Über die Vererbung der Pseudokonvexität bei Projektionen

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1]ber die Vererbung der Pseudokonvexit~it bei Projektionen

Von

VonKmt KASTE~

1. Einleitung. In der vorliegenden Arbeit soil folgende Frage untersucht werden:

Gegeben sei ein pseudokonvexes Gebiet G c C n • C m. Unter welehen Voraus- setzungen ist die natiirliche Projektion ~(G) c C n yon G in den C n wieder pseudo- konvex ?

Da$ i.allg, die Pseudokonvexit~t unter Projektionsabbildungen nicht vererbt wird, zeigt schon das yon Holmann [1] s tammende einfaehe Beispiel

G : = {(el, ~ , w) e C~: [w~l-- z21 > ~} (~ > 0),

dessen Projektion in den zl, z2-Raum nicht pseudokonvex ist (vgl. hierzu auch Ab- schnitt 3).

Pflug [2] konstruierte ein C~176 besehr~nktes, streng pseudokonvexes Gebiet G = {z e C3: ~ (z) < 0} - - ~ plurisubharmonisch - - , dessen Projektion in den C ~ ebenfalls nicht wieder pseudokonvex ist.

Die Frage ist nun, welehe Voraussetzungen tiber G hinreichen, um die Vererbung der Pseudokonvexit&t auf die Projektion ~ (G) zu siehern. Bekanntlieh ist auf jedem pseudokonvexen Gebiet G ~= C n • C m die Funktion ~ :~- - - log d (mit d als euklidi- scher Randdistanz) stetig und plurisubharmonisch. Man betraehte nun die Menge

Sr : = {(z, w) eG : ~(z, w) = rain ~(z, w)}. w

S~ besteht also aus den Punkten (z, w), f'fir die die Restriktion der Randdistanz auf den Schnitt G n [{z) • C m] in w maximal ist. Es ist daher zu vermuten, dab sich die globale Gestalt yon G, die ja ~ (G) bestimmt, in Sr widerspiegeln wird, so dab man hoffen kann, Bedingungen an Sr zu finden, die die Pseudokonvexit~t yon ~(G) sichern. Es zeigt sich nun, da]3 dies tats~chlich mSglich ist~ sogar bei allgemeiner ge- w~hlten, G besehreibenden Funktionen ~.

Satz 1 besagt zun&chst, dab g(G) wieder pseudokonvex ist, wenn G beschr~nkt und S analytisch ist. Unter Benutzung eines Satzes yon Tadokoro tiber pseudo- konkave Mengen (vgl. hierzu Absehnitt 2) l~I~t sich dieses Ergebnis auf nicht allzu pathologische pseudokonkave Mengen verallgemeinern (Sate 3).

2. Verwendete Be~iffe und SKtze. Eine Menge E c D heiBe polar im Gebiet D c C ~ ----- •2n, wenn E lokal jeweils in der - - oo-Stellenmenge einer R2n-subharmoni -

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schen Funktion u ~ -- r162 enthalten ist. Analytische Mengen in D sind Beis13iele f'fir 13olare Mengen. Man vgl. zu diesen Be~iffen auch [3], Chat3. II, 3. Mehrfache Ver- wendung wird der folgende Hebbarkeitssatz ffir 131urisubharmonische Funktionen (13.s.h.-Funktionen) finden ([3], Th. 4, 13. 35):

Satz A. Sei E c D eine abgeschlossene polare Menge im Gebiet Z) c C n. Dann liiflt sich ]ede p.s.h. Funk t ion u: D - - E -+ ~ - ~ , die in den Punkte• yon E lokal nach oben beschrSnkt ist, au/ genau eine Weise nach ganz 1) p.s.h. /ortsetzen.

Zur Beschreibung diinner ~engen wird aul~erdem noch der folgende Ka13azit~ts- begriff im C n benutzt (vgl. [4], [6]) : E c D c C n habe die Kapazi tat Nu l l (Ka13 E = 0),

oo

falls E in der Form E --~ ~.J Ej darstellbar ist, wobei jede Menge Ej lokal in der 1

- - ~-Stellenmenge einer 13.s.h. Funktion u ~ -- r enthalten ist. L&13t sich E nicht in dieser Form darstellen, so wird Ka13 E > 0 geschrieben.

Weft jede im C n 13.s.h. Funktion auch RZn-subharmonisch ist (vgl. [3]), und weft die abz&hlbare Vereinigung 13olarer Mengen wieder polar ist ([5]), so folgt: Ist KapE-----0, so ist E 13olar. Insbesondere sind also nach Satz A Mengen E mit Ka13 E = 0 fiir nach oben beschr~nkte 13.s.h. Funktionen hebbar.

