarak işlemsel bilgi; temel aritmetik işlemleri

uygulayabilmek, gereken işlemi uygun olarak seçmek ve kullanmak,

herhangi bir durum ile ilgili muhakeme yapabilmek, karşılaşılan bir

problem durumun çözüm basamakları arasında bağlantıları kurmak,

karşılaştırmak ve ilişkilendirmek, çevrede görülen ya da sunulan bir

durumu hesap yapmadan tahmin etmek ve yorumlamak; geometrik

yapı oluşturmak, grafik çizebilmek, onları okuyabilmek,

sıralayabilmek; problem çözümünde verileri değiştirebilmek ve

genişletebilmek, sembolik ya da somut modeller kullanarak

yöntemin doğruluğunu ispatlayabilmek gibi kazanımları içermektedir.

Kavramsal ve İşlemsel Bilgiler

Arasındaki İlişkiler

Kavramsal ve işlemsel ilişkiler arasındaki bağı kurma, uygun kavramları

temsil etmede ve açıklamada kurallar ve işlemler bilgisini

kavramlara uygun, anlamlı bir akıl yürütme ve semboller temeline

oturtmadır. (Hiebert ve Levefre, 1986).

İşlemsel bilgide, bir kavram ya da işlemin nedenini bilmeye gerek

görmeden yalnızca nasıl kullanılacağını bilmek durumu söz konusu

iken, kavramsal bilgide kavrama durumu öne çıkmaktadır (Baki

1998).

Matematik öğretiminde hem işlemsel bilgi hem de

kavramsal bilgi önemli rol oynamaktadır. Ancak

okullardaki matematik öğretimine bakıldığında daha çok

işlemsel bilgi üzerinde durulmaktadır. İşlemsel bilgi ile

kavramsal bilgi arasındaki ilişkiyi oluşturamayan

öğrenciler matematiksel kavramları yanlış algılamakta ve

matematik öğretiminde çeşitli güçlükler yaşamaktadır

(Ersoy & Erbaş, 2003).

MATEMATİĞİN ÖNEMİ

Hızla gelişen ve değişen dünyamızda, genellikle öğrencilere sıkıcı,

sevilmeyen ve soyut, (öğrenci diliyle zor, kabus,...) bir disiplin olarak

görülen Matematiğin yeri ve önemi giderek artmaktadır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 43

Bir Düşünce biçimi ve evrensel bir dil olan matematik günümüzün

gelişen dünyasında birey, toplum, bilim ve teknoloji için vazgeçilmez

bir alandır.

Günlük yaşamda, iş ve meslekte gerekli olan çözümleyebilme,

usavurabilme,iletişim kurabilme, genelleştirme yapabilme, yaratıcı

ve bağımsız düşünebilme gibi üst düzey davranışları geliştiren bir

alan olarak matematiğin öğrenilmesi kaçınılmazdır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 44

Günümüz toplumunun, sorunların üstesinden gelebilecek, problem

çözebilecek bireylere gereksinmesi vardır.

Matematik öğretiminin her aşamasında matematik öğretiminin amaçları

ve öğretimde kullanılacak genel ilkeler göz önünde

bulundurulmalıdır.

Matematik her biri üzerine kurularak gelişen bir alan olduğundan, ön

öğrenmelerin önemi büyüktür. Bu durum her zaman hatırlanmalı ve

her aşamada ölçme ve değerlendirme yapılmalıdır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 45

Ayrıca, matematik öğretiminde duyuşsal özellikler dikkate alınmalı ve

öğrencilerin matematiğe ve matematik dersine karşı olumlu tutumlar

geliştirmelerine yardımcı olunmalıdır.

Planlı öğretimin tüm ilkelerine matematik öğretiminde de uyulmalıdır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 46

Okulda Matematik Eğitimi, çocukların gerçek hayat durumlarındaki

matematiği algılayabilmelerini, onu somut nesneler ve resimlerle

ifade edebilmelerini ve nihayet onu zamanı geldikçe sembolik dile

aktarabilmelerini, bir yandan da her zaman bu bilgileri sözel dili

kullanarak açıklayabilmelerini sağlamaya çalışır.

06.03.2013 MATEMATİK VE HAYAT 47