View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Statistik I fur BetriebswirteVorlesung 4
Dr. Andreas Wunsche
TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik
29. April 2019
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 1
1.6 Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1.6.1 Binomialverteilung
I Parameter: n ∈ N , 0 ≤ p ≤ 1 .
I Zufallsgroße X mit moglichen Werten x0 = 0, x1 = 1, . . . , xn = n .
I Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k , k = 0, 1, . . . , n .
I Anwendung in folgender Situation:I zufalliges Experiment mit 2 Versuchsausgangen (A, und A) wird
n-mal wiederholt ;I Eintreten des Ereignisses A in den einzelnen Versuchen sei
unabhangig ;I in jedem Versuch sei die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich p , d.h.
p = P(A) ;I Zufallsgroße X ist gleich der Anzahl des Eintretens des Ereignisses A .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 2
Binomialverteilung II
I Typische Anwendungen:I Stichprobennahme mit Zurucklegen z.B. bei Qualitatskontrolle;
I Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik.
I Bezeichnung: X ∼ Bin(n, p) .
I Kenngroßen: EX = np und VarX = np(1− p) .
I Spezialfall: Bernoulli-Verteilung: n = 1X ∼ B(p) = Bin(1, p) =⇒ EX = p und VarX = p(1− p) .
I Eigenschaft: X1 ∼ Bin(n1, p) , X2 ∼ Bin(n2, p) unabhangig
⇒ X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p) .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 3
Binomialverteilung III
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 4
Ubungsbeispiel 1.7: Binomialverteilung
I Ein idealer Wurfel wird 20-mal geworfen. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafur, dass mindestens zweimal eine Sechsgeworfen wird ?
I Zufallsgroße X . . .”Anzahl der geworfenen Sechsen bei 20 Wurfen
dieses Wurfels“ ⇒ X ist binomialverteilt.
I 20-malige Wiederholung des Einzelversuchs”Werfen eines Wurfels“
⇒ n = 20 .
I Erfolg E . . .”Im Einzelwurf fallt eine Sechs“.
I Wahrscheinlichkeit fur das Werfen einer Sechs bei einem Wurfelwurfbetragt 1/6 ⇒ p = P(E ) = 1/6 .
I Gesucht ist P(X ≥ 2) .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 5
1.6.2 Negative Binomialverteilung
I Parameter: r ∈ N , 0 ≤ p ≤ 1 .
I Mogliche Werte der Zufallsgroße X : k = r , r + 1, r + 2, . . . .
I Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) =
(k − 1
r − 1
)pr (1− p)k−r , k = r , r + 1, . . . .
I Anwendung in folgender Situation:I zufalliges Experiment mit 2 Versuchsausgangen (A, und A) wird
solange wiederholt bis das Ereignis A genau r -mal eingetreten ist ;I Eintreten des Ereignisses A in den einzelnen Versuchen sei
unabhangig ;I in jedem Versuch sei die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich p , d.h.
p = P(A) ;I Zufallsgroße X ist gleich der Anzahl der durchgefuhrten Teilversuche
(bis das Ereignis A genau r -mal eingetreten ist) .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 6
Negative Binomialverteilung II
I Bezeichnung: X ∼ NegBin(r , p) .
I Kenngroßen: EX = rp und VarX = r(1−p)
p2.
I Spezialfall: Geometrische Verteilung: r = 1X ∼ Geo(p) = NegBin(1, p) .
I Eigenschaft:X1 ∼ NegBin(r1, p) , X2 ∼ NegBin(r2, p) unabhangig
⇒ X1 + X2 ∼ NegBin(r1 + r2, p) .
I Alternative Definition: (vgl. Anwendung in folgender Situation)Die Zufallsgroße Y ist gleich der Anzahl der Versuchsausgange A.Also ist Y = X − r und damit
P(Y = k) = P(X = k + r), k = 0, 1, . . . .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 7
1.6.3. Geometrische Verteilung
I Parameter: 0 < p < 1.
I Zufallsgroße X mit moglichen Werten k = 1, 2, 3, . . . .
I Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) = p(1− p)k−1, k = 1, 2, 3, . . . .
I Bezeichnung: X ∼ Geo(p) .
I Kenngroßen: EX = 1p und VarX = 1−p
p2.
I Anwendung in folgender Situation:I Gleichartige unabhangige Teilversuche, bei denen jeweils
”Erfolg“ mit
Wahrscheinlichkeit p oder”Misserfolg“ mit Wahrscheinlichkeit 1− p
eintreten kann, werden so lange durchgefuhrt, bis zum ersten Mal
”Erfolg“ eingetreten ist.
I Die Zufallsgroße X ist gleich der Anzahl der durchgefuhrtenTeilversuche.
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 8
Geometrische Verteilung II
I Bemerkung: Manchmal wird nur die Anzahl Y der”Misserfolge“
vor dem ersten”Erfolg“ gezahlt. Diese Zufallsgroße hat als mogliche
Werte 0, 1, . . . , es gilt Y = X − 1 .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 9
Ubungsbeispiel 1.8: Geometrische Verteilung
Die taglichen Kursanderungen einer Aktie seien unabhangig und dieWahrscheinlichkeit dafur, dass der Kurs an einem Tag wachst oderhochstens um 5% fallt, betrage 0.8 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdafur, dass dies erstmalig am zweiten oder dritten Tag passiert ?
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 10
1.6.4 Hypergeometrische Verteilung
I Parameter: N,M, n ∈ N , M ≤ N, n ≤ N .
I Zufallsgroße X mit moglichen Werten x0 = 0, x1 = 1, . . . , xn = n .
I Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) =
(Mk
)·(N−Mn−k
)(Nn
) , falls n − (N −M) ≤ k ≤ M ,
pk = P(X = k) = 0 , sonst.
