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Sintonía de reguladores PID
Prof. Mª Jesús de la FuenteDpt. Ingeniería de Sistemas y Automática
Facultad de CienciasUniversidad de Valladolid
Indice
• Regulador PID• Tipos de reguladores PID• Criterios de Sintonía• Métodos de Ziegler-Nichols• Métodos de minimización del error • Métodos en el dominio frecuencial• Sintonía automática
EL PROBLEMA DE CONTROL
ProcesoControladoruw y
SP CV
v
MV
DV
EL REGULADOR PID
regulador basado en señal, no incorpora conocimiento explícito del proceso3 parámetros de sintonía Kp, Ti, Td
diversas modificaciones
e t w t y t
u t K e tT
e d T dedtp
id
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= −
= + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟∫
1τ τ
Señales del regulador
ProcesoRegulador
Transmisor
Actuadorw
Las señales de entrada y salida al regulador son señales normalizadas, normalmente de 4-20 mA
u y
4-20 mA
4-20 mA
Dos opciones
ProcesoRw u
ProcesoRw u
Ing.
mAIng.
Ing.
Ing.
mA
Ing. %
%
mAe
e mA%
+-
+-
%
Kp % / %
Kp % / Ing.
Fórmulas de Conversión y,w
20 mA
4 mA
y0 yMy
Span=yM - y0
100 %
0 %
y0 yMy
mA%
)yy(span100% 0−=4)yy(
span16mA 0 +−=
)4mA(16
100% −=
Fórmulas de Conversión u
20 mA
4 mA
100 %0 %
mA
u %
4%10016mA +=
umA%
Apertura válvula en %
u
%
Actuador
Apertura válvula en %
Unidades
Gp(s)R(s)
100/span
Actuador
W(s)
Las señales de entrada y salida al regulador suelen expresarse en % del span del transmisor y del actuadorrespectivamente.La conversión del regulador debe corresponder ala calibración del transmisor
U(s)
%
%%
+-
Y(s)
100/span
Análisis del regulador
GpR
Actuadorw u
%
%
%Transmisor
Ga Gp GtRu
%
%%
+-
+-
%
%
Las dinámicas del actuador y transmisor deben incluirse si son significativas
100/span100/span
Análisis del lazo (1)Ga Gp GtR
u
%
%
%+
-
%
span100)s(W
RGGG1RGGG
span100)s(Y)%s(W
RGGG1RGGG
)%s(Ytpa
tpa
tpa
tpa
+=
+=
w
100/span
Ga Ing’/%
Gp Ing/Ing’
Gt %/Ing
R % / %
La salida es la variable medida, no la controlada
Análisis del lazo (2)Ga GpR(s)
u%
Ing+
-
Ing
)s(WRGGG1
RGG)s(Y
xpa
pa
+=
w
Ga Ing’/%
Gp Ing/Ing’
Gx adimensional
R % / Ing
GxIng
La salida es la variable controlada
Gx tiene ganancia 1 e incorpora la dinámica del transmisor
qa h
Control de flujo
FCwu
Bomba Caudalímetro Válvula
Caudalímetro: 0-50 m3/h 4-20mA
q
Δpv
a h
Δp0Δpb
Avq qCa1p
gAhvAfLpA)pp(Atd
mvd
22v
2v
2vb0
=ρ=Δ
ρ−ρ−Δ−Δ+Δ=
Modelo
u
aK)p(Kqtdqd 201 Δ+ΔΔ=Δ+
Δτ uKa
tdad
vv Δ=Δ+Δ
τ
Diagrama de bloques
u
%
%
%+
-
%
W
100/span
( ) ( ) 50100
1sK
1sK 2
v
v
+τ+τ2Q
( ) 50100
1sK1
+τ
ΔP0
+( )sT
1sTK
i
ip +
Kp % /%
Se desprecia la dinámica del transmisor
EL REGULADOR PID
regulador basado en señal, no incorpora conocimiento explícito del proceso3 parámetros de sintonia Kp, Ti, Td
diversas modificaciones
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ττ+=
−=
∫ dtdeTd)(e
T1)t(eK)t(u
)t(y)t(w)t(e
di
p
CONTROL DIGITAL
ProcesoOrdenador D/A
A/DTT periodo de muestreo
T debe escogerse de acuerdo a la dinámica del proceso, y a los problemas numéricos de integración y derivación.Integración. T≅ 0.1 ...0.3 Ti Derivación. T≅ 0.2 ...0.6 Td / NLa precisión depende de la resolución del D/AMayor precisión en los cálculos internos que el D/A
y(kT)
u(kT)
Discretización de reguladores PID
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−−++−−=−−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−++−≈−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−++≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ττ+=
∑
∑
∫
−
=
=
T)T2t(e)Tt(e2)t(eT)t(e
TT)Tt(e)t(eK)Tt(u)t(u
T)T2t(e)Tt(eTT)iT(e
T1)Tt(eK)Tt(u
T)Tt(e)t(eTT)iT(e
T1)t(eK)t(u
dtdeTd)(e
T1)t(eK)t(u
di
p
d
Tt
1iip
d
t
1iip
d
t
0ip
TTKg
TT21Kg
TT
TT1Kg
)T2t(eg)Tt(eg)t(eg)Tt(u)t(u
dp2
dp1
d
ip0
210
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++=
−+−++−=
Aproximación rectangular
PID DIGITAL
e t w t y tu t u t g e t g e t g e t( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= −= − + + − + −1 1 20 1 2
