STRATO LIMITE TURBOLENTO SU PIASTRA PIANA esterno-tur.pdfNotare che il limite inferiore degli...

STRATO LIMITE TURBOLENTO

SU PIASTRA PIANA

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-1

STRATO LIMITE TURBOLENTO - INTRODUZIONE

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-2

A una certa distanza dal bordo di attacco lo strato limite diviene turbolento.In prossimità della parete il moto rimane comunque laminare (sottrostrato laminare, laminar sublayer).La transizione, a seconda della geometria e dell’intensità di turbolenza del flusso in ingresso, avviene per Re*x = 2x105 - 3x106. In mancanza di informazioni più precise, si assume Re*x = 5x105.

STRATO LIMITE TURBOLENTO - VISUALIZZAZIONE

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-3

STRATO LIMITE TURBOLENTO - EQUAZIONILe equazioni dello strato limite turbolento su parete piana sono (richiamo)

0

1x x

x

x y

y

v vv

vv

x y

p

xv

x y

∂ ∂+

∂

∂∂+ =

∂ ∂

∂= −ρ ∂∂

( )

( )

1' '

0

1' ' " "

xx y mol eddy

y mol ex dyy d

p

vv v

y y y

p

y

Ta v T q q

y y

T Tv v

x yy c

∂ ∂+∂ ∂

∂∂ ∂+ υ − = − τ + τ ∂ ∂ ρ ∂

∂ = ∂

∂ ∂ ∂ = − = − + ∂ ∂ ρ ∂

In prossimità della parete (non in tutto

la componente

viscosa di τw e q” aumenta avvicinandosi alla parete

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-4

In prossimità della parete (non in tutto lo strato limite) il termine convettivo (in rosso) è basso, per cui, introducendo viscosità e diffusività turbolente:

( )

( )

0

"0

appxM

appH

p

v

y y y

qTa

y y y c

τ ∂∂ ∂= υ + ε = ∂ ∂ ∂ ρ

∂ ∂ ∂ = + ε = − ∂ ∂ ∂ ρ ne segue che τapp e q”app sono approx. costanti vicino alla parete

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (1)

Nel sottostrato laminare τapp = τmol

x xmol app

v v

y y

∂ ∂τ =µ =ρυ ≅ τ∂ ∂

Integrando e supponendo τ =cost = τw

0 0d d

xv yw w

x xv y v yτ τ= → =ρυ ρυ∫ ∫

definendo

velocità di taglio(shear velocity)

* wvτ=ρ

praticamente Rey*v

y y+ =υ

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-5

si ha

2* *

*x

x

vv vv y y v y

v+ += → = → =

υ υ

Nel core turbolento invece la tensione di taglio è prevalentemente dovuta alla parte turbolenta; adottando il modello della lunghezza di mescolamento di Prandtl

2' ' x xtur x y app

v vv v

y y

∂ ∂τ = −ρ =ρ ≅ τ∂ ∂

ℓ e si assume 0.4K y y= =ℓ

è ragionevole che la turbolenza aumenti con la distanza dalla parete; K = 0.4 sperimentale

*xv

vv

+ =velocità adimensionale

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (2)

Integrando dal limite del sottostrato laminare a y

* d *d ln '

' '

x

lam lam

v y

x xv

v y vv v y C

K y Kδ= → = +∫ ∫

2

2 2 d 1 *

dx x w

app w

v v vK y

y y K y K y

∂ ττ = τ =ρ → = = ∂ ρ

Da cui, supponendo τ =cost = τw

Adimensionalizzando

Notare che il limite inferiore degli integrali non è zero ma lo spessore del sottostrato laminare

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-6

sperimentalmente C = 5.5 (notare che C ≠ C’)

E’ necessaria un’espressione di raccordo tra le due, per cui si ricava infine il cosiddetto profilo universale di velocità o legge della parete

5 sottostrato laminare

3.05 5.00ln 5 30 buffer layer

5.5 2.50ln 30 500 core turbolento

v y y

v y y

v y y

+ + +

+ + +

+ + +

= <

= − + < < = + < <

1lnv y C

K+ += +

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (3)

le ipotesi introdotte trovano conferma nell’esperienza

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-7

La legge della parete è valida nello strato limite fino a una distanza di 0.2 δ(oppure y+< 500): la cosiddetta inner region.

Per distanze superiori (outer region) si usa:(dove A dipende dalla geometria)

1ln

*xU v y

Av K

− = +δ

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000

v+

Legge parete

Prandtl 1/7

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Profilo di velocità (4)

La legge della parete può essere approssimata come

17 τδ

178.7( )v y+ +=

Se la si estende fino al confine dello strato limite (y = δ, vx = U ) si ha

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-8

1 10 100 1000

y+

17

8.7*

wU

v

τδ= υ ρ

dividendo membro a membro le due precedenti

17

xv y

U = δ

da cui si ha una relazione per lo spessore di quantità di moto

0

71 d

72x xv v

yU U

δ θ = − = δ

∫

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di ττττw (1)

Per poter trovare la tensione di taglio alla parete è necessaria un’altra equazione che dia ττττw in funzione di δ.

1 17 7

8.7 8.7* /

w w

w

U U

v

τ τδ δ= → = υ ρ υ ρτ ρ

0

xw

y

v

y =

∂τ =µ∂

non si può usare per la inesattezza su vx alla parete (v. figura slide precedente)

elevando al quadrato e semplificando (con un po’ di lavoro)

Allora si riparte ricavando ττττw da

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-9

elevando al quadrato e semplificando (con un po’ di lavoro) 0.252

2 0.2514/8

0.0238.7w

UU Re

U−δ

ρ υτ = = ρ δ Questa relazione è stata confermata per via sperimentale da Blasius. Combinando questa espressione con il bilancio integrale e ric. Θ = 7/72 δ

e qui, una volta eliminato ττττw , si può trovare δ

0.25

2 2 2d 7 d0.023

d 72 dw U U Ux x U

− θ δ υτ = ρ = ρ = ρ δ

ATT: δ e Reδ sono ancora incogniti !!

semplificando e separando le variabili:

0.25d

0.237d

U

x

−δ δ = → υ

0.252 27 d

0.02372 d

UU U

x

−δ δ ρ = ρ υ

0.250.25d 0.237 dx

U

υ δ δ =

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di ττττw (2)

Quindi si ha:

N.B.: espressioni valide finchè è accettabile il profilo

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-10

E finalmente, integrando tra [0, δ] e [0, x ]

0.2

0.377

xx Re

δ =

Da cui si possono ricavare tutti gli altri valori (δ*, θ etc.) e in particolare

0.255/44

0.2375

xU

υ δ = 4 /5 1/5 1/5

4/550.237 0.377

4

xx

U x U

υ δ υ δ = → = →

2

0.2

0.029w

x

U

Re

ρτ =

finchè è accettabile il profilo di velocità 1/7, ovvero per

105 < Rex < 107

Laminare(Blasius)

Turbolento(105<Re <107)

x

δ0.2

0.377

xx Re

δ =0.5

4.91

xx Re

δ =

*

x

δ0.5

* 1.721

xx Re

δ =

0.5

0.664

x Re

θ =θ

0.2

* 0.047

8xx Re x

δ δ= =

0.2

0.037 7

72x Re x

θ δ= =

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-11

0.5xx Re

=x

wτ

,21

2

DD f

FC

U A=

ρ

212

wfc

U

τ=ρ 0.5

0.664f

x

cRe

=

2

0.5

0.332w

x

U

Re

ρτ =

, 0.5

1.328D f

L

CRe

=

0.2 72xx Re x= =

2

0.2

0.029w

x

U

Re

ρτ =

0.2

0.058f

x

cRe

=

, 0.2

0.072D f

L

CRe

=

Andamento dello spessore e della tensione di taglio nello strato limite

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-12

Notare che 4/5xδ ≡ deriva da aver supposto 1/7v y≡

valori diversi da 1/7 darebbero valori diversi dell’esponente di δ di τw

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di ττττw (3)

Per piastre scabre conta anche la rugosità superficiale, e si può usare la relazione semiempirica (valida nella parte a destra in alto del diagramma dove Cd,f è indipendente da Re)

