View
10
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť
Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
Technické kreslenie učebné texty
pre 1. a 2. ročník študijných odborov
8260 6 propagačné výtvarníctvo
8261 6 propagačná grafika
Mgr. Jitka Pukšová
marec 2012
Stredná umelecká škola Ladislava Bielika,
Vajanského 23, Levice
Nitriansky samosprávny kraj
Obsah
ÚVOD ............................................................................................................................... 4
1. ROČNÍK ........................................................................................................................ 5
1 TECHNICKÉ PÍSMO ...................................................................................................... 5
1.1 VÝZNAM TECHNICKÉHO KRESLENIA A ZÁKLADNÉ MATERIÁLY A POMÔCKY POTREBNÉ PRE TECHNICKÉ
KRESLENIE ................................................................................................................................................... 6
1.2 ZÁSADY KRESLENIA OD RUKY A KRESLENIE NÁČRTU................................................................................ 7
1.3 DRUHY ČIAR V TECHNICKOM KRESLENÍ ................................................................................................... 8
1.4 TECHNICKÉ PÍSMO .................................................................................................................................. 8
2 ZÁKLADY RYSOVANIA ................................................................................................ 11
2.1 NORMALIZÁCIA V TECHNICKOM KRESLENÍ ............................................................................................ 12
2.2 DRUHY TECHNICKÝCH VÝKRESOV ......................................................................................................... 13
2.3 FORMÁTY VÝKRESOV............................................................................................................................. 14
2.4 SKLADANIE VÝKRESOV .......................................................................................................................... 15
2.5 ROZMNOŽOVANIE VÝKRESOV ................................................................................................................ 16
2.6 MIERKY ZOBRAZOVANIA NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH ........................................................................ 17
3 TECHNICKÝ VÝKRES .................................................................................................. 18
3.1 ÚPRAVA VÝKRESOVÉHO LISTU ............................................................................................................... 19
3.2 TITULNÝ BLOK VÝKRESOV ..................................................................................................................... 22
4 JEDNODUCHÉ TELESÁ ............................................................................................. 24
4.1 JEDNODUCHÉ TELESÁ ........................................................................................................................... 25
4.2 SIETE MNOHOSTENOV .......................................................................................................................... 25
4.3 SIETE VALCOV A KUŽEĽOV ..................................................................................................................... 30
4.4 SIETE N-BOKÝCH HRANOLOV A IHLANOV .............................................................................................. 31
4.5 SIETE ZREZANÝCH TELIES ..................................................................................................................... 32
4.6 ZAUJÍMA VÁS? ...................................................................................................................................... 34
5 PREMIETANIE ............................................................................................................ 36
5.1 PRAVOUHLÉ PREMIETANIE NA NIEKOĽKO PRIEMETNÍ ............................................................................ 37
6 MONGEOVO PREMIETANIE ...................................................................................... 39
6.1 PRIEMETY BODOV .................................................................................................................................40
6.2 PRIEMETY PRIAMKY .............................................................................................................................. 44
6.3 PRIEMETY ROVINY, STOPY ROVINY ........................................................................................................ 50
6.4 SKUTOČNÁ VEĽKOSŤ ÚSEČKY ................................................................................................................ 56
7 KÓTOVANIE NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH .......................................................... 59
7.1 KÓTOVANIE A PRVKY KÓTOVANIA ..........................................................................................................60
7.2 KÓTOVANIE POLOMEROV, PRIEMEROV, UHLOV, ZAOBLENÍ .................................................................... 65
7.3 SPÔSOBY KÓTOVANIA ............................................................................................................................ 69
8 TECHNICKÉ KRIVKY .................................................................................................. 71
8.1 TECHNICKÉ KRIVKY, ROZDELENIE ......................................................................................................... 72
8.2 ELIPSA ................................................................................................................................................. 73
8.3 METÓDY KONŠTRUKCIE ELIPSY ............................................................................................................. 74
8.4 INÉ TECHNICKÉ KRIVKY ........................................................................................................................ 78
2. ROČNÍK ..................................................................................................................... 82
9 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE ....................................................................................... 82
9.1 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE ..................................................................................................................... 83
9.2 KOSOUHLÉ PREMIETANIE ..................................................................................................................... 85
9.3 PRAVOUHLÁ AXONOMETRIA ................................................................................................................. 86
9.4 ZAUJÍMA VÁS? ...................................................................................................................................... 89
10 OSVETLENIE TELIES ................................................................................................ 92
10.1 OSVETĽOVANIE TELIES ........................................................................................................................ 93
10.2 KONŠTRUKCIA VLASTNÉHO A VRHNUTÉHO TIEŇA ............................................................................... 95
11 PERSPEKTÍVNE ZOBRAZOVANIE .............................................................................97
11.1 PERSPEKTÍVA ....................................................................................................................................... 98
11.2 HISTÓRIA PERSPEKTÍVNEHO ZOBRAZOVANIA ....................................................................................... 99
11.3 ZÁKLADNÉ POJMY .............................................................................................................................. 113
11.4 DRUHY PERSPEKTÍV ........................................................................................................................... 115
11.5 KONŠTRUKCIA PERSPEKTÍVY ............................................................................................................... 119
11.6 ANAMORFÓZA A NESKUTOČNÁ PERSPEKTÍVA ..................................................................................... 122
ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY .............................................................................. 128
4
Úvod
Milí študenti,
prichádza k vám učebný text, ktorý si kladie vysoký cieľ, a to uľahčiť vám
zoznamovanie sa so základnými informáciami predmetu Technické kreslenie. Je
určený všetkým vám, ktorí ste sa rozhodli svoje stredoškolské štúdium zasvätiť
odborom propagačná grafika a propagačné výtvarníctvo na pôde Strednej umeleckej
školy Ladislava Bielika v Leviciach.
Veríme, ţe ste sa uţ s technickým kreslením stretli aj na ZŠ a ţe chápete, akým
prínosom pre váš odborný rast a vašu profesiu do budúcnosti tento odborný
vyučovací predmet je. Veď grafik či výtvarník je často zároveň aj technikom, ktorý
svoj nápad a inšpiráciu aj správne navrhne, zakreslí, narysuje, premietne, okótuje,
a samozrejme aj zrealizuje.
Technické kreslenie je medzinárodným dorozumievacím jazykom všetkých
technikov a ostatných odborníkov. Rozvíja chápanie vzťahov medzi skutočnými
priestorovými objektami a ich zobrazením, buduje priestorovú predstavivosť a
schopnosť čítať a vytvárať technické výkresy,
Veríme, ţe sa tento učebný text stane na dva roky vaším sprievodcom na ceste
za zdokonalením vašich teoretických vedomostí aj praktických zručností a ţe sa
stanete kvalitnými odborníkmi vo svojej profesii.
Prajeme vám veľa trpezlivosti a najmä úspechov pri štúdiu
Mgr. Jitka Pukšová
5
1. ročník
1 Technické písmo
1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály
a pomôcky potrebné pre technické kreslenie
1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu
1.3 Druhy čiar v technickom kreslení
1.4 Technické písmo
6
1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály
a pomôcky potrebné pre technické kreslenie
Kaţdý technik musí mať veľa trpezlivosti, svedomitosti, presnosti
a dokonalých znalostí z oblasti, ktorá úzko súvisí s jeho budúcou
profesiou. Študenti študijných odborov propagačná grafika,
propagačné výtvarníctvo a priemyselný dizajn musia ovládať
základy technického kreslenia, zdokonaľovať vytváranie priestorovej predstavy
a budovať medzipredmetové vzťahy s odbornými predmetmi technológia, prax, či
navrhovanie.
Technické kreslenie a jeho význam:
vypestovanie predstavivosti
nadobudnutie zručnosti a vôľových vlastností v technickom kreslení, ako pri
popisovaní, tak aj pri zhotovovaní výkresov, náčrtov...
schopnosť kresliť náčrty od ruky
vyuţívanie technických noriem a ich aplikácia
čítanie výkresov a inej technickej dokumentácie
Pomôcky a materiály:
rysovacie dosky
príloţník – základné pravítko na kreslenie vodorovných čiar
trojuholníky
ceruzky – tuha 6-8 mm, pri kreslení 75º
kruţidlo – začíname kresliť akoby na číslici 8 na ciferníku hodín v smere
pohybu hodinových ručičiek
nulovacie kruţidlo – malé
priemery
tuhy
liner-graphic
guma – najlepšie z plastov
uhlomer
krividlá Obr. 1 Súprava technických pier
http://www.pisaciepotreby.sk/technickekreslenie/
7
šablóny
rysovací papier
pauzovací papier
Obr.2 Rysovacie pomôcky
1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu
Pri kreslení od ruky dbáme na to, aby sme pohybom ruky a pomôckami nerozotierali
čiary po výkrese. Krátke čiary kreslíme pohybom ruky od zápästia, dlhé čiary
kreslíme pohybom celej ruky.
Najprv kreslíme kruţnice a oblúky, potom k nim pripájame priamky. Vyťahovať
začíname vľavo hore a postupujeme vpravo dolu.
Náčrt slúţi pre prvotné vyjadrenie myšlienky zrozumiteľným obrázkom.
Pri kreslení náčrtu pouţívame mäkkú ceruzku.
Postup pri kreslení náčrtu:
súčiastku si dobre prezrieme a rozhodneme koľko priemetov potrebujeme na
úplné zobrazenie
zvolíme veľkosť obrázkov
pri súmerných rotačných súčiastkach nakreslíme všetky osi
obrysy a hrany súčiastok nakreslíme tenkými plnými čiarami
vytiahneme viditeľné hrany a obrysy hrubými čiarami a neviditeľné obrysy
čiarkovanými čiarami
nakreslíme pomocné a kótovacie čiary, šípky, tapíšeme kóty
vyšrafujeme plochy rezu a prierezu
napíšeme názov súčiastky, materiál ...
8
1.3 Druhy čiar v technickom kreslení
Na zobrazovanie na výkresoch sa pouţíva niekoľko druhov čiar.
Podľa grafického vyhotovenia sa čiary rozdeľujú na :
pravidelné - plné alebo prerušované,
nepravidelné - obyčajne kreslené voľnou rukou.
Podľa vzájomného pomeru hrúbok delíme čiary na tenké a hrubé a veľmi hrubé.
Hrúbka čiar sa volí z geometrického radu, ktorý je odstupňovaný pribliţne s činiteľom
√2: 0,13-0,18-0,25-0,5-0,7-1,0-1,4-2,0 mm.
Pre technické výkresy sa pouţívajú čiary so vzájomne odlišnými pomermi hrúbok.
Obr. 3 Druhy čiar
1.4 Technické písmo
Technickým písmom sa v technike popisuje technická dokumentácia – výkresy,
tabuľky, kóty, poznámky – podľa STN ISO 3098 (01 3115)
Na popisovanie výkresov sa pouţíva prednostne písmo veľkej abecedy a arabské
číslice. Výnimku tvoria zápisy meracích jednotiek, kde sa pouţívajú písmená malej
abecedy – napr. kg, mm...