varias formulaciones de discretizaciónreguladores basados en microprocesador con múltiples funciones auxiliares Período de muestreo T a menudo fijado en 100...200 msg
Implementación
Implementación
Implementación (DCS)
Arquitecturas
ImplementaciónEl algoritmo PID estáprogramado en los controladores del DCS
4 – 20 mA
Armario de control
Módulosde entrada/ salida
Módulosde control
Sala de control
4 – 20 mA
Campo
Operación
Configuración
Operación
Carátulatípica de un PID
Configuración
Formularioscon parámetrosde configuración
Configuración Java/Regula
• Un sistema de control es un conjunto de lazos interconectados
Configuración Java/Regula
• Para lazo se debe especificar:– Cuales son las entradas y las salidas (w,u,y)– Como se conectan unos lazos con otros (simple,
cascada, feedforward,…)– Sus parámetros (Kp, Ti, Td, span, restricciones)
Lazos de control Java-Regula
Fichero de configuración
Parámetros PID
• Kp ganancia / Término proporcional– % span control / % span variable controlada– banda proporcional PB=100/ Kp
• Ti tiempo integral / Término integral– minutos o sg. (por repetición) (reset time)– repeticiones por min = 1/ Ti
• Td tiempo derivativo / Término derivativo– minutos o sg.
Acción proporcional: Pbias)t(eK)t(u p +=
e
t
u
t
Un error del x % provoca una acción de controldel Kp x % sobre el actuador
bias = manual reset (CV = SP)
Acción directa/inversa
Direct acting controller Kp < 0 Reverse acting controller Kp > 0
u(t)=Kp(w-y) si aumenta y decrece u con Kp positiva
LT
considerar el tipo de válvula
LCLT
LC
Ejemplo de acción proporcional
u(t)=Kp e(t) + 30Solo puede alcanzarse un punto de equilibrio con error cero
Ejemplo de acción proporcional
Acción integral (automatic reset)
y yw w
t t
u
t
u
t
Un regulador P no eliminael error estacionario en procesos autoregulados
La acción integral continua cambiando la u hasta que el error es cero
KT
edp
i
τ∫
Acción Integral
e
t
e
tKp eSi e=cte.
KT
edp
i
τ∫
Ti = 1 repetición
KT
edKT
et K e t Tp
i
p
ip iτ∫ = = ⇒ =
Ti tiempo que tarda laacción integral en igualara la acción proporcional(una repetición) si e=cte.
u tKT
e dp
i
t
( ) ( )= ∫ τ τ0
Ejemplo de acción integral
Ejemplo de regulador PI
Acción derivativay yw w
t t
u
t
u
t
Un regulador P con gananciaalta para dar respuesta rápidapuede provocar oscilaciones por u excesiva
La acción derivativa acelera lau si e crece y la modera si e decrece, evitando oscilaciones
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ττ+=
−=
∫ dtdeTd)(e
T1)t(eK)t(u
)t(y)t(w)t(e
di
p
Acción derivativa
u t K T d ed tp d( ) =
e
t
e
tKp Td aSi e= a t
Td
Kp e
Con e variando linealmente, la acción derivativa da lamisma u que la acción proporcional daría Td sg. mas tardeAcción anticipativaNo influye en el estado estacionario
PD
Acción derivativa
u t K Td ed tp d( ) =
e
t
e
tKp Td aSi e= a t
Td
K Td ed t
K T a K at t Tp d p d p d= = ⇒ =Td tiempo que tarda laacción derivativa en igualara la acción proporcionalsi e= a.t.
Kp e
Acción derivativa
• El termino derivativo suavizará los cambios en la señal de control debido a cambios rápidos en el error
Acción derivativa
Acción derivativa
y yww
t t
u
t
u
t
u t K T d ed tp d( ) =
Saltos en la w provocanvalores muy altos de u enen instante de cambio
Señales de proceso ruidosasprovocan acciones inadecuadasen la u
PID ideal (no interactivo)u t K e t
Te d T
de tdt
T s T T sT s
E s
pi
t
d
i i d
i
( ) ( ( ) ( )( )
)
( )
= + +
+ +
∫1
10
2
τ τ
U(s) = K p
No es realizable físicamenteMuy sensible ante ruidosCeros reales para Ti > 4Td
w
y
I
D
e + Pu+
-
e(t) = w(t) - y(t)
PID real (no interactivo)
)s(ENsT1
sTTs11K=U(s)
)s(E1s
NT
1)s(Eerror elen filtro )t(eetd
edNT
tdedTd)(e
T1)t(eK)t(u
d
d
ip
dff
fd
fd
t
0ip
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
+==+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ττ+= ∫
Realizable físicamenteIncorpora un filtro en el término derivativoA altas frecuencias la máxima ganancia del término D es Kp NN : máxima ganancia derivativa. Típicamente N=10.
Filtrado
PID no interactivo[ ]
U sK T T s T T s
T s T sE sp i d i d
i d
( ). ( . )
( . )( )=
+ + +
+
01 11 1
1 01
2
ProcesoPIDUE
Algoritmo de velocidad: se calcula el cambio en la uAdecuado con actuadores incrementales como motorespaso a paso, pulsos, ...
Algoritmo de posición
PID (acción derivativa sobre la y)
u t K e tT
e d T dy tdt
T dy tdt
y t y t
pi
t
df
df
f
( ) ( ( ) ( ) ( ) )
. ( ) ( ) ( )
= + −
+ =
∫1
01
0
τ τ
w
y
I
-D
e + Pu
-
+
Usado en los sistemas de control por computadorEvita saltos bruscos en la u ante cambios salto de w
Honeywell tipo B
e = w -y
PID acción proporcional modificada
u t K w t y tT
e d Td yd tp
i
t
df( ) ( ( ) ( )) ( )= − + −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥∫β τ τ
1
0
El factor β permite una cierta independencia en la sintonía ante cambios en la referencia o en la carga
w
y
I
-D-1
e +u
-
+
β
I Kp
PID acción proporcional modificada
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−ττ+−= ∫ td
ydTd)(eT1))t(y(K)t(u f
d
t
0ip
Honeywell tipo C
w
y -D-1
e +u
-
+I Kp
Con β = 0
PID Serie o Interactivo
w
y
I
D
e+ P
u+
-+
U s KT s
T sT s
E spsis
ds
ds
( ) ( )(.
) ( )= ++
+1
1 11 01
PID Serie o Interactivo
U s KT s
T sT s
E spsis
ds
ds
( ) ( )(.
) ( )= ++
+1
1 11 01
•Usado en los reguladores analógicos o de lazo•Tablas de equivalencias entre los parámetros de losPID serie y paralelo
F=1+Tds/Tis Kp= Kps F; Ti= Tis F; Td = Tds / F
Fs =0.5+(0.25-Td /Ti)0.5 Kps= Kp Fs; Tis = Ti Fs; Td s = Td / Fs
PID paralelo puro
)s(EsT
sTT1sTK=U(s)
dt
)t(deTd)(eT1)t(eK)t(u
ip
2dpipippp
dp
t
0ippp
++
+ττ+= ∫
w
y
I
D
e +u+
-
e(t) = w(t) - y(t)
P
dpdp
i
p
ip
ppp
TKT
TK
T1
KK
=
=
=
PID no lineal
( )
u t K f e e tT
e d Td yd t
f ef e e con
pi
t
df( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= + −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= + −
∫1
1
0
τ τ
α α α
funcion del error, por ejemplo:p. e. = 0.1
La acción del controlador debe ser mas enérgicacuando el error es grande y poco sensible a pequeñoserrores debido a ruidos, etc.
PID no lineal
PIDu
e
f(e) Función no-lineal del errorZona muerta en torno a e=0Ganancia alta para |e| grande
y
F(e)
Anula los cambios de u con e pequeño, (debido p.e. al ruido)Hace acciones mas enérgicas con error grande
Saturación en los actuadores
q
ω
Todos los actuadores y señales de salida de los reguladores tienen un rango limitado de operación (0 - 100 %)
4-20 mA
Reset wind-up
ProcesoPID
)d)(eT1)t(e(K)t(u
t
0ip ∫ ττ+=
Retardo en la corrección cuando el término integral excede los límites superior o inferior de la señal de control.
Sistemas anti wind-up, o de saturación del término integral impiden este fenómeno.
Reset wind-up
ProcesoPID
)d)(eT1)t(e(K)t(u
t
0ip ∫ ττ+=
Sin antiwind-up
Con antiwind-up
w
y
u
100%
Debido al término integral
Anti-wind up )d)(e
T1)t(e(K)t(u
t
0ip ∫ ττ+= Parar la integración si u
excede sus limites
Kp
Kp/Ti
e
+ 1 / s
+
1/ Tt
uv
+-
1.
2. Tracking: Si v >uew corrige el términointegral hasta que v = u
Modelo actuador
ew
Tt traking time constant
Anti-windup
Kp=4
Ti=1
Transferencias auto/man
w
y
eu+
-PID
manual
auto
En los cambios de modo puede haber cambios bruscos en u
Transferencias suaves auto/man y man/auto (bumpless)
Cambios de valor de los parámetros sin saltos bruscos
Transferencias bumpless
w
y
e +u+
-PD
manual
auto
1/(1+Tis)
manual valor al sigue auto PDmanualsT1
1auto
teoricoserie PID )s(E)sT1(sT
sT1K)s(U
)s(E)sT1(K)s(UsT1
1)s(U
i
di
ip
dpi
++
=
++
=
+++
=
Transferencia suave man >> auto
Trasferencias bumpless
1/se
+
PD
+
1/ Tr
uauto
+-
ew
1/ Ti
1/sw +1/ Tr
1/ Tr+
-
man
Man sigue el valor autoen automático
Auto sigue el valor man enmanual
Sintonía de PID• Selección de los
parámetros del PID para obtener una respuesta adecuada
• Kp, Ti, Td
• Otros parámetros: N,Tr, β, T, límites, ...
