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8/13/2019 Theorie Des Graphes-Extrait
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8/13/2019 Theorie Des Graphes-Extrait
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LLeeoonn66 :: LLee pprroobb llmm eedduufflloo tt mmaa xx iimm uumm 115
1-Dfinitions 1162-Le problme de la recherche du flot maximum 119Exercices corrigs 127
LLeeoonn77 :: LLee pprroobb llmm eedd ''aa ffffeeccttaa tt iioonn 131
1-Position du problme 1332- La rsolution du problme daffectation par la mthode
hongroise134
Exercices corrigs 145LLeeoonn88 :: PPrroobb llmm eedd'' OOrrddoonnnnaa nncceemm ee nntt 149
1-La reprsentation du rseau PERT 1512-La dtermination du calendrier des dates au plus tt et des
dates au plus tard154
3-Analyse et identification des tches critiques 156Exercices corrigs 160
SSoolluutt iioo nnssddee ssEE xxeerrcc iiccee ss 163
Solutions : Concepts fondamentaux de la thorie des graphes 164Solutions : Autres reprsentations dun graphe 168Solutions : La connexit dans un graphe 175Solutions : Les cheminements remarquables 190Solutions : Arbres et Arborescences 192Solutions : Le problme du flot maximum 206Solutions : Le problme d'affectation 223Solutions : Problme d'Ordonnancement 236
BB ii bb ll ii oo gg rraa pp hh ii ee 248
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6
8/13/2019 Theorie Des Graphes-Extrait
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7
o n C o n c e p t s f o n d a m e n t a u x d e
l a t h o r i e d e s g r a p h e s
Objectif de la leon :
Savoir comment reprsenter graphiquement unproblme.
Dans cette leon:
1) Dfinitions2) Structure dun graphe 3) Les graphes particuliers4) Algorithme de K-coloration dun graphe
Exercices corrigs
8/13/2019 Theorie Des Graphes-Extrait
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 8
8
La thorie des graphes est un outil puissant de modlisation et de rsolution
de problmes concrets. A lorigine, la thorie des graphes tait prsente comme
une curiosit mathmatique; Euler lors dune de ses promenades nocturnes a
voulu tracer un itinraire circulaire dans la ville de Koeinsberg. Partant dun
point donn, il voulut visiter les sept ponts de cette ville (disposs selon le schma
ci-dessous) une seule fois seulement, puis retourner son point de dpart.
Les points A, B, C et D sont des rives.
Ensuite la thorie des graphes a t utilise pour modliser des circuits
lectriques (Kirchoff), puis a trouv de nombreuses applications dans diffrents
domaines tels : la chimie, la psychologie etc.
Pont 1 Pont 2Pont 3
Pont 4
Pont 7Pont 5
D
B
A
Pont 6C
Figure 1
8/13/2019 Theorie Des Graphes-Extrait
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 9
9
11 -- DD ffii nn ii tt ii oo nn ss ::
1.1. Qu es t ce q u u n grap h e ?
C'est en 1822 que le mot graphe est introduit par l'Anglais J.J.Sylvester, eten 1936 que parat le premier livre sur la thorie des graphes, crit par D. Knig.
Un graphe est un dessin gomtrique dfini par la donne d'un ensemble de
points (appelssommets ou nuds), relis entre eux par un ensemble de lignes ou
de flches (Appeles artes ou arcs). Chaque arte a pour extrmits deux points,
ventuellement confondus.
Les graphes peuvent servir reprsenter un grand nombre de situations
courantes comme :
Les liens routiers Les rseaux de communication Les circuits lectriques Les liens entre diverses personnes ou entits administratives
Exemple :
La figure suivante reprsente un plan de circulation sens unique dune ville
o chaque localit est reprsente par un point appel sommet et chaque route par
un arc orient indiquant le sens de la circulation.
Ainsi les notions quon peut dfinir sur un graphe, vont servir rsoudre
certains problmes lis diffrents domaines.
