View
60
Download
5
Category
Preview:
Citation preview
i
TESIS
KAJIAN ASPEK GEOMETRI FRAKTAL CANDI
PRAMBANAN DAN PENGENALAN DIMENSI FRAKTAL
PADA SISWA SMA
NUK TOHUL HUDA
161442016
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
TESIS
KAJIAN ASPEK GEOMETRI FRAKTAL CANDI
PRAMBANAN DAN PENGENALAN DIMENSI FRAKTAL
PADA SISWA SMA
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajat
Magister Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika
NUK TOHUL HUDA
161442016
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
MOTTO
“Selama ada
keyakinan,
semua akan
menjadi
mungkin ”.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PERSEMBAHAN
Ibunda Tercinta
Sepanjang Masa
Istriku dan Kedua
anakku yang
tersayang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Nuk Tohul Huda (161442016). Kajian Aspek Geometri Fraktal Candi
Prambanan Dan Pengenalan Dimensi Fraktal Pada Siswa SMA. Tesis.
Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Keberadaan Candi Prambanan sebagai candi Hindu terbesar di
Indonesia memiliki keunikan desain arsitekturnya. Sebagaimana bangunan
Candi yang ada di Jawa dari sisi geometri berdasarkan banyak kajian yang
telah dilakukan memiliki unsur geometri fraktal yang menarik untuk
dipelajari. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui unsur fraktal
aspek dimensi dan keserupaan diri pada Candi Prambanan serta
mengenalkan pembelajaran dimensi fraktal untuk Siswa SMA. Metode
yang digunakan pada kajian geometri fraktal menggunakan metode studi
pustaka dan eksplorasi dan sedangkan untuk pembelajarannya
menggunakan penelitian desain. Ada empat indikator pemahaman yang
dijadikan parameter untuk mengetahui sejauh mana tingkat pemahaman dan
respon siswa terhadap materi geometri fraktal.
Hasil rata-rata dari perhitungan tersebut diperoleh ukuran fraktal
Candi Siwa Prambanan yaitu 1.777 sedangkan kajian keserupaan tidak
menemukan bentuk yang fraktal yang kuat. Berdasarkan hasil tersebut dapat
disimpulkan bahwa bangunan Candi Siwa Prambanan memiliki unsur
dimensi fraktal yang kuat. Hasil dari pembelajaran memberikan gambaran
respon siswa yang positif, serta hampir tidak ada kesulitan dalam
pembelajaran, siswa dapat mengikuti dan memahami dengan baik proses
perhitungan dimensi fraktal. Kesulitan yang dialami lebih pada ketrampilan
penggunaan program Excel dalam membantu perhitungan dimensi fraktal.
Kata Kunci : Candi Siwa Prambanan, Aspek Geometri Fraktal,
Pemahaman Konsep.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT (ENGLISH)
Nuk Tohul Huda (161442016). Study of Aspects of Prambanan Temple
Fractal Geometry and Introduction of Fractal Dimensions in High
School Students. Thesis. Master of Mathematics Education Study
Program, Teacher Training and Education Faculty, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
The existence of Prambanan Temple as the largest Hindu temple in
Indonesia is unique in its architectural design. As the temple building in
Java from the geometry side based on many studies that have been carried
out has fractal geometry elements that are interesting to learn..The purpose
of this study was to find out the fractal elements of the dimensions and
likeness of the Prambanan Temple and introduce learning fractal
dimensions for high school students. The method used in the study of fractal
geometry uses literature and exploration methods and for learning uses
design research. There are four indicators of understanding that are used as
parameters to determine the extent of students' level of understanding and
response to fractal geometry material.
The average results from these calculations obtained the fractal size
of Shiva Prambanan Temple which is 1,777 while the similarity study did
not find a fractal shape. Based on these results it can be concluded that the
Shiva Prambanan Temple building has a strong fractal dimension
element.The results of learning provide a picture of positive student
responses, and almost no difficulties in learning, students can follow and
understand the fractal dimension calculation process well. The difficulties
experienced are more in the skill of using the Excel program in helping
calculating fractal dimensions.
Keyword : Temple of Shiva Prambanan, Aspect of Fractal Geometry,
Understanding of Concepts.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional,
selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan menjadi
artikel ilmiah yang disusun oleh penulis (Nuk Tohul Huda)dan pembimbing Dr.
Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd.)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan yang maha Esa yang
telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami
berhasil menyelesaikan penulisan Tesis ini yang alhamdulillah tepat pada
waktunya yang berjudul “Kajian Aspek Geometri Fraktal Candi Prambanan
dan Pengenalan Dimensi Fraktal pada Siswa SMA”dan kami menyadari
bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran
dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi
kesempurnaan tulisan ini.
Tesis ini kami susun sebagai salah satu Syarat memperoleh gelas
Magister Pendidikan dari Universitas Sanata Dharma. Tidak lupa pula kami
sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta
dalam penyusunan Tesis ini dari awal sampai akhir. Ucapan tersebut kami
sampaikan kepada :
1. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program
Studi Magister Pendidikan Matematika sekaligus sebagai dosen
pembimbing tesis. Terimakasih atas semua bimbingan, arahan, luangan
waktu dan juga motivasi untuk selesai tepat waktu.
2. Segenap dosen dan karyawan Program Studi Magister Pendidikan
Matematika Universitas Sanata Dharma, atas segala bantuan dan
fasilitasinya selama perkuliahan dari awal sampai selesai.
3. Kepala Balai Pengelola Cagar Budaya Yogyakarta khususnya pengelola
Candi Prambanan dan pihak-pihak maupun karyawan di Candi
Prambanan atas izin dan informasi serta bantuan lainnya bagi peneliti.
4. Kepala MA Sunan Pandanaran dan siswi-siswi yang terlibat dalam
penelitian atas izin dan kesediaannya bagi peneliti untuk melakukan
penelitian di Sekolah tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
5. Keluarga tercinta, Ibu, Istri, dan anak-anaku tersayang atas dukungan
doa, semangat, kasih sayang dan semua dukungannya bagi peneliti
sehingga dari awal kuliah sampai menyelesaikan penulisan tesis ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iii
HALAMAN MOTTO ........................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. vii
ABSTRAK .......................................................................................................... viii
ABSTRACT ........................................................................................................... ix
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...................x
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ........................................ xi
KATA PENGANTAR ........................................................................................ xiii
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiv
DAFTAR TABEL ...... ....................................................................................... xix
DAFTAR GAMBAR.......................................................................................... xx
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah ................................................................ 01
B. Rumusan Masalah ........................................................................... 05
C. Tujuan Penelitian ............................................................................ 06
D. Penjelasan Istilah ............................................................................. 06
E. Manfaat Penelitian ......................................................................... 07
F. Batasan Penelitian .......................................................................... 07
G. Tinjauan Pustaka ............................................................................. 08
BAB II KAJIAN TEORI
A. Pengertian Fraktal ........................................................................... 11
B. Dimensi Fraktal................................................................................ 14
C. Perhitungan Dimensi Housdorff Himpunan Cantor Geometri Fraktal ..17
D. Keserupaan Diri ............................................................................... 22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
E. Sejarah Candi Prambanan ............................................................... 24
F. Arsitektur Bangunan Candi di Jawa ............................................... 29
G. Pembelajaran ................................................................................... 30
H. Kemampuan Pemahaman Konsep ................................................... 32
BAB III METODE PENELITIAN
A. Aspek Geometri Fraktal Candi Prambanan ..................................... 37
1. Pengambilan data ........................................................................ 38
a. Observasi .............................................................................. 39
b. Metode Dokumentasi ........................................................... 40
c. Studi Pustaka ......................................................................... 41
2. Tempat dan Waktu Penelitian ..................................................... 42
3. Subyek Penelitian ........................................................................43
4. Obyek Penelitian ......................................................................... 43
5. Perhitungan dan Analisis ........................................................... 44
6. Prosedur Penelitian ..................................................................... 45
B. Desain Kegiatan Pembelajaran Dimensi Fraktal ............................. 46
1. Hypotetical Learning Project (HLT) ......................................... 47
2. InstrumenPenelitian .................................................................. 49
3. Tempat dan Waktu Penelitian ..................................................... 51
4. Subyek Penelitian ...................................................................... 52
5. Obyek Penelitian ........................................................................ 52
6. Teknik Analisis Data ................................................................. 52
7. Prosedur Penelitian ..................................................................... 53
BAB IVHASIL DAN PEMBAHASAN
A. Aspek Geometri Fraktal pada Candi Prambanan ............................. 56
1. Struktur Bangunan Candi Prambanan ......................................... 56
2. Dimensi Fraktal Candi Prambanan ............................................. 60
3. Keserupaan Diri (Self Similary) .................................................. 75
B. Desain Pembelajaran ........................................................................ 84
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
1. Pengembangan HLT awal .......................................................... 85
2. Ujicoba HLT Pembelajaran ....................................................... 86
a. Proses Kegiatan Pembelajaran ........................................... 86
b. Hasil Observasi terhadap Siswa ........................................... 88
c. Hasil Angket atau Kuesioner ............................................... 106
d. Hasil Diskusi Saat Presentasi ............................................... 112
e. Hasil Observasi Selama Pembelajaran .................................. 115
3. Perbaikan Desain Pembelajaran ................................................. 116
C. Refleksi ............................................................................................. 117
BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan ................................................................................ 121
1. Aspek Geometri Fraktal Candi Prambanan .......................... 121
2. Hasil Desain Pembelajaran Pengenalan Dimensi Fraktal .... 123
B. Saran .......................................................................................... 124
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................... 125
Lampiran
Lampiran A ..................................................................................... 1
Lampiran A.1 Gambar Struktur Tingkatan Candi Siwa Prambanan 2
Lampiran A.2. Gambar Tampak Depan Candi Siwa Prambanan ..... 3
Lampiran A.3. Gambar Denah Tampak Atas Candi Siwa Prambanan4
Lampiran A.4. Contoh Perhitungan Dimensi Fraktal Metode
Box Counting ............................................................... 5
Lampiran B ....................................................................................... 9
Lampiran B.1. HLT Pembelajaran ................................................... 10
Lampiran B.2. LKS Pembelajaran ................................................... 21
Lampiran B.3. Grid Skala Perhitungan Dimensi Fraktal ................. 30
Lampiran B.4. Angket Siswa ........................................................... 34
Lampiran B.5. Hasil Jawaban LKS Pembelajaran .......................... 37
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xviii
Lampiran B.6. Foto Proses Pembelajaran ....................................... 40
Lampiran C............................................................................... 44
Lampiran C.1 Surat Permohonan Izin Penelitian ........................... 45
Lampiran C.2. Surat Izin Penelitian dari Balai Pelestarian Cagar
Budaya ... 46
Lampiran C.3. Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian
dari Sekolah........ 47
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xix
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1. Gambaran Capaian Kemampuan Siswa ..................................... 48
Tabel 4.1 . Hasil Perhitungan Dimensi Fraktal Denah Tampak Atas
Candi Siwa.. 65
Tabel 4.2. Hasil Perhitungan Dimensi Fraktal Denah Tampak Depan
Candi Siwa ..... 71
Tabel 4.3. Gambaran Umum Pemahaman Siswa ........................................ 87
Tabel 4.4. Penguasaan Kemampuan dan Materi Dasar Dimensi Fraktal .... 101
Tabel 4.5. Hasil Angket Respon Siswa Terhadap Pembelajaran Fraktal ... 102
Tabel 4.6. Komentar Siswa Tentang Pembelajaran Dimensi Fraktal ........ 104
Tabel 4.7. Revisi HLT Berdasarkan Hasil Pembelajaran .......................... 112
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xx
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Pola Koch Snowflake ................................................ 11
Gambar 2.2. Penerapan Box Counting pada Gambar Fraktal ......... 19
Gambar 2.3. Segitiga Sierpinski ...................................................... 20
Gambar 2.4. Denah Lokasi Candi Prambanan ................................ 23
Gambar 4.1. Bentuk bangunan dan bagian-bagian Candi
Siwa Prambanan............... 55
Gambar 4.2. Adaptasi Bentuk Matematis Bangunan Candi ............ 56
Gambar 4.3. Bentuk Asli Bangunan Candi Siwa Prambanan ........ 56
Gambar 4.4. Denah Kompleks Candi Prambanan ............................ 58
Gambar 4.5. Denah Tampak Atas Candi Siwa Prambanan .............. 59
Gambar 4.6. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan
skala Grid 3 x 5 .......... 60
Gambar 4.7. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan
skala Grid 6 x 10 ......... 61
Gambar 4.8. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan
skala Grid 12 x 20 ........ 62
Gambar 4.9. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan
skala Grid 24 x 40 ........ 63
Gambar 4.10. Grafik Kemiringan Perbandingan log N dan Log S
Tampak Atas Candi Siwa Prambanan .......................65
Gambar 4.11. Denah Tampak Depan Candi Siwa skala 1 : 200....... 66
Gambar 4.12. Perhitungan Tampak Depan dengan skala grid 3 : 5 . 67
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xxi
Gambar 4.13. Perhitungan Tampak Depan dengan
skala grid 6 : 10 .......... 68
Gambar 4.14. Perhitungan Tampak Depan dengan
skala grid 12 : 20 ..... 69
Gambar 4.15. Perhitungan Tampak Depan dengan
skala grid 24 : 40 ........ 70
Gambar 4.16. Grafik kemiringan perbandingan log N dan Log S Tampak
Atas Candi Siwa Prambanan ................................... 72
Gambar 4.17. Adaptasi Pengulangan Persegi pada Denah
Tampak Atas .... 74
Gambar 4.18a-d. Gambar Posisi Pintu arah empat mata angin ........ 74
Gambar 4. 19a-d. Posisi Ruang dari Empat Posisi Mata Angin ...... 75
Gambar 4.20a-d. Posisi Bagian Selatan dan Utara Candi ................ 75
Gambar 4.21. Keserupaan Bentuk Bagian Stupa Pusat Candi Siwa .76
Gambar 4.22. Keserupaan Bentuk Stupa Pada bagian Puncak
Candi Siwa.......... 77
Gambar 4.23. Keserupaan Bentuk masing-masing Tingkatan dari
Puncak Candi Siwa .................................................. 78
Gambar 4.25. Keserupaan Bentuk Bagian Tengah Candi Siwa ...... 79
Gambar 4.26. Keserupaan Bentuk Bagian Selasar Candi Siwa ....... 80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Candi Prambanan sebagai bagian penting dari warisan para leluhur
memiliki desain arsitektur yang unik dibanding tipe bangunan yang lain di
Indonesia khususnya Jawa. Candi Prambanan merupakan candi Hindu yang
terbesar di Indonesia yang dibangun oleh raja-raja dinasti Sanjaya pada abad
IX. Ditemukanya tulisan nama “Pikatan” pada candi ini yang menimbulkan
pendapat bahwa candi ini dibangun oleh Rakai Pikatan, kemudian diselesaikan
oleh raja Rakai Balitung. Candi ini juga merupakan manifestasi politik sistem
kerajaan saat itu, hal ini ditunjukkan oleh “Prasasti Siwargiha” yang berkisar
tahun 856 M, sebagai sebuah simbol kebesaran dari seorang Raja atau penguasa.
Candi Prambanan merupakan warisan budaya yang memiliki nilai-nilai
luhur yang penting untuk diketahui oleh masyarakat baik sebagai wawasan
sejarah, kekayaan arsitektur, pendidikan dan bahkan yang paling kental sebagai
objek wisata. Kompleks Candi Prambanan telah dimanfaatkan menjadi sebuah
objek wisata nasional bahkan internasional yang dilengkapi dengan berbagai
fasilitas berupa, audio visual museum prambanan, tempat penyewaan sepeda
untuk memudahkan wisatawan untuk berkeliling, dll.(Kompas 23/8/2012). Hal
ini memberikan gambaran betapa keberadaan Candi Prambanan telah
berkembang pesat dan bergeser tidak sekedar menjadi pusat budaya atau situs
warisan budaya tetapi banyak fuungsi yang lain. Berbagai lembaga atau
individu juga memanfaatkan untuk melakukan penelitian baik dari segi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
arsitektur maupun aspek yang lain, sehingga memberi kontribusi dalam dunia
riset dan pendidikan.
Kajian terhadap Candi Prambanan akan dapat memperkaya karakteristik
bentuk candi-candi di Jawa dan Nusantara pada umumnya, tidak hanya
persepsinya ditekankan pada candi-candi dengan bentuk menyerupai menara.
Oleh karena itu sebagai perbandingan dapat dipilih daerah-daerah yang masih
didapatkan adanya arsitektur percandian tipe ini dan daerah Yogyakarta
khususnya Klaten Jawa Tengah sangat banyak terdapat situs-situs candi dengan
model seperti ini walaupun tempatnya terpisah-pisah. Komplek Prambanan
dipandang sebagai daerah yang masih menggunakan arsitektur percandian ini
dalam wujud representasinya melalui bentuk Pura-pura-nya.
Penelitian ini akan menekankan pada pendekatan yang lebih bersifat
arsitektural, yakni aspek desain bangunan secara geometri fraktal. Pendekatan
tipo-geometri akan digunakan untuk memahami pola-pola tata ruang dan bentuk
desain arsitektural fraktalnya berikut fenomena atau aspek-aspek atau faktor-
faktor yang dianggap penting melatarbelakangi desain candi. Pendekatan tipo-
geometri dianggap akan dapat menjelaskan tentang klasifikasi bentuk dan ruang
serta wujud perkembangan yang terjadi dari masa klasik tua sampai muda, dan
antara Jawa dengan daerah sekitarnya termasuk Prambanan. Kajian pada Candi
Prambanan memang tidak memberikan perbandingan dengan candi yang lain
disekitar, tetapi lebih fokus mendalami satu bentuk candi saja dan inipun
mengambil bangunan utama dari komplek Candi Prambanan. Sisi geometri
terutama fraktal menjadi menarik karena melihat konteks sejarah pembangunan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Candi yang masuk abad masa lalu ternyata sudah menggunakan ilmu
matematika khususnya geometri fraktal.
Geometri pada mulanya digunakan oleh bangsa Mesir untuk
menentukan batas-batas tanah yang hilang pada pinggiran sungai Nil. Ilmu
geometri pertama dipelopori oleh Euclides yang saat ini terkenal sebagai
Geometri Euclides. Geometri Euclides banyak ditemui di sekitar kita dalam
bentuk segitiga, segiempat, trapesium, balok, kerucut dan tabung. Namun dalam
kenyataan bentuk-bentuk alam yang lain, Geometri Euclides ternyata tidak
dapat secara penuh mempresentasikannya. Mandelbrot (1983:1) mengatakan
“Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastline are not circles,
and bark is not smooth, nor does lighting travel in a straight line. More
generally, I claim that many patterns of nature are so irregular and
fragmented’. Dari pernyataan tersebut dapat diartikan bahwa beberapa bentuk
seperti awan, garis pantai, permukaan kulit kayu tidak dapat dilukiskan dengan
baik melalui Geometri Euclides, karena alam terdiri dari pola-pola yang tidak
beraturan dan terpecah-pecah. Dari sinilah kemudian muncul gagasan geometri
non Euclides atau mulai dikenalkan dengan istilah geometri fraktal.
Fraktal dalam matematika merupakan salah satu cabang dari geometri
dan terkenal dengan geometri fraktal. Istilah ini memang tampak belum begitu
familier dalam masyarakat, terutama di Indonesia. Ilmu yang mempelajari
tentang pola berulang sebenarnya sudah sangat banyak di gunakan dalam
berbagai bentuk bangunan kuno arsitektur di Indonesia misalnya Candi atau
bahkan lukisan batik. Bentuk fraktal secara alami sangat banyak terdapat dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
lingkungan sekitar kita, seperti bentuk pohon, terasering, sayuran brokoli, salju
koch dan daun pakis. Hal ini menunjukkan bahwa sudah sejak zaman dahulu
para ilmuwan mengkaji dan menerapkan ilmu geomteri fraktal.
Pengembangannya geometri fraktal yang diterapkan pada bentuk-
bentuk candi di Jawa banyak terinspirasi dari bentuk alamiah alam sekitar.
Misalnya bentuk perulangan geometri alam pada candi yang memakai aturan
perhitungan vastu purusa mandala menggunakan geometri bujursangkar yang
diulang dengan berbagai ukuran besar dan kecil membentuk pola tertentu. Pola
ini merupakan ciri khas pola geometri fraktal, sehingga dengan pengkajian
dapat untuk dikembangkan dalam perancangan arsitektur. Menurut Rahardian
(2008) teori geometri yang ada pada candi menggunakan perbandingan Vastru
Sastra dan geometrik kartesian-cruciform pada denah, sedangkan untuk fasade
sendiri merupakan siluet segitiga manifestasi meru. Fasade dengan ragam
tekstur berupa relief dan ornamen yang menarik sebenarnya memiliki
perbandingan rasio tertentu yang dapat dikaji ulang untuk mendapatkan prinsip
geometri pada candi.
Geometri sendiri merupakan ilmu yang mengkaji mengenai bangun,
bentuk, dan ukuran benda-benda. Geometri merupakan bagian dari pokok
bahasan yang ada dalam pembelajaran matematika. Menurut Soemadi (2005),
pengajaran geometri mempunyai nilai material dan nilai formal. Nilai material
adalah nilai-nilai penerapan geometri serta keterampilan geometri, sedangkan
nilai formal adalah nilai-nilai luhur dalam bermasyarakat yang dapat
ditumbuhkan melalui pengajaran geometri. Melalui pengajaran geometri siswa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
akan banyak mengenal lebih dalam tentang kekayaan dari alam sekitar,
memperkenalkan bentuk geometri fraktal sebagai hal baru yang selama ini tidak
diberikan di sekolah padahal sangat dekat dengan kehidupan alam sekitar
mereka. Kebermaknaan belajar akan muncul dan memberi kesan menarik
apalagi dengan menghadirkan bentuk-bentuk yang nyata dalam pembelajaran
geometri sebagai media siswa belajar.
Pembelajaran geometri adalah sesuatu yang abstrak dan membutuhkan
imajinasi tinggi bagi siswa, dimana menurut beberapa pendapat bahwa salah
satu tujuan pengajaran geometri adalah untuk mengembangkan intuisi spasial
mengenai dunia nyata, menanamkan pengetahuan yang diperlukan untuk
mempelajari cabang matematika lain serta untuk mangajarkan membaca dan
menginterpretasikan argumen matematika. Tujuan utama dari proses mengajar
belajar geometri adalah agar siswa mempunyai wawasan keruangan (imajinasi
spasial) yang tinggi. Wawasan keruangan yang berkembang dengan baik akan
sangat membantu siswa dalam mempelajari cabang-cabang matematika lain.
Siswa dalam melihat bentuk geometri fraktal baik secara dimensi ketika dibawa
langsung dengan media nyata akan mendapatkan secara langsung gambaran
bentuk ukuran yang selama ini mereka belum pernah mempelajarinya.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah maka rumusan masalah dalam penelitian
ini adalah :
1. Bagaimanakah aspek geometri fraktal Candi Prambanan yang meliputi
dimensi fraktal dan keserupaan diri ?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
2. Bagaimana desain kegiatan pembelajaran pengenalan dimensi fraktal pada
siswa SMA ?
C. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Untuk mengetahui bagaimana aspek geometri fraktal Candi Prambanan
yang meliputi dimensi fraktal dan keserupaan diri.
2. Membuat desain kegiatan pembelajaran pengenalan dimensi fraktal pada
siswa SMA.
D. Penjelasan Istilah
1. Kajian
Kegiatan untuk menelaah suatu ilmu, peristiwa, benda atau kejadian secara
mendalam.
2. Geometri Fraktal
Fenomena dalam geometris yang muncul dari penerapan sistem umpan
balik yang berulang-ulang. Merupakan pengembangan dari Geometri
Euclides dalam menjelaskan tentang bentuk-bentuk yang nampak tidak
beraturan.
3. Dimensi Fraktal
Ukuran yang meliputi panjang, luas, tinggi, lebar dan sebagainya pada
bentuk non Euclides dimana hasil ukurannya dinyatakan dalam bentuk
bilangan pecahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
4. Self Similarity atau Keserupaan Diri
Self Similarity atau keserupaan diri adalah pengulangan kembali bentukan
dasar yang sama pada skala bentuk dasar yang diperbesar ataupun diperkecil
tetap terbentuk dari bentuk dasar yang sama.
5. Candi Prambanan
Sebuah bangunan keagamaan tempat ibadah peninggalan purbakala yang
berasal dari peradaban Hindu-Buddha dan terletak di Desa Prambanan
Kecamatan Bokoharjo Jl. Solo Km 17, sebagian wilayahnya terletak antara
Propinsi Daerah Istimewa Yogyakarta dan Jawa Tengah.
