View
351
Download
9
Category
Preview:
Citation preview
TrigonometríaTrigonometría
Trigonometría PlanaTrigonometría Plana
Idea de “ángulo”
Rectas que se cortan → ángulos iguales
Segmento entre rectas paralelas → ángulos iguales
Entre rectas perpendic. → ángulos iguales
Ángulos de un poligono
Ángulos de un circulo
ÁNGULOS EN RADIANESSe define el radian como el ángulo que en una circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con igual longitud que el radio r.
Para una circunferencia de radio r, y un cierto ángulo α subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes.
r
s
M
N
O r
s
Relación entre grados y radianes.
180º Π radianes
Regla: ¿ cuántos radianes son 30° ?.
30180
x
x = π / 6 radianes
¿ cuántos grados son 0,357 radianes ?.
º45,20357,0
180 x
x
* Es interesante también recordar que 1 radián son 180°/π , es decir, 57,29... grados. Mientras que 1 grado son π /180° , o sea, 0,1745... radianes.
Propiedad importante:
* puede establecerse la siguiente relación entre un ángulo α y el arco de circunferencia subtendido:
s = α . R (para α en radianes)
Algunas relaciones entre ángulos y radianes:
Ejemplo 1: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 75° , entonces: 75° = 60° + 15° π/3 + (1/2) π/6 5 π/12
Ejemplo 2: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 265° , entonces: 265° = 270° - 5° 3 π/2 - (1/6) π/6 53 π/36
Relaciones Circulares
R. Fundamental: sin2 α + cos2 α = 1
Proyecciones
x = R cos α
y = R sin α
sin
cos
sintan
cos
y
Rx
Ry
x
Relaciones recíprocas.
sin
cos
sintan
cos
y
Rx
Ry
x
csc
sec
coscot
sin
R
y
R
xx
y
1csc
sin1
seccos
1cot
tan
Funciones seno, coseno y tangente.
Funciones seno, coseno y tangente.
Funciones seno, coseno y tangente.
La circunferencia Trigonométrica
s = α . R s = α
Las relaciones circulares en la circunf. Trigonométrica
sin α = y / R
cos α = x / R
tan α = y/x = sin α / cos α
En la circ. Trig. (con R = 1): sin α = y
cos α = x
1csc
1sec
y
x
Para la tangente:
recuérdese el “Teorema de Tales”
sintan
cos
tantan
cot
y xy
x yx
Atención:
En el anterior ejemplo tanto el seno como el coseno eran positivos, pues se encuentran o bien arriba del eje horizontal, o bien a la derecha del vertical. Pero pueden darse otros casos:
Para la tangente hay que ver en qué cuadrante se halla.
Este tipo de circunferencias trigonométricas sirve para hacer diversas consideraciones sobre senos y cosenos de ciertos ángulos.
sin (α + π/2) = cos α cos (α + π/2) = - sin α
sin (π - α ) = sin α cos ( π - α ) = - cos α
EJERCICIOS
1) Dibuje una circunferencia trigonométrica con dos ángulos y , siendo pequeño y siendo = π/2 - α (dos ángulos complementarios). Establezca las relaciones entre senos y cosenos de los ángulos complementarios.
2) Considere una circunferencia trigonométrica con dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo β = α + π . Establezca las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.
3) Sean dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo β = 3π/2 -α . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.
4) Sean dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo β = -α (también puede expresarse β = 2π - α) . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.
Relación fundamental
2 2sin cos 1
Razones trigonométricas de la suma
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tantan( )
1 tan tan
Razones trigonométricas de la resta
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tantan( )
1 tan tan
Razones del ángulo doble
2 2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin
2 tantan 2
1 tan
Razones del ángulo mitad
1 cossin / 2
2
1 coscos / 2
2
1 cos sintan / 2
1 cos 1 cos
Suma y resta de razones trigon.
sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2sin cos2 2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
A B A BA B
A B A BA B
A B A BA B
A B A BA B
Recommended