A
B
D
C
E
Figure 2
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 10
10
1 .2.Grap h e or ie n t :
Un graphe orient est un systme form dun ensemble fini de sommets que
lon notera {x1, x2,..xn} et dun ensemble fini darcs reliant dans un ordre biendfini ces sommets, ou un certain nombres dentre eux not { u1,u2 ,..um}.
Exemple :Le graphe Gci-contre est orient :
Mathmatiquement, un graphe orient est reprsent par le couple G=(X, U), o : Xest lensemble des sommets. Uest lensemble des arcs.
Notation :On note un arc reliant un sommet x au sommet y dans un graphe Gpar :
u=(x, y).
Si le graphe Gcontient n sommets, on dit alors que Gest dordre nChaque arc du graphe G relie respectivement deux sommets, le sommet de
dpart qui reprsente lextrmit initiale de larc et le sommet darrive qui
reprsente lextrmitterminale.
xu
u10
B
D
C
E
u1
u2
u4
u5
u6
u7
u8
u9
A
(G)
Figure 3
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 11
11
Autrement di t :Un graphe orient est dfini par le quadruplet : G=(X, U, I,T) o
Iest lapplication extrmit initiale dun arc dfinie par:I : U X
(x, y) I(x, y) =x
Test lapplication extrmit terminale dun arc dfini par:T : U X
(x, y) T(x, y) =y
Exemple :Soit u1=(A, B)un arc de lensemble des arcs Udu graphe Gci-dessus :
Remarque :On appelle larc dont lextrmit initiale est confondue avec lextrmit terminale
uneboucle note u= (x, x)
Exemple :Soit u10= (A,A)un arc de lensemble des arcs Udu graphe Gde la figure 3
Les deux extrmits de larc u10 sont confondues, cest--dire : I(u10) =A et
T(u10)=A.
Larc u10est donc une boucle
1 .3.Grap h e n on o r ien t :
Si on dfinit une relation sur un ensemble o la notion dordre nest pas
importante, on reprsente ainsi la relation entre deux sommets par un arc nonorient appel arte. On obtient alors un graphe non orient, not G=(X.E).
A Bu1
Le sommet A est lextrmitinitiale de larc u1Note : I(u1) =A
Le sommet B est lextrmitterminale de larc u1Note : T (u1) =B
A
u10
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 12
12
Exemple :
Considrons le plan de la ville de Koeinsberg
modlis par Euler sous forme dun graphe non orientG=(X, E)o :
X= {A, B, C, D}; reprsente les diffrentes rives. E= {AB, AC, AD, DB (2), DC (2)} ; reprsente
lensemble des ponts.
On dira quil existe une arrte entre deux sommets
sil existe un pont permettant de relier deux rives
Remarques :Une arte dont les extrmits sont confondues est une boucle.
Une arte peut tre transforme en deux arcs de sens dfrents
1 .4.Grap h e s imp le e t grap h e mu l t ip le :
Un graphesimpleest un graphe sans boucles ni arcs (artes) multiples.
Dans le cas contraire, cest dire, si des boucles ou des arcs (artes)
multiples sont autoriss, on dira alors que le graphe est multiple.
Exemple :
A
B
C
D
y
x
x
y
Artes multiples Arcs multiples
xx
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 13
13
On dfinit ainsi, la multiplicit dun graphe orient multiple par le nombre
maximum darcs ayant la mme extrmit initiale et la mme extrmit terminale.
Soit pce nombre, on dit alors que G est un pgraphe .P = Max {uU / I(u) =x et T (u) =y}
Exemple :Le graphe dEuler est un graphe multiple, car des artes multiples relient les
sommets Det Bet les sommets Det C.
1.5.Len semb le d es p rd cesseu rs , su ccesseu rs e t vo i s in s
d u n sommet :
Considrons le graphe correspondant la Figure 2 :
Partant des localits B et E, on peut atteindre la localit A par deux routesdirectes BAet EA.
Les sommets B et E forment ainsi lensemble des prdcesseursde A, quon
note -(A)
A
B
C
D
Artes
multiples
Prdcesseurs du
sommet AA
B
E
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 14
14
Partant de la localit A, on peut atteindre directement les localits B et D,respectivement par les deux routesABetAD.
