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8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 1/121
V o n N e u m a n n A l g e b r a s .
V a u g h a n F . R . J o n e s
1
1 3 t h M a y 2 0 0 3
1
S u p p o r t e d i n p a r t b y N S F G r a n t D M S 9 3 2 2 6 7 5 , t h e M a r s d e n f u n d U O A 5 2 0 ,
a n d t h e S w i s s N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n .
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 1
I n t r o d u c t i o n .
3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 2
B a c k g r o u n d a n d P r e r e q u i s i t e s
2 . 1 H i l b e r t S p a c e
A H i l b e r t S p a c e i s a c o m p l e x v e c t o r s p a c e H
w i t h i n n e r p r o d u c t, : HxH →
Cw h i c h i s l i n e a r i n t h e s e c o n d v a r i a b l e , s a t i s e s
ξ, η = η, ξ , i s p o s i t i v e
d e n i t e , i . e .ξ, ξ > 0
f o rξ = 0
, a n d i s c o m p l e t e f o r t h e n o r m d e n e d b y t e s t
||ξ || = ξ, ξ
.
E x e r c i s e 2 . 1 . 1 P r o v e t h e p a r a l l e l o g r a m i d e n t i t y :
||ξ − η||2
+ ||ξ + η||2
= 2(||ξ ||2
+ ||η||2
)a n d t h e C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y :
|ξ, η |≤ | |ξ ||||η||.T h e o r e m 2 . 1 . 2
I f C
i s a c l o s e d c o n v e x s u b s e t o f H
a n d ξ
i s a n y v e c t o r i n
H, t h e r e i s a u n i q u e
η ∈ C w h i c h m i n i m i z e s t h e d i s t a n c e f r o m
ξ t o
C , i . e .
||ξ − η| |≤ | |ξ − η|| ∀η ∈ C .
P r o o f . T h i s i s b a s i c a l l y a r e s u l t i n p l a n e g e o m e t r y .
U n i q u e n e s s i s c l e a r i f t w o v e c t o r sη
a n d η
i n C
m i n i m i z e d t h e d i s t a n c e ,
ξ a n d t h e s e t w o v e c t o r s d e n e a p l a n e a n d a n y v e c t o r o n t h e l i n e s e g m e n t
b e t w e e n η
a n d η
w o u l d b e s t r i c t l y c l o s e r t o ξ
.
T o p r o v e e x i s t e n c e , l e td
b e t h e d i s t a n c e f r o m C
t o ξ
a n d c h o o s e a s e q u e n c e
ηn ∈ C w i t h
||ηn − ξ || < d + 1/2n. F o r e a c h
n, t h e v e c t o r s
ξ ,
ηn a n d ηn+1
d e n e a p l a n e . G e o m e t r i c a l l y i t i s c l e a r t h a t , i fηn a n d
ηn+1 w e r e n o t c l o s e ,
s o m e p o i n t o n t h e l i n e s e g m e n t b e t w e e n t h e m w o u l d b e c l o s e r t h a n d
t o ξ
.
F o r m a l l y , u s e t h e p a r a l l e l o g r a m i d e n t i t y :
||ξ − ηn + ηn+12
||2 = ||ξ − ηn2
+ξ − ηn+1
2||2
5
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= 2(||
ξ − ηn
2 ||2 +
||ξ − ηn+1
2 ||2
−1/8
||ηn
−ηn+1
||2)
≤ (d + 1/2n)2 − 1/4||ηn − ηn+1||2T h u s t h e r e i s a c o n s t a n t
K s u c h t h a t
||ηn−ηn+1||2 < K/2no r
||ξ − ηn+ηn+1
2||2
w o u l d b e l e s s t h a n d2
.
T h u s
(ηn)i s C a u c h y , i t s l i m i t i s i n
C a n d h a s d i s t a n c e
df r o m
ξ .
E x e r c i s e 2 . 1 . 3 I f
φ ∈ H∗( t h e B a n a c h - s p a c e d u a l o f
Hc o n s i s t i n g o f a l l
c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s f r o m H
t o C) ,kerφ
i s a c l o s e d c o n v e x s u b s e t
o f
H. S h o w h o w t o c h o o s e a v e c t o r
ξ φ o r t h o g o n a l t o ker φ
w i t h φ(η) =
ξ φ, η
a n d t h a t φ → ξ φ i s a c o n j u g a t e - l i n e a r i s o m o r p h i s m f r o m H∗o n t o H .
W e w i l l b e e s p e c i a l l y c o n c e r n e d w i t h s e p a r a b l e H i l b e r t S p a c e s w h e r e t h e r e
i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s , i . e . a s e q u e n c e ξ 1, ξ 2, ξ 3,...
o f u n i t v e c t o r s w i t h
ξ i, ξ j = 0f o r
i = ja n d s u c h t h a t
0i s t h e o n l y e l e m e n t o f
Ho r t h o g o n a l t o
a l l t h e ξ i .
E x e r c i s e 2 . 1 . 4 S h o w t h a t i s
ξ i i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r H
t h e n t h e
l i n e a r s p a n o f t h e ξ i i s d e n s e i n
H.
A l i n e a r m a p ( o p e r a t o r )
a : H → Ki s s a i d t o b e b o u n d e d i f t h e r e i s a
n u m b e rK
w i t h ||aξ || ≤ K ||ξ || ∀ξ ∈ H
. T h e i n m u m o f a l l s u c h K
i s c a l l e d
t h e n o r m o fa
, w r i t t e n ||a||
. T h e s e t o f a l l b o u n d e d o p e r a t o r s o n H
i s w r i t t e n
B(H). B o u n d e d n e s s o f a n o p e r a t o r i s e q u i v a l e n t t o c o n t i n u i t y .
T o e v e r y b o u n d e d o p e r a t o ra
b e t w e e n H i l b e r t s p a c e sH
a n d K
, b y e x e r c i s e
2 . 1 . 3 t h e r e i s a n o t h e r ,a∗
, b e t w e e n K
a n d H
, c a l l e d t h e a d j o i n t o fa
w h i c h i s
d e n e d b y t h e f o r m u l a
aξ,η = ξ, a∗η.
E x e r c i s e 2 . 1 . 5 P r o v e t h a t
||a|| = sup||ξ||≤1,||η||≤1
|aξ,η| = ||a∗|| = ||a∗a||1/2.
T h e i d e n t i t y m a p o n H i s a b o u n d e d o p e r a t o r d e n o t e d 1
.
A n o p e r a t o r a ∈ B(H) i s c a l l e d s e l f - a d j o i n t i f a = a∗ .
A n o p e r a t o r p ∈ B(H)
i s c a l l e d a p r o j e c t i o n i fp = p2 = p∗
.
A n o p e r a t o r
a ∈ B(H)i s c a l l e d p o s i t i v e i f
aξ,ξ ≥ 0 ∀ξ ∈ B(H). W e
s a y a ≥ b
i fa − b
i s p o s i t i v e .
A n o p e r a t o r
u ∈ B(H)i s c a l l e d a n i s o m e t r y i f
u∗u = 1.
A n o p e r a t o rv ∈ B(H)
i s c a l l e d a u n i t a r y i fuu∗ = u∗u = 1
.
A n o p e r a t o ru ∈ B(H)
i s c a l l e d a p a r t i a l i s o m e t r y i fu∗u
i s a p r o j e c t i o n .
T h e l a s t t h r e e d e n i t i o n s e x t e n d t o b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r s b e t w e e n
d i e r e n t H i l b e r t s p a c e s .
6
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E x e r c i s e 2 . 1 . 6 S h o w t h a t e v e r y
a
∈ B(
H)
i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t w o
s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s .
E x e r c i s e 2 . 1 . 7 A p o s i t i v e o p e r a t o r i s s e l f - a d j o i n t .
E x e r c i s e 2 . 1 . 8 F i n d a n i s o m e t r y f r o m o n e H i l b e r t s p a c e t o i t s e l f t h a t i s n o t
u n i t a r y . T h e u n i l a t e r a l s h i f t o n H = 2(N)
i s a n e e x a m p l e . T h e r e i s a n
o b v i o u s o r t h o n o r m a l b a s i s o f H
i n d e x e d b y t h e n a t u r a l n u m b e r s a n d t h e s h i f t
j u s t s e n d s t h e nth.
b a s i s e l e m e n t t o t h e
(n + 1)th.
E x e r c i s e 2 . 1 . 9 I f
Ki s a c l o s e d s u b s p a c e o f
Hs h o w t h a t t h e m a p
P K : H →
Kw h i c h a s s i g n s t o a n y p o i n t i n
Ht h e n e a r e s t p o i n t i n
Ki s l i n e a r a n d a
p r o j e c t i o n .
E x e r c i s e 2 . 1 . 1 0 S h o w t h a t t h e c o r r e s p o n d e n c e
K → P K o f t h e p r e v i o u s e x -
e r c i s e i s a b i j e c t i o n b e t w e e n c l o s e d s u b s p a c e s o f H
a n d p r o j e c t i o n s i n B(H)
.
I f
S i s a s u b s e t o f
H,
S ⊥i s b y d e n i t i o n
ξ ∈ H : ξ, η = 0 ∀η ∈ S .N o t e t h a t
S ⊥i s a l w a y s a c l o s e d s u b s p a c e .
E x e r c i s e 2 . 1 . 1 1 I f
Ki s a c l o s e d s u b s p a c e t h e n
K⊥⊥ = Ka n d
P K⊥ = 1−P K .
E x e r c i s e 2 . 1 . 1 2 I f
ui s a p a r t i a l i s o m e t r y t h e n s o i s
u∗. T h e s u b s p a c e
u∗
Hi s t h e n c l o s e d a n d c a l l e d t h e i n i t i a l d o m a i n o f u , t h e s u b s p a c e uH i s a l s o
c l o s e d a n d c a l l e d t h e n a l d o m a i n o f u
. S h o w t h a t a p a r t i a l i s o m e t r y i s t h e
c o m p o s i t i o n o f t h e p r o j e c t i o n o n t o i t s i n i t i a l d o m a i n a n d a u n i t a r y b e t w e e n
t h e i n i t i a l a n d n a l d o m a i n s .
T h e c o m m u t a t o r[a, b]
o f t w o e l e m e n t s o fB(H)
i s t h e o p e r a t o rab − ba
.
E x e r c i s e 2 . 1 . 1 3 I f
Ki s a c l o s e d s u b s p a c e a n d
a = a∗t h e n
aK ⊆ K if f [a, P K] = 0.
I n g e n e r a l (aK ⊆ K and a∗
K ⊆ K) ⇐⇒ [a, P K] = 0.
2 . 2 T h e S p e c t r a l T h e o r e m
T h e s p e c t r u m σ(a)
o fa ∈ B(H)
i sλ ∈ C : a − λ1
i s n o t i n v e r t i b l e
.
E x e r c i s e 2 . 2 . 1 ( L o o k u p p r o o f s i f n e c e s s a r y . ) S h o w t h a t
σ(a)i s a n o n -
e m p t y c l o s e d b o u n d e d s u b s e t o f C a n d t h a t i f a = a∗
,σ(a) ⊆ [−||a||, ||a||]
w i t h e i t h e r ||a||
o r −||a||
i n σ(a)
.
7
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T h e s p e c t r a l t h e o r e m t a k e s a b i t o f g e t t i n g u s e d t o a n d k n o w i n g h o w
t o p r o v e i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y h e l p m u c h . I f o n e c a n n o t s e e t h e s p e c t r a l
d e c o m p o s i t i o n o f a n o p e r a t o r i t m a y b e e x t r e m e l y d i c u l t t o o b t a i n e x c e p t
i n a s m a l l n i t e n u m b e r o f d i m e n s i o n s w h e r e i t i s j u s t d i a g o n a l i s a t i o n . B u t
f o r t u n a t e l y t h e r e i s n o t h i n g l i k e a c o u r s e i n o p e r a t o r a l g e b r a s , e i t h e rC ∗
o r
v o n N e u m a n n , t o h e l p m a s t e r t h e u s e o f t h i s t h e o r e m w h i c h i s t h e h e a r t o f
l i n e a r a l g e b r a o n H i l b e r t s p a c e . T h e b o o k b y R e e d a n d S i m o n , M e t h o d s o f
m a t h e m a t i c a l p h y s i c s v o l . 1 , F u n c t i o n a l A n a l y s i s , c o n t a i n s a t r e a t m e n t o f
t h e s p e c t r a l t h e o r e m w h i c h i s p e r f e c t b a c k g r o u n d f o r t h i s c o u r s e . W e w i l l
m a k e n o a t t e m p t t o p r o v e i t h e r e j u s t g i v e a v a g u e s t a t e m e n t w h i c h w i l l
e s t a b l i s h t e r m i n o l o g y .
T h e s p e c t r a l t h e o r e m a s s e r t s t h e e x i s t e n c e o f a p r o j e c t i o n v a l u e d m e a s u r e
f r o m t h e B o r e l s u b s e t s o f t h σ(a)
( w h e n a = a∗
o r m o r e g e n e r a l l y w h e n
ai s n o r m a l i . e .
[a, a∗] = 0) t o p r o j e c t i o n s i n
B(H), w r i t t e n s y m b o l i c a l l y
λ → E (λ), s u c h t h a t
a =
λdE (λ).
T h i s i n t e g r a l m a y b e i n t e r p r e t e d a s a l i m i t o f s u m s o f o p e r a t o r s ( n e c e s s i t a t i n g
a t o p o l o g y o n B(H)
) , a s a l i m i t o f s u m s o f v e c t o r saξ =
λdE (λ)ξ
o r s i m p l y
i n t e r m s o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n sξ,aη =
λdξ, E (λ)η
. T h e p r o j e c t i o n s
E (B)a r e c a l l e d t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o f
aa n d t h e i r i m a g e s a r e c a l l e d t h e
s p e c t r a l s u b s p a c e s o f
a.
G i v e n a n y b o u n d e d B o r e l c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n
f o n
σ(a)o n e m a y
f o r m f (a)
b y f (a) =
f (λ)dE (λ)
.
E x e r c i s e 2 . 2 . 2 I f
µi s a s i g m a - n i t e m e a s u r e o n
X a n d
f ∈ L∞(X, µ),
t h e o p e r a t o r
M f : L2(X, µ) → L2(X, µ), M f g(x) = f (x)g(x), i s a b o u n d e d
o p e r a t o r w i t h ||M f || = ess−sup
x∈X (|f (x)|)
. I f f
i s r e a l v a l u e d t h e n M f i s s e l f
a d j o i n t . F i n d
σ(f )a n d t h e p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e
E (λ).
E x e r c i s e 2 . 2 . 3 I f
dim(H
) <∞
n d t h e s p e c t r u m a n d p r o j e c t i o n - v a l u e d
m e a s u r e o r a
( w h i c h i s a H e r m i t i a n m a t r i x ) .
T h e e x a m p l e o f e x e r c i s e 2 . 2 . 2 i s g e n e r i c i n t h e s e n s e t h a t t h e r e i s a v e r s i o n
o f t h e s p e c t r a l t h e o r e m w h i c h a s s e r t s t h e f o l l o w i n g . I f
ξ ∈ Hi s a n y v e c t o r
a n d a = a∗ ∈ B(H)
, l e tK
b e t h e c l o s e d l i n e a r s p a n o f t h e anξ : n =
0, 1, 2, 3,..., t h e n
ad e n e s a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r o n
Ka n d t h e r e i s a n i t e
m e a s u r e µ
o n t h e s p e c t r u m σ(a)
s u c h t h a t(K, a)
i s i s o m o r p h i c i n t h e o b v i o u s
s e n s e t o (L2(σ(a), µ),
m u l t i p l i c a t i o n b y x )
. C o n t i n u i n g s u c h a n a r g u m e n t b y
r e s t r i c t i n g t o K⊥
o n e o b t a i n s a f u l l s p e c t r a l t h e o r e m .
8
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E x e r c i s e 2 . 2 . 4 S h o w t h a t a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r
ai s t h e d i e r e n c e
a+
−a−
o f t w o p o s i t i v e o p e r a t o r s c a l l e d t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p a r t s o f a, o b t a i n e d
a s f u n c t i o n s o f a
a s a b o v e .
2 . 3 P o l a r d e c o m p o s i t i o n
E x e r c i s e 2 . 3 . 1 S h o w t h a t e v e r y p o s i t i v e o p e r a t o r
ah a s a u n i q u e p o s i t i v e
s q u a r e r o o ta1/2
.
G i v e n a n a r b i t r a r y
a ∈ B(H)w e d e n e
|a| = (a∗a)1/2.
E x e r c i s e 2 . 3 . 2 S h o w t h a t t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y u s u c h t h a t a = u|a|,
a n d t h a t
ui s u n i q u e s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n t h a t i t s d o m a i n s u b s p a c e i s
ker(a)⊥. T h e n a l d o m a i n o f t h i s
ui s
Im(a) = ker(a∗)⊥.
2 . 4 T e n s o r p r o d u c t o f H i l b e r t S p a c e s .
I f
Ha n d
Ka r e H i l b e r t s p a c e s o n e m a y f o r m t h e i r a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t
H ⊗alg K( i n t h e c a t e g o r y o f c o m p l e x v e c t o r s p a c e s ) . O n t h i s v e c t o r s p a c e
o n e d e n e s t h e s e s q u i l i n e a r f o r m
ξ ⊗ η, ξ ⊗ η = ξ, ξ η, ηa n d o b s e r v e s t h a t t h i s f o r m i s p o s i t i v e d e n i t e . T h e H i l b e r t s p a c e t e n s o r
p r o d u c tH ⊗ K
i s t h e n t h e c o m p l e t i o n o fH ⊗alg K
. I t i s e a s y t o s e e t h a t i f
a ∈ B(H), b ∈ B(K), t h e r e i s a b o u n d e d o p e r a t o r
a ⊗ bo n
H ⊗ Kd e n e d b y
a ⊗ b(ξ ⊗ η) = aξ ⊗ bη.
E x e r c i s e 2 . 4 . 1 L e t
L2(X, H, µ)b e t h e H i l b e r t s p a c e o f m e a s u r a b l e s q u a r e
i n t e g r a b l e f u n c t i o n s ( u p t o n u l l s e t s )f : X → H
. F o r e a c h ξ ∈ H
a n d
f ∈ L2(X, µ)l e t
f ξ ∈ L2(X, H, µ)b e d e n e d b y
f ξ(x) = f (x)ξ . S h o w t h a t
t h e m a p
ξ ⊗ f → f ξd e n e s a u n i t a r y f r o m H ⊗ L
2
(X, µ)o n t o
L2
(X, H, µ).
9
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C h a p t e r 3
T h e d e n i t i o n o f a v o n N e u m a n n
a l g e b r a a n d s o m e b a s i c e x a m p l e s .
3 . 1 T o p o l o g i e s o n B(H)
( i ) T h e n o r m o r u n i f o r m t o p o l o g y i s g i v e n b y t h e n o r m ||a||
d e n e d i n t h e
p r e v i o u s c h a p t e r .
( i i ) T h e t o p o l o g y o n B(H)
o f p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e o n H
i s c a l l e d t h e
s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y . A b a s i s o f n e i g h b o u r h o o d s o fa
∈ B(
H)
i s f o r m e d
b y t h e
N (a, ξ 1, ξ 2,...,ξ n, ) = b : ||(b − a)ξ i|| < ∀i = 1, · · · , n
( i i i ) T h e w e a k o p e r a t o r t o p o l o g y i s f o r m e d b y t h e b a s i c n e i g h b o u r h o o d s
N (a, ξ 1, ξ 2,...,ξ n, η1, η2,..,ηn, ) = b : |(b − a)ξ i, ηi| < ∀i = 1, · · · , n
N o t e t h a t t h i s w e a k t o p o l o g y i s t h e t o p o l o g y o f p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e
o n H i n t h e w e a k t o p o l o g y o n H d e n e d i n t h e o b v i o u s w a y b y t h e i n n e r
p r o d u c t .
T h e u n i t b a l l o f
Hi s c o m p a c t i n t h e w e a k t o p o l o g y a n d t h e u n i t b a l l
o fB(H)
i s c o m p a c t i n t h e w e a k o p e r a t o r t o p o l o g y . T h e s e a s s e r t i o n s f o l l o w
e a s i l y f r o m T y c h o n o ' s t h e o r e m .
E x e r c i s e 3 . 1 . 1 S h o w t h a t w e h a v e t h e f o l l o w i n g o r d e r i n g o f t h e t o p o l o g i e s
( s t r i c t i n i n n i t e d i m e n s i o n s ) .
( w e a k o p e r a t o r t o p o l o g y ) < ( s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y ) < ( n o r m t o p o l o g y )
1 1
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N o t e t h a t a w e a k e r t o p o l o g y h a s l e s s o p e n s e t s s o t h a t i s a s e t i s c l o s e d i n
t h e w e a k t o p o l o g y i t i s n e c e s s a r i l y c l o s e d i n t h e s t r o n g a n d n o r m t o p o l o g i e s .
W e w i l l n o w p r o v e t h e v o n N e u m a n n d e n s i t y o r b i c o m m u t a n t t h e o r e m
w h i c h i s t h e r s t r e s u l t i n t h e s u b j e c t . W e p r o v e i t r s t i n t h e n i t e d i m e n -
s i o n a l c a s e w h e r e t h e p r o o f i s t r a n s p a r e n t t h e n m a k e t h e s l i g h t a d j u s t m e n t s
f o r t h e g e n e r a l c a s e .
T h e o r e m 3 . 1 . 2 L e t
M b e a s e l f - a d j o i n t s u b a l g e b r a o f
B(H)c o n t a i n i n g
1,
w i t h dim(H) = n < ∞
. T h e n M = M
.
P r o o f . I t i s t a u t o l o g i c a l t h a t
M ⊆ M .
S o w e m u s t s h o w t h a t i fy
∈M
t h e n y
∈M
. T o t h i s e n d w e w i l l a m p l i f y
t h e a c t i o n o f M o n H t o a n a c t i o n o n H⊗H d e n e d b y x(ξ ⊗η) = xξ ⊗η . I f w e
c h o o s e a n o r t h o n o r m a l b a s i svi o f
Ht h e n
H⊗H = ⊕ni=1H a n d i n t e r m s o f
m a t r i c e s w e a r e c o n s i d e r i n g t h e n x n
m a t r i c e s o v e rB(H)
a n d e m b e d d i n g M
i n i t a s m a t r i c e s c o n s t a n t d o w n t h e d i a g o n a l . C l e a r l y e n o u g h t h e c o m m u t a n t
o fM
o n H⊗H
i s t h e a l g e b r a o f a l ln x n
m a t r i c e s w i t h e n t r i e s i n M
a n d t h e
s e c o n d c o m m u t a n t c o n s i s t s o f m a t r i c e s h a v i n g a x e d e l e m e n t o f
M d o w n
t h e d i a g o n a l .
L e t
vb e t h e v e c t o r
⊕ni=1vi ∈ ⊕ni=1H a n d l e t
V = Mv ⊆ H ⊗ H. T h e n
M V ⊆ V a n d s i n c e
M = M ∗,
P V ∈ M ( o n
H ⊗ H) b y e x e r c i s e 2 . 1 . 1 3 . S o i f
y ∈ M ( o n
H⊗H) , t h e n
yc o m m u t e s w i t h
P V a n d yM v ⊆ M v
. I n p a r t i c u l a r
y(1v) = xv f o r s o m e x ∈ M s o t h a t yvi = xvi f o r a l l i, a n d y = x ∈ M .
T h e o r e m 3 . 1 . 3 ( v o n N e u m a n n ) L e t
M b e a s e l f - a d j o i n t s u b a l g e b r a o f
B(H)c o n t a i n i n g
1. T h e n
M = M ( c l o s u r e i n t h e s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y ) .
P r o o f . C o m m u t a n t s a r e a l w a y s c l o s e d s o M ⊆ M
.
S o l e t
a ∈ M a n d
N (a, ξ 1, ξ 2,...,ξ n, )b e a s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o f
a.
W e w a n t t o n d a n x ∈ M
i n t h i s n e i g h b o u r h o o d . S o l e tv ∈ ⊕ni=1H b e
⊕ni=1ξ ia n d l e t
B(H)a c t d i a g o n a l l y o n
⊕ni=1H a s i n t h e p r e v i o u s t h e o r e m . T h e n t h e
s a m e o b s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g m a t r i x f o r m s o f c o m m u t a n t s a r e t r u e . A l s o M
c o m m u t e s w i t h P Mv w h i c h t h u s c o m m u t e s w i t h
a( o n
⊕ni=1H ) . A n d s i n c e
1 ∈ M ,
av = ⊕aξ i i s i n t h e c l o s u r e o f Mv s o t h e r e i s a n x ∈ M w i t h
||xξ i − axii|| < f o r a l l
i.
C o r o l l a r y 3 . 1 . 4 I f
M = M ∗i s a s u b a l g e b r a o f
B(H)w i t h
1 ∈ M , T F A E :
1 )M = M
2 )
M i s s t r o n g l y c l o s e d .
3 )M
i s w e a k l y c l o s e d .
D e n i t i o n 3 . 1 . 5 A s u b a l g e b r a o f
B(H)s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s o f c o r o l l a r y
3 . 1 . 4 i s c a l l e d a v o n N e u m a n n a l g e b r a .
1 2
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( A s e l f - a d j o i n t s u b a l g e b r a o f
B(
H)
w h i c h i s c l o s e d i n t h e n o r m t o p o l o g y
i s c a l l e d a C ∗ - a l g e b r a . )
E x a m p l e 3 . 1 . 6 1 ) A n y n i t e d i m e n s i o n a l * - s u b a l g e b r a o f
B(H)c o n t a i n i n g
1.
E x a m p l e 3 . 1 . 7 B(H)i t s e l f .
E x a m p l e 3 . 1 . 8 E x e r c i s e 3 . 1 . 9
L e t(X, µ)
b e a n i t e m e a s u r e s p a c e a n d
c o n s i d e r A = L∞(X, µ)
a s a * - s u b a l g e b r a o f B(L2(X, µ))
a s m u l t i p l i c a t i o n
o p e r a t o r s a s i n e x e r c i s e 2 . 2 . 2 . S h o w t h a tA = A
, i . e .A
i s m a x i m a l a b e l i a n
a n d h e n c e a v o n N e u m a n n a l g e b r a . ( H i n t : i f
x ∈ Al e t
f = x(1). S h o w t h a t
f ∈ L∞a n d t h a t
x = M f . )
E x a m p l e 3 . 1 . 1 0 I f
S ⊆ B(H), w e c a l l
(S ∪ S ∗)t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a
g e n e r a t e d b y S . I t i s , b y t h e o r e m 3 . 1 . 3 t h e w e a k o r s t r o n g c l o s u r e o f t h e * -
a l g e b r a g e n e r a t e d b y
1a n d
S . M o s t c o n s t r u c t i o n s o f v o n N e u m a n n a l g e b r a s
b e g i n b y c o n s i d e r i n g s o m e f a m i l y o f o p e r a t o r s w i t h d e s i r a b l e p r o p e r t i e s a n d
t h e n t a k i n g t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a t h e y g e n e r a t e . B u t i s i s q u i t e h a r d , i n
g e n e r a l , t o g e t m u c h c o n t r o l o v e r t h e o p e r a t o r s a d d e d w h e n t a k i n g t h e w e a k
c l o s u r e a n d a l l t h e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f t h e g e n e r a t i n g a l g e b r a m a y b e
l o s t . ( F o r i n s t a n c e a n y p o s i t i v e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r a w i t h ||a|| ≤ 1 i s a w e a k
l i m i t o f p r o j e c t i o n s . ) H o w e v e r , i f t h e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s c a n b e e x p r e s s e d
i n t e r m s o f m a t r i x c o e c i e n t s t h e n t h e s e p r o p e r t i e s w i l l b e p r e s e r v e d u n d e r
w e a k l i m i t s s i n c e t h e m a t r i x c o e c i e n t s o fa
a r e j u s t s p e c i a l e l e m e n t s o f t h e
f o r m
ξ,aη. W e s h a l l n o w t r e a t a n e x a m p l e o f t h i s k i n d o f p r o p e r t y w h i c h i s
a t t h e h e a r t o f t h e s u b j e c t a n d w i l l p r o v i d e u s w i t h a v a s t s u p p l y o f i n t e r e s t i n g
v o n N e u m a n n a l g e b r a s q u i t e d i e r e n t f r o m t h e r s t 3 e x a m p l e s .
L e t
Γb e a d i s c r e t e g r o u p a n d l e t
2(Γ)b e t h e H i l b e r t s p a c e o f a l l f u n c t i o n s
f : Γ → Cw i t h
γ ∈Γ|f (γ )|2 < ∞
a n d i n n e r p r o d u c tf, g =
γ ∈Γf (γ )g(γ )
. A n
o r t h o n o r m a l b a s i s o f 2(Γ) i s g i v e n b y t h e εγ w h e r e εγ (γ ) = δ γ,γ s o t h a t
f =γ ∈Γ
f (γ )εγ i n t h e 2
s e n s e . F o r e a c h γ ∈ Γ
d e n e t h e u n i t a r y o p e r a t o ruγ
b y
(uγ f )(γ ) = f (γ −1). N o t e t h a t
uγ uρ = uγρ a n d t h a t
uγ (ερ) = εγρ . T h u s
γ → uγ i s a u n i t a r y g r o u p r e p r e s e n t a t i o n c a l l e d t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n .
T h e
uγ a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s o t h e a l g e b r a t h e y g e n e r a t e i s i s o m o r p h i c
t o t h e g r o u p a l g e b r a CΓ
. T h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e uγ
g o e s u n d e r v a r i o u s n a m e s ,U (Γ)
,λ(Γ)
a n d L(Γ)
b u t w e w i l l c a l l i tvN (Γ)
a s
i t i s t h e g r o u p v o n N e u m a n n a l g e b r a o fΓ
.
1 3
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T o s e e t h a t o n e c a n c o n t r o l w e a k l i m i t s o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e
uγ , c o n s i d e r r s t t h e c a s e Γ = Z/nZ. W i t h b a s i s u0, u1, u2, · · · , un−1 , u1 i s
r e p r e s e n t e d b y t h e m a t r i x :
0 1 0 0 . .0 0 1 0 0 .0 . 0 1 0 00 . . 0 1 00 0 . . 0 11 0 0 . . 0
w h i c h i s a m a t r i x c o n s t a n t a l o n g t h e d i a g o n a l s . C l e a r l y a l l p o w e r s o fu1 a n d
a l l l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e m h a v e t h i s p r o p e r t y a l s o s o t h a t a n a r b i t r a r y
e l e m e n t o f t h e a l g e b r a t h e y g e n e r a t e w i l l h a v e t h e m a t r i x f o r m ( w h e n n = 6
) :
a b c d e f f a b c d ee f a b c dd e f a b cc d e f a bb c d e f a
( S u c h m a t r i c e s a r e k n o w n a s c i r c u l a n t m a t r i c e s b u t t o t h e b e s t o f o u r k n o w l -
e d g e t h i s t e r m o n l y a p p l i e s w h e n t h e g r o u p i s c y c l i c . ) I f
Z/nZw e r e r e p l a c e d
b y a n o t h e r n i t e g r o u p t h e s a m e s o r t o f s t r u c t u r e w o u l d p r e v a i l e x c e p t t h a t
t h e d i a g o n a l s w o u l d b e m o r e c o m p l i c a t e d , a c c o r d i n g t o t h e m u l t i p l i c a t i o n
t a b l e o f t h e g r o u p .
N o w l e tΓ
b e a n i n n i t e g r o u p . I t i s s t i l l t r u e t h a t t h e (γ, ρ)
m a t r i x e n t r y o f
a n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e
uγ ' s w i l l d e p e n d o n l y o n
γ −1ρ. A s o b s e r v e d
a b o v e , t h e s a m e m u s t b e t r u e o f w e a k l i m i t s o f t h e s e l i n e a r c o m b i n a t i o n s ,
h e n c e a n y e l e m e n t o f
vN (Γ).
W e s e e t h a t t h e e l e m e n t s o fvN (Γ)
h a v e m a t r i c e s ( w . r . t . t h e b a s i sεγ )
w h i c h a r e c o n s t a n t a l o n g t h e d i a g o n a l s :(γ, ρ) : γ −1ρ
i s c o n s t a n t
.
E x e r c i s e 3 . 1 . 1 1 C h e c k w h e t h e r i t s h o u l d b e
γ −1ρo r
γρ−1o r s o m e o t h e r
s i m i l a r e x p r e s s i o n . . . . .
U s i n g t h e n u m b e rcγ o n t h e d i a g o n a l i n d e x e d b y
γ w e c a n w r i t e , f o r m a l l y
a t l e a s t , a n y e l e m e n t o fvN (Γ)
a s a s u m
γ ∈Γ
cγ uγ . I t i s n o t c l e a r i n w h a t
s e n s e t h i s s u m c o n v e r g e s b u t c e r t a i n l y
γ ∈Γ
cγ uγ m u s t d e n e a b o u n d e d l i n e a r
o p e r a t o r . F r o m t h i s w e d e d u c e i m m e d i a t e l y t h e f o l l o w i n g :
1 4
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( i ) T h e f u n c t i o n
γ
→cγ i s i n
2. ( A p p l y
γ ∈Γ
cγ uγ t o
εid . )
( i i )(γ ∈Γ
cγ uγ )(γ ∈Γ
dγ uγ ) =γ ∈Γ
(ρ∈Γ
cρdρ−1γ )uγ
w h e r e t h e s u m d e n i n g t h e c o e c i e n t o fuγ o n t h e r i g h t h a n d s i d e c o n -
v e r g e s s i n c e
ρ → cρ a n d
ρ → dρ−1γ a r e i n
2.
E x a c t l y w h a t f u n c t i o n sγ → cγ d e n e e l e m e n t s o f
vN (Γ)i s u n c l e a r b u t
a n i m p o r t a n t s p e c i a l c a s e g i v e s s o m e i n t u i t i o n .
C a s e 1 .Γ = Z.
I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e m a p
cnεn →
cneinθ
d e n e s a u n i t a r y V
f r o m 2(Γ)
t o L2(T)
. M o r e o v e rV unV −1(eikθ = V un(εk) = V ε(k + n) =
einθeikθ s o t h a t V unV −1 i s t h e m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r M einθ . S t a n d a r d s p e c -
t r a l t h e o r y s h o w s t h a tM einθ g e n e r a t e s
L∞(T)a s a v o n N e u m a n n a l g e b r a ,
a n d c l e a r l y i fM f ∈ L∞(T), V −1M f V =
cnεn w h e r e
cneinθ
i s t h e
F o u r i e r s e r i e s o f
f . W e s e e t h a t , i n t h i s c a s e , t h e f u n c t i o n s
γ → cγ w h i c h
d e n e e l e m e n t s o fvN (Z)
a r e p r e c i s e l y t h e F o u r i e r s e r i e s o fL∞
f u n c t i o n s .
I n c a s e w e f o r g e t t o p o i n t i t o u t l a t e r o n w h e n w e a r e i n a b e t t e r p o s i t i o n
t o p r o v e i t , o n e w a y t o c h a r a c t e r i s e t h e f u n c t i o n s w h i c h d e n e e l e m e n t s o n
vN (Γ)i s a s a l l f u n c t i o n s w h i c h d e n e b o u n d e d o p e r a t o r s o n
2(Γ). T h i s i s
n o t p a r t i c u l a r l y i l l u m i n a t i n g b u t c a n b e u s e f u l a t m a t h p a r t i e s .
A t t h e o t h e r e x t r e m e w e c o n s i d e r a h i g h l y n o n - c o m m u t a t i v e g r o u p , t h e
f r e e g r o u p o n n g e n e r a t o r s , n ≥ 2.
C a s e 2 .
Γ = F n .
J u s t f o r f u n l e t u s c o m p u t e t h e c e n t r e Z (vN (Γ))
o fvN (F n)
, i . e . t h o s e cγ uγ t h a t c o m m u t e w i t h a l l
x ∈ vN (Γ). B y w e a k l i m i t s , f o r
cγ uγ t o
b e i n
Z (vN (Γ))i t i s n e c e s s a r y a n d s u c i e n t t h a t i t c o m m u t e w i t h e v e r y
uγ .T h i s c l e a r l y i s t h e s a m e a s s a y i n g
cγργ −1 = cρ ∀γ, ρ, i . e . t h e f u n c t i o n
ci s
c o n s t a n t o n c o n j u g a c y c l a s s e s . B u t i n
F n a l l c o n j u g a c y c l a s s e s e x c e p t t h a t
o f t h e i d e n t i t y a r e i n n i t e . N o w r e c a l l t h a tγ → cγ i s i n
2! ! W e c o n c l u d e
t h a tcγ = 0 ∀γ = 1
, i . e .Z (vN (Γ)) = C1.
N o t e t h a t t h e o n l y p r o p e r t y w e u s e d o f
F ∞ t o r e a c h t h i s c o n c l u s i o n w a s
t h a t e v e r y n o n - t r i v i a l c o n j u g a c y c l a s s i s i n n i t e ( a n d i n g e n e r a l i t i s c l e a r
t h a tZ (vN (Γ))
i s i n t h e l i n e a r s p a n o f t h e uγ w i t h
γ i n a n i t e c o n j u g a c y
c l a s s . ) S u c h g r o u p s a r e c a l l e d i . c . c . g r o u p s a n d t h e y a b o u n d . O t h e r e x a m p l e s
i n c l u d e S ∞ ( t h e g r o u p o f n i t e l y s u p p o r t e d p e r m u t a t i o n s o f a n i n n i t e s e t ) ,
P SL(n,Z)a n d
Q×Q∗.
U n s o l v e d p r o b l e m i n v o n N e u m a n n a l g e b r a s :
I s vN (F n) ∼= vN (F m)
f o r n = m (≥ 2)?
N o t e t h a t i t i s o b v i o u s t h a t t h e g r o u p a l g e b r a sCF n a n d
CF m a r e n o t i s o -
1 5
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m o r p h i c , j u s t c o n s i d e r a l g e b r a h o m o m o r p h i s m s t o C
- b u t t h e y w i l l n o t e x t e n d
t o vN (Γ) .
D e n i t i o n 3 . 1 . 1 2 A v o n N e u m a n n a l g e b r a w h o s e c e n t r e i s
C1i s c a l l e d a
f a c t o r .
E x e r c i s e 3 . 1 . 1 3 S h o w t h a t
B(H)i s a f a c t o r .
E x e r c i s e 3 . 1 . 1 4 S u p p o s e
H = K1 ⊗ K2 a n d l e tM = B(K1) ⊗ 1
S h o w t h a t
M = 1 ⊗ B(K2)s o t h a t
M a n d
M a r e f a c t o r s .
T h i s e x e r c i s e i s s u p p o s e d t o e x p l a i n t h e o r i g i n o f t h e t e r m f a c t o r a sM
a n d
M c o m e f r o m a t e n s o r p r o d u c t f a c t o r i s a t i o n o f
H.
T h e f a c t o r w e h a v e c o n s t r u c t e d a s vN (Γ) i s o f a n e n t i r e l y d i e r e n t n a t u r e
f r o m B(H)
. T o s e e t h i s c o n s i d e r t h e f u n c t i o n tr : vN (Γ) → C
d e n e d b y
tr(a) = aε1, ε1, o r
tr(
cγ uγ ) = c1 . T h i s m a y i s c l e a r l y l i n e a r , w e a k l y
c o n t i n u o u s , s a t i s e str(ab) = tr(ba)
a n d tr(x∗x) =
γ |cγ |2 ≥ 0
( w h e n
x =γ cγ uγ ) . I t i s c a l l e d a t r a c e o n
vN (Γ). I f
Γ = Zi t o b v i o u s l y e q u a l s 2π
0f (θ)dθ
u n d e r t h e i s o m o r p h i s m b e t w e e n vN (Z)
a n d L∞(T)
.
E x e r c i s e 3 . 1 . 1 5 ( i ) I f
tr : B(H) → Ci s a l i n e a r m a p w i t h
tr(ab) = tr(ba),
dim H < ∞s h o w t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t
K w i t h
tr(x) = Ktrace(x).
( i i ) T h e r e i s n o n o n - z e r o w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r m a p tr : B(H) → C
s a t i s f y i n g tr(ab) = tr(ba) w h e n dim(H) = ∞.
( i i i ) T h e r e i s n o n o n - z e r o l i n e a r m a p tr : B(H) → C s a t i s f y i n g
tr(ab) =tr(ba)
a n d tr(x∗x) ≥ 0
w h e n dim(H) = ∞
.
( i v ) ( h a r d e r ) T h e r e i s n o n o n - z e r o l i n e a r m a p tr : B(H) → C
s a t i s f y i n g
tr(ab) = tr(ba)w h e n
dim(H) = ∞.
T h u s o u r f a c t o r svN (Γ)
w h e n Γ
i s i . c . c . a r e i n n i t e d i m e n s i o n a l b u t
s e e m t o h a v e m o r e i n c o m m o n w i t h
B(H)w h e n
dim H < ∞t h a n w h e n
dim H = ∞! T h e y c e r t a i n l y d o n o t c o m e f r o m t e n s o r p r o d u c t f a c t o r i s a t i o n s
o fH
i n t h i s c a s e .
L e t u s m a k e a c o u p l e o f o b s e r v a t i o n s a b o u t t h e s e f a c t o r s .
1 ) T h e y c o n t a i n n o n o n - z e r o n i t e r a n k o p e r a t o r s f o r s u c h a n o p e r a t o r
c a n n o t b e c o n s t a n t a n d n o n - z e r o d o w n t h e d i a g o n a l . ( T a k e x∗x
o f n e c e s s a r y . )
2 ) T h e y h a v e t h e p r o p e r t y t h a ttr(a) = 0 ⇒ a = 0
f o r a p o s i t i v e e l e m e n t
a(
a = |a|2b y t h e s p e c t r a l t h e o r e m a n d a l l s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o f
a, h e n c e
|a|, a r e i n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y
a. )
3 ) T h e y h a v e t h e p r o p e r t y t h a t
uu∗ = 1 ⇒ u∗u = 1( i . e . t h e y c o n t a i n n o
n o n - u n i t a r y i s o m e t r i e s ) .
P r o o f . I fu∗u = 1
,uu∗
i s a p r o j e c t i o n s o 1 − uu∗
i s t o o a n d tr(1 − uu∗) =
1 − tr(u∗u) = 0.
1 6
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E x e r c i s e 3 . 1 . 1 6 S h o w t h a t i n
vN (Γ),
ab = 1
⇒ba = 1
. S h o w t h a t i f F
i s
a n y e l d o f c h a r a c t e r i s t i c 0, ab = 1 ⇒ ba = 1 i n F Γ.
A s f a r a s I k n o w t h i s a s s e r t i o n i s s t i l l o p e n i n n o n - z e r o c h a r a c t e r i s t i c . T h e
a b o v e e x e r c i s e i s a r e s u l t o f K a p l a n s k y .
T h e n e x t o b s e r v a t i o n i s a r e m a r k a b l e p r o p e r t y o f t h e s e t o f p r o j e c t i o n s .
4 ) I fΓ = F n ,
tr( p) :p a p r o j e c t i o n i n
vN (Γ) = [0, 1].
P r o o f . I t i s c l e a r t h a t t h e t r a c e o f a p r o j e c t i o n i s b e t w e e n 0
a n d 1
. T o s e e
t h a t o n e m a y o b t a i n e v e r y r e a l n u m b e r i n t h i s i n t e r v a l , c o n s i d e r t h e s u b g r o u p
ag e n e r a t e d b y a s i n g l e n o n - z e r o e l e m e n t . B y t h e c o s e t d e c o m p o s i t i o n o f
F nt h e r e p r e s e n t a t i o n o f
ao n
2(F n)i s t h e d i r e c t s u m o f c o u n t a b l y m a n y c o p i e s
o f t h e r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n . T h e b i c o m m u t a n t o f
uai s t h e n , b y a m a t r i x
a r g u m e n t ,vN (Z)
a c t i n g i n a n a m p l i e d w a y a s b l o c k d i a g o n a l m a t r i c e s
w i t h c o n s t a n t b l o c k s s o w e m a y i d e n t i f y
vN (Z)w i t h a s u b a l g e b r a o f
vN (Γ).
U n d e r t h i s i d e n t i c a t i o n t h e t r a c e s o n t h e t w o g r o u p a l g e b r a s a g r e e . B u t a s
w e h a v e a l r e a d y o b s e r v e d , a n y e l e m e n tf ∈ L∞(0, 2π)
d e n e s a n e l e m e n t o f
vN (Z)w h o s e i n t e g r a l i s i t s t r a c e . T h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f a n i n t e r v a l
i s a p r o j e c t i o n s o b y c h o o s i n g i n t e r v a l s o f a p p r o p r i a t e l e n g t h s w e m a y r e a l i s e
p r o j e c t i o n s o f a n y t r a c e .
W e u s e d t h e b i c o m m u t a n t t o i d e n t i f y
vN (Z)w i t h a s u b a l g e b r a o f
vN (Γ).
I t i s i n s t r u c t i v e t o p o i n t o u t a p r o b l e m t h a t w o u l d h a v e a r i s e n h a d w e t r i e d
t o u s e t h e w e a k o r s t r o n g t o p o l o g i e s . A v e c t o r i n 2(Γ) i s a s q u a r e s u m m a b l e
s e q u e n c e o f v e c t o r s i n 2(Z)
s o t h a t a b a s i c s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o fa
o n 2(Γ)
w o u l d c o r r e s p o n d t o a n e i g h b o u r h o o d o f t h e f o r m b :
∞i=1 ||(a−b)ξ i||2 <
f o r a s e q u e n c e (ξ i) i n
2(Z)w i t h
∞i=1 ||ξ i||2 < ∞
. T h u s s t r o n g c o n v e r g e n c e
o n 2(Z)
w o u l d n o t i m p l y s t r o n g c o n v e r g e n c e o n (Γ)
! T h i s l e a d s u s n a t u r a l l y
t o d e n e t w o m o r e t o p o l o g i e s o n B(H)
.
D e n i t i o n 3 . 1 . 1 7 T h e t o p o l o g y d e n e d b y t h e b a s i c n e i g h b o u r h o o d s o f
a,
b :∞i=1 ||(a − b)ξ i||2 <
f o r a n y
a n d a n y s e q u e n c e (ξ i) i n
2(Z)w i t h
∞i=1 ||ξ i||2 < ∞
, i s c a l l e d t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y o n B(H)
.
T h e t o p o l o g y d e n e d b y t h e b a s i c n e i g h b o u r h o o d s
b :∞i=1
|(a − b)ξ i, ηi| <
f o r a n y > 0
a n d a n y s e q u e n c e s
(ξ i),ηi i n
2(Z)w i t h
∞i=1
||ξ i||2 + ||ηi||2 < ∞
i s c a l l e d t h e u l t r a w e a k t o p o l o g y o n B(H)
.
1 7
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N o t e t h a t t h e s e t o p o l o g i e s a r e p r e c i s e l y t h e t o p o l o g i e s i n h e r i t e d o n
B(
H)
i f i t i s a m p l i e d i n n i t e l y m a n y t i m e s a s B(H) ⊗ 1K w i t h dim K = ∞.
E x e r c i s e 3 . 1 . 1 8 S h o w t h a t t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y a n d t h e u l t r a w e a k t o p o l -
o g y a r e s t r o n g e r t h a n t h e s t r o n g t o p o l o g y a n d w e a k t o p o l o g y r e s p e c t i v e l y . S h o w
t h a t t h e u l t r a s t r o n g a n d s t r o n g t o p o l o g i e s c o i n c i d e o n a b o u n d e d s u b s e t o f
B(H)a s d o t h e w e a k a n d u l t r a w e a k t o p o l o g i e s .
E x e r c i s e 3 . 1 . 1 9 R e p e a t t h e a r g u m e n t o f t h e v o n N e u m a n n d e n s i t y t h e o r e m
( 3 . 1 . 3 ) w i t h t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y r e p l a c i n g t h e s t r o n g t o p o l o g y .
H e r e a r e s o m e q u e s t i o n s t h a t t h e i n q u i s i t i v e m i n d m i g h t w e l l a s k a t t h i s
s t a g e . A l l w i l l b e a n s w e r e d i n s u c c e e d i n g c h a p t e r s .
Q u e s t i o n 1 ) I f t h e r e i s a w e a k l y c o n t i n u o u s t r a c e o n a f a c t o r , i s i t u n i q u e
( u p t o a s c a l a r m u l t i p l e ) ?
Q u e s t i o n 2 ) I f t h e r e i s a t r a c e o n a f a c t o rM
i s i t t r u e t h a ttr( p) :
p a p r o j e c t i o n i n
M = [0, 1]?
Q u e s t i o n 3 ) I s t h e r e a t r a c e o n a n y f a c t o r n o t i s o m o r p h i c t o B(H)
?
Q u e s t i o n 4 ) A r e a l l ( i n n i t e d i m e n s i o n a l ) f a c t o r s w i t h t r a c e s i s o m o r p h i c ?
Q u e s t i o n 5 ) I fM
i s a f a c t o r w i t h a t r a c e , i sM
a l s o o n e ? ( O b s e r v e t h a t
t h e c o m m u t a n t o f a f a c t o r i s o b v i o u s l y a f a c t o r . )
Q u e s t i o n 6 ) I svN (Γ)
t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r i g h t
r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n ?
Q u e s t i o n 7 ) I fφ : M → N
i s a
∗- a l g e b r a i s o m o r p h i s m b e t w e e n v o n
N e u m a n n a l g e b r a s o n H i l b e r t s p a c e sH
a n d K
i s t h e r e a u n i t a r y u : H → K
s o t h a tφ(a) = uau∗
f o ra ∈ M
?
1 8
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C h a p t e r 4
E l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f v o n
N e u m a n n a l g e b r a s .
T h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r
M w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n a H i l b e r t
s p a c e H
.
E P 1 ) I fa = a∗
i s a n e l e m e n t o fM
, a l l t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s a n d a l l
b o u n d e d B o r e l f u n c t i o n s o fa
a r e i n M
. C o n s e q u e n t l y M
i s g e n e r a t e d b y i t s
p r o j e c t i o n s .
A c c o r d i n g t o o n e ' s p r o o f o f t h e s p e c t r a l t h e o r e m , t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s
E (λ) o f a a r e c o n s t r u c t e d a s s t r o n g l i m i t s o f p o l y n o m i a l s i n a . O r t h e p r o p -
e r t y t h a t t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o fa
a r e i n t h e b i c o m m u t a n t o fa
m a y b e
a n e x p l i c i t p a r t o f t h e t h e o r e m . B o r e l f u n c t i o n s w i l l b e i n t h e b i c o m m u t a n t .
E P 2 ) A n y e l e m e n t i n M
i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f4
u n i t a r i e s i n M
.
P r o o f . W e h a v e s e e n t h a t a n y x
i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f 2 s e l f - a d j o i n t s ,
a n d i f
ai s s e l f - a d j o i n t ,
||a|| ≤ 1, l e t
u = a + i√
1 − a2. T h e n
ui s u n i t a r y a n d
a = u+u∗
2.
E P 3 )
M i s t h e c o m m u t a n t o f t h e u n i t a r y g r o u p o f
M s o t h a t a n a l t e r n a t i v e
d e n i t i o n o f a v o n N e u m a n n a l g e b r a i s t h e c o m m u t a n t o f a u n i t a r y g r o u p
r e p r e s e n t a t i o n .
T h i s f o l l o w s f r o m E P 2 )
E x e r c i s e 4 . 0 . 2 0 S h o w t h a t m u l t i p l i c a t i o n o f o p e r a t o r s i s j o i n t l y s t r o n g l y
c o n t i n u o u s o n b o u n d e d s u b s e t s b u t n o t o n a l l o f B(H)
.
S h o w t h a t∗ : B(H) → B(H)
i s w e a k l y c o n t i n u o u s b u t n o t s t r o n g l y c o n -
t i n u o u s e v e n o n b o u n d e d s e t s .
T h e f o l l o w i n g r e s u l t i s w e l l k n o w n .
1 9
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T h e o r e m 4 . 0 . 2 1 I f
aα
i s a n e t o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s w i t h
aα
≤aβ
f o r α ≤ β a n d ||aα|| ≤ K f o r s o m e K ∈ R, t h e n t h e r e i s a s e l f - a d j o i n t
aw i t h
a = limαaα , c o n v e r g e n c e b e i n g i n t h e s t r o n g t o p o l o g y . F u r t h e r m o r e
a = lub(aα) f o r t h e p o s e t o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s .
P r o f . A c a n d i d a t e a
f o r t h e l i m i t c a n b e f o u n d b y w e a k c o m p a c t n e s s o f
t h e u n i t b a l l . T h e n
aαξ, ξ i s i n c r e a s i n g w i t h l i m i t
aξ,ξ f o r a l l
ξ ∈ Ha n d
a ≥ aα ∀α. S o
limα
√ a − aα = 0
i n t h e s t r o n g t o p o l o g y . N o w m u l t i p l i c a t i o n
i s j o i n t l y s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n b o u n d e d s e t s s o s−limaα = a
.
N o t e t h a t w e h a v e s l i p p e d i n t h e n o t a t i o n s−lim
f o r a l i m i t i n t h e s t r o n g
t o p o l o g y ( a n d o b v i o u s l y w−lim
f o r t h e w e a k t o p o l o g y ) .
I fa
a n d (aα
)a r e a s i n 4 . 0 . 2 1 w e s a y t h e n e t
(aα
)i s m o n o t o n e c o n v e r g e n t
t o
a.
E P 4 )M
i s c l o s e d u n d e r m o n o t o n e c o n v e r g e n c e o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s .
T h e p r o j e c t i o n s o n B(H)
f o r m a n o r t h o l a t t i c e w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r -
t i e s :
p ≤ q ⇐⇒ pH ⊆ q H p ∧ q =
o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o pH ∩ q H
p⊥ = 1−
p
p ∨ q = ( p⊥ ∧ q ⊥)⊥ =o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o
pH + q H.
E x e r c i s e 4 . 0 . 2 2 S h o w t h a t
p ∧ q = s−lim n→∞( pq )n.
T h e l a t t i c e o f p r o j e c t i o n s i n B(H)
i s c o m p l e t e ( i . e . c l o s e d u n d e r a r b i t r a r y
s u p s a n d i n f s ) s i n c e t h e i n t e r s e c t i o n o f c l o s e d s u b s p a c e s i s c l o s e d .
E P 5 ) T h e p r o j e c t i o n s i n M
g e n e r a t e M
a s a v o n N e u m a n n a l g e b r a , a n d
t h e y f o r m a c o m p l e t e s u b l a t t i c e o f t h e p r o j e c t i o n l a t t i c e o fB(H)
.
P r o o f . I f
S i s a s e t o f p r o j e c t i o n s i n
M t h e n n i t e s u b s e t s o f
S a r e a
d i r e c t e d s e t a n d F → W
p∈F p
i s a n e t i n M
s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s o f 4 . 0 . 2 1 .
T h u s t h e s t r o n g l i m i t o f t h i s n e t e x i s t s a n d i s i n M
. I t i s o b v i o u s t h a t t h i s
s t r o n g l i m i t i s
W
p∈S p
, t h e s u p b e i n g i n B(H)
.
E a s i e r p r o o f . F o r e a c h p r o j e c t i o n p ∈ M
,pH
i s i n v a r i a n t u n d e r e a c h
e l e m e n t o f
M . T h u s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e s e s u b s p a c e s i s a l s o .
E P 6 ) L e tA
b e a * - s u b a l g e b r a o fB(H)
. L e tW
b e
T
a∈Aker(a)
a n d K =
W ⊥. T h e n
Ki s i n v a r i a n t u n d e r
Aa n d i f w e l e t
B = a|K : a ∈ A, t h e n
1Ki s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f
Bw h i c h i s t h u s a v o n N e u m a n n a l g e b r a .
2 0
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . B y t h e a b o v e , i f p
a n d q
a r e p r o j e c t i o n sp
∨q = 1
−(1
− p)
∧(1
−q )
i s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f t h e a l g e b r a g e n e r a t e d b y p a n d q . B y s p e c t r a l
t h e o r y , i fa = a∗
t h e r a n g e p r o j e c t i o n P ker(a)⊥ i s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f t h e
a l g e b r a g e n e r a t e d b y a
s o w e m a y a p p l y t h e a r g u m e n t o f t h e p r o o f o f E P 5 )
t o c o n c l u d e t h a t
W
a∈AP ker(a)⊥ i s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f
A. B u t t h i s i s
1K .
T h u s i f w e w e r e t o d e n e a v o n N e u m a n n a l g e b r a a s a w e a k l y o r s t r o n g l y
c l o s e d s u b a l g e b r a o fB(H)
, i t w o u l d b e u n i t a l a s a n a b s t r a c t a l g e b r a b u t i t s
i d e n t i t y m i g h t n o t b e t h a t o fB(H)
s o i t w o u l d n o t b e e q u a l t o i t s b i c o m m u -
t a n t . H o w e v e r o n t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f a l l t h e i r r e l e v a n t v e c t o r s i t
w o u l d b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a i n t h e u s u a l s e n s e .
E P 7 ) I fM
i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a a n d p
∈M
i s a p r o j e c t i o n ,pMp =
(M p)a n d
pMp = M pa s a l g e b r a s o f o p e r a t o r s o n
pH. T h u s
pMpa n d
M pa r e v o n N e u m a n n a l g e b r a s .
P r o o f . O b v i o u s l y pMp
a n d M p
c o m m u t e w i t h e a c h o t h e r o n pH
. N o w
s u p p o s e x ∈ (M p) ⊆ B( pH)
a n d d e n e x = xp(= pxp) ∈ B(H)
. T h e n i f
y ∈ M ,
yx = yxp = ypxp = (xp)(yp) = xpy = xy, s o
x ∈ M a n d
x = pxp.
T h u s
( pM ) = pMpw h i c h i s t h u s a v o n N e u m a n n a l g e b r a .
I f w e k n e w t h a tM p
w e r e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n pH
w e w o u l d b e
d o n e b u t a d i r e c t a t t e m p t t o p r o v e i t s t r o n g l y o r w e a k l y c l o s e d f a i l s a s w e
w o u l d h a v e t o t r y t o e x t e n d t h e l i m i t o f a n e t i n M p
o n pH
t o b e i n M
.
S o i n s t e a d w e w i l l s h o w d i r e c t l y t h a t( pMp)
⊆M p
b y a c l e v e r e x t e n s i o n
o f i t s e l e m e n t s t o H . B y E P 2 i t s u c e s t o t a k e a u n i t a r y u ∈ ( pMp) . L e t
K ⊆ Hb e t h e c l o s u r e o f
M pHa n d l e t
q b e p r o j e c t i o n o n t o i t . T h e n
Ki s
c l e a r l y i n v a r i a n t u n d e rM
a n d M
s o q ∈ Z (M )
. W e r s t e x t e n d u
t o K
b y
u
xiξ i =
xiuξ i
f o rxi ∈ M
a n d ξ i ∈ H
. W e c l a i m t h a tu
i s a n i s o m e t r y :
||u
xiξ i||2 =i,j
xiuξ i, x juξ j
=i,j px
∗
jxi puξ i, uξ j=i,j
upx∗ jxi pξ i, uξ j
= ... = ||
xiξ i||2T h i s c a l c u l a t i o n a c t u a l l y s h o w s t h a t
ui s w e l l d e n e d a n d e x t e n d s t o a n
i s o m e t r y o fK
. B y c o n s t r u c t i o n u
c o m m u t e s w i t h M
o n M pH
, h e n c e o n K
.
S o uq ∈ M
a n d u = uqp
. H e n c e ( pMp) = M p
.
2 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C o r o l l a r y 4 . 0 . 2 3 I f
M i s a f a c t o r ,
pMpi s a f a c t o r o n
p
H, a s i s
pM . M o r e -
o v e r t h e m a p x → xp f r o m M t o M p i s a w e a k l y c o n t i n u o u s * - a l g e b r a
i s o m o r p h i s m .
P r o o f . F a c t o r i a l i t y f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m E P 7 . C o n t i n u i t y a n d t h e
* - a l g e b r a h o m o m o r p h i s m p r o p e r t y a r e o b v i o u s s o a l l w e h a v e t o s h o w i s
i n j e c t i v i t y . B u t i fx ∈ M
a n d xp = 0
t h e n x = 0
o n M pH
. B u t a s b e f o r e
t h e p r o j e c t i o n o n t o MpH
i s i n Z (M )
, h e n c e e q u a l t o 1
. S o x = 0
.
C o r o l l a r y 4 . 0 . 2 4 I f
M i s a f a c t o r a n d
a ∈ M a n d
b ∈ M t h e n
ab = 0i m p l i e s e i t h e r
a = 0o r
b = 0.
P r o o f . L e t p b e t h e r a n g e p r o j e c t i o n o f b a n d a p p l y t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y .
E x e r c i s e 4 . 0 . 2 5 S h o w t h a t i f
M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e
s e l f - a d j o i n t , m u l t i p l i c a t i v e l y c l o s e d s u b s e t
S , t h e n
pSpg e n e r a t e s
pMp( i f
pi s
a p r o j e c t i o n i n M
o r M
) . S h o w f u r t h e r t h a t t h e r e s u l t f a i l s i f S
i s n o t c l o s e d
u n d e r m u l t i p l i c a t i o n .
E x e r c i s e 4 . 0 . 2 6 S h o w t h a t i f
M i s a f a c t o r a n d
V a n d
W a r e n i t e d i m e n -
s i o n a l s u b s p a c e s o f M
a n d M
r e s p e c t i v e l y t h e n t h e m a p a ⊗ b → ab
d e n e s
a l i n e a r i s o m o r p h i s m b e t w e e n V
⊗W
a n d t h e s p a c e V W
s p a n n e d b y a l lvw
w i t h v ∈ V a n d w ∈ W .
E P 8 ) I fa ∈ M
a n d a = u|a|
i s t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o fa
t h e n u ∈ M
a n d |a| ∈ M
. P r o o f . B y t h e u n i q u e n e s s o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n b o t h |a|
a n d
uc o m m u t e w i t h e v e r y u n i t a r y i n
M .
E P 9 ) N o n e o f t h e t o p o l o g i e s ( e x c e p t| |− | |
) i s m e t r i z a b l e o n B(H)
b u t
t h e y a l l a r e o n t h e u n i t b a l l ( w h e n H
i s s e p a r a b l e ) a n d H
i s s e p a r a b l e f o r a l l
e x c e p t t h e n o r m t o p o l o g y .
P r o o f . F i r s t o b s e r v e t h a t a w e a k l y c o n v e r g e n t s e q u e n c e o f o p e r a t o r s i s
b o u n d e d . T h i s f o l l o w s f r o m t h e u n i f o r m b o u n d e d n e s s p r i n c i p l e a n d 2 . 1 . 5
w h i c h s h o w s h o w t o g e t t h e n o r m f r o m i n n e r p r o d u c t s .
H e r e i s t h e c u n n i n g t r i c k . L e tηi, i = 1, · · ·∞
b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f
Ha n d l e t
ei b e p r o j e c t i o n o n t o Cηi . C o n s i d e r t h e f a m i l y
em+ men : m, n =1, · · ·∞
. L e tV
a b a s i c u l t r a s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o f0
d e n e d b y
a n d ξ i : ||ξ i||2 < ∞
a n d l e t
| − |V b e t h e c o r r e s p o n d i n g s e m i n o r m , t h e n w r i t i n g
ξ i = j ξ i jη j w e h a v e
i,j |ξ i j|2 < ∞
. N o w c h o o s e m
s o t h a t
i |ξ im|2 < 2/4
a n d n
s o t h a t
i |ξ in|2 < 2/4m2
. O b s e r v i n g t h a t||en(ξ i)||2 = |ξ ni |2 w e h a v e
|em + men|V ≤ |em|V + m|en|V
2 2
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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= i ||
em
ξ ||2 + m
i ||en
ξ ||2
≤ /2 + /2
s o t h a ten + men ∈ V
.
O n t h e o t h e r h a n d n o s u b s e q u e n c e o fem + men : m, n = 1, · · ·∞
c a n
t e n d e v e n w e a k l y t o
0s i n c e i t w o u l d h a v e
t o b e b o u n d e d i n n o r m w h i c h w o u l d f o r c e s o m e x e d m
t o o c c u r i n n i t e l y
o f t e n i n t h e s e q u e n c e , p r e v e n t i n g w e a k c o n v e r g e n c e ! S o b y t h e f r e e d o m i n
c h o o s i n g m
a n d n
t o f o r c e em + men t o b e i n
V , t h e r e c a n b e n o c o u n t a b l e
b a s i s o f z e r o f o r a n y o f t h e t o p o l o g i e s ( e x c e p t o f c o u r s e t h e n o r m ) .
I f w e c o n s i d e r t h e u n i t b a l l , h o w e v e r , w e m a y c h o o s e a d e n s e s e q u e n c e ξ i o f
u n i t v e c t o r s a n d d e n e d(a, b) = [
i 2−i||(a − b)ξ i||2]1/2
w h i c h i s a m e t r i c o n
t h e u n i t b a l l d e n i n g t h e s t r o n g t o p o l o g y . ( S i m i l a r l y f o r t h e w e a k t o p o l o g y . )
W e l e a v e n o n - s e p a r a b i l i t y o fB(H)
i n t h e n o r m t o p o l o g y a s a n e x e r c i s e .
E P 1 0 ) A n a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e i s
g e n e r a t e d b y a s i n g l e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r .
P r o o f . L e t
e0, e1, e2, · · ·b e a s e q u e n c e o f p r o j e c t i o n s t h a t i s s t r o n g l y
d e n s e i n t h e s e t o f a l l p r o j e c t i o n s i n t h e A b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a A
.
L e ta = ∞
n=0
1
3n en . T h e s u m c o n v e r g e s i n t h e n o r m t o p o l o g y s o
a∈
A. T h e
n o r m o f t h e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o ra1 =
∞n=1 i s o b v i o u s l y a t m o s t
1/2s o t h a t
t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n f o r t h e i n t e r v a l[3/4, 2]
f o ra
i se0 . C o n t i n u i n g i n t h i s
w a y w e s e e t h a t a l l t h e ens
a r e i n a
.
T h i s r e l e g a t e s t h e s t u d y o f A b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a s t o t h e s p e c t r a l
t h e o r e m . O n e c a n s h o w t h a t a n y A b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a o n a s e p a -
r a b l e H i l b e r t s p a c e i s i s o m o r p h i c t o e i t h e r∞(0, 1, · · · , n)
( w h e r e n = ∞
i s a l l o w e d ) o r
L∞([0, 1], dx)o r a d i r e c t s u m o f t h e t w o . T h i s i s u p t o a b -
s t r a c t a l g e b r a i s o m o r p h i s m . T o u n d e r s t a n d t h e a c t i o n o n a H i l b e r t s p a c e ,
m u l t i p l i c i t y m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t .
2 3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 5
F i n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n
a l g e b r a s a n d t y p e I f a c t o r s .
5 . 1 D e n i t i o n o f t y p e I f a c t o r .
T h e r s t c r u c i a l r e s u l t a b o u t f a c t o r s ( r e m e m b e r a f a c t o r i s a v o n N e u m a n n
a l g e b r a w i t h t r i v i a l c e n t r e ) w i l l b e t h e f o l l o w i n g e r g o d i c p r o p e r t y .
T h e o r e m 5 . 1 . 1 I f
M i s a f a c t o r a n d
pa n d
q a r e n o n - z e r o p r o j e c t i o n s i n
M t h e r e i s a n
x
∈M
w i t h pxq
= 0
. M o r e o v e r x
c a n b e c h o s e n t o b e u n i t a r y .
P r o o f . S u p p o s e t h a t f o r a n y u n i t a r y u ∈ M
,puq = 0
. T h e n u∗ puq = 0
a n d W
u∈M u∗ pu
q = 0
. B u t c l e a r l y
W
u∈M u∗ pu
c o m m u t e s w i t h a l l u n i t a r i e su ∈ M
s o i s t h e i d e n t i t y .
T h e r e a s o n w e h a v e c a l l e d t h i s a n e r g o d i c p r o p e r t y i s b e c a u s e o f a p e r -
v a s i v e a n a l o g y w i t h m e a s u r e - t h e o r e t i c d y n a m i c a l s y s t e m s ( a n d i t w i l l b e c o m e
m u c h m o r e t h a n a n a n a l o g y ) . A t r a n s f o r m a t i o n T : (X, µ) → (X, µ)
p r e -
s e r v i n g t h e m e a s u r e µ
i s c a l l e d e r g o d i c i fT −1(A) ⊆ A
i m p l i e sµ(A) = 0
o r
µ(X \ A) = 0f o r a m e a s u r a b l e
A ⊆ X . I f
T i s i n v e r t i b l e o n e c a n t h e n s h o w
t h a t t h e r e i s , f o r a n y p a i rA
⊂X
a n d B
⊂X
o f n o n - n u l l s e t s , a p o w e rT n
o f T s u c h t h a t µ(T n(A) ∩ B) = 0 . O r , a s o p e r a t o r s o n L2(X, µ) , AT N B = 0w h e r e w e i d e n t i f y
Aa n d
Bw i t h t h e m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r s b y t h e i r c h a r -
a c t e r i s t i c f u n c t i o n s . T h e p r o o f i s t h e s a m e t h e u n i o n o f a l lT n(A)
i s c l e a r l y
i n v a r i a n t , t h u s m u s t d i e r f r o m a l l o fX
b y a s e t o f m e a s u r e 0
.
C o r o l l a r y 5 . 1 . 2 L e t
pa n d
q b e n o n - z e r o p r o j e c t i o n s i n a f a c t o r
M . T h e n
t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y
u( = 0
) i n
M w i t h
uu∗ ≤ pa n d
u∗u ≤ q .
pa n d
qh a d b e e n s w a p p e d
a r o u n d i n t h e p r o o f , s o w e
i n t e r c h a n g e d uu∗ a n d u∗ui n t h e s t a t e m e n t .
P r o o f . L e tu
b e t h e p a r t i a l i s o m e t r y o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o fpxq
f o rx
s u c h t h a t pxq = 0
.
2 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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D e n i t i o n 5 . 1 . 3 I f
M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a , a n o n - z e r o p r o j e c t i o n
p ∈ M i s c a l l e d m i n i m a l , o r a n a t o m , i f (q ≤ p) ⇒ (q = 0 or q = p).
E x e r c i s e 5 . 1 . 4 S h o w t h a t
pi s m i n i m a l i n
M i
pMp = C p.
D e n i t i o n 5 . 1 . 5 A f a c t o r w i t h a m i n i m a l p r o j e c t i o n i s c a l l e d a t y p e I f a c -
t o r .
5 . 2 C l a s s i c a t i o n o f a l l t y p e I f a c t o r s
W e w i l l c l a s s i f y a l l t y p e I f a c t o r s q u i t e e a s i l y . W e b e g i n w i t h t h e m o d e l ,
w h i c h w e h a v e a l r e a d y s e e n .
L e t
B(H)⊗1b e t h e c o n s t a n t d i a g o n a l m a t r i c e s o n
H⊗K. I t s c o m m u t a n t
1⊗B(K)w i l l b e o u r m o d e l . I t i s t h e a l g e b r a o f a l l m a t r i c e s d e n i n g b o u n d e d
o p e r a t o r s w i t h e v e r y m a t r i x e n t r y b e i n g a s c a l a r m u l t i p l e o f t h e i d e n t i t y
m a t r i x o n H
. A m a t r i x w i t h a s i n g l e 1
o n t h e d i a g o n a l a n d z e r o s e l s e w h e r e
i s o b v i o u s l y a m i n i m a l p r o j e c t i o n .
T h e o r e m 5 . 2 . 1 I f
M i s a t y p e I f a c t o r o f a H i l b e r t s p a c e
L, t h e r e a r e H i l b e r t
s p a c e s H
a n d K
a n d a u n i t a r y u : L → H ⊗ K
w i t h uMu∗ = B(H) ⊗ 1
.
P r o o f . L e t p1, p2,... b e a m a x i m a l f a m i l y o f m i n i m a l p r o j e c t i o n s i n M s u c h t h a t
pi p j = 0f o r
i = j. ( W e a s s u m e f o r c o n v e n i e n c e t h a t
Li s s e p a r a b l e .
O u r r s t c l a i m i s t h a t
i pi = 1
s o t h a tL = ⊕i piL. F o r i f
1 − i pi w e r e
n o n z e r o , b y c o r o l l a r y 5 . 1 . 2 t h e r e w o u l d b e a u = 0
w i t h uu∗ ≤ p1 a n d
u∗u ≤1 −
i pi . B y m i n i m a l i t y uu∗
i s m i n i m a l a n d h e n c e s o i su∗u
c o n t r a d i c t i n g
m a x i m a l i t y o f t h e
pi . N o w f o r e a c h
ic h o o s e a n o n - z e r o p a r t i a l i s o m e t r y
e1iw i t h
e1ie∗1i ≤ p1 a n d
e∗1ie1i ≤ pi . B y m i n i m a l i t y e1ie
∗1i = p1 a n d
e∗1ie1i = pi .
T h e n M
i s g e n e r a t e d b y t h e e1i ' s , f o r i f
a ∈ M w e h a v e
a =i,j piap j t h e s u m
c o n v e r g i n g i n t h e s t r o n g t o p o l o g y , a n d piap j = e∗1ie1iae∗1 je1 j ∈ p1Mp1 = C p1 .
T h u s t h e r e a r e s c a l a r sλij s o t h a t
a = i,j λije∗1ie1 j . ( T h e d e t a i l s o f t h e
c o n v e r g e n c e o f t h e s u m a r e u n i m p o r t a n t w e j u s t n e e d t h a t a b e i n t h e
s t r o n g c l o s u r e o f n i t e s u m s . )
I fn
i s t h e c a r d i n a l i t y o f pi, l e t
X = 1, 2,...,na n d d e n e t h e m a p
u : 2(X, p1L) → Lb y
uf =i
e∗1if (i).
O b s e r v e t h a tu
i s u n i t a r y a n d u∗e1iu i s a m a t r i x o n
2(X, p1L)w i t h a n i d e n t i t y
o p e r a t o r i n t h e (1, i)
p o s i t i o n a n d z e r o s e l s e w h e r e . T h e a l g e b r a g e n e r a t e d b y
t h e s e m a t r i c e s i sB(2(X )) ⊗ 1
o n 2(X ) ⊗ p1L a n d w e a r e d o n e .
2 6
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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R e m a r k 5 . 2 . 2 T h e i m p o r t a n c e o f b e i n g s p a t i a l .
W e a v o i d e d a l l k i n d s o f p r o b l e m s i n t h e p r e v i o u s t h e o r e m b y c o n s t r u c t i n g
o u r i s o m o r p h i s m u s i n g a u n i t a r y b e t w e e n t h e u n d e r l y i n g H i l b e r t s p a c e s . I n
g e n e r a l g i v e n v o n N e u m a n n a l g e b r a s M
a n d N
g e n e r a t e d b y S
a n d T
r e s p e c -
t i v e l y , t o c o n s t r u c t a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n
M a n d
N i t s u c e s t o c o n s t r u c t
( i f p o s s i b l e ! ! ! ) a u n i t a r y u
b e t w e e n t h e i r H i l b e r t s p a c e s s o t h a tT
i s c o n t a i n e d
i n
uSu∗. T o t r y t o c o n s t r u c t a n i s o m o r p h i s m d i r e c t l y o n
S c o u l d b e a r d u o u s
a t b e s t .
5 . 3 T e n s o r p r o d u c t o f v o n N e u m a n n a l g e b r a s .
I fM
i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n H
a n d N
i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
Kw e d e n e
M ⊗ N t o b e t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
H ⊗ Kg e n e r a t e d b y
w h e n y o u u s e \h, m a k e s u r e
i t ' s e n c l o s e d i n $ s i g n sx ⊗ y : x ∈ M, y ∈ N .
E x e r c i s e 5 . 3 . 1 S h o w t h a t
M ⊗ N c o n t a i n s t h e a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t
M ⊗alg N a s a s t r o n g l y d e n s e * - s u b a l g e b r a .
D e n i t i o n 5 . 3 . 2 L e t
M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a . A s y s t e m o f m a t r i x
u n i t s ( s . m . u . ) o f s i z e n
i n M
i s a f a m i l y eij : i, j = 1, 2,...,n
( n = ∞
a l l o w e d ) s u c h t h a t
( i )
e∗ij = e ji .
( i i )eijekl = δ j,leil
( i i i )
i eii = 1
.
E x e r c i s e 5 . 3 . 3 S h o w t h a t i f
eij; i, j = 1,...,ni s a n s . m . u . i n a v o n
N e u m a n n a l g e b r a
M , t h e n t h e
eij g e n e r a t e a t y p e I f a c t o r i s o m o r p h i c t o
B(2(1, 2,...,n))a n d t h a t
M i s i s o m o r p h i c ( u n i t a r i l y e q u i v a l e n t t o i n t h i s
i n s t a n c e ) T h e v o n N e u m a n n a l g e b r a e11Me11 ⊗ B(2(1, 2,...,n))
.
5 . 4 M u l t i p l i c i t y a n d n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u -
m a n n a l g e b r a s .
T h e o r e m 5 . 2 . 1 s h o w s t h a t t y p e I f a c t o r s o n H i l b e r t s p a c e a r e c o m p l e t e l y
c l a s s i e d b y t w o c a r d i n a l i t i e s(n1, n2)
a c c o r d i n g t o :
n1 =r a n k o f a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n
M , a n d
n2 =r a n k o f a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n
M .
2 7
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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W e s e e t h a t t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m s p l i t s i n t o a b s t r a c t i s o m o r p h i s m
( d e t e r m i n e d b y n2 a l o n e ) , a n d s p a t i a l i s o m o r p h i s m , i . e . u n i t a r y e q u i v a l e n c e .
A t y p e I n f a c t o r i s b y d e n i t i o n o n e f o r w h i c h n = n2 . I t i s a b s t r a c t l y
i s o m o r p h i c t o B(H)
w i t h dim H = n
. T h e i n t e g e rn1 i s o f t e n c a l l e d t h e
m u l t i p l i c i t y o f t h e t y p e I f a c t o r .
W e w i l l n o w d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e o f a l l n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u -
m a n n a l g e b r a s q u i t e e a s i l y . N o t e t h a t i n t h e f o l l o w i n g t h e r e i s n o r e q u i r e m e n t
t h a tH
b e n i t e d i m e n s i o n a l .
T h e o r e m 5 . 4 . 1 L e t
M b e a n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
t h e H i l b e r t s p a c e H
. T h e n M
i s a b s t r a c t l y i s o m o r p h i c t o ⊕ki=1M ni(C)
f o r
s o m e p o s i t i v e i n t e g e r s k, n1, n2,...,nk . ( M n(C) i s t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a
o f a l ln × n
m a t r i c e s o n n
- d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e . ) M o r e o v e r t h e r e a r e
H i l b e r t s p a c e s Ki a n d a u n i t a r y
u : ⊕i2(X i, Ki) → H( w i t h
|X i| = ni ) w i t h
u∗Mu = ⊕iB(2(X i)) ⊗ 1.
P r o o f . T h e c e n t r e Z (M )
i s a n i t e d i m e n s i o n a l a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a
. I f p
i s a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n Z (M )
,pMp
i s a f a c t o r o n pH
. T h e t h e o r e m
f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e o r e m 5 . 2 . 1 a n d t h e s i m p l e f a c t s t h a tZ (M ) =
⊕ki=1 piC w h e r e t h e
pi a r e t h e m i n i m a l p r o j e c t i o n s i n
Z (M )( T w o d i s t i n c t
m i n i m a l p r o j e c t i o n s p
a n d q
i n Z (M )
s a t i s f y pq = 0
) , a n d M = ⊕i piMpi .
T h e s u b j e c t o f n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n a l g e b r a s i s t h u s r a t h e r
s i m p l e . I t b e c o m e s s l i g h t l y m o r e i n t e r e s t i n g i f o n e c o n s i d e r s s u b a l g e b r a s N ⊆M
. L e t u s d e a l r s t w i t h t h e f a c t o r c a s e o f t h i s . L e t u s p o i n t o u t t h a t t h e
i d e n t i t y o fM
i s t h e s a m e a s t h a t o fN
.
T h e o r e m 5 . 4 . 2 I f
M i s a t y p e I n f a c t o r , i t s t y p e
I m f a c t o r s a r e a l l u n i q u e l y
d e t e r m i n e d , u p t o c o n j u g a t i o n b y u n i t a r i e s i n M
, b y t h e i n t e g e r ( o r ∞
)
k > 0s u c h t h a t
pMpi s a t y p e I k f a c t o r ,
pb e i n g a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n
t h e s u b f a c t o r N
a n d mk = n
.
P r o o f . L e tN 1 a n d
N 2 b e t y p e I m s u b f a c t o r s w i t h g e n e r a t i n g s . m . u . ' seij
a n d
f ij
r e s p e c t i v e l y . I fk
i s t h e i n t e g e r ( i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m )
f o rN − 1
t h e n 1 =
m1 eii a n d e a c h
eii i s t h e s u m o fk
m u t u a l l y o r t h o g o n a l
m i n i m a l p r o j e c t i o n s o fM
, h e n c e n = mk
. T h e s a m e a r g u m e n t a p p l i e s t o
N 2 . B u i l d a p a r t i a l i s o m e t r y u
w i t h uu∗ = e11 a n d
u∗u = f 11 b y a d d i n g
t o g e t h e r p a r t i a l i s o m e t r i e s b e t w e e n m a x i m a l f a m i l i e s o f m u t u a l l y o r t h o g o n a l
p r o j e c t i o n s l e s s t h a n e11 a n d
f 11 r e s p e c t i v e l y . T h e n i t i s e a s y t o c h e c k t h a t
w =i e j1uf 1 j i s a u n i t a r y w i t h
wf klw∗ = ekl . S o
wN 2w∗ = N 1 .
N o w w e c a n d o t h e g e n e r a l ( n o n - f a c t o r ) c a s e . I fN = ⊕ni=1M ki(C)
a n d
M = ⊕m j=1M rj (C)a n d
N ⊆ M a s v o n N e u m a n n a l g e b r a s , l e t
p j b e m i n i m a l
2 8
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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c e n t r a l p r o j e c t i o n s i n M
a n d q i b e t h o s e o f
N . T h e n f o r e a c h
(i, j),
p jq iM q i p ji s a f a c t o r a n d p jq iN i s a s u b f a c t o r s o w e m a y f o r m t h e m a t r i x Λ = (λij)w h e r e
λij i s t h e i n t e g e r a s s o c i a t e d w i t h p jq iN ⊆ p jq iMq i p j b y t h e o r e m 5 . 4 . 2 .
E x e r c i s e 5 . 4 . 3 S h o w t h a t t h e i n t e g e r
λij d e n e d a b o v e i s t h e f o l l o w i n g : i f
ei i s a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n t h e f a c t o r q iN
,λij =
t r a c e o f t h e m a t r i x p jei ∈
M rjC.
E x a m p l e . L e t
M = M 5(C) ⊕ M 3(C)a n d
N b e t h e s u b a l g e b r a o f m a t r i c e s o f
t h e f o r m :
X 0 00 X 00 0 z
⊕ X 00 z
w h e r e z ∈ C a n d
X i s a
2×2m a t r i x . T h e n
N i s i s o m o r p h i c t o
M 2(C)⊕Ca n d i f
p1 = 1 ⊕ 0,
q 1 = 1 ⊕ 0, e t c . , w e h a v e
Λ =
2 11 1
.
T h e m a t r i x Λ
i s o f t e n r e p r e s e n t e d b y a b i p a r t i t e g r a p h w i t h t h e n u m b e r
o f e d g e s b e t w e e n i a n d j b e i n g λij . T h e v e r t i c e s o f t h e g r a p h a r e l a b e l l e d b y
t h e s i z e o f t h e c o r r e s p o n d i n g m a t r i x a l g e b r a s . T h u s i n t h e a b o v e e x a m p l e
t h e p i c t u r e w o u l d b e :
T h i s d i a g r a m i s c a l l e d t h e B r a t t e l i d i a g r a m f o rN ⊆ M
.
E x e r c i s e 5 . 4 . 4 G e n e r a l i s e t h e a b o v e e x a m p l e t o s h o w t h a t t h e r e i s a n i n c l u -
s i o n N ⊆ M
c o r r e s p o n d i n g t o a n y B r a t t e l i d i a g r a m w i t h a n y s e t o f d i m e n -
s i o n s f o r t h e s i m p l e c o m p o n e n t s o f N
.
5 . 5 A d i g r e s s i o n o n i n d e x .
I fN ⊆ M
a r e t y p e I f a c t o r s w e h a v e s e e n t h a t t h e r e i s a n i n t e g e rk
( p o s s i b l y
∞) s u c h t h a t
M i s t h e a l g e b r a o f
k × km a t r i c e s o v e r
N . I f
k < ∞,
M i s
t h u s a f r e e l e f t N - m o d u l e o f r a n k k2
. I t s e e m s r e a s o n a b l e t o c a l l t h e n u m b e r
k2t h e i n d e x o f
N i n
M a n d w r i t e i t
[M : N ]. T h i s i s b e c a u s e , i f
H < Ga r e g r o u p s a n d
CH ⊆ CGt h e i r g r o u p a l g e b r a s , t h e c o s e t d e c o m p o s i t i o n o f
Gs h o w s t h a t
CGi s a f r e e l e f t
CH - m o d u l e o f r a n k
[G : H ].
