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Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 36
ÍNDICE
1. DIVISIBILIDAD 3
1.1. Definición de divisibilidad ...................................................................................................................... 3
1.2. Relación de divisibilidad ......................................................................................................................... 3
1.2.1. Definición ...................................................................................................................................................... 3
2. MÚLTIPLOS 4
2.1. Definición ................................................................................................................................................... 4
2.2. Múltiplos de un número .......................................................................................................................... 4
2.3. Propiedades ............................................................................................................................................... 6
3. DIVISORES 7
3.1. Definición ................................................................................................................................................... 7
3.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 8
4. RESUMEN DE CONCEPTOS 9
4.1. Relación entre divisible por, múltiplo y divisor ............................................................................... 9
5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 10
5.1. Definición ................................................................................................................................................. 10
5.2. Criterios de divisibilidad más comunes........................................................................................... 10
5.2.1. Por 2 ............................................................................................................................................................ 10
5.2.2. Por 3 ........................................................................................................................................................... 10
5.2.3. Por 5 ........................................................................................................................................................... 10
5.2.4. Por 9 ........................................................................................................................................................... 11
5.2.5. Por 10 .......................................................................................................................................................... 11
5.2.6. Por 11 .......................................................................................................................................................... 11
5.2.7. Tabla – Resumen ....................................................................................................................................... 11
5.3. Otros criterios de divisibilidad ........................................................................................................ 12
5.3.1. Por 4 ............................................................................................................................................................ 12
5.3.2. Por 6 ........................................................................................................................................................... 12
5.3.3. Por 7 ........................................................................................................................................................... 12
5.3.4. Por 8 ........................................................................................................................................................... 12
5.3.5. Por 25 ......................................................................................................................................................... 13
5.3.6. Por 125 ....................................................................................................................................................... 13
5.3.7. Tabla – Resumen ....................................................................................................................................... 13
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6. NÚMEROS PRIMOS 13
6.1. Definición ................................................................................................................................................. 13
6.2. Criba de Eratóstenes ........................................................................................................................... 14
6.2.1. Ejercicio ..................................................................................................................................................... 14
6.3. Tabla de números primos .................................................................................................................... 15
6.4. Reglas para comprobar si un número es primo ............................................................................. 15
7. NÚMEROS COMPUESTOS 16
7.1. Definición ................................................................................................................................................. 16
7.2. Factorizar un número o Descomposición de un número en factores primos ....................... 16
8. CÁLCULO DE TODOS LOS DIVISORES USANDO LA FACTORIZACIÓN 17
9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 19
9.1. Definición ................................................................................................................................................. 19
9.2. Cálculo del máximo común divisor..................................................................................................... 19
9.3. Ejercicios ................................................................................................................................................ 20
9.4. Dos números son primos entre sí ..................................................................................................... 21
10. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 21
10.1. Definición ............................................................................................................................................... 21
10.2. Cálculo del mínimo común múltiplo .................................................................................................. 21
10.3. Ejercicios .............................................................................................................................................. 22
11. RELACIÓN ENTRE M.C.D. Y M.C.M. 23
12. EJERCICIOS 23
13. PROBLEMAS 33
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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1. DIVISIBILIDAD
1.1. Definición de divisibilidad
La palabra divisibilidad se refiere a la parte de la aritmética que estudia las condiciones que han de tener los números para ser divisibles por otros, es decir, que se puedan dividir exactamente.
Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas
entre varios.
Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», «a es divisible por b», «a es un divisor de b» o «b es múltiplo de a». A continuación, se estudiarán estos conceptos.
1.2. Relación de divisibilidad
1.2.1. Definición
Un número a es divisible por otro número b (distinto de cero) cuando la división es exacta.
a es divisible por b a : b = c División exacta (resto = 0)
D d D = dividendo = a
d = divisor = b ≠ 0
c = cociente
Resto = 0
0 c
Ejemplo: ¿ 4 es divisible por 12 ?
4 es divisible por 12, ya que resulta de dividir 12 entre 4.
12 : 4 = 3
a = 12, b = 4, c = 3
También se dice que a es divisible entre b si existe un número c tal que b = a · c.
Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno cabe en el otro una
cantidad exacta de veces, es decir, su división es exacta.
D contiene un número exacto c de veces a d.
Si D es divisible por d, decimos que entre D y d existe una relación de divisibilidad.
Ejemplo: En una estantería de 80 cm caben, exactamente, cuatro cazuelas de 20 cm.
Solución:
80 : 20 = 4
El número 20 cabe una cantidad exacta de veces (4) en 80.
20 es divisible entre 80.
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2. MÚLTIPLOS
2.1. Definición
Un número a es múltiplo de otro número b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro
número c.
a es múltiplo de b a = b · c
Ejemplo: ¿ 18 es múltiplo de 2 ?
18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9.
18 = 2 · 9
Por la misma razón, 18 es múltiplo de 9.
a = 18, b = 2, c = 9 ó bien a = 18, b = 9, c = 2
Otra forma más fácil de saber si a es múltiplo de b, es resolviendo la división a : b y
comprobar que la división es exacta, es decir, el resto es 0.
Por tanto, un múltiplo natural se obtiene al multiplicarlo por cualquier número natural.
