TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · 2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil 3...

TransformasiLinier

Antonius CP

Outline TRANSFORMASI LINIER(Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan MatematikaPS. Sistem Informasi

University of JemberIndonesia

Jember, 2009

TransformasiLinier

Antonius CP

Outline

Outline

1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier

2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil

3 Matriks Transformasi Linier

TransformasiLinier

Antonius CP

Outline

Outline

1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier

2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil

3 Matriks Transformasi Linier

TransformasiLinier

Antonius CP

Outline

Outline

1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier

2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil

3 Matriks Transformasi Linier

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Definisi

Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika

1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k

Contoh 1

Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm

dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Definisi

Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika

1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k

Contoh 1

Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm

dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Definisi

Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika

1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k

Contoh 1

Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm

dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Definisi

Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika

1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k

Contoh 1

Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm

dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 2

Misalkan T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks

A =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]yakni perputaran R2 melalui sudut θ, merupakantransformasi linier

Contoh 3

Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v) = 0,∀v ∈ Vmerupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi nol

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 2

Misalkan T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks

A =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]yakni perputaran R2 melalui sudut θ, merupakantransformasi linier

Contoh 3

Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v) = 0,∀v ∈ Vmerupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi nol

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 4

Pemetaan T : V −→ V dengan aturan

T (v) = v ,∀v ∈ V

merupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi identitas

Catatan

Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka Tdisebut operator linier pada V

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 4

Pemetaan T : V −→ V dengan aturan

T (v) = v ,∀v ∈ V

merupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi identitas

Catatan

Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka Tdisebut operator linier pada V

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 5

Pemetaan T : V −→ V yang didefinisikan oleh

T (v) = kv

dengan k skalar, merupakan operator linier pada V . Jikak > 1, T disebut dilasi . Jika 0 < k < 1, T disebut kontraksi

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 6

Misal V ruang hasilkali dalam dan W subruang yangmemiliki

S = {w1, w2, ..., wr}

sebagai basis ortonormal. Misal T : V −→ W denganaturan

T (v) =< v , w1 > w1+ < v , w2 > w2 + ...+ < v , wr > wr

merupakan transformasi linier yang dinamakan proyeksiortogonal dari V pada W

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 7

Misalkan V = R3 dengan hasilkali dalam Euclidis.{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untukbidang xy . Jika v = (x , y , z) adalah sebarang vektor padaR3 maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xydiberikan oleh

T (v) = (x , y , 0)

Contoh 8

Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satubasisnya. Maka T : V −→ Rn dengan aturan

T (v) = (v)S

merupakan transformasi linier dari V ke Rn.

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 7

Misalkan V = R3 dengan hasilkali dalam Euclidis.{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untukbidang xy . Jika v = (x , y , z) adalah sebarang vektor padaR3 maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xydiberikan oleh

T (v) = (x , y , 0)

Contoh 8

Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satubasisnya. Maka T : V −→ Rn dengan aturan

T (v) = (v)S

merupakan transformasi linier dari V ke Rn.

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 9

Misal V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan v0 adalahsebarang vektor tetap di V . Maka T : V −→ R denganaturan

T (v) =< v , v0 >

merupakan transformasi linier

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 10

Misal V = C [0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi riilyang kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1 dan misalkan Wadalah subruang dari C [0, 1] yang terdiri dari semua fungsiyang turunan pertamanya kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1.Maka D : W −→ V dengan aturan

D(f ) = f ′

merupakan transformasi linier

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi Linier

Contoh 11

Misal V = C [0, 1], maka J : V −→ R dengan aturan

J(f ) =

∫ 1

0f (x)dx

merupakan transformasi linier.

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Sifat Transformasi Linier

Teorema

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Sifat 1

T (0) = 0

Sifat 2

T (−v) = −t(v),∀v ∈ V

Sifat 3

T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Sifat Transformasi Linier

Teorema

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Sifat 1

T (0) = 0

Sifat 2

T (−v) = −t(v),∀v ∈ V

Sifat 3

T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Sifat Transformasi Linier

Teorema

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Sifat 1

T (0) = 0

Sifat 2

T (−v) = −t(v),∀v ∈ V

Sifat 3

T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Sifat Transformasi Linier

Teorema

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Sifat 1

T (0) = 0

Sifat 2

T (−v) = −t(v),∀v ∈ V

Sifat 3

T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah

ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}

Jangkauan dari T adalah

R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

ker(T ) subruang pada V

R(T ) subruang pada W

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah

ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}

Jangkauan dari T adalah

R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

ker(T ) subruang pada V

R(T ) subruang pada W

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah

ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}

Jangkauan dari T adalah

R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

ker(T ) subruang pada V

R(T ) subruang pada W

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah

ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}

Jangkauan dari T adalah

R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

ker(T ) subruang pada V

R(T ) subruang pada W

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah

ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}

Jangkauan dari T adalah

R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

ker(T ) subruang pada V

R(T ) subruang pada W

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah

ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}

Jangkauan dari T adalah

R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

ker(T ) subruang pada V

R(T ) subruang pada W

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

dim(ker(T )) disebut nulitas T

dim(R(T )) disebut rank T

Contoh 1

Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,

maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga

rank(T ) = 2

dannulitas(T ) = 0

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

dim(ker(T )) disebut nulitas T

dim(R(T )) disebut rank T

Contoh 1

Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,

maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga

rank(T ) = 2

dannulitas(T ) = 0

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

dim(ker(T )) disebut nulitas T

dim(R(T )) disebut rank T

Contoh 1

Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,

maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga

rank(T ) = 2

dannulitas(T ) = 0

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Definisi

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

dim(ker(T )) disebut nulitas T

dim(R(T )) disebut rank T

Contoh 1

Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,

maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga

rank(T ) = 2

dannulitas(T ) = 0

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Dimensi Kernel dan Jangkauan