2 9
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C h a p t e r 6
K a p l a n s k y D e n s i t y T h e o r e m .
6 . 1 S o m e s i m p l e b u t t e l l i n g r e s u l t s o n l i n e a r
f u n c t i o n a l s .
W e b e g i n w i t h a r e s u l t a b o u t l i n e a r f u n c t i o n a l s o f i n d e p e n d e n t i n t e r e s t .
T h e o r e m 6 . 1 . 1 L e t
V b e a s u b s p a c e o f
B(H)a n d l e t
φ : V → Cb e a l i n e a r
f u n c t i o n a l . T . F . A . E .
( i ) T h e r e a r e v e c t o r s i n
H,
ξ 1, ξ 2,...,ξ n a n d
η1, η2,...,ηn w i t h
φ(x) =ni=1
xξ i, ηi
( i i )φ
i s w e a k l y c o n t i n u o u s .
( i i i )φ
i s s t r o n g l y c o n t i n u o u s .
P r o o f . ( i )⇒
( i i )⇒
( i i i ) a r e o b v i o u s , s o s u p p o s e φ
i s s t r o n g l y c o n t i n u o u s .
T h e n l e tν 1,...,ν n b e v e c t o r s s u c h t h a t
||xν i|| < 1 ∀i ⇒ |φ(x)| < 1f o r
x ∈ V . T h e n t h e r e i s a c o n s t a n t
K > 0s o t h a t
|φ(x)| < K
i ||xν i||2 . L e t
ν = ν 1⊕
...ν n∈ ⊕
i
Ha n d l e t
K= (V
⊗1)(ν )
. T h e n d e n e φ
o n V
⊗1(ν )
b y
φ(⊕ixν i) = φ(x). O b s e r v e t h a t
φi s w e l l - d e n e d a n d c o n t i n u o u s s o e x t e n d s t o
Ka n d t h e r e i s a v e c t o r
ξ = ⊕ξ i ∈ Kw i t h
φ(x) = φ(x⊗1)(ν ) = (x⊗1)(ν ), ξ .
E x e r c i s e 6 . 1 . 2 R e p l a c e w e a k a n d s t r o n g b y u l t r a w e a k a n d u l t r a s t r o n g , a n d
t h e n i t e s e q u e n c e s o f v e c t o r s b y 2
- c o n v e r g e n t o n e s i n t h e p r e v i o u s t h e o r e m .
C o r o l l a r y 6 . 1 . 3 I f
C i s a c o n v e x s u b s e t o f
B(H), i t s w e a k a n d s t r o n g c l o -
s u r e s c o i n c i d e .
3 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . T w o l o c a l l y c o n v e x v e c t o r s p a c e s w i t h t h e s a m e c o n t i n u o u s l i n e a r
f u n c t i o n a l s h a v e t h e s a m e c l o s e d c o n v e x s e t s . T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f t h e
H a h n - B a n a c h t h e o r e m t o b e f o u n d i n a n y t e x t o n f u n c t i o n a l a n a l y s i s .
.
C o r o l l a r y 6 . 1 . 4 I f
dim H = ∞t h e s t r o n g a n d u l t r a s t r o n g t o p o l o g i e s d i e r
o n B(H)
.t h e p r o o f h e r e a c t u a l l y
p r o v e s t h a t t h e w e a k a n d
u l t r a w e a k t o p o l o g i e s d i e r ,
a n d t o g e t t h e r e s u l t h e r e
w e n e e d t o u s e t h e p r e v i o u s
e x e r c i s e
P r o o f . L e t(ξ i) b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f
Ha n d l e t
ω(x) =i
1n2
xξ i, ξ i .
T h e n
ωi s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s b u t n o t s t r o n g l y c o n t i n u o u s . F o r i f i t w e r e
w e a k l y c o n t i n u o u s i t w o u l d b e o f t h e f o r m
ni=1xν i, ηi a n d
ω( p) = 0w h e r e
pi s t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f t h e v e c t o r s p a c e s p a n n e d
b y t h e ν i . B u t b y p o s i t i v i t y
ω( p) = 0f o r c e s
p(ξ i) = 0f o r a l l
i.
6 . 2 T h e t h e o r e m
I n o u r d i s c u s s i o n o fvN (Γ)
w e a l r e a d y m e t t h e d e s i r a b i l i t y o f h a v i n g a n o r m -
b o u n d e d s e q u e n c e o f o p e r a t o r s c o n v e r g i n g t o a n e l e m e n t i n t h e w e a k c l o s u r e
o f a * - a l g e b r a o f o p e r a t o r s . T h i s i s n o t g u a r a n t e e d b y t h e v o n N e u m a n n
d e n s i t y t h e o r e m . T h e K a p l a n s k y d e n s i t y t h e o r e m l l s t h i s g a p .
T h e o r e m 6 . 2 . 1 L e t
Ab e a * - s u b a l g e b r a o f
B(H). T h e n t h e u n i t b a l l o f
Ai s s t r o n g l y d e n s e i n t h e u n i t b a l l o f t h e w e a k c l o s u r e
M o f
A, a n d t h e s e l f -
a d j o i n t p a r t o f t h e u n i t b a l l o f A
i s s t r o n g l y d e n s e i n t h e s e l f - a d j o i n t p a r t o f
t h e u n i t b a l l o f M
.
P r o o f . B y E P 6 ) w e m a y a s s u m e
1 ∈ M a n d t h e w o r r i e d r e a d e r m a y c h e c k
t h a t w e n e v e r i n f a c t s u p p o s e 1 ∈ A
. W e m a y f u r t h e r s u p p o s e t h a tA
i s
n o r m - c l o s e d , i . e . a C
∗- a l g e b r a . C o n s i d e r t h e c l o s u r e o f
Asa , t h e s e l f - a d j o i n t
p a r t o fA
. T h e * o p e r a t i o n i s w e a k l y c o n t i n u o u s s o i fxα i s a n e t c o n v e r g i n g
t o t h e s e l f - a d j o i n t e l e m e n t
x ∈ M ,
xα+x∗α2 c o n v e r g e s t o
xs o t h e w e a k c l o s u r e
o fAsa i s e q u a l t o
M sa .
L e t u s n o w p r o v e t h e s e c o n d a s s e r t i o n o f t h e t h e o r e m . L e tx = x∗
∈M
,
||x|| < 1 , a n d ξ 1,...,ξ n, > 0 d e n e a s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o f x. W e m u s t
c o m e u p w i t h a y ∈ Asa ,
||y|| < 1, w i t h
||(x−y)ξ i|| < . T h e f u n c t i o n
t → 2t1+t2
i s a h o m e o m o r p h i s m o f[−1, 1]
o n t o i t s e l f . S o b y t h e s p e c t r a l t h e o r e m w e m a y
c h o o s e a n X ∈ M sa w i t h
||X || ≤ 1, s o t h a t
2X 1+X 2
= x. N o w b y s t r o n g d e n s i t y
c h o o s e
Y ∈ Asa w i t h
||Y xξ i − Xxξ i|| < ,a n d
|| Y
1 + X 2ξ i − X
1 + X 2ξ i|| < /4.
P u ty = 2Y
1+Y 2a n d n o t e t h a t
||y|| ≤ 1.
3 2
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 33/121
N o w c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g e q u a l i t i e s :
y − x =2Y
1 + Y 2− 2X
1 + X 2
= 2(1
1 + Y 2(Y (1 + X 2) − (1 + Y 2)X )
1
1 + X 2)
= 2(1
1 + Y 2(Y − X )
1
1 + X 2+
Y
1 + Y 2(X − Y )
X
1 + X 2)
=2
1 + Y 2(Y − X )
1
1 + X 2+
1
2y(X − Y )x.
B y t h e c h o i c e o f Y , w e s e e t h a t ||(y − x)ξ i|| < . T h i s p r o v e s d e n s i t y f o r
t h e s e l f - a d j o i n t p a r t o f t h e u n i t b a l l .
N o w c o n s i d e r a g e n e r a lx ∈ M
w i t h ||x|| ≤ 1
. T h e t r i c k i s t o f o r m 0 x
x∗ 0
∈ M ⊗M 2(C).
S t r o n g c o n v e r g e n c e o f a n e t
aα bαcα dα
t o
a bc d
i s e q u i v a l e n t t o s t r o n g c o n v e r g e n c e o f t h e m a t r i x e n t r i e s s o
A ⊗ M 2(C)i s
s t r o n g l y d e n s e i n
M ⊗M 2(C). M o r e o v e r i f
aα bαcα dα
→
0 x
x∗ 0
s t r o n g l y
t h e n
bα t e n d s s t r o n g l y t o
x. A n d
||bα|| ≤ 1f o l l o w s f r o m | |
aα bαcα dα
|| ≤ 1
a n d
bαξ, η = aα bαcα dα
0ξ
,
η0
.
C o r o l l a r y 6 . 2 . 2 I f
M i s a * - s u b a l g e b r a o f
B(H)c o n t a i n i n g
1t h e n
M i s a
v o n N e u m a n n a l g e b r a i t h e u n i t b a l l o f
M i s w e a k l y c o m p a c t .
P r o o f . T h e u n i t b a l l o fM
i s w e a k l y c l o s e d s i n c e t h e n o r m t o p o l o g y i s s t r o n g e r
t h a n t h e w e a k t o p o l o g y , a n d a c l o s e d s u b s e t o f a c o m p a c t s e t i s c o m p a c t .t h i s p r o o f i s w r o n g !
C o n v e r s e l y , i f t h e u n i t b a l l o fM
i s w e a k l y c o m p a c t , t h e n i t i s w e a k l y
c l o s e d . L e t
xb e i n t h e w e a k c l o s u r e o f
M . B y K a p l a n s k y d e n s i t y t h e r e i s a
n e txα w e a k l y c o n v e r g i n g t o
xw i t h
||xα
|| ≤1
. H e n c e x
∈M
.
3 3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 7
C o m p a r i s o n o f P r o j e c t i o n s a n d
T y p e I I 1 F a c t o r s .
7 . 1 O r d e r o n p r o j e c t i o n s
D e n i t i o n 7 . 1 . 1 I f
pa n d
q a r e p r o j e c t i o n s i n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M
w e s a y t h a t p q
i f t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y u ∈ M
w i t h uu∗ = p
a n d
u∗u ≤ q . W e s a y t h a t
pa n d
q a r e e q u i v a l e n t ,
p ≈ q i f t h e r e i s a p a r t i a l
i s o m e t r y u ∈ M
w i t h uu∗ = p
a n d u∗u = q
.
O b s e r v e t h a t≈
i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n .
T h e o r e m 7 . 1 . 2 T h e r e l a t i o n
i s a p a r t i a l o r d e r o n t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s
o f p r o j e c t i o n s i n a v o n N e u m a n n a l g e b r a .
P r o o f . T r a n s i t i v i t y f o l l o w s b y c o m p o s i n g p a r t i a l i s o m e t r i e s . T h e i s s u e i s t o
s h o w t h a t
e f a n d
f ei m p l y
e ≈ f . C o m p a r e t h i s s i t u a t i o n w i t h s e t s
a n d t h e i r c a r d i n a l i t i e s .
L e t
ua n d
vs a t i s f y
uu∗ = e, u∗u ≤ f a n d
vv∗ = f, v∗v ≤ e. N o t e t h e
p i c t u r e :
W e d e n e t h e t w o d e c r e a s i n g s e q u e n c e s o f p r o j e c t i o n s e0 = e, en+1 =v∗f nv
a n d f 0 = f, f n+1 = u∗enu
. T h e d e c r e a s i n g p r o p e r t y f o l l o w s b y i n d u c -
t i o n s i n c e
p → v∗ pvg i v e s a n o r d e r p r e s e r v i n g m a p f r o m p r o j e c t i o n s i n
M l e s s t h a n
f t o - .
p r o j e c t i o n s i n
M l e s s t h a n
ea n d s i m i l a r l y i n t e r c h a n g i n g t h e r o l e s o f
e
a n d f
,v
a n d u
. L e te∞ =
∞i=0
ei a n d f ∞ =
∞i=0
f i . N o t e t h a tv∗f ∞v = e∞ a n d
f ∞vv∗f ∞ = f ∞ s o t h a te∞ ≈ f ∞ . A l s o
e = (e − e1) + (e1 − e2) + · · · + e∞ a n d
f = (f −f 0)+(f 1−f 2)+ · · ·+f ∞ a r e s u m s o f m u t u a l l y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s .
3 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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B u t f o r e a c h e v e n i
,u∗(ei
−ei+1)u = f i+1
−f i+2 s o
ei
−ei+1
≈f i+1
−f i+2 ,
a n d v∗(f i − f i+1)v = ei+1 − ei+2 s o o n e m a y a d d u p , i n t h e s t r o n g t o p o l o g y ,
a l l t h e r e l e v a n t p a r t i a l i s o m e t r i e s t o o b t a i n a n e q u i v a l e n c e b e t w e e n e
a n d f
.
N o t e t h a t i f w e h a d b e e n d e a l i n g w i t h vN (Γ)
t h i s a r g u m e n t w o u l d h a v e
b e e n u n n e c e s s a r y a s w e c o u l d h a v e u s e d t h e t r a c e :
tr(v∗v) ≤ tr(e) = tr(uu∗) = tr(u∗u) ≤ tr(f ) = tr(vv∗) = tr(v∗v)
s o t h a ttr(e − v∗v) = 0
w h i c h i m p l i e se = v∗v
. H o w e v e r i n g e n e r a l i t i s
c e r t a i n l y p o s s i b l e t o g e t a p r o j e c t i o n e q u i v a l e n t t o a p r o p e r s u b p r o j e c t i o n o f
i t s e l f . J u s t t a k e t h e u n i l a t e r a l s h i f t o n B(2(N)) w h i c h e x h i b i t s a n e q u i v a l e n c e
b e t w e e n 1
a n d t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f t h e r s t
b a s i s v e c t o r . T h i s i s a n a l o g o u s t o t h e n o t i o n o f a n i n n i t e s e t o n e w h i c h i s
i n b i j e c t i o n w i t h a p r o p e r s u b s e t o f i t s e l f .
D e n i t i o n 7 . 1 . 3 A p r o j e c t i o n
pi n a v o n N e u m a n n a l g e b r a
M i s c a l l e d i n -
n i t e i f
p ≈ q f o r s o m e
q < p,
p = q . O t h e r w i s e
pi s c a l l e d n i t e . A v o n
N e u m a n n a l g e b r a i s c a l l e d n i t e i f i t s i d e n t i t y i s n i t e , a n d i t i s c a l l e d p u r e l y
i n n i t e i f i t h a s n o n i t e p r o j e c t i o n s o t h e r t h a n
0. A f a c t o r i s c a l l e d i n n i t e
i f i t s i d e n t i t y i s i n n i t e .
W e w i l l s h o w t h a t p u r e l y i n n i t e v o n N e u m a n n a l g e b r a s e x i s t t h o u g h i t w i l l
n o t b e e a s y .
R e m a r k 7 . 1 . 4 I f
dim H = ∞t h e n
B(H)i s i n n i t e .
R e m a r k 7 . 1 . 5 A f a c t o r w i t h a t r a c e l i k e
vN (Γ)i s n i t e .
R e m a r k 7 . 1 . 6 E v e r y p r o j e c t i o n i n a n i t e v o n N e u m a n n a l g e b r a i s n i t e .
O r , m o r e s t r o n g l y , i f
p ≤ q a n d
q i s n i t e t h e n
pi s n i t e .
F o r i f p ≈ p, p < p, p = p
t h e n p + (q − p) ≈ p + (q − p) = q
.
R e m a r k 7 . 1 . 7 I f
M i s a n y v o n N e u m a n n a l g e b r a ,
1i s a n i n n i t e p r o j e c t i o n
i n M ⊗ B(H)
i f dim H = ∞
.
T h e o r e m 7 . 1 . 8 I f
M i s a f a c t o r a n d
p, q a r e p r o j e c t i o n s i n
M , e i t h e r
p q o r
q p.
3 6
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . C o n s i d e r t h e f a m i l y o f p a r t i a l i s o m e t r i e su
w i t h uu∗
≤p, u∗u
≤q
.
T h i s s e t i s p a r t i a l l y o r d e r e d b y u ≤ v i f u∗u ≤ v∗v a n d v = u o n t h e i n i t i a l
d o m a i n u∗uH
o fu
. T h i s p a r t i a l l y o r d e r e d s e t s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t s f o r
Z o r n ' s l e m m a s o l e tu
b e a m a x i m a l e l e m e n t i n i t . I fu∗u = q
o ruu∗ = p
w e
a r e d o n e s o s u p p o s e q − u∗u
a n d p − uu∗
a r e b o t h n o n - z e r o . T h e n b y 5 . 1 . 1
t h e r e i s a v = 0
w i t h v∗v ≤ q − u∗u
a n d vv∗ ≤ p − uu∗
. B u t t h e n u + v
i s
l a r g e r t h a n u
w h i c h w a s s u p p o s e d m a x i m a l .
E x e r c i s e 7 . 1 . 9 S h o w t h a t t w o e q u i v a l e n t p r o j e c t i o n s
pa n d
q i n a n i t e f a c -
t o r
M a r e u n i t a r i l y e q u i v a l e n t , i . e . t h e r e i s a u n i t a r y
u ∈ M w i t h
upu∗ = q .
W e s e e t h a t t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s i n a f a c t o r f o r m a t o t a l l y
o r d e r e d s e t . I t i s k n o w n t h a t , o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e , t h e p o s s i b l e
i s o m o r p h i s m t y p e s f o r t h i s s e t
a r e :W e a d d e d 0 t o t h e l i s t f o r
t y p e I n
, s o t h e c o m m e n t
b e l o w a b o u t t y p e III a n d
t y p e I 1 m a k e s s e n s e
1 )0, 1, 2,...,n
w h e r e n = ∞
i s a l l o w e d . t y p e I n
2 )[0, 1]
t y p e I I 1
3 )
[0, ∞] t y p e I I ∞
4 )0, ∞
t y p e I I I
S t r i c t l y s p e a k i n g t h i s i s n o n s e n s e a s t y p e I I I i s t h e s a m e a s t y p e I 1 a n d
I I 1 i s t h e s a m e a s I I ∞ . W e m e a n n o t o n l y t h e o r d e r t y p e b u t w h e t h e r1
i s
i n n i t e o r n o t .
O b s e r v e t h a t t h e t y p e I I 1 c a s e c e r t a i n l y e x i s t s . W e s a w t h a t vN (F 2)h a s p r o j e c t i o n s o f a n y t r a c e b e t w e e n
0a n d
1. B y t h e p r e v i o u s t h e o r e m
i t i s c l e a r t h a t t h e t r a c e g i v e s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e o r d e r e d s e t o f
e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s a n t t h e u n i t i n t e r v a l . W e w i l l p r o c e e d t o
p r o v e a s t a t e m e n t g e n e r a l i s i n g t h i s c o n s i d e r a b l y .
D e n i t i o n 7 . 1 . 1 0 A t y p e I I 1 f a c t o r i s a n i n n i t e d i m e n s i o n a l f a c t o r
M o n
Ha d m i t t i n g a n o n - z e r o l i n e a r f u n c t i o n
tr : M → Cs a t i s f y i n g
( i )tr(ab) = tr(ba)
( i i )
tr(a
∗
a) ≥ 0( i i i )
tri s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s .
T h e t r a c e i s s a i d t o b e n o r m a l i s e d i f tr(1) = 1
.
D e n i t i o n 7 . 1 . 1 1 I n g e n e r a l a l i n e a r f u n c t i o n a l
φo n a * - a l g e b r a
Ai s c a l l e d
p o s i t i v e i f
φ(a∗a) ≥ 0( a n d
φ(a∗) = φ(a)t h o u g h t h i s i s r e d u n d a n t i f
Ai s a
C ∗- a l g e b r a ) , a n d f a i t h f u l i f
φ(a∗a) = 0 ⇒ a = 0. A p o s i t i v e
φi s c a l l e d a
s t a t e i f 1 ∈ A
a n d φ(1) = 1
. A l i n e a r f u n c t i o n a lφ
i s c a l l e d t r a c i a l ( o r a
t r a c e ) i f φ(ab) = φ(ba)
.
3 7
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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I t i s o u r j o b n o w t o s h o w t h a t a I I 1 f a c t o r h a s a u n i q u e u l t r a w e a k l y
c o n t i n u o u s t r a c i a l s t a t e , w h i c h i s f a i t h f u l . F i r s t a p r e l i m i n a r y r e s u l t o n i d e a l s .
T h e o r e m 7 . 1 . 1 2 L e t
Mb e a n u l t r a w e a k l y c l o s e d l e f t i d e a l i n a v o n N e u -
m a n n a l g e b r a M
. T h e n t h e r e i s a u n i q u e p r o j e c t i o n e ∈ M
s u c h t h a t
M = Me. I f
Mi s 2 - s i d e d ,
ei s i n
Z (M ).
P r o o f .M ∩ M∗
i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d * - s u b a l g e b r a s o i t h a s a l a r g e s t
p r o j e c t i o n e
. S i n c e e ∈ M
,Me ⊆ M
. O n t h e o t h e r h a n d i fx ∈ M
l e t
x = u|x|b e i t s p o l a r d e c o m p o s i t i o n . S i n c e
u∗x = |x|,|x| ∈ M ∩ M∗
. H e n c e
|x|e = |x|a n d
x = u|x| = u|x|e ∈ M e. S o
M = Me.
U n i q u e n e s s f o l l o w s e a s i l y s i n c e f = xe
⇒f
≤e
.
M o r e o v e r i f
Mi s 2 - s i d e d , f o r a n y u n i t a r y
u ∈ M ,
uM = M = uMu∗ =M e = Mueu∗
s o ueu∗ = e
b y u n i q u e n e s s . H e n c e e ∈ Z (M )
.
C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 3 A n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s p o s i t i v e n o n - z e r o t r a c e
T ro n
a I I 1 f a c t o r i s f a i t h f u l .
P r o o f . L e tM = x ∈ M : T r(x∗x) = 0
. T h e n s i n c e x∗a∗ax ≤ ||a||2x∗x
,M
i s a l e f t i d e a l a n d s i n c e T r(ab) = T r(ba)
,M
i s a 2 - s i d e d i d e a l . M o r e o v e r b y
t h e C a u c h y S c h w a r z i n e q u a l i t y T r(x∗x) = 0
i T r(xy) = 0 ∀y ∈ M
. T h u s
Mi s u l t r a w e a k l y c l o s e d , b e i n g t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e k e r n e l s o f u l t r a w e a k l y
c o n t i n u o u s f u n c t i o n a l s . T h u s M = Me f o r s o m e c e n t r a l p r o j e c t i o n . A n d em u s t b e z e r o s i n c e
M i s a f a c t o r .
C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 4 I f
M i s a t y p e I I 1 f a c t o r o n
Ha n d
p ∈ M i s a n o n - z e r o
p r o j e c t i o n ,
pMpi s a t y p e I I 1 f a c t o r o n
pH.
P r o o f . T h i s i s c l e a r a t r a c e o n M
r e s t r i c t s t o a t r a c e o n pMp
w h i c h i s n o n -
z e r o b y f a i t h f u l n e s s a n d a l l t h e o t h e r p r o p e r t i e s a r e i m m e d i a t e . S i n c e a m i n i -
m a l p r o j e c t i o n i n pMp
w o u l d b e m i n i m a l i n M
,pMp
i s i n n i t e d i m e n s i o n a l .
T h e u n i q u e n e s s o ftr
w i l l f o l l o w e a s i l y o n c e w e h a v e g a t h e r e d s o m e f a c t s
a b o u t p r o j e c t i o n s i n a I I
1f a c t o r .
T h e o r e m 7 . 1 . 1 5 T h e r e a r e n o n - z e r o p r o j e c t i o n s i n a t y p e I I 1 f a c t o r o f a r -
b i t r a r i l y s m a l l t r a c e .
P r o o f . L e td = inf tr( p) : p ∈ M, p2 = p∗ = p = 0
. S u p p o s e d > 0
. L e t
pb e a p r o j e c t i o n w i t h
tr( p) − d < d. T h e n
pi s n o t m i n i m a l s i n c e w e h a v e
s e e n t h a tM
i s n o t i s o m o r p h i c t o B(H)
. S o t h e r e i s a n o n - z e r o p r o j e c t i o n
q < p. B u t t h e n w e h a v e
tr( p − q ) = tr( p) − tr(q ) ≤ tr( p) − d < d. T h i s i s a
c o n t r a d i c t i o n . S o d = 0
.
3 8
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T h e o r e m 7 . 1 . 1 6 L e t
M b e a t y p e I I 1 f a c t o r w i t h a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s
p o s i t i v e n o n - z e r o t r a c e tr . T h e n tr( p) : p ∈ M, p2 = p∗ = p = [0, tr(1)] .
P r o o f . F o r
r ∈ [0, tr(1)]c o n s i d e r
S = p : pa p r o j e c t i o n i n M a n d
tr( p) ≤r
. T h e n S
i s a p a r t i a l l y o r d e r e d s e t a n d i fpα i s a c h a i n i n
S ,
p =α pα ∈ M
a n d
pi s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f t h e
pα s o
pi s i n
S . S o b y Z o r n ,
S h a s a
m a x i m a l e l e m e n t , s a y q
. I ftr(q )
w e r e l e s s t h a n r
, t h e n b y 7 . 1 . 8 ,q ≺ p
. S o
c h o o s e q ∼= q, q < p
. A p p l y i n g 7 . 1 . 1 4 t o p−q
w e n d a p r o j e c t i o n s t r i c t l y
b e t w e e n q
a n d p
.
C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 7 T h e m a p
trg i v e s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e t o t a l l y o r -
d e r e d s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s o n a t y p e I I
1 f a c t o r a n d t h e
i n t e r v a l
[0, tr(1)].
P r o o f . B y 7 . 1 . 1 6 i t s u c e s t o s h o w t h a t t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f a p r o -
j e c t i o n i s d e t e r m i n e d b y i t s t r a c e . T h i s i s i m m e d i a t e f r o m 7 . 1 . 8 .
E x e r c i s e 7 . 1 . 1 8 L e t
M b e a t y p e I I 1 f a c t o r . T h e n f o r e a c h
n ∈ Nt h e r e i s
a s u b f a c t o r N ⊆ M
w i t h N ∼= M n(C)
.
C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 9 A n y t w o n o n - z e r o u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s n o r m a l i s e d t r a c e s
o n a t y p e I I 1 f a c t o r a r e e q u a l .
P r o o f . B y t h e e l e m e n t a r y f a c t s i t s u c e s t o p r o v e t h a t t w o s u c h t r a c e sT r
a n d
tra g r e e o n p r o j e c t i o n s . W e m a y a s s u m e o n e o f t h e m , s a y
tr, i s p o s i t i v e .
B y t h e p r e v i o u s e x e r c i s e , 7 . 1 . 1 7 , a n d t h e u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e o n a m a t r i x
a l g e b r a ,
tra n d
T ra r e e q u a l o n p r o j e c t i o n s f o r w h i c h
tri s r a t i o n a l . G i v e n
a p r o j e c t i o n f o r w h i c h tr( p)
i s i r r a t i o n a l b u i l d a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e ei o f
s u b p r o j e c t i o n s a s f o l l o w s :
S u p p o s e w e h a v e a l r e a d y c o n s t r u c t e d ei w i t h
tr(ei) = T r(ei) a n d tr( p) −
tr(ei) < 1/i. T h e n
( p − ei)M ( p − ei) i s a t y p e I I 1 f a c t o r s o tr
a n d T r
a g r e e
o n p r o j e c t i o n s i n i t w h o s e tr
i s a r b i t r a r i l y c l o s e t o tr( p
−ei) . S o c h o o s e i n
i t a p r o j e c t i o n ei+1 b e t w e e n ei a n d p , o n w h i c h tr a n d T r a g r e e a n d w i t h
tr( p) − tr(ei+1) < 1i+1
. T h e n tr
a n d T r
a g r e e o n
i ei w h i c h i s e q u a l t o
pb y
t h e f a i t h f u l n e s s o f
tr.
W e s h a l l s e e t h a t a p o s i t i v e t r a c e o n a t y p e I I 1 f a c t o r i s n o r m - c o n t i n u o u s
a n d a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r i s a c t u a l l y a n o r m - l i m i t o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s
o f i t s s p e c t r a l p r o j e c t i o n s s o i n f a c t a n a p p a r e n t l y w e a k e r p r o p e r t y t h a n
u l t r a w e a k c o n t i n u i t y i s a l l w e u s e d i n t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y n a m e l y t h a t
t h e t r a c e o f t h e s u p r e m u m o f a n i n c r e a s i n g n e t o f p r o j e c t i o n s i s t h e s u p r e m u m
o f t h e t r a c e s .
3 9
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 40/121
C o r o l l a r y 7 . 1 . 2 0 L e t
M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a w i t h a p o s i t i v e u l t r a -
w e a k l y c o n t i n u o u s f a i t h f u l n o r m a l i s e d t r a c e tr . T h e n M i s a t y p e I I 1 f a c t o r
i T r = tr
f o r a l l u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s n o r m a l i s e d t r a c e s T r
.
P r o o f . W e j u s t h a v e t o s h o w t h a tZ (M )
i s t r i v i a l . B u t i f i t w e r e n o t ,
c h o o s e b y f a i t h f u l n e s s a p r o j e c t i o n p ∈ Z (M )
w i t h 0 < tr( p) < 1
. D e n e
T r(x) = ( 1tr( p)
)tr(xp). T h e n
T ri s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s n o r m a l i z e d
t r a c e d i e r e n t f r o m tr
o n 1 − p
.
E x e r c i s e 7 . 1 . 2 1 L e t
ab e a n o n - z e r o p o s i t i v e s e l f a d j o i n t o p e r a t o r . S h o w
t h a t t h e r e i s a b o u n d e d p i e c e w i s e s m o o t h f u n c t i o n f : R+ → R+
s u c h t h a t
af (a)i s a n o n - z e r o p r o j e c t i o n .
E x e r c i s e 7 . 1 . 2 2 A t y p e I I 1 f a c t o r i s a l g e b r a i c a l l y s i m p l e . ( H i n t u s e t h e
p r e v i o u s e x e r c i s e t o s h o w t h a t a 2 - s i d e d i d e a l c o n t a i n s a p r o j e c t i o n , t h e n a d d
p r o j e c t i o n s t o o b t a i n t h e i d e n t i t y . )
7 . 2 T h e G N S c o n s t r u c t i o n
T h u s u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e i m p l i e s f a c t o r i a l i t y . T h i s s u g g e s t s a n o t h e r i n -
t e r e s t i n g w a y t o c o n s t r u c t a t y p e I I 1 f a c t o r . I fA = M 2(C)
,A
i s e m b e d d e d
i n
A
⊗A
a s d i a g o n a l m a t r i c e s :
a
→a
⊗1
. I t e r a t e t h i s p r o c e d u r e t o f o r m a n
i n c r e a s i n g s e q u e n c e An o f * - a l g e b r a s w i t h A1 = A a n d An+1 = An ⊗ A , a n d
c o n s i d e r t h e * - a l g e b r a
A∞ = ∪nAn w h i c h c o u l d a l s o b e c a l l e d
⊗∞alg,n=1An . I f
w e n o r m a l i s e t h e m a t r i x t r a c e o n a l l m a t r i x a l g e b r a s s o t h a ttr(1) = 1
t h e n
tr(a ⊗ 1) = tr(a)s o t h a t
trd e n e s a p o s i t i v e f a i t h f u l n o r m a l i s e d t r a c e o n
A∞ . E l e m e n t s o fA∞ c a n b e t h o u g h t o f a s l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t e n s o r s
o f t h e f o r m a1 ⊗ a2 ⊗ a3 ⊗ · · · ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ · · ·
, o n w h i c h t h e t r a c e i s j u s t
t h e p r o d u c t o f t h e t r a c e s o f t h e ais. W e n o w t u r n
A∞ i n t o a v o n N e u m a n n
a l g e b r a .
D e n e a n i n n e r p r o d u c t o n
A∞ b y
x, y = tr(y∗x). T h e n
A∞ i s a p r e -
H i l b e r t s p a c e a n d l e tH
b e i t s c o m p l e t i o n . N o t e t h a tM n(C)
i s a v o n N e u -
m a n n a l g e b r a s o tr(y∗
x∗
xy) ≤ ||x||2
tr(y∗
y) . T h i s m e a n s t h a t t h e o p e r a t o r
Lx o n A∞ ,
Lx(y) = xy, s a t i s e s
||Lx(ξ )|| ≤ ||x||||ξ ||( w h e r e
||x||i s t h e o p e r -
a t o r n o r m o f t h e m a t r i x x
a n d ||ξ ||
i s t h e H i l b e r t s p a c e n o r m o fξ
) a n d s o
e x t e n d s u n i q u e l y t o a b o u n d e d o p e r a t o r a l s o w r i t t e n Lx o n
H. O n e c h e c k s
t h a t(Lx)∗ = Lx∗ s o
x → Lx d e n e s a f a i t h f u l ( = i n j e c t i v e ) r e p r e s e n t a t i o n o f
t h e * - a l g e b r a A∞ o n
H. L e t
M b e t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
Hg e n e r a t e d
b y t h e Lx a n d i d e n t i f y
A∞ w i t h a s u b a l g e b r a o fM
.
T h e t r a c e o n A∞ i s d e n e d b y
tr(a) = aξ,ξ w h e r e
ξ i s t h e e l e m e n t
1 ∈ A∞ c o n s i d e r e d a s a v e c t o r i n H
. S o tr
e x t e n d s t o a t r a c e o n M
w h i c h i s
4 0
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s , p o s i t i v e a n d n o r m a l i s e d . I t i s a l s o u n i q u e w i t h t h e s e
p r o p e r t i e s b y t h e u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e o n t h e u l t r a w e a k l y d e n s e s u b a l g e b r a
A∞ o fM
. I f w e c a n s h o w t h a ttr
i s f a i t h f u l o n M
t h e n i t f o l l o w s t h a tM
i s a
t y p e I I 1 f a c t o r . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h i s d o e s n o t f o l l o w s i m p l y f r o m
t h e f a i t h f u l n e s s o ftr
o n A
. I n f a c t i t i s t r u e b u t w e n e e d t o d o s o m e t h i n g t o
p r o v e i t .
W h e n w e s h o w e d t h a t
Lx w a s b o u n d e d , t h e s a m e c a l c u l a t i o n , w i t h
tr(ab) =tr(ba)
, w o u l d h a v e s h o w n t h a tRx , r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y
x, i s a l s o b o u n d e d .
A s s o c i a t i v i t y s h o w s t h a tLx a n d
Ry c o m m u t e o n A∞ , h e n c e o n
H. T h u s
M c o m m u t e s w i t h
Ry f o r e a c h y ∈ A∞ . N o w w e c a n s h o w f a i t h f u l n e s s : i f
tr(x∗x) = 0f o r
x
∈M
t h e n f o r e a c h a
∈A∞ w e h a v e
||x(a)||2 = ||xRa(ξ )||2 = ||Rax(ξ )||2 ≤ ||Ra||2||xξ ||2 = ||Ra||2tr(x∗x) = 0.
S i n c e A∞ i s d e n s e , t h i s m e a n s
x = 0. S o
tri s f a i t h f u l o n
M w h i c h i s t h u s a
t y p e I I 1 f a c t o r .
M a n y p o i n t s a r e r a i s e d b y t h i s e x a m p l e . T h e e a s i e s t t o d e a l w i t h a r e
t h e p r o p e r t i e s o f t h e v e c t o r
ξ w h i c h p l a y e d a p r o m i n e n t r o l e . W e u s e d b o t h
M ξ = Ha n d
M ξ = H.
D e n i t i o n 7 . 2 . 1 L e t
M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
H. A v e c t o r
ξ ∈ Hi s
c a l l e d c y c l i c f o r
M i f
Mξ = H a n d s e p a r a t i n g f o r
M i f
(xξ = 0) ⇒ (x = 0) f o r a l l
x ∈ M .
P r o p o s i t i o n 7 . 2 . 2 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e ,
ξ i s c y c l i c f o r
M i
ξ i s s e p a -
r a t i n g f o r M
.
P r o o f . (⇒
) E x e r c i s e i n f a c t d o n e i n t h e d i s c u s s i o n o fA∞ a b o v e .
(⇐
) L e tp
b e t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e c l o s u r e o fM ξ
. T h e n p ∈ M
. B u t
(1 − p)ξ = 0s o
p = 1.
T h e c o n s t r u c t i o n o fM
f r o m A∞ i s a s p e c i a l c a s e o f w h a t i s k n o w n
a s t h e G N S c o n s t r u c t i o n ( G e l f a n d - N a i m a r k - S e g a l ) . G i v e n a p o s i t i v e l i n -
e a r f u n c t i o n a lφ
s a t i s f y i n g φ(a∗) = φ(a)
o n a * - a l g e b r a A
w e l e tN φ b e
x ∈ A : φ(x∗x) = 0. W e a l s o d e n e a s e s q u i l i n e a r f o r m
, φ o n A
b y
x, yφ = φ(y∗x). T h i s f o r m i s p o s i t i v e s e m i d e n i t e b u t t h i s i s e n o u g h f o r t h e
C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y t o h o l d s o t h a tN
i s t h e s a m e a sx : x, yφ =
0 ∀y ∈ As o t h a t
N i s a s u b s p a c e a n d
, φ d e n e s a p r e - H i l b e r t s p a c e
s t r u c t u r e o n t h e q u o t i e n tA/N
. U n d e r f a v o u r a b l e c i r c u m s t a n c e s , l e f t m u l -
t i p l i c a t i o n b y x
,Lx d e n e s a b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r o n i t . F a v o u r a b l e
c i r c u m s t a n c e s a r e p r o v i d e d b y C ∗
- a l g e b r a s .
4 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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E x e r c i s e 7 . 2 . 3 I f
φi s a l i n e a r f u n c t i o n a l o n a
C ∗- a l g e b r a s a t i s f y i n g
φ(a∗a)
≥0 s h o w t h a t φ(a∗) = φ(a). M o r e o v e r i f A i s u n i t a l s h o w t h a t φ i s n o r m -
c o n t i n u o u s a n d i n f a c t||φ|| = φ(1)
.
R e m a r k 7 . 2 . 4 I t i s a s t a n d a r d e l e m e n t a r y f a c t i n
C ∗- a l g e b r a s t h a t o n e m a y
a l w a y s a d j o i n a n i d e n t i t y t o a C ∗
- a l g e b r a .
P r o p o s i t i o n 7 . 2 . 5 I f
Ai s a u n i t a l
C ∗- a l g e b r a a n d
φ : A → Ci s a p o s i t i v e
l i n e a r f u n c t i o n a l t h e n
φ(y∗x∗xy) ≤ ||x||2φ(y∗y)
P r o o f . L e tφ(a) = φ(y∗ay)
. T h e n φ
i s p o s i t i v e s o b y t h e e x e r c i s e φ(x∗x)
≤||x||2φ(1) .
I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t , g i v e n a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a lφ
o n a u n i t a l
C ∗- a l g e b r a , e a c h
x ∈ Ad e t e r m i n e s a b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r
πφ(x)o n t h e
H i l b e r t s p a c e Hφ o f t h e G N S c o n s t r u c t i o n v i a l e f t m u l t i p l i c a t i o n :
πφ(x)(y) =xy
. M o r e o v e r
||πφ(x)|| ≤ ||x||a n d
πφ(x∗) = πφ(x)∗s i n c e
πφ(x)y, z =φ(z ∗xy) = y, πφ(x∗)z
. N o t e t h a tφ(x) = πφ(x)1, 1
.
T o s u m u p w e h a v e t h e f o l l o w i n g :
D e n i t i o n 7 . 2 . 6 I f
Ai s a
C ∗- a l g e b r a a n d
φi s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l
o n
A, t h e H i l b e r t s p a c e o f t h e G N S c o n s t r u c t i o n i s w r i t t e n
Hφ a n d t h e r e p -
r e s e n t a t i o n πφ
b y l e f t m u l t i p l i c a t i o n i s c a l l e d t h e G N S r e p r e s e n t a t i o n .
P r o p o s i t i o n 7 . 2 . 7 I f
Ai s a
C ∗- a l g e b r a o n
Ha n d
ξ ∈ H, d e n e
φξ(a) =aξ,ξ
. T h e n φξ i s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l a n d
a → aξ d e n e s a u n i t a r y
u : Hφξ → Aξ s u c h t h a t
uπφξ(a)u∗ = a.
P r o o f . O b v i o u s .
I fA
i s a c t u a l l y a v o n N e u m a n n a l g e b r a ,πφ(A)
w i l l n o t i n g e n e r a l b e o n e
o n Hφ . H o w e v e r w e w i l l s e e t h a t i f
φi s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s t h e n
πφ(A)w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a . F o r t h i s w e n e e d a l i t t l e p r e p a r a t i o n .
L e m m a 7 . 2 . 8 L e t
Ab e a
C ∗- a l g e b r a o n
Hc o n t a i n i n g
1. I f
ψi s a p o s i t i v e
l i n e a r f u n c t i o n a l o n A
a n d ξ ∈ H
i s a v e c t o r w i t h ψ ≤ φξ ( i . e .
φξ − ψi s
p o s i t i v e ) , t h e n t h e r e i s a t ∈ A
w i t h ψ = φtξ .
P r o o f . D e n e a s e s q u i l i n e a r f o r m
(, )o n
Aξ b y
(aξ,bξ ) = ψ(b∗a). C a u c h y -
S c h w a r z a n d ψ ≤ φξ g i v e t h a t
|(aξ,bξ )| ≤ | |aξ ||||bξ ||s o
(, )i s w e l l - d e n e d a n d
t h e r e i s a b o u n d e d p o s i t i v e o p e r a t o r
to n
Aξ w i t h
aξ, tbξ = ψ(b∗a). B u t
aξ, tbcξ = ψ(c∗b∗a) = b∗aξ, tcξ = aξ,btcξ s o t h a t
t ∈ Ao n
Aξ . I f
p = pAξ ,
tpi s a p o s i t i v e o p e r a t o r i n
Aa n d i f
s =√
t,
ψ(a) = aξ,tξ = asξ,sξ .
.
4 2
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C o r o l l a r y 7 . 2 . 9 I f
ξ a n d
ηa r e v e c t o r s s u c h t h a t
ω(a) =
aξ,η
i s p o s i t i v e
( o n a C ∗ - a l g e b r a A o n H ) t h e n t h e r e i s a v e c t o r ν w i t h ω = φν .
P r o o f . F o ra ≥ 0
,
aξ,η = 1/4(a(ξ + η), ξ + η − a(ξ − η), ξ − η)
≤ 1/4φξ+η(a).
T h e o r e m 7 . 2 . 1 0 I f
M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
Ha n d
φi s a p o s i t i v e
u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l o n M t h e n t h e r e a r e v e c t o r s ν i ∈ Hw i t h
||ν i||2 < ∞s o t h a t
φ(x) =xν i, ν i f o r
x ∈ M .
P r o o f . L e tξ i, ηi b e a s s u p p l i e d b y 6 . 1 . 2 . T h e n f o r
M o n
H ⊗ 2(N),
φ(x) =xξ,η
s o b y t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y w e a r e d o n e .
C o r o l l a r y 7 . 2 . 1 1 I f
φi s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l
o n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a
M t h e n t h e G N S r e p r e s e n t a t i o n
πφ i s u l t r a w e a k l y
c o n t i n u o u s o n t o a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n Hφ .
P r o o f . W e s a w i n t h e l a s t t h e o r e m t h a t
φ(x) = x⊗1(ν ), ν o n
H⊗
2
(N
).
T h e m a p x → x ⊗ 1
i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s . B y 7 . 2 . 7 w e h a v e t h a tπφ
i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s s i n c e t h e r e d u c t i o n t o M ⊗ 1(ν )
i s u l t r a w e a k l y
c o n t i n u o u s . S o t h e k e r n e l o fπφ i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d 2 - s i d e d i d e a l , h e n c e
o f t h e f o r m Me
f o r s o m e e
i n t h e c e n t r e o fM
. I t f o l l o w s t h a tπφ i s i n j e c t i v e o n
M (1 −e)a n d s i n c e t h e n o r m o f a n o p e r a t o r
xi s d e t e r m i n e d b y t h e s p e c t r u m
o f
x∗x, t h e u n i t b a l l o f t h e i m a g e o f
M i s t h e i m a g e o f t h e u n i t b a l l w h i c h i s
w e a k l y c o m p a c t s o b y 6 . 2 . 2 w e a r e d o n e .
7 . 3 E x e r c i s e s o n t w o p r o j e c t i o n s .
L e t p
a n d q
b e p r o j e c t i o n s o n t o c l o s e d s u b s p a c e sH
a n d K
o f t h e H i l b e r t
s p a c e U
r e s p e c t i v e l y . L e tM = p, q
.
E x e r c i s e 7 . 3 . 1 S h o w t h a t
U = (H∩K)⊕(H⊥∩K⊥)⊕(H∩K⊥)⊕(H⊥∩K)⊕W a n d t h i s d e c o m p o s i t i o n i s i n v a r i a n t u n d e r
pa n d
q .
E x e r c i s e 7 . 3 . 2 S h o w t h a t , o n
W ,
pa n d
q a r e i n g e n e r a l p o s i t i o n , i . e .
p ∧ q = 0,
p ∨ q = 1,
(1 − p) ∧ q = 0a n d
(1 − p) ∨ q = 1.
4 3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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E x e r c i s e 7 . 3 . 3 S h o w t h a t i f
a∈ B
(H
),
0≤
a≤
1, a a(1 − a)
a(1 − a) 1 − a
i s a p r o j e c t i o n o n H ⊕ H
. W h e n i s i t i n g e n e r a l p o s i t i o n w i t h
1 00 0
?
E x e r c i s e 7 . 3 . 4 L e t
a = ( p − q )2a n d
A = a. S h o w t h a t
a ∈ Z (M )a n d
t h a t
a0+a1 p+a2q +a3 pq +a4qp : ai ∈ Ai s a * - a l g e b r a ( w h i c h i s n e c e s s a r i l y
w e a k l y d e n s e i n M
) .
E x e r c i s e 7 . 3 . 5 S h o w t h a t
pMpi s a b e l i a n , g e n e r a t e d b y
pqp.
> F r o m n o w o n s u p p o s e p
a n d q
a r e i n g e n e r a l p o s i t i o n .
E x e r c i s e 7 . 3 . 6 S h o w t h a t
p ∼= q i n
M . ( H i n t , c o n s i d e r t h e p o l a r d e c o m p o s i -
t i o n o f pq
. )
E x e r c i s e 7 . 3 . 7 S h o w t h e r e i s a
2 × 2s y s t e m o f m a t r i x u n i t s
(eij) ∈ M w i t h
p = e11 .
E x e r c i s e 7 . 3 . 8 S h o w t h a t
M i s s p a t i a l l y i s o m o r p h i c t o
B ⊗M 2(C) f o r s o m e
a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a B
g e n e r a t e d b y b, 0 ≤ b ≤ 1
, w i t h p
c o r r e s p o n d -
i n g t o 1 0
0 0 a n d
q c o r r e s p o n d i n g t o b b(1 − b)
b(1 − b) 1 − b
N o w d r o p t h e h y p o t h e s i s t h a t p
a n d q
a r e i n g e n e r a l p o s i t i o n .
E x e r c i s e 7 . 3 . 9 S h o w t h a t
p ∨ q − p ∼= q − p ∧ q i n
M
A l t e r n a t i v e a p p r o a c h u s i n g g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s .
E x e r c i s e 7 . 3 . 1 0 S h o w t h a t
(Z/2Z) ∗ (Z/2Z) ∼= Z(Z/2Z)( i n n i t e d i h e d r a l
g r o u p ) .
E x e r c i s e 7 . 3 . 1 1 C l a s s i f y a l l u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f
Z(Z/2Z). ( H i n t
u s e t h e s p e c t r a l t h e o r e m f o r u n i t a r i e s . )
E x e r c i s e 7 . 3 . 1 2 O b s e r v e t h a t
2 p − 1a n d
2q − 1a r e s e l f - a d j o i n t u n i t a r i e s .
E x e r c i s e 7 . 3 . 1 3 O b t a i n t h e s t r u c t u r e o f 7 . 3 . 8 u s i n g t h e l a s t 3 e x e r c i s e s .
4 4
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 8
T h e P r e d u a l
A n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a lφ
o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M
i s n o r m c o n t i n u o u s s o d e n e s a n e l e m e n t o fM ∗
. O u r g o a l i n t h i s c h a p t e r i s
t o s h o w t h a t t h e s e t o f a l l s u c h φ
i s a c l o s e d s u b s p a c e M ∗ o f
M ∗a n d t h a t
t h e d u a l i t y b e t w e e n M ∗ a n d
M m a k e s
M e q u a l t o t h e B a n a c h s p a c e d u a l o f
M ∗ . W e w i l l r s t e s t a b l i s h t h i s i n t h e s p e c i a l c a s e M = B(H)
.
8 . 1 T r a c e c l a s s a n d H i l b e r t S c h m i d t o p e r a t o r s .
T h e m a t e r i a l i n t h i s s e c t i o n i s s t a n d a r d s o w e w i l l o n l y p r o v e r e s u l t s a s i t
s u i t s u s , o t h e r w i s e r e f e r r i n g a n y u n p r o v e d a s s e r t i o n s t o R e e d a n d S i m o n .
L e m m a 8 . 1 . 1 I f
a ∈ B(H)i s p o s i t i v e a n d
(ξ i) a n d
(ηi) a r e t w o o r t h o n o r m a l
b a s e s o f H
, t h e n i
aξ i, ξ i =i
aηi, ηi
( w h e r e
∞i s a p o s s i b l e v a l u e f o r t h e s u m ) .
P r o o f . W e h a v e i
aξ i, ξ i =i
||√ aξ i||2
=i
( j
|√ aξ i, η j|2)
= j
(i
|√ aη j, ξ i|2)
= j
||√ aη j||2
4 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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= j
aη j, η j
w h e r e e v e r y n u m b e r i s p o s i t i v e s o t h e o r d e r o f t h e s u m i s i m m a t e r i a l .
T h e n u m b e r
iaξ i, ξ i o f t h e p r e v i o u s t h e o r e m i s c a l l e d t h e t r a c e o f
a,
w r i t t e n Trace(a)
.
D e n i t i o n 8 . 1 . 2 A n e l e m e n t
a ∈ B(H)i s s a i d t o b e o f t r a c e c l a s s i f
Trace(|a|) <∞
.
I fa
i s t r a c e c l a s s a n d (ξ i) i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s , t h e s u m
i aξ i, ξ i
c o n v e r g e s a b s o l u t e l y a n d i s c a l l e d t h e t r a c e ,Trace(a)
, o fa
.
T h e o r e m 8 . 1 . 3 T h e t r a c e c l a s s o p e r a t o r s o n
H f o r m a s e l f - a d j o i n t i d e a l
o f c o m p a c t o p e r a t o r s ,I 1 , i n
B(H). T h e f u n c t i o n
|a|1 d e n e d b y |a|1 =
Trace(|a|)d e n e s a n o r m o n
I 1 f o r w h i c h i t i s c o m p l e t e . M o r e o v e r ||a|| ≤
|a|1 .
P r o o f . T h e o n l y t h i n g n o t p r o v e d i n R e e d a n d S i m o n i s c o m p l e t e n e s s . F o r
t h i s o b s e r v e t h a t i f
ani s a C a u c h y s e q u e n c e i n | − |1 , i t i s C a u c h y i n | |−|| s o
w h a t w e h a v e t o d o i s s h o w t h a t t h e n o r m l i m i t o f a | − |1 - C a u c h y s e q u e n c e
(an)i s t r a c e c l a s s a n d t h a t t h e s e q u e n c e t e n d s t o t h a t l i m i t i n
| − |1 . S o
s u p p o s e > 0
i s g i v e n . T h e n f o rm
a n d n
l a r g e e n o u g h
∞i=1
|an − am|ξ i, ξ i < .
S o f o r a n y N
,
N
i=1 |
an
−am
|ξ i, ξ i
< .
N o w i fbn t e n d s i n n o r m t o
b, t h e n
|bn| t e n d s i n n o r m t o |b|
( o b v i o u s l y
b∗nbn → b∗b, a n d a p p r o x i m a t e t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n b y p o l y n o m i a l s o n a n
i n t e r v a l ) s o f o r e a c h x e d i
,
limn→∞
|an − am|ξ i = |a − am|ξ i.
S o
N i=1|a − am|ξ i, ξ i <
a n d l e t t i n g N
t e n d t o ∞
w e s e e t h a ta ∈ I 1 s i n c e
I 1 i s a v e c t o r s p a c e , a n d a l s o t h a tan → a
i n | − |1 .
4 6
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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T h e t r a c e i s i n d e p e n d e n t o f t h e o r t h o n o r m a l b a s i s a n d i fa
i s t r a c e c l a s s
a n d b ∈ B(H) , T r(ab) = T r(ba).
W e s e e t h a t e a c h
h ∈ I 1 d e t e r m i n e s a l i n e a r f u n c t i o n a l
φh o n
B(H)b y
φh(x) = Trace(xh).
D e n i t i o n 8 . 1 . 4 T h e t r a c e - c l a s s m a t r i x a s a b o v e i s c a l l e d t h e d e n s i t y m a t r i x
f o r t h e s t a t e
φh .
P r o p o s i t i o n 8 . 1 . 5 E a c h
φh i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s a n d i t s n o r m a s a n
e l e m e n t o f B(H)∗
i s |h|1 .
P r o o f . S i n c e h
i s c o m p a c t , c h o o s e a n o r t h o n o r m a l b a s i s(ξ i) o f e i g e n v e c t o r s
o f|h|
w i t h e i g e n v a l u e sλi a n d l e t
h = u|h|b e t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n . T h e n
φh(x) =∞i=1
xu|h|ξ i, ξ i
s o u l t r a w e a k c o n t i n u i t y i s a p p a r e n t , a n d
φh(x) ≤∞i=1
||x| | | | |h|ξ i||
= ||x||∞i=1
λi
= ||x|| |h|1.
M o r e o v e r e v a l u a t i n g φh o n
u∗g i v e s
||φh|| = |h|1 .
I fH
a n d K
a r e H i l b e r t s p a c e s , a b o u n d e d o p e r a t o rx : H → K
i s c a l l e d
H i l b e r t - S c h m i d t i fx∗x
i s t r a c e c l a s s , i . e .
∞i=1 ||xξ i||2 < ∞
f o r s o m e ( h e n c e
a n y ) o r t h o n o r m a l b a s i s(ξ i) o f
H. T h e s e t o f a l l H i l b e r t - S c h m i d t o p e r a t o r s
f r o m
Ht o
Ki s w r i t t e n
2(H, K)a n d i f
xi s H i l b e r t - S c h m i d t , s o i s
x∗, a n d
xi s c o m p a c t .
T h e o r e m 8 . 1 . 6 I f
a ∈ B(H),
b ∈ B(K)a n d
x ∈ 2(H, K)t h e n
bxa ∈2(H, K)
. I f
x ∈ 2(H, K)a n d
y ∈ 2(K, H)t h e n
yxi s t r a c e c l a s s . W i t h t h e
i n n e r p r o d u c tx, y = Trace(y∗x)
,2(H, K)
i s a H i l b e r t s p a c e i n w h i c h t h e
n i t e r a n k o p e r a t o r s a r e d e n s e .
P r o o f . S e e R e e d a n d S i m o n .
E x e r c i s e 8 . 1 . 7 P r o v e a l l t h e a s s e r t i o n s m a d e a b o v e a b o u t t r a c e - c l a s s a n d
H i l b e r t - S c h m i d t o p e r a t o r s .
4 7
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E x e r c i s e 8 . 1 . 8 I f
Ha n d
Ka r e H i l b e r t s p a c e s c o n s t r u c t a n a t u r a l m a p f r o m
K∗ ⊗ H t o 2(H, K) a n d s h o w t h a t i t i s u n i t a r y .
L e t|x|2 b e t h e H i l b e r t s p a c e n o r m o n H i l b e r t - S c h m i d t o p e r a t o r s .
L e m m a 8 . 1 . 9 I f
x ∈ 2(H, K)a n d
y ∈ 2(K, H)t h e n
Trace(xy) = Trace(yx).
P r o o f . F i r s t n o t e t h a t t h e r e s u l t i s t r u e i f w e s u p p o s e t h a t|x|
i s t r a c e c l a s s .
F o r t h e n l e tx = u|x|
b e t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n , c h o o s e a n o r t h o n o r m a l
b a s i s(ξ i) o f t h e n a l d o m a i n o f
ua n d e x t e n d i t t o a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f
K. A l s o e x t e n d
(u∗ξ i) t o a n o r t h o n o r m a l b a s i s o fH
b y v e c t o r s i n ker(|x|)
.
T h e n
Trace(xy) =i
u|x|yξ i, ξ i
=i
|x|yuu∗ξ i, u∗ξ i
= Trace(|x|(yu))
= Trace((yu)|x|)= Trace(yx.)
N o w s u p p o s e o n l y t h a tx
i s H i l b e r t - S c h m i d t . L e t > 0
b e g i v e n a n d c h o o s e
x o f n i t e r a n k w i t h |x − x|2 < . T h e n
|Trace(xy) − Trace(yx)| = |Trace((x − x)y) − Trace(y(x − x))|
w h i c h b y C a u c h y - S c h w a r t z i s
≤ 2|y|2 .
C o r o l l a r y 8 . 1 . 1 0 I f
ωi s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l o n
B(H), t h e r e i s a t r a c e c l a s s
hs o t h a t
ω = φh .
P r o o f . B y 6 . 1 . 2 t h e r e a r e
(ξ i) a n d
(ηi) i n 2(N, H)
s o t h a tω(x) =
ixξ i, ηi .
T h e n i f w e d e n e a
a n d b
f r o m 2(N)
t o
Hb y
a(f ) = i f (i)ξ i a n d b(f ) =
i f (i)ηi , a a n d b a r e H i l b e r t S c h m i d t a n d ω(x) = Trace(b∗xa) w h i c h i s
Trace(xab∗)b y t h e p r e v i o u s r e s u l t .
P u t t i n g e v e r y t h i n g t o g e t h e r s o f a r , w e h a v e i d e n t i e d t h e i m a g e o f t h e
B a n a c h s p a c e I 1 u n d e r t h e m a p
h → φh w i t h t h e c l o s e d s u b s p a c e o fB(H)∗
c o n s i s t i n g o f u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s . T o c l o s e t h e l o o p w e
o n l y n e e d t o s h o w t h a t t h e B a n a c h s p a c e d u a l o f
I 1 i s
B(H).
T h e o r e m 8 . 1 . 1 1 I f
α : I 1 → C i s l i n e a r a n d b o u n d e d f o r | − |1 , t h e r e i s a n
x ∈ B(H)s o t h a t
α(a) = φa(x), a n d
||α|| = ||x||.
4 8
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . T h i s i s r a t h e r r o u t i n e . T w o v e c t o r sξ
a n d η
d e n e a n e l e m e n tx
o fI 1
b y x(v) = v, ξ η s o o n e m a y d e n e a s e s q u i l i n e a r f o r m o n H b y (ξ, η) = α(x) .
B o u n d e d n e s s o fx
f o l l o w s f r o m t h a t o fα
s o t h e r e i s a n a p p r o p r i a t e x ∈ B(H)
.
T o s h o w t h a t t h e n o r m o fx
a s a n e l e m e n t o f t h e d u a l o fI 1 i s a c t u a l l y
||x||,
s u p p o s e ||x|| = 1
a n d c h o o s e a u n i t v e c t o rξ
w i t h ||xξ ||
a l m o s t e q u a l t o 1
.
T h e n T r(hx)
i s a l m o s t1
i fh
i s t h e p a r t i a l i s o m e t r y w h i c h s e n d sv ∈ H
t o
v,xξ ξ||xξ|| .
E x e r c i s e 8 . 1 . 1 2 F i l l i n t h e m i s s i n g d e t a i l s i n t h e p r e v i o u s p r o o f .
N o w w e p a s s t o v o n N e u m a n n a l g e b r a s t h o u g h i n f a c t t h e s e r e s u l t s w o r k
f o r a n y u l t r a w e a k l y c l o s e d s u b s p a c e o fB(H)
.
T h e o r e m 8 . 1 . 1 3 I f
V i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d s u b s p a c e o f
B(H)t h e n
V =V ⊥⊥
i n t h e s e n s e t h a t i f φ(x) = 0
f o r e v e r y u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s φ
f o r
w h i c h φ(V ) = 0
t h e n x ∈ V
.
P r o o f . T h i s i s a s i m p l e a p p l i c a t i o n o f t h e H a h n - B a n a c h t h e o r e m i fx /∈
V c o n s t r u c t a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n a l w h i c h i s z e r o o n
V a n d
n o n - z e r o o n x
.
E x e r c i s e 8 . 1 . 1 4 E x h i b i t a n o n - z e r o t r a c e c l a s s o p e r a t o r o n
2(Γ)w h i c h i s
o r t h o g o n a l t o vN (Γ)
.
T h e o r e m 8 . 1 . 1 5 I f
V i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d s u b s p a c e o f
B(H)t h e n i t
i s c a n o n i c a l l y t h e d u a l B a n a c h s p a c e o f V ∗ w h i c h i s d e n e d a s t h e s p a c e
o f u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s o n V
. M o r e o v e r t h e u l t r a w e a k
t o p o l o g y o n V
i s t h e w e a k - * t o p o l o g y o n V
a s t h e d u a l o f V ∗ .
P r o o f . I f
Bi s a B a n a c h s p a c e w i t h d u a l
B
∗a n d
V i s a
w e a k - * c l o s e d s u b s p a c e o fB∗
t h e n V
i s t h e d u a l o fB/V ⊥
( s u r j e c t i v i t y
o f t h e n a t u r a l m a p f r o m V
t o t h e d u a l o fV /B⊥
i s a r e s u l t o f t h e p r e v i o u s
t h e o r e m ) , s o V
i s a d u a l s p a c e . S o w e j u s t h a v e t o i d e n t i f y t h e B a n a c h
s p a c e B/V ⊥
w i t h t h e s p a c e o f w e a k - * c o n t i n u o u s ( a s e l e m e n t s o fB∗∗
) l i n e a r
f u n c t i o n a l s o n V
. T h i s i s a s i m p l e e x e r c i s e . P u t t i n g B = I 1 w e a r e d o n e .
E x e r c i s e 8 . 1 . 1 6 I f
V i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d s u b s p a c e o f
B(H), s h o w t h a t
V ∗ i s a s e p a r a b l e B a n a c h s p a c e i f H
i s a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e .
4 9
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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8 . 2 N o r m a l m a p s
T h e r e i s s t i l l a v e r y u n s a t i s f a c t o r y f e a t u r e a b o u t t h e p r e v i o u s s e c t i o n i n t h a t
u l t r a w e a k c o n t i n u i t y a n d t h e p r e d u a l d e p e n d o n t h e H i l b e r t s p a c e r e p r e s e n -
t a t i o n o n w h i c h a v o n N e u m a n n a l g e b r a a c t s . I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l s h o w
t h a t u l t r a w e a k c o n t i n u i t y i s a c t u a l l y e q u i v a l e n t t o a p r o p e r t y c a l l e d n o r m a l -
i t y w h i c h i s d e t e r m i n e d b y t h e p u r e l y a l g e b r a i c s t r u c t u r e o f a v o n N e u m a n n
a l g e b r a .
D e n i t i o n 8 . 2 . 1 A p o s i t i v e l i n e a r m a p
Φ : A → Bb e t w e e n v o n N e u m a n n
a l g e b r a s i s c a l l e d n o r m a l i f
Φ(α
aα) =α
Φ(aα)
f o r a n y i n c r e a s i n g n e t
(aα)o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s i n
A.
T h e o r e m 8 . 2 . 2 A p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a i s
n o r m a l i i t i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s .
P r o o f . T h a t u l t r a w e a k i m p l i e s n o r m a l i s o b v i o u s . F o r t h e m o m e n t w e r e f e r
t o D i x m i e r f o r t h e o t h e r d i r e c t i o n a n d c o n t e n t o u r s e l v e s t o r e m a r k t h a t o u r
p r o o f o f t h e u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e o n a I I 1 f a c t o r u s e d o n l y n o r m a l i t y ( a
s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r i s a n o r m l i m i t o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f i t s s p e c t r a l
p r o j e c t i o n s ) s o t h a t a n o r m a l t r a c e i s a t t a c h e d t o i t b y i t s a l g e b r a i c s t r u c t u r e
a l o n e .
O b s e r v e t h a t b y 6 . 1 . 2 a n y u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l i s a
l i n e a r c o m b i n a t i o n o f p o s i t i v e o n e s ( b y p o l a r i s a t i o n ) s o t h e p r e d u a l o f a v o n
N e u m a n n a l g e b r a i s d e n e d e n t i r e l y b y t h e a l g e b r a i c s t r u c t u r e . I n f a c t t h e
p r e d u a l i s u n i q u e u p t o i s o m e t r y .
T h e r e i s a n o t h e r i m p o r t a n t s t r u c t u r e t h e o r e m f o r w h o s e p r o o f w e w i l l
a l s o p r o v i s i o n a l l y s i m p l y r e f e r t o D i x m i e r :
T h e o r e m 8 . 2 . 3 A
Φb e a n o r m a l h o m o m o r p h i s m o f v o n N e u m a n n a l g e b r a s
i s t h e c o m p o s i t i o n o f a n a m p l i c a t i o n x → x ⊗ id
, a r e d u c t i o n t o a c l o s e d
i n v a r i a n t s u b s p a c e , a n d a u n i t a r y e q u i v a l e n c e .
P r o o f . D i x m i e r .
A u n i t a r y e q u i v a l e n c e i s a l s o c a l l e d a s p a t i a l i s o m o r p h i s m .
5 0
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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8 . 3 A t e c h n i c a l l e m m a .
L e t u s p r o v e a l e m m a w h i c h s h o w s w h a t t h e t e c h n i q u e s d e v e l o p e d s o f a r c a n
b e g o o d f o r . I t w i l l b e c r u c i a l i n o u r t r e a t m e n t o f T o m i t a - T a k e s a k i t h e o r y .
I t i s a R a d o n - N i k o d y m t y p e t h e o r e m i n s p i r e d b y o n e d u e t o S a k a i ( [ ] ) .
L e m m a 8 . 3 . 1 L e t
λ ∈ R+b e g i v e n a n d l e t
φb e a f a i t h f u l u l t r a w e a k l y c o n -
t i n u o u s s t a t e o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M
. L e tψ ∈ M ∗ b e s u c h t h a t
|ψ(y∗x)| ≤
φ(x∗x)
φ(y∗y). T h e n t h e r e i s a n
a ∈ M 1/2 ( e l e m e n t s o f n o r m
≤ 1/2) s o t h a t
ψ(x) = λφ(ax) + λ−1φ(xa).
P r o o f . F o ra ∈ M
l e tθa(x) = φ(λax + λ−1xa)
. T h e n t h e m a p α : M → M ∗ ,
α(a) = θa , i s c o n t i n u o u s f o r t h e t o p o l o g i e s o f d u a l i t y b e t w e e n M
a n d M ∗ .
B u t w e k n o w t h a t t h i s t o p o l o g y o n M
i s t h e u l t r a w e a k t o p o l o g y s o t h a t
α(M 1)i s a c o m p a c t c o n v e x s e t . B y c o n t r a d i c t i o n s u p p o s e t h a t
ψi s n o t i n
α(M ).
T h e n b y H a h n - B a n a c h t h e r e i s a n h ∈ M
w i t h (ψ(h)) > D
w h e r e
D = supa∈M 1/2 (θa(h)). B u t i f
h = u|h| = |h∗|ui s t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n
o fh
, w e h a v e
θu∗/2(h) = 1/2(λφ(|h|) + λ−1φ(|h∗|))
s o t h a t
2D ≥ λφ(|h|) + 1λ
φ(|h∗|) ≥ 2
φ(|h|)
φ(|h∗|).
B u t a l s o
D < |ψ(h)| = |ψ(u|h|1/2|h|1/2)| ≤ φ(|h|)
φ(u|h|u∗), a c o n t r a d i c -
t i o n .
5 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 9
S t a n d a r d f o r m o f a I I 1 f a c t o r a n d
I I ∞ f a c t o r s .
9 . 1 S t a n d a r d f o r m .
I n t h i s s e c t i o n M
w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a w i t h a n u l t r a w e a k l y c o n -
t i n u o u s f a i t h f u l n o r m a l i z e d t r a c e tr
a n d L2(M,tr)
w i l l b e a b b r e v i a t e d t o
L2(M ).
I n s e c t i o n 7 . 2 w e l e a r n e d h o w t o c o n s t r u c t a v o n N e u m a n n a l g e b r a f r o m a
C ∗
- a l g e b r a a n d a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n i t . I f w e a p p l y t h i s c o n s t r u c t i o n
t o L∞(X, µ)
w i t h t r a c e g i v e n b y
f dµ
, t h e H i l b e r t s p a c e w o u l d b e L2(X,dµ)
.
F o r t h i s r e a s o n , i fM
i s a t y p e I I 1 f a c t o r w e w r i t e L2(M,tr)
f o r t h e G N S
H i l b e r t s p a c e o b t a i n e d f r o m t h e t r a c e . I n f a c t o n e c a n d e n e L p
s p a c e s
f o r1 ≤ p ≤ ∞
u s i n g t h e L p
n o r m ||x|| p = tr(|x|)1/p
. A n o n c o m m u t a t i v e
v e r s i o n o f t h e H o l d e r i n e q u a l i t y s h o w s t h a t| |− | | p i s a n o r m a n d
L p(M )i s
t h e c o m p l e t i o n . W e s e tL∞(M ) = M
a n d w e s h a l l s e e t h a tL1(M )
i s t h e
p r e d u a l
M ∗ .
L e t u s x o n t h e n o t a t i o n Ω
f o r t h e v e c t o r i n L2(M )
w h i c h i s t h e i d e n t i t y
o f
M .
P r o p o s i t i o n 9 . 1 . 1 I f M i s a t y p e I I 1 f a c t o r t h e | |− | |- u n i t b a l l o f M i s a
c o m p l e t e m e t r i c s p a c e f o r | |− | |2 a n d t h e t o p o l o g y d e n e d b y
| |− | |2 o n t h e
u n i t b a l l i s t h e s a m e a s t h e s t r o n g ( a n d u l t r a s t r o n g a n d * - s t r o n g ) t o p o l o g y .
P r o o f . I fxn i s C a u c h y i n
| |− | |2 t h e n f o r e a c h a ∈ M
,xna
i s a l s o s i n c e
||xa||2 ≤ ||a||||xn||2 . S o w e c a n d e n e
xo n t h e d e n s e s u b s p a c e
M Ωo f
L2(M )b y
x(aΩ) = limn→∞xanΩ. S i n c e
||x|| ≤ 1, w e h a v e
||xξ || ≤ ||ξ ||f o r
ξ ∈ M Ωs o
xe x t e n d s t o a b o u n d e d o p e r a t o r o n
L2(M )w h i c h i s o b v i o u s l y i n
M , a n d
xΩ = x = limn→∞ = limn→∞ xn i n | |−| |2 .
5 3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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T h e s t r o n g t o p o l o g y i s o b v i o u s l y n o s t r o n g e r t h a n
| |−||2 s i n c e t h e s i n g l e
s e m i n o r m a → ||aΩ|| d e n e s t h e
| |−||2 t o p o l o g y . M o r e o v e r||xaΩ| |≤ | |x||2||a||
s h o w s t h a t| |−||2 c o n t r o l s
t h e s t r o n g t o p o l o g y o n t h e u n i t b a l l .
F i n a l l y n o t e t h a t i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m i t d o e s n o t m a t t e r w h a t
r e p r e s e n t a t i o n o fM
i s u s e d t o d e n e t h e s t r o n g t o p o l o g y o n t h e u n i t b a l l a s
t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y d o e s n o t c h a n g e u n d e r t h e m a n i p u l a t i o n s t h a t w e
u s e d t o g e t t h e G N S c o n s t r u c t i o n f r o m a I I 1 f a c t o r o n a n a r b i t r a r y H i l b e r t
s p a c e .
T h e a c t i o n o f
M o n
L2(M,tr)i s c a l l e d t h e s t a n d a r d f o r m o f
M . N o t e
t h a tvN (Γ)
o n 2(Γ)
i s a l r e a d y i n s t a n d a r d f o r m . ( W e s e e t h a t w e c o u l d h a v e
o b t a i n e d o u r r s t e x a m p l e o f a I I 1 f a c t o r b y a p p l y i n g t h e G N S c o n s t r u c t i o n
t o t h e g r o u p a l g e b r a CΓ
w i t h t h e t r a c e tr(γ cγ uγ = cid. )
W e n o w w a n t t o d e t e r m i n e t h e c o m m u t a n tM
w h e n M
i s i n s t a n d a r d
f o r m .
D e n i t i o n 9 . 1 . 2 L e t
J : L2(M ) → L2(M )b e t h e a n t i l i n e a r u n i t a r y i n v o l u -
t i o n w h i c h i s t h e e x t e n s i o n t o L2(M )
o f t h e m a p x → x∗
f r o m M
t o M
.
L e m m a 9 . 1 . 3 F o r
x, ai n
M , a n d
ξ, ηi n
L2(M )
( i )
Jξ , Jη
=
η, ξ
( i i )
JxJ (aξ Ω) = ax∗Ω
P r o o f .
( i ) I fξ = aΩ
a n d η = bΩ
,Jξ , Jη = tr(ba∗) = η, ξ
.
( i i )JxJ (aΩ) = J (xa∗Ω) = ax∗Ω
.
C o r o l l a r y 9 . 1 . 4 F o r
M o n
L2(M ),
JMJ ⊆ M .
P r o o f . L e f t a n d r i g h t m u l t i p l i c a t i o n c o m m u t e .
L e m m a 9 . 1 . 5 F o r
M o n
L2(M ), i f
x∈
M ,
JxΩ = x∗Ω.
P r o o f . T a k e a ∈ M
, t h e n
JxΩ, aΩ = Jaω,xΩ= a∗Ω, xΩ= Ω, xaΩ
= x∗Ω, aΩ.
5 4
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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T h e o r e m 9 . 1 . 6 F o r
M o n
L2(M ),
JMJ = M .
P r o o f . I f w e c a n s h o w t h a tx → xΩ, Ω
i s a t r a c e o n M
w e a r e d o n e s i n c e
b y t h e a b o v e r e s u l t sL2(M )
c a n b e c a n o n i c a l l y i d e n t i e d w i t h L2(M )
s o t h a t
t h e t w o J
m a p s c o i n c i d e . ( N o t e t h a tΩ
i s c y c l i c a n d s e p a r a t i n g f o rM
h e n c e
a l s o f o rM
. ) S o w e w o u l d h a v e JM J ⊆ M
.
B u t f o rx, y ∈ M
,
xyΩ, Ω = yΩ, x∗Ω= yΩ, JxΩ= xΩ, JyΩ
= xΩ, y∗
Ω= yxΩ, Ω.
W e s e e t h a t t h e c o m m u t a n t o f t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o fΓ
o n 2(Γ)
i s t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r i g h t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n
s i n c e Juγ Jεγ = εγ γ −1 . A n d m o r e g e n e r a l l y t h e c o m m u t a n t o f t h e l e f t a c t i o n
o f
M o n
L2(M )i s t h e
∗ − algebrao f r i g h t m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r s . I n
p a r t i c u l a r t h e c o m m u t a n t o f a t y p e I I 1 f a c t o rM
o n L2(M )
i s a l s o a t y p e
I I 1 f a c t o r . T h i s i s n o t t h e c a s e f o r
M o n a n a r b i t r a r y H i l b e r t s p a c e . F o r
i n s t a n c e w e c o u l d c o n s i d e r M ⊗1 o n L2
(M )⊗H f o r s o m e i n n i t e d i m e n s i o n a l
H. T h e n t h e c o m m u t a n t o f
M ⊗1w o u l d b e
JMJ ⊗B(H) i n n i t e m a t r i c e s
o v e rJMJ
.
D e n i t i o n 9 . 1 . 7 A I I ∞ f a c t o r i s a f a c t o r o n t h e f o r m
M ⊗B(H)w i t h
M a
t y p e I I 1 f a c t o r a n d
dim H = ∞.
P r o p o s i t i o n 9 . 1 . 8 L e t
M b e a n i n n i t e f a c t o r w i t h a p r o j e c t i o n
p ∈ M s o
t h a t pMp
i s a t y p e I I 1 f a c t o r . T h e n M
i s a I I ∞ f a c t o r .
P r o o f . C h o o s e a m a x i m a l f a m i l y
pα
o f m u t u a l l y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s i n
M w i t h pα ∼= p ∀α . P u t q =α pα . I f 1 −
α pα w e r e ≥ p t h e n w e c o u l d
c o n t r a d i c t t h e m a x i m a l i t y o f t h e f a m i l y pα. S o w r i t e
1 = q +α pα w i t h
q ≤ p. S i n c e
M i s i n n i t e t h e s e t o f i n d i c e s
αi s i n n i t e s o w e m a y c h o o s e
a b i j e c t i o n w i t h i t s e l f m i n u s
α0 a n d w r i t e
q +α pα pα0 +
α=α0
pα =1
. W e c o n c l u d e t h a t
α pα i s e q u i v a l e n t t o
1s o w e m a y s u p p o s e i t e q u a l
t o
1. W e m a y t h e n c o n s t r u c t a s y s t e m o f m a t r i x u n i t s b y u s i n g p a r t i a l
i s o m e t r i e s i m p l e m e n t i n g t h e e q u i v a l e n c e s b e t w e e n t h e pα t o o b t a i n t h e r e s u l t
f r o m e x e r c i s e 5 . 3 . 3 .
5 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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N o t e t h a t w e u s e d i m p l i c i t l y i n t h e a b o v e p r o o f t h e f a c t t h a t t h e s u p r e -
m u m o f n i t e l y m a n y n i t e p r o j e c t i o n s i s n i t e . T h i s w i l l b e c o v e r e d i n a
s e r i e s o f e x e r c i s e s o n p r o j e c t i o n s .
I t c o u l d c o n c e i v a b l y h a p p e n t h a t , g i v e n a I I ∞ f a c t o rM
, t h e t y p e I I 1 f a c t o r
o f t h e f o r m pMp
d e p e n d s o n p
( o b v i o u s l y o n l y u p t o e q u i v a l e n c e ) . W e n o w
i n t r o d u c e t h e t r a c e o n a I I ∞ f a c t o r w h i c h w i l l m a k e t h i s i s s u e m o r e c l e a r .
I fM
i s a t y p e I I 1 f a c t o r , d e n e t h e m a p tr
f r o m
(M ⊗ B(H))+ ( t h e s e t
o f p o s i t i v e e l e m e n t s o fM ⊗ B(H)
) , t o [0, ∞]
b y
tr((xij)) =∞
i=1
tr(xii)
w h e r e w e h a v e c h o s e n a b a s i s o f t h e i n n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e H
t o
i d e n t i f y M ⊗ B(H)
w i t h c e r t a i n m a t r i c e s o v e rM
.
T h e o r e m 9 . 1 . 9 L e t
M b e a s a b o v e .
( i )tr(λx) = λtr(x)
f o r λ ≥ 0
.
( i i )tr(x + y) = tr(x) + tr(y)
.
( i i i ) I f
(aα)i s a n i n c r e a s i n g n e t o f p o s i t i v e o p e r a t o r s w i t h
α aα = a
t h e n
tr(
αaα) = limα tr(aα).
( i v )
tr(x∗x) = tr(xx∗)∀
x∈
M .
( v )tr(uxu∗) = tr(x)
f o r a n y u n i t a r y u ∈ M
a n d a n y x ≥ 0
i n M
.
( v i ) I f
pi s a p r o j e c t i o n i n
M t h e n
pi s n i t e i
tr( p) < ∞.
( v i i ) I f p
a n d q
a r e p r o j e c t i o n s w i t h p
n i t e t h e n p q
i tr( p) ≤ tr(q )
.
( v i i i ) pMp
i s a t y p e I I 1 f a c t o r f o r a n y n i t e p r o j e c t i o n p .
P r o o f . T h e r s t t w o a s s e r t i o n s a r e i m m e d i a t e . F o r ( i i i ) , n o t e t h a t t h e
d i a g o n a l e n t r i e s o f p o s i t i v e m a t r i c e s a r e o r d e r e d a s t h e m a t r i c e s , a n d a l l
n u m b e r s a r e p o s i t i v e i n t h e s u m s . ( i v ) I s o b v i o u s u s i n g m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .
( v ) f o l l o w s f r o m ( i v ) v i a uxu∗ = (u
√ x)(
√ xu∗).
F o r ( v i ) , i ftr( p) < ∞
b u tp
i s
i n n i t e , t h e r e i s a p r o p e r s u b p r o j e c t i o n o f
ph a v i n g t h e s a m e t r a c e a s
p. T h e
d i e r e n c e w o u l d b e a p r o j e c t i o n o f t r a c e z e r o w h i c h i s c l e a r l y i m p o s s i b l e .
I ftr( p) = ∞
t h e n i fq
i s a p r o j e c t i o n o f n i t e t r a c e ,q p
a n d i fq ≤ p
t h e n tr( p − q ) = ∞
s o o n e m a y c o n s t r u c t a n i n n i t e s e q u e n c e o f m u t u a l l y
o r t h o g o n a l e q u i v a l e n t p r o j e c t i o n s l e s s t h a n p
. U s i n g a b i j e c t i o n w i t h a p r o p e r
s u b s e q u e n c e , p
d o m i n a t e s
a n i n n i t e p r o j e c t i o n s o i s i n n i t e i t s e l f . ( v i i ) f o l l o w s e a s i l y a s i n t h e c a s e
o f a t y p e I I 1 f a c t o r . F o r ( v i i i ) s i m p l y o b s e r v e t h a ttr( p) < ∞
m e a n s t h a t
p q f o r s o m e
q w h o s e m a t r i x i s z e r o e x c e p t f o r n i t e l y m a n y
1' s o n t h e
d i a g o n a l . A n d o b v i o u s l y qM q
i s a t y p e I I 1 f a c t o r f o r s u c h a q
.
5 6
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C o r o l l a r y 9 . 1 . 1 0 L e t
M b e a I I ∞ f a c t o r o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e a n d
tr b e t h e t r a c e s u p p l i e d b y a d e c o m p o s i t i o n I I 1 ⊗ B(H) . T h e n tr d e n e s a n
i s o m o r p h i s m o f t h e t o t a l l y o r d e r e d s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s i n
M t o t h e i n t e r v a l
[0, ∞].
P r o o f . G i v e n t h e p r e v i o u s t h e o r e m , w e o n l y h a v e t o p r o v e t h a t a n y i n n i t e
p r o j e c t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e i d e n t i t y . B u t i f p
i s i n n i t e c h o o s e u
w i t h
uu∗ = pa n d
u∗us t r i c t l y l e s s t h a n
p. T h e n
(u∗)nua r e a s t r i c t l y d e c r e a s i n g
s e q u e n c e o f e q u i v a l e n t p r o j e c t i o n s s o w e m a y w r i t e p
a s a n o r t h o g o n a l s u m
p = p∞+∞i=1 pi w i t h a l l t h e
pi e q u i v a l e n t f o ri ≥ 1
. N o w w r i t e t h e i d e n t i t y a s
a c o u n t a b l e o r t h o g o n a l s u m o f p r o j e c t i o n s a l l p1 ( u s i n g t h e d e c o m p o s i t i o n
I I
1 ⊗ B(H)i f n e c e s s a r y ) . W e s e e t h a t
1 ≤ p.
U n l i k e t h e I I 1 c a s e , o r f o r t h a t m a t t e r t h e B(H)
c a s e , t h e t r a c e c a n n o t b e
n o r m a l i s e d ( b y tr(1) = 1
i n t h e t y p e I I 1 f a c t o r c a s e o rtr(minimalprojection) =
1i n t h e
B(H)c a s e ) . T h i s a l l o w s f o r t h e p o s s i b i l i t y o f a n a u t o m o r p h i s m
αo f
M w i t h
tr(α(x)) = λtr(x)f o r
x ≥ 0a n d
λ > 0,
λ = 1.
E x e r c i s e 9 . 1 . 1 1 S h o w t h a t t h e t r a c e o n a I I ∞ f a c t o r i s u n i q u e w i t h p r o p e r -
t i e s ( i ) t o ( v i ) , u p t o a s c a l a r .
E x e r c i s e 9 . 1 . 1 2 I f
α : M
→N
i s a * - h o m o m o r p h i s m f r o m a t y p e I I 1 f a c t o r
o n t o a n o t h e r , t h e n α i s a n i s o m o r p h i s m , s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n t h e u n i t b a l l .
