8va probabilidad-y-estadistica-para-ingenier-walpole 8
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- 1. Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias
- 2. Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias Novena
edicin Ronald E. Walpole Roanoke College Raymond H. Myers Virginia
Tech Sharon L. Myers Radford University Keying Ye University of
Texas at San Antonio Traduccin Leticia Esther Pineda Ayala
Traductora especialista en estadstica Revisin tcnica Roberto
Hernndez Ramrez Departamento de Fsica y Matemticas Divisin de
Ingeniera y Tecnologas Universidad de Monterrey Linda Margarita
Medina Herrera Departamento de Fsica y Matemticas Escuela de Diseo,
Ingeniera y Arquitectura Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico
- 3. Authorized translation from the English language edition,
entitled PROBABILITY & STATISTICS FOR ENGINEERS &
SCIENTISTS 9th Edition, by RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS,
SHARON L. MYERS and KEYING YE, published by Pearson Education,
Inc., publishing as Pearson, Copyright 2012. All rights reserved.
ISBN 9780321629111 Traduccin autorizada de la edicin en idioma
ingls, titulada PROBABILIDAD Y ESTADSTICA PARA INGENIERA Y CIENCIAS
9 edicin por RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS y
KEYING YE, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como
Pearson, Copyright 2012. Todos los derechos reservados. Esta edicin
en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Direccin Educacin
Superior: Mario Contreras Editor sponsor: Gabriela Lpez Ballesteros
e-mail: gabriela.lopezballesteros@pearson.com Editor de desarrollo:
Felipe Hernndez Carrasco Supervisor de Produccin: Juan Jos Garca
Guzmn Diseo de portada: Dream Studio/Edgar Maldonado Gerencia
editorial Educacin Superior Latinoamrica: Marisa de Anta NOVENA
EDICIN, 2012 D.R. 2012 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de
Jurez, Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial
Mexicana. Reg. nm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la
totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse,
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informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico,
mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia,
grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del
editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso
de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus
representantes. ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-1417-9 ISBN VERSIN
E-BOOK: 978-607-32-1418-6 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-1419-3 Impreso
en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12
www.pearsonenespaol.com RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON
L. MYERS Y KEYING YE Probabilidad y estadstica para ingeniera y
ciencias Novena edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2012 ISBN:
978-607-32-1417-9 rea: Ingeniera Formato: 18.5 23.5 cm Pginas:
816
- 4. AGRADECIMIENTOS Pearson agradece a los profesores usuarios
de esta obra y a los centros de estudio por su apoyo y retroali-
mentacin, elementos fundamentales para esta nueva edicin de
Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. COLOMBIA
Escuela Colombiana de Ingeniera Departamento de Matemticas Susana
Rondn Troncoso Pontificia Universidad Javeriana Cali Departamento
de Ciencias Naturales y Matemticas Daniel Enrique Gonzlez Gmez Mara
del Pilar Marn Gaviria Sandra Milena Ramrez Buelvas Universidad
Catlica de Colombia Departamento de Ciencias Bsicas Queeny Madueo
Pinto Universidad de La Salle Departamento de Ciencias Bsicas
Maribel Mndez Corts Martha Tatiana Jimnez Valderrama Milton Armando
Reyes Villamil Myrian Elena Vergara Morales COSTA RICA Instituto
Tecnolgico de Costa Rica Escuela de Ingeniera en Produccin
Industrial Ivannia Hasbum Fernndez Universidad de Costa Rica
Escuela de Estadstica Facultad de Ciencias Econmicas Ana Teresa
Garita Salas MXICO Estado de Mxico Facultad de Estudios Superiores
Cuautitln C-4 Armando Aguilar Mrquez Fermn Cervantes Martnez Hctor
Coss Garduo Juan Carlos Axotla Garca Miguel de Nazareth Pineda
Becerril Vicente Vzquez Jurez Tecnolgico de Estudios Superiores de
Coacalco Mara de la Luz Dvila Flores Martha Nieto Lpez Hctor
Feliciano Martnez Osorio Jeanette Lpez Alans Tecnolgico de Estudios
Superiores de Ecatepec Hctor Rodrguez Carmona ngel Hernndez Estrada
Daniel Jaimes Serrano Ramn Jordn Rocha Jalisco Universidad de
Guadalajara Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras
(CUCEI) Departamento de Matemticas Agustn Rodrguez Martnez Carlos
Florentino Melgoza Caedo Cecilia Garibay Lpez Dalmiro Garca Nava
Deliazar Pantoja Espinoza Gloria Arroyo Cervantes Javier Nava Gmez
Jorge Luis Rodrguez Gutirrez Jos ngel Partida Ibarra Jos de Jess
Bernal Casillas Jos de Jess Cabrera Chavarra Jos de Jess Rivera
Prado Jos Sols Rodrguez Julieta Carrasco Garca Laura Esther Corts
Navarro Lizbeth Daz Caldera Maribel Sierra Fuentes Mario Alberto
Prado Alonso Osvaldo Camacho Castillo Rosala Buenrostro Arceo
Samuel Rosalo Cuevas Universidad del Valle de Mxico, Zapopan
Departamento de Ingeniera Abel Vzquez Prez Irene Isabel Navarro
Gonzlez Jorge Eduardo Aguilar Rosas Miguel Arturo Barreiro Gonzlez
Sinaloa Instituto Tecnolgico de Culiacn Ciencias Bsicas Cecilia
Norzagaray Gmez Instituto Tecnolgico de Los Mochis Ciencias Bsicas
Jess Alberto Bez Torres
- 5. Contenido Prefacio
.......................................................................................................xv
1 Introduccin a la estadstica y al anlisis de
datos..............................1 1.1 Panorama general:
inferencia estadstica, muestras, poblaciones y el papel de la
probabilidad
............................................................................................................1
1.2 Procedimientos de muestreo; recoleccin de los
datos....................................................7 1.3
Medidas de localizacin: la media y la mediana de una
muestra..................................11
Ejercicios...................................................................................................................13
1.4 Medidas de
variabilidad.................................................................................................14
Ejercicios...................................................................................................................17
1.5 Datos discretos y continuos
...........................................................................................17
1.6 Modelado estadstico, inspeccin cientfica y diagnsticos
grficos.............................18 1.7 Tipos generales de
estudios estadsticos: diseo experimental, estudio observacional y
estudio retrospectivo
...............................................................27
Ejercicios...................................................................................................................30
2 Probabilidad
.........................................................................................35
2.1 Espacio
muestral............................................................................................................35
2.2
Eventos...........................................................................................................................38
Ejercicios...................................................................................................................42
2.3 Conteo de puntos muestrales
.........................................................................................44
Ejercicios...................................................................................................................51
2.4 Probabilidad de un
evento..............................................................................................52
2.5 Reglas aditivas
...............................................................................................................56
Ejercicios...................................................................................................................59
2.6 Probabilidad condicional, independencia y regla del
producto.....................................62
Ejercicios...................................................................................................................69
2.7 Regla de
Bayes...............................................................................................................72
Ejercicios...................................................................................................................76
Ejercicios de repaso
..................................................................................................77
- 6. viii Contenido 2.8 Posibles riesgos y errores conceptuales;
relacin con el material de otros
captulos...........................................................................................................79
3 Variables aleatorias y distribuciones de
probabilidad......................81 3.1 Concepto de variable
aleatoria.......................................................................................81
3.2 Distribuciones discretas de
probabilidad.......................................................................84
3.3 Distribuciones de probabilidad continua
.......................................................................87
Ejercicios...................................................................................................................91
3.4 Distribuciones de probabilidad conjunta
.......................................................................94
Ejercicios.................................................................................................................104
Ejercicios de repaso
................................................................................................107
3.5 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................109
4 Esperanza
matemtica.......................................................................111
4.1 Media de una variable
aleatoria...................................................................................111
Ejercicios.................................................................................................................117
4.2 Varianza y covarianza de variables
aleatorias..............................................................119
Ejercicios.................................................................................................................127
4.3 Medias y varianzas de combinaciones lineales de variables
aleatorias.......................128 4.4 Teorema de
Chebyshev................................................................................................135
Ejercicios.................................................................................................................137
Ejercicios de repaso
................................................................................................139
4.5 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................142
5 Algunas distribuciones de probabilidad discreta
............................143 5.1 Introduccin y
motivacin...........................................................................................143
5.2 Distribuciones binomial y multinomial
.......................................................................143
Ejercicios.................................................................................................................150
5.3 Distribucin
hipergeomtrica.......................................................................................152
Ejercicios.................................................................................................................157
5.4 Distribuciones binomial negativa y
geomtrica...........................................................158
5.5 Distribucin de Poisson y proceso de
Poisson.............................................................161
Ejercicios.................................................................................................................164
Ejercicios de repaso
................................................................................................166
5.6 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................169
- 7. Contenido ix 6 Algunas distribuciones continuas de
probabilidad .........................171 6.1 Distribucin uniforme
continua...................................................................................171
6.2 Distribucin
normal.....................................................................................................172
6.3 reas bajo la curva
normal..........................................................................................176
6.4 Aplicaciones de la distribucin normal
.......................................................................182
Ejercicios.................................................................................................................185
6.5 Aproximacin normal a la
binomial............................................................................187
Ejercicios.................................................................................................................193
6.6 Distribucin gamma y distribucin exponencial
.........................................................194 6.7
Distribucin chi
cuadrada............................................................................................200
6.8 Distribucin
beta..........................................................................................................201
6.9 Distribucin logartmica
normal..................................................................................201
6.10 Distribucin de Weibull
(opcional)..............................................................................203
Ejercicios.................................................................................................................206
Ejercicios de repaso
................................................................................................207
6.11 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros captulos
