View
71
Download
14
Category
Preview:
Citation preview
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
62
المطوع المخروطة/الفصل الثان
مستمم ثابت ف 𝟎 نمطة ثابتة ف المستوي ولكن (𝟏 𝟏 )لكن : المطع المخروط
الى بعدها عن المستمم (𝟏 𝟏 )مجموعة كل النماط الت نسبة بعد كل منها عن النمطة لذا فانالمستوي نفسه
هو مجموعة النمط أو تكون شكل هندس سمى بالمطع المخروط ( )تساوي عدد ثابت 𝟎
الت بعدها عن نمطة معلومة ساوي بعدها عن مستمم معلوم
: مفاهم أساسة تعن بها وه حث ان لكل شكل مخروط عدة
( )تسمى بإرة المطع المخروط (𝟏 𝟏 )النمطة الثابتة ①
( )سمى دلل المطع المخروط 𝟎 المستمم الثابت ②
حث أذا كان ( )تسمى باالختالف المركزي ( )النسبة ③
( 𝟏) (𝟏 ) نوع القطع مكافئ نوع القطع ناقص ( 𝟏) نوع القطع زائد
| 𝟐|المسافة بن البإرة والدلل = ④
تسمى (𝟎 ) ةثابت نمطةف المستوي والت كون بعدها عن ( ) هو مجموعة النمط : كافئالمطع الم
والذي سمى الدلل وهو ال حتوي البإرة ( ) مساوآ دائمآ لبعدها عن مستمم معلوم 𝟎 البإرة حث
ون بعدها عن نمطة معلومة مساوا لبعدها عن مستمم كهو مجموعة من النمط داخل مستوي والت أو بمعنى أخر
. معلوم
: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور السنات
باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باستخدام
√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏
( من تعرف القطع المكافئ )
√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎
𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒
والذذذرأس فذذذ x-axis) ) الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذ لمحذذذور السذذذناتهذذذ المعادلذذذة الماسذذذة للمطذذذع المكذذذافئ هذذذذ و
ومعادلذذذذة دللذذذذه (𝟎 ) بإرتذذذذه بذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حذذذذث "O"تسذذذذمى النمطذذذذة حذذذذثنمطذذذذة األصذذذذل
𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات حث 𝟎 𝟒
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
63
: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(yمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور الصادات
باستخدام التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن
√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏
( من تعرف القطع المكافئ )
√( 𝟎)𝟐 ( )𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒
والذرأس فذ نمطذة ) )ات صذادوهذ ه المعادلة الماسة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذ لمحذور ال
حذث 𝟎 ومعادلة دلله ( 𝟎) برأس المطع المكافئ حث بإرته "O"األصل حث تسمى النمطة
𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات 𝟒
أحداهما عندما كون على (𝟎 𝟎)نالحظ مما سبك انه وجد معادلتن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل
.والجدول أدنا وضح ذلن ور الصادي حالمحور السن واألخرى عندما كون على الم
( )عىدما كن عه محر انصاداث ( )عىدما كن عه محر انسىاث
( )البإرة تنتم لمحور الصادات ① ( )انبؤرة تىتم نمحر انسىاث ①
ومعادلة الدلل ( 𝟎) البإرة ② معادنت اندنم (𝟎 ) انبؤرة ②
𝟎 معادلة محور المطع ه③ 𝟎 معادنت محر انمطع ③
المحور السن وازيالدلل ④ انمحر انصاد اساندنم ④
التناظر حول محور الصادات⑤ انتىاظز حل محر انسىاث⑤
نصف الدللالمحور الصادي ⑥ المحور السن نصف الدلل⑥
𝟐 المانون ⑦ 𝟐 المانون ⑦ 𝟒 𝟒
: مالحظات عامة أشار البإرة عكس أشار الدلل والعكس صحح ❶
2p= المسافة بن البإرة والدلل ❷
كل نمطة تنتم للمطع المكافئ فه تحمك معادلته )أي أن المطع المكافئ مر بها ( ❸
المكافئ بعدها عن البإرة ساوي بعدها عن الدللكل نمطة تنتم للمطع ❹
𝟐 )رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممز الخاصة به ه ❺ 𝟒 𝟎) الجدول أدنا وضح تفاصل أكثر عن معادالت المطع المكافئ ❻
المعادلة البإرة الدلل المحور أتجا المطع التناظر
x-axis المن x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒 x-axis السار x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒
y-axis األعلى y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒 y-axis األسفل y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
64
𝟐 ئ جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكاف /(1(مثال 𝟖
𝟐 الحل / 𝟖
𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت) 𝟒
𝟒 𝟖 𝟖
𝟒 𝟐
( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟐 )
𝟐 معادنت اندنيم
. والرأس ف نمطة األصل (3,0)ة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته جد معادل/(2(مثال
𝟔 𝟐الدلل ب ( معادلة ورأسه ف نمطة األصل . 𝟎
(𝟎 ) أ ( الحل / البؤرة (𝟎 𝟑)
𝟑 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒
𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐
___________________________
𝟔 𝟐 ب ( معادلة الدلل 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒
𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐
𝟐 بإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ جد /(3(مثال ثم أرسمه 𝟒
الحل /
𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒
𝟐 𝟒
𝟒 𝟒 𝟒
𝟒 𝟏
( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟏)
𝟏 معادنت اندنيم
𝟐 4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√
𝟐 𝟏 𝟎
𝟐√ 2 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
65
والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟑√)المكافئ أذا علم أن بإرته جد معادلة المطع بؤستخدام التعرف /(4(مثال
ولذذتكن النمطذذة نمطذذة تنتمذذ الذذى منحنذذ المطذذع المكذذافئ ( ) ولذذتكن النمطذذة (𝟎 𝟑√) البذذإرة الحذذل /
فمن تعرف المطع المكافئ على الدلل ( )نمطة تماطع العمود المرسوم من ه ( 𝟑√ )
( من تعرف القطع المكافئ )
√( √𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( √𝟑)
𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )
( √𝟑 )𝟐 𝟐 ( √𝟑 )
𝟐
𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑
𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟑√𝟒
𝟐 𝟑 جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ /(5(مثال 𝟐𝟒 𝟎
الحل /
𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐 ( وقسم طرفي انمعادنت عهى 𝟑) 𝟐𝟒
𝟐 𝟖 𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒
𝟒 𝟖 𝟖
𝟒 𝟐
(𝟎 ) انبؤرة (𝟐 𝟎)
𝟐 معادنت اندنيم
. ف نمطة األصل هرأسو (𝟓 𝟎)جد معادلة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته /(6(مثال ورأسه ف نمطة األصل . 𝟕 ب ( معادلة الدلل
( 𝟎) أ ( الحل / البؤرة (𝟓 𝟎)
𝟓 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒
𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎
___________________________
( بانمقاروت مع معادنت اندنيم) 𝟕 ب (
𝟕 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒
𝟐 𝟒(𝟕) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟖
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
66
ورأسه نمطة األصل ( 𝟒 𝟐) (𝟒 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ الذي مر بالنمطتن /(7(مثال
الحل /
ثابتة لم تتغر ( النمطتان متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة 𝟐 انمعادنت انماست نهمطع انمكافئ 𝟒
(𝟒 𝟐)وعض أحد انىمطته انهته تحممان معادنت انمطع انمكافئ ألو مز با نتكه انىمطت
(𝟒)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔
𝟖 𝟐
𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟖
(𝟓 𝟑)جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر دلل المطع المكافئ بالنمطة /(8(مثال
الحل/
ما : االحتمانهتحدد انبؤرة , وجد أحتمالن للمعادلة الماسة للمطع المكافئ لعدم
ثانا : البإرة تنتم لمحور السنات أوال : البإرة تنتم لمحور الصادات
𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒
(معادلة الدلل) 𝟓
𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟓)
𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎
𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒
(معادلة الدلل) 𝟑
𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟑)
𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐
(𝟐 تمارين(𝟏
:جد المعادلة للمطع المكافئ ف كل مما ؤت ثم أرسم المنحن البان لها /1 س
والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟓)البإرة ) أ (
الحل/
(𝟓 𝟎)
𝟓 𝒙 معادنت اندنيم 𝟓
𝒚 𝟒 𝟐 𝒚 𝟒(𝟓) 𝟐 𝒚 𝟐 المعادلة القاسة 𝟐𝟎
𝟐 𝟏 𝟎
2√ 2√5 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
67
والرأس ف نمطة األصل (𝟒 𝟎)البإرة ) ب (
الحل/
(𝟎 𝟒)
𝟒 y معادنت اندنيم 4
𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒(𝟒) 2 𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟏𝟔
4√2 4 𝟎
2 𝟎
والرأس ف نمطة األصل ( 𝟐√ 𝟎)البإرة ) ج (
الحل/
(𝟎 √𝟐 )
√𝟐 y معادنت اندنيم 𝟐√
𝑥 𝟒 2 𝑥 2 المعادلة القاسة (𝟐√)𝟒
2√2 2√√𝟐
𝟎
√𝟐 𝟎
𝟑 𝟒 معادلة دلل المطع المكافئ ) د ( والرأس ف نمطة األصل 𝟎
الحل/
𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y 3
4معادنت اندنيم
p 3
4 F
3
4 البؤرة
𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒 23 4
𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟑
√6 √𝟑 𝟎
𝟐 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
68
:ف كل مما ؤت جد البإرة والرأس ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ /2 س
( ) 𝟐 𝟒
الحل/
𝟒 𝟒 𝑝 البؤرة(𝟏 𝟎)
( معادلة المحور) 𝟎 ( معادلة الدلل) 𝟏 الرأس(𝟎 𝟎)
( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟎
الحل/
𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏
𝟖 𝟒
𝟏
𝟖 p
𝟏
𝟑𝟐 (
𝟏
𝟑𝟐 𝟎) البؤرة
دلةمعا المحور) 𝟎 ) 𝟏
𝟑𝟐( معادلة الدلل) الرأس(𝟎 𝟎)
والرأس ف نمطة األصل (𝟓 𝟐) (𝟓 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتن /3 س
𝟐 )والمانون البإرة تنتم لمحور السنات متناظرتان حول المحور السننمطتان ال ∵ الحل/ 𝟒 )
ونعوضها ف المعادلة الماسة (𝟓 𝟐)النمطة نؤخذ لذاالمطع المكافئ مر بهما المعادلة الن انالنمطتان تحمم
(𝟓)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑 𝟐𝟓
𝟖
𝟐 𝟒 𝟒 25
8 𝟐
𝟐𝟓
𝟐معادلة القطع المكافئ
والذرأس فذ نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه (𝟒 𝟑 )أذا كان دلل المطذع المكذافئ مذر بالنمطذة /4 س
تنتم ألحد المحورن
(𝟒 )والثان (𝟑 )هنان دلالن هما األول (𝟒 𝟑 )الدلل مر بالنمطة ∵ الحل/
ان هنان لطعان مكافئ
) البإرة تنتم لمحور السنات( المطع المكافئ األول 𝟑 𝟑
𝟐 المانون 𝟒
𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐
ات(الثان ) البإرة تنتم لمحور الصادالمطع المكافئ 𝟒 𝟒
𝟐 المانون 𝟒
𝟐 𝟒(𝟒) 𝟐 𝟏𝟔
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
69
𝟐 لطع مكافئ معادلته /5 س أرسم المطع وثم جد بإرته ودلله Aجد لمة (𝟐 𝟏)بالنمطة مر 𝟎 𝟖
( 𝟐 𝟏)النمطة بالمطع المكافئ مر ∵ الحل/
