View
220
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
3/19/2011
1
Zagadnienie transportoweZagadnienie transportowe
Optymalizacja w procesach biznesowych
2011-03-19 1
Wykład 2
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Plan wykładu
Przykład zagadnienia transportowegoSformułowanie problemu
prof Sformułowanie problemu
Własności zagadnienia transportowegoMetoda potencjałówMetody wyznaczania rozwiązań początkowych
Metoda północno-zachodniego narożnikaMetoda minimalnego elementu macierzy kosztów
2011-03-19 22011-03-19 2
Metoda minimalnego elementu macierzy kosztówMetoda Vogla (VAM)
Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązaniaInterpretacja rozwiązania
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a PrzykładFirma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjnezlokalizowane w Kluczborku, Białymstoku i Pile. Kwartalnaprodukcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000
prof produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000
kg, 6000 kg, i 2500 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji,zlokalizowane w Lublinie, Elblągu, Łodzi i Opolu. Przewidywanypopyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosiodpowiednio: 6000 kg, 4000 kg, 2000 kg oraz 1500 kg.Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu doposzczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy.
Tablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg]
2011-03-19 32011-03-19 3
Lublin Elbląg Łódź OpoleKluczbork 3 2 7 6Białystok 7 5 2 3Piła 2 5 4 5
Tablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg]
Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Przykład
KluczborkLublin
500060003
2
Lublin Elbląg Łódź OpoleKluczbork 3 2 7 6
Białystok 7 5 2 3
Piła 2 5 4 5
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
2
76
257
3
2011-03-19 42011-03-19 4
PiłaOpole
25001500
DOSTAWCYDOSTAWCY ODBIORCYODBIORCY
25
4
5
DECYZJA?
3/19/2011
2
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemu
Zmienna decyzyjnail ść t i i d d tpr
of xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i, i = 1,…,3, do odbiorcy j, j = 1,…,4.
Funkcja celuMinimalizacja kosztów transportu
2011-03-19 52011-03-19 5
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Koszty transportu
KluczborkLublin
500060003x11
2x
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
2x12
7x136x14
2x23
5x227x21
5x323x24
2011-03-19 62011-03-19 6
PiłaOpole
25001500
2x314x33
5x34
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemuzminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14
+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24
+ 2x + 5x + 4x + 5x
prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34
2011-03-19 72011-03-19 7
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemu
Zmienna decyzyjnail ść t i i d d t ipr
of xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4.
Funkcja celuMinimalizacja kosztów transportu
Ograniczenia
2011-03-19 82011-03-19 8
DostawcyDostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas
3/19/2011
3
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Koszty transportu
KluczborkLublin
50006000
x11
x
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
x12
x13x14
x23
x22x21
x32x24
2011-03-19 92011-03-19 9
PiłaOpole
25001500
x31x33
x34
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemuzminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14
+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24
+ 2x + 5x + 4x + 5x
prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34
przy ograniczeniach:x11+x12+x13+x14 ≤ 5000
x21+x22+x23+x24 ≤ 6000x31+x32+x33+x34 ≤ 2500
2011-03-19 102011-03-19 10
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemu
Zmienna decyzyjnail ść t i i d dbi i dpr
of xij – ilość towaru przewieziona od odbiorcy i do dostawcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4.
