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Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Repaso de conceptos básicos de matemáticas necesarios para
establecer balances
Jesús Carrera
IJA Ciencias de La Tierra
CSIC
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Motivación
• Para actuar sobre el territorio es necesario cuantificar.
• Para ello:– Compresión del fenómeno (peculiaridades)– Principios generales (Conservación de masa, energía,
etc)
• Esto se puede hacer de muchas maneras y a muchas escalas.– Escala integrada (cajas)– Distribuida (mecánica de medios continuos, estadística,
molecular o cuántica)
• El “lenguaje” que se emplea es el de las matemáticas, pero el “dialecto” depende de la escala
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Contenido
Niveles de descripción de la naturaleza
Balances de masa integrados (cajas)• Ecuaciones diferenciales ordinarias
Balances de masa distribuidos en espacio• Campos: definiciones y conceptos básicos• Operadores diferenciales: gradiente y tal• Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc• Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y
soluciones
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
La naturaleza se puede describir a muchas escalas
• Los modelos agregados tratan los sistemas “cajas” y los describen a través de los valores medios de sus “variables de estado”, que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago).
P.ej., se puede estudiar la temperatura media de La Tierra haciendo un balance de Energía, con solo conocer el albedo
O la de un lago (aquí las interacciones son mas complejas)
En ambos casos T(t)
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ejemplo 1: Un lago que recibía un caudal de entrada de 110 L/s con una salinidad
(TDS) de 100 mg/L. Del mismo salía un arroyuelo de 10 L/s. Estudiar la salinización del lago al ponerse en marcha un proyecto de regadío.
1. Como la cartografía es mala, deduce la superficie y volumen históricos del lago a partir de la observación de que se evapora 1 m/año y que el vaso del lago es cónico con pendiente lateral del 1%
2. Deduce la concentración histórica del lago.3. Al ponerse en marcha el regadío, se derivan 70 L/s del lago, de los que
10 vuelven como retorno de regadío, presumiblemente trayendo todas las sales que llevaba el agua de riego. Repite el balance de agua del apartado 1 para deducir la superficie y volumen a que tenderá el lago.
4. Repite también el balance de sales para calcular el valor al que tenderá la nueva salinidad del lago.
5. Sorprendido por el resultado del cálculo anterior, Eugenio analiza la situación y se da cuenta que dejarán de salir los 10 L/s del arroyuelo, por lo que te pide que recalcules como evolucionará en el tiempo la salinidad con esta nueva hipótesis.
6. Sugiere una manera de reducir el impacto del secado del arroyuelo.(El lago es una CAJA)
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
La naturaleza se puede describir a muchas escalas
• Los modelos agregados tratan los sistemas “cajas” y los describen a través de los valores medios de sus “variables de estado”, que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago).
• La mecánica de medios continuos describe el medio mediante variables de estado, definidas sobre el continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO) y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de Newton y la mecánica de fluidos)
En ambos casos, ahora T(x,t)
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
EJEMPLO 2:
Se produce accidentalmente una liberación desastrosa de 1 kg de un gas extremadamente tóxico a una altura de 200 m en un momento en que la velocidad del viento es de 10 km/h y se dan unas condiciones de estabilidad atmosférica de Pasquill tipo B. A una distancia de 2 km a sotavento se encuentra un pueblo. La cuestión es cuál es la concentración máxima que se llegará a alcanzar en el pueblo, cuándo ocurrirá y cuál será la extensión de la zona contaminada.
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Se pueden necesitar escalas mas detalladas
sepiensa.org.mx
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
La naturaleza se puede describir a muchas escalas
Los modelos agregados tratan los sistemas “cajas” y los describen a través de los valores medios de sus “variables de estado”, que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago).
La mecánica de medios continuos describe el medio mediante variables de estado, definidas sobre el continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO) y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de Newton y la mecánica de fluidos)
La mecánica estadística describe el comportamiento de sistemas macroscópicos a partir del de partículas que obedecen leyes de la mecánica clásica (o de la cuántica). Para la agregación se utilizan herramientas estadística.
