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Un acercamiento a la mecánica por componentes fundamentales. M. Tres ingredientes de la mecánica tres: LA MASA. - PowerPoint PPT Presentation
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Tres ingredientes de la mecánica tres:
LA MASA
M
La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento actual. Resistividad a la fuerza. La energía cinética escalea con la masa manifestando el hecho de que la fuerza necesaria para modificar la cantidad de movimiento es proporcional a la masa.
La masa también es el factor de escala de la fuerza de gravedad y por lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias este es también un factor de escala de la energía potencial.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
EL AMORTIGUADOR
El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio externo. Se opone sistemáticamente a la dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un potencial acumulado.
La amortiguación resulta de las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un medio, correspondientes a un “resumen estadistico” de numerosas interacciones moleculares. La energia que pierde el amortiguador es absorvida por el medio en formas no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor.
Tres ingredientes de la mecánica tres:EL RESORTE
El resorte: Fuerza elastica, resistencia al desplazamiento de manera independiente de la velocidad con la que se llega a esa posición. Resistencia al cambio de forma. Un objeto que ejerce una fuerza
proporcional a la posición. Tiende por lo tanto a restituir el movimiento hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio de forma. Su estiramiento resulta en una “acumulación de fuerza” o “carga de energía potencial”.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
LA MASA
La masa: Inercia, tendencia a permanecer
en el estado de movimiento actual.
Resistividad a la fuerza. También es el factor de escala de la fuerza de
gravedad.
El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio
externo. Se opone sistemáticamente a la
dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética
sin transferir esa energía a un potencial acumulado.
El resorte: Un objeto que ejerce una fuerza
proporcional a la posicion. Tiende por lo
tanto a restituir el movimiento hacia el
punto de equilibrio. Su estiramiento resulta en una “acumulacion de fuerza” o “carga de energia potencial”.
Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: LA MASA
Ft
m
Fv
2
2m
Ftx
0
Notar que la aceleración no es independiente de la masa
Una masa responde a una fuerza modificando su velocidad en esa dirección. Esta modificación es menor a medida que crece la masa.
Un problema conocido, con alguna sutileza.
Dinámica de los tres ingredientes en una F constante: AMORTIGUADOR
El amortiguador esta postulado por ahora como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la velocidad. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” dada la ausencia de la masa. A medida que la velocidad aumenta, el medio ejerce una fuerza creciente que alcanza un equilibrio cuandoA esta velocidad las dos fuerzas se cancelan, con lo que no hay fuerzas resultantes y la velocidad se mantiene constante. Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en permanencia (inyectando energia) para mantener esta velocidad constante.
F
vF
F
v
Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: EL RESORTE
El RESORTE esta postulado como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la distancia. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” hasta el “infinito” dada la ausencia de la masa. Esto resulta en un desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza ejercida por el resorte, que aumenta con la distancia, igual a la fuerza externa, lo cual sucede para la posición: Notar que este es un punto de equilibrio “estatico” y por lo tanto la fuerza no inyecta energia al sistema. El resorte no disipa. La energia entregada por la fuerza externa durante el desplazamiento esacumulada en forma de energía potencial (mecánica) y será nuevamente transformada en cinética una vez que la fuerza externa desaparezca.
F
xF
k
Fx
Tres ingredientes de la mecánica tres:POSICION en fuerza constante.
La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)
x
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:POSICION en fuerza constante.
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad critica.
La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)
x
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:POSICION en fuerza constante.
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad critica.
La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la posición, lo cual implica que la velocidad aumenta
repentinamente a infinito. Esto sucede porque no hay masa que resista la fuerza ni viscosidad que
acote el crecimiento de la velocidad que, en este instante, vale infinito.
x
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:VELOCIDAD en fuerza constante.
En ausencia de masa la velocidad crece hasta llegar al punto en que la fuerza de
resistencia compensa la fuerza ejercida donde se alcanza una posición de
equilibrio.
La velocidad comienza a crecer abruptamente (continua, pero con derivada discontinua, dada por la
aceleración) En general, en presencia de masa, la posición es continua y derivable y la velocidad continua
(pero no necesariamente derivable)
La velocidad es infinita durante un instante infinitamente corto, hasta que
la posición es tal que la fuerza elástica compensa la fuerza ejercida.
La integral de la velocidad es la posición y por lo tanto el área bajo
esta curva es igual a x de equilibrio.
Área = F/kv
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:ACELERACION en fuerza constante.
La velocidad aumenta con rapidez infinita hasta llegar al
valor de equilibrio. El área bajo la curva de aceleración corresponde al cambio de
velocidad.
La aceleración es proporcional a la fuera, según la ley de Newton
(siempre y cuando haya masa). La aparición súbita de la fuerza genera
una discontinuidad en la aceleración.
Esta derivada queda libre de imagen
F
Area a
t
Combinando ingredientes fundamentales, hacia una
variedad de mundos posibles.
Un objeto mecánico resultara de una combinación de uno o varios de estos elementos fundamentales. Los resortes contribuyen a la deformabilidad o elasticidad, los amortiguadores a la viscosidad o disipación y la masa a la inercia.
¿Cómo medir fuerzas, desplazamientos, velocidades,
viscosidades y la física en un mundo microscópico?
Steven Chu, un prócer experimental
(Premio Nobel 1997)
La herramienta basica: Optical Tweezers. Un pozo de potencial altamente focalizado
Steven Block. Ideas de Berg y tecnologia de
Chu.
Howard Berg, uno de los padres de la biofísica
moderna. ¿Cómo y porque se mueven las bacterias?
Una primera aplicación de esta tecnología: Jugando
con E.Coli cual el gato con el ratón.
Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C. "Compliance of bacterial flagella measured with optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989)
Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o
de una placa.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria?
Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o
de una placa.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
La combinación de una masa y un amortiguador modela el movimiento de un objeto rígido (que no se
deforma) en un medio viscoso. Los tiempos característicos de este movimiento quedan
determinados por la relación entre la masa y la viscosidad.
=
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
dt
dvmvF
F
v
La ecuación diferencial de Newton
¿Cuál es la solución mas sencilla a esta ecuación diferencial?
¿v=0 es solución? ¿Como se traduce esto en palabras?
¿v=cte es solución?
¿Cualquier constante? ¿Es la única?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
vmvF
F
v
La ecuación diferencial de Newton
Intentemos el caso mas sencillo: v = 0 00 vv
0F
Solo en ausencia de fuerza neta, el objeto (el cuerpo) se queda quieto.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
vmvF
F
v
La ecuación diferencial de Newton
Intentemos el segundo caso sencillo: v = cte 0 vctev
FvvF
Con fuerza F, el movimiento con velocidad constante es una solución de la física.¿Es la única?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
vmvF
F
v
Consideremos otro caso simplificado, F=0
vm
v
¿Que función, derivada resulta en la misma función multiplicada por una
constante?
tev tev
m
Al proponer una solución, pasamos de una ecuación diferencial a una
ecuación algebraica.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=F
v
vm
v
m
t
ev
Caso simplificado, F=0
vmvF
¿Es la única?
m
t
eCv
m
t
eCm
v
v
m
v
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=F
vvmvF vvmF
m
t
H eCv
Una familia de funciones que forman un espacio
lineal tal que
HH vvm 0
FvP
Una única función tal que
PP vvmF Nótese que la suma de estas funciones ya no satisface la
ecuación.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=F
vvmvF vvmF
m
t
H eCv
HH vvm 0
FvP
PP vvmF
FeCtv m
t
)(
Observaciones y preguntas.
C es una constante libre, F/γ NO.¿Qué determina C?
¿Que distingue a los dos terminos?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=F
v
FeCtv m
t
)(
FeCvv m
0
0 )0(
CFv 0¿Y si justo vo es F/g?
¿Cómo se interpreta el signo?
FC
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10005
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
FeCtv m
t
)(FvC 0
10F
15ov
5ov
fF v
fvvC 0
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso) : La solución Formal
t
fof evvvv
)( mv F
f :
Tranistorio en el que pasa de la condicion incial a la estacinoaria. El
tiempo tipico del transitorio es proporcional a la masa (mas memoria
de la condicion inicial) en inversamente proporcional a la viscosidad (borra la
memoria de la CI).
La solucion estacinoaria (asintotica) en este caso es
muy sencilla. Velocidad constante, proporcional a la
fuerza.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=[2:2:20]
v
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18x 10
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Velocidad Posicion
γ=1M=1
mv F
f :
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
v
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M=1[2:2:20]γ=1
Velocidad Posicion
mv Ff :
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
v
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M=1[2:2:20]γ=1
Velocidad Posicion
Salto abrupto de velocidad para masa pequeña
Tiempo critico aumenta con masa
Regimen Inercial
Régimen viscoso
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
M=1v
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
γ=[0.25:0.25:5]
F=1
Velocidad Posicion
mv F
f :
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
M=1v
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
γ=[0.25:0.25:5]
F=1
Velocidad Posicion
Comportamiento Inercial
Comportamiento Viscoso
Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o
de una placa.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria?
Deformación de un material (tela, proteína) en un
medio
¿Cómo modelar con los cambios conformacionales de una proteína.?
Deformación de un material (tela, proteína) en un
medio
¿Cómo modelar con los cambios conformacionales de una proteína.?
Un resorte amortiguado
F
v
La ecuación diferencial de Newtondt
dvmkxvF
xk
0 kxvF
dt
dxkxF
Expresar la ecuación en función de x y sus derivadas
Una “curiosa” coincidencia. Ecuaciones iguales…
Fdt
dxkxF
dt
dvmvF
Resorte es resistencia al desplazamiento, la viscosidad al cambio del desplazamiento (velocidad) y la masa al cambio al cambio del desplazamiento (aceleración). Que este cuento de la buena pipa
termine ahí es un hecho empírico, establecido por la ecuación de Newton. Las ecuaciones diferenciales (ordinarias) de primer orden tienen siempre las mismas soluciones que estudiamos anteriormente (exponenciales) y describen la relación entre una variable cuya tasa de cambio es
proporcional a ella misma (o a menos ella misma).
m
k
xv
La solución Formal de dos problemas exponeciales de la mecanica.
F
Ft
fof evvvv
)(
mv F
f :
t
fof exxxx
)(
kx kF
f :
Exponenciales… exponenciales… 1) Decaimiento
El ritmo de crecimiento de X es proporcional a X.
Bacterias en un plato de Cultivo Patentes de Software Venta de musica en Itunes
Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios: Cambio de x es proporcional a x
Exponenciales… exponenciales… exponenciales…
El ritmo de crecimiento de X es proporcional a -X.
Memoria Icónica Decaimiento Radioactivo Reacción enzimática.
Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios: Cambio de x es proporcional a -x
Forde N R et al. PNAS 2002;99:11682-11687
MIDIENDO EL TRABAJO DE UNA UNICA RNA POLYMERASA
Bustamante 2000
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
2
2
dt
xdmxkF
F
La ecuación diferencial de Newton
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
2
2
dt
xdmxkF
Simplemente reordenando términos
F
xkdt
xdmF
2
2
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
2
2
dt
xdmxkF
NOVEDAD: Esta ecuación relaciona una variable con su derivada segunda. ¿Será la solución a esta ecuación tambien una exponencial?
F
xkdt
xdmF
2
2
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
2
2
dt
xdmxkF
Fijando la fuerza a 0 (por simplicidad)
F
xkdt
xdmF
2
2
texxkdt
xdm
2
2
0
Proponemos una solución exponencial y a ver que pasa…
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
xedt
xde
dt
dxex ttt 22
2
2
xkdt
xdm
2
2
0Matemática Física
La derivada segunda de una exponencial es proporcional a ella misma, hasta aquí todo bien. Sigamos …
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
xedt
xde
dt
dxex ttt 22
2
2
xkdt
xdm
2
2
0Matemática Física
Reemplazamos
)(0 22 kmxxkxm
Siendo x una funcion generica, no queda otra que este termino sea 0
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
xedt
xde
dt
dxex ttt 22
2
2
xkdt
xdm
2
2
0Matemática Física
Reemplazamos
)(0 22 kmxxkxm
m
ki
m
kkm
22 )(0
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
ti
ex
xkdt
xdm
2
2
0Matemática Física
Reemplazamos
m
ki
m
kkm
22 )(0
xedt
xde
dt
dxex ttt 22
2
2
NOVEDAD: La constante de la exponencial es imaginaria.
Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y
decaimientos.
Mecánica básica de la función: t
ex
t
0 2 3 4 5
10
e
ee
11
La mecánica de la exponencial es simple, cada vez que pasa un tiempo T multiplico por 1/e. Así se entiende que a medida que pasa el tiempo
uno se va aproximando arbitrariamente al cero.
Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y
decaimientos.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
1-1
i
-i
2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)2-4-8-16-32 … 2N … infinito
(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0
¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??
Conocido 1:
Conocido 2:
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
1-1
i
-i
2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)2-4-8-16-32 … 2N … infinito
(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0
¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??
i : -1 : -i : 1 : i -1 : -i : 1 : : i -1 : -i : 1 : i
Conocido 1:
Conocido 2:
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
1-1
i
-i
En general, una exponencial tiene una componente real (contracción o dilatación) y una parte imaginaria (rotación).
ibtattbiaCt eeee )(
Cambio en la amplitud o modulo.Amortiguación, disipación (o
amplificación) Perdida del movimiento
Rotaciones, oscilaciones.Movimiento periódico.
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
1-1
i
-i
Hasta ahora hemos visto una u otra proyección, ya sea movimiento
exponencial u oscilatorio. En general, como veremos en el oscilador amortiguado, el movimiento se
descompone en estas dos componentes, resultando en un
movimiento “espiralado”. Según el ritmo (la velocidad) de rotación y el
ritmo de decaimiento se dan distintos tipos de regimenes donde las
oscilaciones llegan o no a hacerse evidentes..
ibtattbiaCt eeee )(
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