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Chapitre 3: Pièces soumises à la
flexion simple
Module Béton Armé - 2AGC - ENIT
2
I. Introduction
II. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELUR II.1. Sections rectangulaires sans aciers comprimés
II.2. Sections rectangulaires avec aciers comprimés
II.3. Sections en T
III. Dimensionnement à l’ELS III.1. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELS.
III.2. Limitation des contraintes normales
III.3 Limitation de la flèche
Plan du Cours
3
V
M
Sollicitations de la flexion simple
I. Introduction
On se limitera dans ce chapitre à l’étude de l’effet du moment
fléchissant sur une section en B.A. Le chapitre suivant sera consacré
à l’étude de l’effort tranchant.
4
M(x) Mmax(L/2)=ql2/8
x
Poutre isostatique sur deux appuis simples uniformément
chargée
5
A ?
En pratique, les aciers longitudinaux se terminent par de crochets pour
améliorer leur l’adhérence au béton
6
• Il faut justifier qu’aucun état-limite ultime ou de
service n’est atteint. • Dans de nombreux cas, il est possible de connaître à
l’avance l’état-limite qui sera déterminant, ce qui rend
inutile toute vérification ultérieure vis-à-vis d’autres
états-limites.
• Dans le cas de la flexion simple, l’état-limite
déterminant est :
— l’ELUR, si la fissuration est peu préjudiciable ;
— l’ELS (d’ouverture des fissures), si la fissuration est
très préjudiciable.
Dimensionnement calcul de la
section A d’aciers longitudinaux
7
II. Calcul de la section d’acier
longitudinal à l’ELUR
Schéma d’équilibre limite d’une section de poutre sollicitée à la flexion simple
8
II.1. Calcul à l’ELUR d’une section rectangulaire
dY uu
b
c28bu
γθ
f0,85f
b d 0,8fb Y 0,8fF buubub u
A.N.
eb fbu Fb
b
0,8 Yu
es ss
Yu
h d
ss Fs=Au ss Au
Zu Mu
Mu : moment sollicitant calculé à l’ELUR
)0,4-d(10,4Y-dZuu u
En général, on suppose que: d=0,9h
On
pose:
Mu
s s e
y y y y y
z
F
9
ubu
sub
ZFM
AFFsection la de ultime équilibred' Equations
ss
)]0,4-b)[d(1 d 0,8f(M buu uu
)]0,4-(1)[0,8 bd f(M 2
buu uu
réduit ultime Moment : ; )0,4-(10,8bd f
Mu2
bu
u uuu
Z
MA
su
uu
s
)21-(125,1 uu
)0,4-d(1Zu u
Zu
ss ?
10
Dimensionnement • Règlement BAEL limite la hauteur du béton
comprimé en flexion simple (pour limiter la
compression du béton)
• En général, Ylim 0,4h=> lim 0,44 => ulim
0,3 (Fe 400) et ulim 0,27 (Fe 500)
-Si lim=>u ulim et Mu Mulim =
ulim bd2 fbu => Pas besoin d’armatures comprimées
(A’=0)
- Si > lim => u > ulim et M > Mulim => Besoin d’armatures comprimées (A’ 0)
11
Choix du Pivot de calcul ss
0
h d
A
ebu=3,5‰
esu=10‰ A
B 0
1
2
YAB
Calcul autour du Pivot A (Région 1): Mu MAB Calcul autour du Pivot B (Région 2): :MAB Mu MBC
C Mu MAB
MAB Mu MBC
y
Diagrammes des
déformations
limites de la section
3/7h
ebu=2‰ y
12
Moments Frontières
3,5‰ B 0
d
186,0
259,0d259,0Y
AB
ABAB
493,0
1,11,1dhY
BC
BCBC
Moment frontière MAB
Moment frontière MBC
10‰ A
0
h Mu < MAB 2
YAB=0,259d
C
MAB Mu MBC
2‰
1
13
Dimensionnement
suse
sase
s2
bu
u
s
esussus2
bu
u
f si
E si
-1‰5,3BPivot
bd f
M186,0
ff‰10APivot 186,0
bd f
M
see
esee
e
see
s
s
u
uu
u
Ea = 200 GPa
e
s
s
e
su
ff
10‰ -10‰
ee
sa
e
eγE
fe
s
e
su
ff
Bpivot
Apivot
259,0
259,0
AB
AB
Comparer est équivalent à comparer 186.0àu
259,0AB à
14
• Pour les sections rectangulaires:
bdf
f23,0A
e
t28min
Ferraillage minimal: condition de
non fragilité
15
dy uu .