........................................................................................................209
7 Funciones de variables aleatorias
(opcional)...................................211 7.1
Introduccin.................................................................................................................211
7.2 Transformaciones de variables
....................................................................................211
7.3 Momentos y funciones generadoras de
momentos......................................................218
Ejercicios.................................................................................................................222
8 Distribuciones de muestreo fundamentales y descripciones de
datos.....................................................................225
8.1 Muestreo aleatorio
.......................................................................................................225
8.2 Algunos estadsticos importantes
................................................................................227
Ejercicios.................................................................................................................230
8.3 Distribuciones
muestrales............................................................................................232
8.4 Distribucin muestral de medias y el teorema del lmite
central.................................233
Ejercicios.................................................................................................................241
8.5 Distribucin muestral de S2
............................................................................................243
8.6 Distribucin t
..................................................................................................................246
8.7 Distribucin
F.................................................................................................................251
8.8 Grficas de cuantiles y de
probabilidad..........................................................................254
Ejercicios.................................................................................................................259
Ejercicios de repaso
................................................................................................260
- 8. x Contenido 8.9 Posibles riesgos y errores conceptuales;
relacin con el material de otros captulos
........................................................................................................262
9 Problemas de estimacin de una y dos muestras
............................265 9.1
Introduccin.................................................................................................................265
9.2 Inferencia estadstica
...................................................................................................265
9.3 Mtodos de estimacin
clsicos...................................................................................266
9.4 Una sola muestra: estimacin de la
media...................................................................269
9.5 Error estndar de una estimacin
puntual....................................................................276
9.6 Intervalos de
prediccin...............................................................................................277
9.7 Lmites de
tolerancia....................................................................................................280
Ejercicios.................................................................................................................282
9.8 Dos muestras: estimacin de la diferencia entre dos
medias.......................................285 9.9 Observaciones
pareadas...............................................................................................291
Ejercicios.................................................................................................................294
9.10 Una sola muestra: estimacin de una
proporcin........................................................296
9.11 Dos muestras: estimacin de la diferencia entre dos
proporciones.............................300 Ejercicios
................................................................................................................302
9.12 Una sola muestra: estimacin de la
varianza...............................................................303
9.13 Dos muestras: estimacin de la proporcin de dos
varianzas......................................305
Ejercicios.................................................................................................................307
9.14 Estimacin de la mxima verosimilitud
(opcional).....................................................307
Ejercicios.................................................................................................................312
Ejercicios de repaso
................................................................................................313
9.15 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................316
10 Pruebas de hiptesis de una y dos
muestras..................................319 10.1 Hiptesis
estadsticas: conceptos
generales.................................................................319
10.2 Prueba de una hiptesis
estadstica..............................................................................321
10.3 Uso de valores P para la toma de decisiones en la prueba de
hiptesis ......................331
Ejercicios.................................................................................................................334
10.4 Una sola muestra: pruebas respecto a una sola
media.................................................336 10.5 Dos
muestras: pruebas sobre dos
medias.....................................................................342
10.6 Eleccin del tamao de la muestra para la prueba de
medias......................................349 10.7 Mtodos grficos
para comparar medias
.....................................................................354
Ejercicios.................................................................................................................356
10.8 Una muestra: prueba sobre una sola
proporcin..........................................................361
10.9 Dos muestras: pruebas sobre dos
proporciones...........................................................363
Ejercicios.................................................................................................................365
10.10 Pruebas de una y dos muestras referentes a
varianzas.................................................366
Ejercicios.................................................................................................................369
- 9. Contenido xi 10.11 Prueba de la bondad de
ajuste......................................................................................371
10.12 Prueba de independencia (datos
categricos)..............................................................374
10.13 Prueba de
homogeneidad.............................................................................................376
10.14 Estudio de caso de dos
muestras..................................................................................380
Ejercicios.................................................................................................................382
Ejercicios de repaso
................................................................................................384
10.15 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................387
11 Regresin lineal simple y
correlacin.............................................389 11.1
Introduccin a la regresin
lineal.................................................................................389
11.2 El modelo de regresin lineal simple
(RLS)................................................................390
11.3 Mnimos cuadrados y el modelo ajustado
...................................................................394
Ejercicios.................................................................................................................398
11.4 Propiedades de los estimadores de mnimos cuadrados
..............................................400 11.5 Inferencias
sobre los coeficientes de
regresin............................................................403
11.6 Prediccin
....................................................................................................................408
Ejercicios.................................................................................................................411
11.7 Seleccin de un modelo de regresin
..........................................................................414
11.8 El mtodo del anlisis de
varianza...............................................................................414
11.9 Prueba para la linealidad de la regresin: datos con
observaciones repetidas.............416
Ejercicios.................................................................................................................421
11.10 Grficas de datos y transformaciones
..........................................................................424
11.11 Estudio de caso de regresin lineal
simple..................................................................428
11.12 Correlacin
..................................................................................................................430
Ejercicios.................................................................................................................435
Ejercicios de repaso
................................................................................................436
11.13 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................442
12 Regresin lineal mltiple y ciertos modelos de regresin no
lineal.......................................................................443
12.1
Introduccin.................................................................................................................443
12.2 Estimacin de los
coeficientes.....................................................................................444
12.3 Modelo de regresin lineal en el que se utilizan
matrices...........................................447
Ejercicios.................................................................................................................450
12.4 Propiedades de los estimadores de mnimos cuadrados
..............................................453 12.5 Inferencias
en la regresin lineal mltiple
..................................................................455
Ejercicios.................................................................................................................461
12.6 Seleccin de un modelo ajustado mediante la prueba de hiptesis
.............................462
- 10. xii Contenido 12.7 Caso especial de ortogonalidad
(opcional)..................................................................467
Ejercicios.................................................................................................................471
12.8 Variables categricas o
indicadoras.............................................................................472
Ejercicios.................................................................................................................476
12.9 Mtodos secuenciales para la seleccin del
modelo....................................................476 12.10
Estudio de los residuales y violacin de las suposiciones
(verificacin del
modelo).............................................................................................482
12.11 Validacin cruzada, Cp, y otros criterios para la seleccin del
modelo.......................487
Ejercicios.................................................................................................................494
12.12 Modelos especiales no lineales para condiciones no
ideales.......................................496
Ejercicios.................................................................................................................500
Ejercicios de repaso
................................................................................................501
12.13 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................506
13 Experimentos con un solo factor:
generales..................................507 13.1 Tcnica del
anlisis de
varianza...................................................................................507
13.2 La estrategia del diseo de experimentos
....................................................................508
13.3 Anlisis de varianza de un factor: diseo completamente
aleatorizado (ANOVA de un
factor).................................................................................................509
13.4 Pruebas de la igualdad de varias
varianzas..................................................................516
Ejercicios.................................................................................................................518
13.5 Comparaciones de un grado de
libertad.......................................................................520
13.6 Comparaciones
mltiples.............................................................................................523
Ejercicios.................................................................................................................529
13.7 Comparacin de un conjunto de tratamientos en bloques
...........................................532 13.8 Diseos de
bloques completos
aleatorizados...............................................................533
13.9 Mtodos grficos y verificacin del
modelo................................................................540
13.10 Transformaciones de datos en el anlisis de varianza
.................................................543
Ejercicios.................................................................................................................545
13.11 Modelos de efectos
aleatorios......................................................................................547
13.12 Estudio de caso
............................................................................................................551
Ejercicios.................................................................................................................553
Ejercicios de repaso
................................................................................................555
13.13 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................559
14 Experimentos factoriales (dos o ms factores)
..............................561 14.1
Introduccin.................................................................................................................561
14.2 Interaccin en el experimento de dos
factores.............................................................562
14.3 Anlisis de varianza de dos
factores............................................................................565
Ejercicios.................................................................................................................575
- 11. Contenido xiii 14.4 Experimentos de tres
factores......................................................................................579
Ejercicios.................................................................................................................586
14.5 Experimentos factoriales para efectos aleatorios y modelos
mixtos ..........................588
Ejercicios.................................................................................................................592
Ejercicios de repaso
................................................................................................594
14.6 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros captulos
........................................................................................................596
15 Experimentos factoriales 2k y fracciones
.......................................597 15.1
Introduccin.................................................................................................................597
15.2 El factorial 2k : clculo de efectos y anlisis de varianza
.............................................598 15.3 Experimento
factorial 2k sin rplicas
...........................................................................604
Ejercicios.................................................................................................................609
15.4 Experimentos factoriales en un ajuste de
regresin.....................................................612
15.5 El diseo
ortogonal......................................................................................................617
Ejercicios.................................................................................................................625
15.6 Experimentos factoriales
fraccionarios........................................................................626
15.7 Anlisis de experimentos factoriales
fraccionados......................................................632
Ejercicios.................................................................................................................634
15.8 Diseos de fracciones superiores y de filtrado
............................................................636
15.9 Construccin de diseos de resolucin III y IV, con 8, 16 y 32
puntos de
diseo...................................................................................637
15.10 Otros diseos de resolucin III de dos niveles; los diseos de
Plackett-Burman........638 15.11 Introduccin a la metodologa de
superficie de respuesta
...........................................639 15.12 Diseo robusto
de
parmetros......................................................................................643
Ejercicios.................................................................................................................652
Ejercicios de repaso
................................................................................................653
15.13 Posibles riesgos y errores conceptuales; relacin con el
material de otros
captulos.........................................................................................................654
16 Estadstica no
paramtrica..............................................................655
16.1 Pruebas no paramtricas
..............................................................................................655
16.2 Prueba de rango con
signo...........................................................................................660
Ejercicios.................................................................................................................663
16.3 Prueba de la suma de rangos de Wilcoxon
..................................................................665
16.4 Prueba de Kruskal-Wallis
............................................................................................668
Ejercicios.................................................................................................................670
16.5 Pruebas de
rachas.........................................................................................................671
16.6 Lmites de
tolerancia....................................................................................................674
- 12. xiv Contenido 16.7 Coeficiente de correlacin de rango
.............................................................................674
Ejercicios.................................................................................................................677
Ejercicios de repaso
................................................................................................679
17 Control estadstico de la
calidad.....................................................681
17.1
Introduccin.................................................................................................................681
17.2 Naturaleza de los lmites de
control.............................................................................683
17.3 Objetivos de la grfica de control
................................................................................683
17.4 Grficas de control para
variables................................................................................684
17.5 Grficas de control para
atributos................................................................................697
17.6 Grficas de control de
cusum.......................................................................................705
Ejercicios de repaso
................................................................................................706
18 Estadstica
bayesiana.......................................................................709
18.1 Conceptos
bayesianos..................................................................................................709
18.2 Inferencias bayesianas
.................................................................................................710
18.3 Estimados bayesianos mediante la teora de decisin
.................................................717
Ejercicios.................................................................................................................718
Bibliografa
...............................................................................................721
Apndice A: Tablas y demostraciones
estadsticas................................725 Apndice B:
Respuestas a los ejercicios impares (no de repaso)
...........................................................................................769
ndice.........................................................................................................785
- 13. xv Prefacio Enfoque general y nivel matemtico Al elaborar
la novena edicin, nuestro inters principal no fue tan slo agregar
material nuevo sino brindar claridad y mejor comprensin. Este
objetivo se logr en parte al in- cluir material nuevo al final de
los captulos, lo cual permite que se relacionen mejor. Con cierto
afecto llamamos contratiempos a los comentarios que aparecen al
final de los captulos, pues son muy tiles para que los estudiantes
recuerden la idea general y la forma en que cada captulo se ajusta
a esa imagen; as como para que entiendan las limi- taciones y los
problemas que resultaran por el uso inadecuado de los
procedimientos. Los proyectos para la clase favorecen una mayor
comprensin de cmo se utiliza la es- tadstica en el mundo real, por
lo que aadimos algunos proyectos en varios captulos. Tales
proyectos brindan a los estudiantes la oportunidad de trabajar
solos o en equipo, y de reunir sus propios datos experimentales
para realizar inferencias. En algunos casos, el trabajo implica un
problema cuya solucin ejemplifica el significado de un concepto, o
bien, favorece la comprensin emprica de un resultado estadstico
importante. Se am- pliaron algunos de los ejemplos anteriores y se
introdujeron algunos nuevos para crear estudios de caso, los cuales
incluyen un comentario para aclarar al estudiante un con- cepto
estadstico en el contexto de una situacin prctica. En esta edicin
seguimos haciendo nfasis en el equilibrio entre la teora y las
apli- caciones. Utilizamos el clculo y otros tipos de conceptos
matemticos, por ejemplo, de lgebra lineal, casi al mismo nivel que
en ediciones anteriores. Las herramientas analti- cas para la
estadstica se cubren de mejor manera utilizando el clculo en los
casos donde el anlisis se centra en las reglas de los conceptos de
probabilidad. En los captulos 2 a 10 se destacan las distribuciones
de probabilidad y la inferencia estadstica. En los captulos 11 a
15, en los cuales se estudian la regresin lineal y el anlisis de
varian- za, se aplica un poco de lgebra lineal y matrices. Los
estudiantes que utilizan este libro deben haber cursado el
equivalente a un semestre de clculo diferencial e integral. El
lgebra lineal es til aunque no indispensable, siempre y cuando el
instructor no cubra la seccin sobre regresin lineal mltiple del
captulo 12 utilizando lgebra de matrices. Al igual que en las
ediciones anteriores, y con la finalidad de desafiar al estudiante,
muchos ejercicios se refieren a aplicaciones cientficas y de
ingeniera a la vida real. Todos los conjuntos de datos asociados
con los ejercicios estn disponibles para descargar del sitio web
http://www.pearsonenespaol.com/walpole.
- 14. xvi Prefacio Resumen de los cambios en la novena edicin
varios captulos se agregaron proyectos para la clase. Los
estudiantes tienen que ge- nerar o reunir sus propios datos
experimentales y realizar inferencias a partir de ellos. a
comprender los mtodos estadsticos que se presentan en el contexto
de una si- tuacin real. Por ejemplo, la interpretacin de los lmites
de confianza, los lmites de prediccin y los lmites de tolerancia se
exponen utilizando situaciones de la vida real. los que ya se
incluan. El objetivo de dichos comentarios es presentar cada
captulo en el contexto de la idea general y analizar la forma en
que los captulos se relacio- nan entre s. Otro objetivo es advertir
acerca del uso inadecuado de las tcnicas estadsticas examinadas en
el captulo. - cas grficas. Tambin se incluy nuevo material
fundamental sobre muestreo y diseo experimental. - treo tienen la
finalidad de motivar a los estudiantes a realizar las pruebas de
hip- tesis y de los valores P. Esto los prepara para el material ms
avanzado sobre los temas que se presentan en el captulo 10. de
regresin en un modelo que presenta una gran colinealidad con otras
variables. de superficie de respuesta (MSR). El uso de las
variables del ruido en la MSR permite ejemplificar los modelos de
la media y la varianza (superficie de respuesta doble). mtodos
bayesianos para la toma de decisiones estadsticas. Contenido y
planeacin del curso Este libro est diseado para un curso de uno o
dos semestres. Un plan razonable para el curso de un semestre podra
incluir los captulos 1 a 10, lo cual dara como resultado un
programa que concluye con los fundamentos de la estimacin y la
prueba de hipte- sis. Los profesores que desean que los estudiantes
aprendan la regresin lineal simple podran incluir una parte del
captulo 11. Para quienes deseen incluir el anlisis de varianza en
vez de la regresin, el curso de un semestre podra incluir el
captulo 13 en vez de los captulos 11 y 12. El captulo 13 trata el
tema del anlisis de varianza de un factor. Otra opcin consiste en
eliminar partes de los captulos 5 o 6, as como el captulo 7. Al
hacer esto se omitiran las distribuciones discretas o continuas,
mismas que inclu- yen la binomial negativa, la geomtrica, la gamma,
la de Weibull, la beta y la logartmi- ca normal. Otros contenidos
que se podran omitir en un programa de un semestre son la estimacin
de mxima verosimilitud, la prediccin y los lmites de tolerancia
del
- 15. Prefacio xvii captulo 9. El programa para un semestre suele
ser flexible, dependiendo del inters que el profesor tenga en la
regresin, el anlisis de varianza, el diseo experimental y los
mtodos de superficie de respuesta (captulo 15). Existen varias
distribuciones discretas y continuas (captulos 5 y 6) que tienen
aplicaciones en diversas reas de la ingeniera y las ciencias. Los
captulos 11 a 18 incluyen una gran cantidad de material que se
podra agregar al segundo semestre, en caso de que se eligiera un
curso de dos semestres. El material sobre la regresin lineal simple
y mltiple se estudia en los captulos 11 y 12, respecti- vamente. El
captulo 12 puede ser muy flexible. La regresin lineal mltiple
incluye temas especiales, como variables categricas o indicadoras,
mtodos secuenciales para la seleccin de modelos, por ejemplo, la
regresin por etapas, el estudio de residua- les para la deteccin de
violaciones de supuestos, la validacin cruzada y el uso de los
estadsticos PRESS, as como el de Cp y la regresin logstica. Se hace
hincapi en el uso de regresores ortogonales, un precursor del diseo
experimental en el captulo 15. Los captulos 13 y 14 ofrecen hasta
cierto grado material abundante sobre el anlisis de va- rianza
(ANOVA), con modelos fijos, aleatorios y mixtos. En el captulo 15
se destaca la aplicacin de los diseos con dos niveles en el
contexto de los experimentos factoriales fraccionarios y completos
(2k ). Tambin se ejemplifican los diseos especiales de selec- cin.