6. Desain Pembelajaran
Sebuah rancangan atau model tertentu yang akan diterapkan pada proses
interaksi peserta didik dengan pendidik dan sumber belajar pada suatu
lingkungan belajar dengan tujuan menghasilkan sesuatu yang lebih baik.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan referensi tambahan bukti ilmiah konsep fraktal pada candi-
candi di Jawa khususnya Candi Prambanan.
2. Menjadi bahan tambahan bagi pengembangan pembelajaran matematika
khsususnya materi geometri di SMA.
F. Batasan Masalah
Dikarenakan luasnya cakupan subyek dan wilayah penelitian serta keterbatasan
peneliti dari segi waktu dan kemampuan, maka dalam hal ini penelitian dibatasi
hanya pada :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
1. Objek yang diambil hanya Candi Shiwa sebagai simbol utama dari Candi
Prambanan dan juga merupakan candi dengan ukuran terbesar di komplek
Candi Prambanan.
2. Penentuan dimensi dan keserupaan diri fraktal hanya mengkaji pada bentuk
gambar dua dimensi.
3. Pengenalan geometri fraktal hanya pada dimensi fraktal untuk gambar dua
dimensi menggunakan tehnik manual.
G. Tinjauan Pustaka
Sirly Intan S, dkk (2014), Tentang geometri fraktal pada Candi Singosari
sebagai konsep desain museum purbakala Singosari. Dalam penelitiannya
mengidentifikasi bentuk dasar bangunan Candi Singosari dengan
menggunakan ilmu geometri sebagai alat dasar arsitekturnya. Geometri yang
dimaksud adalah geometri fraktal. Ada dua konsep geometri fraktal yang
dianalisis terhadap komposisi desain candi dan ukuran atau dimensi dari fraktal
pada Candi Singosari. Proses analisisnya menggunakan metode selft similarity
dan perhitungan dimensinya menggunakan counting box method.
Berdasarkan hasil kajian yang diperoleh dari analisis komposisi Candi
Singosari memiliki proporsi, skala, keseimbangan dan point of interest sebagai
bagian dari komposisi arsitektur candi. Candi Singosari memiliki bentuk
perulangan secara berkala dari bagian kaki, badan dan puncak candi yang
artinya memenuhi unsur self similarity. Candi Singosari juga ditemukan
memiliki tingkat kefraktalan yang tinggi dibanding candi yang lainnya. Dari
hasil fraktal tersebut kemudian dijadikan seabagai dasar untuk perancangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
museum, mulai dari bentuk parti yang dapat dijadikan modul dalam merancang
denah museum. Pada gambar candi tampak perulangan parti terjadi di tiga
bagian (kepala, badan, kaki memiliki prinsip perulangan yang berbeda) dan
perulangan paling banyak terlihat pada puncak bangunan.
Arfinda Ilmania (2010) Tentang geometri fraktal dalam etnomatematika
Candi Borobudur, meneliti tentang penerapan geometri fraktal pada
megastruktur Candi Borobudur dengan menggunakan pendekatan budaya
etnomatematika. Adapun metode kajian fraktal yang digunakan menggunakan
metode rekursif atau proses perulangan bentuk candi, kemudian juga
menghitung berapa ukuran atau dimensi fraktal pada Candi Borobudur. Selain
kajian fraktal pada tulisan ini membahas juga tentang unsur budaya atau etno
dari Candi Borobudur yang merupakan warisan budaya penting dalam sejarah
indonesia atau bahkan dunia.
Hasil dari kajian ini menyimpulkan bahwa Candi Borobudur adalah
megastruktur peninggalan bersejarah yang kaya akan penerapan prinsip
matematika. Salah satu penerapan prinsip matematika pada bangunan ini
adalah prinsip geometri fraktal atau yang lebih mendasarinya lagi adalah
prinsip rekursifitas. Arsitektur bangunan ini terdiri dari lingkaran dan persegi
yang memiliki pola berulang. Etnomatematika Candi Borobudur ini menjadi
bukti bahwa sejak jaman nenek moyang, Indonesia sudah mengenal prinsip-
prinsip matematika sederhana. Meskipun banyak masyarakat yang belum
menyadari keberadaan etnomatematika tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Zohreh Kiani (2013), The Stuctural and spatial analysing of fractal
geometry in organising of Iranian Traditional Arshitecture. Dalam tulisan ini
membahas adanya geometri fraktal dalam tiga skala makro (kota), menengah
(lingkungan) dan mikro (bangunan dan motif) dalam arsitektur Iran khususnya,
di kota-kota Isfahan dan Yazd.
Hasil dari penelitian ini disimpulkan bahwa geometri fraktal sebagai isu
mendasar telah menyebabkan terbentuknya pola fraktal yang beragam dalam
arsitektur tradisional di Iran. Pola replikasi dengan skala yang berbeda ini telah
mempengaruhi sistem tiga tingkat melalui sistem makro, menengah dan mikro.
Pada dasarnya, pola geometris fraktal telah berfungsi sebagai fasilitator bagi
arsitek Iran, dimana arsitek telah mampu menciptakan pola struktural, spasial
dan ornamen yang bervariasi dan kompleks berdasarkan peraturan penting dari
pola geometris. Setiap pola fraktal beroperasi sebagai bagian yang posisinya
bergantung pada keberadaan bagian yang lainnya. Berdasarkan uraian tersebut
memastikan kemungkinan bahwa dasar pembentukan banyak monumen
tradisional arsitektur di Iran Tengah, terutama Isfahan dan Yazd telah memiliki
akar fraktal, dan monumen arsitektur yang bertahan di kota-kota ini
menunjukkan klaim tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Pengertian Fraktal
Kata 'fraktal' berasal dari bahasa Latin frangere yang artinya putus,
Fragmen "patah", "rusak", atau "tidak teratur" (Mandelbrot dalam Ostwald dan
Vaughan (2016). Dalam matematika kata 'Fragmen' berasal dari bahasa latin
fractus. Sebagian kecil nilainya diperoleh dengan membagi satu bilangan ke
angka yang lain, dan sebuah fragmen dari keseluruhan yang lebih besar. Arti
kata fraktal diambil dari bahasa latin asli dan varian matematis yang digunakan
dalam dua konteks, pertama menggambarkan tipe dimensi tidak beraturan dan
yang kedua adalah dalam himpunan geometri tak terbatas.
Mandelbrot dalam Ostwald dan Vaughan (2016) mendefinisikan
geometri fraktal sebagai fenomena dalam geometris yang muncul dari
penerapan sistem umpan balik yang berulang-ulang. Aturan-aturannya dikenal
sebagai Iterative Function System atau IFS (Peitgen and Richter dalam Ostwald
dan Vaughan (2016)). Sebagai hasil dari proses IFS dalam bentuk geometris,
bila diteliti dalam ukuran yang semakin kecil, terlihat serupa dengan diri
sendiri, yaitu pada berbagai rentang dan objek yang dimaksud cenderung mirip
dengan dirinya (Kaye dalam Ostwald dan Vaughan (2016)). Properti ini
dikenal dengan nama 'Penskalaan'. Menurut Mandelbrot, rangkaian apapun
mungkin memiliki dimensi fraktal, namun hanya dilengkapi dengan pola
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
penskalaan yang didefinisikan dan digambarkan, sebagai contoh geometri
fraktal.
Fraktal juga dimaknai benda geometris yang memiliki skala masih
kasar, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa
fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan
fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detil yang tak hingga dan dapat
memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada
banyak kasus, sebuah fraktal dapat dihasilkan dengan cara mengulang suatu
pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif. Proses pengulangan bentuk
baru dari sebuah segitiga yang kemudian ditambahkan empatpuluh segitiga dan
menyerupai bentuk seperti kepingan salju. Proses ini berulang - ulang sampai
menghasilkan urutan geometris yang serupa dengan bentuk segitiga yang
semakin mengecil. Proses seperti ini yang disebut dengan koch Snowflake,
sebagaimana terlihat pada gambar berikut.
Gambar 2.1. Pola Koch Snowflake
Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-
sifat dan perilaku fraktal. Fraktal dapat membantu menjelaskan beberapa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
keadaan yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah
cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer.
Dulu ide-ide konsepsual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional
geometri Euclids dan kalkulus gagal melakukan berbagai pengukuran pada
benda-benda dengan ukuran besar dan unik tersebut.
Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupaan
diri dalam berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain?
Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Dengan pendekatan yang
sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik
matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Setelah visualisasi komputer
diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual
untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang
matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya
diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal
terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Geometri
fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis
dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan
lembah sungai.
Fraktal matematis yang ideal, seperti lempeng salju koch atau
Sierpinski triangle (Gambar 2.1), memiliki skalabilitas tak terbatas dan dimensi
stabil tunggal, dan karena itulah mereka kadang disebut 'uni-fractals'.
Sebaliknya, 'multi-fractal' adalah objek fraktal Koch Snowflake; Angka awal
(di atas) dan empat iterasi pertama (di bawah) 10 yang secara simultan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
memiliki rentang dimensi, yang masing-masing relatif konsisten selama
beberapa skala, namun tidak berlanjut (Alber dan Peinke 1998).
B. Dimensi Fraktal
Secara teknis, dimensi adalah ukuran topologi dari sifat pengisian ruang
dari sebuah benda, dimensi adalah ukuran abstrak namun tetap akurat sejauh
mana suatu objek menempati ruang. Properti pengisian ruang ini juga dikenal
sebagai dimensi yang mencakup Lebesgue (Dieudonne dalam Ostwald dan
Vaughan (2016)). Arsitek hanya berbicara tentang dua dimensi yang berbeda.
Representasi dua dimensi dan objek tiga dimensi - untuk seorang
matematikawan, sejumlah besar dimensi hipotetis (n) ada di ruang topologi
secara matematis, keanggotaan relatif suatu benda dalam satuan dimensi
ditentukan dengan menghitung jumlah koordinat yang diperlukan untuk
menentukan lokasi titik pada benda itu. Jadi, misalnya, sudut permukaan planar
dapat ditempatkan di ruang angkasa dengan hanya a sepasang koordinat x dan
y, sedangkan sudut sebuah kubus membutuhkan triad x, y dan z koordinat
untuk contoh pertama n = 2 dan untuk yang kedua n = 3; itu adalah dari mereka
masing-masing berada dalam ruang dua dimensi dan tiga dimensi
(Sommerville dalam Ostwald dan Vaughan (2016)). Sampai awal 1970-an,
matematikawan menerima bahwa n tentu keseluruhan nomor atau bilangan
bulat (misalnya, 1, 2 atau 3). Apalagi dunia Euclidean selalu memikirkan ruang
harus dengan tiga dimensi, dengan semua dimensi lainnya hanya ada di ruang
abstrak. Salah satu Katalisator untuk pengembangan ini adalah realisasi
pertumbuhan yang jumlah keseluruhannya (Integer) tidak mampu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
menggambarkan kompleksitas bentuk alam secara keseluruhan. Mungkin yang
paling terkenal dari dimensi umum, dan yang pertama secara metodis
mengembangkan nilai non-integer, adalah dimensi fraktal.
Ada banyak cara untuk menghitung secara matematis dimensi fraktal
dari sebuah gambar (di mana 1.0 <D <2.0) atau objek (2,0 <D <3.0).
Mandelbrot (1982) menggambarkan tiga alternatif, yang pertama,
penghitungan pendekatan kotak, bergantung pada overlay berbagai skala grid
dan membandingkan jumlah detail yang ada di masing-masing ukuran. Secara
teknis metode penghitungan kotak sering disebut menghitung dimensi
Minkowski-Bouligant. Metode ini telah diterima secara luas sehingga hasilnya
digambarkan sebagai dimensi kotak penghitungan atau dimensi fraktal.
Mandelbrot dalam Ostwald dan Vaughan (2016) menyajikan cara kedua untuk
menghitung perkiraan dimensi fraktal gambar menggunakan lingkaran yang
tumpang tindih dengan radius yang berbeda dan perbandingan antara kapasitas
lingkaran ini untuk menutupi garis besar gambar. Metode ketiga adalah
dimensi packing yang didasarkan pada kapasitas dari serangkaian lingkaran
untuk menutupi garis tidak teratur di sekitar gambar. Versi ketiga ini
membayangkan bahwa berbagai lingkaran, yang semakin mengurangi ukuran,
dikemas secara iteratif di dalam batas gambar tersebut. Perbandingan
kemudian dibangun antara jumlah lingkaran, dengan skala yang berbeda,
dibutuhkan objek untuk 'mengisi'.
Sebenarnya ada tujuh metode yang digunakan untuk mengukur dimensi
fraktal. Dua yang pertama adalah metode box counting dan metode
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
penghitungan kotak diferensial. Lima lainnya adalah metode spektrum daya,
metode diferensiasi daya, perbedaan statistik metode, metode tetangga terdekat
dan pendekatan penutup selimut. Semua dari versi ini telah dievaluasi dan
dibandingkan dengan hasil yang berbeda untuk sebagian besar hasil (1,2 <D
<1.8.) dan metode penghitungan kotak adalah yang paling bermanfaat dan
akurat. Sarker dan Chaudhuri dalam Ostwald dan Vaughan (2016) memberi
alasan bahwa meskipun beberapa masalah yang diketahui dengan hasil rentang
yang lebih besar (D> 1.8). Metode penghitungan kotak tetap merupakan
pendekatan yang paling baik. Sebagian besar penelitian terdahulu menyetujui
metode pengukuran dimensi fraktal dengan pendekatan penghitungan kotak
adalah yang paling akurat dan berguna (Xie dan Xie 1997; Yu et al. 2005 dalam
Ostwald dan Vaughan (2016)).
Metode penghitungan kotak pertama kali diadopsi untuk analisis
arsitektur dan perkotaan pada tahun 1990 an dan sejak saat itu telah banyak
digunakan untuk analisis bangunan, mulai dari struktur kuno sampai desain
pada abad ke-20 (Bovill 1996; Burkle-Elizondo dan Valdéz-Cepeda 2001; Rian
dkk. 2007; Ostwald dan Vaughan 2009b, 2010, 2013a). Versi komputasi yang
stabil pertama kali diperkenalkan pada tahun 2008 dan metode penghitungan
kotak sekarang merupakan versi yang paling dapat diterima dalam dunia
arsitektural karena metode ini mudah digunakan dan metode yang tepat untuk
mengukur karya arsitektur berkenaan dengan kontinuitas kekasaran pada
rentang skala tertentu (koherensi timbangan) '(Lorenz 2009: 703 dalam
Ostwald dan Vaughan (2016).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
C. Perhitungan Dimensi Housdorff Himpunan Cantor Geometri Fraktal
Diberikan teorema 2.1.1
Jika E⊆Rn, λ > 0, dan λ E = { λx x ϵ}, maka Ԩs (λe)= λs Ԩs(E).
Jika dicari limit untuk δ →∞, maka Ԩs (λE) = λs Ԩs(E).
Mengacu pada himpunan Cantor diperoleh :
Himpunan Cantor C dapat dibagi menjadi dua, yaitu A = [0, 1/3]∩C
dan B = [2/3 , 1] ∩ C. Jadi C = A ∪ B dan A ∩ B = Ø. Himpunan A dan B
sebangun dengan C pada skala 1/3. Jika 0 < Ԩs (C) < ∞, maka berdasarkan
teorema 2.1.1 diperoleh:
Ԩs (C) = Ԩs (A) + Ԩs (B) = 2 (3-s Ԩs (C))
3s = 2
s = log 2
log 3
Dari sini diperoleh s = dimH (E) = 𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔3⁄
Perhitungan tersebut jika di adopsi dalam Pengukuran dengan metode
box counting dimulai dari misalnya, gambar arsitektur dengan skala tertentu,
sebuah grid kemudian ditempatkan di atas gambar itu dan setiap persegi di grid
dianalisis untuk melihat apakah salah satu garis (sering disebut ‘informasi’
dalam aplikasi ilmiah) itu elevasi gambar yang muncul. Jumlah kotak dengan
garis-garis di dalamnya kemudian dihitung, sering juga dengan istilah lintas-
lintas antar sel dan kemudian menghitung jumlah sel-sel yang telah ditandai
dengan cara ini. Kemudian grid mengurangi ukuran overlay pada gambar yang
sama dan proses ini diulang, sekarang di skala yang berbeda, dan jumlah kotak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
dengan garis-garis di dalamnya juga dicatat. Sebuah perbandingan matematika
kemudian dibuat dari jumlah kotak dengan detail dalam grid pertama (N (s1))
dan jumlah kotak dengan detail di grid kedua (N (s2)). Perbandingan seperti itu
dibuat dengan memplot diagram log-log (log [N (s1)] vs log [1 / s2]) untuk
setiap ukuran grid. Kemiringan garis lurus yang dihasilkan oleh perbandingan
ini disebut menghitung dimensi kotak (Db). Nilai ini dihitung untuk
perbandingan antara dua grid (S = 1 dan S = 2 dalam contoh ini) sebagai
berikut:
Db = [𝑙𝑜𝑔 (𝑁𝑠2)−log (𝑁𝑠1)]
[log(1/𝑠2)−log (1
𝑠1)]
Keterangan :
Db = Dimensi-dimensi topologi dari setiap objek
1/s = Panjang unit dari pengukuran
N = Banyaknya subsegmen atau sub unit persegi atau sub unit kubus
dari setiap objek
Pada perhitungan yang lebih sederhana tahapan-tahapan menggunakan box
counting yaitu :
a. Mengambil suatu objek fraktal yang akan dihitung dimensinya
b. Membagi objek tersebut kedalam kotak-kotak dengan berbagai variasi
ukuran yang berbeda
c. Menghitung berapa banyak kotak yang berisi bagian dari objek
d. Menghitung besarnya dimensi D menggunakan rumus yang lebih mudah
(putra, 2009)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Ds = log 𝑁𝑠
log1
𝑠
Metode ini membagi citra menjadi kotak-kotak dengan berbagai variasi
ukuran (r). Salah satu contoh penentuan nilai r adalah 2k, dengan k = 0, 1, 2, … dst,
dan 2k, lebih kecil dari ukuran citra. Gambar berikut menunjukkan ilustraksi metode
box-counting.
Gambar 13. Metode Box-Counting [9].
Pada setiap r, dihitung
i
irCrS 2
,
dengan irC , merupakan jumlah titik-titik pada kotak/sel ke-i dengan jarak r.
Dimensi fractal dapat dihitung dengan membuat grafik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
r
rSD
log
log
Ketika proses ini diulang beberapa kali, untuk beberapa lapisan kotak
pada gambar yang sama, kemiringan rata-rata dapat dihitung, menghasilkan
dimensi fraktal (Db) dari gambar. Kritis, dan sering dilupakan, kata dalam
kalimat ini mencukupi; semakin rendah jumlah perbandingan grid kurang
akurat hasilnya, semakin tinggi jumlah perbandingan yang lebih akurat
hasilnya. Pada intinya, dimensi fraktal merupakan hasil rata-rata untuk
beberapa iterasi dari proses ini dan rata-rata hanya dua atau tiga hasil tentu akan
tidak akurat. Sebagai contoh, rata-rata dua angka-angka kemungkinan akan
menghasilkan hasil dengan hanya akurasi ± 25%; atau potensi kesalahan 50%.
Perbandingan tiga skala biasanya hanya akan mengurangi ini ± 22% akurasi.
Untuk mencapai hasil yang lebih akurat setidaknya dilakukan sebanyak
delapan dan lebih sepuluh atau lebih perbandingan yang diperlukan, ini dapat
mengurangi tingkat kesalahan sekitar ± 1% atau kurang. Namun, ini adalah
penjelasan yang masih sederhana, karena tingkat kesalahan juga sensitif
terhadap faktor-faktor yang lain, termasuk kualitas gambar mulai dari
konfigurasi dan posisi grid berturut-turut dan penskalaan koefisien (tingkat
dimana setiap kotak berturut-turut berkurang ukuran).
Menurut Rian dkk (2007:4) yang dimaksud dengan dimensi fraktal
adalah perhitungan yang digunakan untuk mengukur nilai kefraktalan dari
suatu objek. Untuk setiap fraktal objek dimensi fraktal selalu non – integer,
objek fraktal adalah pecahan-pecahan dimensi yang terletak diantara satu
dimensi dan dua dimensi atau diantara dua dimensi dan tiga dimensi, jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
berupa pecahan bukan bilangan bulat. Dengan perhitungan box counting untuk
mengukur kefraktalan suatu gambar atas dasar kekasaran, tekstur atau jumlah
rincian gambar. Misalkan untuk gambar dengan dimensi fraktal (1,1 – 1,5)
menunjukkan kurangnya rincian detailnya, sedangkan gambar dengan dimensi
(1,6 – 1,9 ) menunjukkan tingginya rincian detail gambar.
Langkah-langkah untuk menghitung nilai fraktal dari sebuah gambar
dengan metode box counting ini adalah sebagai berikut :
1. Grid dengan ukuran persegi diposisikan di atas gambar.
2. Gunakan skala untuk grid “S” pada gambar tersebut.
3. Hitunglah berapa banyak grid yang berada diatas gambar tersebut ‘N’.
4. Menggunakan skala grid yang berbeda ulangi proses tersebut dengan
ukuran gambar yang sama.
5. Hitung dimmensi fraktal ‘D’ dengan cara mengubah hasil ‘S’dan ‘N’ ke
dalam grafik log-log, yaitu melalui kemiringan yang diperoleh dari grafik
log-log tersebut.
6. Menentukan dimensi fraktal berdasarkan gambar dengan empat bentuk
skala grid yaitu skala 24, 12, 6, dan 3. Sebagaimana ditunjukkan pada
gambar berikut.
Gambar 2.2. Penerapan Box Counting pada Gambar Fraktal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
D. Keserupaan Diri (self-similarity)
Fraktal mirip diri adalah himpunan yang merupakan gabungan dari
rangkaian yang serupa dengan diri sendiri dengan posisi di ruang metrik yang
sama, tepatnya di ruang Meteor Hausdorff. Berdasarkan teori pemetaan
kontraksi yang diperkenalkan oleh M. F. Barnsley [3], sebuah set fraktal adalah
penarik ketika itu adalah angka yang dihasilkan di batas negara yang diperoleh
dari satu set transformasi affine 'fi', i = 1 sampai k, diterapkan pada waktu tak
terbatas. Contohnya, hanya dengan satu transformasi 'f', (k = 3) ditunjukkan
pada 'Gambar. 2.2'. Fraktal adalah satu set kompak unik yang tidak kosong.
Angka yang dihasilkan dapat diperoleh dengan menggabungkan semua subset
mirip diri. Bila fraktal adalah penarik 'Δ' yang merupakan kesatuan dari semua
subset identik tak terbatas yang merupakan salinan skala dari set awal, maka
dapat diwakili sebagai bagian bentuk utamanya.
Gambar 2.3. Segitiga Sierpinski
Selft similarity adalah salah satu ciri dari prinsip geometri fraktal, maksud
dari Selft similarity adalah pengulangan kembali bentukan dasar yang sama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
pada skala bentuk dasar diperbesar ataupun diperkecil tetap terbentuk dari
bentuk dasar yang sama. Candi merupakan bentukan yang berulang bentuk
geometrinya dari bentukan elemen menjadi satu bangunan candi yang
kompleks.
Fraktal selain terlihat pada dimensi yang tidak teratur juga memiliki
karakteristik self similarity yang berarti memiliki bentuk yang serupa pada
berbagai skala berbeda. Keserupaan diri fraktal digolongkan pada tiga
tingkatan yaitu :
a. Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupadirian yang paling kuat.
Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang
didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri
secara persis.
b. Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupadirian yang tidak terlalu
ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang
berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang
terdistorsi maupun rusak.
c. Serupa diri secara statistik — Ini adalah keserupadirian yang paling lemah.
Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala
yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial
mengharuskan suatu bentuk keserupadirian statistik. Dimensi fraktal sendiri
adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal
acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa
diri secara persis maupun lemah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
E. Sejarah Candi Prambanan
Candi adalah istilah dalam Bahasa Indonesia yang merujuk kepada
sebuah bangunan keagamaan tempat ibadah peninggalan purbakala yang
berasal dari peradaban Hindu-Buddha. Bangunan ini digunakan sebagai tempat
pemujaan dewa-dewi ataupun memuliakan Buddha. Akan tetapi, istilah 'candi'
tidak hanya digunakan oleh masyarakat untuk menyebut tempat ibadah saja,
Banyak situs-situs purbakala non-religius dari masa Hindu-Buddha Indonesia
klasik, baik sebagai istana (kraton), pemandian (petirtaan), gapura, dan
sebagainya, juga disebut dengan istilah candi.
