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8/19/2019 tema analisis matricial basicos
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Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural.
SESIÓN I SESIÓN I
TEMA I TEMA I
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8/19/2019 tema analisis matricial basicos
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Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural.
REPASO REPASO
GENERAL GENERAL
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Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural.
¿ Qué es una¿ Qué es una
Estructura ? Estructura ?
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Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural.
En este curso :En este curso :
EstructuraEstructura describe un SistemaSistema cua !unción es trans"itir
cargas #uede estar !or"ada #or uno o varios ele"entos.
$$
%as cargas actuantes sobre laestructura generan !uer&as a'iales(
"o"entos !lectores( !uer&as cortantes(torsión etc. )solicitacionessolicitaciones* sobre los"ie"bros +ue la !or"an.
Estas solicitaciones #rovocan sobre cada uno de los"ie"bros una serie de e!ormacionese!ormaciones( +ue en sucon,unto dan origen a los es"la#amientoses"la#amientos de losdi!erentes #untos de la estructura.
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Conocer las características del siste"a es !unda"ental#ara #redecir el co"#orta"iento del "is"o ante las
acciones +ue sobre ella act-an( sean éstas de carga(des#la&a"ientos( ca"bios de te"#eratura etc.
A este co"#orta"iento lo lla"a"os RESP$ESTA elRESP$ESTA el
Sistema Estructural%Sistema Estructural% el #rocedi"iento #ara deter"inaresta res#uesta es conocido co"o An&lisis Estructural'An&lisis Estructural'
El o()eti*o el an&lisis estructuralan&lisis estructural
es eterminar esta res"uestaes eterminar esta res"uesta
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Moelos EstructuralesMoelos Estructurales( consisten en unaideali&ación( tanto de la geo"etría de la estructura( co"o
de las acciones( condiciones de a#oo co"#orta"ientodel "aterial con el +ue est/ construida la "is"a.Pueden ser !ísicos ó matem&ticos'matem&ticos'
00
El "odelo elegido debe ser ca#a& de re#roducir elco"#orta"iento do"inante del siste"a.
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1.+oniciones e e,uili(rio'+oniciones e e,uili(rio'
odo an/lisis estructural debe satis!acer las
siguientes condiciones4
Princi"ios (&sicos el An&lisis EstructuralPrinci"ios (&sicos el An&lisis Estructural
2.+oniciones e com"ati(ilia e e!ormaciones'+oniciones e com"ati(ilia e e!ormaciones'
Ti"os e An&lisisTi"os e An&lisis
1.An&lisis Lineal -el&stico.An&lisis Lineal -el&stico.
2.An&lisis No LinealAn&lisis No Lineal
3.An&lisis Pl&stico'An&lisis Pl&stico'
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An&lisis LinealAn&lisis Lineal
Basado en las 6i#ótesis de co"#orta"iento el/sticolineal de
los "ateriales constituentes. %os "is"os cu"#len la le de7oo8e. Considera el e+uilibrio sin +ue las de!or"aciones+ue su!re alteren dic6o e+uilibrio.
%a ,unta B )al igual +ue la C* se des#la&a en este an/lisisla estructura de!or"ada no a!ecta el e+uilibrio de las!uer&as.
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An&lisis LinealAn&lisis Lineal -continuaci/n.-continuaci/n.En este an/lisis es v/lido el "rinci"io e su"er"osici/n"rinci"io e su"er"osici/n.
%a estructura anterior es e+uivalente a resolverla dosveces4 #ri"ero con una !uer#a "untual P a#licada en el:odo( luego con la car0a 1 en el "ie"bro central(
Es igualEs igual aa
; ; ; ; 11
"/s"/s; ; 22
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An&lisis LinealAn&lisis Lineal -continuaci/n.-continuaci/n.
Conoce"os "uc6os "étodos #ara resolver estructuras conan/lisis lineal4
44.=étodo de los raba,os >irtuales.=étodo de los raba,os >irtuales.
22.=étodo de Cross.=étodo de Cross.5.=étodo de doble integración=étodo de doble integración
etc.etc.
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An&lisis No LinealAn&lisis No LinealEn este an/lisis se toma en cuenta la #osición de!or"ada
de la estructura. Por e,e"#lo( #ara la estructura con carga 13 P4
En un an/lisis lineal las ,untas B C (tienen des#la&a"ientos δ'( δ θ. %a
estructura est/ en e+uilibrio #ero seencuentra de!or"ada con una serie dedes#la&a"ientos.
?e observa sin e"bargo( +ue si el ele"ento A6A6 tiene unasolicitación interna de !uer&a a'ial( ésta se encuentradesviada de su #osición vertical original(+ue se su#one tienecuando 6ace"os an/lisis lineal. Es ecir:Es ecir:
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Posición originalPosición originaldel "ie"brodel "ie"bro ee
; ;
; ;
%a reacción interna ; en la ,unta B( no est& alineaa con su
o#uesta en la ,unta A. E'iste una e7centricia entre ellas.
Ello genera un "o"ento );@e* +ue no se to"ó en cuentaen el an/lisis lineal.
ó é í
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ee
; ;
; ; Este "o"ento )R8eR8e* genera un giro des#la&a"ientos e7trase7tras a losiniciales(obtenidos al resolver la est/ticade la estructura #or los "étodosconvencionales a conocidos.
Igual ocurre con el "ie"bro 9+9+ conla viga central ) su !uer&a a'ial susdes#la&a"ientos verticales.
%os resultados obtenidos con la #ri"era solución )lla"ado
an/lisis de #ri"er orden* a no son los correctos.ebería resolverse nueva"ente el siste"a( #eroebería resolverse nueva"ente el siste"a( #eroconsiderando co"o cargas e'tras( a los "o"entosconsiderando co"o cargas e'tras( a los "o"entosgenerados #or estas e'centricidades.generados #or estas e'centricidades.
U i id d C óli A d é B ll P d d I i í E l
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Se intu3e ,ue "ara un ni*el e car0a consieraoSe intu3e ,ue "ara un ni*el e car0a consierao-P%1.% e(e resol*erse *arias *eces -con un an&lisis-P%1.% e(e resol*erse *arias *eces -con un an&lisis
lineal. asta ,ue con*er)an los resultaos -"orlineal. asta ,ue con*er)an los resultaos -"ore)em"lo e7centriciaes o(tenias i0uales a las ele)em"lo e7centriciaes o(tenias i0uales a las elan&lisis anterior.'an&lisis anterior.'
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En este caso% el "rinci"io e su"er"osici/nEn este caso% el "rinci"io e su"er"osici/nNO SE P$E9E APLI+AR'NO SE P$E9E APLI+AR'
¿Por,ué entonces la ma3or;a e¿Por,ué entonces la ma3or;a elas *eces acemos un an&lisislas *eces acemos un an&lisislineal% si en realia ocurre lolineal% si en realia ocurre lo,ue se aca(a e escri(ir? ,ue se aca(a e escri(ir?
U i id d C tóli A d é B ll P t d d I i í E t t l
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Por,ue en la ma3or;a e los casos "ara el an&lisisPor,ue en la ma3or;a e los casos "ara el an&lisis
usual ,ue se reali#a -"ara el ise
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Est/ basado en el co"#orta"iento #l/stico( elasto#l/stico ó
rígido#l/stico de los "ateriales.
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An&lisis Pl&sticoAn&lisis Pl&stico
Por las características del "aterial( este #unto se #uedeseguir de!or"ando sin absorber "/s carga
?i el #órtico "ostrado se su#one deacero( #ara el estado de cargasindicado( se de!or"a tal co"o se dibu,a(al resolver cada "ie"bro( se tiene lassolicitaciones corres#ondientes)"o"entos( !uer&a a'ial etc.* ?u#óngase+ue en la ,unta C #ara la viga( se
alcan&a su "/'i"a resistencia( llegandoa la cedencia del "aterial.
Uni ersidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estr ct ral
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Para unas cargas P ( la estructura alcan&a lasPara unas cargas P ( la estructura alcan&a lassolicitaciones corres#ondientes( co"o #or e,e"#lo el diagra"asolicitaciones corres#ondientes( co"o #or e,e"#lo el diagra"ade "o"entos "ostrado en la !igura.de "o"entos "ostrado en la !igura.
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An&lisis Pl&sticoAn&lisis Pl&stico -continuaci/n.-continuaci/n.
?u#óngase +ue en la ,unta C( el "o"ento alcan&ado sea tal +ue?u#óngase +ue en la ,unta C( el "o"ento alcan&ado sea tal +ueel "aterial llegue a la cedencia.el "aterial llegue a la cedencia.
?in e"bargo( ésto no +uiere decir +ue la estructura cola#se( sino?in e"bargo( ésto no +uiere decir +ue la estructura cola#se( sino+ue se !or"a en C una articulación #l/stica los de"/s+ue se !or"a en C una articulación #l/stica los de"/s"ie"bros todavía est/n en ca#acidad de absorber "/s"ie"bros todavía est/n en ca#acidad de absorber "/s"o"ento."o"ento.
CC
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An&lisis Pl&sticoAn&lisis Pl&stico -continuaci/n.-continuaci/n.