uu ydZ .4,0
lim2 u
bu
uu
fbd
M NON
186,0u
Redimensionnement de la section du
béton ou ajout d’armatures
comprimées OUI
Pivot A OUI
Pivot B NON
su
uu
Z
MA
s.
uu 21125,1
bd
f
f23,0A,max
e
t28minuucalcul AA
‰10se
sus fs
u
u
e
-1‰5,3s
Eγ
f si εEε
Eγ
fε si f
ss
ess
s
essu
s
Récapitulatif: Calcul d’une section rectangulaire sans aciers comprimés
16
Exemple 1
35 cm
60 c
m
8 m
1
1 1-1
54 c
m
17
Exemple 1 • Poutre uniformément chargée
– Charges permanentes y compris poids propre
poutre: g=12,5 kN/m
– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/m
– Durée d’application des charges > 24h
• Béton: fc28 = 25 MPa
• Acier: HA FeE 400
• ulim = 0,3
Calculer la section d’acier nécessaire à l’ELUR
au niveau de la section médiane de la poutre.
18
Exemple 1
• Mg = gl2/8 =100 kN.m
• Mq = ql2/8 =137,6 kN.m
• Mu = 1,35 Mg + 1,5Mq = 341,4 kN.m
= 0,3414 MN.m
• fbu = 0,85 (25)/1,5 = 14,17 MPa
• ft28=0,6+0,06*25=2,1 MPa
• fsu = 400/1,15 = 348 MPa
19
Exemple 1 • Moment ultime réduit u = Mu/(bd2fbu) = 0,235
< ulim => Pas besoin d’armatures comprimées
(A’=0)
• u > 0,186 => Pivot B
• u = 0,34 => es = 3,5‰ (1- u)/ u = 6,8‰
• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =
348 MPa
• Zu = d (1-0,4 u) = 0,54*(1-0,4*0,34)=0,466m
• Au = Mu / (Zu ss) = 0,002102 m2 = 21,02 cm2
• Amin=0,23bdft28/fe =2,28 cm2 < Au
=> Aucalcul = 21,02 cm2
20
Sections rectangulaires avec armatures
comprimées
A.N.
0,8 ulimd
eb=3,5‰
es
ulimd
d
ss
fbu
Au
b
A’u d’ esc
Fb=0,8 ulimdbfbu
Fs1=Au1 ss Zu1=d(1-0,4ulim)
+
Fsc=A’ussc
Fs2=Au2 ss
d-d’
ssc
Mu
Mu1 Mu2=Mu-Mu1
Mu
Yulim
=
u2u1u AAA
21
• et
• Mu1 = ulim b d2 fbu
• Mu2 = Mu – Mu1
)21-(125,1 ulimulim
)0.4-d(1
MA
edulim
u1u1
F
)d-(d
MA
ed
'
u2u2
F
u2
'
u AA
u1bu1
su1b
ZFM
AF ultime équilibred' Equations
s
)d'-(dFM
AA'FEt
scu2
su2scuscss
)0.4-d(1Z ulimu1
u2u1u AAA u2u1u
MMM
22
Dimensionnement
• Économie => Mu2 ≤ 0,4 Mu
• Flambement des armatures comprimées
=> maintenir les armatures comprimées
par des armatures transversales dont
l’espacement st ≤ 15 Fc
23
Exemple 2 • b = 70cm
• h = 110cm
• d = 101cm
• d’ = 9cm
• Béton: fc28 = 27 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Mu = 3,8 MN.m
• ulim = 0,3
• Calculer la section d’acier à l’ELU
24
Exemple 2 • fbu = 0,85 (27)/1,5 = 15,3 MPa
• fsu = 400/1,15 = 348 MPa
• Moment réduit : u = Mu/(bd2fbu) = 0,347 > ulim
=> armatures comprimées nécessaires
• ulim = 0,4594 > 0,259=> calcul autour du pivot
B=> es = 3,5‰ (1-ulim)/ulim = 4,12‰
• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =348
MPa
• esc = 3,5‰ (ulimd-d’)/(ulimd) = 2,82‰ > ee =
1,74‰ => ssc = 348 MPa
• Mu1 = ulim b d2 fbu = 3,277MN.m
• Mu2 = Mu – Mu1 = 0,522 MN.m< 0,4Mu=1,52MN.m
25
22
sulim
u1
u1cm2,114m01142,0
)0.4-d(1
MA
s
22
s
'
u2
u2cm3,16m001632,0
)d-(d
MA
s
2
u2
'
u cm3,16AA
2
min
2
u2u1u cm02,9cm5,1303,162,114AAA A
Exemple 2
26
Section en T • Planchers nervurés en béton armé (à corps creux):
succession des nervures portant dans un seul sens
1m
Table de
compression
hourdis
7cm
16 cm
33cm
5cm
Table de compression et dalle de répartition
Ame
(ou 19+6cm)
nervure
33 cm
27
• Modélisation des poutres supports des dalles pleines: Section
en T (en travée uniquement)
2
l
10
L
Min2
bb
t
0
Coupe 1-1
b0 lt
b
L
Dalle
pleine
1 1
Largeur b de la table de compression en travée:
28
• Détermination du moment résistant MTu équilibré
par la table de compression: on suppose que Yu=h0/0,8
Dimensionnement
]2
h-)[d bh f(M 0
0buTu
h0
b0
b
Zu = d-h0/2
fbu
Fs=Au ss Au
0bubc bh fF
h0/0,8
MTu
A.N.
29
Comparer Mu à MTu
- Mu ≤ MTu => Yu h0/0,8 => Dimensionnement en Section
rectangulaire (b, d)
- Mu > MTu => Yu > h0/0,8 => Dimensionnement Section en T
Dimensionnement
A.N.
Mu>MTu
b
Mu<MTu
h0
b0
Au
Yu
h0
b0
Au
Yu
d
A.N.
b
30
• Mu > MT,u
Dimensionnement en section en T
b
Mu2
Mu = Mu1 + Mu2
Au = Au1 + Au2
h0
b0
Au
= +
Au1 Au2
Mu1
Yu
b0
b-b0
Zu2 = d-h0/2 Zu1
31
]2
h-[d )hb-(b fM 0
00buu2
ed0
u2u2
)2
h-(d
MA
F
u2uu1 M - MM
)0.4-d(1
MA
edu1
u1u1
F Au = Au1 + Au2
Dimensionnement en section en T
bu
uuuu
fdb
M2
0
1111 ;211(25,1
32
• Section en T:
Ferraillage minimal: condition de
non fragilité
e
t28
0
Gzmin
f
f
)v3
h-(d
IA
000
2
00
2
0'
h)bb(hb2
h)bb(hbv
'v-hv
2'
000
30
0
3
0Gz v)hb(bhb3
h)bb(
3
hbI
33
Exemple 3
• Mu=0.0062 MN.m
• Béton: fc28 = 25 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• ulim = 0,3
Déterminer Au
5cm
33cm
Au
7cm
16cm
18.9cm
Données:
34
Exemple 3
0.0383MN.m ]2
h-)[d bh f(M 0
0buTu
• Mu = 0,0062 MN.m < MTu => Section
rectangulaire (b=0,33m;d= 0.189m)
• Moment réduit: u = Mu/(bd2fbu) = 0,037 < ulim
= 0,3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0
• u < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss =fsu=
348 MPa
• u = 0,047 => Zu = d (1-0,4 u) = 0,185m
• Au = Mu / (Zu ss) = 0,96 cm2 => 1HA12
(Aréel=1,13cm2)
35
Exemple 3
• Schéma de ferraillage:
Armatures d’âme 1 Étrier RL 6
Armatures tendues 1HA12
Armatures constructives 1HA10
36
Exemple 4
1,2m
0,7m
4,8m
1,65
m 1
1
0,4m
0,21m
Coupe 1-1
• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml
• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml
• Charge concentrée
– Permanente: G=79T
– Exploitation: Q=23T
• Béton: fc28 = 20 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Calculer Au à l’ELU au niveau de la section où s’applique la charge
concentrée
37
Exemple 4