I Anwendung in folgender Situation:I unter N Dingen befinden sich M ausgezeichnete ;
I von den N Dingen werden n zufallig ausgewahlt (ohne Zurucklegen) ;
I Zufallsgroße X reprasentiert die Anzahl der ausgezeichneten Dingeunter den n ausgewahlten.
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 11
Hypergeometrische Verteilung II
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 12
Hypergeometrische Verteilung III
I Typische Anwendung: Stichprobennahme ohne Zurucklegen, z.B.bei der Qualitatskontrolle.
I Bezeichnung: X ∼ Hyp(N,M, n) .
I Kenngroßen:EX = n · M
N,
VarX = n · MN· N −M
N· N − n
N − 1.
I Fur großes N (N ≥ 60) und M und im Vergleich dazu kleines n(n/N < 0.1) kann die hypergeometrische Verteilung durch dieBinomialverteilung (p = M/N) approximiert werden:
P(X = k) =
(Mk
)·(N−Mn−k
)(Nn
) ≈(n
k
)pk(1− p)n−k .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 13
Beispiel fur Binomial-Approximation
X ∼ Hyp(100, 70, 5) wird approximiert durch Y ∼ Bin(5, 0.7).
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 14
Ubungsbeispiel 1.9: Hypergeometrische Verteilung
I Ein Kunde ubernimmt alle 50 gelieferten Schaltkreise, wenn in einerStichprobe von 10 Schaltkreisen hochstens ein nicht vollfunktionsfahiger Schaltkreis enthalten ist. Ansonsten wird diegesamte Lieferung verworfen.
I Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafur, dass die 50 Schaltkreise
a) abgenommen werden, obwohl diese 12 nicht voll funktionsfahigeSchaltkreise enthalten;
b) zuruckgewiesen werden, obwohl nur 3 nicht voll funktionsfahigeSchaltkreise enthalten sind !
I Zufallsgroße X . . .”Anzahl der nicht voll funktionsfahigen
Schaltkreise in der Stichprobe“.
I Die Zufallsgroße X ist hypergeometrisch verteilt.
I N = 50 , n = 10 , M = 12 bzw. M = 3 .
I Gesucht: a) P(X ≤ 1) ; b) P(X > 1) .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 15
1.6.5 Poissonverteilung
I Parameter: λ > 0 (die”Intensitat“ der Poissonverteilung).
I Zufallsgroße X mit moglichen Werten k = 0, 1, 2, . . . .
I Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) =λk
k!e−λ, k = 0, 1, 2, . . . .
I Bezeichnung: X ∼ Poi(λ) .
I Kenngroßen: EX = λ und VarX = λ .
I Eigenschaft: X1 ∼ Poi(λ1) , X2 ∼ Poi(λ2) unabhangig
⇒ X1 + X2 ∼ Poi(λ1 + λ2) .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 16
Poissonverteilung II
I Typische Anwendungen: Poissonverteilung ist typische Verteilungfur Anzahl von Ereignissen in gewissem Zeitraum, wenn fur beliebigehinreichend kleine Teilintervalle der Lange h gilt:
I In jedem Teilintervall der Lange h tritt hochstens ein Ereignis ein.
I Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Teilintervall der Lange h zufinden, hangt nur von der Lange des betrachteten Zeitintervalls abund ist proportional zu dieser.
I Das Eintreten eines Ereignisses im Teilintervall wird nicht beeinflusstvon Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben(Nachwirkungsfreiheit).
I Parameter λ entspricht dann der durchschnittlichen Anzahl derEreignisse im betrachteten Zeitraum.
I Beispiele: Anzahl von Telefonanrufen, Anzahl von emittiertenTeilchen in Physik (radioaktiver Zerfall), Anzahl von Unfallen,Anzahl von Schadensfallen.
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 17
Poissonverteilung und Binomialverteilung
I Es gilt Bin(n, λ/n) −−−→n→∞
Poi(λ) .
I Fur großes n (n ≥ 30) und kleines p (p ≤ 0.05, sogenannte”seltene
Ereignisse“) lassen sich Wahrscheinlichkeiten einerBinomialverteilung naherungsweise mit Hilfe einer Poissonverteilungmit Parameter λ = np berechnen, d.h.
P(X = k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k ≈ λk
k!e−λ .
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 18
Beispiel fur Poisson-Approximation
X ∼ Bin(100, 0.04) wird approximiert durch Y ∼ Poi(4).
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 19
Ubungsbeispiel 1.10: Poissonverteilung
I Die zufallige Anzahl X der Schadensfalle bei einerVersicherungsagentur sei fur Zeitintervalle einer bestimmten Langepoissonverteilt mit Parameter λ = 3 . Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafur, dass in einem Zeitintervall dieser Langemindestens zwei Schadensfalle eintreten ?
I Es werden 50 Erzeugnisse aus einer Lieferung mit einerAusschusswahrscheinlichkeit von 0.01 untersucht. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafur, dass sich hochstens ein fehlerhaftesErzeugnis unter den 50 Erzeugnissen befindet ?
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 20
1.6.6 Diskrete Gleichverteilung
I Situation: Eine Menge M besteht aus n Elementen, die bei einerAuswahl aus dieser Menge alle gleichwahrscheinlich ausgewahltwerden.
I Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pk = P(X = k) =1
nfur alle k ∈M.
I Bezeichnung: X ∼ U(M) .
I Kenngroßen: fur diskrete Gleichverteilung auf 1, 2, . . . , n.X ∼ U({1, 2, . . . , n}) : EX = n+1
2 und VarX = n2−112 .
I Typische Anwendungen:I Laplace-Experiment,I Wurfeln mit einem gerechten Wurfel.
Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 21
Recommended