En este caso tam"oco "ueen a"licarse los "rinci"iosEn este caso tam"oco "ueen a"licarse los "rinci"iose su"er"osici/n 3 la estructura e(e resol*erse "asoe su"er"osici/n 3 la estructura e(e resol*erse "asoa "aso% tomano en cuenta la istoria e las car0as'a "aso% tomano en cuenta la istoria e las car0as'
Cedencia del "aterial en CCedencia del "aterial en C)alcan&ada en la viga #ara una)alcan&ada en la viga #ara unacarga inicial o(Po*carga inicial o(Po*
Dor"ación de laDor"ación de la#ri"era articulación#ri"era articulación
Pl/stica )#ara o(Po*Pl/stica )#ara o(Po*
?e sigue au"entando las cargas ?e sigue au"entando las cargas
P. El #órtico traba,a co"o si tuvieraP. El #órtico traba,a co"o si tuvierauna articulación en Cuna articulación en C..
CC
El diagra"a deEl diagra"a de
"o"entos ca"bia"o"entos ca"biaau"entando )"enosau"entando )"enosen C en la viga*en C en la viga*
CC
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+onocias las caracter;sticas e la estructura% las+onocias las caracter;sticas e la estructura% laslimitaciones% el sistema e las car0as 3 los métooslimitaciones% el sistema e las car0as 3 los métoosa"lica(les se "uee =resol*er> ica estructura% es ecira"lica(les se "uee =resol*er> ica estructura% es ecirallar las solicitaciones internas e caa miem(ro as; comoallar las solicitaciones internas e caa miem(ro as; comolos es"la#amientos en los "untos e ma3or interés'los es"la#amientos en los "untos e ma3or interés'
2121
En conclusi/n :En conclusi/n :
+omo e)em"lo % resuel*a la estructura ,ue se muestra a+omo e)em"lo % resuel*a la estructura ,ue se muestra acontinuaci/n "or cual,uiera e los métoos ,ue ustecontinuaci/n "or cual,uiera e los métoos ,ue usteconoceconoce
Podría usarse el #rinci#io de los traba,os virtuales conPodría usarse el #rinci#io de los traba,os virtuales consu e'#resión4su e'#resión4
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ParaPara P 5
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66 ++
%ongitud BC%ongitud BC
En la de!or"ada del #órtico )"u e'agerada*( se #uedeEn la de!or"ada del #órtico )"u e'agerada*( se #uedeobservar +ue la longitud BC 6a reducido su ta"ao.observar +ue la longitud BC 6a reducido su ta"ao.)2.95 –2.$9
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P 5
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?e observa +ue al ca"biar las condiciones geo"étricas de?e observa +ue al ca"biar las condiciones geo"étricas delos "ie"bros ca"bia ta"bién la "agnitud de loslos "ie"bros ca"bia ta"bién la "agnitud de losdes#la&a"ientos reacciones. ?in e"bargo #ara nuestrosdes#la&a"ientos reacciones. ?in e"bargo #ara nuestrose!ectose!ectos de diseode diseo estos ca"bios son "u #e+ueos(estos ca"bios son "u #e+ueos(#r/ctica"ente i"#erce#tibles.#r/ctica"ente i"#erce#tibles.
Obsérvese que en la viga BC la variaciónObsérvese que en la viga BC la variaciónen su longitud es de 2.572-2.567 = 0.005cmen su longitud es de 2.572-2.567 = 0.005cm
Una de!or"ación de
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Es i"#ortante la relación entre las /reas e Inercias +ueEs i"#ortante la relación entre las /reas e Inercias +uetienen los "ie"bros entre sí. G #or su#uesto en "aor otienen los "ie"bros entre sí. G #or su#uesto en "aor o"enor grado("enor grado( toostoos los "ie"bros se de!or"an4los "ie"bros se de!or"an4
?e doblan )de!or"ación #or !le'ión ta"bién #or?e doblan )de!or"ación #or !le'ión ta"bién #orcorte*corte*
?e acortan o se alargan )de!or"ación #or !uer&a?e acortan o se alargan )de!or"ación #or !uer&a
a'ial*.a'ial*.
Por lo general lasPor lo general las de!or"acionesde!or"aciones #rovocadas #or#rovocadas #or la !uer&ala !uer&acortantecortante son insigni!icantes en co"#aración con lasson insigni!icantes en co"#aración con las
de!or"aciones debidas a la !le'ión( salvo #ara cierto ti#ode!or"aciones debidas a la !le'ión( salvo #ara cierto ti#ode estructuras co"o las vigas #ared.de estructuras co"o las vigas #ared. En el caso anterior seEn el caso anterior sedes#reció la de!or"ación #or corte.des#reció la de!or"ación #or corte.
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g g
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E+uivale a anular el tér"ino t@d' en la !ór"ula de losE+uivale a anular el tér"ino t@d' en la !ór"ula de lostraba,os virtuales .traba,os virtuales .