En el captulo 15 se incluye asimismo una nueva seccin sobre la
metodologa de superficie de respuesta (MSR), para ejemplificar el
uso del diseo experimental con la finalidad de encontrar
condiciones ptimas de proceso. Se analiza el ajuste de un modelo de
segundo orden utilizando un diseo complejo central. La MSR se ampla
para abarcar el anlisis de problemas sobre el diseo de un parmetro
robusto. Las variables de ruido se utilizan para ajustar modelos
dobles de superficie de respuesta. Los captulos 16, 17 y 18
incluyen una cantidad moderada de material sobre estadstica no
paramtrica, control de calidad e inferencia bayesiana. El captulo 1
es un bosquejo de la inferencia estadstica, presentada a un nivel
ma- temtico sencillo, pero de manera ms amplia que en la octava
edicin con el propsito de examinar ms detalladamente los
estadsticos de una sola cifra y las tcnicas grficas. Este captulo
est diseado para brindar a los estudiantes una presentacin
preliminar de los conceptos fundamentales que les permitirn
entender los detalles posteriores de mayor complejidad. Se
presentan conceptos clave sobre muestreo, recoleccin de datos y
diseo experimental, as como los aspectos rudimentarios de las
herramientas grficas y la infor- macin que se obtiene a partir de
un conjunto de datos. Tambin se agregaron las grficas de tallo y
hojas, y las de caja y bigotes. Las grficas estn mejor organizadas
y etique- tadas. El anlisis de la incertidumbre y la variacin en un
sistema se ilustra de forma detallada. Se incluyen ejemplos de cmo
clasificar las caractersticas importantes de un sistema o proceso
cientfico, y esas ideas se ilustran en ambientes prcticos, como
procesos de manufactura, estudios biomdicos, y estudios de sistemas
biolgicos y cientficos de otros tipos. Se efecta una comparacin
entre el uso de los datos discretos y continuos; tambin se hace un
mayor nfasis en el uso de modelos y de la informacin con respecto a
los modelos estadsticos que se logran obtener mediante las
herramientas grficas. En los captulos 2, 3 y 4 se estudian los
conceptos bsicos de probabilidad, as como las variables aleatorias
discretas y continuas. Los captulos 5 y 6 se enfocan en las distri-
buciones discretas y continuas especficas, as como en las
relaciones que existen entre ellas. En estos captulos tambin se
destacan ejemplos de aplicaciones de las distribucio- nes en
estudios reales cientficos y de ingeniera. Los estudios de caso,
los ejemplos y una gran cantidad de ejercicios permiten a los
estudiantes practicar el uso de tales distri- buciones. Los
proyectos permiten la aplicacin prctica de estas distribuciones en
la vida
- 16. xviii Prefacio real mediante el trabajo en equipo. El
captulo 7 es el ms terico del libro; en l se ex- pone la
transformacin de variables aleatorias, y podra ser que no se
utilice a menos que el instructor desee impartir un curso
relativamente terico. El captulo 8 contiene mate- rial grfico, el
cual ampla el conjunto bsico de herramientas grficas presentadas y
ejemplificadas en el captulo 1. Aqu se analizan las grficas de
probabilidad y se ilustran con ejemplos. El muy importante concepto
de las distribuciones de muestreo se presenta de forma detallada, y
se proporcionan ejemplos que incluyen el teorema del lmite central
y la distribucin de una varianza muestral en una situacin de
muestreo independiente y normal. Tambin se presentan las
distribuciones t y F para motivar a los estudiantes a utilizarlas
en los captulos posteriores. El nuevo material del captulo 8 ayuda
a los estu- diantes a conocer la importancia de la prueba de
hiptesis mediante la presentacin del concepto del valor P. El
captulo 9 contiene material sobre la estimacin puntual y de
intervalos de una muestra y dos muestras. Un anlisis detallado y
con ejemplos destaca las diferencias entre los tipos de intervalos
(intervalos de confianza, intervalos de prediccin e interva- los de
tolerancia). Un estudio de caso ilustra los tres tipos de
intervalos estadsticos en el contexto de una situacin de
manufactura. Este estudio de caso destaca las diferencias entre los
intervalos, sus fuentes y los supuestos en que se basan, as como
cules son los intervalos que requieren diferentes tipos de estudios
o preguntas. Se aadi un mtodo de aproximacin para las inferencias
sobre una proporcin. El captulo 10 inicia con una presentacin bsica
sobre el significado prctico de la prueba de hiptesis, con un
nfasis en conceptos fundamentales como la hiptesis nula y la
alternativa, el papel que desem- pean la probabilidad y el valor P,
as como la potencia de una prueba. Despus, se presentan ejemplos de
pruebas sobre una o dos muestras en condiciones estndar. Tam- bin
se describe la prueba t de dos muestras con observaciones en pares
(apareadas). Un estudio de caso ayuda a los estudiantes a entender
el verdadero significado de una inte- raccin de factores, as como
los problemas que en ocasiones surgen cuando existen in-
teracciones entre tratamientos y unidades experimentales. Al final
del captulo 10 se incluye una seccin muy importante que relaciona
los captulos 9 y 10 (estimacin y prueba de hiptesis) con los
captulos 11 a 16, donde se destaca el modelamiento esta- dstico. Es
importante que el estudiante est consciente de la fuerte relacin
entre los captulos mencionados. Los captulos 11 y 12 incluyen
material sobre la regresin lineal simple y mltiple,
respectivamente. En esta edicin ponemos mucho ms atencin en el
efecto que tiene la colinealidad entre las variables de regresin.
Se presenta una situacin que muestra cmo el papel que desempea una
sola variable de regresin depende en gran parte de cules son los
regresores que la acompaan en el modelo. Despus se revisan los
proce- dimientos secuenciales para la seleccin del modelo (hacia
adelante, hacia atrs, por etapas, etctera) con respecto a este
concepto, as como los fundamentos para utilizar ciertos tipos de
valores P con tales procedimientos. En el captulo 12 se estudia
material sobre los modelos no lineales con una presentacin especial
de la regresin logstica, la cual tiene aplicaciones en ingeniera y
en las ciencias biolgicas. El material sobre la re- gresin mltiple
es muy extenso, de manera que, como antes se expuso, plantea una
gran flexibilidad. Al final del captulo 12 se incluye un comentario
que lo relaciona con los captulos 14 y 15. Se agregaron varios
elementos para fomentar la comprensin del ma- terial en general.
Por ejemplo, al final del captulo se describen algunas dificultades
y problemas que podran surgir. Se indica que existen tipos de
respuestas que ocurren de forma natural en la prctica, por ejemplo,
respuestas de proporciones, de conteo y mu- chas otras, con las
cuales no se debe utilizar la regresin estndar de mnimos
cuadrados
- 17. Prefacio xix debido a que los supuestos de normalidad no se
cumplen, y transgredirlos causara erro- res muy graves. Se sugiere
utilizar la transformacin de datos para reducir el problema en
algunos casos. Nuevamente, los captulos 13 y 14 sobre el tema del
anlisis de varian- za tienen cierta flexibilidad. En el captulo 13
se estudia el ANOVA de un factor en el contexto de un diseo
completamente aleatorio.Algunos temas complementarios incluyen las
pruebas sobre las varianzas y las comparaciones mltiples. Se
destacan las compara- ciones de tratamientos en bloque, junto con
el tema de los bloques completos aleatoriza- dos. Los mtodos
grficos se extendieron al ANOVA para ayudar al estudiante a
complementar la inferencia formal con una inferencia pictrica que
facilita la presenta- cin del material a los cientficos y a los
ingenieros. Se incluye un nuevo proyecto donde los estudiantes
incorporan la aleatoriedad adecuada a cada plan, y se utilizan
tcnicas grficas y valores P en el informe de los resultados. En el
captulo 14 se ampla el mate- rial del captulo 13 para ajustar dos o
ms factores dentro de una estructura factorial. La presentacin del
ANOVA en el captulo 14 incluye la creacin de modelos aleatorios y
de efectos fijos. En el captulo 15 se estudia material relacionado
con los diseos facto- riales 2k ; los ejemplos y los estudios de
caso plantean el uso de diseos de seleccin y fracciones especiales
de orden superior del factorial 2k . Dos elementos nuevos y espe-
ciales son la metodologa de superficie de respuesta (MSR) y el
diseo de parmetros robustos. Son temas que se relacionan en un
estudio de caso que describe e ilustra un diseo doble de superficie
de respuesta, as como un anlisis que incluye el uso de super-
ficies de respuesta de la media y la varianza de procesos. Programa
de cmputo Los estudios de caso, que inician en el captulo 8,
muestran impresiones de listas de resultados por computadora y
material grfico generado con los programas SAS y MINITAB. El hecho
de incluir los clculos por computadora refleja nuestra idea de que
los estudiantes deben contar con la experiencia de leer e
interpretar impresiones de listas de resultados y grficas por
computadora, incluso si el software que se utiliza en el libro no
coincide con el que utiliza el profesor. La exposicin a ms de un
tipo de programas aumentara la experiencia de los estudiantes. No
hay razones para creer que el progra- ma utilizado en el curso
coincidir con el que el estudiante tendr que utilizar en la prctica
despus de graduarse. Cuando sea pertinente, los ejemplos y los
estudios de caso en el libro se complementarn con diversos tipos de
grficas residuales, cuantilares, de probabilidad normal y de otros
tipos. Tales grficas se incluyen especialmente en los captulos 11 a
15. Complementos Manual de soluciones para el instructor. Este
recurso contiene respuestas a todos los ejercicios del libro y se
puede descargar del Centro de Recursos para Profesor de Pearson.