Les sommets Bet D forment ainsi lensemble des successeursdeA, quonnote +(A).
Lensemble des voisinsdu sommetAest gal la runion de lensemble de sesprdcesseurs et de ses successeurs, on le note (A)ouV(A).
Notation :Soit G=(X, U)un graphe orient :
Lensemble des prdcesseurs dun sommet xse dfinit par :-(x) ={yX / uU o I(u)= y et T(u)=x}
Lensemble des successeurs dun sommet xse dfinit par :+(x) ={yX / uU o T(u)= y et I(u)=x}
Lensemble des voisins dun sommet xse dfinit par :(x) = +(x) -(x)
A
B
D
Successeurs du
sommet A
A
B
D
E
Voisins du
sommet A
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 15
15
Exemple :Soit le graphe G=(X, U) suivant :
Daprs le graphe :
+(A)= {B, D, E} et -(A)= {B}Alors : (x) = {B, D, E}
+(B)= {A, E} et -(B)= {A, C}Alors : (x) = {A, C, E}
+(C)= {B, E} et -(C)= {D}Alors : (x) = {B, D, E}
+(D)={C} et -(D)= {A}Alors : (x) ={C, A}
+(E)= et -(E)={A, B, C}Alors : (x) = {A, B, C}
1.6. Le d egr d u n sommet :
Soit le graphe de la figure 4, considrons le sommetA:
Une route mne vers la localit Aet 3 autres en partent, on peut dfinir ainsila notion de degr dun sommet dans un graphe comme suit:
Le sommet Aest lextrmit initiale de 3 arcs, on dit alors que le demi -degrextrieur deAest 3, on le note Gd (A)=3.
De mme le sommet Aest lextrmit terminale dun seul arc. On dit dans cecas que le demi-degr intrieur deAest 1 on le note d-G(A)=1
La somme du demi-degr intrieur et du demi-degr extrieur du sommet Adfinit le degr du sommetAquon note d (A)=4
Notation :Soit G=(X, U)un graphe orient on a :
Le demi-degr extrieur dun sommet xest gal au nombre darcs ayant lesommet xcomme extrmit initiale, on dit aussi le nombre darcs incidents
extrieurs au sommet x. On le note : d+G(x) ={uU/ I(u)=x}
A
A
E
B
D
C
Figure 4
8/13/2019 Theorie Des Graphes-Extrait
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 16
16
Le demi-degr intrieur dun sommet xest gal au nombre darcs ayant lesommet x comme extrmit terminale, on dit aussi le nombre darcs
incidents intrieurs au sommet x. On le note : d-G(x) ={uU/ T(u)=x}
Le degr dun sommet x est le nombre darcs ayant x comme extrmitinitiale ou terminale, on dit aussi le nombre darcs adjacents x.
On le note dG(x) = d+
G(x) + d-G(x)
Remarque :Si un sommet possde une ou plusieurs boucles, chacune apporte une contribution
de 2 dans le calcul du degr de ce sommet.
Proprits :1)Dans un graphe orient G=(X, U), la somme des demi-degrs intrieurs des
sommets de Gest gale la somme des demi-degrs extrieurs des sommets
de G,
Autrement dit :
XxXx
xG
xG
dd )()(
2)Dans tout graphe, la somme des degrs est un nombre pair.3)La somme des degrs dun graphe non orient est gale deux fois le
nombre dartes.
Exemple :
Le tableau suivant dtermine les demi-degrs extrieurs et intrieurs dessommets du graphe prcdent de la figure 4.
A B C D E Total
d (x) 3 2 3 1 0 9
d (x) 1 2 1 1 4 9d (x) 4 4 4 2 4 22
On voit bien que :
XxXx
xG
xG
dd )()(est vrifie et
Xx
xG
d )( est un nombre pair.
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 17
17
Notation :On note le plus grand degr des sommets dun graphe par (G) et le plus
petit degr des sommets par (G). Autrement dit :Gx
Max
d(x)=(G) etGx
Min
d(x)=(G)
Application lexemple:
(G) = Min [dG(A), dG(B), dG(C), dG(D), dG(E)] = Min [4, 4, 4, 2, 4] = 2
(G) = Max [dG(A), dG(B), dG(C), dG(D), dG(E)] = Max [4, 4, 4, 2, 4] = 4
Remarque :On appelle un sommet dont le degr est gal zro [dG(x)=0] un sommet isol
et un sommet dont le degr est gal un [dG(x)=1] un sommet pendant.
Exemple :Soit le graphe G=(X, U)suivant, et considrons les sommetsAet D:
dG(A) =1 alors le sommetAest un sommet pendant. dG(D) =0 alors le sommet Dest un sommet isol.
22 -- SS tt rruu cc tt uu rree dd uu nn gg rraa pp hh ee ::
Considrons le rseau routier de lAlgrie G=(X, U)tel que :
X reprsente lensemble des villes dAlgrie et U reprsente lensemble desroutes nationales et dpartementales algriennes.
a) Soit A X, lensemble des villes de la wilaya de Tizi_Ouzou et UAlensemble desroutes reliant ces villes. On dfinit ainsi le graphe GA= (A, UA), ditsous-graphedeG, reprsentant lensemble du rseau routier de la wilaya de Tizi_Ouzou.
b)Soit W U, lensemble des routes dpartementales Algriennes. On dfinitainsi le graphe GW=(X, W), dit graphe partiel de G reprsentant les routes
dpartementales Algriennes.
A
E
B
D
C
(G)
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 18
18
c)Soient UA lensemble des routes reliant les villes de la wilaya de Tizi_Ouzou(nationales et dpartementales) et W lensemble des routes dpartementales
algriennes. On dfinit ainsi le graphe GA,W=(A
,WUA), ditsous-graphe partielde Greprsentant lensemble des routes dpartementales de la wilaya de Tizi-
Ouzou.
Exemple :Soit le graphe dEuler G=(X, U):
Soient A= {A, D, C}etW= {e1, e2, e5}
a)Le sous-graphe engendr par Aest le graphe GA= (A, EA), avec EA={e2, e3, e5, e7}
b)Le graphe partiel engendr parWest :
e7
e6
e5
e4
e3
e2
e1
A
B
C
D
e7e5
e3
e2A
C
D
e5
e2
e
A
B
C
D
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 19
19
c)Le sous-graphe engendr parAetWest :
33 -- LL ee ss gg rraa pp hh ee ss pp aa rrtt ii cc uu ll ii ee rrss ::
3 .1. Grap h e co mp le t :
On appelle graphe completun graphe dont tous les sommets sont adjacents.
Exemple :
Les sommets x1 et x3 dans le graphe (G1)ne sont pas adjacents, le graphe est
donc non complet.
Les sommets du graphe (G2) sont tous adjacents, do le graphe (G2) estcomplet.
Si un graphe Gest simple et complet, dordre n, on le note Kn.
Exemple :
e5
e2
A
C
D
x2
x1
x3
x4
(G1)
x2
x1
x3
x4
(G2)
x2
x1
x3
x1
x2
x3
x4
K3 K4
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 20
20
3 .2. Grap h e co mp lmen ta ire :
A un graphe simple G=(X, U), on peut dfinir un graphe complmentaire
),( ____ UXG comme suit : UuUu __
Cest dire : une arrte (arc) appartient au graphe complmentaire (__
G ) si
elle nappartient pas au graphe initial G
Exemple :On considre le graphe simple suivant :
Son graphe complmentaire (__
G ) est :
Consquence :__
GG est un graphe simple complet, donc un Kn
Appl ica ti on :Quatre runions sont programmer dans une administration auxquelles
participent 7 responsables de services. Chaque responsable peut participer
plusieurs runion comme lindique le tableau suivant:
x1
x3
x2
x4
(G)
x1
x3
x2
x4
(__
G )
G G =k4
x1
x3
x2
x4
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 21
21
Les par ti cipants Les confrencesR1 C1, C2, C3
R2 C2, C4R3 C2, C4R4 C1, C2R5 C1, C3R6 C1, C3R7 C2, C4
On associe cette situation le graphe non orient G=(X, E)tel que :
X: lensemble des sommets reprsentant les confrences X= {Ci/i=1 7} E: lensemble des artes, deux sommets sont relis par une arrte si elle ne
peuvent pas avoir lieu au mme temps.