Igual"ente en otras ocasiones lasIgual"ente en otras ocasiones las de!or"acionesde!or"aciones#rovocadas #or la#rovocadas #or la !uer&a a'ial!uer&a a'ial ta"bién son "uta"bién son "u#e+ueas no se alteran los valores de las solicitaciones#e+ueas no se alteran los valores de las solicitaciones des#la&a"ientos de "anera signi!icativa si no se des#la&a"ientos de "anera signi!icativa si no se
consideran( co"o el e,e"#lo anterior.consideran( co"o el e,e"#lo anterior.
Cuando se usan los #rogra"as co"erciales #ara resolver laCuando se usan los #rogra"as co"erciales #ara resolver laestructura( éstos consideran todas las de!or"aciones +ueestructura( éstos consideran todas las de!or"aciones +ue#uede su!rir la "is"a#uede su!rir la "is"a
?in e"bargo( en la solución "anual de estos #roble"as?in e"bargo( en la solución "anual de estos #roble"as"ientras "enos incógnitas se tengan ( es "/s sencillo el"ientras "enos incógnitas se tengan ( es "/s sencillo el#roceso de c/lculo.#roceso de c/lculo.
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?i el "ie"bro no se de!or"a a'ial"ente?i el "ie"bro no se de!or"a a'ial"ente Area Area ∞
Hue el "ie"bro no se dobla( es rígidoHue el "ie"bro no se dobla( es rígido Inercia Inercia ∞
Estas su#osiciones )des#reciar dic6as de!or"aciones*+ueEstas su#osiciones )des#reciar dic6as de!or"aciones*+uesi"#li!i+uen el c/lculo( e+uivalen a decir4si"#li!i+uen el c/lculo( e+uivalen a decir4
Por esa ra&ónPor esa ra&ón es usuales usual traba,ar con ele"entos en los +uetraba,ar con ele"entos en los +uesese des#recie la de!or"ación a'ialdes#recie la de!or"ación a'ial( o( o se des#reciese des#recie lala
de!or"ación #or !le'iónde!or"ación #or !le'ión ( ade"/s de la de corte( #or +ue( ade"/s de la de corte( #or +uese tiene la certe&a +ue dic6as de!or"aciones no ser/n dese tiene la certe&a +ue dic6as de!or"aciones no ser/n dei"#ortancia en los resultados !inales del c/lculo dei"#ortancia en los resultados !inales del c/lculo dedes#la&a"ientos solicitaciones(des#la&a"ientos solicitaciones(
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g g
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Con estas ideasCon estas ideasrecorde"os conce#tosrecorde"os conce#tos
i"#ortantesi"#ortantes
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?i bien no e'isten estructuras inde!or"ables en la vida?i bien no e'isten estructuras inde!or"ables en la vidareal en ocasiones se #ueden ignorar ciertasreal en ocasiones se #ueden ignorar ciertasde!or"aciones debido a +ue no considerarlas no a!ectade!or"aciones debido a +ue no considerarlas no a!ectanotable"ente el resultado.notable"ente el resultado.Ejemplo:Ejemplo:
?i la #ared +ue se "uestra se considera rígida( al a#licarle una
!uer&a sobre ella( no se a!ectar/ su #osición inicial.
DD
3
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?i al contrario se su#one no rígida( co"o esen realidad( ese ele"ento se de!or"ar/
sus #untos tendr/n #osiciones di!erentes alas originales.
DD
3131
;esolver la estructura signi!ica conocer co"o las !uer&as e'teriores;esolver la estructura signi!ica conocer co"o las !uer&as e'terioresse re#arten dentro del "ie"bro los e!ectos +ue generan( co"o lasse re#arten dentro del "ie"bro los e!ectos +ue generan( co"o las
de!or"aciones +ue ocasionan des#la&a"ientos en cada uno de susde!or"aciones +ue ocasionan des#la&a"ientos en cada uno de sus#untos#untos..
ara ello se establecer!n las ecuaciones de equilibrio "a
conocidas.#as $uer%as a&licadas no generan movimientode la misma
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?u#óngase una l/"ina rectangular inde!or"able(total"ente rígida.
?u#óngase ta"bién +ue su #osición est/ #er!ecta"entede!inida( #or+ue se conocen todas las coordenadas detodos sus #untos( con res#ecto a un siste"a de e,escartesianos '(
3232
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?on necesarias JA? las coordenadas ) de A( de B( de C ?on necesarias JA? las coordenadas ) de A( de B( de C otros * #ara ubicar la #osición de cual+uier otro #unto de esa otros * #ara ubicar la #osición de cual+uier otro #unto de esa
l/"inaKl/"inaK
Bastaría conocerBastaría conocer sólosólo ... las nuevas coordenadas de B... las nuevas coordenadas de B)'L )'LBB L LB *B *KK
Al des#la&ar la l/"inaAl des#la&ar la l/"ina
3333
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:o:o((
3$3$
#or+ue la l/"ina ta"bién #odría girar#or+ue la l/"ina ta"bién #odría girarade"/s de des#la&arse.ade"/s de des#la&arse.
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Bastaría conocer las coordenadas Bastaría conocer las coordenadas ''BB(( BB ade"/s el ade"/s el/ngulo/ngulo
θ
+ue !or"a la l/"ina con el e,e ' KKK+ue !or"a la l/"ina con el e,e ' KKK
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?i?i
Co"o la l/"ina es rígida ( las coordenadas de C se #uedeCo"o la l/"ina es rígida ( las coordenadas de C se #uede
relacionar con las coordenadasrelacionar con las coordenadas de B.de B.
''CC ' 'BB M%cosM%cosθ
CC BB M%senM%senθ
e igual !or"a se deter"inan las de A e igual !or"a se deter"inan las de A
siendo L la longitud BC de la lámina que siempre sesiendo L la longitud BC de la lámina que siempre se
mantiene constantemantiene constante.
3030
Por+uéPor+uéKK
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En este caso ( si en cada instante se conocen lasse conocen lascoordenadas 'coordenadas 'BB ( ( BB el /ngulo el /ngulo θ( se #uede decir +ue
cual+uier #unto de esa l/"inacual+uier #unto de esa l/"ina e'terno o interno tiene unatiene una#osición conocida#osición conocida(
Es decir( basta conocer estas coordenadasbasta conocer estas coordenadas )tres*( #ara
+ue la #osición de cual+uier #unto del siste"a estéde!inido.
a"bién #odrían darse las coordenadas de de A( #ero
no 6acen !alta( a +ue sus valores de#enden de los valores+ue tenga las coordenadas del #unto B.
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CJJ;E:AA?CJJ;E:AA?NE:E;A%IOAA? E%NE:E;A%IOAA? E%?I?E=A?I?E=A
3535
%as coordenadas del #unto B el /ngulo%as coordenadas del #unto B el /ngulo θ( son las +ue( son las +uedescriben la #osición del siste"a describen la #osición del siste"a son inde#endientesson inde#endientesentre sí entre sí . ?e lla"an 4. ?e lla"an 4
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?i se 6ubiese elegido A en ve& de B( éstas serían con?i se 6ubiese elegido A en ve& de B( éstas serían conθ
laslas CJJ;E:AA? NE:E;A%IOAA?CJJ;E:AA? NE:E;A%IOAA?. Igual. Igual
an/lisis se 6ace con ó con Can/lisis se 6ace con ó con C
Una ve& de!inidas las coordenadas generali&adas(Una ve& de!inidas las coordenadas generali&adas( laslasotras coordenadasotras coordenadas )las de C( etc.*)las de C( etc.* no sonno soninde#endientesinde#endientes
3939
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El elegir unas u otras( co"o coordenadasEl elegir unas u otras( co"o coordenadas
generali&adas( en realidad solo de#ende de lagenerali&adas( en realidad solo de#ende de laconveniencia en el instante de resolver el #roble"a.conveniencia en el instante de resolver el #roble"a.
%os resultados deber/n ser idénticos #ara cual+uiera%os resultados deber/n ser idénticos #ara cual+uiera
de los casos. G cual+uiera +ue sea la elección( generade los casos. G cual+uiera +ue sea la elección( generauna relación de de#endencia con el resto de lasuna relación de de#endencia con el resto de lascoordenadas de los de"/s #untos.coordenadas de los de"/s #untos.
$
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E,e"#lo de una ecuación de restricción 4E,e"#lo de una ecuación de restricción 4
''CC ' 'BB M % cosM % cos θ
CC BB M % senM % sen θ
%as ecuaciones +ue relacionan las%as ecuaciones +ue relacionan las CJJ;E:AA?CJJ;E:AA?
NE:E;A%IOAA?NE:E;A%IOAA? con lascon las EPE:IE:E?EPE:IE:E? sesella"anlla"an ECUACIJ:E? E ;E?;ICCI:ECUACIJ:E? E ;E?;ICCI:.
L
θ
$1$1
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N;AJ? E %IBE;AN;AJ? E %IBE;A
Es el n-"ero de coordenadas generali&adas +ueEs el n-"ero de coordenadas generali&adas +ue
tiene un siste"a. En el caso anterior 6atiene un siste"a. En el caso anterior 6a trestresgrados de libertadgrados de libertad..
$2$2
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Hué ocurre cuando la Estructura esHué ocurre cuando la Estructura es EDJ;=AB%EEDJ;=AB%EKK
Ga ' no se #uede deter"inar#or las relaciones geo"étricasiniciales de la l/"ina.