Diapositivas de PowerPoint ISBN-10: 0-321-73731-8; ISBN-13:
978-0-321-73731-1. Las diapositivas incluyen la mayora de las
figuras y las tablas del libro; se pueden des- cargar del Centro de
Recursos para el Profesor de Pearson.
- 18. xx Prefacio Reconocimientos Estamos en deuda con los
colegas que revisaron las anteriores ediciones de este libro y que
nos dieron muchas sugerencias tiles para esta edicin. Ellos son
David Groggel, de Miami University; Lance Hemlow, de Raritan Valley
Community College; Ying Ji, de University of Texas at San Antonio;
Thomas Kline, de University of Northern Iowa; Sheila Lawrence, de
Rutgers University; Luis Moreno, de Broome County Community
College; Donald Waldman, de University of Colorado-Boulder y
Marlene Will, de Spalding University. Tambin queremos agradecer a
Delray Schulz, de Millersville University, Roxane Burrows, de
Hocking College y Frank Chmely por asegurarse de la exactitud de
este libro. Nos gustara agradecer a la editorial y a los servicios
de produccin suministrados por muchas personas de Pearson/Prentice
Hall, sobre todo a Deirdre Lynch, la editora en jefe, a Christopher
Cummings, el editor de adquisiciones, a Christine OBrien, la
editora de contenido ejecutivo, a Tracy Patruno, la editora de
produccin y a Sally Lifland, la editora de produccin. Apreciamos
los comentarios y sugerencias tiles de Gail Magin, la correctora de
estilo. Tambin estamos en deuda con el Centro de Asesora Estadstica
de Virginia Tech, que fue nuestra fuente de muchos conjuntos reales
de datos. R.H.M. S.L.M. K.Y.
- 19. 1 CAPTULO 1 Introduccin a la estadstica y al anlisis de
datos 1.1 Panorama general: inferencia estadstica, muestras,
poblaciones y el papel de la probabilidad Desde inicios de la dcada
de los ochenta del siglo pasado y hasta lo que ha transcurrido del
siglo xxi la industria estadounidense ha puesto una enorme atencin
en el mejora- miento de la calidad. Se ha dicho y escrito mucho
acerca del milagro industrial en Japn, que comenz a mediados del
siglo xx. Los japoneses lograron el xito en donde otras naciones
fallaron, a saber, en la creacin de un entorno que permita la
manufactura de productos de alta calidad. Gran parte del xito de
los japoneses se atribuye al uso de mtodos estadsticos y del
pensamiento estadstico entre el personal gerencial. Empleo de datos
cientficos El uso de mtodos estadsticos en la manufactura, el
desarrollo de productos alimenti- cios, el software para
computadoras, las fuentes de energa, los productos farmacuticos y
muchas otras reas implican el acopio de informacin o datos
cientficos. Por su- puesto que la obtencin de datos no es algo
nuevo, ya que se ha realizado por ms de mil aos. Los datos se han
recabado, resumido, reportado y almacenado para su examen
cuidadoso. Sin embargo, hay una diferencia profunda entre el acopio
de informacin cientfica y la estadstica inferencial. Esta ltima ha
recibido atencin legtima en dca- das recientes. La estadstica
inferencial gener un nmero enorme de herramientas de los mto- dos
estadsticos que utilizan los profesionales de la estadstica. Los
mtodos estadsticos se disean para contribuir al proceso de realizar
juicios cientficos frente a la incerti- dumbre y a la variacin.
Dentro del proceso de manufactura, la densidad de producto de un
material especfico no siempre ser la misma. De hecho, si un proceso
es discontinuo en vez de continuo, la densidad de material no slo
variar entre los lotes que salen de la lnea de produccin (variacin
de un lote a otro), sino tambin dentro de los propios lo- tes. Los
mtodos estadsticos se utilizan para analizar datos de procesos como
el anterior; el objetivo de esto es tener una mejor orientacin
respecto de cules cambios se deben realizar en el proceso para
mejorar su calidad. En este proceso la calidad bien podra
- 20. 2 Captulo 1 Introduccin a la estadstica y al anlisis de
datos definirse en relacin con su grado de acercamiento a un valor
de densidad meta en armo- na con qu parte de las veces se cumple
este criterio de cercana. A un ingeniero podra interesarle un
instrumento especfico que se utilice para medir el monxido de
azufre en estudios sobre la contaminacin atmosfrica. Si el
ingeniero dudara respecto de la efica- cia del instrumento, tendra
que tomar en cuenta dos fuentes de variacin. La primera es la
variacin en los valores del monxido de azufre que se encuentran en
el mismo lugar el mismo da. La segunda es la variacin entre los
valores observados y la cantidad real de monxido de azufre que haya
en el aire en ese momento. Si cualquiera de estas dos fuentes de
variacin es excesivamente grande (segn algn estndar determinado por
el ingeniero), quiz se necesite remplazar el instrumento. En un
estudio biomdico de un nuevo frmaco que reduce la hipertensin, 85%
de los pacientes experimentaron alivio; aunque por lo general se
reconoce que el medicamento actual o el viejo alivia a 80% de los
pacientes que sufren hipertensin crnica. Sin embargo, el nuevo
frmaco es ms caro de elaborar y podra tener algunos efectos
colaterales. Se debera adoptar el nuevo medicamento? ste es un
problema con el que las empresas farmacuticas, junto con la FDA
(Federal Drug Administration), se encuentran a menudo (a veces es
mucho ms complejo). De nuevo se debe tomar en cuenta las
necesidades de variacin. El valor del 85% se basa en cierto nmero
de pacientes seleccionados para el estudio. Tal vez si se repitiera
el estudio con nuevos pacientes el nmero observado de xitos sera de
75%! Se trata de una variacin natural de un estudio a otro que se
debe tomar en cuenta en el proceso de toma de decisiones. Es
evidente que tal variacin es importante, ya que la variacin de un
paciente a otro es endmica al problema. Variabilidad en los datos
cientficos En los problemas analizados anteriormente los mtodos
estadsticos empleados tienen que ver con la variabilidad y en cada
caso la variabilidad que se estudia se encuentra en datos
cientficos. Si la densidad del producto observada en el proceso
fuera siempre la misma y siempre fuera la esperada, no habra
necesidad de mtodos estadsticos. Si el dispositivo para medir el
monxido de azufre siempre diera el mismo valor y ste fuera exacto
(es decir, correcto), no se requerira anlisis estadstico. Si entre
un paciente y otro no hubiera variabilidad inherente a la respuesta
al medicamento (es decir, si el fr- maco siempre causara alivio o
nunca aliviara), la vida sera muy sencilla para los cient- ficos de
las empresas farmacuticas y de la FDA, y los estadsticos no seran
necesarios en el proceso de toma de decisiones. Los investigadores
de la estadstica han originado un gran nmero de mtodos analticos
que permiten efectuar anlisis de datos obtenidos de sistemas como
los descritos anteriormente, lo cual refleja la verdadera
naturaleza de la ciencia que conocemos como estadstica inferencial,
a saber, el uso de tcnicas que, al permitirnos obtener conclusiones
(o inferencias) sobre el sistema cientfico, nos permiten ir ms all
de slo reportar datos. Los profesionales de la estadstica usan
leyes funda- mentales de probabilidad e inferencia estadstica para
sacar conclusiones respecto de los sistemas cientficos. La
informacin se colecta en forma de muestras o conjuntos de
observaciones. En el captulo 2 se introduce el proceso de muestreo,
el cual se contina analizando a lo largo de todo el libro. Las
muestras se renen a partir de poblaciones, que son conjuntos de
todos los indivi- duos o elementos individuales de un tipo
especfico. A veces una poblacin representa un sistema cientfico.
Por ejemplo, un fabricante de tarjetas para computadora podra
desear eliminar defectos. Un proceso de muestreo implicara
recolectar informacin de 50 tarje- tas de computadora tomadas
aleatoriamente durante el proceso. En este caso la poblacin
- 21. 1.1 Panorama general: inferencia estadstica, muestras,
poblaciones y el papel de la probabilidad 3 sera representada por
todas las tarjetas de computadora producidas por la empresa en un
periodo especfico. Si se lograra mejorar el proceso de produccin de
las tarjetas para computadora y se reuniera una segunda muestra de
tarjetas, cualquier conclusin que se obtuviera respecto de la
efectividad del cambio en el proceso debera extenderse a toda la
poblacin de tarjetas para computadora que se produzcan en el
proceso mejorado. En un experimento con frmacos se toma una muestra
de pacientes y a cada uno se le admi- nistra un medicamento
especfico para reducir la presin sangunea. El inters se enfoca en
obtener conclusiones sobre la poblacin de quienes sufren
hipertensin. A menudo, cuando la planeacin ocupa un lugar
importante en la agenda, es muy importante el acopio de datos
cientficos en forma sistemtica. En ocasiones la planeacin est, por
necesidad, bastante limitada. Con frecuencia nos enfocamos en
ciertas propiedades o caractersticas de los elementos u objetos de
la poblacin. Cada caracterstica tiene importancia de inge- niera
especfica o, digamos, biolgica para el cliente, el cientfico o el
ingeniero que busca aprender algo acerca de la poblacin. Por
ejemplo, en uno de los casos anteriores la calidad del proceso se
relacionaba con la densidad del producto al salir del proceso.
