8 iuh theory-ci

Riccardo Rigon

L’idrogramma Istantaneo UnitarioT

Tuesday, March 27, 12

E mormora e urla, sussurra, ti parla e ti schianta,evapora in nuvole cupe e di neroe cade e rimbalza e si muta in persona od in piantadiventa di terra, di vento, di sangue e pensiero.

(Francesco Guccini)

Riccardo Rigon

Obiettivi

Introduzione

Riccardo Rigon

Obiettivi

• Nella lezione si introdurrà la trattazione delle piene fluviali secondo la teoria dell’idrogramma istantaneo unitario.

• Si parla delle ipotesi di linearità ed invarianza

• Si introduce il concetto di tempo di residenza

Introduzione

Riccardo Rigon

Cos’e’ una piena ?

1990 1995 2000 2005

Introduzione

Riccardo Rigon

Cos’e’ una piena ?

1990 1995 2000 2005

Introduzione

Riccardo Rigon

Introduzione

Riccardo Rigon

La risposta idrologica in un bacino

Previsione delle precipitazioni

Calcolo del deflusso superficiale

Aggregazione del deflusso

Propagazione del deflusso

Introduzione

Riccardo Rigon

La risposta idrologica in un bacino

•Supponiamo nota la distribuzione delle precipitazioni e la loro natura

•Supponiamo risolto il problema della determinazione del deflusso efficace

Aggregazione del deflusso

Propagazione del deflusso

Introduzione

Riccardo Rigon

Durante eventi di piena

•L’evapotraspirazione si può ignorare (ciò che è rilevante è incluso

nelle condizioni iniziali)

•si può semplificare il meccanismo di produzione del deflusso

superificiale (e supporre di conoscere il coefficiente di deflusso)

•la celerità dell’onda di piena si può tenere (come prima

approssimazione) costante

•Gran parte dell’idrogramma di piena è spiegata dalla geometria e

dalla topologia del bacini (oltre che dalla variabilità spazio-temporale

delle precipitazioni)

Introduzione

Riccardo Rigon

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH

Discutiamo qui di una forma moderna della teoria dell’idrogramma istantaneo unitario

Riccardo Rigon

Portata alla sezione di chiusura

Riccardo Rigon

Idrogramma istantaneo unitario

Riccardo Rigon

Idrogramma istantaneo unitario

Precipitazione efficace

Riccardo Rigon

Pioggia efficaceJeff

Riccardo Rigon

Aggregazione dei deflussi

Onda diffusiva

Riccardo Rigon

Aggregazione dei deflussi

Onda diffusiva

Portata

Riccardo Rigon

Caratteristiche dell’idrogramma istantaneo unitario

E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la precipitazione efficace, la portata aumenta di proporzionalmente.

J�eff (�) = n Jeff (�)

IUH: linearità

Riccardo Rigon

E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la precipitazione efficace, la portata aumenta di proporzionalmente.

IUH: linearità

Riccardo Rigon

Invarianza temporale

Portata

precipitazione

Out[465]=

IUH: invarianza

Riccardo Rigon

Portata

Out[409]=

precipitazione

IUH: linearità e invarianza

Riccardo Rigon

Portata

Out[413]=

precipitazione

Riccardo Rigon

Portata

Out[414]=

precipitazione

Riccardo Rigon

Linearità e Invarianza

Portata

Out[409]= Out[413]= Out[414]=+ +

precipitazione

Riccardo Rigon

precipitazione

Portata

Out[422]=

precipitazione

Riccardo Rigon

Portata

precipitazione

Out[426]=

Riccardo Rigon

e’ la funzione impulso o “delta di Dirac”�

IUH: unitarietà

Riccardo Rigon

�(⇥)

IUH: unitarietà

Riccardo Rigon

-4 -2 0 2 4

Delta function

density

IUH: unitarietà

Riccardo Rigon

Inoltre:

IUH: unitarietà

Riccardo Rigon

Se la precipitazione è di intensità costante, p, in

un intervallo temporale di durata tp , allora

che diviene

IUH: impulso costante

Riccardo Rigon

L’integrale dell’idrogramma unitario ha una forma ad S

Ed è chiamato S-Hydrograph (qui rappresentato moltiplicato per l’area contribuente totale)

Riccardo Rigon

Out[395]=

Out[396]=

IUH(t)

L’integrale dell’idrogramma ha una forma ad S

Riccardo Rigon

Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza

Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - IUH -> GIUH

IUH: tempi di residenza

Riccardo Rigon

Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980

Riccardo Rigon

v(t) =�

vkIk(t)

Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza

Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980

Riccardo Rigon

v(t) =�

vkIk(t)

Il volume v(t) rappresenta inoltre un rapporto tra casi favorevoli (volumi

presenti all'interno del bacino) e casi totali (il numero totale di eventi

possibili), cioè il numero totale di volumi , ed è pertanto, nel limite di un

numero di volumi infinito la probabilità che i volumi siano interni al bacino.

Piu’ precisamente, v(t) è numericamente uguale alla probabilità, P[T >t], che il

tempo di residenza dell'acqua all'interno del bacino sia superiore al tempo

corrente, t.

Riccardo Rigon

Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Riccardo Rigon

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

La variazione di volume d’acqua nel tempo eguaglia la probabilità di superamento del tempo di residenza

Riccardo Rigon

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Riccardo Rigon

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Variazione di volume (nel tempo) all’interno del bacino

Riccardo Rigon

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Variazione di volume (nel tempo) all’interno del bacino

Ciò che entra - ciò che esce

Riccardo Rigon

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Riccardo Rigon

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Precipitazione efficace istantanea ed unitaria

Riccardo Rigon

dP [T > t]dt

= �(t)� IUH (t)

Precipitazione efficace istantanea ed unitaria

Portata in uscita corrispondentead una precipitazione in entrata

istantanea ed unitaria

Riccardo Rigon

Integrando risulta allora

P [T > t] =� t

0�(t)dt�

0IUH (t)dt

Ovvero

P [T < t] =� t

0IUH (t)dt

dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne spiega compiutamente la forma).

Riccardo Rigon

P [T > t] =� t

0�(t)dt�

0IUH (t)dt

Ovvero

P [T < t] =� t

0IUH (t)dt

Riccardo Rigon

P [T > t] =� t

0�(t)dt�

0IUH (t)dt

Ovvero

P [T < t] =� t

0IUH (t)dt

Questo vale 1 per definizione

Riccardo Rigon

Derivando ambo i membri dell’equazione risulta allora

pdf(t) = IUH(t)

che è quanto volevamo dimostrare

Riccardo Rigon

Il problema successivo è quello di capire che cosa è la distribuzione di probabilità

e come si può determinare nei casi di interesse

Riccardo Rigon

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - Osservazioni

IUH(t) =1�

e�t/�

dove λ e’ un parametro NON determinato apriori ma a posteriori, dopo una operazione di “calibrazione”

I - Assumendo per vera la teoria che si è sviluppata, tutto passa per la determinazione di una densità di probabilità. In genere, considerazioni di natura dinamica portano ad identificare non una distribuzione, ma una famiglia di distribuzioni, per esempio:

Esempi

Riccardo Rigon

• Se x1=0 e x2=tc allora, la probabilità (lo S-Hydrograph) è :

Distribuzione Uniforme

P [T < t; tc] =� t

tc0 < t < tc

1 t � tc

• tc è detto tempo di corrivazione e il modello idrologico che ne risulta è il modello “cinematico”.

Esempi

Riccardo Rigon

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Tempo di residenza [h]

P[T<t;uniforme(0,1)]

tempo di corrivazione

Esempi

Riccardo Rigon

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

P[T<t;uniforme(0,1)]

Esempi

Riccardo Rigon

Idrogramma “cinematico”

0 1 2 3 4

Time [h]

unit A

itation

durata della precipitazione

I volumi di precipitazione

efficace crescono con

la durata con un

andamento in

accordo alle curve di

possibilità

pluviometrica

Osservazioni:

Esempi

Riccardo Rigon

Idrogramma “cinematico”

Osservazioni:

0 1 2 3 4

Time [h]

unit A

itation

• Per durate di precipitazione inferiori al tempo di corrivazione la portata sale linearmente e h a u n p i c c o p e r a l l a f i n e d e l l a precipitazione. La portata di picco perdura sino al tempo di corrivazione e poi decresce

• Per durate di precipitazioni superiori al tempo di corrivazione la portata di picco si r a g g i u n g e c o m u n q u e a l t e m p o d i corrivazione e perdura sino al termine della precipitazione per poi descrescere.

Esempi

Riccardo Rigon

Distribuzione Esponenziale

�dove è il tempo medio di residenza

pdf(t;�) =1�

e�t/� H(t)

Esempi

Riccardo Rigon

e il modello che ne risulta è quello noto come modello dell’invaso lineare.

P [T < t;�] = (1� e�t/�)

Esempi

Riccardo Rigon

0 1 2 3 4

P[T<t;exp(1)]

Esempi

Riccardo Rigon

0 1 2 3 4

babili

sponezia

Esempi

Riccardo Rigon

Idrogramma “dell’invaso lineare”

0 1 2 3 4

Time [h]

unit A

itation

I volumi di precipitazione

efficace crescono con

la durata

Osservazioni:

Esempi

Riccardo Rigon

Idrogramma “dell’invaso lineare”

0 1 2 3 4

Time [h]

unit A

itation

I volumi di precipitazione,

com e la durata, sono

costanti.

Osservazioni:

Esempi

Grazie per l’Attenzione

L’idrogramma instantaneo unitariogeomorfologico

Riccardo Rigon

Shozo S

Riccardo Rigon

Obiettivi

Introduzione

Riccardo Rigon

Obiettivi

• Si introduce il concetto di idrogramma istantaneo unitario geomorfologico.

• Si discute della partizione del bacino in parti idrologicamente simili

• Si introducono le teorie dello GIUH basate sulla funzione di ampiezza

Introduzione

Riccardo Rigon

Il carattere statistico dell’idrogramma unitario ha due conseguenze rilevanti:

I - Un problema di rappresentatività del campione statistico (ovvero della

definizione di una struttura areale minima in cui il sistema sia ergodico).

Tecnicamente si parla di REA Rapresentative Elementary Area. In ogni caso le

incertezze nella previsione sono tanto maggiori quanto più piccolo è il

sistema

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale - Osservazioni

Introduzione

Riccardo Rigon

Tre sono gli elementi principali dell'analisi geomorfologica dei bacini:

1. La dimostrazione dell'equivalenza rigorosa tra funzioni di distribuzione dei

tempi di residenza all'interno di un bacino e idrogramma istantaneo unitario,

mostrata nel capitolo precedente;

2. La partizione del bacino in unità idrologicamente distinte e la traduzione

formale delle relazioni esistenti tra queste parti (usualmente denominate “stati”)

ciascuna caratterizzata da una propria distribuzione dei tempi di residenza in

quella che usualmente si identifica con l'acronimo GIUH (idrogramma istantaneo

unitario geomorfologico, Instantaneous Geomorphic Unit Hydrograph). Questa

operazione consiste essenzialmente nella scrittura formale dell'equazione di

continuità per un bacino spazialmente articolato e complesso.

Introduzione

Riccardo Rigon

3.La determinazione della forma funzionale delle singole

distribuzioni dei tempi di residenza in base a considerazioni

sull'idraulica dei moti in ambiente naturale e alle caratteristiche

geometriche che regolano il moto.

Introduzione

Riccardo Rigon

La ripartizione del bacino parte dell’identificazione del reticolo idrografico

GIUH - Partizione del bacino in aree idrologicamente simili

Introduzione

Riccardo Rigon

Prosegue con la identificazione delle aree drenanti in ciascuna porzione di

Una partizione dei bacini idrografici

Riccardo Rigon

Rinaldo, Geomorphic Flood Research, 2006

Una partizione dei bacini idrografici

Riccardo Rigon

Nel bacino precedente sono identificate cinque aree scolanti (Ai) e di

conseguneza cinque percorsi delle acque:

A1 � c1 � c3 � c5 � �A2 � c2 � c3 � c5 � �

A3 � c3 � c5 � �A4 � c4 � c5 � �

A5 � c5 � �

Ogni percorso e’ suddiviso in tratti e i ci rappresentano tratti di canale tra

due successivi affluenti.

L’identificazione dei percorsi

Lezioni di Costruzioni Idrauliche 2008-2009

Riccardo Rigon

GIUH - Partizione del bacino in aree idrologicamente simili (bacini urbani)

Riccardo Rigon

A1 � c1 � c3 � c5 � �

L’area scolante:

6L’identificazione dei percorsi

Riccardo Rigon

A1 � c1 � c3 � c5 � �

Il tratto di rete di testa:

Riccardo Rigon

A1 � c1 � c3 � c5 � �

il primo tratto di canale:

Riccardo Rigon

Nella scelta della partizione vi è, naturalmente

un certo arbitrio nella tasselazione del bacino,

ma la scelta, in generale dovrebbe essere fatta

su motivate quest ioni dinamiche e/o

geomorfologiche. La suddivisione appena

attuata, in particolare, assume che:

•il deflusso nei versanti sia descritto da una

distribuzione dei tempi di residenza distinta dal

deflusso nei canali

•Che il deflusso nei versanti dipenda dall’area

scolante

•Che il deflusso nei canali dipenda dalla

lunghezza dei canali.

Riccardo Rigon

La linearità implica l’IUH complessivo

si ottiene dalla somma dei singoli IUH

L’identificazione dei percorsi

Riccardo Rigon

GIUH - Composizione dei tempi di residenza

La partizione assume anche che i tempi di

residenza in ogni “stato” identificato in ogni

percorso possano essere “composti”. Il tempo di

residenza totale (come variabile aleatoria) nel

percorso in figura è allora assegnato come:

T1 = TA1 + Tc1 + Tc3 + Tc5

6La distribuzione dei tempi di residenza in un singolo percorso

Riccardo Rigon

T1 non è un numero ma una variabile che può

assumere diversi valori, a seconda dei valori

campionati nei processi componenti (A1, C1,

C3,C5). Di questa variabile, si può pero’

conoscere la distribuzione, nell’ipotesi di

indipendenza stocastica dei singoli eventi. In

questo caso:

pdfT1(t) = (pdfA1 � pdfc1 � pdfc3 � pdfc5)(t)

La distribuzione dei tempi di residenza in un singolo percorso

Riccardo Rigon

Quella sopra è una scrittura formale che dice:

La distribuzione dei tempi di residenza del

percorso è uguale alla convoluzione delle

distribuzioni dei tempi di residenza nei singoli

stati.

pdfT1(t) = (pdfA1 � pdfc1 � pdfc3 � pdfc5)(t)

Riccardo Rigon

L’operazione di convoluzione, assegnate due distribuzion, i.e. pdfA1(t) e

pdfC1(t) è definita da:

Se consideriamo una terza distribuzione, i.e. pdfC3(t)

pdfA1⇥C1(t) := (pdfA1 ⇥ pdfc1)(t) =� t

�⇤pdfA1(t� �) pdfc1(�)d�

pdfA1�C1�C3(t) := (pdfA1 � pdfc1 � pdfc1)(t) =� t

�⌅pdfA1⇥C1(t� � ⇤) pdfc3(�

⇤)d� ⇤

Riccardo Rigon

Ecco tutti i percorsi. Una delle ipotesi su

cui si fonda l’idrogramma istantaneo

unitario è quello di considerare che il

contributo dei singoli percorsi si ottenga

come sovrapposizione lineare (somma) dei

singoli contributi:

GIUH(t) =N�

pi pdfi(t)

dove N e’ il numero di percorsi, pdfi(t) la

distribuzione dei tempi di residenza relativi

a ciascun percorso e pi la probabilità che i

volumi di precipitazione cadano nel percorso i-esimo

Riccardo Rigon

GIUH(t) =N�

pi pdfi(t)

nel caso di precipitazioni uniformi pi

coincide con la frazione di area relativa al

percorso i-esimo.

Tutto insieme !

Riccardo Rigon

Tutto insieme !

Riccardo Rigon

L’espressione complessiva dello GIUH è dunque:

E la portata all’uscita:

Q(t) = A

0GIUH(t� �) Jeff (�)d�

GIUH(t) =N�

pi (pdfAi � .... � ACN )(t)

Tutto insieme !

Riccardo Rigon

GIUH L’identificazione delle pdfs

Aree scolanti (o versanti):

pdfA(t;�) = �e�� t H(t)

Dove è l’inverso del tempo di residenza

nell’area (diverse formule possono essere

assegnate nei casi pratici per stimarlo).

Quali pdf, in pratica ?

Riccardo Rigon

GIUH L’identificazione delle pdfs

Canali:

Dove L è la lunghezza del canale fino

all’uscita ed u la celerità dell’acqua nel canale

pdfC(t;u, L) = �(L� u t)

Riccardo Rigon

GIUHLa composizione

Canali:

Svolto l’integrale sfruttando le proprietà dell Delta di Dirac, si

ottiene:

pdfA⇥C(t;�, u, L) = � e�� (t�u/L) H(t� L/u)

Che è una famiglia triparametrica di distribuzioni.

pdfA⇤C(t;�, u, L) =Z t

0� e�� (t�⌧)H(t� ⌧)�(L� u ⌧) d⌧

Riccardo Rigon

Ogni modello idrologico ha parametri che sono i

coefficienti e gli esponenti delle equazioni del

modello

Questi parametri devono essere stimati per un dato

bacino e per ogni “segmento computationale” del

modello.

I parametri sono stimati attraverso qualche relazione

con caratteristiche fisichedel bacino, oppure

tentando di riprodurre variando i parametri la

risposta un insieme di dati misurati. Questa è,

appunto la calibrazione del modello

Width (function) Geomorphological Instantaneous Unit Hydrograph with Diffusion

Riccardo Rigon

Le portate massimeed effetti geomorfologici

Riccardo Rigon

Obiettivi

Peakflow

Riccardo Rigon

Obiettivi

• Fatte alcune ipotesi semplificative

• Si usa la teoria dell’idrogramma istantaneo unitario per calcolare le portate massime.

