The Van Everdingen Hurst Unsteady State Model

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THE VAN EVERDINGEN-HURSUNSTEADY-STATE MODEL

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Modelos de

acuífero

Los modelosmatemáticos de influjo de agua comúnmente utilizados en la industria petr

1. ESTADO ESTABLE

(A) POT

(B) SCHITHUIS (1936)

(C) HURST (1943)

2. ESTADO INESTABLE

(A) VAN EVERDINGEN-HURST (1949)

(B) CARTER-TRACY (1960)

(C) FETKOVICH (1971)

(D) ALLARD-CHEN (1984)

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• LAS FÓRMULAS MATEMÁTICAS QUE DESCRIBEN EL

FLUJO DE UN SISTEMA DE PETRÓLEO EN UN

YACIMIENTO SON IDÉNTICAS A LAS ECUACIONES

QUE DESCRIBEN EL FLUJO DE AGUA DE UN

ACUÍFERO HACIA UN YACIMIENTO CILÍNDRICO

• CUANDO UN POZO SE LLEVA A PRODUCCIÓN A

UNA TASA DE FLUJO CONSTANTE DESPUÉS DE UN

PERIODO DE CIERRE, EL COMPORTAMIENTO DE LA

PRESIÓN SE CONTROLA POR LA CONDICIÓN DE

FLUJO INESTABLE. (LA FRONTERA NO TIENE

EFECTOS SOBRE EL COMPORTAMIENTO DE LA

PRESIÓN).

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Presión ad(estado

Radio adimensional

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• DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD (ESTADO INESTABLE)

DONDE

• LUEGO INTRODUCIMOS LOS TÉRMINOS ADIMENSIONALES EN LA ECUACIÓN DE D

Obtenemos

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• Van Everdingen y Hurst resolvieron la ecuación de influjo para un sistema yacimiento

transformadade Laplace a la ecuación de difusividad.

 = ,

 =  ∗

∅∗∗∗, TIEMPO ADIMENSIONAL F(T

 =  

, RADIO ADIMENSIONA

= (  ), ENTRADA REAL DE AGUA AL Y

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condiciones de frontera en los acuiferos:• Caudal de intrusion de agua en la frontera constante (para un peri

• Caida de presion constante (calculada en la frontera)

• El caudal de intrusion de agua sera funcion de la caida de preen la frontera en un periodo dado

Sistemas en donde se determina la intrusión de agua:

- Sistema radial

- Sistema de fondo

- Sistema lineal

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Condiciones iniciales y de frontera exte

• CONDICIÓN INICIAL:

P = PI, ∀T

• CONDICIÓN DE LA FRONTERA EXTERNA:ACUÍFERO INFINITO:

ACUÍFERO FINITO:

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CONDICIONES DEL ACUIFERO

Espesor uniforme

Permeabilidad constante

Porosidad uniforme

Compresibilidad de la roca constante

Compresibilidad del agua constante

Estas condiciones se dan por el hecho de que para la obtención de la ecuación de difusividad se h

suposiciones.

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Procedimiento para calcular We

1. Identificar el tipo de flujo del acuífero al reservorio.

2. Si se trata de un acuifero finito, calcular rd

3. Calcular la constante B del acuífero

4. Calucular td y otras variables del modelo

5. Calcular wed (tablas, gráfica, correlación)

6. Calcular △ p

7. Calcular we

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EDGE WATER DRIVE SYSTEM (SISTEMA RAD• SISTEMA RADIAL: la frontera interna se define como la interfase del yacimiento y el acu

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Expresiones para el calculo del influjoagua

• Donde:

•

WE: Influjo de agua acumulado [bbl]• B: Constante de influjo de agua [BBL/PSI]

•   △ P = PI   − P

• WED: Entrada de agua adimensional

 = △

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Acuífero finito o infinito

• YACIMIENTO FINITO:

 = 

• YACIMIENTO INFINITO

 = 

= ∞

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• En la expresión de la constante B se asume que el agua esta invadiendo

radial. A aunque usualmente el agua no interfiere en todos los lados del entonces agregamos el siguiente parámetro

Constante de intrusión de agua B

•   : Porosidad del acuífero

• Re: radio del yacimiento [ft]

• Ct = cw + cr: compresibilidad

• h= espesor del acuífero (ft)

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()

(í)

• T: tiempo [horas o dias]

• K: permeabilidad del acuífero [md]

•   : Porosidad del acuífero

• Re: radio del yacimiento [ft]

• Ct = cw + cr: compresibilidad total [

•   w= viscosidad del agua en el acuíf

 = △

Cálculo del tiempo adimensional tD

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• PARA T D < 0. 01:

• PARA T D > 200:

 = . + . + .

   + .

+. + .

Para 0. 01 < t D < 200:

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• En la figura se ilustra la disminución de

presión en la frontera como una

función del tiempo para un sistema

yacimiento-acuífero radial.

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• Si la presión en WOC se reduce r

tiempo t, de pi a p1, un delta d

impone a través del acuífero

expandiéndose y la presión se re

desplazándose hacia fuera dentr

• Si un tiempo después presión de la frontera se ha reducido a p1, una segunda pre

se impone en la frontera, una onda de presión nueva comenzará a moverse hacia afu

nueva caída de presión será P1-P2. Esta segunda onda de presión se mueve detrás d

de presión.

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• PASO 1:

Suponga que la presión en el limite se ha reducido desdesu valor inicial pi a p1 después de t días. El influjo de

agua se puede calcular con la siguiente expresión:

Paso 2: la declinación de la nueva presión limite a p2después de t2 en días da una caída de presión δp2. El

influjo de agua total acumulado después de t2 días será

el resultado de la primera caída de presión δp1 y la

segunda caída de presión δp2.

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• PASO 3:

Una tercera caída de presión de p3=p2-p3

causaría un flujo adicional de agua. El flujo toal

de agua acumulada puede calcularse a partir

de:

INFLUJO DE AGUA EXPRESADO COMO:

LA CAÍDA DE PRESIÓN TOTALExpresada como:

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EMPUJE DE FONDO

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• La solución a la ecuación de difusividad radial se considera el modelo de acuífero m

fecha. Sin embargo, la solución propuesta no es adecuada para describir el avance vsistemas de empuje de fondo. Coats (1962) presenta un modelo matemático que

efectos de flujo vertical desde acuíferos con empuje de fondo.

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• Allard y chen(1988) sugieren que es posible derivar una solución g

ecuación que es aplicable a una variedad de sistemas en términos

adimensional td, radio adimensional rd y una nueva variable

adimensional zd.

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EMPUJE LINEAL

Con

 = ∅ ∗ ∗ ℎ ∗

5.615

Donde

Bl=constante de influjo de agua, bbl/psi/√

La entrada de agua de un acuífero

proporcional a la raíz cuadrada dLa entrada de agua adimensional spor la raíz cuadrada del tiempo, vipor: