View
219
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA
CENTRO DE CIÊCIAS EXATAS E BIÓLÓGICAS COLEGIADO DE MATEMÁTICA
SUELEN GERONÇO
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁREA E VOLUME DE PRISMAS UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO RECURSO DIDÁTICO
UNIÃO DA VITÓRIA 2015
1
SUELEN GERONÇO
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁREA E VOLUME DE PRISMAS UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO RECURSO DIDÁTICO
Trabalho de conclusão de curso apresentado para obtenção de grau de licenciada pela Universidade Estadual do Paraná- Campus de União da Vitória, Área de Matemática. Orientadora: Prof. Celine Maria Paulek
UNIÃO DA VITÓRIA
2015
2
RESUMO
O presente trabalho intitulado Uma proposta para o ensino de áreas e volumes de prismas utilizando o GeoGebra 3D como recurso didático, parte de uma pesquisa bibliográfica referente ao que apresentam os documentos oficiais nacionais e estaduais sobre o ensino da geometria espacial e sobre tecnologias digitais na educação básica, abordando as vantagens de sua inserção no ambiente de sala de aula. Após, são apresentadas orientações para as construções de prismas no software GeoGebra, que serão utilizados no desenvolvimento das tarefas. Em seguida apresentamos a proposta de ensino, na qual as tarefas propostas envolvem a classificação, a área e o volume de prismas. Espera-se que as tarefas propostas propiciem a construção do conhecimento do aluno, ou seja, propiciem ao aluno a oportunidade de compreender a calcular a área da superfície e o volume de um prisma.
Palavras-chave: Geometria espacial. Tecnologias Digitais. Software GeoGebra 3D.
3
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Prisma reto ................................................................................. 21
Figura 2 – Prisma oblíquo ............................................................................. 24
Figura 3 – Volume prisma ............................................................................. 27
4
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Tarefa 1: classificação de um prisma ............................................ 29
Quadro 2 Tarefa 2: área da superfície de um prisma ................................... 32
Quadro Tarefa 3: volume de um prisma reto..............................................34
Quadro 4 Tarefa 4: volume de um prisma .................................................... 36
5
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 6
2 O ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL ................................................... 7
3 TECNOLOGIAS DIGITAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA .............................. 10
3.1 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO ................................................... 10
3.2 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO DA MATEMÁTICA .................... 11
3.2.1 Tecnologias digitais e o ensino de geometria espacial .......................... 13
4 ORIENTAÇÕES PARA AS CONSTRUÇÕES DE PRISMAS NO
SOFTWARE GEOGEBRA ............................................................................. 17
4.1 PRISMA RETO ......................................................................................... 18
4.2 PRISMA OBLÍQUO ................................................................................... 22
4.3 PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO CONSTRUÍDOS NO MESMO
ARQUIVO ....................................................................................................... 25
5 UMA PROPOSTA DE ENSINO UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO
RECURSO DIDÁTICO .................................................................................... 28
5.1 O PRISMA ................................................................................................ 28
5.1.1 Tarefa 1 – classificação de um prisma ................................................... 29
5.1.2 Tarefa 2 – área da superfície de um prisma .......................................... 31
5.1.3 Tarefa 3 – o volume de um prisma de base retangular reto .................. 34
5.1.4 Tarefa 4 – o volume de um prisma ........................................................ 36
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................... 39
REFERÊNCIAS .............................................................................................. 41
6
1 INTRODUÇÃO
O tema do presente trabalho surge do interesse pela geometria e pelas
tecnologias digitais. É possível observar que atualmente esses dois assuntos vêm
sendo discutidos com mais frequência, e quando se trata do ensino da geometria
espacial, existe um fator que dificulta a aprendizagem deste conteúdo, a
visualização de objetos tridimensionais.
Com os avanços tecnológicos surgiram softwares de geometria dinâmica 3D,
os quais permitem trabalhar os conteúdos de geometria espacial de maneira
dinâmica. Visando fazer com que sejam minimizadas as dificuldades relacionadas
ao calculo da área e do volume de prismas. Serão propostas algumas tarefas que
irão explorar construções feitas no software GeoGebra 3D.
O GeoGebra 3D vem sendo alvo de pesquisas a pouco tempo, pois é uma
versão nova, a qual possui grande potencial. Este software permite explorar
conteúdos de geometria espacial de forma dinâmica e a partir da exploração de
construções feitas no GeoGebra 3D os alunos poderão verificar propriedades e
construir conceitos de geometria espacial.
É apresentado inicialmente um breve referencial teórico sobre geometria
espacial e tecnologias digitais. São apresentadas orientações para a construção de
prismas retos e oblíquos de base retangular. Estas orientações têm como objetivo
servir de base para a construção dos sólidos que serão explorados nas tarefas
pospostas.
Por fim é apresentada a proposta de ensino, utilizando como recurso
didático as construções apresentadas no trabalho. As tarefas apresentadas
envolvem a classificação dos prismas como retos ou oblíquos, o calculo da área e o
cálculo do volume de um prisma.
7
2 O ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio- (OCEM) (BRASIL, 2006)
e as Diretrizes da Educação Básica do Estado do Paraná- (DCE) (PARANÁ, 2008)
separam os conteúdos de Matemática em blocos, da seguinte maneira: Números e
operações (Números e álgebra); Funções; Análise de dados e probabilidade
(Tratamento da informação) e Geometria. De acordo com as OCEM o bloco de
geometria pode ser subdividido da seguinte maneira: geometria euclidiana,
geometria analítica e geometria espacial. As DCE trazem uma subdivisão a mais
além das citadas: noções de geometrias não euclidianas. O enfoque deste trabalho
será a geometria espacial.
As OCEM (BRASIL, 2006) sugerem que a geometria espacial seja
trabalhada utilizando figuras espaciais para representar ou visualizar formas do
mundo real, utilizando o conhecimento geométrico para leituras, compreensão e
ação sobre a realidade. As DCE (PARANÁ, 2008, p.56) recomendam que ao
trabalhar geometria espacial seja abordada a “nomenclatura, estrutura e dimensão
dos sólidos geométricos e cálculo de medidas de arestas, área das faces, área total
e volume de prismas retangulares (paralelepípedo e cubo) e prismas triangulares
(base triângulo retângulo), incluindo conversões”.
A geometria espacial pode ser trabalhada em conjunto com a métrica,
quando os assuntos abordados são o cálculo da área da superfície de um sólido
geométrico, volume de um sólido geométrico, o cálculo das medidas das arestas,
podendo trabalhar também conversões de medidas. Porém é necessário ressaltar
que deve-se abordar conceitos relacionados ao conteúdo de geometria espacial,
tirando o foco somente dos cálculos, o foco deste conteúdo deve ser a compreensão
e a construção de seus conceitos.
Neste sentido as OCEM (BRASIL, 2006) dizem que para ensinar esses
conteúdos é necessário ir além de ensinar simplesmente o cálculo de áreas e
volumes, é preciso trabalhar com as construções das figuras espaciais e suas
planificações, identificar e analisar as diferentes representações das figuras planas e
espaciais, também identificar e compreender quais são os elementos dos sólidos
geométricos.
8
Segundo as DCE (PARANÁ, 2008) para trabalhar com o volume e a área
dos sólidos precisa-se propiciar ao aluno compreender o significado das fórmulas
que são utilizadas para tais cálculos, pois os conceitos relacionados a esses
cálculos são fundamentais para que o aluno amplie seu conhecimento. Nesse caso
é necessário explorar tarefas que levem a construção de conceitos.
De modo geral, temos que a Matemática deve ser trabalhada em sala de
aula visando desenvolver algumas competências, sendo enfatizado que “o ensino da
Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades
relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também,
à contextualização sociocultural” (PCNEM e PCN+, 2002 apud BRASIL 2006, p.69).
De acordo com os PCNEM+ (BRASIL, 2009) a representação e
comunicação são duas partes que estão interligadas, pois se o aluno é capaz de
representar ele consegue se comunicar e vice-versa, portanto estão relacionadas a
leitura, interpretação e produção de textos que usam a linguagem dessa área do
conhecimento. A investigação e a compreensão também estão interligadas, a partir
do que o aluno compreende ele passa a investigar, a investigação está relacionada
às conjecturas, a capacidade de estabelecer estratégias para resolver situações-
problemas, elencando os conceitos e procedimentos necessários para que se
encontre uma solução para o problema. A contextualização sociocultural é a
capacidade de relacionar os conhecimentos específicos da Matemática a situações
reais, também a capacidade de avaliar essas situações criticamente e argumentar
sobre seus pontos de vista, defendendo-os.
As OCEM (BRASIL, 2006, p. 75) enfatizam que:
O ensino de Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber utilizar diferentes unidades de medidas.
Em sala de aula deve ser estabelecido um ambiente de aprendizagem no
qual aluno construa os conceitos relacionados aos conteúdos de geometria espacial
participando ativamente, questionando, argumentando sobre seus pontos de vista,
sugerindo possíveis soluções. Para que isso aconteça é necessário explorar os
momentos nos quais esse ambiente seja estabelecido, o professor deve estar
preparado para esclarecer as dúvidas que possivelmente irão surgir, mediar os
9
debates e socializações que serão realizados durante a aula, portanto o professor
deve estar preparado para intervir nestes ambientes de aprendizagem. Para que isto
ocorra devem ser propostas tarefas que fomentem os debates em sala de aula a fim
de enriquecer as discussões e aprimorar os argumentos dos alunos.
Conforme as OCEM (BRASIL, 2006) o desenvolvimento do raciocínio lógico,
a formulação de estratégias e a argumentação, são ações que devem ser
incentivadas pelo professor no momento em que está ensinando determinado
conteúdo, este momento deve possibilitar aos alunos a construção do seu próprio
conhecimento. Deste modo a repetição e a resolução de exercícios para a simples
aplicação de fórmulas e regras devem ser substituídas por situações que
possibilitem o aluno analisar, compreender, formular estratégias e registrar,
incentivando o desenvolvimento das competências citadas anteriormente.
As DCE (PARANÁ, 2008, p.57) destacam que:
[...] a valorização de definições, as abordagens de enunciados e as demonstrações de seus resultados são inerentes ao conhecimento geométrico. No entanto, tais práticas devem favorecer a compreensão do objeto e não reduzir-se apenas às demonstrações geométricas em seus aspectos formais.
Observa-se então que os conceitos relacionados a geometria espacial
possuem grande importância, bem como suas demonstrações.
Na sequência será discorrido sobre a utilização das tecnologias digitais na
educação básica.
10
3 TECNOLOGIAS DIGITAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Neste capítulo será discorrido sobre utilização das tecnologias digitais no
ensino da matemática, bem como a utilização de softwares de matemática para o
ensino de geometria espacial.
3.1 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO
O homem desde os primórdios vem criando artefatos que o auxiliam em seu
dia-a-dia, criações que avançam diariamente, tornando-se cada vez mais
sofisticadas. Estas criações são denominadas tecnologias, que segundo Bueno
(1999, p. 87 apud BRITO e PURIFICAÇÃO, 2012, p.21) é “um processo contínuo
através do qual a humanidade molda, modifica e gera qualidade de vida”.
Essas tecnologias avançaram até chegar ao que chamamos hoje de
tecnologias digitais e atualmente pode-se considerar que a maioria da população é
incluída digitalmente, ou seja, tem acesso às tecnologias digitais. Kenksi (2003, p.2)
afirma que:
Estamos vivendo um novo momento tecnológico. A ampliação das possibilidades de comunicação e de informação, por meio de equipamentos como o telefone, a televisão e computador, altera a nossa forma de viver e de aprender na atualidade.
Desta maneira “as tecnologias existentes em cada época, disponíveis para
utilização de determinado grupo social, transformaram radicalmente as suas formas
de organização social, a comunicação e a própria aprendizagem.” (KENSKI, 2003,
p.2). Segundo a autora com o passar dos anos as pessoas necessitam modificar seu
modo de vida para se adequar às tecnologias disponíveis no momento.
Kenski (2003) cita três características que garantem o rápido acesso a
comunicação e informação, as quais são: interatividade, hipertextualidade e
conectividade. A interatividade é garantida nos espaços virtuais, a hipertextualidade
é uma sequência de textos interligados com outros tipos de mídias tecnológicas e a
11
conectividade garante o acesso a informação e à comunicação rapidamente em
qualquer tempo e lugar. Pode-se considerar estas características como um
diferencial das tecnologias digitais, e isto pode favorecer tanto a aprendizagem
individual quanto a grupal.
Gravina e Santarosa (1998, p.8) dizem que “os ambientes informatizados
apresentam-se como ferramentas de grande potencial frente aos obstáculos
inerentes ao processo de aprendizagem”. Pode-se observar a importância de se
inserir as tecnologias digitais no processo de ensino e aprendizagem, pois é
necessário formar indivíduos pensantes que estejam preparados para lidar com os
desafios e as dificuldades, e as tecnologias podem auxiliar neste processo.
As autoras Gravina e Santarosa (1998) citam que o uso das tecnologias
digitais pode também não favorecer a aprendizagem, pois seu uso inadequado pode
colocar em risco o trabalho a ser desenvolvido. Portanto, além de saber utilizar um
recurso tecnológico é preciso saber utilizá-lo forma que este recurso favoreça a
aprendizagem.
Kenski (2003, p.9) afirma que:
As atuais tecnologias digitais de comunicação e informação nos orientam para novas aprendizagens. Aprendizagens que se apresentam como construções criativas, fluidas, mutáveis, que contribuem para que as pessoas e a sociedade possam vivenciar pensamentos, comportamentos e ações criativas e inovadoras, que a encaminhem para novos avanços socialmente válidos no atual estágio de desenvolvimento da humanidade.
Portanto, pode-se pensar nas tecnologias digitais como um meio para
favorecer a aprendizagem de matemática, ou seja, pensar em meios em que a sua
utilização auxilie os alunos na construção de seu conhecimento.
3.2 TECNOLOGIAS DIGITAIS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Como visto anteriormente as tecnologias digitais podem auxiliar no processo
de aprendizagem, e segundo Gravina e Santarosa (1998, p.7) “[...] a aprendizagem
é um processo construtivo que depende de modo fundamental das ações do sujeito
e duas suas reflexões sobre estas ações [...]”. Para utilizar as tecnologias digitais
visando que a aprendizagem aconteça é preciso propor tarefas nas quais os alunos
12
conjecturem e ajam sobre o meio propiciado, refletindo após sobre suas conjecturas
validando-as ou não.
