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Transferts thermiques
Transfert de chaleur par rayonnement1 Grandeurs caracteristiques
2 Modele du corps noir
3 Rayonnement de surfaces opaques
January 8, 2020 1 / 28
Partie 1
Grandeurs caracteristiques
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Concepts fondamentaux
Tout corps a une temperature T > 0 emet du rayonnement.
Rayonnement = energie emise due a l’oscillation des electrons de lamatiere
Rayonnement volumique ou surfacique (d < 1µm)
Le transport de l’energie ne necessite pas de matiere:propagation d’ondes electromagnetiques caracterisees par unelongueur d’onde λ, ou une frequence ν = c
λ avec c la vitesse de lalumiere
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Caracteristiques du rayonnement
Nature spectrale (longueur d’onde λ)
Nature directionnelle
→ Equations integrales (6= EDP)
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Angle solide
Systeme de coordonnees spheriques (r , θ, φ)
dΩ = sin θdθdφ
Milieu opaque: pas de transmission→ emission dans l’hemisphereau-dessus de la surface∫
hemispheredΩ = 2πsr
sr: steradians (unites des anglessolides)
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Flux radiatif - Luminance de la surface emettrice
Surface d’emission elementaire dS
Angle solide elementaire dΩ
Intervalle de longueur d’onde dλ
Flux energetique d3Φ emis par dS dans dΩ et dans la gamme delongueurs d’onde [λ, λ+ dλ]:
d3Φ = L(T , λ, θ, φ)dλdSdΩ
L(T , λ, θ, φ) luminance directionnelle (Wm−3sr−1)
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Intensite de la surface emettrice
Intensite du rayonnement = Flux de chaleur par unite d’angle solide
d2I (T , λ, θ, φ) =d3Φ
dΩ
Loi de Bouguer d2I (T , λ, θ, φ) = L(T , λ, θ, φ)dλdS cos θ
Intensite totale: integree sur tous les λ:
dI =d2Φ
dΩ= L(T , θ, φ)dS cos θ
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Emission Lambertienne (isotropie)
Isotropie: la luminance L ne depend pas de la directionEmission Lambertienne dans la direction θ:
dI (T ) = dI0(T ) cos θ
dI0 intensite normale a la surface dI0(T ) = L(T )dS
→ Intensite nulle pour les directions tangentes a la surface emettrice
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Emittance de la surface emettrice
Emittance monochromatique M(T , λ) (Wm−3)= Densite de flux radiatif obtenu par integration sur l’hemisphere
M(T , λ)dλ =1
dS
∫hemisphere
d3Φ
Emittance totale: integree sur tous les λ= densite de flux representant les pertes radiatives de la surface danstoutes les directions sur toutes les longueurs d’onde (emissive power)
Emittance totale M(T ) =
∫ ∞0
M(T , λ)dλ
Emission Lambertienne →
M(T ) = L(T )
∫hemisphere
cos θdΩ = L(T )
∫ 2π
0dφ
∫ π/2
0sin θ cos θdθ
M(T ) = πL(T )
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Eclairement de la surface receptrice
Eclairement monochromatique E ′(λ) (′ ↔ reception)= Densite de flux obtenue a partir du flux incident dΦi sur unesurface dS ′ en provenance de l’hemisphere environnant:
E ′(λ) = dΦidS ′ = 1
dS ′
∫hemisphere d
2Φi
Flux emis par dS incident sur dS ′:d2Φi = L(T , θ, φ)dΩdS cos θ avec dΩ = dS ′ cos θ′
r2
d2Φi = L(T , θ, φ)dS′dS cos θ′ cos θ
r2 = dE ′dS ′cosθ′ dS cos θr2
d2Φi = dE ′dS ′cosθ′dΩ′ avec dΩ′ = dS cos θr2
dΩ′ angle sous lequel on voit la surface dS
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Eclairement
Soit dE ′0 l’eclairement energetique pour une surface placee normalementau rayonnement incident
dE ′ = dE ′0 cos θ′
Eclairement solaire isotrope E ′0 = L(T )Ω′s
Application: Ω′s ∼ 6 10−5sr →Eclairement solaire normal E ′0 = 1389Wm−2 hors atmosphereA la latitude (θ) de Paris, par ciel clair E ′ ∼ 800− 900Wm−2
Reception isotrope → E ′(T ) = πL(T )
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Facteurs de forme
Hypothese d’isotropie de la surface d’emission → Facteurs de forme
Flux de chaleur echange entre deux elements de surface:
d2Φ1 = L(T1)dΩ12dS1 cos θ12
Facteur de forme elementaire Fd1→d2 = Fraction d’energie emise par dS1
et incidente sur dS2
Fd1→d2 =cosθ21cosθ12dS1
πd212
→ Reciprocite: dS1Fd1→d2 = dS2Fd2→d1
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Differents types de milieux
Milieux transparents: Pas d’emission, d’absorption, de reflexion→ tout le rayonnement est transmis
Surfaces ideales: Modele du corps noir→ tout le rayonnement est absorbe
Surfaces reelles opaques: emission, absorption, reflexion→ pas de transmission
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Partie 2
Corps noir
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Emission d’un corps noir: Repartition spectrale de Planck(I)
Enceinte vide isotherme parallellepipedique l1, l2, l3Photons de frequence ν :
Energie d’un photon e = hν, quantite de mouvement |p| = hν/c0
h constante de Planck (h = 6.6255 10−34 Js)
Les photons ne peuvent sortir de l’enceinte → ∆xi = liPrincipe d’incertitude → ∆pi = h/li→ Vh = Π3
i=1∆pi volume d’incertitude dans l’espace des moments p.