2.5−ε

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-13

Una piastra è liscia finchè le asperità non escono dal sottostrato laminare (y+ = 5) da cui si ottiene la condizione

100U

υε <

2.5

, 101.89 1.62 logD fCL

−ε = −

ReL

In prossimità della parete, dove il temine convettivo è trascurabile abbiamo (v.slide 4)

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di hc (1)

( )

( )

0 cost

"0 " cost "

app xapp M w

appapp p H w

p

v

y y

q Tq c a q

y c y

τ ∂∂ = → τ =ρ υ + ε = = τ ∂ ρ ∂

∂ ∂ = → = − ρ + ε = = = ∂ ρ ∂

Introducendo, in analogia a Pr, il numero di Prandtl turbolentosupponendo Pr = 1, Pr = 1 si ha, dividendo m. a m. le precedenti

MT

H

Prε=ε

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-14

supponendo Pr = 1, PrT = 1 si ha, dividendo m. a m. le precedenti Hε

d1

d "x w

p w

v

c T q

τ= − e integrando fino al confine dello strato limite(non sarebbe rigorosamente possibile, in quanto le precedenti “valgono” solo nel sottostrato laminare)

"

( ) " ( )p ww w

cp w w w

cqUh

c T T q T T U∞ ∞

ττ= → = =

− −e dividendo per ρ cp U

2

1 1

2 2c w x

f x fp x

h Nuc St c

c U Re PrU

τ= = → = =

ρ ρANALOGIA DI REYNOLDS

numero di Stanton fattore di Fanning

dato che (v. slide 11)

Nel caso in cui Pr sia diverso da 1, l’analogia di Reynolds si modifica empiricamente in

2 /3 1

2x fSt Pr c= ANALOGIA DI REYNOLDS-COLBURN

0.20.058f xc Re−=

2/3 0.8 12 /30.0.02 0. 29 0 9x x x xx x Nu St Re Pr Re PS e rt Pr R − = == →

STRATO LIMITE TURBOLENTO – Determinazione di hc (2)

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-15

Nel calcolare il valor medio su tutta la piastra bisogna tener conto del tratto di ingresso laminare per cui

1/3 0.80.037 ( 23550)L LNu Pr Re= −

Piastra piana b = 1.5 m , L = 3 m, U = 7.5 m/s, aria (υ = 1.46x10-5, ρ = 1.23) q”= 200 W/m2

, T∞ = 20°C

Determinare: δ(x), δ(L) τw(x) , FD,, Tw(x)

Per x=L, si ha 61.54 10L

U LRe = = ×

υquindi lo S.L. è turbolento all’uscita

0.05

0.06

0.25

0.30delta(x)

Tau wall

La transizione avviene a x = 0.97 m (corrisp. a Rex = 500000)

4.91δ =20.332 Uρτ =

quindi per x < 0.97

ESEMPIO: calcolo di di ττττw e Tw su una piastra piana -1

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-16

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0 1 2 3

x [m]

delta

[m]

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Tau

wal

l [P

a]

Per CD si considera solo la parte turbolenta

0.2

0.377

x

xRe

δ =

0.5

4.91

x

xRe

δ =0.5

0.332w

x

U

Re

ρτ =

2

, 1.28 N2D D f

UF C b L

ρ= =

e per x > 0.97

0.2

0.072.0042

LDfC

Re= = =

2

0.2

0.029w

x

U

Re

ρτ =

ESEMPIO: calcolo di di ττττw e Tw su una piastra piana -2

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 1 2 3

x [m]

delta

[m]

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Tau

wal

l [P

a]

delta(x)

Tau wall

0.8 1/30.029x xNu Re Pr=

per x < 0.97

per x > 0.97

0.5 0.330.453x xNu Re Pr=lam.

turb.

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. SLT-17

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x (m)

Nux

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

h [W

/m²

k], T

w [C

]

Nux

h(x)

Tw(x)

,x fx

x c xf

Nuh xNu h

x

λ= → =

λ

( ),,

"" c x w w

c x

qq h T T T T

h∞ ∞= − → = +

e infine si ricava hc