Candi merupakan bangunan replika tempat tinggal para dewa yang
sebenarnya, yaitu gunung Mahameru. Karena itu, seni arsitekturnya dihias
dengan berbagai macam ukiran dan pahatan berupa pola hias yang disesuaikan
dengan alam Gunung Mahameru. Candi-candi dan pesan yang disampaikan
lewat arsitektur, relief, serta arca-arcanya tak pernah lepas dari unsur
spiritualitas, daya cipta, dan keterampilan para pembuatnya. Beberapa candi
seperti Candi Borobudur dan Prambanan dibangun amat megah, detil, kaya
akan hiasan yang mewah, bercitarasa estetika yang luhur, dengan
menggunakan teknologi arsitektur yang maju pada zamannya. Bangunan-
bangunan ini hingga kini menjadi bukti betapa tingginya kebudayaan dan
peradaban nenek moyang bangsa Indonesia.
Istilah "Candi" diduga berasal dari kata “Candika” yang berarti nama
salah satu perwujudan Dewi Durga sebagai dewi kematian. Karenanya candi
selalu dihubungkan dengan monumen tempat pedharmaan untuk memuliakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
raja anumerta. Penafsiran yang berkembang di luar negeri, terutama di antara
penutur bahasa Inggris dan bahasa asing lainnya adalah; istilah candi hanya
merujuk kepada bangunan peninggalan era Hindu-Buddha di Nusantara, yaitu
di Indonesia dan Malaysia saja. Sama halnya dengan istilah Wat yang dikaitkan
dengan candi di Kamboja dan Thailand. Akan tetapi dari sudut pandang Bahasa
Indonesia, istilah 'candi' juga merujuk kepada semua bangunan bersejarah
Hindu-Buddha di seluruh dunia, tidak hanya di Nusantara, tetapi juga
Kamboja, Myanmar, Thailand, Laos, Vietnam, Sri Lanka, India, dan Nepal.
Istilah candi juga terdengar mirip dengan istilah chedi dalam bahasa Thailand
yang berarti 'stupa'.
Candi Prambanan terletak di lingkungan Taman Wisata Prambanan,
kurang lebih 17 km ke arah timur dari Yogyakarta, tepatnya di Desa Prambanan
Kecamatan Bokoharjo. Lokasinya hanya sekitar 100 m dari jalan raya Yogya-
Solo, sehingga tidak sulit untuk menemukannya. Sebagian dari kawasan wisata
yang terletak pada ketinggian 154 m di atas permukaan laut ini termasuk dalam
wilayah Kabupaten Sleman, sedangkan sebagian lagi masuk dalam wilayah
Klaten.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Gambar 2.4 : Denah Lokasi Candi Prambanan
Sumber : www.AIRPANO.com (Diakses 17 April 2017)
Candi Prambanan merupakan candi Hindu yang terbesar di Indonesia.
Sampai saat ini belum dapat dipastikan kapan candi ini dibangun dan atas
perintah siapa, namun kuat dugaan bahwa Candi Prambanan dibangun sekitar
pertengahan abad ke-9 oleh raja dari Wangsa Sanjaya, yaitu Raja Balitung
Maha Sambu. Dugaan tersebut didasarkan pada isi Prasasti Syiwagrha yang
ditemukan di sekitar Prambanan dan saat ini tersimpan di Museum Nasional di
Jakarta. Prasasti berangka tahun 778 Saka (856 M) ini ditulis pada masa
pemerintahan Rakai Pikatan.
Pemugaran Candi Prambanan memakan waktu yang sangat panjang,
seakan tak pernah selesai. Penemuan kembali reruntuhan bangunan yang
terbesar, yaitu Candi Syiwa, dilaporkan oleh C.A. Lons pada tahun 1733.
Upaya penggalian dan pencatatan pertama dilaksanakan dibawah pengawasan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Groneman. Penggalian diselesaikan pada tahun 1885, meliputi pembersihan
semak belukar dan pengelompokan batu-batu reruntuhan candi. Pada tahun
1902, upaya tersebut dilanjutkan kembali oleh Van Erp. Pengelompokan dan
identifikasi batu-batu reruntuhan dilaksanakan secara lebih rinci. Pada tahun
1918, pemugaran terhadap Candi Prambanan dilanjutkan kembali di bawah
pengawasan Dinas Purbakala (Oudheidkundige Dienst) yang dipimpin oleh
P.J. Perquin. Melalui upaya ini, sebagian dari reruntuhan Candi Siwa dapat
direkonstruksi kembali.
Denah asli Candi Prambanan berbentuk persegi panjang, terdiri atas
halaman luar dan tiga pelataran, yaitu Jaba (pelataran luar), Tengahan
(pelataran tengah) dan Njeron (pelataran dalam). Halaman luar merupakan
areal terbuka yang mengelilingi pelataran luar. Pelataran luar berbentuk bujur
sangkar dengan luas 390 m2. Pelataran ini dahulu dikelilingi oleh pagar batu
yang kini sudah tinggal reruntuhan. Pelataran luar saat ini hanya merupakan
pelataran kosong. Belum diketahui apakah semula terdapat bangunan atau
hiasan lain di pelataran ini.
Di tengah pelataran luar, terdapat pelataran kedua, yaitu pelataran
tengah yang berbentuk persegi panjang seluas 222 m2. Pelataran tengah dahulu
juga dikelilingi pagar batu yang saat ini juga sudah runtuh. Pelataran ini terdiri
atas empat teras berundak, makin ke dalam makin tinggi. Di teras pertama,
yaitu teras yang terbawah, terdapat 68 candi kecil yang berderet berkeliling,
terbagi dalam empat baris oleh jalan penghubung antarpintu pelataran. Di teras
kedua terdapat 60 candi, di teras ketiga terdapat 52 candi, dan di teras keempat,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
atau teras teratas, terdapat 44 candi. Seluruh candi di pelataran tengah ini
mempunyai bentuk dan ukuran yang sama, yaitu luas denah dasar 6 m2 dan
tinggi 14 m. Hampir semua candi di pelataran tengah tersebut saat ini dalam
keadaan hancur yang tersisa hanya reruntuhannya saja.
Pelataran dalam merupakan pelataran yang paling tinggi letaknya dan
yang dianggap sebagai tempat yang paling suci. Pelataran ini berdenah persegi
empat seluas 110 m2, dengan tinggi sekitar 1,5 m dari permukaan teras teratas
pelataran tengah. Pelataran ini dikelilingi oleh turap dan pagar batu. Di
keempat sisinya terdapat gerbang berbentuk gapura paduraksa. Saat ini hanya
gapura di sisi selatan yang masih utuh. Di depan masing-masing gerbang
pelataran teratas terdapat sepasang candi kecil, berdenah dasar bujur sangkar
seluas 1,5 m2 dengan tinggi 4 m.
Di pelataran dalam terdapat 2 barisan candi yang membujur arah utara
selatan. Di barisan barat terdapat 3 buah candi yang menghadap ke timur. Candi
yang letaknya paling utara adalah Candi Wisnu, di tengah adalah Candi Siwa,
dan di selatan adalah Candi Brahma. Di barisan timur juga terdapat 3 buah
candi yang menghadap ke barat. Ketiga candi ini disebut candi wahana
(wahana = kendaraan), karena masing-masing candi diberi nama sesuai dengan
binatang yang merupakan tunggangan dewa yang candinya terletak di
hadapannya.
Candi yang berhadapan dengan Candi Wisnu adalah Candi Garuda,
yang berhadapan dengan Candi Syiwa adalah Candi Nandi (lembu), dan yang
berhadapan dengan Candi Brahma adalah Candi Angsa. Dengan demikian,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
keenam candi ini saling berhadapan membentuk lorong-lorong. Candi Wisnu,
Brahma, Angsa, Garuda dan Nandi mempunyai bentuk dan ukuran yang sama,
yaitu berdenah dasar bujur sangkar seluas 15 m2 dengan tinggi 25 m. Di ujung
utara dan selatan lorong masing-masing terdapat sebuah candi kecil yang saling
berhadapan, yang disebut Candi Apit.
F. Arsitektur Bangunan Candi di Jawa
Berdasarkan penelitian yang pernah dilakukan, terbukti bahwa gaya
candi di Indonesia mempunyai bentuk yang berbeda dengan India. Artinya
hasil pengadaptasian banyak dipengaruhi oleh pemikiran lokal (local genius).
Para ahli meragukan bahwa arsitek-arsitek dari semua candi di Jawa adalah
orang-orang Hindu India sendiri, karena sudah banyak unsur asli pribumi di
dalamnya (Sumintarja, 1978), Penyimpangan tersebut akan tampak lebih nyata
lagi apabila dibandingkan dengan tipo-morfologi bentuk candi-candi yang
bercorak Jawa Timur atau peninggalan Majapahit.
Arsitektur candi dapat digolongkan berdasarkan periode (Santiko,
1995), misalnya yang dikemukakan oleh Dumarcay, meski ia secara khusus
hanya membahas perkembangan bentuk percandian di pulau Jawa. Literatur
yang lebih umum atau yang mencakup pembahasan percandian di luar jawa
dapat dilihat di dalam karya Prof Bernet Kempres yaitu ‘Ancient Indonesian
Art‘ dan Encyclopedia Glorier yang berjudul Indonesian Heritage ‘ volume 1
dan 6. dan karya Jan Fontein yaitu ‘The Sculpture of Indonesia’ yang
membahas seni patung dari candi-candi tersebut. Untuk rujukan proporsi dan
bentuk bangunan dari candi dapat dipergunakan karya Prof Parmono Atmadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
yaitu ‘Some Architectural Design Principles of Temples in Java’, karya
Andreas Volwashen yaitu ‘ Living Architecture India ’ dan Cardoso yaitu ‘ Seni
India’. Berdasarkan elaborasi dari keempat macam jenis klasifikasi tersebut
maka dapat tarik sintesis pembagian periode sebagai berikut : Periode I-
Periode Awal (Klasik Tua) berkisar + ( - 800 M) Periode II- Periode Tengah
(Klasik Tengah) berkisar + ( 800 - 900 M) Periode III- Periode Transisi (Klasik
Transisi) berkisar+ (900-1200M) Periode IV - Periode Akhir (Klasik Muda)
berkisar + ( 1200 -1500 M) (Prajudi, 1999). Dari hampir semua literasi konsep
arsitektur bangunan candi tersebut menyatakan bahwa unsur fraktalnya sangat
kental dan melekat menjadi ciri khas dari setiap bangunan candi itu sendiri baik
di Jawa maupun luar Jawa.
G. Pembelajaran
Dalam Peraturan Menteri Pendidikan nasional No. 41 tahun 2007
tentang standar proses dijelaskan pembelajaran adalah proses interaksi peserta
didik dengan guru dan sumber belajar pada suatu lingkungan belajar. Proses
pembelajaran pada setiap satuan pendidikan dasar dan menengah harus
interaktif, inspiratif, menyenangkan, menantang, dan memotivasi peserta didik
untuk berpartisipasi aktif, serta memberikan ruang yang cukup bagi prakarsa,
kreativitas, dan kemandirian sesuai dengan bakat, minat dan perkembangan
fisik serta psikologis peserta didik.
Dalam Undang-undang Nomor 20 tahun 2003 tentang Sisdiknas
disebutkan, bahwa pembelajaran adalah proses interaksi peserta didik dengan
pendidik dan sumber belajar pada suatu lingkungan belajar. Nitko & Brookhart
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
(2007: 18) menyatakan, “instruction is the process you use to provide students
with the conditions that help them achieve the learning targets”. Pembelajaran
adalah proses yang digunakan untuk mengarahkan siswa dengan kondisi yang
membantu mereka mencapai tujuan belajar. Beberapa tujuan pembelajaran
adalah kognitif terdiri dari pengetahuan intelektual dan keterampilan berpikir,
afektif diartikan bahwa perasaan siswa atau nilai yang dirasakan oleh siswa.
Psikomotor terdiri dari ketrampilan dan tanggapan atau respon fisik siswa.
Selanjutnya, Joyce, Weil, & Calhoun (2009: 13) menyatakan bahwa
in the process of learning, the mind stores information, organizes it, and revises
previous conceptions. Learning is not just a process of taking in new
information, ideas, and skills, but the new material is reconstructed by the
mind.
Hal ini dapat diartikan bahwa dalam proses pembelajaran, pikiran
memberikan informasi, mengolah dan memperbaiki konsep sebelumnya.
Pembelajaran tidak hanya berupa proses memberikan informasi baru, ide dan
keterampilan, tetapi dikonstruksi kembali dari materi baru. Peristiwa belajar
mengajar terjadi apabila subyek di didik secara aktif berinteraksi dengan
lingkungan belajar yang diatur oleh guru. Dengan demikian, pembelajaran
dapat dimaknai sebagai suatu proses penerapan kurikulum, yang
memungkinkan terjadinya interaksi peserta didik dengan pendidik dan sumber
belajar pada suatu lingkungan belajar yang selanjutnya memungkinkan siswa
untuk mengkonstruksi suatu materi baru hingga pada akhirnya siswa dapat
mencapai target atau tujuan pembelajaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
NCTM (2000: 20-21) mendeskripsikan beberapa prinsip dalam
pembelajaran matematika, antara lain yaitu (1) mempelajari matematika
dengan pemahaman adalah suatu hal yang esensial, (2) siswa dapat
mempelajari matematika dengan pemahaman. Pemahaman dalam
pembelajaran matematika merupakan hal yang esensial karena pemahaman
memungkinkan siswa untuk menyelesaikan jenis masalah-masalah baru yang
mungkin akan ditemui siswa dimasa mendatang. Selanjutnya, untuk
memungkinkan siswa dapat mempelajari matematika dengan pemahaman,
maka dalam pelaksanaannya di kelas, siswa secara aktif dilibatkan untuk
membangun pengetahuan baru berdasar pengalaman dan pengetahuan yang
telah dimiliki sebelumnya. Jadi dapat disimpulkan bahwa pembelajaran
matematika adalah suatu proses yang melibatkan siswa untuk membangun
pengetahuan baru melalui pengalaman dan pengetahuan sebelumnya dalam
rangka mencapai tujuan pembelajaran. Dengan demikian pengalaman-
pengalaman bagi siswa yang disediakan oleh guru memegang peranan penting
dalam menentukan kualitas pembelajaran bagi siswa.
H. Kemampuan Pemahaman Konsep
Pemahaman dalam Taksonomi Bloom merupakan jenjang pemikiran
siswa satu tingkat di atas pengetahuan. Siswa untuk dapat mencapai tahap
pemahaman harus mempunyai pengetahuan terhadap konsep tersebut. Indikator
yang digunakan oleh Bloom untuk mengukur tahap ini menggunakan
membedakan, mengubah, menginterpretasikan, menentukan, menyelesaikan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
menggeneralisasikan, memberikan contoh, membuktikan, menyederhanakan
dan mensubtitusikan.
Istilah pemahaman itu sendiri berasal dari bahasa inggris Understanding
(Sumarmo: 1987) yang diterjemahkan dalam matematika merupakan
kemampuan anak untuk memaknai konsep dengan menjawab pertanyaan
mengapa, darimana, atau bagaimana. Dengan indikator yang harus dimiliki
adalah mengenal, mengingat, menerapkan, algoritma, menduga, mengaitkan,
menghitung, memberikan, dan relasional.
Menurut Ruseffendi (1991:220) pemahaman dapat dibedakan menjadi
tiga jenis yaitu pengubahan (translation, pemberian arti (interpretasion) dan
pembuatan eksplorasi (ekstrapolation). Dalam bidang matematika kemampuan
seperti ini misalnya seorang siswa dapat merubah bentuk soal-soal cerita
menjadi bentuk matematika, menerjemahkan simbol-simbol matematika.
Skemp (Sumarmo : 1987) membedakan dua jenis pemahaman konsep
yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relational. Pemahaman
instrumental diartikan sebagai pemahaman atas konsep yang saling terpisah dan
hanya hafal rumus dalam perhitungan sederhana. Siswa hanya mampu
menggunakan konsep tanpa mengerti konsep itu dan dalam hal ini ia hanya
memahami urutan pengerjaan atau algoritma saja. Sebaliknya pada pemahaman
relasional termuat suatu skema atau struktur yang dapat digunakan pada
penyelesaian masalah yang lebih luas dan sifat pemakaiannya lebih bermakna.
Matematika itu sendiri merupakan himpunan konsep-konsep yang
terorganisir secara logis dan sistematis. Dalam mendalami dan mempelajarinya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
diperlakukan kemampuan pemahaman yang tinggi dan salah satunya adalah
dengan pembelajaran yang bermakna. Pemahaman ini menganut teori Skemp
(Sumarno: 1987) yang menjelaskan tentang pemahaman instrumental sebagai
kemampuan menggunakan konsep secara langsung dan pemahaman relasional
merupakan pemahaman yang lebih mendalam. Di sini Siswa memiliki
kemampuan untuk mengaitkan antara konsep satu dengan konsep yang lainnya.
Killpatric dan Findell (Dasari dalam Mujiyanto: 2007) mengemukakan
indikator pemahaman konsepnnya antara lain:
1. Kemampuan menyatakan ulang konsep yang telah dipelajari.
2. Kemampuan mengklasifikasikan objek-objek berdasarkan dipenuhi atau
tidaknya persyaratan yang membentuk konsep tersebut.
3. Kemampuan menerapkan konsep secara algoritma.
4. Kemampuan memberikan contoh dan counter example dari konsep yang
telah dipelajari.
5. Kemampuan menyajikan konsep dalam berbagai macam bentuk representasi
matematika.
6. Kemampuan mengaitkan berbagai konsep (internal dan eksternal
matematika).
7. Kemampuan mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup suatu konsep.
Hal tersebut senada sebagaimana yang dinyatakan oleh Depdiknas
(dalam Kurnaeni, 2008:10) mengemukakan bahwa “Pemahaman konsep
merupakan kompetensi yang ditunjukkan siswa dalam memahami konsep
dan dalam melakukan prosedur (algoritma) secara luwes, akurat, efisien dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
tepat”. Sehingga dapat disimpulkan bahwa konsep itu adalah suatu abstraksi
yang menggambarkan ciri-ciri umum dari sekelompok objek, proses atau
fenomena lainnya, sehingga pemahaman konsep itu sangat penting bagi
siswa dalam kehidupannya.
Pemahaman konsep matematis sendiri di kelompokkan menjadi dua
tingkat yaitu pemahaman tingkat rendah dan pemahaman tingkat tinggi.
Menurut Polya dalam Sumarmo dkk bahwa tingkat rendah dinamakan pula
pemahaman mekanikal, instrumental dan pemahaman induktif (Pollastek et
all) atau knowing how to (Copeland) dengan indikator meliputi : 1).
Melaksanakan perhitungan rutin; 2) Algoritma ; 3) Menerapkan rumus pada
kasus serupa.
Sedangkan pemahaman tingkat tinggi menurut Polya dalam
sumarmo dkk dinamakan sebagai pemahaman rasional dan pemahaman
intuitif, relasional (Pollastek et all), dan knowing (Copeland) dengan
indikator meliputi; 1) membuktikan kebenaran; 2). Mengaitkan suatu konsep
dengan konsep lainnya; 3). Mengerjakan kegiatan matematika secara sadar;
4). Memperkirakan suatu kebenaran tanpa ragu.
Dari uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa pemahaman konsep
matematika adalah siswa mampu menerjemahkan, menafsirkan,
menyimpulkan dan meramalkan suatu konsep matematika berdasarkan
pembentukan pengetahuannya sendiri bukan sekedar menghapal. Selain itu,
siswa dapat menemukan dan menjelaskan kaitan suatu konsep dengan
konsep lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Indikator yang menunjukkan pemahaman konsep menurut
Depdiknas (dalam Kurnaeni, 2008: 10) antara lain :
1. Menyatakan ulang sebuah konsep.
2. Mengklasifikasi objek-objek menurut sifat-sifat tertentu (sesuai dengan
konsepnya).
3. Memberi contoh dan non contoh dari konsep.
4. Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis.
5. Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup suatu konsep.
6. Menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi
tertentu, dan
7. Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah.
Dengan demikian, dalam penelitian ini mengacu pada kesulitan-
kesulitan yang dihadapi peneliti dalam pembelajaran dimensi fraktal maka
pemahaman matematis yang akan dikaji dibatasi pada pemahaman dari
Depdiknas dengan indikator kemampuan untuk a). mengklasifikasi objek-
objek menurut sifat-sifat tertentu, b). menggunakan, memanfaatkan dan
memilih prosedur atau operasi tertentu dan c). mengaplikasikan konsep atau
algoritma pemecahan masalah. Peneliti juga mengkaji seberapa jauh
kemampuan siswa dalam menarik kesimpulan, aturan atau prosedur tertentu
dari hubungan matematis yang lebih umum atau yang disebut dengan
pemahaman relasionalnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian yang dilakukan terdiri dari dua tahap, pada tahap pertama
merupakan studi pustaka dan kajian ekplorasi dari konsep fraktal pada Candi
Prambanan dan tahap yang kedua adalah implementasi atau penerapan hasil
dari penelitian pertama pada proses pembelajaran di Sekolah. Sehingga peneliti
dalam hal ini menggunakan dua metode penelitian yang berbeda.
A. Aspek Geometri Fraktal Candi Prambanan
Untuk menjawab rumusan masalah yang pertama peneliti dalam hal ini
menggunakan pendekatan penelitian kualitatif. Model pendekatan yang
digunakan dalam penelitian ini menggunakan studi pustaka dan Eksplorasi.
Menurut Arikunto (2006: 15-18) menambahkan bahwasanya pendekatan
kualitatif memiliki karakteristik-karakteristik (dalam: Lincoln dalam
Alwasilah, 2008: 104-107; Moleong, 2006: 8-13;dan Robiansyah:2010) sebagai
berikut: (1) mempunyai sifat induktif, (2) melihat setting dan respon secara
keseluruhan atau holistik, (3) memahami responden dari titik tolak responden
sendiri, (4) validitas penelitian ditekankan pada kemampuan peneliti, (5) setting
penelitiannya alami, (6) mengutamakan proses daripada hasil, (7) menggunakan
non-probabilitas sampling, (8) peneliti sebagai instrumen utama, (9)
menganjurkan menggunakan triangulasi, (10) lebih menguntungkan diripada
teknik dasar studi lapangan, dan (11) mengadakan analisis data sejak awal.
Sedangkan penelitian kualitatif menurut Sukmadinata yaitu suatu penelitian
yang ditujukan untuk mendeskripsikan dan menganalisis fenomena, peristiwa,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
aktivitas sosial, sikap, kepercayaan, persepsi, pemikiran orang secara individu
maupun kelompok. Adapun deskripsi yang dilakukan adalah dengan
menganalisis unsur-unsur bangunan dari candi Prambanan.
Penelitian awal yang dilakukan adalah mengkaji struktur dari bangunan
candi prambanan, dalam proses kajian ini menggunakan beberapa metode atau
cara dengan maksud agar peneliti memperoleh hasil berupa konsep geometri
fraktalnya. Metode yang digunakan dalam penelitian tersebut adalah ekploratif.
Menurut Arikunto (2006:7) bahwa “penelitian ekploratif merupakan penelitian
yang bertujuan untuk menggali secara luas tentang sebab-sebab atau hal-hal
yang mempengaruhi terjadinya sesuatu”. Penelitian ekploratif disini adalah
penelitian studi ekploratif yang berusaha untuk mendeskripsikan keadaan atau
situasi dari keberadaan candi prambanan pada sisi konsep geometri fraktalnya.
Sebagaimana yang dikemukakan oleh Arikunto (2010:3) bahwa
penelitian deskriptif adalah penelitian yang bertujuan untuk memaparkan atau
menggambarkan susuatu hal, misalnya keadaan, kondisi, situasi, peristiwa,
kegiatan dan lain-lain. Sehingga berdasarkan kegiatan tersebut jenis metode
penelitian ini menggunakan penelitian deskriptif atau studi eksplorasi karena
bertujuan menggambarkan tentang fenomena yang terjadi dil apangan yaitu
keberadaan geometri fraktal di candi prambanan.
1. Pengambilan data
Burhan Bungin (ed) (2003: 42), menjelaskan metode pengumpulan data
adalah “dengan cara apa dan bagaimana data yang diperlukan dapat
dikumpulkan sehingga hasil akhir penelitian mampu menyajikan informasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
yang valid dan reliable”. Suharsimi Arikunto (2002:136), berpendapat
bahwa “metode penelitian adalah berbagai cara yang digunakan peneliti
dalam mengumpulkan data penelitiannya”. Cara yang dimaksud adalah
observasi, dan studi dokumentasi. Dalam hal ini peneliti menggunakan
metode pengumpulan data sebagai berikut:
a. Observasi
Observasi adalah pengamatan dan pencatatan dengan sistematis
fenomena-fenomena yang diselidiki. metode observasi menurut Mardalis,
adalah hasil perbuatan jiwa secara aktif dan penuh perhatian untuk
menyadari adanya suatu rangsangan tertentu yang diinginkan, atau suatu
studi yang disengaja dan sistematis tentang keadaan atau fenomena sosial
dan gejala-gejala psikis dengan jalan mengamati dan mencatat. Data yang
telah dikumpulkan diolah dan dianalisis secara deskriptif-kualitatif, yaitu
menyajikan data secara rinci serta melakukan interpretasi teoritis sehingga
dapat diperoleh gambaran akan suatu penjelasan dan kesimpulan yang
memadai.
Dalam kegiatan ini peneliti akan melakukan pengamatan atau
observasi secara menyeluruh dari setiap bagian pada Candi Prambanan,
terutama terkait dengan unsur desain arsitekturnya. Kegiatan observasi
dilakukan sebanyak 3 kali dan dilakukan langsung ke Candi Siwa
Prambanan. Observasi pertama pada hari Kamis, 18 Januari 2018. Pada
tahap ini peneliti melakukan observasi awal dengan melihat secara jelas
posisi dan letak dari masing-masing candi dalam wilayah komplek
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Prambanan, peneliti mengenali nama-nama candi yang ada dan mengamati
ciri khas dari masing-masing struktur atau bentuk Candi.
Obeservasi yang kedua dilakukan pada Senin 12 Juli 2018. Pada
tahap ini peneliti sudah fokus mendalami struktur dari Candi Shiwa
Prambanan, beberapa bentuk desain dan kompisisi Candi, jumlah dan
bentuk dari masing-masing desain serta memeriksa kecocokan antara
desain gambar yang ada dengan bentuk aslinya. Tahap ketiga atau terakhir
adalah Selasa 28 Agustus 2018. Kegiatan yang dilakukan adalah
memperdalam beberapa bentuk desain dari Candi terutama setelah
berusaha mendalami bentuk keserupaan diri dari bentuk candi. Hal ini
selain untuk menguatkan proses analisa dari peneliti juga untuk
mengakurasikan antara perhitungan beberapa komponen candi yang
dilakukan melalui gambar dengan kondisi langsung di lapangan.
b. Metode Dokumentasi
Dokumen adalah barang yang tertulis atau merupakan catatan
peristiwa yang sudah berlalu (Sugiyono, 2009:329). Peneliti dalam
menggunakan metode dokumentasi menyelidiki benda-benda tertulis
seperti buku-buku, majalah, dokumen, peraturan-peraturan, dan lain
sebagainya. Pengertian yang lebih luas tentang dokumen bukan hanya yang
berwujud lisan saja, tetapi dapat berupa benda-benda peninggalan seperti
prasasti dan simbol-simbol.
Robiansyah (2010) mengungkapkan bahwa dokumen digunakan
untuk keperluan penelitian dengan alasan yang dapat dipertanggung-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
jawabkan, seperti berikut: 1) Dokumen digunakan karena merupakan
sumber yang stabil, kaya, dan mendukung. 2) Berguna sebagai bukti untuk
suatu pengujian. 3) Dokumen berguna dan sesuai dengan penelitian
kualitatif karena sifatnya yang alamiah, sesuai dengan konteks, serta lahir
dan berada dalam konteks. 4) Dokumen tidak rekatif jadi harus dicari dan
ditemukan. 5) Hasil pengkajian isi akan membuka kesempatan untuk lebih
memperluas tubuh pengetahuan terhadap sesuatu yang diselidiki.
Beberapa dokumen yang sempat dikaji oleh peneliti dengan
mengambil hasil laporan renovasi dan beberapa buku sejarah candi
prambanan, dokumen ini peneliti ambil dari perpustakaan balai pelestarian
cagar budaya Yogyakarta yang berada di Jl. Solo Km 15 Bogem Kalasan
Yogyakarta. Buku-buku dan dokumen terkait yang diambil berupa gambar
asli dari candi dalam bentuk print out langsung dari file yang diperoleh di
bidang pemugaran candi. Kemudian beberapa dokumen laporan hasil
renovasi dan kajian yang sudah dilakukan oleh pihak balai pelestarian cagar
budaya, dan buku sejarah dari candi prambanan.
c. Studi Pustaka
Studi pustaka dilakukan dalam rangka mengumpulkan data ilmiah
dari berbagai literatur untuk melengkapi kajian teoritis yang berhubungan
dengan sejarah dan konsep-konsep awal struktur pembangunan Candi
Prambanan. Buku atau jurnal tentunya sudah cukup banyak yang mengkaji
dan menulis tentang berbagai hal mengenai Candi Prambanan, dalam hal
ini peneliti mencari literatur yang terkait dengan struktur awal dan sejarah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
pembangunan awal serta asal usul desain dari Candi Prambanan. Data yang
sudah terkumpul kemudian akan diolah sehingga dapat ditafsirkan
kemudian disimpulkan. Studi pustaka juga dilaksanakan untuk
mengumpulkan data ilmiah dari berbagai literatur yang berhubungan
dengan geometri fraktal, serta teori-teori lainnya yang mendukung
penelitian. Beberapa sumber jurnal dan laporan tentang Candi baik di
Indonesia maupun internasional telah diambil oleh peneliti sebagai bahan
tambahan kajian tentang fraktal pada Candi. Studi juga menjadi rujukan
bagi peneliti dalam menentukan metode yang digunakan dalam mengkaji
aspek geometri fraktal dari sisi dimensi dan keserupaan diri Candi
Prambanan.
2. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian tentang analisis geometri fraktal ini dilakukan di Candi
Prambanan. Semua data-data dan dokumen tentang candi Prambanan akan
dianalisis mendalam dengan asumsi waktu sekitar 3 bulan yaitu bulan
Januari – Maret 2018. Pada tempo waktu tersebut digunakan oleh peneliti
dalam melakukan observasi secara bertahap, pengambilan data-data dan
dokumen di balai cagar budaya yogyakarta .
Lokasi dari Candi Prambanan terletak di dalam lingkungan Taman
Wisata Prambanan, kurang lebih 17 km ke arah timur dari Yogyakarta,
tepatnya di Desa Prambanan Kecamatan Bokoharjo. Lokasinya hanya
sekitar 100 m dari jalan raya Yogya-Solo, sehingga tidak sulit untuk
menemukannya. Sebagian dari kawasan wisata yang yang terletak pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
ketinggian 154 m di atas permukaan laut ini termasuk dalam wilayah
Kabupaten Sleman Yogyakarta, sedangkan sebagian lagi masuk dalam
wilayah Klaten Jawa Tengah.
3. Subyek Penelitian
Subjek penelitian merupakan sumber data yang dimintai
informasinya sesuai dengan masalah penelitian. Adapun yang dimaksud
sumber data dalam penelitian adalah subjek dari mana data diperoleh
(Suharsimi Arikunto, 200 2:107). Untuk mendapat data yang tepat maka
perlu ditentukan informan yang memiliki kompetensi dan sesuai dengan
kebutuhan data (purposive). Dalam penelitian ini subyek utama yang akan
dianalisis adalah bangunan utama dari Candi Prambanan Klaten Jawa
Tengah. Tidak semua candi dalam komplek prambanan, akan tetapi hanya
mengambil satu candi yaitu Candi Siwa, dengan pertimbangan Candi
tersebut merupakan simbol utama sekaligus candi terbesar dari semua candi
di komplek Candi Prambanan.
4. Obyek Penelitian
Pada dasarnya objek merupakan apa yang hendak diselidiki di dalam
kegiatan penelitian. Menurut pengertian, objek adalah keseluruhan dari
gejala yang terdapat di sekitar kehidupan kita. Apabila kita lihat dari
sumbernya, maka objek di dalam suatu penelitian kualitatif disebut sebagai
situasi sosial yang di dalamnya terdiri dari tiga elemen yaitu tempat, pelaku,
dan aktivitas. Berdasarkan pada beberapa unsur kajian dari penelitian ada
tiga yang menjadi obyek penelitian yaitu :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
a. Struktur keseluruhan dari desain Candi Prambanan
b. Dimensi fraktal dari setiap bentuk atau unsur Candi Prambanan
c. Unsur keserupaan diri dari bangunan Candi Prambanan
5. Perhitungan dan Analisis
Sebelum melakukan perhitungan dan kajian fraktal, peneliti terlebih
dahulu mendalami berbagai bentuk unsur geometri secara umum dan bentuk
dasar dari struktur candi prambanan. Peneliti kemudian melakukan
perhitungan dimensi fraktal dari gambar candi prambanan dengan
menggunakan teori box counting. Ada dua jenis gambar tampak yang dikaji
yaitu gambar tampak atas dan tampak depan Candi dengan tujuan hasil dari
masing-masing gambar tampak tersebut kemudian dirata-rata dan diperoleh
hasil dimensi yang lebih mendekati kebenaran. Setelah selesai menghitung
dimensi kemudian peneliti melakukan analisa bentuk keserupaan diri dari
masing-masing unsur pada desain candi prambanan.
Berdasarkan hal tersebut peneliti mengambil data – data yang berupa
dokumen dan gambar-gambar atau simbol-simbol dari struktur Candi
Prambanan. Data tersebut kemudian diolah dan dianalisa menggunakan
rumus perhitungan dimensi fraktal. Hasil perhitungan tersebut yang
kemudian menjadi acuan untuk menentukan apakah dimensi yang diperoleh
merupakan bagian dari fraktal atau bukan. Selain menentukan dimensi
peneliti juga akan menganalisis data-data struktur bangunan candi
prambanan per setiap elemennya, apakah dari unsur-unsur tersebut
merupakan bentuk keserupaan diri geometri fraktal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
6. Prosedur Penelitian
Dalam pelaksanaan penelitian ini ada 3 langkah atau tahapan yang
dilaksanakan yaitu :
1. Tahap Persiapan
Pada tahap ini peneliti melakukan identifikasi permasalahan yang
akan diteliti dan dikaji secara mendalam. Proses ini banyak melakukan
kajian awal dengan mengenal dan mempelajari terlebih dahulu keberadaan
dari Candi Prambanan kemuidan dari permasalahan tersebut kemudian
kajian secara mendalam. Dalam hal ini melakukan pengamatan dan
perhitungan untuk menentukan dimensi fraktal dan keserupaan diri yang
terdapat pada Candi Prambanan.
2. Tahap Pelaksanaan
Pada tahap ini peneliti berada di lapangan atau tempat penelitian
untuk melakukan pengambilan data. Dalam hal ini melakukan proses
pengamatan dan menelaah secara mendalam terhadap dokumen-dokumen
yang terkait dengan sejarah dan arsitektur dari Candi Prambanan. Selain
melakukan pengamatan peneliti dalam pelaksanaannya juga mengadakan
sedikit bertanya-tanya kepada beberapa sumber dalam hal ini ahli gambar
atau pengelola Candi Prambanan. Informasi tersebut sebagai bagian untuk
memperkuat beberapa analisis struktur Candi Prambanan.
3. Tahap Analisis
Pada tahap ini peneliti melakukan analisa secara mendalan mengkaji
unsur dimensi fraktal dari Candi Prambanan. Tehnik analisis dimensi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
dengan menggunakan metode box counting melalui 4 skala atau iterasi yang
berbeda. Kemudian pada teknik kajian aspek keserupaan diri, peneliti
melakukan pemilahan unsur-unsur dari Candi dan menggunakan
pencocokan pada bentuk-bentuk yang serupa dari setiap unsur desain candi.
4. Penarikan Kesimpulan
Tahap ini merupakan bagian terakhir dari penelitian, setelah
pengambilan dan analisis selesai dilakukan, peneliti kemudian memberikan
kesimpulan terhadap hasil data yang diperoleh. Apakah ada unsur fraktal
dan berapa dimensi fraktal dari candi prambanan serta bagaimana sifat
keserupaan diri yang ada pada Candi.
B. Desain Kegiatan Pembelajaran Dimensi Fraktal
Setelah selesai melakukan kajian geometri fraktal peneliti menjadikan
bahan geometri sebagai bagian dari pengembangan pembelajaran untuk
memperkenalkan geometri fraktal. Dalam penelitian tahap kedua inilah peneliti
membuat desain pembelajaran tentang bagaimana geometri fraktal dari aspek
dimensinya diperkenalkan kepada siswa SMA. Pada proses ini peneliti
menggunakan metode penelitian desain atau pengembangan pembelajaran.
Menurut Borg and Gall (1983:772) penelitian pengembangan meliputi
tahapan :1) penelitian dan pengumpulan informasi, 2) perencanaan, 3)
pengembangan produk, 4) ujicoba awal, 5) revisi produk, 6) ujicoba lapangan,
7) revisi produk ujicoba lapangan, 8) ujicoba operasional produk dan 9) revisi
produk dilanjutkan implementasinya. Sedangkan menurut Sugiyono, (2012:407)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
desain penelitian pengembangan adalah bertujuan untuk menghasilkan produk
pembelajaran tertentu dan menguji produk tersebut.
Pada penelitian desain pengembangan yang dilakukan oleh peneliti
disini hanya menggunakan tiga langkah saja yaitu melakukan perancangan
pembelajaran dengan membuat HLT dan perangkat lainnya, melakukan ujicoba
perangkat pembelajaran, kemudian melakukan analisis dan revisi terhadap hasil
ujicoba. Hasil ujicoba pembelajaran pada materi dimensi fraktal bertujuan untuk
mengetahui sejauh mana konsep dimensi fraktal dapat dipahami oleh siswa
SMA. Hasil perancangan perangkat pembelajaran yang telah direvisi
berdasarkan pada proses uji coba diharapkan sudah jauh lebih baik dan dapat
diterapkan menjadi acuan pada pembelajaran dimensi fraktal di SMA.
1. Hypotetical Learning Trajectori (HLT)
Menurut Simon (1995:135), HLT merupakan dugaan guru tentang alur
belajar yang mungkin terjadi dalam proses pembelajaran di kelas.
Penggunaan istilah ‘hypothetical’ oleh Simon dikarenakan alur belajar yang
sebenarnya tidak diketahui oleh guru dari di awal. Karena alur belajar yang
sesungguhnya baru dapat diketahui setelah proses pembelajaran
berlangsung. Menurut Simon (1995:136), bahwa HLT terdiri dari tiga
komponen penyusun yaitu: penyusunan yang digunakan untuk menentukan
arah dari pembelajaran, serangkaian aktivitas pembelajaran untuk mencapai
tujuan yang dimaksud, dan hipotesis atau dugaan proses belajar siswa.
Lebih lanjut, menurut Simon dan Tzur (2004:93), perumusan HLT yang
didasarkan pada asumsi-asumsi sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
a. Perumusan HLT berdasarkan pada kemampuan pemahaman guru
terhadap pengetahuan yang dimiliki oleh siswa.
b. HLT adalah wahana bagi guru untuk merencanakan pembelajaran
terhadap suatu konsep matematika,
c. Tugas atau aktivitas matematis merupakan alat untuk menyajikan
pembelajaran terhadap suatu konsep matematika, dan merupakan bagian
kunci dalam proses pembelajaran,
Pada proses penelitian penggunaan HLT dimaksudkan agar siswa dapat (1)
menggunakan skala grid pada box counting dalam menghitung berapa besar
nilai dimensi fraktal dari gambar yang diberikan. (2) menghitung
menggunakan rumus dan tabel yang disajikan untuk menentukan nilai akhir
dimensi dari gambar yang disajikan dan perhitungan berdasarkan box
counting. Berikut merupakan acuan langkah-langkah pembelajaran yang
dilakukan berdasarkan HLT yang ada :
a. Guru sebagai fasilitator memberikan perkenalan awal tentang geometri
khususnya fraktal dan penjelasan bagaimana menggunakan perhitungan
kotak dalam menentukan dimensi fraktal.
b. Siswa mulai menghitung dengan cara meletakan setiap kotak grid ke
gambar yang disediakan secara berkelompok.
c. Siswa mengisikan kolom-kolom tabel yang disediakan dan menghitung
menggunakan rumus yang disediakan.
d. Siswa menentukan hasil akhir dengan cara merata-rata hasil perhitungan
dari 4 skala grid yang telah dihitung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
e. Siswa melakukan hal sama pada bentuk gambar yang kedua dengan
model bentuk gambar berbeda.
f. Siswa memberikan komentar dan kesimpulan dari proses perhitungan
dimensi yang telah dilakukan.
Adapun bentuk HLT secara penuh sebagaimana terlampir. (Baca lampiran
B.1.HLT Pembelajaran).
2. Instrumen Penelitian
Instrumen penelitian merupakan alat bantu yang digunakan oleh peneliti
dalam proses pengumpulan data. Beberapa instrumen yang digunakan
dalam penelitian adalah sebagai berikut:
a. Lembar Kerja Siswa (LKS)
Lembar kerja siswa sebagai upaya dari guru untuk memberikan
materi secara ringkas dan mudah dan merupakan panduan bagi siswa dalam
belajar. Menurut Abdul Majid (2011:176) bahwa Lembar kerja siswa adalah
lembaran-lembaran yang berisi tugas yang harus dikerjakan oleh peserta
didik. Sedangkan menurut Hendro Darmodjo dan Jenny R.E.Kaligis
(1992:40), Lembar Kerja Siswa atau LKS merupakan sarana pembelajaran
yang dapat digunakan guru dalam meningkatkan keterlibatan atau aktivitas
siswa dalam proses belajar-mengajar.
Berdasarkan pada pengertian para ahli penggunaan LKS disini
sebagai sarana dalam mengumpulkan informasi bagi guru dari siswa tentang
bagaimana hasil pembelajaran yang telah dilakukan, teknik dan strategi dari
siswa dalam menyelesaikan perhitungan dimensi fraktal menggunakan box
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
counting. Gambaran proses penggunaan LKS dan harapan capaian
kemampuannya adalah sebagai berikut :
Tabel 3.1. Gambaran Capaian Kemampuan Siswa
No Materi Pemahaman Konsep Sub Bagian
Penggunakan skala
grid yang ada dan
perhitungan gridnya
terhadap gambar.
Kemampuan
pemahaman siswa
dalam meletakan posisi
skala grid dan urutan
skalanya.
Sub bagian pertama
(Gambar dan kotak
hitung)
Perhitungan sistem
logaritma dan
penggunaan rumus-
rumus dalam
menyelesaikan
pengisian tabel
dimensi fraktal
Kemampuan
pemahaman siswa
dalam memahami
bagaimana menerapkan
dan menyelesaikan
perhitungan dimensi
fraktal dengan rumus-
rumusnya.
Sub bagian kedua
(proses pengisian
tabel dimensi
fraktal)
Komentar dan
kesimpulan
Kemampuan siswa
dalam memahami semua
proses yang terjadi
sehingga dapat
mengambil kesimpulan
akhir dengan tepat.
Sub bagian komentar
dan pengambilan
kesimpulan.
LKS yang digunakan oleh siswa untuk praktik perhitungan dimensi
fraktal menggunakan bentuk gambar daun. Setiap kelompok mendapatkan
satu LKS dengan dua macam bentuk daun sehingga dalam satu kelas
diberikan 3 jenis bentuk LKS yang berbeda pada bentuk daunnya. Adapun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
bentuk LKS secara utuh sebagaimana terlampir. (Baca lampiran B.2. LKS
Pembelajaran).
b. Panduan diskusi atau tanya jawab
Proses diskusi atau tanya jawab yang dilakukan untuk mengetahui
bagaimana kedalaman kemampuan siswa dan juga respon siswa dalam
mengikuti dan memahami proses pembelajaran geometri fraktal. Proses
kegiatan ini dilakukan terhadap perwakilan dari masing-masing kelompok
siswa pada saat presentasi selesai dilakukan.
c. Angket atau Kuesioner
Kuesioner diberikan kepada semua siswa yang terlibat dalam
pembelajaran geometri fraktal. Kuesioner diberikan untuk mengetahui
sejauh mana respon dari siswa terhadap pembelajaran dimensi geometri
fraktal dan diberikan setelah proses pembelajaran selesai dilakukan. Setiap
siswa mendapat satu kuesioner yang berbentuk pilihan ganda dan essay
untuk memberikan komentar tertulis. Bentuk kuesioner sebagaimana
terlampir. (Baca lampiran B.4. Angket siswa).
C. Tempat dan Waktu Penelitian
Selain melakukan penelitian terhadap bangunan Candi prambanan,
peneliti juga menerapkan hasil desain pembelajarannya di sekolah, dalam hal
ini dilakukan di kelas XII jurusan IPS pada salah satu sekolah boarding school
berciri khas agama yang terletak di Jl Kaliurang Kabupaten Sleman
Yogyakarta pada Kamis, 20 September 2018.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
D. Subyek Penelitian
Subyek penelitian pada desain pengembangan pembelajaran adalah
siswa sebanyak 23 siswa IPS Putri pada salah satu SMA di kabupaten Sleman
dan guru yang sekaligus sebagai peneliti.
E. Obyek Penelitian
Sedangkan untuk praktik pengenalan dimensi fraktal dilaksanakan dengan
objek Siswa kelas XII dari salah satu sekolah setingkat SMA di Sleman
Yogyakarta.
F. Teknik Analisis Data
Berdasarkan hasil diskusi, observasi dan data – data pendukung yang
lainnya kemudian data diolah dan dianalisa. Analisa data merupakan proses
mencari dan menyusun secara sistematis data yang diperoleh dari hasil
wawancara, catatan lapangan dan dokumentasi, dengan cara
mengorganisasikan data-data ke dalam kategori, menjabarkannya ke dalam
unit-unit, melakukan sintesa, menyusun kedalam pola, memilih mana yang
penting dan yang akan dipelajari, dan membuat kesimpulan sehingga mudah
difahami oleh diri sendiri dan orang lain (Sugiyono, 2009: 335 dalam
Robiansyah (2010)).
Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah analisis
data kualitatif mengikuti konsep yang diberikan oleh Miles dan Huberman
(Sugiyono, 2009: 337-345). Ia mengatakan bahwa aktivitas dalam analisis data
kualitatif dilakukan secara interaktif dan berlangsung secara terus menerus
sampai tuntas, sehingga datanya sudah jenuh. Aktivitas dalam analisis data,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
yaitu data reduction, data display, dan conclusion drawing/verification.
Adapun penjelasannya ( Sugiyono :2008) adalah sebagai berikut: Data reduksi
adalah data penyaringan dimana peneliti hanya memilih data atau informasi
yang dianggap penting dan relevan sehingga mempermudah peneliti dalam
melakukan penelitian selanjutnya. Data display merupakan data yang disajikan
dalam bentuk uraian singkat, tabel, gambar dan sejenisnya sehingga
memudahkan peneliti merencanakan penelitian selanjutnya. Data konklusi
merupakan kesimpulan dalam studi kualitatif deskriptif yang dapat digunakan
untuk menjawab masalah yang dirumuskan sejak awal maupun
tidak, namun juga bisa merupakan temuan baru yang belum pernah ada.
Sedangkan untuk data hasil dari praktik pembelajaran yang diambil
melalui observasi oleh peneliti, angket dan diskusi dengan perwakilan siswa
kemudian dianalisis berdasarkan pada empat jenis indikator pemahaman konsep
siswa. kemudian data tersebut digabungkan dengan tanggapan atau respon
siswa dan juga aktifiitas pembelajaran siswa sehingga dapat diberikan
kesimpulan tentang pembelajaran siswa terhadap dimensi geometri fraktal.
G. Prosedur Penelitian
Dalam pelaksanaan penelitian ini ada 3 langkah atau tahapan yang
dilaksanakan yaitu :
1. Tahap Persiapan
Pada tahap ini peneliti menyiapkan perancangan perangkat
pembelajaran yang berupa HLT dan LKS tentang pengenalan dimensi
fraktal beserta perangkat angket dan acuan untuk mendalami jawaban siswa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
2. Tahap Pelaksanaan
Pelaksanaan pembelajaran pengenalan dimensi fraktal dilakukan
dengan melakukan ujicoba perangkat pembelajaran termasuk HLT yang
telah dibuat. Pembelajaran dilaksanakan satu kali pertemuan dengan durasi
waktu 2 x 45 menit pada siswa kelas XII SMA.
3. Tahap Analisis
Pada tahap ini merupakan tahap verifikasi, validasi dan analisis data-
data yang telah terkumpul selama tahap pelaksanaan proses pengamatan,
perhitungan, studi dokumen atau pengambilan data di lapangan melalui uji
coba desain pembelajaran. Analisis juga melihat kelayakan materi
pembelajaran geometri fraktal ketika diterapkan sebagai pembelajaran pada
siswa SMA sejauh mana dapat dipahami oleh Siswa.