Volume dans l’espace des moments des photons caracterises par |p|(ν): V = 4πp2dp
Etats de polarisation Np = 2
Nombre d’etats distincts dNe pour les photons dans la gamme defrequences [ν, ν + dν]:
dNe = NpV
Vh= 8π
h2ν2
c20
hdν
c0
l1l2l3h3
= 8πν2
c30
l1l2l3
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Emission d’un corps noir: Repartition spectrale de Planck(II)
Probabilite pour qu’un photon ait l’energie ν (Bose-Einstein):
Pν =1
exp(hν/kT )− 1
k constante de Boltzmann (k = 1.3805 1023 JK−1)
Nombre de photons dNν avec une frequence dans [ν, ν + dν]:dNν = PνdNe
Energie rayonnante volumique entre ν et ν + dν: U0dν = hνl1l2l3
dNν
Rayonnement isotrope → on montre que U0 = 4πν2 L
0(λ,T )avec L0(λ,T ) luminance
Repartition spectrale de Planck: L0(λ,T ) =2hc2
0λ−5
exp( hc0kλT )− 1
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Loi de Planck
Temperature T ↑:
Luminance max L0m ↑
Longueur d’onde λm ↓λmTm = 2898µmK
Loi de Wien
Loi unique pour L0/Lm(y) et λ/λm(x)
98% du rayonnement dans [λm/2, 8λm]
Fraction d’energie z entre 0 et λ/λm :
z(x = λ/λm) =∫ x
0 L0(x ′,T )dx∫∞0 L0(x ′,T )dx ′
(cf PC)
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Approximations de la loi de Planck
→ λT 1: Loi de Rayleigh
L0(λ,T ) = 2c0kλ−4T
→ λT 1: Loi de Wien
L0(λ,T ) = 2hc20λ−5exp(− hc0
kλT)
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Rayonnement d’un corps noir
Corps noir: emetteur isotrope
→ M(λ,T ) = πL0(λ,T )
Emittance totale : densite de chaleur perdue par le systeme
M(T ) =
∫ ∞0
M0(λ,T )dλ
L0(λ,T ) =2hc2
0λ−5
exp( hc0kλT )− 1
Changement de variable w = hc0kλT →
dww = −dλ
λ∫ ∞0
L0(λ,T )dλ =σT 4
π
Loi de Stefan-BoltzmannM = σT 4
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Validite du modele du corps noir
Modele corps noir: bonne approximation pour rayonnement solaire
Belorizky et Pique
Toute surface placee dans une cavite isotherme de proprietesradiatives quelconques est soumis a un rayonnement de corps noir
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Partie 3
Surfaces reelles
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Rayonnement reel
Luminance reelle: L(T , λ, θ, φ) ≤ L0(T , λ)
On considere seulement les cas τ = 0 (opaque) et τ = 1 (transparent).
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Rayonnement reflechi
Reflexion speculaire ou diffuse
Isotropie → Reflexion diffuse
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Caracteristiques de l’emissivite d’une surface reelle
monochromatique directionnelle ε(T , λ, θ, φ) = L(T ,λ,θ,φ)L0(T ,λ)
monochromatique hemispherique εh(T , λ) = M(T ,λ)M0(T ,λ)
totale directionnelle εd(T , θ, φ) =∫∞
0 ε(T ,λ,θ,φ)L0(T ,λ)dλ∫∞0 L0(T ,λ)dλ
totale hemispherique εt(T ) = M(T )M0(T ) =
∫∞0 ε(T ,λ)M0(T ,λ)dλ∫∞
0 M0(T ,λdλ)
January 8, 2020 24 / 28
Loi fondamentale du rayonnement thermique
Equilibre thermique → Loi de Kirchoff:
Absorptivite = Emissivite
α(λ,T , θ, φ) = ε(λ,T , θ, φ)
Simplifications:
Isotropie: ε ne depend pas de la direction ε(T , λ) = α(T , λ)
Corps gris: ε ne depend pas de λ → ε(T , θ, φ) = α(T , θ, φ)
Corps noir: αλ = ελ = 1
January 8, 2020 25 / 28
Bilan d’energie pour un corps opaque isotrope
Flux emis − Flux absorbe = 0
Flux incident − Flux partant = 0avec :Flux partant = Flux emis+ Flux reflechiFlux incident = Flux absorbe + Flux reflechi
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Linearisation du transfert radiatif
Taux de transfert d’energie d’une surface S a Ts assimilable a uncorps gris d’emissivite ε entouree par les parois d’une cavite C a Tc
E = εσ(T 4s − T 4
c )
Coefficient d’echange
E = εσ(T 2s + T 2
c )(T 2s − T 2
c )
E = εσ(T 2s + T 2
c )(Ts + Tc)(Ts − Tc)
E = hrayo(Ts − Tc)avec hrayo = εσ(T 2s + T 2
c )(Ts + Tc)
Applications Batiment:hrayo ∼ 6Wm−2K−1 > hconvection naturelle ∼ 4Wm−2K−1
hglobal = hrayo + hconvection naturelle ∼ 10Wm−2K−1
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Tableau recapitulatif
milieux Transmittivite Emissivite
transparents τ = 1 ε = 0
opaques τ = 0 0 < ε ≤ 1
opaques corps noir τ = 0 ε = 1
semi-transparents 0 < τ < 1 0 < ε < 1
January 8, 2020 28 / 28
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