9
Písmo je charakterizované:
tvarom – býva určený vzorovým predpísaním v tabuľke
veľkosťou – je určená výškou písmen veľkej abecedy v mm
šírkou
hrúbkou = hrúbka čiary
sklonom: kolmé, šikmé 75
Veľkosť písma: (1,8) 2,5 3,5 5,0 7,0 10,0 14,0 (20,0) mm
Typ:
- kolmé a šikmé písmo typu A: výška = 14 × hrúbka
- kolmé a šikmé písmo typu B: výška = 10 × hrúbka
Prednostne sa má pouţívať kolmé písmo abecedy typu B:
Obr. 4 Typy písma
10
Zadanie technickej dokumentácie
1. Do predpísanej šablóny doplňte technické písmo
2. Na výkres narysujte podľa vzoru rôzne druhy čiar a technickým písmom ich
popíšte.
Obr. 5 Technická dokumentácia - druhy čiar
11
2 Základy rysovania
2.1 Normalizácia v technickom kreslení
2.2 Druhy technických výkresov
2.3 Formáty výkresov
2.4 Skladanie výkresov
2.5 Rozmnožovanie výkresov
2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch
12
2.1 Normalizácia v technickom kreslení
Normalizácia je usmernenie ľudskej činnosti z hľadiska hospodárnosti, materiálu,
kvality a vymeniteľnosti výrobkov podľa určitých zásad. Súčasne umoţňuje zvyšovať
produktivitu práce, dosahovať úspory materiálu, lepšie vyuţívať výrobné prostriedky
a zaisťovať bezpečnosť a ochranu zdravia pri práci.
Tvorbu a vydávanie noriem riadi Slovenský ústav technickej normalizácie pomocou
Technických normalizačných komisií vytvorených pre jednotlivé odbory.
Slovenské technické normy (STN) sa označujú podľa toho, aká je ich zhoda
s medzinárodnými normami.
Značku STN XX XXXX majú normy platné len na Slovensku.
Značku STN ISO YYY ( XX XXXX ) majú slovenské technické normy, v ktorých
sú zapracované medzinárodné normy ISO čísla YYY. Číslo v zátvorke (XX XXXX) je
triediace číslo danej normy v sústave STN a má význam:
Obr. 6 Slovenská technická norma
1. trieda normy, ktorá označuje názov odboru pre ktorý norma platí
2. skupina normy
3. podskupina normy
4. poradové čislo
5. doplnkové číslice
Značku STN EN ISO YYY (XX XXXX) majú slovenské technické normy platné
ako európske normy EN a medzinárodné normy ISO čísla YYY
13
Technická normalizácia
umoţňuje sériové, hromadnú a plynulú výrobu, a tým ju urýchľuje a zlacňuje
zvyšuje produktivitu práce, poskytuje výhody národnému hospodárstvu
i spotrebiteľom
zabezpečuje kvalitu výrobkov
dáva predpoklady na dokonalejšie vyuţitie energie, materiálu a surovín, zniţuje
hmotnosť výrobkov
rieši pracovné a ţivotné prostredie
2.2 Druhy technických výkresov
Základom technickej dokumentácie je technický výkres, ktorý je nositeľom technickej
myšlienky a zároveň dorozumievacím prostriedkom medzi technikmi.
Delenie výkresov:
• podľa obsahu a určenia
o výkresy jednotlivých súčiastok čiţe detailné výkresy
o výkresy zmontovaných súčiastok čiţe výkresy zostáv
Obr. 7 Druhy technických výkresov
14
• podľa spôsobu vyhotovenia
o náčrt (škica) - väčšinou sa kreslí ceruzkou voľnou rukou, nemusí sa
kresliť v mierke a udávajú sa v ňom iba základné kóty,
o originál (základný výkres alebo matrica) - kreslí sa ceruzkou alebo tušom,
najčastejšie na pauzovacom papieri. Originál je určený na zhotovenie
kópie a archivuje sa,
o kópia sa zhotovuje z originálu rozmnoţovaním. Kópia sa pouţíva ako
pracovný výkres pre výrobu a montáţ.
2.3 Formáty výkresov
Výkresy kreslíme na papieri určitej veľkosti čiţe formátu. Základným formátom
skupiny A je obdĺţnik plochy 1 m2 s pomerom strán 1: 2 , (1: 1,414). Tento formát
označujeme A0. Ostatné formáty vznikajú postupným delením väčších formátov na
menšie: A1, A2, A3, A4.
Formáty výkresov skupiny A
Obr. 8 Formáty výkresov
Základný formát je A0, má plochu 1m² a strany v pomere 1: 2
Rozmery základných formátov sú v tabuľke
Formáty výkresov sú leţaté (v horizontálnej polohe), iba formát A4 sa prednostne
pouţíva vo vertikálnej polohe (stojatý formát)
15
Tab. 1 Formáty výkresov
Formát a (mm) b (mm)
A4 210 297
A3 297 420
A2 420 594
A1 594 841
A0 841 1189
Predĺžené formáty
V osobitých prípadoch môţeme pouţiť predĺţené formáty. Ich pouţitiu sa však
treba vyhýbať.
Predĺţené formáty sa tvoria kombináciou rozmerov kratšej strany formátov radu A
(napr. A3) s rozmermi dlhšej strany nasledujúcich väčších formátov radu A (napr.
A1). Výsledkom je nový formát, napríklad s označením A3.1.
2.4 Skladanie výkresov
STN 01 3111 určuje spôsoby skladania kópii všetkých druhov technických výkresov.
Výkresy originálov a matíc sa neskladajú.
Kópie výkresov sa môţu skladať na :
voľné zaraďovanie do súboru (zloţiek),
priame zviazanie (zošitie a pod.),
zviazanie (zošitie a pod.) s pásikom na zachytenie.
Skladanie výkresov:
skladanie na formát A4,
skladanie harmonikovite v oboch smeroch,
16
titulný blok má byť vpredu dole.
Obr. 9 Skladanie výkresov
2.5 Rozmnožovanie výkresov
Originály sú veľmi dôleţité tak pre výrobu, ako aj pre dokumentáciu. Preto sa pre
výrobu priamu nepouţívajú, ale ukladajú sa do archívu. V praxi sa pouţívajú kópie,
ktoré môţu byť negatívne, pozitívne, prípadne transparentné.
Pri rozmnoţovaní výkresovej dokumentácie sa dnes pouţívajú rozličné techniky
a spôsoby reprografie.
Diazografia (nesprávne nazývaná svetlotlač) je technika vyuţívajúca na vytvorenie
obrazu vlastnosti diazozlúčeniny (čpavok).
Elektrografia je technika vyuţívajúca vlastnosti fotopolovodičov na vytvorenie
latentného nábojového obrazu, ktorý počas vyvolávacieho procesu púta pigment.
(Xerografia názov podľa prístroja Rank Xerox).
Mikrofilmová technika pouţíva zvitok alebo pásik filmu s mikrozáznamami. Plocha
mikroštítku je 600-krát menšia neţ plocha výkresu A0. Z mikroštítku sa premieta
zväčšený obraz na reprodukčný materiál.
17
2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch
Mierky, ich veľkosť a zapisovanie na všetkých druhoch technických výkresov sa zvolí
podľa :
účelu a obsahu výkresu,
zloţitosti a hustoty kresby zobrazeného predmetu,
poţiadaviek na čitateľnosť a presnosť kresby.
Úplnosť označenia mierky pozostáva zo slova MIERKA (alebo jeho ekvivalentu
v jazyku pouţitom na výkrese a za ním sa uvedie označenie pomeru, napríklad :
MIERKA 1:1 pre skutočnú veľkosť,
MIERKA X:1 pre zväčšenie,
MIERKA 1:X pre zmenšenie.
Ak nemôţe dôjsť k nedorozumeniu, slovo MIERKA sa nemusí uviesť.
Označenie mierky pouţitej na výkrese sa zapisuje do titulného bloku výkresu.
Ak nie je obraz kreslený v mierke, napíše sa v titulnom bloku v rubrike Mierka
písmeno N ako skratka NIE JE.
Mierky zmenšenia: 1:2 1:5 1.10 1:20 1:50 1:100 ...
Mierky zväčšenia: 2:1 5:1 10:1 20:1 50:1 ...
18
3 Technický výkres
3.1 Úprava výkresového listu
3.2 Titulný blok výkresov
19
3.1 Úprava výkresového listu
Výkresový list technického výkresu musí byť orezaný.
Lem – plocha medzi rámikom kresliacej plochy a okrajom orezaného listu
Šírka lemu:
hore, dole, vpravo 10 mm
vľavo kvôli väzbe 20 mm
Rámik kresliacej plochy – súvislá hrubá čiara hrúbky 0,7 mm
Strediace úsečky:
sú štyri,
umiestňujú sa na koncoch dvoch osí súmernosti orezaného listu,
kreslia sa súvislou čiarou hrúbky 0,7 mm,
začínajú sa na leme orientačnej mrieţky a presahujú 5 mm za rámček
plochy na kreslenie.
Obr. 10 Úprava výkresového listu
20
Orezávacie značky:
umiestňujú sa v rohoch výkresového listu
majú tvar prekrývajúcich sa obdĺţnikov s rozmermi 10x5 mm
Obr. 11 Orezávacie značky
Sústava orientačnej mriežky:
podľa normy STN ISO 3098-1,
5 mm od lemu po všetkých stranách,
pri formáte A4 sa robí len na hornej a pravej strane,
dĺţka polí je 50 mm,
delenie začína vţdy od strediacich značiek,
počet polí závisí od formátu,
polia sa označujú zhora nadol veľkými zvislými písmenami (okrem I a O)
po oboch stranách,
polia sprava doľava sa označujú zvislými číslicami,
výška písmen a číslic má byť 3,5 mm,
čiary sústavy orientačnej mrieţky sa kreslia súvislou čiarou hrúbky 0,35
mm.
21
Obr.12 Sústava orientačnej mrieţky
Obr. 13 Technický výkres
22
3.2 Titulný blok výkresov
Výrobný výkres je dorozumievacím prostriedkom medzi konštrukciou a výrobou.
Musí spĺňať poţiadavky noriem a podľa toho musí obsahovať titulný blok.
Titulný blok:
podľa STN ISO 7200 (01 3250)
umiestňuje sa v pravom dolnom rohu
obsahuje:
o identifikačné pole
o doplňujúce polia:
informatívne údaje
technické údaje
administratívne údaje
Informatívne údaje:
Metóda zobrazenia
Hlavná mierka
Dĺţkové jednotky – ak sú iné ako milimetre
Technické údaje:
Spôsob značenia drsnosti povrchu
Tolerancie
Technické normy – materiál, druh, tvar, rozmer
Administratívne údaje:
Formát výkresového listu
Dátum vydania prvého výkresu
Mená a podpisy zodpovedných osôb
23
Obr. 14 Titulný blok
Obr. 15 Titulný blok
24
4 Jednoduché telesá
4.1 Jednoduché telesá
4.2 Siete mnohostenov
4.3 Siete valcov a kužeľov
4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov
4.5 Siete zrezaných telies
4.6 Zaujíma vás?
25
4.1 Jednoduché telesá
Telesá moţno rozdeliť podľa rôznych kritérií.