Funkcja celuMinimalizacja kosztów transportu
Ograniczenia
2011-03-19 112011-03-19 11
DostawcyDostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapasOdbiorcyOdbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Koszty transportu
KluczborkLublin
50006000
x11
x
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
x12
x13x14
x23
x22x21
x32x24
2011-03-19 122011-03-19 12
PiłaOpole
25001500
x31x33
x34
3/19/2011
4
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemuzminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14
+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24
+ 2x + 5x + 4x + 5x
prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34
przy ograniczeniach:x11+x12+x13+x14 ≤ 5000
x21+x22+x23+x24 ≤ 6000x31+x32+x33+x34 ≤ 2500
x11 +x21 +x31 = 6000
2011-03-19 132011-03-19 13
11 21 31
x12 +x22 +x32 = 4000x13 +x23 +x33 = 2000
x14 +x24 +x34 = 1500
xij ≥ 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Ogólny model zagadnienia transportowego
zminimalizować ∑∑= =
n
i
m
jijij xc
1 1całkowity koszt
prof
przy ograniczeniach
xij ≥ 0, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n
mjbx j
n
iij ,,, K1
1=≥∑
=
niax i
m
jij ,,, K1
1=≤∑
=
zapotrzebowanie
zapas
nieujemny przesył
2011-03-19 142011-03-19 14
gdzie:i - indeks dostawcy, i = 1, …, nj - indeks odbiorcy, j = 1, …, mxij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy jcij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy jai - zapas dostawcy ibj- zapotrzebowanie odbiorcy j
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Warianty zagadnienia transportowego
całkowita podaż nie jest równa Dodajemy t ”pr
of całkowitemu popytowi (zadanie
niezbilansowane)
maksymalizacja funkcji celu
minimalne i maksymalne pojemności
„sztucznego” dostawcę lub
odbiorcę.
Mnożymy przez (-1).
Dodajemy
2011-03-19 152011-03-19 15
dróg
niedopuszczalne połączenia
ograniczenia.
Obciążamy bardzo dużymi kosztami.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Zadanie transportowe jest sformułowane jako
prof zadanie programowania liniowego zatem można je
rozwiązać stosując np. metodę simplex.Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania.
2011-03-19 162011-03-19 16
3/19/2011
5
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne.
1n =[1 … 1]pr
of
1n 0 0 ... 00 1n 0 ... 0
A = ... ... ... ... ...0 0 0 1n
En En En ... En
En =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
100
010001
L
LLLL
L
L
2011-03-19 172011-03-19 17
Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n – 1) zmiennych bazowych.Jeżeli wszystkie ai i bj są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania b do an sposób następ jącpr
of zbudowany w sposób następujący:wierzchołkami są węzły (i, j), dla których xij > 0każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i1, j1) (i2, j2), że albo i1 = i2 albo j1 = j2 oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków
2011-03-19 182011-03-19 18
i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 0 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpo iadając m graf jest grafem spójn m i bepr
of odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.
2011-03-19 192011-03-19 19
i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 3 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Niech xB będzie dowolnym dopuszczalnymrozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymybiór par (i j) takich że jest mienną ba o ą topr
of zbiór par (i,j), takich że xij jest zmienną bazową, tospełniony jest następujący układ równań:
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
gdzie zmienne ui i vj noszą nazwę potencjałów.
Macierz C0 = [(cij – zij)] = [cij + ui +vj], i=1,..m, j=1,..,n,nazywamy równoważną macierzą zerową
2011-03-19 202011-03-19 20
nazywamy równoważną macierzą zerowąrozwiązania bazowego xB.Na to, aby rozwiązanie bazowe xB zadaniatransportowego było optymalne potrzeba i wystarcza,aby jego równoważna macierz zerowa byłanieujemna.
3/19/2011
6
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Układ równań:cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
prof
ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie onewyznaczają tę samą równoważną macierz zerową.
Jeżeli macierz C0 zawiera elementy ujemne, toodpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniemoptymalnym.
2011-03-19 212011-03-19 21
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowegoPrzez cykl γ(k,l) oznaczamy cykl w grafierozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej(k l) do rozwiązania bazowego
prof (k,l) do rozwiązania bazowego.
i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 3 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0
Niech (k l) = (3 5)
123 4
γn((3,5) = {(3,5), (2,2)}
2011-03-19 222011-03-19 22
Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynającod wierzchołka (k,l).Przez γp(k,l) oznaczamy zbiór wierzchołków onumerach parzystych, a przez γn(k,l) o numerachnieparzytych.