In Satz 3 wird der auf Oka, Nishino und Tadokoro zuriickgehende Begriff der n-13seudokonkaven Mengen verwendet, den man mit Hilfe yon Hartogsfiguren wie folgt beschreiben kann (vgl. auch [6], w 1). Eine Standard-Hartogsfigur yore Ty13 (n, m) sei die dutch

H : - - {(z,w) e x (l l < 1 - Iwl < 1) oder

(Izl < 1, 1 - Iwl < 1)}

mit gewissen 0 < e, b < 1 und I" [ als Maximumsnorm, sowie

e : = x ore: I i, lwl <

definierte Yigur (H, P) im C n+m.

(H, P) heii]e allgemeine (n, m)-Hartogsfigur, falls es eine Standard-Hartogsfig~r (H, P) yore Typ (n, m) und eine biholomor13he Abbildung ~: P --~/5 mit T (H) =/7 i gibt. Sei nun G c C n+m ein Gebiet und S c G abgeschlossen in G. ])ann heil~t S n-pseudokonkav in G, falls gilt: Ist (/z/, ~) eine allgemeine Hartogsfig-ur yon Ty13 (n, m) mit /5 c G und S n _P =~ O, so ist S n / ~ :4= 0. Rein n-dimensionale analyti- sche Mengen in G c C n+m sind Beis13iele f'dr n-13seudokonkave Mengen. Der folgende, yon Tadokoro ([6], w 3) stammende Satz zeigt, dab Pseudokonkavitgt bei ,,diinnen" Mengen auch hinreichend flit die AnalyCizit~t ist:

Satz B. Sei D n c C n ein Polyzylinder und S c D n • C ~ n-pseudokonkav und be- schriinkt. E8 gebe eine Menge E c D n mit Ka13 E ~ 0 derart, daft/ iZr jedes z e E der Schnitt S (h [{z} • C m] endlich ist. Dann ist S analytisch und (S, 7~, D n) ist eine ana- lytische ~berlagerung, wobei ~ : D n • C m --~ D n die natiirliche Projektion bezeichnet.

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3. Die Yererbungss~itze.

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Satz 1. Sei G @ C n x C TM pseudo]convex und ~: G --> ~-:r stetig und plurisubhar- monisch mit ~ ~ 0 und lira ~ ~ 0. Ferner sei

--~aG

S ~ : = ((Z,W) ~ (C n X Cm) (~G : ~ (z ,w) = i n f . ( z , w)} w

und 7e: C n • C m --> C n die ]canonische Pro~ektion. I s t dann S~ c G analytisch, so ist g ( G) pseudolconvex.

Beweis . 1. Zu jedem zo ~ ~(G) ~4rd wegen G ~ C n+m und der Stetigkeit yon das inf~(zo, w) fiir gewisse w in (zo, w) angenommen, und solche Punkte (zo, w)

w

k6nnen sich nicht gegen 0G h~ufen, well ~ auf 0G die stetigen Randwerte Null hat. Damit sind alle Sehnitte S (~ ({z} • C ra) endlich. Wegen g(S) ---- g(G) mul~ es dann zu jedem z0 e ~ (G) ein Wo mit (z0, w0) �9 Sr und dim(zo, wo) S~ ----- n geben. Sei (z0, wo) ein solcher Punkt und Z • W eine Polyzylinderumgebung yon (z0, w0) mit S~ (~ [Z X aW] = 0. Es gibt dann eine rein n-dimensionale analytisehe Menge A in Sr n [Z X W] mit (z0, w0)~ A. Aus dem bekannten Einbettungssatz ffir ana]yti- sche Mengen folgt nun: (A, ~ ,Z) ist eine analytische Uberlagerung yon Z c C n, und es gibt eine analytische Ausnahmemenge E c Z mit dim c E ~ n -- 1 derart, dal~ ([A -- g-1 (E)], ~, Z -- E) unverzweigt ist.

2. Es sei #: ~(G)-> R-oo definiert dureh /~(z):= rain of(z, w). Dann ist # ~ 0, w

stetig, und es gilt lira/~ = 0. Der Beweis des Satzes ist nun erbracht, wenn noeh

gezei~ wird, dal~ # auf dem Gebiet ~ (G) p.s.h, ist. Denn dann w~re, wie man sich anhand der genannten Eigensehaften yon /~ leicht klarmaeht, ~z(G) p.s.h.-konvex und mithin pseudokonvex (vgl. etwa [7], S. 113, Satz 16).

3. Zum Nachweis, dal~ # p.s.h, ist: Sei zo ~ ( G ) , (zo, wo)eSr und

([A - - =-~ (E)], ~, Z - - E)

die unter 1. beschriebene unverzweigte Uberlagerung. Man ws

(zl , w 9 �9 [A - - ~ -1 (E)] ,

eine Umgebung U c Z -- E yon z~ und einen Zweig p yon g-z , der auf U biholo- morph ist. Nach Definition yon A und /~ gilt dann in U: # (z) ---- ~ o p (z). Da p holomorph und c~ p.s.h, ist, folgt nun nach einem bekannten Satz (vgl. etwa [7], S. 81, Folg. 13.2), dab aueh ~ o p und damit/~ p.s.h, in U ist. Daher ist # in Z - - E lokal p.s.h., also p.s.h. Als analytische Menge ist E fiir naeh oben beschr~nkte Funktionen p.s.h, hebbar (Satz A), so dab folgt: /~ ist in Z p.s.h. Also ist # in der Umgebung jedes Punktes zo e g(G) p.s.h, und die Behauptung folgt.

Als Anwendung yon Satz 1 erhglt man das folgende handliche Kriterium:

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Satz 2. G ~ C n X C mund q) seien wie in Satz 1 gewdhlt. Ist dann q~ yon der Form q) (z, w) = I h (z, w) l + r (z) mit einer in G holomorphen Funkt ion h und r: G --> [t--oo, so ist die Pro]ektion zz (G) c C n wieder pseudokonvex.

Beweis . Wie in Satz 1 definiere man zu ~0 die Menge Sr Es reicht dalm wegen Satz 1, zu zeigen, dal3 Sr c G analytisch ist. Dazu sei zo e a (G) fest gew/ihlt. Dann ist ~v(zo, w) = ]h(zo, w)] + r(zo) in w genau dort minimal, wo Ih(zo, w)] minimal ist. Dies kalm aber nut der Fall sein ffir h (zo, w) -= 0: W/~re n/imlich etwa in wo ein Minimum mit h (z0, w0) ~ 0, so h/itte man (Maximumprinzip !) h (z0, w) = h (z0, w0). Damit g/~be es eine Folge (zo, w~)---> aG mit q~(zo, w ~ ) = q)(zo, wo) < O, was der Voraussetzung lira ~ = 0 widerspricht. Also ist

-+aG

S~= {(z,w) eG:h(z,w) = 0}

und damit analytisch, weil h nach Voraussetzung holomorFh ist.

Satz 1 soll n u n noeh n~iher diskutiert werden.

1) Wie man sich leicht iiberzeugt, bleibt die Behauptung yon Satz 1 richtig, welm man die Voraussetzungen ,,9 < 0, lira ~-----0" ersetzt durch ,,lim ~ = oo", d.h.

wenn ~ auf aG c~ approximiert. Man vgl. hierzu auch das Beispiel ~ = -- log d aus der Einleitung.

2) Ohne die Voraussetzung, dal3 G beschr~nkt ist, wird Satz 1 i. allg. falsch, wie das bereits erw/ihnte Beispiel G = {(Zl, z2, w)~C3: ]wz l - - z2] > s} zeigt. G i s t pseudokonvex, unbeschr~nkt, und l~LSt sich dureh die p.s.h. Funktion T (Zl, z2, w) = - - [WZl- -Zz I + s i.S. yon Satz 1 beschreiben. Wie man leicht nachpriift, ist S , = {(Zl, z2, w) e G :Zl = 0} und damit analytiseh. Dagegen ist die Projektion ~(G) in den zl, z2-Raum nicht mehr pseudokonvex, derm man hat

= ( G ) = C~ - - { (z~, z2) ~ C ~ : ~1 = 0 u n d 1~21 < ~}-

Man iiberlegt sich leicht, dab im Fall ,,G unbeschrgnkt" die Pseudokonvexit/~t yon a(G) wieder gesichert ist, wenn man fiir ~o fordert: lim 9 = 0 auf jeder sich in G nieht h/~ufenden Folge.

Aus dem eben betrachteten Beispiel lassen sich leieht aueh beschrgnkte pseudo- konvexe Gebiete mit nicht pseudokonvexer Projektion konstruieren, indem man etwa (fiir ein geeigzletes r > 0) als besehreibende Funktion

w/ihlt. Die zugehSrigen Mengen S~ kSnnen dalm aber nach Satz 1 nieht mehr ana- lytisch sein, was man auch direkt durch Rechnung bestiitigen kaml.