5 7
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 1 0
T h e C o u p l i n g C o n s t a n t
W e w a n t t o c o m p a r e a c t i o n s o f a g i v e n I I 1 f a c t o r o n ( s e p a r a b l e ) H i l b e r t
s p a c e s . W e w i l l s h o w t h a t t h e y a r e p a r a m e t e r i z e d b y a s i n g l e n u m b e r i n
[0, ∞].
D e n i t i o n 1 0 . 0 . 1 3 I f
M i s a t y p e I I 1 f a c t o r , b y
M - m o d u l e w e w i l l m e a n a
H i l b e r t s p a c e
Ht o g e t h e r w i t h a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s u n i t a l * - h o m o m o r p h i s m
f r o m M
t o a t y p e I I 1 f a c t o r a c t i n g o n H
. T h u s M
a c t s o n H
a n d w e w i l l
w r i t e t h a t a c t i o n s i m p l y a s
xξ f o r
x ∈ M a n d
ξ i n
H.
I n f a c t t h e u l t r a w e a k c o n t i n u i t y c o n d i t i o n i s s u p e r u o u s . T h e i d e n t i t y
m a p m a k e s t h e H i l b e r t s p a c e o n w h i c h
M i s d e n e d i n t o a n
M - m o d u l e .
G i v e n M
o n H
a n d a n o t h e r H i l b e r t s p a c e K
,x → x ⊗ id
m a k e sH ⊗ K
i n t o
a n
M - m o d u l e . T h e G N S r e p r e s e n t a t i o n m a k e s
L2(M )i n t o a n
M - m o d u l e .
( T h e n o t i o n o fM −M
b i m o d u l e i s d e n e d s i m i l a r l y a s t w o c o m m u t i n g a c t i o n s
o fM
o n s o m e H i l b e r t s p a c e ,L2(M )
b e i n g t h e r s t e x a m p l e . ) T h e r e i s a n
o b v i o u s n o t i o n o f d i r e c t s u m o fM
- m o d u l e s . W e w i l l c o m p a r e a g i v e n M
-
m o d u l e H
w i t h L2(M )
b y f o r m i n g t h e d i r e c t s u m o f i tH
a n d i n n i t e l y m a n y
c o p i e s o fL2(M )
.
1 0 . 1 D e n i t i o n o f dimM HT h e o r e m 1 0 . 1 . 1
L e tM
b e a t y p e I I 1 f a c t o r a n d H
a s e p a r a b l e M
- m o d u l e .
T h e n t h e r e i s a n i s o m e t r y u : H → L2(M ) ⊗ 2(N)
s u c h t h a tux = (x ⊗ 1)u
( i . e .u
i s M
- l i n e a r ) .
P r o o f . F o r m t h e M
- m o d u l e K = L2(M ) ⊗ 2(N)
. L e tp = id ⊕ 0 ∈ B(K)
b e t h e p r o j e c t i o n o n t o H
a n d q = 0⊕id
b e t h e p r o j e c t i o n o n t o L2(M )⊗2(N)
.
B o t h p
a n d q
a r e i n M
( o n K
) w h i c h i s a I I ∞ f a c t o r s i n c e q
i s c l e a r l y i n n i t e i n
5 9
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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M a n d i f
ei s a r a n k o n e p r o j e c t i o n i n
B(2(N))
t h e n (0
⊕(1
⊗e))M (0
⊕(1
⊗e))
i s a t y p e I I 1 f a c t o r , b e i n g t h e c o m m u t a n t o f M o n L2(M ) .
S i n c e q
i s a n i n n i t e p r o j e c t i o n i n M
, b y 9 . 1 . 1 0 t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y
i n
M w i t h
u∗u = pa n d
uu∗ ≤ q . U s i n g t h e o b v i o u s m a t r i x n o t a t i o n f o r
o p e r a t o r s o n K
, l e tu
b e r e p r e s e n t e d b y a bc d
.
T h e n c a l c u l a t i n g u∗u = p
a n d uu∗ ≤ q
g i v e sb∗b+d∗d = 0
a n d aa∗+bb∗ = 0
s o t h a t
u =
0 0w 0
f o r s o m e i s o m e t r y w : H → L2(M ) ⊗ 2(N)
.
M o r e o v e r t h e f a c t t h a tu
c o m m u t e s w i t h M
i s e q u i v a l e n t t o wx = (x ⊗ 1)w
∀x ∈ M .
C o r o l l a r y 1 0 . 1 . 2 T h e c o m m u t a n t o f a t y p e I I 1 f a c t o r i s e i t h e r a t y p e I I 1
f a c t o r o r a t y p e I I ∞ f a c t o r .
P r o o f . W e l e a v e t h e p r o o f a s a n e x e r c i s e .
P r o p o s i t i o n 1 0 . 1 . 3 I f
u : H → L2(M ) ⊗ 2(N)i s a n
M - l i n e a r i s o m e t r y
t h e n uu∗ ∈ M
o n L2(M ) ⊗ 2(N)
a n d tr(uu∗)
i s i n d e p e n d e n t o f u
.
P r o o f . I fv
w e r e a n o t h e rM
- l i n e a r i s o m e t r y t h e n uu∗ = uv∗vu∗
s o b y 9 . 1 . 9
tr(uu∗) = tr((vu∗)(uv∗)) = tr(vv∗).
O b s e r v e t h a t i fM
w e r e r e p l a c e d b y C
i n t h e a b o v e c o n s t r u c t i o n t h e
n u m b e r
tr(uu∗)w o u l d b e t h e d i m e n s i o n o f
H.
D e n i t i o n 1 0 . 1 . 4 F o r a t y p e I I 1 f a c t o r ( o r t h e n × n m a t r i c e s ) a n d a n M
-
m o d u l e
H, t h e n u m b e r
tr(u∗u)d e n e d b y t h e t w o p r e v i o u s r e s u l t s i s c a l l e d
dimM H , o r t h e c o u p l i n g c o n s t a n t o r t h e M
- d i m e n s i o n o fH
.
S i m p l y b y r e d u c i n g b y p r o j e c t i o n s i n (M ⊗ 1)
o n e o b t a i n s H i l b e r t s p a c e s
w h o s e M
- d i m e n s i o n i s a n y n u m b e r i n [0, ∞]
.
T r i v i a l e x a m p l e s
( i )
dimM L2(M ) = 1
.
( i i )dimM (L2(M ) ⊗ 2(N)) = ∞
6 0
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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1 0 . 2 E l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f dimM
HT h e o r e m 1 0 . 2 . 1
W i t h n o t a t i o n a s a b o v e ,
( i )
dimM (H) < ∞i
M i s a t y p e I I 1 f a c t o r .
( i i )dimM H = dimM K i
M o n
Ha n d
M o n
Ka r e u n i t a r i l y e q u i v a l e n t ( =
s p a t i a l l y i s o m o r p h i c ) .
( i i i ) I f Hi a r e ( c o u n t a b l y m a n y )
M - m o d u l e s ,
dimM (⊕iHi) =i
dimM Hi.
( i v ) dimM (L2(M )q ) = tr(q ) f o r a n y p r o j e c t i o n q ∈ M .
( v ) I f p
i s a p r o j e c t i o n i n M
,dim pMp( pH) = trM ( p)−1 dimM (H)
.
F o r t h e n e x t t w o p r o p e r t i e s w e s u p p o s e M
i s n i t e , h e n c e a t y p e I I 1 f a c t o r
w i t h t r a c e trM .
( v i ) I f
pi s a p r o j e c t i o n i n
M ,
dimMp( pH) = trM ( p)dimM H .
( v i i )(dimM H)(dimM H) = 1
.
P r o o f . U s i n g a n M
- l i n e a r i s o m e t r y u
w e s e e t h a tM
o n H
i s u n i t a r i l y
e q u i v a l e n t t o M
o n uu∗L2(M ) ⊗ 2(N)
. T h i s m a k e s ( i ) a n d ( i i ) o b v i o u s .
T o s e e ( i i i ) , c h o o s e
M - l i n e a r i s o m e t r i e s
ui f r o m
Hi t o
L2(M )⊗
2(N)a n d
c o m p o s e t h e m w i t h i s o m e t r i e s s o t h a t t h e i r r a n g e s a r e a l l o r t h o g o n a l . A d d i n g
w e g e t a n
M - l i n e a r i s o m e t r y
uw i t h
uu∗ =
uiu∗i . T a k i n g t h e t r a c e w e a r e
d o n e .
F o r ( i v ) , c h o o s e a u n i t v e c t o rξ ∈ 2(N)
a n d d e n e u(v) = v ⊗ ξ
. T h e n
uu∗i s
JqJ ⊗ ew h e r e
ei s a r a n k o n e p r o j e c t i o n .
( v ) L e t u s r s t p r o v e t h e r e l a t i o n i n t h e c a s e H = L2(M )q
w h e r e q
i s a
p r o j e c t i o n i n M
w i t h q ≤ p
.
T h e n
pxpΩ → p(xΩ) pi s a u n i t a r y f r o m
L2( pMp)t o
pL2(M ) pw h i c h i n t e r -
t w i n e s t h e l e f t a n r i g h t a c t i o n s o f pMp
. H e n c e pMp
o n pL2(M )q
i s u n i t a r i l y
e q u i v a l e n t t o pMp o n L2
( pMp)q . S o b y ( i v ) , dim pMp( pH) = tr pMp(q ) =trM ( p)−1trM (q ) = trM ( p)−1 dimM H .
N o w i fH
i s a r b i t r a r y , i t i s o f t h e f o r m e(L2(M )⊗2(N))
f o re ∈ (M ⊗1)
/
B u te
i s t h e o r t h o g o n a l s u m o f p r o j e c t i o n s a l l e q u i v a l e n t t o o n e s a s i n ( i v )
w i t h q ≤ p
.
( v i ) W e m a y s u p p o s e
H = e(L2(M )⊗2(N))s o
M = e(JMJ ⊗B(2(N))ea n d
pd e n e s t h e i s o m e t r y i n t h e d e n i t i o n o f
dimM ( pH). B u t
pi s a p r o j e c -
t i o n l e s s t h a n e
i n a I I∞
f a c t o r s o b y u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e ,dimM ( pH) =
tr(M ⊗1)( p) = tr(M ⊗1)( p)/tr(M ⊗1)(e)dimM (H) = trM ( p)dimM (H).
6 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 62/121
( v i i ) O b s e r v e t h a t , o n L2(M )
,dimM (
H)dimM (
H) = 1
s o b y ( v ) a n d
( v i ) t h e r e s u l t i s t r u e f o r M - m o d u l e s o f t h e f o r m L2(M ) p . A l s o i f o n e f o r m s
K = ⊕ki=1H t h e n dimM ⊗1(K) = k dim H
a n d dim(M ⊗1) K = k−1 dimM b y
( v ) . B u t a n y H
c a n b e o b t a i n e d f r o m L2(M )
a s⊕ki=1L2(M ) p
f o r s u i t a b l e k
a n d p
.
E x a m p l e 1 0 . 2 . 2 I f
Γ0 < Γa r e i c c g r o u p s ,
vN (Γ0)a c t s o n
2(Γ). A n d i f
γ ∈Γ
t h e u n i t a r y ρ(γ )
o f t h e r i g h t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n g i v e s a vN (Γ0)
- l i n e a r
u n i t a r y b e t w e e n 2(Γ0)
a n d 2(Γ0γ −1)
. H e n c e b y t h e c o s e t d e c o m p o s i t i o n ,
dimvN (Γ0)(2(Γ)) = [Γ : Γ0].
T h i s i n s p i r e s t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n : I f N ⊆ M a r e I I 1 f a c t o r s , t h e i n d e x
[M : N ]o f
N i n
M i s t h e r e a l n u m b e r
dimN L2(M )
.
E x e r c i s e 1 0 . 2 . 3 S h o w t h a t
[M : N ] = 1i m p l i e s
N = M .
E x a m p l e 1 0 . 2 . 4 ( D u e t o A t i y a h a n d S c h m i d t . )
D i s c r e t e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s o f l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s .
R e d u c t i o n b y a n i t e p r o j e c t i o n i n t h e c o m m u t a n t o f a t y p e I I 1 f a c t o r
o c c u r s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s . I f a d i s c r e t e
s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n i s r e s t r i c t e d t o a n i c c l a t t i c e i t g e n e r a t e s a t y p e I I 1 f a c t o r
. T h e c o u p l i n g c o n s t a n t i s g i v e n b y t h e r a t i o o f t h e f o r m a l d i m e n s i o n a n d
t h e c o v o l u m e o f t h e l a t t i c e .
W e i l l u s t r a t e i n t h e c a s e o fP SL(2,R)
w h i c h i s t h e g r o u p o f t r a n s f o r -
m a t i o n s o f t h e u p p e r h a l f p l a n e H = z ∈ C : Im(z ) > 0
,z → az + b
cz + d
d e n e d b y i n v e r t i b l e r e a l
2 × 2m a t r i c e s
a bc d
I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e r e
i s a f u n d a m e n t a l d o m a i n D
f o r t h e a c t i o n o f t h e s u b g r o u p Γ = P SL(2,Z)
i l l u s t r a t e d b e l o w :
D O F I G U R E
T h e s e tD
a n d a l l i t s t r a n s l a t e s u n d e rP SL(2,Z)
c o v e r H a n d a r e d i s j o i n t
a p a r t f r o m b o u n d a r i e s w h i c h a r e o f L e b e s g u e m e a s u r e 0
. T h u s i fµ
i s a n
i n v a r i a n t m e a s u r e e q u i v a l e n t t o L e b e s g u e m e a s u r e ,L2(H, dµ)
g i v e s a u n i t a r y
r e p r e s e n t a t i o n o f
Γw h i c h i s u n i t a r i l y e q u i v a l e n t t o t h e l e f t r e g u l a r r e p r e -
s e n t a t i o n t e n s o r e d w i t h t h e i d e n t i t y o n L2(D,dµ)
, m a k i n g L2(H, dµ)
i n t o a
vN (Γ)- m o d u l e w h o s e
vN (Γ)d i m e n s i o n i s i n n i t e .
T h e m e a s u r e
dxdy
y2i s
Γ- i n v a r i a n t b u t w e w a n t t o v a r y t h i s p r o c e d u r e
s l i g h t l y . F o r e a c h n ∈ N c o n s i d e r
dxdy
y2−n. T h i s m e a s u r e i s n o t i n v a r i a n t b u t
6 2
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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w e c a n m a k e t h e a c t i o n o f
P SL(2,R)u n i t a r y o n
L2(H,dxdy
y2−n)
b y t h e f o r m u l a
a bc d
f (z ) =
1
(cz + d)nf (
az + b
cz + d)
( w i t h p e r h a p s a n i n v e r s e m a t r i x . . . e x e r c i s e a s u s u a l ) . T h i s c h a n g e s n o t h -
i n g a s f a r a s h o w t h e r e p r e s e n t a t i o n l o o k s t o P SL(2,Z)
s o w e o b t a i n ( u n i t a r i l y
e q u i v a l e n t )
vN (Γ)- m o d u l e s
Hn = L2(H,dxdy
y2−n)
f o r e a c h
n.
T h e c o m m u t a n t o fvN (Γ)
o n Hn i s a I I ∞ f a c t o r . B u t a s i s w e l l k n o w n ,
h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s f o r m a c l o s e d s u b s p a c e o fL2
f u n c t i o n s w h i c h i s m a n i -
f e s t l y i n v a r i a n t u n d e r
P SL2(R
). T h e e n s u i n g u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n i s k n o w n
t o b e i r r e d u c i b l e a n d i n t h e d i s c r e t e s e r i e s o fP SL2(R)
. I t c a n b e s h o w n t o b e
a n i t e p r o j e c t i o n i n
Γ. T h u s w e h a v e a c o n c r e t e e x a m p l e o f a
vN (Γ)- m o d u l e
w i t h n i t e vN (Γ)
- d i m e n s i o n o r c o u p l i n g c o n s t a n t .
I n g e n e r a l , i fG
i s a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p w i t h H a a r m e a s u r e dg
, t h e
d i s c r e t e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s a r e p r e c i s e l y t h o s e i r r e d u c i b l e u n i t a r y r e p r e -
s e n t a t i o n sπ
t h a t a r e d i r e c t s u m m a n d s o f t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o n
L2(G,dg). S o i f
Γi s a d i s c r e t e s u b g r o u p w i t h a f u n d a m e n t a l d o m a i n
Ds o
t h a tG
i s c o v e r e d b y t h e γ (D)
w h i c h a r e d i s j o i n t u p t o m e a s u r e z e r o s e t s ,
w e m a y a p p l y t h e s a m e a n a l y s i s a s a b o v e t o o b t a i n a vN (Γ)
m o d u l e . T h e
o b v i o u s q u e s t i o n i s t o c a l c u l a t e i t s c o u p l i n g c o n s t a n t . T h i s t u r n s o u t t o b e
q u i t e s i m p l e b e c a u s e o f a k e y p r o p e r t y o f d i s c r e t e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s .
S e e [ r e f r o b e r t ] f o r t h e p r o o f t h a t i fH
i s a H i l b e r t s p a c e a o r d i n g a d i s c r e t e
s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n π
o fG
, t h e n t h e f u n c t i o n sg → πgξ, η
, t h e s o - c a l l e d
c o e c i e n t s o fπ
a r e i n L2(G,dg)
. W e m a y t h e n i m i t a t e t h e u s u a l p r o c e d u r e
f o r n i t e o r c o m p a c t g r o u p s e m b e d d i n g H
i n L2(G,dg)
. A n d t h e u s u a l S c h u r
o r t h o g o n a l i t y o f t h e c o e c i e n t s o f a r e p r e s e n t a t i o n y i e l d s a n u m b e rdπ s u c h
t h a t
dπ
G
πgξ, ηη, πgξ dg = ξ, ξ η, η.
I fG
i s c o m p a c t a n d H a a r m e a s u r e i s n o r m a l i z e d s o t h a tG
h a s m e a s u r e 1
,dπ
i s t h e d i m e n s i o n o f t h e v e c t o r s p a c e H . I n g e n e r a l dπ d e p e n d s o n t h e c h o i c e
o f H a a r m e a s u r e b u t o b v i o u s l y t h e p r o d u c t o fdπ w i t h t h e c o v o l u m e
D
dgd o e s n o t . T h e c o e c i e n t s g i v e a n e x p l i c i t e m b e d d i n g o f
Hi n
L2(G,dg)a n d
a s t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t i o n o f t h e t r a c e o f t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e i m a g e o f
Hi n
vN (Γ)y i e l d s i m m e d i a t e l y t h e f o r m u l a
dimvN (Γ)(H) = dπ covolume(Γ).
T h e d e t a i l e d c a l c u l a t i o n f r o m t h i s p o i n t o f v i e w c a n b e f o u n d i n [ 1 ] p p . 1 4 2 -
1 4 8 .
6 3
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E x a m p l e 1 0 . 2 . 5 C o n s i d e r t h e s u b f a c t o r
N
⊆N
⊗M n(C)
( d i a g o n a l e m -
b e d d i n g ) . E a c h m a t r i x u n i t eij g i v e s a n N - l i n e a r i s o m e t r y o f L2(N ) o n t o
a s u b s p a c e o fL2(N ⊗ M n(C))
w h i c h i s a n o r t h o g o n a l d i r e c t s u m o f t h e s e
e q u i v a l e n t s u b s p a c e s . H e n c e [N ⊗ M n(C) : N ] = n2
.
P r o p o s i t i o n 1 0 . 2 . 6 I f
M i s a t y p e I I 1 f a c t o r o n
Ht h e n
( a )M
h a s a s e p a r a t i n g v e c t o r i f dimM (H) ≥ 1
.
( b )M
h a s a c y c l i c v e c t o r i f dimM (H) ≤ 1
.
P r o o f . B o t h a s s e r t i o n s f o l l o w i m m e d i a t e l y b y c o m p a r i n g H
t o L2(M ) p
o r a
d i r e c t s u m o f c o p i e s o f i t .
I n f a c t b o t h c o n d i t i o n s i n t h e l a s t p r o p o s i t i o n a r e i . F o r t h a t o n e n e e d s
t o c o n t r o l a r b i t r a r y v e c t o r s i n L2(M )
. I n f a c t t h e o r i g i n a l d e n i t i o n o f t h e
c o u p l i n g c o n s t a n t b y M u r r a y a n d v o n N e u m a n n w a s a s f o l l o w s . L e tM
o n H
b e a t y p e I I 1 f a c t o r w h o s e c o m m u t a n t i s a t y p e I I 1 f a c t o r . C h o o s e
a n y n o n z e r o v e c t o rξ ∈ H
a n d l e tp
a n d q
b e p r o j e c t i o n s o n t o t h e c l o s u r e s
o fM ξ
a n d M ξ
r e s p e c t i v e l y . T h e n p ∈ M
a n d q ∈ M
a n d u s i n g t h e
n o r m a l i s e d t r a c e s t h e c o u p l i n g c o n s t a n t w a s d e n e d a s t h e r a t i o
trM (q )
trM ( p),
t h e h a r d p a r t b e i n g t o s h o w t h a t t h i s r a t i o i s i n d e p e n d e n t o fξ
. A s s u m i n g
t h i s l a s t s t a t e m e n t i t i s t r i v i a l t o i d e n t i f y t h e M u r r a y - v o n N e u m a n n c o u p l i n g
c o n s t a n t w i t h o u r dimM (H) b u t a t t h i s s t a g e w e h a v e n o t h i n g t o o e r i n t h e
w a y o f a s i m p l i e d p r o o f o f w h y t h i s
n u m b e r d o e s n o t d e p e n d o n ξ
.
E x a m p l e 1 0 . 2 . 7 ( d u e t o M . R i e e l ) I f
(X, µ)i s a m e a s u r e s p a c e a n d
Γi s
a c o u n t a b l e g r o u p a c t i n g b y m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n s o n (X, µ)
s o t h a tΓ
a c t s b y u n i t a r i e suγ o n
L2(X, µ)i n t h e o b v i o u s w a y . W e s a y t h a t
a m e a s u r a b l e s u b s e tD ⊆ X
i s a f u n d a m e n t a l d o m a i n f o rΓ
i fX = ∪γ γ (D)
a n d µ(Dγ (D)) = 0
f o r a l lγ ∈ Γ
,γ = id
. ( O n e m a y c l e a r l y s u p p o s e t h e
γ (D)a r e d i s j o i n t b y r e m o v i n g a s e t o f m e a s u r e z e r o . ) I n t h i s s i t u a t i o n t h e
a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a L∞
(X )Γ
o f Γ - i n v a r i a n t L∞
f u n c t i o n s m a y b e
i d e n t i e d w i t h t h e s p a c e L∞(D)
.
N o w s u p p o s e Γ
a n d Λ
a r e t w o g r o u p s a c t i n g o n X
a s a b o v e w i t h f u n d a -
m e n t a l d o m a i n s
Da n d
E r e s p e c t i v e l y . W e m a y c o n s i d e r t h e v o n N e u m a n n
a l g e b r a M Γ,Λ o n
L2(X, µ)d e n e d a s
uγ : γ ∈ Γ ∪ L∞(X )Λ.
6 4
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 1 1
T h e C r o s s e d P r o d u c t
c o n s t r u c t i o n .
P e r h a p s t h e m o s t u s e f u l w a y o f p r o d u c i n g v o n N e u m a n n a l g e b r a s f r o m o t h e r s
i s t h e c r o s s e d p r o d u c t . W e b e g i n b y d e n i n g a v e r y g e n e r a l n o t i o n a b o u t
w h i c h t h e r e i s n o t a l o t t o s a y , b u t t h e n e x a m i n e i t c a r e f u l l y i n s p e c i a l c a s e s .
1 1 . 1 G r o u p a c t i o n s .
L e t M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a a n d G a g r o u p . A n a c t i o n o f G o n M i s a h o m o m o r p h i s m
g → αg f r o m G
t o t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p AutM
o f
M ( w h e r e a u t o m o r p h i s m s m a y b e a s s u m e d u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s i f n e c -
e s s a r y ) . T h e a l g e b r a o f x e d p o i n t s f o r t h e a c t i o n i s d e n o t e d M G
a n d i s a
v o n N e u m a n n a l g e b r a . A s p e c i a l c a s e o f s o m e i m p o r t a n c e i s w h e n t h e i s a
u n i t a r y g r o u p r e p r e s e n t a t i o n g → ug w i t h
ugMu∗g = M ∀g ∈ G. I n t h a t c a s e
s e t t i n g
αg(x) = ugxu∗g d e n e s a n a c t i o n o f
Go n
M ( a n d
M ) . W e s a y t h a t
t h e a c t i o n α
i s i m p l e m e n t e d b y t h e u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n ug . I f t h e
ug a r e
a c t u a l l y i n M
, w e s a y t h a t t h e a c t i o n i s i n n e r a s a n i n n e r a u t o m o r p h i s m o f
M i s b y d e n i t i o n o n e o f t h e f o r m A d
u(x) = uxu∗f o r
ua u n i t a r y i n
M . A n
a u t o m o r p h i s m i s c a l l e d o u t e r i f i t i s n o t i n n e r .
A c t i o n s a r e n o t a l w a y s i m p l e m e n t a b l e t h o u g h t h e n o t i o n d e p e n d s o n t h e
H i l b e r t s p a c e o n w h i c h M
a c t s .
E x e r c i s e 1 1 . 1 . 1 I f
(X, µ)i s a m e a s u r e s p a c e a n d
T i s a b i j e c t i o n o f
X w h i c h p r e s e r v e s t h e m e a s u r e c l a s s o f
µ( i . e .
µ(A) = 0 ⇔ µ(T −1(A)) = 0. )
s h o w h o w
T d e n e s a n a u t o m o r p h i s m
αT o f
L∞(X, µ). S h o w f u r t h e r t h a t
t h i s a u t o m o r p h i s m i s i m p l e m e n t e d b y a u n i t a r y u
o n L2(X, µ)
.
A b i j e c t i o n T
a s a b o v e i s c a l l e d e r g o d i c i fT (A) = A
f o r a m e a s u r a b l e
s u b s e tA ⊆ X
i m p l i e s e i t h e rµ(A) = 0
o rµ(X \ A) = 0
.
6 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o p o s i t i o n 1 1 . 1 . 2 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e
T i s e r g o d i c i t h e o n l y x e d
p o i n t s f o r αT a r e c o n s t a n t f u n c t i o n s .
P r o o f . (⇒
) L e tf ∈ L∞
a n d αT (f ) = f
. A f t e r t h r o w i n g a w a y a n u l l s e t w e
m a y a s s u m e t h a t
f (x) = f (T (x))f o r a l l
x ∈ X . T h e n f o r e v e r y
> 0, b y
t h e d e n i t i o n o f t h e e s s e n t i a l s u p r e m u m ,µ(x : ||f | |− |f (x)| < = 0
. B u t
t h i s s e t i s i n v a r i a n t u n d e rT
s o i t i s e q u a l t o X
u p t o a s e t o f m e a s u r e 0
.
L e t t i n g
t e n d t o 0
w e s e e t h a tµ(x : |f (x)| = ||f ||) = 0
. S o w e m a y a s s u m e
f (x) = eig(x)f o r s o m e m e a s u r a b l e
gt a k i n g v a l u e s i n
[0, 2π). R e p e a t i n g t h e
a r g u m e n t f o rg
g i v e sf
c o n s t a n t a l m o s t e v e r y w h e r e .
(⇐
) I fA
i s a m e a s u r a b l e i n v a r i a n t s e t t h e n i t s c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n i s
x e d b y α
i n L∞
i A
i s i n v a r i a n t .
E x e r c i s e 1 1 . 1 . 3 L e t
σx =
0 11 0
,
σy =
0 −ii 0
a n d
σz =
1 00 −1
b e t h e P a u l i s p i n m a t r i c e s . S h o w t h a t A d
ux , A d uy a n d A d
uz d e n e a n
a c t i o n o f t h e g r o u p Z/2Z ⊕ Z/2Z
o n t h e t w o b y t w o m a t r i c e s w h i c h i s n o t
i m p l e m e n t a b l e f o r M 2(C)
o n C2
.
E x e r c i s e 1 1 . 1 . 4 S h o w t h a t a n y g r o u p a c t i o n i s i m p l e m e n t a b l e f o r a t y p e
I I 1 f a c t o r i n s t a n d a r d f o r m a n d m o r e g e n e r a l l y a n y a u t o m o r p h i s m g r o u p p r e -
s e r v i n g a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e i s i m p l e m e n t a b l e i n t h e G N S r e p r e s e n t a t i o n .
E x e r c i s e 1 1 . 1 . 5 S h o w t h a t e v e r y a u t o m o r p h i s m o f
B(H)i s i n n e r .
E x e r c i s e 1 1 . 1 . 6 S h o w t h a t t h e a u t o m o r p h i s m o f
vN (F 2)c o m i n g f r o m t h e
g r o u p a u t o m o r p h i s m w h i c h e x c h a n g e s t h e 2 g e n e r a t o r s i s o u t e r .
I fG
i s a t o p o l o g i c a l g r o u p t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e n o t i o n s o f c o n t i n u i t y .
T h e m o s t u s e f u l i s t h a t o f p o i n t w i s e * - s t r o n g c o n v e r g e n c e , i . e . w e a s s u m e t h a t
t h e m a p g → α(g)(x)
i s * - s t r o n g c o n t i n u o u s f o r a n y x ∈ M
. T y p i c a l l y m a n y
o t h e r n o t i o n s o f c o n t i n u i t y w i l l b e e q u i v a l e n t t o t h a t a n d e v e n a m e a s u r a b i l i t y
a s s u m p t i o n c a n b e e n o u g h t o e n s u r e t h i s c o n t i n u i t y .
W e w i l l a l w a y s a s s u m e p o i n t w i s e * - s t r o n g c o n t i n u i t y w h e n r e f e r r i n g t o a n
a c t i o n o f a t o p o l o g i c a l g r o u p .
E x e r c i s e 1 1 . 1 . 7 I s t h e a c t i o n b y t r a n s l a t i o n o f
Ro n
L∞(R)p o i n t w i s e n o r m
c o n t i n u o u s ? p o i n t w i s e s t r o n g l y c o n t i n u o u s ? p o i n t w i s e * - s t r o n g c o n t i n u o u s ?
A c t i o n s o f a g i v e n g r o u p o n v o n N e u m a n n a l g e b r a s a r e e a s y t o c o n s t r u c t
b u t a c t i o n s o f a g r o u p o n a g i v e n v o n N e u m a n n a l g e b r a m a y b e h a r d t o c o m e
b y .
6 6
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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D e n i t i o n 1 1 . 1 . 8 A n a c t i o n o f
Go n
M i s s a i d t o b e e r g o d i c i f
M G = Cid.
E x e r c i s e 1 1 . 1 . 9 S h o w t h a t i f
Ga c t s p r e s e r v i n g
µo n
(X, µ)t h e n t h e r e -
s u l t i n g a c t i o n o f G
o n L∞(X, µ)
i s e r g o d i c i t h e o n l y m e a s u r a b l e s u b s e t s
A ⊆ X w h i c h s a t i s f y
µ(g(A)∆A) = 0 ∀g ∈ Gs a t i s f y e i t h e r
µ(A) = 0o r
µ(X \ A) = 0.
( H e r e A∆B
m e a n sA \ B ∪ B \ A
. )
T h e f o l l o w i n g q u e s t i o n i s a n i n t r i g u i n g o p e n p r o b l e m :
D o e sSU (3)
h a v e a n y e r g o d i c a c t i o n o n a t y p e I I 1 f a c t o r ?
I t i s s h o w n i n [ ] t h a t
SU (2)h a s n o s u c h a c t i o n a n d i t i s s h o w n i n [ ] t h a t
i f a c o m p a c t g r o u p a c t s e r g o d i c a l l y o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a t h e n t h a t v o n
N e u m a n n a l g e b r a h a s a f a i t h f u l n o r m a l t r a c e .
1 1 . 2 T h e c r o s s e d p r o d u c t
I fα
i s a n a c t i o n o f t h e l o c a l l y c o m p a c t g r o u p G
w i t h H a a r m e a s u r e dg
o n t h e
v o n N e u m a n n a l g e b r a M
o n t h e H i l b e r t s p a c e H
. F o r m t h e H i l b e r t s p a c e
K = L2(G, H) = L2(X ) ⊗ Ha n d l e t
Ga c t o n
Kb y
ug = λg ⊗ 1,
λb e i n g t h e
l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n . F u r t h e r , l e tM
a c t o n K
b y
(xf )(g) = αg−1(f (g))
.
E x e r c i s e 1 1 . 2 . 1 S h o w t h a t
x → xi s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s * - i s o m o r p h i s m
o f M
o n t o a v o n N e u m a n n s u b a l g e b r a o f B(K)
.
E x e r c i s e 1 1 . 2 . 2 S h o w t h a t
ugxu∗g =αg(x).
N o t e t h a t t h i s g i v e s a n o t h e r w a y o f m a k i n g a g r o u p a c t i o n i m p l e m e n t a b l e ,
a t l e a s t w h e n i t i s l o c a l l y c o m p a c t .
D e n i t i o n 1 1 . 2 . 3 I f
M ,
H,
Ga n d
αa r e a s a b o v e , t h e c r o s s e d p r o d u c t
M αGi s t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
Kg e n e r a t e d b y
ug : g ∈ Ga n d
x : x ∈ M .
> F r o m n o w o n w e w i l l d r o p t h e ˜
a n d i d e n t i f y M
w i t h M
. N o t e
t h a t n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n s
g xgug f o r m a d e n s e * - s u b a l g e b r a o f
M αG.
M o r e o v e r t h e ug a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o v e r
M i n t h e s e n s e t h a t
g xgug =
0 ⇒ xg = 0f o r e a c h
gi n t h e s u m . T h i s d e n s e s u b a l g e b r a c o u l d b e c a l l e d t h e
a l g e b r a i c c r o s s e d p r o d u c t .
6 7
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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T h e r e i s a w e l l - d e v e l o p e d t h e o r y o fM αG
w h e n G
i s c o m p a c t o r a b e l i a n ,
b u t w e s h a l l b e m o s t l y i n t e r e s t e d i n t h e c a s e w h e r e G i s d i s c r e t e a s t h e n w e
m a y r e p l a y t h e m a t r i x e l e m e n t g a m e t h a t w e p l a y e d f o rvN (Γ)
t o g a i n c o n t r o l
o f w e a k l i m i t s o f e l e m e n t s i n t h e a l g e b r a i c c r o s s e d p r o d u c t . ( I n f a c t o f c o u r s e
vN (Γ)i s t h e s p e c i a l c a s e o f t h e c r o s s e d p r o d u c t w h e n
M = Ca n d t h e a c t i o n
i s t r i v i a l . ) I n d e e d w e s e e
i m m e d i a t e l y a s i n 3 . 1 . 1 0 t h a t i fG
i s d i s c r e t e , a n y e l e m e n t o fM αG
d e n e s a f u n c t i o n g → xg s o t h a t t h e s u m
g xgug s t a n d s f o r a c e r t a i n
m a t r i x o f o p e r a t o r s o n
K = H ⊗ 2(G). M o r e o v e r a n y m a t r i x o f t h i s f o r m
w h i c h d e n e s a b o u n d e d o p e r a t o r o n K
i s i n
M αG. T h i s i s b e c a u s e t h e s u m c o n v e r g e s p o i n t w i s e a t l e a s t o n t h e
d e n s e s e t o f f u n c t i o n s o f n i t e s u p p o r t f r o m G t o H . I n t h e c a s e w h e r e t h e
c r o s s e d p r o d u c t i s a I I 1 f a c t o r w e k n o w t h a t t h e c o m m u t a n t c o n s i s t s o f r i g h t
m u l t i p l i c a t i o n b y e l e m e n t s o fM αG
s o a w e a l y d e n s e s u b a l g e r a o f(M αG)
p r e s e r v e s t h i s d e n s e s u b s p a c e o f v e c t o r s a n d o n t h a t s u b s p a c e
g xgug a n d
r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y ug a n d
x ∈ M c o m m u t e . W e w i l l r e t u r n t o t h e g e n e r a l
c a s e l a t e r o n .
M o r e o v e r t h e f o r m u l a e
(
xgug)∗ =
αg(xg−1)ug
a n d
(
xgug)(
ygug) =g h xhαh(yh
−1
g)ug
a r e j u s t i e d b y m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .
W e s h a l l n o w p r o v i d e s o m e s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r
M αGt o b e a f a c t o r
a l w a y s a s s u m i n g G
i s d i s c r e t e .
D e n i t i o n 1 1 . 2 . 4 A n a c t i o n
αo f
Go n
M i s c a l l e d o u t e r i f t h e o n l y
gi n
G f o r w h i c h
αg i s i n n e r i s t h e i d e n t i t y .
P r o p o s i t i o n 1 1 . 2 . 5 I f
Gi s a d i s c r e t e g r o u p a n d
αi s a n o u t e r a c t i o n o f
Go n t h e f a c t o r
M t h e n
M αGi s a f a c t o r .
P r o o f . I f x =
xgug ∈ Z (M ) t h e n e q u a t i n g c o e c i e n t s i n t h e e x p r e s s i o n
t h a tx
c o m m u t e s w i t h M
g i v e s u syxg = xgαg(y) ∀y ∈ M
,g ∈ G
. B y t h e
n e x t l e m m a t h i s i m p l i e sxg = 0
f o r a n y g = 1
. T h u sx ∈ M
a n d s i n c e M
i s
a f a c t o r w e a r e d o n e .
L e m m a 1 1 . 2 . 6 L e t
α ∈ AutM f o r a f a c t o r
M . S u p p o s e t h e r e i s a n
x ∈ M ,
x = 0, w i t h
yx = xα(y) ∀ y ∈ M.
T h e n α
i s i n n e r .
6 8
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . I fx
w e r e u n i t a r y t h i s w o u l d b e o b v i o u s . S o t a k e t h e a d j o i n t o f t h e
r e l a t i o n t o o b t a i n x∗y = α(y)x∗ ∀y ∈ M . T h u s yxx∗ = xα(y)x∗ = xx∗ya n d
xx∗ ∈ Z (M ). S i m i l a r l y
x∗x ∈ Z (M ). B u t
xx∗a n d
x∗xa l w a y s h a v e
t h e s a m e s p e c t r u m s o s i n c e M
i s a f a c t o r b o t h xx∗
a n d x∗x
a r e e q u a l t o t h e
s a m e p o s i t i v e n u m b e rλ
. D i v i d i n g b y
√ λ
c o n v e r t sx
i n t o a u n i t a r y a n d w e
a r e d o n e .
T h e s e t w o r e s u l t s p r o m p t t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n .
D e n i t i o n 1 1 . 2 . 7 A n a u t o m o r p h i s m
αo f a v o n N e u m a n n a l g e b r a
M i s
c a l l e d f r e e i f
yx = xα(y) ∀ y ∈ M ⇒ x = 0.
A n a c t i o n α i s c a l l e d f r e e i f αg i s f r e e f o r e v e r y g = id.
T h e a r g u m e n t o f p r o p o s i t i o n 1 1 . 2 . 5 s h o w s i n f a c t t h a t i f
αi s a f r e e a c t i o n
o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M
t h e n Z (M αG) ⊆ M
, i n f a c t t h a tM ∩
M αG ⊆ M .
T h e o r e m 1 1 . 2 . 8 I f
αi s a f r e e e r g o d i c a c t i o n o f
Go n a v o n N e u m a n n a l -
g e b r a
M , t h e n
M αGi s a f a c t o r .
P r o o f . T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e p r e c e d i n g r e m a r k .
T o u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g o f f r e e n e s s f o r a u t o m o r p h i s m s o f t h e f o r m
αT w e n e e d t o m a k e a h y p o t h e s i s o n (X, µ) a s o t h e r w i s e o n e c o u l d e n v i s a g e
a
T w h i c h i s n o n - t r i v i a l o n
X b u t f o r w h i c h
αT i s t h e i d e n t i t y . S o w e w i l l
s u p p o s e f r o m n o w o n t h a t(X, µ)
i s c o u n t a b l y s e p a r a t e d . T h i s m e a n s t h e r e
i s a s e q u e n c e
Bn o f m e a s u r a b l e s e t s w i t h
µ(Bn) > 0f o r w h i c h , i f
x = y, t h e r e
i s a n n
w i t h x ∈ Bn b u t
y /∈ Bn . O b v i o u s l y Rn
i s c o u n t a b l y s e p a r a t e d .
E x e r c i s e 1 1 . 2 . 9 S h o w t h a t
αT = idm e a n s t h a t
T x = xa l m o s t e v e r y w h e r e .
H i n t - l o o k a t t h e p r o o f o f t h e n e x t r e s u l t .
P r o p o s i t i o n 1 1 . 2 . 1 0 I f
T i s a t r a n s f o r m a t i o n o f
(X, µ)t h e n
αT i s f r e e i
µ(x : T (x) = x) = 0 .
P r o o f . (⇒
) I fA
i s a n y m e a s u r a b l e s e t o n w h i c h T = id
t h e n χAf = αT (f )χA
f o r a l l
f ∈ L∞.
(⇐
) F i r s t t h r o w a w a y a n y x e d p o i n t s o fT
. T h e n s u p p o s e f 1αT (f 2) =
f 2f 1 ∀ f 2 ∈ L∞. L e t
Ab e t h e s u p p o r t o f
f 1 . T h e n s i n c e
T h a s n o x e d
p o i n t s ,A = ∪n(A ∩ Bn \ T −1(Bn))
.
I ff 1 w e r e n o n - z e r o i n
L∞, w e c o u l d t h u s c h o o s e a n
nf o r w h i c h
µ(A∩Bn\T −1(Bn)) > 0
. S e tf 2 = χBn . T h e n f o r a n y
x ∈ A ∩ Bn \ T −1(Bn)w e h a v e
6 9
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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f 1(x)f 2(x)
= 0
b u tf 1(x)f 2(T x) = f 1(x)χBn(T x) = 0
s i n c e x /
∈T −1(Bn)
.
T h u s f 1αT (f 2) = f 2f 1 i n L∞ . S o t h e m e a s u r e o f A m u s t b e z e r o . W e c o n c l u d e t h a t i f
Γi s a c o u n t a b l e g r o u p a c t i n g f r e e l y a n d e r g o d i c a l l y
o n a m e a s u r e s p a c e (X, µ)
, p r e s e r v i n g t h e c l a s s o fµ
, t h e n t h e c r o s s e d p r o d u c t
L∞(X, µ)Γi s a f a c t o r .
N o t e t h a t i fΓ
i s a b e l i a n , e r g o d i c i m p l i e s f r e e .
E x e r c i s e 1 1 . 2 . 1 1 S h o w t h a t f r e e n e s s o f t h e a c t i o n a c t u a l l y p r o v e s t h a t
L∞(X, µ)i s m a x i m a l a b e l i a n i n t h e c r o s s e d p r o d u c t .