𝟐 ) تحمك معادلة المطع المكافئ ( 𝟐 𝟏)النمطة 𝟖 𝟎)
(𝟏)𝟐 𝟖(𝟐) 𝟎 A 6 𝟐 𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔) 6
𝟐 𝟏
𝟐 𝟎 𝟐
𝟏
𝟐 ( 𝟐 (بالمقارنة مع المعادلة القاسة 𝟒
𝟒𝒑𝟏
𝟐 𝒑
𝟏
𝟖
F( 𝑝) F 𝟏
𝟖 البؤرة
𝟏
𝟖 معادلة الدلل
y x
0 0
𝟏
𝟏
√𝟐
𝟐
:باستخدام التعرف جد معادلة المطع المكافئ /6 س
والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟕)البإرة ) أ (
الحل/
𝟕 𝒙 𝟕 معادلة الدلل
( تعرف القطع المكافئ)
√( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟕)𝟐 (بتربع الطرفن) 𝟐( )
( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 ( 𝟕)𝟐
𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗
𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟐𝟖
1د / 2011وزاري
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
70
والرأس ف نمطة األصل 𝟑√ معادلة الدلل ) ب (
الحل/
√𝟑 𝑝 √𝟑
(𝟎 ) البؤرة (𝟑√ 𝟎)
( تعرف القطع المكافئ)
√( 𝟎)𝟐 ( √𝟑)𝟐 √( )𝟐 ( √𝟑)
𝟐 (بتربع الطرفن)
𝟐 ( √𝟑)𝟐 ( √𝟑)
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑
𝟐 𝟐√𝟑 𝟐√𝟑 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟑√𝟒
******************************************************************
أمثلة أضافة محلولة
: الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالةجد معادلة المطع المكافئ /مثال
(𝟎 𝟓)بإرته (1)
𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور السنات /انحم 𝟒
( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 𝟎
(𝟑 𝟎)بإرته (2)
𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒
(𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎
𝟔 𝟐معادلة دلله (3) 𝟎 /انحم
𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 البؤرة (𝟑 𝟎) 𝟑
𝟐 𝟒
𝟐 𝟒( 𝟑) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟏𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
71
𝟐√)مر بالنمطة بإرته تنتم لمحور الصادات و(4) 𝟏
𝟐)
𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒
𝟐√)النمطة 𝟏
𝟐 تنتم للمطع فه تحمك معادلته (
(√𝟐)𝟐 𝟒
𝟏
𝟐 𝟐 𝟐 𝟏
𝟐 𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟒
جد معادلته ومعادلة دلله (𝟓√ 𝟏) (𝟓√𝟐 𝟏)مر بالنمطتن (5)
𝟐 معادنت ثابتة لم تتغر ( xالنمطتن متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة /انحم 𝟒
وعض أحد انىمطته ألو مز با ∴
(𝟐√𝟓)𝟐 𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 معادنت اندنيم 𝟓
𝟐 𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟐𝟎
(𝟒 𝟐)بؤرت تىتم نمحر انسىاث دنه مز بانىمطت (6)
𝟐 معادنت انمطع انمكافئ بؤرت تىتم نمحر انسىاث /انحم 𝟒
𝟐 ألن اندنم مطع األحداث انسى معادنت اندنم 𝟐 نذا فأن (𝟒 𝟐)دنه مز بانىمطت
𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖
𝟐 رأس ومطت األصم بؤرت مزكش اندائزة انت معادنتا (7) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎
) =مزكش اندائزة / انحم (معامم )
𝟐 (معامم )
𝟐) =(
𝟎
𝟐 ( 𝟒)
𝟐 = انبؤرة (𝟐 𝟎)= (
𝟐 انبؤرة تىتم نمحر انصاداث معادنت انمطع انمكافئ 𝟐 𝟒
𝟐 𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖
( 𝟏 𝟐 )مز بانىمطت 𝟎 دنه اس انمحر انصاد معادنت محري (8)
( 𝟏 𝟐 )اندنم اس انمحر انصاد مز بانىمطت /انحم
اندنم مطع األحداث انسى انسانب انبؤرة تمع عه األحداث انسى انمجب
𝟐 معادنت انمطع انمكافئ 𝟒 نذا ف تحمم ( 𝟏 𝟐 )انمطع مز بانىمطت
𝟐 𝟒 (𝟏)𝟐 𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖 𝟏
𝟖
𝟐 𝟒 𝟏
𝟖 𝟐
𝟏
𝟐 معادلة القطع المكافئ
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
72
(𝟏𝟎) وحداثلطعت طنا 𝟒 مطع مه انمستمم (9) /انحم
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 رأسي انقطع انمكافئ (𝟓 𝟒)(𝟓 𝟒)
𝟐 معادنت انمطع انمكافئ انتىاظز حل محر انسىاث تحمم (𝟓 𝟒)انىمطت 𝟒
𝟐 𝟒 (𝟓)𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓
𝟒
جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالة /مثال
𝐳بإرته الصغة الدكارتة للعدد (1) 𝟒+𝟐𝐢
𝟐 𝐢
/انحم
𝐳 𝟒 𝟐𝐢
𝟐 𝐢×𝟐 𝒊
𝟐 𝒊 𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐
𝟓 𝟏𝟎
𝟓 الصغة الدكارتة (𝟎 𝟐 ) 𝟐
( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) البؤرة 𝐩 𝟐
𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚𝟐 𝟖𝒙 معادلة القطع المكافئ
(3,4)بإرته تنتم ألحد المحورن ودلله مر بالنمطة (2) 𝒑وجد دلالن ولم حدد الي المحورن وازي (3,4)مطة الدلل مر بالن ∵ /انحم 𝟑 𝒑 𝟒
مما عن وجدود لطعان مكافئان (𝟎 𝟑 )والثانة (𝟒 𝟎)وجد بإرتان االولى
𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚𝟐 𝟏𝟐𝒙 معادلة القطع المكافئ األول
𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒚 معادلة القطع المكافئ انثاوي
mثم أوجد لمة 𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)حث ABCمر برإوس المثلث (3)
تمع أما ف الربع األول أو الرابع (m,2)النمطة ∵ /انحم
للربع األول لك تحمك المطع (m,2)النمطة
𝒙𝟐البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝟒𝒑𝒚
فه تحممه (𝟒 𝟐 )المطع مر بالنمطة ∵
( 𝟐)𝟐 𝟒𝒑(𝟒) 𝒑 𝟒
𝟏𝟔 𝐩
𝟏
𝟒 𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒
𝟏
𝟒 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 معادنت انقطع
المطعتمع على المطع لذا فه تحمك معادلة (m,2)النمطة ∵ (𝟐)𝟐 𝐦 𝐦 𝟒
𝟐𝒚 √𝟑رأسه نمطة األصل ومعادلة دلله (4) 𝟎 /نحم ا
𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲 √𝟑
𝟐 𝐩
√𝟑
𝟐
𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒 √𝟑
𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝟐√𝟑𝒚 معادلة القطع المكافئ
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
73
: : ف كل مما ؤت جد البإرة ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ 1س
( ) 𝟐 𝟖
( ) 𝟐 𝟒 𝟎
( ) 𝟐 𝟐𝟖 𝟎
والرأس ف نمطة األصل فجد معادلته علما أن بإرتــــــه (𝟓 𝟐 ): أذا كان دلل المطع المكافئ مر بالنمطة 2س
تنتم ألحد المحورن
معادلة المطع المكافئ الذي :: ف كل مما ؤت جد 3س
والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟕 ))أ( بإرته
𝟑 𝟐)ب( معادلة الدلل له والرأس ف نمطة األصل . 𝟎
والرأس ف نمطة األصل . (𝟔 𝟑))ج( بإرته تنتم لمحور السنات ومر بالنمطة
والرأس ف نمطة األصل . (𝟓 𝟒 ))د( بإرته تنتم لمحور السنات و دلله مر بالنمطة
𝟑√ 𝟐الدلل له )ب( معادلة والرأس ف نمطة األصل . 𝟎
:ة المطع المكافئ الذي بؤستخدام التعرف جد معادل: 4س
والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟒) بإرته ) أ ( 𝟓 ) ب ( معادلة الدلل والرأس ف نمطة األصل 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
74
: ) الرأس ف نمطة األصل (نالصالمطع ال
البإرتذان تسذمان ثذابتتن نمطتذن عذن منهذا نمطة أي بعدي مجموع كون الت ( ) المستوي نماط مجموعة هو
( 𝟐) تساوي لمته ثابتا عددا تساوي
ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات
𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐
√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐
√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐 √( )𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐(𝟎 )
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒)
√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (بتربـــــــع الطرفن )
𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )
( ) ( )حث أن
(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 وبإرتا ه (𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 رأسا المطع النالص هما
بذذذنفس األسذذذلوب مكننذذذا أجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذ
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐وبإرتذذذذذا هذذذذذ ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا حذذذذث أن 𝟏
𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
75
الحظ الشكل التال :
مالحظات :
(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①
𝟐طول المحور الكبر ②
𝟐طول المحور الصغر ③
𝟐البعد بن البإرتن ④
𝟐 دائما كون ⑤ 𝟐 𝟐
االختالف المركزي ⑥
√ 𝟐 𝟐
𝟐 √ )ولمة (𝟏 )حث الحظ أنه كون 𝟐 )
مساحة المطع النالص ⑦
√ 𝟐 محط المطع النالص ⑧ 𝟐+ 𝟐
𝟐 )حث أن
𝟐𝟐
𝟕)
النسبة بن طول محوره ⑨𝟐
𝟐
( ) هو واألصغر ( )هو واألكبر ( ) أو ( ) أما هو الثان فاإلحداث صفر إحداثاتها أحد بنمطة المطع مر أذا ⑩
أدنا :الحظ الجدول ⑪
لطع نالص بإرتا على محور السنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات
المعادلة 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐المعادلة 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 البإرتان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 البإرتان
(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 الرأسان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 الرأسان
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
76
المركزي واالختالفتن والرأسن ف كل مما ؤت جد طول كل من المحورن وأحداث كل من البإر (/9مثال )
① 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟔 𝟏 ② 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐
𝟒
𝟑
(1)الحل
بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c
𝟐 𝟐(𝟓) طول المحور الكبر وحدة 𝟏𝟎
𝟐 𝟐(𝟒) طول المحور الصغر وحدة 𝟖
𝟐 𝟐(𝟑) البعد البؤري وحدة 𝟔
البؤرتان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓)𝟏
𝟓االختالف المركزي 𝟏
𝟑
(2)الحل
𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒
𝟑 ×
𝟑
𝟒
𝟒 𝟐
(𝟒𝟑)
𝟑 𝟐
(𝟒𝟑)
𝟏 𝟐
(𝟏𝟑)
𝟗 𝟐
𝟒 𝟏
𝟐
(𝟏𝟑)
𝟐
(𝟒𝟗)
𝟏
𝑎 𝟒
𝟗 2
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏
𝟑 𝑎
𝟏
√𝟑 𝟐 b 𝑎 𝟐
𝟒
𝟗 𝟏
𝟑
𝟏
𝟗 2
𝟏
𝟑 c
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑
𝟒
𝟑 طول المحور الكبر وحدة
𝟐 𝟐 𝟏
√𝟑
𝟐
√𝟑 طول المحور الصغر وحدة
𝟏 𝟎 𝟐
𝟑 𝟐 𝟎
𝟐
𝟑𝟏 الرأسان 𝟎
𝟏
𝟑 𝟐 𝟎
𝟏
𝟑 البؤرتان
𝟏
𝟑
(𝟐
𝟑)
( ) 𝟏
𝟑 𝟑
𝟐 𝟏
𝟐 االختالف المركزي 𝟏
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
77
ــــا النمطـــــتـــان ـورأس (𝟎 𝟑)𝟏 (𝟎 𝟑 )𝟐 ـص الذي بإرتــــــا ـــــة المطع النالـــجد معادل (/10مثال ) ومركز نمطة االصل . (𝟎 𝟓)𝟏 (𝟎 𝟓 )𝟐
الحل/
⇐ البإرتان والرأسان معان على محور السنات والمركز ف نمطة األصل ∵ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟑 𝑪 𝟗 𝟐
𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐
𝑪 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐 𝟏 𝟔
𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟔 𝟏 معادلة القطع الناقص
اإلحداثنـن نطبك محورا على المحورـــــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وـجد معادل (/11مثال )
ثم وحدة,(𝟏𝟐)ادات جزءا طوله وحدات ومن محور الص (𝟖)ـنات جزءا طوله محور السمن ومطع جد المسافة بن البإرتن ومساحة منطمته ومحطه .
الحل/
المحور الكبر 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔 (البؤرة تقع على الصادات)
المحور الصغر 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2 6
𝑥
𝟏𝟔
2 𝒚
𝟑𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎
𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓
𝟐𝐜 ( انمسافت بيه انبؤرتيه) 𝟓√𝟒
انمساحت (وحدة مربعة ) 24 (4)(6)
انمحيط 2 √ 2 2
22 √
𝟑𝟔 𝟏𝟔
22 √
𝟓𝟐
2
𝐩 (وحدة ) 𝟐𝟔√2
االختالف المركزي 𝟐√𝟓
𝟔 √𝟓
𝟑
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
78
𝟐 لتكن (/21مثال ) 𝟒 𝟐 ــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتــــــــهة لطع نالـــــــص ممعادلـــ 𝟑𝟔
1د / 2015وزاري جد لمة (𝟎 𝟑√) الحل/
𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
𝟐
𝟑𝟔 𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟏
𝟐
(𝟑𝟔 ) 𝟐
𝟗 𝟏
المانون تنتم لمحور السنات (𝟎 𝟑√)البإرة ∵ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏 ⇐
√𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝑎
𝟑𝟔
2
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔
𝟗 𝟑
𝟑𝟔
𝟏𝟐
𝟑𝟔
𝟏𝟐 𝐤 𝟑
ـــنات والمسافة بن األصل وبإرتا على محور الســــص الذي مركز نمطة ـــة المطع النالـجد معادل (/31مثال )
وحدة . (𝟐)والفرق بن طول المحورن وحدات (𝟔) البإرتن الحل/
𝟐 𝟔 c 3
𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟏 𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓
𝒙
𝟐𝟓
𝟐 𝑦
𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ئ بإرته بإرة المطـــع المكافــــــل وأحدى لذي مركز نمطــــــة األصـــص اـــة المطع النالــجد معادل (/41مثال )
𝟐 وحدات . (𝟏𝟎)وطول محور الصغر ساوي 𝟎 𝟏𝟐 : من المطع المكافئ المعطى الحل/
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 ( البورة 3)
𝟑 (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏 البإرتان :المطع النالص ⇐
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟐𝟓 𝟗 2 𝑎 𝟑𝟒 2
𝒙
𝟑𝟒
𝟐 𝑦
𝟐𝟓( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
79
بؤستخدام التعرف , جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : (/51مثال )
𝟔والعدد الثابت (𝟎 𝟐)𝟏 (𝟎 𝟐 )𝟐 . الحل/
𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐
√( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟑)
√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐)𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐
( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐
𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐
𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒)
𝟑√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟗 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐
𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔
𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓)
𝟐
𝟗 𝟐
𝟓 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )
مالحظة
لرسم لطع نالص ولكن المطع 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 نتبع الخطوات التالة : 𝟏
(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن النمطتن ①
( 𝟎)𝟐 ( 𝟎)𝟏 نعن النمطتن ②
بالترتب حتى تكون منحن متصل 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 نصل بن النماط األربعة ③
(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن البإرتن ④
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
80
(𝟐 تمارين(𝟐
واالخذتالفثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن والمطبذن والمركذز عذن كذل مذن البذإرتن والرأسذن /1 س
: نهمطع انىالصت انمبىت معادالتا ف كم مما أتالمركزي
ⓐ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏
الحل/
𝟐
𝟏
𝟐
(𝟏𝟐)
𝟏 𝑎 𝟏 2 𝑎 𝑏 𝟏
𝟐 2 b
𝟏
√𝟐
𝟐𝒂 𝟐(𝟏) طىل انمحىرانكبير ) وحدة 𝟐 )
𝟐 𝟐 𝟏
√𝟐طىل انمحىرانصغير ) وحدة 𝟐√ )
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟐
𝟐 𝟐 𝟏
√𝟐انمسافت بي انبؤرتيه ) وحدة 𝟐√ )
الرأسان (𝟎 𝟏 )𝟐 (𝟎 𝟏)𝟏
𝟏 𝟏
√𝟐 𝟎 𝟐
𝟏
√𝟐 البؤرتان 𝟎
𝟏 𝟎 𝟏
√𝟐 𝟐 𝟎
𝟏
√𝟐 القطبن(طرفا المحور الصغر)
االختالف المركزي
𝟏
√𝟐
𝟏
𝟏
√𝟐 𝟏
(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
81
ⓑ 𝟗 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟏𝟕
(𝟏𝟏𝟕)بالمسمة على الحل/
𝟐
𝟏𝟑 𝟐
𝟗 𝟏 𝑎 𝟏𝟑 2 𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗 2 b 𝟑
𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ىرانكبيرانمح ) وحدة طىل )
𝟐 𝟐(𝟑) طىل انمحىرانصغير ) وحدة 𝟔 )
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐
𝟐 𝟐(𝟐) انمسافت بي انبؤرتيه ) وحدة 𝟒 )
الرأسان (𝟎 𝟏𝟑√ )𝟐 (𝟎 𝟏𝟑√)𝟏
البؤرتان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐) 𝟏
القطبن (𝟑 𝟎)𝟐 (𝟑 𝟎) 𝟏
االختالف المركزي
𝟐
√𝟏𝟑 𝟏
(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر
: ؤتجد المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز ف نمطة األصل ف كل مما /2 س
وحدة (𝟏𝟐)وطول محور الكبر ساوي (𝟎 𝟓) و (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان )أ(
الحل/
𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟐𝟓
𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏 𝟐
𝒙
𝟑𝟔
𝟐 y
𝟏𝟏( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
82
𝟒 وتماطع مع محور السنات عند (𝟐 𝟎)البإرتان هما )ب(
الحل/
𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 ( البؤرتان تنتمان الى محور الصادات)
𝟐 (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 )تمثل المطبن وه 𝟒 عند مع محور السنات نمط التماطع 𝟏𝟔 ⇐
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝒂 𝟐𝟎 𝟐
𝒙
𝟏𝟔
𝟐 y
𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
على الترتبوحدة 𝟏 𝟓 عددنمحور الكبر بال نهات أحدى بإرته تبعد عن ج()
الحل/
𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗 2
𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒 2
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓
وهما :لمعادلة المطع النالص هنان حالتن
عندما البإرتان تنتم لمحور السنات
𝒙
𝟗
𝟐 y
𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
عندما البإرتان تنتم لمحور الصادات
𝒙
𝟓
𝟐 y
𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
83
االختالف المركزي )د(𝟏
𝟐 وحدة طولة (𝟏𝟐) وطول محور الصغر
الحل/
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝑐
𝑎
𝟐 c 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃𝟐 𝟑𝟔
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟑𝟔 𝟐
𝟒 𝟐 𝒂
𝟏𝟒𝟒 𝟐
𝒂
𝟒
𝟐
4𝒂𝟐 44 𝒂𝟐 3𝒂𝟐 44 𝟐 𝟒𝟖
هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :
𝒙
𝟒𝟖
𝟐 y
𝟑𝟔 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
عندما البإرتان تنتم لمحور السنات
𝒙
𝟑𝟔
𝟐 y
𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
عندما البإرتان تنتم لمحور الصادات
وحدة (3)وحدات ونصف محور الصغر ساوي (𝟖)المسافة بن بإرته تساوي )هـ(
الحل/
𝟏
𝟐 (𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2 9
𝟐 𝟖 𝟒 c2 6
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟗 𝟏𝟔 𝟐 𝒂 𝟐𝟓 𝟐
هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :
𝒙
𝟐𝟓
𝟐 y
𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
السنات عندما البإرتان تنتم لمحور
𝒙
𝟗
𝟐 y
𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
عندما البإرتان تنتم لمحور الصادات
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
84
: باستخدام التعرف جد معادلة المطع النالص أذا علم /3 س
ⓐ ومركز ف نمطة االصل (𝟑 𝟎)ورأسا النمطتان (𝟐 𝟎)إرتا النمطتان ب .