• Si discutono gli elementi teorici del modello Peakflow

Peakflow

Riccardo Rigon

0 50 100 150

Precipitazione [mm]

Tr = 10 anni

h1 h3 h6 h12 h24

LE PRECIPITAZIONI

sono assegnate attraverso le curve di possibilità pluviometrica

Riccardo Rigon

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

t [ore]

h(tp, Tr) = a(Tr) tnp

Riccardo Rigon

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

Altezza pluviometrica

durata “della

precipitazione”

Riccardo Rigon

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

coefficiente locale

durata “della

precipitazione”

Riccardo Rigon

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

coefficiente locale

esponente

durata “della

precipitazione”

Riccardo Rigon

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

Riccardo Rigon

LE PRECIPITAZIONI

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

Intensità della

precipitazione

Riccardo Rigon

Nel nostro caso, avendo scelto di usare una

precipitazione di intensità costante come pioggia

di progetto e assunto che la pioggia efficace sia

proporzionale alla precipitazione, allora

Peakflow

Riccardo Rigon

H(x) =�

0 x < 01 x � 0

H(x) è nota come funzione di Heaviside o funzione a gradino

Peakflow

Riccardo Rigon

Che cosa ci dice l’IUH sulla portata massima ?Basta fare dQ/dt = 0 !

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

d Q(t, tp)dt

0IUH(t� ⌧) H(t, tp)d⌧

H(t, tp) :=

⇢1 0 t tp0 otherwise

Riccardo Rigon

Dopo un po’ di passaggi algebrici, la portata di picco si ottiene risolvendo l’equazione:

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

da cui deriva il tempo di picco t*

Henderson, 1963

IUH(t) = IUH(t� tp)

Riccardo Rigon

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

Riccardo Rigon

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

IUH(t)

Riccardo Rigon

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

IUH(t)IUH(t - tp)

Riccardo Rigon

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

IUH(t)IUH(t - tp)

IUH(t) =IUH(t - tp)

Riccardo Rigon

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

IUH(t)IUH(t - tp)

IUH(t) =IUH(t - tp)

Riccardo Rigon

Q(t;Tr, tp) = a(Tr) tn�1p

t�tp

IUH(t)dt

LA MASSIMA TRA LE MASSIME PORTATE

Tuttavia, a ben osservare, la portata è anche una

funzione di tp. Per t > tp

Come conseguenza, la portata di picco, varia al variare

della durata della precipitazione (che vari con il tempo

di ritorno, è in un certo senso ovvio)

PeakFlow

Riccardo Rigon

Q(t;Tr, tp) = a(Tr) tn�1p

t�tp

IUH(t)dt

LA MASSIMA TRA LE MASSIME PORTATE

Tuttavia, a ben osservare, la portata è anche una

funzione di tp. Per t > tp

L’intensità di precipitazione decresce all’aumentare di

tp, ma l’integrale aumenta. Per cui vi vi è un tempo

critico di precipitazione per cui si ottiene la massima tra

le portate di picco.

PeakFlow

Riccardo Rigon

La massima portata di picco si ottiene considerando il tempo di picco

come funzione della durata tp nell’equazione:

LA PORTATA MASSIMA- un po’ più matematicamente

PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Riccardo Rigon

PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione

Riccardo Rigon

PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione

Variazione della precipitazione con la durata

Riccardo Rigon

PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione

Area del bacino

Riccardo Rigon

PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione

Area del bacino

S-Hydrograph al tempo t*

Riccardo Rigon

PeakFlow

�t := t⇤ � tp

Precipitazione

Ritardo del tempo di picco

Area del bacino

S-Hydrograph al tempo t*

Riccardo Rigon

Allora:

E t* si ottiene da:

PeakFlow

Riccardo Rigon

Si può dimostrare che, sotto ipotesi di celerità costante dell’onda di piena,

l’area contribuente al picco di piena

non dipende dalla celerità nei canali! (nel caso cinematico)

LA PORTATA MASSIMA

PeakFlow

Riccardo Rigon

Credits and License

Questa presentazione è stata scritta da:

• Riccardo Rigon (Università di Trento)

La citazione corretta è: Rigon, The modern theory of IUH Real Books of Hydrology, Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale, Università di Trento, 2012.

p-peakflowTheory è rilasciato con licenza Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. Tale licenza si può trovare al sito http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.it

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2020-05-05 (1) - IUH

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