Una introducción a la teoría de Morse discreta -...

IntroducciónNociones y resultados básicos

Una introducción a la teoría de Morse discreta

José Antonio Vilches

Departamento de Geometría y TopologíaUniversidad de Sevilla

Departament de MatemàtiquesUniversitat Autònoma de Barcelona

24 de Abril de 2017

Introducción

Teoría de Morse clásica

* M. Morse, The calculus of variations in the large, ColloquiumPublications 18 (1934) Amer. Math. Soc., Providence R. I.

* J. Milnor Morse Theory, Princeton University Press, NewJersey, 1963.

* L. Nicolaescu, An invitation to Morse Theory, Springer, NewYork, 2007.

Teoría de Morse discreta

* R. Forman, Morse Theory for cell complexes, Adv. inMath.,134 (1) (1998), 90-145.

* R. Forman, A user’s guide to discrete Morse theory, SéminaireLotharingien de Combinatoire 48 (2002), Article B48c.

* K. P. Knudson Morse Theory: Smooth and Discrete, WorldScientific, New Jersey, 2015.

Introducción

¿Qué es la teoría de Morse discreta (TMD)?

Una teoría/herramienta combinatoria que estudia propiedadesde objetos discretos (complejos simpliciales).¿Cuáles son sus principales resultados?Relacionar la topología de objetos discretos con propiedades defunciones discretas definidas sobre ellos.¿Cuáles son sus ventajas respecto a la teoría clásica?

Por su naturaleza discreta, resulta más natural para serimplementada. Además, ello permite estudiarla desde distintospuntos de vista: teoría de grafos, posets, enfoque algebraico,...A diferencia del enfoque clásico, la TMD se aplica sobreobjetos más generales que las variedades.Las pruebas de versiones discretas de muchos resultadosclásicos son más directas y menos técnicas.

Introducción

¿Qué es la teoría de Morse discreta (TMD)?Una teoría/herramienta combinatoria que estudia propiedadesde objetos discretos (complejos simpliciales).

¿Cuáles son sus principales resultados?Relacionar la topología de objetos discretos con propiedades defunciones discretas definidas sobre ellos.¿Cuáles son sus ventajas respecto a la teoría clásica?

Introducción

¿Qué es la teoría de Morse discreta (TMD)?Una teoría/herramienta combinatoria que estudia propiedadesde objetos discretos (complejos simpliciales).¿Cuáles son sus principales resultados?

Relacionar la topología de objetos discretos con propiedades defunciones discretas definidas sobre ellos.¿Cuáles son sus ventajas respecto a la teoría clásica?

Introducción

¿Qué es la teoría de Morse discreta (TMD)?Una teoría/herramienta combinatoria que estudia propiedadesde objetos discretos (complejos simpliciales).¿Cuáles son sus principales resultados?Relacionar la topología de objetos discretos con propiedades defunciones discretas definidas sobre ellos.

¿Cuáles son sus ventajas respecto a la teoría clásica?

Introducción

¿Qué es la teoría de Morse discreta (TMD)?Una teoría/herramienta combinatoria que estudia propiedadesde objetos discretos (complejos simpliciales).¿Cuáles son sus principales resultados?Relacionar la topología de objetos discretos con propiedades defunciones discretas definidas sobre ellos.¿Cuáles son sus ventajas respecto a la teoría clásica?

Introducción

Por su naturaleza discreta, resulta más natural para serimplementada. Además, ello permite estudiarla desde distintospuntos de vista: teoría de grafos, posets, enfoque algebraico,...

A diferencia del enfoque clásico, la TMD se aplica sobreobjetos más generales que las variedades.Las pruebas de versiones discretas de muchos resultadosclásicos son más directas y menos técnicas.

Introducción

Por su naturaleza discreta, resulta más natural para serimplementada. Además, ello permite estudiarla desde distintospuntos de vista: teoría de grafos, posets, enfoque algebraico,...A diferencia del enfoque clásico, la TMD se aplica sobreobjetos más generales que las variedades.

Las pruebas de versiones discretas de muchos resultadosclásicos son más directas y menos técnicas.

Introducción

¿Cuáles son sus aplicaciones?

Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).Topología Computacional (Trabajos de P. Real).Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

Introducción

Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).

Topología Computacional (Trabajos de P. Real).Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

Introducción

Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).Topología Computacional (Trabajos de P. Real).

Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

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Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).Topología Computacional (Trabajos de P. Real).Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).

Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

Introducción

Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).Topología Computacional (Trabajos de P. Real).Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).

Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

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Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).Topología Computacional (Trabajos de P. Real).Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).

Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

Introducción

Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).Topología Computacional (Trabajos de P. Real).Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).

Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

Introducción

Visualización (Trabajos de T. Lewiner y N. Mramor-Kosta).Topología Computacional (Trabajos de P. Real).Compresión de imágenes digitales (Trabajos de RocíoGonzález-Díaz).Análisis topológico de datos (Trabajos de Ulrich Bauer).Tipo de homotopía de complejos asociados a grafos (Trabajosde Jakob Jonnson, Dimitry Kozlov y John Shareshian).Álgebra conmutativa (Trabajos de Wolkmar Welker , MichaelJollenbeck).Sistemas dinámicos (Trabajos de Marian Mrozek).

Nociones Básicas en TMD

DefiniciónUn n-símplice es la envolvente convexa de n + 1 puntos de Rn enposición general.

DefiniciónUn complejo simplicial K es una familia (finita) de símplicesverificando:

1 Si τ ∈ K y σ < τ , entonces σ ∈ K.2 Dados τ , τ ′ ∈ K tales que τ ∩ τ ′ 6= ∅, entonces τ ∩ τ ′ ∈ K.

DefiniciónUn n-símplice es la envolvente convexa de n + 1 puntos de Rn enposición general.

DefiniciónUn complejo simplicial K es una familia (finita) de símplicesverificando:

1 Si τ ∈ K y σ < τ , entonces σ ∈ K.2 Dados τ , τ ′ ∈ K tales que τ ∩ τ ′ 6= ∅, entonces τ ∩ τ ′ ∈ K.

DefiniciónUna función de Morse discreta definida sobre un complejo simplicialK es una función f : K −→ R tal que, para todo p-símplice σ ∈ Kverifica:

1 card{τ (p+1) > σ/f (τ) ≤ f (σ)} ≤ 1.2 card{υ(p−1) < σ/f (υ) ≥ f (σ)} ≤ 1.

DefiniciónSe dice que un p-síimplice σ ∈ K es crítico con respecto a f si:

1 card{τ (p+1) > σ/f (τ) ≤ f (σ)} = 0.2 card{υ(p−1) < σ/f (υ) ≥ f (σ)} = 0.

Si σ es un símplice crítico, se dice que f (σ) es un valor crítico.

DefiniciónSe dice que un p-síimplice σ ∈ K es crítico con respecto a f si:

1 card{τ (p+1) > σ/f (τ) ≤ f (σ)} = 0.2 card{υ(p−1) < σ/f (υ) ≥ f (σ)} = 0.

Si σ es un símplice crítico, se dice que f (σ) es un valor crítico.

DefiniciónUn campo vectorial discreto V en un complejo K es un conjunto depares {α(p), β(p+1)} de símplices de K tales que:

|dim(α)− dim(β)| = 1.α(p) < β(p+1).Todo símplice de K está, a lo más, en un único par.

DefiniciónDado un campo vectorial discreto V en K, un V -camino es unasucesión de símplices

α(p)0 , β

(p+1)0 , α

(p)1 , β

(p+1)1 , . . . , β

(p+1)r , α

(p)r+1

tales que para todo i ≥ 0 se verifica:

(α(p)i , β

(p+1)i ) ∈ V .

β(p+1)i > α

(p)i+1 6= α

(p)i .

Se dirá que un V -camino es cerrado si α(p)0 = α

(p)r+1.

DefiniciónDado un campo vectorial discreto V en K, un V -camino es unasucesión de símplices

α(p)0 , β

(p+1)0 , α

(p)1 , β

(p+1)1 , . . . , β

(p+1)r , α

(p)r+1

tales que para todo i ≥ 0 se verifica:

(α(p)i , β

(p+1)i ) ∈ V .

β(p+1)i > α

(p)i+1 6= α

(p)i .

Se dirá que un V -camino es cerrado si α(p)0 = α

(p)r+1.

DefiniciónDada una función de Morse discreta definida en K, se dice que unpar de símplices (α(p) < β(p+1)) está en el campo vectorialgradiente inducido por f si f (α) ≥ f (β).

TeoremaSea V el campo gradiente inducido por una función de Morsediscreta definida en un complejo K. Una sucesión de símplices

α(p)0 , β

(p+1)0 , α

(p)1 , β

(p+1)1 , . . . , β

(p+1)r , α

(p)r+1

es un V -camino si y solo si

f (α(p)0 ) ≥ f (β(p+1)

0 ) > · · · ≥ f (β(p+1)r ) > f (α(p)

TeoremaUn campo vectorial discreto V es el campo gradiente inducido poruna función de Morse discreta si y solo si no existen V -caminoscerrados.

Resultados principales en TMD

DefiniciónSea K un complejo simplicial. Se dice que σ ∈ K es una caralibre de K si σ es cara de un único símplice de τ de K.

A la eliminación del par (σ, τ) en K se la denomina colapsoelemental.

DefiniciónSea K un complejo simplicial. Se dice que σ ∈ K es una caralibre de K si σ es cara de un único símplice de τ de K.A la eliminación del par (σ, τ) en K se la denomina colapsoelemental.

DefiniciónUn complejo se llama colapsable si puede reducirse a unvértice tras un número finito de colapsos.Al proceso inverso a un colapso elemental se le llamaexpansión elemental.Una sucesión finita de colapsos (resp. expansiones) elementalesse denomina colapso (resp. expansión) generalizado.Si un complejo puede obtenerse a partir de otro mediantecolapsos y expansiones se dirá que ambos son del mismo tipode homotopía simple.

DefiniciónUn complejo se llama colapsable si puede reducirse a unvértice tras un número finito de colapsos.

Al proceso inverso a un colapso elemental se le llamaexpansión elemental.Una sucesión finita de colapsos (resp. expansiones) elementalesse denomina colapso (resp. expansión) generalizado.Si un complejo puede obtenerse a partir de otro mediantecolapsos y expansiones se dirá que ambos son del mismo tipode homotopía simple.

DefiniciónUn complejo se llama colapsable si puede reducirse a unvértice tras un número finito de colapsos.Al proceso inverso a un colapso elemental se le llamaexpansión elemental.

Una sucesión finita de colapsos (resp. expansiones) elementalesse denomina colapso (resp. expansión) generalizado.Si un complejo puede obtenerse a partir de otro mediantecolapsos y expansiones se dirá que ambos son del mismo tipode homotopía simple.

DefiniciónUn complejo se llama colapsable si puede reducirse a unvértice tras un número finito de colapsos.Al proceso inverso a un colapso elemental se le llamaexpansión elemental.Una sucesión finita de colapsos (resp. expansiones) elementalesse denomina colapso (resp. expansión) generalizado.

Si un complejo puede obtenerse a partir de otro mediantecolapsos y expansiones se dirá que ambos son del mismo tipode homotopía simple.

DefiniciónUn complejo se llama colapsable si puede reducirse a unvértice tras un número finito de colapsos.Al proceso inverso a un colapso elemental se le llamaexpansión elemental.Una sucesión finita de colapsos (resp. expansiones) elementalesse denomina colapso (resp. expansión) generalizado.Si un complejo puede obtenerse a partir de otro mediantecolapsos y expansiones se dirá que ambos son del mismo tipode homotopía simple.

DefiniciónSea f una función de Morse discreta definida sobre un complejo K,dado c ∈ R se define el subcomplejo de nivel K (c) como:

K (c) =⋃

f (α)≤c

⋃β≤α

TeoremaSi el intervalo (a, b] no contiene valores críticos, se tiene que lossubcomplejos de nivel K (a) y K (b) son del mismo tipo dehomotopía simple. Realmente K (b) colapsa a K (a).

K(3) K(4)

TeoremaSi el intervalo (a, b] no contiene valores críticos, se tiene que lossubcomplejos de nivel K (a) y K (b) son del mismo tipo dehomotopía simple. Realmente K (b) colapsa a K (a).

K(3) K(4)

TeoremaSi el intervalo (a, b] contiene un único valor crítico f (α), se tieneque el subcomplejo de nivel K (b) es homotópicamente equivalenteal CW -complejo K (a) ∪F Bp donde F es una aplicación depegamiento que identifica Sp−1 con el borde del p-símplice críticoα.

K(4) K(5)

TeoremaSi el intervalo (a, b] contiene un único valor crítico f (α), se tieneque el subcomplejo de nivel K (b) es homotópicamente equivalenteal CW -complejo K (a) ∪F Bp donde F es una aplicación depegamiento que identifica Sp−1 con el borde del p-símplice críticoα.

K(4) K(5)

TeoremaSea f una función de Morse discreta definida sobre un complejosimplicial K . Se tiene que K es homotópicamente equivalente a unCW-complejo con una célula de dimensión p por cada p-símplicecrítico de f en K.

Teorema (Desigualdades débiles de Morse)

Dada una función de Morse discreta f definida sobre un complejoX , denotamos por bp al p-ésimo número de Betti de X conp = 0, 1, . . . , n. Se tiene que:

mp(f ) ≥ bp,

m0(f )−m1(f ) + · · ·+ (−1)nmn(f ) =b0 − b1 + · · ·+ (−1)nbn = χ(X ),

donde mp(f ) denota el número de símplices críticos de f .

Teorema (Desigualdades fuertes de Morse)

Bajo las hipótesis anteriores se tiene para todo p = 0, 1, . . . , n:

mp(f )−mp−1(f ) + · · · ±m0 ≥ bp − bp−1 + · · · ± b0

mp(f ) ≥ bp,m0(f )−m1(f ) + · · ·+ (−1)nmn(f ) =b0 − b1 + · · ·+ (−1)nbn = χ(X ),

mp(f )−mp−1(f ) + · · · ±m0 ≥ bp − bp−1 + · · · ± b0

mp(f ) ≥ bp,m0(f )−m1(f ) + · · ·+ (−1)nmn(f ) =b0 − b1 + · · ·+ (−1)nbn = χ(X ),

mp(f )−mp−1(f ) + · · · ±m0 ≥ bp − bp−1 + · · · ± b0

DefiniciónLa característica de Morse-Smale de un complejo K se define como

γ(K ) = min{n∑

mp(g) : g ∈ DMF (K )}

donde DMF (K ) es el cjto. de las funciones de Morse discretassobre K.

DefiniciónLa característica de Morse-Smale de un complejo K se define como

γ(K ) = min{n∑

mp(g) : g ∈ DMF (K )}

donde DMF (K ) es el cjto. de las funciones de Morse discretassobre K.

DefiniciónSe dirá que una función de Morse discreta f : K −→ R es óptima siel número de símplices críticos de f es mínimo, es decir,

n∑p=0

mp(f ) = γ(K )

n∑p=0

mp(f ) = γ(K )

n∑p=0

mp(f ) = γ(K )

DefiniciónSe dirá que una función de Morse discreta f : K −→ R esF-perfecta si mi (f ) = bi (K ;F) para todo i = 0, . . . , dim(K )

TeoremaF-perfecta ⇒ óptima.El recíproco NO es cierto.

TeoremaF-perfecta ⇒ óptima.

El recíproco NO es cierto.

a cb a

Campo vectorial gradiente inducido por una función de Morsediscrete Z-perfecta en el toro.

a cb a

Campo vectorial gradiente inducido por una función de Morsediscrete Z-perfecta en el toro.

a b c a

Campo vectorial gradiente inducido por una función de Morsediscreta óptima no Z-perfecta en el sombrero bobo.

a b c a

Campo vectorial gradiente inducido por una función de Morsediscreta óptima no Z-perfecta en el sombrero bobo.

TeoremaUn complejo K es colapsable si y solo si γ(K ) = 1, es decir, Kadmite una función de Morse discreta con un único símplice crítico.

TeoremaSea K un complejo celular K que admite una función de Morsediscreta con 2 símplices críticos. Se tiene que:

K es homotópicamente equivalente a una esfera Sn.Si además K es una n-variedad triangulada sin borde, entoncesK es homeomorfo a Sn.

K es homotópicamente equivalente a una esfera Sn.

Si además K es una n-variedad triangulada sin borde, entoncesK es homeomorfo a Sn.

Teorema (R. Forman)

Sea f una función de Morse discreta definida en un complejo K ysean τ (p+1) y σ(p) dos símplices críticos de f tales que existe unúnico camino gradiente desde ∂τ a σ. Se tiene que:

Existe otra función de Morse discreta g en K con los mismossímplices críticos que f salvo σ y τ .Además f y g coinciden en todo símplice fuera del caminogradiente mencionado.

Teorema (R. Forman)

Existe otra función de Morse discreta g en K con los mismossímplices críticos que f salvo σ y τ .

Además f y g coinciden en todo símplice fuera del caminogradiente mencionado.

Teorema (R. Forman)

DefiniciónUn proceso de cancelación reduce el número de pares de símplicescríticos de una función de Morse discreta. Consiste en:

Seleccionar un par de símplices críticos conectados por unúnico V -camino.Invertir las flechas del V -camino considerado.Mantener el resto del campo gradiente tal como estabadefinido.

DefiniciónUn proceso de cancelación reduce el número de pares de símplicescríticos de una función de Morse discreta.

Consiste en:

Seleccionar un par de símplices críticos conectados por unúnico V -camino.

Invertir las flechas del V -camino considerado.Mantener el resto del campo gradiente tal como estabadefinido.

Seleccionar un par de símplices críticos conectados por unúnico V -camino.Invertir las flechas del V -camino considerado.

Mantener el resto del campo gradiente tal como estabadefinido.

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