Un(a) ingeniero(a) podra necesitar estudiar el efecto de las
condiciones del proceso, la temperatura, la humedad, la cantidad de
un ingrediente particular, etctera. Con ese fin podra mover de
manera sistemtica estos factores a cualesquiera niveles que se
sugie- ran, de acuerdo con cualquier prescripcin o diseo
experimental que se desee. Sin embargo, un cientfico silvicultor
que est interesado en estudiar los factores que influyen en la
densidad de la madera en cierta clase de rbol no necesariamente
tiene que disear un experimento. Este caso quiz requiera un estudio
observacional, en el cual los datos se acopian en el campo pero no
es posible seleccionar de antemano los niveles de los factores.
Ambos tipos de estudio se prestan a los mtodos de la inferencia
estadstica. En el primero, la calidad de las inferencias depender
de la planeacin adecuada del experi- mento. En el segundo, el
cientfico est a expensas de lo que pueda recopilar. Por ejemplo, si
un agrnomo se interesara en estudiar el efecto de la lluvia sobre
la produccin de plantas sera lamentable que recopilara los datos
durante una sequa. Es bien conocida la importancia del pensamiento
estadstico para los administrado- res y el uso de la inferencia
estadstica para el personal cientfico. Los investigadores obtienen
mucho de los datos cientficos. Los datos proveen conocimiento
acerca del fe- nmeno cientfico. Los ingenieros de producto y de
procesos aprenden ms en sus es- fuerzos fuera de lnea para mejorar
el proceso. Tambin logran una comprensin valiosa al reunir datos de
produccin (supervisin en lnea) sobre una base regular, lo cual les
permite determinar las modificaciones que se requiere realizar para
mantener el proceso en el nivel de calidad deseado. En ocasiones un
cientfico slo desea obtener alguna clase de resumen de un con-
junto de datos representados en la muestra. En otras palabras, no
requiere estadstica inferencial. En cambio, le sera til un conjunto
de estadsticos o la estadstica descrip- tiva. Tales nmeros ofrecen
un sentido de la ubicacin del centro de los datos, de la va-
riabilidad en los datos y de la naturaleza general de la
distribucin de observaciones en la muestra. Aunque no se incorporen
mtodos estadsticos especficos que lleven a la inferencia
estadstica, se puede aprender mucho. A veces la estadstica
descriptiva va acompaada de grficas. El software estadstico moderno
permite el clculo de medias, medianas, desviaciones estndar y otros
estadsticos de una sola cifra, as como el desarrollo de grficas que
presenten una huella digital de la naturaleza de la muestra. En las
secciones siguientes veremos definiciones e ilustraciones de los
estadsticos y descripciones de recursos grficos como histogramas,
diagramas de tallo y hojas, diagra- mas de dispersin, grficas de
puntos y diagramas de caja.
- 22. 4 Captulo 1 Introduccin a la estadstica y al anlisis de
datos El papel de la probabilidad En los captulos 2 a 6 de este
libro se presentan los conceptos fundamentales de la pro-
babilidad. Un estudio concienzudo de las bases de tales conceptos
permitir al lector comprender mejor la inferencia estadstica. Sin
algo de formalismo en teora de proba- bilidad, el estudiante no
podra apreciar la verdadera interpretacin del anlisis de datos a
travs de los mtodos estadsticos modernos. Es muy natural estudiar
probabilidad antes de estudiar inferencia estadstica. Los elementos
de probabilidad nos permiten cuantificar la fortaleza o confianza
en nuestras conclusiones. En este sentido, los con- ceptos de
probabilidad forman un componente significativo que complementa los
m- todos estadsticos y ayuda a evaluar la consistencia de la
inferencia estadstica. Por consiguiente, la disciplina de la
probabilidad brinda la transicin entre la estadstica descriptiva y
los mtodos inferenciales. Los elementos de la probabilidad permiten
ex- presar la conclusin en el lenguaje que requieren los cientficos
y los ingenieros. El ejemplo que sigue permite al lector comprender
la nocin de un valor-P, el cual a menudo proporciona el fundamento
en la interpretacin de los resultados a partir del uso de mtodos
estadsticos. Ejemplo 1.1: Suponga que un ingeniero se encuentra con
datos de un proceso de produccin en el cual se muestrean 100
artculos y se obtienen 10 defectuosos. Se espera y se anticipa que
ocasionalmente habr artculos defectuosos. Obviamente estos 100
artculos representan la muestra. Sin embargo, se determina que, a
largo plazo, la empresa slo puede tolerar 5% de artculos
defectuosos en el proceso. Ahora bien, los elementos de
probabilidad permiten al ingeniero determinar qu tan concluyente es
la informacin muestral respec- to de la naturaleza del proceso. En
este caso la poblacin representa conceptualmente todos los artculos
posibles en el proceso. Suponga que averiguamos que, si el proceso
es aceptable, es decir, que su produccin no excede un 5% de
artculos defectuosos, hay una probabilidad de 0.0282 de obtener 10
o ms artculos defectuosos en una muestra aleatoria de 100 artculos
del proceso. Esta pequea probabilidad sugiere que, en reali- dad, a
largo plazo el proceso tiene un porcentaje de artculos defectuosos
mayor al 5%. En otras palabras, en las condiciones de un proceso
aceptable casi nunca se obtendra la informacin muestral que se
obtuvo. Sin embargo, se obtuvo! Por lo tanto, es evidente que la
probabilidad de que se obtuviera sera mucho mayor si la tasa de
artculos defec- tuosos del proceso fuera mucho mayor que 5%. A
partir de este ejemplo se vuelve evidente que los elementos de
probabilidad ayu- dan a traducir la informacin muestral en algo
concluyente o no concluyente acerca del sistema cientfico. De
hecho, lo aprendido probablemente constituya informacin in-
quietante para el ingeniero o administrador. Los mtodos estadsticos
(que examinare- mos con ms detalle en el captulo 10) produjeron un
valor-P de 0.0282. El resultado sugiere que es muy probable que el
proceso no sea aceptable. En los captulos si- guientes se trata
detenidamente el concepto de valor-P. El prximo ejemplo brinda una
segunda ilustracin. Ejemplo 1.2: Con frecuencia, la naturaleza del
estudio cientfico sealar el papel que desempean la probabilidad y
el razonamiento deductivo en la inferencia estadstica. El ejercicio
9.40 en la pgina 294 proporciona datos asociados con un estudio que
se llev a cabo en el Virginia Polytechnic Institute and State
University acerca del desarrollo de una relacin entre las races de
los rboles y la accin de un hongo. Los minerales de los hongos se
transfieren a los rboles, y los azcares de los rboles a los hongos.
Se plantaron dos muestras de 10 plantones de roble rojo norteo en
un invernadero, una de ellas contena
- 23. 1.1 Panorama general: inferencia estadstica, muestras,
poblaciones y el papel de la probabilidad 5 plantones tratados con
nitrgeno y la otra plantones sin tratamiento. Todas las dems
condiciones ambientales se mantuvieron constantes. Todos los
plantones contenan el hongo Pisolithus tinctorus. En el captulo 9
se incluyen ms detalles. Los pesos en gramos de los tallos se
registraron despus de 140 das y los datos se presentan en la tabla
1.1. Tabla 1.1: Conjunto de datos del ejemplo 1.2 Sin nitrgeno 0.32
0.26 0.53 0.43 0.28 0.47 0.37 0.49 0.47 0.52 0.43 0.75 0.36 0.79
0.42 0.86 0.38 0.62 0.43 0.46 Con nitrgeno En este ejemplo hay dos
muestras tomadas de dos poblaciones distintas. El objeti- vo del
experimento es determinar si el uso del nitrgeno influye en el
crecimiento de las races. ste es un estudio comparativo (es decir,
es un estudio en el que se busca comparar las dos poblaciones en
cuanto a ciertas caractersticas importantes). Los datos se deben
graficar como se indica en el diagrama de puntos de la figura 1.1.
Los valores represen- tan los datos con nitrgeno y los valores los
datos sin nitrgeno. Observe que la apariencia general de los datos
podra sugerir al lector que, en pro- medio, el uso del nitrgeno
aumenta el peso del tallo. Cuatro observaciones con nitrge- no son
considerablemente ms grandes que cualquiera de las observaciones
sin nitrgeno. La mayora de las observaciones sin nitrgeno parece
estar por debajo del centro de los datos. La apariencia del
conjunto de datos parece indicar que el nitrgeno es efectivo. Pero,
cmo se cuantifica esto? Cmo se puede resumir toda la evidencia
visual aparente de manera que tenga algn significado? Como en el
ejemplo anterior, se pueden utilizar los fundamentos de la
probabilidad. Las conclusiones se resumen en una declaracin de
probabilidad o valor-P. Aqu no demostraremos la inferencia
estadstica que produce la probabilidad resumida. Igual que en el
ejemplo 1.1, tales mtodos se estudiarn en el captulo 10. El
problema gira alrededor de la probabilidad de que datos como stos
se puedan observar, dado que el nitrgeno no tiene efecto; en otras
palabras, dado que ambas muestras se generaron a partir de la misma
poblacin. Suponga que esta probabi- lidad es pequea, digamos de
0.03; un porcentaje que podra constituir suficiente eviden- cia de
que el uso del nitrgeno en realidad influye en el peso promedio del
tallo en los plantones de roble rojo (aparentemente lo aumenta).