4. Penarikan Kesimpulan
Tahap ini merupakan bagian terakhir dari penelitian, setelah
pengambilan dan analisis selesai dilakukan, peneliti kemudian memberikan
kesimpulan terhadap hasil data yang diperoleh. Kesimpulan berdasarkan
hasil uji coba rancangan kegiatan pembelajaran dimensi fraktal di SMA atau
sederajat, dengan demikian akan diperoleh hasil tentang kemampuan dan
respon siswa dalam menangkap pembelajaran dimensi fraktal.
5. Rekomendasi
Setelah diketahui hasil dari ujicoba HLT dan kesimpulan hasil
penelitian kemudian memberikan perbaikan atau revisi dari produk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
rancangan pembelajaran atau HLT dan dijadikan sebagai rekomendasi
dalam mengajarkan dimensi fraktal berikutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Aspek Geometri Fraktal pada Candi Prambanan
1. Struktur Bangunan Candi Prambanan
Bangunan candi prambanan dari segi tata letak menggunakan sistem
konsentris atau terpusat, terlihat pada posisi candi induk yang berada ditengah
dan disekililingnya terdapat ratusan anak candi (candi perwara) yang jumlah
sekitar 256. Sistem struktur seperti ini mengadopsi model denah mandala dari
India. Bentuk struktur pada bangunan utama candi prambanan adalah
perwujudan dari bentuk Mahameru dengan model punden berundak yang
melambangkan tempat tinggal para dewa. Berdasarkan pada bagian-bagiannya,
bangunan candi terdiri dari tiga bagian penting yaitu kaki, tubuh dan atap
dengan total ketinggian candi utamanya 47 m.
a. Kaki candi merupakan bagian paling bawah dari candi yang melambangkan
dunia manusia atau dunia bawah yaitu bumi, bentuknya berupa bujur
sangkar dan dilengkapi dengan jenjang pada salah satu sisinya. Pada bagian
ini terdapat tangga masuk dari empat penjuru angin, tetapi pada anak candi
hanya satu dari depan saja. Pada kiri dan kanan tangga masuk dihiasi
dengan relief yang berupa gambar flora atau fauna berupa sulur-sulur
tumbuhan atau figur penjaga seperti dwarapala.
b. Tubuh candi merupakan bagian tengah candi dan berbentuk kubus yang
dianggap sebagai dunia antara, dunia yang untuk disucikan atau
bhuwarloka. Bagian depan terdapat gawang pintu menuju ruang tengah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
candi yang dihiasi dengan ukiran kepala kala tepat di atas tengah pintu dan
diapit pola makara. Tubuh candi sendiri terdiri dari beberapa bagian
diantaranya garbagriha atau kamar yang tengahnya berisi archa utama,
kemudian terdapat juga jalan selasar keliling yang menghubungkan antar
ruang sekaligus untuk melakukan ritual pradakshina. Pada lorong keliling
juga dipasangi dengan pagar langkan yang dihiasi dengan relief naratif atau
dekoratif.
c. Atap candi merupakan bagian paling atas dari candi yang menjadi simbol
dunia atas, tempatnya para dewa-dewa atau disebut dengan istilah
Swarloka. Atap candi terdiri dari tiga tingkatan yang semakin ke atas akan
semakin kecil ukurannya disertai dengan mahkota stupa, ratna, wajra atau
lingga semu.
Gambar 4.1 : Bentuk bangunan dan bagian-bagian Candi Siwa Prambanan
Sumber : Balai Pelestarian Cagar Budaya Yogyakarta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Gambar 4.2 : Adaptasi Bentuk Matematis Bangunan Candi
Gambar 4. 3 : Bentuk Asli Bangunan Candi Siwa Prambanan
Sumber : Balai Pelestarian Cagar Budaya Yogyakarta
Bagian Bawah
(Bujur sangkar)
Bagian Tengah
(Kubus)
Bagian Atas
(Limas)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Secara umum kompleks candi prambanan terbagi menjadi tiga halaman
yaitu halaman luar, halaman tengah dan halaman pusat. Untuk halaman pusat
sendiri terdiri atas beberapa kelompok bangunan candi yang meliputi :
a. Kelompok candi utama yaitu candi Civa, Candi Brahma, dan Candi
Vishnu
b. Kelompok Candi Vahana yang terdiri atas tiga bangunan yaitu candi
Nandi, candi A, dan candi B.
c. Kelompok candi apit terdiri atas dua bangunan yang mengapit tiga candi
utama dan candi vahana.
d. Kelompok candi kelir, berjumlah empat bangunan yang masing-masing
terletak dipintu masuk halaman pertama.
e.
f. Kelompok candi sudut yang terdiri atas empat bangunan dan masing-
masing terletak di keempat sudut halaman
Gambar 4. 4 : Denah Kompleks Candi Prambanan
Sumber : www.AIRPANO.com (Diakses 17 April 2017)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
2. Dimensi Fraktal Candi Prambanan
Pada proses pengukuran dimensi fraktal dari candi Siwa Prambanan
menggunakan teori perhitungan kotak. Berdasarkan pada gambar yang
diambil dengan skala 1 : 200 ada lima bentuk tampak dari gambar tersebut
yaitu gambar tampak atas, tampak depan atau tampak samping Candi Siwa.
Skala grid yang digunakan sebanyak 4 tahap dari skala grid 3 x 5, 6 x 12,
12 x 24 dan 24 x 40. Analisis fraktal menggunakan konsep box counting,
dan dalam analisis untuk melihat tingkat kefraktalan dari Candi melalui
gambar dua dimensi, sehingga hasil yang diperoleh pada analisis ini hanya
diantara 1 dan 2 dimensi, tidak lebih dari 2 dimensi.
Proses perhitungan dimensi fraktal juga dilakukan hanya pada 2
jenis gambar yaitu gambar tampak atas dan tampak depan, kedua gambar
ini dianggap sudah cukup representatif mewakili keberadaan candi Siwa
secara keseluruhan. Urutan perhitungan dilakukan dari yang termudah
secara struktur yaitu bentuk tampak atas kemudian tampak depan. Berikut
adalah hasil perhitungan kotak atau grid dari setiap skala perbandingan dan
gambar proses perhitungannnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
a. Perhitungan Tampak Atas Candi Siwa Prambanan
Gambar 4. 5. Denah Tampak Atas Candi Siwa Prambanan
Sumber : Balai Pelestarian Cagar Budaya Yogyakarta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.6 dengan Ukuran skala grid 3 x 5
atau 1/s1 = 3 dan didapat N (s1) = 9 kotak yang masuk dalam bagian gambar Candi
Prambanan.
Gambar 4.6. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan skala Grid 3 x 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.7 dengan Ukuran skala grid 6 x 10 atau
1/s2 = 6
didapat N (s2) = 32 kotak yang masuk dalam bagian gambar Candi Prambanan.
Perhitungan gabungan antara grid 3 dan Grid 6 sebagai berikut :
𝐷𝑏 =log(𝑁𝑠2) − 𝑙𝑜𝑔(𝑁𝑠1)
log (1
𝑠2) − log (1
𝑠1)
Gambar 4.7. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan skala Grid 6 x 10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
𝐷𝑏 =log(32) − 𝑙𝑜𝑔(9)
log(6) − log (3)
𝐷𝑏 =1.505 − 0.954
0.778 − 0.477
𝐷𝑏 = 1.830
Dari perhitungan menggunakan box – counting untuk grid 3 dan grid 6 diperoleh
dimensi Candi Siwa Prambanan adalah 1.830.
Gambar 4.8. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan skala Grid 12 x 20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.8 dengan Ukuran skala grid 12 x 20 atau
1/s3 = 12 didapat N (s3) = 92 kotak yang masuk dalam bagian gambar Candi
Prambanan. Perhitungan gabungan antara grid 3 dan Grid 12 sebagai berikut :
𝐷𝑏 =log(𝑁𝑠3) − 𝑙𝑜𝑔(𝑁𝑠2)
log (1
𝑠3) − log (1
𝑠2)
𝐷𝑏 =log(92) − 𝑙𝑜𝑔(32)
log(12) − log (6)
𝐷𝑏 =1.964 − 1.505
1.079 − 0.778
𝐷𝑏 = 1.833
Dari perhitungan menggunakan box – counting untuk grid 12 dan grid 6 diperoleh
dimensi Candi Siwa Prambanan adalah 1.833.
Gambar 4.9. Perhitungan Tampak Atas Candi dengan skala Grid 24 x 40
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.9 dengan Ukuran skala grid 24 x 40 atau
1/s4 = 24 didapat N (s4) = 362 kotak yang masuk dalam bagian gambar Candi
Prambanan. Perhitungan gabungan antara grid 12 dan Grid 24 sebagai berikut :
𝐷𝑏 =log(𝑁𝑠4) − 𝑙𝑜𝑔(𝑁𝑠3)
log (1
𝑠4) − log (1
𝑠3)
𝐷𝑏 =log(362) − 𝑙𝑜𝑔(92)
log(24) − log (12)
𝐷𝑏 =2.559 − 1.964
1.380 − 1.079
𝐷𝑏 = 1.976
Hasil perhitungan dari empat skala grid dengan 3 kali perhitungan dimensi tampak
atas Candi Siwa Prambanan kemudian di hitung berapa nilai rata-ratanya :
𝐷 =1.830 + 1.833 + 1.976
3
D = 1.880
Sehingga diperoleh dimensi fraktal Candi Siwa Prambanan berdasarkan
perhitungan box-counting diperoleh 1.880.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Tabel 4.1 . Hasil Perhitungan Dimensi Fraktal Denah Tampak Atas Candi Siwa
Gambar 4.10 : Grafik Kemiringan Perbandingan log N dan Log S Tampak Atas
Candi Siwa Prambanan
No Skala
Grid
Subsegemen
kubus (N)
Banyak
Kotak
(1/s)
Log (N) Log (1/s) Db
1 3 x 5 3 9 0.47712 0.95424 1.830
2 6 x 10 6 32 0.77815 1.50514 1.833
3 12 x 20 12 92 1.07918 1.96378 1.976
4 24 x 40 24 362 1.38021 2.55871
5 Rata – rata Dimensi 1.880
y = 1,7513x + 0,1191
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Log
(s)
Log (N)
Tabel Kemiringan Dimensi Fraktal Candi Siwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
b. Perhitungan Tampak Depan Candi Siwa Prambanan
Gambar denah tampak depan yang diambil pada candi Siwa Prambanan
diambil pada sisi pintu utama untuk arah utara. Pada candi Siwa sebenarnya ada
empat pintu masuk dengan empat tampak sisi yang hampir sama.
Gambar 4.11. Denah Tampak Depan Candi Siwa Prambanan skala 1 : 200
Sumber : Balai Pelestarian Cagar Budaya Yogyakarta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.12 dengan Ukuran skala grid 3 x
5 atau 1/s1 = 3 dan didapat N (s1) = 13 kotak yang masuk dalam bagian gambar
Candi Prambanan.
Gambar 4.12. Perhitungan Tampak Depan dengan skala grid 3 : 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.13 dengan Ukuran skala grid 6 x
10 atau 1/s2 = 6 dan didapat N (s2) = 33 kotak yang masuk dalam bagian gambar
Candi Prambanan. Perhitungan gabungan antara grid 3 dan Grid 6 sebagai berikut
:
Gambar 4.13. Perhitungan Tampak Depan dengan skala grid 6 : 10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
𝐷𝑏 =log(𝑁𝑠2) − 𝑙𝑜𝑔(𝑁𝑠1)
log (1
𝑠2) − log (1
𝑠1)
𝐷𝑏 =log(33) − 𝑙𝑜𝑔(13)
log(6) − log (3)
𝐷𝑏 =1.519 − 1.114
0.778 − 0.477
𝐷𝑏 = 1.344
Dari perhitungan menggunakan box – counting untuk grid 3 dan grid 6 diperoleh
dimensi Candi Siwa Prambanan adalah 1.344.
Gambar 4.14. Perhitungan Tampak Depan dengan skala grid 12 : 20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.14 dengan Ukuran skala grid 12 x
20 atau 1/s3 = 12 dan didapat N(s3) = 104 kotak yang masuk dalam bagian gambar
Candi Prambanan. Perhitungan gabungan antara grid 3 dan grid 6 sebagai berikut :
𝐷𝑏 =log(𝑁𝑠3) − 𝑙𝑜𝑔(𝑁𝑠2)
log (1
𝑠3) − log (1
𝑠2)
𝐷𝑏 =log(104) − 𝑙𝑜𝑔(33)
log(12) − log (6)
𝐷𝑏 =2.017 − 1.519
1.079 − 0.778
𝐷𝑏 = 1.656
Dari perhitungan menggunakan box – counting untuk grid 6 dan grid 12 diperoleh
dimensi Candi Siwa Prambanan adalah 1.656.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Berdasarkan pada perhitungan gambar 4.15 dengan Ukuran skala grid 24 x
40 atau 1/s4 = 24 dan didapat N (s4) = 377 kotak yang masuk dalam bagian gambar
Candi Prambanan. Perhitungan gabungan antara grid 12 dan Grid 24 sebagai
berikut :
𝐷𝑏 =log(𝑁𝑠4) − 𝑙𝑜𝑔(𝑁𝑠3)
log (1
𝑠4) − log (1
𝑠3)
𝐷𝑏 =log(377) − 𝑙𝑜𝑔(104)
log(24) − log (12)
𝐷𝑏 =2.576 − 2.017
1.380 − 1.079
𝐷𝑏 = 1.858
Dari perhitungan menggunakan box – counting untuk grid 12 dan grid 24
diperoleh dimensi Candi Siwa Prambanan adalah 1.858. Hasil perhitungan dari
empat skala grid dengan 3 kali perhitungan dimensi tampak depan Candi Siwa
Prambanan kemudian di hitung berapa nilai rata-ratanya :
𝐷 =1.344 + 1.656 + 1.858
3
D = 1.619
Sehingga diperoleh dimensi fraktal Candi Siwa Prambanan berdasarkan
perhitungan box-counting diperoleh 1.619.
Gambar 4.15. Perhitungan Tampak Depan dengan skala grid 24 : 40
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Tabel 4.2. Hasil Perhitungan Dimensi Fraktal Denah Tampak Depan Candi Siwa
Gambar 4. 16 : Grafik kemiringan perbandingan log N dan Log S Tampak Atas
Candi Siwa Prambanan
No Skala
Grid
Subsegmen
kubus (N)
Banyak
Kotak
(1/s)
Log (N) Log (1/s) Db
1 3 x 5 3 13 0.477 1.114 1.344
2 6 x 10 6 33 0.778 1.519 1.656
3 12 x 20 12 104 1.079 2.017 1.868
4 24 x 40 24 377 1.380 2.576
5 Rata – rata Dimensi 1.619
y = 1,623x + 0,2992
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Log
(s)
Log (N)
Grafik Kemiringan Dimensi Fraktal Tampak Depan Candi Siwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Dari proses perhitungan dimensi fraktal pada tampak atas dan tampak
depan Candi Siwa Prambanan diperoleh nilai sebesar 1.777 dan 1.619. Pada
analisis gambar tampak atas dan tampak depan dengan nilai D = 1.777 dan
1.619 menunjukkan bahwa tingkat kekasaran dan detail pada geometri tampak
Candi Siwa Prambanan tinggi. Sehingga dikatakan geometri fraktal pada Candi
Siwa Prambanan memiliki dimensi yang tinggi dengan tingkat kekasaran yang
tinggi.
3. Keserupaan Diri (Self Similarity)
a. Analisis Bagian Tampak Atas atau Denah Candi Siwa
Prinsip lain dalam menemukan bentuk fraktal adalah melalui konsep
self similarity atau keserupaan diri yang merupakan pencarian proses
pengulangan dari bentuk dasar pada Candi yang diterjemahkan atau diulang
secara skalatis pada bentuk-bentuk bagian candi lainnya. Secara geometris
struktur bangunan candi merupakan proses perulangan bentuk dasar
geometri. Sebagaimana terdapat pada tampak denah Candi Prambanan,
analisis self similary mendapatkan bentuk dasar persegi, ada 17 kali
pengulangan persegi berdasarkan analisis dari denah tampak. Persegi yang
diberikan melingkupi semua bentuk dasar denah tampak dari candi Siwa.
Persegi tersebut terbagi pada tiga bagian, 4 persegi pada bagian pusat candi,
8 persegi pada bagian tengah, dan 5 persegi pada bagian sisi luar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Proses adaptasi bentukan pengulangan persegi sebagaimana terlihat
pada gambar 4.3. Perulangan bentuk persegi pada denah tampak atas
tampak tidak terukur secara skalatis, akan tetapi memberikan gambaran
perulangan bentuk geometris yang sama. Bentuk semula persegi dan setelah
terjadi perulangan bentuknya juga masih persegi dengan ukuran skala yang
paling besar.
Gambar 4.17. Adaptasi Pengulangan Persegi pada Denah Tampak Atas
Candi Siwa
Pada bagian dari tangga empat penjuru mata anginnya juga memiliki
bentuk pengulangan dari pintu tangga utama (sisi utara). Kesamaan bentuk
pintu atau tangga masuk tersebut terlihat sebagaimana gambar berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Bentuk ruangan tempat masing-masing dari ke empat dewa juga
memiliki proses perulangan dari bentukan yang model yang sama,
sebagaimana terlihat pada perulangan berikut:
Stupa yang tampak pada bagian bawah candi juga memiliki bentuk
yang sama, terdapat total 72 stupa yang terlihat dibagian bawah candi dan
tampak pada denah. Stupa tersebut terbagi scara merata pada keempat
bagian sisi candi, dengan masing-masing berjumlah 16 stupa. Struktur
masing-masing sisi juga terdiri dari dua lapis yaitu bagian luar dan bagian
dalam, dari masing-masing bagian tersebut pola dan jumlah siku yang sama
Gambar 14.18a. Pintu sisi Utara
Gambar 14.18b. Pintu sisi Selatan
Gambar 14.18c. Pintu sisi Barat
Gambar 14.18d. Pintu sisi Timur
Gambar 4.19a. Ruang sisi
Utara
Gambar 4.19b. Ruang sisi
Selatan
Gambar 4.19c. Ruang sisi Barat
Gambar 4.19d. Ruang sisi
Timur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
yaitu 6 kali siku. Dengan demikian memberikan gambaran bentukan yang
sama pada keempat bagian sisi tersebut sebagaimana terlihat pada gambar
berikut :
b. Analisis bagian tampak depan atau penampang Candi Siwa
1) Analisis bagian atas atau Stupa pusat
Gambar 4.21. Keserupaan Bentuk Bagian Stupa Pusat Candi Siwa
Sumber : Balai Pelestarian Cagar Budaya Yogyakarta
Gambar 4.20a. Bagian sisi
Kiri Utara
Gambar 4.20b. Bagian sisi
Kanan Selatan
Gambar 4.20c. Ruang sisi Kiri
Selatan
Gambar 4.20d. Ruang sisi
Kanan Utara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Pada bagian paling tinggi dari candi Siwa yang disebut dengan pusat
stupa memiliki bentuk sebagaimana ditunjukan pada S1. Posisi stupa pusat
pada bagian bawahnya dikeliligi oleh stupa dengan ukuran yang lebih kecil
sejumlah 5 stupa yang tampak pada bagian depan. Bentuk dari stupa kecil-
kecil (A1, A2, A3, A4, A5) adalah replika dari bentuk stupa pusat hanya
memiliki ukuran yang berbeda, sehingga memiliki bentuk yang sama,
sebagaimana ditunjukan pada gambar 12.a
2) Analisis bagian atas atau puncak Candi Siwa
Gambar 4.22. Keserupaan Bentuk Stupa Pada bagian Puncak Candi Siwa
Sumber : Balai Pelestarian Cagar Budaya Yogyakarta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Bagian puncak candi Siwa tersusun dari empat tingkatan yang setiap
tingkatnya terdiri dari satu kelompok stupa dengan jumlah yang semakin ke
atas semakin sedikit. Setiap tingkatan memiliki dua ukuran jenis stupa yang
berbeda sebagaimana ditunjukan pada gambar 12b. jenis atau bentuk stupa
pada semua bagian sama, stupa D1 sama dengan D2, C1 sama dengan C2
dan B1 sama dengan B2. Pola dan bentuknya juga sama mengikuti pola dan
bentuk pada Stupa pusat (S1). Ukuran atau skala stupa semakin keatas
semakin kecil, B1<C1<D1, begitu juga B2<C2<D2.
Model bentuk bagian puncak dari candi Siwa sendiri menyerupai
pola segitiga yang merupakan bentuk dasar geometris dari pola stupa.
Dengan melakukan penyusunan berupa stupa-stupa melalui model
kelompok atau tingkatan yang semakin mengecil baik jumlah maupun
ukurannya menuju pada stupa pusat maka model bagian atas candi Siwa
membentuk pola bentuk dasar stupa itu sendiri yaitu segitiga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Gambar 4.23. Keserupaan Bentuk masing-masing Tingkatan dari
Puncak Candi Siwa
Bagian puncak candi siwa yang dikelompokkan dalam empat bagian
tingkatan dengan P1 tingkat paling atas, P2 tingkat dibawahnya P1, P3 tingkat
dibawah P2 dan P4 tingkat paling bawah. Masing-masing tingkat yang
merupakan kelompok stupa-stupa dengan ukuran dan jumlah yang berbeda
disusun sedemikian rupa sehingga memiliki bentuk dan model yang sama.
Secara bentuk dapat dikatakan P1 = P2 = P3 = P4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
3) Analisis bagian tengah atau badan Candi Siwa
Gambar 4.25. Keserupaan Bentuk Bagian Tengah Candi Siwa
Bagian tengah atau badan candi terdiri dari tiga tingkatan, dengan
dua model bentuk tingkatan yang sama, yaitu bentuk T.2 dan T.3, walaupun
berbeda pada bentuk stupa tengahnya. Model T.1 sedikit berbeda karena
tidak ada model stupa yang sebagaimana F.1 dan G.1. Bentuk stupa yang
berada pada bagian tengah candi berbeda dengan bentuk stupa yang berada
pada bagian atas maupun bawah atau selasar Candi. Bentuk G.1 pada bagian
T.3 terdistribusi menjadi 5 bentuk stupa yang lainnya. Begitu juga bentuk
stupa F.1 terdistribusi pada bentuk 5 stupa yang lainnya. Tingkatan T.1
memiliki pola distribusi model bentuk E.1 yang juga ada 5 bentuk serupa.
Analis bentuk geometri keseluruhan dari setiap tingkat T3, T2 dan T.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
memiliki pola yang sama yaitu mengikuti bentuk segiempat dan ketika
ketiganya digabungkan juga membentuk segiempat.
4) Analisis bagian bawah atau selasar Candi Siwa
Gambar 4.26. Keserupaan Bentuk Bagian Selasar Candi Siwa
Pada bagian bawah atau selasar Candi terdapat dua pola bentuk dari
masing-masing tingkatan. Pada tingkatan tangga pertama disamping kanan
dan kiri tangga menggunakan pola seperti gambar B.3, bentuk tersebut
terdistribusi menjadi 4 pada setiap sisi tangga, sehingga jika dijumlahkan
dari 4 penjuru arah mata angin terdapat 4 x 8 yaitu 32 bentuk yang serupa.
Bentuk B.1 juga terdapat pada bagian selasar paling bawah, dengan pola
distribusi sebanyak 8 bentuk yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Tingkat kedua pada bagian selasar dibuat dengan pola bentuk stupa
B.2, bentuk ini terdistribusi pada setiap sisi arah mata angin sebanyak 8
buah, sehingga jumlah total semua bentuk B.2 ada 32 buah stupa. Bentuk
stupa B. 4 juga ada pada tingkat kedua selasar dengan jumlah total ada 8.
Berdasarkan pola geometri bentuk B.1, B.4 dan B.5 memililki pola bentuk
yang sama yaitu stupa sebagaimana bentuk diri dari candi Siwa, hanya saja
berbeda ukuran skalanya.
Berdasarkan analisis dari bagian selasar candi ditemukan pola
pengulangan bentuk yang sama pada bagian-bagian elemennya.
Pengulangan pola tersebut hanya memberikan gambaran bahwa keserupaan
bentuk candi muncul pada bagian stupa seperti B.2, B.4 dan B.5, akan tetapi
penyusunan dari stupa-stupa tidak menjadikan satu bentuk menjadi bentuk
bangunan candi Siwa.