a b
P
L
M(a) = Pab/L
x
L
M(x) = pLx/2 – px2/2
p
+
+
a b
P
L
p
=
38
Exemple 4
• Mg= 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,79625T.m
• MG= 79x1,65x3,15/4,8 = 85,54218 T.m
• Mq= 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m
• MQ= 23x1,65x3,15/4,8 = 24,90468 T.m
• Mu = 1,35x(7,79625 + 85,54218) +1,5x(2,079 +
24,90468) = 166,48T.m = 1,6648MN.m
• fbu = 0,85 (20)/1,5 = 11,33MPa
• fsu = 400/1,15 = 348 MPa
39
Exemple 4
1,653MN.m ]2
h-)[d bh f(M 0
0buTu
• Mu > MTu => calcul en section en T
• Mu2= 0,71MN.m => Mu1=Mu- Mu2= 0,954MN.m
• Moment réduit: u1 = Mu1/(b0d2fbu) = 0,174 < ulim
=0.3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0
• u1 < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss = 348MPa
• u1 = 0,24 => Zu1 = d (1-0,4 u1) = 0,994 m
• Au1 = Mu1 / (Zu1 ss) = 0,002758 m2 = 27,58 cm2
• Au2 = Mu2 / ( d-h0/2)ss= 0,002050 m2 = 20,5 cm2
Au = 48,08 cm2
40
Exemple 4
10 HA20
5 HA16 + 5 HA14 => A=48,9cm2
Vérification: dréel=(114,2*31,42+ 108,9*10,05+107,4*7,70)/48,9
dréel=112,051 > dcalcul=1,1 => A réel > A calcul =>OK
Schéma de ferraillage proposé:
Aciers constructifs
Aciers de peau
Armatures de peau: pour les poutres de grande hauteur, il faut prévoir des armatures
de peau (non fragilité) de section au moins égale à 3cm2 par mètre linéaire de
parement en cas de FP ou FPP, et 5cm2 en FTP
41
États Limites de Service
• Sollicitations de calcul => Combinaisons Rares
• Béton et acier: Comportement élastique linéaire
• Es/Ebv = 15 ; Ebv: module de déformation longitudinale
vrai du béton (différé)
• ELS de compression du béton:
• ELS d’ouverture de fissures:
i
i
iQQGG
1
01minmax
ss ss
Contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS : ss
28bcbc6,0
cfss
42
• Fissurations préjudiciables (FP)
– Pièces exposées aux intempéries ou à des
condensations
Contraintes limites de traction de l’acier à
l’ELS
(MPa))f110 ;(0,5fMax
f3
2
Min
tje
e
s
s
6mm HA filset HA barrespour 1,6
6mmHA filspour 1,3
lisse rondspour 1
Coefficient de fissuration
)MPa(f06.06.0f cjtj
• Fissurations peu préjudiciables (FPP)
es fs
43
• Fissurations très préjudiciables (FTP)
– Pièces placées en milieu agressif
F.P. la de cas le dans limite contrainte:
)(8,0s
s MPa
Contraintes limites de traction de l’acier à
l’ELS
44
Dimensionnement Moment résistant du béton Mrb: moment de service
pour lequel l’état limite de compression du béton et
l’état limite d’ouverture des fissures sont atteints
simultanément
d
y
b
A.N.
h d
Aser
y
bce
se
)y-d(εyεy
ε
y-d
εbcs
bcs
bcs
bc
εε
ε
b
bcbc
E
σε
b
s
s
ss
15E
σ
E
σε
Mrb
45
Dimensionnement
bcs
bc
b
bc
b
s
b
bc
bcs
bc
15
15
E15E
E
εε
ε
ss
s
s
s
s
A.N.
