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UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS
UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS
CÁLCULO NUMÉRICOUNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS
2.1 – Introdução2.2 – Fase I – Isolamento2.3 – Fase II – Refinamento
2.3.1 – Critério da Parada2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções
Objetivos: Aplicar algoritmos numéricos para determinação dos zeros das
funções reais .
UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS
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2.1 – IntroduçãoNa área de exatas, as mais diversas situações a resolução de equação do tipo f(x)=0.
Neste circuito há um dispositivo não linear onde a g é uma função da corrente elétrica não linear
0)( igRiE
É um polinômio de 3º grauPortanto x é uma função f(x) ou raiz da equação f(x)=0 se f(x)=0
Em alguns casos as raízes podem se complexas
Lei de Kirchhoff
R
v=g(i)E
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2.1 – IntroduçãoGraficamente o zero das funções reais constitui os pontos das abcissa que intercepta o eixo x.
x1
x2
f(x)
x
x1
x2
f(x)
xx3
x1 x2
f(x)
xx3
UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS
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2.1 – IntroduçãoA questão é:
Como obter as raízes reais de uma equação qualquer?
Para equações de 1º e 2º graus e equações que possam ser reduzidos a equações deste tipo, há soluções analíticas.
Para equações de maior grau e funções não lineares o problema se torna mais complexo e não há solução exata.
De qualquer forma, utilizando-se uma máquina adequada podemos encontrar as raízes aproximadas com precisão pré fixada.
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2.1 – IntroduçãoDesta forma o ideal é: Obter uma aproximação inicial da raiz; Refinar essa aproximação com processos
iterativos
Portanto, o método numérico constitui-se em duas fases:
Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes: Consiste em definir o intervalo que contém a raiz.
Fase II – Refinamento: Após a fase I, realizar uma melhora sucessiva até obter a raiz dentro de uma precisão pré fixada
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2.1 – Isolamento das Raízes
Teorema I: (Cauchy-Bolzano)
Seja f(x) uma função no intervalo [a,b]
Obs1: se f(a)f(b)<0 então existe pelo menos um x=x entre a e b em que f(x)=0
Graficamente:
Faz-se a análise teórica e gráfica de f(x).
x1 x2
f(x)
xx3a b
x b
f(x)
xa
a x1
f(x)
xx2 b
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2.1 – Isolamento das Raízes
No caso do teorema 1, se f’(x) existir e permanecer com o mesmo sinal de (a,b) então este intervalo contém um único zero para f(x).
x b
f(x)
xa
f’(x) > 0, x [a,b]
x
f(x)
xab
f’(x) < 0, x [a,b]
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2.1 – Isolamento das RaízesForma de isolar as raízes:Tabelar f(x) para vários valores de x; Examinar o sinal de f’(x) onde houve a mudança de
sinal.
Exemplo 1:
a) f(x)=x3-9x+3
Como a função é do 3º grau pode-se afirmar que a apenas uma raiz em cada intervalo
f(x) é contínua
para x R.
+++--+++----f(x)543210-1-3-5-10-100-x
I 3 = [2, 3]
I 1 = [-5
, -3]
I 2 = [0
, 1]
Cada um dos intervalos contém pelo menos um zero.
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2.1 – Isolamento das Raízes
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2]
Análise do sinal de f’(x)
x 0 1 2 3 ...
f(x) - - + + ...
f(x) admite um único zero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo (1, 2).
Exemplo 2:
b) xexxf 5)(
0,0521)(' xex
xf x
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2.1 – Isolamento das Raízes
Obs2: se f(a)f(b)>0Podemos ter várias situações como por exemplo:
b
f(x)
xa a x
f(x)
xb
f(x)
x1 x2 xa b
Neste caso é necessário a análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x)=0.
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2.1 – Isolamento das Raízes
Os processos de análise gráfica são os seguintes:
i) Esboçar o gráfico de f(x) e localizar as abcissa dos pontos onde a curva intercepta o eixo x.
ii) A partir da equação f(x)=0 obter a equação equivalente g(x)=f(x) , esboçar o gráfico de ambas as funções no mesmo plano cartesiano e localizar os ponto x onde as curvas se interceptam, pois neste caso: f(x)=0 g(x)=h(x).
iii) Usar programas que esboçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.