Jedno možné rozdelenie telies do dvoch skupín je nasledovné:
Mnohosteny, kde patria napr. kocka, hranol, kváder, štvorsten,
rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan.
Všetky ostatné, kde patria napr. rotačný a šikmý valec, rotačný a šikmý
kuţeľ, zrezaný kuţeľ, guľa a jej časti.
V škole budeme pouţívať najčastejšie rozdelenie telies na nasledujúce dve hlavné
skupiny:
Mnohosteny, ktoré sa rozdeľujú do dvoch podskupín:
1) hranoly - hranol, kocka, pravidelný n-boký hranol, kváder...
2) ihlany – ihlan a zrezaný ihlan, pravidelný n-boký ihlan a pravidelný zrezaný
n-boký ihlan, štvorsten a pravidelný štvorsten...
Rotačné telesá: kolmý (kruhový) valec, kolmý (kruhový) kuţeľ a zrezaný
kolmý (kruhový) kuţeľ, guľa a jej časti
4.2 Siete mnohostenov
Pravidelný mnohosten musí spĺňať kritériá:
1. konvexnosť – musí byť konvexný, t. j. kaţdá jeho strana má šancu byť
zvolená, „padnúť“ (napr. konvexný je štvrťkruh, nekonvexný je
trištvrtekruh),
2. steny musia byť pravidelné n-uholníky – najmenší je rovnostranný
trojuholník, teleso je štvorsten,
3. pri kaţdom vrchole musí byť zoskupený rovnaký počet stien (inak by
nebol pravidelný).
26
4. dá sa opísať aj vpísať guľa, t. j. existuje guľová plocha, ktorá obsahuje
všetky vrcholy a guľová plocha dotýkajúca sa všetkých stien zvnútra.
Mnohosteny, ktoré spĺňajú tieto podmienky sú: pravidelný štvorsten,
pravidelný šesťsten, pravidelný osemsten, pravidelný dvanásťsten a
pravidelný dvadsaťsten.
Medzi počtom stien, hrán a vrcholov konvexného mnohostena platí vzťah
(známy asi dvetisíc rokov ), ktorý dostal pomenovanie po matematikovi, ktorý ho
dokázal.
Eulerova veta o mnohostenoch
V kaţdom konvexnom mnohostene, v ktorom označíme s počet stien, h počet hrán,
v počet vrcholov, platí rovnosť
s+v = h+2, resp s+v -h = 2
Mnohosteny
pravidelný štvorsten (tetraéder), steny sú rovnostranné trojuholníky,
pravidelný šesťsten (hexaéder) - kocka, steny sú štvorce,
pravidelný osemsten (oktaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky,
pravidelný dvanásťsten (dodekaéder), steny sú pravidelné päťuholníky,
pravidelný dvadsaťsten (ikosaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky.
Obr. 16 Mnohosteny
http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_4sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_6sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_8sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_12sten.cg3http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/Kapitola_5_final/pravidelny_20sten.cg3
27
Sieťou telesa [sieťou mnohostena] sa nazýva súvislý rovinný útvar, ktorý je
zjednotením častí [mnohouholníkov] zhodných s časťami hranice telesa [so stenami
mnohostena], rozloţených v rovine tak, ţe ich opätovným zloţením dostaneme
hranicu telesa [mnohostena]. V prípade mnohostena dotýkajúce sa hraničné
mnohouholníky majú spoločnú celú stranu.
Rozloţiť hranicu telesa (mnohostena) do roviny je moţné viacerými spôsobmi,
ale len niektoré z nich budú jeho sieťami, a teda vhodnými na vytvorenie
(papierového) modelu.
Vytvoriť (takýto) model telesa teda znamená:
zostrojiť sieť telesa (mnohostena),
umiestniť vhodne záloţky na zlepenie.
Najdôležitejšie vlastnosti pravidelných mnohostenov týkajúcich sa počtu
stien, vrcholov a hrán uvedieme prehľadne v nasledujúcej tabuľke:
Tab.2 Dôleţité číselné údaje o pravidelných mnohostenoch.
Počet Počet hrán/strán
Názov
pravidelného mnohostena stien vrcholov hrán
jedného
vrchola
jednej
steny
s v h m n
štvorsten (tetraéder) 4 4 6 3 3
šesťsten (hexaéder) –
kocka
6 8 12 3 4
osemsten (oktaéder) 8 6 12 4 3
dvanásťsten (dodekaéder) 12 20 30 3 5
dvadsaťsten (ikosaéder) 20 12 30 5 3
28
Na nasledujúcom obr.17 sú ukáţky sietí všetkých pravidelných mnohostenov (aj
so záloţkami). Nakreslite ďalšie siete pravidelných mnohostenov a zostrojte si
modely týchto telies.
Obr. 17 Siete pravidelných mnohostenov - platónskych telies aj so záloţkami:
štvorstena, šesťstena, osemstena, dvanásťstena, dvadsaťstena
29
Na obr. 18 je ukáţka hranového a stenového modelu konvexného mnohostena,
mnohostena s čiastočne rozloţenou sieťou a jeho siete
Obr. 18 Konvexný mnohosten
c)
d)
a) b)
30
4.3 Siete valcov a kužeľov
Hranica valcov a kuţeľov je zjednotením ich plášťov a podstáv. Z toho vyplýva
výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P (ak budú dve, pridáme k
písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom Q.
Hranicu rotačného valca tvorí plášť a dve kruhové podstavy. Aby sme zostrojili
sieť valca, rozvinieme plášť do roviny. Preto plášť „rozstrihneme“ pozdĺţ jednej
tvoriacej úsečky a vznikne obdĺţnik. Dĺţky strán tohto obdĺţnika sú určené výškou
valca a obvodom podstavného kruhu.
Hranicu rotačného kuţeľa tvorí plášť a kruhová podstava. Plášť kuţeľa môţeme
tieţ „rozstrihnúť“ pozdĺţ tvoriacej úsečky s dĺţkou s a rozvinúť do roviny. Vznikne
kruhový výsek s polomerom 22 vrs (obr. 14b), pričom dĺţka oblúka sa rovná
dĺţke obvodu kruhovej podstavy l = 2πr. Stredový uhol kruhového výseku má veľkosť
sπ2
srl a obsah kruhového výseku, t.j. obsah plášťa je rsQ
srss ππ2
π2π
π2π 22 .
Obr. 20 Rotačný valec a jeho sieť, rektifikácia kruţnice
S
S
v
r
s
k
k
S
r
k
S
k
r
v
2r
r
O X Y
S
k r
r r r
Z
30°
31
4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov
V tejto časti sa budeme zaoberať vzťahmi, pomocou ktorých vypočítame povrch
jednoduchých hranatých telies, a to hranolov a ihlanov (vrátane zrezaných
ihlanov) a sieťami týchto telies.
Zjednotenie všetkých bočných stien hranola, ihlana alebo zrezaného ihlana
tvorí ich plášť. Hranica kaţdého z týchto telies je zjednotením jeho plášťa
a podstáv. Z toho vyplýva výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P
(ak budú dve, pridáme k písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom
Q.
Obr. 21 Rotačný kuţeľ a jeho sieť
S
r
k
V
s
S
V
v s
k
r
Obr. 22 Pravidelný 3-boký hranol a jeho sieť
C
C
C A
C
B C
C B A
v
a
a
v
B
B A C
C
a
A
A
A
B C
a a
a
w
32
Sieť ihlana z obr. 23 tvorí zjednotenie štyroch rovnoramenných zhodných
trojuholníkov so základňou a, výškou w (w je stenová výška) a jedného štvorca so
stranou dĺţky.
4.5 Siete zrezaných telies
Hranicu zrezaného rotačného kužeľa tvorí plášť a dve kruhové podstavy.
Pretoţe plášte rotačných kuţeľov sú kruhové výseky, plášť zrezaného kuţeľa sa
rozvinie do výseku medzikruţia – výseku kruhového pásu (ako rozdiel kruhových
výsekov - plášťov pôvodného a odrezaného kuţeľa) so stranou dĺţky
2221 )( vrrs , za predpokladu, ţe poznáme polomery podstáv a výšku
zrezaného rotačného kuţeľa. Obsah plášťa zrezaného rotačného kuţeľa je
srrQ )π( 21 .
Obr. 23 Pravidelný 4-boký ihlan a jeho sieť
A
V
A
D
A
B
C P
B
a
w
a
A B
C D
V
v w
a
P S
Obr. 24 Zrezaný kuţeľ a jeho sieť
2r
2
2r
1
s
r2
r1
S1
S2
33
Príklad konkrétnej konštrukcie siete a znázornenie zrezaného pravidelného
šesťbokého ihlana a jeho sieť vidíme na nasledujúcom obr. 25
Obr. 25 Zrezaný pravidelný šesťboký ihlan
34
4.6 Zaujíma vás?
Pravidelné mnohosteny alebo platónovské či Platónove telesá, sú špecifické
mnohosteny. Ich názov naznačuje, ţe boli známe matematikom uţ v starovekom
antickom Grécku. Napriek názvu neobjavil ich samotný Platón (ţil asi v rokoch 428-
347 pred n.l.), ale venoval sa len ich štúdiu v súvislosti s filozofiou. Pravidelné
mnohosteny boli opísané Euklidom (ţil asi v rokoch 365-300 pred n.l.) v 13. knihe
(kapitole) jeho Základov. Pravidelných mnohostenov je len päť typov a tento fakt bol
dokázaný aţ v 18. storočí. Podľa Platóna štvorsten predstavuje oheň, kocka zem,
osemsten vzduch, dvanásťsten éter, materiál, z kt. sú nebo a hviezdy, dvadsaťsten
vodu. Štvorsten, osemsten, dvadsaťsten patria do početnejšej skupiny telies, pretoţe
ich steny sú zhodné rovnostranné trojuholníky, nazývame ich deltaédry (z gréckeho:
stena = éder)..
Platónovské telesá sú geometrickým modelom viacerých (súmerných)
prírodných štruktúr. V chémii sa napr. študuje stavba molekúl a kryštálových mrieţok,
v mineralógii sa podobne študuje geometria kryštálov. Je všeobecne známe, ţe
chlorid sodný (NaCl – kuchynská soľ) kryštalizuje v kockách, ale asi uţ menej, ţe
napr. bór v dokonalých dvadsaťstenoch. Podľa najnovších objavov v biológii aj
mnohé vírusy, o ktorých sa predpokladalo, ţe majú guľovitý tvar, by mali mať tvar
pravidelného dvadsaťstena, napr. vírus detskej obrny a iné. Pravidelné mnohosteny
(ich rovinné grafy) sa študujú aj v teórii grafov.
Ku kaţdému konvexnému mnohostenu sa dá zostrojiť duálny mnohosten tak,
ţe za vrcholy duálneho mnohostena zvolíme stredy stien pôvodného. Potom vzniknú:
- duál štvorstenu = opäť štvorsten
- duál kocky = osemsten
- duál osemstenu = kocka
- duál dvanásťstenu = dvadsaťsten
- duál dvadsaťstenu = dvanásťsten
35
Worling - teória skladania papiera do geometrických tvarov, napr. štvorec,
obdĺţnik, trojuholník, päťuholník, šesťuholník a pod. Popis: Papier A4 - máme štyri
vrcholy, dva susedné, dva protiľahlé, spojte dva protiľahlé vrcholy, stisnite papier,
nechajte preloţené, spojíme dva najvzdialenejšie vrcholy, preloţíme tak, aby vznikla
stredová os, potom narovnáme naspäť, dve protiľahlé najkratšie strany priloţíme na
stredovú os a vznikne päťuholník (moţno).
Stella octangula - Je to hviezdicový mnohosten, ktorý je zloţený z dvoch do
seba prenikajúcich štvorstenov, tak vytvára hviezdu. Všetky steny sú zhodné
rovnostranné trojuholníky. Prienikom dvoch štvorstenov je pravidelný osemsten.
Obr. 19 Stella octangula
Projekt
Siete jednoduchých telies – Poďme sa hrať
Navrhnite a vytvorte model hračky pre deti alebo darčekového predmetu pre
dospelých zloţený z jednoduchých a zrezaných telies. Prezentujte svoj model formou
albumu fotografií.
36
5 Premietanie 5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko
priemetní
37
5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko priemetní
Pre zobrazenie predmetu do rovinnej plochy pouţívame rôzne
druhy premietania. Ak chceme zobraziť celkový tvar predmetu na
jednu plochu, tzv. priemetňu, pouţívame názorné obrazy telesa,
ktoré vyuţívajú tieto druhy premietania: pravouhlá axonometria
a šikmé premietanie. S týmito druhmi premietania sa budeme zaoberať neskôr.
Druhy premietania podľa sklonu premietacích lúčov:
Stredové premietanie: je také, ak premietané lúče vychádzajú z jedného
centra
Kosouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú navzájom rovnobeţné
a dopadajú na premietaciu rovinu šikmo
Pravouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú rovnobeţné a kolmé
na premietaciu plochu
Na dokonalé technické určenie tvaru telesa nestačí jeho názorný obraz. Vidíme len
obmedzený počet hrán a stien telesa. Preto v technickom kreslení zobrazujeme
predmety presnejším spôsobom, tzv. pravouhlým premietaním.
Rovinu, na ktorej zobrazujeme teleso, nazývame priemetňou. Samotný obraz je
priemet. Spôsob, akým teleso zobrazujeme, nazývame premietaním.
Pre technické zobrazovanie je typické, ţe zobrazovaný predmet umiestnime
vzhľadom na priemetne do priečelnej polohy
Priemetňa - rovina, na ktorú premietame
Nárysňa - označenie X,Z . Zobrazuje teleso pri pohľade spredu - 1
Bokorysňa - označenie Z,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zľava - 2
Pôdorysňa - označenie X,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zhora - 3
ľavý bokorys
spodný pohľad
zadný pohľad
38
Obr. 26 Uloţenie priemetní Obr. 27 Pravouhlé premietanie
Obr. 28 Zdruţené priemetne a priemety
39
6 Mongeovo premietanie
6.1 Priemety bodov
6.2 Priemety priamok
6.3 Priemety roviny, stopy roviny
6.4 Skutočná veľkosť úsečky
40
6.1 Priemety bodov
Mongeova projekcia (premietanie) je zobrazovacia metóda, v
ktorej priestorové objekty kolmo premietame do dvoch vzájomne
kolmých priemetní a potom tieto priemetne zdruţíme, t.j. jednu
otočíme okolo ich spoločnej priesečnice o uhol veľkosti 90° .
Zdruţením priemetní získame jedinú rovinu, tzv. nákresňu, v ktorej
máme obidva priemety zobrazovaných priestorových objektov.
Dve navzájom kolmé roviny π, υ v trojrozmernom euklidovskom priestore:
prvá priemetňa – rovina π; v technickej praxi pôdorysňa
druhá priemetňa – rovina υ; υ technickej praxi nárysňa
základnica x – priesečnica rovín π, υ
Obr. 29 Navzájom kolmé priemetne
Kolmé premietanie bodu A:
prvý priemet bodu A – pôdorys A1
Obr. 30 Pôdorysný priemet bodu A
druhý priemet bodu A – nárys A2
Obr. 31 Nárysný priemet bodu A
41
Obr. 32 Priemety bodu A
Združenie priemetní – otočenie O priemetne π okolo priamky x do priemetne υ tak,
aby kladná polrovina roviny π sa otočila do zápornej polroviny roviny υ.
Obr. 33 Zdruţené priemety
združené priemety bodu A (pôdorys, nárys) – usporiadaná dvojica bodov A1,
A2
(ozn. [A1,
A2])
ordinála bodu – spojnica bodov A1
A2
kolmá na základnicu x
Orientácia polpriestorov:
I. kvadrant (π+
, υ+
)
II. kvadrant (π+
, υ-
)
III. kvadrant (π-
, υ-
)
IV. kvadrant (π-
, υ+
)
Obr. 34 Rozmiestnenie kvadrantov
42
I. kvadrant: bod A (x, y>0, z> 0)
Obr. 35 Obraz bodu A v I. kvadrante
II. kvadrant: bod B (x, y 0)
Obr. 36 Obraz bodu A v II. kvadrante
43
III. kvadrant: bod C (x, y
44
6.2 Priemety priamky
Obraz priamky v Mongeovom premietaní je určený prvým a druhým priemetom
priamky.
Stopník priamky je priesečník priamky s priemetňou. Pôdorysný stopník P je
priesečník priamky s pôdorysňou, hľadáme preň prvý a druhý priemet - P1
P2.
Obdobne nárysný stopník N je priesečník priamky s nárysňou a hľadáme preň N1
N2 .
Niektorý stopník aj nemusí existovať, prípadne priamka leţí v niektorej súradnicovej
rovine a preto má nekonečne veľa stopníkov. Nech priamka a je vo všeobecnej
polohe vzhľadom k priemetniam a základnici.
združené priemety priamky – usporiadaná dvojica priamok [a1,a2]
a1 – pôdorys priamky a
a2 – nárys priamky a
Obr. 39 Zdruţené priemety priamky
45
Významné body priamky:
pôdorysný stopník priamky Pa
– priesečník priamky a s priemetňou π (ak existuje);
Pa
= a ∩ π
nárysný stopník priamky Na
– priesečník priamky a s priemetňou υ (ak existuje);
Na
= a ∩ υ
Niektoré špeciálne polohy priamky vzhľadom k priemetniam a základnici, určenie
stopníkov, ak existujú:
Priamka a je kolmá na pôdorysňu
Obr. 40 Priamka kolmá na pôdorysňu
Priamka a je kolmá na nárysňu
Obr. 41 Priamka kolmá na nárysňu
46
Priamka a leţí v rovine kolmej na pôdorysňu a nárysňu
Obr. 42 Priamka v rovine kolmej na obe priemetne
a || π
Obr. 43 Priamka rovnobeţná s pôdorysňou
a || υ
Obr. 44 Priamka rovnobeţná s nárysňou
47
a || x
Obr. 45 Priamka rovnobeţná s oboma priemetňami
Obraz bodu na priamke
Bod A leţí na priamke a práve vtedy, keď pôdorys bodu A1 leţí na pôdoryse priamky a
1,
nárys bodu A2 leţí na náryse priamky a
2.
Obr. 46 Obraz bodu na priamke
48
Obraz dvojice priamok
Priamky a, b sú vo všeobecnej polohe vzhľadom k rovinám π, υ a základnici x.
rovnobežné priamky: a||b
Obr. 47 Rovnobeţné priamky
Obr. 48 Obraz rovnobeţných priamok
49
rôznobežné priamky: axb
Obr. 49 Rôznobeţné priamky
mimobežné priamky: a,b
Obr. 50 Mimobeţné priamky
50
6.3 Priemety roviny, stopy roviny
Rovina je určená zdruţenými priemetmi určujúcich prvkov. Môţu to byť:
tri nekolineárne body
priamka a bod, ktorý na nej neleží
dve rovnobežné rôzne priamky
dve rôznobežné priamky
Obr. 51 Priemet roviny
pα
- pôdorysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou π, ak existuje,
pα
= α ∩ π
nα
- nárysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou υ, ak existuje,
nα
= α ∩ υ
Zápis roviny: α = (a, b, c) = [X(a,0,0) Y(0,b,0) Z(0,0,c)]
Obr. 52 Stopy roviny
51
Špeciálne roviny:
prvá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu π
Obr. 53 Rovina kolmá na pôdorysňu
druhá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu υ
Obr. 54 Rovina kolmá na nárysňu
52
rovina rovnobežná so základnicou x, λ || x;
Obr. 55 Rovina rovnobeţná so základnicou
Obraz bodu a priamky v rovine
Bod leží v rovine práve vtedy, keď leží na priamke
roviny.
Obr. 56 Bod v rovine
Priamka v rovine určenej stopami: pôdorysný stopník priamky leţí na pôdorysnej
stope roviny a nárysný stopník priamky na jej nárysnej stope.
Obr. 57 Priamka a stopy roviny
53
Významné priamky roviny (rovina nemá špeciálnu polohu):
- hlavné priamky
- spádové priamky
Hlavné priamky sú priamky rovnobežné so stopami roviny
hlavná priamka I. osnovy – priamka hI
roviny rovnobeţná s priemetňou π;
hI
= α ∩ π’, π’||π
Obr. 58 Hlavná priamky I. osnovy
hlavná priamka II. osnovy – priamka hII
roviny rovnobeţná s priemetňou υ;
hII
= α ∩ υ’, υ’||υ
Obr. 59 Hlavná priamky II. osnovy
54
Spádové priamky sú priamky kolmé na stopy roviny (kolmé na hlavné priamky
roviny)
spádová priamka I. osnovy – priamka sI
roviny kolmá na hlavné priamky prvej
osnovy hI
;
spádová priamka II. osnovy – priamka sII
roviny kolmá na hlavné priamky druhej
osnovy hII
;
Obr. 60 Spádová priamka I. osnovy
Obraz dvojice rovín
Dve roviny a ich združené priemety:
rovnobežné roviny
α||β
Obr. 61 Rovnobeţné roviny
55
rôznobežné roviny
α ∩ β = r – priesečnica
Obr. 62 Rôznobeţné roviny
56
6.4 Skutočná veľkosť úsečky
Obr. 63 Sklopené body A,B
Obr. 64 Sklopené body A,B
57
Cvičenia
1. Bod A leţí v rovine ρ. Zostrojte chýbajúci prvý priemet bodu A.
Obr. 65 Zadanie a riešenie úlohy
Obr. 66 Iné riešenie úlohy
2. Daným bodom A veďte priamku a rovnobeţnú s danou priamkou b.
Obr. 67 Zadanie a riešenie úlohy
58
3. Daným bodom A veďte priamku a rôznobeţnú s danou priamkou b, ak poznáte
prvý priemet priamky a1.
