Wiskunde en natuurkunde voor chemici 2.1 · Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y)...

. m UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM

Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Tentatnen • • • • x X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • X M X X M • M X X M X X X M X M X M • X X X X M

• • X X X K • • X X X X N X X X X X X X N X X X X X

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y) WISKUNDE

Datum: 31 maart 2017 Tijdstip: 14.00 - 17.00 uur

Aantal bedrukte pagina's: 3 (inclusief voorblad) Aantal vraagstukken : 5 Maximaal aantal te behalen punten: 90. Bij elke vraag staat het bijbehorende aantal punten vermeld. Cijfer= (behaalde punten +10)/10

VOORDAT U BEGINT • Wacht tot u de instructie krijgt het boekje te openen. • Controleer of uw versie van het tentamen compleet is. • Schrijf uw naam en studentnummer en indien van toepassing versienummer op

elk vel papier dat u inlevert en nummer de pagina's. • U dient uw mobiele telefoon uit te schakelen en te bewaren in uw jas of tas. Uw jas en

tas moeten onder uw tafel liggen. • Toegestane hulpmiddelen: eenvoudige rekenmachine (zeker niet grafisch).

HUISHOUDELIJKE MEDEDELINGEN • De eerste 30 minuten en de laatste 15 minuten mag u de zaal niet verlaten, ook niet voor het

bezoeken van het toilet. • Op verzoek van de examinator (of diens vertegenwoordiger) moet u zich kunnen legitimeren

met een bewijs van inschrijving of een geldig legitimatiebewijs. • Tijdens het tentamen is toiletbezoek niet toegestaan, tenzij de surveillant hier toestemming voor

geeft. • 15 minuten voor het eind wordt u gewaarschuwd dat het inlevertijdstip nadert. • Vul indien van toepassing na afloop van het tentamen alstublieft het evaluatieformulier in.

Succes!

TENTAMEN WISKUNDE Il VOOR SCHEIKUNDIGEN 31 mrt 2017 Gebruik van een grafische rekenmachine is niet toegestaan. Beargumenteer antwoorden, werk bereke­ ningen en afleidingen uit. Elke opgave levert maximaal het vermelde aantal punten op. Het cijfer wordt berekend volgens: Cijfer = I + score : I 0

OPGAVE 1 Gegeven is het vectorveld

_, 2y i - 2x j F(x,y) = ( )2 x+y

De weg W bestaat uit twee stukken: w1 loopt in een rechte lijn van A(l,0) naar B(l,1), wz loopt in een rechte lijn van B(l,1) naar C(0,1).

y w2 C(O, I )o---.--~--------Q B(I, I)

' ' ' '--4 W3 '

' ' w \ 11' l \ \ I I

0 A(I,O) X

ga Bepaal door parametrisering van w1 en w2 de wegintegraal:

f 2y 2x w -(x_+_y )-2 dx - -(x_+_y )-2 dy

6b Bepaal een potentiaal van het veld F. 3C De weg w3 loopt over een cirkelboog van (0,1) naar (1,0), zoals (gestippeld)

getekend hierboven. Bepaal de wegintegraal:

f 2y 2x ---dx - ---dy

w3 (x + y)2 (x + y)2

OPGAVE2 Gegeven voor functies x(t) en y(t) is het stelsel differentiaalvergelijkingen:

(X' (t)) = (X + 3y) y'(t) 3x + y (DV 1)

Hierin herken je de matrix: N = G i) 6a Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van matrix N. 6b Geef in parametervorm de oplossingskromme ( van DV1) die voor t = 0 door

het punt (1,2) gaat.

Voor de veldlijnen van het vectorveld uit het rechterlid van DV 1 geldt de diffe­ rentiaalvergelijking: dy/dx = (3x + y)/(x + 3y). Na substitutie van v = y/x gaat deze over in de differentiaalvergelijking:

dv 3(1- v2) dx x(1 + 3v) (DV 2)

ge Los deze differentiaalvergelijking (DV 2) op en bepaal daarmee een (nette) vergelijking in x en y voor de oplossing die gaat door het punt (1,2).

OPGAVE 3 9a Bepaal de algemene oplossing y(x) van de differentiaalvergelijking:

y" - 2 y' + y = 2x 9b Bepaal de oplossing y(x) van het beginwaardeprobleem:

dy 2y 3 - - - = X , y(2) = 6 dx X

OPGAVE4 Gegeven is de parameterkromme:

{x = c?s t + t sint t E [O, Zrr] y = sm t - t cos t

Bij deze kromme definiëren wij de plaats-, snelheid- en versnellingvectoren: __ dr __ dv V = dt ' a= dt

-. = (cos t + t sin t) r . , sm t - t cost

7a Toon aan dat de vectoren ren ä steeds loodrecht op elkaar staan. 8b Leid af dat voor de booglengte L van deze kromme geldt:

L = f02rr .../t2 cos2 t + t2 sin2 t dt

en bereken L door deze integraal te bepalen.

OPGAVE 5 Gegeven is de functie:

h(x,y) = x2 + xy2 - 2y

Het oppervlak z = h(x, y) noemen wij H: In het xy-vlak ligt het punt P0 = (1, -1) en op J{ ligt daarboven P = (1, -1, 4). 3a Reken vóór dat de gradiënt Vh in P0 gelijk is aan 3i - 4j. "b Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan J{ in punt P. se De waarde van de richtingsafgeleide van h in P0 aan vari-

eert met de gekozen richting r. Bepaal de laagste waarde die de richtingsafgeleide van h in P0 aanneemt.

"d Bereken de bolcoördinaten [R, ¢, 0] van het punt P. Voor de naamgeving daarbij zie het diagram hiernaast.

y

BIJZONDERE SUBSTITUTIES

in integrand substitutie gevolgen voorwaarden x en y I 2 cosx cosx = -=L

x = 2arctany y = tan{ l+y2 dx =-2-dy lxl<n - . 2y l+y2 smx=- smx l+y2

"11- x2 x = siny y = arcsinx "11- x2 = cosy dx =cosy dy lxl:id IYlsfn

"11 + x2 x = tany y = arctanx "11 + X2 = _I_ dx=-1- dy - IY l<fn cosy cos2 y

-J x2 -1 X=-_I_ y = arcsin+ ..J X2 - l = cosy dx =_cosy dy X 2:: 1 O<ysfn smy X smy sin2 y