T h e c r o s s e d p r o d u c t
M Γw h e n
M i s a b e l i a n a n d
Γi s d i s c r e t e i s c a l l e d
t h e g r o u p m e a s u r e s p a c e c o n s t r u c t i o n . H e r e a r e s e v e r a l e x a m p l e s .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 2 X = Z,Γ = Z a c t i n g b y t r a n s l a t i o n ,
µ =c o u n t i n g
m e a s u r e .
T h e a c t i o n i s f r e e a n d e r g o d i c a n d L∞(X, µ)Γ = B(2(Z))
.
E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 3 T h e i r r a t i o n a l r o t a t i o n a l g e b r a - v o n N e u m a n n a l g e b r a v e r -
s i o n .
(X, µ) = (T1, dθ),
Γ = Zg e n e r a t e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n
T w h e r e
T (z ) =eiαz
a n d
α/2πi s i r r a t i o n a l .
E x e r c i s e 1 1 . 2 . 1 4 U s e F o u r i e r s e r i e s t o s h o w t h a t t h i s
T i s e r g o d i c .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 5 L e t
H b e a n i t e a b e l i a n g r o u p a n d
Γ =n∈N H
b e
t h e c o u n t a b l e g r o u p o f s e q u e n c e s(hn)
w i t h hn e v e n t u a l l y t h e i d e n t i t y . P u t
X = G =n∈N H
( t h e s e t o f a l l s e q u e n c e s ) w i t h t h e p r o d u c t t o p o l o g y .
T h e n G
i s a c o m p a c t g r o u p s o h a s a H a a r m e a s u r e µ
.
Γa c t s o n
X b y l e f t
t r a n s l a t i o n . T h e a c t i o n i s c l e a r l y f r e e a n d e r g o d i c a s w e s h a l l n o w a r g u e .
T h e r e i s a p a r t i c u l a r l y v o n N e u m a n n a l g e b r a i c w a y t o v i e w t h i s e x a m p l e
w i t h o u t e v e n c o n s t r u c t i n g t h e s p a c e (X, µ)
!
L e t
A = L∞(H ) = CH b e t h e g r o u p a l g e b r a o f t h e d u a l g r o u p
H , w i t h i t s
u s u a l t r a c e . A s i n s e c t i o n 7 . 2 , f o r m t h e a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t⊗alg,n∈NA
w i t h p r o d u c t t r a c e
tr. T h e n p e r f o r m t h e G N S c o n s t r u c t i o n w i t h r e s p e c t t o
trt o o b t a i n a n a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a . I t m a y b e i d e n t i e d w i t h
L∞(G, µ)s o t h e H i l b e r t s p a c e
Ho f t h e G N S c o n s t r u c t i o n i s
L2(X, µ). B u t i t
i s c l e a r t h a t a n o r t h o r n o r m a l b a s i s o fH
i s g i v e n b y n i t e s e q u e n c e s(χn)
o f
e l e m e n t s o fH
w h i c h d e n e e l e m e n t sχ1⊗χ2⊗· · ·⊗1⊗1⊗1 · · ·
i n ⊗alg,n∈NA
.
T h e p o i n t i s t h a t t h e s e b a s i s v e c t o r s a r e e i g e n v e c t o r s f o r t h e a c t i o n o f
Γo n
L2(X, µ):
(hn)(χ1 ⊗ χ2 ⊗ · · · ⊗ 1 · · ·) = (n
χn(hn)) χ1 ⊗ χ2 ⊗ · · · ⊗ 1 · · · .
7 0
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E r g o d i c i t y f o l l o w s e a s i l y s i n c e t h e o n l y b a s i s e l e m e n t w h i c h i s x e d b y a l l t h e
(hn) i s t h e o n e w i t h a l l χn e q u a l t o 1 .
E x e r c i s e 1 1 . 2 . 1 6 S h o w t h a t i f
H = Z/2Zi n t h i s e x a m p l e t h e n t h e s u b a l -
g e b r a o f t h e c r o s s e d p r o d u c t g e n e r a t e d b y ⊗alg,n∈NA
a n d Γ
i s t h e a l g e b r a i c
i n n i t e t e n s o r p r o d u c t o f
M 2(C).
B o t h o f t h e l a s t t w o e x a m p l e s a r e s p e c i a l c a s e s o f a m o r e g e n e r a l o n e :
X i s a c o m p a c t g r o u p w i t h i t s H a a r m e a s u r e a n d
Γi s a c o u n t a b l e d e n s e
s u b g r o u p a c t i n g ( f r e e l y ) b y l e f t t r a n s l a t i o n . T h e P e t e r W e y l t h e o r e m s h o w s
t h a t t h i s a c t i o n i s e r g o d i c .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 7 B e r n o u l l i S h i f t .
I fΓ
i s a n y i n n i t e g r o u p a n d A = CZ/2Z
w e m a y f o r m t h e t e n s o r p r o d u c t
i n d e x e d b y Γ
o f a c o p y o fA
f o r e a c h γ ∈ Γ
. T h e v o n N e u m a n n a l g e b r a t h u s
o b t a i n e d i s o n c e a g a i n t h e L∞
s p a c e o f t h e i n n i t e p r o d u c t m e a s u r e s p a c e ,
t h i s t i m e w i t h t h e s e t i n d e x i n g t h e p r o d u c t b e i n g Γ
. A s i n t h e p r e v i o u s
e x a m p l e w e c a n o b t a i n a b a s i s o f
L2i n d e x e d b y f u n c i o n s f r o m
Γt o t h e s e t
0, 1w h i c h a r e a l m o s t a l w a y s
0. T h e s e f u n c t i o n s a r e t h e s a m e a s n i t e
s u b s e t s o f
Γa n d t h e a c t i o n o f
Γo n t h e H i l b e r t s p a c e i s b y p e r m u t i n g t h e
b a s i s i n t h e o b v i o u s w a y . E r g o d i c i t y f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e o r b i t o f
a n y n o n - e m p t y s u b s e t i s i n n i t e .
O n e c o u l d a l s o c h o s e a n o t h e r t r a c e t h a n t h e u s u a l o n e a n d m o d i f y t h e
o r t h o n o r m a l b a s i s o fA
a c c o r d i n g l y . T h e m e a s u r e s a r e t h e o b v i o u s o n e s u n l e s s
s p e c i e d .
W e g i v e a f e w m o r e e x a m p l e s o f f r e e e r g o d i c a c t i o n s w i t h o u t s u p p l y i n g
p r o o f s o f e r g o d i c i t y .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 8 SL(2,Z)a c t s o n T2 = R2/Z2 v i a t h e l i n e a r a c t i o n o n R2
.
E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 9 P SL(2,Z)a c t s o n
R∪∞b y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r -
m a t i o n s .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 0 SL(2,Z)
a c t s o n R2
b y l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 1 Qa c t s o n
Rb y t r a n s l a t i o n .
T h e r e a r e t w o f a i r l y e a s y w a y s t o s e e t h a t t h i s a c t i o n i s e r g o d i c . T h e r s t
i s t o r e d u c e i t t o a d e n s e s u b g r o u p o f a c o m p a c t g r o u p b y o b s e r v i n g t h a t a n
L∞f u n c t i o n o n
Rw h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r t r a n s l a t i o n b y
Zd e n e s a n
L∞
f u n c t i o n o n t h e q u o t i e n tT
. T h e n u s e F o u r i e r s e r i e s .
T h e s e c o n d w a y i s a d i r e c t a t t a c k w h i c h s h o u l d g e n e r a l i s e t o s h o w t h a tb u l l s h i t
7 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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t r a n s l a t i o n b y a n y c o u n t a b l e d e n s e s u b g r o u p o f a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p i s
e r g o d i c . I f f ∈ L∞(R) i s i n v a r i a n t u n d e r Q, s e t t h i n g s u p s o t h a t t h e r e a r e
s e t sA
a n d B
b o t h o f n o n z e r o m e a s u r e , s o t h a tg(A) ∩ g(B) = ∅
. C o v e rA
a n d B
w i t h i n t e r v a l s o f t h e s a m e w i d t h w i t h r a t i o n a l e n d p o i n t s . S o m e o f
t h e s e m u s t i n t e r s e c tA
a n d B
i n n o n - n u l s e t s . B u t a l l t h e s e i n t e r v a l s a r e a l l
t r a n s l a t e s o f e a c h o t h e r s o g
c a n n o t b e i n v a r i a n t u p t o s e t s o f m e a s u r e z e r o .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 2 T h e a x + b " g r o u p
QQ∗a c t s o n
R
E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 3 S a m e a s e x a m p l e 1 1 . 2 . 1 3 w i t h
H = Z/2Zb u t u s i n g a
n o r m a l i s e d t r a c e o n CH
w h i c h i s d i e r e n t f r o m t h e u s u a l o n e . S u c h a t r a c e
i s s p e c i e d b y i t s v a l u e s o n t h e m i n i m a l p r o j e c t i o n s o fC
H w h i c h w e c o u l d c a l l
pa n d
1 − pf o r
0 < p < 1. T h e p r o d u c t m e a s u r e i s n o t a b s o l u t e l y c o n t i n o u s
w i t h r e s p e c t t o H a a r m e a s u r e , a n d i t i s n o t p r e s e r v e d b y g r o u p t r a n s l a t i o n
s o t h i s e x a m p l e i s p e r h a p s m o s t e a s i l y a p p r o a c h e d b y t h e v o n N e u m a n n
a l g e b r a c o n s t r u c t i o n w h e r e o n e c a n i m p l e m e n t t h e a c t i o n o f
n∈N Z/2Z
b y
u n i t a r i e s . T h e s e u n i t a r i e s c o m e f r o m o n e s o n L2(H )
w h i c h e x c h a n g e t w o
p o i n t s o f u n e q u a l w e i g h t s o t h e y m u s t b e c o r r e c t l y s c a l e d .
E x e r c i s e 1 1 . 2 . 2 4 W o r k o u t t h e d e t a i l s o f e x a m p l e 1 1 . 2 . 2 3
I n t h e e x a m p l e s w e s e e f o u r d i e r e n t k i n d s o f f r e e e r g o d i c a c t i o n s :
T y p e I : Γ a c t s t r a n s i t i v e l y . 1 1 . 2 . 1 2
T y p e I I 1 :Γ
p r e s e r v e s a n i t e m e a s u r e . 1 1 . 2 . 1 3 , 1 1 . 2 . 1 5 , 1 1 . 2 . 1 7 , 1 1 . 2 . 1 8
T y p e I I ∞ :
Γp r e s e r v e s a n i n n i t e m e a s u r e . 1 1 . 2 . 2 0 , 1 1 . 2 . 2 1
T y p e I I I :
Γp r e s e r v e s n o m e a s u r e e q u i v a l e n t t o
µ. 1 1 . 2 . 1 9 , 1 1 . 2 . 2 2 , 1 1 . 2 . 2 3
1 1 . 3 T h e t y p e o f t h e c r o s s e d p r o d u c t .
W e a d o p t t h e n o t a t i o n s a n d c o n v e n t i o n s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n . T h e m a p
E m : M αΓ → M w h i c h a s s i g n s
aid t o t h e e l e m e n t
γ ∈Γ i s d e s t i n e d t o p l a y
a b i g r o l e i n t h e t h e o r y . I t i s c a l l e d t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o n t o M
a n d
o b v i o u s l y s a t i s e s t h e f o l l o w i n g c o n t i t i o n s :
( i )E 2M = E M .
( i i )
E M (x)∗ = E M (x∗),
E M (1) = 1,
E M (x∗x) = 0iffx = 0.
( i i i )E M (x∗x) ≥ E M (x∗)E M (x)
,||E (x)| |≤ | |x||
.
( i v )E M (axb) = aE M (x)b
f o ra, b ∈ M
.
( v )E M i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s .
S o E M i s a p r o j e c t i o n o f n o r m o n e i n t h e B a n a c h s p a c e s e n s e . T h e
c o n d i t i o n ( i v ) s a y s t h a tE M i s a n
M − M - b i m o d u l e m a p .
7 2
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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T h e o r e m 1 1 . 3 . 1 I f
Γa c t s n o n - t r a n s i t i v e l y , f r e e l y a n d e r g o d i c a l l y , p r e s e r v i n g
t h e n i t e m e a s u r e µ t h e n L∞(X, µ)Γ i s a I I 1 f a c t o r . I f Γ p r e s e r v e s t h e
i n n i t e σ
- n i t e m e a s u r e µ
t h e n L∞(X, µ)Γ
i s a I I ∞ f a c t o r u n l e s s Γ
a c t s
t r a n s i t i v e l y i n w h i c h c a s e L∞(X, µ)Γ
i s t y p e I .
P r o o f .
( i ) I t i s c l e a r e r t o p r o v e a m o r e g e n e r a l s t a t e m e n t ( i n t h e c a s e w h e r e Γ
p r e s e r v e sµ
a n d µ(X ) = 1
) . S o s u p p o s e Γ
p r e s e r v e s t h e f a i t h f u l p o s i t i v e
u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s t r a c e tr
o n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a A
a n d t h a t i t s
a c t i o n i s f r e e a n d e r g o d i c . T h e n w e c l a i m M = AΓ
i s a t y p e I I 1 f a c t o r
( o r a n i t e d i m e n s i o n a l f a c t o r ) . B y p r e v i o u s r e s u l t s w e n e e d o n l y s h o w t h a t
i t h a s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n o u s p o s i t i v e t r a c e . S o d e n e T r = tr E A o n
M . U l t r a w e a k c o n t i n u i t y a n d p o s i t i v i t y a r e o b v i o u s s o b y c o n t i n u i t y a n d
l i n e a r i t y i t s u c e s t o p r o v e
T r(auγ buη) = T r(buηauγ ) . F o r e i t h e r s i d e o f
t h e e q u a t i o n t o b e n o n - z e r o m e a n sη = γ −1
a m d t h e n t h e l e f t h a n d s i d e i s
tr(aαγ (b)) = tr(α−1γ (aαγ (b))) = tr(bα−1(a)) w h i c h i s e q u a l t o
T r(buηauγ ) .
( i i ) I fµ
i s i n n i t e a n d Γ
d o e s n o t a c t t r a n s i t i v e l y t h e n t h e r e a r e n o a t o m s
h e n c e t h e r e a r e s u b s e t sY
o fX
o f a r b i t r a r y p o s i t i v e m e a s u r e . L e tY
h a v e
n i t e n o n - z e r o m e a s u r e a n d l e tξ
b e t h e f u n c t i o n ξ (γ ) = δ γ,id χY . T h e n
auγ ξ, ξ = ωξ(auγ ) = δ id,γ Y
a(x)dµ(x).
O n e e a s i l y c h e c k s t h a tωξ(( pauγ p)( pbuη p)) = ωξ(( pbuη p)( pauγ p))
s o b y
4 . 0 . 2 5 ωξ d e n e s a p o s i t i v e u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s t r a c e o n p(AΓ) p w h i c h
i s a t y p e I I 1 f a c t o r . B u t
AΓi s n o t i t s e l f a t y p e I I 1 f a c t o r s i n c e
Ac o n t a i n s
a n i n n i t e f a m i l y o f e q u i v a l e n t m u t u a l l y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s . B y 9 . 1 . 8 w e
a r e d o n e .
( i i i ) I f
Γa c t s t r a n s i t i v e l y t h e n
(X, µ) = (Γ,c o u n t i n g m e a s u r e
)a n d t h e
c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f a s e t w i t h o n e e l e m e n t i s a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n
L∞(X, µ)Γ.
E x e r c i s e 1 1 . 3 . 2 I f
Γa c t s e r g o d i c a l l y o n
(X, µ)p r e s e r v i n g t h e
σ- n i t e m e a -
s u r e
µt h e n a n y o t h e r i n v a r i a n t e q u i v a l e n t m e a s u r e i s p r o p o r t i o n a l t o
µ.
W e n o w w a n t t o s h o w t h a t t h e r e a r e f a c t o r s t h a t a r e n e i t h e r o f t y p e I
n o r
t y p e II
. S u p p o s e t h a tM = L∞(X, µ)Γ
i s a t y p e I o r I I f a c t o r . T h e n i t h a s
a t r a c e
tr : M + → [0, ∞]. W e w o u l d l i k e t o d e n e a n i n v a r i a n t m e a s u r e o n
X ,
a b s o l u t e l y c o n t i n o u s w i t h r e s p e c t t o µ
, b y r e v e r s i n g t h e p r o c e d u r e o f t h e o r e m
1 1 . 3 . 1 a n d d e n i n g t h e m e a s u r e
σ(A)t o b e
tr(ξ A)(
ξ A ∈ L∞(X, µ) ⊆ M ) .
I n v a r i a n c e o f t h e m e a s u r e σ
i s n o p r o b l e m . T h e s n a g i s t h a ttr(χA)
c o u l d b e
i n n i t e f o r e v e r y n o n - n u l s e tA
. W e w i l l s h o w t h a t t h i s i s n o t t h e c a s e . T o
t h i s e n d t h e c o n c e p t o f l o w e r s e m i c o n t i n u i t y w i l l b e u s e f u l .
7 3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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D e n i t i o n 1 1 . 3 . 3 I f
X i s a t o p o l o g i c a l s p a c e w e s a y t h a t
f : X
→R
i s
l o w e r s e m i c o n t i n o u s i f f o r e v e r y x ∈ X a n d > 0 t h e r e i s a n o p e n s e t U ⊆ X s u c h t h a t
f (u) > f (x) − f o r a l l
u ∈ U .
E x e r c i s e 1 1 . 3 . 4 P r o v e t h a t i f
f i s l o w e r s e m i c o n t i n o u s t h e n
( a )
f −1((−∞, K ]))i s c l o s e d f o r e v e r y
K ∈ R.
( b )f
a t t a i n s i t s m i n i m u m o n a n y c o m p a c t s u b s e t o f X
.
E x e r c i s e 1 1 . 3 . 5 I f
Hi s a H i l b e r t s p a c e a n d
ξ ∈ H, t h e f u n c t i o n
a → ||aξ || f r o m
B(H)t o R
i s w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s .
E x e r c i s e 1 1 . 3 . 6 I f
f α a r e l o w e r s e m i c o n t i n o u s t h e n ∨αf α i s l o w e r s e m i c o n -
t i n o u s i f i t e x i s t s .
L e m m a 1 1 . 3 . 7 L e t
M b e a t y p e I o r I I f a c t o r a n d
tr : M + → [0, ∞]b e
Tracei n t y p e I , a s i n 9 . 1 . 9 i n t y p e I I ∞ a n d t h e t r a c e i n t y p e I I 1 . T h e n f o r
e a c h
K ≥ 0,
M 1,K = x : tr(x∗x) ≤ K i s w e a k l y c o m p a c t .
P r o o f . C l e a r i n t h e I I 1 c a s e . I n a d e c o m p o s i t i o n M ∼= N ⊗ B(2(N))
o n H
w i t h N
a t y p e I I 1 f a c t o r o rC
w e m a y a s s u m e b y 1 0 . 2 . 6 t h a t t h e r e i s a v e c t o r
ξ ∈ e11H w i t h
ωξ a t r a c e o n
e11Me11 . S o i f
ξ i = ei1ξ w e h a v e , u p t o a s c a l a r ,
t h a t
tr(x) =∞
i=1xξ i, ξ i.
B y t h e p r e v i o u s e x e r c i s e s a n d w e a k c o m p a c t n e s s o f t h e u n i t b a l l , w e a r e d o n e .
P r o p o s i t i o n 1 1 . 3 . 8 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e , f o r
x ∈ M 1,K l e tW (x)
b e t h e
w e a k c l o s u r e o f t h e c o n v e x s e t o f n i t e s u m s i λiuixu∗i :
i λi = 1, λi >
0, ui u n i t a r y i n
L∞(X, µ). T h e n
W (x) ⊆ M 1,K a n d i f
φ(y) = tr(y∗y) f o r
y ∈ W (x)t h e n
φa t t a i n s i t s m i n i m u m a t a u n i q u e p o i n t
E (x)o f
W (x).
P r o o f . N o t e r s t t h a tz ∈ M : tr(z ∗z ) < ∞
i s a v e c t o r s p a c e o n w h i c h
||z || = tr(z ∗z )d e n e s a p r e h i l b e r t s p a c e s t r u c t u r e . ( S i n c e
(a + b)∗(a + b) ≤2(a∗a + b∗b)
a s o p e r a t o r s , a n d t h e p a r a l l e l o g r a m i d e n t i t y p a s s e s t o t h e p o t e n -
t i a l l y i n n i t e s u m d e n i n g tr . ) M o r e o v e r W (x) i s a w e a k l y c o m p a c t s u b s e t
o fM
s o b y l o w e r s e m i c o n t i n u i t y φ
a t t a i n s i t s m i n i m u m a t a p o i n t w h i c h i s
u n i q u e b y t w o d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n g e o m e t r y a s i n 2 . 1 . 2 .
P r o p o s i t i o n 1 1 . 3 . 9 S u p p o s e t h a t
M = L∞(X, µ)Γi s a t y p e I o r I I f a c t o r
f o r a f r e e e r g o d i c a c t i o n o f Γ
o n L∞(X, µ)
. L e ttr
b e a s a b o v e a n d p
b e a
p r o j e c t i o n i n
M w i t h
tr( p) < ∞. T h e n
E ( p) = E L∞(X,µ)( p)
a n d 0 < tr(E ( p)2) ≤ tr( p)
.
7 4
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . L e tE = E L∞(X,µ) . B y t h e u n i q u e n e s s o f
E ( p)
i t c o m m u t e s w i t h e v e r y
u n i t a r y i n L∞ s o i t i s i n L∞ b y 1 1 . 2 . 1 1 . O n t h e o t h e r h a n d E (y) = E ( p)f o r a l l
y ∈ W ( p)b y t h e b i m o d u l e l i n e a r i t y o f t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n
a n d i t s u l t r a w e a k c o n t i n u i t y . S o E (E ( p)) = E ( p) = E ( p)
. B u tφ(E ( p) ≤
φ( p) = tr( p)∞. F i n a l l y
E ( p) = E ( p2)w h i c h i s a p o s i t i v e n o n - z e r o s e l f -
a d j o i n t o p e r a t o r a n d h e n c e h a s n o n - z e r o t r a c e .
T h e o r e m 1 1 . 3 . 1 0 L e t
Γa c t f r e e l y a n d e r g o d i c a l l y o n t h e c o u n t a b l y s e p a -
r a t e d σ
- n i t e m e a s u r e s p a c e (X, µ)
s o t h a t t h e r e i s n o σ
- n i t e Γ
- i n v a r i a n t
m e a s u r e o n X
a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o µ
. T h e n L∞(X, µ)Γ
i s
a f a c t o r n o t o f t y p e I o r I I .
P r o o f . I f t h e c r o s s e d p r o d u c t w e r e o f t y p e I o r I I , d e n e t h e m e a s u r e ρ
o n
X b y
ρ(A) = tr(χA). B y t h e p r e v i o u s r e s u l t
ρ(A)w o u l d h a v e t o b e n i t e
a n d n o n - z e r o f o r s o m e
As i n c e t h e
L∞f u n c t i o n
f = E ( p)2m u s t d o m i n a t e a
m u l t i p l e o fχA f o r s o m e
A( e . g . l e t
Ab e t h o s e
xw i t h
f (x)s u c i e n t l y c l o s e
t o
||f ||) . B u t t h e n b y e r g o d i c i t y
X = ∪γ ∈Γγ (A)( u p t o n u l l s e t s ) s o t h a t
ρi s
σ- n i t e . I t i s a u t o m a t i c a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w r t
µ. I n v a r i a n c e o f
ρu n d e r
Γf o l l o w s f r o m
tr(uγ xu−1γ ) = tr(x)f o r
x ≥ 0.
D e n i t i o n 1 1 . 3 . 1 1 A f a c t o r n o t o f t y p e I o r I I i s c a l l e d a t y p e I I I f a c t o r .
E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 2 p r o v i d e s a t y p e I I I f a c t o r s i n c e t h e s u b g r o u p Q a c t s
e r g o d i c a l l y s o t h e o n l y p o s s i b l e i n v a r i a n t m e a s u r e i s a m u l t i p l e o fdx
b y
e x e r c i s e 1 1 . 3 . 2 a n d t h i s i s n o t i n v a r i a n t u n d e r m u l t i p l i c a t i o n !
N o t e t h a t t h e a b o v e t e c h n i q u e w o r k s i n s o m e w h a t g r e a t e r g e n e r a l i t y t h a n
a c t i o n s o f g r o u p s o n m e a s u r e s p a c e s .
E x e r c i s e 1 1 . 3 . 1 2 A d a p t t h e p r o o f s o f t h e r e s u l t s j u s t o b t a i n e d t o s h o w t h a t
M αZ i s a t y p e I I I f a c t o r i f t h e a c t i o n α
i s g e n e r a t e d b y a s i n g l e a u t o m o r -
p h i s m o f t h e I I ∞ f a c t o r s c a l i n g t h e t r a c e b y a f a c t o r λ = 1
.
7 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 1 2
U n b o u n d e d O p e r a t o r s a n d
S p e c t r a l T h e o r y
T h e r e a r e m a n y n a t u r a l l y a r i s i n g e x a m p l e s o f u n b o u n d e d o p e r a t o r s , s o m e
o f t h e m o s t f u n d a m e n t a l b e i n g m u l t i p l i c a t i o n b y x
a n d d i e r e n t i a t i o n , t h e
p o s i t i o n a n d m o m e n t u m o p e r a t o r s o f q u a n t u m m e c h a n i c s . O u r i m m e d i a t e
m o t i v a t i o n f o r s t u d y i n g u n b o u n d e d o p e r a t o r s h e r e i s t o f a c i l i t a t e t h e s t u d y
o f a r b i t r a r y v o n N e u m a n n a l g e b r a s a c t i n g o n G N S H i l b e r t s p a c e s . H e r e w e
e s t a b l i s h t h e n e c e s s a r y p r e l i m i n a r i e s o n u n b o u n d e d o p e r a t o r s . T h e m a t e r i a l
c l o s e l y f o l l o w s R e e d a n d S i m o n [ 2 ] .
1 2 . 1 U n b o u n d e d O p e r a t o r s
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 A n o p e r a t o r
T o n a H i l b e r t s p a c e
Hc o n s i s t s o f a l i n e a r
s u b s p a c e D(T )
, t h e d o m a i n o f T
, a n d a l i n e a r m a p f r o m D(T )
t o H
.
E x a m p l e 1 2 . 1 . 2
( i )M x , m u l t i p l i c a t i o n b y
xo n
L2(R).
D(M x) =
f ∈ L2(R) :
R
x2|f (x)|2d x < ∞
.
( i i )T = d
dxo n
L2([0, 1]).
D(T ) = C 1[0, 1].
I n o r d e r t o d o s o m e a n a l y s i s w e w a n t t o r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n a l i t t l e s o
a s n o t t o c o n s i d e r c o m p l e t e l y a r b i t r a r y l i n e a r m a p s .
7 7
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 78/121
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 3 L e t
T b e a n o p e r a t o r o n
H. T h e g r a p h o f
T i s
Γ(T ) = (ξ , T ξ ) : ξ ∈ D(T ) ⊂ H ⊕ H.
T i s c l o s e d i f
Γ(T )i s c l o s e d i n
H ⊕ H.
R e m a r k 1 2 . 1 . 4 N o t e t h a t i f
T i s c l o s e d a n d
D(T ) = Ht h e n
T i s b o u n d e d
b y t h e C l o s e d G r a p h T h e o r e m .
L e m m a 1 2 . 1 . 5 A l i n e a r s u b s p a c e
Γ ⊂ H ⊕ Hi s t h e g r a p h o f a n o p e r a t o r i
(0, η) ∈ Γi m p l i e s
η = 0.
P r o o f . S t r a i g h t f o r w a r d .
M a n y o p e r a t o r s a r e n o t c l o s e d , b u t c a n b e e x t e n d e d t o a c l o s e d o p e r a t o r .
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 6 L e t
S, T b e o p e r a t o r s o n
H.
T i s a n e x t e n s i o n o f
S ,
d e n o t e d
S ⊂ T , i f
Γ(S ) ⊂ Γ(T ). E q u i v a l e n t l y
D(S ) ⊂ D(T )a n d
T |D(S ) = S .
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 7 A n o p e r a t o r
T i s p r e c l o s e d ( o r c l o s a b l e ) i f i t h a s a c l o s e d
e x t e n s i o n .
L e m m a 1 2 . 1 . 8 S u p p o s e
T i s p r e c l o s e d . T h e n
T h a s a s m a l l e s t c l o s e d e x -
t e n s i o n T
.Γ(T ) = Γ(T )
.
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 9 T i s c a l l e d t h e c l o s u r e o f
T .
P r o o f o f L e m m a . T a k e a c l o s e d e x t e n s i o n
Ao f
T .
Γ(A)i s c l o s e d a n d
c o n t a i n sΓ(T )
s o Γ(T ) ⊂ Γ(A)
.Γ(T )
i s t h e g r a p h o f a n o p e r a t o r ( c a l l i tT
)
b e c a u s e :
(0, η) ∈ Γ(T ) ⊂ Γ(A) ⇒ η = A(0) = 0.
T i s t h e s m a l l e s t c l o s e d e x t e n s i o n b e c a u s e f o r a l l c l o s e d e x t e n s i o n s
A,
Γ(T ) =Γ(T ) ⊂ Γ(A)
.
R e m a r k 1 2 . 1 . 1 0 W e t h u s o b t a i n t w o e q u i v a l e n t d e n i t i o n s o f a p r e c l o s e d
o p e r a t o r :
( i )(0, η) ∈ Γ(T ) ⇒ η = 0
.
( i i ) (
ξ n ∈ D(T ),
ξ n → 0a n d
T ξ n c o n v e r g e s )
⇒ T ξ n → 0.
E x e r c i s e 1 2 . 1 . 1 1
( i ) D e n e S
o n L2(R)
b y D(S ) = C ∞0 (R)
( i n n i t e l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s
w i t h c o m p a c t s u p p o r t ) ,Sf = f
. S h o w t h a tS
i s p r e c l o s e d .
7 8
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 79/121
( i i ) D e n e T
f r o m L2(R)
t o C
b y D(T ) = L1(R)
∩L2(R)
,T (f ) = R f
.
S h o w t h a t T i s n o t p r e c l o s e d .
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 2 S u p p o s e
T i s a c l o s e d o p e r a t o r . A c o r e f o r
T i s a l i n e a r
s u b s p a c e D0 ⊂ D(T )
s u c h t h a tT |D0
= T .
W e c a n p e r f o r m b a s i c a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s w i t h ( u n b o u n d e d ) o p e r a t o r s
a s f o l l o w s :S + T
i s t h e o p e r a t o r w i t h d o m a i n D(S + T ) = D(S ) ∩ D(T )
a n d
(S + T )ξ = Sξ + T ξ .
ST i s t h e o p e r a t o r w i t h d o m a i n
D(ST ) = ξ ∈ D(T ) :T ξ ∈ D(S )
a n d (ST )ξ = S (T ξ )
. O f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e i s t h e a d j o i n t .
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 3 L e t
T b e a d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r o n H . L e t
D(T ∗) = η ∈ H : ∃σ ∈ Hs u c h t h a t
< Tξ,η >=< ξ, σ > ∀ξ ∈ D(T )= η ∈ H : ∃C > 0
s u c h t h a t| < Tξ,η > | ≤ C ||ξ || ∀ξ ∈ D(T ).
F o r ξ ∈ D(T ∗)
n o t e t h a t t h e e l e m e n tσ
i s u n i q u e ( b y t h e d e n s i t y o f D(T )
)
a n d d e n e T ∗ξ = η
.
R e m a r k 1 2 . 1 . 1 4 N o t e t h a t i f
S ⊂ T t h e n
T ∗ ⊂ S ∗.
E x e r c i s e 1 2 . 1 . 1 5 G i v e a n e x a m p l e t o s h o w t h a t t h e d o m a i n o f t h e a d j o i n t
n e e d n o t b e d e n s e . [ I n f a c t i t c a n b e 0
] .
P r o p o s i t i o n 1 2 . 1 . 1 6 L e t
T b e a d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r . T h e n
1 .T ∗
i s c l o s e d .
2 .D(T ∗)
i s d e n s e i T
i s p r e c l o s e d . I n t h a t c a s e T = T ∗∗
.
3 . I f T
i s p r e c l o s e d t h e n (T )∗ = T ∗
.
P r o o f . N o t e t h a t(η, σ) ∈ Γ(T ∗)
i < Tξ , η >=< ξ, σ >
f o r a l lξ ∈ D(T )
i
< (−T ξ , ξ ), (η, σ) >= 0. H e n c e
Γ(T ∗) = (−T ξ , ξ ) : ξ ∈ D(T )⊥ = (uΓ(T ))⊥ = uΓ(T )⊥,
w h e r e u : H ⊕ H → H ⊕ H
i s t h e u n i t a r y o p e r a t o ru(ξ, η) = (−η, ξ )
. N o w :
1 . O r t h o g o n a l c o m p l e m e n t s a r e c l o s e d , h e n c e Γ(T ∗)
i s c l o s e d .
7 9
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 80/121
2 .Γ(T ) = (Γ(T )⊥)⊥ = u∗Γ(T ∗)⊥
, s o
(0, ξ ) ∈ Γ(T ) ⇔ (−ξ, 0) ∈ Γ(T ∗)⊥
⇔ 0 =< (−ξ, 0), (η, T ∗η) >= − < ξ, η >f o r a l l
η ∈ D(T ∗)
⇔ ξ ∈ D(T ∗)⊥.
H e n c e T
i s p r e c l o s e d i D(T ∗)⊥ = 0
i D(T ∗)
i s d e n s e .
I n t h a t c a s e
Γ(T ∗∗) = uΓ(T ∗)⊥ = u2Γ(T )⊥⊥ = −Γ(T ) = Γ(T ), s o
T ∗∗ = T .
3 .
T ∗ = T ∗ = T ∗∗∗ = (T )∗.
D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 7 A n o p e r a t o r
T i s s y m m e t r i c i f
T ⊂ T ∗. E q u i v a l e n t l y
< T ξ , η >=< ξ, T η > f o r a l l
ξ, η ∈ D(T ).
T i s s e l f - a d j o i n t i f
T = T ∗. A
s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r T
i s p o s i t i v e i f < Tξ, ξ >≥ 0
f o r a l lξ ∈ D(T )
.
1 2 . 2 S p e c t r a l T h e o r y f o r U n b o u n d e d O p e r a -
t o r s
D e n i t i o n 1 2 . 2 . 1 L e t
T b e a c l o s e d o p e r a t o r o n
H. T h e r e s o l v e n t o f
T i s
ρ(T ) = λ|λ1 − T : D(T ) → H i s a b i j e c t i o n .
T h e s p e c t r u m o f T
i s σ(T ) = C\ρ(T )
.
R e m a r k 1 2 . 2 . 2 N o t e t h a t i f
λ1 − T : D(T ) → Hi s a b i j e c t i o n t h e n
(λ1 −T )−1
i s b o u n d e d b y t h e C l o s e d G r a p h T h e o r e m .
E x e r c i s e 1 2 . 2 . 3 T h e s p e c t r u m i s h i g h l y d e p e n d e n t o n t h e d o m a i n . L e t
AC [0, 1]d e n o t e t h e s e t o f a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n
[0.1]. L e t
T 1 =ddx
,T 2 = d
dx, w i t h
D(T 1) = f ∈ AC [0, 1] : f ∈ L2([0, 1])D(T 2) = f ∈ AC [0, 1] : f ∈ L2([0, 1]), f (0) = 0.
S h o w t h a tT 1 a n d
T 2 a r e c l o s e d . S h o w t h a tσ(T 1) = C
w h i l e σ(T 2) = ∅
.
P r o p o s i t i o n 1 2 . 2 . 4 L e t
(X, µ)b e a n i t e m e a s u r e s p a c e a n d
F a m e a s u r e -
a b l e , r e a l - v a l u e d , a . e . n i t e f u n c t i o n o n X
. L e tD(M f ) = g ∈ L2(X, µ) :
f g ∈ L2(X, µ)a n d l e t
M f g = f g. T h e n
M f i s s e l f - a d j o i n t a n d σ(M f ) =
ess.range(f ) = λ ∈ C : µ(x : |λ − f (x)| < ) > 0 ∀ > 0.
8 0
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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E x e r c i s e 1 2 . 2 . 5 P r o v e P r o p 1 2 . 2 . 4 .
T h e o r e m 1 2 . 2 . 6 ( S p e c t r a l T h e o r e m - M u l t i p l i e r F o r m )L e t
Ab e a s e l f -
a d f o i n t o p e r a t o r o n H
w i t h d e n s e d o m a i n . T h e n t h e r e e x i s t s a n i t e m e a s u r e
s p a c e
(X, µ), a r e a l - v a l u e d a . e . n i t e f u n c t i o n
f o n
X a n d a u n i t a r y o p e r a t o r
u : H → L2(X, µ)s u c h t h a t
uAu∗ = M f
P r o o f . S e e [ 2 ]
R e m a r k 1 2 . 2 . 7 ( B o r e l F u n c t i o n a l C a l c u l u s )N o t e t h a t t h e S p e c t r a l T h e -
o r e m a l l o w s u s t o d e n e a B o r e l f u n c t i o n a l c a l c u l u s f o r s e l f a d j o i n t o p e r a t o r s .
G i v e n a B o r e l f u n c t i o n
ho n t h e s p e c t r u m o f
A, d e n e
h(A) = u
∗
M hf u.
1 2 . 3 P o l a r D e c o m p o s i t i o n
T h e o r e m 1 2 . 3 . 1 L e t
A : H → Kb e a c l o s e d , d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r .
T h e n :
( i )A∗A
a n d AA∗
a r e p o s i t i v e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s ( h e n c e (A∗A)1/2
a n d
(AA∗)1/2e x i s t ) .
( i i ) T h e r e e x i s t s a p a r t i a l i s o m e t r y w i t h i n i t i a l s p a c e Range(A∗A)1/2
a n d
n a l s p a c e Range(A)
a n d
A = v(A∗A)1/2.
( i i i ) I f A = uB
f o r s o m e p o s i t i v e B
a n d p a r t i a l i s o m e t r y v
w i t h i n i t i a l s p a c e
Range(B)t h e n
u = va n d
B = (A∗A)1/2.
( i v ) I n a d d i t i o n A = (AA∗)1/2v
.
P r o o f .
( i ) S i n c e Γ(A)
i s c l o s e d , i t i s a H i l b e r t s p a c e . L e tP : Γ(A) → H
b e
p r o j e c t i o n o n t o t h e r s t c o m p o n e n t . S i n c e A
i s a n o p e r a t o rKer(P ) =
0a n d h e n c e
Range(P ∗)i s d e n s e i n
Γ(A)( s o
P P ∗Hi s a c o r e
f o rA
) . L e tξ ∈ H
,P ∗ξ = (η,Aη)
. T h e n , f o r a l lσ ∈ D(A)
,
< ξ, σ >=< P ∗ξ, (σ,Aσ) >=< η, σ > + < Aη,Aσ >
⇒ < ξ − η,σ >=< Aη, Aσ >
⇒ Aη ∈ D(A∗)a n d
A∗Aη = ξ − η.
8 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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T h u sD(A∗A)
⊃P P ∗
Hw h i c h i s a c o r e f o r
A. I n a d d i t i o n
Range(A∗A+
1) = H .
I t i s e a s y t o s e e t h a tA∗A
i s s y m m e t r i c , s o A∗A + 1 ⊂ (A∗A + 1)∗
.
L e t
ξ ∈ D((A∗A + 1)∗). S i n c e
Range(A∗A + 1) = Ht h e r e e x i s t s
ξ ∈ D(A∗A + 1)w i t h
(A∗A + 1)∗ξ = (A∗A + 1)ξ (= (A∗A + 1)∗ξ ).
Ker((A∗A + 1)∗) = 0b e c a u s e
Range(A∗A + 1) = H, a n d h e n c e
ξ = ξ ∈ D(A∗A+1). T h u s
(A∗A+1)∗ = A∗A+1a n d s o
(A∗A)∗ = A∗A.
F i n a l l y , f o r
ξ ∈ D(A∗A),
< A∗A ξ , ξ >=< Aξ,Aξ >≥ 0s o
A∗Ai s
p o s i t i v e , i . e .σ(A∗A) ⊂ [0, ∞)
( j u s t u s e t h e S p e c t r a l T h e o r e m ) .
( i i ) A s w e n o t e d a b o v e ,D(A∗A)
i s a c o r e f o rA
.D(A∗A)
i s a l s o a c o r e f o r
|A| = (A∗
A)1/2
( u s e s p e c t r a l t h e o r y ) . T h u s AD(A∗A) = RangeA a n d
|A|D(A∗A) = Range|A|. N o t e t h a t f o r
ξ ∈ D(A∗A),
|||A|ξ ||2 =< A∗Aξ, ξ >=< Aξ, Aξ >= ||Aξ ||2,
s o t h a t t h e m a p v : |A|ξ → Aξ
,ξ ∈ D(A∗A)
, e x t e n d s t o a p a r t i a l
i s o m e t r y w i t h i n i t i a l s p a c e
|A|D(A∗A) = Range|A|a n d n a l s p a c e
AD(A∗A) = RangeA.
F o r
ξ ∈ D(|A|)t a k e
ξ n ∈ D(A∗A)w i t h
(ξ n, |A|ξ n) → (ξ, |A|ξ ). T h e n
Aξ n = v|A|ξ n → v|A|ξ a n d , a s
Ai s c l o s e d ,
ξ ∈ D(A)a n d
Aξ = v|A|ξ .
F o rξ ∈ D(A)
t a k e ξ n ∈ D(A∗A)
w i t h
(ξ n, Aξ n) → (ξ,Aξ ). T h e n
|A|ξ n = v∗v|A|ξ n = v∗Aξ n → v∗Aξ.
S i n c e |A|
i s c l o s e d ,ξ ∈ D(|A|)
.
H e n c e D(A) = D(|A|)
a n d A = v|A|
.
( i i i ) I f
A = uBt h e n
A∗ = B∗u∗ = Bu∗.
A∗A = Bu∗uB = B2s i n c e
u∗ui s
p r o j e c t i o n o n t o Range(B)
. B y u n i q u e n e s s o f t h e p o s i t i v e s q u a r e r o o t
o f a p o s i t i v e o p e r a t o r ( E x e r c i s e 1 2 . 3 . 3 ) ,(A∗A)1/2 = B
. T h u s t h e i n i t i a l
s p a c e o fu
i sRange(|A|)
a n d u|A| = A = v|A|
s o u = v
.