• Varios métodos + conocimiento del proceso
Pirámide de control• La operación y el
control en la industria de procesos están organizados en un conjunto de capas interactivas cada una con diferentes funcionalidades
Pirámide de control
ReactorFT
FT
FC
FC
TT AT
MPC
SP Temp SP Conc.
Refrigerante
Producto
u1u2
Reactivo
Optimización económica
JERARQUIA DE CONTROL
nivel 0Instrumentación
de Campo
Nivel 1Control Convencional
PID, DCS
Nivel 2Control Avanzado
Nivel 3Optimizació n
Interes econó mico
Para poder abordar problemasde un nivel, los niveles inferioreshan de funcionar correctamente
En concreto, el control avanzado exige que laregulación de lazos simplescon PID’s funcioneadecuadamente
Sintonía de PIDLos reguladores PID solucionan bien la mayoría de los problemas de control monovariable (caudal, presión, velocidad, ...)Sin embargo, el PID no es adecuado en casos de dinámica difícil, o con especificaciones exigentes:» retardos grandes inestabilidad» respuesta inversa mínima varianza
tu
y
t
Criterios de diseño• Selección del tipo de regulador P, PI, PID,
PD u otro regulador (DMC, IMC,...)• Sintonía para cambios en w o v• Diversidad de formas de especificar
objetivos• Tener en cuenta la señal de control• Robustez frente a cambios en el proceso o
punto de operación
Tipos de reguladores• PID indicado en procesos lentos sin ruidos, como
temperatura, concentración y, en algunos casos, presión.
• PI indicado en la mayor parte de los casos• P procesos con integrador o donde no sea
importante un error estacionario nulo.• En procesos con retardo alto: Predictor de Smith,
Conrol predictivo: MPC cuando el sistema es multivarible, o tiene restricciones o en unidades de proceso con importancia económica
Sintonía: ¿w ó perturbaciones?
+-
R
Proceso
uv
yG
w
vGR11w
GR1GRy
++
+=
Si se sintoniza el regulador para atenuar la respuesta ante perturbaciones, R queda fijada y, por tanto, la respuesta frente a cambios en w también.
Un solo grado de libertad
Perturbación / SP
Perturbación
50 → 52
CambioSP
Métodos de sintonía de PID• Métodos de prueba y error• Métodos basados en experimentos
– Estimar ciertas características dinámicas del proceso con un experimento
– Calcular los parámetros del regulador mediante tablas o fórmulas deducidas en función de las características dinámicas estimadas
• Métodos analíticos basados en modelos• Métodos de Sintonía automática
Prueba y Error
Partir de valores bajos de Kp, y sin acción integral o derivativa
Aumentar Kp hasta obtener una forma de respuesta aceptable sin excesivos u
Aumentar ligeramente Td para mejorar la respuesta
Disminuir Ti hasta eliminar el error estacionario
1 Aumentar Kp 2 Aumentar Td
3 Disminuir Ti
y y
y
w w
w
Métodos de Ziegler-Nichols•Criterio de sintonía: amortiguamiento de 1/4
ante perturbaciones. (QDR)•Desarrollados empíricamente para PID serie (1942)•Métodos en lazo abierto y lazo cerrado•Válidos para 0.15 < d /τ < 0.6 y procesos monótonos•Dan valores aproximados: requieren ajuste fino
11/4
y
w
MétodosEn lazo cerrado
ProcesoRegulador
En lazo abierto
Proceso
Método de Ziegler-Nichols en lazo cerrado
w
y
Kce Proceso
u+
-
y
TKc ganancia críticaT periodo de oscilación
La ganancia Kpse aumenta hasta llegar a la estabilidad crítica
Tabla de sintonía de Ziegler-Nichols en lazo cerrado
Tipo GananciaKp
Tiempointegral
Tiempoderivativo
P 0.5 Kc
PI 0.45 Kc T/1.2
PIDparalelo
0.75 Kc T/1.6 T/10
PID serie 0.6 Kc T/2 T/8
Kc ganancia crítica en % / % T periodo de oscilaciónTi y Td en las mismas unidades que T
Identificación con un salto en u
Kes
ds−
+τ 1
Κ= Δy/Δu
y
t
u
tΔu
Δy
d τ
tg de máxima pendiente
valor estacionario
Adecuado para Ziegler-Nichols
Identificación con un salto en u
τ = 1.5 (t2 - t1)d = t2 - τ
Κ= Δy/Δu
Kes
ds−
+τ 1
y
t
u
tΔu
Δy0.632Δy0.283Δy
t2t1
Adecuado para sistemas con ruido
Tabla de sintonía de Ziegler-Nichols en lazo abierto
Tipo GananciaKp
Tiempointegral
Tiempoderivativo
P τ / (K d)
PI 0.9τ /(K d) 3.33 d
PID serie 1.2τ /(K d) 2 d 0.5 d
K ganancia en % / % , d retardo , τ constante de tiempoTi y Td en las mismas unidades que dNótese que Ti = 4 TdPara reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo
Minimización de la integral del error
PID +w ye u
wy
K T Tp i d
min f e t dt , ,
( ( ))∫
error = f ( Kp , Ti, Td )
G(s)
minimización numérica
Minimización de la integral del error
K es
d s−
+τ 1PID +
wd
ye u
w
y K T T
K T T
K T T
p i d
p i d
p i d
min e t dt MIAE
min e t dt MISE
min e t tdt MITA
, ,
, ,
, ,
( )
( )
( )
∫
∫
∫
2
E
error = f ( Kp , Ti, Td )
Tabla de sintonía de Lopez et al.
K K a d
Ta
d
T a d
p
b
i
b
db
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
τ
ττ
τ τ
•Para PID paralelo o no interactivo (1967)•Para rechazo de perturbaciones•Criterio de sintonía:
Minimizar la integral del error:MIAE |e|MISE e2
MITAE |e|t•Basadas en un modelo de primer orden con retardo•Proporcionan los parámetros a y b de las fórmulas•Validas para procesos monótonos con d / τ < 1
Tabla de Lopez y otros
Criterio Proporcional Integral Derivativo
MIAE a=0.984b=-0.986
a=0.608b=-0.707
MISE a=1.305b=-0.959
a=0.492b=-0.739
MITAE a=0.859b=-0.977
a=0.674b=-0.68
Reguladores PI paralelo
K K a d
Ta
d
T a d
p
b
i
b
db
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
τ
ττ
τ τK en % / %Sintonia para rechazo de perturbacionesValidas para procesos monótonos con d / τ < 1Para reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo
Tabla de Lopez y otros
Criterio Proporcional Integral Derivativo
MIAE a=1.435b=-0.921
a=0.878b=-0.749
a=0.482b=1.137
MISE a=1.495b=-0.945
a=1.101b=-0.771
a=0.560b=1.006
MITAE a=1.357b=-0.947
a=0.842b=-0.738
a=0.381b=0.995
Reguladores PID paralelo
K K a d
Ta
d
T a d
p
b
i
b
db
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
τ
ττ
τ τK en % / %Sintonia para rechazo de perturbacionesValidas para procesos monótonos con d / τ < 1Para reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo
Minimización de la integral del error
K es
d s−
+τ 1PID +
w ye u
wy
K T T
K T T
K T T
p i d
p i d
p i d
min e t dt MIAE
min e t dt MISE
min e t tdt MITA
, ,
, ,
, ,
( )
( )
( )
∫
∫
∫
2
E
error = f ( Kp , Ti, Td )
Tabla de sintonía de Rovira et al.
K K ad
Ta
db
Ta
d
p
b
i
db
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ττ
τ
τ τ
•Para PI, PID paralelo o no interactivo (1969)•Para cambios de consigna•Criterio de sintonía:
Minimizar la integral del error:MIAE |e|MITAE |e|t
•Basadas en un modelo de primer orden con retardo•Proporcionan los parámetros a y b de las fórmulas•Validas para procesos monótonos con d / τ < 1
Tabla de Rovira y otrosCriterio Proporcional Integral Derivativo
MIAE a=0.758b=-0.861
a=-0.323b=1.020
MITAE a=0.586b=-0.916
a=-0.165b=1.030
PID Paralelo
MIAE a=1.086b=-0.869
a=-0.130b=0.740
a=0.348b=0.914
MITAE a=0.965b=-0.855
a=-0.147b=0.796
a=0.308b=0.929
PI paralelo
K en % / %Sintonia para cambios de consignaValidas para procesos monótonos con d / τ < 1Para reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo
K K ad
Ta
db
Ta
d
p
b
i
db
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ττ
τ
τ τ
λ TuningTipo Kp Ti λ recomendado
λ>0.2τ siemprePI procesoscon integrador
PIλ
+τK4
d4
λK2
4d
+τ
λ2 7.1d
>λ
7.1d
>λ
w y1s
1+λ
λ constante de tiempo deseada en lazo cerrado
Algunas reglas recomiendan un λ sensiblemente mayor que el de lazo abierto
Rivera-Morari IMC
)d(K2d2
+λ+τ
Tipo Kp Ti Td λ recomendadoλ>0.2τ siempre
PI
PImejorado
PIDλ
+τK2
d2
d2d+τ
τ
λτ
K
2d
+τ
2d
+τ
τ 7.1d
>λ
7.1d
>λ
25.0d
>λ
w y1s
1+λ
λ constante de tiempo deseada en lazo cerrado
Modelo:
17.1T
,7.1K
1s96.0e46.0
i
p
s87.0
=
−=
+− −
Lambda tuning
λ = 1.5
Síntesis directaGR
u+
-
yw
)s(WGR1
GR)s(Y+
= M(s) = FT deseada en lazo cerrado
GR1GR)s(M+
= ))s(M1)(s(G)s(M)s(R
−=
Síntesis directa de PIDMetodología:
•Elegir G(s) de bajo orden
•Elegir M(s) deseada como una función sencilla
•Calcular R(s) e identificar los correspondientes parámetros de un PID
1s1)s(M+λ
=
λ=
−+λ=
+λ−
+λ=−
=K1
)11s(Ks
)1s
11(sK
1s1
))s(M1)(s(G)s(M)s(R
sK)s(G = Regulador P
con Kp = 1/Kλ
Síntesis directa de PID
1s1)s(M+λ
=
s1s
KsK1s
)11s(K1s
)1s
11(1s
K1s
1
))s(M1)(s(G)s(M)s(R
τ+τ
λτ
=λ+τ
=−+λ
+τ=
+λ−
+τ
+λ=−
=
1sK)s(G+τ
=
Regulador PI con Kp = τ/Kλ Ti = τ
Si:
sT)1sT(K
PIi
ip +=
Síntesis directa de PID
1s1)s(M+λ
=
s)()1s)(s(
K)(
sK)1s)(1s(
)11s(K)1s)(1s(
)1s
11()1s)(1s(
K1s
1
))s(M1)(s(G)s(M)s(R
21
212
212121
21
21
τ+τ+τ+τ+ττ
λτ+τ
=λ
+τ+τ=
=−+λ
+τ+τ=
+λ−
+τ+τ
+λ=−
=
)1s)(1s(K)s(G
21 +τ+τ=
Regulador PID con Kp = (τ1+ τ2)/KλTi = τ1+ τ2 Td = τ1τ2
Si:
sT)1sTsTT(K
ideal PIDi
i2
dip ++=
Síntesis directa de PID
1s1)s(M+λ
=
s)/2(1s)/2(s)2/1)(/2(
K2
sK1s)/2(/s
sKs2s
)11s(Ks2s
)1s
11(s2s
K1s
1
))s(M1)(s(G)s(M)s(R
n
n2
nn
n
n2n
2
2n
2nn
2
2n
2nn
2
2nn
2
2n
ωδ+ωδ+δωωδ
λωδ
=
=λ
+ωδ+ω=
λωω+δω+
=
=−+λωω+δω+
=
+λ−
ω+δω+ω
+λ=−
=
2nn
2
2n
s2sK)s(G
ω+δω+ω
=
Regulador PID con
Si:
sT)1sTsTT(K
ideal PIDi
i2
dip ++=
nd
ni
np 2
1T2TK
2Kδω
=ω
δ=
λωδ
=
CancelaciónGp
u+
-
yw
))s(M1)(s(G)s(M
−
M)GG(GMG
MG)M1(GMG
)M1(GMG1
)M1(GMG
CLTFp
p
p
p
p
p
−+=
+−=
−+
−=
¡ Si no hay cancelación por inexactitud del modelo, los polos inestables en lazo abierto se conservan en lazo cerrado !
))s(M1)(s(G)s(M)s(R
−= Sistemas de fase no mínima dan
reguladores inestables!
Clase invitada
• 18 y 19 de Mayo• Prof. Robin de Keyser, de la Universidad de
Gante, Bélgica• Diseño de controladores PID en el dominio
de la frecuencia• Autosintonía de reguladores
Margen de fase
-1Diagrama de Nyquist
O
φ
G(jω)ωf
φ+π−=ωφ
=ωω
)j(Garg( verificaque angulo 1)j(G que la a frecuenciamayor
f
ff
Margende fase
Margen de fase
G(s)w u y
t
yEl margen de fase φ esta relacionadocon el sobrepico y la estabilidadLa frecuencia ωf esta relacionada con la velocidad de respuesta
Diseño con el Margen de fase
-1 O
φ G(jω)
G(jω)R(jω)
ωf
Calcular R(s) para conseguir un margen de fase de G(jω)R(jω) igual a φ a la frecuencia ωf
G(s)w u yR(s)
Diseño de PID con especificación del margen de fase
-1 O
φ
G(jω)R(jω)
ωf
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
ω+
ω+=ω
φ+π−=ωω
=ωω
jT1.01jT
jT11K)j(R
)j(R)j(Garg1)j(R)j(G
d
d
ip
ff
ff
Diseño de PID con especificación del MF
•Dos ecuaciones y tres incognitas: Kp , Ti , Td
•Especificar ωf , φ•Rango de valores para los que existe solución •Basta conocer un punto del diagrama de Nyquist
[ ]
25.0......0con TT
)j(GargjT1.01
jTjT11arg
)j(G1
jT1.01jT
jT11K
id
ffd
fd
fi
ffd
fd
fip
=αα=
ω−φ+π−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
ω+
ω+
ω=
ω+ω
+ω
+
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
ω+
ω+=ω
φ+π−=ωω
=ωω
jT1.01jT
jT11K)j(R
)j(R)j(Garg1)j(R)j(G
d
d
ip
ff
ff
Reguladores PI con especificaciones de MF
[ ])j(GargjT11arg
)j(G1
jT11K
ffi
ffip
ω−φ+π−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω
+
ω=
ω+
[ ]
)j(GcosK
tg1T
)j(Garg
fp
fi
f
ωθ
=
θω=
ω+φ−π=θ
θ=θ+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+=ω
+
θ−=ω
−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω
+
sectg1
T11
jT11
T1arctg
T1j1arg
jT11arg
2
2
fifi
fi
fifi
Reguladores PD con especificaciones e MF
[ ])j(GargjT1.01
jT1arg
)j(G1
jT1.01jT
1K
ffd
fd