La dinámica molecular estudia sistemas moleculares complejos mediante simulación numérica en la que se permite que átomos y moléculas interactúen bajo las leyes de la física. Se utiliza para estudiar el comportamiento de moléculas con las que no es fácil experimentar.
La mecánica cuántica describe el comportamiento de átomos, moléculas y partículas elementales y sus interacciones sobre la base de: cuantización, dualidad onda-partícula y descripción probabilística (inc. ppio de incertidumbre).
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Modelos agregados
• El estado del sistema se define por una (o varias) variables de estado, que (normalmente) evolucionan en el tiempo.
• Esta evolución está controlada por algún principio de conservación (masa, energía, cantidad de movimiento). Nosotros tenderemos a llamarlo “balance” (de masas o energía).
• Al escribir este principio de conservación, suele resultar una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), que se ha de resolver.
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Planteamiento del Balance de masas escalar
• Balance: Var. Almac.= Entradas – Salidas– Permite evaluar la evolución temporal– En estacionario: Entradas = Salidas
• Ejemplo
– Entradas: Q, Ce
– Definición del medio (lago, reactor, rio, …): V, C– Procesos que ocurren en el medio: – Salidas: Sale con la concentración media
– Concentración inicial: C0
• Planteamiento del Balance
• Var. Estado: V, C• Degradación -C
Q·Ce Q·C
e
dV CQC QC VC
d t
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Discusión del planteamiento
• Acotar y definir bien el medio suele ser una de las primeras tareas. Su geometría suele tomarse invariante, pero puede variar con el tiempo.
• Las entradas suelen ser un dato, aunque, en la realidad, se puede actuar sobre ellas (p.ej.: Reducir Ce)
• Tiempo medio de residencia• Procesos
– Contienen la “chicha” del fenómeno– Pueden ser complejos
• Var. Estado: V, C• Degradación -C
Q·Ce Q·C
R
Vt
Q
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Ejemplo
Q = 2 m3/dia Caudal
V = 80 m3 Volumen
C0=17 g/m3 Conc. Inic
0,1 dia-1 Const. Degradación
Ce=1000 g/m3 Concentración Entrada
• Var. Estado: V, C• Degradación -C
Q·Ce Q·C
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Solución estacionaria
• Var. Estado: V, C• Degradación -C
Q·Ce Q·C
1. Imponer derivada temporal nula:
2. Operar
3. Despejar C
4. Sustituir valores (verificar unidades):
0eQC QC VC
( )eQC Q V C
( )eQC
CQ V
3 33
3 1 3
(2 / )·(1000 / )200 /
2 / (0,1 )·(80 )
m d g mC C g m
m d d m
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Evolución temporal
• Dos posibilidades– Numérica– Analítica
• Solución numérica1. Inicializar: k=0, C0=Co
2. k=k+1
3. Aproximar derivadas
4. Evaluar balance
5. Despejar Ck+1
6. Repetir pasos 2-5 hasta acabar
• Ventajas: Se puede hacer en hoja Excel, fácil, rápido• Inconvenientes: Ojo a enterarse de qué depende cada
cosa y a errores numéricos
1
1
k k
k k
d C C CV V
d t t t
. k keVarAlmac QC QC VC
1 · .k k t Var Almac
C CV
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
1. Escribir ecuación de forma cómoda
, donde y
2. Resolver ecuación homogénea (hacer b=0)
3. Variación de las constantes: suponer A=A(t) y sustituir en ec. original
4. Integrar
5. Sustituir valores iniciales para calcular B
6. Sustituir B en la solución
Solución Analítica: EDO’s lineales
eQCb
V
Q
V
ln lnd C d C
C d t C t Ad t C
d C
C bd t
' 't t t tC Ae A e A e C b A be
tt be
A be dt B
( )t
t t tbe bC B e Be C Be
0
0 0C C Be B C C
0( ) tC C C C e
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
1. Escribir ecuación de forma cómoda
2. Se integra facilmente
3. La constante de integración A se saca de la condición inicial
4. Se sustituye A en la solución
5. El paso 2 puede sustituirse por
Que es idéntica a la obtenida en el paso 4
Separación variables cuando y b constantes
0
1ln( )C b A
1ln( )
d Cd t C b t A
C b
00 0
1ln( ) ( )t tC b C b
t e C C C C eC b C b
d C d CC b d t
d t C b
0 0
0
1ln( )
C t
C
d C C bd t t
C b C b
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ejemplo 1: Balance de agua en la situación inicial
Entradas = Salidas Qe = Qs + E
luego E = Qe - Qs = 110 – 10 L/s = 100 L/s
Cambio de unidades:
E = 100 L/s · 3,15·107 s/año·10-3m3/L = 3,15·106 m3/año
La superficie del lago será tal que se puede evaporar este caudal: E = S.e
Como la pendiente lateral es del 1%, la profundidad en el centro del lago será de 10 m. Su volumen será:
E
Qe Qs
6 3
6 23.15 10 /3.15 10
1 /
E m aS m
e m a
2S R
3.150.000
1000S
R m
6 31 1. 3150.000·10 10·10
3 3V S h m
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ejemplo 1: Balance de sal en la situación inicial
Entrada de sal = Salida de sal
Qe ·Ce = Qs.C
luego
E
Qe·Ce Qs·C
. 110 / 100 /
110010 /
xe e
s
Q C L s mg L mgC
Q L s L
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ejemplo 1: Nuevo balance de agua tras el regadío
Entradas = Salidas
Qe + Qr = E + QR + Qs
Es decir
E = Qe + Qr – QR – Qs = 110 + 10 – 70 – 10 = 40 L/s
E = 40 L/s· 3,15·107 s/año 10-3 m3/año=
EQe.
Qr
QR
Qs
440·3,15 10700
sR m
7100
Rh m
2 2 6 31700 ·7 3,5 10
3 3V R h m
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ejemplo 1: Nuevo balance de sales tras Regadío
Entradas Qe Ce + Qr Cr
Salidas Qs C + QR C
Pero como toda la sal retorna, luego Qr·Cr = QR·C
Por tanto Qe Ce = Qs C
Es decir la concentración del lago no se ve afectada, lo cual es lógico ya que al lago le da igual que la evaporación se produzca en su superficie o en la de regadío.
E
Qe.Ce Qs.C
C
Qr.Cr
Regadío
1100 /e e
s
Q CC mg L
Q
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ejemplo 1: Balance de sales sin drenaje
Entradas- Salidas = Qe Ce
La integración de esta ecuación es trivial:
es decir, si no hay salida, la concentración aumenta a un ritmo de 100 al año. El aumento es indefinido hasta que precipiten minerales, cosa que conducirá a la salinización del suelo y, probablemente, al abandono del regadío.
e eo
Q CC C t
V
dC
Vdt
9
6 3 3
350.10 /100
3,5.10 1000 / .e eQ C mg a mg
V m L m L año
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ejemplo 1: Qué se debe hacer
• Para evitar la salinización del lago, lo que se puede hacer es recoger el retorno del regadío mediante drenes y conducirlo a balsas de evaporación. Con ello, disminuye ligeramente el volumen del lago (se pierde el retorno de riego), pero se evita la salinización.
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Balance de masa distribuido
• Se hace en cada punto• Se trabaja con campos.• En lugar de derivadas se utilizan operadores
diferenciales (grad, div,…)• Se plantean EDP’s
• Medios Continuos
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Para las variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra:
Definiciones: Campo, VERUn campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO):
d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales (ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación).