( i v )A = v(A∗A)1/2
s o A∗ = (A∗A)1/2v∗
a n d h e n c e AA∗ = v(A∗A)1/2(A∗A)1/2v∗ =
v(A
∗
A)v
∗( E x e r c i s e 1 2 . 3 . 3 ) . T h u s
vi m p l e m e n t s t h e u n i t a r y e q u i v a l e n c e
o f
AA∗|Range(A) a n d
A∗A|Range(A∗) . H e n c e
(AA∗)1/2 = v(A∗A)1/2v∗a n d
t h e n A = v(A∗A)1/2 = (AA∗)1/2v
.
R e m a r k 1 2 . 3 . 2 N o t e t h a t i t w a s v e r y i m p o r t a n t i n ( i ) t o e s t a b l i s h t h a t
D(A∗A)c o n t a i n e d a c o r e f o r
Aa n d h e n c e w a s d e n s e . I t w a s n o t c l e a r a
p r i o r i t h a tD(A∗A)
c o n t a i n e d a n y e l e m e n t s o t h e r t h a n 0
.
E x e r c i s e 1 2 . 3 . 3 ( i ) L e t
T b e a p o s i t i v e o p e r a t o r . S h o w t h a t
T 1/2T 1/2 = T .
( i i ) S h o w t h a t a p o s i t i v e o p e r a t o r h a s a u n i q u e p o s i t i v e s q u a r e - r o o t .
8 2
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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1 2 . 4 U n b o u n d e d o p e r a t o r s a l i a t e d w i t h a v o n
N e u m a n n a l g e b r a .
I fM
i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n H
, a n e l e m e n ta ∈ B(H)
i s i n M
i
au = uaf o r e v e r y u n i t a r y i n
M . T h i s i n s p i r e s t h e f o l l o w i n g .
D e n i t i o n 1 2 . 4 . 1 I f
T : D(T ) → Hi s a l i n e a r o p e r a t o r o n t h e H i l b e r t s p a c e
Ha n d
M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
Hw e s a y t h a t
T i s a l i a t e d w i t h
M , w r i t t e n
T ηM i f , f o r a n y u n i t a r y
u ∈ M ,
uD(T ) = D(T )a n d
uT ξ = T uξ ∀ξ ∈ D(T ).
L e m m a 1 2 . 4 . 2 I f
T i s p r e c l o s e d w i t h c l o s u r e
T t h e n
T ηM i f
T ηM .
P r o o f . I t i s c l e a r t h a t
T ηM i
uΓ(T ) = Γ(T )f o r a l l u n i t a r i e s i n
M . B u t
t h i s p r o p e r t y p a s s e s t o t h e c l o s u r e o f t h e g r a p h .
L e m m a 1 2 . 4 . 3 I f
T i s a c l o s e d o p e r a t o r a l i a t e d w i t h
M t h e n
1 . T h e p r o j e c t i o n o n t o
Γ(T )i s a
2 × 2m a t r i x o f o p e r a t o r s i n
M .
2 . I f T = u|T | i s t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o f T t h e n u ∈ M a n d f (|T |) ∈ M f o r a n y b o u n d e d B o r e l f u n c t i o n o f
|T |.
P r o o f .
1 . i s o b v i o u s f r o m t h e c h a r a c t e r i s a t i o n o f a l i a t i o n g i v e n i n t h e p r o o f o f
t h e p r e v i o u s l e m m a .
2 . f o l l o w s f r o m u n i q u e n e s s o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n a n d t h e b i c o m m u t a n t
t h e o r e m .
8 3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 85/121
C h a p t e r 1 3
T o m i t a - T a k e s a k i t h e o r y .
I n c h a p t e r 9 w e s h o w e d t h a t t h e G N S c o n s t r u c t i o n o n
M u s i n g a f a i t h f u l
n o r m a l t r a c e p r o d u c e s a p e r f e c t l y s y m m e t r i c H i l b e r t s p a c e Htr w i t h r e s p e c t
t o
M a n d i t s c o m m u t a n t . T h i s i s b e c a u s e t h e m a p
J , w h i c h i s t h e e x t e n s i o n
t o Htr o f t h e * o p e r a t i o n o n
M , i s a n i s o m e t r y . S o
x → JxJ i s t h e e x t e n s i o n
t o Htr o f r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y
x∗. U n f o r t u n a t e l y i f w e u s e a ( n o r m a l )
n o n - t r a c i a l s t a t e φ
t h e * o p e r a t i o n i s n o l o n g e r a n i s o m e t r y a n d t h e r e i s n o
r e a s o n t o e x p e c t e i t h e r i t o r r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y e l e m e n t s o fM
t o h a v e
b o u n d e d e x t e n s i o n s t o Hφ . B u t a s w e s h a l l s e e , t h e * o p e r a t i o n i s a c t u a l l y
p r e c l o s e d i n t h e s e n s e o f u n b o u n d e d o p e r a t o r s a n d i fS = J ∆1/2
i s t h e p o l a r
d e c o m p o s i t i o n o f i t s
c l o s u r e S
, w e w i l l s h o w t h a tJMJ = M
! Q u i t e r e m a r k a b l y , t h e o p e r a t o r
∆1/2w i l l s a t i s f y
∆itM ∆−it = M s o t h a t a s t a t e a c t u a l l y g i v e s r i s e t o a
d y n a m i c s - a o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p o fM
( a n d M
) ! !
W e w i l l p r o v e t h e s e r e s u l t s u s i n g a m e t h o d o f v a n D a e l e f o r w h i c h w e
h a v e f o l l o w e d s o m e n o t e s o f H a a g e r u p ( [ ] , [ ] ) . B u t b e f o r e g e t t i n g s t a r t e d o n
t h i s d i c u l t t h e o r y i t i s e s s e n t i a l t o d o s o m e e l e m e n t a r y c a l c u l a t i o n s t o s e e
h o w i t a l l w o r k s o u t i n t h e
2 × 2m a t r i c e s .
E x e r c i s e 1 3 . 0 . 4 L e t
M b e
M 2(C). S h o w t h a t a n y s t a t e
φo n
M i s o f t h e
f o r m φ(x) = Trace(hx) f o r s o m e p o s i t i v e h o f t r a c e 1. A n d t h a t φ i s f a i t h f u l
i h
i s i n v e r t i b l e . T h u s w i t h r e s p e c t t o t h e r i g h t b a s i s ,
φ(x) = Trace(x
1
1+λ0
0 λ1+λ
)
f o r s o m e λ
,0 ≤ λ ≤ 1
.
E x e r c i s e 1 3 . 0 . 5 W i t h n o t a t i o n a s i n t h e p r e v i o u s e x e r c i s e , s u p p o s e
φi s
f a i t h f u l a n d l e tS
b e t h e * o p e r a t i o n o n t h e G N S H i l b e r t s p a c e Hφ . C a l c u l a t e
8 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n S = J ∆1/2
a n d s h o w t h a tSM S = JMJ = M
.
S h o w t h a t ∆zM ∆−z = M f o r z ∈ C s o t h a t σφz (x) = ∆zx∆−z = M d e n e s a
r e p r e s e n t a t i o n o f C
a s a u t o m o r p h i s m s o f M
w h i c h a r e
∗- a u t o m o r p h i s m s i
z ∈ iR.
E x e r c i s e 1 3 . 0 . 6 G e n e r a l i z e t h e a b o v e t o t h e
n × nm a t r i c e s a n d i n f a c t a n y
n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n a l g e b r a .
1 3 . 1 S , F a n d t h e i r g r a p h s .
T h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n M
w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
Ha n d
Ω
∈ Ha c y c l i c a n d s e p a r a t i n g v e c t o r f o r M a n d h e n c e M . ( T h e s a m e d a t a a s a
f a i t h f u l n o r m a l s t a t e . ) L e tS 0 a n d
F 0 b e t h e c o n j u g a t e l i n e a r o p e r a t o r s w i t h
d o m a i n sM Ω
a n d M Ω
d e n e d b y S 0(xΩ) = x∗Ω
a n d F 0(xΩ) = x∗Ω
f o r
x ∈ M a n d
M r e s p e c t i v e l y .
L e m m a 1 3 . 1 . 1 I n t h e s e n s e o f u n b o u n d e d o p e r a t o r s
F 0 ⊆ S ∗0 a n d S 0 ⊆ F ∗0
s o t h a tS 0 a n d
F 0 h a v e d e n s e l y d e n e d a d j o i n t s a n d h e n c e a r e p r e c l o s e d .
P r o o f . T o s h o w S ∗0(aΩ)
i s d e n e d i fS 0(aΩ), aΩ
e x t e n d s t o a b o u n d e d
c o n j u g a t e l i n e a r m a p o n a l l o fH
. B u tS 0(aΩ), aΩ = (a)∗Ω, aΩ
w h i c h i s b o u n d e d a s a f u n c t i o n o faΩ
b y C a u c h y - S c h w a r t z . H e n c e aΩ
i s
i n t h e d o m a i n o f S ∗0 a n d S
∗0(a
Ω) = (a
)∗
Ω = F 0(a
Ω). I n t e r c h a n g i n g S 0 a n d
F 0 w e g e t t h e o t h e r i n c l u s i o n .
D e n i t i o n 1 3 . 1 . 2 L e t
S a n d
F b e t h e c l o s u r e s o f
S 0 a n d F 0 r e s p e c t i v e l y .
L e t
S = J ∆1/2b e t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o f
S .
O b s e r v e t h a t
S 0 = S −10 s o
S i s i n j e c t i v e a n d
S 2 = 1i n t h e s e n s e o f
u n b o u n d e d o p e r a t o r s . T h u s∆1/2
h a s z e r o k e r n e lJ 2 = 1
a n d J ∆1/2J =
∆−1/2. T h e s a m e g o e s f o r
F a n d i t s p o l a r d e c o m p o s i t i o n , b u t w e s h a l l n o w
s e e t h a tF = S ∗
.
T h e o r e m 1 3 . 1 . 3 ( T a k e s a k i , [ ] . ) S
∗
= F ,
F ∗
= S a n d t h e g r a p h o f S i s t h e
s e t o f a l l(cΩ, c∗Ω)
w h e r e c
i s a c l o s e d d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r a l i a t e d w i t h
M a n d
Ω ∈ D(c) ∩ D(c∗).
P r o o f . L e t
(ξ, F ∗ξ )b e i n t h e g r a p h o f
F ∗. B y t h e d e n i t i o n o f
F w e k n o w
t h a tξ, (a)∗Ω = aΩ, F ∗ξ
. N o w d e n e o p e r a t o r sa
a n d b
w i t h d o m a i n
M Ωb y
axΩ = xξ a n d
bxΩ = xF ∗ξ . T h e n
aa n d
ba r e c l o s a b l e f o r i f
x
a n d y
a r e i n M
w e h a v e
a(xΩ), yΩ = xξ, yΩ = ξ, (x)∗yΩ
8 6
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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=
(y)∗xΩ, F ∗ξ
=
xΩ, yF ∗ξ
=
xΩ, b(yΩ)
s o t h a t a s b e f o r e
a ⊆ b∗a n d
b ⊆ a∗.
L e t
cb e t h e c l o s u r e o f
a. T h e n
cΩ = aΩ = ξ a n d
c∗ = a∗ ⊇ bs o
c∗Ω = F ∗ξ . N o w b y c o n s t r u c t i o n t h e d o m a i n o f
ai s i n v a r i a n t u n d e r t h e
u n i t a r y g r o u p o fM
a n d o n i ta
c o m m u t e s w i t h t h e u n i t a r i e s i n M
. T h i s
m e a n s t h a tc
i s a l i a t e d w i t h M
. A t t h i s s t a g e w e h a v e s h o w n t h a t t h e g r a p h
o fF ∗
c o n s i s t s o f a l l(cΩ, c∗Ω)
w h e r e c
i s a c l o s e d d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r
a l i a t e d w i t h M
a n d Ω ∈ D(c) ∩ D(c∗)
.
W e n o w w a n t t o s h o w t h a t t h e g r a p h o fF ∗
i s c o n t a i n e d i n t h e g r a p h o fS
.
T h i s i s n o t h a r d . L e tc
b e a s a b o v e a n d c =
√ c∗c
b e i t s p o l a r d e c o m p o s i t i o n .
T h e n i ff n(t) = t
f o r
0
≤t
≤n
a n d f n(t) = 0
f o rt > n
w e h a v e t h a t
f n(√ c∗c) → √ c∗c o n a n y v e c t o r i n t h e d o m a i n o f c, a n d s i n c e c i s a l i a t e d
w i t h
M ,
f n(√
c∗c) ∈ M s o t h a t
uf n(√
c∗c)Ωi s i n t h e d o m a i n o f
S a n d t e n d s
t o ξ
. M o r e o v e rf n(
√ c∗c)u∗Ω
t e n d s t o c∗Ω = F ∗ξ
s o (ξ, F ∗ξ )
i s i n t h e g r a p h
o fS
.
T h u s
F ∗ ⊆ S a n d w e h a v e a l r e a d y o b s e r v e d t h a t
S ⊆ F ∗. H e n c e
S = F ∗
a n d S ∗ = F
.
C o r o l l a r y 1 3 . 1 . 4 T h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o f
F i s
J ∆−1/2.
W e n o w p r o v e a c r u c i a l r e s u l t c o n n e c t i n g M
a n d M
.
L e m m a 1 3 . 1 . 5 L e t
λ ∈ R+b e g i v e n . T h e n f o r
a ∈ M t h e r e i s a n
a ∈ M w i t h
aΩi n t h e d o m a i n o f
F a n d
aΩ = (λS + λ−1F )aΩ.
P r o o f . A s s u m i n g ||a|| ≤ 1
w e m a y a p p l y t h e o r e m 8 . 3 . 1 t o t h e ψ
d e n e d b y
ψ(x) = xΩ, aΩa n d
φ(x) = xΩ, Ωt o o b t a i n t h e e x i s t e n c e o f a n
a ∈ M w i t h
xΩ, aΩ = λaxΩ, Ω + λ−1xaΩ, Ω= λxΩ, a∗Ω + λ−1aΩ, x∗Ω.
P r o v i d e d aΩ i s i n t h e d o m a i n o f F t h i s e q u a t i o n r e a d s aΩ = (λS +λ−1F )aΩ.
O n t h e o t h e r h a n d r e a r r a n g i n g t h e e q u a t i o n g i v e s
aΩ, x∗Ω = λxΩ, aΩ − λa∗Ω
s o b y C a u c h y S c h w a r t z aΩ
i s i n t h e d o m a i n o fF = S ∗
.
C o r o l l a r y 1 3 . 1 . 6 F o r e a c h
ξ ∈ D(∆1/2) ∩ D(∆−1/2)t h e r e i s a s e q u e n c e
an ∈ M w i t h
anΩ → ξ ,
∆1/2anΩ → ∆1/2ξ a n d
∆−1/2anΩ → ∆−1/2ξ .
8 7
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . S e tη = (S + F )ξ
a n d c h o o s e a s e q u e n c e an
∈M
w i t h an
→η
. B y
t h e p r e v i o u s l e m m a t h e r e a r e an ∈ M w i t h (S + F )anΩ = anΩ. B u t S +F = J (∆1/2 + ∆−1/2)
h a s b o u n d e d i n v e r s e ( i n t h e u s u a l s e n s e o f u n b o u n d e d
o p e r a t o r s ) s o p u tξ n = (S + F )−1(anΩ)
. S o anΩ = (S + F )−1anΩ → ξ
.
M o r e o v e r
∆1/2anΩ = ∆1/2(∆1/2 + ∆−1/2)−1JanΩ
a n d
∆1/2(∆1/2 + ∆−1/2)−1i s b o u n d e d b y s p e c t r a l t h e o r y . S o
∆1/2anΩ →∆1/2(S + F )−1(S + F )ξ = ∆1/2ξ
. I n t h e s a m e w a y ∆−1/2anΩ → ∆−1/2ξ
.
W e p u t e v e r y t h i n g t o g e t h e r w i t h a l e m m a l i n k i n g
M a n d
M o n a d e n s e
s u b s p a c e t o w h i c h m a n y f u n c t i o n s o f∆
c a n b e a p p l i e d .
L e m m a 1 3 . 1 . 7 I f
ξ a n d
ηa r e i n
D(S ) ∩ D(F ),
a,
λa n d
aa s i n 1 3 . 1 . 5 ,
t h e n
λSaSξ,η + λ−1FaFξ,η = aξ, η.
P r o o f . B y m o v i n g o n e S
a n d F
t o t h e o t h e r s i d e o f t h e i n n e r p r o d u c t s , w e
s e e b y t h e p r e v i o u s l e m m a t h a t w e m a y a s s u m e ξ
a n d η
a r e xΩ
a n d yΩ
r e s p e c t i v e l y , b o t h i n D(F )
, f o rx
a n d y
i n M
. B u t o n M Ω
,SaS
a c t s b y r i g h t
m u l t i p l i c a t i o n b y a∗
s o SaSξ,η = xa∗Ω, yΩ = SaΩ, x∗yΩ
. O n t h e o t h e r
h a n d , s y s t e m a t i c a l l y u s i n g
F ∗ = S w e o b t a i n
FaFxΩ, yΩ = y∗xΩ, aΩ =
Sx∗
yΩ, aΩ = F aΩ, x∗
yΩ . C o m b i n i n g t h e s e t w o w e s e e
λSaSξ,η + λ−1FaFξ,η = (λSa + λ−1F a)Ω, x∗yΩ.
B u t b y 1 3 . 1 . 5 t h i s i saΩ, x∗yΩ = aξ, η
.
1 3 . 2 P r o o f o f t h e m a i n t h e o r e m .
W e b e g i n w i t h a n e a s y e x e r c i s e i n c o u n t o u r i n t e g r a t i o n .
E x e r c i s e 1 3 . 2 . 1 L e t S b e t h e s t r i p z ∈ C : −1/2 ≤ (z ) ≤ 1/2. S u p p o s e
f i s c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d o n
S a n d a n a l y t i c o n t h e i n t e r i o r o f
S . T h e n
f (0) =
∞−∞
f (1/2 + it) + f (−1/2 + it)
2coshπtdt
H i n t : I n t e g r a t e
f (z )
sin πz a r o u n d r e c t a n g u l a r c o n t o u r s i n
S
t e n d i n g t o t h e b o u n d a r y o fS
.
8 8
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o p o s i t i o n 1 3 . 2 . 2 W i t h n o t a t i o n a s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n
a =
∞
−∞
λ2it ∆itJaJ ∆−it
2coshπtdt
P r o o f . S i n c e
J ∆1/2J = ∆−1/2w e h a v e
J (D(S ) ∩ D(T )) = D(S ) ∩ D(T )s o
a f t e r a l i t t l e r e a r r a n g e m e n t t h e f o r m u l a o f 1 3 . 1 . 7 r e a d s
JaJξ , η = λa∆−1/2ξ, ∆1/2η + λ−1a∆1/2ξ, ∆−1/2η.
N o w l e tH0 b e t h e d e n s e s u b s p a c e o f a l l v e c t o r s i n
Hw h i c h i s t h e u n i o n o f
a l lξ [a,b](∆
f o r0 < a < b < ∞
. C e r t a i n l y H0 ⊆ D(S ) ∩ D(F )
,H0 i s i n v a r i a n t
u n d e rJ
a n d
∆zf o r
z ∈ C, a n d m o r e o v e r f o r
ξ ∈ H0 ,z → ∆zξ
i s a n e n t i r e
f u n c t i o n o f
z .
F o rξ, η ∈ H0 d e n e t h e a n a l y t i c f u n c t i o n
f (z ) = λ2za∆−zξ, ∆zη.
T h e n f
i s b o u n d e d i n t h e s t r i p S
o f t h e p r e v i o u s l e m m a a n d f (0) = aξ,η
.
A l s o
f (1/2 + it) = ∆it∆1/2ξ, ηs o t h a t
f (1/2 + it) + f (−1/2 + it) = λ2it∆itJaJ ∆−itξ, η.
S o b y t h e p r e v i o u s l e m m a w e a r e d o n e .
T h e o r e m 1 3 . 2 . 3 L e t
M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n
Ha n d
Ωa c y c l i c
a n d s e p a r a t i n g v e c t o r f o r M . S u p p o s e S i s t h e c l o s u r e o f xΩ → x∗Ω o n M Ω.
L e t∆ = S ∗S
, a n d J
b e t h e a n t i u n i t a r y o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n S = J ∆1/2
.
T h e n
( i )JMJ = M
( i i )∆itM ∆−it = M ∀t ∈ R
P r o o f . I fa ∈ M
w e k n o w t h a t ∞−∞
λ2it ∆itJaJ ∆−it
2coshπtdt ∈ M
. C o n j u g a t i n g b y a u n i t a r y u ∈ M a n d w r i t i n g λ = eiθ2
w e s e e t h a t t h e
F o u r i e r t r a n s f o r m s o f t h e s t r o n g l y c o n t i n u o u s r a p i d l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n s
∆itJaJ ∆−it
2coshπta n d
u∆itJaJ ∆−it
2coshπtu∗
a r e e q u a l . H e n c e
∆itJaJ ∆−it ∈ M f o r
a l l r e a lt
s i n c e i t c o m m u t e s w i t h e v e r y u n i t a r y u ∈ M
. ( T a k e i n n e r p r o d u c t s
w i t h v e c t o r s i f y o u a r e n o t h a p p y w i t h F o u r i e r t r a n s f o r m s o f o p e r a t o r v a l u e d
f u n c t i o n s . )
P u t t i n g t = 0
w e s e e JM J ⊆ M
a n d b y s y m m e t r y JM J ⊆ M
. H e n c e
JMJ = M a n d w e a r e d o n e .
8 9
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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D e n i t i o n 1 3 . 2 . 4 T h e o p e r a t o r
J o f t h e p r e v i o u s r e s u l t i s c a l l e d t h e m o d -
u l a r c o n j u g a t i o n a n d t h e s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n e - p a r a m e t e r g r o u p o f a u t o -
m o r p h i s m s o f M
d e n e d b y σφt (x) = ∆itx∆−it
i s c a l l e d t h e m o d u l a r a u t o -
m o r p h i s m g r o u p d e n e d b y φ
.
1 3 . 3 E x a m p l e s .
E x a m p l e 1 3 . 3 . 1 I T P F I
T h e a c r o n y m I T P F I s t a n d s f o r i n n i t e t e n s o r p r o d u c t o f n i t e t y p e I .
T h e s e v o n N e u m a n n a l g e b r a s a r e f o r m e d b y t a k i n g t h e * - a l g e b r a A∞ a s t h e
u n i o n A∞ o f t e n s o r p r o d u c t s Am =
mk=1
M nk(C), t h e i n c l u s i o n o f Am i n Am+1
b e i n g d i a g o n a l . T h e s t a t e φ
o n A∞ i s t h e n t h e t e n s o r p r o d u c t o f s t a t e s o n
e a c h
M nk . O n e m a y t h e n p e r f o r m t h e G N S c o n s t r u c t i o n w i t h c y c l i c a n d
s e p a r a t i n g v e c t o rΩ
g i v e n b y 1 ∈ A∞ , t o o b t a i n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a
M =∞k=1
M nk(C)a s t h e w e a k c l o s u r e o f
A∞ a c t i n g o n Hφ . T h e c a s e w h e r e
a l l t h e nk a r e e q u a l t o
2a n d a l l t h e s t a t e s a r e t h e s a m e i s c a l l e d t h e P o w e r s
f a c t o r a n d t h e p r o d u c t s t a t e t h e P o w e r s s t a t e a s i t w a s R . P o w e r s w h o r s t
s h o w e d t h a t t h e y g i v e a c o n t i n u u m o f n o n - i s o m o r p h i c t y p e I I I f a c t o r s .
A s l i g h t s n a g h e r e i s t h a t w e d o n o t k n o w t h a t Ω d e n e s a f a i t h f u l s t a t e
o n M
. B u t i f w e p r o c e e d a n y w a y t o c o n s t r u c t w h a t h a v e t o b e J
a n d ∆
w e
w i l l s o o n s e e t h a t t h e s t a t e i s i n d e e d f a i t h f u l , i . e .Ω
i s c y c l i c f o rM Ω
.
R e c a l l f r o m e x e r c i s e 1 3 . 0 . 6 t h a t , f o rM n(C)
, a n d φh(x) = trace(xh)
w h e r e
hi s t h e d i a g o n a l m a t r i x ( d e n s i t y m a t r i x ) w i t h
hii = µi,
µi = 1, µi > 0,
t h e n J n(eij) =
µjµi
e ji a n d ∆n(eij) = µi
µjeij ( w h e r e d e p e n d e n c e o n
hh a s b e e n
s u p p r e s s e d ) .
T o d i a g o n a l i s e t h e m o d u l a r o p e r a t o r s o n Hφ c o m p l e t e l y i t i s m o s t c o n -
v i n c i n g t o c h o o s e a n o r t h o n o r m a l b a s i sdi o f t h e d i a g o n a l m a t r i c e s , w i t h
d1 = 1. T h e n a b a s i s f o r t h e H i l b e r t s p a c e Hφ i s f o r m e d b y t e n s o r s ⊗∞k=1vkΩw h e r e
vk = 1f o r l a r g e
k, a n d i s o t h e r w i s e a
di o r a n eij w i t h
i = j.
W e c a n g u e s s t h a tJ
i s , o n e a c h b a s i s v e c t o r , t h e t e n s o r p r o d u c t o f t h e J
' s
c o m i n g f r o m t h e m a t r i x a l g e b r a s . D e n i n g i t a s s u c h i t i s c l e a r l y a n i s o m e t r y
o n A∞Ω
a n d t h u s e x t e n d s t o a l l o fHφ . B u t t h e n , f o r a n y
x ∈ A∞ ,JxJ
i s i n
M b y t h e n i t e d i m e n s i o n a l c a l c u l a t i o n ! B u t t h e l i n e a r s p a n o f t h e s e
JxJ Ωi s d e n s e s o
Ωi s c y c l i c f o r
M a n d h e n c e s e p a r a t i n g f o r
M . W e a r e h e n c e i n
a p o s i t i o n t o a p p l y T o m i t a T a k e s a k i t h e o r y . E a c h o f t h e b a s i s e l e m e n t s i s i n
M Ωs o
S (⊗∞k=1vkΩ) = ⊗∞
k=1wkΩw h e r e
wk i svk i f
vk i s d i a g o n a l , a n d e ji i f
9 0
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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vk = eij . S o JS
i s d i a g o n a l a n d h e n c e e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t . W e c o n c l u d e
t h a t
J (xΩ) = J m(x)Ωa n d
∆(xΩ) = ∆m(x)Ωf o r
x ∈ Am,
a n d
σφt =∞k=1
σφhk .
E x a m p l e 1 3 . 3 . 2 G r o u p - m e a s u r e - s p a c e c o n s t r u c t i o n .
L e tΓ
b e a d i s c r e t e g r o u p a c t i n g o n t h e n i t e m e a s u r e s p a c e (X, µ)
p r e -
s e r v i n g t h e c l a s s o f t h e n i t e m e a s u r e
µ. T h e H i l b e r t s p a c e o f t h e c r o s s e d
p r o d u c tL∞(X, µ)
i sL2(X, µ) ⊗ 2(Γ)
a n d a s w e s a w i n c h a p t e r 1 1 t h e v e c t o r
1 ⊗ εid i s a c y l i c a n d s e p a r a t i n g v e c t o r
Ωf o r
M = L∞(X, µ)Γ.
S i n c e t h e c l a s s o fµ
i s p r e s e r v e d b y t h e γ ∈ Γ
t h e R a d o n N i k o d y m t h e o r e m
g u a r a n t e e s p o s i t i v e L1
f u n c t i o n shγ s o t h a t
φ(hγ αγ (y)) = φ(x)w h e r e
φ(y) = X
ydµ. W e k n o w t h a t , i f
x ∈ L∞(X, µ)t h e n
S (uγ x) = x∗uγ −1 . I n g e n e r a l
w e w i l l n o t b e a b l e t o c o m p l e t e l y d i a g o n a l i s e
∆b u t t h e s a m e a r g u m e n t a s
i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e g i v e s t h a t t h e d o m a i n o f∆
i s
f : Γ → L
2
(X, µ) :γ
X |hγ (x)f (x)|
2
dµ(x) < ∞
o n w h i c h
(∆f )(γ ) = hγ f (γ ),
a n d
(Jf )(γ ) = h−1/2γ f (γ ).
W e c a n n o w n a l l y a n s w e r t h e q u e s t i o n a s t o w h i c h s u m s
γ xγ uγ d e n e
e l e m e n t s o fM = L∞(X, µ)Γ
.
T h e o r e m 1 3 . 3 . 3 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e , i f t h e f u n c t i o n
γ → xγ ∈ L∞(X, µ)i s s u c h t h a t
γ xγ uγ , i n t e r p r e t e d a s a m a t r i x o f o p e r a t o r s a s i n s e c t i o n 1 1 . 2 ,
d e n e s a b o u n d e d o p e r a t o r , t h e n t h a t o p e r a t o r i s i n M = L∞(X, µ)Γ
.
P r o o f . B y 1 3 . 2 . 3 i t s u c e s t o s h o w t h a t
γ xγ uγ c o m m u t e s w i t h
Jxuγ J f o r a l l
x ∈ L∞(X, µ)a n d
γ ∈ Γ. A n d f o r t h i s i t s u c e s t o c h e c k t h a t t h e
c o m m u t a t i o n h o l d s o n f u n c t i o n s o f t h e f o r m f ⊗ εγ f o r
f ∈ L2. T h i s i s j u s t
a r o u t i n e c o m p u t a t i o n .
9 1
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E x e r c i s e 1 3 . 3 . 4 S h o w t h a t e x a m p l e 1 3 . 3 . 1 i s i n f a c t a s p e c i a l c a s e o f t h i s
g r o u p - m e a s u r e - s p a c e e x a m p l e i n w h i c h L∞(X, µ) i s p r o v i d e d b y t h e t e n s o r
p r o d u c t s o f t h e d i a g o n a l e l e m e n t s a n d t h e g r o u p Γ
i s a r e s t r i c t e d i n n i t e
C a r t e s i a n p r o d u c t o f c y c l i c g r o u p s , c o n s t r u c t e d f r o m t h e n o n - d i a g o n a leij ' s .
C o n c l u d e b y t h e m e t h o d o f 1 1 . 2 . 1 5 t h a t I T P F I a l g b r a s a r e f a c t o r s .
T h i s e x a m p l e b r i n g s t o l i g h t a s i g n i c a n t i n a d e q u a c y o f o u r t r e a t m e n t o f
T o m i t a - T a k e s a k i t h e o r y . W e w o u l d l i k e t o t r e a t t h e c a s e w h e r e t h e m e a s u r e
o f t h e s p a c e i s i n n i t e . A l t h o u g h o f c o u r s e w e c o u l d c h o o s e a n e q u i v a l e n t
n i t e m e a s u r e , t h i s c h o i c e m a y n o t b e n a t u r a l . T o d o t h i s w e w o u l d h a v e
t o c o n s i d e r t h e t h e o r y o f w e i g h t s w h i c h a r e t o s t a t e s a s t h e t r a c e o n a I I ∞
f a c t o r i s t o t h e t r a c e o n a t y p e II 1 f a c t o r . W e n e e d t h e s a m e n o t i o n i n o r d e r
t o u n d e r s t a n d t h e o r i g i n o f t h e t e r m m o d u l a r u s e d a b o v e a s c o m i n g f r o m
t h e m o d u l a r f u n c t i o n o n a n o n - u n i m o d u l a r l o c a l l y c o m p a c t g r o u p . B u t a
s e r i o u s t r e a t m e n t o f w e i g h t s w o u l d t a k e m a n y p a g e s s o w e s i m p l y r e f e r t h e
r e a d e r t o T a k e s a k i ' s b o o k [ 3 ] .
E x a m p l e 1 3 . 3 . 5 H e c k e a l g e b r a s à l a B o s t - C o n n e s .
I f
Gi s a n i t e g r o u p l e t
ug a n d
vg b e t h e u n i t a r i e s o f t h e l e f t a n d r i g h t
r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s r e s p e c t i v e l y . I fH
i s a s u b g r o u p , t h e p r o j e c t i o n pH =
1|H |h∈H vh p r o j e c t s f r o m
2(G)o n t o f u n c t i o n s t h a t a r e r i g h t t r a n s l a t i o n
i n v a r i a n t u n d e r H , i . e . f u n c t i o n s o n t h e q u o t i e n t s p a c e G/H . T h u s t h e s o -
c a l l e d q u a s i - r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o fG
o n G/H
i s a d i r e c t s u m m a n d o f
t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n a n d w e h a v e f r o m E P 7 o f c h a p t e r 4 t h a t t h e
c o m m u t a n t o f t h e a c t i o n o f
Go n
2(G/H )i s
pH ρ(G) pH w h e r e
ρ(G)i s t h e
a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r i g h t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n ( o f c o u r s e i s o m o r p h i c
t o C
) . T h i s c o m m u t a n t i s s p a n n e d b y t h e
pH vg pH w h i c h , t h o u g h t o f a s
f u n c t i o n s o n G
, a r e m u l t i p l e s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s o f t h e d o u b l e
c o s e t sHgH
w h i c h f o r m t h e d o u b l e c o s e t s p a c e H \G/H
. T h e s u b a l g e b r a
o fρ(G)
s p a n n e d b y t h e s e d o u b l e c o s e t s i s t h e s p a c e o fH − H
b i - i n v a r i a n t
f u n c t i o n s a n d w e s e e i t i s t h e c o m m u t a n t o fG
o n 2(G/H )
. I t i s k n o w n a s
t h e H e c k e a l g e b r a f o r t h e p a i r (G, H ) a n d h a s a c o n s i d e r a b l e r o l e t o p l a y
i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f n i t e g r o u p s . A f a m o u s e x a m p l e i s t h e c a s e
w h e r e
Gi s t h e g e n e r a l l i n e a r g r o u p o v e r a n i t e e l d a n d
H i s t h e g r o u p o f
u p p e r t r i a n g u l a r m a t r i c e s . T h e c o s e t s p a c e i s t h e n t h e s o - c a l l e d a g v a r i e t y
a n d t h e H e c k e a l g e b r a i n t h i s c a s e l e a d s t o a l o t o f b e a u t i f u l m a t h e m t a t i c s .
S e e B o u r b a k i [ ] .
N o t h i n g c o u l d b e t t e r i n d i c a t e h o w d i e r e n t l y t h i n g s w o r k f o r i n n i t e d i s -
c r e t e g r o u p s t h a n h o w t h e H e c k e a l g e b r a w o r k s . F a r f r o m b e i n g d i r e c t s u m -
m a n d s , t h e q u a s i r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s c a n b e t o t a l l y d i e r e n t f r o m t h e l e f t
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r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s a n d c a n e v e n g e n e r a t e t y p e I I I f a c t o r s ! T h e s e H e c k e
a l g e b r a s g i v e n i c e e x a m p l e s w h e r e t h e m o d u l a r o p e r a t o r s c a n b e c a l c u l a t e d
e x p l i c i t l y .
D e n i t i o n 1 3 . 3 . 6 A s u b g r o u p
H o f t h e d i s c r e t e g r o u p
Gi s c a l l e d a l m o s t
n o r m a l i f e i t h e r o f t h e t w o e q u i v a l e n t c o n d i t i o n s b e l o w i s s a t i s e d .
( a )gH g−1 ∩ H
i s o f n i t e i n d e x i n H
f o r a l lg ∈ G
.
( b ) E a c h d o u b l e c o s e t o f
H i s a n i t e u n i o n o f l e f t c o s e t s o f
H ( i . e . t h e
o r b i t s o f H
o n G/H
a r e a l l n i t e ) .
I f H i s a l m o s t n o r m a l i n G o n e m a y c o n s t r u c t o p e r a t o r s i n t h e c o m m u t a n t
o f t h e q u a s i r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o fG
o n 2(G/H )
a s f o l l o w s :
G i v e n a n e l e m e n t
xo f
G/H l e t
εx b e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f
x.
T h e s e f u n c t i o n s f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f2(G/H )
. M o r e o v e r e a c h v e c t o r
εx i s c y c l i c f o r t h e a c t i o n o f
Gh e n c e s e p a r a t i n g f o r t h e c o m m u t a n t . I f
Di s
a d o u b l e c o s e t o fH
d e n e T D b y t h e m a t r i x
(T D)x,y =
1
i fy−1x = D
;
0o t h e r w i s e .
C l e a r l y
T D i s b o u n d e d s i n c e
H i s a l m o s t n o r m a l a n d i t o b v i o u s l y c o m -
m u t e s w i t h t h e a c t i o n o f G. F r o m t h e d e n i t i o n w e h a v e
T ∗D = T D−1.
I t i s a l s o e a s y t o c h e c k t h a t
T DT E =F
nF D,E T F
w h e r e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t s a r e d e n e d b y
nF D,E =
#(E/H )i f
F ⊆ ED;
0o t h e r w i s e .
W e w i l l c a l l t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e T D ' s t h e H e c k e -
v o n N e u m a n n a l g e b r a o f t h e p a i r
H ⊆ Ga n d w r i t e i t
HvN (G, H ). T h e
v e c t o r s t a t e φ
d e n e d o n HvN (G, H )
b y εH i s f a i t h f u l a n d n o r m a l , a n d
T DεH , T DεH = 0u n l e s s
D = Ds o t h a t t h e
T D ' s a r e o r t h o g o n a l . I t i s t h u s
e a s y t o c a l c u l a t e t h e o p e r a t o r s f o r t h e m o d u l a r t h e o r y o n Hφ ( n o t e t h a t t h i s
i s n o t2(G/H )
) . W e g u e s s a s u s u a l t h a tJ (T DΩ) = (constant)T D−1Ω
a n d
b y c o u n t i n g c o s e t s i n d o u b l e c o s e t s ( o r s i z e s o f o r b i t s o fH
o n G/H
) w e n d
9 3
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t h a t t h e c o n s t a n t h a s t o b e (#(D/H ))1/2(#(H
\D))−1/2
. T h u s a s b e f o r e JS
i s d i a g o n a l o n t h e b a s i s T DΩ o f H φ s o e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t a n d
∆(T DΩ) =#(H \D)
#(D/H )T DΩ
w i t h t h e o b v i o u s d o m a i n . T h u s
σφt (T D) =
#(H \D)
#(D/H )
itT D.
E x a m p l e s o f a l m o s t n o r m a l s u b g r o u p s a r e n o t h a r d t o n d . T h e c l a s s i c a l
e x a m p l e o f H e c k e h i m s e l f i s t h e c a s e w h e r e G = SL(2,Q)
a n d H = SL(2,Z)
.
I n t h i s c a s e t h e H e c k e a l g e b r a i s a b e l i a n . B o s t a n d C o n n e s i n [ 4 ] e x a m i n e d
t h e c a s e o f t h e ax+b
g r o u p o v e r t h e r a t i o n a l s w i t h t h e s u b g r o u p b e i n g i n t e g e r
t r a n s l a t i o n s . T h e y s h o w e d t h a tHvN (G, H )
i n t h i s c a s e i s a t y p e I I I f a c t o r
a n d m a d e a c o n n e c t i o n w i t h p r i m e n u m b e r s .
1 3 . 4 T h e K M S c o n d i t i o n .
I n t h e e x a m p l e s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n t h e o p e r a t o r s o f t h e m o d u l a r g r o u p
w e r e e a s y t o c a l c u l a t e e x p l i c i t l y , i n c l u d i n g t h e d o m a i n o f ∆. O n e c a n i m a g i n e
t h a t t h i s i s n o t a l w a y s s o . I f w e a r e p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n t h e m o d u l a r
g r o u p σφt i t w o u l d b e u s e f u l t o b e a b l e t o g u e s s i t a n d s h o w t h a t t h e g u e s s i s
r i g h t w i t h o u t b o t h e r i n g a b o u t t h e d o m a i n o f∆
. T h e K M S ( K u b o - M a r t i n -
S c h w i n g e r ) c o n d i t i o n f r o m q u a n t u m s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s a l l o w s u s t o d o j u s t
t h a t . T h e m o d u l a r g r o u p c a m e f r o m t h e n o n - t r a c e - l i k e p r o p e r t y o f a s t a t e
a n d t h e K M S c o n d i t i o n a l l o w s u s t o c o r r e c t f o r t h a t . L e t u s d o a f o r m a l
c a l c u l a t i o n a s s u m i n g t h a t t h e m o d u l a r g r o u p c a n b e e x t e n d e d t o c o m p l e x
n u m b e r s ( r e m e m b e r t h a t
Ωi s x e d b y
S, J a n d
∆) :
φ(xy) = yΩ, x∗
Ω= yΩ, J ∆−1/2∆x∆−1Ω= ∆x∆−1Ω, SyΩ= y∆x∆−1Ω, Ω.
W e c o n c l u d e t h a t
φ(xy) = φ(yσφi (x)).
T h u s t h e t r a c e i s c o m m u t a t i v e p r o v i d e w e o p e r a t e b y t h e m o d u l a r g r o u p .
9 4
8/23/2019 VonNeumann Algebras
http://slidepdf.com/reader/full/vonneumann-algebras 95/121
E x e r c i s e 1 3 . 4 . 1 I f
M i s n i t e d i m e n s i o n a l a n d
φi s a f a i t h f u l s t a t e , s h o w
t h a t φ σφt = φ a n d t h a t f o r e a c h x a n d y i n M t h e r e i s a n e n t i r e f u n c t i o n
F (z )w i t h , f o r
t ∈ R,
F (t) = φ(σφt (x)y)a n d
F (t + i) = φ(yαt(x)).
I fM
i s i n n i t e d i m e n s i o n a l w e w o u l d n o t e x p e c t t h e f u n c t i o n F (z )
o f t h e
p r e v i o u s e x e r c i s e t o b e e n t i r e .
D e n i t i o n 1 3 . 4 . 2 L e t
αt b e a s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n e p a r a m e t e r a u t o m o r -
p h i s m g r o u p o f a v o n N e u m a n n a l g e b r a
M , a n d
φb e a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e
o n M
. W e s a y t h a tα
s a t i s e s t h e K M S c o n d i t i o n f o r φ
i f φ αt = φ
a n d ,
f o r e a c h
xa n d
yi n
M , t h e r e i s a f u n c t i o n
F , c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d o n
t h e s t r i p z : 0 ≤ m(z ) ≤ 1
, a n a l y t i c o n t h e i n t e r i o r o f t h e s t r i p a n d s u c h
t h a t f o r t ∈ R,
F (t) = φ(σφt (x)y)a n d
F (t + i) = φ(yαt(x)).
T h e o r e m 1 3 . 4 . 3 I f
φi s a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a
M t h e n
σφ
t
i s t h e u n i q u e o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p s a t i s f y i n g t h e
K M S c o n d i t i o n f o r φ
.