Les confrences 1, 2 et 3 ne
peuvent pas avoir lieu au mme
moment
Le graphe complmentaire (__
G ) du graphe Gdtermine les confrences qui
peuvent avoir lieu au mme moment.
La confrence C1 peut avoir lieu au
mme moment que la confrence C4, mais
ne peut pas avoir lieu la fois avec la
confrence C3
3 .3. Grap h e p la n aire :
Un graphe est dit planairesi on peut le dessiner sur un plan de telle faon
que les artes ne se coupent pas, en dehors de leurs extrmits.
Ce type de graphe est particulirement utilis dans les problmes de circuits
imprims (ces circuits, construits sur des surfaces planes, constituent actuellement
l'une des limitations des dveloppements de l'informatique).
(G)C1 C2
C4C3
C1C2
C4 C3
(__
G )
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 22
22
Exemple :
Dfinitions : Unefacedun graphe planaire est une rgion du plan limit par des artes de
telle sorte que deux points arbitraires dans cette rgion relis par une arte ne
rencontrent ni sommet, ni arte.
La frontire dune face est lensemble des artes qui lentourent. Une face infinie est une face illimite, elle nadmet pas de contour et elle est
unique. Les autres faces sont finies.
Deux faces sont dites adjacentes si leurs frontires ont une arte commune. Remarque :
Les graphes planaires vrifient la formule X+ F = E+ 2, tel que :
F est le nombre de faces (ou rgions),X le nombre de sommets, et E le nombredartes.
Exemple :
On considre le graphe
planaire G suivant, correspondant
une carte gographique :
x1
x2
x4
x3x1
x2
x4
x3
Larte (x2x4)peut treredessine de telle faon
que le graphe soit planaire.
x5
x1
x3
x2
x4
D
C
BA
e1e2
e4
e3
e5
e7
e8
e6(G)
E
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 23
23
A, B, Cet Dsont des faces finies. Eest la face infinie. Les artes e1, e2et e3sont les frontires de la face A. Les facesA et Bsont adjacentes.
3 .4. Grap h e b ip art i :
Un graphe est bipartisi lensemble de ses sommets peut tre rparti en deux
classes X1 et X2 telles que, deux sommets de la mme classe ne soient pas
adjacents. On le note G= (X1, X2, U). Avec : X1X2= X
X1X2=
Exemple :
Remarque : Un graphe G est biparti complet, si tout sommet de X1est adjacent tout sommet de X2. Si de plus le graphe G est simple, alors G est un graphe simple biparti -complet, on
le note Kp .qavec X1=p et X2=q
Exemple :
Considrons le graphe Gsuivant :
Le graphe Gest un graphesimple biparti-complet,
il est un K3. 2
x1
x2
x3
x4x5
G =(X .U )
x2
x4
x5
x1
x3
X1 X2
G= (X1, X2, U)est biparti
x1
x2
x3
x4
x6
(G)
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 24
24
Exemple :Dans un atelier comportant cinq ouvriers o chacun peut effectuer de 1 4
tches, on reprsente les possibilits daffectation des ouvriers aux diffrentes
tches par le graphe biparti (G1):
Si chaque ouvrier peut effectuer toutes les tches, on obtiendra dans ce cas un
graphe simple biparti-complet (G2).
O1
O2
O3
O4
O5
T1
T 2
T3
T4
(G1)
(G2)
O1
O2
O3
O4
O5
T1
T 2
T3
T4
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 25
25
44 -- AA ll gg oo rrii tt hh mm ee dd ee KK -- cc oo ll oo rraa tt ii oo nn dd uu nn gg rraa pp hh ee ::
Le principe :On appelle K-coloration dun graphe G=(X, E) une partition de
lensemble des sommets Xde Gen K-classes (X1, X2, , Xk), de telle faon que
deux sommets dune mme classe ne soient pas adjacents, et les sommets dune
classe sont coloris de la mme couleur. Autrement dit, deux sommets
adjacents nont pas la mme couleur.
Le procd :On commence par tablir une liste ordonne des sommets (ordonner les
sommets suivant l'ordre dcroissant de leur degr)
Tant quil reste des sommets colorier, excuter les actions suivantes :
1.Choisir une nouvelle couleur appele couleur d'usage;2.Chercher dans la liste des sommets le premier sommet non color et le
colorer avec la couleur d'usage ;
3.Examiner tour tour, dans lordre de la liste, tous les sommets non coloriset ; colorier chaque sommet non adjacent un sommet dj color avec la
couleur dusage.
Remarque :On appelle le nombre chromatique dun graphe G, le nombre minimum pour
lequel le graphe G est K-coloriable. On le note par (G). Si(G)=2, le graphe estbiparti.
Appl ica ti on:Soit le graphe G=(X, E)suivant :
(G)
x1x2
x5
x3 x4
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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 26
26
1. On commence par tablir une liste ordonne des sommets suivant l'ordredcroissant de leur degr soit : x1- x3- x4- x5- x2.
2. Colorier le sommet x1 par lacouleur verte (V), puischerchons dans lordre de la
liste, le sommet non color, qui
nest adjacent aucun sommet
color avec la couleur verte,
soit le sommet x4.
La liste ordonne devient
comme suit : x3- x5- x2
3.Colorons le sommet x3 par lacouleur Rouge (R), puis
cherchons dans lordre de la
liste, le sommet non color, qui
nest adjacent aucun sommet
color avec la couleur rouge,
soit le sommet x5.
La liste ordonne devient
comme suit : x3
4.Il reste le sommet x3, colorons-le avec la couleur Bleu (B)Le graphe Gest 3-coloriable, donc il peut tre partitionn en 3 classes :X1={x1, x4}; X2={x2, x5}; X3={x3}.
Le nombre minimum de couleurs est de 3, alors (G)=3. Le graphe G
devient :
V
V
(G
x1x2
x5
x3x4
B
R
R
V
V
(G)
x1x2
x5
x3x4
X3X2X1
1
2
4 5
3
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24/29
27
EE xx ee rr cc ii cc ee ss
Concepts fondamentaux de la thorie des graphes
LL eess ssooll uutt iioonnss ssoonntt ddoonnnn eess ll aa ffiinndduull iivvrree
Exercice 1 :
Problme pos :Dans une partie de jeu dchec, le joueur a effectu les dplacements suivants
pour son cavalier : b1- a3b5c3a4c3d5
Reprsenter les dplacements du cavalier par un graphe orient.
Exercice 2 :
Problme pos :Le tableau ci-dessous donne les liaisons internes assures par diffrentes
compagnies dAIR ALGERIE au 30 dcembre2001.
Alger Bejaia Annaba Oran Constantine Tamanrasset
AlgerBejaia
Annaba
OranConstantine
Tamanrasset
1. Reprsenter les diffrentes liaisons par un graphe2. Dterminer les destinations des vols partant de Annaba.
Indication :Le signe signifie quil ya un vol entre les deux villes.
Notation :1 : Alger, 2 : Bejaia, 3 : Annaba, 4 : Oran, 5 : Constantine, 6 : Tamanrasset
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Exercice 3 :
Problme pos :Le tableau suivant reprsente lintervention de 5 arbitres dans un tournoi,
6 rencontres sont programmes pour la premire journe
Arbitres A1 A2 A3 A4 A5Rencontre M1- M 2 M3-M4 - M2 M5 - M-4- M6 M1-M3 M6- M5
Reprsenter la programmation du droulement des rencontres de la
premire journe par un graphe.
Indication :Deux sommets sont relis par une arte si les rencontres correspondantes
peuvent se drouler au mme moment.