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2.1 – Isolamento das Raízes
• Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico Domínio da função Pontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e decrescimento Pontos de máximo e mínimo Concavidade Pontos de inflexão Assíntotas da função
(Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)
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2.1 – Isolamento das RaízesAnálise gráfica: Exemplo 3: Uso do método (i)
f(x) = x3 – 9x +3
x3
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4x2x1
x1 (-4, -3); x 2 (0, 1); x 3 (2, 3)
f’(x) = 3x2 - 9
f’(x) = 0 <=> x = 3
x f(x)-4 -25-3 3
13,3923-1 110 31 -5
-7,39232 -73 3
3
3
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2.1 – Isolamento das RaízesAnálise gráfica: Exemplo 4: Uso do método (ii)f(x) = x3 – 9x +3
x 3 (2, 3)
g(x) = x3
h(x) = 9x -3
x3
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4x2x1
h(x)y
x1 (-4, -3)
x 2 (0, 1)
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2.3 – Fase II – Refinamento
Métodos Iterativos são sequencias de instruções repetitiva em ciclos
Cada nova Iteração utiliza o resultado do ciclo anterior
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INICIO
FIM
Cálculos Finais
Dados Iniciais
Cálculos Iniciais
K=1
Calcular nova Aproximação
Cálculos Intermediários
Está aproximação está próxima o
suficiente da raiz exata?
S
N
2.3 – Fase II – Refinamento
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2.3.1 – Critério de Parada
Há duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado: é raiz aproximada com precisão e se:
e
ex
)()
)
xfii
ouxi Como efetuar o teste (i) se não conhecemos x?
• Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração.
• Ao se conseguir um intervalo [a,b] tal que
e
x
abe
ba ],[
então
],[
],,[
bax
xbax
ex
Pode ser tomado como x
x b
f(x)
xa
b – a < e
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2.3.1 – Critério de Parada
Nem sempre é possível satisfazer a condição (i) e (ii).
x
f(x)
xx
xex xe)(xftem-se
masem
x
f(x)
xx
ex x e)(xfmas
x
f(x)
xx
ex x
e)(xfOs métodos numéricos são desenvolvidos para satisfazer um dos dois critérios.
Dependendo da ordem de grandeza, aconselha-se utilizar o erro relativo: )(
)(
xfLondeLxf
sex
ex
Para
x e
scol
hido
na
vi
zinha
nça
de x
.
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2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funçõesI – Método da bissecção.
•Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0.•Supor, por simplificação, a existência de uma única raiz.
Objetivo: Reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir a precisão requerida: (b-a)<e, dividindo-se sucessivamente o [a,b] ao meio.
f(x)
xx 2=a
3
a=a0=a1
b=b0x0=b1=b2=b3
x1==a2
Graficamente:
Iterações:
33
23
32
2
2
222
2
),(
0)(0)(0)(
2bbxabx
xfbfaf
baxx
01
01
00
0
0
000
0
),(
0)(0)(0)(
2xbaaxa
xfbfaf
baxx
12
12
11
1
1
111
1
),(
0)(0)(0)(
2bbxabx
xfbfaf
baxx
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I – Método da bissecção.Exemplo:
Achar o zero aproximado da função f(x)=xlog(x)-1 que possui um zero no intervalo [2,3] com e=0,125.
35,2)3,5;2(
0)5,2(0)3(0)2(
5,2232
1
10
ba
fff
xx
75,25,2)75,2;5,2(
0)75,2(0)3(0)5,2(
75,2235,2
2
21
ba
fff
xx
625,25,2)625,2;5,2(
0)75,2(0)625,2(0)5,2(
625,2275,25,2
3
32
ba
fff
xx
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I – Método da bissecção.Algoritmo:
Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0.
1)Dados iniciais:a) Intervalo [a,b]b) precisão e2) Se (b-a)<e, então escolha para qualquer x X [a,b].Fim.3 K=14) M=F(a)5)x=(a+b)/26)Se M.f(x)>0, faça a=x. vá para passo 8.7) b=x8) Se (b-a)<e, escolha qualquer X[a,b]. FIM.9) K=K+1. Volte para o passo 5.
x
x
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Condições de parada
Se os valores fossem exatos
●f(x) = 0●(b k– ak)= 0
Caso cont´rário●|f(x)| e
●|(bk – ak)| e
I – Método da bissecção.
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I – Método da bissecção.Estimativa do número de iterações
• Dada a precisão e e o intervalo [a,b] a estimativa do número de iterações é obtido como se segue:
kkk
kkababab
220011
• Deve-se obter o valor de k tal que: e kk ab
)2log(log)log(
log)log(2log
22
00
00
0000
ee
ee
abk
abk
abab kk
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I – Método da bissecção.Observações finais:
• Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0 este método vai gerar uma sequência {xk} que converge para a raiz. É sempre possível obter um intervalo que contém a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimentos deste intervalo final satisfaz a precisão requerida.
• As iterações não envolvem cálculos laboriosos. A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do intervalo anterior;
• A convergência é muito lenta pois o intervalo inicial é tal que b0-a0>>e e se e for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande como por exemplo:
O algoritmo apresentado pode incluir também o teste de parada com o módulo da função e o número máximo de iterações.
.258.2410
37
00
kk
abe
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