Igual ocurre con C
J con cual+uier otro #unto
Cada #unto re+uiere tener sus coordenadas de!inidas aCada #unto re+uiere tener sus coordenadas de!inidas a+ue la de!or"ación debida a la causa +ue sea( di!iere+ue la de!or"ación debida a la causa +ue sea( di!iereseg-n el #unto elegido.seg-n el #unto elegido.
$3$3
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N;AJ? E %IBE;A E: U:N;AJ? E %IBE;A E: U:?I?E=A EDJ;=AB%E 4?I?E=A EDJ;=AB%E 4
ieneiene in!initosin!initos grados de libertad. antos co"ogrados de libertad. antos co"o
#untos del siste"a se +uiera elegir.#untos del siste"a se +uiera elegir.
$$$$
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Có"o se deter"inan las in$initasin$initas
CJJ;E:AA? NE:E;A%IOAA?del e,e"#lo de la !iguraK.... QQQQQQQ
?e si"#li!icar/ el #roble"a dividiendo el siste"a envarias #artes !initas unidas entre sí.
Cada una de estas #artes se le lla"ar/Cada una de estas #artes se le lla"ar/ =IE=B;J ó=IE=B;J ó
E%E=E:JE%E=E:J la unión entre los "ie"bros se la unión entre los "ie"bros sella"ar/lla"ar/ RU:A.RU:A.
$$
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Esta división de los "ie"bros es arbitraria. G de unaEsta división de los "ie"bros es arbitraria. G de una
buena elección de#ende +ue tan sencillo o co"#licadobuena elección de#ende +ue tan sencillo o co"#licado#ueda resolverse.#ueda resolverse.
Una elección4Una elección4
=ie"bro 1
=ie"bro 2
=ie"bro 3
=ie"bro $
=ie"bro
=ie"bro 0
Runtas
6 'iembros (elementos)6 'iembros (elementos)
7 *untas7 *untas
AA
BB
CC EE
DD
NN
$0$0
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Jtra elección4Jtra elección4
=ie"bro 1
=ie"bro 2
Runtas
Jtra elecciónJtra elección
=ie"bro 1=ie"bro 1
=ie"bro 2
=ie"bro 3=ie"bro 3
,untas ,untas
,untas ,untas
2 miembros2 miembros
+ *untas+ *untas
+ miembros+ miembros
, *untas, *untas
AA
BB
CC
AA
BB CC
$$
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Cual+uiera de los anteriores casos es v/lidoCual+uiera de los anteriores casos es v/lido
?in e"bargo( la elección "/s usual venta,osa es?in e"bargo( la elección "/s usual venta,osa esconsiderar ele"entos unidireccionales entre dos ,untas.considerar ele"entos unidireccionales entre dos ,untas.
En cual+uiera de los casos anteriores se cu"#le4En cual+uiera de los casos anteriores se cu"#le4
1*Estructura Ele"entos )"ie"bros* M Runtas1*Estructura Ele"entos )"ie"bros* M Runtas
2*%os ele"entos est/n conectados a través de las Runtas2*%os ele"entos est/n conectados a través de las Runtas
$5$5
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Có"o se de!inen los Nrados de %ibertadNrados de %ibertad en el siste"adividido en "ie"brosK
E% :S=E;J E N;AJ? E %IBE;A EPE:EE% :S=E;J E N;AJ? E %IBE;A EPE:EE% :S=E;J E CJJ;E:AA?E% :S=E;J E CJJ;E:AA?
NE:E;A%IOAA? E: CAA RU:A %IB;E ENE:E;A%IOAA? E: CAA RU:A %IB;E E=J>E;?E.=J>E;?E.
JRJJRJ %A? RU:A? :J ?E CJ:?IE;A: PU:J?4%A? RU:A? :J ?E CJ:?IE;A: PU:J?4
E? U:AE? U:A PEQ$E?A L@MINAPEQ$E?A L@MINA HUE PUEE NI;A; HUE PUEE NI;A;
Por+ué K :o eran in!initosKPor+ué K :o eran in!initosK
$9$9
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?u#óngase en el e,e"#lo la?u#óngase en el e,e"#lo la terceraterceraelecciónelección reali&ada4reali&ada4
res "ie"bros 4 A T AB BCres "ie"bros 4 A T AB BC
Cuatro Runtas4 ( A ( B CCuatro Runtas4 ( A ( B C
%as ,untas C no se #ueden "over #or+ue est/n%as ,untas C no se #ueden "over #or+ue est/nrestringidas sus coordenadas #er"anecen conocidasrestringidas sus coordenadas #er"anecen conocidassie"#re.sie"#re.