(k,l) (3,5)γp((3,5) = {(3,2), (2,5)}
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 232011-03-19 23
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
10. Wrócić do kroku 2.
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie rozwiązań bazowych
• Metoda kąta północno-zachodniego
prof
• Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
• Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method)• ri, i = 1, 2, ..., m - różnica między dwoma najmniejszymi
elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C,• dj, j = 1, 2, ..., n - różnica między dwoma najmniejszymi
elementami kol mn j red ko anej macier C
2011-03-19 242011-03-19 24
elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C,• max(ri, dj)• ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil}
3/19/2011
7
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda kąta północno-zachodniego
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 5000
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500
6000 4000 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
0
1000
2011-03-19 252011-03-19 25
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda kąta północno-zachodniego
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 5000 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500
1000 4000 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
5000
0
2011-03-19 262011-03-19 26
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda kąta północno-zachodniego
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 5000 2 7 6 0
2. Białystok 1000 5 2 3 50003. Piła 2 5 4 5 2500
0 4000 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
1000
0
2011-03-19 272011-03-19 27
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda kąta północno-zachodniego
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 5000 2 7 6 0
2. Białystok 1000 4000 2 3 10003. Piła 2 5 4 5 2500
0 0 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
0
1000
2011-03-19 282011-03-19 28
3/19/2011
8
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda kąta północno-zachodniego
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 5000 2 7 6 0
2. Białystok 1000 4000 1000 3 10003. Piła 2 5 4 5 2500
0 0 1000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
1500
0
2011-03-19 292011-03-19 29
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda kąta północno-zachodniego
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 5000 2 7 6 0
2. Białystok 1000 4000 1000 3 03. Piła 2 5 1000 5 1500
0 0 0 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
0
0
2011-03-19 302011-03-19 30
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda kąta północno-zachodniego
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ai
prof 1.Kluczbork 5000 0 0 0 5000
2. Białystok 1000 4000 1000 0 60003. Piła 0 0 1000 1500 2500bj 6000 4000 2000 1500
Czy jest to rozwiązanie bazowe?
2011-03-19 312011-03-19 31
Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.
Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5
vj
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 322011-03-19 32
u1 = 0
3/19/2011
9
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5
vj
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 332011-03-19 33
3 + 0 + v1 = 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5
vj – 3
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 342011-03-19 34
3 + 0 + v1 = 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5
vj – 3
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 352011-03-19 35
7 + u2 + (–3) = 0f.
drha
b. iż
. Joa
nna
Józe
fow
ska Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5
vj – 3
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 362011-03-19 36
5 + (–4) + v2 = 0
3/19/2011
10
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5
vj – 3 – 1
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 372011-03-19 37
2 + (–4) + v3 = 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5
vj – 3 – 1 2
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 382011-03-19 38
4 + u3 + 2 = 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 392011-03-19 39
5 + (– 6) + v4 = 0f.
drha
b. iż
. Joa
nna
Józe
fow
ska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof
c0ij = cij + ui +vj
1.Kluczbork 3 2 7 6 02. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2 1
2011-03-19 402011-03-19 40
c ij = cij + ui +vj
c0ij = 0 dla (i, j) ∈ B
3/19/2011
11
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
c0ij = cij + ui +vj
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2 1
Równoważna macierz zerowa
2011-03-19 412011-03-19 41
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
c0ij = cij + ui +vj
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2 1
Równoważna macierz zerowa
2011-03-19 422011-03-19 42
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
c0ij = cij + ui +vj
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2 1
Równoważna macierz zerowa
2011-03-19 432011-03-19 43
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła – 7 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
c0ij = cij + ui +vj
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2 1
Równoważna macierz zerowa
2011-03-19 442011-03-19 44
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła – 7 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
3/19/2011
12
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
c0ij = cij + ui +vj
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2 1
Równoważna macierz zerowa
2011-03-19 452011-03-19 45
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 1 02. Białystok 0 0 0 – 43. Piła – 7 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
c0ij = cij + ui +vj
2. Białystok 7 5 2 3 – 43. Piła 2 5 4 5 – 6
vj – 3 – 1 2 1
Równoważna macierz zerowa
2011-03-19 462011-03-19 46
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 1 9 7 02. Białystok 0 0 0 0 – 43. Piła – 7 – 2 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1 2 3 4
1.Kluczbork 0 1 9 7 02. Białystok 0 0 0 0 – 43. Piła – 7 – 2 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
0
2011-03-19 472011-03-19 47
Zbadać, czy C0≥0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 482011-03-19 48
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
10. Wrócić do kroku 2.
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ
3/19/2011
13
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Zmiana bazy
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1 2 3 4
1.Kluczbork 0 1 9 7 02. Białystok 0 0 0 0 – 43. Piła – 7 – 2 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
{ }000
2011-03-19 492011-03-19 49
Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że { }0000 <= ijijkl ccc :min
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 502011-03-19 50
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
10. Wrócić do kroku 2.
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie cyklu
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1 2 3 4
1.Kluczbork 0 1 9 7 02. Białystok 0 0 0 0 – 43. Piła – 7 – 2 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
W nac ć c kl (k l) (k l)
1 2
34
2011-03-19 512011-03-19 51
Wyznaczyć cykl γp(k,l), γn(k,l).f.
drha
b. iż
. Joa
nna
Józe
fow
ska Metoda potencjałów
1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 522011-03-19 52
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
10. Wrócić do kroku 2.
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ
3/19/2011
14
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Zmiana bazy
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1 2 3 4
1.Kluczbork 0 1 9 7 02. Białystok 0 0 0 0 – 43. Piła – 7 – 2 0 0 – 6
vj – 3 – 1 2 1
Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że
2011-03-19 532011-03-19 53
ą y ą rs ą
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
Lublin Elbląg Łódź Opole1.Kluczbork 5000 0 0 0
2. Białystok 1000 4000 1000 0
3. Piła 0 0 1000 1500
θ = 1000
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 542011-03-19 54
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
10. Wrócić do kroku 2.
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Zmiana bazy
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
1.Kluczbork 5000 0 0 0
prof
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ θ = 1000
2. Białystok 1000 4000 1000 03. Piła 0 0 1000 1500
2011-03-19 552011-03-19 55
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
1.Kluczbork 5000 0 0 02. Białystok 0 4000 2000 03. Piła 1000 0 0 1500
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Rozwiązanie zdegenerowane
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1 2 3 4
1.Kluczbork 5000 0 0 02. Białystok 0 4000 2000 03. Piła 1000 0 0 1500
Czy jest to rozwiązanie bazowe?
2011-03-19 562011-03-19 56
Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.
Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.
3/19/2011
15
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania
Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m – 1) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem
prof wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem
zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero.Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi.Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie
2011-03-19 572011-03-19 57
Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Rozwiązanie zdegenerowane
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1 2 3 4
1.Kluczbork 5000 0 0 02. Białystok 0 4000 2000 03. Piła 1000 0 0 1500
2011-03-19 582011-03-19 58
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 592011-03-19 59
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
10. Wrócić do kroku 2.
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 33. Piła 2 5 4 5 1
vj –3 –8 –5 –6
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 602011-03-19 60
u1 = 0
3/19/2011
16
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 33. Piła 2 5 4 5 1
vj –3 –8 –5 –6
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 612011-03-19 61
u1 = 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
2. Białystok 7 5 2 3 33. Piła 2 5 4 5 1
vj –3 –8 –5 –6
c0ij = cij + ui +vj
Lublin Elbląg Łódź Opole u
2011-03-19 622011-03-19 62
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1
vj –3 –8 –5 –6
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Zmiana bazy
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof
{ }000
1 2 3 41.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1
vj –3 –8 –5 –6
2011-03-19 632011-03-19 63
Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że { }0000 <= ijijkl ccc :minf.
drha
b. iż
. Joa
nna
Józe
fow
ska
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
Wyznaczanie cyklu
prof 1 2 3 4
1.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1
vj –3 –8 –5 –6
W nac ć c kl (k l) (k l)
26
5
34
1
2011-03-19 642011-03-19 64
Wyznaczyć cykl γp(k,l), γn(k,l).