0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85
0.90 Figura 1.1: Grfica de puntos de los datos de peso del
tallo.
- 24. 6 Captulo 1 Introduccin a la estadstica y al anlisis de
datos Cmo trabajan juntas la probabilidad y la inferencia
estadstica? Es importante para el lector que comprenda claramente
la diferencia entre la disciplina de la probabilidad, una ciencia
por derecho propio, y la disciplina de la estadstica infe- rencial.
Como sealamos, el uso o la aplicacin de conceptos de probabilidad
permite interpretar la vida cotidiana a partir de los resultados de
la inferencia estadstica. En consecuencia, se afirma que la
inferencia estadstica emplea los conceptos de probabili- dad. A
partir de los dos ejemplos anteriores aprendimos que la informacin
muestral est disponible para el analista y que, con la ayuda de
mtodos estadsticos y elementos de probabilidad, podemos obtener
conclusiones acerca de alguna caracterstica de la pobla- cin (en el
ejemplo 1.1 el proceso al parecer no es aceptable, y en el ejemplo
1.2 parece ser que el nitrgeno en verdad influye en el peso
promedio de los tallos). As, para un problema estadstico, la
muestra, junto con la estadstica inferencial, nos permite obtener
conclusiones acerca de la poblacin, ya que la estadstica
inferencial utiliza ampliamente los elementos de probabilidad. Tal
razonamiento es inductivo por natu- raleza. Ahora, cuando avancemos
al captulo 2 y los siguientes, el lector encontrar que, a
diferencia de lo que hicimos en nuestros dos ejemplos actuales, no
nos enfocaremos en resolver problemas estadsticos. En muchos de los
ejemplos que estudiaremos no utili- zaremos muestras. Lo que
haremos ser describir claramente una poblacin con todas sus
caractersticas conocidas. Las preguntas importantes se enfocarn en
la naturaleza de los datos que hipotticamente se podran obtener a
partir de la poblacin. Entonces, po- dramos afirmar que los
elementos de probabilidad nos permiten sacar conclusiones acerca de
las caractersticas de los datos hipotticos que se tomen de la
poblacin, con base en las caractersticas conocidas de la poblacin.
Esta clase de razonamiento es deductivo por naturaleza. La figura
1.2 muestra la relacin bsica entre la probabilidad y la estadstica
inferencial. Probabilidad MuestraPoblacin Inferencia estadstica
Figura 1.2: Relacin bsica entre la probabilidad y la estadstica
inferencial. Ahora bien, en trminos generales, cul campo es ms
importante, el de la proba- bilidad o el de la estadstica? Ambos
son muy importantes y evidentemente se comple- mentan. La nica
certeza respecto de la didctica de ambas disciplinas radica en el
hecho de que, si la estadstica se debe ensear con un nivel mayor al
de un simple libro de cocina, entonces hay que comenzar por ensear
la disciplina de la probabilidad. Esta regla se basa en el hecho de
que un analista no podr aprender nada sobre una poblacin a partir
de una muestra hasta que aprenda los rudimentos de incertidumbre en
esa muestra. Considere el ejemplo 1.1; en el que la pregunta se
centra en si la poblacin, definida por el proceso, tiene o no ms de
5% de elementos defectuosos. En otras palabras, la suposicin es que
5 de cada 100 artculos, en promedio, salen defectuosos. Ahora bien,
la muestra contiene 100 artculos y 10 estn defectuosos. Esto apoya
o refuta la supo-
- 25. 1.2 Procedimientos de muestreo; recoleccin de los datos 7
sicin? Aparentemente la refuta porque 10 artculos de cada 100
parecen ser un trozo grande. Pero cmo podramos saber esto sin tener
nociones de probabilidad? La nica manera en que podremos aprender
las condiciones en las cuales el proceso es aceptable (5% de
defectuosos) es estudiando el material de los siguientes captulos.
La probabilidad de obtener 10 o ms artculos defectuosos en una
muestra de 100 es de 0.0282. Dimos dos ejemplos en donde los
elementos de probabilidad ofrecen un resumen que el cientfico o el
ingeniero pueden usar como evidencia para basar una decisin. El
puente entre los datos y la conclusin est, por supuesto, basado en
los fundamentos de la inferencia estadstica, la teora de la
distribucin y las distribuciones de muestreos que se examinarn en
captulos posteriores. 1.2 Procedimientos de muestreo; recoleccin de
los datos En la seccin 1.1 estudiamos muy brevemente el concepto de
muestreo y el proceso de muestreo. Aunque el muestreo parece ser un
concepto simple, la complejidad de las preguntas que se deben
contestar acerca de la poblacin, o las poblaciones, en ocasiones
requiere que el proceso de muestreo sea muy complejo. El concepto
de muestreo se examinar de manera tcnica en el captulo 8, pero aqu
nos esforzaremos por dar algu- nas nociones de sentido comn sobre
el muestreo. sta es una transicin natural hacia el anlisis del
concepto de variabilidad. Muestreo aleatorio simple La importancia
del muestreo adecuado gira en torno al grado de confianza con que
el analista es capaz de responder las preguntas que se plantean.
Supongamos que slo hay una poblacin en el problema. Recuerde que en
el ejemplo 1.2 haba dos poblaciones implicadas. El muestreo
aleatorio simple significa que cierta muestra dada de un tamao
muestral especfico tiene la misma probabilidad de ser seleccionada
que cualquiera otra muestra del mismo tamao. El trmino tamao
muestral simplemente indica el nmero de elementos en la muestra.
Evidentemente, en muchos casos se puede utilizar una tabla de
nmeros aleatorios para seleccionar la muestra. La ventaja del
muestreo aleatorio simple radica en que ayuda a eliminar el
problema de tener una muestra que refleje una poblacin diferente
(quiz ms restringida) de aquella sobre la cual se nece- sitan
realizar las inferencias. Por ejemplo, se elige una muestra para
contestar diferentes preguntas respecto de las preferencias
polticas en cierta entidad de Estados Unidos. La muestra implica la
eleccin de, digamos, 1000 familias y una encuesta a aplicar. Ahora
bien, suponga que no se utiliza el muestreo aleatorio, sino que
todas o casi todas las 1000 familias se eligen de una zona urbana.
Se considera que las preferencias polticas en las reas rurales
difieren de las de las reas urbanas. En otras palabras, la muestra
obte- nida en realidad confin a la poblacin y, por lo tanto, las
inferencias tambin se tendrn que restringir a la poblacin
confinada, y en este caso el confinamiento podra resultar
indeseable. Si, de hecho, se necesitara hacer las inferencias
respecto de la entidad como un todo, a menudo se dira que la
muestra con un tamao de 1000 familias aqu descrita es una muestra
sesgada. Como antes sugerimos, el muestreo aleatorio simple no
siempre es adecuado. El enfoque alternativo que se utilice depender
de la complejidad del problema. Con frecuen- cia, por ejemplo, las
unidades muestrales no son homogneas y se dividen naturalmente en
grupos que no se traslapan y que son homogneos. Tales grupos se
llaman estratos, y
- 26. 8 Captulo 1 Introduccin a la estadstica y al anlisis de
datos un procedimiento llamado muestreo aleatorio estratificado
implica la seleccin al azar de una muestra dentro de cada estrato.
El propsito de esto es asegurarse de que ningu- no de los estratos
est sobrerrepresentado ni subrepresentado. Por ejemplo, suponga que
se aplica una encuesta a una muestra para reunir opiniones
preliminares respecto de un referndum que se piensa realizar en
determinada ciudad. La ciudad est subdividida en varios grupos
tnicos que representan estratos naturales y, para no excluir ni
sobrerrepre- sentar a algn grupo de cada uno de ellos, se eligen
muestras aleatorias separadas de cada grupo. Diseo experimental El
concepto de aleatoriedad o asignacin aleatoria desempea un papel
muy importante en el rea del diseo experimental, que se present
brevemente en la seccin 1.1 y es un fundamento muy importante en
casi cualquier rea de la ingeniera y de la ciencia experimental.
Estudiaremos este tema con detenimiento en los captulos 13 a 15.
Sin embargo, es conveniente introducirlo aqu brevemente en el
contexto del muestreo alea- torio. Un conjunto de los llamados
tratamientos o combinaciones de tratamientos se vuelven las
poblaciones que se van a estudiar o a comparar en algn sentido. Un
ejem- plo es el tratamiento con nitrgeno versus sin nitrgeno del
ejemplo 1.2. Otro ejemplo sencillo sera placebo versus medicamento
activo o, en un estudio sobre la fatiga por corrosin, tendramos
combinaciones de tratamientos que impliquen especmenes con
recubrimiento o sin recubrimiento, as como condiciones de alta o de
baja humedad, a las cuales se somete el espcimen. De hecho, habran
cuatro combinaciones de factores o de tratamientos (es decir, 4
poblaciones), y se podran formular y responder muchas preguntas
cientficas usando los mtodos estadsticos e inferenciales. Considere
primero la situacin del ejemplo 1.2. En el experimento hay 20
plantones enfermos implicados. A partir de los datos es fcil
observar que los plantones son diferentes entre s. Dentro del grupo
tratado con nitrgeno (o del grupo que no se trat con nitrgeno) hay
variabi- lidad considerable en el peso de los tallos, la cual se
debe a lo que por lo general se de- nomina unidad experimental. ste
es un concepto tan importante en la estadstica infe- rencial que no
es posible describirlo totalmente en este captulo. La naturaleza de
la variabilidad es muy importante. Si es demasiado grande, debido a
que resulta de una condicin de excesiva falta de homogeneidad en
las unidades experimentales, la variabi- lidad eliminar cualquier
diferencia detectable entre ambas poblaciones. Recuerde que en este
caso eso no ocurri. La grfica de puntos de la figura 1.1 y el
valor-P indican una clara distincin entre esas dos condiciones. Qu
papel desempean tales unidades experimentales en el pro- ceso mismo
de recoleccin de los datos? El enfoque por sentido comn y, de
hecho, es- tndar, es asignar los 20 plantones o unidades
experimentales aleatoriamente a las dos condiciones o tratamientos.