T h i s c h a p t e r h a s b e e n h e a v i l y t e c h n i c a l s o w e d e f e r t h e p r o o f , w h i c h i s b y
a p p r o x i m a t i o n o n d e n s e s u b s p a c e s o f t h e d o m a i n o f
∆t o w h i c h t h e p r e v i o u s
c a l c u l a t i o n s c a n b e a p p l i e d , t o a n a p p e n d i x . W e c o n t e n t o u r s e l v e s h e r e w i t h
a n i n t e r e s t i n g c o r o l l a r y , i d e n t i f y i n g a p a r t o r
M o n w h i c h
φb e h a v e s a s a
t r a c e .
C o r o l l a r y 1 3 . 4 . 4 F o r
a ∈ M t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t :
1 .
φ(ax) = φ(xa) f o r a l l
x ∈ M .
2 . σφt (a) = a f o r a l l t ∈ R.
P r o o f . (1 ⇒ 2
) O b s e r v e t h a t f o rx ∈ M
,x∗Ω, aΩ = Ω, xaΩ = Ω, axΩ
( b y 1 ) . S o SxΩ, aΩ = a∗Ω, xΩ
s o t h a taΩ ∈ D(S ∗)
a n d S ∗(aΩ) = Ω∗
. S o
∆(aΩ) = aΩ,
∆itaΩ = aΩa n d n a l l y
σφt (a) = af o r a l l
t ∈ R.
(
2 ⇒ 1)
φ(σφt (x)a) = φ(σφt (xa)) = φ(xa)s o t h a t
F (t)i s c o n s t a n t . U s e t h e
S c h w a r z r e e c t i o n p r i n c i p l e t o c r e a t e a h o l o m o r p h i c f u n c t i o n , c o n s t a n t o n R
,
i n t h e u n i o n o f t h e s t r i p w i t h i t s c o m p l e x c o n j u g a t e . T h u sF
i s c o n s t a n t o n
t h e s t r i p a n d φ(xa) = φ(ax)
.
9 5
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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D e n i t i o n 1 3 . 4 . 5 T h e v o n N e u m a n n s u b a l g e b r a o f
M d e n e d b y e i t h e r o f
t h e c o n d i t i o n s o f t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y i s c a l l e d t h e c e n t r a l i s e r o f t h e s t a t e
φ.
9 6
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 1 4
C o n n e s ' t h e o r y o f t y p e I I I f a c t o r s .
1 4 . 1 T h e C o n n e s u n i t a r y c o c y c l e R a d o n - N i k o d y m
t h e o r e m .
T h i s r e s u l t w i l l a l l o w u s t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n f r o m t h e m o d u l a r g r o u p o f a
s t a t e w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e .
T h e o r e m 1 4 . 1 . 1 L e t
φa n d
ψb e f a i t h f u l n o r m a l s t a t e s o n a v o n N e u m a n n
a l g e b r a
M . T h e n t h e r e i s a s t r o n g l y c o n t i n o u s m a p
t
→ut f r o m
Rt o t h e
u n i t a r y g r o u p o f M s o t h a t
σφt = Adutσψt ∀ t ∈ R.
M o r e v o e r ut s a t i s e s t h e c o c y c l e c o n d i t i o n
utσψt (us) = ut+s .
P r o o f . W e d e n e t h e f a i t h f u l n o r m a l s t a t e Φ
o n M ⊗ M 2(C)
b y Φ((x)ij) =
12
(φ(x11) + ψ(x22)). T h e p r o j e c t i o n
p =
1 00 0
i s x e d b y
σΦb y 1 3 . 4 . 4 .
S o σΦ
d e n e s a o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p o f pM ⊗ M 2(C) p
w h i c h
s a t i s e s t h e K M S c o n d i t i o n f o r φ . H e n c e σΦt (x⊗e11) = σφt (x)⊗e11 . S i m i l a r l y
σΦt (x ⊗ e22) = σψt (x) ⊗ e22 . L e t
V t = σΦt (1 ⊗ e21)
. T h e n V tV ∗t =
0 00 1
a n d
V ∗t V t =
1 00 0
. H e n c e
V t =
0 0vt 0
f o r s o m e u n i t a r y
vt ∈ M . R o u t i n e
c o m p u t a t i o n s g i v e t h e r e s t .
C o r o l l a r y 1 4 . 1 . 2 I f
M i s a f a c t o r a n d
σφt i s o u t e r f o r a n y phi
a n d t
t h e n
M i s o f t y p e I I I .
9 7
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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P r o o f . B y t h e p r e v i o u s r e s u l t i t s u c e s t o e x h i b i t a s i n g l e f a i t h f u l n o r m a l
s t a t e o n a t y p e I I f a c t o r w i t h i n n e r m o d u l a r g r o u p . I n t h e I I 1 c a s e u s e t h e
t r a c e a n d i n t h e I I ∞ c a s e c h o o s e a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e φ
o n B(H)
a n d u s e
tr ⊗ φ, u s i n g t h e K M S c o n d i t i o n ( i f n e c e s s a r y ) t o v e r y t h a t t h e m o d u l a r
g r o u p f o r t h e t e n s o r p r o d u c t i s t h e t e n s o r p r o d u c t o f t h e m o d u l a r g r o u p s .
C o r o l l a r y 1 4 . 1 . 3 T h e s u b g r o u p o f a l l
t ∈ R f o r w h i c h
σφt i s i n n e r i s i n d e -
p e n d e n t o f t h e f a i t h f u l n o r m a l s t a t e φ
.
D e n i t i o n 1 4 . 1 . 4 T h e s u b g r o u p o f t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y , w h i c h i s a n i n -
v a r i a n t o f
M , i s c a l l e d
T (M ).
W e s h a l l n o w c a l c u l a t e T (M )
f o r t h e P o w e r s f a c t o rRλ w h e r e t h i s r e f e r s
t o t h e I T P F I f a c t o r w i t h a l lnk = 2
a n d a l l s t a t e s h a v i n g t h e s a m e d e n s i t y
m a t r i x h =
1
1+λ0
0 λ1+λ
.
T h e o r e m 1 4 . 1 . 5
T (Rλ) =2π
log λZ
.
P r o o f . B y t h e f o r m u l a f o r t h e m o d u l a r g r o u p σφ2
πlog λ
= ids o
2π
logλZ
⊆T (R
λ)
.
F o r t h e o t h e r d i r e c t i o n i t s u c e s t o s h o w t h a t a n a u t o m o r p h i s m α
o f t h e
f o r m
α = ⊗∞k=1Adu
i s o u t e r w h e n e v e r t h e u n i t a r y u
i s n o t a s c a l a r .
F o r t h i s r s t d e n e uk = ⊗k1u
a n d o b s e r v e t h a t i fα = Adv
t h e n (uk ⊗
1)−1v = ido n t h e m a t r i x a l g e b r a
Ak = ⊗k1M 2(C). B y e x e r c i s e 5 . 3 . 3 t h i s
m e a n s t h a tv = uk ⊗ w
. N o w i t i s c l e a r f r o m o u r b a s i s t h a t w e c a n c h o o s e
⊗ p j=1xi ⊗ 1Ωw i t h n o n - z e r o i n n e r p r o c u c t w i t h
vΩ. B u t t h e n x i n g
pa n d
l e t t i n g k
t e n d t o i n n i t y w e s e e t h a t
(⊗ p j=1xi ⊗ 1)Ω, vΩ =
p j=1
xi, u1, uk− p1, w.
T h e l e f t h a n d s i d e d o e s n o t d e p e n d o n k
a n d |1, w| ≤ 1
s o w e m u s t h a v e
|1, u| = 1w h i c h m e a n s t h a t
ui s a s c a l a r m u l t i p l e o f
1b y t h e C a u c h y -
S c h w a r z i n e q u a l i t y .
W e c o n c l u d e t h a t t h e P o w e r s f a c t o r sRλ a r e t y p e I I I f a c t o r s , m u t u a l l y
n o n - i s o m o r p h i c f o r d i e r e n t v a l u e s o fλ
.
9 8
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1 4 . 2 T y p e I I I λ.
T h e s p e c t r u m o f t h e m o d u l a r o p e r a t o r∆
i s e a s y t o c a l c u l a t e f o r a n I T P F I
f a c t o r . I t i s s i m p l y t h e c l o s u r e o f t h e s e t o f a l l r a t i o s
µiµj
a s
µv a r i e s o v e r
a l l t h e d e n s i t y m a t r i c e s d e n i n g t h e p r o d u c t s t a t e . A p a r t f r o m b e i n g c l o s e d
u n d e r t h e i n v e r s e o p e r a t i o n t h i s s e t o f n o n - n e g a t i v e r e a l n u m b e r s h a s n o
p a r t i c u l a r s t r u c t u r e a n d c a n b e a l t e r e d e a s i l y b y m a k i n g c h a n g e s i n n i t e l y
m a n y d e n s i t y m a t r i c e s w h i c h o f c o u r s e d o n o t c h a n g e t h e f a c t o r .
D e n i t i o n 1 4 . 2 . 1 I f
M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a t h e i n v a r i a n t
S (M )i s
t h e i n t e r s e c t i o n o v e r a l l f a i t h f u l n o r m a l s t a t e s φ
o f t h e s p e c t r a o f t h e i r c o r -
r e s p o n d i n g m o d u l a r o p e r a t o r s ∆φ
.
T h e o r e m 1 4 . 2 . 2 A f a c t o r
M i s o f t y p e I I I i
0 ∈ S (M ).
T h e o r e m 1 4 . 2 . 3 ( C o n n e s - v a n D a e l e )
S (M ) \ 0i s a c l o s e d s u b g r o u p o f
t h e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s .
T h e r e a r e o n l y t h r e e k i n d s o f c l o s e d s u b g r o u p s o fR+
.
D e n i t i o n 1 4 . 2 . 4 A f a c t o r
M i s c a l l e d t y p e I I I λ f o r
0 ≤ λ ≤ 1i f
λ = 0 : S (M ) = 0 ∪ 10 < λ < 1 : S (M ) = 0 ∪ λn : n ∈ Z
λ = 1 : S (M ) = 0 ∪R+
T h e o r e m 1 4 . 2 . 5 T h e P o w e r s f a c t o r
Rλ i s o f t y p e I I I λ .
I n h i s t h e s i s , C o n n e s s h o w e d t h a t e v e r y t y p e I I I λ f a c t o r f o r0 < λ < 1
i sC o n n e s t h e s i s
c a n o n i c a l l y i s o m o r p h i c t o t h e c r o s s e d p r o d u c t o f a t y p e I I ∞ f a c t o r w i t h a n
a c t i o n o fZ
w h o s e g e n e r a t o r s c a l e s t h e t r a c e b y λ
.
I fA
i s a l o c a l l y c o m p a c t a b e l i a n g r o u p w i t h a n a c t i o n α
o n a v o n N e u m a n n
a l g e b r a
M , t h e r e i s a n a c t i o n
αo f t h e P o n t r y a g i n d u a l
Ao n t h e c r o s s e d
p r o d u c tM αA
s a t i s f y i n g
αa(x) = xf o r
x ∈ M
αa(ua) = a(a)ua i fua a r e t h e u n i t a r i e s d e n i n g t h e c r o s s e d p r o d u c t .
T h e e x i s t e n c e o f t h e s o - c a l l e d d u a l a c t i o n α
i s t r i v i a l p r o v e d s i n c e i t i s
i m p l e m e n t e d b y t h e o b v i o u s u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o fA
o n L2(A)
.
9 9
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E x e r c i s e 1 4 . 2 . 6 I f
Ai s n i t e c o n s i d e r t h e p r o j e c t i o n
p = a ua
∈M A
.
S h o w t h a t pM Ap = M A p a n d t h u s s h o w t h a t (M αA)αA i s i s o m o r p h i c
t o M ⊗ M |A|(C)
.
O b s e r v e t h a t t h e c r o s s e d p r o d u c t o f a v o n N e u m a n n a l g e b r a M
o n H
b y
t h e m o d u l a r g r o u p σφ
d o e s n o t d e p e n d , u p t o i s o m o r p h i s m , o n t h e f a i t h f u l
n o r m a l s t a t e φ
. T h i s f o l l o w s f r o m t h e o r e m 1 4 . 1 . 1 b y d e n i n g t h e u n i t a r y V
o n L2(R, H)
b y
V f (t) = utf (t)
w h e r e ψ
i s a n o t h e r f a i t h f u l n o r m a l s t a t e w i t h u n i t a r y o n e - c o c y c l e ut . C o n j u -
g a t i n g t h e o p e r a t o r s t h a t g e n e r a t e
M σφR b y
V o n e o b t a i n s t h e g e n e r a t o r s
o f M σψR .
T h e o r e m 1 4 . 2 . 7 T h e c r o s s e d p r o d u c t o f
M b y t h e m o d u l a r g r o u p a d m i t s a
t r a c e s a t i s f y i n g t h e p r o p e r t i e s o f 9 . 1 . 9
D e n i t i o n 1 4 . 2 . 8 T h e a c t i o n o f
Ro n
Z (M σφR)i s c a l l e d t h e o w o f
w e i g h t s o f M
.
T h e o r e m 1 4 . 2 . 9 ( T a k e s a k i d u a l i t y ) T h e c r o s s e d p r o d u c t
(M σφR
)σφR
i s i s o m o r p h i c t o t h e t e n s o r p r o d u c tM ⊗ B(H)
f o r H = L2(R)
.
T h u s i fM
i s a f a c t o r t h e o w o f w e i g h t s i s e r g o d i c .
T h e o r e m 1 4 . 2 . 1 0 I f
M i s a f a c t o r o f t y p e I I I λ t h e o w o f w e i g h t s i s
I I I 1 : T h e t r i v i a l o w o n a o n e p o i n t s e t i f M
i s I I I 1 .
I I I λ : T h e t r a n s i t i v e o w o n t h e c i r c l e w i t h p e r i o d
2πλ
i f M
i s o f t y p e I I I λ ,
0 < λ < 1.
I I I 0 : E r g o d i c n o n - t r a n s i t i v e i f
M i s o f t y p e I I I 0 .
M o r e o v e r a n y e r g o d i c n o n - t r a n s i t i v e o w a r i s e s a s t h e o w o f w e i g h t s f o r
s o m e t y p e I I I 0 f a c t o r .
1 0 0
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C h a p t e r 1 5
H y p e r n i t e n e s s
D e n i t i o n 1 5 . 0 . 1 1 A v o n N e u m a n n a l g e b r a
M o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e
i s c a l l e d h y p e r n i t e i f t h e r e i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e An o f n i t e d i m e n s i o n a l
* - s u b a l g e b r a s o f
M w h i c h g e n e r a t e s
M a s a v o n N e u m a n n a l g e b r a .
1 5 . 1 T h e h y p e r n i t e t y p e I I 1 f a c t o r R
T h e r s t m a i n r e s u l t a b o u t h y p e r n i t e n e s s w a s p r o v e d b y M u r r a y a n d v o n
N e u m a n n i n [ ] . W e w i l l u s e
Rt o d e n o t e t h e h y p e r n i t e I I 1 f a c t o r w h o s e
u n i q u e n e s s t h e y p r o v e d .
T h e o r e m 1 5 . 1 . 1 U p t o a b s t r a c t i s o m o r p h i s m t h e r e i s a u n i q u e h y p e r n i t e
I I 1 f a c t o r .
S k e t c h o f p r o o f . O n e w o r k s w i t h t h e n o r m ||x||2 = tr(x∗x)1/2
o n M
. I t i s
n o t h a r d t o s h o w t h a t a v o n N e u m a n n s u b a l g e b r a N
o fM
i s s t r o n g l y d e n s e
i n M
i i t i s d e n s e i n ||−||2 . G i v e n a s u b a l g e b r a
Ao f
M a n d a s u b s e t
S ⊆ M o n e s a y s
S ⊆ A
ε
i f f o r e a c h x ∈ S
t h e r e i s a y ∈ A
w i t h ||x − y||2 < ε
.
T h e h y p e r n i t e n e s s c o n d i t i o n t h e n i m p l i e s :
F o r e v e r y n i t e s u b s e tS ⊆ M
a n d e v e r y ε > 0
t h e r e i s a n i t e d i m e n -
s i o n a l * - s u b a l g e b r a
Ao f
M w i t h
S ⊆ A.
ε
1 0 1
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T h e n e x t s t e p i s t o s h o w t h a t t h e A
i n t h e p r e c e e d i n g c o n d i t i o n c a n b e
c h o s e n t o b e t h e 2n× 2n m a t r i c e s f o r s o m e ( p o s s i b l y v e r y l a r g e ) n. T h i s p a r t
u s e s w h a t m i g h t b e d e s c r i b e d a s I I 1 f a c t o r t e c h n i q u e . O n e b e g i n s w i t h A
a n d a p p r o x i m a t e s a l l i t s m i n i m a l p r o j e c t i o n sei b y o n e s w h o s e t r a c e s a r e
n u m b e r s o f t h e f o r m k/2n
. T h e m a t r i x u n i t s o fA
c a n b e c h a n g e d a l i t t l e b i t
i n | |− | |2 s o t h a t , t o g e t h e r w i t h m a t r i x u n i t s c o n e c t i n g p r o j e c t i o n s o f t r a c e
1/2nl e s s t h a n t h e
ei , t h e y g e n e r a t e a
2n×2nm a t r i x a l g e b r a c o n t a i n i n g , u p t o
ε, t h e m a t i x u n i t s o f
A. P e r t u r b a t i o n o f t h e m a t r i x u n i t s w i l l i n v o l v e r e s u l t s
o f t h e f o r m :
I f u ∈ M
s a t i s e s ||(uu∗)2 − uu∗||2 <
t h e n t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y
v ∈ M w i t h
||v − u||2 < F ()
( f o r s o m e n i c e f u n c t i o n f w i t h f (0) = 0) .
o r :
I f p
a n d q
a r e p r o j e c t i o n s w i t h || pq ||2 <
t h e n t h e r e i s a p r o j e c t i o n q
w i t h
pq = 0a n d
||q − q || < F ().
o r :
I f
f ij a r e a l m o s t
n × nm a t r i x u n i t s , i . e .
( a )||f ij − f ji||2 <
( b ) ||f ijf kl − δ j,kf il||2 < ( c )
||1 −ni=1 f ii||2 <
t h e n t h e r e a r e n×n
m a t r i x u n i t s eij w i t h
||eij−f ij|| < F ()w h e r e
F d e p e n d s
o n l y o n n
a n d F (0) = 0
.
S u c h r e s u l t s a r e p r o v e d b y a s k i l f u l u s e o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n a n d
s p e c t r a l t h e o r e m .
T h u s o n e s h o w s t h a t i n a h y p e r n i t e t y p e I I 1 f a c t o r o n e h a s :
P r o p e r t y * : F o r e v e r y n i t e s u b s e tS ⊆ M
a n d e v e r y ε > 0
t h e r e i s a
2n
×2n
m a t r i x s u b a l g e b r a o f M
w i t h
S ⊆ A.
ε
O n e m a y n o w p r o c e e d t o p r o v e t h e t h e o r e m b y c h o o s i n g a | |− | |2 - d e n s e
s e q u e n c e xk i n
M a n d i n d u c t i v e l y c o n s t r u c t i n g a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f
2nk × 2nkm a t r i x a l g e b r a s
Ak w i t h t h e p r o p e r t y t h a t
F o r e a c h k = 1, 2, 3,..., x1, x2,...,xk ⊆ Ak .
1/k
1 0 2
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T h e u n i o n o f t h e Ak ' s i s c l e a r l y d e n s e i n
| |−| |2 . T h i s i s e n o u g h t o p r o v e
t h e t h e o r e m s i n c e t h e Ak ' s c a n b e u s e d t o g i v e a n i s o m o r p h i s m o f M w i t h
t h e t y p e I I 1 f a c t o r⊗∞M 2(C)
c o n s t r u c t e d i n s e c t i o n 7 . 2 .
T o c o n s t r u c tAk+1 f r o m
Ak o n e n e e d s t o a r r a n g e f o r t h e n e w a l g e b r a
t o c o n t a i n t h e o n e a l r e a d y c o n s t r u c t e d . S o t o t h e e l e m e n t s
x1, x2,...,xk+1 ,
a d d m a t r i x u n i t seij f o r
Ak+1 . N o w u s e p r o p e r t y * t o o b t a i n a B
a l m o s t
c o n t a i n i n g t h e xi a n d t h e m a t r i x u n i t s , w i t h
s m a l l e n o u g h t o c o n t r o l s u m s
o v e r t h e m a t r i x u n i t seij . I n
Bw e k n o w t h e r e a r e a p p r o x i m a t e m a t r i x u n i t s
c l o s e t o t h e eij s o b y a t e c h n i c a l l e m m a , e x a c t m a t r i x u n i t s
f ij c l o s e t o t h e
eij . N o w c h o o s e a u n i t a r y c l o s e t o t h e i d e n t i t y w h i c h c o n j u g a t e s t h e f ij t o
t h e eij a n d u s e t h i s u n i t a r y t o c o n j u g a t e
Bt o a s u p e r a l g e b r a o f
Ak . T h i s
s u p e r a l g e b r a i s Ak+1 a n d i t c o n t a i n s t h e xi u p t o e p s i l o n s i n c e u i s c l o s e t o
t h e i d e n t i t y .
T h i s c o m p l e t e s t h e s k e t c h o f t h e p r o o f . T h e t e c h n i q u e i n v o l v e d i s c o n -
s i d e r e d s t a n d a r d i n v o n N e u m a n n a l g e b r a s a n d t h e d e t a i l s c a n b e f o u n d i n
.d i x m i e r
C o r o l l a r y 1 5 . 1 . 2 I f
S ∞ i s t h e g r o u p o f n i t e l y s u p p o r t e d p e r m u t a t i o n s o f a
c o u n t a b l y i n n i t e s e t t h e n vN (S ∞) ∼= ⊗∞M 2(C)
.
P r o o f . T h e s u b g r o u p s o fS ∞ p e r m u t i n g a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f n i t e s e t s
s h o w t h a tvN (S
∞)
i s h y p e r n i t e .
I t i s s u r p r i s i n g a t r s t s i g h t t h a t t h e t y p e I I 1 f a c t o rL∞(X, µ)Z
o b t a i n e d
f r o m a n e r g o d i c m e a s u r e - p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n T
i s h y p e r n i t e . T h i s c a n
b e s h o w n b y R o k h l i n ' s t o w e r t h e o r e m w h i c h a s s e r t s t h a t , f o r e a c h n ∈ N
a n d
e a c h > 0
t h e r e i s a m e a s u r a b l e s u b s e tA ⊆ X
w i t h
( 1 )
T i(A) ∩ T j(A) = ∅f o r
1 ≤ i < j ≤ n, a n d
( 2 )µ(X \ ∪ni=0T i(A)) <
.
T h e u n i t a r y u1 o f t h e c r o s s e d p r o d u c t a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f
Ac a n b e c o m b i n e d , w i t h a l i t t l e p e r t u r b a t i o n t o g e t t h e i d e n t i t y , t o g e t a
n
×n
m a t r i x a l g e b r a . C a r e f u l a p p l i c a t i o n o f t h e t o w e r t h e o r e m w i l l a l l o w o n e t o
g e t a n y e l e m e n t o fL∞(X, µ)
, a n d u1 , i n t h i s m a t r i x a l g e b r a u p t o s o m e
.
T h i s w a s r s t p r o v e d b y H e n r y D y e i n w h o w e n t o n t o p r o v e t h a t i n f a c t a l lD y e
g r o u p s o f p o l y n o m i a l g r o w t h g i v e h y p e r n i t e I I 1 f a c t o r s i n t h i s w a y .
T h e u l t i m a t e r e s u l t i n t h i s d i r e c t i o n i s t h e c e l e b r a t e d I n j e c t i v e f a c t o r s
t h e o r e m o f C o n n e s w h o s h o w e d t h a t h y p e r n i t e n e s s f o r a v o n N e u m a n n a l -
g e b r a M
o n H
i s e q u i v a l e n t t o i n j e c t i v i t y w h i c h m e a n s t h e r e i s a p r o j e c t i o n
i n t h e B a n a c h s p a c e s e n s e o f n o r m o n e f r o m B(H)
o n t o M
. T h i s t h e o r e m ,
w h o s e p r o o f i s a g r e a t , g r e a t t o u r d e f o r c e , h a s a r a f t o f c o r o l l a r i e s , m a n y o f
1 0 3
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w h i c h w e r e o p e n q u e s t i o n s . L e t u s j u s t m e n t i o n t h e f a c t t h a t i t f o l l o w s e a s i l y
t h a t a n y s u b f a c t o r o f R w h i c h i s i n n i t e d i m e n s i o n a l i s i n f a c t i s o m o r p h i c t o
R. I t a l s o i m p l i e s t h a t
vN (Γ), a s w e l l a s
L∞(X, µ)Γi s h y p e r n i t e a s s o o n
a sΓ
i s a m e n a b l e .
1 5 . 2 T h e t y p e I I I c a s e .
T h e c o m p l e t e c l a s s i c a t i o n o f i n j e c t i v e ( = h y p e r n i t e ) f a c t o r s i s a t r i u m p h
o f 2 0 t h . c e n t u r y m a t h e m a t i c s . C o n n e s s h o w e d i n t h a t t h e r e i s o n l y o n e C o n n e s a c t i o n s
t r a c e - s c a l i n g a u t o m o r p h i s m o fR ⊗ B(H)
f o r e a c h s c a l i n g f a c t o rλ = 1
u p t o
c o n j u g a c y . T o g e t h e r w i t h t h i s s h o w s t h a t f o r e a c h λ
w i t h 0 < λ < 1
t h e r e i sC o n n e s I n j e c t i v e f a c t o r s
a u n i q u e i n j e c t i v e f a c t o r o f t y p e I I I λ .
U s i n g r e s u l t s o f K r i e g e r i n , h i s t h e s i s a n d , C o n n e s s h o w e d t h a t h y p e r -k r i e g e r
i n j e c t i v e
n i t e t y p e I I I 0 f a c t o r s a r e c l a s s i e d b y t h e i r o w o f w e i g h t s ( u p t o c o n j u g a c y o f
o w s , n o t o r b i t e q u i v a l e n c e ) . T h i s m e a n s t h a t t h e r e i s a r a t h e r l a r g e n u m b e r
o f I I I 0 f a c t o r s b u t t h e i r c l a s s i c a t i o n i s i n t h e r e a l m o f e r g o d i c t h e o r y r a t h e r
t h a n v o n N e u m a n n a l g e b r a s .
T h e r e m a i n i n g c a s e o f i n j e c t i v e t y p e I I I 1 f a c t o r s w a s s o l v e d b y H a a g e r u p
i n . T h e r e i s j u s t o n e s u c h f a c t o r a n d a h y p e r n i t e f a c t o r i s g e n e r i c a l l y o fu e I I I o n e
t y p e I I I 1 .
1 0 4
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C h a p t e r 1 6
C e n t r a l S e q u e n c e s .
1 6 . 1 G e n e r a l i t i e s .
D e n i t i o n 1 6 . 1 . 1 I f
M i s a t y p e I I 1 f a c t o r , a c e n t r a l s e q u e n c e i n
M i s a
n o r m b o u n d e d s e q u e n c e (xn)
w i t h limn→∞ ||[xn, a]||2 = 0
. A c e n t r a l s e q u e n c e
i s s a i d t o b e t r i v i a l i f limn→∞ ||xn − tr(xn)id||2 = 0
.M
i s s a i d t o h a v e
p r o p e r t y
Γi f t h e r e i s a c e n t r a l
T h e c o l l e c t i o n o f a l l c e n t r a l s e q u e n c e s i s c l e a r l y a C
∗- s u b a l g e b r a o f
∞(N, M ).
I fω
i s a f r e e u l t r a l t e r o n N
, t h e s u b a l g e b r a
I ω o f
∞(N, M )c o n s i s t i n g o f
s e q u e n c e s w i t h limn→ω ||xn||2 = 0 i s a 2 - s i d e d i d e a l o f ∞(N, M ). N o t e a l s o
t h a tM
i s e m b e d d e d i n ∞(N, M )
a s c o n s t a n t s e q u e n c e s .
D e n i t i o n 1 6 . 1 . 2 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e , t h e u l t r a p r o d u c t o f
M a l o n g
ωi s
t h e q u o t i e n t o f
∞(N, M )b y
I ω . I t i s w r i t t e n
M ω. T h e a l g e b r a o f (
ω- ) c e n t r a l
s e q u e n c e s i s t h e c e n t r a l i s e r M ω = M ∩ M ω
o f M
i n ∞(N, M )
.
B y c o m p a c t n e s s , t h e t r a c e o n M
d e n e s a t r a c e o n M ω
b y
tr((xn)) = limn→ω
tr(xn)
a n d b y d e n i t i o n i t i s f a i t h f u l o n M ω.
E x e r c i s e 1 6 . 1 . 3 S h o w t h a t t h e u n i t b a l l ( i n t h e C
∗n o r m ) o f
M ωi s c o m p l e t e
i n | |−| |2 s o t h a t
M ωa n d
M ω a r e v o n N e u m a n n a l g e b r a s .
1 6 . 2 C e n t r a l s e q u e n c e s i n R
A l l m o d e l s f o rR
e x h i b i t c e n t r a l s e q u e n c e s i n a b u n d a n c e . T h e m o s t o b v i o u s
s i t u a t i o n i s t h a t o f⊗∞M 2(C)
. F i x i n g x ∈ M 2(C)
w e c a n d e n e t h e s e q u e n c e
1 0 5
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xn = 1
⊗1
⊗1...x
⊗1
⊗1...
w i t h t h e x
i n t h e n
t h . s l o t i n t h e t e n s o r p r o d u c t .
F o r l a r g e e n o u g h n, xn w i l l c o m m u t e w i t h a n y e l e m e n t i n t h e a l g e b r a i c t e n s o r
p r o d u c t s o b y t h e o b v i o u s ( i n t h e I I 1 c a s e ! ) i n e q u a l i t y ||[xn, a]|| ≤ 2||xn||||a||2
w e s e e t h a t(xn)
i s c e n t r a l a n d c l e a r l y n o n - t r i v i a l i fx
i s n o t a s c a l a r . J u s t a s
c l e a r l y t h e c e n t r a l s e q u e n c e a l g e b r a i s n o n - c o m m u t a t i v e a s w e o n l y n e e d t o
c h o o s e x
a n d y
t h a t d o n o t c o m m u t e a n d c o n s t r u c t t h e s e q u e n c e s(xn)
a n d
(yn)a s a b o v e . I n f a c t i t i s n o t h a r d t o s h o w t h a t
Rω i s a f a c t o r .
T h e o r e m 1 6 . 2 . 1 T h e c e n t r a l s e q u e n c e a l g e b r a
Rω i s a t y p e I I 1 f a c t o r .
P r o o f . I f(xn)
r e p r e s e n t s a n e l e m e n tX ∈ Rω ,
1 6 . 3 T y p e I I 1 f a c t o r s w i t h o u t p r o p e r t y Γ.
T h e o r e m 1 6 . 3 . 1 L e t
Γb e a n i c c g r o u p p o s s e s s i n g a s u b s e t
∆n o t c o n t a i n i n g
t h e i d e n t i t y a n d t h r e e e l e m e n t s
α, β a n d
γ s u c h t h a t
( a )
Γ = 1 ∪ ∆ ∪ α∆α−1
( b )
∆, β ∆β −1a n d
γ ∆γ −1a r e m u t u a l l y d i s j o i n t .
t h e n f o r x
∈vN (Γ)
,
||x − tr(x)id||2 ≤ 14max||[x, uα]||2, ||[x, uβ ]||2, ||[x, uγ ]||2.
P r o o f . W r i t e x
a s
ν ∈Γ xν uν . W e w i l l f r e q u e n t l y u s e t h e f o r m u l a
||[x, uρ]||22 = ||uρ−1xuρ − x||2 =ν ∈Γ
|xν − xρνρ−1|2.
B y r e p l a c i n g
xb y
x − tr(x)idi t s u c e s t o p r o v e t h e r e s u l t i f
tr(x) = 0a n d w e m a y s u p p o s e
||x||2 = 1s o t h a t f o r s u c h a n
xw e m u s t s h o w
1 ≤14max
||[x, uα]
||2,
||[x, uβ ]
||2,
||[x, uγ ]
||2
.
W e r s t m a k e a s i m p l e e s t i m a t e . I f
Λi s a n y s u b s e t o f
Γa n d
ρ ∈ Γt h e n
|ν ∈Λ
|xν |2 −ν ∈Λ
|xρνρ−1|2| =ν ∈Λ
(|xν | + |xρνρ−1 |)||xν | − |xρνρ−1 ||
≤ν ∈Λ
(|xν | + |xρνρ−1 |)(|xν − xρνρ−1 |)
≤ 2||x||2(ν ∈Λ
|xν − xρνρ−1|2)1/2
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s o t h a t i fρ
∈ α , β, γ
w e h a v e
|ν ∈Λ
|xν |2 −ν ∈Λ
|xρνρ−1|2| ≤ 2
w h e r e = max||[x, uα]||2, ||[x, uβ ]||2, ||[x, uγ ]||2.
L e t u s n o w r s t o v e r e s t i m a t e ||x||2 = 1
:
1 ≤ν ∈∆
|xν |2 +ν ∈∆
|xανα−1|2
≤ 2ν ∈∆
|xν |2 + 2.
N o w u n d e r e s t i m a t e i t :
1 ≥ν ∈∆
|xν |2 +ν ∈∆
|xβνβ −1|2 +ν ∈∆
|xγνγ −1|2
≥ 3ν ∈∆
|xν |2 − 4.
L e ty = ν ∈∆ |xν |2 a n d e l i m i n a t e
yf r o m t h e i n e q u a l i t i e s
1 ≤ 2y + 2a n d
1 ≥ 3y − 4 t o o b t a i n
≥ 1/14
a s d e s i r e d .
I t i s e a s y t o c o m e u p w i t h g r o u p s h a v i n g s u b s e t s a s i n t h e p r e v i o u s t h e -
o r e m . F o r i n s t a n c e i fG = F 2 , f r e e o n g e n e r a t o r s
ga n d
h, l e t
∆b e t h e s e t
o f a l l r e d u c e d w o r d s e n d i n g i n a n o n - z e r o p o w e r o fg
. L e tα = g
,β = h
a n d
γ = h−1. T h e s a m e w o r k s f o r m o r e t h a n t w o g e n e r a t o r s . W e c o n c l u d e :
T h e o r e m 1 6 . 3 . 2 T h e t y p e I I 1 f a c t o r
vN (F n) f o r
n ≥d o e s n o t h a v e p r o p e r t y
Γ.
1 0 7
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C h a p t e r 1 7
B i m o d u l e s a n d p r o p e r t y T
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C h a p t e r 1 8
S u b f a c t o r s
1 1 1
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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C h a p t e r 1 9
F r e e p r o b a b i l i t y
1 1 3
8/23/2019 VonNeumann Algebras
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A p p e n d i x A
N o r m a l i m p l i e s u l t r a w e a k l y
c o n t i n u o u s .
1 1 5
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A p p e n d i x B
P r o o f o f t h e K M S c o n d i t i o n .
T h e o r e m B . 0 . 3 L e t
φb e a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a
M . T h e n t h e m o d u l a r g r o u p
σφt i s t h e u n i q u e o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m
g r o u p o f
M w h i c h s a t i s e s t h e K M S c o n d i t i o n f o r
φ.
P r o o f . P e r f o r m t h e G N S c o n s t r u c t i o n w i t h c a n o n i c a l c y c l i c a n d s e p a r a t i n g
v e c t o rΩ
a n d m o d u l a r o p e r a t o r sS = J ∆1/2
. R e c a l l t h a tf (∆)Ω = Ω
f o r a n y
f u n c t i o n o f∆
w i t h f (1) = 1
. I n p a r t i c u l a rφ(σφt (x) = (∆itx∆−itΩ, Ω
s o σφt
p r e s e r v e sφ
.
N o w l e t u s c h e c k t h e r e s t o f t h e K M S c o n d i t i o n . W e h a v e
φ(σφt (x)y) = ∆−ityΩ, x∗Ωa n d
φ(yσφt (x)) = yσφt (x)Ω, Ω= J ∆1/2σφt (x∗)Ω, J ∆1/2yΩ= ∆1/2yΩ, ∆1/2∆itx∗Ω= ∆1/2−ityΩ, ∆1/2x∗Ω
S o l e t
ξ = yΩ,
η = x
∗
Ωa n d l e t
pnb e t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n f o r
∆f o r
t h e i n t e r v a l[1/n,n]
s o t h a tpn t e n d s s t r o n g l y t o
1a n d
∆±1a r e b o u n d e d o n
pnHφ . T h e f u n c t i o n s
F n(z ) = ∆−iz pnξ, ηa r e t h e n e n t i r e a n d
|F n(t) − φ(σφt (x)y)| = |∆−it(1 − pn)ξ, η |≤ | |(1 − pn)ξ || ||η|||F n(t + i) − φ(yσφt (x))| = |∆1/2−it(1 − pn)ξ, ∆1/2η |≤ | |(1 − pn)∆1/2ξ || ||∆1/2η||.
1 1 7
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H e n c e t h e F n a r e b o u n d e d a n d c o n t i n u o u s o n t h e s t r i p
z : 0 <
mz < 1
a n d c o n v e r g e u n i f o r m l y o n i t s b o u n d a r y . B y t h e P h r a g m e n - L i n d e l o f t h e o r e m
w e a r e d o n e .
N o w l e t u s p r o v e u n i q u e n e s s o f t h e m o d u l a r g r o u p w i t h t h e K M S c o n d i -
t i o n .
L e tαt b e a n o t h e r c o n t i n o u s o n e - p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p s a t i s f y -
i n g K M S f o rφ
.
T h e f a c t t h a tαt p r e s e r v e s
φm e a n s w e c a n d e n e a s t r o n g l y c o n t i n o u s
o n e - p a r a m e t e r u n i t a r y g r o u p t → ut b y
utxΩ = αt(x)Ω. B y S t o n e ' s t h e o r e m
i t i s o f t h e f o r m t → Dit
f o r s o m e n o n - s i n g u l a r p o s i t i v e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r
A. T h e g o a l i s t o p r o v e t h a t
D = ∆. A s a r s t s t e p w e c o n s t r u c t a d e n s e
s e t o f a n a l y t i c v e c t o r s i n M Ω b y F o u r i e r t r a n s f o r m . L e t A b e t h e s e t o f a l l
o p e r a t o r s o f t h e f o r m ∞−∞
f (t)αt(x)dx
f o r a l lC ∞
f u n c t i o n sf
o f c o m p a c t s u p p o r t o n R
. T h e i n t e g r a l c o n v e r g e s
s t r o n g l y s o
f (log(D))xΩ =
∞−∞
f (t)Dit(xΩ)dx
i s i n AΩ
. T h u s t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o fD
a r e i n t h e s t r o n g c l o s u r e o fA
a n d AΩ
i s d e n s e . M o r e o v e rz
→DzxΩ
i s a n a l y t i c f o rx
∈A
s i n c e xΩ
i s
i n t h e s p e c t r a l s u b s p a c e o f A f o r a b o u n d e d i n t e r v a l . A l s o AΩ i s i n v a r i a n t
u n d e r
Dzb y t h e f u n c t i o n a l c a l c u l u s . T o c o m p a r e w i t h
φd e n e , f o r
xa n d
yi n
A, t h e e n t i r e f u n c t i o n
F 1(z ) = D−izyΩ, x∗Ω.
L e tF
b e t h e f u n c t i o n , a n a l y t i c i n s i d e t h e s t r i p a n d c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d
o n i t , g u a r a n t e e d f o rx
a n d y
b y t h e K M S c o n d i t i o n . T h e n i f w e d e n e G(z )
f o r−1 ≤ mz ≤ 1
b y
G(z ) =
F (z ) − F 1(z )i f
mz ≥ 0;
F (z ) − F 1(z ) i f mz ≤ 0.
S i n c e F
a n d F 1 a g r e e o n t h e r e a l l i n e
Gi s a n a l y t i c f o r
−1 < mz < 1, h e n c e
e q u a l t o
0, a n d s i n c e b o t h
F a n d
F 1 a r e c o n t i n o u s o n t h e s t r i p ,φ(yσt(x)) =
F (t + i) = F 1(t + i) = D1−ityΩ, x∗Ω. I n p a r t i c u l a r p u t t i n g
t = 0w e g e t
DyΩ, x∗Ω = φ(yx)
= xΩ, y∗Ω= J ∆1/2x∗Ω, J ∆1/2yΩ= ∆1/2yΩ, ∆1/2x∗Ω
1 1 8
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S o ∆1/2yΩ
i s i n t h e d o m a i n o f∆1/2
a n d ∆yΩ = DyΩ
.
T h u sD
a n d ∆
a g r e e o n AΩ
. B u t m u l t i p l i c a t i o n b y t h e f u n c t i o n ez + 1
i s
a l i n e a r i s o m o r p h i s m o f
C ∞c s o b y f u n c t i o n a l c a l c u l u s
(D +1)AΩ = AΩw h i c h
i s t h u s d e n s e . S i n c e D + 1
i s i n v e r t i b l e b y s p e c t r a l t h e o r y , a n y (ξ, (D + 1)ξ )
i n t h e g r a p h o f
D + 1c a n b e a p p r o x i m a t e d b y
(AnΩ, (D + 1)AnΩ). T h u s
Di s
e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t o n AΩ
, a n d b o t h ∆
a n d D
a r e s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n s
o f t h e r e s t r i c t i o n o fD
t o t h i s d o m a i n . T h u sD = ∆
.
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B i b l i o g r a p h y
[ 1 ] F . M . G o o d m a n , P . d e l a H a r p e , a n d V . F . R . J o n e s , C o x e t e r g r a p h s a n d
t o w e r s o f a l g e b r a s , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 9 .
[ 2 ] M . R e e d a n d B . S i m o n , M e t h o d s o f M o d e r n M a t h e m a t i c a l P h y s i c s I :
F u n c t i o n a l A n a l y s i s , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 2 .
[ 3 ] M . T a k e s a k i , T h e o r y o f O p e r a t o r A l g e b r a s I I . E M S s e r i e s o n O p e r a t o r
A l g e b r a s , 2 0 0 2 .
[ 4 ] J . - B . B o s t a n d A . C o n n e s , H e c k e a l g b e b r a s , t y p e I I I f a c t o r s a n d p h a s e
t r a n s i t i o n s w i t h s p o n t a n e o u s s y m m e t r y b r e a k i n g i n n u m b e r t h e o r y , S e -
l e c t a M a t h . ( N e w S e r i e s ) , 1 , ( 1 9 9 5 ) , 4 1 1 - 4 5 7 .
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