ffd
fdp
ω−φ+π−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
ω+
ω=
ω+ω
+
))j(Garg(tg22.0
tg44.011T
T1.01T
1)j(GK
f
fd
12
fd
fdfp
ω−φ−π=θθω
θ−+−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω+
ω+ω=
−
Diseño con el MF
tiempo
y
A mayor φ menor sobrepico
Valores mayores de ωf dan respuestas mas rápidas y controles mas activos
Diseño con el MF
[ ] φ+π−=ωω
=ωω
)j(R)j(Garg1)j(R)j(G
ff
ff
El cumplimiento de las ecuaciones
No garantiza la estabilidad en lazo cerrado
-1GR
φ
Margen de ganancia
-1π−=ω
ω=
))j(Garg(
)j(G1MG
g
g
ωg
MG = factor en el que se puede incrementar la ganancia antes de que el sistema en lazo cerrado se haga inestable
Medida de robustezG(s)w u y
G(jω)
Diseño con el MG
-1 O
G(jω)
G(jω)R(jω)
ωg
Calcular R(s) para conseguir un margen de ganancia de G(jω)R(jω) igual a Μγ a la frecuencia ωg
G(s)w u yR(s)
Diseño con el MG
[ ] π−=ωω
=ωω
)j(R)j(GargM1)j(R)j(G
gg
ggg
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
ω+
ω+=ω
jT1.01jT
jT11K)j(R
d
d
ip
Problemas similares al diseño con el MF
Diseño con MF y MG
-1 O
G(jω)
G(jω)R(jω)
ωg
ωf
φ[ ] π−=ωω
=ωω
)j(R)j(GargM1)j(R)j(G
gg
ggg
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
ω+
ω+=ω
φ+π−=ωω
=ωω
jT1.01jT
jT11K)j(R
)j(R)j(Garg 1)j(R)j(G
d
d
ip
ff
ff
Funciones de transferencia
++-
R
Proceso
u
v
yG
w
vGR11w
GR1GRy
++
+=
vGR1Rw
GR1Ru
+−
+=
Swy Svy
Swu Svu
Esfuerzos de control
)j(GR1)j(Rlog20)j(Glog20
)j(GR1)j(GRlog20
SGGR1RG
GR1GRS uwuw
ω+ω
=ω−ω+
ω
=+
=+
=
logω20log| . |
GR1GR+
G esfuerzos de controlUn ancho de banda grande implica esfuerzos de control elevados
Rechazo de perturbaciones
1S si0S 0 si
integralaccion tieneR si)j(R)j(G1
1GR11S
vy
vy
vy
→∞→ω
→→ω
ωω+=
=+
=|Svy(jω)| en dB
ω
En un rango de frecuencias,el regulador puedeempeorar el rechazo deperturbaciones.Importante minimizar elmaximo |Svy(jω)|
Margen de Módulo
-1
1vySGR1NM
)j(R)j(GOMNM1−=+=
ωω==+−N
M
Diagrama de Nyquist
O
min |NM| = −( ( ) )max S jvy ω 1
=∞
−S jvy ( )ω
1
Un margen de módulo mayor mejora el rechazo de perturbaciones
Margen de módulo = min |NM|
Diseño con el margen de módulo
)j(R)j(G1minmaxdip T,T,K
ωω+ω
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
ω+
ω+=ω
jT1.01jT
jT11K)j(R
d
d
ip
Optimización min max orientada al rechazo de perturbaciones
Robustez del diseño
++-
R
Proceso
u
v
yG
w
vGR11w
GR1GRy
++
+=
GR1GRT
GT
TG
GGTT
adSensibilid+
=∂∂
=∂
∂
¿ Como varía la respuesta en lazo cerrado cuando varian los parámetros del proceso?
Robustez del diseño
++-
R
Proceso
u
v
yG
w
SvTw
vGR11w
GR1GRy
+=+
++
=
vy22 S)GR1(
1)GR1(
RRGR1
)GR1(GRRR)GR1(
GR)GR1(G
GR1GR
GTG
=+
=+
+=
+−++
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+∂∂
Función de sensibilidad Svy = sensibilidad frente a errores en G
Importante minimizar los errores en la zona de frecuencias donde mayor es la sensibilidad frente a w o v
T)GR1(
GR)GR1(
)R(1
)GR1(GGR11
GSG
2 −=+−
=+−+
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+∂∂
Métodos de sintonía automática
• Autosintonía (autotuning): el proceso de sintonía empieza bajo demandad del operario
• Control adaptativo (adaptive control): el sintonizador automático continuamente identifica la dinámica del procesos y reajusta los parámetros del controlador si hay algún cambio.