Es el concepto que se emplea para definir las variables naturales
3:
( )
df
fx x
( )0( ) lim VV xx
VER: Volumen elemental representativo, V mínimo para que adopte valor estable
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Coordenadas cartesianas.
e2
e’ 2
e1
e’ 1
x
x1
x2
x 1
X’ 2
e2e2
e’ 2e’ 2
e1e1
e’ 1e’ 1
x
x1
x2
x 1
X’ 2
xx
x1
x2
x 1
X’ 2
x1
x2
x1
x2
x 1
X’ 2
x 1
X’ 2
1 1 2 2 1 1 2 2' ' ' 'x x x xe e e e
1 1
2 2
' cos' ·
' cos
x xsen
x sen xx P x
P es una matriz de rotación
Cambio de coordenadas
x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus componentes o , que son las del vector de posición: i i i i
i
x y z x xx i j k e e
( , , )x y z1 2 3( , , )x x x
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Tensores
Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas. Este tipo de magnitudes se llaman tensores.
Definición
Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: ' v P vEjercicio
Supongase en el sistema y enSustituyendo
Resuta
Analogamente
Cambio de coordenadas en matrices q K g ( , )x y ' ' 'q K g ( ', ')x y
' q P q 'g P g
1 'K P K P
1' K PK P
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Valores principales. Círculo de Mohr
Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se obtienen anulando K12. Ello conduce a una rotación
Direcciones principales
p12
11 22
22 p
Ktg
K K
Los valores de la diagonal del tensor en los ejes principales:
Valores principales
I mK K d
11 22
2m
K KK
22 11 2212 2
K Kd K
II mK K d
Método gráfico de cálculo de direcciones y valores principales
Círculo de Mohr
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Campo escalar
Función escalar definida sobre el EGO: Definición
Depende de la dimensión del EGO.
1-D: f vs x
2 ó 3-D curvas o superficies de igual valor del campo: curvas de nivel, isopiezas, isotermas, isobaras, etc.
Visualización
Temperatura, presiones, viscosidad, etcEjemplos
3:f
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc
Campo Vectorial
Función vectorial definida sobre el EGO: Definición
Casi solo en 2D. •mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del vector y orientadas según su dirección •mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza.
Visualización
Ejemplos
: , 1, 2 3n nf n ó
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones
Campo Tensorial
Función tensorial definida sobre el EGO: Definición
DifícilMediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes iguales a la raíz de los valores principales
Visualización
Ejemplos
: , 1, 2 3n n nf n ó
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Gradiente
Su dirección es la de máxima pendiente (la de máxima variación del campo), su módulo es la variación de por unidad de longitud. Cumple:
Perpendicular a las isolineas de h
Orientado en el sentido creciente de las isolineas
Tanto mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las isolineas.
Propiedades
1
2
3
/
/
/
h x
h h h x
h x
grad
Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por:
Definición
Ejemplo
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Si f representa un flujo de materia, sus derivadas indican cómo varía el flujo de materia por unidad de longitud en cada dirección coordenada. Por ello, la divergencia es la variación de materia almacenada (o diferencia entre salidas y entradas) por unidad de volumen.
Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por:
Divergencia
Propiedades
Definición
Ejemplo
1
21 2 3
3
( ) , ,
f
div fx x x
f
f f
31 2
1 2 3
i
i
ff f f
x x x x
1 2 3-1 x1
1
2
x2
1 1( ) 0,1f x x
2 0f x
1 2
1 2
0,1 0 0,1f f
x xf
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es decir, es un campo igual al aumento lateral del campo original por unidad de longitud. Se orienta, según la regla de la mano derecha.
El gradiente de un campo es irrotacional:
El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales. Viene definido por el “producto” vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial:
Rotacional
Propiedades
Definición
1 1 1
2 2 2
3 3 3
/
/
/
x f
x f
x f
e
rot f f e
e
3 32 1 2 11 2 3
2 3 3 1 1 2
f ff f f f
x x x x x xe e e
Ejemplo
32f e
1 2 3-1 x1
1
2
x2
1 2
2 1
3 0
f x
f x
f
( ) 0frot grad
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la divergencia del gradiente
Laplaciano
Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia.
Propiedades
Definición
1 2 2 22
2 2 2 21 2 3 1 2 3
3
/
, , /
/
xh h h
h h x fx x x x x x
x
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano
31 2
1 1 11
31 22 1 2 3
2 2 23
31 2
3 3 3
/
( ) ( ) / ( , , )
/
ff f
x x xx
ff fx f f f
x x xx
ff f
x x x
Jac f J f f
2 2 2
21 1 2 1 3
1 2 2 2
2 21 2 3 2 1 2 2 3
3 2 2 2
23 1 3 2 3
/
( ) /
/
h h h
x x x x xx
h h hh h x h
x x x x x x x xx
h h h
x x x x x
H
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Flujo. Teorema de la divergencia
n f
f cantidad por unidad de superficie
f·n cantidad por unidad de superficie de
Flujo de f a través de : Cantidad total que pasa (entradas-salidas)
F d
f n
Flujo
Teorema de la divergencia
d d f n f
•Da sentido a la divergencia
•Se emplea mucho para establecer balances
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Se toma un campo escalar tal que entonces la primera identidad quedaría como:
Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green:
Segunda Identidad de Greeng
2 d d d
n
2 2( ) ( )d d
n
Identidades de Green
Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergencia tomando . Hay que tener en cuenta, además, que: , con ello resulta:
Primera Identidad de Green
( ) f g g g
d d d
g g n g
f g
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Circulación. Teoremas de Stokes y de Green
t f
L
circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral del mismo sobre dicha curva
Circulación
LC d l f t
Dada una superficie de borde L, la circulación de un campo a lo largo del borde es igual al flujo del rotacional del campo a traves de la superficie
Teorema de Stokes
Ld dl
f n f t
Versión 2-D del Teorema de Stokes
Teorema de Green
2 11 1 2 2
1 2
( ) ( )L
f ff d x f d x d
x x
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene dado por:
La integración es trivial por separación
Si a y f son constantes queda:
0
10
20
30
40
50
0 50 100 150 200
distancia (unidades arbitrarias)
con
cen
trac
ión
(u
nid
. ar
b.)
Inicial
0
10
20
30
40
50
0 50 100 150 200
distancia (unidades arbitrarias)
con
cen
trac
ión
(u
nid
. ar
b.) Inicial
Inicial + a(t-t0)
EDP’s de primer orden: Acumulación
( , ) ( , )u
a x t f x tt
0 0
( )( ) ( )
( )
t f tu t u t d t
a t
0 0( , ) ( , ) ( )f
u x t u x t t ta
EDP
Integración
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
La degradación de materia orgánica (u) puede estar limitada por la propia concentración, u, o por la disponibilidad de aceptadores de electrones. En el primer caso, el balance de materia orgánica en un volumen a es =b/a):
La integración es trivial por separación:
Integrando, queda:
Imponiendo condiciones iniciales:
Si es constante (1/ es lavida media):
EDP’s de primer orden: DegradaciónEDP
Integración
u
b1
Vel. degrad.
0du
udt
( )du
t dtu
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200
distancia (arbitrarias unidades)
co
nc
en
tra
ció
n (
un
ida
de
s a
rb.) Inicial
Inicial*exp(-a(t-t0))
0
ln ( ) ( )t
tu I t t dt K
( )0
I tu u e
0( )0( , ) ( , ) t tu x t u x t e
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son a y existe degradación con constante , el balance es:
EDO’s de primer orden linealesEDO
Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante de integración como variable
Sustituyendo en la ecuación original y simplificando:
Integrando de nuevo:
Imponiendo condiciones iniciales para determinar D:
donde es la solución estacionaria.
( )( ) I tu C t e
( )'( ) ( )I tC t e f t
( )( ) ( ) I tC t f t e dt D
0 0( ) ( )0( ) 1t t t tf
u t u e e
0( )0( ) ( ) t tu t u u u e
u
Integración
duu f
dt
t
u
u
0u
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicasEDP
( , ) ( , ) ( , )u u
a x t q x t f x tt x
Si q y a son constantes y hacemos v=q/a, y desarrollamos la derivada, queda:
Con
Si esta ecuación define la trayectoria ( )
La ecuación queda:
Cuya solución es:
O
Coefs. ctes.
( , )du x t u dx u
dt x dt t
/dx dt v
0x x vt 0
du
dt
0 0( ( ), ) ( )u x t t u x
0( , ) ( ) ( )u x t u x vt u x vt
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200
distancia (m)
conc
entr
ació
n vt
conduce a
Coefs. variables
0u dx du f
vx dt dt a
00( )
t
tt dt x x v
00 0 0
( ( ), )( ( ), ) ( , )
( ( ), )
t
t
f t tu t t u t dt
a t t
xx x
x
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
El término difusivo. Ecuaciones parabólicas
Gobierna la difusión de solutos y gases, la conducción de calor, etc:
Ecuación de difusión
2
2
u ua D
t x
Donde L es una long. característica. Sustituyendo, queda:
Esto es importante, porque pone de manifiesto que la solución solo depende de xD y tD. En particular, el estacionario, si lo hay, suele alcanzarse para tiempos del orden de tD=1 (t = aL2/D es el tiempo característico del fenómeno modelado). Ver siguiente transp.
Adimensionalización
D
xx
L
2D
Dtt
aL
2
2D D
u u
t x
Haciendo el cambio:
la ecuación queda
Es decir, la EDP se transforma en EDO, lo cual es útil para resolverla (es un truco habitual)
Transf de Boltzmanx
t
2
20
2
du d ua D
d d
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
tD=.01
tD=0.1
tD=0.3
esfera
Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno
Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia 2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp. u0.
Problema
( ,0) 0u x 0( , )u L t u
tD=.01
tD=0.1
tD=0.4
cilindro
tD=.01
tD=0.1
tD=0.8
placa
Por separación de
variables
2
200
4 ( 1) (2 1) (2 1)exp cos
(2 1) 4 2
n
n
u n Dt n x
u n aL L
Solución
x/L
u/ u
0
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Ec. parabólicas. Solución para pulso instant.
Difusión, en medio infinito de una masa M. Problema
Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo
Para dimensiones n=1, 2 ó 3
La conc. max. Se reduce propordinalmente a
,0M
u x xa
2 /Dt a 2
2exp
22
M xu
a
2 2 2
2 / 2 2exp
(2 ) 2n
M x y zu
a
/ 2(4 / )mx n
Mu
a Dt a
/ 21/ ntmxu
Solución
Si ,
Es decir,
Empieza a enterarse para tD=0,1
3 3 2 /x Dt a 0u
2
1
18D
Dtt
a x
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
1
/ 2
1exp ( ) (2 / ) ( )
22 /
t t
n
Mu e f t t t a t
a t ax v D x v
D
( )u
a u u u ft
D q
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
inicial
tras dispersión
tras advección
tras degradación
tras acumulación
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Tras degradación
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Condición inicial
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Tras dispersión
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Tras advección
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
co
nc
en
tra
ció
n
tras acumulación
Transporte de un pulso instantaneo
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
1
/ 2
1exp ( ) (2 / ) ( )
22 /
t t
n
Mu e f t t t a t
a t ax v D x v
D
Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Solución para inyección puntual continua
• Despreciando dispersión longitudinal (gradiente pequeño)
22
2 2
1, , exp
2 2ss
y z y z
z zQ yc x y z
u
2 2 /y yD x u
2 2 /z zD x u
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