En el estudio del medicamento podramos decidir utilizar un total de
200 pacientes disponibles, quienes sern claramente distinguibles en
algn sentido. Ellos son las unidades experimentales. No obstante,
tal vez todos tengan una condicin crnica que podra ser tratada con
el frmaco. As, en el denominado diseo completamente aleatorio, se
asignan al azar 100 pacientes al placebo y 100 al medica- mento
activo. De nuevo, son estas unidades experimentales en el grupo o
tratamiento las que producen la variabilidad en el resultado de los
datos (es decir, la variabilidad en el resultado medido), digamos,
de la presin sangunea o cualquier valor de la eficacia de un
medicamento que sea importante. En el estudio de la fatiga por
corrosin las unidades experimentales son los especmenes que se
someten a la corrosin.
- 27. 1.2 Procedimientos de muestreo; recoleccin de los datos 9
Por qu las unidades experimentales se asignan aleatoriamente? Cul
es el posible efecto negativo de no asignar aleatoriamente las
unidades experi- mentales a los tratamientos o a las combinaciones
de tratamientos? Esto se observa ms claramente en el caso del
estudio del medicamento. Entre las caractersticas de los pa-
cientes que producen variabilidad en los resultados estn la edad,
el gnero y el peso. Tan slo suponga que por casualidad el grupo del
placebo contiene una muestra de personas que son predominantemente
ms obesas que las del grupo del tratamiento. Quiz los individuos ms
obesos muestren una tendencia a tener una presin sangunea ms
elevada, lo cual evidentemente sesgar el resultado y, por lo tanto,
cualquier resul- tado que se obtenga al aplicar la inferencia
estadstica podra tener poco que ver con el efecto del medicamento,
pero mucho con las diferencias en el peso de ambas muestras de
pacientes. Deberamos enfatizar la importancia del trmino
variabilidad. La variabilidad ex- cesiva entre las unidades
experimentales disfraza los hallazgos cientficos. En seccio- nes
posteriores intentaremos clasificar y cuantificar las medidas de
variabilidad. En las siguientes secciones presentaremos y
analizaremos cantidades especficas que se calcu- lan en las
muestras; las cantidades proporcionan una idea de la naturaleza de
la muestra respecto de la ubicacin del centro de los datos y la
variabilidad de los mismos. Un an- lisis de varias de tales medidas
de un solo nmero permite ofrecer un prembulo de que la informacin
estadstica ser un componente importante de los mtodos estadsticos
que se utilizarn en captulos posteriores. Estas medidas, que ayudan
a clasificar la natu- raleza del conjunto de datos, caen en la
categora de estadsticas descriptivas. Este material es una
introduccin a una presentacin breve de los mtodos pictricos y gr-
ficos que van incluso ms all en la caracterizacin del conjunto de
datos. El lector de- bera entender que los mtodos estadsticos que
se presentan aqu se utilizarn a lo largo de todo el texto. Para
ofrecer una imagen ms clara de lo que implican los estudios de
diseo experimental se presenta el ejemplo 1.3. Ejemplo 1.3: Se
realiz un estudio sobre la corrosin con la finalidad de determinar
si al recubrir una aleacin de aluminio con una sustancia
retardadora de la corrosin, el metal se corroe menos. El
recubrimiento es un protector que los anunciantes afirman que
minimiza el dao por fatiga en esta clase de material. La influencia
de la humedad sobre la magnitud de la corrosin tambin es de inters.
Una medicin de la corrosin puede expresarse en millares de ciclos
hasta la ruptura del metal. Se utilizaron dos niveles de
recubrimiento: sin recubrimiento y con recubrimiento qumico contra
la corrosin. Tambin se conside- raron dos niveles de humedad
relativa, de 20% y 80%, respectivamente. El experimento implica las
cuatro combinaciones de tratamientos que se listan en la siguiente
tabla. Se usan ocho unidades experimentales, que son especmenes de
alumi- nio preparados, dos de los cuales se asignan aleatoriamente
a cada una de las cuatro combinaciones de tratamiento. Los datos se
presentan en la tabla 1.2. Los datos de la corrosin son promedios
de los dos especmenes. En la figura 1.3 se presenta una grfica con
los promedios. Un valor relativamente grande de ciclos hasta la
ruptura representa una cantidad pequea de corrosin. Como se podra
esperar, al parecer un incremento en la humedad hace que empeore la
corrosin. El uso del procedimiento de recubrimiento qumico contra
la corrosin parece reducir la corrosin. En este ejemplo de diseo
experimental el ingeniero eligi sistemticamente las cuatro
combinaciones de tratamiento. Para vincular esta situacin con los
conceptos con los que el lector se ha familiarizado hasta aqu,
deberamos suponer que las condiciones
- 28. 10 Captulo 1 Introduccin a la estadstica y al anlisis de
datos que representan las cuatro combinaciones de tratamientos son
cuatro poblaciones sepa- radas y que los dos valores de corrosin
observados en cada una de las poblaciones constituyen importantes
piezas de informacin. La importancia del promedio al captar y
resumir ciertas caractersticas en la poblacin se destacar en la
seccin 1.3. Aunque a partir de la figura podramos sacar
conclusiones acerca del papel que desempea la hu- medad y del
efecto de recubrir los especmenes, no podemos evaluar con exactitud
los resultados de un punto de vista analtico sin tomar en cuenta la
variabilidad alrededor del promedio. De nuevo, como sealamos con
anterioridad, si los dos valores de corro- sin en cada una de las
combinaciones de tratamientos son muy cercanos, la imagen de la
figura 1.3 podra ser una descripcin precisa. Pero si cada valor de
la corrosin en la figura es un promedio de dos valores que estn
ampliamente dispersos, entonces esta variabilidad podra, de hecho,
en verdad eliminar cualquier informacin que parezca difundirse
cuando tan slo se observan los promedios. Los siguientes ejemplos
ilustran estos conceptos: 1. La asignacin aleatoria a las
combinaciones de tratamientos (recubrimiento/ humedad) de las
unidades experimentales (especmenes). 2. El uso de promedios
muestrales (valores de corrosin promedio) para resumir la
informacin muestral. 3. La necesidad de considerar las medidas de
variabilidad en el anlisis de cual- quier muestra o conjunto de
muestras. Tabla 1.2: Datos para el ejemplo 1.3 Promedio de corrosin
en miles de ciclos hasta la rupturaRecubrimiento Sin recubrimiento
20% 975 80% 350 Con recubrimiento qumico contra la corrosin 20%
1750 80% 1550 Humedad 0 1000 2000 20% 80% Humedad Corrosinpromedio
Sin recubrimiento Con recubrimiento qumico contra la corrosin
Figura 1.3: Resultados de corrosin para el ejemplo 1.3.
- 29. 1.3 Medidas de localizacin: la media y la mediana de una
muestra 11 Este ejemplo sugiere la necesidad de estudiar el tema
que se expone en las seccio- nes 1.3 y 1.4, es decir, el de las
estadsticas descriptivas que indican las medidas de la ubicacin del
centro en un conjunto de datos, y aquellas con las que se mide la
variabilidad. 1.3 Medidas de localizacin: la media y la mediana de
una muestra Las medidas de localizacin estn diseadas para brindar
al analista algunos valores cuantitativos de la ubicacin central o
de otro tipo de los datos en una muestra. En el ejem- plo 1.2
parece que el centro de la muestra con nitrgeno claramente excede
al de la muestra sin nitrgeno. Una medida obvia y muy til es la
media de la muestra. La me- dia es simplemente un promedio numrico.
Denicin 1.1: Suponga que las observaciones en una muestra son x1 ,
x2 , ..., xn . La media de la mues- tra, que se denota con x, es x
= = n i 1 xi n = x1 + x2 + + xn n . Hay otras medidas de tendencia
central que se explican con detalle en captulos posteriores. Una
medida importante es la mediana de la muestra. El propsito de la
mediana de la muestra es reflejar la tendencia central de la
muestra de manera que no sea influida por los valores extremos.
Denicin 1.2: Dado que las observaciones en una muestra son x1 , x2
, ..., xn , acomodadas en orden de magnitud creciente, la mediana
de la muestra es x = x(n+1)/2, si n es impar, 1 2 (xn/2+xn/2+1), si
n es par. Por ejemplo, suponga que el conj