h d
Aser
b
Z
ybcs
ss
bcF
ssers AF s
bce
seMrb Mrb Mrb
46
Dimensionnement
b d 2/1b y 2/1F bcbcbc ss
)3
-d(13
d-d
3
y-dZ
ZFM
AFF élastique équilibred' Equations
bcrb
ssersbcs
2
bcrb bd )3
-(1 2
M s
47
Dimensionnement
Si Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées
2
bcser bd )3
-(1 2
M s
h d
Aser
b
Z
dy
bcs
ss
bcF
ssers AF s
bce
se
15
ss
Mser Mser
Z
MA
s
serser
s
Mser
48
Dimensionnement
115
sbc
ss 2s
ser bd 115
)3
-(1 2
M
s
22
sser bd )
3-(1
1
30M
s
)d
Z1(3
3-1
d
Z)
3-d(1Z
d
Zd
Z
d
Z
bd
M2
s
ser
)1(31
)1(
10
32
s
49
0.78
0.82
0.86
0.9
0.94
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
bd
M2
s
ser
s
d
Z
50
Dimensionnement
Si Mser > Mrb =>
Armatures comprimées nécessaires
Mser = Mrb + M2
bcbc ss
h d
Ase
r
b
Z
bcs
ss
bcF
ssers AF s
bce
se
A’ser
dy d’
scsscser
'A sscF
d-d’ Mser Mser Mser
51
Dimensionnement
d
d avec 15
''
'
bcsc
ss
)d'(d
MMA
sc
rbser'
sers
s
sc'
ser
s
rbser A
)3
-d(1
MA
s
s
s
52
Exemple 5
35 cm
60 c
m
8 m
1
1 1-1
54 c
m
53
Exemple5 • Poutre uniformément chargée
– Charges permanentes y compris poids propre:
g=12,5 kN/ml
– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/ml
• Béton: fc28 = 25 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Fissuration préjudiciable
• Calculer la section d’acier à l’ELS au niveau
de la section médiane de la poutre
54
Exemple 5 • Mg = gl2/8 =100 kN.m
• Mq = ql2/8 =137,6 kN.m
• Mser = Mg + Mq = 237,6 kN.m
5MPa1bc s
527,0
MPa6,201s s
kN.m330Mrb
Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées
0,0115 bd
M2
s
ser s
845,0d
Z => Z=0,456m
55
Exemple 5
2
ser cmA 8,25
2
ELU cm4,21A
2
ELUsers cm8,25)A,Asup(A
Z
MA
s
serser
s
(voir exemple 1)
)3
-d(1Z
Ou prendre
56
Vérification des contraintes à l’ELS • Les conditions d’utilisation d’un ouvrage peuvent changer au cours de son
exploitation (variation de la charge d’exploitation, la nuisibilité des fissures, etc.)
=> il faut vérifier les contraintes aux ELS.