الحل/
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 ( حسب التعرف) 𝟐
√( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 √( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐(𝟑)
√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔
√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐(𝟐 )
𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒
𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒)
𝟑√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟗 𝟐
𝟗( 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏
𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏
𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔
𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒𝟓 ( 45 )
𝑥2
5 𝑦2
9 ( معادلة القطع الناقص)
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
85
ⓑ والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذنات ومركذز فذ (𝟏𝟎)والعذدد الثابذت وحذدة (𝟔) المسافة بذن البذإرتن
.نمطة االصل
الحل/
البؤرتان (𝟎 𝟑 ) 𝟑 𝟔 𝟐
الراسان(𝟎 𝟓 ) 𝟓 𝟏𝟎 𝟐
على تعرف المطع النالص وباالعتماد
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟓)
√( 𝟑)𝟐 𝟐 √( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎
√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐
𝟐 𝟔 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐
𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒)
𝟓√( 𝟑)𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐𝟓 𝟑
𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓
𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)
𝑥2
25 𝑦2
6 ( معادلة القطع الناقص)
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
86
2د / 2014وزاري
بإرتذذه هذذ بذذإرة المطذذع المكذذافئ ىجذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل واحذذد /4 س
𝟐 )الذي معادلته (𝟑√ 𝟑√𝟐)علما ان المطع النالص مر بالنمطة (𝟎 𝟖
: المطع المكافئ ف الحل/
𝟐 𝟖 ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ( البورة
المطع النالص :ف
𝟎 𝟐)البإرتان ) ( 𝟐 𝟎 𝟐 والمانون هو ( ⇐𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟑√ 𝟑√𝟐)النمطة
𝟐√𝟑( )
𝟐
𝒂
𝟐
√𝟑( )
𝟐 𝟏
𝟐
𝟏𝟐
𝒂
𝟐 𝟐 𝟏
𝟑 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟒 ①( ( وعىض في
𝟐 𝟑𝟏𝟐 (𝒃𝟐 𝟒 ) (𝒃𝟐 𝟒 𝟐 ) 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒃𝟐 𝟒𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟎
( 𝟐 𝟏𝟐)( 𝟐 𝟏) 𝟎
𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟔
𝒙
𝟏𝟔
𝟐 𝒚
𝟏𝟐 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
𝟐 همل 𝟏
وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذنات ومذذذر جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل /5 س
(𝟐 𝟔) (𝟒 𝟑)بالنمطتن
المانون هو ⇐على محور السنات البإرتان ∵ الحل/𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟐 𝟔)النمطة ∵
(𝟔)𝟐
𝒂
𝟐
(𝟐)
𝟐 𝟏
𝟐
𝟑𝟔
𝒂
𝟐 𝟐 𝟏
𝟒 𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐
تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟒 𝟑)النمطة ∵
(𝟑)𝟐
𝒂
𝟐
(𝟒)
𝟐 𝟏
𝟐
𝟗
𝒂
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ②) 𝟐
وبحل المعادلتن انا بالطرح نحصل على المعادلة التالة
𝟐 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐𝟗 𝒂 𝟐 𝟐𝟗
𝟒
①( ( وعىض في
𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝟐𝟗
𝟒
𝟐𝟗
𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗
𝟐𝟗
𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝟓
𝟒𝟗
𝟒 𝟐 𝟒 𝟏𝟖𝟎 𝟗
𝟒𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟐( 𝟐 ) 𝟐𝟎 𝟎 𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟒𝟓
𝒙
𝟒𝟓
𝟐 𝒚
𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
87
نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذ وبإرتذذذا لــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصـــــذذذـة المطذذذع النالــــــذذذـد معادلـــــذذذـج /6 س
𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟐
𝟐 )المنحن ∵ الحل/ 𝟐 𝟎 مطع المحور الصادي (𝟏𝟔 𝟑 ⇐
𝟐 𝟏𝟔 𝐲 𝟒
𝟒 𝟎)البإرتان ) (𝟎 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 والمانون هو ( ⇐𝒙
𝟐
𝟐 𝒚𝟐
𝒂 𝟏
𝟐
المعطىمن المطع المكافئ
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑
𝐱 𝐩 𝒙 دنيم انقطع انمكافئ 𝟑 وقطت انتماس (𝟎 𝟑 )
تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟎 𝟑 )النمطة ∵
( 𝟑)
𝟐
𝟐 (𝟎)𝟐
𝒂 𝟏
𝟐
𝟗
𝒃 𝟏
𝟐 𝟐 𝟗
𝑎2 𝑏2 𝑐2 9 6 𝒂 𝟐𝟓 𝟐
𝒙
𝟗
𝟐 𝒚
𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
ل ــذـنات ومركذز فذ نمطذة األصـذــــــــتنتمذ الذى محذور الس الذذي بإرتذا د معادلة المطع النذالص ـــــــــج /7 س
𝟐 وطذذول محذذور الكبذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغر ومطذذع المطذذع المكذذافئ عنذذد النمطذذة التذذ 𝟎 𝟖
(𝟐 )احداثها السن
المانون هو تنتم لمحور السنات البإرتان ∵ الحل/ ⇐𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
طول المحور الكبر ضعف طول المحور الصغر ∵
𝟐 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐
(𝟐 )المعطى نعوض لمة من المطع المكافئ
𝟐 𝟖 𝟎 𝟐 𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒
تنتم للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فه تحمك معادلة المطع النالص النقطتان (𝟒 𝟐 ) (𝟒 𝟐 )
( 𝟐)𝟐
𝒂
𝟐
(𝟒)
𝟐 𝟏
𝟐
𝟒
𝒂
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏𝟔 𝟒 𝟐
𝟒
𝟐 𝟏
𝟏𝟔 𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
𝟏𝟔
𝟐
𝟏 𝟏𝟕
𝟐 𝟏𝟕
𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟏𝟕) 𝟐 𝟔𝟖
𝒙
𝟔𝟖
𝟐 𝒚
𝟏𝟕ادلةمع القطع الناقص) 𝟏 )
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
88
𝟐 معادلته لطع نالص /8 س 𝟐 محوره نمطة االصل ومجموع مربع طول و مركز 𝟑𝟔
𝟐 واحد بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي معادلته (𝟔𝟎)ساوي ما لمة كل من 𝟑√𝟒
المعطىمن المطع المكافئ الحل/
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟑√𝟒 𝟐 𝟒
𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ( البؤرة
⇐ بإرتا المطع النالص √𝟑( 𝟎 √𝟑) ( 𝟎 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑 𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
𝒙𝟐
(𝟑𝟔
𝒉
)
𝒚
(𝟑𝟔
) 𝟏
𝟐
𝒂 𝟐 𝟑𝟔
𝒉 𝟐
𝟑𝟔
𝟔𝟎مجموع مربع طول محوره = ∵
(𝟐 )𝟐 (𝟐 )𝟐 𝟔𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟓 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟐 3 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟗
𝒂 𝟐𝟑𝟔
𝒉
𝟗
𝟑𝟔 𝟒
𝒃 𝟐𝟑𝟔
𝒌
𝟔
𝟑𝟔 𝟔
دى بإرتذه هذ بذإرة المطذع ـــذـل واحـذـــــــة االصـــــــذـنمط الذذي مركذز ص ــذـة المطذع النالــذـد معادلـــذـج /9 س
𝟐 المكافئ .وحدة (𝟑𝟔)ومجموع طول محوره 𝟐𝟒
المعطىمن المطع المكافئ الحل/
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒
𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ( البؤرة
⇐ بإرتا المطع النالص 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑𝟔 𝒙
𝟐
𝟐 𝒚𝟐
𝒂 𝟏
𝟐
𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃
𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏𝟖 )𝟐 𝟐 36 𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 36
𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐 𝟔𝟒
𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎
𝒙
𝟔𝟒
𝟐 𝒚
𝟏𝟎𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
3د / 2012وزاري
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
89
تنتمذ للمطذع النذالص والنمطذة (𝟎 𝟒)𝟐 (𝟎 𝟒 )𝟏 الذذي بإرتذه جذد معادلذة المطذع النذالص /10 س
1د / 0142وزاري .وحدة (𝟐𝟒) ساوي 𝟐 𝟏 بحث أن محــــــط المثلث
الحل/
𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)
𝟒 𝐂𝟐 𝟏𝟔
∵ النالص : وحدة وحسب تعرف المطع (𝟐𝟒)ساوي 𝟐 𝟏 محــــــط المثلث
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 (معادلة ① ) 𝟐𝟒
𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐(𝟒) ( المسافة بن البؤرتن) وحدة 𝟖
𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (حسب تعرف القطع الناقص )
نحصل على ما ل : وبالتعوض ف (معادلة ① )
𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐 𝟔𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 6 𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟖
⇐ بإرتا المطع النالص المانون (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 ) 𝒙𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝒙
𝟔𝟒
𝟐 𝒚
𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
90
أمثلة أضافة محلولة جد معادلة المطع النالص الذي : لكل مما ؤت/ مثال
ⓐ األصل نمطة ومركز ( 𝟏𝟎 وحدات) الكبر المحور وطول (𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑 ) بإرتا
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒
𝒙
𝟐𝟓
𝟐 𝑦
𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ⓑ األصل نمطة ومركز ( 𝟖 وحدات) الصغر المحور وطول (𝟔 𝟎) (𝟔 𝟎) رأسا
𝟐 𝟖 𝟒 𝟔
𝒚
𝟑𝟔
𝟐 𝑥
𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ⓒ تساوي بإرته بن والمسافة الصغر محور طول بن والنسبة األصل نمطة ومركز (𝟒 𝟎) بإرته أحدى (𝟑
𝟒)
𝟐
𝟐 𝟑
𝟒 𝟒 𝟑 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓
𝒚
𝟐𝟓
𝟐 𝑥
𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ⓓ ثم جد مساحته ومحطه (𝟎 𝟒 ) (𝟑 𝟎)ومر بالنمطتن األصل نمطة مركز
𝟒 𝟑 𝒙
𝟏𝟔
𝟐 𝑦
𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
انمساحت (وحدة مربعة ) 2 (3)(4)
انمحيط 2 √ 2 2
2 2 √
𝟏𝟔 𝟗
2 2 √
𝟐𝟓
2 (وحدة ) 𝟐√5
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
91
ⓔ 𝟖 𝟐نمطت تماطع المستمم ؤحدى مر بوأحد لطبه مركز نمطة األصل
( )ألجاد لم (𝟎 )ثم نجعل ( )جد لم نثم (𝟎 )ألجاد نمط التماطع نجعل الحل /
𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖 ) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎 )
𝟖 𝟒 𝒙
𝟐
𝟐 𝑦
𝟐( القانون ) 𝟏
2
𝒙
𝟏𝟔
𝟐 𝑦
𝟔𝟒( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ⓕ محذور وطذول (𝟏𝟎 وحدات)والبعذد الثابذت لذه السذنات محذور على نطبك الكبر ومحور األصل نمطة مركز
(𝟔 وحدات) الصغر
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3𝒙
𝟐𝟓
𝟐 𝑦
𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ⓖ ومركز نمطة األصل والنسبة بن طول محوره تساوي (𝟑 𝟎)أحدى بإرته(𝟒
𝟓)
𝟑 𝟐
𝟐 𝟒𝟓 𝒃
𝟒𝟓
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 6
25
𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒂 𝟐𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝒂𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔
𝒚
𝟐𝟓
𝟐 𝑥
𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ⓗ المركزي واختالفه األصل نمطة ومركز (𝟎 𝟒) بإرته أحدى (𝟏
𝟐)
𝟒
𝟏
𝟐
4
𝑎 𝟖 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝒃 𝟒𝟖 𝟐
𝑥
𝟔𝟒
2 𝒚
𝟒𝟖( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
92
ⓘ والنسبة بن طول محوره ( 𝟐𝟒)مركز نمطة األصل وبإرتا تنتمان لمحور السنات ومساحته(𝟑
𝟖)
𝟐𝟒 𝑎 24
( معادلة ) 𝑏
𝟐
𝟐 𝟑𝟖 3𝑎 8𝑏
8
𝟑
𝑏
24
𝑏 8
𝟑
𝑏 8𝑏 𝟕𝟐 2 𝑏 𝟗 2 𝟑 𝟖
𝑥
𝟔𝟒
2 𝒚
𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏
𝟐
ⓙ وأحدى بإرته ه بإرة المطذع المكذافئ الذذي اإلحداثنمركز نمطة األصل ومحورا نطبمان على المحورن
𝟐 ) معادلته وطول محور الكبر ضعف طول محور الصغر (𝟎 𝟏𝟐
: من المطع المكافئ الحل /
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 ( 3 ( البورة
:المطع النالص من
𝟑 (𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)البإرتان المانون هو ⇐ ⇐ 𝒙
𝟐
𝟐 𝑦2
𝑎 𝟏
2
𝟐 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝟐 ( ) 𝟐 𝟗 2 𝟒 𝟐 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑
𝑎 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑) 2 𝑎 𝟏𝟐 2 𝒙
𝟑
𝟐 𝑦
𝟏𝟐( معادلة القطع الناقص) 𝟏
2
ⓚ (𝟔 وحدات)والمسافة بن بإرته (𝟑 𝟎)مر بالنمطة
𝟐 𝟔 c 3
b 3 ( ألنه يمر بالنقطة)
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟗 𝒂𝟐 𝟏𝟖 (توجد معادلتن للقطع الناقص)
𝒙𝟐
𝟗
𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏
𝟏𝟖
𝒙
𝟏𝟖
𝟐 𝑦
𝟗( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏
2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
93
المركذزي والمحذط واالخذتالفالبذإرتن والرأسذن وإحذداثاتوالبعذد البذإري جذد طذول كذل مذن المحذورن / مثال
𝟐 𝟏𝟔المطع التالة والمساحة لمعادلة 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟏𝟔 𝟐
𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎 𝟏
𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟔 𝟏
𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c
𝟐 𝟐(𝟓) (𝟒)𝟐 𝟐 (المحور الكبر ) وحدة 𝟏𝟎 (المحور الصغر ) وحدة 𝟖
𝟐 𝟐(𝟑) (البعد البؤري) وحدة 𝟔
البؤرتان (𝟎 𝟑 ) (𝟎 𝟑) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)
االختالف المركزي 𝟓
𝟑
انمساحت (وحدة مربعة ) 2 (4)(5)
انمحيط 2 √ 2 2
2 2 √
𝟐𝟓 𝟏𝟔
22 √
𝟒𝟏
2 (وحدة )
𝟐 لذذذذتكن / مثذذذذال 𝟐 والنسذذذذبة بذذذذن طذذذذول (𝟎 𝟑)معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتذذذذه 𝟒𝟎𝟎
محور الكبر ومحور الصغر 𝟒
𝟓 فجد لم كل من
انحم /
𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟐
𝟒𝟎𝟎 𝟐
𝟒𝟎𝟎 𝟏
𝟐
(𝟒𝟎𝟎 )
𝟐
(𝟒𝟎𝟎 )
𝟏
البإرة تنتم لمحور السنات ∵
𝟑 المانون 𝟐 𝟒𝟎𝟎
𝑎
𝟒𝟎𝟎
2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏 ⇐
𝟐
𝟐 𝟒𝟓
𝟒𝟓 𝑏
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 2
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟏𝟔
𝟐𝟓 𝟐 𝟗
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
94
𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔 2
𝟒𝟎𝟎
𝟐 𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓 𝟏𝟔
𝟒𝟎𝟎
𝟐 𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟔 𝟐𝟓
𝒙
𝟐𝟓
𝟐 𝑦
𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏
2
والذذذذي كذذذون البعذذذد بذذذن بإرتذذذه مسذذذاوا للبعذذذد ( 𝟖𝟎)جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مسذذذاحته /مثذذذال
𝟐 )بن بإرة المطع المكافئ ودلله (𝟎 𝟐𝟒
من المطع المكافئ انحم /
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒
4p 24 p 6 2|p| 2
2 2 c 6 𝑐2 36
: المطع النالص من
𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎
𝑎
(معادلة ) 2
𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎
2
𝑎 𝟑𝟔
2 𝟒 𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎 2
(𝑎2 )( 𝑎2 ) 𝟎 64
either 𝑎2 𝟐 𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2 يهمم 64
𝒙𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏
𝟔𝟒
𝒙
𝟔𝟒
𝟐 𝑦
𝟏𝟎𝟎( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏
2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
95
أذا كانت /مثال 𝟐
𝟑 𝟐 الذذي النذالص المطذع معادلذة جذد (𝟐 𝟏 ) بالنفطذة مذر دلله مكافئ لطع معادلة 𝟎
محوره بن النسبة طول ومربع ( 𝟎) بإرته أحد𝟑
𝟒
نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السن لذا فؤن معادلة الدلل له من المطع المكافئالحل /
( [ 𝟏] 𝟏 ألنه مع على المحور السن (
𝟐 (𝟑 𝟐) ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2
والمانون هو (𝟐 𝟎) (𝟐 𝟎)بإرتا :المطع النالص من 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟒 𝟐
𝟒 𝟐 𝟑
𝟒 𝟐
𝟑
𝟒 𝟐 𝟐 𝟒
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟑
𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐
𝒙
𝟏𝟐
𝟐 𝑦
𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏
2
ومذر خذالل (𝟎 𝟔√)𝟐 (𝟎 𝟔√ )𝟏 مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا جد معادلة المطع النذالص الذذي /مثال
𝟐 بإرة المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎
من المطع المكافئ الحل /
𝟐 ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏
بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏)نضف
𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐
𝟐( )بانمماروت مع انمعادنت انماست نهمطع انمكافئ وحصم عه ( ) 𝟒
𝟏 𝟏 ( ) انرأس(𝟏 𝟏 )
𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( ) 𝐹 𝟐( ( (تحقق معادنت انقطع انىاقص)
لص :من المطع النا
𝟐 المانون هو (𝟎 𝟔√) (𝟎 𝟔√ ) بإرت المطع النالص ∵ 𝟔 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏 ⇐
)𝟐انىمطت ( تحمك معادنت انمطع انىالص ألو مز با ) بؤرة انمطع انمكافئ (
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
96
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
(× 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟐 ( معادلة ① ) 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟔
𝟒 𝟐 𝟐 𝟔 ( 𝟐 𝟔) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟎
(𝒃𝟐 )(𝟑 𝒃𝟐 ) 𝟎 𝟐
𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2 2 𝟐 𝟖 𝑜𝑟 𝑏2 يهمم 3
𝒙
𝟖
𝟐 𝑦
𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏
2
ورن للمطذذذذذذع حذذذذذذالمجذذذذذذد أحذذذذذذداث البذذذذذذإرتن والرأسـذذذذذذـن والمطبذذذذذذن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن /مثذذذذذذال
𝟐 𝟒) النالص 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 ؟ eثم جد لمة (𝟎
:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود انحم /
𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐 𝟐 ) 𝟗( 𝟐 𝟒 ) 𝟒
بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىالصالى طرف معادلة المطع (𝟒𝟎)بإضافة
𝟒( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏)𝟐 𝟗( 𝟐)𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
( 𝟏)𝟐
𝟗 ( 𝟐)𝟐
𝟒 معادلة القطع الناقص 𝟏
بانمماروت مع انمعادنت انماست نهمطع انىالص ( )𝟐
𝟐
( )𝟐
𝟐 وحصم عه 𝟏
𝟏 𝟐 ( ) مركز القطع الناقص (𝟐 𝟏)
𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒 𝑎 b 2 𝟐 5 𝑐 √5
𝟐 𝟐(√ ) 5 2√ 5 وحدة انمسافت بي انبؤرتيه ) )
𝑦 𝑘 𝑦 𝑥 (معادنت انمحىرانكبير) 2 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانصغير)
(ℎ ) 2(ℎ ) ( √ 2) 2( 5 √ 5 انبؤرتان (2
(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (2 2 )2 (2 4)
االختالف المركزي √
3 𝟏
5
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
97
المركذزي االخذتالفوممذدار جذد أحذداث البذإرتن والرأسذن والمطبذن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن /مثال
ومحذور الكبذر ذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتذه تبعذد عذن (𝟒 𝟏)ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز
وحدة طول 10 ,2الرأسن بالبعدن
𝟐انفزق به انبعده 𝟐مجمع انبعده ∵انحم /
𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒
انمعادنت انماست نهمطع انىالص ⇐ محري انكبز اس محر انصاداث ∵ ( )𝟐
𝟐
( )𝟐
𝟐 𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟎 𝟏 𝟒
( 𝟏)𝟐
𝟐𝟎 ( 𝟒)𝟐
𝟑𝟔دلةمعا القطع الناقص 𝟏
𝟐 𝟐( ) 4 8 وحدة انمسافت بي انبؤرتيه ) )
𝑥 ℎ 𝑥 𝑦 (معادنت انمحىرانكبير) 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانصغير) 4
(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (8 )2 ( )
(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان ( )2 (2 )
االختالف المركزي 𝟔
4
𝟑 𝟏
2
******************************************************************
للمطذوعواالخذتالف المركذزي المحذورن مذن كذل ومعادلذة طذول و والمطبذن والرأسذن البذإرتن أحداث جد : 1س
التالة :النالصة
( ) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓
( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔
( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟑𝟎𝟎
:ة المطع المكافئ الذي معادلبؤستخدام التعرف جد : 2س
.ومركز نمطة االصل (𝟎 𝟔 )ورأسا النمطتان (𝟎 𝟑 )بإرتا النمطتان ) أ ( ه ـــــــــــــــــأحد بؤرت تبعد عه انزأس ومركز نمطة االصلبإرتا تمعان على محور السنات ) ب (
. حدة طل 8 ,2بانبعده
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
98
) الرأس ف نمطة األصل ( : لمطع الزائد:ا
تسذمى تكون الممة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتن ثذابتتن الت ( ) تويــالمس نماط ةـــمجموع هو
( 𝟐) ) البإرتن ( ساوي عددا ثابتا لمته
ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات
| 𝟏 𝟐| ( حسب تعرف القطع الزائد) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐
√(𝒙 𝒄)𝟐 (𝒚 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐
√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚
√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 𝟐 √( )𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐
(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝒚 𝒚
(𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝒚
𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒚
𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝒚
√( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن )
𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏
والمعادلة (𝟎 ) (𝟎 )وبإرتا ه (𝟎 ) (𝟎 )هما دئـزارأسا المطع ال ⦁ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
الذي بإرتا تنتمان لمحور الصادات وه زائدبنفس األسلوب مكننا أجاد معادلة المطع ال ⦁ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 حث أن 𝟏
( 𝟎) ( 𝟎)وبإرتا ه ( 𝟎) ( 𝟎)هما زائد رأسا المطع ال
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
99
مالحظات :
(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①
𝟐 حممطول المحور ال ②
𝟐 المرافكطول المحور ③
𝟐البعد بن البإرتن ④
)االختالف المركزي ⑤
(𝟏 )حث الحظ أنه كون (
𝟐 دائما كون ⑥ 𝟐 𝟐
( )وتمثل لمة س المطع الزائدأر تمثلمر بها المطع الزائد على احد المحورن و تمع تال ةالنمط ⑦ (منتصف المطر البإري تسمى المسافة بن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتم للمطع ) ⑧
عن البإرتن والرأسن وطول كل من المحورن الحمم والمرافك للمطع الزائد (/61مثال ) 𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔 𝟏
الحل/
𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 طىل انمحىر انحقيقي وحدة 𝟏𝟔
𝟐 𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 طىل انمحىر انمرافق وحدة 𝟏𝟐
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎
𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) رأسا انقطع انزائد
𝑷𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷𝟐(𝟎 𝟔) قطبا انقطع انزائد
𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) بؤرتا انقطع انزائد
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
100
𝟔جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمم (/17مثال ) ـتالف وحدات واالخ والبإرتان على محور السنات (𝟐)المركزي ساوي
الحل/
𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂𝟐 𝟗
𝟐
𝟑 𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄𝟐 𝟑𝟔
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟐𝟕
𝟐
𝟗 𝟐
𝟐𝟕 معادلة القطع الزائد 𝟏
ـما هــــبإرتا ووحدات (𝟒)وطول محور المرافك جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل (/18مثال )
(𝟖√ 𝟎)𝟐 (𝟖√ 𝟎)𝟏 النمطتان
تنتم لمحور الصاداتالبإرتان ∵ الحل/
المعادلة الماسة للمطع الزائد ه 𝒚𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒 𝟐
√𝟖 𝒄 𝟖 𝟐
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟐 𝟒
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 معادلة القطع الزائـد 𝟏
أعال نالحظ أن طول المحور الحمم مساو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع (18)المثال ف
( ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفه كون ضالع بالمطع الزائد المائم او متساوي األالزائدة دعى )
. ( 𝟐√)ممدار ثابت لمته ( )المركزي االختالف
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
101
(𝟐 تمارين(𝟑
االتت : شائدةنهمطع انعن كل من البإرتن والرأسن ثم جد طول كل من المحورن واألختالف المركزي /1 س
ⓐ 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒𝟖
(𝟒𝟖)ومسم طزف انمعادنت عه /الحل
𝟐
𝟒 𝟐
𝟏𝟐 𝟏
𝑎 𝟒 2 𝑎 2 2𝑎 وحدة 4 طىل انمحىر انحقيقي
𝑏 𝟏𝟐 2 b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 وحدة طىل انمحىر انمرافق
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟔 𝟒
البؤرتان (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐)𝟏
𝟒
𝟐 االختالف المركزي 𝟏 𝟐
ⓑ 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒
(𝟏𝟒𝟒)ومسم طزف انمعادنت عه الحل/
𝟐
𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟏
𝑎 9 2 𝑎 3 2𝑎 وحدة 6 طىل انمحىر انحقيقي
𝑏 𝟏𝟔 2 b 𝟒 2𝑏 وحدة 8 حىرانم انمرافق طىل
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟓
البؤرتان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏
𝟓
𝟑 االختالف المركزي 𝟏
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
102
الحاالت التالة ثم ارسم المطع : معادلة المطع الزائد ف أكتب /2 س
ⓐ ومركز ف نمطة االصل 𝟑 وتماطع مع محور السنات عند (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان.
الحل/
⇐ بإرتا المطع الزائد ∵ المانون 𝟓 ( 5) 2 ( 5 ) ⇐𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝟑 المطع الزائد تماطع مع محور السنات عند ∵
𝟐 ( 3) ( 3 )الراسان ∴ 𝟗 ⇐
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐
𝒙
𝟗
𝟐 𝐲
𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
103
ⓑ وحذذذذدات ونطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى (𝟏𝟎)وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك (𝟏𝟐)طذذذذول محذذذذور الحممذذذذ
.المحورن االحداثن ومركز نمطة االصل
الحل/
𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔
𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃𝟐 𝟐𝟓
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 25 36 𝑪𝟐 𝟔𝟏
-: د وهما ـــــــن للمطع الزائـــــــان حالتــــهن ∴
عندما وازي محور السنات عندما وازي محور الصادات
𝑭𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) الرأسان
𝑽𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽𝟐(𝟎 𝟔) البؤرتان
𝟐
𝟑𝟔 𝟐
𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏
𝑭𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) الرأسان
𝑽𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽𝟐( 𝟔 𝟎) البؤرتان
𝟐
𝟑𝟔 𝟐
𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏
ⓒ وحذدة واختالفذه المركذزي (𝟐√𝟐)مركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك
(𝟑)ساوي
المانون ⇐ بإرتا المطع الزائد تنتم لمحور الصادات ∵ الحل/ 𝒚𝟐
𝒂
𝟐
𝒙
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃𝟐 𝟐
𝟑 𝒄 𝟑𝒂
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟗𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟐
𝟖𝒂 𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝟏
𝟒 𝑪𝟐
𝟗
𝟒
(𝟎 ) 𝟎 𝟑
𝟐 𝟎
𝟑
𝟐 البؤرتان
(𝟎 ) 𝟎 𝟏
𝟐 𝟎
𝟏
𝟐 الراسان
𝐲
(
𝟐
𝟏)
𝟒
𝒙
𝟐( معادلة القطع الزائد) 𝟏
𝟐
2د / 2013 /وزاري
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
104
ونطبذك (𝟎 𝟐√𝟐)(𝟎 𝟐√𝟐 )جد باستخدام تعرف المطع الزائد الذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتذه /3 س
وحدات (𝟒)حداثن والممة المطلمة للفرق بن بعدي اة نمطة عن بإرته ساوي محورا على المحورن اال
الحل/
𝟐 𝟒 𝒂 𝟐
للمطع الزائد ( ) نفرض ان النمطة
| 𝟏 𝟐| (من تعرف القطع الزائد) 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝟐√𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟒
√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐
( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐 𝟐 ( 𝟐√𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐
𝟖√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖)
√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐√
𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟒 ] ( 𝟒) 𝑥2
4 𝑦2
4 معادلة القطع الزائد
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
105
وحدات واحدى بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة (𝟔)محور الحمم طول لطع زائد /4 س
. جد معادلت المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)االصل ومر بالنمطتن
1د / 2014وزاري 3د / 2013وزاري . الزائد الذي مركز نمطة االصل
:من المطع المكافئ الحل/
تنتم للمحور السنن لذا فالبإرة ــمتناظرة مع المحور الس (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)النمطتان ∵
𝟐 )والمانون 𝟒 )
تحمك معادلة المطع المكافئ ) ألنه مر بها ( (𝟓√𝟐 𝟏)النمطة ∴
𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 ( البؤرة 𝟎 𝟓)
𝟐 ( معادلة القطع المكافئ ) 𝟐𝟎
:الزائدالمطع ف
𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗 𝟐
⇐بإرتا المطع الزائد ∵ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎) 𝟐 ⇐المانون 𝟐𝟓 𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐
𝒙
𝟗
𝟐 𝐲
𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏
𝟐
𝟐 ومعادلتذه ل ـــــــــذـمركذز نمطذة االصلطذع زائذد /5 س 𝟐 (𝟐√𝟔)وطذول محذور الحممذ 𝟗𝟎
𝟐 𝟗ه ـوحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرت المطذع النذالص الذذي معادلتذ 𝟏𝟔 𝟐 ة كذل ـــــذـد لمــذـج 𝟓𝟕𝟔
الت تنتم الى مجموعة االعداد الحممة من
: نالصمن المطع ال الحل/
𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔) 𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔 𝟏
𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟖 𝟐√𝟕
( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 )بإرتا المطع النالص : زائدالمطع ال من
⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟕√𝟐 ( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 ) ⇐𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟎 𝟐
𝟏𝟖 𝟐
𝟏𝟎 معادلة القطع الزائد 𝟏
𝟐 𝟐 𝟗𝟎 𝟐
(𝟗𝟎 )
𝟐
(𝟗𝟎 ) 𝟏
𝟐 𝟗𝟎
𝟗𝟎
𝟐 𝟗𝟎
𝟏𝟖 𝟓
𝟐 𝟗𝟎
𝟗𝟎
𝟏𝟎 𝟗
2د / 2012وزاري
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
106
د راسذذه بعذذد عذذن البذذإرتن ـــذذـاذا علمذذت ان اح لـــــذذـاكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص /6 س
3د / 2012وزاري . نبك محورا على المحورن االحداثوحدات على الترتب ونط 𝟗 𝟏 بالعددن
الحل/
𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄𝟐 𝟐𝟓
𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂𝟐 𝟏𝟔
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗 𝟐
الن لمعادلة المطع الزائد ـــــــــــــهنان أحتم ∴
𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟗 معادلة القطع الزائد سنة 𝟏
𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟗 معادلة القطع الزائد صادة 𝟏
𝟐 جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته /7 س 𝟑 𝟐 والنسبة 𝟏𝟐
بن طول محوره 𝟓
𝟑 3د / 2013وزاري . ومركز نمطة االصل
: زائدمن المطع ال الحل/
𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐) 𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟒 𝟏
𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟒
( 𝟒) ( 𝟒 ) زائدبإرتا المطع ال ∴
:لنالص المطع ا من
⇐ نالصبإرتا المطع ال المانون 𝟒 ( 𝟒) ( 𝟒 ) ⇐𝒙𝟐
𝒂
𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝒂
𝟐
𝟐𝟓
𝟗
𝟐
𝟐 𝟐𝟓 𝟐
𝟗
𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐 𝟏𝟔
( 𝟗) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟗
2 25 2
9
25 (9)
9 2 25
2
25 2
9 معادلة القطع الناقص
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
107
𝟐 تنتم الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته ( 𝟔) النمطة /8 س 𝟑 𝟐 جد كال من: 𝟏𝟐
ب. طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم ف الجهة المنى من النمطة لمة . أ
تنتم الى المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∵ )أ( الحل/
𝟐 )تحمك معادلة المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∴ 𝟑 𝟐 𝟏𝟐)
(𝟔)𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 24 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖 L 2√ 2
𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐)
: زائدمن المطع ال )ب(
𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟐
𝟒 𝟏 𝟐 𝟐𝟏𝟐 𝟒
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 احداث البؤرة االمن (𝟎 𝟒)
𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)
𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎)𝟐
√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐
𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)
𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎)𝟐
√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐
1د / 5201وزاري 2د / 4201وزاري 1د / 2011وزاري
ه ـالذذذذذي معادلتذذذذالنذذذذالص المطذذذذع ا بذذذذإرتــــذذذذـالذذذذذي بإرتذذذذا همالزائذذذذد جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع /9 س 𝟐
𝟗
𝟐
𝟐𝟓 𝟏
𝟐 ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟎
:من المطع المكافئ الحل/
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒
𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑
𝐲 𝟑 ( معادلة الدلل )
: نالصمن المطع ال
𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟐 𝟒
(𝟎 𝟒 ( البؤرتان (𝟒 𝟎)
:زائدالمطع المن
وه راس المطع الزائد (𝟑 𝟎)دلل المطع المكافئ مطع المحور الصادي عند النمطة ∵
𝟑 𝟐 𝟗
⇐ بإرتا المطع الزائد (𝟎 𝟒 المانون 𝟒 ( (𝟒 𝟎) ⇐𝒚𝟐
𝒂
𝟐
𝒙
𝟐 𝟏
𝟐
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟕 𝟐
𝟗 𝟐
𝟕دالزائ 𝟏 معادلة القطع
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
108
أمثلة أضافة محلولة
وطذذول المحذذور ادات ـــذذـوالبإرتذذان علذذى محذذور الصل ــــذذـجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص/ مثذذال
𝟏𝟔الحمم له والنسبة بن المسافة بن بإرته وطول محور الحمم 𝟓
𝟒
الحل/
𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂𝟐 𝟔𝟒
𝟐
𝟐 𝟓
𝟒
𝒄
𝟖 𝟓
𝟒 𝐜 𝟏𝟎 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐
𝟔𝟒 𝟐
𝟑𝟔 معادلة القطع الزائد 𝟏
𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرته بإرة المطع المكافئ / مثال وطول محور المرافك 𝟐𝟎
ساوي البعد بن بإرت المطع النالص 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔 𝟏
:من المطع المكافئ الحل/
𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟎 𝟐 𝟒
𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ( البؤرة
: نالصمن المطع ال
𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟕 𝟐 √𝟕 البعد البؤري 𝟕√𝟐 𝟐
: زائدالمطع ال من
𝟐 طول المحور المرافق 𝟕√𝟐 √𝟕 𝟐 𝟕
⇐ بإرتا المطع الزائد 𝟎( 𝟓 𝟎) ( المانون 𝟓 ( 𝟓 ⇐𝒚𝟐
𝒂
𝟐
𝒙
𝟐 𝟏
𝟐
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟕 𝟐 𝟏𝟖 𝟐
𝟏𝟖 𝟐
𝟕لزائدا 𝟏 معادلة القطع
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
109
(𝟔 𝟑) (𝟐√𝟑 𝟎)جد معادلة المطع الزائد الذي مر بالنمطتن / مثال
الحل/
لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولمذذذذذذذذة (𝟐√𝟑 𝟎)مذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ∵
والمانون هو (𝟐√𝟑 )𝒚𝟐
𝒂
𝟐
𝒙
𝟐 𝟏
𝟐
تنتم للمطع الزائد لذا فه تحمك معادلته النقطة (𝟔 𝟑)
( 𝟔)𝟐
𝟑√𝟐( )
𝟐
(𝟑)
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟑𝟔
𝟏𝟖
𝟗 𝟐
𝟐 𝟏
𝟗 𝟐
𝟏 𝟗
𝟐 𝟗
𝒚𝟐
𝟏𝟖
𝒙𝟗لةمعاد القطع الزائد) 𝟏 )
𝟐
ا المطذذع النذذالص ـــــــــذذـبإرتذذا رأسجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي /مثذذال 𝒙
𝟏𝟎𝟎
𝟐 𝒚
𝟔𝟒ور ــــذذـوطذذول مح 𝟏
𝟐
وحدة (𝟏𝟐)الحمم