Contoh 2

Misal T : Rn −→ Rm adalah perkalian oleh matriks Aberukuran m × n. Maka R(T ) adalah ruang kolom A danker(T ) adalah ruang pemecahan Ax = 0. Sehingga

rank(T ) = dim(ruang kolom A) = rank(A)

dan

nulias(T ) = dim(ruang pemecahan Ax = 0)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Teorema Terkait Dimensi

Teorema

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = nmaka

rank(T ) + nulitas(T ) = n

Teorema

Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruangpemecahan dari Ax = 0 adalah

n − rank(A)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Teorema Terkait Dimensi

Teorema

Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = nmaka

rank(T ) + nulitas(T ) = n

Teorema

Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruangpemecahan dari Ax = 0 adalah

n − rank(A)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Problem

Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?

Solusi

Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa

T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn

Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm

dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Problem

Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?

Solusi

Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa

T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn

Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm

dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Problem

Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?

Solusi

Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa

T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn

Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm

dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.

Teorema

Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana

A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]

Catatan

Matriks A disebut matriks baku untuk T

Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.

Teorema

Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana

A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]

Catatan

Matriks A disebut matriks baku untuk T

Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.

Teorema

Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana

A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]

Catatan

Matriks A disebut matriks baku untuk T

Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.

Teorema

Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana

A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]

Catatan

Matriks A disebut matriks baku untuk T

Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari Rn ke Rm

Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.

Teorema

Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana

A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]

Catatan

Matriks A disebut matriks baku untuk T

Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Rotasi

Jika T : R2 −→ R2 adalah perputaran terhadap titik asalmelalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah

A =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]

Refleksi terhadap sumbu y

Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu y , makamatriks baku untuk T adalah

A =

[−1 00 1

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Rotasi

Jika T : R2 −→ R2 adalah perputaran terhadap titik asalmelalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah

A =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]

Refleksi terhadap sumbu y

Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu y , makamatriks baku untuk T adalah

A =

[−1 00 1

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Refleksi terhadap sumbu x

Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu x , makamatriks baku untuk T adalah

A =

[1 00 −1

]

Refleksi terhadap garis y = x

Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap garis y = x ,maka matriks baku untuk T adalah

A =

[0 11 0

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Refleksi terhadap sumbu x

Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu x , makamatriks baku untuk T adalah

A =

[1 00 −1

]

Refleksi terhadap garis y = x

Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap garis y = x ,maka matriks baku untuk T adalah

A =

[0 11 0

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Ekspansi dan Kompresi dalam arah x

Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (kx , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[k 00 1

]Ekspansi dan Kompresi dalam arah y

Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (x , ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[1 00 k

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Ekspansi dan Kompresi dalam arah x

Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (kx , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[k 00 1

]Ekspansi dan Kompresi dalam arah y

Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (x , ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[1 00 k

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Geseran dalam arah x

Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah x denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x + ky , y).Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[1 k0 1

]Geseran dalam arah y

Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah y denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x , y + kx).Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[1 0k 1

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Transformasi dari R2 ke R2

Geseran dalam arah x

Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah x denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x + ky , y).Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[1 k0 1

]Geseran dalam arah y

Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah y denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x , y + kx).Sehingga matriks baku untuk T adalah

A =

[1 0k 1

]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Efek Geometri dari Transformasi Matriks

Resume

Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untukgeseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakanmatriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teoremaberikut dapat dibuktikan kebenarannya.

Teorema

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran,kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan daritransformasi-transformasi tersebut dengan urutan yangsesuai.

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Efek Geometri dari Transformasi Matriks

Resume

Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untukgeseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakanmatriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teoremaberikut dapat dibuktikan kebenarannya.

Teorema

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran,kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan daritransformasi-transformasi tersebut dengan urutan yangsesuai.

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Hasil Lanjutan

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka

1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah

sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah

garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q

5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Hasil Lanjutan

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka

1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah

sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah

garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q

5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Hasil Lanjutan

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka

1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah

sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah

garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q

5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Hasil Lanjutan

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka

1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah

sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah

garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q

5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Hasil Lanjutan

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka

1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah

sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah

garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q

5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Hasil Lanjutan

Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka

1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah

sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah

garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q

5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Masalah

Jika untuk setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm dapatdinyatakan sebagai transformasi matriks, bagaimana untuksebarang transformasi linier T : V −→ W secara umum?

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.

Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.

Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .

Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

A [x ]B = [T (x)]B′

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.

Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.

Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .

Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

A [x ]B = [T (x)]B′

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.

Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.

Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .

Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

A [x ]B = [T (x)]B′

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.

Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.

Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .

Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

A [x ]B = [T (x)]B′

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Matriks A berbentuk

A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]

Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan

[T ]B,B′

Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah

[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Matriks A berbentuk

A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]

Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan

[T ]B,B′

Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah

[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Matriks A berbentuk

A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]

Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan

[T ]B,B′

Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah

[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]

TransformasiLinier

Antonius CP

Pengertiandan Sifat TL

TL antarRuang Riil

Matriks TL

Matriks Transformasi Linier

Ide Dasar

Matriks A berbentuk

A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]

Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan

[T ]B,B′

Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah

[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]