y I
M)(
Gzh
serys
Section homogène en béton (de module Ebv) :
Bh= B + 15 (As + A’s )
y
s
e
sc
ss
bcbc
f
s
ss
ss
)d'-(y I
15M
)y-(d I
15M
y I
M
1Gz
h
ser
1Gz
h
ser
1Gz
h
ser
15
scs
15
ss
bcs
As
A’s
b
d
G
z
Béton comprimé :
d’ ssc
ss
y1
Mser Mser
y
57
Vérification des contraintes à
l’ELS
0)y-(d15A)'('152/b 1s111 dyAyy s
0)'A'dA(15)'(512/by ss12
1 dyAA ss
b 0
i
iGihG SyBy
15As
h d
As
1y-d
2/y11yA’s
d’ 15A’s
d'-y1
b G
y
z
2
1
2
1s
3
1Gzh )'('15)y-(dA513/byI dyA
s
y1
58
Exemple 6
35 cm
60 c
m
8 m
1
1 1-1
54 c
m
2
ELU cm4,21A
Mser = 237,6 kN.m
• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration préjudiciable
59
Exemple 6
0544,2115y4,21152/y350Ad51yA512/by 12
112
1
cm6,23y1
421
31Gz m0045,0)y-A(d513/byI
OK MPa1512,5MPa0,0045
236,06,372
I
yMbc
Gz
1serbc
ss
ELUAssGz
1sers AMPa6,201,8MPa402
I
)y-(dM15 ss
=>
60
Exemple 7 • b = 70cm
• h = 110cm
• d = 101cm
• d’ = 9cm
• Béton: fc28 = 27 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Mser = 2,5 MN.m
• A’=16 cm2 ; A= 128,7cm2
• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration
préjudiciable
61
Exemple 7
cm2,50y1
bcGz
1serbc MPa15
0,0834
502,05,2
I
yMss
teinsuffisancmA 2
sGz
1sers
7.128
8,4MPa220,0834
)0,502-2,5(1,0115
I
)y-(dM15
ss
15;0)dAn(Ady)nAnA(2/by ''1
'21 n
2'1
'21
31Gz )d(ynA)y-nA(d3/byI 44
Gz m0834,0cm8341118I
MPa2,16f6,0 c28bc s MPa3,207s s
scGz
'1ser
sc MPa3,1850,0834
)09,02,5(0,50215
I
)d(yM15 ss
MPa8,347sc s
62
• Calcul de MTser:
• Si Mser ≤ MTser => Section rectangulaire (b,d)
• Si Mser > MTser => Section en T
– Bâtiments: Z=d-0,5ho
– Ponts: Z=0,93d
Calcul à l’ELS: Section en T
2
0
0
0
sTser bh
hd
3
hd
30
M
s
Z
MA
s
serser
s
63
• Axe neutre dans la table de compression:
y1h0
Axe neutre dans la nervure: y1>h0
Vérification des contraintes à
l’ELS: Section en T
2
1
'2
1
3
01
0
3
1
2
0
0001
2
1
0
)'()(3
)()(
3
0)]''(2
h)b-[(b-)]A'n(A)hb-[(by
2
yb
dynAydnAhy
bby
bI
dAAdn
Gzh
I
yM
Gzh
sers
Calcul des contraintes d’une section rectangulaire
(b, d)
(n=15)
64
Exemple 8
1,2m
0,7m
4,8m
1,65
m 1
1
0,4m
0,21
m
Coupe 1-1
• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml
• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml
• Charge concentrée
– Permanente: G=79T
– Exploitation: Q=23T
• Béton: fc28 = 20 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Au = 48,9cm2
• Fissurations préjudiciables
65
Exemple 8
• Mg: 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,796T.m
• MG: 79x1,65x3,15/4,8 = 85,542 T.m
• Mq: 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m
• MQ: 23x1,65x3,15/4,8 = 24,905 T.m
• Mser = (7,796 + 85,542) +(2,079 + 24,905) =
120,32 = 1,203MN.m
• MTser =0,239MN.m
MPa12f6,0 c28bc s MPa200s s
• Mser > MTser => Section en T=> y1>h0
66
• Axe neutre dans la nervure
cm76,39y0)y-nA(d2
)h-(yb)
2
h-(ybh 11
201
00
10
421
301020
1030Gz m048,0)y-nA(d
3
)hy(b)
2
hy(bhbh
12
1I
Exemple 8
MPa12MPa93,9 I
yMbc
Gz
1serbc ss
MPa2005,67MPa52 I
)y-(dM15 s
Gz
1sers ss
teinsuffisancmAu29.48
67
ELS de déformation: Limitation de la flèche • Les déformations des éléments fléchis doivent rester suffisamment faibles
pour :
- ne pas nuire à l´aspect et à l´utilisation de la construction
- ne pas occasionner des désordres dans les éléments porteurs.
- ne pas endommager les revêtements, les faux plafonds ou les autres
ouvrages supportés.
=> Il faut limiter la flèche
• Pour les éléments supports reposant sur deux appuis, la valeur de la
flèche admissible dans le cas où les ouvrages supportés (cloisons et
revêtements), sont fragiles est limitée à:
500
lfadm
10005.0
lfadm
si l £ 5m (avec l en cm)
si l > 5m (avec l en cm)
• Pour les éléments en console, la valeur de la flèche admissible de l´extrémité
de la console, dans le cas où les ouvrages supportés sont fragiles, est limitée
à: si la portée l est au plus égale à 2m. 250
)(cmlfadm
• Quand les ouvrages supportés ne sont pas fragiles, la flèche admissible est
égale au double de celle obtenue dans le cas d’ouvrages supportés fragiles.
68
• Pour tenir compte de l´existence éventuelle de fissures dans les zones
tendues, on substitue dans les calculs, au moment d´inertie I0 de la section
totale rendue homogène, un moment d´inertie fictif If évalué empiriquement.
• Dans le cas des poutres simplement appuyées isostatiques ou continues et
des bandes de dalles isostatiques ou continues, dirigées dans le sens de la
petite portée, soumises à des charges uniformément réparties, les flèches
sont déterminées selon le BAEL comme suit :
fii
iIE
Mlf
10
2
fvv
vIE
Mlf
10
2
avec1
1,1et 1
1,1 00
vfv
ifi
II
II
;
)32(
05,0
0
28
b
b
fti
5
2 iv
;
4
75,11
28
28
ts
t
f
f
s
:0db
A
M : le moment fléchissant maximal à l’ELS produit dans la travée considérée par le cas de charge envisagé;
L: portée de la travée considérée comptée entre nus d’appuis.
Ei : module d’élasticité instantané du béton et Ev : module différé du béton ; Ev=Ei/3;
Ifi : Moment d’inertie fictif instantané et Ifv : Moment d’inertie fictif différé;
I0: désigne le moment d´inertie de la section totale en béton armé rendue homogène (n = 15) ;
- la flèche fi correspond aux déformations instantanées:
- la flèche fv correspond aux déformations différées:
ss: la contrainte de l’acier à l’ELS;
b0 : la largeur de la nervure et b celle de la table de compression
rapport de l´aire A de la section de l´armature tendue à l´aire de la section utile de la nervure
69
• Pour les consoles soumises à des charges uniformément réparties, on peut
admettre que les flèches fi et fv de l´extrémité de la console correspondant aux
déformations instantanées et de longue durée, ont respectivement pour
valeurs:
fvvv
fiii
IE
Mlf
IE
Mlf
4et
4
22
70
Exemple 9
35 cm
60 c
m
8 m
1
1 1-1
54 c
m
2
ELU cm4,21A
g= 20,7KN/m
q= 9 KN/m
• Vérifier l’ELS de déformation
• Plancher à usage de salle de réunion
• Ouvrages supportés (revêtement) supposés non fragiles
• Fissuration peu préjudiciable
• Béton: fc28 = 25 MPa
• Acier: FeE 400 HA
71
Exemple 9
6) exemple(voir 240,8MPaet m 0045,0I s4
0 s
• Vérification de la flèche instantanée fi
Mser-rare= Mg + Mq= 237,6 KN.m
MPa32130 2511000E 3i
858,10113,0*)1*32(
1,2*05,0
i
0113,054,0*35,0
10*4,21 4
717,01,28,240*0113,0*4
1,2*75,11
400212,0 717,0*858,11
0045,01,1 mI fi
OK 6,2)1000
8005,0(*22,2022,0
00212,0*32130*10
8*2376,0 2
cmfcmmf admi
72
Exemple 9 • Vérification de la flèche différée fv
Mser-quasi-permanent= Mg + 2Mq =Mg + 0,4Mq= 194,4 KN.m;
0,4Mq est la part des charges d’exploitation d’une salle de réunion considérée comme
permanente à prendre en compte dans l’évaluation des déformations différées dues au
fluage du béton
MPa107103
32130Ev
743,0858,1*5
2v
717,0
400323,0 717,0*743,01
0045,01,1 mI fv
cmfcmmfadmv
6,2)1000
8005,0(*25,3035,0
00323,0*10710*10
8*1944,0 2
=> ELS de déformation non vérifié !
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