2. Desain Pembelajaran
Pembelajaran geometri di sekolah dari tingkat dasar sampai menengah
hanya mempelajari bentuk Geometri Euclides. Bahkan perguruan tinggi juga
sampai saat ini masih belum ada pengembangan pembelajaran geometri selain
Euclides. Adanya geometri Fraktal sebagai pembahasan dan kajian yang
muncul pada era modern, adalah hal baru dan sangat menarik untuk dijadikan
bahan kajian tambahan pembelajaran geometri. Karena kedekatan bentuk
fraktal dengan sekeliling mereka pada dunia nyata dan bangunan-bangunan
sejarah tidaklah cukup jika hanya dikaji menggunakan Geometri Euclides.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Pendidikan menengah setingkat SMA/SMK/MA sudah cukup mampu
untuk mulai mempelajari dan mengenal tentang geometri fraktal. Geometri
fraktal dengan dalam beberapa aspek sebenarnya tidaklah sulit untuk dikenali
dan bahkan dipelajari, sebagai contoh bagian yang paling mudah misalnya
dengan mengukur dimensi fraktal menggunakan teknik box counting. Cara ini
cukup sederhana karena hanya menyajikan kertas kemudian meletakkan ukuran
grid dan menghitungnya menggunakan rumus yang telah disediakan.
Kemampuan dasar yang dibutuhkan sebagai tambahan adalah perhitungan
logaritma dan bantuan pengembangan program Excel untuk mempermudah
perhitungan dalam bentuk tabel.
Pengenalan pembelajaran fraktal pada siswa setingkat SMA/SMK/MA
jika mendasarkan pada ketentuan kemampuan dasar yang dibutuhkan memiliki
tujuan agar 1). Siswa dapat mengenal tentang bentuk-bentuk geometri fraktal
yang ada di sekitar mereka; 2). Siswa dapat menghitung berapa dimensi fraktal
dari suatu gambar menggunakan teknik box counting, dan ; 3). Siswa dapat
memberikan komentar dan kesimpulan tentang bagaimana bentuk-bentuk
fraktal melalui pengukuran dimensinya.
1. Pengembangan HLT awal
Sebelum proses pembelajaran pengukuran dimensi fraktal dilaksanakan
peneliti membuat HLT sebagai bagian dari desain awal pembelajaran.
Pembelajaran pengenalan geometri fraktal diawali dengan pengukuran
dimensi gambar daun sebagai bagian dari gambar yang paling dekat
dijumpai di sekitar kita. Dengan adanya HLT dimensi fraktal siswa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
diharapkan akan memiliki kemampuan pemahaman konsep geometri fraktal
dan memahaminya dengan lebih sederhana, sedangkan teknik
pengukurannya menggunakan konsep box counting secara manual melalui
4 jenis skala yang berbeda. Bentuk dari HLT awal sebagaimana terlampir
pada lampiran B.1
2. Ujicoba HLT Pembelajaran
a. Proses Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan pembelajaran dilakukan pada siswa kelas XII jurusan IPS
dari sebuah sekolah berciri khas agama di Yogyakarta. Pengambilan kelas
tersebut karena pada saat yang sama sedang memberikan materi tentang
geometri ruang, sehingga materi geometri fraktal sebagai tambahan
pembelajaran tersebut. Pilihan program IPS bukan IPA juga sebagai strategi
melihat pembelajaran pada kelas dengan level siswa yang sedang pada
bidang matematika, sehingga akan mengasumsikan jika dilaksanakan pada
kelas IPA akan menghasilkan capaian yang lebih baik. Dikarenakan pada
sekolah ini adanya pemisahan kelas siswa dan siswi maka uji coba hanya
dilakukan pada satu kelas yaitu kelas putri saja.
Pembelajaran dilakukan selama 2 JPL (90 menit) pada hari Kamis,
04 Oktober 2018 pukul 10.45 – 12.15 WIB dan berada di ruang
laboratorium komputer. Lama pembelajaran yang seharusnya 90 menit
ternyata memerlukan tambahan waktu sekitar 30 menit untuk presentasi
hasil jawaban siswa. Penggunaan tempat laboratorium komputer
dikarenakan siswa akan diajak melakukan perhitungan menggunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
program Excel. Pada kegiatan ini selain peneliti yang sekaligus sebagai
fasilitator dan siswa dalam pembelajaran juga melibatkan satu orang rekan
guru sebagai observer sekaligus fotografer.
Adapun jumlah siswa yang terlibat dalam satu kelas seharusnya
sebanyak 25 siswa, dikarenakan ada 2 siswa tidak hadir sehingga tinggal 23
siswa. Gambaran kegiatan proses pembelajaran yang berlangsung adalah
sebagai berikut:
1) Fasilitator menjelaskan tentang materi yang akan dipelajari yaitu
tentang geometri fraktal dan bagaimana dimensinya jika dibandingkan
dengan dimensi Geometri Euclides.
2) Membagi siswa menjadi 5 kelompok secara acak menggunakan cara
berhitung 1 sampai 5 dan meminta masing-masing kelompok
menempati satu komputer yang aktif dengan program Excel.
3) Memberikan lembar kerja siswa pada setiap kelompok kemudian
mereka mengerjakan soal latihan 1 dan 2 yang ada pada lembar kerja
secara kelompok.
4) Proses perhitungan dimensi fraktal dilakukan dengan bantuan program
Excel pada masing-masing kelompok.
5) Memberikan kesempatan kepada masing-masing perwakilan kelompok
untuk mempresentasikan hasil perhitungannya.
6) Fasilitator sedikit memberikan komentar dan kesimpulan tambahan dari
perhitungan dimensi fraktal tersebut.
7) Menutup pembelajaran secara bersama-sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Setelah kegiatan pembelajaran selesai kemudian siswa diminta
mengisi kuesioner secara individu dan melakukan diskusi dengan
perwakilan dari masing-masing kelompok sebagai upaya mengetahui lebih
dalam tentang kegiatan pembelajaran yang mereka lakukan.
b. Hasil Observasi terhadap Siswa
Observasi yang dilakukan oleh peneliti dengan mengambil satu
siswa pada setiap kelompok belajar. Hasil dari pengamatan terhadap siswa
secara keseluruhan selama proses pembelajaran adalah sebagai berikut:
1) Siswa dapat memahami dan prosedur pengerjaan lembar kerja siswa dan
penjelasan pengantar materi geometri fraktal dengan baik.
2) Siswa dapat menghitung banyak grid untuk setiap gambar dari empat
skala grid yang disediakan.
3) Siswa aktif bertanya pada beberapa bagian yang ragu atau kurang
dimengerti.
4) Siswa terlihat senang tapi agak canggung dan belum trampil dalam
menghitung dimensi fraktal menggunakan program Excel, terutama
untuk rumus-rumus yang harus dioperasikan.
5) Siswa agak agak kesulitan dan membutuhkan bantuan dalam memahami
rumus dimensi fraktal, apalagi ketika harus diterjemahkan dalam
program Excel.
6) Siswa kadang kurang teliti dalam perhitungan menggunakan tabel Excel
karena kadang hanya mengkopi rumus sebelumnya atau mendrag runus
peremana tanpa memilih hasilnya dulu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
7) Siswa masih mengalami keraguan ketika harus memberikan komentar
dan kesimpulan hasil dari perhitungan mereka yaitu bahwa dimensi
fraktal berada antara 1 dan 2 atau 2 dan 3.
8) Siswa dapat menyampaikan dengan baik hasil dari proses perhitungan
geometri fraktal.
Berdasarkan pada proses pembelajaran dan hasil dari pembelajaran
siswa dengan melakukan pengamatan serta diskusi maka penguasaan
kemampuan konsep matematis siswa secara keseluruhan sebanyak 23 siswa
dapat dideskripsikan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Tabel 4.3. Gambaran Umum Pemahaman Siswa
Indikator Pemahaman
Konsep Gambaran Umum Pemahaman Siswa
Mengklasifikasi objek-
objek menurut sifat-sifat
tertentu
Siswa dapat melakukan identifikasi objek-
objek dari gambar daun menggunakan empat
jenis skala grid dan tidak banyak mengalami
kesulitan walaupun membutuhkan waktu
agak lama terutama ketika menghitung
dengan ukuran kotak yang paling kecil.
Menggunakan,
memanfaatkan dan memilih
prosedur atau operasi
tertentu
Siswa dapat mengurutkan proses
perhitungan kotak menggunakan skala yang
paling besar kemudian paling kecil terakhir.
Kemudian mengggunakan tabel perhitungan
dengan program Excel, dalam hal ini hampir
semua siswa mengalami kendala penguasaan
program Excel dan harus mendapat
bimbingan dari fasilitator.
Mengaplikasikan konsep
atau algoritma pemecahan
masalah
Siswa secara umum mengalami kesulitan
pada perhitungan nilai logaritma
menggunakan Excel, kemudian ketika
menghitung nilai dimensi fraktal dengan
menerjemahkan rumus yang ada ke program
Excel. Sehingga fasilitator banyak
melakukan bimbingan awal kemudian siswa
melanjutkan sendiri.
Menarik Kesimpulan
(Relasional)
Sebagian siswa saja yang dapat memberikan
komentar dan kesimpulan hasil dari
perhitungan dimensi fraktal pada gambar
daun pertama dan kedua. Sebagian yang lain
kebingungan memberi komentar dan
bahkan ada yang sama sekali tidak dapat
memberikan kesimpulan akhir.
Selain melakukan analisis terhadap keseluruhan rata-rata kemampuan
pemahaman konsep siswa dalam hal ini peneliti juga melakukan analisis lebih
mendalam terhadap beberapa perwakilan kelompok siswa dengan hasil sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
a. Siswa Perwakilan Kelompok Pertama
1) Mengklasifikasi objek-objek menurut sifat-sifat tertentu
Pada proses perhitungan grid atau kotak siswa dapat menggunakan
tehnik menghitung dengan baik dan mengurutkan dari skala paling kecil
sampai paling besar. Siswa menghitung dengan urut jumlah grid dari 2
objek yang berbeda yaitu daun pertama dan daun yang kedua. Siswa
juga dapat mengidentifikasi setiap objek-objek pada semua elemen
gambar dari yang secara penuh mengisi kotak sampai yang paling kecil
masuk ke kotak skala mulai dari atas tengah dan tepi-tepi daun.
2) Menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur atau operasi
tertentu
Siswa dapat mengurutkan dengan baik penggunaan plastik skala ukur
dalam menghitung jumlah boknya, kemudian juga mampu membuat dan
menggunakan tabel perhitungan dimensi fraktal dengan bantuan
program Excel walaupun dalam pembuatannya masih dengan sedikit
pemberian bimbingan dari fasilitator. Siswa dalam perhitungan tabel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
dapat menempatkan secara urut dan sistematis dari kebutuhan untuk
perhitungan akhir nilai dimensi fraktal.
3) Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah
Siswa sudah dapat membaca dan menerjemahkan maksud dari rumus
pada LKS untuk perhitungan nilai fraktal dengan sedikit bantuan dan
menggunakan sistem komputer (program Excel) untuk mempermudah
perhitungan. Dalam penggunaan program Excel siswa juga mampu
menerjemahkan penggunaan rumus seperti logaritma, rata-rata dan
penerapan rumus dimensi fraktal itu sendiri. Siswa dalam hal ini
mengalami kelebihan pada perhitungan nilai Db yang dikarenakan
kekurangmaksimalan dalam memahami rumus Db dan terpaku dengan
rumus Excel sehingga ketika menentukan nilai Db pada kolom
sesudahnya langsung mendrag sampai dengan kolom terakhir yang
seharusnya tidak terisi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
4) Menarik Kesimpulan (Relasional)
Siswa masih mengalami kesulitan dalam memberikan komentar dan
kesimpulan sendiri, sehingga membutuh-kan sedikit arahan dari
fasilitator. Dalam memberikan komentar sesuai dengan hasil
perbandingan dimensi fraktal pada daun pertama dan daun kedua besar
yang mana hasilnya siswa walaupun sudah dibimbing tetap bingung dan
tidak memberikan komentar. Pada kesimpulan belum menunjukan
memahami secara penuh apa itu makna dimensi geometri fraktal
berdasarkan pada hasil dimensinya, walaupun setelah diberikan
stimulus tentang Geometri Euclides siswa dapat memahami dengan
baik.
b. Siswa Perwakilan Kelompok Kedua
1) Mengklasifikasi objek-objek menurut sifat-sifat tertentu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Pada proses perhitungan jumlah kotak yang ada siswa melakukan secara
acak tidak berurut dari yang besar ke yang kecil. Tetapi dalam pengisian
jumlah hasil kotaknya sudah sesuai dengan skala yang ada. Dalam
meletakkan posisi dari mal plastiknya juga berbeda-beda kadang dengan
posisi landscape kadang dengan posisi portrait, siswa ini melakukan hal
tersebut untuk eksplorasi terhadap jumlah hasil hitungan boksnya ada
perbedaan atau tidak. Siswa juga mengidentifikasi secara keseluruhan
dari objek gambar daun mulai dari atas tengah sampai bagian terkecil
tepi gambar.
2) Menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur atau operasi
tertentu
Siswa melakukan ekplorasi urutan atau prosedur perhitungan boks tidak
sesuai dengan urutannya, dan bukan karena tidak paham tapi ingin
berbeda dengan aturannya. Penggunaan program Excel melalui sistem
tabel perhitungan dimensi fraktal dapat dilakukan karena kemampuan
penguasaan program Excelnya sudah cukup lumayan, akan tetapi
sebagaimana mana yang lain untuk menghitung nilai logaritma dan Db
nya masih memerlukan bimbingan dari fasilitator.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
3) Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah
Penerapan perhitungan rumus dimensi fraktal kedalam perhitungan di
kolom tabel siswa belum memahami sepenuhnya hal ini terlihat ketika
melihat hasil perhitunganya pada kolom terakhir yang seharusnya tidak
mendapatkan nilai ternyata ada isinya, sebagaimana siswa yang pertama
siswa ini juga hanya melakukan drag dari kolom atas ke bawahnya
sampai yang terakhir. Hal ini memang menjadikan perhitungan rata-rata
nilai dimensi fraktalnya tidak tepat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
4) Menarik Kesimpulan (Relasional)
Pemberian komentar dari perhitungan dimensi fraktal daun pertama
dan daun kedua sekedar melihat nilainya saja dan membandingkan
mana yang lebih besar, belum mampu melihat secara mendalam
kenapa yang satu lebih besar dari yang daun lainnya. Pengambilan
kesimpulan siswa ini tidak dapat menyimpulkan dikarenakan bingung
harus memberikan kesimpulan apa, hal ini disebabkan siswa belum
bisa mengkaitkan antara proses diawal dengan hasil akhir perhitungan.
c. Siswa perwakilan kelompok ketiga
1) Mengklasifikasi objek-objek menurut sifat-sifat tertentu
Sebagaimana siswa yang pertama pada perhitungan jumlah boks siswa
mengurutkan penggunaan skala dari yang paling besar sampai yang
terkecil baik pada daun pertama maupun daun yang kedua. Teknik
meletakkan posisi mal plastik skala nya juga standar menyesuaikan
dengan posisi gambarnya. Siswa mengidentifikasi secara detail dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
keseluruhan gambar daun pertama dan kedua dari atas sampai ke bagian
yang terkecil direkam oleh kotak skala.
2) Menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur atau operasi
tertentu
Prosedur perhitungan kotak yang sesuai dengan urutan dan prosedur
perhitungan dimensi dengan menggunanakan program Excel dapat di
kuasai dengan baik karena siswa ini juga penguasaan program Excelnya
sudah lumayan sehingga hanya membutuhkan sedikit bimbingan. Tetapi
sebagaimana yang lain ketika perhitungan menentukan rumus logaritma
dan perhitungan kolom selanjutnya masih memerlukan bimbingan dari
fasilitator.
3) Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah
Pada penentuan hasil akhir penerapan rumus Db ke Excel siswa awalnya
kesulitan bagaimana memahami antara kolom tabel yang tersedia
dengan rumus yang ada sehingga mudah menghitung nilai db nya. Siswa
pada awalnya melakukan sendiri perhitunganya akan tetapi selalu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
kurang tepat sehingga fasilitator memberikan bimbingan sesuai dengan
kesulitan yang ditanyakan oleh siswa. Akhirnya siswa memahami
bagaimana mengisikan kolom terakhir dan siswa ini mendrag dari
kolom atas ke bawah, tidak seperti kasus 2 siswa yang atas, siswa ini
hanya sampai kolom db yang dibutuhkan saja. Sehingga siswa ini dapat
menghasilkan nilai rata-rata dimensi sesuai dengan yang diharapkan.
4) Menarik Kesimpulan (Relasional)
Pemberian komentar hasil perhitungan gambar daun pertama dan kedua
sifatnya masih datar karena hanya melihat angka saja mana yang lebih
besar, siswa belum mampu mengeksplore komentar lebih jauh kenapa
gambar dari daun pertama dan kedua kok berbeda. Pada pengambilan
kesimpulan siswa sudah mendekati benar yaitu mengatakan tentang
ukuran dimensi fraktal yang nilainya tidak bulat, walaupun belum secara
tepat. Artinya siswa sedikit memahami penjelasan diawal tentang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
perbedaan antara ukuran dimensi fraktal dan dimensi Geometri Euclides
yang disampaikan oleh fasilitator.
d. Siswa perwakilan kelompok empat
1) Mengklasifikasi objek-objek menurut sifat-sifat tertentu
Siswa melakukan identifikasi dari setiap objek gambar daun dan
perhitungan banyaknya kotak atau grid dari setiap skala dengan baik.
Perhitungan dilakukan secara detail bahkan satu gambar bisa lebih satu
kali untuk mengecek kebenaran hitungannya. Pada bagian-bagian obyek
yang kecil pun diteliti secara detail apakah masuk dalam skala grid atau
tidak. Teknik perhitungan kotak pada skala grid dengan ukuran kecil
siswa menggunakan penggaris sebagai alat bantu mempermudah
hitungan sehingga setiap bagian dapat terdeteksi dengan baik.
2) Menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur atau operasi
tertentu
Proses prosedur perhitungan dilakukan secara berurut sesuai dengan
ukuran skala dari yang paling besar ke yang paling kecil. Hal ini
dilakukan untuk kedua gambar daun, dan hasilnya diinput ke tabel
sesuai dengan ukuran dari skala gridnya. Siswa juga mampu membuat
dan menggunakan tabel melalui program Excel untuk perhitungan nilai
logaritma dan dimensi fraktalnya. Melalui sedikit bimbingan dari
fasilitator siswa menghitung nilai logaritma masing-masing skala grid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
3) Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah
Siswa juga mampu menerjemahkan rumus dimensi fraktal ke dalam
proses perhitungan di Excel dengan memahami alur kolom pada tabel
yang dibuat. Hal ini terlihat dari hasil yang diperoleh oleh siswa
mendekati nilai benar. Kolom terakhir perhitungan nilai db yang pada
siswa pertama dan kedua mengalami kesalahan tidak dilakukan oleh
siswa ini. Siswa melakukan ini karena mengetahui bahwa nilai
pengurangan pada kolom terakhir tidak tersedia pada kolom tabel
sehingga rumusnya menjadi tidak sesuai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
4) Menarik Kesimpulan (Relasional)
Komentar yang diberikan oleh siswa masih bersifat menyesuaikan
dengan nilai hasil perhitungan saja belum dapat menghubungkan antara
hasil nilai yang diperoleh dengan bentuk gambar daun pertama dan
kedua. Sedangkan pengambilan kesimpulan sudah mendekati kepada
subtansi dari dimensi fraktal, dengan membandingkan antara dimensi
fraktal dengan dimensi Geometri Euclides. Siswa dalam hal ini
memahami sesuai dengan penjelasan materi tentang geometri fraktal
sebagaimana yang disampaikan pada pengantar materi oleh fasilitator.
e. Siswa perwakilan kelompok lima
1) Mengklasifikasi objek-objek menurut sifat-sifat tertentu
Perhitungan banyaknya kotak dilakukan secara berurut dari skala yang
paling besar ke skala terkecil, secara hati-hati siswa mendeteksi dan
menghitung berapa jumlah kotak yang terdeteksi oleh skala grid. Semua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
bagian dari objek gambar pertama dan kedua secara bertahap dari atas
ke bawah sampai bagian ujung-ujung gambar diamati secara detail. Pada
awalnya siswa menghitung hanya pada objek yang terdeteksi secara
penuh oleh grid saja, tapi kemudian siswa ragu dan bertanya apakah
yang tidak penuh juga dihitung. Siswa tidak mengalami kesulitan dalam
hal ini hanya saja dalam perhitungan gambar untuk skala yang kecil
sedikit lebih lambat dibanding siswa yang lainnya.
2) Menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur atau operasi
tertentu
Siswa melakukan prosedur perhitungan box sesuai urutan dari skala
yang ada, kemudian menggunakan tabel Excel dalam perhitungan nilai
logaritma dan dimensi fraktalnya. Siswa masih banyak memerlukan
bimbingan penggunaan Excel karena penguasaan komputer yang masih
minimum, mulai dari cara membuat tabel dan perhitungan hasil nilai
logaritma dari jumlah box.
3) Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Siswa dalam memahami rumus dimensi fraktal masih mengalami
kesulitan, begitu juga menerjemahkan dari rumus ke program Excel
memerlukan banyak intervensi dari fasilitator. Tetapi siswa mampu
sendiri melanjutkan proses perhitungan dimensi fraktal pada tabel dan
memahami penggunaan rumusnya sehingga siswa ini dapat menemukan
rata-rata nilai dimensi daun pertama dan kedua mendekati benar.
4) Menarik Kesimpulan (Relasional)
5) Siswa dalam memberikan komentar baru sebatas membandingkan nilai
hasil dari perhitungan daun pertama dan daun kedua, belum sampai pada
kenapa dapat terjadi nilai yang demikian. Pada pengambilan kesimpulan
siswa juga belum masuk ke substansi dari bentuk gambar fraktal tapi
masih pada hasil nilai dimensi fraktalnya. Siswa juga belum mampu
menghubungkan bahwa dimensi yang diperoleh merupakan bentuk dari
geometri fraktal.
Berdasarkan pada proses pembelajaran geometri fraktal yang
menekankan untuk pemahaman konsep matematik siswa menunjukkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
bagaimana kemampuan siswa secara keseluruhan. Pembelajaran dari awal
sampai dengan akhir dapat secara penuh diikuti oleh semua siswa, tidak ada
kesulitan yang banyak ditemui oleh siswa. Aktifitas dan partisipasi dalam
kegiatan kelompok menunjukkan respon mereka dalam mempelajari
dimensi fraktal cukup tinggi. Perencanaan pembelajaran dengan metode
diskusi dan presentasi dari hasil diskusi dapat terlaksana dengan baik.
Semua kelompok belajar dapat menyelesaikan perhitungan dimensi fraktal
secara penuh dan dapat mempresentasikan hasil dari diskusi mereka.
Perhitungan dimensi fraktal dengan menggunakan bantuan program
Excel dapat mempermudah menyelesaikan hasil. Siswa sebenarnya tidak
banyak membutuhkan proses berfikir dalam tingkat tinggi. Lembar kerja
siswa dan HLT yang dibuat sudah menyajikan bagaimana proses
menghitung kotak pada setiap gambar dan aktifitas ini sangat mudah untuk
dikerjakan oleh siswa hanya membutuhkan ketelitian terutama pada
perhitungan dengan grid yang kecil. Hasil dari jumlah grid tersebut
kemudian diisikan ke tabel yang telah disediakan sehingga siswa hanya
melihat hitungan tersebut berada pada skala yang mana.
Kemampuan siswa yang setara untuk setingkat SMA adalah pada
proses perhitungan nilai logaritma dari setiap jumlah kotak, kemudian juga
memahami rumus dari dimensi fraktal yang juga telah diberikan dalam
LKS. Pada proses ini sebagian besar siswa mengalami kesulitan karena
mereka harus menggunakan program Excel. Kesulitan yang dialami siswa
disebabkan tidak familiernya dengan komputer. Siswa yang semuanya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
tinggal di asrama dan tidak diperbolehkan membawa atau mengakses
komputer secara bebas menyebabkan mereka tidak menguasai komputer,
pembelajaran di sekolah juga sangat jarang menggunakan media
laboratorium komputer. Fasilitator dalam hal ini harus banyak memberikan
intervensi dan bahkan menuntuk secara manual pada setiap kelompok.
Empat indikator yang dijadikan parameter untuk mengukur
kemampuan pemahaman siswa dapat dipahami oleh sebagian besar siswa.
untuk indikator pertama dan kedua dapat dikuasai secara keseluruhan oleh
siswa, tetapi pada indikator ketiga dan keempat yang memang menekankan
kemampuan berfikir tinggi serta menuntut kemampuan penguasaan
program Excel hanya dikuasai oleh sebagian siswa saja. Sebagian siswa
yang lain untuk dapat memahami secara penuh membutuhkan banyak
arahan dari fasilitator. Bahkan pada pengambilan kesimpulan atau komentar
ada beberapa yang akhirnya tidak dapat mengisikannya dikarenakan
mengalami kebingungan.
Kemampuan pemahaman siswa agak kurang karena pada ujicoba
tersebut dilaksanakan pada kelas IPS yang secara kemampuan dan kemauan
terhadap mata pelajaran matematika rendah. Kesamaan pola dan hasil
selama pembelajaran dapat juga disebabkan karena kelas IPS tersebut
semuanya perempuan, dengan tipe siswa yang secara karakter juga sama.
Berdasarkan kebutuhan kemampuan dalam melakukan perhitungan dimensi
fraktal masih setara dengan kuriculum SMP dan SMA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Tabel 4.4. Penguasaan Kemampuan dan Materi Dasar Dimensi Fraktal
Kemampuan
dimensi Fraktal
Materi
Kurikulum
Setara Tingkat
Pendidikan
Keterangan
Identifikasi
Skala Grid
Skala SD/SMP Dikuasai semua
siswa
Menghitung
Grid
Menghitung SD Dikuasai semua
siswa
Membuat Tabel Tabelisasi
Statistik dasar
SMP Dikuasai semua
siswa
Menghitung
Logaritma
Logaritma SMA Dikuasai semua
siswa
Rumus dimensi
Fraktal
Algoritma
aljabar
(Tambah,
Kurang, Bagi)
SMA/SMP Dikuasai
sebagian siswa
Menghitung
rata-rata
Statistik dasar SMP/SMA Dikuasai semua
siswa
Keterangan : Proses penyetaraan kemampuan berdasarkan tingkat kesulitan
dan muatan kurikulum matematika SD, SMP dan SMA.
c. Hasil Angket atau Kuesioner
Angket menanyakan tentang respon dari siswa pada 4 aspek yaitu tentang
ketertarikan terhadap materi fraktal, motivasi belajar, model pembelajaran
dan komentar umum atau kesan selama pembelajaran. Adapun hasil dari
angket siswa adalalah sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
Tabel 4.5. Hasil Angket Respon Siswa Terhadap Pembelajaran Fraktal
Jenis Pertanyaan Jawaban
SS S KS TS
Pembelajaran materi dimensi fraktal baru
pertama ini saya pelajari 11 12 0 0
Menurut saya materi pembelajaran dimensi
fraktal mudah untuk dipelajari 3 15 5 0
Saya merasa senang dan termotivasi untuk
belajar materi dimensi fraktal 2 16 5 0
Menurut saya materi dimensi fraktal layak
dipelajari di SMA sebagai tambahan
wawasan geometri
8 13 2 0
Saya merasa berminat untuk mempelajari
geometri fraktal lebih banyak lagi 4 12 5 2
Geometri fraktal menarik dipelajari karena
langsung terkait dengan alam dan dunia nyata 4 16 3 0
Dalam penyampaian materi pembelajaran
guru terlihat monoton dan cenderung
membosankan
0 0 10 13
Proses pembelajaran berjalan dengan
kondusif dan saya merasa nyaman dengan
belajar kelompok model ini
11 10 2 0
Saya merasa lebih tertarik belajar dengan
model ini dibanding dengan pembelajaran
yang biasa saya alami
12 8 3 0
Saya merasa lebih aktif untuk belajar dengan
model belajar kelompok seperti ini 10 9 3 1
Modul latihan yang diberikan menurut saya
sistematis dan mudah untuk dipelajari 4 15 4 0
Saya tidak mengalami kesulitan ketika
mengikuti langkah pengerjaan yang terdapat
di modul latihan soal
3 5 13 1
Saya merasa terbantu dan bisa berfikir lebih
bebas ketika mengerjakan modul latihan soal 0 18 5 0
Saya merasa senang dengan pembelajaran
yang menggunakan fasilitas komputer 18 4 1 0
Saya merasa tertarik untuk mendalami materi
dimensi fraktal yang menggunakan
pemograman komputer atau program Excel
8 9 6 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
a. Hampir semua siswa memberikan respon yang positif dalam menyikapi
pembelajaran dengan materi fraktal dan merasa tidak mengalami
kesulitan dalam menemukan dimensi fraktal. Berdasarkan sebagian
siswa yang memberikan tanggapan kesulitan, mereka cenderung
mengalami kendala dalam mengoperasikan program Excel, terutama
menuliskan rumus dimensi fraktal pada kolom di Excel. Menurut
mereka fraktal juga menarik untuk dipelajari walaupun masih setingkat
SMA karena sebagai bahan tambahan wawasan tentang geometri.
Begitu juga dengan pembelajaran yang menggunakan gambar dari alam
sekitar sebagai ilustrasi perhitungan menambah ketertarikan mereka
untuk mempelajari fraktal lebih banyak. Walaupun ada 2 siswa yang
merasa tidak suka untuk mempelajari materi geometri fraktal.
b. Pembelajaran dengan berkelompok dalam mengerjakan LKS dan juga
mempresentasikan hasil mendapat respon positif dari semua siswa.
mereka merasa lebih senang dan lebih mudah dalam mempelajari materi
dimensi fraktal. Terdapat satu siswa yang kurang suka belajar dengan
model kelompok dan penggunaan LKS sebagai bahan utama belajar.
c. Semua siswa memberikan respon positif terhadap modul atau LKS yang
diberikan karena dapat memberikan inspirasi dan berfikir lebih mandiri
dalam menemukan penyelesaian soal. Sistematika modul juga lebih
mudah dan simple untuk dipelajari.
d. Semua siswa memberikan tanggapan positif dan bahkan sangat
termotivasi ketika pembelajaran dimensi geometri fraktal pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
penyelesaian perhitungannya menggunakan bantuan progran Excel
komputer. Hal ini dikarenakan selama ini mereka sangat jarang
menggunakan komputer dalam pembelajaran. Selain itu juga karena
dengan bantuan Excel proses perhitungan lebih cepat dan mudah
diselesaikan walaupun belum mahir dalam penggunaannya dan banyak
membutuhkan arahan.
Berikut beberapa komentar dan jawaban yang diberikan oleh
siswa pada pengisian angket essay.
Tabel 4.6. Komentar Siswa Tentang Pembelajaran Dimensi Fraktal
Pertanyaan Jawaban Siswa Jumlah
Komentar
Kesulitan
selama
pembelajaran
Menghitung kotak yang terkecil 15
Memahami materi 3
mengoperasikan Excel 2
Memahami rumusnya 3
Kesan selama
pembelajaran
Menarik dan menyenangkan 14
menambah wawasan baru tentang fraktal 7
termotivasi belajar lebih banyak 7
Mudah memahami 4
Tidak bosan 6
Sering-sering menggunakan komputer untuk
pembelajaran 2
Menghitung dengan komputer lebih efektif 1
baru tahu ternyata daun bisa diukur dengan
geometri 1
Masukan
atau usulan
Sebaiknya siswa kerja individu bukan
kelompok jadi kurang efektif 5
Sering belajar dengan komputer 4
Belajar lebih santai 1
Siswa kurang maksimal 1
banyak kesulitan belajar 1
tidak tahu 5
Menyenangkan 1
Suara kurang besar 3
Sering belajar kelompok karena efektif 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
a. Pada pembelajaran perhitungan geometri fraktal sebagian besar siswa
mengalami kesulitan menghitung jumlah kotak untuk ukuran yang
paling kecil karena harus dihitung secara manual. kesulitan siswa yang
lain merasa kesulitan pada penggunaan rumus program Excel terutama
ketika harus menghitung nilai logaritma dan menerapkan rumus dimensi
fraktal ke program Excel.
b. Kesan selama pembelajaran geometri fraktal banyak terpusat kepada
motivasi dan semangat karena menggunakan media komputer. Beberapa
siswa juga menanggapi mendapat wawasan baru yang selama ini tidak
terpikirkan yaitu harus menghitung ukuran sebuah daun dengan
geometri. Siswa lainnya lagi merasa senang dengan metode
pembelajaran yang tidak membosankan yaitu lebih bebas berfikir,
walaupun ada siswa yang merasa kurang paham dengan maksud dari
geometri fraktal.
c. Masukan dari siswa untuk pembelajaran fraktal lebih pada penguasaan
kelas dan sistem pemberian pekerjaan siswa yang kurang maksimal
karena berkelompok. Beberapa siswa menginginkan untuk bekerja
secara individu jadi lebih fokus mengerjakan sendiri-sendiri.
Berdasarkan pada hasil kuesioner bahwa minat belajar siswa
terhadap materi geometri fraktal cukup tinggi. Materi yang tergolong baru
menurut mereka juga merupakan sesuatu yang sangat dekat tapi selama ini
tidak pernah terpikirkan untuk mempelajarinya. Fraktal dengan model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
kontekstual menyajikan benda lingkungan sekitar dan juga beberapa
bangunan sejarah seperti candi menjadi daya tarik yang efektif bagi siswa.
Faktor lain yang menjadikan mereka tertarik dapat juga disebabkan
karena menggunakan komputer sebagai tambahan media pembelajaran.
Komputer dengan program Excel sebenarnya hanya digunakan sebagai alat
bantu untuk memudahkan siswa menghitung nilai dimensi fraktal, akan
tetapi siswa yang kebetulan juga jarang sekali menggunakan laboratorium
komputer menjadi sangat antusias ketika diajak belajar ke laboratorium.
Keberadaan siswa yang tinggal diasrama dan tidak mengkonsumsi
komputer juga menjadikan mereka gagap tekhonologi sekaligus haus
dengan teknologi. Penggunaan komputer dalam menghitung dimensi fraktal
menurut siswa sangat membantu dalam perhitungan penggunaan rumus
maupun logaritmanya.
Model belajar dengan berkelompok juga menjadi penarik minat
belajar siswa dalam mempelajari dimensi fraktal. Siswa yang sudah
menggunakan kurikulum 2013 sebenarnya sudah terbiasa menggunakan
metode diskusi kelompok dalam setiap pembelajaran termasuk matematika.
Akan tetapi setelah mereka melakukan kerja dengan modul dan berdiskusi
secara mandiri merasa belajar sangat leluasa dan lebih bebas dalam
mengungkapkan isi pikirannya. Hal lain yang belum pernah dilakukan
dalam pelajaran matematika adalah mempresentasikan hasil perhitungan.
Selama ini yang biasa hanya sekedar menuliskan hasil jawaban ke papan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
tulis, tetapi ketika harus menjelaskan kenapa dan bagaimana hasil tersebut
diperoleh menjadi sesuatu yang baru bagi mereka.
Menurut Slameto (2003:57) minat adalah kecenderungan yang tetap
untuk memperhatikan dan mengenang beberapa kegiatan. Kegiatan yang
diminati siswa diperhatikan terus menerus yang disertai rasa senang dan
diperoleh kepuasan. Melihat komentar dan saran dari siswa pada angket
menunjukkan juga betapa pembelajaran perhitungan geometri fraktal sangat
mengenang bagi siswa. selain wawasan baru, pemahaman baru, suasana
baru juga banyak hal baru yang mereka peroleh selama pembelajaran. Siswa
juga terlihat sangat senang dan berminat untuk melakukan pembelajaran
yang serupa dengan materi yang lebih banyak lagi. Ini menjadikan pertanda
bahwa materi geometri fraktal sangat diminati untuk dipelajari oleh siswa
SMA. Hal ini sebagaimana terlihat dalam data kuesioner tingginya minat
mereka dalam mempelajari geometri fraktal (pertanyaan 1 – 6 ).
d. Hasil Diskusi Saat Presentasi
Setelah proses belajar kelompok selesai dan setiap kelompok memperoleh
hasil, maka setiap kelompok menyampaikan hasilnya di depan kelas, dalam
penyampaian inilah kemudian fasilitator memberikan beberapa pertanyaan
pendalaman terkait pembelajaran dimensi fraktal. Hasil dari diskusi saat
presentasi adalah sebagaimana berikut :
a. Respon positif diberikan oleh hampir semua siswa terhadap keseluruhan
proses pembelajaran, karena dengan adanya pembelajaran geometri
fraktal telah menambah pengetahuan baru selain materi tentang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
geometri yang bidang datar atau ruang yang biasa mereka pelajari.
Sebagian siswa pada awalnya merasa ragu dan agak canggung dalam
memahami materi geometri karena terlihat susah, ketika
membayangkan pembelajaran geometri yang biasa saja sudah kesulitan
masih harus ditambah belajar geometri fraktal. Namun ketika mengikuti
pembelajaran perhitungan dimensi fraktal tidak mengalami kesulitan
yang berarti dan bahkan menganggap secara teknis tidak ada kesulitan.
b. Beberapa kendala yang dialami oleh siswa ketika menghitung dimensi
fraktal pada penggunaan rumus dan program Excel di komputer. Hal ini
disebabkan siswa selama pembelajaran dari kelas X tidak pernah
menggunakan komputer dan mereka mengenal Excel ketika masih di
jenjang SMP. Ketika diajarkan bagaimana menghitung dan menentukan
rumus logaritma maupun perhitungan dimensi ternyata menurut siswa
merasa menjadi lebih mudah dan praktis.
c. Pembelajaran dengan sistem kelompok dan mempresentasikan hasil
jawaban bagi mereka sangat menantang dan menarik karena sangat
jarang dilakukan pada program IPS, ide-ide banyak dikembangkan
melalui diskusi dengan teman-temanya tanpa dengan leluasa dilakukan.
Penggunaan komputer dalam membantu perhitungan juga memotivasi
siswa untuk belajar lebih kreatif dan bersemangat.
d. Materi yang baru dan disajikan melalui ilustrasi dari alam sekitar
(gambar daun) dipadukan dengan teknologi membuka wawasan bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
ternyata matematika ilmu yang sangat dekat dengan lingkungan sekitar
dan selama ini tidak mereka sadari.
e. Beberapa siswa menyarankan agar dalam pembelajaran matematik lebih
banyak dengan sistem seperti ini, menggunakan bantuan komputer agak
tidak gaptek, mengaitkan dengan alam sekitar dan banyak melakukan
diskusi kelompok.
Pendalaman tentang kemampuan dan kemauan siswa dalam belajar
dilakukan oleh guru atau peneliti dengan memberikan beberapa pertanyaan
terhadap perwakilan siswa dari setiap kelompok yang presentasi. Dari hasil
diskusi memberikan gambaran yang cukup banyak tentang ketertarikan
mereka untuk mempelajari materi dimensi fraktal lebih dalam tentunya
dengan model dan fasilitas belajar yang sama yaitu di laboratorium
komputer. Ketertarikan siswa pada dimensi fraktal juga mereka ungkapkan
selain karena mendapatkan materi dengan wawasan baru ternyata banyak
hal yang selama ini ada di sekitar mereka dan tidak pernah mereka
perhatikan harus mereka pelajari dan memiliki dimensi geometri fraktal.
Sebagai ilmu geometri yang belum lama muncul dan belum tidak
diajarkan di Sekolah tentu berasumsi karena materi tersebut sulit dipelajari.
Siswa selama ini dalam mempelajari Geometri Euclides sering menjadi
kendala, sehingga tidak memasukan fraktal dalam tambahan materi. Proses
pengenalan pembelajaran dimensi fraktal pada praktik yang sederhana
memberikan gambaran ternyata siswa tidak mengalami kesulitan dan
bahkan merespon dengan positif pembelajaran tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
e. Hasil Observasi Selama Pembelajaran
1) Perhitungan dimensi fraktal daun sebenarnya tidak banyak
mengalami kendala yang berarti ketika menghitung banyaknya grid
melalui empat jenis skala yang diberikan. Kebanyakan siswa justru
mengalami kesulitan ketika mengoperasikan program Excel,
sehingga alangkah lebih baik sebelum pembelajaran dimensi fraktal
diadakan satu pertemuan untuk mengajarkan program Excel kepada
siswa.
2) Aktivitas perhitungan dimensi fraktal agak sulit untuk
dikembangkan dengan berbagai tipe soal karena hanya teknis. Agar
lebih bervariasi dicobakan latihan individu dan menggunakan model
box dengan berbagai variasi.
3) Selain perhitungan menggunakan program Excel seharusnya
dicobakan juga perhitungan secara manual menggunakan bantuan
kalkulator, dan hasilnya dapat dibandingkan.
Berdasarkan pada data hasil observasi kuesioner dan diskusi
memberikan gambaran bahwa pelaksanaan pembelajaran matematika yang
kontekstual menuntut guru untuk kreatif dalam menghadirkan dan
mengkaitkan dari setiap materi dengan lingkungan sekitar. Keberadaaan
materi geometri sekolah yang masih mengadopsi Geometri Euclides dapat
dikaitkan dengan benda-benda yang ada disekitar termasuk bangunan
bersejarah seperti Candi yang mana pada perkembangan matematika
modern telah ditemukan materi geometri fraktal yang juga sangat dekat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
dengan benda-benda di sekitar kita termasuk bangunan bersejarah seperti
Candi Prambanan. Dengan pembelajaran tersebut akan lebih menarik dan
memudahkan siswa memahami sebuah materi.
Pengenalan materi dimensi fraktal pada tingkat pendidikan setara
SMA sebagai tawaran pengembangan materi geometri yang selama ini
diajarkan di SD/SMP/ dan SMA. Setelah melakukan praktik pembelajaran
dengan konten materi dimensi tiga tingkat penguasaan siswa pada kelas IPS
sudah menunjukkan kemampuan penguasaan mereka yang cukup baik.
Dalam arti bahwa ketika materi geometri fraktal diajarkan pada siswa tidak
memberikan kesulitan bagi mereka untuk memahaminya.
3. Perbaikan Desain Pembelajaran
Berdasarkan pada hasil dari observasi, diskusi saat presentasi dan angket
atau kuesioner selama proses pembelajaran dimensi geometri fraktal maka agar
lebih baik lagi perlu dilakukan perbaikan-perbaikan HLT, dan perbaikan
tersebut meliputi :
1. Perlu ditambahkan skala grid yang berbeda pada setiap kelompok sehingga
hasil perhitungannya dapat dibandingkan apakah ada kesamaan atau tidak.
2. Perlu diberikan soal-soal untuk latihan individu siswa sehinggaa dapat
terlihat hasil penguasaan dari masing-masing siswa terhadap materi fraktal.
Sebagai upaya perbaikan dan pembenahan terhadap beberapa kekurangan
pada HLT yang telah dilaksanakan maka peneliti mendasarkan pada beberapa
sumber. Kegiatan tersebut melalui hasil angket atau kuesioner, wawancara
kepada siswa dan keterangan observer atau peneliti sendiri dalam proses
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
pembelajaran yang berlangsung. Setelah melakukan analisis terhadap data yang
ada maka diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
Tabel 4.7. Revisi HLT Berdasarkan Hasil Pembelajaran
Rancangan Awal Perbaikan
Siswa menempatkan gambar
berhimpit dengan salah satu box nya
Siswa menempatkan skala berhimpit
dengan gambarnya
Siswa menghitung nilai logaritmanya Guru memberikan cara menghitung
logaritma menggunakan Excel
Siswa mengalami kebingungan
menghitung nilai dimensinya
berdasarkan rumus Db
Guru memberikan cara menuliskan rumus
dimensi fraktal menggunakan program
Excel
Siswa akan membandingkan hasil
perhitungan pada daun pertama dan
daun kedua berdasarkan hasil
dimensinya
Guru mengarahkan bagaimana cara
memberikan komentar perbandingan dua
dimensi fraktal
Kolom tabel di HLT belum
dikembangkan
Tabel di HLT dengan tabel di Excel
dibuat sama persis
Kolom terakhir pada perhitungan
tidak dimensi di blok.
Kolom terakhir pada perhitungan dimensi
di blok hitam.
Menambahkan gambar candi prambanan
untuk perhitungan dimensi fraktal pada
latihan individu
C. Refleksi
Penulisan tugas akhir dalam setiap jenjang studi perkuliahan menjadi
sesuatu yang paling penting dan penuh makna. Berbagai kesulitan dari awal
mencari tema sampai akhir ujian hasil karya tulis banyak menyimpan cerita
sedih dan perjuangan yang tidak mudah dilewati. Bercermin ketika menempuh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
pendidikan Sarjana biasanya beradaptasi lebih lama baru setelah semester akhir
akan fokus memikirkan penulisan tugas akhir. Akan tetapi yang terjadi
dipendidikan Magister ternyata tidak seperti itu, sejak pertama masuk
perkuliahan sudah harus memikirkan ide dan mengawali penulisan Thesis.
Pendidikan di Magister Pendidikan matematika USD sangatlah menuntun dan
memberikan kemudahan karena tugas thesis sudah sejak awal diperkuliahan
dimulai. Jenjang mata kaliah mulai dari Kajian Topik Penelitian, kemudian
Metode Penelitian dan Thesis secara bertahap menuntun menuju tugas akhir dan
menjadi terasa ringan.
Perkuliahan magister dengan seambrek tugas kuliah yang lain dan
pekerjaan sebagai pengajar, tentu bukanlah hal yang mudah dalam
memanajemen waktu, tentunya dalam mengambil tema atau topik penelitian
sebisa mungkin yang agak mudah. Ketika awal perkuliahan KTP mulai
terpikirkan untuk mengambil riset tentang pendidikan agar lebih mudah dalam
mendapatkan data dan pengolahan serta analisis karena sudah keseharian
dijalani sebagai Pengajar. Tetapi ketika berfikir lebih dalam ada keinginan
untuk memperdalam ilmu matematika murni dengan mengambil tema
penelitian matematika murni.
Ketika diskusi berjalan lewat group watshap perkuliahan, muncul
tawaran dari kaprodi bagi yang ingin mendalami geometri fraktal, beberapa
postingan artikel dan tulisan walaupun agak kurang paham karena jurnal asing
(bahasa inggris). Setelah membaca beberapa bagian dan memikirkan secara
matang akhirnya memberanikan diri untuk mencoba menerima kajian topik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
tersebut. Pada dasarnya saat awal mengambil sama sekali belum mengerti apa
itu geometri fraktal, sehingga dengan sepenuh jiwa raga berusaha mencari
referensi dan berdiskusi kesana-sini. Beberapa subyek penelitian sempat
dipikirkan tetapi selalu ragu, sampai akhirnya dari Kaprodi untuk mencoba
mengkaji Candi Prambanan, setelah melakukan eksplore dan searching ke
berbagai narasumber dan ternyata keberadaan Candi Prambanan memang
belum pernah ada yang melakukan penelitian terkait dengan geometri fraktal.
Mendalami geometri fraktal dari nol bukanlah hal yang mudah, mencari
referensi dalam bentuk lokal dan sumber pembelajaran yang minimalis menjadi
tantangan berat bagi saya. Ketertarikan untuk bisa apalagi karena terkait dengan
struktur sebuah bangunan, dimana merupakan salah satu latar belakang
pendidikan saya sebagai sarjana sipil juga menjadi modal belajar fraktal.
Arahan dari pembimbing untuk berusaha menggunakan teori yang sederhana
kemudian jika mampu dikembangkan sesuai dengan kemampuan. Seperti
misalnya perhitungan menggunakan pemrograman MATLAB atau program
lain dapat dicoba jika mampu, padahal kemampuan komputer program saya
tidaklah bagus. Akhirnya setelah mulai berjalan dapat menikmati irama belajar
tentang fraktal, berdiskusi dengan dosen pembimbing, kakak angkatan, dan
bahkan dosen pembimbing Praktik pembelajaran pun sering saya mintai saran
dan pendapatnya terkait dengan penelitian ini.
Tantangan terberat dalam penelitian ini adalah ketika mengkaji fraktal
Candi Prambanan menggunakan teori keserupaan diri, hampir setiap hari
selama beberapa bulan menatapi gambar candi dan mendatangi candi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
prambanan, sudut demi sudut ditatap dan pelan-pelan mencari unsur terkecil
dari keserupaan diri, sampai akhirnya hanya menemukan bentuk yang sama,
tapi bukan fraktal. Hampir menyerah dalam proses ini, perhitungan dimensi
dengan program matlab juga akhirnya tidak sukses karena selalu eror. Modal
pantang menyerah dan arahan dari pembimbing akhinya harus menentukan titik
perhentian dari kajian fraktal candi geometri, tentu rasa kepuasan atas hasil ini
memang belum maksimal, tapi karena keterbatasan waktu studi sehingga hanya
mampu dengan kajian dimensi saja yang dianggap sukses.
Berproses mempelajari geometri fraktal dari tidak tahu dan bahkan baru
mendengar sampai dengan menemukan beberapa kajian konsep merupakan hal
besar dalam perkembangan pengetahuan saya. Tentu ini menjadi bekal dan
wawasan baru yang tidak akan terlupakan dan terus mengenang dalam
pemenuhan tugas akhir dari penyelesaian pendidikan magister di USD.
Perkembangan yang saya anggap positif untuk menundukkan ketidakmampuan
diri pada awal perjuangan sampai menemukan sedikit pencerahan dan titik
kepuasaan dapat menguasai sebagian kecil dari teori geometri fraktal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
BAB VI
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan pada hasil kajian oleh peneliti terhadap desain struktur Candi
Prambanan khususnya candi Siwa Prambanan dengan menggunakan teori
geometri fraktal diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Aspek Geometri Fraktal Candi Prambanan
a. Dimensi Fraktal
Kajian yang dilakukan dalam penelitin ini menggunakan
gambar dua dimensi yang berskala 1 : 100 dan teori perhitungan box
counting. Hasil dari proses empat kali iterasi skala box counting
diperoleh rata-rata nilai fraktal dari Candi Siwa Prambanan
Yogyakarta adalah 1.880. Nilai fraktal ini berdasarkan klasifikasi
fraktal termasuk dalam kategori tinggi. Misalkan untuk gambar
dengan dimensi fraktal antara (1,1 – 1,5) menunjukkan kurangnya
rincian detailnya, sedangkan gambar dengan dimensi (1,6 – 1,9)
menunjukkan tingginya rincian detail gambar. Berdasarkan hasil
perhitungan Candi Siwa Prambanan masuk dalam kategori kedua,
dengan demikian menunjukkan analisis gambarnya memiliki nilai
fraktal yang detail dan kuat.
b. Keserupaan Diri
Keserupaan diri yang ditemukan pada bentuk desain Candi
Siwa Prambanan diperoleh terjadinya proses perulangan pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
tampak atas gambar desain candi dengan bentuk persegi sebanyak
17 kali persegi dalam ukuran skala yang berbeda. Kesamaan bentuk
yang lain ditemukan pada empat tangga dari empat penjuru arah
angin, tempat penyembahan dewa, dan stupa atau pura-pura pada
bagian bawah sebanyak 72 kali.
Pada bagian puncak Candi didtemukan bentuk kesamaan
antara stupa utama dengan bentuk stupa yang mengelilingi pada
bagian bawahnya yang berjumlah 5 stupa. Kemudian di bagian atas
terdapat empat kelompok kumpulan stupa dengan pola yang sama.
Bagian tengah candi pada masing-masing bagian memiliki pola
model stupa yang sama dua bagian yang bawah dengan stupa sama
persis dan satu bagian yang atas berbeda. Terakhir pada bagian
selasar terdapat dua pola bentukan yang sama.
Berdasarkan analisis tersebut secara keseluruhan bentuk
bangunan candi Siwa Prambanan bukan merupakan satu proses
perulangan yang utuh dari pola fraktal kesebangunan diri. Pola
perulangan hanya terbentuk pada masing-masing bagian-bagian
sehingga pola fraktal kesebangunan diri Candi Siwa Prambanan
dalam kategori lemah. Bentuk keserupaan diri yang mantap dan kuat
tidak ditemukan pada Candi Siswa Prambanan, tetapi bentuk-bentuk
yang serupa atau sama muncul pada bagian-bagian Candi dan ini
bukan merupakan keserupaan diri karena secara susunan tidak
membentuk pola menjadi bentuk utama Candi Siwa Prambanan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
2. Hasil Desain Pembelajaran Pengenalan Dimensi Fraktal
Kegiatan pembelajaran pengenalan geometri fraktal untuk
tingkat Siswa SMA sederajat hanya melakukan perhitungan dimensi
fraktal. Proses perencanaan dimulai dengan pembuatan desain
pembelajaran, melalui HLT dan lembar kerja siswa sebagai bahan
analisis hasil pembelajaran. Sistem pembelajaran dilakukan secara
berkelompok dan analisis hasil dilakukan terhadap perwakilan dari
masing-masing kelompok dengan jumlah sebanyak 5 siswa dari lima
kelompok belajar. Berdasarkan pada hasil diperoleh secara umum siswa
dapat mengikuti dan memahami proses pembelajaran geometri fraktal,
perhitungan dimensi fraktal secara manual dengan menggunakan skala
grid, tidak banyak mengalami kendala. Kesulitan yang dialami oleh
siswa ketika mereka harus menggunakan program Excel dalam
menghitung nilai logaritma dan nilai Db atau dimensi fraktalnya, hal ini
terjadi karena siswa tidak pernah mendapat pembelajaran komputer dan
sangat jarang menggunakan komputer.
Respon positif berdasarkan dari hasil diskusi saat presentasi dan
angket juga diberikan oleh siswa, mereka merasakan pembelajaran
geometri fraktal memberikan tambahan wawasan baru tentang geometri
yang selama ini dipelajari. Kesadaran dan keinginan untuk mempelajari
lebih materi ini disampaikan oleh beberapa siswa dengan alasan menarik
karena banyak langsung terkait dengan keberadaan benda-benda dan
kondisi alam sekitar. hal ini cukup positif karena proses penelitian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
dilakukan pada kelas dengan jurusan IPS bukan IPA dan dengan tingkat
kemampuan siswa sedang, dengan demikian ada asumsi akan
mendapatkan hasil dan tanggapan lebih baik jika diterapkan
pembelajaran pada kelas IPA dengan tingkat kemampuan siswa yang
lebih baik.
B. Saran
Untuk melihat lebih jauh tentang hasil penelitian geometri fraktal pada
Candi Prambanan perlu dikembangkan kembali kajian yang lebih luas
yaitu :
1. Dimensi fraktal yang diteliti melihat pada dimensi yang lebih mendekati
pada bentuk struktur dimensi candi yang sesungguhnya yaitu diantara 2
dan 3, dengan menggunakan tehnik atau pemrograman yang lebih
akurat.
2. Keserupaan diri pada Candi Prambanan perlu dikaji ulang terutama pada
subjek yang lebih luas yaitu meliputi keseluruhan bentuk candi dari
komplek Candi Prambanan.
3. Desain pembelajaran perlu dikembangkan kepada siswa dengan materi
yang lebih banyak misalnya keserupaan diri, dan perlu kiranya juga
siswa dibawa praktik langsung melihat bentuk nyata dari beberapa
bentuk geometri fraktal seperti candi, daun dll.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
DAFTAR PUSTAKA
Arisetyawan, Andika (2015). Etnomatematika Masyarakat Baduy. Universitas
Pendidikan Indonesia repository.upi.edu. diakses melalui
perpustakaan.upi.edu.
Ilmania, Arfinda (2010). Geometri Fraktal dalam Etnomatematika Candi
Borobudur. Skripsi Program Studi Informatika ITB. Bandung.
Arikunto, Suharsimi (2010). Manajemen Penelitian. Jakarta: Rineka Cipta
E.Y, Atmanto (2008). Metode Studi Kasus dalam penelitian.[Online].
Tersedia:http://ekoyuliatmanto.blogspot.com/2008/05/metode-studi-
kasus-case-study-dalam.html.[2018].
Joyce, B., Weil, M., Calhoun, E.(2009). Model of Teaching (8th ed). Boston,
MA: Pearson Education, Inc. Retrivied from
https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED513336.pdf
Ostwald, Michael J. dan Vaugan, Josephine (2016). The Fractal Dimension of
Architecture. Birkhauser. Switzerland.
National Council of Teacher of Mathematics (2000). Principles and Standar for
School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
Nitko, A.J dan Brookhart, S.M.(2007). Educational Assessment Of Students.
Pearson Merril Prentice Hall.
Perpustakaan Nasional RI (2015). Sejarah Perkembangan Candi Prambanan,
diakses melalui info@perpusnas.go.id.
Rahadhian PH. Dr dan Fery Wibawa C. (2015). Kajian Arsitektur Percandian
Petirtaan di Jawa (Identifikasi). Bandung : LPPKM Universitas Katolik
Parahyangan.
Rian, Md,I,Park, J.H.,Uk Ahn, H., dan Chang, D. (2007). Fraktal Geometry as
The Syntesis of Hindu Cosmology in Kandariya Mahadev Temple,
Khanjaro. Korea Selatan: Jurnal Elsevier Incha.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
Robiansyah, Firman. (2010). Integrasi Pendidikan Nilai dalam Pembelajaran
pendidikan agama islam di sekolah dasar sebagai upaya pembinaan
akhlak siswa. diunduh dari http://docs.google.com/gview?url =http://file
.upi.edu/Direktori/Jurnal/Pendidikan dasar/No 14 Oktober_2010/.
Ruseffendi, E.T. (1991). Membangtu Guru Mengembangkan Kompetensinya
dalam Pengajaran Matematika. Bandung : Tarsito.
Slameto, (2003). Belajar dan Faktor-faktor yang Mempengaruhinya. Bandung:
PT. Remaja Rosdakarya.
Sam, S. (1950). Riwayat Singkat Pembangunan Tjandi Ciwa Prambanan.
(Percandian Lara Djonggrang). Jakarta : Kementerian P.P dan K.
Djawatan Kebudajaan.
Santiko, Hariani, (1995). “Early Reseach on Saviatic Hinduism during the
Majapahit Era.”In the Legacy of Majapahit,ed. John N. Miksic and
Endang Sri Hardiati. Singapure: National Heritage Board.
Sirly Intan S, dkk (2014). Geometri fraktal pada Candi Singosari sebagai
konsep desain museum purbakala singosari. Skripsi Jurusan Arsitektur
Universitas Brawijaya. Malang.
Sugiyono (2008). Metode Penelitian Pendidikan: Pendekatan Kuantitatif,
kualitatif, dan R & D. Bandung: Alfabeta.
Sumarmo, U. (1987). Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematik
Siswa SMA dikaitkan dengan Penalaran Logik Siswa dan Beberapa Unsur
Proses Belajar Mengajar. Disertasi pada Pascasarjana IKIP Bandung:
tidak diterbitkan.
Sumintarja, D., (1978). Kompidium Sejarah Arsitektur (Jilid I). Yayasan
Lembaga Pendidikan Masalah Bangunan, Bandung.
Team Balai (2004). Purna Pugar Konsolidasi Candi Siwa Komplek Candi
Prambanan. Laporan BRCB Yogyakarta.
Timbul Haryono, dkk (2004). Pelapukan Candi Siwa Prambanan dan Upaya
Penanganannya. Balai Pelestarian Peninggalan Purbakala Yogyakarta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
Zohreh Kiani (2015). The Structural and Spatial Analysing of Fraktal Geometry
in Organising of Iranian Traditional Architecture. Procedia Sosial and
Behavioral Science.
Suryabrata, Sumadi (2005). Pengembangan alat ukur psikologis. Yogyakarta:
Andi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
LAMPIRAN A
A.1. Gambar Struktur Tingkatan Candi Siwa Prambanan
A.2. Gambar Tampak Depan Candi Siwa Prambanan
A.3. Gambar Denah Tampak Atas Candi Siwa Prambanan
A.4. Contoh Perhitungan Dimensi Fraktal Metode Box
Counting
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
Lampiran A.1. Gambar Struktur Tingkatan
Candi Siwa Prambanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
Lampiran A.2. Gambar Tampak Depan
Candi Siwa Prambanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
Lampiran A.3. Gambar Denah Tampak
Atas Candi Siwa Prambanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
Lampiran A.4. Contoh Perhitungan
Dimensi Fraktal Metode Box Counting
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
LAMPIRAN B B.1. HLT Pembelajaran
B.2. LKS Pembelajaran
B.3. Grid Skala Perhitungan Dimensi Fraktal
B.4. Angket Siswa
B.5. Hasil Jawaban LKS Pembelajaran
B.6. Foto Proses Pembelajaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
137
Hipotesa Learning Trajectory
( HLT )
Sekolah : MA Sunan Pandanaran
Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan geometri fraktal dalam
pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :1.1. Menggunakan aturan pengukuran dimensi
geometri fraktal dalam pemecahan masalah
Indikator
Siswa diharapkan dapat:
Menggunakan aturan dalam pengukuran dimensi fraktal
Menentukan Dimensi fraktal menggunakan aturan Box – Counting
Tujuan Pembelajaran:
Siswa memahami aturan pengukuran dimensi fraktal
Siswa dapat menemukan dimensi fraktal menggunakan aturan box-
counting
Materi Pokok/Pembelajaran: Geometri Fraktal
Pengukuran dimensi fraktal, aturan Box-counting
Prosedur pembelajaran:
Masalah
Berikut diberikan gambar daun dalam dua jenis. Dari gambar tersebut kemudian
hitunglah berapa dimensinya menggunakan metode perhitungan kotak. Adapun
caranya adalah dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut pada masing-
masing gambar daun.
1. Letakan gambar daun di atas meja atau tempat yang rata
2. Letakan plastik bergambar kotak di atas gambar daun tersebut dengan urutan
pertama plastik dengan ukuran kotak terbesar sampai terkecil
Lampiran B.1. HLT Pembelajaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
138
3. Setelah meletakan plastik pertama kemudian hitunglah ada berapa banyak
kotak yang masuk dalam gambar tersebut.
4. Begitu seterusnya satu persatu sampai pada plastik dengan ukuran kotak
paling kecil.
5. Tuliskan jumlah kotak tersebut ke tabel sesuai dengan kolom yang disediakan
dan sesuai dengan urutan skala kotak ukurnya.
6. Hitunglah nilai masing-masing kolom pada tabel kemudian tentukan rata-rata
hasil akhirnya.
7. Ikuti langkah tersebut dari No. 1 sd No. 6 untuk menghitung dimensi gambar
daun yang kedua.
8. Setelah menyelesaikan semua perhitungan tersebut berilah kesimpulan dan
komentar anda tentang hasil dari masing-masing gambar jika dikaitkan
dengan ukuran dimensi benda yang sudah anda ketahui.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
139
Kelompok A DAN B
Gambar Pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
140
Kelompok A DAN B
Gambar Pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
141
Kelompok C DAN D
Gambar Pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
142
Kelompok C DAN D
Gambar Kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
143
Kelompok E DAN F
Gambar Pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
144
Kelompok E DAN F
Gambar Kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
145
Prediksi Jawaban Siswa
Kemung
kinan ke Aktifitas Siswa
Langkah Solusi yang
dilakukan oleh Guru
1
1. Siswa akan menempatkan gambar
berhimpit dengan salah satu sisi dari
box nya.
2. Siswa akan menghitung untuk box
yang tidak penuh terisi oleh gambar
dengan perkiraan sebagian dari box
3. Siswa akan menginput jumlah box
nya sesuai skala pada tabel yang
disediakan
4. Siswa menghitung berapa nilai
logaritma masing2 jumlah gridnya
5. Siswa mengalami kebingungan
dalam menghitung nilai dimensinya
berdasarkan rumus dimensi fraktal
(Db)
6. Siswa akan membandingkan hasil
perhitungan pada daun pertama dan
daun kedua berdasarkan hasil
dimensinya.
7. Siswa ragu-ragu kenapa hasilnya
berbentuk pecahan atau tidak bulat.
1. Guru menanyakan kepada siswa
kenapa ditempatkannya di
pinggir tidak ditengah.
2. Guru menanyakan kenapa
perhitungan box yang tidak
penuh dihitung sebagian.
3. Guru mengarahkan bagaimana
cara menghitung rumus Db
4. Guru mempertegas bagaimana
ukuran dalam geometri euclid
dengan memberi berbagai
contoh
2
1. Siswa akan menempatkan gambar
tepat ditengah-tengah gambar box
nya.
2. Siswa akan menghitung banyaknya
box yang terisi penuh oleh gambar
saja.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
146
3. Siswa akan menginput jumlah box
nya sesuai skala pada tabel yang
disediakan
4. Siswa menghitung berapa nilai
logaritmanya
5. Siswa akan menghitung nilai
dimensinya berdasarkan rumus
dimensi fraktal atau Db
6. Siswa akan memberikan komentar
bahwa daun yang lebih rumit dan
lebih banyak kotaknya hasil
dimensinya lebih tinggi.
7. Siswa langsung memberi
kesimpulan bahwa dimensi
geometri fraktal tidak berbentuk
bulat tapi pecahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
147
Tabel perhitungan dimensi fraktal
Metode Box Accounting
Rumus Perhitungan Nilai Db :
𝐷𝑏 =log(𝑁𝑠2) − 𝑙𝑜𝑔(𝑁𝑠1)
log (1
𝑠2) − log (1
𝑠1)
1. Berikan komentarmu tentang hasil perhitungan pada daun pertama
dibandingkan dengan daun yang kedua
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
................................................................................................
No Skala Grid
(N)
Banyak Kotak
(1/s)
Log (N)
Ambil nilai
depannya saja
Log (1/s) Db
1 3 x 5
2 6 x 10
3 12 x 20
4 24 x 40
5 Rata – rata Dimensi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
148
2. Berikan kesimpulan kalian tentang dimensi dari geometri fraktal
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
................................................................................................
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
149
LEMBAR KERJA SISWA
Nama Sekolah : MA Sunan Pandanaran Yogyakarta
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XIIE IPS
Waktu : 2 𝑥 45 menit
Nama Kelompok : ……………………………………………………………..
Anggota Kelompok : 1. …………………………………………………….........
2. ………………………………………………………….
3. ………………………………………………………….
4. ………………………………………………………….
5. .................................................................................
A. Petunjuk Pengerjaan Soal:
1. Berdoalah sebelum mengerjakan soal!
2. Isilah identitas anda dengan lengkap dan jelas!
3. Bacalah soal dengan cermat sebelum mengerjakannya!
4. Selesaikan soal dengan jelas dan tepat pada lembar jawaban yang
telah disediakan dengan menggunakan bolpoin!
5. Gunakan program excel untuk melengkapi perhitungan pada kolom
tabel fraktalnya.
Lampiran B.2. LKS Pembelajaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
150
B. Selesaikan soal berikut
Gambar berikut adalah gambar daun dari beberapa jenis, perhatikan gambar
tersebut dan bagaimana cara mengetahui apakah gambar daun tersebut memiliki
unsur fraktal dengan menghitung dimensinya ?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
151
1. ermasalahan gambar daun pertama
2. Permasalahan gambar daun yang kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
152
1. Permasalahan gambar daun pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
153
2. Permasalahan gambar daun yang kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
154
1. Permasalahan gambar daun pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
155
2. Permasalahan gambar daun yang kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
156
Berdasarkan gambar daun tersebut
1. Lengkapilah kolom-kolom pada tebel berikut !
2. Gunakan skala grid sebagaimana terdapat pada tabel !
3. Gunakan program excel untuk bantuan mencari nilai lognya !
4. Tentukan berapa nilai akhir rata-rata Db pada kolom tabel !
TABEL GAMBAR DAUN PERTAMA
Skala Grid Banyak grid
Skala (N)
Banyak Kotak
Terdeteksi
(1/s)
Log (N) Log (1/s) Db
3 x 5 3
6 x 10 6
12 x 20 12
24 x 40 24
Rata-rata Db
Rumus Db = [𝑙𝑜𝑔 (𝑁𝑆(𝑛+1))−log (𝑁𝑆(𝑛))]
[log((1
𝑠(𝑛+1))−log (
1
𝑠(𝑛))]
Keterangan :
Db = Dimensi-dimensi topologi dari setiap objek
1/s = Panjang unit dari pengukuran
N = Banyaknya subsegmen atau sub unit persegi atau sub unit kubus
dari setiap objek
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
157
TABEL GAMBAR DAUN KEDUA
Skala Grid Banyak grid
Skala (N)
Banyak Kotak
Terdeteksi
(1/s)
Log (N) Log (1/s) Db
3 x 5 3
6 x 10 6
12 x 20 12
24 x 40 24
Rata-rata
1. Berikan komentarmu tentang hasil perhitungan pada daun pertama
dibandingkan dengan daun yang kedua
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
2. Berikan kesimpulan kalian tentang dimensi dari geometri fraktal
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
................................................................................................
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
158
Box Skala 3 x 5
Lampiran B.3. Grid Skala Perhitungan
Dimensi Fraktal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
159
Box Skala 12 x 20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
160
Box Skala 6 x 10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
161
Box Skala 24 x 40 Box Skala 24 x 40 Box Skala 24 x 40 Box Skala 24 x 40 Box Skala 24 x 40 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
162
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
163
ANGKET
RESPON SISWA TERHADAP PEMBELAJARAN
PENGAYAAN MATERI GEOMETRI FRAKTAL
SISWA KELAS XII A MA SUNAN PANDANARAN YOGYAKARTA
I. Petunjuk Pengisian
1. Bacalah pertanyaan berikut dengan teliti
2. Pilihlah alternatif jawaban yang sesuai dengan keadaan Saudara
3. Jawablah dengan jujur karena angket ini tidak berpengaruh terhadap
nilai
4. Jawaban dari angket ini akan dirahasiakan oleh peneliti
5. Atas kerjasama dan partisipasi Saudara diucapkan terima kasih
II. Identitas
Nama : .............................................................
Kelas : .............................................................
Daftar Pertanyaan
1. Pembelajaran materi dimensi fraktal baru pertama ini saya pelajari
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
2. Menurut saya materi pembelajaran dimensi fraktal mudah untuk
dipelajari
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
3. Saya merasa senang dan termotivasi untuk belajar materi dimensi
fraktal
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
4. Menurut saya materi dimensi fraktal layak dipelajari di SMA sebagai
tambahan wawasan geometri
Lampiran B.4. Angket Siswa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
164
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
5. Saya merasa berminat untuk mempelajari geometri fraktal lebih
banyak lagi
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
6. Geometri fraktal menarik dipelajari karena langsung terkait dengan
alam dan dunia nyata
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
7. Dalam penyampaian materi pembelajaran guru terlihat monoton dan
cenderung membosankan
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
8. Proses pembelajaran berjalan dengan kondusif dan saya merasa
nyaman dengan belajar kelompok model ini
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
9. Saya merasa lebih tertarik belajar dengan model ini dibanding dengan
pembelajaran yang biasa saya alami
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
10. Saya merasa lebih aktif untuk belajar dengan model belajar kelompok
seperti ini
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
11. Modul latihan yang diberikan menurut saya sistematis dan mudah
untuk dipelajari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
165
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
12. Saya tidak mengalami kesulitan ketika mengikuti langkah pengerjaan
yang terdapat di modul latihan soal
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
13. Saya merasa terbantu dan bisa berfikir lebih bebas ketika
mengerjakan modul latihan soal
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
14. Saya merasa senang dengan pembelajaran yang menggunakan
fasilitas komputer
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
15. Saya merasa tertarik untuk mendalami materi dimensi fraktal yang
menggunakan pemograman komputer atau program Matlab
a. Sangat setuju
b. Setuju
c. Kurang setuju
d. Tidak setuju
Berilah jawaban dari pertanyaan berikut sesuai dengan yang anda
rasakan
1. Kesulitan apa yang kamu alami selama mempelajari materi
pengukuran dimensi geometri fraktal ?
............................................................................................................................. ..............
...........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..............
..................................................................
............................................................................................................................. ..............
......................
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
166
2. Tuliskan kesan dan pesan anda selama pembelajaran berlangsung. ....................................................................................................................................... ....
............................................................................................................................. ..............
............................................................................................................................. ..............
..................................................................
...........................................................................................................................................
......................
3. Berikan masukan atau usulan anda terhadap proses pembelajaran
materi dimensi geometri fraktal. ...........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..............
............................................
............................................................................................................................. ..............
......................
...........................................................................................................................................
......................
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
167
Lampiran B.5. Hasil Jawaban LKS
Pembelajaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
168
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
169
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
170
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
171
Guru memulai pembelajaran Geometri Fraktal Sedang pembagian kelompok belajar
Siswa berkumpul sesuai dengan kelompoknya Guru mengecek kesiapan dari masing-masing kelompok
Lampiran B.6. Foto Proses Pembelajaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
172
Siswa kelompok A mulai bekerja menghitung banyak grid Siswa kelompok B menghitung banyak grid
Siswa menggunakan skala plastik menghitung banyak grid Siswa menghitung banyak grid pada skala kotak terkecil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
173
Ssiwa mulai mengisikan hasilnya pada LKS Siswa kembali menghitung banyak grid pada gambar yang lain
Guru mengecek proses input dan perhitungan pada
program excel Guru mempersilahkan kepada perwakilan kelompok
untuk menyampaikan hasil diskusinya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
174
Perwakilan kelompok A mempresentasikan hasil diskusinya
Perwakilan kelompok A menerangkan isian tabel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
175
LAMPIRAN C
C.1. Surat Permohonan Izin Penelitian
C.2. Surat Izin Penelitian dari Balai Pelestarian Cagar
Budaya
C.3. Surat Keterangan Telah melakukan Penelitian dari
Sekolah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
176
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
177
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Recommended