Có"o se "ueven A BKCó"o se "ueven A BK
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El #unto A( se #uede "over en 'VEl #unto A( se #uede "over en 'V
El #unto A( se #uede "over en VEl #unto A( se #uede "over en VEl #unto A( #uede girar en &VEl #unto A( #uede girar en &V
Igual ocurre en la ,unta BIgual ocurre en la ,unta B
:o e'iste ninguna restricción #ara las "encionadas ,untas.:o e'iste ninguna restricción #ara las "encionadas ,untas.
?in e"bargo( si se des#recia la de!or"ación a'ial en?in e"bargo( si se des#recia la de!or"ación a'ial enel "ie"bro AB( o se dice +ue es rígido a se est/nel "ie"bro AB( o se dice +ue es rígido a se est/nintroduciendo condiciones. introduciendo condiciones. e +ué "anerae +ué "aneraKK
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e#endee#ende 4 co"o sean las restricciones internas4 co"o sean las restricciones internasde los "ie"bros.de los "ie"bros.
Posibilidad nW 1Posibilidad nW 1
Posibilidad nW 2Posibilidad nW 2
Posibilidad nW 3Posibilidad nW 3
Hue alguno de sus "ie"bros sea total"ente inde!or"able. EsHue alguno de sus "ie"bros sea total"ente inde!or"able. Ese+uivalente a su#oner +ue Ie+uivalente a su#oner +ue I ∞ )dos restricciones*)dos restricciones*
Esto es e+uivalente a su#oner +ue la rigide& a'ial es in!inita.Esto es e+uivalente a su#oner +ue la rigide& a'ial es in!inita.
XreaXrea ∞
)una restricción* )una restricción*
%os tres "ie"bros se de!or"an total"ente%os tres "ie"bros se de!or"an total"entesin restricciónsin restricción. )Caso anali&ado*. )Caso anali&ado*
Hue alguno de sus "ie"bros no #ueda de!or"arse a'ial"ente.Hue alguno de sus "ie"bros no #ueda de!or"arse a'ial"ente.
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Posibilidad nW 1Posibilidad nW 1
:o e'isten restricciones en los:o e'isten restricciones en los"ie"bros #ara de!or"arse"ie"bros #ara de!or"arse
En este caso las ,untas A B #ueden 4En este caso las ,untas A B #ueden 4
a*a* es#la&arse de "anera +ue los "ie"bros +ue lleganes#la&arse de "anera +ue los "ie"bros +ue llegana ellas #uedan alargarse o acortarse.a ellas #uedan alargarse o acortarse.
b*b* Pueden girarPueden girar
δ''δ
θ
Igual #uede ocurrir con la ,unta BIgual #uede ocurrir con la ,unta B
E,e"#los4E,e"#los4
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En los des#la&a"ientos #osibles de las ,untas se observaEn los des#la&a"ientos #osibles de las ,untas se observa+ue en+ue en AA 6a tres #osibilidades de "ovi"iento al igual6a tres #osibilidades de "ovi"iento al igual+ue en B. %as longitudes de A( AB BC ca"bian+ue en B. %as longitudes de A( AB BC ca"biandes#ués de la de!or"ación.des#ués de la de!or"ación.
En este caso 6aEn este caso 6a 0 grados de libertad0 grados de libertad (δ'A'A (( δ'B'B (( δAA (( δBB((θ11 θ22 **
$$
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7a7a una restricciónuna restricción en cada "ie"bro 4en cada "ie"bro 4no #ueden de!or"arse a'ial"enteno #ueden de!or"arse a'ial"ente
1. La junta A no puede entonces moverse hacia arriba ni
hacia abajo porque signi!icar"a alargamiento #acortamiento de $A % no ha% de!ormaci#n axial.
&. La junta B solo puede moverse perpendicular a BC
por la misma raz#n ' no ha% de!ormaci#n axial.
((.) *l miembro AB tampoco se de!orma axialmente.
Posibilidad nW 2Posibilidad nW 2
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%a ,unta AV #uede girar )%a ,unta AV #uede girar )θ11* de "anera inde#endiente* de "anera inde#endiente
%a ,unta BV #uede girar )%a ,unta BV #uede girar )θ22* de "anera inde#endiente* de "anera inde#endiente
%a ,unta AV #uede des#la&arse seg-n%a ,unta AV #uede des#la&arse seg-n δ11
%a ,unta BV #uede des#la&arse seg-n%a ,unta BV #uede des#la&arse seg-n δ22
+erpendiculares +erpendiculares
al miembroal miembro
*n su con!iguraci#n inicial *n su con!iguraci#n inicial
00
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%a ,unta A se #uede des#la&ar 6acia un%a ,unta A se #uede des#la&ar 6acia unlado )#or e,e"#lo a la i&+uierda*lado )#or e,e"#lo a la i&+uierda*
a"bién #uede girara"bién #uede girar
El "ie"bro AB debe ta"biénEl "ie"bro AB debe ta"bién"antener su longitud igual"antener su longitud igual
%a ,unta B se "ueve%a ,unta B se "ueve#er#endicular a BC#er#endicular a BC
G ta"bién giraG ta"bién gira
%a ,unta A se des#la&a a la i&+uierda%a ,unta A se des#la&a a la i&+uierda δ11 #or tanto la#or tanto la ,unta B se des#la&a a la i&+uierda la "is"a cantidad. ,unta B se des#la&a a la i&+uierda la "is"a cantidad.
1
2
3
$
$ des#la&a"ientos K
>ea"os los #osibles des#la&a"ientos>ea"os los #osibles des#la&a"ientos
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El des#la&a"ientoEl des#la&a"iento
δ
22 guarda unaguarda una
relación conrelación conδ11 igual a4igual a4
δ22 δ11 F cosF cos
ConclusiónConclusión δ22 dos com&onentes de des&la%amiento nonoinde&endientesinde &endientes. #uego este sistema solo tiene + grados de
#ibertad ( 6 menos 2 deδ22 )
δ2 BC
)en la estructura)en la estructura
sin de!or"ar*sin de!or"ar*
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Posibilidad nW 3Posibilidad nW 3
;E?PUE?A4 grados de libertad.;E?PUE?A4 grados de libertad.
Posibilidad nW $Posibilidad nW $
Considere +ue AB es total"ente rígido) IConsidere +ue AB es total"ente rígido) I ∞* no se* no se
de!or"a a'ial"ente )Ade!or"a a'ial"ente )A ∞ *( #ero A BC se #ueden*( #ero A BC se #uedende!or"ar sin restricción..de!or"ar sin restricción..
;E?PUE?A4 3 grados de libertad.;E?PUE?A4 3 grados de libertad.
99
Considere +ue A BC no tienen ningunaConsidere +ue A BC no tienen ningunarestricción de de!or"ación( "ientras +uerestricción de de!or"ación( "ientras +ueAB no #uede de!or"arse a'ial"ente.AB no #uede de!or"arse a'ial"ente.)Area
∞
I valor !inito *
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Pueden e'istir restricciones de "ie"bros +ue esténPueden e'istir restricciones de "ie"bros +ue esténrelacionadas. E,e"#lo4relacionadas. E,e"#lo4
?i en este caso ning-n "ie"bro #uede de!or"arse?i en este caso ning-n "ie"bro #uede de!or"arsea'ial"ente( #odría decirse +ue 6a tres restricciones 4a'ial"ente( #odría decirse +ue 6a tres restricciones 4una #or "ie"bro.una #or "ie"bro. N.%. 3@1 –3 < KKKKN.%. 3@1 –3 < KKKK
?in e"bargo( la restricción del "ie"bro vertical?in e"bargo( la restricción del "ie"bro verticalsu#erior( no es inde#endiente de la del "ie"brosu#erior( no es inde#endiente de la del "ie"brovertical in!erior. Es la "is"a( es decir una esvertical in!erior. Es la "is"a( es decir una es su#er!luasu#er!lua
Por tanto en este caso 4Por tanto en este caso 4
solo 6a J?solo 6a J? restricciones e!ectivasrestricciones e!ectivas. N.%. 32 1. N.%. 32 1
0
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Articulaciones InternasArticulaciones Internas
Estructura de 0 ele"entos.Estructura de 0 ele"entos.
G 3 ,untas libresG 3 ,untas libres
N . % . E
3 @ 3
M c o n d i
c i ó
n a d i c i o
n a l
N . % . E
3 @ 3
M c o n d i c i ó
n a d i c i o
n a l
/.#.= 0 0101
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11.-EnEn siste"as #lanossiste"as #lanos se #ueden contabili&arse #ueden contabili&ar tres gradostres grados de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.
CJ:C%U?I:CJ:C%U?I:
22.-EnEn siste"as es#acialessiste"as es#aciales se #ueden contabili&arse #ueden contabili&ar seisseisgradosgrados de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.
33.-CadaCada restricción interna e!ectivarestricción interna e!ectiva eli"ina grados deeli"ina grados delibertad( a los calculados en 1 )#ara Alibertad( a los calculados en 1 )#ara A ∞* ó en 2 )I* ó en 2 )I ∞**
$$.-Una articulación interna au"enta los grados deUna articulación interna au"enta los grados de
libertad en la ,unta tantas veces co"o ele"entoslibertad en la ,unta tantas veces co"o ele"entosliberados #ara girar e'istan.liberados #ara girar e'istan.
0202
.-Se recomiendaSe recomienda estudiar el problema nº 1 de la guíaestudiar el problema nº 1 de la guía..
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