Exercice 4 : (Non corrig)
Problme pos :Reprsenter les situations ci-dessous laide dun graphe :
1. On considre un cube ; un sommet est associ une face du cube etdeux sommets sont relis par une arte si les faces correspondantes
ont une arte commune ;
2. Les sommets du graphe sont tous les sous-ensembles deux lmentsde {1, 2, 3, 4}; deux sommets sont relis si leur intersection est non
vide ;
3. Comparer les deux graphes dfinis ci-dessus.Exercice 5 : (Non corrig)
Problme pos :Une ligue de football comporte 5 quipes.
1. Il est dcid par le bureau de la ligue que lors dun week-enddentranement, chaque quipe jouera quatre matches.
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Faire un planning des rencontres sachant que deux quipes ne peuvent
pas se rencontrer plus dune fois ?
2. Le calendrier tant trop charg, les organisateurs dcident que chaquequipe ne jouera que trois matches. Comment l'organiser ?
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Exercice 6 :
Problme pos :Peut-on tracer le graphe correspondant au tableau suivant ?
xi x1 x2 x3 x4d+G (xi) 0 2 1 4
d-G(xi) 2 1 3 0
Exercice 7 :
Problme pos :On dfinit une relation Rsur lensemble des 9 premiers entiers naturels
non nuls comme suit :
x R y xest un diviseur de y
1. Reprsenter cette relation par un graphe orient.2. Dterminer partir du graphe lensemble des nombres pairs et
lensemble des nombres premiers.
Exercice 8 : (Non corrig)
Problme pos :Donner des exemples dont linterprtation est sous forme de graphes.
Exercice 9 :
Problme pos :Rpondre par vrai (V) ou faux (F)
1)Lordredun graphe est gal au:a.Nombre de sommet du graphe
b.Nombre darcs du graphec. Degr maximum des sommets du graphed.
Degr minimum des sommets du graphe
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2)Tout arc dun graphe contient:a. Une extrmit initiale
b. Une extrmit terminalec. Deux extrmits initiales et une extrmit terminaled. Une extrmit initiale et une extrmit terminale
3)Une boucle est un arc donta. Lextrmit initiale et terminale concident
b. Lextrmit initiale et terminale sont diffrentes4)La multiplicit dun graphe est dfinie par
a. Le nombre darcs du grapheb. Le nombre de sommets du graphec. Le nombre maximal darcs ayant la mme extrmit initiale et la
mme extrmit terminale
d. Le degr maximum des sommets du graphee. Le degr minimum des sommets du graphef. Le nombre maximum darcs ayant la mme extrmit initialeg. Le nombre darcs ayant la mme extrmit terminale
5)Un sommet y est un prdcesseur dun sommet x si:a. Il existe un arc u tel que u= (x, y)
b. Il existe un arc u tel que u =(y, x)c. Il nexiste pas darcs u tels que u=(y, x)
6)Un sommet y est un successeur dun sommet x si a. Il existe un arc u tel que u= (x, y)
b. Il existe un arc u tel que u =(y, x)c. Il nexiste pas darcs u tels que u=(y, x)
7)Un sommet y est un voisin dun sommet x si a. Il existe un arc u tel que u= (x, y)
b. Il existe un arc u tel que u =(y, x)c. Il nexiste pas darcs u tels que u=(y, x)d. Il existe un arc u tel que u =(x, y) ou u = (y, x)
8)Le demi-degr extrieur dun sommet xesta. La somme des arcs ayant xcomme extrmit terminale
b. La somme des arcs ayant xcomme extrmit initialec. La somme des arcs nayant aucune relation avec le sommet xd.
La somme des arcs ayant xcomme extrmit initiale et terminale.
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9)Le demi-degr intrieur dun sommet xesta. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit terminale
b. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit initialec. La somme des arcs nayant aucune relation avec le sommet xd. La somme des arcs ayant le sommet x comme extrmit initiale et
terminale
10)Le degr dun sommet x esta. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit terminale
b. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit initialec. La somme des arcs nayant aucune relation avec le sommet xd. La somme des arcs ayant le sommet x comme extrmit initiale et
terminale.
e. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit initiale outerminale
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