Obr. 68 Zadanie a riešenie úlohy
4. Zostrojte stopy roviny ρ, ktorá je určená bodom A a priamkou b.
Obr. 69 Zadanie a riešenie úlohy
5. Daný je obraz trojuholníka ABC ⊂ ρ. Zostrojte trojuholník zhodný s trojuholníkom
ABC.
Obr. 70 Zadanie a riešenie úlohy
59
7 Kótovanie na technických
výkresoch
7.1 Kótovanie a prvky kótovania
7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení
7.3 Spôsoby kótovania
60
7.1 Kótovanie a prvky kótovania
Patrí k najzodpovednejšej práci pre kreslení, uľahčuje čítanie výkresov, výrobu
a montáţ.
Kótovanie je určovanie rozmerov súčiastky, jej tvaru a vzájomnej polohy tvarových
prvkov na súčiastke
Prvky kótovania:
kótovacia čiara
ukončenie kótovacej čiary
predlţovacia čiara (pomocná)
odkazová čiara
kóta
Obr. 71 Prvky kótovania
Kótovacia čiara
je to tenká súvislá neprerušovaná čiara
nesmie ju nič kriţovať
výnimočne kreslíme kótovaciu čiaru neúplnú
kótovacia čiara je:
o priamka, ak kótujeme lineárne rozmery
o oblúk, ak kótujeme uhly alebo oblúky a má stred vo vrchole uhla alebo
v strede oblúka
o polpriamka, ak kótujeme polomery, začína v strede kótovaného
polomeru.
61
Ukončenie kótovacej čiary
a) šípkami
otvorené
uzatvorené
uzatvorené a plné (obr. 79)
b) bodkami, krátkymi úsečkami pod uhlom 45º
Obr. 72 Moţnosti kótovania
Obr. 73 Rôzne kótovanie
Predlžovacia (pomocná) čiara
je tenká súvislá čiara
väčšinou je kolmá na kótovaný obrys
môţe sa kresliť aj šikmo, ale v tom prípade musí byť odpovedajúca dvojica
rovnobeţná
kreslí sa vţdy za kótovaciu čiaru 1- 2mm
môţe prechádzať obrysmi, pretínať iné čiary a môţeme ju prerušiť
62
Odkazová čiara
tenká súvislá čiara
kreslí sa vţdy šikmo a na konci môţe byť zalomená vodorovne alebo zvislo
začína bodkou alebo šípkou, prípadne je bez začiatku
o bodkou začína na ploche
o šípkou na hrane
o bez začiatku na kótovacej čiare
vţdy sa vynášajú mimo obraz
ak prechádzajú šráfovaním, musí sa ich sklon výrazne meniť od sklonu
šráfovania
Obr. 74 Odkazové čiary
Obr. 75 Pouţitie odkazových čiar
63
Kóta
je číselný údaj, ktorý udáva rozmer v milimetroch
výška čísla závisí od veľkosti obrázku
písmo - typ B - podľa formátu, hrúbky čiar
kóta sa píše vţdy nad kótovaciu čiaru a vţdy tak, aby sa výkres dal čítať zdola
nahor a sprava doľava
kóta nesmie byť rozdelená ţiadnou čiarou
Obr. 76 Vpisovanie kót
Obr. 77 Vpisovanie kót Obr. 78 Vpisovanie kót
64
Ďalšie vlastnosti prvkov kótovania
- pri kótovaní sa môţe medzi obrysovou a pomocnou čiarou vynechať medzera
- kótovacia čiara je od obrysovej najmenej 7 mm vzdialená
- kótovacie čiary sa musia ukončovať šípkami
- veľkosť šípok je najmenej 2,5 mm
- pri krátkych kótach môţe byť namiesto šípok úsečka sklonená pod uhlom 45º vpravo
- kóta sa umiestňuje nad súvislou kótovacou čiarou vo vzdialenosti 1 mm
- kóta, ktorá nezodpovedá nakreslenému rozmeru sa musí podčiarknuť
- kóty sa uvádzajú v milimetroch, jednotky dĺţky sa neuvádzajú
- uhly sa uvádzajú v stupňoch, minútach a sekundách
- ak pretína šípka obrysovú čiaru, musí sa čiara prerušiť
- kaţdý rozmer kótujeme iba raz
Obr. 79 Šípky a kótovacie čiary
65
7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení
Kótovanie polomerov
pred kótu sa dáva značka "R" (Rádius)
Obr. 80 Kótovanie polomerov
Obr. 81 Rôzne druhy kótovania polomerov
66
Kótovanie priemerov
pred kótu dávame značku ϕ
Obr. 82 Kótovanie priemerov
Obr. 83 Kótovanie priemerov
Obr. 84 Kótovanie priemerov
Obr. 85 Kótovanie priemerov
67
Kótovanie uhlov
Obr. 86 Kótovanie uhlov Obr. 87 Kótovanie uhlov
Kótovanie oblúkov
Stredový uhol
Dĺţkou tetivy
Dĺţkou oblúka
Obr. 88 Stredový uhol Obr. 89 Dĺţka tetivy Obr. 90 Dĺţka oblúka
Kótovanie skosení
vonkajšie skosenie
Obr. 91 Vonkajšie skosenie
68
vnútorné skosenie
Obr. 92 Vnútorné skosenie
Kótovanie zaoblení hrán
polomer zaoblenia
stred polomeru nevyznačujeme
Obr. 93 Kótovanie zaoblenia
Kótovanie opakujúcich sa prvkov
kótujú sa zjednodušene tak, ţe zakótuje sa
jeden pomocou značky násobenia.
na odkazovaciu čiaru sa uvedie celkový počet
prvkov
Obr. 94 Kótovanie opakujúcich sa prvkov
Kótovanie závitov
1. zobrazenie profilu závitu
2. vonkajší priemer
3. stúpanie iba ak je iné ako v STN
4. dĺţka závitu
Obr. 95 Kótovanie závitov na skrutke
69
7.3 Spôsoby kótovania
- reťazcové kótovanie
- kótovanie od jednej základne – je najpouţívanejšie
- zmiešané kótovanie
Obr. 96 Reťazcové kótovanie
Obr. 97 Kótovanie od jednej základne Obr. 98 Zmiešané kótovanie
Zadanie technickej dokumentácie
Narysujte podľa vzoru dva technické výkresy na výkres a na pauzovací papier:
- hriadeľ
- skrutka M12 x 1,5 dĺţky 50 mm
70
Obr. 99 Skrutka M12
Obr.100 Hriadeľ
71
8 Technické krivky
8.1 Technické krivky, rozdelenie
8.2 Elipsa
8.3 Metódy konštrukcie elipsy
8.4 Iné technické krivky
72
8.1 Technické krivky, rozdelenie
Názov „kuţeľosečky“ pomenováva moţnosť ich vytvorenia ako
prieniku rotačnej kuţeľovej plochy a príslušnej roviny rezu.
Kuţelosečky:
elipsa
kruţnica
hyperbola
parabola
Obr. 101 Kuţelosečky
Iné technické krivky:
evolventa
Archimedova špirála
skrutkovica
73
8.2 Elipsa
Elipsa je rovinná krivka, ktorá patrí do triedy kuţeľosečiek. Elipsu moţno definovať
ako mnoţinu všetkých bodov roviny, ktoré majú od dvoch pevných bodov F1 a F2
konštantný súčet vzdialeností, ktorý je väčší ako vzdialenosť týchto bodov.
Body F1, F2 sa nazývajú ohniská, priamka prechádzajúca bodmi F1, F2 sa nazýva
hlavná os elipsy, body A, B v ktorých os elipsy pretína elipsu sú hlavné vrcholy
elipsy, stred úsečky F1, F2 je stred elipsy a priamka kolmá na hlavnú os elipsy
prechádzajúca jej stredom je vedľajšia os elipsy a body C, D, v ktorých vedľajšia os
elipsy pretína elipsu sú vedľajšie vrcholy elipsy.
Obr. 102 Elipsa
Obr. 103 Elipsa
74
8.3 Metódy konštrukcie elipsy
trojuholníková
priečková metóda
metóda oskulačných kruţníc
pásikové metódy
Trojuholníková metóda
Obr. 104 Trojuholníková metóda Obr. 105 Trojuholníková metóda
Priečková metóda
Obr. 106 Priečková metóda
75
Prúžková metóda
rozdielová
Obr. 107 Prúţková metóda rozdielová
súčtová
Obr. 108 Prúţková metóda súčtová
Prúžková konštrukcia elipsy
Majme dĺţky hlavnej a vedľajšej poloosi a, b. Na prúţok papiera si vyznačíme bod X
na jednom konci, bod 1 vo vzdialenosti b a bod 2 vo vzdialenosti a. Keď teraz
budeme pohybovať prúţkom tak, ţe bod 2 sa bude pohybovať po vedľajšej osi a bod
1 zasa po hlavnej osi elipsy, krajný bod X nám opíše hľadanú elipsu. Táto
konštrukcia má svoj názov odtiaľ, ţe na prúţku papiera máme naznačený rozdiel |12|
= a – b
76
Metóda hyperoskulačných rovníc
Obr. 109 Metóda hyperoskulačných rovníc
Metóda hyperoskulačných kružníc
Kvôli presnejšej konštrukcii krivky v jej jednotlivých bodoch pouţívame tzv. oskulačné
kruţnice, ktoré v okolí bodu nahrádzajú oblúk krivky. Oskulačná kruţnica má v bode
krivky tzv. trojbodový dotyk.
Pre konštrukciu krivky kuţeľosečiek v jej vrcholoch vyuţívame tzv. hyperoskulačné
kruţnice, ktoré majú v okolí vrcholov aţ štvorbodový dotyk.
Zostrojíme obdĺţnik SBS´C a jeho uhlopriečku CB. Z bodu S´ zostrojíme kolmicu na
uhlopriečku CB, ktorá pretne osi elipsy v hľadaných stredoch hyperoskulačných
kruţníc SB a SC pre vrcholy B a C (polomer je |SBB| a |SCC|). Stredy SA a SD pre
hyperoskulačné kruţnice pre vrcholy A a D sú symetrické podľa stredu S elipsy so
stredmi SB a SC (pre polomery platí: |SAA| = |SBB|, |SDD| = |SCC|).
