Tahminler -II - Erzurum Teknik Ü · PDF fileİstatistik ve Olas ... Varyanslarla ilgili...

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

Tahminler

Prof. Dr. İrfan KAYMAZ

İstatistik ve Olasılık

Tahminler -II

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

Tahminlerİki Ortalama Farkının Güven Aralığı

Anakütle Varyansı Biliniyorsa

İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni:

Güven aralığı ifadesinde konulursa:

İki ortalama arasındaki farkın güven aralığı:

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

Tahminler

Anakütle Varyansı Bilinmiyorsa

Anakütle varyansının bilinmediği, fakat örnek hacminin 30 veya daha büyükolduğu (n30) durumlarda örnek varyansı (S2) kullanılarak Z dağılımı yardımıylagüven aralığı oluşturulur.

Anakütle varyansının bilinmediği durumlarda örnek hacmi 30 dan küçük (n<30)ise küçük örnek teorisine göre geliştirilen t dağılımı yardımıyla güven aralığıoluşturulur.

İki Ortalama Farkının Güven Aralığı

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

Tahminler

Örnek hacimlerine bağlı olarak

İki Ortalama Farkının Güven Aralığı

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerOrtalamanın Güven Aralığı

Örnek:İçinde kusurlu ürün bulunduğu bilinen 8 koli ile kusurlu ürün bulunmadığı bilinen9 kolinin ortalama ağırlıkları kg olarak aşağıda verilmiştir:

Kusurlu koli 125 120 119 123 126 116 118 119

Kusursuz koli 130 130 128 126 125 120 132 127 128

%95 güven düzeyinde ortalamalar arasındaki farkın güven aralığını oluşturunuz.

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerOrtalamanın Güven Aralığı

Örnek Çözüm:

%95 güven düzeyinde (%5 hata payı ile) kusursuz ve kusurlu kolilerin ağırlıkları arasındaki farkın 2.94 kg ile 10.22 kg arasında olacağı söylenebilir(olması beklenir)

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerBir Oranın Güven Aralığı

Binom dağılımı gösteren bir anakütleden alınan örneklerin

Ortalaması: Varyansı:

Örnek hacminin yeterince büyük olması durumunda binom dağılımınanormal dağılım yaklaşımının kullanılacağı da bilinmektedir.

Z eşitliği:

Bir oranın 1- güven düzeyindeki aralık tahmini:

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

Tahminlerİki Oran Farkının Güven Aralığı

İki oran farkının dağılımına ilişkin verilen Z eşitliği:

Güven aralığı genel formülünde yerine koyulur ve gerekli ara işlemler

yapılırsa ;

iki oran farkının 1- güven düzeyindeki aralık tahmini:

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerVaryansın Güven Aralığı

Örnek varyansı S2, anakütle varyansı 2 ‘nin bir nokta tahminidir.

Varyanslarla ilgili tahminler ve testler 2 (ki-kare) dağılımı kullanılarak yapılmaktadır.

Standart normal dağılmış Zi değişkeninin kareleri toplamı k serbestlik dereceli 2

dağılımına uygunluk gösterir:

2 dağılımının:ortalaması E(2)=k varyansı V(2)=2k

olduğundan dolayı dağılım doğrudan serbestlik derecesi (k) ile belirlenmektedir.

Sağa uzun kuyruklu olan 2 dağılımı, serbestlik derecesi arttıkça simetrikleşmektedir (yani normale yaklaşmaktadır).

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerKi-kare dağılımı

2 dağılımı için t dağılımına benzer şekilde tablolar oluşturulmuştur. Kullanılacak 2 tablosu P(2>2

i)= olasılığını verecek şekilde göre düzenlenmiştir. Kullanılacak 2 tablosu bakılan değerden sonsuza kadar olan alanı verecek şekilde düzenlenmiştir.

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerVaryansın Güven Aralığı

Varyansın güven aralığının belirlenmesinde 2 dağılımının kullanımının temelinde örnek varyansı formülü bulunmaktadır. İşlemler aşağıdaki gibi açıklanabilir:

Örnek varyansı:

Her iki tarafı

Eşitliğin sağ tarafı (n-1) serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımıdır:

Varyansın güven aralığı:

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerKi-kare dağılımı

Örnek:Bir fabrikanın üretiminden rasgele alınan 20 birimlik örneğin varyansı 35 olarak belirlendiğine göre %99 güven düzeyinde fabrikanın üretimine (yani anakütleye) ait varyansın güven aralığını oluşturunuz.

Örnek Çözüm:

Belirlenen aralık tahmini şöyle yorumlanabilir: %99 güven (doğruluk) düzeyinde sözü edilen fabrikanın üretimine ait varyansın 17.237 ile 97.222 arasında olacağı söylenebilir (veya bu aralıkta olması beklenir).

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerStandart Sapmanın Güven Aralığı

Örnek standart sapması S anakütle standart sapması nın bir nokta tahminidir. Standart sapmanın güven aralığı Z dağılımı yardımıyla aşağıdaki gibi oluşturulur.

İrfan Kaymaz Erzurum Teknik Üniversitesi

TahminlerGelecek Dersin Konusu

Hipotez Testleri….