Casi todos los reguladores comerciales incorporan algún método de sintonía automática (autotuning)En pocos casos hay funciones verdaderamente adaptativas
Métodos de sintonía automática
• Respuesta salto• Método del relé• Identificación de la respuesta en lazo
cerrado (Exact)• Control Adaptativo
Respuesta salto
ProcesoPIDue
Si se activa la función de autosintonía, el regulador cambia a manual y da un salto a la variable manipulada.De la respuesta del proceso, identifica un modelo deprimer orden con retardo a partir del cual calcula mediante tablas la nueva sintonía del regulador
SIPART (Siemens)Pre-tuning:EXACT, Electromax
Análisis de sistemas con elementos no lineales
G
u+
-
ywR N
N: función descriptiva: aproximación lineal de la no-linealidad: relé, saturación, histéresis, etc
ecuación característica: 1+GRN = 0
Función descriptiva
Respuesta en frecuencia de un elemento no-lineal
1 excitar el sistema con una sinusoide de frecuencia ω
2 Calcular el primer armónico de la señal de salida
3 Calcular la ganancia y desfase en relación al primer armónico
Análisis de Fourier
=+
+
+...
Análisis de sistemas con elementos no lineales
Kc
wc
GR(jω)
-1/N (relé)GR = -1/N
En el análisis de estabilidad de Nyquist, el trazo de -1/N juega el mismo papel que el punto -1en los sistemas lineales
Estable
oscilaciones
Método del relé
ProcesoPIDue
Si se activa la función de autosintonía, se conecta un rele en lugar del PID , que sirve para provocar oscilaciones controladas en el proceso que permitan la identificación de características dinámicas del mismo.
Astrom, Hagglund 1984
ECA40 (Satt) DPR9000 (Fisher)
Método del Relé
yw
t
t
uProceso
ue d
-d
T
A
T periodo de oscilaciónA amplitud del primer armónico
Modificaciones: rele con histeresislazos adicionales para forzar oscilaciones
Método del Relé
y
t
Kc
wc
T2
Ad4K
c
c
π=ω
π=
T
A
Permite identificarun punto del diagramade Nyquist G(jω)
1+GN=0 N funcióndescriptiva del relé
-1/N
Sintonía mediante ajuste por margen de fase
Método ExactEXact Adaptive Controller Tuning (Foxboro)
•Sintonía continua en lazo cerrado•Si el error excede unos límites, se identifica un modelo del proceso mediante reconocimiento de patrones•El regulador calcula la nueva sintonía en tiempo real usandotablas modificadas de Ziegler-Nichols (+ reglas)•Comportamiento deseado : sobrepico y amortiguamiento
ProcesoPIDe
Presintoníacon salto
Activación Exact
w
y
w
y
NB
Wmax
Activación automática si el error supera la banda NB y el segundo pico aparece antes de Wmax sg. tras el primero.Si se supera Wmax se considera al proceso sobreamortiguado.
Perturbación
Cambio de we
Exact
w
y
Cuando se activa la sintonia,el Exact mide los picos E1, E2, E3 y sus instantes de ocurrencia , lo que se utiliza para estimar un modelo del proceso en base a:
E1
E2
E3
T
amortiguamiento = sobrepicoE EE E
EE
3 2
1 2
2
1
−−
=
O un modelo del proceso sobreamortiguadoPosteriormente se aplican las tablas y reglas de sintonía
Control Adaptativo
ProcesoPID
IdentificaciónAjuste
Modelo estimado
Nueva sintonía
Excitación externa para identificación o activación condicionalActivación del ajuste en una escala temporal mayorSupervisión del controlador / Estabilidad
PID AdaptativosElectromaxFirstloop (First Control)Identificación de un modelo con dos polosSintonia del PID por asignación de polos
Novatune (ABB)Identificación recursivaSintonía mediante varianza mínima
Wittenmark (1979) Cameron-Seborg (1983)Radke-Isermann (1987) Vega/Prada (1987)
Ganancia Planificada
ProcesoPID
Tabla de Ajuste Nueva sintonía
w
Se ajustan los parámetros del regulador mediante una tabla preestablecida función de alguna condición de operación: p.e. Punto de consigna.
SP
Kp
-1.32
-0.5
145 ºC130 ºC
Gain Scheduling
Sistemas con retardo
• Si el retardo es mayor que la constante de tiempo del proceso, el sistema es difícil de sintonizar
• El predictor de Smith es un controlador que mejora la respuesta en el tiempo de este tipo de procesos. Para calcularlo es necesario conocer el modelo Ge-ds
Retardos: Predictor de Smith
Ge-dsR
Gm(1-e-ds)
u yw
[ ][ ]
[ ]GuwRGey GG si
u)e1(GuGewRGe
u)e1(GywRGeuGey
dsm
dsm
dsds
dsm
dsds
−==
−−−=
=−−−==
−
−−−
−−−
Predictor de Smith[ ]GuwGRey ds −= −
GRu y
w e-ds
Si G = Gm puede sintonizarse R como si no existiera retardo
Diagrama equivalente
Predictor de SmithKp = 0.4
Ti = 5
Con Smith
Kp = 1.2Ti = 5
Predictor de Smith96.0T,32.1K1s96.0
e46.0
ip
s87.0
=−=+
− −
Sintonía en DCSAplicacionesde ayudas a la sintoníaautomática o manual en el DCS
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