3/19/2011
17
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
Zmiana bazypr
of 1 2 3 41.Kluczbork 0 –6 2 0 02. Białystok 7 0 0 0 33. Piła 0 –2 0 0 1
vj –3 –8 –5 –6
Usunąć z bazy zmienną xrs, taką, że
2011-03-19 652011-03-19 65
ą y ą rs ą
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
Lublin Elbląg Łódź Opole1.Kluczbork 5000 0 0 0
2. Białystok 0 4000 2000 0
3. Piła 1000 0 0 1500
θ = 1500
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Zmiana bazy
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
1.Kluczbork 5000 0 0 0
prof
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ θ = 1500
2. Białystok 0 4000 2000 03. Piła 1000 0 0 1500
2011-03-19 662011-03-19 66
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
1.Kluczbork 3500 1500 0 02. Białystok 0 2500 2000 15003. Piła 2500 0 0 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie potencjałów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 –33. Piła 2 5 4 5 1
vj –3 –2 1 0
cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
2011-03-19 672011-03-19 67
u1 = 0f.
drha
b. iż
. Joa
nna
Józe
fow
ska Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 3 2 7 6 0
prof
2. Białystok 7 5 2 3 –33. Piła 2 5 4 5 1
vj –3 –2 1 0
c0ij = cij + ui +vj
Lublin Elbląg Łódź Opole u
2011-03-19 682011-03-19 68
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ui
1.Kluczbork 0 0 8 6 02. Białystok 1 0 0 0 –33. Piła 0 0 6 0 1
vj –3 –2 1 0
3/19/2011
18
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a RozwiązanieLublin
1Elbląg
2Łódź
3Opole
4ui
1 Kluczbork 0 0 8 6 0
prof 1.Kluczbork 0 0 8 6 0
2. Białystok 1 0 0 0 –33. Piła 0 0 6 0 1
vj –3 –2 1 0
Równoważna macierz zerowa jest nieujemna – rozwiązanie jest optymalne.
2011-03-19 692011-03-19 69
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
1.Kluczbork 3500 1500 0 02. Białystok 0 2500 2000 15003. Piła 2500 0 0 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Koszty transportu
KluczborkLublin
50006000
X11=3500
X =1500
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
X12=1500
X23=2000
X22=2500
2011-03-19 702011-03-19 70
PiłaOpole
25001500
X31=2500 X24=1500
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Rozwiązanie optymalne
Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy
Koszt całkowity
prof
Kluczbork Lublin x11 3 500 3 10 500Kluczbork Elbląg x12 1 500 2 3 000Białystok Elbląg x22 2 500 5 12 500Białystok Łódź x23 2 000 2 4 000Białystok Opole x24 1 500 3 4 500Piła Lublin x31 2 500 2 5 000
2011-03-19 712011-03-19 71
Razem 39 500f.
drha
b. iż
. Joa
nna
Józe
fow
ska Wyznaczanie rozwiązań bazowych
• Metoda kąta północno-zachodniego
prof
• Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
• Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method)• ri, i = 1, 2, ..., m - różnica między dwoma najmniejszymi
elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C,• dj, j = 1, 2, ..., n - różnica między dwoma najmniejszymi
elementami kol mn j red ko anej macier C
2011-03-19 722011-03-19 72
elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C,• max(ri, dj)• ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil}
3/19/2011
19
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
prof Postępujemy podobnie, jak w metodzie północno-
zachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów.