Gravina e Santarosa (1998, p.7) dizem que a aprendizagem “no contexto da
matemática são as ações, inicialmente sobre objetos concretos que se generalizam
em esquemas, e num estágio mais avançado são ações sobre objetos abstratos que
generalizam em conceitos e teoremas”.
As tecnologias digitais podem ser consideradas um diferencial no ensino da
matemática. Neste sentido Princival (2012, p.15) afirma que as tecnologias digitais
no ensino da matemática:
[...] constituem-se ferramentas úteis para o ensino e aprendizagem de matemática, proporcionam aulas diferenciadas, fornecem dinamismo a conceitos e propriedades matemáticas, tornando-os mais concretos para o aluno, estimulando o pensamento crítico e observação do mesmo quanto a novos conteúdos e até mesmo aos já estudados.
As DCE (PARANÁ, 2008, p.65) enfatizam que “os recursos tecnológicos,
como o software, a televisão, as calculadoras, aplicativos da internet, entre outros,
têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de
resolução de problemas.” De acordo com as DCE (PARANÁ, 2008) esses recursos
podem auxiliar professores e alunos a generalizar, a visualizar e „fazer matemática‟
de maneira manipulável e dinâmica, o que ajuda na construção, interação, trabalho
colaborativo e confronto da teoria e da prática.
Atualmente existem inúmeros recursos tecnológicos voltados para o ensino
da matemática. As possibilidades de exploração destes recursos também são
inúmeras, assim pode-se adequar esses recursos para trabalhar conteúdos
matemáticos de forma que os alunos participem ativamente.
Conforme Gravina e Santarosa (1998, p.10):
Alguns dos recursos já disponíveis em certos ambientes: ferramentas para construção de objetos matemáticos, múltiplas representações, procedimentos dos alunos podem ser registrados ou automatizados (capturação de procedimentos), auto escala automatizada, zoom-in e zoom-out, dados que atualizam com a dinâmica da situação, traçados de lugares geométricos, cálculos automáticos. Capturação de procedimentos é um recurso encontrado, particularmente, em programas para a Geometria. Automaticamente são gravados os procedimentos do aluno em seu trabalho de construção e mediante solicitação o aluno pode repassar a „história‟ do desenvolvimento de sua construção.
13
As tecnologias digitais avançam diariamente, com esses avanços os
recursos tecnológicos voltados para o ensino da matemática são aprimorados e
melhorados, e também surgem novos recursos. Não podemos nos contentar por
muito tempo com o mesmo recurso, pois em um futuro próximo teremos que nos
adaptar a um novo recurso com capacidade de exploração maior do que ao qual
estávamos habituados.
Para auxiliar o aluno na construção do seu conhecimento é possível utilizar
as tecnologias digitais como recurso didático. Existem softwares de geometria
dinâmica 3D que possuem alguns diferenciais que podem ser utilizados como
recursos didáticos para trabalhar com a geometria espacial.
3.2.1 Tecnologias digitais e o ensino de geometria espacial
Temos vários softwares que podem auxiliar o aluno a explorar e construir
diferentes conceitos matemáticos. Conforme as OCEM (2006, p. 88):
Os programas de expressão1 apresentam recursos que provocam, de forma
muito natural, o processo que caracteriza o „pensar matematicamente‟, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas.
Pode-se encontrar inúmeros softwares de geometria dinâmica com réguas e
compassos virtuais que possibilitem aos alunos explorar e construir objetos
relacionados ao conteúdo de geometria.
Utilizar os recursos tecnológicos em sala de aula pode propiciar ao aluno
desenvolver as habilidades e competências já citadas. Ou seja, com o uso de
recursos tecnológicos em sala de aula pode ser possível aguçar a percepção do
aluno em relação aos objetivos da aula, os quais devem ter em vista o processo de
aprendizagem do aluno e prepará-lo para solucionar seus problemas cotidianos com
auxilio da matemática sempre que possível.
A utilização da geometria dinâmica (GD) pode facilitar tanto a vida do
professor quanto a do aluno, pois as construções de geométricas feitas com lápis,
1 São softwares matemáticos.
14
régua e compasso não são manipuláveis, ou seja, quando trabalhamos com um
software de geometria dinâmica temos a possibilidade de manipular os objetos
construídos. Silva (2010, p.20) nesse sentido afirma que “a principal característica
de um software GD é a possibilidade de arrastar. Essa característica permite que os
estudantes explorem situações problemas e façam conjecturas sobre o conteúdo
que estão estudando”.
Desta forma inúmeras explorações podem ser feitas manipulando uma única
construção e isto pode auxiliar na aprendizagem do conceito abordado. Porém
somente o software não dará conta de tudo sozinho, de acordo com Morelatti e
Souza:
[...] a criação de um ambiente de aprendizagem que favoreça a construção do conhecimento e o desenvolvimento de habilidades de pensar, necessárias ao cidadão atual, não depende somente software escolhido, mas do professor e da metodologia utilizada por ele. (2014, p.268)
Portanto o professor deve estar preparado para conduzir suas aulas e
orientar seus alunos durante o desenvolvimento das tarefas. O professor deverá
também ter um bom jogo de cintura, pois durante o desenvolvimento podem ocorrer
alguns imprevistos, e o professor deverá encontrar uma solução para que tarefa
obtenha êxito.
Segundo Ritter (2011, p.35) “A aprendizagem em Matemática depende das
ações que levam ao experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar e
abstrair”, assim as tarefas propostas devem englobar essas ações, visando
proporcionar ao aluno a construção do seu conhecimento.
Durante o desenvolvimento das tarefas o aluno deverá agir por si só sem
que o professor lhe dê repostas prontas, e desta forma o aluno deverá organizar
suas ideias e formular estratégias para desenvolver as tarefas propostas, para que
isso aconteça a tarefa deverá propiciar ao aluno a possibilidade de agir sozinho sem
que o professor necessite intervir intensivamente durante o desenvolvimento. A
tarefa também deve estar de acordo com o nível de desenvolvimento do aluno.
Quando se trata de construções relacionadas a geometria espacial, observa-
se que com lápis e papel é mais difícil observar os sólidos geométricos, pois nesse
caso o sólido é projetado em um plano bidimensional. Para que o aluno possa
identificar e compreender quais e o que são os elementos dos sólidos geométricos
15
pode-se utilizar softwares de geometria dinâmica 3D. Deste modo o aluno terá a
oportunidade de observar os elementos do sólido geométrico em suas diferentes
posições, verificar suas planificações, bem como identificar seus elementos, isso
será possível utilizando a ferramenta “girar” que alguns dos softwares de GD 3D
possuem.
O aluno pode vir a verificar várias propriedades relacionadas do sólido com
uma única construção. Ao instigar os alunos a explorar, pode-se fazer com que eles
construam os conceitos explorados verificando se as propriedades se mantém ou
não, arrastando os objetos pertencentes a construção, o que pode propiciar a
construção do conhecimento em relação aos conteúdos abordados.
O software de GD 3D pode ser utilizado para ensinar a geometria espacial
de forma dinâmica, sendo assim o aluno poderá manipular e explorar as
construções. Pode-se então propor tarefas que utilizem um software de geometria
dinâmica como recurso didático, visando que essas tarefas proporcionem ao aluno a
oportunidade de investigar, formular estratégias, argumentar e compreender os
conceitos relacionados a tarefa.
Para o desenvolvimento da proposta de ensino deste trabalho será adotado
como recurso didático o software de geometria dinâmica o GeoGebra 3D (colocar
nota de rodapé com disponível em).
Princival (2012 p.19) traz que o GeoGebra:
É um software de geometria dinâmica, que pode ser utilizado para trabalhar conteúdos de geometria, cálculo e álgebra. Na construção de figuras geométricas ele faz com que os alunos possam modificá-las sem que as mesmas percam suas propriedades geométricas, o que possibilita uma melhor visualização e interpretação.
Souza (2014, p.25) cita que:
O GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para números, pontos, vetores, derivar e integrar funções, e ainda oferecer comandos para se encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Com isto, o programa reúne as ferramentas tradicionais da geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Isto tem a vantagem didática de representar, ao mesmo tempo em um único ambiente visual, as características geométricas e algébricas.
Podemos observar que é possível trabalhar com outros conteúdos além da
geometria utilizando o software GeoGebra, porém neste trabalho o foco é a
geometria espacial e a exploração dos conceitos relacionados ao prisma.
16
Serão apresentadas a seguir orientações para a construção de um prisma
reto, de um prisma oblíquo e uma construção com os dois prismas em um mesmo
arquivo.
17
4 ORIENTAÇÕES PARA AS CONSTRUÇÕES DE PRISMAS NO SOFTWARE
GEOGEBRA
Neste capítulo serão apresentadas orientações para as construções de
prismas. As construções serão feitas no software GeoGebra 3D. Estas orientações
são a princípio destinadas ao professor, pois objetiva-se que os alunos explorem as
construções no decorrer das tarefas. Mas nada impede que o professor solicite que
seus alunos façam a construção para depois realizarem as tarefas exploratórias,
caso o professor prefira dessa forma.
Deixamos ainda uma segunda opção para o professor, que são as
construções prontas e estão disponíveis na pagina do GeoGebra Tube, a qual pode
ser acessada por meio da internet no endereço www.tube.geogebra.org. As
construções disponíveis estão nomeadas na página da internet da seguinte forma:
4.1 Prisma reto2, 4.2 Prisma oblíquo3, 4.3 Prisma reto e prisma oblíquo no
mesmo arquivo4.
O software GeoGebra possui uma janela de visualização 3D, que será
utilizada para fazer as construções dos objetos em três dimensões, e uma janela de
visualização 2D a qual auxiliará nas construções destes objetos.
Na janela de visualização serão construídos os objetos bidimensionais, os
quais servirão de base para a construção dos sólidos. Na janela de visualização 3D
serão construídos os objetos tridimensionais, ou seja, os sólidos geométricos.
O software possui ferramentas de zoom as quais são ampliar e reduzir,
estas ferramentas podem auxiliar na visualização das construções. Portanto caso os
objetos não possam ser visualizados da maneira desejada é necessário utilizar estas
ferramentas para ajustar a visualização.
Serão utilizadas também frequentemente outras duas opções: exibir rótulo
e exibir objeto. A opção exibir objeto será desmarcada sempre que for necessário
ocultar um objeto auxiliar, já a opção exibir rótulo será desmarcada para todos os
objetos construídos (exceto dos pontos e controles deslizantes), pois ela oculta o
nome do objeto. Estas ações serão realizadas para diminuir a poluição visual, desta
2 Disponível em: www.tube.geogebra.org/material/simple/id/2282077
3 Disponível em: www.tube.geogebra.org/material/simple/id/2282091
4 Disponível em: www.tube.geogebra.org/material/simple/id/22820971
18
forma devem ser ocultados também os eixos (nas duas janelas de visualização) e a
janela de álgebra.
Durante a construção é importante que os objetos construídos possuam o
mesmo rótulo que os indicados nas orientações, caso não possua o mesmo rótulo
será necessário renomear o objeto construído para que não ocorram erros.
4.1 PRISMA RETO
A partir das orientações a seguir será construído um prisma reto de base
retangular.
1. Abra um novo arquivo do GeoGebra 3D;
2. No menu Exibir selecione a opção Janela de visualização 3D
;
3. Clique com o botão direito sobre na Janela de visualização e desmarque a
opção eixos. Repita o mesmo processo na Janela de visualização 3D
A partir das orientações 4, 5, 6 e 7 serão criados 4 controles deslizantes, que
são os seguintes: a e b que irão alterar as dimensões do retângulo que será a base
do prisma, h que irá alterar a altura do prisma e i que irá alterar a abertura da
planificação do prisma.
4. Clique na janela de visualização, e selecione a ferramenta Controle
deslizante , clique na janela de visualização para criar o controle
deslizante Altere o rótulo do controle deslizante para a, o intervalo para 0 e 5,
e incremento para 0.1. Após clique em 5;
5 Algumas versões do GeoGebra 3D possuem como opção ok ao invés de aplicar.
19
5. Selecione a ferramenta Controle deslizante , clique na janela de
visualização para criar o controle deslizante. Altere o rótulo do controle
deslizante para b, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique
em Aplicar;
6. Selecione a ferramenta Controle deslizante , clique na janela de
visualização para criar o controle deslizante. Altere o rótulo do controle
deslizante para h, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique
em Aplicar;
20
7. Clique na janela de visualização, e selecione a ferramenta Controle
deslizante , clique na janela de visualização para criar o controle
deslizante. Altere o rótulo do controle deslizante para i, o intervalo para 0 e 1,
e incremento para 0.01. Após clique em Aplicar;
As orientações 8 e 9 apresentam os passos para a construção do retângulo
que será a base do prisma. O polígono será nomeado pol16.
8. No campo de entrada , digite Polígono[(0,0),
(0,0) + (0, b), (0,0) + (a, b), (0,0) + (a, 0)]
9. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do retângulo,
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
rótulo;
A orientação 10 será utilizada para construir o ponto H, que será uma das
extremidades da altura.
10. No campo de entrada digite H=(0,0,h);
A partir das orientações 11 a 13 será construído o prisma g.
11. No campo de entrada digite Prisma[pol1, H];
12. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do prisma,
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
rótulo;
13. Clique com o botão direito sobre o prisma g e desmarque a opção Exibir
rótulo;
6 Caso o polígono não possua este rotulo será necessário renomeá-lo, para isso clique como botão
direito sobre o polígono e altere o rótulo para pol1. O mesmo deve ser feito para os próximos objetos caso os rótulos não estejam de acordo com as orientações.
21
As orientações 14 e 15 serão utilizadas para a construção da planificação da
superfície do prisma g. O rótulo da planificação será j.
14. No campo de entrada digite Planificação [g, i];
15. Selecione todos os objetos construídos a partir da planificação, clique com o
botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir rótulo;
A próxima orientação apresenta os passos para a construção de uma caixa
para exibir/esconder objetos. Essa ferramenta irá esconder a planificação e controle
deslizante i, para exibir a planificação novamente é necessário selecionar a caixa
exibir.
16. Selecione a ferramenta Caixa para exibir/esconder objetos , clique na
janela de visualização para criar a caixa. Coloque a legenda como Exibir e
selecione os seguintes objetos: número i e a planificação j. Após clique em
Aplicar.
Figura 1 – Prisma reto Fonte: A autora, 2015
22
4.2 PRISMA OBLÍQUO
A partir das orientações seguir será construído um prisma oblíquo de base
retangular.
1. Abra um novo arquivo do GeoGebra 3D;
2. No menu Exibir selecione a opção Janela de visualização 3D;
3. Clique com o botão direito sobre na Janela de visualização e desmarque a
opção eixos. Repita o mesmo processo na Janela de visualização 3D
A partir das orientações 4, 5, 6 e 7 serão criados 4 controles deslizantes, que
são os seguintes: a e b que irão alterar as dimensões do retângulo que será a base
do prisma, h que irá alterar a altura do prisma e i que irá alterar a abertura da
planificação do prisma.
4. Clique na janela de visualização, e selecione a ferramenta Controle
deslizante , clique na janela de visualização para criar o controle
deslizante. Altere o nome do controle deslizante para a, o intervalo para 0 e 5,
e incremento para 0.1. Após clique em Aplicar/Ok;
5. Selecione a ferramenta Controle deslizante , clique na janela de
visualização para criar o controle deslizante. Altere o nome do controle
deslizante para a, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique
em Aplicar;
6. Selecione a ferramenta Controle deslizante , clique na janela de
visualização para criar o controle deslizante. Altere o nome do controle
deslizante para h, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique
em Aplicar;
7. Clique na janela de visualização, e selecione a ferramenta Controle
deslizante , clique na janela de visualização para criar o controle
deslizante. Altere o nome do controle deslizante para i, o intervalo para 0 e 1,
e incremento para 0.01. Após clique em Aplicar;
23
As orientações 8 e 9 apresentam os passos para a construção da base do
prisma, que neste caso será um retângulo.
8. No campo de entrada digite Polígono[(0,0), (0,0) + (0, b), (0,0) + (a, b),
(0,0) + (a, 0)]
9. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do retângulo,
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
rótulo;
A orientação 10 será utilizada para construir o ponto H, que será uma das
extremidades da altura.
10. No campo de entrada digite H= (1, 1, h)
A próxima orientação apresenta os passos para a construção da reta g,
perpendicular ao plano da base e que contém a altura do prisma, neste caso a altura
não será congruente às arestas da face, pois o prisma será oblíquo e suas arestas
laterais não são perpendiculares às bases.
11. No campo de entrada digite Perpendicular[H, pol1]
As orientações 12 a 14 apresentam os passos para a construção da altura
do prisma.
A partir da próxima orientação será construído um ponto, que será a outra
extremidade da altura.
12. Selecione a ferramenta Interseção de dois objetos , e construa o
ponto de intersecção entre o plano da base e a reta g;
13. Clique com o botão direito sobre o ponto e selecione a opção Renomear e
altere seu rótulo para H’;
14. Clique com o botão direito sobre a reta g desmarque a opção Exibir objeto;
As orientações 15 e 16 apresentam os passos para a construção da altura
do prisma. O rotulo do segmento será j.
15. No campo de entrada digite Segmento[H, H’]
16. Clique com o botão direito sobre o segmento HH’ e desmarque a opção
Exibir rótulo;
A partir das orientações 17 e 18 será construído o prisma k.
17. No campo de entrada digite Prisma[pol1, H]
18. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do prisma,
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
24
rótulo;
A orientação 19 será utilizada para a construção da planificação da
superfície do prisma k.
19. No campo de entrada digite Planificação[k, i]
A próxima orientação apresenta os passos para a construção de uma caixa
para exibir/esconder objetos. Essa ferramenta irá esconder a planificação e controle
deslizante i, para exibir a planificação novamente é necessário selecionar a caixa
exibir.
20. Selecione a ferramenta Caixa para exibir/esconder objetos , clique
na janela de visualização para criar a caixa. Coloque a legenda como Exibir e
selecione os seguintes objetos: número i e a planificação l. Após clique em
;
Figura 2 – Prisma oblíquo Fonte: A autora, 2015
25
4.3 PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO CONSTRUÍDOS NO MESMO ARQUIVO
Esta construção será utilizada na tarefa que aborda o volume de um prisma,
para tanto precisamos construir um prisma reto e um prisma obliquo em um mesmo
arquivo, para posterior exploração.
1. Abra um novo arquivo do GeoGebra 3D;
2. No menu Exibir selecione a opção Janela de visualização 3D;
3. Clique com o botão direito sobre na Janela de visualização e desmarque a
opção Eixos. Repita o mesmo processo na Janela de visualização 3D
A partir das orientações 4, 5 e 6 serão criados 3 controles deslizantes, que
são os seguintes: a e b que irão alterar as medidas dimensões dos retângulos que
serão as bases dos prismas e h que irá alterar as medidas as alturas dos prismas.
4. Clique na janela de visualização, e selecione a ferramenta Controle
deslizante , clique na janela de visualização para criar o controle
deslizante. Altere o rótulo do controle deslizante para a, o intervalo para 0 e 5,
e incremento para 0.1. Após clique em Aplicar;
5. Selecione a ferramenta Controle deslizante , clique na janela de
visualização para criar o controle deslizante. Altere o rótulo do controle
deslizante para b, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique
em Aplicar;
6. Selecione a ferramenta Controle deslizante , clique na janela de
visualização para criar o controle deslizante. Altere o rótulo do controle
deslizante para h, o intervalo para 0 e 5, e incremento para 0.1. Após clique
em Aplicar;
As orientações 7, 8 e 9 apresentam os passos para a construção do
retângulo que será a base do prisma reto. O polígono será nomeado pol1.
7. No campo de entrada, digite Polígono[(0,0), (0,0) + (0, b), (0,0) + (a, b), (0,0)
+ (a, 0)]
8. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do retângulo,
26
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
rótulo;
A orientação 9 será utilizada para construir o ponto H, que será uma das
extremidades da altura.
9. No campo de entrada digite H = (0, 0, h)
A partir das orientações 10, 11 e 12 será construído o prisma g.
10. No campo de entrada digite Prisma[pol1, H]
11. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do prisma,
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
rótulo;
12. Clique com o botão direito sobre o prisma g e desmarque a opção Exibir
rótulo;
As orientações 13 e 14 apresentam os passos para a construção da base do
prisma oblíquo, que neste caso será um retângulo. O polígono será nomeado pol2.
13. No campo de entrada digite Polígono[(7,0), (7,0) + (0, b), (7,0) + (a, b), (7,0)
+ (a, 0)]
14. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do retângulo,
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
rótulo;
A orientação 15 será utilizada para construir o ponto P, que será uma das
extremidades da altura.
15. No campo de entrada digite P = (9, 1, h)
A próxima orientação apresenta os passos para a construção da reta m,
perpendicular ao plano da base e que contém a altura do prisma, neste caso a altura
não será congruente às arestas da face, pois o prisma será oblíquo e suas arestas
laterais não são perpendiculares às bases.
16. No campo de entrada digite Perpendicular[P, pol2]
As orientações 17 a 21 apresentam os passos para a construção da altura
do prisma oblíquo.
A partir da próxima orientação será construído um ponto, que será uma das
extremidades da altura.
17. Selecione a ferramenta Interseção de dois objetos , e construa o
ponto de intersecção entre o plano da base e a reta m;
27
Clique com o botão direito sobre o ponto e selecione a opção Renomear e
altere seu rótulo para P’;
18. Clique com o botão direito sobre a reta m desmarque a opção Exibir objeto;
As orientações 19 e 20 apresentam os passos para a construção da altura
do prisma. O rotulo do segmento será n.
19. No campo de entrada digite Segmento[P, P’]
20. Clique com o botão direito sobre o segmento PP’ e desmarque a opção
Exibir rótulo;
A partir das orientações 22 e 23 será construído o prisma oblíquo o.
21. No campo de entrada digite o ponto Prisma [pol2, P];
22. Selecione todos os objetos construídos a partir da construção do prisma,
clique com o botão direito sobre estes objetos e desmarque a opção Exibir
rótulo;
Figura 3 – Volume prisma Fonte: A autora, 2015
28
5 UMA PROPOSTA DE ENSINO UTILIZANDO O GEOGEBRA 3D COMO
RECURSO DIDÁTICO
Neste capítulo é apresentada uma proposta de ensino que tem como
objetivo proporcionar ao aluno a oportunidade de construir conceitos de geometria
espacial. Esta proposta explora as construções apresentadas no capítulo anterior.
As tarefas propostas são pensadas de acordo com o referencial teórico
apresentado em capítulos anteriores, ou seja, visa utilizar tecnologias digitais como
metodologia de ensino. No referencial é apresentado também como as tarefas
podem ser encaminhadas e como pode ocorrer o desenvolvimento das aulas ao
utilizar tecnologias digitais.
Ao explorar essas construções será abordada a classificação (reto ou
obliquo), área da superfície e o volume de prismas.
Para que as tarefas sejam desenvolvidas será necessário que os alunos
utilizem alguns conhecimentos adquiridos anteriormente, que são os seguintes:
calculo da área de figuras planas e congruência de figuras planas. Caso os alunos
não lembrem, o professor precisará retomar esses assuntos, pois o desenvolvimento
de algumas tarefas depende destes conhecimentos.
Sempre que for necessário ou solicitado os alunos poderão utilizar os
recursos do software para determinar medidas de segmentos, ângulos, área e
volume, e caso não tenham familiaridade com os recursos do software, é importante
que o professor explore as ferramentas e explique como utilizá-las.
5.1 O PRISMA
Serão propostas nesta seção algumas tarefas, espera-se que estas
propiciem ao aluno a oportunidade de: classificar um prisma como reto ou oblíquo,
compreender como calcular a área da superfície de um prisma e compreender como
calcular o volume de um prisma. Para que os alunos desenvolvam as tarefas que
serão propostas a seguir deverão saber o que é um prisma e quais são seus
elementos.
29
5.1.1 Tarefa 1 – classificação de um prisma
Serão utilizadas para desenvolver a tarefa as construções 4.1 (Prisma reto)
e 4.2 (Prisma obliquo) apresentadas no capítulo anterior.
Segue tarefa:
(continua)
Tarefa 1
Abra os arquivos 4.1 e 4.2, observe os prismas construídos no software e responda
as questões a seguir:
1. Movimente os controles deslizantes a, b e h (em ambos os arquivos). O que
ocorre quando os controles deslizantes são movimentados?
2. O que ocorre quando um dos controles deslizantes citados na questão
anterior é igual a zero? Justifique
3. Selecione a ferramenta Ângulo e meça o ângulo formado entre as
arestas laterais e o plano da base, para isso clique na aresta e no plano da
base. Responda:
a) Na construção 4.1, qual é o ângulo formado entre o plano da base e as
arestas laterais?
b) E na construção 4.2?
4. Selecione a ferramenta Mover e movimente novamente o controle
deslizante h nos dois arquivos:
a) Na construção 4.1 os ângulos se alteram quando o controle deslizante é
movimentado?
b) Na construção 4.2, os ângulos se alteram quando o controle deslizante h é
movimentado? Em algum momento as arestas laterais serão perpendiculares
ao plano da base?
5. Selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro ,
determine a medida das arestas laterais em ambos os arquivos. A medida
30
(conclusão)
das arestas laterais é congruente a altura no arquivo 4.1? E no arquivo 4.2?
Por quê?
6. Qual é a diferença entre os dois prismas? Justifique
7. Como podem ser classificados os prismas de acordo com as características
que os diferenciam?
No arquivo 4.1 movimente os controles deslizantes a, b e h e os deixe com
valores iguais.
8. Quais são as formas geométricas das faces laterais? E das bases?
9. Essas figuras são congruentes?
10. Como podemos classificar este prisma? Justifique
Quadro 1 – Tarefa 1: classificação de um prisma Fonte: A autora, 2015
Espera-se que na questão 1 os alunos respondam que ao movimentar os
controles a e b alteram-se as medidas das dimensões dos retângulos que são as
bases dos prismas, e ao movimentar o controle h altera-se a medida da altura do
prisma, e juntamente com as dimensões alteram-se as medidas dos seguintes
elementos: arestas, área das faces, área das bases, área da superfície lateral e
total, volume.
Como resposta para a questão 2 deseja-se que os alunos quando um dos
controles é igual a zero não existe sólido, porém no arquivo 4.2 quando um dos
controles deslizantes é igual a zero pode se ter a impressão que existe um prisma,
caso isso aconteça deve ser solicitado aos alunos que cliquem na janela de
visualização 3D e selecionem a ferramenta Girar janela de visualização 3D , e
após alterem a posição do prisma, desta forma será possível observar que a figura
formada possui somente duas dimensões.
Já na questão 3 item a) deve-se obter como resposta que os ângulos
formados pelas arestas laterais e as bases no arquivo 4.1 são iguais a 90°, e no item
b) que no arquivo 4.2 os ângulos formados entre as arestas laterais e as bases são
diferentes de 90°.
No item a) da questão 4 espera-se que os alunos observem que as medidas
dos ângulos não alteram, e no item b) que as arestas serão sempre obliquas ao
plano das bases.
31
Almeja-se na questão 5 que os alunos observem que na construção 4.1 as
arestas laterais são congruentes a altura do prisma, já no arquivo 4.2 eles devem
observar que isto não ocorre.
Com a questão 6 espera-se que os alunos observem que a diferença entre
os dois prismas é o ângulo formado pelas arestas laterais e o plano das bases do
prisma, bem como a forma das faces laterais que no prisma oblíquo são
paralelogramos e no prisma reto são retângulos.
Objetiva-se na questão 7 que os alunos respondam que o prisma do arquivo
4.1 pode ser classificado como prisma reto, já o prisma do arquivo 4.2 pode ser
classificado como prisma oblíquo, que segundo Dolce e Pompeo (2011 p. 140)
possuem a seguinte definição: “prisma reto é aquele cujas arestas laterais são
perpendiculares ao plano da base. Prisma oblíquo é aquele cujas arestas laterais
são oblíquas a base”.
Caso os alunos dêem respostas diferentes cabe ao professor formalizar a
questão da classificação do prisma.
Espera-se que os alunos na questão 8 respondam que a forma geométrica
das faces laterais e das bases são quadrados, e na questão 9 que estes quadrados
são congruentes.
Na questão 10 os alunos devem classificar este caso especial de prisma
como um cubo, justificando que as arestas e as áreas das faces deste sólido são
congruentes, e os ângulos formados pelas arestas laterais e os planos da base são
de 90°. Caso os alunos encontrem as regularidades, mas não o denominem como
cubo, o professor deverá explicar que este prisma é chamado de cubo.
5.1.2 Tarefa 2 – área da superfície de um prisma
Para o desenvolvimento desta tarefa serão utilizadas as mesmas
construções da tarefa anterior. Segue tarefa:
32
(continua)
Tarefa 2
Abra os arquivos 4.1 e 4.2.
Selecione a opção exibir e responda as questões a seguir:
1. Movimente o controle deslizante i (em ambos os arquivos). O que é obtido
quando este controle deslizante i está igual a 1?
Movimente os controles deslizantes a, b e h e os deixe com valores
diferentes.
2. No arquivo 4.1, quais são as formas geométricas das faces do prisma reto? E
no arquivo 4.2?
3. Como ambos os tipos de quadriláteros podem ser classificados? Justifique
4. Como pode ser calculada a área de cada um desses quadriláteros?
5. Selecionando alguns valores para os controles deslizantes a, b e h preencha
os quadros a seguir:
a) Prisma reto
a b h Área das faces laterais Área da
base
Área
superfície
lateral
Área
superfície
total 1º 2° 3° 4° 1° 2º
b) Prisma oblíquo
a b h Área das faces laterais Área da
base
Área
superfície
lateral
Área
superfície
total 1° 2° 3º 4° 1° 2°
33
(conclusão)
6. Observando os quadros acima como pode ser calculada a área da superfície
lateral do prisma reto? E do prisma oblíquo?
7. Como podemos generalizar o cálculo da área da superfície lateral e total
destes prismas?
Quadro 2 – Tarefa 2: área da superfície de um prisma Fonte: A autora, 2015
Espera-se que na questão 1 os alunos respondam que pode ser obtida a
planificação da superfície dos prismas. Na questão 2 os alunos devem identificar as
figuras no arquivo 4.1 como retângulos, e no arquivo 4.2 devem identificar as bases
como retângulos e as faces laterais como paralelogramos.
Já na questão 3 deseja-se como resposta que todas as figuras citadas
podem ser classificadas como paralelogramos, pois seus pares de lados opostos
são paralelos.
Na questão 4 os alunos deverão lembrar como calcular a área das figuras
citadas na questão 3, caso os alunos não lembrem será necessário lembrá-los.
Abaixo segue como calcular estas áreas:
“A área de um retângulo é o produto da medida de sua base pela medida de
sua altura.”, ou seja, (GERÔNIMO e FRANCO, 2010, p.109)
“A área de um paralelogramo é o produto de qualquer base pela altura
correspondente.” , ou seja, ( ) (GERÔNIMO e FRANCO, 2010, p.111)
Almeja-se com a questão 5 que os alunos preencham os quadros,
calculando a área de todas as faces laterais e das bases, e após adicionem a área
das faces laterais para obter a área da superfície lateral. E para obter a área da
superfície total adicionem a área da superfície lateral com as áreas das bases. O
34
professor pode também solicitar que seja utilizada a ferramenta Área para
determinar a medida da área das faces laterais e das bases.
Os alunos devem observar como preencheram o quadro para responder a
questão 6 e responder que as áreas da superfície lateral e total são dadas pela
soma das áreas das faces laterais (área da superfície lateral) e pela soma das áreas
das faces laterais com a área das bases laterais (área da superfície total).
Na questão 7 os alunos devem generalizar o calculo da área da superfície
de um prisma. Caso os alunos determinem uma generalização para cada prisma, o
professor deverá abordar estas generalizações fazendo com que os alunos
observem que em ambos os casos a forma utilizada para calcular a área da
superfície do prisma é a mesma. Segundo Gerônimo e Franco (2010, p.285):
“A área lateral de um prisma é a área da superfície lateral, que é a soma das
áreas dos paralelogramos. A área total de um prisma é a soma da área com as
áreas da base, ou seja:
.
5.1.3 Tarefa 3 – o volume de um prisma de base retangular reto
Na tarefa proposta a seguir será utilizada também a construção 4.1 (Prisma
reto). Antes da tarefa ser iniciada o professor deverá trabalhar com os alunos o
significado de volume. A seguir tarefa:
(continua)
Tarefa 3
Abra o arquivo 4.1.
Sabendo que o sólido construído no arquivo é um prisma reto de base retangular,
responda as questões a seguir:
1. Abra o arquivo 4.1, movimente os controles deslizantes a, b e h. O que
35
(conclusão)
ocorre quando são movimentados estes controles?
2. Clique na janela de visualização 3D. Selecione a ferramenta Volume
calcule o volume do prisma, para isso clique no prisma. Movimente
novamente os controles deslizantes. O que ocorre com o volume quando os
controles são movimentados?
3. Fixe valores para os controles deslizantes a e b, e após preencha o quadro
atribuindo diferentes valores ao controle deslizante h, inicie com h=1:
a= b=
h Área da base Volume
1
4. Com base na observação feita na questão acima, como pode ser calculado
o volume do prisma reto de base retangular? Justifique
Quadro 3 – Tarefa 3: volume de um prisma reto Fonte: A autora, 2015
Espera-se que na questão 1 os alunos respondam que ao movimentar os
controles a e b alteram-se as medidas das dimensões do retângulo que é a bases
do prisma. E ao movimentar o controle h altera-se a medida das alturas dos prismas,
juntamente com as medidas das dimensões alteram-se as medidas dos seguintes
elementos: arestas, área das faces, área das bases, área da superfície lateral, área
da superfície total e volume.
Com a questão 2 almeja-se que os alunos observem que ao movimentar os
controles deslizantes o volume do prisma é alterado.
Na questão 3 objetiva-se que os alunos preencham o quadro para
posteriormente relacionar os resultados obtidos com o volume do prisma reto de
base retangular, os alunos podem utilizar a ferramenta Área para determinar a
área da base do prisma. Já na questão 4 os alunos deverão observar os dados do
36
quadro e relacionar que o cálculo do volume de um paralelepípedo retângulo é dado
pelo seguinte resultado:
“O volume de um sólido geométrico determinado por um paralelepípedo
retângulo é igual ao produto da área da base pela medida da altura.” (GERÔNIMO e
FRANCO, 2010, p.285)
5.1.4 Tarefa 4 – o volume de um prisma
Para esta tarefa deverá ser utilizada a construção 4.3 (Prisma reto e prisma
oblíquo construídos no mesmo arquivo). O Principio de Cavalieri deverá ser
enunciado e explicado para os alunos, pois eles necessitarão deste princípio para
desenvolver a tarefa. Segue o princípio: “dois sólidos, nos quais todo plano secante,
paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies
equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).” (DOLCE e
POMPEO, 2011 p.164)
A seguir tarefa:
(continua)
Tarefa 4
Abra o arquivo 4.3 e responda as questões a seguir:
1. Movimente os controles deslizantes a e b. O que ocorre quando estes
controles deslizantes são movimentados?
2. As bases dos prismas são congruentes? E as alturas são congruentes?
Clique na janela de visualização 3D. Selecione a ferramenta Ponto e
crie um ponto sobre uma das arestas do prisma reto, para isso clique sobre
uma das arestas;
Selecione a ferramenta Plano paralelo e construa um plano paralelo ao
plano da base e passando pelo ponto que você determinou, para isso clique
37
(conclusão)
no ponto da base e no ponto construído no passo anterior;
Determine a interseção entre o plano e o prisma reto, para isso digite na
barra de entrada Interseção[p, g], observe que interseção determinada é um
retângulo;
Construa a interseção entre o plano e o prisma obliquo, para isso digite na
barra de entrada Interseção[p, o], observe que interseção determinada é um
retângulo;
Repita as orientações anteriores mais 5 vezes;
Observação: os rótulos dos prismas sempre serão os mesmos, somente são
modificados os rótulos dos planos, os quais serão sempre os últimos objetos
construídos;
3. As áreas das superfícies determinadas pelos planos (em cada um dos
prismas) são congruentes?
Observe que foi utilizado acima o princípio de Cavalieri;
4. Agora utilizando este princípio você pode afirmar que os volumes dos sólidos
são iguais? E a forma de calcular o volume é a mesma?
5. Como podemos calcular o volume de um prisma qualquer?
Quadro 4 –- Tarefa 4: volume do prisma Fonte: A autora, 2015
Objetiva-se que na questão 1 os alunos respondam que ao movimentar os
controles a e b alteram-se as medidas das dimensões dos retângulos que são as
bases dos prismas, e ao movimentar o controle h altera-se a medida da altura do
prisma, e juntamente com as dimensões alteram-se as medidas dos seguintes
elementos: arestas, área das faces, área da superfície lateral e área da superfície
total, volume.
Na questão 2 almeja-se que os alunos observem que as áreas das bases
dos prismas serão sempre congruentes, e isto decorre do fato das dimensões dos
retângulos que são as bases de ambos os prismas estarem associadas aos mesmos
controles deslizantes, o mesmo ocorre para as alturas.
Caso os alunos não tenham muito conhecimento sobre como fazer
construções no software GeoGebra 3D o professor poderá auxiliá-los, mostrando
como fazer as construções. O professor deve chamar a atenção dos alunos para o
fato de que os nomes dos prismas sempre serão os mesmos, mas os nomes dos
38
planos paralelos não serão, pois são planos diferentes. Portanto deverão sempre
observar como o plano foi nomeado para construir a interseção do plano com os
prismas.
Após os alunos terem construído os planos paralelos a base e as
interseções deste plano com os respectivos prismas, os alunos deverão observar na
questão 3 que as superfícies determinadas por estes planos são congruentes.
Já na questão 4 deseja-se que os alunos afirmem que os prismas têm
volumes equivalentes, pois as áreas determinadas pelos planos paralelos
determinaram superfícies de áreas congruentes, e possuem também as áreas das
bases e alturas congruentes e isto garante que os prismas possuem mesmo volume,
sendo assim a maneira de calcular o volume destes prismas é a mesma.
Na questão 5 os alunos deverão concluir que o volume do prisma é dado
pelo seguinte resultado: “o volume de um prisma é o produto da área da base pela
medida da altura”, ou seja, V= Abh (DOLCE e POMPEO, 2011, p.166).
39
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho buscou-se propor tarefas utilizando construções feitas no
software GeoGebra 3D como recurso didático. A partir dessas construções propõem-
se a exploração das mesmas para trabalhar com a classificação, o cálculo da área
da área da superfície e o cálculo do volume de prismas, tendo como intuito atribuir
um dinamismo as aulas e propiciar aos alunos a oportunidade de construir novos
conceitos matemáticos.
Desta forma espera-se que as tarefas propostas facilitem o processo de
ensino e aprendizagem da geometria espacial.
As tecnologias digitais podem sempre ser utilizadas no processo de ensino e
aprendizagem, visto que se forem utilizadas de forma coerente serão capazes de
despertar o interesse e a curiosidade dos alunos, possibilitando que ocorra a
aprendizagem.
Sendo assim, o desenvolvimento deste trabalho proporcionou a
oportunidade de elevar os meus conhecimentos relacionados ao uso de tecnologias
digitais para o ensino da geometria espacial.
Devemos buscar por novos recursos, novas metodologias que sejam
capazes de despertar o interesse e a vontade do aluno, algo que faça o aluno olhar
para a matemática de outra forma, que a aprendizagem dos conteúdos de
matemática se torne cada vez mais desejada tanto pelos alunos quanto pelos
professores, para que realmente haja a construção de conceitos.
Para mim como futura professora este trabalho só contribuiu, pois em um
futuro próximo estarei lecionando, e quando for necessário poderei utilizar esta
proposta com os meus alunos.
A partir das pesquisas realizadas para o desenvolvimento deste trabalho
conclui-se que o professor necessita sempre atualizar-se, buscando novos métodos
que possam ser eficazes.
Neste trabalho visou-se explorar uma versão nova de um recurso muito
conhecido pelos professores de matemática, e que já foi alvo de inúmeras pesquisas
(exceto a nova versão 3D).
Ao explorar o software GeoGebra 3D, foi possível observar que ele é um
software com grande potencial que possibilita explorar inúmeros conteúdos, porém
40
a forma explorada nem sempre é a melhor, sempre há algo a aprender, e o que foi
apresentado neste trabalho é somente um parcela das potencialidades a serem
exploradas no GeoGebra 3D.
41
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretária de Educação Básica. Orientações curriculares para o ensino médio: Ciências da Natureza Matemática e suas tecnologias. Brasília, 2006. BRASIL. Secretária de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino médio: Orientações curriculares para o ensino médio: Ciências da Natureza Matemática e suas tecnologias. Brasília, 2009. BRITO, G. S.; PURIFICAÇÃO, I. Educação e novas tecnologias: um repensar. Curitiba: IBPEX, 2012. DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. 3. ed. São Paulo: Atual, 2011. GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. A. Geometria plana e espacial: um estudo axiomático. 2. ed. Maringá: Eduem, 2010. GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. IV Congresso RIBIE. Brasília, 1998. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/niee/eventos/RIBIE/1998/pdf/com_pos_dem/117.pdf> Acesso: 07 de julho de 2015 KENSKI, V. M. Aprendizagem Mediada pela tecnologia. Revista Diálogo Educacional. Curitiba, v.4, n.10, p.47-56, set/dez.2003. MORELATTI, M. R. M.; SOUZA, L. H. G de. Aprendizagem de conceitos geométricos pelo futuro professor das séries iniciais do Ensino Fundamental e as novas tecnologias. Educar, n.28, 2006. Disponível em <http://www.capes.gov.br> Acesso em: 24 de março de 2015. PARANÁ. Secretaria de Educação do Estadual do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: matemática. Paraná, 2008. Disponível em: < http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf> Acesso: 24 de março de 2015 PRINCIVAL, C. J. O USO DOS SOFTWARES BRR. OFFICE CALC E GEOGEBRA NO ENSINO FUNÇÕES QUADRÁTICAS. 2012. Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em matemática) – Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras, Colegiado de Matemática, União da Vitória, 2012. RITTER, A. M. A visualização no ensino de geometria espacial: possibilidades com software calque 3D. 2011. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Instituto de Matemática, Porto Alegre, 2011.
42
SILVA, G. H. G. da. Grupos de estudo como possibilidade de formação de professores de matemática no contexto da geometria dinâmica. 2010. 191 f. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, 2010. SOUZA, L.A. Uma proposta para o ensino da geometria espacial usando o Geogebra 3D. 2014. Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologias, Campina Grande, 2014.
Recommended