77
Kužeľosečky v praxi
Obr. 110 Hyperbola Obr. 111 Parabola
Obr. 112 Elipsa Obr. 113 Parabolický hyperboloid
Obr. 114 Rotačný hyperboloid
78
8.4 Iné technické krivky
Evolventa - krivka, ktorá vzniká valením priamky h po kruţnici p, bod pevne spojený
s priamkou h opíše evolventu.
Postup:
Obvod kruţnice rozdelíme na určitý počet rovnakých dielov, oblúk prislúchajúci
jednému dielu zretifikujeme a nanesieme na dotyčnice vedené ku kruţnici v deliacich
bodoch
Obr. 115 Konštrukcia evolventy Obr. 116 Konštrukcia evolventy
Obr. 117 Evolventa
79
Archimedova špirála – rovinná krivka vytvorená rovnomerným pohybom bodu po
sprievodiči, ktorý sa rovnomerne otáča okolo pólu.
Postup konštrukcie:
Ak sa otočí sprievodič o uhol 2π , bude sa vzdialenosť bodu A od začiatku rovnať r0.
Uhol 2π rozdelíme na n rovnakých dielov a tieţ úsečku r0, na jednotlivé sprievodiče
nanesieme od začiatku postupne dĺţky r0/n, 2r0/n...
Obr. 118 Archimedova špirála Obr. 119 Archimedova špirála
Obr. 120 Archimedova špirála Obr. 121 Archimedova špirála
80
Skrutkovica – priestorová krivka, ktorú opíše bod A rovnomerným otáčaním okolo
osi o a súčasným rovnomerným posuvom v smere tejto osi – pravotočivé
a ľavotočivé
Obr. 122 Skrutkovica
Postup konštrukcie
Obvod kruhovej podstavy valca, na ktorom má byť skrutkovica vytvorená, rozdelíme
na vhodný párny počet rovnakých dielov (napr.12) a rozvinieme ho do priamky. Ak
sa otočí bod o 2π, posunie sa súčasne v smere osi o veľkosť stúpania s. Veľkosť
stúpania s vynesieme na kolmicu v koncovom bode rozvinutého obvodu podstavca
valca. Vznikne tak základný tvoriaci trojuholník, ktorého prepona po navinutí na
valec vytvorí hľadanú skrutkovicu.
81
Obr. 123 Skrutkovica
Obr. 124 Skrutkovica
Obr. 125 Skrutkovica
82
2. ročník
9 Názorné zobrazovanie
9.1 Názorné zobrazovanie
9.2 Kosouhlé premietanie
9.3 Pravouhlá axonometria
9.4 Zaujíma vás?
83
9.1 Názorné zobrazovanie
Na zobrazovanie predmetov na technických výkresoch sa pouţívajú rôzne metódy
premietania normalizované v technických normách ISO 5456-1 aţ 4.
Tieto metódy moţno rozdeliť na dve základné skupiny:
metódy 3D, ktoré poskytujú trojrozmerný pohľad na predmet - názorné
zobrazovanie,
metódy 2D, ktoré zobrazujú predmet dvojrozmernými obrazmi - kolmé
premietanie – zobrazovanie.
V technickej literatúre a v technickej praxi sa často snaţíme vytvoriť
obrazom ţiadúcu predstavu o skutočnom tvare predmetu.
Pouţívame pritom premietanie na jednu plochu, tzv. priemetňu.
Zobrazovanie priestoru do roviny sa uskutočňuje teda špecifickým spôsobom.
Existujú dva základné druhy premietania:
- stredové premietanie (SP)
- rovnobežné premietanie (RP).
Stredové premietanie nie je zobrazovacou metódou. Špeciálnym prípadom je
lineárna perspektíva, ktorá sa pouţíva hlavne v technickej praxi (v architektúre
a stavebníctve - návrhy projektov stavieb a pod.).
Obr. 126 Stôl s kompozíciou v RP a SP
84
Rovnobežné premietanie je zobrazenie, ktoré spĺňa poţiadavku názornosti,
príslušná teória aj praktické zostrojovanie rovnobeţných priemetov sú jednoduché
a pochopiteľné pre študentov stredných škôl.
Názorné zobrazovanie je také zobrazenie predmetov, z ktorého je z jedného
obrázka zrejmý celkový tvar predmetu.
Názorné obrázky zostrojujeme spravidla týmito druhmi rovnobežného
premietania:
- kosouhlé premietanie (šikmé premietanie)
- pravouhlá axonometria
85
9.2 Kosouhlé premietanie
Najjednoduchším spôsobom názorného zobrazovania tvaru telies je kosouhlé
premietanie. Priemetom čelnej steny je obraz jej skutočnej veľkosti i tvaru. Šikmé
priemety hrán bočnej steny sú skrátené. Pri skosení priemetu na 45º sa rozmer
bočnej steny skráti na ½ (k).
kosouhlé premietanie – uhol medzi osami x,y = 135º, k=0,5
Ak k = 1 - kavalierna alebo kavalierska perspektíva
Ak je izometrický na vodorovnú priemetňu – vojenská perspektíva
Obr.127 a) vojenská perspektíva, b) kavalierna perspektíva, c) kosouhlé premietanie
Vojenská perspektíva je zobrazenie vhodné na technické výkresy pouţívané v
urbanizme pri návrhu sídlisk a zostrojovaní priemetov objektov s komplikovaným
pôdorysom a zloţitou stavbou. Priemety súradnicových osí x a y sú kolmé, a platí
p : q : r = 1 : 1 : 1, čiţe jx = jy = jz
Kavalierna perspektíva je šikmé premietanie, v ktorom sa premieta do roviny
rovnobeţnej s nárysňou alebo bokorysňou. Pouţívala sa uţ v 16. a 17. storočí pri
zhotovovaní plánov (tzv. vedút) dôleţitých miest a sídlisk. Priemety súradnicových
osí x a z, príp. y a z sú kolmé, a p : q : r = 1 : 1 : 1, jx = jy = jz.
Obe spomenuté zobrazenia sa pouţívali na vojenské účely, praktickosť konštrukcií
prevládala nad dobrou názornosťou.
86
9.3 Pravouhlá axonometria
V praxi sa pouţívajú dva druhy axonometrického premietania:
a) izometria – uhly osí x, y, z = 120º, k = 1
b) technická dimetria – uhly osí x, z = 97º, uhly osí z, y = 131º, k = 0,5
Obr. 128 Izometria
Obr. 129 Dimetria
V izometrii pri zobrazení kocky sú priemety kruţníc zhodné elipsy, ktorých
osi sú zhodné s uhlopriečkami kosoštvorcov, do ktorých sa premietajú steny kocky.
http://www.google.sk/imgres?q=technick%C3%A1+dimetria&hl=sk&rlz=1R2GFRE_skSK358&biw=1280&bih=600&tbm=isch&tbnid=3Pz-LnGFXiUMcM:&imgrefurl=http://rodkovar.webzdarma.cz/2011/10/Axonometricke-promitani.html&docid=o9LJmjMDf-8npM&imgurl=http://b.wz.cz/photo800600/r/rodkovar_webzdarma_cz/35/dimetrie2.jpg&w=566&h=454&ei=py5NT6vlGYqnhAf-1aQU&zoom=1
87
Ak je skutočná veľkosť strany kocky s a ak nanášame rozmery neskrátene, potom
dĺžky osí elíps sú:
2a = 1,226.s
2b = 0,707.s
V dimetrii sa kruţnice vpísané do stien kocky zobrazia ako elipsy e1, e2, e3. Elipsa e1
v priečelnej stene blíţi kruţnici a elipsy e2 a e3 sú zhodné a platí:
2a1 = 2a2 = 2a3 = 1,06.s
2b = 0,955.s
Zobrazovanie predmetov na jednu priemetňu je obtiaţne najmä pri rotačných
tvaroch, kde treba kresliť elipsy. To je jedna z hlavných príčin, prečo sa názorné
priestorové zobrazovanie pouţíva na technických výkresoch len zriedkavo. Kosouhlé
a axonometrické obrazy pouţívame iba ako doplnok k technickým výkresom
v kolmých pravouhlých priemetoch.
Obr. 130 Vyuţitie izometrie
88
Obr. 131 Názorné zobrazenie
89
9.4 Zaujíma vás?
Snaha človeka zobraziť rôzne priestorové objekty do roviny
vznikla z praktických potrieb. Niektoré prvky zobrazovania
trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny boli známe uţ
pomerne dávno pred naším letopočtom (napr. náčrt mestského plánu
Nippuru, starého kultového sumerského strediska, asi 15. storočie pred n.l.). Metódy
na zobrazenie priestoru do roviny sa rozvíjali postupne a veľmi dlho, boli podmienené
prvotnou snahou umelcov o verné zobrazenie okolitého sveta. Po kolmom premietaní
(plány miest) to bola lineárna perspektíva, ktorú objavili aţ renesanční umelci (14.-
16. storočie) a bola pouţívaná a rozvíjaná ako názorná metóda veľmi blízka
ľudskému vnímaniu očami okrem maliarov zo začiatku aj architektmi a staviteľmi pri
navrhovaní stavieb. Ciele zobrazovania však boli a sú u maliarov aj architektov a
staviteľov rôzne. Technický obraz priestorového útvaru musí byť nielen názorný, ale
aj presný a mal by sa dať jednoducho zostrojiť, a na druhej strane z obrazu
v nákresni by sa mali dať určiť niektoré vlastnosti priestorového útvaru, ako napr.
tvar, rozmery a pod. Z týchto dôvodov sa v technických aplikáciách vyuţívajú metódy
zobrazovania priestoru do roviny, ktorých základom je rovnobeţné premietanie. Tieto
presné metódy skúma samostatná matematická a technická disciplína - deskriptívna
geometria. Jej teoretické základy vypracoval dôsledne aţ na konci 18. storočia
francúzsky matematik, geometer a fyzik Gaspard Monge (1746-1818) vo svojej
knihe „Géométrie descriptive“.
90
Zadanie technickej dokumentácie
Zobrazte kocku
- v kosoúhlom premietaní
- v izometrii
Obr. 132 Kocka v kosoúhlom premietaní
91
Obr. 133 Kocka v izometrii
92
10 Osvetlenie telies
10.1 Osvetľovanie telies
10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého
tieňa
93
10.1 Osvetľovanie telies
Kaţdý predmet, ktorý pozorujeme v priestore je osvetlený.
Dôleţitým sprievodným javom osvetľovania je tieň. Niektoré steny sú vţdy odvrátené
od zdroja svetla a sú teda vo vlastnom tieni. Nepriehľadné teleso súčasne bráni
priechodu svetla na podloţku a okolité objekty a vytvára tak vrhnutý tieň.
