View
4.800
Download
9
Category
Preview:
Citation preview
ELEKTROMAGTIKA II
Simon Patabang, ST. MT.
Materi Kuliah
1. Analisa Vektor
2. Bilangan Kompleks
3. Sistem Koordinat
4. Turunan Berarah (Gradien) Dan Divergensi
5. Curl (Rotasi) Dan Makna Fisisnya5. Curl (Rotasi) Dan Makna Fisisnya
6. Gaya Coulomb Dan Intensitas Medan Listrik
7. Fluks Listrik Dan Hukum Gauss
8. Energi Dan Potensial
9. Medan Magnet Tunak (Steady)
10.Persamaan Poisson Dan Laplace
Referensi
1. Boas, Mary L. Mathematical Methads in The Physical Sciences. 1983, Jhon Wiley & Sons. Inc
2. Edminister, Josep A. Theory And Problems Of Electromagnetics (Schaum Series). 1984, Mc Graw –Hill. Inc
3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics 3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics Mainly Electromagneticsm and Matter. 1966. Addis on-Wesly Publishing Company.
4. Sadiku, Mathew N. O. Elements Of Electromagnetics. 1989, Saundres College Publishing.
5. Spiegel, Murray R. Theory And Problems Of VektorAnalysis (Schaum Series). 1959, Mc Graw- Hill. Inc
Aturan Penilaian
1. Tugas I = 20%
2. Tugas II = 20%
3. Tugas III = 20%
4. Tugas VI = 20%
5. Tugas V = 20% 5. Tugas V = 20%
========
100%
Syarat :
1. Absen Kuliah
2. Tidak Terlambat kumpulkan Makalah
BAB IBILANGAN KOMPLEKS
Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: z = x + iy
Notasi• Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,
5
• Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z,sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real.
• Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangankompleks, maka x disebut bagian real dan y disebutbagian imajiner dari z.
• Bagian real dan bagian imaginer dari bilangankompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) danIm(z).
Jika z1=x1+ iy1 dan z2=x2 + iy2
• z1=z2 dikatakan sama jika dan hanya jika x1=x2 dany1=y2.
• Penjumlahan Bilangan kompleks :z1+z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)
6
1 2 1 2 2
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)• Perkalian Bilangan kompleks :
z1 • z2 = (x1 + iy1) (x2+ iy2)z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
• Himpunan semua bilangan kompleks diberinotasi ℂJadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
• Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadibilangan real x, sehingga bilangan real adalahkeadaan khusus dari bilangan kompleks,
7
bilangan real x, sehingga bilangan real adalahkeadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ .
• Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dandinamakan bilangan imajiner murni.
Sifat-sifat Bilangan Kompleks
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2dan z3 adalah sebagai berikut:
1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)3. (z +z )+z = z +(z +z ) dan (z •z ) •z = z •(z •z )
8
3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)(sifat assosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)5. Ada 0=0+i0 ∈ ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral
penjumlahan)
6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netralperkalian
7. Untuk setiap z = x + iy ∈ ℂ, ada –z = –x –iysehingga z+(–z)=0
8. Untuk setiap z=x+iy ∈ ℂ, ada z-1=sehinggaz•z-1=1.
9
Latihan :
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
10
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan
21
zz
Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangankompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikansebagai : (x,–y) = x – iy.
Contoh:
z
11
Contoh:sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawandari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalamhimpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifatberikut :
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :1.2.3. )zIm(2zz
)zRe(2zzzz
=−
=+
=
12
4. [ ] [ ]22 )zIm()zRe(zz)zIm(2zz
+=⋅
=−
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1.2.3.
4. , dengan z2≠0.
2121 zzzz +=+
2121 zzzz −=−
2121 zzzz ⋅=⋅
2
121
zz
zz
=
2121 zzzz +=+
2121 zzzz −=−
2121 zzzz ⋅=⋅
2121 zzzz +=+
2121 zzzz −=−
13
Koordinat Bilangan Kompleks
• Bilangan kompleks z = x + iy dapat digambarkansecara geometri dalam koordinat Kartesius sebagaisebuah titik (x,y).
• Sumbu x disebut sumbu Real dan sumbu y disebutsumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut disebut
14
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut disebutbidang Argand atau bidang z.
• Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleksz = x + iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z..
Im
)y,x(z•
ArganBidangz
15
ReO
Bidang Kompleks Dalam Koordinat Kartesian
Im
1z
21 zz +
16
Re2z
O
Penjumlahan Vektor Bilangan Kompleks
Im
2z
1z
17
Re
2z−21 zz −
O
Pengurangan Vektor Bilangan Kompleks
Latihan :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1,
z2, z1+ z2, z1- z2,
⋅
212121 zz,zz,z,z −+
18
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x + iy = (x,y) bilangan kompleks, makamodulus dari z, ditulis |z| = |x+iy| = 22 yx +
19
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarakdari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara duabilangan kompleks z1 = x1+ iy1 dan z2 = x2 + iy2 adalah
221
221 )yy()xx( −+−
Selanjutnya apabila z1 = x1+ iy1 dan r real positif,
maka |z – z1| = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan |z – z1| < r dan |z – z1| > r
Gambarkanlah pada bidang z.
20
Teorema 2 :A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.2.
3.
( ) ( )
zzz
zz)zIm()zRe(z
2
222
=
+=
21
3.4.5. )zIm()zIm(z
)zRe()zRe(zzzz 2
≥≥
≥≥
⋅=
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :1.
2.
3.4.5.
2121
2121
2121
2
121
2121
zzzzzzzzzzzz
zz
zz
zzzz
−≥−
−≥−
+≤+
=
⋅=⋅
22
Latihan :
Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z =x + iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan jugateorema B !
2121 zzzz −≥−
1. Bukti: 2121 zzzz ⋅=⋅
)iyx()iyx(zz 221121 +⋅+=⋅
)yxyx(i)yyxx( 12212121 ++−=
212121
22
22
212121
22
21
22
21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx +++−+=
21221
22121 )yxyx()yyxx( ++−=
23
2121122121212121 yyxx2yxyxyyxx2yyxx +++−+=
)yx()yx( 22
22
21
21 +⋅+=
)yx()yx( 22
22
21
21 +⋅+=
21 zz ⋅=
2121 zzzz ⋅=⋅∴
2. Bukti:
2222
2211
21
iyxiyx
iyxiyx
zz
−
−⋅
+
+=
22
22
211222
22
2121yx
yxyxiyx
yyxx+
−+
+
+=
2
22
22
21122
22
22
2121yx
yxyxyx
yyxx
+
−+
+
+=
24
2222 yxyx + +
222
22
212122
21
21
222121
22
21
22
21
)yx(yyxx2yxyxyyxx2yyxx
+
−++++=
)yx()yx()yx()yx(
22
22
22
22
22
22
21
21
+⋅+
+⋅+=
.terbuktizz
yxyx
2
122
22
21
21 =
+
+=
3. Bukti: 2121 zzzz +≤+
21221 )yxyx(0 −≤
212121
22
22
21 yyxx2yxyx0 −+≤
21
22
22
212121 yxyxyyxx2 +≤
21
22
22
21
22
21
22
212121
22
21
22
21 yxyxyyxxyyxx2yyxx +++≤++
)yx)(yx()yyxx( 22
22
21
21
22121 ++≤+
)yx)(yx(2)yyxx(2 22
22
21
212121 ++≤+
25
)yx)(yx(2)yyxx(2 22112121 ++≤+
≤+++++ 2221
21
2221
21 yyy2yxxx2x
22
22
22
22
21
21
21
21 yx)yx)(yx(2yx ++++++
( )222
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx( +++≤+++
22
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx( +++≤+++
terbuktizzzz 2121 +≤+
4. Bukti: 2121 zzzz −≥−
2121
221
2211
zzzzzzzz
zzzzzzz
−≤−
+−≤
+−=
26
2121 zzzz −≥−∴
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari BilanganKompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalambentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,θ).
Im ),r()y,x(z
27
Im
Re
),r()y,x(z θ==
θ
rz =
O
Adapun hubungan antara keduanya, danadalah :
x = r cosθ , y = r sinθ,sehingga θ = arc tan
θ adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
xy
)y,x( ),r( θ
28
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalahz = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ) = r cis θ.dan sekawan dari z adalah = (r, -θ) = r(cos θ - i sin θ).
zyxr 22 =+=
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ),sudut θ disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut θdengan 0 ≤θ < 2π atau -π < θ ≤ π disebut argumentutama dari z, ditulis θ = Arg z. Pembatasan untuksudut θ tersebut dipakai salah satu saja.
29
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) danz2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) dikatakan sama, jika r1 = r2,dan θ1 = θ2.
Bentuk Euler :
Penulisan Bilangan kompleks z = (x , y) = (r, θ) = r(cos θ + isin θ) = r cis θ,
Penulisan Bilangan kompleks z bentuk Euler (eksponen),yaitu :
z = reiθ, dan sekawannya adalah re-iθ.
30
z = reiθ, dan sekawannya adalah re-iθ.
Latihan :
Buktikan bahwa eiθ = cos θ + i sin θ, dengan menggunakanderet MacLaurin untuk cos θ , sin θ dan et denganmengganti t = iθ.
Contoh :Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentukpolar dan eksponen !
31
Jawab :z = 1 + i, r = , tan θ = 1, sehingga θ = 45⁰= πJadi z = (cos π + i sin π) = cis π = 2 4
141 2 4
1 2 i4eπ
2 41
Perkalian dan Pemangkatan
Bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalahz = r(cos θ + i sin θ).Jika z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) & z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2),maka hasil perkaliannya sebagai berikut :
32
maka hasil perkaliannya sebagai berikut :
z1 z2 = [r1(cos θ1 + i sin θ1)][r2(cos θ2 + i sin θ2)]z1 z2 = r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 - sinθ1sin θ2) +
i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1sin θ2)]z1 z2 = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2)]
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg(z1 z2) = θ1 + θ2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn danz z z z … z = zn ?
33
z z z z … z = zn ?
Jika diketahui:z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1)z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)
zn = rn(cos θn + i sin θn), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumusperkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (θ1 + θ2+…+θn) + isin (θ1 + θ2+…+θn)] .
M
34
sin (θ1 + θ2+…+θn)] .
Akibatnya jika, z = r(cos θ + i sin θ) maka
zn = rn (cos nθ + i sin nθ). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, n asli.
Pembagian:Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos θ2 - i sin θ2), maka
)sini(cosr)sini(cosr
zz
222111
21
θ+θ
θ+θ=
35
sekawan penyebut, yaitu r2(cos θ2 - i sin θ2), maka
diperoleh : [cos (θ1 - θ2 ) + i sin (θ1 - θ2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg θ1-θ2 = arg z1 – arg z2.
21
21
rr
zz
=
=21
zz
Akibat lain jika z = r(cos θ + i sin θ),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
( )
( )θ+θ=
θ−+θ−=
nsinincosr1
z1
)sin(i)cos(r1
z1
nn
36
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2( ))nsin(i)ncos(
r1
z1
nn θ−+θ−=
Dari 1 dan 2 diperoleh:
, Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
)nsin(i)ncos(rz nn θ+θ=
37
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
Contoh:Hitunglah :
Jawab :Misalkan maka
1tan
213zr,i3z
−
=+==
−=
( ) 6i3 −−
38
karena z di kuadran IV, maka dipilihjadi
31tan −
=θ
( )( ) ( )
6
6
oo66
oo
2)01(2
180sini180cos2i3
30sini30cos2i3
−
−
−−
−=
+−=
−+−=−
−+−=−
o30−=θ
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = ρ(cosφ +i sinφ) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cosθ+i sinθ), maka dari zn = w
n1
wz =
39
diperoleh: ρn(cosnφ +i sinnφ) = r(cosθ+i sinθ),
sehingga ρn = r dan nφ= θ+2kπ , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi . . .
n1
r=ρ nk2 π+θ
=φ
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cosθ+i sinθ) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda
n1
r nk2 π+θ
nk2 π+θ
40
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbedayang memenuhi persamaan itu.Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);0 ≤ < 2π, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,znsebagai akar ke-n dari z.
nk2 π+θ
Contoh :Hitunglah (-81)1/4
Jawab :Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaianpersamaan z4 = -81.Tulis z = ρ(cosφ +i sinφ) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
41
Tulis z = (cos +i sin ) dan –81 = 81(cos180 +i sin180 ),sehingga ρ4(cos4φ +i sin4φ) = 81(cos1800+i sin1800),diperoleh ρ4 = 81, atau ρ = 3 dan .Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]Keempat akar yang dicari dapat diperoleh denganmensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
4k2 π+π
=φ
4k2 π+π
4k2 π+π
TUGAS 1 :
• No. Ganjil Untuk Absen No Ganjil
• No. Genap Untuk Absen No. Genap
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkanz = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.Tentukan z + z , z - z , z z , dan z / z
42
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z23. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z dan b. 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
zz −=
1z2z 2z
7.Gambarkan pada diagram argand dansebutkan nama kurva yang terjadi :a. |z – 5| = 6 dan |z – 5| > 6b. |z + i| = |z – i|c. 1 < |z – i| < 3
43
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalambentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
Sekian
Recommended