In der Situation yon Satz 1 ist die Bedingxmg, dal3 Sr ana]ytisch ist, zwar hin- reichend, aber keineswegs notwendig, wie man schon am einfachen Beispiel des Polyzylinders G = { ( z , w ) ~ C n • C : ~ ( z , w ) < O } mit 9 : = m a x { I z j I , 1 wl} 1 er- kelmt. Hier ist S r {(z, w): I w I =< max I zj[}, also nicht analytisch in G. Diese Menge Sr hat jedoch mit (rein n-dim.) analytisehell Mengen gemeinsam, dab sie n-pseudokonkav (vgl. Abschnitt 2) ist -- G - - S ist ja pseudokonvex!

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Es soll nun unter Benutzung des S~tzes B (Tadokoro) gezeigt werden, dal~ die Behauptung yon Satz 1 richtig bleibt, wenn S o nur als n-pseudokonkav voraus- gesetzt wird und eine gewisse SchSnheitsvoraussetzung erfiillt.

Satz 3. Das pseudokonvexe Gebiet G ~ C n • C m sei wie in Satz 1 durch die Funk- tion ~ beschrieben, und Sr ~ seien wie dort erkliirt. Dann ist re(G) r C n wieder pseudo- konvex, /alls die beiden ]olgenden Bedingungen erfiillt sind :

1) S o c G i s t n.pseudokonkav.

2) Es gibt eine abgeschlossene polare Menge E r z~(G), so daft/iir ]edes z e re(G)--E

gilt: *S n [(z} • C m] 4 0 oder S N [(z} • C m] ist au/ der Ebene {z} • C m divkret.

Beweis . 1. Man definiere #: ~(G)--> ~--~ wie im Beweis zu Satz 1. Es bleibt dann zu zeigen, dal~ be p.s.h, in re(G) ist. Da polare Mengen E c re(G) fiir nach oben beschr~nkte p.s.h. Funktionen hebbar sind (Satz A), reicht es nachzuweisen, daft # in re(G)--E p.s.h, ist. Sei nun zo e re(G)--E. Dann ist nach Voraussetzung 2)

Sr c~ [{z0} X C m] 4 ~ oder S o c~ [{z0} x C m] ist diskret. o

2. Angenommen, es ist Sr n [{z0} X C m] ~ 0. Dann gibt es ein w0 mit (zo, wo) e S o und eine Polyzylinderumgebung Z yon z0 mit M : = Z • {w0} r So. Nun ist re I M: M--+Z biholomorph, und wegen be IZ = ~ o (re l M) -1 folgt, dal3 be auf Z p.s.h, ist (vgl. Punkt 3 im Beweis zu Satz 1).

3. Angenommen, fiir das gew~thlte zo sei S ~ [{zo} X C m] = 0. Wegen z0 ~ E gibt es dann naeh Voraussetzung 2) ein w0 mit (z0; wo) e S derart, dal~ w0 auf der Ebene {zo} • C m isoliert ist. Wegen der Abgeschlossenheit yon Sr finder man daher Poly- zylinderumgebungen Z yon zo und W von w0 mit Z • W ~ G und S~ ~ [Z • 0W] = 0.

Se~ X :-~ { z e Z : S ~ c ~ [{z} • W] -= 0}. Dann ist X abgeschlossen in Z, und fiir alle z e X gilt: S n [{z} X W] ist endlich.

F a l l ~: Es ist Kap X = 0 (zum Kapazit~tsbegriff vgl. Absehnitt 2). Dann ist (S~tz A) die Menge X fiir nach oben beschr~nkte p.s.h. Funktionen hebbar. Nun

ist ftir alle z e Z -- X die Menge Sr c~ [{z} x W] =~ 0 und damit nach 2. be in diesen Punkten z p.s.h. Da be aul3erdem trivialerweise nach oben beschr~nkt ist, folgt: be ist in Z p.s.h.

F a l l b: K a p X > 0 . Dann l~13t sich auf die n-pseudokonkave Menge S' :=- S o n [Z • W] der Satz yon Tadokoro (Satz B aus Abschnitt 2) anwenden und man erh/~lt: S' ist eine n-dimensionale analytische Menge und (S', ~, Z) eine analytische Uberlagerung des Polyzylinders Z. Man sehlieBt nun wie im Beweis zu S~tz 1 darauf, dal~ be in Z p.s.h, ist.

4. Aus 2. und 3. folgt: # ist in ~ (G) -- E p.s.h. D~ E als abgeschlossen und polar vorausgesetzt wurde, ist (S~tz A) be sogar in ganz re(G) p.s.h, und der Beweis yon Satz 3 ist erbracht.

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Anschrift des Autors:

Volker Kasten Institut fiir Mathematik der Universit~t Welfengarten 1 D-3000 Harmover

Eingegangen am14.11.1979