CRMS Calculus 2010 May 5, 2010

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The FUNdamental Theorem of Calculus

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Each branch of mathematics has its own fundamental theorem(s). 

If you check out the word fundamental in the dictionary, you will see that it relates to the foundation 

or the base or is elementary. 

Fundamental theorems are important foundations for the rest of the material to follow.

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The Fundamental Theorem of Arithmetic

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Every integer greater than one is either prime 

or can be expressed as 

an unique product of prime numbers.

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Fundamental Theorem of Algebra   

6

Every polynomial equation of degree n with complex coefficients 

has n roots in the complex numbers.

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Fundamental Theorem of Calculus

Here we go! ....................................in the footsteps of Newton and Leibniz

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Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz

http://calculustugowar.ytmnd.com/

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a b

f(x)

Find the exact area under the function f(x) and above the x­axisin the interval [a, b].

FUNDAMENTAL THEOREM OF CALCULUS

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a b

f(x)Sketch an antiderivative of f(x)

g(x) is an antiderivative of f(x)

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................n subintervals

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g(x1)­g(a) =    g'(c1) =      f(c1)

Slopeof

secant line= =

Slopeof

tangent line

Heightof

Riemannrectangle

By Mean Value theorem

By definition of indefinite integral

c1

f(c1)

f(c2)

f(cn)

c2 c3

f(c3)

cn

.............................n subdivisions

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If: 1. f is an integrable function and2. g is an antiderivative of f,

Thena

b ∫f (x) dx =  g(b) ­ g(a)

Shazaam!Math Magic

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