Podľa zdroja svetla rozlišujeme osvetľovanie:
rovnobežné - svetelné lúče sú rovnobeţné (zdroj svetla je nekonečne
vzdialený - slnečné lúče)
stredové - svetelné lúče vychádzajú z jedného bodu ( zdroj svetla je bodový
napr. osvetlenie ţiarovkou)
Skonštruovaním vrhnutých a vlastných tieňov predmetov vyvoláme dokonalý
priestorový dojem.
Pri osvetľovaní v technickom kreslení pracujeme so zidealizovanými podmienkami:
osvetlenie je rovnobeţné (svetelné lúče sú rovnobeţné, podobne ako je to
pribliţne pri slnečných lúčoch)
osvetľované útvary sú nepriehľadné a neodráţajú slnečné lúče
Osvetľovanie v mongeovej projekcii:
Vrhnutý tieň bodu na rovinu je priesečník svetelného lúča vedeného týmto
bodom so záchytnou rovinou (priemetňou).
Rovinný útvar leţiaci v rovine rovnobeţnej s priemetňou a jeho vrhnutý tieň sú
útvary zhodné, vzájomne posunuté v smere svetla.
Vrhnutý tieň kruţnice v rovine rovnobeţnej s priemetňou je opäť kruţnica,
posunutá do priemetne v smere svetla.
94
Technické osvetľovanie
často sa pouţíva pri osvetľovaní fasády budov. Šírka tieňa v oknách a
dverách udáva hĺbku ich zapustenia
rovnobeţné osvetľovanie, svetelné lúče sú rovnobeţné s telesovou
uhlopriečkou kocky, zvierajú so základnicou uhol 45 stupňov.
Obr. 134 Osvetľovanie telies
Obr. 135 Vrhnutý tieň
95
10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého tieňa
Obr. 136 Vlastný a vrhnutý tieň telesa
Obr. 137 Vlastný a vrhnutý tieň ihlanu
96
Obr. 138 Vlastný a vrhnutý tieň telesa
Obr. 139 Vlastný a vrhnutý tieň kuţeľa
97
11 Perspektívne zobrazovanie
11.1 Perspektíva
11.2 História perspektívneho zobrazovania
11.3 Základné pojmy
11.4 Druhy perspektív
11.5 Konštrukcia perspektívy
11.6 Anamorfóza a neskutočná perspektíva
98
11.1 Perspektíva
Kaţdý, kto sa pustí do kreslenia zátišia alebo krajiny, narazí na
problém zobrazenia hĺbky priestoru. Vynorí sa otázka, ako zobraziť
trojrozmerný priestor na ploche papiera. Na preštudovanie zákonov
perspektívy je nutné venovať trochu viac času, ale my sa pokúsime
tento problém zjednodušiť a poukázať iba na to, čo je pre nás najdôleţitejšie.
Perspektíva je vlastne spôsob, akým naše oči vnímajú priestorové vzťahy
medzi predmetmi. Povedané inými slovami a veľmi jednoducho – čím sú predmety
vzdialenejšie, tým sa nám zdajú menšie. Ilustrujme si túto vetu na veľmi známom
príklade – predstavte si, ţe stojíte na koľajniciach a očami hľadáte ich neviditeľný
koniec. Bude sa Vám zdať, ţe koľaje sa v diaľke zbiehajú do jedného bodu, hoci
viete, ţe v skutočnosti sú rovnobeţné. Človek, stromy a vôbec všetky predmety
stojace v diaľke sa vám budú zdať menšie ako sú naozaj.
Keď sa postavíte pod vysokú budovu, ktorá má rovnobeţné strany, tieto sa vám
budú javiť akoby sa do výšky zbiehali. Keby ste strany budovy predĺţili, priamky by
sa stretli v jednom bode. Na pochopenie tohto javu si musíme objasniť niekoľko
dôleţitých pojmov: pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a ktoré sa
nám zdajú zbiehavé, sa volajú úbežníky. Stretávajú sa v bode, ktorý nazývame
úbežníkový bod.
Samozrejme, tento bod v skutočnosti neexistuje, pouţívame ho len ako pomôcku
pri konštruovaní perspektívneho zobrazovania. Keď kreslíme, je dôleţité vedieť, kde
sa vlastne tento bod nachádza. Nachádza sa na horizonte, a to je rovina presne vo
výške našich očí. Pozor – tento horizont nie je totoţný s horizontom krajiny! Keď je
pozorovaný predmet vo vyššej pozícii ako pozorovateľ, úroveň jeho očí – a teda
horizont – bude zníţený. Takémuto zobrazovaniu hovoríme aj ţabia perspektíva.
Keď kreslíme predmety z vysokého stanovišťa, povieme, ţe kreslíme z vtáčej
perspektívy.
99
11.2 História perspektívneho zobrazovania
Staroveký Egypt
Uţ Egyptskí výtvarníci pozorovali, ţe postavy v ich blízkosti sú veľké a naopak
s rastúcou vzdialenosťou od pozorovateľa sa zmenšujú aţ sa nakoniec úplne
"stratia". Na kresbách, ktoré znázorňovali akýsi dej, bol vţdy ústrednou postavou
faraón, jeho kňazi a úradníci. Faraón však vynikal svojou veľkosťou v popredí, kňazi
boli menší, vojaci ešte menší a úplne najmenší boli radoví ľudia. Postavy sú
kreslené mimoriadne realisticky, avšak len z profilu a bez pouţitia perspektívy.
Jedná sa teda o významovú perspektívu, čo znamená, ţe Egypťania zdôrazňovali
veľkosťou hodnosť alebo moc kaţdej postavy, preto je faraón najväčším.
Obr. 140 Egyptská perspektíva
Staroveký Rím
Prvú zmienku o perspektíve nájdeme v Ríme a to u rímskeho architekta a
staviteľa Vitruvia Pollia. Ten tvrdil: "Potom, čo určíme stredový bod, musia sa čiary
ako v prírode zbiehať v projekčnom bode zorných paprskov tak, ţe mnohé časti sa
zdajú ustupovať dozadu, zatiaľ čo iné vystupujú dopredu."
Slovo perspektíva však nemá rovnaký význam po celú dobu ľudstva. V
minulosti sa slovo perspektíva pouţívalo k označeniu súboru poučiek z geometrickej
optiky. Tieto poučky dnes môţeme nájsť v Euklidových spisoch, v ktorých ide o
zdôraznenie priamočiareho šírenia svetla. Euklides ale objavil omnoho viac pre
deskriptívu. Skúmaním optiky zistil, ţe náš vizuálny obraz sa skladá z priamok, ktoré
100
vychádzajú z oka a tvoria kuţeľ. A tak sa objavujú prvé pokusy o perspektívne
zobrazenie predmetu. Nakoľko však rímska ríša zaniká, vývoj sa spomaľuje.
Zopakujme si
Ako by ste definovali jednoduchými slovami pojem perspektíva?
Čo platí pre znázorňovanie blízkych a vzdialených predmetov v perspektíve?
Ako sa nazývajú pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a zdajú sa
nám zbiehavé?
V akom bode sa tieto priamky zbiehajú?
Čo chápeme v perspektíve pod pojmom horizont?
Kde sa nachádza horizont v porovnaní s pozorovaným predmetom pri ţabej a kde pri
vtáčej perspektíve ?
Ako sa nazýva perspektíva pouţívaná v umení Starovekého Egypta?
Aký je princíp perspektívy pouţívanej v Starovekom Egypte?
Ako sa volal rímsky architekt, ktorý ako jeden z prvých začal vyuţívať perspektívu?
101
Renesancia
14. storočie, obdobie renesancie, najlepšie charakterizuje nová architektúra,
ktorá pouţitím jednoduchých geometrických tvarov a symetrie usiluje o jasné
definovanie a ovládnutie priestoru. O to sa snaţí aj maliarstvo. Od prvých nesmelých
pokusov sa v priebehu krátkej doby jedného storočia podarilo prevaţne florentským
maliarom nájsť všetky dôleţité zákonitosti lineárnej perspektívy. Jej pouţitie im
umoţňovalo maľovať úplne bezchybné perspektívne obrazy. Pritom toto hľadanie
nestavalo na znalostiach matematiky a geometrie, ale bolo prevaţne intuitívne,
odvodené od priameho pozorovania a pokusov.
V tomto období sa objaví muţ menom Giotto, ktorý vysloví nesúhlas so
svetskou byzantskou abstrakciou. Tento maliar ako prvý do svojej tvorby zahrňuje
perspektívu. Príklad jeho chápania perspektívy je vidieť na obrázku Giottovej fresky
Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi (okolo 1325, obr.141), ktorá sa nachádza v
kostole Santa Croce vo Florencii. Giotto uţ vedel, ţe na vyvolanie ilúzie
rovnobeţných čiar treba namaľovať čiary, zbiehajúce sa k spoločnému úbeţníku. Na
druhej strane však úbeţník priamok prislúchajúcich miestnosti ako celku a úbeţník
priamok prislúchajúcich baldachýnu, sú rôzne. Zdá sa preto, ţe obraz má dva hlavné
body (t.j. úbeţníky
priamok idúcich do hĺbky)
a aj dva horizonty. To
znamená, ţe u Giotta je
perspektíva akoby
"lokálna", rôzne prvky
architektúry sú zakreslené
v rôznych pohľadoch.
Obr. 141 Giotto, Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi
Ďalším intuitívnym perspektívcom bol Amerogio Lorenzetti. Jeho obraz
Zvestovanie (1344) uţ prináša do maliarstva úplne novú hodnotu. Všetky hĺbkové
priamky, ktoré sú kolmé na rovinu obrazu, sa zbiehajú v jedinom úbeţníkovom bode.
Z geometrického hľadiska je na obraze zaujímavá dlaţba, pomocou ktorej Lorenzetti
102
vyvoláva ilúziu hĺbky priestoru. Bočné hrany dlaţdíc sa zbiehajú do jediného bodu,
ktorý je súčasne aj hlavným bodom obrazu (t.j. obraz je maľovaný vo frontálnom
pohľade). To je v súlade s geometrickými princípmi. Keď si však do siete dlaţdíc
zakreslíme uhlopriečky, zistíme, ţe tieto tvoria krivku. Z geometrického hľadiska je to
nesprávne, lebo v skutočnosti je
diagonálou priamka, a pri stredovom
premietaní sa táto musí zobraziť opäť
na priamku. Preto čiara tvorená
uhlopriečkami dlaţdíc na obraze by
mala byť priamkou. Otázka, ako
správne zobraziť dlaţbu predstavovala
váţny technický problém. Lorenzetti uţ
vie, ţe dlaţdice na obraze sa musia
postupne zmenšovať, ale ešte nevie
podľa akého pravidla. Pravidlo, ako sa
majú na obraze zmenšovať dlaţdice
objavil aţ Alberti.
Obr. 142 Lorenzetti, Zvestovanie
V renesancii perspektíva opäť oţíva aj vďaka architektovi menom Filippo
Bruneleschi, ktorý je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie
perspektívy.. Pri stavbe florentského domu vytvoril systém vyuţívajúci pôdorys i
nárys, čo umoţňovalo pomocou priesečníkov rovnobeţiek nakresliť perspektívne
zobrazenie. Jeden jeho priateľ maliar, architekt a historik Vassari o ňom povedal:
"Vynález perspektívy uspokojil Filippa natoľko, ţe rýchlo namaľoval Plaza de San
Giovanni a reprodukoval krásu čiernobielych mramorových dlaţdíc, ktoré ubiehali do
vnútra chrámu."
Vďaka jeho technike namaľoval Masaccio svoju Najväčšiu trojicu. Vassari sa
k tejto freske opäť vyjadruje: "Ale to najkrásnejšie, keď opomenieme postavy, je
perspektívny obraz tabuľovej valenej klenby pri pohľade zdola. Optické skrátenie je
tak skvele namaľované, ţe strop pôsobí ako reliéf".
103
Obraz znázorňuje imaginárnu architektúru,
výklenok, v ktorom je Kristus na kríţi a pod ním kľačia
modliace sa postavy donátorov (obrazy tých, ktorí dielo
financovali), ďalej pod nimi akoby zo steny vystupuje
Adamov hrob s kostrou, ako symbol ľudskej
pominuteľnosti v kontraste s večnosťou Najsvätejšej
trojice. Po odhalení diela boli údajne súčasníci
zaskočení jeho dokonalosťou. Vraj v prvých
okamţikoch pri vstupe do chrámu verili, ţe vidia
skutočný výklenok alebo dokonalý reliéf.
Obr. 143 Masaccio, Najsvätejšia trojica
Ďalším významným architektom, ktorý sa zaoberal hĺbkovou perspektívou bol
Leon Battista Alberti. Vo svojej knihe O maliarstve uvádza vzorec na zistenie
vzdialenosti medzi opakujúcimi sa tvarmi v hĺbke. Výtvarníci túto vzdialenosť len
odhadovali a väčšinou dosť nepresne.
Na Albertiho nadviazal taliansky maliar Andrea Mantegna. Jeho
vynachádzavé narábanie s perspektívou a iluzionistickými efektmi spôsobuje, ţe svet
jeho obrazu akoby prekračoval
svoje hranice a vnucuje sa do
priestoru diváka. Na jeho obraze
Oplakávanie mŕtveho Krista
pouţíva dramaticky skrátenú
perspektívu. Divák má pocit,
akoby nohy Krista vystupovali
z obrazu a keď sa vzďaľuje od
obrazu, zdá sa, ţe ho postava
sleduje.
Obr. 144 Andrea Mantegna, Oplakávanie mŕtveho Krista
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/3/36/Andrea_Mantegna_-_The_Dead_Christ.jpg
104
V 15. storočí bola Albertiho metóda ešte zdokonalená maliarom Pierom della
Franceskom. V tejto
dobe bola perspektíva
prvýkrát v dejinách
umenia povaţovaná
za umenie riadnej
výstavby obrazu.
Obr.145 Piero della Francesca, Bičovanie Krista
Veľmi významným renesančným perspektívcom bol Leonardo da Vinci, ktorý
vo svojej knihe uvádza: "Perspektíva je ako pohľad na teleso, ktoré leţí za
sklenenou tabuľou a v nej sa odráţa". Objavil dvojstredovú atmosférickú
perspektívu. Jeho vyspelú perspektívu je vidieť na obrazoch ako sú: Klaňanie troch
kráľov, Posledná večera, Madona v skalách.
Obr. 146 Leonardo da Vinci, Posledná večera
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/11/Piero_-_The_Flagellation.jpg
105
Okrem podrobného štúdia perspektívy zistil Da Vinci a Raffaello aj nedostatky
perspektívneho zobrazovania. V rohoch obrazu vo veľkej vzdialenosti od hlavného
bodu sú obrazy extrémne skreslené. Ak si divák prezerá obraz z rôznych stanovíšť
a ak je plátno široké, môţe sa stať, ţe v určitých pohľadoch vidíme nevýhody
lineárnej perspektívy. Toto skreslenie sa môţe prejaviť tým viac, čím väčší zorný
uhol obrazu zvolíme. Typickými príkladmi sú diela Klaňanie troch kráľov od Leonarda
a Aténska škola od Raffaella.
Obr.147 Leonardo da Vinci, Klaňanie troch kráľov Obr. 148 Leonardo da Vinci, Madona v skalách
Obr. 149 Raffaelo Santi, Aténska škola
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Leonardo_da_Vinci_-_Adorazione_dei_Magi_-_Google_Art_Project.jpghttp://www.google.sk/imgres?q=da+vinci&hl=sk&sa=X&rlz=1R2GFRE_skSK358&biw=1280&bih=600&tbm=isch&prmd=imvnsb&tbnid=rp9ZfVNKx8JiaM:&imgrefurl=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonardo_da_Vinci_-_Virgin_of_the_Rocks_-_WGA12694.jpg&docid=3XeaU93jIa26aM&imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Leonardo_da_Vinci_-_Virgin_of_the_Rocks_-_WGA12694.jpg&w=807&h=1270&ei=_9ZCT6qQD8vOsgbU5ozCBA&zoom=1
106
Okrem Leonarda da Vinci sa štúdiom perspektívy v renesancii veľmi podrobne
zaoberal aj nemecký maliar Albrecht Dürer. Bol to maliar s veľkým talentom, ktorý
bol obdarený fantáziou a ohromným pozorovacím talentom. Mal pocit, ţe umenie by
malo mať správne teoretické základy. Navštívil Bolognu, aby sa naučil umeniu
„tajnej perspektívy“, ktorej zákonitosti podrobne študoval a prakticky overoval. Svoje
vedomosti uverejnil vo svojej práci Pojednanie o meraní.
Obr. 150 Dürerove štúdie
Obr. 151 Dürerove štúdie
V renesancii tieţ Quido Ubaldo del Monte uskutočnil dôkaz o tom, ţe sa
rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu. Tento dôkaz sa nazýva punctu
concursuum.
http://www.naturalpigments.com/education/images/draughtsman.jpg
107
Perspektíva, podobne ako iné veľké myšlienky svojej doby, bola ohromne
precenená. Nebola vţdy chápaná ako jedna zo zloţiek správneho maliarstva, ale ako
jeho podstata. Niektoré maliarske diela sa zvrhli v akúsi geometrické cvičenia, i keď
krásne. Príkladom je Zvestovanie so
svätým Emidiom od Carla Crivelliho
z roku 1486. Kvalita perspektívnej
kompozície bola chápaná ako
merítko umeleckej hodnoty diela.
Vlastná myšlienka obrazu často
ustupovala do pozadia.
Obr. 152 Carl Crivelli, Zvestovanie so svätým Emidiom
108
Zopakujme si
Ako sa volal taliansky renesančný maliar, ktorý ako prvý do svojej tvorby zahrňuje
princípy perspektívy a ktorá freska je typickým príkladom jeho chápania perspektívy?
Aká chyba perspektívy je na obraze Lorenzettiho Zvestovanie?
Ktorý renesančný architekt je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie
perspektívy?
V čom je prínos dokonalej perspektívy na Massaciovej freske Najsvätejšia trojica?
V akej knihe sa Alberti venoval výpočtom vzdialeností v perspektíve?
Ako sa volá obraz Andrea Mantegnu, na ktorom perfektne pouţil dramaticky skrátenú
perspektívu?
Uveďte tri najdôleţitejšie diela Leonarda da Vinci, na ktorých je najviac vidieť jeho
vyspelú perspektívu.
Uveďte dvoch maliarov a názvy ich diel, ktoré sú typickými príkladmi nevýhody
lineárnej perspektívy, ktorá má priveľký zorný uhol.
Ako sa volal renesančný nemecký maliar, ktorý podrobne aj prakticky študoval
perspektívu a spracoval jej teoretické zákonitosti v knihe Pojednanie o meraní?
Ako sa volá dôkaz o tom, ţe sa rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu?
Uveďte jeden príklad maliara, ktorého perspektíva sa stala takmer geometrickým
cvičením na úkor myšliebky obrazu?
109
Baroko
Zobrazované figúry majú v tomto období expresívne gestá, často sú
deformované, bez ohľadu na anatómiu, len aby dobre vyjadrili náboţenský záţitok
a odovzdanie. Perspektíva z obrazu zmizla. Prejavuje sa len na postavách a vo
výzdobe interiérov. Znalosť perspektívy totiţ umoţňovala efektnú iluzionistickú
výzdobu, imaginárne pokračovanie priestoru. Z maliarov tohto obdobia vyuţíval
intuitívne zásady perspektívy holandský maliar Jan van Eyck (1441). Jeho obrazy
vynikali takmer fotografickou presnosťou, neskôr bolo jeho oko nazývané teleskopom
a mikroskopom zároveň.
Dôkazom je jeho dokonalý
naturalistický portrét Portrét manţelov
Arnolfiniovcov (1434). Takmer sa nechce
veriť, ţe Eyck nepoznal správnu
geometrickú konštrukciu lineárnej
perspektívy. Ak si však predĺţime línie
spárov podlahy, stropu a okna, vidíme, ţe
sa pretínajú v niekoľkých rôznych
úbeţníkoch. Sú však veľmi blízko seba,
takţe dojem priestoru je vynikajúci.
Obr. 153 Jan van Eyck, Portrét manţelov Arnolfiniovcov
Iným maliarom – perspektívcom v období baroka bol v katolíckom Španielsku
pôsobiaci Diego Veláquez (1599 - 1660), a to priamo na kráľovskom dvore. Bol
veľkým priaznivcom perspektívy, geometrie a optiky. Na obraze Las Meninas (1656)
zobrazuje princeznu, dvorné dámy a tieţ seba ako kreslí kráľa a kráľovnu. Tí sa
odráţajú v zrkadle na protiľahlej strane miestnosti. Perspektíva Veláquezovho
ateliéru je jednoduchá a bezchybná. Všetko sa zbieha k jedinému úbeţníku
110
zvýraznenému svetlou plochou otvorených dverí. Perspektíva však nepôsobí
prehnane, je zmäkčená tmavým pozadím a krivkou postáv v prednom pláne.
V nasledujúcich umeleckých obdobiach uţ od konca 16. storočia je perspektíva ako
výrazový prostriedok takmer nepouţívaná. Mnoho umelcov ju zavrhuje ako otrockú
a zväzujúcu metódu. Zobrazenie
priestoru je nahradené inými
umeleckými prostriedkami – hrou
tieňov, svetla a farieb. Často sa však
maliari dopúšťajú hrubých chýb
a priestupkov proti jej zákonom.
Paradoxne, keď maliarstvo lineárnu
perspektívu opustilo, geometri
a matematici ju teoreticky povýšili.
Z umeleckých smerov dodrţiavajúcich
zásady perspektívy bol výraz
Recommended