2011-03-19 732011-03-19 73
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 5000
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500
6000 4000 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
1000
0
2011-03-19 742011-03-19 74
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 3 4000 7 6 1000
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500
6000 0 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
0
3500
2011-03-19 752011-03-19 75
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 3 4000 7 6 1000
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2500 5 4 5 0
3500 0 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
4000
0
2011-03-19 762011-03-19 76
3/19/2011
20
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
1.Kluczbork 3 4000 7 6 10002. Białystok 7 5 2000 3 40003. Piła 2500 5 4 5 0
3500 0 0 1500
2500
0
2011-03-19 772011-03-19 77
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
1.Kluczbork 3 4000 7 6 10002. Białystok 7 5 2000 1500 25003. Piła 2500 5 4 5 0
3500 0 0 0
0
2500
2011-03-19 782011-03-19 78
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
1.Kluczbork 1000 4000 7 6 10002. Białystok 7 5 2000 1500 25003. Piła 2500 5 4 5 0
2500 0 0 0
0
0
2011-03-19 792011-03-19 79
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
prof 1.Kluczbork 1000 4000 0 0 5000
2. Białystok 2500 0 2000 1500 60003. Piła 2500 0 0 0 2500
6000 4000 2000 1500
2011-03-19 802011-03-19 80
3/19/2011
21
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda Vogla
1. Oznaczmy przez ri (i = 1, …, m) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy k tó d k j d t ó któ hpr
of kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone.
2. Oznaczmy przez dj (i = 1, …, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów.
3. Wybierz α = max{ri, dj}.
2011-03-19 812011-03-19 81
3. Wybierz α max{ri, dj}.4. Jeżeli α = ri, to wybierz element w wierszu k = i oraz
kolumnie l, takiej że ckl = min{ckj}.5. Jeżeli α = dj, to wybierz element w kolumnie l = j oraz
wierszu k, takim że ckl = min{cil}.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5dj
2011-03-19 822011-03-19 82
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 1
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5dj
2011-03-19 832011-03-19 83
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 1
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5dj
2011-03-19 842011-03-19 84
3/19/2011
22
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Voglapr
of 1.Kluczbork 3 2 7 6 12. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5dj
2011-03-19 852011-03-19 85
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 1
2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5dj
2011-03-19 862011-03-19 86
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 1
2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj
2011-03-19 872011-03-19 87
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 1
2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1
2011-03-19 882011-03-19 88
3/19/2011
23
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Voglapr
of 1.Kluczbork 3 2 7 6 12. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 3 2 2 3
α = max{ri, dj}
2011-03-19 892011-03-19 89
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 1
2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 3 2 2 3
α = max{ri, dj}
2011-03-19 902011-03-19 90
ckl = min{cil}
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 5000
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500
6000 4000 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
1000
0
2011-03-19 912011-03-19 91
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6
2. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5dj
2011-03-19 922011-03-19 92
3/19/2011
24
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Voglapr
of 1.Kluczbork 3 2 7 6 32. Białystok 7 5 2 33. Piła 2 5 4 5dj
2011-03-19 932011-03-19 93
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 3
2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 2 2 3
2011-03-19 942011-03-19 94
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 2 7 6 3
2. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 1 2 2 3
ckl = min{ckj}
2011-03-19 952011-03-19 95
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 3 4000 7 6 1000
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500
6000 0 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
0
5000
2011-03-19 962011-03-19 96
3/19/2011
25
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
ri
Metoda Voglapr
of 1.Kluczbork 3 2 7 62. Białystok 7 5 2 3 13. Piła 2 5 4 5 2dj 5 2 2 5
2011-03-19 972011-03-19 97
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2 5 4 5 2500
5000 0 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
0
2500
2011-03-19 982011-03-19 98
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 0
2. Białystok 7 5 2 3 60003. Piła 2500 5 4 5 0
2500 0 2000 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
4000
0
2011-03-19 992011-03-19 99
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 0
2. Białystok 7 5 2000 3 40003. Piła 2500 5 4 5 0
2500 0 0 1500
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
2500
0
2011-03-19 1002011-03-19 100
3/19/2011
26
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda Voglapr
of 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 02. Białystok 7 5 2000 1500 25003. Piła 2500 5 4 5 0
2500 0 0 0
Ile towaru można maksymalnie przesłać tą trasą?
0
0
2011-03-19 1012011-03-19 101
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a
Lublin1
Elbląg2
Łódź3
Opole4
Metoda Vogla
prof 1.Kluczbork 1000 4000 7 6 5000
2. Białystok 2500 5 2000 1500 60003. Piła 2500 5 4 5 0
6000 4000 2000 1500
2011-03-19 1022011-03-19 102
Recommended