Vektor Dan Sistem Koordinat

Elektromagnetika I

Bab I: Analisis Vektor(Vektor dan Sistem Koordinat)

MMR/KRU

Aljabar Vektor

Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai

Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll

Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah

Contoh : Medan listrik, medan magnet, Gaya, kecepatan, posisi, percepatan, dll

MMR/KRU

Aljabar Vektor

Notasi Vektor A ditulis dengan A atau

AAA ˆrr=

dengan

Ar adalah besar vektor A atau

panjang vektor A

A adalah unit vektor A atauvektor satuan searah A

Vektor satuan atau unit vektor menya-takan arah vektor, besarnya satu

MMR/KRU

Sistem Koordinat

Lebih mudah menuangkan konsepvektor menggunakan sistemkoordinatTiga sistem koordinat :

- Koordinat Cartesius- Koordinat Silinder- Koordinat Bola

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Koordinat Cartesius tersusun atas tigasumbu koordinat yang saling tegak lurusmasing-masing sumbu x, y, dan z

adalah vektor satuan searahsumbu x, sumbu y, danSumbu z

zyx aaa ˆ,ˆ,ˆ

xa

za

y

x

z

ya

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Dalam koord. Cartesiussembarang vektor Aditulis

Ax, Ay, Az adalah komponenvektor A dalam arah sb x, sb y, dan sb z

zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r

yA y

x

z

Ar

xA

zA

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Besar vektor A ditulis

222zyx AAAA ++=

r

Unit vektor A atau vektor satuansearah A ditulis

222

ˆˆˆˆzyx

zzyyxx

AAA

aAaAaA

AAA

++

++== r

r

MMR/KRU

Contoh 1

Vektor A berpangkal di (0,0,0)dan memiliki komponen 2 ke arah x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z.Vektor A dapat ditulis:A = 2 ax + 3 ay + 4 az.

MMR/KRU

Contoh 2

Vektor B berpangkal di (3,0,0)dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z.Vektor B dapat ditulis:B = ax + -2 ay + 4 az.

MMR/KRU

x

y

z

2

4

3

A

A

B

MMR/KRU

Pada sistem koordinat kartesian, suatu vektor tidak tergantung titik pangkal dari vektor tersebut. Atau dengan kata lain, pada sistem koordinat kartesian, vektor adalah independen dengan titik pangkalnya.

MMR/KRU

Soal

Titik A terletak dalam koordinat Carte-sius (3,4,5), semua koordinat dalammeter.Tentukan :

Gambar vektor posisi APenulisan vektor posisi ABesar vektor AUnit vektor searah A

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Elemen kecil perpindahan (displace-ment infinitesimal) :

zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++=r

dxdy

x

y

zP2

P1

Lihat jarak P1 ke P2dz

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Elemen kecil luasElemen kecil luas dalam bidang yz

yy adxdzdS r=

xx adydzdS r=

Elemen kecil luas dalam bidang xz

Elemen kecil luas dalam bidang xy

zz adxdydS r=

Elemen kecil volumedxdydzdV =

MMR/KRU

Koordinat Silinder

ρ

z

ϕ

za

ρaϕa

Dalam koord. Silindersembarang vektor Aditulis

zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= ϕϕρρ

r

Aρ, Aϕ, Az adalah kompo-nen vektor A dalam arahsb ρ , sb ϕ , dan sb z

MMR/KRU

Contoh

Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat silinder

A= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2, 0, 0)B= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2, π/2, 0)

MMR/KRU

x

y

z

MN

3aρ

2aφ

az

3aρ

2aφaz

B

A

MMR/KRU

Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax+2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay + az.

MMR/KRU

Koordinat Silinder

dρ ρdϕ

dz

zadzadadld ˆˆˆ ++= ϕρ ϕρρ

Elemen kecil perpin-dahan :r

Elemen kecil volume

dzdddV ϕρρ=

MMR/KRU

Koordinat Silinder

Elemen kecil luas

ρρ ϕρ adzddS ˆ=

ϕϕ ρ adzddS ˆ=

zz adddS ˆϕρρ=

MMR/KRU

Koordinat Bola

x

y

z

θϕ

ϕara

θarr

Vektor A ditulis :

ϕϕθθ aAaAaAA rr ˆˆˆ ++=r

Ar, Aϕ, Aθ adalah kompo-nen vektor A dalam arahsb r , sb ϕ , dan sb θ

MMR/KRU

contoh

Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola

A= 3ar + aθ + 2aφberpangkal di M(2, π/2, 0) B= 3ar + aθ + 2aφberpangkal di N(2, π/2, π/2)

MMR/KRU

x

y

z

MN

B

3ar

aθ

2aϕ

2aϕ

3araθ

A

MMR/KRU

Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax+2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay - az.

MMR/KRU

Koordinat Bola

Elemen vektor perpindahan

Elemen volume

ϕθθ ddrdrdV sin2=

ϕθθ drrdrdld sin++=rr

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (ρ, ϕ ,z)

zzxy

yx

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

−1

22

tanϕ

ρ

zz

yx

yx

AA

AAA

AAA

=

+−=

+=

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ρ

cossin

sincos

MMR/KRU

Contoh

Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak pada bidang kartesian xy.Tentukan :

Koordinat titik P pada sistem koordinat SilinderVektor B dalam koord. SilinderBesar dan arah B pada titik x=3 dany=4

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

2. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, θ, ϕ)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

++=

−

−

zyx

xy

zyxr

221

1

222

tan

tan

θ

ϕ

ϕϕ

θθϕθϕ

θθϕθϕ

ϕ

θ

cossin

sincossincoscos

cossinsinsincos

yx

zyx

zyxr

AAA

AAAA

AAAA

+−=

−+=

++=

MMR/KRU

Contoh

Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2

Tentukan :Koordinat titik P pada sistem koordinat BolaVektor E dalam koord. Bola

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

3. Silinder (ρ, ϕ ,z) ke Kartesius (x,y,z)

zzyx

=⋅=⋅=

ϕρϕρ

sincos 00 sincos ϕϕ ϕρ ⋅−⋅= AAAx

00 cossin ϕϕ ϕρ ⋅+⋅= AAAy

zz AA =

MMR/KRU

Contoh

Vektor A= 3aρ+4aϕ+5az beradapada sistem koordinat silinderdengan titik pangkal di (10,π/2,0)Tentukan penulisan vektor inipada sistem koordinat kartesian

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

4. Bola ke Kartesius (x,y,z)

θϕθϕθ

cossinsincossin

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

rzryrx

ϕθθϕϕϕθ coscos0sincossin 00 ⋅⋅+⋅−⋅⋅= AAArAx

00000 sincoscossinsin ϕθϕϕθ θϕ ⋅⋅+⋅+⋅⋅= AAAA ry

00 sincos θϕθ ⋅−⋅= AArAz

MMR/KRU

Contoh

Vektor A=3ar+5aθ+4aϕ berada pada sistem koordinat bola dengan titik pangkal di (10,π/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian