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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino de la Piedad, 8 -‐ C.P. 40002 -‐ Segovia -‐ Tlfns. 921 43 67 61 -‐ Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org
HOJA 10 (A) – TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL TIPO 54 LIBRO PÁGINA 268: ejercicios 38 y 40. 10.(A).1. Compara las dos expresiones siguientes: “El tiempo medido desde un observador en movimiento se
dilata”, “Los relojes en un cuerpo en movimiento se atrasan”. 10.(A).2. La Tierra gira alrededor del Sol, una estrella perteneciente a la galaxia Vía Láctea. Nuestro Sistema Solar
se encuentra lejos del centro de la galaxia, a unos 30000 años luz de distancia. Imagina que una nave espacial que viaja a una velocidad que es el 80% de la velocidad de la luz decide ir desde la Tierra hasta el centro de la galaxia. a) ¿Cuánto tiempo tardaría desde el punto de vista de alguien que se ha quedado en la Tierra? b) ¿Cuánto tiempo tardaría desde el punto de vista de la nave? Sol: a) 𝐭 = 𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎 𝐚ñ𝐨𝐬; b) 𝐭𝟎 = 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎 𝐚ñ𝐨𝐬
10.(A).3. En un laboratorio se han ajustado dos relojes idénticos para que suene un “tic” cada segundo. Uno de los
relojes se mueve con una velocidad 0,6c y el otro se encuentra estacionario. ¿Cuál es el tiempo que transcurre entre dos “tic” del reloj móvil cuando el intervalo es medido por el reloj estacionario? Sol: ∆𝒕 = 𝟏!𝟐𝟓 𝒔
10.(A).4. Un satélite se encuentra situado en una órbita geoestacionaria a una altura de 36 000 km sobre la
superficie de la Tierra y, por tanto, da una vuelta a esta cada 24 h. a) ¿Cuánto tardará el reloj del satélite en retrasarse 1 s respecto de los relojes terrestres? b) Indica alguna situación en la que es necesario tener en cuenta este tipo de retrasos. Pista: ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡′ Sol: 𝟔𝟎𝟐 𝒂ñ𝒐𝒔
10.(A).5. Una nave espacial abandona la Tierra a la velocidad de 0,98c. Determina el tiempo que necesita el minutero de un reloj de la nave en efectuar una revolución completa si la medición la realiza un observador situado en la Tierra Sol: 𝟑𝟎𝟏!𝟓 𝒔
10.(A).6. Dos hermanos gemelos tienen 20 años. A sale con un cohete hacia una estrella a una velocidad constante
de 𝑣 = !!𝑐 y el hermano B se queda en la Tierra. Cuando el hermano A llega a la estrella, su reloj indica
que el viaje a durado 30 años. ¿Cuántos años tienen en ese momento ambos hermanos? Sol: 𝑨:𝟓𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔, 𝑩:𝟖𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔.
10.(A).7. Si la vida media de los piones (partículas subatómicas) en reposo es de 2!6 · 10!! 𝑠. ¿A qué velocidad
deben viajar los piones para que su vida media, medida en el laboratorio, sea de 4!2 · 10!! 𝑠? Sol: 𝒗 ≈ 𝟎!𝟕𝟗𝒄
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10.(A).8. Dos gemelos tienen 20 años. Uno va y vuelve a una estrella situada a 𝟐!𝟒 · 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒌𝒎, con una velocidad
de 𝟎!𝟗𝒄. Calcula el tiempo que transcurre para cada gemelo. Para el gemelo que se encuentra en la Tierra:
𝒕 =𝑒𝑣=
2 · 2!4 · 10!" 𝑚0!9 · 3 · 10! 𝑚/𝑠
= 1′7 · 10! 𝑠 ≈ 𝟒𝟗′𝟑𝟖 𝒉
Para el gemelo que viaja en la nave:
𝒕! = 𝑡 · 1 −𝑣!
𝑐!= 1!7 · 10! 𝑠 · 1 − 0′9! = 7!75 · 10! 𝑠 ≈ 𝟐𝟏!𝟓𝟑 𝒉
TIPO 55 LIBRO PÁGINA 268: ejercicio 25.
10.(A).9. Un rectángulo, cuyos lados miden en reposo 0!5 𝑚 y 0!75 𝑚, se mueve con velocidad 𝑣 = !
!𝑐,
paralelamente al lado mayor. c) ¿Cuál será su superficie para un observador en reposo? d) ¿Cuál ha de ser su velocidad para que a dicho observador en reposo le parezca un cuadrado? Sol: a) 𝑨 = 𝟎!𝟑𝟐𝟓 𝒎𝟐; b) 𝒗 ≈ 𝟎!𝟕𝟓𝒄
10.(A).10. Una lámina de forma rectangular en el sistema S’, ligado al rectángulo, tiene longitudes propias x’ = 4 m y
y’ = 2 m. El sistema S’ se mueve con respecto al sistema S con una velocidad constante 𝑣 = !!! 𝚤. Halla las
dimensiones de la lámina respecto al sistema inercial S. Sol: 𝒙 = 𝟐 𝒎, 𝒚 = 𝟐 𝒎
10.(A).11. Sobre el mapa, la distancia Madrid – Sevilla es de 470 km, que son recorridos por el AVE a una velocidad media de 300 km/h. Utilizando la corrección relativista, determina la distancia Madrid – Sevilla percibida por un pasajero de dicho tren.
10.(A).12. En el sistema S’ de referencia se encuentra una barra inmóvil de longitud L’= 5 m de longitud orientada un ángulo 𝛼′ = 37° respecto al eje X’. Encuentra su longitud L y el ángulo 𝛼 correspondiente al sistema S de
referencia. S se mueve con respecto a S’ con velocidad constante 𝑣 = !!! 𝚤.
Sol: 𝑳 = 𝟑 𝟐 𝒎, 𝜶 = 𝟒𝟓°
10.(A).13. Se determina, por métodos ópticos, la longitud de una nave espacial que pasa por las proximidades de la Tierra, resultando ser de 100 m. En contacto radiofónico los astronautas que viajan en la nave comunican que la longitud de su nave es de 120 m. ¿Qué explicación tienes para este hecho? ¿A qué velocidad viaja la nave con respecto a la Tierra? Sol: 𝒗 ≈ 𝟎!𝟓𝟓𝒄
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10.(A).14. Dos gemelos tienen 20 años. Uno va y vuelve a una estrella situada a 𝟐!𝟒 · 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒌𝒎, con una velocidad
de 𝟎!𝟗𝒄. Calcula el tiempo que transcurre para cada gemelo mediante la contracción relativista de la longitud. Para el gemelo que se encuentra en la Tierra: 𝑙 = 2!4 · 10!" 𝑚.
El gemelo que se viaja en la nave, debido a que lo hace a una velocidad próxima a la de la luz, la longitud que mide entre la Tierra y la estrella se contrae:
𝑙! = 𝑙 1 −𝑣𝑐
!→ 𝑙! = 𝑙 · 1 −
0!9 𝑐𝑐
!= 𝑙 · 0!19
𝑙! = 1!046 · 10!" 𝑚
Como suponemos que la nave describe un movimiento rectilíneo uniforme, podemos calcular el tiempo que mide el gemelo que permanece en la Tierra y el que mide el gemelo viajero:
Gemelo – Tierra:
𝒕 =𝑒𝑣=
2 · 2!4 · 10!" 𝑚0!9 · 3 · 10! 𝑚/𝑠
= 1′7 · 10! 𝑠 ≈ 𝟒𝟗′𝟑𝟖 𝒉
Gemelo – Nave:
𝒕 =𝑒𝑣=2 · 1!046 · 10!" 𝑚0!9 · 3 · 10! 𝑚/𝑠
= 7′75 · 10! 𝑠 ≈ 𝟐𝟏′𝟓𝟑 𝒉
10.(A).15. Una barra se mueve con velocidad constante v a lo largo del eje de abscisas respecto de un sistema
inercial S. Un observador situado en el sistema S encuentra que la longitud de la barra es 1% menor que su longitud propia. Calcula el módulo de v.
La longitud propia de la barra 𝐿!, es lo que mediría un observador situado en un sistema inercial 𝑆′ respecto del cual la barra se encuentre en reposo. Entre ambas medidas existe la relación:
𝐿 = 𝐿! 1 −𝑣𝑐
!
El valor de 𝐿 que mide el observador situado en 𝑆 es un 1% menor que 𝐿!:
𝐿 = 0!99 · 𝐿!
0!99 · 𝐿! = 𝐿! 1 −𝑣𝑐
! → 0′99! = 1 −
𝑣!
𝑐! →
𝑣!
𝑐!= 1 − 0′99!
𝑣! = 𝑐! · 1 − 0′99! → 𝑣 = 𝑐 · 1 − 0′99!
𝒗 = 𝟎!𝟏𝟒𝒄
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TIPO 56 LIBRO PÁGINAS 266 y 268: ejercicios 1, 34, 35 y 36.
10.(A).16. Una partícula cuya masa en reposo es 𝑚! = 15 𝑔 se mueve con una velocidad 𝑣 = !!
! respecto a un
sistema de referencia S. Halla la masa relativista respecto a dicho sistema. Sol: 𝒎 = 𝟑𝟎 𝒈
10.(A).17. Una partícula en reposo tiene una masa 𝑚! = 1 𝑘𝑔. Si la partícula se mueve con velocidad constante
𝑣 = !!! respecto a un sistema de referencia S. ¿Cuál es su energía cinética respecto al observador S?
Sol: 𝑬𝑪 = 𝟗 · 𝟏𝟎𝟏𝟔 𝑱
10.(A).18. ¿Qué trabajo es necesario realizar para aumentar la velocidad de una partícula de masa en reposo 𝑚! = 1 𝑔 desde 𝑣! = 0!6 𝑐 hasta 𝑣! = 0!8 𝑐? Sol: 𝟑𝟕𝟖 · 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝑱
10.(A).19. ¿A qué velocidad la masa de un cuerpo será el doble de la que tiene en reposo? Sol: 𝒗 ≈ 𝟎!𝟖𝟔𝟔𝒄
10.(A).20. La energía del Sol llega a la Tierra con una potencia de 1!4 𝑘𝑊/𝑚!. Considerando que la Tierra está a 1!5 · 10!! 𝑚 del Sol, calcula la cantidad de masa que pierde diariamente el Sol para poder aportar la energía que emite. 𝑀!"# = 2 · 10!" 𝑘𝑔 Sol: 𝒎 = 𝟑!𝟖 · 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝒌𝒈
10.(A).21. La energía en reposo de un electrón es 0,511 MeV. Si el electrón se mueve con una velocidad: v = 0,8c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío: a) ¿Cuál es la masa relativista del electrón para esta velocidad? b) ¿Cuál es la energía relativista total? Sol: 𝒂) 𝒎 = 𝟏!𝟓 · 𝟏𝟎!𝟑𝟎 𝒌𝒈; 𝒃) 𝑬 = 𝟎!𝟖𝟓𝟐 𝑴𝒆𝑽
10.(A).22. ¿Cuál es la energía en reposo, expresada en J y en MeV, de un neutrón? ¿Qué energía cinética poseerá cuando se mueva a 0!5𝑐? Datos: 𝑚! = 1!675 · 10!!"𝑘𝑔, 𝑐 = 3 · 10! 𝑚/𝑠 Sol: 𝑬𝟎 = 𝟗𝟒𝟏 𝑴𝒆𝑽; 𝑬𝒄 = 𝟏𝟒!𝟓𝟔𝑴𝒆𝑽
10.(A).23. Un electrón tiene una energía en reposo de 0!51𝑀𝑒𝑉. Si el electrón se mueve con una velocidad de 0!8𝑐.
Se pide determinar su masa relativista, su cantidad de movimiento y su energía total. Sol: a) 𝒎 = 𝟏!𝟓𝟏𝟑 · 𝟏𝟎!𝟑𝟎 𝒌𝒈; b) 𝒑 = 𝟑!𝟔𝟑𝟏 · 𝟏𝟎!𝟐𝟐 𝒌𝒈 ·𝒎/𝒔; c) 𝑬 = 𝟎!𝟖𝟓 𝑴𝒆𝑽
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10.(A).24. ¿Cuál debería ser la velocidad de una nave espacial con respecto a la Tierra, para que un observador
situado en la Tierra mida que su longitud es la mitad de lo que mide un observador situado en la nave espacial? ¿Cuál sería la energía cinética de la nave espacial, si su masa en reposo es de 5000 kg?
La longitud de la nave vista por el observador dentro de la misma: 𝑙′.
Longitud de la nave vista por un observador en la Tierra: 𝑙.
Nos dicen que 𝑙! = 2 · 𝑙. Aplicando la fórmula de contracción relativista de la longitud y comparándola con la relación dada entre las longitudes podemos calcular el factor de Lorentz:
𝑙! = 𝛾 · 𝑙 ⟶ 𝜸 = 𝟐
Una vez que conocemos el valor del factor de Lorentz podemos calcular la velocidad de la nave respecto a la Tierra:
𝛾 =1
1 − 𝑣!
𝑐!
⟶ 1 −𝑣!
𝑐!=1𝛾! ⟶
𝑣!
𝑐!= 1 −
1𝛾!
𝑣! = 𝑐! 1 −1𝛾!
⟶ 𝒗 = 𝒄 𝟏 −𝟏𝜸𝟐
Sustituimos los datos y calculamos v:
𝒗 = 3 · 10! 𝑚/𝑠 1 −14≈ 𝟐′𝟓𝟗𝟖 · 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔 ≈ 𝟎′𝟖𝟕 · 𝒄
Calculamos ahora la energía cinética de la nave, teniendo en cuenta los efectos relativistas sobre la masa:
𝐸! = ∆𝑚 · 𝑐! = 𝑚 −𝑚! · 𝑐! =𝑚!
1 − 𝑣!
𝑐!
−𝑚! 𝑐! =1
1 − 𝑣!
𝑐!
− 1 𝑚!𝑐!
𝐸! = 𝛾 − 1 𝑚!𝑐! = 2 − 1 · 5000 𝑘𝑔 · 3 · 10! 𝑚/𝑠 !
𝑬𝑪 = 𝟒!𝟓 · 𝟏𝟎𝟐𝟎 𝑱
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