: نالصمن المطع ال /الحل
𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 راسا القطع الناقص (𝟎 𝟏𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 )
: زائدالمطع ال من
⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟏𝟎 ( ) ( ) ⇐𝒙𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔
𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟐
𝟔𝟒ئدالزا 𝟏 معادلة القطع
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
110
ل محذذور تنتمذذ لمحذذور الصذذادات وطذذوجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل و بإرتذذا : 1س
𝟐 )البعذد بذن بذإرة المطذع المكذافئ المرافك سذاوي ودللذه وطذول محذور الحممذ ثالثذة امثذال طذول ( 𝟏𝟐
محور المرافك
الذذذذي جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 2س
𝟗𝒚)معادلته 𝟏𝟔𝟐 𝒙 ( وحدة طول (𝟏𝟔)ومجموع طول المطع النالص 𝟏𝟒𝟒𝟐
لطعذذذان مخروطذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا مذذذر ببذذذإرة االخذذذر . فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة : 3س
𝟐 )احدهما 𝟐 فجد معادلة االخر (𝟑
وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور (𝟏 𝟑)( 𝟏 𝟑)الذذذذذذذذذي مذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتن جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص : 4س
وحدة (𝟐𝟓)الكبر ساوي
الذي معادلته بإرة المطع النالص و أحدى بإرتا هجد معادلة المطع الزائد الذي مركز ف نمطة االصل : 5س
𝒙
𝟑𝟔
𝟐 𝒚
𝟐𝟎𝟐 وأحد رأسه ه بإرة المطع المكافئ 𝟏 𝟖 𝟎
𝟐
الذذذذي جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذ بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 6س
𝟖𝒚)معادلته 𝟐 𝒙 𝟐 )ومس دلل المطع المكافئ 𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟔 𝟎) )
𝒚)لذذذذذذذذتكن : 7س 𝟐 𝒙 لص معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذا 𝟑𝟐 )
فجد لمة (𝟔√ 𝟎)والذي احد بإرته (𝟐 𝟏 )الذي مر بالنمطة
𝟓𝒚)لذذذذذتكن: 8س 𝟒𝟐 𝒙 الذذذذذذي معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتذذذذذه هذذذذذ بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ 𝟐 )
𝟐 𝟓√ 𝟒)معادلته فجد لمة (𝟎
) لذذذذذذذتكن: 9س 𝒙 𝟐 𝑵𝒚 معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتذذذذذذذه هذذذذذذذ بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟗𝟎𝟐 )
𝟐 𝟗)الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه 𝟏𝟔𝒚 𝟐√𝟔 وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحممذذذذذذذذذذذ (𝟓𝟕𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لمذذذذذذذذذذذة 𝟐
𝟓𝒚)لذذذذذذذذتكن : 10س 𝟒𝟐 𝒙 معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟐 )
𝟐 𝟓 𝟒)الذي معادلته المكافئ فجد لمة (𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
111
حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الثان
3د / 2014وزاري ل ولطع زائد نمطة تماطع محوره نمطة األصذل أحذدهما مذر ببذإرة األخذر ـــــــلطع نالص مركز نمطة األص / 3س
𝟐 𝟗فؤذا كانت 𝟐𝟓 𝟐 :معادلة المطع النالص فجد 𝟐𝟐𝟓 مساحة المطع النالص . )ب( محط المطع النالص .)أ(
)ج( معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . )د( األختالف المركزي لكل منهما . )أ( /الحل
𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 225)
𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟏
𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑
𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓 𝝅 وحدة مربعة
)ب(
المحط 𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐𝝅√
𝟐𝟓 𝟗
𝟐 𝟐 𝝅√
𝟑𝟒
𝟐 وحدة 𝟏𝟕√ 𝟐
من المطع النالص :)ج(
𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑
𝟐 𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝐜 𝟒
البؤرتان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)
: من المطع الزائد
المطع الزائد مر ببإرة المطع النالص
البؤرتان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓) الرأسان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒)
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
112
𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟗
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗معادنت انقطع انزائد 𝟏
)د(
𝟒
𝟓 األختالف المركزي للقطع الناقص 𝟏
𝟓
𝟒 األختالف المركزي للقطع الزائد 𝟏
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
113
3د / 2015وزاري 2د / 2011وزاري
احة ـــذذـنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـــذذـبإرتذذا تنتمذان لمحذذور الس الذذذينذذالص المطذذع ة الجذد معـــــذذـادل / 4س
.وحدة 𝟏𝟎وحدة مربعة ومحطه ساوي 𝟕منطمته
/الحل
𝒂𝒃 𝟕 𝝅 𝒃 𝟕
𝒂 ( معادلة ① )
𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅√
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐 ) 𝟓 √
𝟐 𝟐
𝟐 ( معادلة ② )
نحصل على : ②ف المعادلة ①بتعوض المعادلة
𝟓√
𝟐
𝟕 𝟐
𝟐
𝒂 𝟓
√ 𝟐
𝟒𝟗𝒂𝟐
𝟐( تربيع الطرفين )
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟗𝒂𝟐
𝟐 𝟓𝟎 𝟐
𝟒𝟗
𝒂𝟐
( نضرب طرف المعادلة ب 𝟐 ) 𝟓𝟎 𝟐 𝟒 𝟒𝟗
𝟒 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒𝟗)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟒𝟗
𝟐 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟕 𝟒𝟗
𝒃 𝟕
𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝟕
𝟕
𝟐
𝟒𝟗
𝟐
𝟏معادنت انقطع انىاقص 𝟏
𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟏 𝟏
𝒃 𝟕
𝒂 𝟕 همل 𝟕
𝟏
.ف المطع النالص ( )ر من لمة كبأجب أن تكون ( )ألن لمة
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
114
حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الثان
1/د98سإال وزاري
𝟐 لطع زائد معادلته 𝟐 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرت المطذع 𝟐√𝟔وطول محور الحمم 𝟗𝟎
𝟐 𝟗النالص الذي معادلته 𝟏𝟔 𝟐 .k ,hجد لمة 𝟓𝟕𝟔
الحل:
: الناقصف القطع
[9 2 6 2 576] 576
2
2
2 64 2 36
2 2 2 64 36 2
2 28 2√7
( 7√2 ) ( 7√2) البؤرتان
( 7√2 ) ( 7√2) الزائد : البؤرتان ف القطع
c 2√7 2 6√2 3√2
2 2 2 8 2 28 2
ℎ 2 2 9 ] 9 2
9 ℎ
2
9
2
8
8ℎ 9 ℎ 5
2
9 9
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
115
2/د99سإال وزاري
)النمطة 𝟏
𝟑تنتم إلى المطع المكافئ الذي رأسه ف نمطة األصل وبإرته تنتم إلى محور السنات والت هذ (𝟐
النسبة بن طول محوره , احدى بإرت المطع النالص𝟓
𝟒 جد معادلة كل من المطعن المكافئ والنالص. ,
الحل:
2 : المكافئ 4 (2)2 4 (
) 4
البؤرة ( 3) 3
2 4(3) 2 2
3 ⇐ الناقص البؤرتان هما ( 3 ) ( 3)
2
2 5
4 4 5
5
4
2 2 2 25 2
6 2 9 ] ( 6)
25 2 6 2 44 9 2 44
2 6 4
5( )
5
معادلة القطع الناقص 2
25
2
2/د2000سإال وزاري
𝟐 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرت المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟑 𝟐 والنسذبة بذن 𝟏𝟐
طول محورة 𝟓
𝟑
الحل:
2 الزائد: ف المطع 3 2 2( 2)
2
2
2
2 2 2 4
2 2 2 2 2 4 2 6 4
( 4) ( 4 ) البؤرتان
4 ⇐ البؤرتان ( 4) ( 4 )الناقص: ف القطع
2
2
5
3 5
5
( )
2 2 2 25 2
2 6 25 2 9 2 44
6 2 44 2 9 3 5( )
5
قصمعادلة القطع النا 2
25
2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
116
1/د2001سإال وزاري
𝟐 𝟑جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرت المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟎
النسبة بن طول محور الحمم والبعد بن بإرته تساوي و𝟏
𝟐
الحل:
2 3 النالص: ف المطع 5 2 2 ( 2 )
2
2
2 2 4 2 24
2 2 2 2 4 24 2 6 4
( 4) ( 4 ) البؤرتان
4 ⇐ ( 4) ( 4 )الزائد: البؤرتان ف القطع
2
2
2
4
2 2 4 2
2 2 2 4 2 6 2 2
2
2
2 معادلة القطع الزائد
2/د2001سإال وزاري
𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذن المكذافئن: 𝟐𝟎 𝟐 والفذرق بذن 𝟐𝟎
وحدة. 2طول محوره الحمم والمرافك =
الحل:
2 المكافئ:ف المطع 2 2 2
4 2 5 4 2 5
البؤرة ( 5 ) البؤرة ( 5)
5 ⇐( 5,0-( , )5,0البؤرتان ) :ف المطع الزائد
2 2 2 ( 2)
2 2 2 ( )2 2 25 2 2 2 25
2 2 2 24 ( 2) 2 2
( 4)( 3)
4 همل 4
3 3
3 4
2
6
2
9
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
117
1/د2002سإال وزاري
( 8جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذنات والمسذافة بذن بإرتذه تسذاو )
وحدة. 16وحدات ومجموع طول محوره
4 8 2 الحل:
2 2 6 8 8
2 2 2 (8 )2 2 6 64 6 2 2 6
6 48 3 8 3 5
2
25
2
معادلة القطع الناقص
2/د2002سإال وزاري
𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟗 𝟐 والنسذبة بذن طذول محذور الحممذ 𝟑𝟔
إلى البعد بن بإرته = 𝟏
𝟐
الحل:
النالص ف المطع 2
2
2 36 6
الرأسان ( 6) ( 6 )
البؤرتان ( 6) ( 6 ) c ⇐ ف القطع الزائد 6
2
2
2
2 2 6 3
2 2 2 9 2 36 2 27
2
2
2 معادلة القطع الزائد
1/د2003سإال وزاري
𝟐 لطع نالص معادلته 𝟒 𝟐 جد طول كل من محوره وأحداث كل من بإرته ورأسه. 𝟒
الحل:
2 4 2 4( )
2
2
2 4 2
2
2 2(2) طول المحور الكبر 4
2 2( ) طول المحور الصغر 2
الرأسان ( 2) ( 2 )
2 2 2 4 2
2 3 √3
البؤرتان ( 3√) ( 3√ )
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
118
1/ د2004سإال وزاري
( 5,0-( واحد بإرته )3,0معادلة المطع المخروط الذي محورا محوري االحداثات والذي احد رإوسه )جد
الحل:
3 5
2 2 2 9 2 25 2 ( ألن ) القطع الزائد 6
2
2
معادلة القطع الزائد
2/د2004سإال وزاري
لطع زائد ولطع نالص احدهما مر ببإرت اآلخر. جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص ه 𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟗 علما أن محورهما على محوري االحداثات. 𝟏
الحل:
2 النالص: ف المطع 25 5 الرأسان ( 5) ( 5 )
2 9 2 2 2
25 9 2 2 البؤرتان ( 4) ( 4 ) 4 6
4 ⇐ لزائدا الرأسان ( 4) ( 4 ) ف القطع
5 ⇐ البؤرتان ( 5) ( 5 )
2 2 2 6 2 25 2 9
2
2
معادلة القطع الزائد
1/د2006سإال وزاري
( ثم جد معادلة دلله.3,6( , )3,6-جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )
الحل:
القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات
2 4 (3)2 4 (6) 9 24
2 4 (
) 2
2 معادلة القطع المكافئ
معادلة الدلل
2/ د2006سإال وزاري
( ثم جد معادلة دللة.1,3( , )3-,1جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )
الحل:
القطع من النوع السن وفتحة القطع إلى المن. القطع متناظر حول محور السنات
2 4
(3)2 4 ( ) 9 4
2 4 9
4 2 معادلة القطع المكافئ 9
معادلة الدلل
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
119
1/د2007سإال وزاري
المطذذع الزائذذد ( وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا8جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذن بإرتذذه ) 𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗 𝟏 .
الحل:
الزائدف المطع 2
2
2 6 2 9
2 2 2 6 9 2 2 25 5
البؤرتان ( 5) ( 5 )
4 ⇐ ف القطع الناقص 8 2
5 ⇐ الرأسان هما ( 5) ( 5 )
2 2 2 25 2 6 2 25 6 2 9
2
25
2
معادلة القطع الناقص
1/د2007سإال وزاري
𝟐 لتكن 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرته بإرة المطع المكافئ 𝟑 .hجد لمة 𝟖
الحل:
8 4 المكافئ:ف المطع البؤرة ( 2) 2
c 2 ⇐ البؤرتان ( 2) ( 2 ) ف القطع الزائد
2 ℎ 2 3
2
3 2
3ℎ
2 3 2 3
ℎ
2 2 2 3
4
ℎ 3
2/د2007سإال وزاري
جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟐
𝟒𝟏
𝟐
𝟏𝟔 ( وحدات.8وطول محور المرافك ) 𝟏
الحل:
2 النالص: ف المطع 4 2 6 2 2 2 2 4 6
2 25 5
البؤرتان ( 5) ( 5 )
5 ⇐ ف القطع الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )
2 8 4 2 2 2 2 6 25
2 9
2
2
معادلة القطع الزائد
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
120
1/د2008سإال وزاري
𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎
وحدات. 8 المرافك =
2 الحل: المكافئ: 2 2 2
4 2 5 4 2 5
البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )
5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )
2 8 4
2 2 2 2 6 25 2 9
2
2
معادلة القطع الزائد
1/د 2008سإال وزاري
𝟐 𝟒لطع نالص معادلته 𝟐 𝟐 .Lوحدة. جد لمة 𝟑√𝟐والبعد بن بإرته =
3√2 2 الحل: √3
4 2 2 2 ] 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2
4 3
4 3 2
1/د2009سإال وزاري
𝟐 𝟗جد معادلة المطع النالص الذي مر ببإرت المطع الزائد 𝟏𝟔 𝟐 ومطع من محور السنات جزءا 𝟏𝟒𝟒
( وحدة.12طوله )
الحل:
2 9 الزائد: ف المطع 6 2 44 ( )
2
2
2 6 2 9
2 2 2 6 9 2 2 25 5
البؤرتان (5 ) (5 )
6 2 2 5 النالص:ف المطع
2
2
25 معادلة القطع الناقص
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
121
1/د2010سإال وزاري
جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورن االحداثن ومر ببذإرة المطذع المكذافئ
𝟐 وحدة مربعة. 𝟐𝟎ومساحة منطمة المطع النالص 𝟏𝟔
الحل:
2 المكافئ:ف المطع 6 4 6 4
البؤرة ( 4)
2 2 : النالصف المطع 2
( )
ما تمثل رأس أو لطبأ( 4,0النمطة ) ( 4,0المطع النالص مر بالنمطة )
4 2
اوهذ غر ممكن 5
b 4 4 2
4 2 5
والمطع من النوع الصادي
2
25
2
معادلة القطع الناقص
2/د2010سإال وزاري
𝟐 𝟑 𝟐 مع محور الصادات علما أن مساحة 𝟑√ 𝟐لطع نالص مر بنمطة تماطع المستمم
حث بإرتذا تنتمذان لمحذور السذنات ومركذز نمطذة وحدة مساحة. جد لمة 𝟑√𝟐منطمته تساوي
االصل.
3√ 2الحل: المستمم:
y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ عندما
نقطة التقاطع (3√ )
𝟑√ ⇐بما أن المطع من النوع السن النالص: ف المطع
ℎ 2 3 2 2
2
2
2
2
2
( ألن القطع من النوع السن)
2√3 2√
2√
√ 2
4
2 3
2
3ℎ 2 ℎ 4
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
122
1/ د2012وزاري
16جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السنات ومجموع طول محوره =
𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرت المطع الزائد الذي معادلته 𝟐 𝟐 𝟔
الحل:
2 المطع الزائد: ف 2 2 6
2
2
2 6 2 3
2 2 2 6 3 2 2 9 3
البؤرتان ( 3 ) ( 3)
c البؤرتان المطع النالص:ف 3 ⇐ (3 ) ( 3 )
2 2 6 2 8 8
2 2 2 (8 )2 2 9 64 6 2 2 9
6 64 9 6 55 55
8 55
2 55
2
(
)2
2
(
)2
2
2
2
2
2
2
معادلة القطع الناقص
2/د2012وزاري جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل ونطبك محورا على المحورن االحداثن ومطع من محور
وحدة مساحة. 𝟐𝟒وحدات ومساحة منمطته 8السنات جزءا طوله
24 24 الحل: 2
وحدات فؤن هذا الجزء أما مثل طذول المحذور الكبذر ( 8)بما أن المطع النالص مطع من محور السنات جزا طوله الكبر فكون:أو طول المحور الصغر. فؤذا كان هذا الجزء مثل طول المحور
2 8 4 2
6
دائما ف المطع النالص. لذا فؤن الجزء الممطوع مثل طول المحور الصغر: وهذا غر ممكن ألن
2 8 4 6
والمطع من النوع الصادي:
2
2
معادلة القطع الناقص
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
123
1/د2013وزاري
, جد معادلته. 2واختالفه المركزي = (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒)𝟏 لطع مخروط بإرتا
الحل:
4 ⇐ ⇐ القطع زائد الن 2
2
2 4 2
2 2 2 4 2 6 2 6 4 2 2
2
2
2 معادلة القطع الزائد
2/د2015وزاري
– 𝟐 𝟓لتكن 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓√ 𝟒لطذع زائذد أحذدى بإرتــذـه هذ بذإرة المطذع المكذافئ معادلة 𝟎
. جد لمة
الحل:
ف المطع المكافئ :
𝟒 √𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐 𝟒
√𝟓
𝟐 𝟒 𝟒 𝟒
√𝟓
𝟏
√𝟓 𝟎
𝟏
√𝟓 البؤرة
𝟎) البإرتانف المطع الزائد : 𝟏
√𝟓 ) (𝟎
𝟏
√𝟓 ) ⇐ c =
𝟏
√𝟓
𝟓 𝟐 – 𝟒 𝟐 ( )
𝟐
𝟓
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐
𝟓 𝟐
𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 [𝟏
𝟓
𝟓
𝟒 ]
(×𝟐𝟎) 𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒
𝟗
𝟒
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
124
2/د2015وزاري
وحذذذذذدة مسذذذذذاحة 𝟑𝟐جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات , مسذذذذذاحته
والنسبة بن طول محوره 𝟏
𝟐
الحل:
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟏𝟔 معادلة المطع النالص 𝟏
3/د2015سإال وزاري
𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎
وحدات. 8 المرافك =
2 الحل: المكافئ: 2 2 2
4 2 5 4 2 5
البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )
5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )
2 8 4
2 2 2 2 6 25 2 9
2
2
معادلة القطع الزائد
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
125
1/د2016سإال وزاري
جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوا لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن
𝟐 دلله 𝟐 𝟖𝟎, أذا علمت أن مساحة المطع النالص 𝟎 𝟐𝟒
الحل:
ف المطع المكافئ :
𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 ( بالمقارنة مع) 𝟐𝟒 𝟒
𝟐𝟒 𝟒 ( 𝟒) (البعد بن بؤرة القطع المكافئ ودله) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔
ف المطع النالص :
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 (𝟏)
𝟖𝟎 𝟖𝟎
(𝟐)
فنتج : (𝟏)ف المعدلة (𝟐)نعوض المعادلة
𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟐 𝟑𝟔
(× 𝟐) 𝟒 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎
( 𝟐 𝟏𝟎𝟎)( 𝟐 𝟔𝟒) 𝟎
𝟐 أما 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒
𝟐 أو همل 𝟔𝟒
هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتن غر محدد وهما : ∴
𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟔𝟒 𝟏
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟏
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد
126
1/د2016سإال وزاري
أذا كذذذان كذذذل مذذذر ببذذذإرت األخذذذر وكالهمذذذا معذذذان علذذذى محذذذور السذذذنات جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص
وحدة طول . 𝟔وحدة طول وطول المحور الحمم ساوي 𝟐√𝟔 وطول المحور الكبر ساوي
الحل:
كل من المطعن مر ببإرة األخر
د ئرأسا المطع النالص مثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزا ∴
: المطع الزائدف : المطع النالصف
𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖
𝟐 𝟗
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗
𝟐
𝟏𝟖 𝟐
𝟗 معادلة القطع الناقص 𝟏
𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟗
𝟐 𝟏𝟖
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗
𝟐
𝟗 𝟐
𝟗 معادلة القطع الزائد 𝟏
Recommended