2.2. Múltiplos de un número
Los múltiplos de un número b son otros números a, de igual o mayor tamaño, que lo contienen
una cantidad exacta de veces c y se obtienen multiplicándolo por cualquier otro número natural c. Es
decir, los múltiplos de un número se calculan con la tabla de multiplicar.
Ejemplo: La longitud recorrida por una rana en sucesivos saltos de 20 cm.
Solución:
1 salto 20 cm
2 saltos 40 cm
3 saltos 60 cm
4 saltos 80 cm
5 saltos 100 cm
……
Los números 20, 40, 60, 80, 100, … contienen a 20 una cantidad exacta de veces (1, 2, 3,
4, 5, …). Por tanto, todos ellos son múltiplos de 20.
Todos estos números se obtienen multiplicando 20 por un número natural:
20 · 1 = 20 20 · 2 = 40 20 · 3 = 60 ……
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Ejemplos:
a) Múltiplos de 2:
2 · 0 = 0 2 · 1 = 2 2 · 2 = 4 2 · 3 = 6 2 · 4 = 8
2 · 5 = 10 2 · 6 = 12 2 · 7 = 14 2 · 8 = 16 2 · 9 = 18
b) Múltiplos de 3:
3 · 0 = 0 3 · 1 = 3 3 · 2 = 6 3 · 3 = 9 3 · 4 = 12
3 · 5 = 15 3 · 6 = 18 3 · 7 = 21 3 · 8 = 24 3 · 9 = 27
c) Múltiplos de 4:
4 · 0 = 0 4 · 1 = 4 4 · 2 = 8 4 · 3 = 12 4 · 4 = 16
4 · 5 = 20 4 · 6 = 24 4 · 7 = 28 4 · 8 = 32 4 · 9 = 36
d) Múltiplos de 5:
5 · 0 = 0 5 · 1 = 5 5 · 2 = 10 5 · 3 = 15 5 · 4 = 20
5 · 5 = 25 5 · 6 = 30 5 · 7 = 35 5 · 8 = 40 5 · 9 = 45
e) Múltiplos de 6:
6 · 0 = 0 6 · 1 = 6 6 · 2 = 12 6 · 3 = 18 6 · 4 = 24
6 · 5 = 30 6 · 6 = 36 6 · 7 = 42 6 · 8 = 48 6 · 9 = 54
f) Múltiplos de 7:
7 · 0 = 0 7 · 1 = 7 7 · 2 = 14 7 · 3 = 21 7 · 4 = 28
7 · 5 = 35 7 · 6 = 42 7 · 7 = 49 7 · 8 = 56 7 · 9 = 63
g) Múltiplos de 8:
8 · 0 = 0 8 · 1 = 8 8 · 2 = 16 8 · 3 = 24 8 · 4 = 32
8 · 5 = 40 8 · 6 = 48 8 · 7 = 56 8 · 8 = 64 8 · 9 = 72
h) Múltiplos de 9:
9 · 0 = 0 9 · 1 = 9 9 · 2 = 18 9 · 3 = 27 9 · 4 = 36
9 · 5 = 45 9 · 6 = 54 9 · 7 = 63 9 · 8 = 72 9 · 9 = 81
i) Múltiplos de 10:
10 · 0 = 0 10 · 1 = 10 10 · 2 = 20 10 · 3 = 30 10 · 4 = 40
10 · 5 = 50 10 · 6 = 60 10 · 7 = 70 10 · 8 = 80 10 · 9 = 90
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2.3. Propiedades
1) Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
Si a ≠ 0 a es múltiplo de a y a es múltiplo de 1
Ejemplo:
Si a = 5 5 es múltiplo de 5 y 5 es múltiplo de 1 porque 5 = 5 · 1
2) El cero es múltiplo de todos los números.
0 es múltiplo de b
Ejemplo:
0 es múltiplo de 5 porque 0 = 0 · 5
3) Todo número b, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.
Si b ≠ 0 Múltiplos de b son infinitos
Ejemplo:
Si b = 3 Múltiplos de 3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ……
Es la tabla de multiplicar de 3.
4) Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.
Si a es múltiplo de b a : b = c y resto = 0
Ejemplo:
Si 6 es múltiplo de 2 6 : 2 = 3 y resto = 0
5) La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
Si a1 y a2 son múltiplos de b (a1 + a2) es múltiplo de b
Ejemplo:
Si 4 es múltiplo de 2 y 6 es múltiplo de 2 4 + 6 = 10 10 es múltiplo de 2
4 = 2 · 2 6 = 2 · 3
10 es múltiplo de 2 porque 10 = 2 · 5
6) La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
Si a1 y a2 son múltiplos de b (a2 – a1) es múltiplo de b
Ejemplo:
Si 4 es múltiplo de 2 y 6 es múltiplo de 2 6 – 4 = 2 2 es múltiplo de 2
4 = 2 · 2 6 = 2 · 3
2 es múltiplo de 2 porque 2 = 2 · 1
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7) Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c a es múltiplo de c
Ejemplo:
Si 18 es múltiplo de 9 y 9 es múltiplo de 3 18 es múltiplo de 3
8) Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.
Si a es múltiplo de b Múltiplos de a son múltiplos de b
Ejemplo:
Si 12 es múltiplo de 4 Múltiplos de 12 = 0, 12, 24, 36, 48, … son múltiplos de 4
3. DIVISORES
3.1. Definición
Los divisores de un número a son otros números b, de igual o menor tamaño, que están
contenidos en él una cantidad exacta de veces c.
Ejemplo: Se tiene un grupo de 20 chicos y chicas, y se quieren dividir en equipos iguales, ¿en
cuántas distintas formas son posibles?
Solución:
Divisores de 20
Número de equipos 1 2 4 5 10 20
Número de chicos/as 20 10 5 4 2 1
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 está contenido en 20 una cantidad exacta de
veces (20, 10, 5, 4, 2, 1). Por tanto, todos ellos son divisores de 20.
20 : 1 = 20 20 : 4 = 5 20 : 10 = 2
20 : 2 = 10 20 : 5 = 4 20 : 20 = 1
Todos estos números forman parejas cuyo producto es 20:
1 · 20 = 20 2 · 10 = 20 4 · 5 = 20
Un número b es un divisor de otro número a cuando al dividir a entre b la división es exacta,
es decir, el resto es 0.
b es divisor de a a : b = c División exacta (resto = 0)
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Ejemplo: ¿ 4 es divisor de 12 ?
4 es divisor de 12, ya que resulta de dividir 12 entre 4.
12 : 4 = 3
a = 12, b = 4, c = 3
Por la misma razón, 3 es divisor de 12.
a = 12, b = 4, c = 3 ó bien a = 12, b = 3, c = 4
A los divisores también se les llama factores.
NOTA: Hay varias formas para calcular los divisores:
1) Dividimos el número por todos los números naturales (en orden) por los que sea divisible (la
división sea exacta), hasta llegar a una división en la que el cociente < divisor.
2) Dividimos el número por todos los números naturales (en orden) por los que sea divisible (la
división sea exacta), hasta llegar a la mitad del divisor.
3) Usamos la descomposición del divisor en factores primos.
Ejemplos:
a) Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
b) Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3.2. Propiedades
1) Todo número b, distinto de 0, es divisor de sí mismo.
Si b ≠ 0 b es divisor de b
Ejemplo:
Si b = 6 6 es divisor de 6 porque 6 : 6 = 1
2) El 1 es divisor de todos los números.
1 es divisor de a
Ejemplo:
1 es divisor de 6 porque 6 : 1 = 6
3) Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto, el número de
divisores es finito.
Si a ≠ 0 Divisores de a ≤ a
Ejemplo:
Si a = 6 Divisores de 6 = 1, 2, 3, 6
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4) Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
Si b es divisor de a1 y a2:
b es divisor de a1 + a2
b es divisor de a2 – a1
Ejemplo:
Si 2 es divisor de 4 y 6:
2 es divisor de 4 + 6 = 10 porque 10 : 2 = 5
2 es divisor de 6 – 4 = 2 porque 2 : 2 = 1
5) Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero.
Si b es divisor de a b es divisor de los múltiplos de b
Ejemplo:
Si 5 es divisor de 10 5 es divisor de los múltiplos de 5 = 0, 5, 10, 15, …
5 es divisor de 0 porque 0 : 5 = 0
5 es divisor de 5 porque 5 : 5 = 1
5 es divisor de 10 porque 10 : 5 = 2
5 es divisor de 15 porque 15 : 5 = 3
……
6) Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es divisor del tercero.
Si b es divisor de a y a es divisor de c b es divisor de c
Ejemplo:
Si 5 es divisor de 10 y 10 es divisor de 30 5 es divisor de 30
4. RESUMEN DE CONCEPTOS
4.1. Relación entre divisible por, múltiplo y divisor
a : b = c a b a = dividendo
b = divisor b ≠ 0
c = cociente
Resto = 0
División exacta
a es divisible por / entre b
a es múltiplo de b
b es divisor de a
Entre a y b existe una relación de divisibilidad.
0 c
Ejemplo: Completar los huecos con números para que se cumpla la relación.
a) ___ es divisible por 2 Solución: 2, 4, 12, 144, …
b) 81 es múltiplo de ___ Solución: 3, 9
c) 15 es divisor de ___ Solución: 30, 625, …
d) 100 es múltiplo de ___ y ___ Solución: 2 y 5, 1 y 10
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Ejemplo: Realiza los cálculos adecuados para determinar si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas:
a) 125 es divisor de 625 Solución: Verdadero porque 625 = 125 · 5
b) 132 es múltiplo de 6 Solución: Verdadero porque 132 = 6 · 22
c) 146 es múltiplo de 13 Solución: Falso porque 146 = 13 · 11 + 3
d) 80 es divisor de 40 Solución: Falso porque 80 > 40 y debe ser menor.
5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
5.1. Definición
Los criterios de divisibilidad son una serie de reglas, muy simples, que permiten descubrir con
rapidez, sin tener que hacer operaciones, cuándo un número es divisible entre otro, es decir, si un
número es múltiplo de 2, 3, 5, …
5.2. Criterios de divisibilidad más comunes
5.2.1. Por 2
Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
Ejemplos:
10 es divisible por 2 porque 10 : 2 = 5
24 es divisible por 2 porque 24 : 2 = 12
238 es divisible por 2 porque 238 : 2 = 119
1.024 es divisible por 2 porque 1.024 : 2 = 512
5.2.2. Por 3
Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos:
564 es múltiplo de 3 5 + 6 + 4 = 15, es múltiplo de 3 porque 15 = 3 · 5
777 es múltiplo de 3 7 + 7 + 7 = 21, es múltiplo de 3 porque 21 = 3 · 7
2.040 es múltiplo de 3 2 + 0 + 4 + 0 = 6, es múltiplo de 3 porque 6 = 3 · 2
5.2.3. Por 5
Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.
Ejemplos:
10 es divisible por 5 porque 10 : 5 = 2
45 es divisible por 5 porque 45 : 5 = 9
515 es divisible por 5 porque 515 : 5 = 103
7.525 es divisible por 5 porque 7.525 : 5 = 1.505
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5.2.4. Por 9
Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplos:
81 es divisible por 9 8 + 1 = 9 9 es múltiplo de 9
1.098 es divisible por 9 1 + 0 + 9 + 8 = 9 18 es múltiplo de 9
3.663 es divisible por 9 3 + 6 + 6 + 3 = 18 18 es múltiplo de 9
5.2.5. Por 10
Un número es divisible por 10, si termina en cero.
Ejemplos:
130 es divisible por 10 porque 130 : 10 = 13
1.440 es divisible por 10 porque 1.440 : 10 = 144
10.230 es divisible por 10 porque 10.230 : 10 = 1.023
5.2.6. Por 11
Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es cero o múltiplo de 11.
Ejemplos:
121 es divisible por 11 (1 + 1) – 2 = 2 – 2 = 0
4.224 es divisible por 11 (4 + 2) – (2 + 4) = 6 – 6 = 0
13.101 es divisible por 11 (3 + 0) – (1 + 1 + 1) = 3 – 3 = 0
5.2.7. Tabla – Resumen
En la tabla siguiente, se presenta un resumen de los criterios de divisibilidad más comunes.
Número Criterio de divisibilidad Ejemplos
2 Si termina en cero o cifra par. 10, 24, 238, 1.024, …
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 564, 777, 2.040, …
5 Si termina en cero o cinco. 10, 45, 515, 7.525, …
9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 81, 1.098, 3.663, …
10 Si termina en cero. 130, 1.440, 10.230, …
11 Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares
pares y la de los impares es cero o múltiplo de 11. 121, 4.224, 13.101, …
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5.3. Otros criterios de divisibilidad
5.3.1. Por 4
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Ejemplos:
36 es divisible por 4 36 es múltiplo de 4 porque 36 = 4 · 9
400 es divisible por 4 porque tiene 00
1.028 es divisible por 4 1.028 es múltiplo de 4 porque 1.028 = 4 · 257
5.3.2. Por 6
Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.
Ejemplos:
72 es divisible por 6:
72 es divisible por 2 porque 72 : 2 = 36
72 es divisible por 3 porque 72 : 3 = 24
324 es divisible por 6:
324 es divisible por 2 porque 324 : 2 = 162
324 es divisible por 3 porque 324 : 3 = 108
1.500 es divisible por 6:
1.500 es divisible por 2 porque 1.500 : 2 = 750
1.500 es divisible por 3 porque 1.500 : 3 = 500
5.3.3. Por 7
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.
Ejemplos:
105 es divisible por 7 10 – 5 · 2 = 0, es múltiplo de 7
224 es divisible por 7 22 – 4 · 2 = 14, es múltiplo de 7
343 es divisible por 7 34 – 3 · 2 = 28, es múltiplo de 7
2.261 es divisible por 7 226 – 1 · 2 = 224, es múltiplo de 7
5.3.4. Por 8
Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
Ejemplos:
4.000 es divisible por 8 porque tiene 000
1.048 es divisible por 8 048 es múltiplo de 8 porque 048 = 8 · 6
1.512 es divisible por 8 512 es múltiplo de 8 porque 512 = 8 · 64
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5.3.5. Por 25
Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
Ejemplos:
500 es divisible por 25 porque tiene 00
1.025 es divisible por 25 025 es múltiplo de 25 porque 025 = 25 · 1
1.875 es divisible por 25 875 es múltiplo de 25 porque 875 = 25 · 35
5.3.6. Por 125
Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.
Ejemplos:
1.000 es divisible por 125 porque tiene 000
1.125 es divisible por 125 125 es múltiplo de 125 porque 125 = 125 · 1
4.250 es divisible por 125 250 es múltiplo de 125 porque 250 = 125 · 2
5.3.7. Tabla – Resumen
En la tabla siguiente, se presenta un resumen de otros criterios de divisibilidad.
Número Criterio de divisibilidad Ejemplos
4 Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 36, 400, 1.028, …
6 Si es divisible por 2 y por 3. 72, 324, 1.500, …
7 Cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades
y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7. 105, 224, 343, 2.261, …
8 Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. 4.000, 1.048 , 1.512, …
25 Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25. 500, 1.025, 1.875, …
125 Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125. 1.000, 1.125, 4.250, …
6. NÚMEROS PRIMOS
6.1. Definición
Un número primo es aquél que no se puede descomponer en factores.
Por tanto, un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
Ejemplos:
5 Divisores de 5 = 1, 5
13 Divisores de 13 = 1, 13
19 Divisores de 19 = 1, 19
59 Divisores de 59 = 1, 59
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos como primo.
Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos
menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al
divisor, se dice que el número es primo.
Ejemplo:
Por tanto, 179 es un número primo.
6.2. Criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores
que un número natural dado.
1) Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número.
2) Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.
3) Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la
lista sus múltiplos, y así sucesivamente.
4) El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que
el número final de la lista.
5) Los números que permanecen en la lista son los primos.
6.2.1. Ejercicio
1) Calcular por el algoritmo de la criba de Eratóstenes los números primos menores que 40:
a) Escribimos los números comprendidos entre 2 y 40.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
b) Eliminamos los múltiplos de 2 porque 22 < 40.
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
c) El siguiente número es 3, como 32 < 40 eliminamos los múltiplos de 3.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 25 29 31 35 37
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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d) El siguiente número es 5, como 52 < 40 eliminamos los múltiplos de 5.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
e) El siguiente número es 7, como 72 > 40 el algoritmo termina y los números que nos quedan son
primos.
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
6.3. Tabla de números primos
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37
41 43 47 53 59
61 67 71 73 79
83 89 97
101 103 107 109 113
127 131 137 139
149 151 157
163 167 173 179
181 191 193 197 199
6.4. Reglas para comprobar si un número es primo
Existen algunas reglas que permiten comprobar si un número es primo.
Todo número que termina en 0, 2, 4, 5, 6 u 8, o cuyos dígitos suman un número divisible por 3, no
es primo.
Los números que terminan en 1, 3, 7 ó 9 pueden ser primos o no.
Utilizar los criterios de divisibilidad.
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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7. NÚMEROS COMPUESTOS
7.1. Definición
Un número compuesto es aquél que posee más de dos divisores. Es decir, se puede dividir por
sí mismo, por la unidad y por otros números.
Ejemplos:
12 Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
15 Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15.
32 Divisores de 32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos,
a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.
Ejemplo: 70 = 2 · 5 · 7
7.2. Factorizar un número o Descomposición de un número en factores primos
Factorizar un número consiste en descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo
como producto de sus divisores primos.
Para factorizar un número o descomponerlo en factores primos efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Esto es, el número lo
dividimos entre 2 tantas veces como sea posible; después, entre 3; luego, entre 5; y así sucesivamente
entre los siguientes primos hasta obtener 1 en el cociente.
Por tanto, los divisores de un número permiten su descomposición en forma de productos de
dos o más factores.
Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los
divisores primos y a la izquierda los cocientes.
Ejemplos:
432
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
2
3
3
3
2.520
1.260
630
315
105
35
7
1
2
2
2
3
3
5
7
432 = 24 · 33 2.520 = 23 · 32 · 5 · 7
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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8. CÁLCULO DE TODOS LOS DIVISORES USANDO LA FACTORIZACIÓN
Para calcular todos los divisores, usamos la descomposición en factores primos.
Ejemplo: Calcula todos los divisores de 72.
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 · 32
1º Escribimos todas las potencias de base 2, desde 20 hasta 23.
2º Escribimos todas las potencias de base 3, desde 30 hasta 32.
3º Estas potencias las organizamos en una tabla de doble entrada y multiplicamos unas por
otras.
4º Los productos son todos los divisores de 72.
20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8
30 = 1 1 2 4 8
31 = 3 3 6 12 24
32 = 9 9 18 36 72
Solución: Todos los divisores de 72 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Ejemplo: Calcula todos los divisores de 1.125.
1.125
375
125
25
5
1
3
3
5
5
5
1.125 = 32 · 53
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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1º Escribimos todas las potencias de base 3, desde 30 hasta 32.
2º Escribimos todas las potencias de base 5, desde 50 hasta 53.
3º Estas potencias las organizamos en una tabla de doble entrada y multiplicamos unas por
otras.
4º Los productos son todos los divisores de 1.125.
30 = 1 31 = 3 32 = 9
50 = 1 1 3 9
51 = 5 5 15 45
52 = 25 25 75 225
53 = 125 125 375 1.125
Solución: Todos los divisores de 1.125 son 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 125, 225, 375, 1.125
Ejemplo: Calcula todos los divisores de 1.125.
90
45
15
5
1
2
3
3
5
90 = 2 · 32 · 5
1º Escribimos todas las potencias de base 2, desde 20 hasta 21.
2º Escribimos todas las potencias de base 3, desde 30 hasta 32.
3º Escribimos todas las potencias de base 5, desde 50 hasta 51.
4º Eliminamos 50 porque es igual a 20.
5º Escribimos el producto de potencias de 21 y 51.
6º Estas potencias las organizamos en una tabla de doble entrada y multiplicamos unas por
otras.
7º Los productos son todos los divisores de 90.
20 = 1 21 = 2 51 = 5 21 · 51 = 10
30 = 1 1 2 5 10
31 = 3 3 6 15 30
32 = 9 9 18 45 90
Solución: Todos los divisores de 90 son 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
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Ejemplo: Calcula todos los divisores de 540.
540
270
135
45
15
5
1
2
2
3
3
3
5
540 = 22 · 33 · 5
1º Escribimos todas las potencias de base 2, desde 20 hasta 22.
2º Escribimos todas las potencias de base 3, desde 30 hasta 33.
3º Escribimos todas las potencias de base 5, desde 50 hasta 51.
4º Eliminamos 50 porque es igual a 20.
5º Escribimos el producto de potencias desde 21 hasta 22 con 51.
6º Estas potencias las organizamos en una tabla de doble entrada y multiplicamos unas por
otras.
7º Los productos son todos los divisores de 90.
20 = 1 21 = 2 22 = 4 51 = 5 21 · 51 = 10 22 · 51 = 20
30 = 1 1 2 4 5 10 20
31 = 3 3 6 12 15 30 60
32 = 9 9 18 36 45 90 180
33 = 27 27 54 108 135 270 540
Solución: Todos los divisores de 540 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36,
45, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540
9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
9.1. Definición
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente, es decir, es el mayor de sus divisores.
9.2. Cálculo del máximo común divisor
1) Se descomponen los números en factores primos.
2) Se toman los factores comunes con menor exponente.
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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9.3. Ejercicios
1) Hallar el m.c.d. de 72, 108 y 60
Solución:
1) Se descomponen los números en factores primos.
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
108
54
27
9
3
1
2
2
3
3
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5
2) Se toman los factores comunes con menor exponente.
m.c.d. (72, 108, 60) = 23 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m.c.d.
El número 12 es divisor de 36.
m.c.d. (12, 36) = 12
2) Hallar el m.c.d. de:
a) 25 · 33
24 · 7
Solución: m.c.d. = 24 = 16
b) 23 · 33 · 57
25 · 32 · 5
Solución: m.c.d. = 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360
c) 7 · 115 · 13
53 · 132
74 · 11
Solución: m.c.d. = 1
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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9.4. Dos números son primos entre sí
Dos números son primos entre sí cuando su máximo común divisor es 1.
Ejemplo: Comprueba si estos números son primos entre sí:
a) 18 y 75
Solución:
18 = 2 · 32
75 = 3 · 52
m.c.d. (18, 75) = 3
Por tanto, 18 y 75 no son primos entre sí.
b) 84 y 715
Solución:
84 = 22 · 3 · 7
715 = 5 · 11 · 13
m.c.d. (84, 715) = 1
Por tanto, 84 y 715 son primos entre sí.
10. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
10.1. Definición
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos sus múltiplos comunes, excluido el cero.
10.2. Cálculo del mínimo común múltiplo
1) Se descomponen los números en factores primos.
2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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10.3. Ejercicios
1) Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60
Solución:
1) Se descomponen los números en factores primos.
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
108
54
27
9
3
1
2
2
3
3
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5
2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
m.c.m. (72, 108, 60) = 23 · 3 · 5 = 1.080
1.080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.
Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m.c.m. de ambos.
El número 36 es múltiplo de 12.
m.c.m. (12, 36) = 36
2) Hallar el m.c.m. de:
a) 25 · 33
24 · 7
Solución: m.c.m. = 25 · 33 · 7 = 32 · 27 · 7 = 6.048
b) 23 · 33 · 57
25 · 32 · 5
Solución: m.c.m. = 25 · 33 · 57 = 32 · 27 · 78.125 = 67.500.000
c) 7 · 115 · 13
53 · 132
74 · 11
Solución: m.c.m. = 53 · 74 · 115 · 132 = 125 · 2.401 · 161.051 · 169 = 8.168.687.902.375
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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11. RELACIÓN ENTRE M.C.D. Y M.C.M.
m.c.d. (a, b) · m.c.m. (a, b) = a · b
Ejemplo:
m.c.d. (12, 16) = 22 = 4
m.c.m. (12, 16) = 24 · 3 =48
12 = 22 · 3
16 = 24
m.c.d. (12, 16) · m.c.m. (12, 16) 4 · 48 = 12 · 16 192 = 192
12. EJERCICIOS
1) Halla los 5 primeros múltiplos de 25.
Solución: Vamos sumando de 25 en 25 y tenemos:
50, 75, 100, 125, 150
2) Halla todos los múltiplos de 18 menores de 225.
Solución: Vamos sumando de 18 en 18 hasta que lleguemos a 225 o nos pasemos, y tenemos:
18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216
3) Calcular todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.
Forma 1:
1º Dividimos:
800 : 17 = 47 Resto = 1 800 = 17 · 47 + 1
860 : 17 = 50 Resto = 10 860 = 17 · 50 + 10
Los múltiplos empiezan a partir de 47 + 1 = 48 y terminan en 50.
Calculamos los múltiplos hasta que lleguemos a 860 o nos pasemos:
17 · 48 = 816
17 · 49 = 833
17 · 50 = 850
17 · 51 = 867
Esta última división no se hace si previamente hemos hecho 860 : 17.
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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Forma 2:
1º Dividimos:
800 : 17 = 47 Resto = 1 800 = 17 · 47 + 1
2º Calculamos 17 · 47 = 799
3º Calculamos el primer múltiplo: 799 + 17 = 816
4º Vamos sumando de 17 en 17 y hasta que lleguemos a 860 o nos pasemos.
Solución: 816, 833, 850
4) ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir en equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de
una clase? ¿Cuántos equipos salen en cada caso?
Solución:
Divisores de 24
Número de equipos 1 2 3 4 6 8 12 24
Número de alumnos/as 24 12 8 6 4 3 2 1
Cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 está contenido en 24una cantidad exacta
de veces (24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1). Por tanto, todos ellos son divisores de 24.
24 : 1 = 24 24 : 2 = 12 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6
24 : 6 = 4 24 : 8 = 3 24 : 12 = 2 24 : 24 = 1
Todos estos números forman parejas cuyo producto es 24:
1 · 24 = 24 2 · 12 = 24 3 · 8 = 24 4 · 6 = 24
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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5) Marca con una X donde corresponda:
Criterio de divisibilidad
Número 2 3 5 9 10 11
32 X
120 X X X X
245 X
847
900 X X X X X
1.089 X X X
2.310 X X X X
2.772 X X
133
154 X
225 X X X
313
420 X X X X
625 X
7.770 X X X X
1.452 X X X
2.502 X X X
4.639
4.900 X X X
13.101 X X
6) De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cuáles son primos y cuáles
compuestos.
Solución:
Primos: 179 y 311.
Compuestos: 848, 3566 y 7287.
Número Divisores Total de divisores
Número primo
Número Compuesto
179 1, 179 2 X
311 1, 311 2 X
848 1, 2, 848, … >2 X
3566 1, 2, 3566, … >2 X
7287 1, 3, 7287, … >2 X
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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7) Calcular, mediante una tabla, todos los números primos comprendidos entre 400 y 450.
Solución:
a) Escribimos los números comprendidos entre 400 y 450.
400 401 402 403 404 405 406 407 408 409
410 411 412 413 414 415 416 417 418 419
420 421 422 423 424 425 426 427 428 429
430 431 432 433 434 435 436 437 438 439
440 441 442 443 444 445 446 447 448 449
450
b) Eliminamos los múltiplos de 2 porque 22 < 450.
401 403 405 407 409
411 413 415 417 419
421 423 425 427 429
431 433 435 437 439
441 443 445 447 449
c) El siguiente número es 3, como 32 < 450 eliminamos los múltiplos de 3.
401 403 407 409
413 415 419
421 425 427
431 433 435 437 439
443 445 447 449
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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36
d) El siguiente número es 5, como 52 < 450 eliminamos los múltiplos de 5.
401 403 407 409
413 419
421 427
431 433 437 439
443 447 449
e) El siguiente número es 7, como 72 > 450 eliminamos los múltiplos de 7.
401 403 407 409
419
421
431 433 437 439
443 447 449
f) El siguiente número es 11, como 112 > 450 eliminamos los múltiplos de 11.
401 403 409
419
421
431 433 437 439
443 447 449
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
Gema Isabel Marín Caballero Página 28 de
36
g) El siguiente número es 13, como 132 > 450 eliminamos los múltiplos de 13.
401 409
419
421
431 433 437 439
443 447 449
h) El siguiente número es 19, como 192 > 450 eliminamos los múltiplos de 19.
401 409
419
421
431 433 439
443 447 449
i) El siguiente número es 23, como 232 > 450 el algoritmo termina y los números que nos quedan
son primos.
401 409
419
421
431 433 439
443 447 449
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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8) Descomponer en factores:
a) 216
Solución:
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
3
3
3
216 = 23 · 33
b) 360
Solución:
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
360 = 23 · 32 · 5
c) 435
Solución:
435
145
29
1
3
5
29
435 = 3 · 5 · 29
d) 342
Solución:
342
171
57
19
1
2
3
3
19
342 = 2 · 32 · 19
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
Gema Isabel Marín Caballero Página 30 de
36
9) Descomponer en factores:
a) 2.250
Solución:
2.250
1125
375
125
25
5
1
2
3
3
5
5
5
2.250 = 2 · 32 · 53
b) 3.500
Solución:
3.500
1750
875
175
35
7
1
2
2
5
5
5
7
3.500 = 22 · 53 · 7
10) Calcular el m.c.d. y m.c.m. de:
a) 428 y 376
Solución:
1) Se descomponen los números en factores primos.
428
214
107
1
2
2
107
376
188
94
47
1
2
2
2
47
428 = 22 · 107 376 = 23 · 47
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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36
2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
m.c.d. (428, 376) = 22 = 4
m.c.m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40.232
b) 148 y 156
Solución:
1) Se descomponen los números en factores primos.
148
74
37
1
2
2
37
156
78
39
13
1
2
2
3
13
148 = 22 · 37 156 = 22 · 3 · 13
2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
m.c.d. (148, 156) = 22 = 4
m.c.m. (148, 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5.772
c) 600 y 1.000
Solución:
1) Se descomponen los números en factores primos.
600
300
150
75
25
5
1
2
2
2
3
5
5
1.000
500
250
125
25
5
1
2
2
2
5
5
5
600 = 23 · 3 · 52 1.000 = 23 · 53
2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
m.c.d. (600, 1.000) = 23 · 52 = 200
m.c.m. (600, 1.000) = 23 · 3 · 53 = 3.000
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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36
11) Calcular el m.c.d. y m.c.m. de:
a) 1.048, 786 y 3.930
Solución:
1) Se descomponen los números en factores primos.
