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NIVELACIÓN TERCER PERIODO 2011
Visita la siguiente página para que visualices el video sobre potenciación
http://www.youtube.com/watch?v=A55XWvZVWGY&feature=related
Escribe en tu cuaderno las siguientes preguntas y respóndelas.
a) ¿te gustó el video?
b) ¿Qué fue lo que más te gustó del video relacionado con potenciación?
Escribe en tu cuaderno la siguiente información y resuelve donde hayan espacios.
Así como la multiplicación es una suma repetida, también el producto repetido lo podemos expresar de una forma más simplificada por una
nueva operación llamada potenciación. Multiplicación. potenciación
5+5+5+5 = 5x4 = 20 5*5*5*5 = 5^4 2+2+2+2+2+2 = 2x___ = _____ 2*2*2*2*2*2 = 2^___
11+11+11+11+11 = 11x___ = ___ 11*11*11*11*11 = 11^___
7+7 = __x__ = __ 7*7 = 7^__ 10+10+10 = __x__ = ___ 10*10*10 = 10^__
se repiten los se repiten los sumandos factores
Escribe la siguiente información en tu cuaderno
1. MOTIVACIÓN
2. PRESABERES (trabajo individual).
3. NUEVOS CONCEPTOS.
El producto de factores iguales puede representarse mediante una forma corta llamada
potencia. La potenciación es una multiplicación abreviada de factores iguales;
analicemos algunos ejemplos; observa el siguiente cuadro.
2^2 =2*2 = 4
3^3 =3*3*3* =27
5^4 =5*5*5*5 =625
TÉRMINOS DE LA POTENCIA
En ejemplo siguiente puedes observar los términos de la
potenciación
.
En este ejemplo se lee: cinco a la dos es igual a veinticinco
Base.- Es el número que se multiplica por sí mismo las veces
que indica el exponente. Observa que en nuestro ejemplo la base es
el 5.
Exponente.- Indica el número de veces que se debe multiplicar por
sí misma la base. Se lo coloca en la parte superior derecha de la
base. En nuestro ejemplo el exponente es 2, es decir debemos
multiplicar el 5 por si mismo 2 veces.
Potencia.- Es el producto o resultado de la potenciación. En nuestro
ejemplo la potencia de 5 elevado al cuadrado es igual a 25.
Lee las propiedades y escribe solo el titulo de cada propiedad y su
ejemplo:
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
PROPIEDADES: Las propiedades de la potenciación son las que
permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:
Potencia de exponente 0: Así, toda potencia de exponente 0
y base distinta de 0 es igual a 1 pero recuerden que a debe
pertenecer por obligación a los naturales.
si se cumple que
00 es una indeterminación. Que puede relacionarse con la
indeterminación 0 /0
Potencia de exponente 1: Toda potencia de exponente 1 es
igual a la base.
,
Producto de potencias de igual base: Se coloca la misma
base y se suman los exponentes:
ejemplos:
todo número a la potencia 0 es igual a 1: 5^0 = 1
cociente de potencias de igual base: La división de dos
potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca
la misma base y se restan los exponentes.
3^5 / 3^3 = 3^5-3= 3^2=9
Potencia de un producto: La potencia de un producto de base
(a x b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b"
a la "n". Cada base se multiplica por el exponente.
(4 x 5)^2 = 4^2 x 5^2 = 16 x 25 = 550
Potencia de una potencia: La potencia de una potencia de
base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de
ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los
exponentes. Así se obtiene esta potencia
(4^2)^3 = 4^2x3 = 4^6
Propiedad distributiva:
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la
división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:
Potencia de base 10: Normalmente, las potencias con base 10,
por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la base, para sacar el resultado el
número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente. Ejemplo 10^2=100, 10^5=100000
Escribe la siguiente información en tu cuaderno:
Recordemos que la radicación es la operación inversa de la
potenciación y se representa con el símbolo de la figura siguiente. Es
la operación mediante la cual se busca un número que multiplicado
por sí mismo 2, 3, 4 o más veces nos da el número propuesto. El
signo de la radicación se llama radical.
Los términos que intervienen en la radicación son: el índice, la
cantidad subradical, el radical (símbolo de la radicación y la raíz (el
resultado buscado).
La potenciación y la radicación son operaciones respectivamente
RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Escribe y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1^2 = 1 1 = 1
2 2 = 4 4 = 2
3 2 = ___ 9 = ___
10 2 = ___ 100 =___
5
4
5
4
243
64
100000
16
3 512
Escribe la siguiente información en tu cuaderno:
Se llama logaritmo con base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
opuestas. En el cuadro de la parte inferior encontrarás la relación
entre la potenciación y la radicación.
En el ejemplo se lee: raíz cuadrada de cuarenta y nueve es igual a
siete
LOGARITMACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
que se lee : " logaritmo con base a de x es igual a b" , o también : "el
número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente,
hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
PROPIEDADES:
Ejemplo
Escribe los siguientes ejercicios y resuélvelos en tu cuaderno:
Log 1000 = 3 log 512 =____ 10 8 Log 125=_____ log 36 = ____ 5 6
MUY BIEN HASTA AQUÍ TERMINASTE MOMENTO A
Lee la siguiente información y responde la pregunta.
Un logaritmo es un exponente. Los logaritmos se utilizando cuando en una situación los resultados cambian de forma
exponencial en lugar de forma lineal. Ejemplo: los temblores: se denomina como 1 en escala de Richter
a cierta cantidad de energía liberada que corresponde a 10 y será el 2 en escala de Richter la cantidad de energía liberada de 1^2 o
sea 10 más que la escala 1, 3 en escala de Richter es 1^3 o sea 1000 veces más
4 en escala de Richter es 1^4 o sea 10000 veces, etc.
si piensas en el temblor de 1985 en la ciudad de México: 8.2 te
puedes imaginar la cantidad de energía liberada.
¿Cuál fue la cantidad de energía liberada en el temblor de México?
Utiliza potencias para descubrirlo.
Escribe los siguientes ejercicios y al frente escribe su respectivo logaritmo
Potencias raíces logaritmos
5 2 = 25 25 = 5
6 2 = 36 36 = 6
7 2 = 49 49 = 7
14 2 = 196 196 = 14
16 2 = 256 256 = 16
20 2 = 400 400 = 20
1 3 = 1 3 1 = 1
3 3 = 27 3 27 = 3
6 3 = 216 3 216 = 6
10 3 = 1000 3 1000 = 10
Escribe y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. Recuerda
utilizar las propiedades de la potenciación.
2 3 × 2 2 R: 32
3 × 3 2 R: 27
6 3 ÷ 6
2 R: 6
75 ÷ 7 3 R: 49
( 2 3 )
2 R: 64
( 3 2 )
2 R: 81
4 2 × 3
2 R: 144
2 3 × 3
3 R: 216
12 3 ÷ 4
3 R: 27
MUY BIEN HASTA AQUÍ TERMINASTE MOMENTO B
Lee los siguientes problemas con potencias y radicales y resuélvelos en tu cuaderno.
A. Los dulces que se elaboran en una ciudad de Perú se empaquetan en
bolsas de una docena, y se ponen 12 bolsas en una caja. Para la
distribución a las tiendas se guardan 12 cajas pequeñas en una grande
I. ¿cuántos dulces contiene cada caja de 12 bolsas?
II. ¿cuántos dulces contiene cada caja grande de 12 cajas pequeñas?
III. Expresa las operaciones anteriores en forma de potencia.
IV. Un camión transporta 12 cajas grandes, ¿cuántos dulces lleva?
B. En una granja de conejos existen 5 conejas que tienen 5 crías hembras
cada una. Después de dos meses, estas crías tienen a su vez 5 crías cada
una. ¿Cuántos conejos hay después de 2 meses?
C. Si una persona tuvo 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, etc., tiene 2
antepasados de una generación antes, 4 de hace dos generaciones, 8 de
hace tres generaciones, 16 de hace cuatro generaciones y así
sucesivamente.
I. ¿Cuántos antepasados de hace 5 generaciones tiene una persona?
II. ¿Cuántos antepasados de hace 10 generaciones tiene una persona?
D. Un gusanito llega a comer pasto, luego llegan otros tres y luego cinco más.
Siempre que llegan nuevos gusanitos van formando un cuadrado como lo
muestra la gráfica. Cuando en cada fila haya 31 gusanitos, ¿cuántos habrá
en total?
E. Un albañil dispone de 400 baldosas cuadradas y quiere formar el mayor
cuadrado posible. ¿Cuántas baldosas debe colocar a cada lado? ¿le
faltarán baldosas?
MUY BIEN HASTA AQUÍ TERMINASTE MOMENTO C
De aquí en adelante escribe en tu cuaderno de geometría
Realiza la lectura y dibuja los poliedros
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de
Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son
polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo
número de caras.
Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón, al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
Poliedros regulares convexos
Acá les dejo la interesante manera de comprobar matemáticamente que solo pueden existir 5 sólidos regulares.
Extraído del libro COSMOS de Carl Sagan.
1. MOTIVACIÓN (lectura)
Un polígono (que significa en griego «de muchos ángulos») regular es
un figura bidimensional con un cierto numero n de lados iguales. Si n=3, el polígono es un triangulo equilátero; si n=4 es un cuadrado; si n=5 es
un pentágono, etc. Un poliedro (que significa n griego «de muchas
caras») es una figura tridimensional cuyas caras son todas polígonos: un cubo, por ejemplo, cuyas caras son 6 cuadrados. Un poliedro simple, o
sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental en la obra de los Pitagóricos y de Johannes Kepler es que solo hay y puede
haber 5 sólidos regulares. Es interesante darse cuenta que Pitágoras no lo demostró tratando de armar en forma física todas las posibilidades
sino matemáticamente.
Escribe la siguiente información en tu cuaderno: POLÍGONOS
Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno
formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.
Cada uno de los segmentos se denomina lado.
El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo.
El numero de lados, (y por tanto de ángulos) ha de ser mayor o igual
a tres.
Recuerda realizar las figuras con regla
Polígono
cruzado: Dos o más lados se
cortan. Los polígonos
regulares estrellados son el
caso más interesante.
Polígono convexo: Si el
segmento que une dos
puntos cualesquiera del
polígono es interior al
polígono. Todos los ángulos
interiores son menores de
180º. Si uno o más de los
ángulos interiores es mayor
de 180, el polígono es no
convexo, o cóncavo.
Polígono regular.
Si tiene lados y ángulos iguales.
El representado a la derecha es
polígono equilátero,(lados
iguales) pero no es regular
(ángulos no iguales)
Cruzado Reg Estrellado
9/2 Convexo
No convexo (cóncavo)
Regular convexo
Regular estrellado 5/2
No regular
Lee la siguiente información te servirá para resolver el momento B
Algunas propiedades de los polígonos:
La suma de los
ángulos interiores de un polígono de n
lados es 180(n-2).
En un polígono convexo la
suma de los ángulos exteriores
es 360.
Número de diagonales (segmentos
que unen vértices no consecutivos)
de un polígono es Dn = n (n-3)/2
Polígonos regulares: convexos y estrellados. POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.
Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos
iguales.
En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular.
Radio (r): segmento que une el centro con
un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita.
Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado.
En un polígono regular de n lados:
Angulo central =360/n
Angulo interior = 180 - 360/n
Área = Perímetro x Apotema /2; A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos de base L y altura a
(L/2)2 + a2 = r2 por ser triangulo
rectángulo L/2, r y a
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES. No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más
bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta.
Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles.
Desde cada imagen se accede a su construcción. PROCEDIMIENTO: Es necesario dividir 360º entre el número de lados
que se quiera el polígono, el cociente será la medida trazada sobre la circunferencia utilizando el transportador; con una línea se unen estas
marcas para formar el polígono.
Polígonos regulares:
N=3 Triángulo N=4 cuadrilátero N=5 Pentágono N=6 Hexágono N= 7 Heptágono N=8 Octágono
N=9 Eneágono N=10 Decágono N=11 Endecágono N=12 Dodecágono N=13 Tridecágono N= 14 Tetradecágono
MUY BIEN HASTA AQUÍ TERMINASTE MOMENTO A DE GEOMETRÍA
Escribe y resuelve en tu cuaderno las siguientes preguntas:
1.- ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un decágono?
2.- ¿Qué Polígono regular tiene ángulo central 45º? 3.- ¿Cuantas diagonales tiene un dodecágono?
4.- ¿Cuánto vale el ángulo interior de un eneágono regular? 5.- construye un polígono estrellado artístico de 12 puntas.
EXCELENTE HAS TERMINADO LA GUÍA DE TERCER PERIODO
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