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Explicación y presentación de ejemplos de la definición de la derivada. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejias Ortiz.
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Definición de la Derivada
Dr. Juan R. Mejías Ortiz
By PresenterMedia.com
CURSO CÁLCULO I
SECANTE Y TANGENTE
Una secante es una línea que interseca en dos o más puntos a una curva. La pendiente de una línea secante se encuentra siguiendo la fórmula
𝒎𝒔𝒆𝒄 =∆𝒚
∆𝒙=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
SECANTE Y TANGENTE
La pendiente de la recta secante pasa por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)). Observe la gráfica a la derecha. Al aplicar la fórmula para encontrar la pendiente de la secante obtenemos:
𝑚𝑠𝑒𝑐 =∆𝑦
∆𝑥=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚𝑠𝑒𝑐 =∆𝑦
∆𝑥=
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
𝑎 + ℎ − 𝑎
𝒎𝒔𝒆𝒄 =∆𝒚
∆𝒙=
𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
𝒉
•Encuentra la pendiente de la recta secante en 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐 + 𝟑.
𝑚𝑠𝑒𝑐 =(𝑥 + ℎ)2+3 − (𝑥2 + 3)
ℎ
𝑚𝑠𝑒𝑐 =[(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) + 3] − (𝑥2 + 3)
ℎ
𝑚𝑠𝑒𝑐 =𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 3 − 𝑥2 − 3
ℎ
𝑚𝑠𝑒𝑐 =2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
𝒎𝒔𝒆𝒄 = 𝟐𝒙 + 𝒉
Se le suma h a
toda x
Simplificar
términos
semejantes
Dividir y
simplificar h
•SECANTE Y TANGENTE
En la medida que la distancia de los puntos de la secante disminuyen h se va acercando a 0. Cuando esto ocurre eventualmente la recta secante pasa a convertirse en la recta tangente de la curva.
La pendiente 𝑚𝑡𝑎𝑛 de la línea tangente a y = f(x) en x = a está dada por:
𝒎𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒂 + 𝒉 − 𝒇(𝒂)
𝒉
siempre que el límite exista.
Definición Pendiente de la Recta Tangente
SECANTE Y TANGENTES
La recta tangente pasa por el punto (a, f(a)) y tiene pendiente (mtan) determinada por:
𝒎𝒕𝒂𝒏 =
𝒚 − 𝒇(𝒂)
𝒙 − 𝒂
De manera que la ecuación de la recta tangente es:
𝒚 = 𝒎𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝒂 + 𝒇(𝒂)
Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥2 − 5 en x = 2.
𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
[𝟑 𝒙 + 𝒉)𝟐 − 𝟓 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓)
𝒉
𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
[𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) − 𝟓 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓)
𝒉
𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓
𝒉
𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓
𝒉
Se le suma h a
toda x
Simplificar
términos
semejantes
Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥2 − 5 en x = 2.
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟔𝒙 + 𝟑𝒉
Si x = 2, 𝑓 2 = 3(2)2−5. Así que el punto correspondiente a x = 2 es (2, 7) y la recta de la pendiente m = 12. Ya que 𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑓(𝑎). O sea, 𝑦 = 12 𝑥 − 2 + 7
𝒚 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟕
= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟔 𝟐 + 𝟑 𝟎 = 𝟏𝟐
Simplificar
términos
semejantes
La derivada de f(x) es la función es la función f’(x) dada por
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
siempre que el límite exista. Este proceso se conoce como derivación.
Definición de la Derivada
DERIVADA
•Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟏.
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
[𝟒 𝒙 + 𝒉 + 𝟏 − (𝟒𝒙 + 𝟏)
𝒉
= 𝟒𝒙 + 𝟒𝒉 + 𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟏
𝒉
= 𝟒𝒉
𝒉
𝒇′(𝒙) = 𝟒
Se le suma h a
toda x
Simplificar
términos
semejantes
Dividir y
simplificar h
•Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕.
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟑 𝒙 + 𝒉 𝟐 − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕)
𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟑(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕)
𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟓𝒉 + 𝟕 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕
𝒉
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓𝒉
𝒉 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 − 𝟓
𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑 𝟎 − 𝟓 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 − 𝟓
•Calcule la derivada de 𝒇 𝒙 =𝟐
𝒙+𝟑.
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝟐𝒙 + 𝒉 + 𝟑
−𝟐
𝒙 + 𝟑
𝒉
= lim𝒉→𝟎
𝟐 𝒙 + 𝟑 − 𝟐(𝒙 + 𝒉 + 𝟑)𝒙 + 𝒉 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑)
𝒉
= lim𝒉→𝟎
𝟐𝒙 + 𝟔 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒉 − 𝟔(𝒙 + 𝒉 + 𝟑) (𝒙 + 𝟑)
𝒉
= lim𝒉→𝟎
−𝟐𝒉𝒉 + 𝒙 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑)
𝒉
= lim𝒉→𝟎
−𝟐𝒉
(𝒙 + 𝒉 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑)×
𝟏
𝒉
= lim𝒉→𝟎
−𝟐
(𝒙 + 𝟎 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
𝒇′(𝒙) =−𝟐
(𝒙 + 𝟑)𝟐
•Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓.
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 + 𝟓
𝒉
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 + 𝟓
𝒉×
𝒙 + 𝒉 + 𝟓 + 𝒙 + 𝟓
𝒙 + 𝒉 + 𝟓 + 𝒙 + 𝟓
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
(𝒙 + 𝒉 + 𝟓) − (𝒙 + 𝟓)
𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 − 𝟓
𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
Racionalizar el
numerador
Denominador
común
•Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓.
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 − 𝟓
𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝒉
𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝟏
( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝟏
( 𝒙 + 𝟎 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)
𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎
𝟏
( 𝒙 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) =
𝟏
𝟐 𝒙 + 𝟓
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