1.048
524
262
131
1
2
2
2
131
786
393
131
1
2
3
131
3.930
1.965
655
131
1
2
3
5
131
1.048 = 23 · 131 786 = 2 · 3 · 131 3.930 = 2 · 3 · 5 · 131
2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
m.c.d. (1.048, 786, 3.930) = 2 · 131 = 262
m.c.m. (1.048, 786, 3.930) = 23 · 3 · 5 · 131 = 15.720
b) 3.120, 6.200 y 1.864
Solución:
1) Se descomponen los números en factores primos.
3.120
1.560
780
390
195
65
13
1
2
2
2
2
3
5
13
6.200
3.100
1.550
775
155
31
1
2
2
2
5
5
31
1.864
932
466
233
1
2
2
2
233
3.210 = 24· · 3 · 5 · 13 6.200 = 23 · 52 · 31 1.864 = 23 · 233
2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
m.c.d. (3.210, 6.200, 1.864) = 23 = 8
m.c.m. (3.210, 6.200, 1.864) = 24 · 3 · 52 · 13 · 31 · 233 = 1.746.521.400
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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13. PROBLEMAS
1) Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30
de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos
siguientes y a qué hora.
Solución:
12 segundos 12 = 22 · 3
18 segundos 18 = 2 · 32
1 minuto = 60 segundos 60 = 22 · 3 · 5
m.c.m. (12, 18, 60) = 22 · 32 · 5 = 180
180 segundos : 60 segundos/minuto = 3 minutos
Coinciden a las 6.30 h.
Dentro de 5 minutos, los tres faros sólo coinciden una vez a las 6.33 h.
2) Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.
¿Dentro de cuántos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
Forma 1:
18 = 2 · 32
24 = 23 · 3
m.c.m. (18, 24) =23 · 32 = 72
Dentro de 72 días.
Forma 2: Completa la tabla para dar la respuesta.
1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta 4ª vuelta
Días que tarda viajero 1 18 36 54 72
Días que tarda viajero 2 24 48 72 96
Esto quiere decir que se calculan:
Múltiplos de 18: 0, 18, 36, 54, 72, …
Múltiplos de 24: 0, 48, 72, 96, …
Múltiplos comunes de 18 y 24: 72
El 0 no se cuenta porque es el inicio de los dos viajeros en Barcelona.
Solución: 72 días tardan en encontrarse los dos viajeros en Barcelona.
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
Gema Isabel Marín Caballero Página 34 de
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3) Óscar y Sonia están montando en los cars de un parque de atracciones. Sonia tarda 4 minutos en
dar una vuelta a la pista y Óscar, 6 minutos. Si salen los dos juntos de la meta, ¿cuántos minutos
tardarán en volver a coincidir en la meta?
Forma 1:
4 = 22
6 = 2 · 3
m.c.m. (4, 6) =22 · 3 = 12
Dentro de 12 minutos.
Forma 2: Completa la tabla para dar la respuesta.
1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta 4ª vuelta 5ª vuelta 6ª vuelta
Minutos que tarda Sonia 4 8 12 16 20 24
Minutos que tarda Óscar 6 12 18 24 30 36
Esto quiere decir que se calculan:
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
Múltiplos comunes de 4 y 6: 0, 12, 24
El 0 no se cuenta porque es el inicio de la carrera.
Solución: A los 12 y 24 minutos coincidirán en la meta.
4) Alba y Sonia van a ver a su abuela un determinado día. A partir de ese día Alba vuelve cada 18 días,
y Sonia, cada 30 días. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez?
Forma 1:
18 = 2 · 32
30 = 2 · 3 · 5
m.c.m. (18, 30) =2 · 32 · 5 = 90
Dentro de 90 días.
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
Gema Isabel Marín Caballero Página 35 de
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Forma 2: Completa la tabla para dar la respuesta.
1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta 4ª vuelta 5ª vuelta
Días que tarda Alba 18 36 54 72 90
Días que tarda Sonia 30 60 90 120 150
Esto quiere decir que se calculan:
Múltiplos de 18: 0, 18, 36, 54, 72, 90, …
Múltiplos de 30: 0, 30, 60, 90, 120, 150, …
Múltiplos comunes de 18 y 30: 90
El 0 no se cuenta porque es el inicio de la visita a su abuela.
Solución: 90 días tardan en encontrarse Alba y Sonia.
5) ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de
resto 9?
Solución:
m.c.m. (15, 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720
720 + 9 = 729
6) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se
quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas
garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el
número de garrafas que se necesitan.
Solución:
m.c.d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 litros
Número de garrafas de T1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas
Tema 3: Divisibilidad de números naturales.
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7) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el
lado y el número de las baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no
sea necesario cortar ninguna de ellas.
Solución:
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 52
A = 30 · 50 = 1.500 dm2
m.c.d. (30, 50) = 2 · 5= 10 dm de lado
Ab = 102 = 100 dm2
1.500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas
8) Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas, de modo que cada caja
contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el
número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
Solución:
m.c.d. (12.028, 12.772) = 124
124 naranjas en cada caja
Cajas de naranjas = 12.772 / 124 = 104
Cajas de manzanas = 12.028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 104 + 97 = 201
9) ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m
de longitud y 6,4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
Solución:
8 m = 80 dm 80 = 24 · 5
6,4 m = 64 dm 64 = 26
m.c.d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado
Ab = 162 = 256 dm2
A = 80 · 64 = 5120 dm2
5.120 dm2 : 256 dm2 = 15 baldosas
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