Tangramok és h anoi tornyok

Tangramok és

hanoi tornyok

Tangramok

Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek

Archimedes tangramjaStomachion

– Kb. 2000 éves– Az első tangram– A csúcsok négyzetrácsokon

vannak– Az elemek területe egész– Több megoldás létezik

A kínai és a japán tangram

– Négyzet felosztásai– Elemek száma: 7– 45 fok többszörösei– Mindkettőből rengeteg érdekes

alakzat kirakható

Tangramok

Érdekes alakzatok

Tangramok

Konvex alakzatokTangramok

Ez a 13 van csak? És a japánban?

A két tangram jellemzői

Mindkettő 16 kis háromszögre bontható

A kínai tangramból 13 féle, a japánból 16 féle konvex alakzat rakható ki !

Tétel

Fu Traing Wang és Chuan-Chih Hsuing nyomán.

1. LemmaEgybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzatban egy szakasz két oldalán nem lehet egyszerre racionális és irracionális oldal.

Nem lehet ilyen!

Ha van mindkét oldalon racionális és irracionális háromszögoldal is, akkor csak ugyanannyi lehet.

1. Segédlemma

Bizonyítás:

Legyen felül n racionális és m irracionális oldal, alul k, l.

Ekkor:

2)()(

22

mlkn

lkmn

n-k és l-m csak 0 lehet, különben egy irracionális szám előállna két egész hányadosaként

1. LemmaEgybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzatban egy szakasz két oldalán nem lehet egyszerre racionális és irracionális oldal.

Nem lehet ilyen!

Indirekt. Tegyük fel, hogy lehet.

1. Lemma bizonyítása

Ekkor van egy első irracionális, ennek csúcsában az egyenes két oldalán egy racionális és egy irracionális oldal találkozik:

A racionális oldalon kell lennie irracionálisnak is (és fordítva), a segédlemma miatt.

Tekintsük azt a csúcsot, ahol racionális oldal irracionálissal találkozik:

1. Lemma bizonyítása folyt.

A köztük levő lyukat be kell tömni:

1. Lemma bizonyítása folyt.

A zöld vonalak mentén újra előáll az eredeti helyzet. Alatta is és felette is folytathatjuk a bizonyítást a végtelenségig.

Így véges sok háromszöggel nem lehet befejezni.

Qed!

Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzat egy-egy oldalán vagy minden háromszögoldal racionális vagy mind irracionális.

2. Lemma

Tekintsünk egy háromszöget az egyik oldalon:

2. Lemma bizonyítása

Ezeket ki kell egészíteni szakasszá. Az 1. Lemma miatt csak azonos típusú oldalak találkozhatnak:

Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzat oldalainak “racionálissága” 45 fokonként változik. Tehát, ha két oldal közbezárt szöge 45 vagy 135 fok, akkor az egyik racionális, a másik irracionális, ha a közbezárt szög 90 fok, akkor mindkettő racionális vagy irracionális.

2. Lemma következménye

Pl. így:

Racionális oldalak

Irracionális oldalak

Egy ilyen sokszög egy szöge max. 135 fok lehet. Ha n oldalú a sokszög, akkor a szögeinek összegére felírható:

135n ≥ 180(n-2)

135n ≥ 180n-360

360 ≥ 45n

8 ≥ n

3. Lemma

Bizonyítás:

Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex sokszög maximum 8 szög lehet.

4. LemmaEgybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex sokszög beírható egy téglalapba úgy, hogy a téglalap oldalain racionális sokszögoldalak legyenek.

y

a

x

a=x, b=0, c=0

a

bb

c

c

d

da+b = c+d = x

A terület kétszeresére:

a2+b2+c2+d2+16=2xy

x≥a+b, x≥c+d,

y≥a+d, y≥c+b

a, b, c, d ≥ 0 és x, y > 0

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásaix y a b c d

1 8 0 0 0 0

1 9 1 0 1 0

1 9 1 0 0 1

8 9 8 0 8 0

4 6 4 0 4 0

2 6 2 0 2 0

2 6 2 0 0 2

5 5 4 1 4 1

5 5 5 0 3 0

3 5 3 0 1 2

3 5 3 0 2 1

2 5 1 1 1 1

2 5 2 0 0 0

4 4 2 2 2 2

4 4 4 0 0 0

3 4 2 0 2 0

3 4 2 0 0 2

2 4 0 0 0 0

3 3 1 0 1 0

3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásaix y a b c d

1 8 0 0 0 0

1 9 1 0 1 0

1 9 1 0 0 1

8 9 8 0 8 0

4 6 4 0 4 0

2 6 2 0 2 0

2 6 2 0 0 2

5 5 4 1 4 1

5 5 5 0 3 0

3 5 3 0 1 2

3 5 3 0 2 1

2 5 1 1 1 1

2 5 2 0 0 0

4 4 2 2 2 2

4 4 4 0 0 0

3 4 2 0 2 0

3 4 2 0 0 2

2 4 0 0 0 0

3 3 1 0 1 0

3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásaix y a b c d

1 8 0 0 0 0

1 9 1 0 1 0

1 9 1 0 0 1

8 9 8 0 8 0

4 6 4 0 4 0

2 6 2 0 2 0

2 6 2 0 0 2

5 5 4 1 4 1

5 5 5 0 3 0

3 5 3 0 1 2

3 5 3 0 2 1

2 5 1 1 1 1

2 5 2 0 0 0

4 4 2 2 2 2

4 4 4 0 0 0

3 4 2 0 2 0

3 4 2 0 0 2

2 4 0 0 0 0

3 3 1 0 1 0

3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásaix y a b c d

1 8 0 0 0 0

1 9 1 0 1 0

1 9 1 0 0 1

8 9 8 0 8 0

4 6 4 0 4 0

2 6 2 0 2 0

2 6 2 0 0 2

5 5 4 1 4 1

5 5 5 0 3 0

3 5 3 0 1 2

3 5 3 0 2 1

2 5 1 1 1 1

2 5 2 0 0 0

4 4 2 2 2 2

4 4 4 0 0 0

3 4 2 0 2 0

3 4 2 0 0 2

2 4 0 0 0 0

3 3 1 0 1 0

3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásaix y a b c d

1 8 0 0 0 0

1 9 1 0 1 0

1 9 1 0 0 1

8 9 8 0 8 0

4 6 4 0 4 0

2 6 2 0 2 0

2 6 2 0 0 2

5 5 4 1 4 1

5 5 5 0 3 0

3 5 3 0 1 2

3 5 3 0 2 1

2 5 1 1 1 1

2 5 2 0 0 0

4 4 2 2 2 2

4 4 4 0 0 0

3 4 2 0 2 0

3 4 2 0 0 2

2 4 0 0 0 0

3 3 1 0 1 0

3 3 1 0 0 1

Kín

ai ta

ng

ram

mal ki

rakh

ata

tlan

ok Ja

pán

tan

gra

mm

al

kira

kh

ata

tlan

ok

Hanoi tornyokHárom vagy több rúdon csökkenő átmérőjű korongok.

Cél a korongok áthelyezése egy másik rúdra.

Egyszerre csak egy korongot szabad mozgatni.

Kisebben nem lehet nagyobb.

Hanoi torony (az eredeti)Három rúd, bárhonnan, bárhova mozgathatók a korongok

Alaphelyzet

Vége!

Hogy lehet áttenni az utolsót?

H(n) lépés

H(n-1) lépés

1 lépés

H(n-1) lépés

Hanoi torony (az eredeti)

Szükséges lépésszám: H(n)

H(n)=H(n-1)+1+H(n-1)

H(n)=2H(n-1)+1

H(1)=1

Állítás: H(n)=2n-1

Bizonyítás teljes indukcióval!

H(1)=21-1=2-1=1

H(n)=2H(n-1)+1= 2*(2n-1-1)+1=2n-2+1=2n-1

Hanoi 4 tornya (Reve játéka)4 rúd, bárhonnan, bárhova mozgathatók a korongok

B(n)

B(n-1)

1

B(n-1)

Hanoi 4 tornya (Reve játéka)Egy jobb módszer

R(n)

R(n-i)

H(i)

R(n-i)

Hanoi 4 tornya (Reve játéka)

De mennyi legyen az i?

Ha n korong van és n háromszögszám, vagyis

n=k(k+1)/2

akkor belátható, hogy i=k a legjobb választás.

Ha n a k-1. és a k. háromszögszám között van, akkor k és k-1 is jó választás.

Hanoi 4 tornya (Reve játéka)

De mennyi legyen az i?

Néhány n-re a jó i és a szükséges lépésszám:

n i R(n)

1 1 1

2 2 3

3 2 5

4 3 9

5 3 13

6 3 17

7 4 25

8 4 33

22

*)(n

nnR

Ez a legjobb???

Hanoi ciklikus tornyai4 rúd, csak körben mozgathatók a korongok

Feladat: az elsőről a 3-ra vinni a korongokat

Hanoi ciklikus tornyaiC(n)

C(n-1)

1

C(n-1)

1

C(n-1)

C(1)=2

C(n)=3C(n-1)+2

C(n)=3n-1

Van ennél jobb?

Van, de ismeretlen!!!

2, 8, 18, 36, 66, 120, 210

lépés kell minimum!

Hanoi szomszédos tornyai4 rúd, csak a szomszédosra mozgathatók a korongok

Erre sem tudunk jó módszert!

3, 10, 19, 34, 57, 88 ... lépés szükséges.

Hanoi tornyokRokonjátékok:

Hanoi tornyokEmeletes kigabalyító

Megoldatlan problémák:• Egyéb tangramokból előállítható konvex

alakzatok• Reve játékának (4-es hanoi) optimális stratégiája• Ciklikus és szomszédos hanoi jó stratégiája• Ezek lépésszámára egy jobb, zárt alakú becslés• 4-nél több tornyú hanoik vizsgálata

Tangramok és hanoi tornyok